capitulo 05 intersecciones
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GEOMETRÍA
DESCRIPTIVA
Segunda Edición
Geometría
Descriptiva
Autor:
Víctor Vidal Barrena
Universidad
Nacional de Ingeniería
CAPÍTULO
© 2014 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada
5 INTERSECCIONES
Rectas y Planos
© 2014 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
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INTERSECIONES
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4.1 INTERSECCIÓN DE RECTA CON PLANO.
Una recta interseca a un plano en un punto, que denominaremos “ Punto de Intersección ”.
En la figura siguiente se muestra a la recta MN que interseca al plano ABC en un punto de intersección I.
Existen dos métodos para
determinar el Punto de
Intersección:
Método de la vista de
Canto.
Método del Plano
Cortante.
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4.1.1 MÉTODO DE LA VISTA DE CANTO.
El Punto de Intersección se localiza en la intersección
de la Recta con la vista de Canto del Plano dado.
Existen dos casos:
Cuando se conoce la vista de Canto
Cuando no se conoce la vista de Canto.
1. CUANDO SE CONOCE LA VISTA DE CANTO
La Intersección de la vista de Canto del Plano dado
con la Recta dada determinan el punto de
Intersección.
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1. CUANDO SE CONOCE LA VISTA DE CANTO.
En la figura se
muestra las proyecciones
horizontal y frontal de la
Recta oblicua MN y al
Plano vertical ABC. Hallar
el Punto de Intersección
entre la Recta MN y el
Plano ABC
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1. CUANDO SE CONOCE LA VISTA DE CANTO
En la figura mostrada
y en la proyección
horizontal, la Recta
oblicua MN se corta con
la vista de canto del
Plano vertical ABC;
siendo P el Punto de
Intersección entre la
Recta MN y el Plano
ABC .
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1. CUANDO SE CONOCE LA VISTA DE CANTO
Visibilidad: en la
proyección frontal, cruce
de las rectas AC y MP, en
la vista horizontal AC se
encuentra delante de MP;
por lo tanto en el plano
frontal la recta AC es
visible y MP es visible
hasta que encuentre a la
recta AC, pasa por debajo
del Plano ABC, y sale
visible a partir del Punto
de Intersección P.
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2. CUANDO NO SE CONOCE LA VISTA DE CANTO
Para determinar el Punto de
Intersección entre una Recta y un
Plano, debemos proyectar al Plano
dado de Canto; en este plano de
proyección el plano de filo se corta
con la Recta dada; siendo el punto de
corte el Punto de Intersección.
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2. CUANDO NO SE CONOCE LA VISTA DE CANTO
En la figura
mostrada se presenta
las proyecciones
horizontal y frontal de
la Recta oblicua MN y
del Plano vertical ABC;
Hallar el Punto de
Intersección entre la
Recta MN y el Plano
ABC
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2. CUANDO NO SE CONOCE LA VISTA DE CANTO
Trazar en el
plano ABC la
recta horizontal
AQ, tal como se
observa en la
figura
mostrada.
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2. CUANDO NO SE CONOCE LA VISTA DE CANTO
Trazar el plano de
elevación H1 perpendicular
a la recta horizontal AQ del
Plano ABC; en este plano
de proyección el plano dado
se proyecta de canto.
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2. CUANDO NO SE CONOCE LA VISTA DE CANTO
En el plano de
elevación H1 la recta MN
y el Plano de canto ABC,
se cortan en el punto P;
siendo este punto el
“punto de intersección
buscado, la que
proyectamos a sus planos
principales.
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2. CUANDO NO SE CONOCE LA VISTA DE CANTO
Proyectar el punto de
intersección P al plano
horizontal hasta cortar a
la recta MN; desde este
punto trazar su línea de
referencia hacia el plano
frontal hasta encontrar el
punto P en la recta MN.
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2. CUANDO NO SE CONOCE LA VISTA DE CANTO
Visibilidad: En H:
cruce de las rectas AB y
MP, en el plano frontal
observamos a MP arriba
de AB, luego MP es visible
en el plano horizontal. En
F: cruce de las rectas BC y
NP, en el plano horizontal
encontramos a NP delante
de BC, luego NP es visible
en el plano frontal.
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4.1.2 MÉTODO DEL PLANO CORTANTE.
El Punto de Intersección entre
una Recta y un Plano esta situado
sobre la recta de intersección del
Plano dado y un Plano Cortante que
contenga a dicha Recta.
El Plano Cortante se traza en el
plano Horizontal o Frontal.
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4.1.2 MÉTODO DEL PLANO CORTANTE.
En la figura
mostrada se dan las
proyecciones horizontal
y frontal de la recta
oblicua MN y del Plano
ABC. Hallar el Punto de
Intersección entre la
Recta MN y el Plano
ABC .
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4.1.2 MÉTODO DEL PLANO CORTANTE.
En el plano
horizontal trazar
el plano cortante
PC de canto y que
contenga a la
Recta oblicua MN.
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4.1.2 MÉTODO DEL PLANO CORTANTE.
El plano
cortante de canto
PC corta a las
aristas AB y AC del
Plano ABC, en los
puntos D y E
respectivamente.
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4.1.2 MÉTODO DEL PLANO CORTANTE.
Los puntos D y
E la proyectamos al
plano frontal y en sus
aristas
correspondientes;
unimos estos puntos, y
esta recta se corta con
la recta MN en el
punto de intersección
P.
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4.1.2 MÉTODO DEL PLANO CORTANTE.
Proyectar al
punto de
intersección P,
desde el plano
frontal hacia el
plano horizontal,
hasta encontrar a la
recta MN.
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4.1.2 MÉTODO DEL PLANO CORTANTE.
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4.1.2 MÉTODO DEL PLANO CORTANTE.
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4.1.2 MÉTODO DEL PLANO CORTANTE.
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4.2 INTERSECCIÓN DE PLANOS.
La Intersección de dos Planos que no
son paralelos, es una Línea recta llamada “
Recta de Intersección ”, que contiene todos
los puntos comunes entre los dos Planos.
Se presentan dos tipos de intersecciones:
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1. POR PENETRACIÓN
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2. POR MORDEDURA
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MÉTODOS
Existen tres métodos para
determinar la Recta de Intersección.
Método de la Vista de Canto.
Método de los Puntos de Penetración.
Método del Plano Cortante.
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4.2.1 MÉTODO DE LA VISTA DE CANTO.
Este método se usa para Planos
Limitados y se conoce como el método del
Plano Auxiliar.
Existen dos Casos.
Cuando se conoce la Vista de Canto
Cuando No se conoce la Vista de Canto.
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1. CUANDO SE CONOCE LA VISTA DE CANTO.
En la figura mostrada
se presenta las
proyecciones horizontal
y frontal del Plano
vertical ABCD y el
Plano oblicuo RST,
Hallar la Recta de
Intersección PQ entre el
Plano vertical ABCD y
el Plano oblicuo RST.
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1. CUANDO SE CONOCE LA VISTA DE CANTO.
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1. CUANDO SE CONOCE LA VISTA DE CANTO.
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F
F
F
F
H
H
H
H
H
Q
H
Q
Q
H
H
P
P
P
A
B
C
P
A
B
C
P
A
B
C
1
H
H
F
1
R
T
R
S
T
R
S
T
1
1
1
11
1
1
1
1
F
FF
F
4.2.2 CUANDO NO SE CONOCE LA VISTA DE CANTO.
Para determinar la recta
de intersección entre dos
planos oblicuos debemos
trazar un plano auxiliar que
muestre ambos planos, uno
de ellos de canto; luego
este plano de canto corta al
otro plano en dos puntos,
determinando así la recta
de intersección.
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Se determina el punto de perforación donde una recta de uno
de los planos atraviesa al otro plano. Usando el mismo método
hallamos un segundo punto de perforación. Al unir estos dos
puntos de penetración determinan la recta de intersección entre
los dos planos.
B
C
RS
T
Y
U
V
1
2
2
3
4
4 PC-I
PC-II
3
1
4.2.3 MÉTODO DE LOS PUNTOS DE PENETRACIÓN.
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Se determina el punto de
perforación donde una
recta de uno de los
planos atraviesa al otro
plano. Usando el mismo
método hallamos un
segundo punto de
perforación. Al unir estos
dos puntos de
penetración determinan la
recta de intersección
entre los dos planos.
B
C
RS
T
Y
U
V
1
2
2
3
4
4 PC-I
PC-II
3
1
4.2.3 MÉTODO DE LOS PUNTOS DE PENETRACIÓN.
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1A
B
C R
S
T1
23
P
1A
B
C R
S
T
1
23
A
B
C
R
S
T2
3
45
6
PC-I
PC-II
456
F
H
P
Q
P
Q
H
F
H
F
H
F
H
F
H
F
H
F
H
F
H
F
Plano cortante
Dos planos oblicuos son cortados por un plano cortante según una
línea recta, que se intersecan en un punto común a ambos planos.
Similarmente un segundo plano cortante localiza otro punto común a
ambos planos. Estos dos puntos comunes al unirse por una recta,
determina la recta de intersección de los dos planos.
4.2.3 MÉTODO DE LOS PLANOS ILIMITADOS.
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1A
B
C R
S
T1
23
P
1A
B
C R
S
T
1
23
A
B
C
R
S
T2
3
45
6
PC-I
PC-II
456
F
H
P
Q
P
Q
H
F
H
F
H
F
H
F
H
F
H
F
H
F
H
F
Plano cortante
Dos planos oblicuos son
cortados por un plano
cortante según una línea
recta, que se intersecan
en un punto común a
ambos planos.
Similarmente un
segundo plano cortante
localiza otro punto
común a ambos planos.
Estos dos puntos
comunes al unirse por
una recta, determina la
recta de intersección de
los dos planos.
4.2.3 MÉTODO DE LOS PLANOS ILIMITADOS.
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Hallar la intersección de la recta LM con el plano TBCE, sin
utilizar planos auxiliares. Mostrar la visibilidad.
L(6,3,16) , M(6,9,12) ,
T(2,8,15) , B(8,8,15) , C(8,4,11) , E(2,4,11)
PROBLEMA 4.1.
1) Graficar los puntos dados según sus coordenadas indicadas.
2) Completar la proyección horizontal del rectángulo horizontal
ABCD; trazando AD paralelo a BC, y DC paralelo a AB.
Procedimiento:
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PROBLEMA 4.1: PROCEDIMIENTO
1) Trazar el plano cortante PC-I, y que pase por la recta MN
proyectada de punta en el plano horizontal; este plano cortante
corta al plano ABCD en los AD y BC, siendo los puntos de corte 1
y 2 respectivamente; las cuales la proyectamos al plano frontal,
unimos estos puntos y se cortan con la recta MN en el punto de
intersección I.
2) En el plano frontal y desde el punto B trazamos el plano cortante
PC-II, tal que pase por la recta PQ proyectada de punta; este
plano cortante corta al plano horizontal ABCD en B y 3, estos
puntos la proyectamos al plano horizontal y al unir B y 3, corta a
la recta PQ en el punto de intersección Y.
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PROCEDIMIENTO
5) Visibilidad en H; el cruce de
las rectas de las rectas PY y BC
en el plano frontal, BC está
arriba y PY está debajo; por lo
tanto es visible BC en el plano
horizontal.
6) Visibilidad en F: el cruce de
las rectas MI con BC, en el
plano horizontal MI esta
delante y BC está detrás; por lo
tanto es visible MI en el plano
frontal.
H
F
AH
BH
AF DF
NF
CF
MF
BF
CH
PH
MH
NH
DH
QH
QF
PF
PC-I
1
2
PC-II 3
3
1
2
IF
IH
YF
YH
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a
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EH
EF
LF
CF
TF
MF
BF
CH MH
BH TH
LH Procedimiento
6) Visibilidad en F: el cruce
de las rectas TB y EM; desde
punto de cruce trazamos una
perpendicular hacia el plano
horizontal y encontramos
primero a EM; por lo tanto es
visible EM en el plano
frontal; luego ML es visible
hasta el punto de intersección
I, como MI después sigue
invisible y sale visible cuando
pasa la recta EC.
PC I
1
2
3
4
H
F
1
2
3
4
PF
PH IH
IF
1°, 2°
2°
1°
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Se dan las proyecciones principales de la recta MN y el
plano oblicuo ABC. Hallar el punto de intersección. M(4, 7.5, 15.), N(4, 2, 9)
A(2, 6, 9), B(4, 3, 14), C(8, 7.5, 13)
PROBLEMA 4.2.
H
NH
CH
BH
AH
CF
BF
AF
MF
NF
13
9
7.5
6
3
2
2 4 8
15
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Problema.4.2: H
NH
CH
BH
AH
CF
BF
AF
MF
NF
13
9
7.5
6
3
2
2 4 8
15
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4 - 43
SOLUCION.- CON VISTA AUXILIAR
MH
NH
CH
BH
AH
CF
BF
AF
MF
NF
13
9
7.5
6
3
2
2 4 8
15
14C1
1
C1
M
M
1
1
I1
IH
IF
H
F
H
1
SOLUCION
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4 - 44
SOLUCION.- SIN VISTA AUXILIAR
MH
NH
CH
BH
AH
CF
BF
AF
MF
NF
13
9
7.5
6
3
2
2 4 8
15
14
IH
IF
H
F
SOLUCION
SIN VISTA
AUXILIAR
1
1
2
3
4
4
3
2
PC
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Hallar la intersección de la recta MN con el
plano ABC. Mostrar la visibilidad. M(2.5, 5 , 12), N(6.5, 2.5, 8.5).
A(1, 3 , 8), B(7, 4, 10). C(5, 15, 11).
PROBLEMA 4.3:
HF
2.5
5
HA
5
A
FC
2.5
12
FM
MH
6.5
8.5
FN
NH
AH
AF
8
3
1
10
4
7
B H
BF
1.5
11 HC
FC
GRAFICO DE
LOS PUNTOS
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PASO 1
HF
2.5
5
HA
5
A
FC
2.5
12
FM
MH
6.5
8.5
FN
NH
AH
AF
8
3
1
10
4
7
B H
BF
1.5
11 HC
FC
GRAFICO DE
LOS PUNTOS
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PASO 2
FM
MH
FN
NH
AH
AF3
B H
BF
HC
FC
HX
HY
YF
XF
2.5
5
5
92.5
12
6.5
8.5
8
1
10
4
7
1.5
11
PASAMOS UN
PLANO
VERTICAL POR
LA RECTA MN
QUE CORTA AL
PLANO ABC EN
X e Y
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PASO 3
FM
MH
FN
NH
AH
AF
B H
BF
HC
FC
HX
HY
YF
XF
I F
2.5
5
5
9
12
6.5
8.5
8
3
10
4
7
1.5
11
2.51
UNIMOS X e Y.
DONDE CORTA
A LA RECTA MN
ESTA EL PUNTO
DE
INTERSECCION.
I.
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PASO 4
FM
MH
FN
NH
AH
AF
B H
BF
HC
FC
HX
HY
YF
XF
I F
HI
2.5
5
5
92.5
12
6.5
8.5
8
3
1
10
4
7
1.5
11
SE LLEVA EL
PUNTO I DE
INTERSECCION
AL PLANO
HORIZONTAL Y
SOBRE LA
RECTA MN.
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PASO 5
FM
MH
FN
NH
AH
AF3
B H
BF
HC
FC
HX
HY
YF
XF
I F
HI
2.5
5
5
92.5
12
6.5
8.5
8
1
10
7
1.5
11
MN ARRIBA VIS EN H.
AC DEBAJO INV EN H.
VISIBILIDAD EN EL PLANO
HORIZONTAL
CRUCE DE LA RECTA AC Y MN
4
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4 - 51
PASO 7-SOLUCION FINAL
FM
MH
FN
NH
AH
AF3
B H
BF
HC
FC
HX
HY
YF
XF
I F
HI
CF
NF
AF
HA
H
MF
FI
FB
NH
HM
C
I
H
HB
2.5
5
5
9
12
6.5
8.5
8
1
10
4
1.5
11
2.5
SOLUCION COMPLETA
SOLUCION
SOMBREADA
7
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nd
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PROBLEMA 4.4.
Hallar la intersección de la recta MN y el plano ABCD .
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nd
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SOLUCION: PASO 1.-
DE LOS EXTREMOS DE LA
RECTA MN. SE FORMA UN
PLANO CON CUALQUIER
VERTICE DEL PLANO,
FORMAR EL PLANO MND, Y
,TRAZAR EL PLANO
CORTANTE . QUE CORTA AL
PLANO ABCD, EN 1 Y 4, Y AL
PLANO MND EN 2 Y 3.
PROYECTAR AL PLANO
FRONTAL,Y UNIR 1,4 Y 2,3 ,
POR EL PUNTO DE CORTE Y
DESDE EL VERTICE D, SE
PROYECTA LA RECTA HASTA
CORTAR A LA RECTA MN EN
EL PUNTO I, PEDIDO.
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PASO 2.-
DESDE EL
VERTICE D. SE
TRAZA UNA
RECTA QUE
PASE POR EL
CORTE DE LA
RECTAS 1,4 Y
2,3. HASTA LA
RECTA MN EN I
, LUEGO SE
PROYECTA AL
PLANO
HORIZONTAL
EN MN.
Se llevan los
puntos a la vista
frontal y se unen
1,4 con 2,3
cortándose en
un punto desde
donde se pasa
una recta desde
el vértice hasta
que corte ala
recta MN en I.
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VISIBILIDAD EN EL PLANO HORIZONTAL.
SE TOMA EL CRUCE
ENTRE LA RECTA 1,4
CON MI, SE OBSERVA
QUE MI ESTA DEBAJO ,
Y 1,4. ARRIBA
ENTONCES DE M
HASTA I ES INVISIBLE
EN EL PLANO
HORIZONTAL.
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VISIVILIDAD EN EL PLANO FRONTAL.
SE TOMA UN CRUCE
DE LA RECTA 1,4 Y MI
EN EL PLANO
FRONTAL.
DENOTANDO QUE 1,4
ESTA DELANTE Y MI
DETRAS. ENTONCES,
MI ES INVISIBLE EN EL
PLANO FRONTAL.
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Solución completa
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4 - 58
Se dan las proyecciones principales de los planos
ABCD y PQR . Hallar la intersección y mostrar la
visibilidad.
A(9, 2.5, 16), B(9, 7 , 12), C(2, 9.5, 14.5), D(2, 5 , 18.5)
P(2, 2.5, 12), Q(4.5, 9.5, 18), R(11, 6, 15).
PROBLEMA 4.5:
BF
FC
CH
AH
FA
B H
DH
FD
FP
HP
HQ
Q F
RH
RF
2.5
1194.5
12
8.5
16
6
2
7
9.5
14.5
18.518
15
5
GRAFICO DE LOS
PUNTOS
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PASO 1
BF
FC
CH
AH
FA
B H
DH
FD
FP
HP
HQ
Q F
RH
RF
2.5
1194.5
12
8.5
16
6
2
7
9.5
14.5
18.518
15
5
GRAFICO DE LOS
PUNTOS
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4 - 60
PASO 2
BF
FC
CH
AH
FA
B H
DH
FD
FP
HP
HQ
Q F
RH
RF
2.5
1194.5
12
8.5
16
6
2
7
9.5
14.5
18.518
15
5
UNIR LOS
PUNTOS PARA
FORMAR LOS
PLANOS ABC. Y
PQR
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PASO 3
BF
FC
CH
AH
FA
B H
DH
FD
FP
HP
HQ
Q F
RH
RF
12
3
4
4
3
1
2
i
i
PC-1
2.5
1194.5
12
8.5
16
6
2
7
9.5
14.5
18.518
15
5
SE TRAZA EL
PLANO
CORTANTE 1
PARA OBTENER
EL PRIMER
PUNTO DE PASO
DE LA RECTA DE
INTERSECCION
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PASO 4
BF
FC
CH
AH
FA
B H
DH
FD
FP
HP
HQ
Q F
RH
R F
12
3
4
4
3
1
2
PC-1
i
i
6
7
5
8
6
7
8
6
5
i
i
PC-2
2.5
1194.5
12
8.5
16
6
2
7
9.5
14.5
18.518
15
5
SE TRAZA EL
PLANO
CORTANTE 2
PARA OBTENER
EL SEGUNDO
PUNTO DE PASO
DE LA RECTA DE
INTERSECCION
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PASO 5
6
BF
FC
CH
AH
FA
7
B H
DH
FD
FP
HP
HQ
Q F
RH
R F
12
3
4
4
3
1
2
PC-1
i
i
6
7
5
8
6
7
8
6
5
i
i
PC-2
F
H
H
F
2.5
1194.5
12
8.5
16
2
9.5
14.5
18.518
15
5
SE UNEN LOS
PUNTOS DE PASO
Y SE OBTIENE LA
RECTA DE
INTERSECCION II'
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PASO 6
BF
FC
CH
AH
FA
B H
DH
FD
FP
HP
HQ
Q F
RH
R F
12
3
4
4
3
1
2
PC-1
i
i
6
7
5
8
6
7
8
6
5
i
i
PC-2
F
H
H
F
2.5
1194.5
12
8.5
16
6
2
7
9.5
14.5
18.518
15
5
CRUCE DE PR y BC
BC ARRIBA VIS EN H
PR DEBAJO INV EN H
VISIBILIDAD EN
EL PLANO
HORIZONTAL
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PASO 7
BF
FC
CH
AH
FA
B H
DH
FD
FP
HP
HQ
Q F
RH
RF
12
3
4
4
3
1
2
PC-1
i
i
6
7
5
8
6
7
8
6
5
i
i
PC-2
F
H
H
F
CRUCE DE PR y AD
AD DETRAS INV EN F
PR DELANTE VIS EN F
2.5
1194.5
12
8.5
16
6
2
7
9.5
14.5
18.518
15
5
VISIBILIDAD EN
EL PLANO
FRONTAL
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PASO 8
BF
FC
CH
AH
FA
B H
DH
FD
FP
HP
HQ
Q F
RH
RF
12
3
4
4
3
1
2
PC-1
i
i
6
7
5
8
6
7
8
6
5
i
i
PC-2
F
H
H
F
2.5
1194.5
12
8.5
16
6
2
7
9.5
14.5
18.518
15
5
SOLUCION
COMPLETA
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PASO 9.-SOLUCION FINAL
PF
F
DF
AF
F
RF
BF
P H
CF
HC
H
DH
HR
Q F
H
B H
QH
AH
D
C
C
P
D
FP
R
AF
F
F
F
FB
F
H
QF F
H
H
B H
H
H
HQ
A
H
RH
PF
AF
DF
F
F
BF
C
FC FQ
P H
H
B H
H
HDHQ
H
AH
FR
RH
SOLUCIONES SOMBREADAS
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nd
a
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ició
n
Víctor Vidal Barrena
Determinar la intersección de los planos ABCD-
PQR. Mostrar la visibilidad del conjunto.
A(9, 2.5, 16), B(9, 7, 12), C(2, 9.5, 14), D(2, 5, 18)
P(4.5, 9.5, 19), Q(4.5, 2.5, 12), R(12, 6, 15).
PROBLEMA 4.6:
14
9
2.5
AF
BH
BF
12
7
9.5
CH
FC
2
FD
5
DH
HA
4.5
RH
FR
15
12
HS
HT
FT
SF
18
19
16
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SOLUCION. GRAFICO DE LAS COORDENADAS
14
9
2.5
AF
BH
BF
12
7
9.5
CH
FC
2
FD
5
DH
HA
4.5
RH
FR
15
12
HS
HT
FT
SF
18
19
16
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SOLUCION.
14
9
2.5
AF
BH
BF
12
7
9.5
CH
FC
2
FD
5
DH
HA
4.5
RH
FR
15
12
HS
HT
FT
SF
PC
-1
PC
-21
2
3
4
13
4
2
5
6
7
8
58
6
7
IFFI´
IH́
HI
18
19
16
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PROBLEMA 4.7:
Hallar la intersección entre los cuadriláteros TBCE
y PQRS, sin utilizar vistas auxiliares.
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SOLUCION. Paso 1.- Se trazan planos cortantes
SE TRAZA DOS PLANOS CORTANTES,
CADA UNO DE ELLOS NOS DA UN
PUNTO DE PASO DE LA RECTA DE
INTERSECCION.
PLANO CORTANTE 1 .
CORTA AL PLANO TBCE.
EN EL PUNTO 1 Y 4 .
Y AL PLANO PQRS. EN LOS
PUNTOS , 2 Y 3.
EL PLANO CORTANTE 2, CORTA AL
PLANO TBCE. EN 5 Y 8, Y AL PLANO
PQRS EN 6 Y 7.
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PASO.-2
SE UNEN LOS PUNTOS 2 Y 3 DEL
PLANO PQRS. Y LOS PUNTOS 1 Y 4 DEL
PLANO TBCE. DEL MISMO MODO 5 Y 8
DEL PLANO TBCE. Y LOS PUNTOS 6 Y 7
DEL PLANO PQRS.
SE UNEN Y SE PROYECTAN LOS
CRUCES DE LAS RECTAS 1,4 Y 2,3
CON EL CRUCE DE 6,7 Y 5,8 EN
CONTRANDO LA RECTA DE
INTERSECCION DE LOS PLANOS
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PASO 3.-Tenemos la recta de intersección
PARA HALLAR LA RECTA DE
INTERSECCION EN EL PLANO
HORIZONTAL SE LLEVA LOS
PUNTOS , i . DE CORTE A SU
PLANO CORTANTE,
PROYECTANDO LA RECTA DE
INTERSECCION EN EL PLANO
HORIZONTAL.
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gu
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PASO 4. Visibilidad en el plano horizontal
TOMAMOS EN EL
PLANO HORIZONTAL
EL CRUCE ENTRE LA
RECTA 1,4. CON PQ. Y
PROYECTAMOS AL
PLANO FRONTAL
NOTAMOS QUE PQ
,ESTA DEBAJO Y 1,4
ESTA ARRIBA ,
ENTONCES PQ ES
INVISIBLE EN EL
PLANO HORIZONTAL.
TOMAMOS EN EL
PLANO FRONTAL EL
CRUCE ENTRE LAS
RECTAS SR, CON
5,8., SE PROYECTA
AL PLANO
HORIZONTAL I
NOTAMOS QUE SR.
ESTA DELANTE,
ENTOCES SR , ES
VISIBLE EN EL
PLANO FRONTAL.
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PASO 5.-Visibilidad.
SOLUCION
COMPLETA. POR
PENETRACION.
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SOLUCION FINAL SOMBREADA.
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PROBLEMA 4.8:
Determinar la intersección de los planos ABCD y
PQR. Mostrar la visibilidad de la intersección.
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PROBLEMA 4.8: SOLUCION
PASO 1.- Trazamos planos cortantes como el caso anterior
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PASO 2.-Unimos los puntos y trazamos la recta de intersección
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PASO 3.- Analizamos la visibilidad . En el plano horizontal
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PASO 4.- Analizamos la visibilidad en el plano horizontal
RESULTADO
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PASO. 5.-Analisamos la visibilidad en el plano frontal.
PARA LA
VISIBILIDAD EN EL
PLANO FRONTAL
ESCOJEMOS UN
CRUCE DE UNA
RECTA DE CADA
PLANO. EN PLANO
FRONTAL
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PASO. 6.-
SOLUCION FINAL.
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PASO 7.-
SOLUCION SOMBREADA.
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PASO 8.-
SOLUCION SOMBREADA.
SOMBREADO FINAL
CASO POR MORDEDURA POR
ESTAR LOS PUNTOS DE
INTERSECCION UNO EN CADA
PLANO.
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PROBLEMA 4.9:
4 - 87
Hallar la intersección y visibilidad entre los planos ABC y PQR.
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SOLUCION.- PASO1
METODO DEL PUNTO
DE PENETRACION. SE BUSCA UNA RECTA
DE UNO DE LOS PLANOS
QUE PENETRE AL OTRO
PLANO. DEL MISMO
MODO SE BUSCA EL
OTRO PUNTO,
ENCONTRANDO LA
RECTA DE
INTERSECION.
LA BUSQUEDA ES POR
INSPECCION. NOTAMOS
AB, CORTA AL PLANO
ESTAS EN EL PLANO
FRONTAL NO CORTA A LA
RECTA AB. PASAMOS A
BUSCAR OTRA RECTA.
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PASO 2.-
POR INSPECCION
TOMAMOS LA
RECTA PQ , DEL
PLANO PQR. QUE
CORTA AL PLANO
ABC. EN XY,
LUEGO SE
PROYECTA AL
PLANO FRONTAL Y
SE UNEN,
NOTAMOS QUE LA
UNION XY, CORTA
A LA RECTA PQ EN
I ENCONTRANDO
EL PUNTO DE
INTERSECCION.
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PASO 3.-
DEL MISMO MODO
TOMAMOS LA
RECTA BC. QUE
CORTA AL PLANO
PQR. EN WZ. SE
PROYECTA AL
PLANO FRONTAL, Y
LA UNION DE WZ,
CORTA A LA RECTA
BC, EN I ,
ENCONTRANDO EL
OTRO PUNTO DE
INTERSECCION. LA
UNION DE ESTOS
NOS DA LA RECTA
DE INTERSECCION.
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PASO 4.-
TENEMOS LA
RECTA II DE
INTERSECCION.
HALLAMOS LA
VISIBILIDAD.
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PASO.5.-
SE TOMA UN
CRUCE ENTRE
LAS RECTAS
AC-QR. DE CADA
PLANO, SE
PROYECTA UNA
RECTA AL PLANO
HORIZONTAL
ENCONTRANDO
PRIMERO LA
RECTA QR. QUE
SERA VISIBLE EN
EL PLANO
HORIZONTAL.
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PASO 6.-
EN PLANO
FRONTAL , SE
TOMA EL CRUCE
ENTRE QR-BC. SE
LLEVA UNA RECTA
AL PLANO
HORIZONTAL Y SE
NOTA QUE QR
ESTA DELANTE
ENTONCES SERA
VISIBLE QR, EN EL
PLANO FRONTAL Y
BC ES INVISIBLE.
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PASO 7.- SOLUCION POR MORDEDURA
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PROBLEMA 4.10.-
4 - 95
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SOLUCION.- PASO 1.- EL METODO DE LA VISTA AUXILIAR
COMO LOS PLANOS ESTAN
FORMADOS POR RECTAS
ORTOPERFIL , YA ESTAN EN
V.M. EN PLANO HORIZONTAL
Y FRONTAL , SE PUEDE
LLEVAR DE CANTO LOS DOS
PLANOS , TRAZANDO EL
PLANO H1 PERPENDICULAR
A ESTAS RECTAS.
LA RECTA DE
INTERSECCION
SE UBICA EN
EL CORTE DE
LOS PLANOS
DE FILO
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PASO 2.-
SE PROYECTA LA RECTA DE
INTERSECCION AL PLANO
HORIZONTAL CAENDO LOS
PUNTOS DE INTERSECCION
SOBRE LAS RECTAS , PS. y BC.
QUE EN EL PLANO FRONTAL SE
SE UBICAN CON LAS COTAS.
4 - 97
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PASO 3.-
NOTAMOS QUE LAS RECTAS AB, EN
VISTA 1. DEL PLANO ABCD, ESTA MAS
CERCA AL PLANO H1. ENTONCES
SERA VISIBLE EN EL PLANO
HORIZONTAL, DEL MISMO MODO
PODEMOS DECIR DE LA RECTA RS
DEL PLANO PQRS , TAMBIEN SERA
VISIBLE POR ESTAR MAS CERCA AL
PLANO H1.
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PASO.4.-
DELANTE
DELANTE
LAS RECTAS RS Y CD
ESTAN DELANTE ,
OBSERVADAS EN VISTA 1,
POR LO TANTO SERAN
VISIBLES EN EL PLANO
FRONTAL .
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PASO 5.-
SOLUCION FINAL POR
MORDEDURA
SOLUCION SOMBREADA
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PROBLEMA 5.11.
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Hallar la intersección del plano JKL con el plano ABCD y
mostrar su visibilidad ; sabiendo que le plano JKL tiene
una orientación N34ºE y pendiente del 85%NO, y el plano
ABCD tiene una orientación S70ºO y pendiente del
110%SE. Resolver con vistas auxiliares.
J(7,4,10), K(8.5,1,-), (12,6,-);
A(13,3,13.5), B(9.5,7,-), C(6.5,5.5,-), D(10,1.5,-)
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PASO 1.-
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PASO 2.-
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PASO 3.-
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PASO 4.-
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PASO 5.-
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Solución sombreada por mordedura.-