MTODOS NUMRICOS

TEMA 1 APROXIMACIN NUMRICA, ERRORES SOLUCIN NUMRICA DE ECUACIONES ALGEBRAICAS Y TRASCENDENTES

INTRODUCCIN

Los mtodos numricos son tcnicas mediante las cuales se pueden resolver problemas representados en forma matemtica usando operaciones aritmticas elementales +, -, *, /, radicacin. El papel de los mtodos numricos en la solucin de problemas de ingeniera se ha incrementado considerablemente con el desarrollo y avance de las computadoras digitales

Computadora: dispositivo que permite procesar informacin

Historia:

Abaco (Egipto y China)

Mquina sumadora de Pascal (1642)Suma y resta

Calculadora mecnica de Leibnitz (fines del siglo XVII)

40sComputadoras electrnicas (tubos al vaco)ENIAC DCADA DE LOS 40S INTEGRADORA NUMERAL Y COMPUTADO9RA

TRANSISTORES (1960)

CIRCUITOS INTEGRADOS (CHIPS 1970)

COMPUTADORAS PERSONALES PC SUPER , MINI, MICRO, ETC

UN PROGRAMA es un conjunto de instrucciones ordenadas que el usuario da a una computadora

SOFTWARE. Programas y paqueteras

HARDWARE. Elementos fsicos: teclado, monitor, disco duro, drives, ratn, dvd, quemador, scanner, etc, plotter, usb

ALGORITMO. Secuencia lgica de pasos necesarios para resolver un problema, debe tener un nmero finito de pasos, ser lo ms general posible para tratar cualquier caso particular, debe ser determinstico, es decir no dejar nada al azar.

DIAGRAMA DE FLUJO es una representacin grfica del algoritmo

SIMBOLOGA.

Tarea 1 HACER EN EL CUADERNO O NOTAS DE CLASE, UN BREVE RESUMEN DE LA HISTORIA DE LA COMPUTADORA, INVESTIGAR PRINCIPALES INSTRUCCIONES EN LENGUAJE C, SIMBOLOGA DE DIAGRAMAS DE FLUJO Fecha INICIO REVISIN DE CUADERNOS: VIERNES 7 DE FEBRERO DEL 2014

APROXIMACIN NUMRICA

Los mtodos numricos constituyen una aproximacin numrica a la solucin exacta del problema debido a que al auxiliarse de las calculadoras y/o computadoras para realizar los clculos se originan errores porque dichos aparatos trabajan con un nmero determinado de cifras.

TIPOS DE ERRORES

ERRORES INHERENTES. (PROPIOS DE LOS DATOS) Son de apreciacin ocurren al medir, leer, transmitir o reproducir la informacin

ERRORES POR TRUNCAMIENTO. Se presentan al utilizar series en los clculos debido a que las series tienen un nmero infinito de trminos y al hacer clculos con ellas slo se usan un nmero finito de ellos y se truncan los dems. Ocurren tambin cuando se usan nmeros irracionales e, , 2, etc.

ERRORES DE REDONDEO. Se presentan debido a que no siempre es posible utilizar todos los dgitos involucrados en las operaciones.

REGLA DEL REDONDEO (SIMTRICO) Si el valor del dgito posterior a la ltima cifra decimal que puede usarse es mayor o igual a 5 se agrega una unidad a dicha ltima cifra, en caso contrario el nmero no se aumenta.

Si se desprecian los dgitos siguientes al ltimo a considerar, se le llama REDONDEO TRUNCADO o truncar

Ejemplo

Dado 9.5249915949954368

decimales Redondear Truncar

876543210

Cmo se cuantifica el error?

x: valor realx1: valor aproximado

Error. Diferencia entre valor real y el valor aproximado

La magnitud del error se puede obtener con los conceptos de error absoluto y error relativo

Error absoluto. Diferencia en valor absoluto del valor real y del aproximado

, si es cantidad fsica, tiene dimensiones

Error relativo. Es el cociente en valor absoluto del error absoluto y el valor exacto. Se expresa generalmente en porcentaje.

, en decimales

, en % Si es cantidad fsica, no tiene dimensiones

Ejemplos:

El nmero e con 5 cifras decimales es igual a 2.71828,

a) Proponga una funcin que permita estimar al nmero eb) Aproxime la funcin anterior con ayuda de la serie de Taylorc) obtener el error absoluto y el error relativo que se comete al tomar : a) un trmino b) dos c) tres d)cuatro e) ocho de la serie

ARITMTICA DE PUNTO FLOTANTE

UN NMERO DE PUNTO FIJO. Es un entero, puede ser cero o cualquier nmero positivo o negativo menor que 32768, ejemplos : -5, 34, 10000,3, 0,

NMERO DE PUNTO FLOTANTE son nmeros reales, aquellos que se pueden representar como un nmero comprendido entre 0.1 y 1.0 multiplicado por una potencia de 10, similar a la notacin cientficaEjemplos

0.0, 6.0 5.24. 0.000287, 15.016, 15E6

No son nmeros de punto flotante: 12,345.6 , 234, 2E7. E5 (no tiene mantisa)

Cuando se expresa como un nmero entre 0.1 y 1.0 (sin incluirlo) y el primer dgito de la mantisa es diferente de cero se le llama nmero de punto flotante normalizado

Las mquinas realizan internamente la alineacin de los puntos decimales al realizar las operaciones aritmticas, siendo esto la aritmtica de punto flotante; se hace la comparacin respecto a la mayor potencia y se indican los nmeros respecto a dicha potencia, , se hace la suma y si la mquina slo puede manejar hasta cierto nmero de dgitos, efecta un error.

Dos nmeros exactos pueden producir una cantidad con error cuando se hacen operaciones; por ejemplo consideremos una calculadora ficticia que slo puede presentar mantisa normalizada de 4 dgitos y que redondea simtricamente a= 0.2222x100, b=0.9999x100, sumndolos dan la cantidad c=a+b=1.2221x100; al presentarlo como nmero de punto flotante normalizado: c=0.1222x101 introduce un redondeo simtrico

PROPAGACIN DEL ERROR

Si se realizan operaciones aritmticas consecutivas, los errores se pueden aumentar o disminuir segn la operacin de que se trate; lo cual trae efectos en las operaciones siguientes.

EXPRESIONES PARA CALCULAR EL ERROR EN LAS OPERACIONES ARITMTICASSean x, y dos cantidades con errores ex, ey, y sus aproximaciones x1, y1

SUMA

x+y=(x1+ex)+(y1+ey)

(x+y)-(x1+y1)=ex+ey

ex+y=ex+ey

RESTA

De manera similar

ex-y=ex - ey

MULTIPLICACIN

xy =( x1+ex)*(y1+ey)=x1y1+eyx1+exy1+exey

xy-x1y1= x1ey+y1ex+exey

exy=x1ey+y1ex+exey ; si ex y ey tienden a cero, exy=x1ey+y1ex

DIVISION

(x/y)=((x1+ex)/(y1+ey))*(y1-ey)/(y1-ey); simplificando se obtiene

ex/y=(1/y1)ex-(x1/y12)ey; despreciando los productos de errores

Estas expresiones se pueden usar cuando se trabaja con cantidades medidas

El error Mximo en una variable funcin de dos o ms variables f(x,y,z,.) puede aproximar con el concepto de la diferencial total:

Para garantizar que se calcula el error mximo se hace la suma de los valores absolutos de cada trmino de la ecuacin anterior.

Error relativo deseado

Scarborough , 1966, si el siguiente criterio se cumple, se tiene la seguridad de que el resultado es correcto en al menos n cifras significativas:

El error de truncamiento en la serie de Taylor no excede de:

Error de propagacin en una funcin de n variables

En cantidades medidas

Resolucin:

Mnima divisin de la escalaMximo error en una medicin=resolucin /2

Por ejemplo, un reloj con marcas a cada minuto, resolucin=1 minuto emxt=0.5 minCinta mtrica graduada al mm; resolucin 1 mm, error mximo en la longitud=0.5 mm

Con el puro valor, si est bien reportado, podemos saber la resolucin y el mximo error en la medicin:

Por ejemplo:

2 m, resolucin 1 m, error mximo en la longitud=0.5 m

2.1 m resolucin 0.1 m, error mximo en la longitud=0.05 m

2.4 m resolucin 0.1m , error mximo en la longitud=0.05 m

Para calcular el error mximo en el permetro de una poligonal:

P= l1+l2+l3+...+ln

Eemxp= emxl1+emxl2+emxl3+...+lmxln

Es decir si se conocen las longitudes medidas, se puede obtener la resolucin del aparato y el mximo error en el mismo, as que se puede calcular el mximo error en el permetro

Tambin para otras cantidades por ejemplo el producto para un rea

A=BH; error mximo en el rea emxaA=BemxH+HemxB + emxBemxHEtc,

Para cocientes por ejemplo Presin= |Fuerza|/reaEtc.

Para el error absoluto tambin se pueden usar las expresiones anteriores, tomando en cuenta los errores absolutos.ex+y=ex+eyex-y=ex - eyexy=x1ey+y1ex ex/y=(1/y1)ex+(x1/y12)ey; despreciando los productos de errores

CONVERGENCIA Y ESTABILIDAD

Un mtodo mtodo numrico es convergente cuando tanto:

Y

O bien

En caso contrario ser DIVERGENTE

Un mtodo numrico CONVERGENTE ser ESTABLE si la variacin del error (absoluto o relativo) respecto al nmero de iteraciones es aproximadamente LINEAL

Ser INESTABLE si la variacin del error (absoluto o relativo respecto al nmero de iteraciones es aproximadamente EXPONENCIAL

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