Sección 1.8Funciones

Tomado de Matemáticas Discretas y sus Aplicaciones. Rosen Esteban Andrés Díaz Mina

El concepto de una función es importante en matemáticas discretas. Las funciones se usan para representar cuanto tiempo tarda un ordenador en resolver un problema de un tamaño determinado. Las funciones recursivas, que son funciones que se definen en términos de ellas mismas, se utilizan frecuentemente en ciencias de la computación.

Función

Definición 1Sean A y B conjuntos. Una función f de A a B es una asignación de exactamente un elemento de B a cada elemento de A. Escribimos f(a)=b, si b es el único elemento de B asignado por la función f al elemento a de A. Si f es una función de A a B, escribimos f: A→B.

Función

Definición 2 Si f es una función de A a B, decimos que A es el

dominio de f y B es el codominio de f.

Si f(a)=b, decimos que b es la imagen de a y a es una pre-imagen de b. El rango de f es el conjunto de todas las imágenes de elementos de A. también, si f es una función de A a B, decimos que f mapea A a B.

Composición de Funciones Definición 3Sea g una función desde el conjunto A al conjunto B y sea f una función desde el conjunto B al conjunto C.

La composición de las funciones f y g, denotado por f o g, está definida por (f o g)(a)= f (g(a)).

 Note que la composición f o g no puede ser definida a menos que el rango de g sea un subconjunto de el dominio de f.

Composición de Funciones

Ex1. Sea g la función desde {a, b, c} a si mismo, tal que g(a)=b, g(b)=c y g(c)=a. Sea f la función desde el conjunto {a, b, c} al conjunto {1,2,3}, tal que f(a)=3, f(b)=2 y f(c)=1. ¿Cuál es la composición de f y g, y cual es la composición de g y f?Sol. La composición f o g es definida por (f o g)(a)= f (g(a))= f (b)=2(f o g)(b)= f (g(b))= f (c)=1(f o g)(c)= f (g(c))= f (a)=3.Sin embargo, g o f no puede ser definida porque el rango de f no es un subconjunto del dominio de g.

Composición de FuncionesEx2. Sean f y g funciones de Z→Z definidas por f(x)=2x+3 y g(x)=3x+2. ¿Cuál es la composición de f y g ? ¿Cuál es la composición de g y f ? Sol.La composición f o g es definida por (f o g)(x)= f (g(x))= f (3x+2)=2(3x+2)+3=6x+7La composición g o f es definida por (g o f)(x)= g (f(x))= g(2x+3)=3(2x+3)+2=6x+11 Nota: del anterior ejercicio se puede verificar que aunque f o g y g o f están definidas, estas no son iguales, de ahí que las leyes conmutativas no se mantienen para la composición de funciones.

Funciones EspecialesDefinición 4 La función piso asigna al numero real x el entero

más grande que es menor o igual a x. El valor de la función piso en x es denotado por .

La función techo asigna al numero real x el entero más pequeño que es mayor o igual a x. El valor de la función techo en x es denotado por .

Funciones Especiales

Ex1. Los datos almacenados en un HD o transmitidos sobre una red de datos son usualmente representados como una cadena de bytes. Cada byte esta formado por 8 bits. ¿Cuántos bytes se requieren para codificar 100 bits de datos?

Sol. La respuesta a esta pregunta se limita a determinar el entero más pequeño que es mayor o igual que el cociente de 100 es dividido por 8 (el número de bits en un byte).

Por lo tanto, = 13 bytes.

Funciones Especiales Ex2: En un protocolo de transferencia dado, los datos

son organizados en celdas de 53 bytes. ¿Cuántas celdas pueden ser transmitidas en 1 minuto sobre un canal que trasmite datos a una velocidad de 500 kbs?.

Sol. Es claro en este canal se pueden transmitir 500.000*60=30.000.000 bits por minuto. Igualmente las celdas en dicho protocolo albergan 53*8=424 bits. La respuesta a esta pregunta consiste en hallar el entero más grande que no excede el cociente cuando 30.000.000 es dividido entre 424. Por lo tanto, =70.754 celdas que pueden ser transmitidas sobre dicho canal en un minuto.