cap_8_circuitos de corriente alterna - resonancia

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CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA • RESONANCIA

CIRCUITO SERIE L-C

En este circuito se ar1gina una con1ente oscilatoria armónica dada por

I(!) = Iocos(rool+S)

donde

lo : amplitud de oscilación.

S : éngulo de fase.

O) o : frecuencia a ngular de oscilación.

I LC

2x = 2xJ =, f : frecuencia natural del circuito.

CIRCUITO SERIE R-L-C CON lem CONTINUA

En este caso, la coniente es oscllator1a amortiguada y esla dada por

I(!) = loe - R u2L ooS(IJl'l+O)

en donde

uf =

y además

, R' 00 --- = o 4 L2

R' 4 L'

I <

LC

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288 FUNDAMENTOS DE FISICA SUPERIOR

La constante de tiempo de un circuito R-L-C es

ro = 2L IR

Los casos que se presentan son:

R' 1) -- <

4 L ' L 1C : OSCILATORIO AM ORTIGUADO

R' 111

4 L'

_R ' lit)

4 L'

::: L1C: CRlllCAMENlE AMO RTIGUADO

> L1C: SODREAMORTIGUADO

CIRCUITO SERIE R-L-C CON lem ALTERNA

Tom¡;¡ndo en cuenta la solución de estado estable, ya que la solución tra nsitoria se reduce a cero en un tiempo muy corto, la corriente es

en donde

1 ;; Iooos ( rot - cp)

tan cp ::: roL - l / me R

La Impedancia de este circuito está dada por

Z = VrR~' -+-(-ro-L--_--I-I-ro-C--)~'

H

e

y es semejante a la resistencia R de un circuito de comente continua.

Entonces

Zo 1 = ZCOS(W[-ql)

FASORES y REACTANCIAS

ICAP 22

- Los voltajes en la Inductancla y en la capacitancia no están en fase en tre 51. ni con la corriente. '

- 1-'\ corriente del circuito, la Jem y las te nsiones de resisten cia , Inductancla y capacitancia son cantidades que varlan sinusoid al mente con la misma frecuencia, pero con diferentes amplitudes y fases.

- La amplitud de la tensión de resistencia es lo R Y está en fase con la coniente.

- La a mplllud de la tensión de Inducta ncla es lo ro L. y la coniente en un Inductor se

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CAP. 22) CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA· RESONANCIA 28.

atrasa 90° a su voltaje terminal.

La reactancla inductiva está dada por XL = ro L.

- La amplltud de la tensión de capacitancia es lo/ro e, y la corriente en un capacitar se adelanta 90° a su voltaje terminal.

La reactanc:la capacitiva está dada por X e == 11m C.

POTENCIA EN CIRCUITOS DE C. A.

La poten cia media se define como

donde T es el perlodo de oscilación .

La potencia media entregada a u n elemento de circuito está d ada por

P = Irm1<6V,.,..,. cos S

don de

Irms = 10/".[2 = le¡

6 Vr"", = I1Vo/ {2 = tJ.Vt:.f

cos S : Factor de potencia (m . A contin uación se mencionan los factores de potencia de algu nos elementos Ideales de circuitos de C. A.

}.. RESISTOR: La tensión y la corriente están en fase; en tonces

o = O y l'P = 1

2. - INDUCTOR: El voltaje se adelanta 90° a la corrien te: en ton ces

S=n:/2 y FP = O

3. - CAPAC ITOR: El voltaje se atrasa 90c a la com ente; en tonces

/) = - Tt/2 Y FP = O

4. -En el caso de un generador que proporciona u naJem al circuito R-L-C, la comente se atrasa al voltaje un á ngulo de fase ~: entonces el fa ctor de potencia es ,

FP = COS~ = R/Z

R es la resistencia y Z es la impedancia total del circuito.

La potencia que proporciona u n generador es tá dada por

P = Irms 'Lrms cos (¡l = I,ms 'J.:,.ms RIZ

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290 FUNDAMENTOS DE FISICA SUPERIOR [CAP. 22

P = 'rms< ~Z ) R

2 = l,ms n

Como la polen cla en el res ls tor es 15 = [ 2 R: slgnlnca que toda la energia se d is ipa ,~

por efecto de ca lenta miento J oule . mientras que en el Ind u clor y en el ca pa cltor n o h ay t ransferencia media d e energla.

PREGUNTAS

1. ¿Qu! ventajas tiene utU17.ar comente alterna en vez de corriente continua

(o directa) en Jos sistemas eléctricos comerciales?

Rpta.: Una de las ventajas es que con comente al terna se tiene una relativa facilidad y a lt a eficien cia para convertir voltajes por medio de trans formadores.

Otra de las ven tajas es que en Jos circuitos de corriente alterna las pérdidas por calentamiento Joule son menores que en el caso de corriente continua.

2 . Demuestre que la constante de tiem-po en un circuito R-L-C en seMe tlene

las dimensiones de segundos.

Rpta.: La cons tante de tiempo para este circuito se considera t o '" 2 V R.

Oimensionalmente

I '" I :

3. Describa las caracterlsllcas fislcas del circuito R-L-C en serie con una

fern alterna aplicada. y slnfcm. pero con una ca rga inicial en el capacitar.

Rpta.:

R

Interruptor e ee ... do .J l

¡---~

El capacltor cargado se comporta como una fuente de tensIón contlnua que varía en el tiempo. (d is minuye).

La corriente que fluye en el circuito. en fu ncIón del tiempo. es

l ( t) '" Iae-HI12LcoS(OO't+Ó)

donde

ro' _/_1 _~ - Le 4L2

- CASO 1: n < 2..J ve La cantidad 00' es real y la corriente es oscHatoria amortiguada.

- CASO 11 : R '" 2" ve ro' '" o: entonces la corriente decrece exponencialmente con el tiempo.

I(!) = 'oe-Rt/L

(comente rrlllramente a mortiguada).

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CAP.22J CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA· RESONANCIA 291

- CASO 111:

00' < O: la solución pertenece al campo de los números complejos y se dice que la comente está sobreamorUguada.

l(t)

Oadl.torio Amortig .... do

Crftit.lMntol .mortl¡u.do

Es necesar10 aclarar que la gráfica de la comente sobreamorttguada corresponde a su forma general. ya que su verdadero gráfico debe ser en el plano complejo en donde el valor de la corriente. para un tiempo dado, es u n punto de dicho plano.

4 . En u n circuito R-L-C Sim ple en serie, ¿qué valor tiene la Impedancia cuan

do la frecuencia se s intoniza a la de resonancia?

Rpta .:

•

e

La Impedancia de l circuito está dado por

z:=..J R 2 +(XL - Xc )2

=..J R 2 +(wL_l/ooC)2

Cuando la frecuencia de l sistema se sln -

ton Iza a la de la resonancia (frecuencia natural)

con lo cual

ooL- l /ooC=O

Esto significa que la reactancla Inductiva es igual a la reactancla capacitiva. En consecuencia. la Impedancia será. Igual a la resistencia del circuito.

5. El voltaje en un reststor de resistencia R esté. dado por VR :::: lo R ros ( OOl - 1fI)·

Exprese lo anterior utilizando la función seno. en vez del coseno.

Rp t a .: De la condición

VR = IoRcos(oot - lfI) ... '-1 Por Trlgonometrla

cos(oo(-/fI) = sen[(OOf -/fI)+ 1t/2J

Reemplazando en ' ''J se obtiene una expresión alternativa del voltaje en el res lstor

VI{ = Io R senl(oot - /fI)+1t / 2)

8 . Explique cualitativamente por qué la Impedancia de un capacltor disminu

ye al aumentar la frecue ncia. en tanto que la Impeda ncia de un inductor au menta con la frecuencia.

Rpta.: Las reaclanelas capacitiva e lnd,-,ctiva. respectivamente. son

Xc = l / ooC Y XL = wL

En estas expresiones se observa que, al aume nta r la frecuencia. la Impedancia del capacitar disminuye. mientras que la del Inductor a ume nta . Esto es razonable porque en los clrcuHos In-

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292 FUNDAMENTOS DE FISICA SUPERIOR [CAP 22

ductivos existe una tensión inducida que se opone al cambio producido en el flujo magnético. lo cual significa que al aumentar la frecuencia la oposición al cambio de la polaridad se produce también con mayor frecuencia.

7. En un circuito R-L-C en serie. ¿existen circunstancias en las que la suma

PROBLEMAS

1. Un gen erador p roporciona una fem alte rna con valor e fi caz o rms de

2 000 Va 100Hz. Determine el voltaje pico y periodo. Escriba una expresión para la fem variable en el tiempo.

Solución

La fem alterna proporcionada por el generador es de la fonna

2: = 'Eo cos OX ••• [ '" ]

= ,ff 2: ,<fU cos rol

de donde, e l voltaje pico (voltaje máximo) es igual a

2: O = ,ff 2: , rru = ,ff ( 2 000 V)

12:0 = 2828.4 V I

El período de oscilación es

T = 2 Jt/ O) = 2 1t = -,-c'-:" 2 1tf l oo s- 1

Finalmente, reempla¡o;ando valores en la expresión ['"]

'E = 2828,4cos21tf/

= 2828,4cos[21t(100)/]

'E = 2828,4COS628,3/1

algebraica de los voltajes rms medidos en un resistor. un capacitar y un Inductor sea Igual al valor rms de laJem aplicada?

Rpta.: Existe una sola circunstancia y se da cuando el voltaje en el inductor tiene el mismo valor que el voltaje en el capacitar; es decir, cuando XL = Xc

2. Un circuito L-C simple en serie tiene u na capacitancia de 10 JlF'. Si oscila a

100 Hz , evalúe l a inductancia L y la reactanci a inductiva XL'

Solución

Para un circuito serie L-C, la velocidad angular de oscilación está dada por

ro, = ,¡,¡¡;-c y con la frccuencia natural

dc donde, la inductancia es igual a

= ----,------,---';---------,--4 n 2 ( loos - I ) 2( 10 >< 1O - 6 P )

1 L = 0,2533 11 1 La q:actancia inductiva sc cJtprcsa mediante

= 2nfL

= 21t( loos- 1 )0,253311

I Xl., = 159,150 I

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CAP. 22] CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA· RESONANCIA 293

3 . Una lámpara incandescente de 100 W opera ordinariamente con un voltaje

de 117 Vy 60 Hz. Si ahora se aplica lafem a través de una combinación en ser ie de la lámpara y un capacitar de 2 p.P, calcule el voltaje en la lámpara . Suponga que este elemento nchi a como una resistencia ideal. ¿Cree usted que la lámpara pueda encender en estas circunstancias?

Soluci6n

El circuito equivalente es

La potencia de la lámpara es

P =='LoIR

de donde

, R = 2 1P = (117V)

'1: 0 l OOW

R

"" 136,89 0.

Cuando se conecta el capacitor en serie con la lámpara incandescente

'!:oco.CIlI ""

La reaelancia capacitiva es

1 xc = Ole - 2n/C

= --+----,---2tt(60s - 1)2x l0 - 6 F

1326,290.

La amplitud de la comente en el circu ito es

117V

= ;J( 136.89 0. ) 2 + ( 1 326,290.) 2

= 0,0877 A

Luego, el voltaje en la resistencia será

= ( O,0877 A ) 136,890

¡OV, = 12 V ¡ Con esta tensión es imposible que la lámpara encienda ya que ordinariamente opera con 117 V,

El voltaje en el capacitar es igual a

.6.Vc = loXc = (0,0877 A) 1326,290

16'vc = 116,38 V I Gráficamente

El Angulo entre la corriente y la tensión de la fuente es e l mismo que e:dste entre la resistencia y la impedancia del circuito.

<p ::; are lan (6.VR I6.Vc )

= arclan( 12VI 116,3 8V)

= 84,1 ~

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294 FUNDAMENTOS DE F1S1CA SUPERIOR ¡CAP 22

4. Inicialmente se da una carga qo a un capacitor de capacidad C. Si se conec

ta una inductancia L al capacitor y se cierra el circuito, determine la máxi ma corriente en el mismo.

Soludón

I nte l'TUpl.or cerr.do

L

Si se consideran elementos ideales, no existe pérdida de energía; éSlo significa que la energía almacenada en el campo eléctrico se lTansfiere al campo magnético en d inductor. La energía oscila entre la capacitancia y la inductancia.

El voltaje inicial.que esti. sometido el inductor es

el cual está presente entre las placas del condensador cuando se cierra el interruptor.

Aplicando la segunda ley de Kirchhoff

dI n L - + ..:L = O

d' e Comoi = dq/dt. laecuaci6ndiferencialsecon_ vierte en

EstA ecuación corresponde a una carga que oscila de manera lUlllónica simple, con frecuencia

angular 00 :- .,¡-¡;¡:c En tal caso, la carga cstá dada por

1°1

Cuando 1 = O, la carga inicial e:'i qo't el ingulo

¿¡ es cero.

Diferenciando ambos miembros con respecto al tiempo

CJlpresión que equivale a la corriente instantánea/. El signo negativo ¡ndicaque la corriente produce una tensión autoinducida cuyo efecto magnético es oponene a las variaciones.

Luego. la mbima corriente establecida en el cir· cuito ser'

~ ~

5 . Un circuito R·L·C en serie consiste de R:: 1 0000, L :: l S H yC = 30 )JF.

Evalúe la frecuencia de oscilación en e8te circuito y determi ne la constante de tiem· po too No hay {cm apli cada. Si la amplitud de la comen te en el circuito es de l OA en t = O, determine su valor cuando t = 3 too

Solución

R

L

InwrnlI>1.CI •

....... do I'f--_~

" e

La corriente que nuye por el circuito está expresada mediante

10J

en donde

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CAP, 22' CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA· RESONANCIA 295

J I R' (J/ = Le - 4L2

Para L : ISI/; C = 30 x 10- 6 F Y R : 1 ooon ro = 33,33rad/s

y la frecuencia de oscilación será

f:w'l2x

= 33,33 rad/ s 211: rad

La constante de tiempo de este circuito es

2(1 SII ) 1000 0

[l o = O,03s l Reemplazando t = O en la ecuación l·' se tiene

I(O)= /o(l)cosÓ:) ó =O"

En conclusión, la corriente está dada por

1(1) = 10~- R rl'2Lcosro/

::: 1O~ - IOOOr/2(\S)cos33.33 /

::: 1 0 ~ - 13,))rcos33 ,33 t

Para I = 3 lO = 0,09 S

I (O,09s) = 0,497A

6 . Demuestre, por sustitución di recta, que la ecu ación

1 (1) = Jo

e- (RI2f..)I CO•f ( W'I+Ó)

donde

es una solución de

d 2 ¡ di J ¿ - + R- + -::: O

d¡2 dI e

cuando

1 R, Le-(2L) >0

Solución

Por lliS características dadas en el enunciado se trata de un circuito serie R-L-C con una ruente de tensión continua.

R

• L < -r e

Por la ley de KirchhoIT

T.=Ldl

+ RJ + !L d, e

Diferenciando ambos miembros con respecto al tiempo

d 2 I di 1 O=L-+R-+- ... (1 ]

dt 2 di e Esta ecuación describe la com ente oscilatoria amortiguada que resulta cuando se añade un elemento disipativo de energía (resistencia eléctrica) a un circuito serie L-C.

La solución de la ecuación I1I está dada por

1(/) = 10e - Rrl2L cos(W' I +Ó) ... 12J

en donde

, JI R' w = Le - 4L2

Vamos a demoSLrar que, efectivamente, la expresión 121 es una solución de la ecuación 11J.

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296 FUNDAMENTOS DE FISICA SUPERIOR ¡CAP. 22

Derivando, con respecto al tiempo. sucesivamente 2 veces la expresión [1 J

~ = - Jo e - R fl2L { w'sen (oft+5)+

+~ cos(oft+5)]

+ 10 00' ~ e - R . 1'1L sen ( of t+ 6)

El primer término del segundo miembro de la ecuación [1] queda expresado por

Ld2¡ R 2 1 -Rr/'U, , 7= /O( 2L - ele cosCO) t +5)+

+ /o/i/Re R1nL.rell«(f//+5) ... [31

El segundo término de [1 J es

R~~ = - /o(J)' R e - RfllLscn (otl+ó)_

R' - /

0 1L e-RrnLcoS(OOI+Ó) ... [4]

El tercer término de [1 J es

J l o -R I/'1L -:: -e cO$(of l +5) e e ... 151

Sumando miembro a miembro las ecuaciones [31. (4J Y [5J scobliene

d 2, di 1 L- + R - + - = O

dt 2 dI e

7 . Calcule la reactancia inductiva de un inductor de 0,02 H (a) n 60 Hz, (h) a

600 Hz, (e) a 6000 Hz. (d ) ¿Cuál el!! el ángulo de fase entre el voltaje del in ductor y la corriente que pnsa por él, a las tres freo cuencias dadas?

Solodón

La reactancia inductiva de este elemento inductor está dada por

XL = roL = 211/(0,02) = O,04 n:1

a) Para l = 60 Hz

Ix, = 7.54 0 I b) Para/= 600 Hz

I XL = 75,400 I e) Para/ ....: 6000llz

d) Angulo de fase entre el voltaje del inductor '1 la corriente.

LL ___ -"_ y Es un CIrcuIto mductivo, la corriente siempre se atrasa 90" con respecto a la tensión.

8 . Cnlcule la reactancia capacitiva de un capacitor de 0,5 ~ (a ) a 6 H% , (b)

n 60Hz, (e) a 600Hz. (d) Determine el ángulo de fase entre el voltaje del capacitar y la comente que fl uye a través del mismo.

Soludón

La reactancia capacitiva de este capacitor eS11i dada por ,

1 1 X -----e - ((lC - 2nlC

lO' = ----''----.,----211/(0.5)( 1O - 6 F) - nI

a) Paral = 6/1z

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I Xc::o 530520 I b) Paraf '" 60llz

IXC::0530501

e) Paraf ::o 600llz

d) Angula de fase entre el voltaje del capacitar y la corriente que fluye a través de él.

En un circuito capacitivo, la corriente sc adelan· ta 90 0 con respecto a la tensión.

9 . Una inductancia de O,036H y una re-si stencia de 12,0 O están en serie con

una fem de C. A. cuya amplitud es de 165 Vy cuya frecuencia es de 60 Hz . Hallar (a) la amplitud de la corriente en el ci rcuito, (b) la amplitud del voltaje en la in ductancia, (e ) la amplitud del voltaje en la resistencia, (d) el ángulo de fase entre la fem y la corriente en el circuito.

Solución

r---- '~----->j'1

:l -L-~_ro_'_._' __________ -J~'

a) Lafem de C.A. está dada por

'E::o 'EoCosoo/ = 'E o cos2Tlft

= l65cos2Tl(60)/ = 165cos377/

La reactancia inductiva de este circuito es

= (377,ad )0,036H = 13,5720 , y la impedancia del circuito

Z '" ~R2+X¿

= ~( l2,O íl )2+( 13,572íl) 2

= 18,IHl

Entonces, la amplitud de la corriente será

'Eo 165 V lo = Z = 18,1 211

"1''---0 --.:--:,1-:-1 ,-'1

b) La amplitud del voltaje en la inductancia es igual a

ÓVL = foX L = (9,11 A) 13,5720

I óVL = 123.6V I e) La amplitud del voltaje en la resistencia es

igual a

ÓVR = loR = (9,IIA)(12.00)

IÓVR = 109,3 vi ,

d) En el diagrama faso rial siguiente se muestra la suma de vectores que representan la magnitud y la fase relativa de las caídas de tensión a través de la resis tencia y la induetancia. Puede observarse también al triángulo de impedancia.

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298 FUN DAMENTOS DE FISICA SUPE RIOR ICAP. 22

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.. aTetan ( 123,6 VI 109.3 V )

1.: 48,5'1

10. Un capacitar y un resistor de 3600 O están en serie con una fem do (lO 11z

cuya amplitud e!' ,~e 165 V SI' observa que la amplitud de la comente es de 0,032 OA. Halle (n ) lo. capacitancia del capacitor, (h) la amplitud de la tensión en la capacitan. cia, (c) la amplitud del voltaje en la resIstencia, (d) el tmgulo de fase entre lafem y la corriente en el circuito.

So!ul'hln

r----'\VR-----,¡ " r-------'lAIIr------1---r

e

~L_<.ro_._., ___ ~ '¡V<

La tensión de la fuente se expresa mediante

1::= 'I:OCOSOJI = 'EocOS21tjl

= 16Scos[2JI(60)t] = 165co$ 377/

a) La impcd:tJ\cia del circuito es

Z = "R2+ X ~

y la comente máxima estA dada por

~o

: -..¡rR=i2~+ =x ¡"",

Despej ando la rcactanci a capacitiv a X e se

obtiene

( 'I: O)2_ R 2 lO

=( 165 V ) Z_( 3 600 Q )1 O,032A

= 3691,SO

Como X e = l lroC, entonces

Co-I-: I roX c (377radls) 3691,SO

1 C : 0,719"" 1

b) La amplitud de la tensión en la capacitancia es Igual a

.1Vc = loX c :::: (O,032A)(369 I,S O)

lóvc "" 118,1 V I e) La amplitud del voltaje en la resistencia es

igual a

ÓVR = lo R = (O,032 A)( 36(00)

I.1VR = lIS,2V I d) En el siguiente diagrama se muestra la adición

de vectores que representan la magnitud y la fase rclaliva de las caídas de tensIón a través del capacitor y la resistencia.

• •

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CAP. 221 CI RCUITOS DE CORRIE NTE ALTERNA • RESON.«tlC~ 2 • •

<p = arclan(6Vc /6VR )

= arc tan ( ll S, l VI llS ,2 V)

l. = 4',7' 1

11 . Un in ductor de O,24H consiste en una bobina de alambre de cobre con resis

tencia a lo. C. C. de 7,5n. Se conecta en 116ria con un resistor de 60 n y una fem de 60 Hz y 312 V de amplitud. Halle <a) la ampli tud de la corriente en el circuito, (b ) el ángulo da fase entre la corriente y la fem, (e) la amplitud del voltaje en la inductancia, (d) el ángulo de fase entre el voltaje en el inductor y 10. corriente en el mismo, (e) lo. amplitud del voltaje en el resistor de 60n. Sugerencia: Represente la inductancia como un elemento ~ideal" en serie con una resistencia de 7,5 O.

Solución

R

La tensIón de la fuente está dada por

'I: = '!o cos rol = '!ocos2rr.f/

'Y,

::: 312cos[2 rr.(60)/J = 31.2cos3771

La J"actaneia inductiva es

,.,¡ XL = roL = (377-)(0,2411) ,

= 90,480

a) La amplitud de lalWJllÜcnte es igual a

'l:o 'llUl lo = z = " tr4 1R )1l +X ¿

3!l2 V

= "(7,5 G4ltí1l.D }1+ ( 90,4S0 )1

1/0 = 2,76A I b) El ángulo de fma:mure la corriente y la f~m

resulta

90,48 n ::: t.lU"lallt 7,S n +60n)

'1.-=-'-3,,.-'1 e) La amplitud del )o(dhajc en la induclancia C$

igual a

6VL ::: JOl L =I{o -.Jr1+X¿

= 2,76 A"( 7,Sn)1+(9O,<Uln) 1

1 6VL - 2S0,6V I d) El !Úlgulo de faseentre el voltaje en el induc

tor y la corriente es el mismo que el que se obliene dcl.triqulo de impedancia.

z,

, 8= arClan(XLlr)

= ,QIIC lan ( 90,48 nl7 ,S n )

1'--·-=-"-,,.-'1

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300 ¡';UNDAMENTOS DE FISrCA SUPERIOR (CAP. 22

e) La amplitud del voltaje en el resistor es

ÓVR = loR = (2.76A)(60n)

I aV" = 165,6VI

A continuación se muestra el diagrama rasonal

Entonces, la corriente se puede cllprcsar de la si· guiente manen

1(1) = locos(c.ot-cp)

II(t) = 2.76co.l'(317, - 0.93) I

12. Dé ahora 1<1.8 rellpuestas a las partes (e) y (d) del problema anterior, si se

cambia la frecuencia de la fem a (a) 6 Hz, (b) 600Hz.

Solución

r' - r-_-__ -_~v~-_ ------i I ~ A L r 1 ______ - - --'

lnd ... _

-'-_~_~_._._' _____ __ R~~.

La tensión alterna de la fuente está dada por

···111

la reaclancia induc;:liva se ciIIoprcsa mediante

XL = roL = 2nfL ... (2)

Entonces, la amplitud de la corriente se puede calcular con

'Eo 'Eo

10 =2 = "I(r+R)'J.+(21t/L)2

... (31

a) PARA LA FRECUENCIA 1= 6 Hz. De [1]. la tensión de la fuente es

1; = 312cos[27t(6)t]

= 311 cos37,7t

De [2J. la reaclancia inductiva es

XL = (37,7.1' -1 )( O.24H) = 9.050

Entonces, de [31, la amplitud de la comente es

312V

lo = "'J(7,50'¡'60 0)2.¡.(9,OSC1)1

= 4.58A

Ahora. e l ángulo de fase entre la corriente y lafl!m resullA

X. <p = arclan(-. ) , +

= arctan (7 ,50.¡.60n)

La amplitud del voltaje en la inductancia es iglJal a

ó VL = 10ZL = 10..J r 2.¡. X I

= (4,58A)..J(7,50)2+(9,OH1)

I óVL = 53,83 V I

•

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CAP. 22) CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA· RESONANCIA 30 1

El Angulo de fase entre el voltaje en el inductor y la corriente se halla del triángulo de impedancia.

e = arclan(XL lr)

= arclan(9.0S0n,SO)

!'.-=-,-o,,,,--'! La amplirud del voltaje en el resis lOr es igual a

L\VR = 10R

= ( 4,58A)(60Q)

= 274,8 V

b) PARA LA FRECU ENCIA f = 600 Hz. De 111, la tensión en 11 fuente es

1: = 312 eo.l" [ 2n( 600) 1]

= 3 12 eo.l"(37701)

Oc (2], la reactancia inductiva es

XL = (3770.l" -I )(O,24H)

= 9OS0

Entonces, de [31, la amplitud de la comente es

312V

lo = '1( 1,Hl+600)2+(90S0)2

= 0,344A

En estc caso, el ángulo de fase entre la co· rriente y lafem resulta

XL Ql = are lan(-R ) ,.

90S O = are lan( 1,50+ 60 n )

= 8S,'"

La amplitud del voltaje en la inductancia es igual a

L\VL = 10ZL = lo ~r2+xI

= 0.344A ~(1,SO)2+(905n)2

I6.VL :;: 311.3V I El ángulo de fase entre el voltaje en el inductor y la corriente se halla dt.:l triángulo de impcdanda.

, ,

e = arelan(XL l r)

= are/an (905 (111,5 n )

!'.-=-8-','--'O ! La amplitud del voltaje en el rcsistor es

6.VR = 10 R

::: (O.344A)600 = 20,6 V Para una mejor comprensión, mosllamos el diagrama fasona l.

•

89.~c

1, .V,

' , XI.

·V,

r .. 6 Hz

I,H

.V,

&0.(0

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302 FUNDAMENTOS DE FISICA SUPERIOR ¡CAP, 22

13 . Un circuito R-L-C en serie contiene una inductancia de O, 12H, una resis

tencia de 25 n, y una capacitancia de 2,O~, en serie con una fem de C. A. de 400 Hz y 72 V. Calcule (a) la impedancia del circuito, (b ) la reactnncia total del miamo, (e) In amplitud de la corriente, (d) el ángulo de fase entre la corriente y Infern, y la amplitud del \'oltaje en (e) el resistor, (O el inductor y (g ) el capacitor.

Soluclila

ov,-- 1 R 1

f"Y 2:, al.mt L

1 L 'Ve ,1

11) La impendandll del circuilo está dada por

z= ;JR'l+(XL - Xc>2 ... [*]

donde, 135 reactancias inductiva y capacitiva son, respectivamente

y

XL = w I. ::: 2xiL

= 21t(400s-I) O,12 11

= 301,60

1 1 X ----e - roe - 2rtfC

= "----'--:-C-::;'--:--:-:7: 2rt(400s-1)2xlO-6 F

= 198,90

Luego. reemplazando valores en [-1 se obtiene

z = "(2.50)2+(301,60-198,90)'2

1 Z = 10S,7<> 1 b) La reaclancia 10lal del circuito es

x = XL -Xc = 301,6 0 -198,9 0

1 X = 102,7<> 1

e) La amplilud de la comente resulta

'1:0 72V lo = Z = 105,70

110 = 0,681A 1

d) El ángulo 1e fase entre la corriente y lafem 10 detenninuns en el triángulo de impedancia.

XL-XC fJ' = areta,,( R )= aretan(XIR)

= are tan ( 102.711125 n )

1. =76,3- 1 Mientras lareactancia tota l sea positiva. como o.n cste caso, el circuito es de comportamiento inductivo; es decir. la corriente se encuentra en atraso con respecto a la tensión.

e) La ampli tud del vol taje en el resis tor es

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CAP. 221 CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA· RESONANCIA 303

o La amplitud dd voltaje en el inductor es

6VL = foX L = (0,681 A)( 301.6 0)

I IlV L = 205,4 V I g) La amplitud del voltaje en el capacitor es

6Vc = loXe = (O,68IA)( 198.90)

I óVc = 135,5 V I El diagrama fasori.! que corresponde a este circuito es el siguiente

•

Las ecuaciones para la tensión y la comente son, respectivamente

'1:= 'l:ocOS(I) / :::: 72cosI2 n: (400)Il

= 72cos( 2513.3t)

1 = ' ocos(ro/-cp)

= 0,681 cos (2513,3 1 - 1.332)

14 . (a) ¿Cuál es la frecuencia de resonancia del circuito R·L·e en serie del proble.

ma an terior? Detenni ne (b) In rcactnncia induct iva, (e) In reactancin capacit iva, (d ) la impedancia del circuito n In frecuencia de resonancio. Obtenga (e) la corriente y los voltajes en (O el rcsistar, (g) el inductor y (h) el capacitor, en la condición de r esonancia.

Solución

a) Resonancia es un fenómeno que comiste en que la corriente alcance un valor mbimo muy marcado a una frecuencia determinada. En este caso, la frecuencia de resonancia es

"'o = 'L1 e = -.c 1==,,:I~==o==

..... (0,1211)(2)( 10 6F )

1"'0 = 2041,2radls I b) Reactancia inductiva a",o

Xl. = oooL= (2041,2radls)(O,12H)

Ix, = 245,00 I e) Reactancia capacitiva a 00 0

x e = _ 1_ = -----'----,--oooe (2041,2radls}(2)( 1O- 6F)

I X c = 245,0 0 I d) Impedancia del c ircuito a ",o

Cuando se produce resonancia. la reactancia total del circuito es nula .

e) La ecuación para la /em a 00 0 está dada por

'X = '1:ocos(.)O'

= 7lcos( 2 041,2t)

' y la corriente

... [11

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304 FUNDAMENTOS DE FISICA SUPERIOR ¡CAP. 22

En resonancia, el circuito se comporta como puramente resistivo; entonces la amplitud de la corriente es igual a

X o 'Eo lo = Z = R

_ 72V _ 288A - 25n - ,

Luego. reemplazando lo en la expresión [1J se obtiene

1/= 2.88(0.1'(204 1,21) I o El voltaje en el resistor se calcula sabiendo

que debido al fenómeno de resonancia. éste se encuentra en fase con la corriente. Entonces

= (2,88A)(2SQ)cD.r(2041,2t)

I VR = 72cO.l'(2041,21) I g) En un inductor, el voltaje está adelantado 90°

con respecto a la corriente; entonces

La amplitud del voltaje en el inductor es

6VL = loX L

... (2)

= (2,88 A ) ( 245,0 n)= 705,6 V

Luego, reemplazando en [2J

I VL - 705,6cos(204lt+1t/2) I h) En el capacitor. el voltaje está atrasado 90°

con respecto a la corriente; entonces

Ve = liVc cOS(úl ot - 1tI2)

Como la amplitud del voltaje en el l:apacitor es la misma que en el inductor

Ve = 70S,6cos(204lt - Tt/2)

15. Se induce unafem de 2 x 10- 3 V(rms) y 400 kHz de frecuencia en un circui to

R-L-C en serie. El factor de calidad del mismo es Q. = 20 Y su res istencia es de 10 5 n . (a) Halle el valor de la inductancia. (b) En la resonancia, ¿qué valor tiene C? (e) Hnlle el voltttie en el resiator en el estado de resonancia. (d) Detennine el voltaje a 380 kHz, suponiendo los miamos valorea para R, L Y C. (e) A eata frecuencia, ¿cuál es el ángulo de atraso <p de la corriente con respecto al voltaje de entrada?

Solución

El factor de calidad Q. está definido como la relación de la reaclancia inductiva a la resis tencia. Este factor mide la agudeza de la resonancia y está dado por

1

"

0.5

Frecuencia da Resonanc::ia

... (1 )

r (IIz)

Un valor al to de Q. implica una resonancia aguda, y un valor bajo de Q. una resonancia no muy bien definida. a ) Un determinado circuito puede amplificar

frecuencias distinlas, recibidas como ondas electromagnéticas; sin embargo, en la resonancia, rechaza la mayoría de las frecuencias

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y sólo amplifica la correspondicme a la Erecuencia natura.! del circuito. DeIIJ, haciendo co - roo

L=!U.=~ ro 21tf

= -,--,,,0,:,(:,,10,-:'-,,0,,-)::--,-21t(400xI03Hz)

I L = 0.196« I b) La frecuencia de resonancia está d.:1a por

I 010 = ...JLC

Haciendo Ol '" 0l0' la capacitancia es i¡ual a

I C=--Ol~L

= ---~---=---12 n (4oox lO' Hz) J 2 (Q.196H)

I C = 1.99xl0- U F I e) En resonancia. la reactancia total del cin::uito

es cero; entonces 1, amplitud del voluje en el resistor es .,

=-R Z .,

'" -¡¡R = '1:0

Como el voltaje está en rase con la f_ del circuito

'" 1:, ..... ..f2cos(2nlt )

= 2x10 - 3 .J2cos j2 n( 400 x I01 )t ]

YR = 2,83COS( 8 1t X IO!§I' lftvl

Nótese que el voltaje ericn en el resistor es 2x 1O- 3 y.

d) Cuando la frecuencia es 380 kilI. las reactancias tienen va.!ores diferentes alos que poseen en resonancia. Estos valores son

y

XL'" roL '" 2KIL

= (2n:(380xI0 3 I/z)JO.79611

= 1,9Ox 1060

I X -e - Ole

I = ~[-,-.-(~38~0-X-I~0-;'-H-"-)-J-I.-99-X-IO~-"I;;'-F

'" 2,IOx10 6 n La impedancia del circuito es, entonces

z= "¡R~+(XL-XC)2

_ ..J(lO s n)1+(19xlO'n_21xIO'n)1

= 2,24 x lOS n El voltaje en el resislor estA dado por

VR :: AVRcoscol

., = (-ZR)cos(2nft - cp)

( 2 )( 10-1

..[2)10' (76 10' ) - S COI. xx l-ep

2,24 x 10

y el valor e fi caz de la amplitud es

6 VR = 8,93x l 0 - 4 y , e) El ángulo de atraso ql de la comente con res

pecto al voltaje de entrada resulta

XL -Xc cp = arclan ( R )

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306 FUNDAMENTOS DE Fl$ICA SUPERiOR [CAP. 22

, , (

1.90 XlO Q - 2.lOx lO n) = are tan , 10 n

I <P = -63 ,4° = - l ,llrad I El signo negativo indica el atraso de la comente. Esto significa que el circuito tiene comportamiento capacitivo.

1 6 . Un físico experimental tiene u na bo-

bina de 2 mH (2x 10 - 3 H) de inductanda y desea formar un cir cuito L-e resonante a la frecuencia de 1 500 Hz. ¿Qué valor debe tener la capacitancia C?

Soludón

Un circuito L-e es '.:sonante a la frecuencia

mo=jL1c

De donde, despejando el valor de la capacitancia

e = -ro-l-L = -( -:-2 -, ¡'-)"-L

= 4x 2(1500 llz)22xiO- 3 lf

= 5,63xlO- 6 F

17. Un circuito R-L-C contiene una in-ductancin de 25 x 10 - 3 H, 31J..F' de C8-

pacitanciay 100 n de resistencia. Obtenga la frecuencia natural de oscilación y la constante de tiempo asociada al decrecimiento de la corriente.

Solución

Un circuito R·L·C en serie que no está alimentado por una tensión alterna, sc ¡;omporta como un ¡;ircuito oscilatorio amortiguado.

La com ente está dada por

,= ' oe- R1 /l L cos ( ro't + Ó)

La frecuencia angular natural de oscilaci6n ro' es

ro' = J 1..1C - : 1..22

- I I ",, (25 )( 10- ' )3)(10 6

= 3 055,1 radh

Enton¡;cs, la frecuencia de oscilación resulta

ro' l' = - = 2, 3055,1 radh

2,

I l' = 486,W, I La constante de tiempo 1150¡;iada al decrecimien· to de la ¡;omcnte es igual a

2L 'o =R =

2(25x 1O -3 H )

100n

'o = 5xl0

18. Se tiene tres cajas negras con termi-nales de entrada y de salida, y se sabe

que una tiene una resistencia, otra una inductancia, y hay un capacitor en la tercera, aunque no se conoce el contenido de cada una precisamente. Las terminales de las cajas están conectadas en serie entre sí y con una (cm de 60 Hz y de 116 V de amplitud. Se observa que la amplitud del voltaje en la caja 1 es de 320 V, mientras que en la caja 2 se tienen 84 V, Y 240 V en la tercera. Se encuentra que la amplitud de la comente en el circuito es de 2,50A, y que la comente se atrasa a la (em en el ángulo de fase de 43,6°. Determine qué elemento contiene cada una de las cajas, asf como los valores de la resistencia, de la capacitancia y de la inductancia.

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CAP. 221 CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA · RESONANCIA 307

Solución

Pua las condiciones propuestas

, 0 't, oo.clll

!-- AV. .. -(j)

.!. R, L oe ,

1 ®

i R,L oC'

I ®

l R,Loe'

I Sabiendo que la corriente está en atraso con respecto a lafem. se deduce que el circuito tiene comportamiento inductivo: entonces

lantp =

de donde, la reactancia total del circuito es

XL - Xc = O.9523R ... 0)

La impedancia del sistema, cuyos elementos se desconocen, está dada por

, Z =-2= 116V=46.40 ... [21

10 2,5 A

La impedancia. en función de los elementos del s istema, se Clprcsa mediante

Reemplazando (1 1 Y 12]

46,4 n = ..¡rR""":-+-(-0-,9-52- 3- R-)-'-'

de donde se obtiene

I R = 33,600 I La amplilud del voltaje en el resistor ser&, cnton·

=

= (2.5A)(33.60n )= 84V

Como este voltaje corresponde al que se tiene en la caja 2, ésla contiene un resistor.

De la expresión [1 J se deduce que el sistema es inductivo; por lo tanto. la amplitud del vahaje mayor debe corresponder al inducLOr.

Comparando los voltajes propuesLOs se infiere que en la caja I sc encuentra el inductor y en la caja 3 e l capacitor.

La ampliuxl del voltaje en e l inductor está dado

p'" l!.VL = loX L

de donde

= fOro L = Jo (21tf)L

6V, L = ';-/0-7( =-2 ."-¡"")

~~,-?32"0,,V'-o-~~ = 2.5A[21t(60Ilz)]

I L = 0,3401/ I La amplitud del voltaje en el capacltor está dado

po' l!.Ve :; loXe

'" lo(l/roe)

-~ - 21tfC

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308 FUNDAMENTOS DE FISICA SUPERIOR ICAP. 22

de donde

Jo

e = ',,,."¡"'.CiV'C

= ==",'";,.5,,,A== 12'1t(60Hz) ]240 V

I e = 27.63><1' I En consecuencia, el sistema es como se muestra a continuación

rI I I ,--r -I I I ,--

- --- -- --1

Caja 1 I ¡ lllt. '" 320 V I ________ .J

-- --- - - - 1

I Caja 2 R I AVR" S4V

I ________ .J

r- - - - - -- - - 1

I I I Caja3 e: I <,.vc " 240 V I I ,- - 1- - - -- -- - - ,

19 . Demuestre que n medida que la fre-cuencia natural de oscilación de un

circuito R-L-C se aproxima a cero, la cons· tante de tiempo asociada ni decrecimiento de In corriente tiende al recíproco de la frecuencia natural del ci rcuito L-C simple .

Solución

Sea, e l siguiente. el circuito serie R-L..-C en cuestión

R

In".' .... plor cer .. do I I

, f----l e

L

La comente que c ircula por es te circuilO eslá da

da p'"

donde la frecuencia natural de oscilación es

JI R1 ' w' = LC - 4 L 2

Cuando esta frecuencia tiende a cero, el contenido del radical debe tender también hacia cero; es decir

de donde

1 . ' ---=. Le 4L 1

• =, ~ve El tiempo en que la amp litud de la corriente oscilante decrece en e l factor l /e está dado por

'o = 2UR

Sustituyendo el valor hallado para la resistencia se obtiene

La freuJencia natural de un cirQlito L-C simple es

1 roo = " L e

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CAP.22} CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA · RESONANCIA 309

Luego, comparando roo con l¡¡

Con lo cual queda demostrado que la constante de tiempo ticme a la inversa de la frecuencia ro¡¡.

20. Una fem de 105 V produce el flujo de una corriente de 10 A en un circuito

de C. A. La corriente se atrasa al vol t aje 15°. Halle el factor de potencia y la potencia que entrega la fuente.

Soluci6n

Como la corriente está atrasada respecto al voltaje

, El factor de potencia es

FP = cosó = cos 15°

I FP = 0,9661

La potencia de la fuente es

S::: VI::: ( 105V)(IOA)

I'S-=-1-0-50-VA-'1

La potencia activa entregada es

P=V/ coSó

= S cosó = I 050cos 15°

I P =,1014,2W I y la pOlencia reactiva

Q = Vlsenó

=Ssenó = 1050sen15°

I Q = 271,8 Va, I

2 1. Un circuito R-L ·C en serie contiene los elementos R = 10 n, ro L = 10 O Y

lIro C =5 n . Si el voltaje rms es de GOV, calcule la corriente rms y el fa ctor de potencia.

Solución

La comente eficaz está dada por

1'1M = V,,,,, /Z

= ~ R 2+«(OL-l/(l)C)2

60V =

~(lOn)2+(lOn _5n)2

1 1,= = 5,37A I El triángulo de impedancia es como se muestra

z

• R

Del gráficu

XL - Xc q¡ = arc lan( R )

wL - lIwC = arclan( R )

10n - 5n = wclan( IOn )

= 26,6°

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Entonces, el factor de polencia es

FP '"' COl <p = cos 26,60

rl P-P-=-0-,'-9'-'1

22. El fac tor de calidad Q.de una bobina con inductancia y resistencia vale

100, y su inductancia es de 200 ¡JI a 600 kHz. Para esta frecuencia, determ ine la resistencia, la impedancia y el ángulo de fase entre la impedancia y la resistencia.

Soludón

El faclor de calidad se expresa mcdianlc

Q.= roL = 2 1t [L R R

Despejando R

R = 2rtfUQ.

= 2n( 600 x 10 3 Hz) (200 x 10- 6 11 )

100

1 R = 7,540 1

EnlOnccs. la impedancia del circuilo ser'

Z = "R 2+X¿ = ...JR 2+(2rtfL)2

= ..J(7,54)2+121t(6xIOS)(2xlO-4)]2

12 =75,01 El :ingulo de fase entre la impedancia 'i la resistencia es igual a

cp = arctan(XL.lR )

753.980 = are lan ( 7,54n )

'1.-=-'-9"'0 1

2 3 . Considere un circuito L·e en parnle. lo, como el mostrado en el dingrama.

Cuando un inductor y un capacitor están en paralelo, con react.anciasX L y X c> res

pectivamente, la impedancia combinada es X LX e /(X l. - X e). Para el circuito L-e ilustrado, obtenga la impedancia del circuito, la corriente rms (.6.Vrm,/Z) que pa

sa por la fuente, y las corrientes rms en el capacitor y el inductor.

'''' - - 1011

e

Solución

En un circuito de corriente alterna. la impedancia equivalente se halla análogamentc a como se procede en los circuitos de corriente continua. pero considerando las reactancias inductivas y capaci tivas (X L Y X e) en el eje imaginario.

1I0I2w.3771 E~

La reaclancia capacitiva es

I X -e - ooC 2 n/C

= -:-::---:-:-::-,,--'-1 ,-:--c=c: 12n(60Ilz)]2xlO- 6 F

= 1326 0

y la rcaclancia inducllva

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::: (377rad/s)( !OH)

= 3770n

Entonces, la impedancia equivalente del circuito ser'

z = XL ,XC = (3770)( 1326) ~ XL Xc 3770-1326

1 l., = 2046 <1 1

La corriente eficaz que pasa por la fuente es

J f'MI = : "'" = .. llOV 20460:

I',~ = O,0538A 1 L. comente eficaz en el capacitar es

. V'MI ¡¡OV ', .... ,c = Xc = 1 326 0

1 ¡_,c = O,0830A 1

La corriente eficaz en el inductor es

. V...... 1l0V ''''LI ,L = X L::: 371ii'ñ

I ¡,IM.L :: O,0292A

24. Un capacitor de 10 ~ Y una induc-tanciaL están conectados en serie con

una fem alterna de 60 Hz. Utilizando un voltfmetro parn C. A., un estudiante mide 100 V en el capacitor y 150 Ven las terminales del inductor. Evalúe la inductancía L y la corriente rms que fluye en el circuito. ¿Qué voltaje medirá en la combi· nación de inductor y capacitor?

Solución

c "1---, "

Los instrumentos que sirven para medir corrien· le y tens ión a1teroa, sólo indican valores d ica·

=. El voltaje eficaz en el capa.eilOT está d.so por

óVc "ms = l ,ms X e

I =, -- ro e = 1,..

2 KfC

Despejando c l valor e ficaz de la corriente y rccmpl8.1.ando valores, se obtiene

1,.,.., = 2rr. f C 6Vc ,,,....

= 2rr.(60Hz)(lOx IO- 6 F) l 00 V

1'_ = O,377A 1 El voltaje e ficaz en el inductor c.stá d.oo por

óVL , ....... ::: I..., X L

Despejando L Y reemplazando valores

.v L = L,,,,,,, 1'l1'li 00

150 V (0,377 A) (377 rod/s )

I L = 1,0611 I Los voltajes del inductor y del capaciwr están desfasados 180"; entonces, el voh4je de la

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' 12 FUNDAMENTOS DE FISICA SUPERIOR [CAP 22

combinación será

·0 ,.,.. = .V -.V ,,2 L .• "" e,TIIOS

= 150V - lOOV

1 <0 / '12 = 50V I

Luego. la tensión de la fuente estará dada por

1: = 'I:ocoswt= 50 .ficos377/

25 . Una resistencia R y un inductor de 1 H están en sene con unafem de C. A.

de 60 Hz. El voltnje medido en la resistencia es de 30 V, en tanto que en la inductancia es de 60 V. Determine In resistencia R y el voltaje medido en la combinación de resistencia e induc lancin.

Solución

R

L

El vohaje medido en el induclor se expresa mediante

t.VL. , ...... ::: ',,,,,XL

= ' .1tOS (J.)l, = 1,1tU 2rr.fL

Despejando la corriente efica/. que fluye por el circuito y reemplazando valores

60V 2n (60 lIz)( \11 )

1/,_ = 0,159A I

El voltaje medido en la resistencia es tá dado por

.c.VR""" = I,_R

de donde

R = .6VR., ..... = ~ ¡''fU O,I59A

~-~ I R = 188,7Q I El diagrama fasodal correspondiente es e l que se muestra

• Aplicando elleorcma dc Pil.iigoras

~ ~ _1 2 2 ,f2 =- -V (óVR . • ",, ) +(óVl.,.",,)

=- V'(30V)2+{60V)2

I 'to l..fi =- 67,1 V I El ángulo de fase entre la tensión de la fuente y la corriente es

ó V L. ."., cp = are /a,. ( V )

6 R, ......

= arc /a,. (60VI30V)

=- 63,4°

La tensión de la fuente eSlá dado por

't =- 'l:OCOHO I =- 67,[ ,12 COl 377 /

26. Se conectan en serie un inductor, un resistor y un capacitar, con una fem

de C. A. de 48 V (rm.s). Si (1)= 60 radls, L =- 0,05 H, e = 0,011 ¡.¡.F Y R =- 2,8 n, cal-

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CAP. 221 CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA · RESONANCIA 313

cule <a) la reactancia inductiva, (h) la re· actancia capacitiva, (e) la impedancia del circuitoy (d) la comente rm8 en el mismo.

Solución

R

L

e

a) Reactancia inductiva.

XL = roL = (60rad/.r)(O,05/1)

IXL"',·"I b) Reactancia capacitiva.

1

Xc = roe = (60radl.r)(O,Oll)(10-6F)

I Xc = 1,515)(106

0 I c) Impedancia del circuito.

z= ~R2+(X L -XC)2

= ~( 2,8 n ) 2+ ( 3,0 n _ 1,5 15)( 106 n ) 2

I z • 1.51 5)( 10 60 I d) Corriente dicaz en el circuito.

1, .... = 'Lo 1..f2

2 48 V

1,515)(10 6 0

1/,,,... = 3,2)( lO-s A

27. Un circuito tiene una bobina con una resistencia de 10 Oy una inductancia

de 2 H. Halle la impedancia de la bobina en un circuito de C. C. ¿Qué impedancia tiene a 10 6 Hz?

Solución

Como en un circuito de corriente continua no existe variación scnoidal de la corrienle o la tensión, la frecuencia es CCTO.

De lo anterior se deduce que la impedancia en un circuito de C. C. es igual a la resistencia.

12-

R "I·"1 Cuando el c ircuito es de C. A.,la impedancia~. tá dada por

Z = ~R2+XE = ~R2+(roL)2

= ~R2+(27tfL)2 Dado queR « 2 nfL, la impcndencia seaproxima a la reactancia inductiva; o sea

Z = 27tfL = 27t( 1Q6 I1z )(2/1)

1 Z = 1,26)( 1070 I

28. Determinado circuito contiene u na bobina de 2 H con 200 O de resisten

cia. La corri ente que pasa por la bobina es 1 = 0,5 sen ro l , estando 1 en amperios. Si ro = 600 ra d/s , obtenga una expresión para el voltaje variable en el tiem po, en los termin ales de la bobina . ¿Qué ángulo de atraso tiene la cor ri en te con respecto al vol taje?

Solución

-, , ",' O

'" , , 1, I x

" -,

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314 FUNDAMENTOS DE FI81CA SUPERIOR ICAP 22

La impendancia de la bobina es

Z -= ..JRZ+X L 2

::: ..JR 2+(OlL)2

-= ..J(200fl)2+1(600radls)(211)]2

= 12170

Entonces, la amplitud del vahaje en los terminales de l. bobina ser!

.ó.V L =/oZ=(0.5 A )121Hl

1.o.VL= 608,5V I Esta tensión es igual a la amplitud del voltaje de la ruenle.

El ángulo de atraso de la comente con respecto • la tensión es igual a

cp :: arc laJ1( X L / R )

::: arc lan ( ro L I R)

= arclan [600(2)12001 ,----,

• = 80". 1

29. Halle la cor r iente (e n fun ción del tiempo) que pasa por circuito R-L-C

en serie si n {em, para el caso de ~80-breamortiguación" .

• , 1 (U) - LC>O

Solución

Inl.e"""ptor c.!Tlldo

R

1~ L-----~I~I----~

L

Considerando un. carga inicial qot:.'i el conden

sador y sabiendo que en el caso sobreamortiguado se cumple que

., 1 (2L)-LC>O

la corriente que circula por el circuito mostrado está dada por

I (t) = loe- R ,,''2L x

" ':-:':--:1-(a) -Le t+6] ... (t)

, •

M Haciendo

I R 2 l ' "; (2/.,,) - Le = ro"

el ténnino M se convierte en

cos(jro"t+li) = cosh ro"t.cosli-

-senhoo"t . sen6 ... (2(

en donde i es la unidad imaginaria de los números complejos.

Por definición de función hiperbólica

(bN, -to ~,

cosh cd't = e +e 2

Reemplazando en 121 y simplificando

cos(jro"t+6) = (eosli 2 sen li)erd'"'+

(cosli+senli) _o",

+ 2 '

Lueg~, en la expresión [1]

1(1) = /oe-R'/2L[ (cos8;senli) erd'"l+

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CAP.22J CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA · RESONANCIA 3' 5

Haciendo

, 1 ( cos6+scfl6 ) - B o 2 -

se obtiene

donde

ro" = I el!-) 2 __ I_ V 2L LC

30. Un circuito R-L-C en serie tiene una inductancia L = 60 H, una resistencia

R= 10'n y una {cm alterna de 60 Hz y 1l0volts (rms). Un estudiante mide el voltaje en la inductancia y encuentra que es de 200 V. Determine la capacitancia e y las tensiones que obtendría en el capacitor y el resistor. Calcule la frecuencia nat ural de oscilación de este circuito. ¿Qué valor tiene la con stante de tiempo?

Solución

R

e

CAPACITANCIA DEL CIRCUITO. La tensión que mide el estudiante en el inductor corresponde a una tensión eficaz. y es igual a

avL ....... = IrwuX L= l.wuroL

Despejando la corriente eficaz

oV L , r .....

2 n fL 1 r m.f =

, -o-~2!,OO,"V~= 2 n ( 60Hz )60H

= 8,84x lO - 3A

Pero, la corriente eficaz puede calcularse mediante

1 , ,~

'Eo /..f2 , -.,¡rR"'2"'+~(~X=,=_=X=c=)'C2

Despejando la reactancia capacitiva

J2:iff2 XC = X L+ (_: __ ) _ R 2

,~

Reemplazando valores J 'E 1.J2 2 Xc = (2nf)L+ (-:-) _n 2

,~

= 21t(60Hz)60 H +

( 1l0V )2_(1040)2 8.84xlO 3A

= 226200+7405Q

de donde

Xc = 15515Q 6 Xc = 300250

1 1 De X c = roC = 2nfC

se deduce

C = 1 2 nfX c

Paraf = 6011z y Xc = J5215n

e = \,7x 10- 7 F I

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'Paraf=60Hz yX C = 3002Sn

Ic:= 8,8 x lO - s F I TENSION EN EL CAPACITOR.

.ó.vc., ...... = 1,,,,, X e

. Paralmu =8,84xlO- 3A yX c =15215Q

lave" ...... - 134,5 V I

• Para INfU= 8,84x 10- 3 A Y X c= 30025 n

!avc ....... = 265.4VI

TENSION EN EL RESISTOR.

= (8,84xiO- J A)10 4 n

!.6.VR ........ = 88.4 VI

FRECUENCIA NA11JRAL DE OSClLACION.

I 1 R 2 . ro'=VLC - 4L2

• ParaL:: 6011; e = 1,7 x 10-7 F Y ~ =1040

loo' = 301,8,adls I

• Para L = 60 11; C = II,8x 1O - 8Fy R=10\l

I ro' = 427,lradls I CONSTANTE DE TIEMPO.

2L , - --0- R -

2(6011)

104 0

! lO = 0,0125 I

Que no hayafem en el circuito R-L-C serie significa que el capacitor tiene una carga inicial.

31. La constante de ti empo de un circuito R-L-C en sene es de 0,01 segun do y su

frecuencia natural es of = 200 rad/s. Trace una gráfica de q en función de t, en que q es la carga en el capacitor, suponiendo una solución oscilatoria amorti guada con qo""lO-6C y5 -:= O. En el circuito no hay fem aplicada.

Solución

R

In\o! rrup\.Ot .err. do

e , L--~----4, ,f--------'

En este circuito, la corricntc oscilante está cx· prcsada mediante

/( 1) "" Joe - RU'2Lcos(oft+5)

donde la frecuencia natural de oscilación es

J I R 2 ' ro'"" LC- 4 L2

La carga almacenada en el capacitor se obtiene integrando la corriente en un intervalo de tiempo; es decir

q(l) "" J~/(t)dt

Para 5",00

'o e - R,nL(OO'senOO'I--!LCOSOO'I) l: (R 1/4L 2 )+OO,2 u

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De la constante de tiempo del circuito

2L R 2 1 'O = ¡¡ = --2=2"

4 L 'o

Reemplazando en la ecuación de la carga

- R fIlL R lo, (ro's,,,ro'I-UCOSro' l ) q (1)=

1 /~+ro,l

La carga en el tiempo t = O es

¡oR/2L qo = - (l ltl)+w'2

El signo negativo indica que el capaeitor ac túa como una fuente de tensión variable (se descarga en el tiempo).

Considerando sólo la magnitud

_~/o::-/~'o,--" q - e 0- (1/Ii)+ro,2

Despejando la amp litud de la corriente y reemplazando valores

/0 = qo'O( 1 Ili+ro' 2)

= (10 - 6 )(0,01)[ 1 2+(200)2 ] (0,01 )

= SxlO- 4 A

Finalmente, en la expresión de la carga en fun ción del tiempo

5 x 10 - · t - ,/0.01 (200u" 200, _ c(>,200 ¡ )

q(I) _ 0,0\ "" 10 \/(0,0])1 ... 2001

.. 10 e , lOO '(211,,200¡ _ co.r2001 ) + 10 (,

q ( I )= IO - t.( .! IOO'(2un2001 _

- cos200/)+ 11

Los elementos del circuito están relacionados mediante

RI2L = 1OOs- 1

y

La grafiea de q vs./ es

3 2 . En el diagrama se muestra un circui-to R-C con una "fuente de poder" de

100 lJolt$ (rms), a 60 H~. Si un estudiante mide 80 V en el capacitor, ¿qué voltaje observará para la resistencia?

R

.00 v

60 lb c : ~ 80 V(r .... )

Solución

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31. FUNDAMENTOS DE FISICA SUPERIOR (CAP. 22

En este caso utilizaremos el diagrama rasorial que se muestra

1 o1VR,

•

Aplicando ellcorema de Pilágoras

J '1:0 1 1 .1.V",.- -= (-T2) -(.o.Vc . .- )

= ...¡ (IOOV)' - (80V)'

I·VR,'~ = 60V I El voltaje de lafem est' dado por

'l: -= lOO.J"2 cos 317 t

y la corriente

J = lo cos(377 t + qt)

-= locos[ 377 1+1an- 1 (:~)]

= Jocos(377t+O,927 )

3 3 . Un circui to R-L-C en ser ie tiene una lámpara de 300 W, un capAcitar de

2 ~y una inductancia variable . El circui· to está conectado a una fem alter na de 117 Vy 60Hz . La lámpara es una resistencia ideal, diseñada para consumir 300 WQtts de potencia a 117 uolts. (a ) Halle la resistencia de la lámpara. (b) ¿Qué valor de L hará que alumbre con su máxima intensidad? (e) Cuando se duplica la ¡nductancia para atenuar la luz (por ejemplo, insertando un imán permanente en la bobina de inductancia), ¿qué potencia consume la lá mpara?

Solución

L

R

e

a) Si la lámpara es considerada como una resistencia ideal, la potencia que consume utA da

da p'"

de donde R = y2¡p

Reemplazando los valores correspondientes al diseño de la limpara se obtiene

R = ( 1l7y)2 300 W

I R = 45,63 0 I b) La lámpara alumbrará con su máxima inten

sidad cuando la impedancia del circuito sea únicamente resistiva; es decir, cuando se produzca el fenómeno de resonancia eléctrica. En tal caso

En función de la frecuencia

roL = l/roe

Despejando la inductancia y reemplazando valores ,

1 L =-",'e = -( -:-2 n-~':-)"-:Cc

= _____ ~l~ __ ~_ (2:n (60Hz) J2(2x 10 - 6 F)

IL=3,'2H1

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CAP. 22\ CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA· RESONANCIA 319

e) Cuando se duplica el valor de L, la impedancia del circuito es

~--~

Z = ,JR 2 +( X L - X C )2

= ,JR 2+(Ol L _lIroC)2

=JR 2+(21t/L - 2 X1/C)2

ParaR = 4.5,630 ; / = 60/lz ; L ::: 7,04H y C::: 2xlO- 6Fsetiene

Z= 1328,60 Entonces, la amplitud de la corriente es

lo='l:o/Z 117V

= l32860 =O,0881A

y la potencia consumida por la lámpara

P = liR= (0,088 I A)2 4.5,630

Ip=O.3S. WI

34. La resiste ncia de una bobina es de 10 O Y su induelancia es de 0 ,2 H . Es

tá conectada en serie con un capacitor variable y una fuente de C. A. de 110 V, 60 Hz. Obtenga el valor de e que dé la máxi· ma amplitud de corriente, y también el factor de calidad o..del circuito. En la condici6n de resonancia, ¿cuáles son los voltajes en la bobina y el condensador?

Soluclmt

' -----r--' Kle"",nto lnduetor

- .. ~., 7 ~ e

La corriente en el circuito está dada por

lo = 'l:o/Z

La amplitud de la com ente es mh ima cuando se produce resonancia, (la reactancia total del cir· cuito se anula). Entonces, sc cumple

y

I _'l: o _ ll0V o .... - , - 100

En función de la frecuencia

roL = l/roC

Despejando la capacitancia

=!lA

=---'--:-{2n (60 IIz) 120,2 /1

I C = 3,.52x lO-' F I El factor de calidad del circuito es igual a

0..= roL = 2n{L , , _ 21t(60lIr) 0,211 - 100

I Q.= 7.s·1 Como, en resonancia, las reactlncias son iguales; entonces los voltajes en el inductor y en el capacitar también scrán iguales.

.1VL = I1Vc = 10 XL = 10 X c ~. -

= 10 X - ... [*1

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•

320 FUNDAMENTOS DE FISICA SUPERIOR (CAP. 22

Para el inductor

X=X L =ooL=27tjL

= 21t(60H%)(O,2H)

= 75,40

Reemplazando en [*]

.ó.VL = 6Vc = (11 A)(75,4Q)

I.ó.VL = t.Vc = 829,4 vi La impedancia de la bobina es

ZL = ..J,2+xi.

= ..J( 100)2+(75,40)2

= 76,1 n

Entonces, la caida de tensión en la bobina será

= (Il A )(76,ln)

1'·"v"-z,-=---':-83'""--:.'-'-v" l

El diagrama rasorlal es como se muestra

= arctGn(75.4n/iOQ)

= 82,40

35. A través de una r esistencia R pasan una corriente alterna 1] = locosooty

una corriente continua (dlrecta) 1'0- De-

muestre que la corriente eficaz orcm (rms)

está dada por 1 ,.~. = l' t + I~ /2.

Sugerencia: Calcule la potencia media disipada en la resistencia.

Solución

Por definición de la corriente eficaz

Esta expresión nos indica que la potcnciadisipada en la resistencia, mediante la corriente eficaz, es igual al valor medio de la potencia instantÚlea en un intervalo de tiempo.

, fT J};,.. R = l' o V(t)l(t)dl

Pero, por condición, se sabe que a través de la resistencia circulan dos corrientes simultáneamente, (una alterna y otra direc ta); entonces, la comente to tal que circula por la resistencia estará dada por

I(t) = lO COS OH + 1'0

Reemplazando I (t) en [*]

2 , fT l,trU R "" l' O [V(t)OJocosúlt+

Como

, =1'

+ V ( t ) ' l'o Jdt

+ (I'OR)I'O]dl

1+cos(2rol) 2

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CAP. 22) CIRCU1TOS DE CORRIENTE ALTERNA· RESONANCIA 321

entonces

, lo T

= -(- + T 2

1 fT " +1' O/odt

s~n2roT ) 1" 4ro + O

El período de la funciÓn es

T = 2x/ro

con lo cual

2. sen (2roT) = sen[2ro( -) ]

'" =un21t=0

Finalmente, el valor de l!u resulta

La gráfica de la oorriente en funci6n del tiempo es

El periodo de/{t) = lo coso>t + 1'0 es el mismo que el de la función lO cosrot.

36. Una corriente alterna que pasa a tra-vés de un resistor de 30 o produce por

calen tam iento Joule una disipación de 3000 W. Evalúe la comente y el voltaje eficaces en la resistencia.

Solución

La potencia media disipada en la resistencia se expresa mediante

de donde, la comente eficaz que circula por la resistencia es

1 = Ú / R ~

= ...J3000 W/30n

¡ l~ = IOA¡

El vohaje eficaz en el resiSl.Or es igual a

V __ = I __ R

= ( IDA) (300)

¡'V-_-=-300-V'¡ Se considera 1 nru en lugar de la amplitud de la

corriente lo porque la potenci a dada no es Uu

tántanea sino mÍll bien una potencia media que se disipa por efecto Joule.

37 . Un circuito R-L-C en serie tiene un resistor de 1 ooon, u n inductor de

10 H Y un capacitor de 1 ¡¡..F. Trace 108 diagrama s de impedancia para las frecuencias angula res de (O = 2 radie, 10 radie y 100 radie . Deter mine la impedancia total a cada una de estas frecuencias.

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322 FUNDAMENTOS DE FJSICA SUPERIOR [CAP. 22

Solución

H

L

lel ,,1-----'

REACTANClA lNDUCTIVA

XL = ro L

Tabulando valores de la reactancia para diferentes frecuencias angulares y L = 10 H

ro (radls) 2 10

XL ( n ) 20 100

REACTANCIA CAPAOTIVA

X e = IIro e

100

1 000

Tabulando valores para e = 1 x 10- 6 F

ro (rad/s ) 2 10 100

X c( n) 5 x loS 1 x lOS 1 x 104

- TRIANGULO DE IMPEDANCIA

x,

z

• H

y

z :: ~R 2 + ( XL _ X C) 2

= ~( 10 3 n) 2+( XL - X cl 2

:: ,flOó+ (XL

- Xc> 2

X L -Xc ql = arctan ( R )

Para las frecuencias angulares propuestas

ro X Xc Z ~ (01 (01 (0 1 ( ' )

2 20 500000 499 981 - 26,6

10 100 100 000 99905 - 5,7

100 1 000 \0000 9055 - 0,5

La frecuencia de resonancia O CUf,'(' cuando

X L= X c ~ roL = l/roe

es decir

= 3 16,2rad/s

G RAFICO DE IMP EDA NCIA vs . FRECUENCIA

z

R -------'"' ....... --

01. -316 rad l. •

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38. El factor de potencia de un motor de C. A. ea de O,S,y toma4A de una línea

de 220 V, 60 Hz. Calcule la potencia media que desarrolla el motor.

Solución

La potencia media desmollada por el motor eléctrico es

P=V/cos6 donde

V : Tensi6n entre líneas.

I : Corriente de Unca.

cos li : factor de potencia. Reemplazando valores

P = (220V)(4A)(O,5) = 440W

Como 1 hp ::: 746 W

39. Una corriente 1:: l ,.en tJ1t +- 10 sen 2«t fl uye por una resistencia R. Halle la

potencia media disipada durante el intervalo de tiempo 2,,/(1), Y determine la corriente y el voltaje eficaces.

Solución

Para tener una mejor idea de la conjente que circula. granearemos los componentes de la corriente en función del tiempo.

1

/ I \

\ ,. ".

O • S • \ I , /

El periodo de la función /1 sen ro t es 2ft 10).

mientras que el de lo sen 2 (j) t es 1t 1m..

La polencia disipada durante el intervalo de tiempo 2 ni m está dada por

p = 1 (2 JI: /m)

2e/0)

+2(1t1/m) 1 (lo sett2mt)2Rdt

= mR 2.

2'11:/tIJ

OO, i " +"'2'1t O lo sen 2m t dt

Como, por relaciones trigonomElricas

y

l-cos 2 rot 2

, 1 sU! 2mt=

cos4 OH

2

Entonces

1', ]2'11: /. m I t sen2 0H p =--(-- ) + 21t 2 4m o

ml;R t sen 4rot ]2c/m + ----z1t ( '2 - 8 m )

o , ,

mIl R 7t mIo R JI: = --(-)+--(- )

211 ro 211 ro

1 , , p = '2(11 + 10 ) R

Por deHnici6n de corriente eficaz

/ 2 R = P -

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324 FUNDAMENTOS DE F1SlCA SUPERIOR ICAP.22

Reemplazando el vaJor de P

1 I 2 2 Inru R = 2(1\ +10 )R

despejando 1 .......

El voltaje erieal. es igual a

Vr ..... '" I,.".,R

4 0. Un circuito R·e t iene una resistencia de 10 3 n y una ca pacitancia de 10 - 8

F. Si se utiliza como un filtro de paso alto, como en la figura, demuestre que las frecuenciAs en el rango de kiloMrtz son eliminadas efectivamente, mientraS que se conservan las que están en el rango de mega hertz.

~'-",:-11 - ------: • I C I I I

. I R I I I I I

Solucl6n

Como sus nombres lo indican, un filtro de pasa alto solamente deja pasar el rango alto de frecuencias, en cambio un filtro de pasa bajo sólo transmite el rango bajo de frecuencia:.

Un circuito que deja pasar frecuencias cercanas a la de resonancia se conoce con el nombre de Mcircuito lanqueM•

El que se elimine un cieno rango de frecuencias depende de la relaci6n de los voltajes de entrada

y de salida.

Filtro de Pua Ah.,

'~---!:!-II-------1

1 I c I I I I R I I I I I I I

La ganancia de un circuilO se dertne por

. V GANANCIA = /'" ... (. ]

6. ,,.1

y la atenuaci6n

aV Al'ENUACJON = ~

6.V1",

Considerando 6.V'N = 'tOcosro/. la corriente

que pasa por el circuito es

" / = ZCOS(ro l -ep)

en donde

Xc 1 /allep = R = roC R

Reemplazando en '''1 6.VI <u / R --=

R cos(ro t -<p)

cos ro I

x cos ro/ .cos <p+senrol .UIIg!

cos rol

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CAP 22) CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA· RESONANCIA 325

Para obtener la ganancia a esta frecuencia, se toma el valor medio de "la magnitud absoluta" de esta cantidad.

El promedio en el tiempo de la función lan (J)I es cero.

Entonces, dc:l triángulo de impedancia

La ganancia del filuo pasa alto ser'

R COjee aV,.., I aV.", m.ed = '¡~l+(_I_ ),

roe

aV,., I .' ~ m~d = R2+(I/<oC)2

Es importante observar que esta relación ti funciOO de la frecuencia. Pan <O butante grande, la 'elctancia capacitiva tiende a cero y la ganancia se aproxima a la unidad; ista c:¡ la razOO por la que se llama filtro de pasa alto.

La relación hallada en 1\mci.6n de la frecuencia es

OV,.I I .' OV.", m.ed = R 2+{ 1/2 x/C)1

PARA FRECUENCIAS EN EL RANGO DE iJ/z.

Considerando I = 10 3 Hz; R = 10 3 O: Y

C = IO-' F

I =3,9xlO-3 =d

PARA FRECUENCIAS EN EL RANGO DE MH,

Considerando / = 10 61/z; R = 10 3 O: Y

C= IO- I F

I = 0,9997 =d

Estos rcsultados nos demuestran que lIS frecuencias transmitidas son del orden de megahertz.

La gráfica de la ganancia VI. ro para un filtro pasa alto es como se muestra

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cap_8_circuitos de corriente alterna - resonancia

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