Sistemas No LinealesMara Marta Seron Departamento de Electrnica Universidad Nacional de Rosario Notas de clase basadas en Khalil, H. Nonlinear Systems. Segunda edicin. Prentice Hall, NJ, 1996. Semestre I Ao 2000

ndice GeneralI Anlisis1 Introduccin 1.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Ecuacin del Pndulo . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Circuito con Diodo Tnel . . . . . . . . . . . 1.2.3 Sistema Masa-Resorte . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Oscilador de Resistencia Negativa . . . . . . 1.2.5 Control Adaptable . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Sistemas de Segundo Orden . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Sistemas Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Equilibrios Mltiples . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Comportamiento Cualitativo Cerca de un PE 1.4 Ciclos Lmites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34 4 5 5 5 6 7 7 8 8 11 11 12 14 14 14 15 16 22 24 25 27 27 31 32 34 35 38 41 45 45 50 52 54 54 57 59

2

Propiedades Fundamentales 2.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Desigualdad de GronwallBellman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Mapeo Contractivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Existencia y Unicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Dependencia Continua Con Respecto a Condiciones Iniciales y Parmetros 2.4 Diferenciabilidad de la Solucin y Ecuaciones de Sensibilidad . . . . . . . . 2.5 Principio de Comparacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Estabilidad Segn Lyapunov. Sistemas Estacionarios 3.1 El Teorema de Estabilidad de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Mtodo del Gradiente Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Sobre la Regin de Atraccin. Estabilidad Asinttica Global 3.1.3 Inestabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 El Principio de Invariancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Regin de Atraccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Sistemas Lineales y Linealizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

4

Estabilidad Segn Lyapunov. Sistemas Inestacionarios 4.1 El Teorema de Estabilidad de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Teoremas Conversos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Teoremas de Invariancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Estabilidad de Sistemas Perturbados 5.1 Perturbacin de un PE Exponencialmente Estable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Perturbacin de un PE Uniformemente AE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Estabilidad EntradaEstado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1

6

Estabilidad EntradaSalida 6.1 Estabilidad L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 LEstabilidad de Modelos de Estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62 62 65 67 67 69 72 73 76 77 81

7 Anlisis de Sistemas Realimentados 7.1 Estabilidad Absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1 Criterio del Crculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.2 Criterio de Popov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Ganancia L2 (Seccin 6.4 de [2], p.276) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Teorema de la Pequea Ganancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Pasividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.1 Estabilidad de la Interconexin en Realimentacin de Sistemas Pasivos

II Control8 Control en Realimentacin 8.1 Problemas de Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.1 Estabilizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.2 Seguimiento en Presencia de Perturbaciones 8.2 Diseo Via Linealizacin . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.1 Estabilizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Regulacin Via Control Integral . . . . . . . . . . . . 8.4 Control por Ganancia Tabulada . . . . . . . . . . . . 8.4.1 Ejemplo: Control de Nivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8586 86 86 88 88 88 91 93 93 97 97 103 105 107 109 110

9 Linealizacin Exacta por Realimentacin 9.1 Linealizacin EntradaEstado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Linealizacin EntradaSalida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.1 Linealizacin EntradaSalida y Estabilidad Interna. Forma Normal 9.2.2 Dinmica de los Ceros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Estabilizacin por Realimentacin de Estados . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.1 Sistema Parcialmente Linealizable . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10 Diseos Basados en Lyapunov 112 10.1 Backstepping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 10.2 Control por Modo Deslizante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

2

Captulo 3

Estabilidad Segn Lyapunov. Sistemas EstacionariosEn este captulo tratamos estabilidad de puntos de equilibrio.

3.1 El Teorema de Estabilidad de LyapunovConsideremos el sistema estacionario x = f (x) (3.1)

donde f : D Rn es un mapeo localmente Lipschitz desde un dominio D Rn en Rn . Supong amos que x D es un PE de (3.1), es decir f ( x) = 0. Vamos a caracterizar y estudiar la estabilidad de x. Por conveniencia, vamos a asumir que x = 0 (esto no nos hace perder generalidad porque, si no es as, denimos y = x x y trabajamos con la ecuacin y = g(y), donde g(y) f (y + x), que tiene un equilibrio en el origen.)

D

Denicin 3.1.1. El PE x = 0 de (3.1) es estable, si para cada > 0 existe = ( ) tal que x(0) < = inestable si no es estable. asintticamente estable (AE) si es estable y puede elegirse tal que x(0) < = lim x(t) = 0t

x(t) < ,

t 0

Los tres tipos de estabilidad se pueden ver en la ecuacin del pndulo (1.4). Los PE son (0, 0) y (, 0). Considerando que no hay friccin, o sea tomando k = 0, vimos en el Ejemplo 1.2.1 que las trayectorias en el entorno del primer PE son rbitas cerradas. Empezando sucientemente cerca del PE se puede garantizar que las trayectorias van a permanecer en cualquier bola preespecicada alrededor del PE. Por lo tanto, el PE es estable. No es AE, sin embargo, porque las trayectorias que comienzan fuera del PE nunca tienden a l. Si consideramos friccin (k > 0), el PE en el origen es un foco estable. La inspeccin del retrato de fase de un foco estable muestra que el requisito para estabilidad se satisface; ms an, las trayectorias que comienzan cerca del PE tienden a l cuando t tiende a . El segundo PE en (, 0) es un punto de ensilladura. Es obvio que el requisito para estabilidad no se satisface porque, para cualquier > 0, siempre

27

hay una trayectoria que deja la bola {x Rn | x x }, an cuando x(0) sea arbitrariamente cercano al PE. La Denicin 3.1.1 tiene como condicin implcita la existencia de la solucin para todo t 0. Esta propiedad de existencia global (en el tiempo) de la solucin no est garantizada, como ya vimos, por la Lipschitzidad local de f . Vamos a ver, sin embargo, que las condiciones adicionales que requiere el Teorema de Lyapunov van a garantizar la existencia global (en el tiempo) de la solucin. Recin vimos que para el ejemplo del pndulo se pueden determinar las propiedades de estabilidad analizando el retrato de fase. Este enfoque es difcil de extender a sistemas de orden mayor que dos. Vamos a ver que las conclusiones a las que llegamos analizando el retrato de fase del pndulo se pueden obtener tambin usando conceptos de energa. Denamos la energa del pndulo E(x) como la suma de sus energas cintica y potencial, con referencia de energa potencial elegida tal que E(0) = 0, es decir,x1

E(x) =0

(g/l) sen y dy +

1 2 1 2 x2 = (g/l)(1 cos x1 ) + x2 2 2

(3.2)

Cuando no hay friccin (k = 0), el sistema es conservativo, es decir, no hay disipacin de energa. Por lo tanto, E = constante durante la evolucin del sistema, i.e., dE/dt = 0 sobre las trayectorias del sistema. Como E(x) = c forma contornos cerrados alrededor de x = 0 para c pequeo, concluimos que x = 0 es un PE estable. Cuando consideramos friccin (k > 0), se disipa energa durante la evolucin del sistema, i.e., dE/dt 0 sobre las trayectorias del sistema. O sea que la energa decrece hasta que llega a cero, mostrando que la trayectoria tiende a x = 0 cuando t . En 1892, Lyapunov mostr que algunas otras funciones, no solo la energa, pueden usarse para determinar la estabilidad de un PE. Sea V : D R una funcin continuamente diferenciable en un dominio D Rn que contiene el origen. La derivada de V a lo largo de las trayectorias de (3.1) est dada por f 1 (x) f (x) n n V V V V V V 2 V(x) = xi = f i (x) = x1 , x2 , . . . , xn . = f (x) xi xi x . . i=1 i=1 f n (x) Teorema 3.1.1 (Lyapunov). Sea el origen x = 0 un PE de (3.1) y sea D Rn un dominio que contiene el origen. Sea V : D R una funcin continuamente diferenciable tal que V(0) = 0 V(x) 0 Entonces x = 0 es estable. Ms an, si V(x) < 0 entonces x = 0 es AE. Demostracin: Dado > 0, elijamos r (0, ] tal que Br = {x Rn | x r} D Sea = minx =r

y en

V(x) > 0 D

en

D {0}

(3.3) (3.4)

en

D {0}

(3.5)

V(x). Entonces > 0 por (3.3). Tomemos (0, ) y sea = {x Br | V(x) }

Entonces est en el interior de Br (si no fuera as, existira un punto p que se encuentra sobre la frontera de Br . En este punto, V(p) > , pero para todo x , V(x) , lo cual es 28

una contradiccin). El conjunto tiene la propiedad de que toda trayectoria que comienza en en t = 0 permanece en para todo t 0. Esto sigue de (3.4) ya que V(x(t)) 0 = V(x(t)) V(x(0)) , t 0

Como es un conjunto compacto (cerrado por denicin y acotado porque est contenido en Br ), concluimos por el Teorema 2.3.1 que (3.1) tiene una solucin nica denida para todo t 0 cuando x(0) . Como V es continua y V(0) = 0, existe > 0 tal que x = V(x) < Entonces B Br y x(0) B = x(0) = x(t) = x(t) Br , Por lo tanto x(0) < = x(t) < r , t 0 t 0

lo que muestra que el PE en x = 0 es estable. Supongamos ahora que (3.5) tambin vale. Para mostrar EA debemos probar que x(t) 0 cuando t . Como V es continua y V(0) = 0, es suciente mostrar que V(x(t)) 0 cuando t . Como V(x(t)) es monotnicamente decreciente y acotada inferiormente por cero, V(x(t)) c 0 cuando t

Mostramos que c = 0 por contradiccin. Supongamos que c > 0. Por continuidad de V(x), existe d > 0 tal que Bd c . El lmite V(x(t)) c > 0 implica que la trayectoria x(t) permanece fuera de la bola Bd para todo t 0. Sea = maxd x r V(x), el cual existe porque la funcion continua V(x) alcanza un mximo sobre el conjunto compacto {d x r}. Sabemos que < 0 por (3.5). Integrando V(x) tenemos quet

V(x(t)) = V(x(0)) +0

V(x()) d V(x(0)) t

Como el lado derecho se va a hacer negativo despus de un cierto tiempo, la desigualdad contradice la suposicin de que c > 0. Una funcin continuamente diferenciable que satisface (3.3) y (3.4) se denomina funcin de Lyapunov. La supercie V(x) = c se denomina supercie de Lyapunov o supercie de nivel. Usando supercies de Lyapunov es fcil interpretar el Teorema 3.1.1 (ver Figura 3.2 en p.102 de [2]). La condicin V 0 implica que cuando la trayectoria cruza la supercie de Lyapunov V(x) = c se introduce en el conjunto c = {x Rn | V(x) c} y nunca puede salir de l. Cuando V < 0, la trayectoria se mueve de una supercie de Lyapunov a otra supercie de Lyapunov interior con un c menor. A medida que c decrece, la supercie de Lyapunov V(x) = c se achica hasta transformarse en el origen, mostrando que la trayectoria tiende al origen cuando t . Si solo sabemos que V 0, no podemos asegurar que la trayectoria tienda al origen, pero podemos concluir que el origen es estable porque la trayectoria puede ser encerrada en cualquier bola B solo con requerir que el estado inicial x(0) pertenezca a una supercie de Lyapunov contenida en dicha bola. Una funcin V(x) que satisface (3.3) se dice denida positiva. Si satisface la condicin ms dbil V(x) 0 para x = 0, se dice semidenida positiva. Una funcin se dice denida negativa o semidenida negativa si V(x) es denida positiva o semidenida positiva, respectivamente. Si V(x) no tiene signo denido con respecto a alguno de estos cuatro casos se dice indenida. El teorema de Lyapunov se puede enunciar, usando esta nueva terminologa como: el origen es estable si existe una funcin denida positiva y continuamente diferenciable tal que V(x) es semidenida negativa, y es AE si V(x) es denida negativa.

29

Ejemplo 3.1.1. Sea V la forma cuadrtica V(x) = x T Px donde P es una matriz real y simtrica. V(x) es (semi)denida positiva sii todos los autovalores de P son (no negativos) positivos, lo que vale sii todos los menores principales de P son (no negativos) positivos. Si V(x) = x T Px es (semi)denida positiva, decimos que la matriz P es (semi)denida positiva y escribimos (P 0) P > 0. Por ejemplo, si a 0 1 P = 0 a 2 1 2 a entonces V(x) es positiva denida si a > 5 y denida negativa si a < 5.

Ejemplo 3.1.2. Consideremos la ecuacin diferencial de primer orden x = g(x) donde g(x) es localmente Lipschitz en (a, a) y satisface g(0) = 0 ; x g(x) > 0 , x = 0 , x (a, a)

Este sistema tiene un PE aislado en el origen. Consideremos la funcinx

V(x) =0

g(y) dy

En el dominio D = (a, a), V(x) es continuamente diferenciable, V(0) = 0 y V(x) > 0 para todo x = 0, es decir, es una candidata a funcin de Lyapunov vlida. Calculemos su derivada a lo largo de las trayectorias del sistema: V V(x) = [g(x)] = [g(x)]2 < 0 , x Concluimos usando el Teorema 3.1.1 que el origen es AE. x D {0}

Ejemplo 3.1.3 (Pndulo sin friccin). Consideremos la ecuacin del pndulo sin friccin (ecuacin (1.4) con k = 0) con la funcin de energa (3.2) como funcin de Lyapunov. Tenemos que V(0) = 0 y V(x) es denida positiva en el dominio 2 x1 2. Adems V(x) = (g/l) x1 sen x1 + x2 x2 = 0 Por lo tanto se satisfacen las condiciones (3.3) y (3.4) del Teorema 3.1.1 probando que el origen es estable. Como V(x) 0 podemos tambin concluir que el origen no es AE. Ejemplo 3.1.4 (Pndulo con friccin). Consideremos la ecuacin del pndulo con friccin (ecuacin (1.4) con k > 0) con la funcin de energa (3.2) como funcin de Lyapunov. Tenemos que2 V(x) = (g/l) x1 sen x1 + x2 x2 = (k/m) x2

V(x) es semidenida negativa pero no es denida negativa porque se anula sobre todo el eje x2 = 0. Por lo tanto solo podemos concluir que el origen es estable. Sin embargo ya sabemos, analizando el retrato de fase, que en este caso el origen es AE, por lo tanto esta eleccin de funcin de Lyapunov junto con el Teorema 3.1.1 no son concluyentes para probar las propiedades de estabilidad del PE (vamos a ver ms adelante que el Teorema de invariancia de Lasalle nos 30

va a permitir probar AE usando la funcin de energa). Partiendo de la funcin de energa, 2 reemplacemos el trmino (1/2)x2 por la forma cuadrtica general (1/2)x T Px y tratemos de elegir los elementos de P tal que V(x) sea una funcin de Lyapunov vlida. Una posible eleccin es P= 0.5(k/m)2 0.5(k/m) 0.5(k/m) 1 El ejemplo anterior muestra que las condiciones del Teorema 3.1.1 son solo sucientes. Si una dada candidata a funcin de Lyapunov no alcanza para probar que el PE es AE no signica que no lo sea.

3.1.1

Mtodo del Gradiente Variable

Es un mtodo para construir funciones de Lyapunov. Sea V(x) una funcin escalar de x y g(x) = (V/x) T . Enconces V f (x) = g T (x) f (x) V(x) = x La idea es tratar de encontrar g(x) tal que sea el gradiente de una funcin denida positiva V(x) y tal que V(x) sea denida negativa. Es fcil de probar que g(x) es el gradiente de una funcin escalar sii la matriz Jacobiana [g/x] es simtrica, es decir g j gi = , x j xi i, j = 1, 2, . . . , n

Bajo esta restriccin, elegimos g(x) tal que g T (x) f (x) sea denida negativa. Luego V(x) se computa mediante la integralx x n

V(x) =0

g T (y)dy =

0 i=1

gi (y)dyi

Como la integral de un gradiente no depende del camino, podemos integrar a lo largo de los ejes:x1 x2 xn

V(x) =0

g1 (y1 , 0, . . . , 0)dy1 +

0

g2 (x1 , y2 , . . . , 0)dy2 + +

0

gn (x1 , x2 , . . . , yn )dyn

Ejemplo 3.1.5. Consideremos el sistema x1 = x2 , x2 = h(x1 ) ax2 donde a > 0, h es localmente Lipschitz, h(0) = 0 y adems y h(y) > 0 para todo y = 0, y (b, c) para ciertas constantes positivas b y c. La ecuacin del pndulo es un caso particular de este sistema. Queremos elegir un vector de dos componentes g(x) tal que g1 g = 2 x2 x1 V(x) = g1 (x)x2 g2 (x)[h(x1 ) + ax2 ] < 0 ,x

(3.6) x=0

V(x) =0

g T (y) dy > 0 ,

x=0

31

Probemos con g(x) = (x)x1 + (x)x2 (x)x1 + (x)x2 (3.7)

donde las funciones escalares , , y son a determinar. Empecemos calculando V(x):2 2 V(x) = (x)x1 x2 + (x)x2 a(x)x1 x2 a(x)x2 (x)x2 h(x1 ) (x)x1 h(x1 )

y para cancelar los productos cruzados (que no tienen signo denido) elegimos (x)x1 a(x)x1 (x)h(x1 ) = 0 de forma que2 V(x) = [a(x) (x)]x2 (x)x1 h(x1 )

(3.8)

Para simplicar elegimos (x) = constante, (x) = constante, y (x) = constante, por lo cual en (3.8) depende solo de x1 . La condicin de simetra (3.6) se reduce entonces a = . La expresin de g(x) en (3.7) resulta g(x) = Integrando obtenemosx1 x2

ax1 + h(x1 ) + x2 x1 + x2

V(x) =0

[ay1 + h(y1 )]dy1 +x1 0 x1

0

(x1 + y2 )dy2

=

1 2 ax1 + 2 1 = x T Px + 2

1 2 h(y)dy + x1 x2 + x2 2 h(y)dy

0

donde P= a

Eligiendo > 0 y 0 < < a aseguramos que V(x) es denida positiva y V(x) es denida negativa. Por ejemplo, tomando = ka con 0 < k < 1, obtenemos la funcin de Lyapunov V(x) = T ka2 x ka 2 ka x+ 1x1

h(y)dy0

(3.9)

que satisface las condiciones (3.3) y (3.4) del Teorema 3.1.1 en el dominio D = {x R2 | b < x1 < c}. Concluimos que el origen es AE.

3.1.2

Sobre la Regin de Atraccin. Estabilidad Asinttica Global

Sea (t; x) la solucin de (3.1) que comienza en t = 0 y supongamos que el origen x = 0 es un PE AE. Denimos como regin (dominio) de atraccin (RA) del PE al conjunto de todos los puntos x tal que limt (t; x) = 0. Es en general difcil o imposible encontrar analticamente la RA. Sin embargo se pueden usar funciones de Lyapunov para estimarla con conjuntos contenidos en la RA. Por la prueba del Teorema 3.1.1 sabemos que si existe una funcin de Lyapunov que satisface las condiciones de estabilidad asinttica en un dominio D, y si c = {x Rn | V(x) c} est acotado y contenido en D, entonces toda trayectoria que comienza en c permanece en c y 32

tiende al origen cuando t . Por lo tanto c es una estima de la RA. Esta estima puede ser conservadora, es decir, puede ser mucho ms chica que la RA real. Queremos saber bajo que condiciones la RA es todo el espacio Rn . Esto ser as si podemos probar que para todo estado inicial x, la trayectoria (t; x) tiende al origen cuando t , sin importar cuan grande es x . Si un PE AE tiene esta propiedad se dice que es globalmente AE (GAE). Recordando otra vez la prueba del Teorema 3.1.1 vemos que se puede probar GAE si se puede asegurar que cada punto x Rn puede incluirse en el interior de un conjunto acotado c . Esto no siempre va a ser posible porque para valores grandes de c el conjunto c puede no ser acotado. Consideremos por ejemplo la funcin V(x) =2 x1 2 + x2 2 1 + x1

Las supercies de nivel V(x) = c son cerradas solo para valores pequeos de c (ver Figura 3.4 en p.110 de [2]). En este caso, c es acotado porque puede incluirse en una bola cerrada Br para algn r > 0. A medida que c crece, se llega a un valor a partir del cual la supercies de nivel V(x) = c es abierta y c no es acotado. Para que c est en el interior de una bola Br , c debe satisfacer c < inf x r V(x). Si = lim inf V(x) < r x r

entonces c ser acotado si c < . En el ejemplo anterior, = lim min2 2 x1 x1 2 + x2 = lim =1 2 2 |x1 | 1 + x 1 1 + x1

r x =r

Por lo tanto c ser acotado solo para c < 1. Una condicin adicional que asegura que c es acotado para todo valor de c es V(x) cuando x

Una funcin que satisface esta condicin se dice radialmente no acotada. Teorema 3.1.2 (BarbashinKrasovskii). Sea x = 0 un PE de (3.1). Sea V : Rn R una funcin continuamente diferenciable tal que V(0) = 0 y V(x) > 0 x = 0 x = V(x) V(x) < 0 x = 0 entonces x = 0 es GAE. Demostracin: Dado cualquier punto p Rn , sea c = V(p). La condicin (3.11) implica que para cualquier c > 0, existe r > 0 tal que V(x) > c cuando x > r. Por lo tanto c Br , lo que implica que c es acotado. El resto de la prueba es similar a la del Teorema 3.1.1. (3.10) (3.11) (3.12)

Ejemplo 3.1.6. Consideremos otra vez el sistema del Ejemplo 3.1.5, pero supongamos que la condicin yh(y) > 0 vale y = 0. La funcin de Lyapunov (3.9) satisface (3.10) y (3.11) para todo x R2 . Su derivada2 V(x) = a(1 k)x2 akx1 h(x1 )

es denida negativa para todo x R2 porque 0 < k < 1. Por lo tanto el origen es AE. Notemos que si el origen es GAE, entonces debe ser el nico PE del sistema. 33

3.1.3

Inestabilidad

Vamos a ver un teorema que prueba que un PE es inestable. Sea Sea V : D R una funcin continuamente diferenciable en un dominio D Rn que contiene al origen x = 0. Supongamos que V(0) = 0 y que hay un punto x0 arbitrariamente cercano al origen tal que V(x0 ) > 0. Elijamos r > 0 tal que la bola Br = {x Rn | x r} est contenida en D, y sea U = {x Br | V(x) > 0} (3.13) El conjunto U es no vaco. Su frontera est dada por la supercie V(x) = 0 y la esfera x = r. Como V(0) = 0, el origen est sobre la frontera de U en el interior de Br . Teorema 3.1.3 (Chetaev). Sea x = 0 un PE de (3.1). Sea V : D R una funcin continuamente diferenciable tal que V(0) = 0 y V(x0 ) > 0 para algn x0 con x0 arbitrariamente pequea. Denamos el conjunto U como en (3.13) y supongamos que V(x) > 0 en U. Entonces x = 0 es inestable. Demostracin: El punto x0 est en el interior de U y V(x0 ) = a > 0. La trayectoria x(t) que comienza en x(0) = x0 debe dejar el conjunto U. Para probar esto, notemos que mientras x(t) permanezca en U, V(x(t)) a porque V(x) > 0 en U. Sea = min{V(x) | x U y V(x) a} que existe porque la funcin continua V(x) tiene un mnimo en el conjunto compacto {x U y V(x) a} = {x Br | V(x) a}. Entonces > 0 yt

V(x(t)) = V(x0 ) +

V(x(s))ds a + t

0

Esta desigualdad muestra que x(t) no se puede quedar indenidamente en U porque V(x) est acotada en U. Ahora, x(t) no puede dejar U a travs de la supercie V(x) = 0 porque V(x(t)) a. Por lo tanto debe dejar U a travs de la esfera x = r. Como esto pasa para x0 arbitrariamente pequea, el origen es inestable. Ejemplo 3.1.7. Consideremos el sistema de segundo orden x1 = x1 + g1 (x) x2 = x2 + g2 (x) donde g1 y g2 satisfacen |gi (x)| k x2 2

en un entorno D del origen. Esta desigualdad implica que gi (0) = 0, por lo tanto el origen es un PE. Consideremos la funcin 1 2 2 V(x) = (x1 x2 ) 2 Sobre el eje x2 = 0, V(x) > 0 en puntos arbitrariamente cercanos al origen. El conjunto U est gracado en la Figura 3.5 en p.112 de [2]. La derivada de V(x) sobre las trayectorias del sistema es 2 2 V(x) = x1 + x2 + x1 g1 (x) x2 g2 (x) La magnitud del trmino x1 g1 (x) x2 g2 (x) satisface |x1 g1 (x) x2 g2 (x)| Por lo tanto, V(x) x2 2 2

i=1

|xi ||gi (x)| 2k= x2 2 (1 2k

x

3 2

2k x

3 2

x

2)

Eligiendo r tal que Br D y r < 1/(2k), vemos que todas las condiciones del Teorema 3.1.3 se satisfacen. Entonces el origen es inestable. 34

3.2 El Principio de InvarianciaEn el Ejemplo 3.1.4 vimos que la funcin de energa no era suciente para probar que el origen 2 es AE porque V(x) = (k//m)x2 es solo semidenida negativa. Sin embargo V(x) es siempre negativa salvo en el eje x2 = 0, donde V(x) = 0. Para que el sistema pueda mantener la condicin V(x) = 0, la trayectoria debe quedar connada al eje x2 = 0. Pero esto es imposible a menos que x1 = 0 porque x2 (t) 0 = x2 (t) 0 = sen x1 (t) 0 Por lo tanto, en el segmento < x1 < del eje x2 = 0, el sistema puede mantener la condicin V(x) = 0 solo en el origen. Es decir V(x(t)) debe decrecer a cero y en consecuencia x(t) 0 cuando t . Esta idea puede formalizarse en el principio de invariancia de Lasalle, que vamos a enunciar y demostrar luego de introducir algunos conceptos. Sea x(t) una solucin de (3.1). Un punto p es un punto lmite positivo de x(t) si existe una secuencia {tn }, con tn cuando n , tal que x(tn ) p cuando n . El conjunto de todos los puntos lmites positivos de x(t) se denomina el conjunto lmite positivo de x(t). Un conjunto M es un conjunto invariante con respecto a (3.1) si x(0) M = x(t) M , Un conjunto M es un conjunto invariante positivo si x(0) M = x(t) M , t 0 > 0 existe T > 0 tal t R

Decimos que x(t) tiende a M cuando t tiende a innito si para cada que dist(x(t), M) < , t > T

donde dist(p, M) denota la distancia de un punto p a un conjunto M, es decir, dist(p, M) = inf xM p x . Un PE AE es el conjunto lmite positivo de toda solucin que comience sucientemente cerca del PE. Un ciclo lmite estable es conjunto lmite positivo de toda solucin que comience sucientemente cerca del ciclo lmite. La solucin tiende al ciclo lmite cuando t pero no necesariamente a algn punto especco del ciclo lmite, es decir el limt x(t) no necesariamente existe. El PE y el ciclo lmite son conjuntos invariantes porque toda solucin que comience sobre ellos se queda all para todo t R. El conjunto c = {x Rn | V(x) c} con V(x) 0 para todo x c es un conjunto invariante positivo. Lema 3.2.1. Si una solucin x(t) de (3.1) es acotada y permanece en D para todo t 0, entonces su conjunto lmite positivo L+ es un conjunto invariante, no vaco y compacto. ms an x(t) L+ cuando t Teorema 3.2.2 (Lasalle). Sea D un conjunto compacto que es invariante positivo con respec to a (3.1). Sea V : D R una funcin continuamente diferenciable tal que V(x) 0 en . Sea E el conjunto de todos los puntos de donde V(x) = 0. Sea M el mayor conjunto invariante en E. Entonces toda solucin que comienza en tiende a M cuando t . 35

Demostracin: Sea x(t) una solucin de (3.1) que comienza en . Como V(x) 0 en , V(x(t)) es una funcin decreciente de t. Como V(x) es continua en el conjunto compacto , est acotada inferiormente en , por lo tanto V(x(t)) tiene un lmite a cuando t . Notemos tambin que el conjunto lmite positivo L+ est en porque es un conjunto cerrado. Para cada p L+ , existe una secuencia tn tal que tn y x(tn ) p cuando n . Por continuidad de V(x), V(p) = limn V(x(tn )) = a, lo que implica V(x) = a en L+ . Como L+ es un conjunto invariante (por Lema 3.2.1), V(x) = 0 en L+ . Por lo tanto, L+ M E Como x(t) es acotada, x(t) tiende a L+ cuando t (por Lema 3.2.1). Por lo tanto x(t) tiende a M cuando t . A diferencia del Teorema de Lyapunov, el Teorema 3.2.2 no requiere que V(x) sea denida positiva. Tampoco el conjunto est necesariamente ligado a la construccin de V(x). Sin embargo, en muchas aplicaciones, la construccin de V(x) en si misma va a garantizar la existencia de un conjunto . En particular, si c = {x Rn | V(x) c} es acotado y V(x) 0 en c , entonces podemos tomar = c . Cuando V(x) es denida positiva, c es acotado para c > 0 sucientemente pequeo. Esto no es verdad en general si V(x) no es denida positiva. Por ejemplo si V(x) = (x1 x2 )2 , el conjunto c no es acotado por ms pequeo que sea c. Si V(x) es radialmente no acotada (o sea, verica (3.11)), el conjunto c es acotado para todo valor de c, sea V(x) denida positiva o no. Cuando nuestro inters es el de mostrar que x(t) 0 cuando t , tenemos que probar que el mximo conjunto invariante en E es el origen. Esto se hace mostrando que ninguna solucin, excepto la trivial x(t) = 0, puede permanecer idnticamente en E. Especializando el Teorema 3.2.2 a este caso, obtenemos los siguientes corolarios, que extienden los Teoremas 3.1.1 y 3.1.2.

Corolario 3.2.3. Sea x = 0 un PE de (3.1). Sea V : D R una funcin continuamente diferen ciable y denida positiva en un dominio D que contiene al origen x = 0, y tal que V(x) 0 en D. Sea S = {x D | V(x) = 0} y supongamos que ninguna solucin, excepto la trivial x(t) = 0, puede permanecer idnticamente en S. Entonces el origen es AE. Corolario 3.2.4. Sea x = 0 un PE de (3.1). Sea V : Rn R una funcin continuamente diferen ciable, radialmente no acotada y denida positiva, y tal que V(x) 0 en Rn . Sea S = {x Rn | V(x) = 0} y supongamos que ninguna solucin, excepto la trivial x(t) = 0, puede permanecer idnticamente en S. Entonces el origen es GAE. Ejemplo 3.2.1. Consideremos el sistema x1 = x2 x2 = g(x1 ) h(x2 ) donde g y h son localmente Lipschitz y satisfacen g(0) = 0 , h(0) = 0 , yg(y) > 0 , yh(y) > 0 , y = 0 , y (a, a) y = 0 , y (a, a)

El sistema tiene un PE aislado en el origen. Dependiendo de las funciones g y h, podra tener otros PE. La ecuacin de este sistema puede verse como una generalizacin de la del pndulo con h(x2 ) como el trmino de friccin. Tomemos como candidata a funcin de Lyapunov la funcin de energax1

V(x) =0

g(y)dy +

1 2 x 2 2

(3.14)

36

Sea D = {x R2 | a xi a}. V(x) es denida positiva en D. La derivada de V(x) sobre las trayectorias del sistema es V(x) = g(x1 )x2 + x2 [g(x1 ) h(x2 )] = x2 h(x2 ) 0 Por lo tanto, V(x) es semidenida negativa. Para caracterizar el conjunto S = {x D | V(x) = 0}, notemos que V(x) = 0 = x2 h(x2 ) = 0 = x2 = 0 , ya que a x2 a Por lo tanto S = {x D | x2 = 0}. Supongamos que x(t) es una trayectoria que pertenece idnticamente a S. Entonces x2 (t) 0 = x2 (t) 0 = g(x1 (t)) 0 = x1 (t) 0 Por lo tanto, la nica solucin que puede quedarse idnticamente en S es la trivial; concluimos que el origen es AE. Supongamos ahora que el parmetro a = y adems g satisface la condicin adicionaly 0

g(z)dz

cuando

|y|

La funcin de Lyapunov (3.14) es radialmente no acotada. En forma similar a lo hecho arriba se puede probar que V(x) 0 en R2 , y el conjunto S = {x R2 | V(x) = 0} = {x R2 | x2 = 0} contiene ninguna otra solucin salvo la trivial. Concluimos que en este caso el origen es GAE.

El teorema de Lasalle no solo relaja el requisito del teorema de Lyapunov de que la derivada sea denida negativa, sino que lo extiende en tres direcciones: da una estima de la regin de atraccin que no es necesariamente de la forma c = {x Rn | V(x) c}; se puede usar en casos donde exista un conjunto de equilibrio en lugar de un PE aislado; la funcin V(x) no tiene que ser denida positiva. Ejemplo 3.2.2. Consideremos el sistema de primer orden (cf. 1.2.5) y = ay + u y la ley de control adaptable u = ky , k = y2 , > 0

Tomando x1 = y y x2 = k, el sistema a lazo cerrado se representa como x1 = (x2 a)x12 x2 = x1

El eje x1 = 0 es un conjunto de equilibrio del sistema. Queremos probar que toda trayectoria del sistema tiende a este conjunto de equilibrio cuando t , lo que signica que el control adaptable logra regular y a cero. Consideremos la candidata a funcin de Lyapunov V(x) = 1 2 1 x + (x2 b)2 2 1 2 37

donde b > a. La derivada de V(x) sobre las trayectorias del sistema est dada por 1 V(x) = x1 x1 + (x2 b) x2 2 2 = x1 (x2 a) + x1 (x2 b) 2 = x1 (b a) 0

Como V(x) es radialmente no acotada, el conjunto c = {x R2 | V(x) c} es un conjunto invariante positivo compacto. Por lo tanto, tomando = c se cumplen todas las condiciones del Teorema 3.2.2. El conjunto E est dado por E = {x c | x1 = 0} Como todo punto en el eje x1 = 0 es un PE, E es un conjunto invariante. Por lo tanto, en este ejemplo, M = E. Por el Teorema 3.2.2 concluimos que toda trayectoria que comienza en c tiende a E cuando t ; es decir, x1 0 cuando t . ms an, como V(x) es radialmente no acotada, esta conclusin es global. Notemos que si no conocemos la constante a, o una cota de ella, la funcin de Lyapunov del ejemplo anterior no se conoce, solo se sabe que existe.

3.3 Regin de AtraccinSea el origen x = 0 un PE AE del sistema no lineal x = f (x) (3.15)

donde f : D Rn es localmente Lipschitz y D Rn es un dominio que contiene el origen. Sea (t; x) la solucin de (3.15) con estado inicial x en t = 0. La regin de atraccin (RA) del origen, R A , se dene como R A = {x D | (t; x) 0 cuando t }

El siguiente Lema enuncia algunas propiedades de la RA. Lema 3.3.1. Si x = 0 es un PE AE de (3.15), entonces su RA R A es un conjunto conexo e invariante. ms an, la frontera de R A est formada por trayectorias. Ejemplo 3.3.1. El sistema x1 = x22 x2 = x1 + (x1 1) x2

es la ecuacin de Van der Pol en tiempo invertido, es decir, reemplazando t por t. El sistema tiene un PE en el origen y un ciclo lmite (CL) inestable (ver Figura 4.2 en p.179 de [2]). El retrato de fase muestra que el origen es un foco estable, por lo tanto es AE. Esto se conrma linealizando, ya que obtenemos A= V x =x=0

0 1

1 1

(3.16)

que tiene autovalores en 1/2 j 3/2. La RA es acotada porque las trayectorias que comienzan afuera del CL no lo pueden cruzar para llegar al origen. Como no hay otro PE, la frontera de R A tiene que ser el CL.

38

Ejemplo 3.3.2. Consideremos el sistema x1 = x2 x2 = x1 + 1 3 x x2 3 1 (3.17)

que tiene tres PE aislados en (0, 0), ( 3, 0) y ( 3, 0). El retrato de fase (ver Figura 4.3 en p.180 de [2]) muestra que el origen es un foco estable y los otros dos PE son ensilladuras. Por lo tanto, el origen es AE y los otros PE son inestables, lo que se puede conrmar linealizando. De la gura se puede ver que las trayectorias estables de la ensilladura forman dos separatrices que son la frontera de la RA, la cual es no acotada. Ejemplo 3.3.3. El sistema2 2 x1 = x1 (1 x1 x2 ) 2 2 x2 = x2 (1 x1 x2 )

tiene un PE aislado en el origen y un continuo de PEs sobre el crculo unitario: cada punto sobre el crculo unitario es un PE. Es claro que R A debe estar connada al interior del crculo unitario. Las trayectorias de este sistemas son los radios del crculo unitario, lo que se puede ver transformando a coordenadas polares: x1 = cos , = (1 ) Toda trayectoria que comienza con < 1 tiende al origen cuando t . Por lo tanto, R A es el interior del crculo unitario. El mtodo de Lyapunov puede usarse para encontrar estimas de la RA. Por una estima de la RA entendemos un conjunto R A tal que toda trayectoria que comienza en tienda al origen cuando t . Vamos primero a mostrar que el dominio D del Teorema 3.1.1 no es una estima de R A . Vimos en el Teorema 3.1.1 que si D es un dominio que contiene el origen, y si podemos encontrar una funcin de Lyapunov V(x) que es denida positiva en D y V(x) es denida negativa en D, entonces el origen es AE. Se podra pensar que D es una estima de la RA. Esto no es cierto, como lo demuestra el siguiente ejemplo. Ejemplo 3.3.4. Consideremos otra vez el sistema (3.17), que es un caso especial del sistema del 1 3 Ejemplo 3.1.5 con h(x1 ) = x1 3 x1 y a = 1. Por lo tanto, una funcin de Lyapunov es (3.9), donde tomamos, por ejemplo, = 1, k = 1/2: V(x) = 1 T x 21 2 1 2 1 2 x1 2

x2 = sen

1 1 4 1 1 2 3 2 x1 + x1 x2 + x2 = x1 4 12 2 20

x+

1 (y y3 )dy 3

Deniendo el dominio D como D = {x R2 | 3 < x1 < 3} vemos que V(x) > 0 en D y V(x) < 0 en D {0}. Sin embargo, se puede ver en el retrato de fase de la Figura 4.3 en p.180 de [2] que D no est incluido en R A . El ejemplo anterior muestra que el hecho de que V(x) < 0 en una regin no implica que la regin sea una estima de la RA. Aunque una trayectoria que comienza en D se va a mover de una supercie de nivel V(x) = c1 a otra interior V(x) = c2 con c2 < c1 , no hay garanta de que la trayectoria permanecer para siempre en D. Una vez que la trayectoria sale de D, 39

no hay garanta de que V(x) sea negativa. Para que una regin sea una estima de la RA debe ser un conjunto invariante positivo, es decir, toda trayectoria que comienza en el conjunto debe permanecer dentro de l en todo tiempo futuro. La estima ms simple de la RA es el conjunto c = {x Rn | V(x) c} cuando c es acotado y est contenido en D. Esto sigue como corolario del Teorema 3.2.2. Usando los resultados de linealizacin de la 3.4, sabemos que si la matriz Jacobiana A= f (x) x

x=0

es Hurwitz, entonces siempre podemos encontrar una funcin de Lyapunov cuadrtica V(x) = x T Px resolviendo la ecuacin de Lyapunov (3.20). Entonces, si A es Hurwitz, podemos siempre estimar la RA del origen. Esto lo ilustramos en el ejemplo siguiente. Ejemplo 3.3.5. Consideremos nuevamente el sistema del Ejemplo 3.3.1. Vimos que el origen es AE. Tomando Q = I y A de (3.16), obtenemos como nica solucin de la ecuacin de Lyapunov PA + A T P = Q, la matriz denida positiva P= 1.5 0.5 0.5 1

La funcin cuadrtica V(x) = x T Px > 0 es una funcin de Lyapunov para el sistema en un entorno del origen. Tenemos que determinar un dominio D alrededor del origen donde V(x) sea denida negativa y un conjunto c D que sea acotado. Nos va a interesar encontrar c lo ms grande posible, es decir, el mayor valor para la constante c, porque c ser nuestra estima de la RA. La derivada de V(x) sobre las trayectorias del sistema es2 2 3 2 2 V(x) = (x1 + x2 ) (x1 x2 2x1 x2 )

El primer trmino del lado derecho es la contribucin de la parte lineal Ax, mientras que el segundo es la contribucin de la parte no lineal g(x) = f (x) Ax, que llamaremos el trmino de perturbacin. Como g(x) x 22

0

cuando

x

2

0

sabemos que hay una bola abierta D = {x R2 | x 2 < r} en donde V(x) es denida negativa. Una vez que encontremos D, podemos encontrar c D eligiendo c < min V(x) = min (P)r 2x2 =r

Por lo tanto, para agrandar la RA tenemos que encontrar la bola ms grande para la cual V(x) es denida negativa. Tenemos que 5 V(x) x 2 + |x1 ||x1 x2 ||x1 2x2 | x 2 + x 4 2 2 2 2 donde usamos |x1 | x 2 , |x1 x2 | 1 x 2 y |x1 2x2 | 5 x 2 . Por lo tanto, V(x) es deni2 2 2 = 2/ 5 = 0.8944. En este ejemplo se puede da negativa en la bola D con radio dado por r encontrar una estima menos conservadora trabajando en coordenadas polares. Tomando x1 = cos , x2 = sen

40

tenemos V = 2 + 4 cos2 sen (2 sen cos ) 2 + 4 | cos2 sen ||2 sen cos | 2 + 4 0.3849 2.2361 2 + 0.8614 < 0 , Usando (3.18) junto con min (P) 0.69, elegimos c = 0.8 < El conjunto c con c = 0.8 es una estima de la RA. 0.69 0.861 para 2 < 1/0.861 (3.18)

3.4 Sistemas Lineales y LinealizacinEl sistema lineal invariante x = Ax (3.19)

tiene un equilibrio en el origen, que es aislado sii det A = 0. Si det A = 0, todo punto en el kernel o subespacio nulo de A es un PE. Un sistema lineal no puede tener mltiples PE aislados, porque si x y z son dos PE de (3.19), entonces, por linealidad, todo punto en la recta que conecta a x y z es un PE. Las propiedades de estabilidad del origen pueden caracterizarse mediante la ubicacin de los autovalores de A. Teorema 3.4.1 (Estabilidad del Origen en Sistemas Lineales). El PE x = 0 de (3.19) es estable sii todos los autovalores de A tienen parte real no positiva y cada autovalor con parte real nula tiene un bloque de Jordan asociado de orden 1. El PE x = 0 es GAE sii todos los autovalores de A tienen parte real negativa. Cuando todos los los autovalores de A tienen parte real negativa, se dice que A es una matriz de estabilidad o matriz Hurwitz. La estabilidad del origen puede tambin investigarse usando el mtodo de Lyapunov. Consideremos la candidata a funcin de Lyapunov V(x) = x T Px donde P es una matriz real simtrica denida positiva. La derivada de V(x) sobre las trayectorias del sistema est dada por V(x) = x T P x + x T Px = x T (PA + A T P)x = x T Qx donde Q es una matriz simtrica denida por PA + A T P = Q (3.20)

Si Q es denida positiva, podemos concluir por el Teorema 3.1.1 que el origen es AE. En el caso de sistemas lineales, es posible revertir los pasos del mtodo de Lyapunov. Supongamos que comenzamos eligiendo Q como una matriz real simtrica denida positiva, y resolvemos (3.20) para encontrar P. Si (3.20) tiene una solucin denida positiva, podemos nuevamente concluir que el origen es AE. La ecuacin (3.20) se denomina ecuacin de Lyapunov. Teorema 3.4.2. Una matriz A es Hurwitz, i.e., todos sus autovalores tienen parte real negativa, sii dada una matriz Q simtrica y denida positiva, existe una matriz P simtrica y denida positiva que satisface la ecuacin de Lyapunov (3.20). Ms an, si A es Hurwitz, entonces P es la nica solucin de (3.20). 41

Demostracin: La suciencia sigue del Teorema 3.1.1 con la funcin de Lyapunov V(x) = x T Px, como ya mostramos. Para probar la necesidad, supongamos que todos los autovalores de A tienen parte real negativa y consideremos la siguiente matriz P

P=0

e A t Qe At dt

T

(3.21)

El integrando es una suma de trminos de la forma tk1 ei t con Re i < 0. Por lo tanto, la integral existe. La matriz P es simtrica. Para probar que es denida positiva, suponemos lo contrario, es decir, que existe un vector x = 0 tal que x T Px = 0. Sin embargo, x T Px = 0 = 0 At

x T e A t Qe At xdt = 0

T

= e x 0 , t 0 = x = 0 porque e At es nosingular para todo t. Esta contradiccin muestra que P es denida positiva. Sustituyendo (3.21) en (3.20) se obtiene PA + A T P =0

e A t Qe At Adt +0

T

A T e A t Qe At dt

T

=0

d AT t At e Qe dt Qe At 0

= e

AT t

= Q

lo que muestra que P es una solucin de (3.20). Para mostrar que es la nica solucin, supong amos que existe otra solucin P = P. Entonces, (P P)A + A T (P P) = 0 Premultiplicando por e A t y postmultiplicando por e At , obtenemos 0= Por lo tanto, e A t (P P)e At constante t Evaluando en t = 0 y t = obtenemos P = P. La resolucin de la ecuacin de Lyapunov (3.20) no es numricamente ms ventajosa que calcular los autovalores de A. La ventaja de este mtodo es que nos provee de una funcin de Lyapunov cuando A es Hurwitz. Esto nos va a servir para sacar conclusiones sobre el sistema cuando el lado derecho Ax est perturbado. Volvamos al sistema no lineal (3.1) x = f (x) donde f : D es una funcin continuamente diferenciable desde un dominio D Rn en Rn . Supongamos que el origen x = 0 est en el interior de D y es un PE del sistema; es decir f (0) = 0. Por el teorema del valor medio fi (z )x (3.22) x i donde zi es un punto sobre el segmento de lnea que conecta x al origen. La igualdad (3.22) vale para todo punto x D tal que el segmento de lnea que conecta x al origen est totalmente contenido en D. Como f (0) = 0, podemos escribir f i (x) como f i (x) = f i (0) + f i (x) = fi f fi f (z )x = i (0)x + (z ) i (0) x x i x x i x 42 RnT T

d AT t e (P P)e At dt

Por lo tanto f (x) = Ax + g(x) donde A= La funcin gi (x) satisface |gi (x)| Por continuidad de f /x vemos que g(x) 0 x cuando x 0 fi f (z ) i (0) x i x x f (0) , x gi (x) = fi f (z ) i (0) x x i x

Esto sugiere que en un entorno pequeo del origen podemos aproximar al sistema no lineal (3.1) por su linealizacin alrededor del origen x = Ax donde A= f (0) x

El siguiente teorema, conocido como el mtodo indirecto de Lyapunov, da condiciones para determinar la estabilidad del origen del sistema no lineal, a travs del estudio de la estabilidad del sistema linealizado. Teorema 3.4.3 (Mtodo Indirecto de Lyapunov). Sea x = 0 un PE del sistema no lineal x = f (x) donde f : D Rn es una funcin continuamente diferenciable y D Rn es un entorno del origen. Sea A= Entonces (i) El origen es AE si todos los autovalores de A tienen parte real negativa. (ii) El origen es inestable si uno o ms autovalores de A tiene parte real positiva. Demostracin: Para probar la primera parte, asumamos que A es Hurwitz. Por el Teorema 3.4.2 sabemos que dada cualquier Q > 0 simtrica, la solucin P de (3.20) es denida positiva. Usamos V(x) = x T Px como candidata a funcin de Lyapunov para el sistema no lineal. La derivada de V(x) sobre las trayectorias del sistema est dada por V(x) = x T P f (x) + [ f (x)]T Px = x T P[Ax + g(x)] + [x T A T + g T (x)]Px = x T (PA + A T P)x + 2x T Pg(x) = x T Qx + 2x T Pg(x) 43 f (x) x

x=0

El primer trmino en el lado derecho es denido negativo, mientras que el segundo es, en general, indenido. La funcin g(x) satisface g(x) x 22

0

cuando

x

2

0

Por lo tanto, dado > 0 existe r > 0 tal que g(x) Entonces V(x) < x T Qx + 2 P pero x T Qx min (Q) x2 2 2 2