capitulo 1. geometria y trigonometria

APUNTES DE CLASE DE TOPOGRAFA

JORGE LUIS RODRGUEZ GONZLEZ INGENIERO CIVIL

Universidad Pedaggica y Tecnolgica de Colombia ESPECIALISTA EN DISEO, CONSTRUCCIN Y CONSERVACIN DE VAS

Escuela Colombiana de Ingeniera Julio Garavito

TCNICAS Y HERRAMIENTAS PARA INGENIERA:

TOPOGRAFA

Ing. Esp. Jorge Luis Rodrguez Gonzlez -1-

INTRODUCCIN

La topografa es el rea base de la Ingeniera Civil, ya que es desde aqu: desde un estudio topogrfico, donde diseadores y constructores proyectan las obras; tales construcciones deben estar en armona con el medio que las rodea: la direccin de una fachada, la ubicacin de una ventana o de una puerta est acorde con una direccin determinada; el muro de una presa est ubicado en la zona ms estrecha de un ro; un tanque de almacenamiento para un acueducto estar ubicado en el punto ms alto; una va no debe exceder de una pendiente determinada; los taludes con pendientes mayores a cierto valor son potenciales deslizamientos; estos y muchos ms ejemplos son las aplicaciones de la topografa en Ingeniera.

Las presentes guas de clase se desarrollaron mediante la recoleccin de informacin de varias fuentes bibliogrficas cuyo objetivo es dar al estudiante de Ingeniera Civil de la Universidad Pedaggica y Tecnolgica de Colombia un soporte terico y practico de la asignatura; inicia con los conceptos generales del rea; se enuncian los procedimientos de campo y de oficina con ejemplos resueltos y ejercicios propuestos para cada mtodo planimtrico y altimtrico; se incluye un capitulo exclusivo de las nuevas tecnologas aplicadas a la topografa; uso de software y hojas de calculo.

El estudiante debe preparar cada uno de los temas previo a la clase, esto incluye estudiar las lecturas complementarias que se indican en cada uno de los captulos, revisar y analizar cada uno de los ejercicios resueltos y desarrollar los problemas propuestos.

Elementos de geometra y trigonometra


1. ELEMENTOS GEOMETRICOS Y TRIGONOMETRICOS APLICADOS EN TOPOGRAFIA

El presente capitulo tiene como objetivo principal recordar algunos conceptos y principios de geometra y de trigonometra plana aplicados a Topografa, entre los cuales estn:

1.1. ELEMENTOS DE GEOMETRIA

1.1.1. Sistema de coordenadas rectangulares Dos lneas rectas que se corten en ngulo recto constituyen un sistema de ejes de coordenadas rectangulares, conocido tambin como sistema de Coordenadas Cartesianas; en la interseccin de las rectas se tiene el origen O de coordenadas. Al eje x-x se le denomina eje de las abscisas y al eje y-y eje de las ordenadas.

Figura 1 Sistema coordenado cartesiano

En la figura 1, el punto "P" queda perfectamente definido por la distancia medida sobre cada uno de los ejes desde el origen hasta la proyeccin del punto "P"; as pues, la distancia "Xp", medida desde el eje de las ordenadas hasta el punto "P", se llama abscisa del punto, y la distancia "Yp", medida desde el eje de las abscisas hasta el punto "P", se denomina ordenada del punto. En Topografa, el eje de las ordenadas se asume como eje Norte-Sur,y el de las abscisas como eje Este-Oeste; de esta manera, a la ordenada del punto "P" se le denomina NORTE del punto y a la Abscisa, ESTE del punto. Por las definiciones dadas, las coordenadas de un punto se anotan de la siguiente manera: P(Np;Ep) en donde: Np = Coordenada norte del punto P. Ep = Coordenada este del punto P.



La figura 2 (a) representa los cuadrantes utilizados en trigonometra y geometra analtica. Ntese que, en este caso, el sentido positivo de rotaciones es el antihorario, y que el origen de rotaciones coincide con el eje X-X positivo. La figura 2 (b) representa los cuadrantes utilizados en topografa. En este caso, el sentido positivo de rotaciones es el horario, y el origen de rotaciones coincide con la direccin norte. Los cuadrantes topogrficos se denominan de la siguiente manera: CUADRANTE NOMBRE SIGNOS

I Norte Este (NE) + + II Sur - Este (SE) - + III Sur - Oeste (SW) - - IV Norte Oeste (NW) + -

Figura 2. Cuadrantes

1.1.2. Sistema de coordenadas polares. La posicin de un punto "P2" con respecto a un punto "P1", tambin queda definida mediante el ngulo entre el eje de referencia y la alineacin de P1 a P2, y la distancia D, segn se observa en la figura 3.

Figura 3. Sistema de coordenadas polares(p;Dp)



El ngulo y la distancia D, constituyen las COORDENADAS POLARES del punto P2. En forma anloga a la expresada para el sistema de coordenadas rectangulares, las coordenadas de un punto se indican de la siguiente manera: P(p;Dp). La direccin de una alineacin cualquiera se puede definir por el ngulo horizontal, (medido en sentido horario), que dicha alineacin forma con una alineacin de referencia. Si la alineacin de referencia es el eje norte, el ngulo horizontal se denomina ACIMUT ().El ngulo que la direccin Norte-Sur forma con la alineacin dada se denomina RUMBO ().

1.1.3. Relaciones geomtricas entre ambos sistemas De acuerdo a la figura 3, las relaciones geomtricas existentes entre los puntos P1(N1;E1) y P2(N2;E2) quedan expresadas mediante las siguientes ecuaciones:

senxDExDN

NE

NNEETan

NENNEED

2121

2121

12

12

12

1221

22

212

212

21221

cos

)()()()(

=

=

=

=

+=+=

En donde:

= Acimut del alineamiento P1P2 = Rumbo del alineamiento P1P2 Ni,Ei = Coordenadas Rectangulares del Pi. N,E = Distancia en proyeccin sobre los ejes Norte y Este desde el punto Pi hasta el punto Pi+1. DP1P2 = Distancia horizontal entre ambos puntos.

EJEMPLO 1 Dadas las coordenadas de los puntos 1 y 2 representados en la figura 4, calcular la distancia D1-2, el rumbo 1-2 y el acimut 1-2 del alineamiento P1 -P2. SOLUCION E2E1 = 157.538 72.267 = 85.271 N2 N1 = 95.021 162.752 = - 67.731 Tan 1-2 = (85.271 / -67.731) = -1.258965 por lo tanto 1-2 = 513223.22 El Rumbo del alineamiento 1 2 es S 513223.22 E El acimut 12 = 180 513223.22 = 1282736.78



Figura 4 Ejemplo 1 La distancia D 1-2 = 22 )731.67(271.85 + = 108.897 m Ntese que las unidades angulares estn en el sistema sexagesimal aproximado al segundo y las unidades lineales en metros y se aproximan al mm. EJEMPLO 2 Dadas las coordenadas del punto 1 (208.325 , 175.422), el acimut 1-2 = 1242015 y la distancia D1-2 = 138,432 m calcular las coordenadas del punto 2. SOLUCIN Mediante la aplicacin de las ecuaciones se tiene: E1-2 = 138.432*sen(12420'15")= 114.307 m N1-2 = 138.432*cos(12420'15")= -78.085 m Como E1-2 y N1-2 son las distancias en proyeccin desde 1 hasta 2, las coordenadas de 2 sern: E2= E1 E 1-2 por lo tanto E2= 175,422+114,307 = 289,729 m N2= N1 N 1-2 por lo tanto N2= 208,325 - 78,085=130,240 m Coordenadas de 2 (130.240 , 289.729)



1.1.4. Propiedades de las lneas rectas paralelas Una de las propiedades de las lneas rectas paralelas utilizado en topografa es la que se describe en la figura 5. Donde AA // BB

Figura 5 Lneas rectas paralelas

1.1.5. Polgonos regulares La suma de los ngulos internos y externos de un polgono de (n) lados esta dada por:

ngulos Internos = ( n 2 ) x 180 ngulos Externos = ( n + 2 ) x 180

1.1.6. Clculo de reas El rea es una medida de superficie que representa el tamao de la misma. En los trabajos topogrficos comunes, el rea se expresa en metros cuadrados (m2), hectreas (ha) o kilmetros cuadrados (km2), dependiendo del tamao de la superficie a medir. El clculo del rea de una superficie se determina indirectamente, midiendo ngulos y distancias y realizando los clculos correspondientes.



Existen distintos mtodos y procedimientos para el clculo de las reas. En el presente captulo se estudiara el clculo de reas de figuras fundamentales. El mtodo del clculo de reas de polgonos por sus coordenadas, y los mtodos para superficies irregulares de los trapecios (o de Bezout) y el de Simpson se estudiaran ms adelante. En el clculo de reas de superficies de poca extensin, en donde se puede realizar el levantamiento mediante el empleo de cintas mtricas, la superficie se puede descomponer en figuras conocidas: como tringulos, rectngulos, u otras figuras elementales cuyas reas se pueden calcular mediante la aplicacin de frmulas sencillas. En la tabla se resumen las expresiones ms comunes para el clculo de figuras elementales.



1.2. ELEMENTOS DE TRIGONOMETRA

1.2.1. ngulos Un ngulo es la abertura o cantidad de rotacin que sobre un plano marcan dos semi rectas con un origen comn llamado vrtice. Topogrficamente, los ngulos se miden sobre el plano horizontal y sobre el plano vertical. Los ngulos que se miden sobre el plano horizontal se llaman ngulos horizontales y los que se miden sobre el plano vertical se llaman ngulos verticales. En topografa, se admite que un ngulo medido sobre un plano horizontal es positivo cuando gira en sentido horario. Los ngulos horizontales se clasifican en RUMBOS (), ACIMUTES ( ) Y ANGULOS DE DEFLEXION ( ), (figura 6). Los ngulos verticales se clasifican en CENITALES (), NADIRALES () y ANGULOS DE ALTURA (). (figura 7).



Figura 6. ngulos horizontales

Figura 7. ngulos Verticales

1.2.2. Relaciones trigonomtricas en un tringulo rectngulo: Sea el triangulo rectngulo ABC y con lados a, b y c, las relaciones trigonomtricas se observan en la tabla 1.



Tabla 1 Relaciones trigonomtricas fundamentales

TEOREMA DE PITAGORAS

c2 = a2 + b2



1.2.3. Relaciones trigonomtricas en un tringulo oblicuo Sea el triangulo ABC, de lados a, b y c; se deduce:

LEY DEL SENO

Senc

Senb

Sena

==

LEY DEL COSENO

cos2cos2cos2

222

222

222

abbacaccabbccba

+=

+=

+=

rea del tringulo

SenacAtSenbcAtSenabAt

2/12/12/1

===

1.3. PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Dada las coordenadas de los puntos 1, 2 y 3 mostrados en la figura 8 Punto Coordenada Norte Coordenada Este 1 1000 1000 2 1300 1250 3 1300 1525 Calcule:

a. Acimut, rumbo y distancia del alineamiento 1 2 b. Acimut, rumbo y distancia del alineamiento 2 3 c. Acimut, rumbo y distancia del alineamiento 2 1 d. Acimut, rumbo y distancia del alineamiento 3 2 e. ngulo de deflexin 2 f. rea del triangulo 1-2-3



Figura 8 Problema propuesto 1

2. Si se conoce: Acimut 3 1 = 613340; Acimut 3 2 = 1292700; Acimut 1 2 = 1984000 y el rea del

tringulo 1-2-3 = 9239.5952 m2, haga un esquema de la situacin y calcule la distancia 1 3 y la distancia 2 3 3. Con los datos de la figura 9, calcule la altura del edificio.


4. El alineamiento AB representa el eje de un puente en construccin. El punto A ha sido materializado en el terreno por medio de una estaca. Se sabe que el punto B debe estar ubicado exactamente a 35,00 m del punto A; pero, debido a que un obstculo impide medir directamente esta distancia, se ha escogido un punto auxiliar C a 48,325 m de A y se ha medido el ngulo =9527'32". Calcular el ngulo y la distancia que se debe medir desde el punto C hasta el punto B.




5. Calcule las coordenadas Norte y Este de cada uno de los puntos mostrados si se conoce que el rumbo de A1 a C3 es S 15E y las coordenadas del punto B3 son 500,600. Los puntos estn formando una cuadrcula separados 20 mts.

Figura 11. Problema Propuesto 5

6. Calcule los datos faltantes de la siguiente tabla:

ngulo Cenital ngulo Nadiral ngulo de elevacin 383040

203020 + 605050

1355600 1703810 - 304530 - 890020



7. Es necesario construir la Carrera 10 y la calle 100 de una gran ciudad. El lote con vrtices 1,2,3,4,5 representada en la figura 12 deber ser comprada parcialmente para el proyecto. Las dos vas a construir son perpendiculares entre si, y se debe cumplir con los siguientes criterios: 7.5 m a partir del eje de la carrera 10. 15 m a partir del eje de la Calle 100.

Se pide calcular:

a. rea actual del lote. b. La nueva rea del lote, teniendo en cuenta adems que su esquina noroeste debe ser redondeada con un

arco de circunferencia de radio R=15 m. c. El rea a expropiar del lote para la construccin de ambas vas.

Figura 12. Problema propuesto 7

INTRODUCCINELEMENTOS GEOMETRICOS Y TRIGONOMETRICOS APLICADOS EN TOPOGRAFIAELEMENTOS DE GEOMETRIASistema de coordenadas rectangularesSistema de coordenadas polares.Relaciones geomtricas entre ambos sistemasPropiedades de las lneas rectas paralelasPolgonos regularesClculo de reas

Elementos de trigonometrangulosRelaciones trigonomtricas en un tringulo rectngulo:Relaciones trigonomtricas en un tringulo oblicuo

Problemas propuestos

capitulo 1. geometria y trigonometria

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