cap1. operadores diferenciales

CAPÍTULO 1

OPERADORES DIFERENCIALES

OPERADOR NABLA (DEL) DEFINICIÓN

En geometría diferencial, nabla (también conocido como del) es un operador diferencial representado por el símbolo 𝛻 (nabla).

El nombre proviene de la palabra griega equivalente a la palabra hebrea arpa, que tenía una forma similar. Palabras relacionadas existen en el lenguaje arameo y hebreo. El símbolo fue utilizado por primera vez por Willian Rowan Hamilton de forma lateral ⊳.

OPERADOR NABLA (DEL)

Otro nombre menos conocido del símbolo es atled (delta deletreado al revés), porque la nabla es una letra griega delta (△) invertida.

En el griego actual, el símbolo se le llama anádelta, que significa “delta invertida”.

OPERADOR NABLA (DEL) CARTESIANO

El operador Nabla, que describe 𝛻, es el operador diferencial del vector. En coordenadas cartesianas,

𝛻 =𝜕

𝜕𝑥𝑥 +

𝜕

𝜕𝑦𝑦 +

𝜕

𝜕𝑧𝑧

Este operador diferencial del vector, conocido también como operador gradiente, no es un vector en sí mismo; pero cuando opera sobre una función escalar, resulta un vector.

OPERADOR NABLA (DEL) CILÍNDRICA

El vector es útil al definir.

1. El gradiente de un escalar 𝑉, 𝛻𝑉

2. La divergencia de un vector 𝐴, 𝛻 ∙ 𝐴

3. El rotacional de un vector 𝐴, 𝛻 x 𝐴

4. El laplaciano de un escalar 𝑉, 𝛻2𝑉

Para obtener 𝛻 en función de 𝜌, ∅, 𝑧 se utilizará la ecuación

𝜌 = 𝑥2 + 𝑦2 tan∅ =𝑦

𝑥

OPERADOR NABLA (DEL) CILÍNDRICA

Por lo tanto, 𝜕

𝜕𝑥= cos∅

𝜕

𝜕𝜌−

𝑠𝑒𝑛 ∅

𝜌

𝜕

𝜕∅

𝜕

𝜕𝑦= 𝑠𝑒𝑛 ∅

𝜕

𝜕𝜌−

𝑐𝑜𝑠 ∅

𝜌

𝜕

𝜕∅

Al sustituir las diferentes ecuaciones nos queda lo siguiente:

𝛻 =𝜕

𝜕𝜌𝜌 +

1

𝜌

𝜕

𝜕∅∅ +

𝜕

𝜕𝑧𝑧 𝑐𝑖𝑙í𝑛𝑑𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠

OPERADOR NABLA (DEL) ESFÉRICA

De igual modo, para obtener 𝛻 en función de 𝑟, 𝜃 y ∅ se utilizan

𝑟 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 tan𝜃 =𝑥2 + 𝑦2

𝑧 tan∅ =

𝑦

𝑥

Para obtener 𝜕

𝜕𝑥= 𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos∅

𝜕

𝜕𝑟+

cos 𝜃 𝑐𝑜𝑠 ∅

𝑟

𝜕

𝜕𝜃−

𝑠𝑒𝑛 ∅

𝑟

𝜕

𝜕∅

𝜕

𝜕𝑦= 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑠𝑒𝑛 ∅

𝜕

𝜕𝑟+

cos 𝜃 𝑠𝑒𝑛 ∅

𝑟

𝜕

𝜕𝜃−

𝑐𝑜𝑠 ∅

𝑟

𝜕

𝜕∅

𝜕

𝜕𝑧= 𝑐𝑜𝑠 𝜃

𝜕

𝜕𝑟+

𝑠𝑒𝑛 𝜃

𝑟

𝜕

𝜕𝜃

OPERADOR NABLA (DEL) ESFÉRICA

De igual modo, para obtener 𝛻 en función de 𝑟, 𝜃 y ∅ se utilizan

𝑟 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 tan𝜃 =𝑥2 + 𝑦2

𝑧 tan∅ =

𝑦

𝑥

Para obtener 𝜕

𝜕𝑥= 𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos∅

𝜕

𝜕𝑟+

cos 𝜃 𝑐𝑜𝑠 ∅

𝑟

𝜕

𝜕𝜃−

𝑠𝑒𝑛 ∅

𝑟

𝜕

𝜕∅

𝜕

𝜕𝑦= 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑠𝑒𝑛 ∅

𝜕

𝜕𝑟+

cos 𝜃 𝑠𝑒𝑛 ∅

𝑟

𝜕

𝜕𝜃−

𝑐𝑜𝑠 ∅

𝑟

𝜕

𝜕∅

𝜕

𝜕𝑧= 𝑐𝑜𝑠 𝜃

𝜕

𝜕𝑟+

𝑠𝑒𝑛 𝜃

𝑟

𝜕

𝜕𝜃

Al sustituir las diferentes ecuaciones en la ecuación que contiene nabla, nos queda

𝛻 =𝜕

𝜕𝑟𝑟 +

1

𝑟

𝜕

𝜕𝜃𝜃 +

1

𝑟𝑠𝑒𝑛 𝜃

𝜕

𝜕∅∅ 𝑒𝑠𝑓é𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠

GRADIENTE DE UN ESCALAR

En cálculo vectorial, el gradiente 𝛻𝑓 es un campo escalar f es un campo vectorial que indica en cada punto del campo escalar la dirección de máximo incremento del mismo. El gradiente representa con el operador diferencial nabla seguido de la función.

Si se toma como campo escalar el que se asigna a cada punto del espacio una presión P ( campo escalar de 3 variables) entonces el vector gradiente en un punto genérico del espacio indicará la dirección en la cual la presión cambiará más rápidamente.


Otro ejemplo es el de considerar el mapa de líneas de nivel de una montaña como campo escalar que asigna a cada pareja de coordenadas latitud/longitud un escalar de altitud (campo escalar de 2 variables).

En este caso el vector gradiente en un punto genérico indicará la dirección de máxima inclinación de la montaña. Nótese que el vector gradiente será perpendicular a las líneas de contorno (líneas equiescalares”) del mapa.


Puede obtenerse una expresión matemática para el gradiente si se evalúa la diferencia en el campo 𝑑𝑉 entre los puntos 𝑃1 y 𝑃2 en donde 𝑉1, 𝑉2 y 𝑉3 son contornos en los cuales V es constante.

𝑑𝑉 =𝜕𝑉

𝜕𝑥𝑑𝑥 +

𝜕𝑉

𝜕𝑦𝑑𝑦 +

𝜕𝑉

𝜕𝑧𝑑𝑧


=𝜕𝑉

𝜕𝑥𝑥 +

𝜕𝑉

𝜕𝑦𝑦 +

𝜕𝑉

𝜕𝑧𝑧 ⋅ 𝑑𝑥 𝑥 + 𝑑𝑦 𝑦 + 𝑑𝑧 𝑧

Por conveniencia, sea

Entonces, 𝑑𝑉 = 𝐺 ⋅ 𝑑𝑙 = 𝐺 cos 𝛿 𝑑𝑙

𝑑𝑉

𝑑𝑙= 𝐺 cos 𝛿

En donde 𝑑𝑙 es el desplazamiento diferencial de 𝑃1 a 𝑃2 y 𝛿 es el ángulo comprendido entre 𝐺 y 𝑑𝑙

𝐺 =𝜕𝑉

𝜕𝑥𝑥 +

𝜕𝑉

𝜕𝑦𝑦 +

𝜕𝑉

𝜕𝑧𝑧


Se observa que 𝑑𝑉 𝑑𝑙 es máximo cuando 𝜃 = 0, es decir, cuando 𝑑𝑙 está en la dirección de G. Por lo tanto

𝑑𝑉

𝑑𝑙 𝑚á𝑥

=𝑑𝑉

𝑑𝑛= 𝐺

En donde 𝑑𝑉 𝑑𝑛 es la derivada perpendicular. En consecuencia G tiene su magnitud, dirección y sentido con las de máxima rapidez o razón de cambio de V.


Una forma equivalente de definir el gradiente es como el único vector que, multiplicado por el vector unitario, da la derivada direccional del campo escalar.

𝜕𝜑

𝜕𝑛= 𝑛 ⋅ 𝛻𝜑

Con la definición anterior, el gradiente está caracterizado de forma unívoca. El gradiente se expresa alternativamente mediante el uso del operador nabla:

𝑔𝑟𝑎𝑑 𝜑 = 𝛻𝜑


Por definición, G es el gradiente de V. Por lo tanto:

𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑉 = 𝛻𝑉 =𝜕𝑉

𝜕𝑥𝑥 +

𝜕𝑉

𝜕𝑦𝑦 +

𝜕𝑉

𝜕𝑧𝑧

1. 𝛻 𝑉 + 𝑈 = 𝛻𝑉 + 𝛻𝑈

2. 𝛻 𝑉𝑈 = 𝑉𝛻𝑈 + 𝑈𝛻𝑉

3. 𝛻𝑉

𝑈=

𝑈𝛻𝑉−𝑉𝛻𝑈

𝑈2

4. 𝛻𝑉𝑛 = 𝑛𝑉−1𝛻𝑉

Donde U y V son escalares y n es un entero


También deben tenerse presentes las siguientes propiedades fundamentales del gradiente de un campo escalar V:

1. La magnitud de 𝛻𝑉 es igual a la máxima rapidez o razón de cambio en V por unidad de distancia.

2. 𝛻𝑉 apunta en la dirección de la máxima rapidez de cambio en V.

3. 𝛻𝑉 en cualquier punto es perpendicular a la superficie constante V que pasa por ese punto. (Ver figura)


4. La proyección (o componentes) de 𝛻𝑉 en la dirección de un vector unitario a es 𝛻𝑉. a se le llama derivada direccional de V a lo largo de a.

Esta es la rapidez o razón de cambio de V en la dirección de a. En consecuencia el gradiente de una función escalar V proporciona a la vez la dirección en que cambia V más rápidamente y la magnitud de la derivada direccional máxima de V.

5. Si 𝐴 = 𝛻𝑉, es decir que V es el potencial escalar de A.

INTERPRETACIÓN DE UN GRADIENTE

De forma geométrica el gradiente es un vector que se encuentra en forma normal a una superficie o curva en el espacio a la cual se le esta estudiando, en un punto cualquiera, llamase 𝑥, 𝑦 , 𝑥, 𝑦, 𝑧 (tiempo, temperatura), etc. Algunos ejemplos son:

• Considere una habitación en la cual la temperatura se define a través de un campo escalar, de tal manera que en cualquier punto 𝑥, 𝑦, 𝑧 , la temperatura es φ 𝑥, 𝑦, 𝑧 . Asumiremos que la temperatura no varía con respecto al tiempo. Siendo esto así, para cada punto de la habitación, el gradiente en ese punto nos dará la dirección en la cual se calienta más rápido. La magnitud del gradiente nos dirá cuán rápido se calienta en esa dirección.


• Considere una montaña en la cual su altura en el punto 𝑥, 𝑦 , se define como H 𝑥, 𝑦 . El gradiente de H en ese punto estará en la dirección para la que hay un mayor grado de inclinación. La magnitud del gradiente nos mostrará cuán empinada se encuentra la pendiente

GRADIENTE EN DIFERENTES SISTEMAS DE COORDENADAS

A partir de su definición puede hallarse su expresión en diferentes sistemas de coordenadas.

En coordenadas cartesianas, su expresión es simplemente.

𝛻𝐴 =𝜕𝐴

𝜕𝑥𝑥 +

𝜕𝐴

𝜕𝑦𝑦 +

𝜕𝐴

𝜕𝑧𝑧


En un sistema de coordenadas ortogonales, el gradiente requiere los factores de escala, mediante la expresión

𝛻𝐴 =1

ℎ1

𝜕𝐴

𝜕𝑢1𝑢 1 +

1

ℎ2

𝜕𝐴

𝜕𝑢2𝑢 2 +

1

ℎ3

𝜕𝐴

𝜕𝑢3𝑢 3

Para coordenadas cilíndricas ℎ𝜌 = ℎ𝑧 = 1, ℎ∅= 𝜌

resulta:

𝛻𝐴 =𝜕𝐴

𝜕𝜌𝜌 +

1

𝜌

𝜕𝐴

𝜕∅∅ +

𝜕𝐴

𝜕𝑧𝑧


Y en coordenadas esféricas ℎ𝑟 = 1, ℎ𝜃 = 𝑟, ℎ∅ = 𝑟𝑠𝑒𝑛 𝜃

𝛻𝐴 =𝜕𝐴

𝜕𝑟𝑟 +

1

𝑟

𝜕𝐴

𝜕𝜃𝜃 +

1


𝜕𝐴

𝜕∅∅

Un sistema de coordenadas curvilíneo general el

gradiente tiene la forma:

𝛻𝐴 = 𝑔𝑖𝑗𝜕𝐴

𝜕𝑥𝑖𝑒 𝑗

GRADIENTE DE UN CAMPO VECTORIAL

En un espacio euclideo tridimensional, el concepto de gradiente también puede extenderse al caso de un campo vectorial, siendo el gradiente de F un tensor* que da el diferencial del campo al realizar un desplazamiento:

𝑑𝐹

𝑑𝑟𝑣 = lim

𝑣→0

𝐹 𝑟 + 𝑣 − 𝐹(𝑟)

𝑣= 𝛻𝐹 ⋅ 𝑣

GRADIENTE DE UN CAMPO VECTORIAL

Fijada una base vectorial, este tensor podrá representarse por una matriz 3x3, que en coordenadas cartesianas está formada por las tres derivadas parciales de las tres componentes del campo vectorial.

El gradiente de deformación estará bien definido sólo si el límite anterior existe para todo v y es una función continua de dicho vector.

Técnicamente el gradiente de deformación no es otra cosa que la aplicación lineal de la que la matriz jacobiana es su expresión explícita en coordenadas.

GRADIENTE DE UN CAMPO VECTORIAL APLICACIÓN EN FÍSICA

La interpretación física del gradiente es la siguiente mide la rapidez de variación de una magnitud física al desplazarse una cierta distancia.

• Un gradiente alto significa que de un punto a otro cercano la magnitud puede presentar variaciones importantes.

• Un gradiente de una magnitud pequeño o nulo implica que

dicha magnitud apenas varía de un punto a otro.


El gradiente de un magnitud física posee innumerables aplicaciones en física, especialmente en electromagnetismo y mecánica de fluidos. En particular, existen muchos campos vectoriales que puede escribirse como el gradiente de un potencial escalar.

• Uno de ellos es el campo electrostático, que deriva del potencial eléctrico:

𝐸 = −𝛻𝑉


• Todo campo que pueda escribirse como el gradiente de un campo escalar, se denomina potencial, conservativo o irrotacional. Así, una fuerza conservativa deriva de la energía potencial como:

𝐹 = −𝛻𝑉

• Los gradientes también aparecen en los procesos de difusión que verifican la ley de Fick o la ley de Fourier para la temperatura. Así, el flujo de calor en un material es directamente proporcional al gradiente de temperaturas

𝑞 = −𝑘𝛻𝑇

DIVERGENCIA DE UN VECTOR

La divergencia de un campo vectorial mide la diferencia entre el flujo entrante y el flujo saliente de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene “fuentes” o “sumideros” la divergencia de dicho campo será diferente de cero.

La divergencia de un campo vectorial en un punto es un campo escalar, y se define como el flujo del campo vectorial por unidad de volumen conforme el volumen alrededor del punto tiende a cero:


Se ha observado que la salida neta de flujo de un campo vectorial A desde una superficie cerrada S se obtiene de la integral

𝑑𝑖𝑣 𝐴 = 𝛻 ⋅ 𝐴 = limΔ𝑣→0

𝐴 ⋅ 𝑑𝑆𝑠

Δ𝑣

𝛻 ⋅ 𝑣 𝑑𝑉 = 𝑣 ⋅ 𝑑𝐴 𝑆𝑉

𝑑𝐴 = 𝑛 𝑑𝐴⟺

𝛻 ⋅ 𝑣 𝑑𝑉 = 𝑛 ⋅ 𝑣 𝑑𝐴𝑆𝑉


La divergencia es una cantidad escalar con signo. Este signo posee significado geométrico y físico:

• Si la divergencia de un campo vectorial en un punto es

positiva, quiere decir que en dicho punto el campo radia

hacia el exterior. Se dice que esa posición el campo vectorial posee un manantial.

• Si por el contra la divergencia es negativa, el campo

converge hacia dicho punto; se dice que el campo posee

un sumidero.


Ambos, manantiales y sumideros, constituyen las fuentes escalares de un campo vectorial; por ello • Si la divergencia es nula en un punto el campo carece de

fuentes escalares en dicho punto.

El concepto de divergencia se define para cada punto. A partir de esta definición, puede construirse un campo escalar

TEOREMA DE LA DIVERGENCIA

Puede obtenerse una expresión para 𝛻 ⋅ 𝐴 en coordenadas cartesianas a partir de la definición sobre la misma. Supóngase que se desea evaluar la divergencia de un campo vectorial A en el punto 𝑃 𝑥𝑜 + 𝑦𝑜 + 𝑧𝑜 ; consideremos que el punto esté encerrado por el volumen diferencial como en la fig.


La integral de superficie en la ecuación

𝛻 ⋅ 𝐴 = limΔ𝑣→0

𝐴 ⋅ 𝑑𝑆𝑠

Δ𝑣

Se obtiene de

𝐴 ⋅ 𝑑𝑆 = ∫𝑓𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 + ∫𝑝𝑜𝑠𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 + ∫𝑖𝑧𝑞. + ∫𝑑𝑒𝑟. + ∫𝑠𝑢𝑝. + ∫𝑖𝑛𝑓. 𝐴 ⋅ 𝑑𝑆𝑠

Un desarrollo tridimensional en series de Taylor de 𝐴𝑥 alrededor de P es

𝐴𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝐴𝑥 𝑥𝑜, 𝑦𝑜, 𝑧𝑜 + 𝑥 − 𝑥𝑜

𝜕𝐴𝑥

𝜕𝑥 𝑃

+ 𝑦 − 𝑦𝑜

𝜕𝐴𝑥

𝜕𝑦 𝑃

+ 𝑧 − 𝑧𝑜

𝜕𝐴𝑥

𝜕𝑧 𝑃

+ 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟


En un sistemas de coordenadas cartesianas:

𝛻 ⋅ 𝐴 =𝜕𝐴

𝜕𝑥+

𝜕𝐴

𝜕𝑦+

𝜕𝐴

𝜕𝑧

En un sistemas de coordenadas cilíndricas:

𝛻 ⋅ 𝐴 =1

𝜌

𝜕 𝜌𝐴𝜌

𝜕𝜌+

1

𝜌

𝜕𝐴

𝜕∅+

𝜕𝐴

𝜕𝑧

En un sistemas de coordenadas esféricas:

𝛻 ⋅ 𝐴 =1

𝑟2

𝜕 𝑟2𝐴𝑟

𝜕𝑟𝑟 +

1


𝜕 𝐴𝜃 sen 𝜃

𝜕𝜃+

1


𝜕𝐴

𝜕∅


Propiedades siguientes de la divergencia de un campo vectorial:

1. Produce un campo escalar (porque interviene el producto escalar)

2. La divergencia de un escalar 𝑉, 𝑑𝑖𝑣 𝑉, no tiene sentido

3. 𝛻 ⋅ 𝐴 + 𝐵 = 𝛻 ⋅ 𝐴 + 𝛻 ⋅ 𝐵


De la definición de divergencia de A:

𝐴 ⋅ 𝑑𝑆 = 𝛻 ⋅ 𝐴 𝑑𝑣𝑣𝑠

Este se conoce como el teorema de la divergencia, y también como el teorema de Gauss-Ostrogradsky.

El teorema enuncia que el flujo total de salida de un campo vectorial 𝐴 a través de la superficie cerrada 𝑆 es igual a la integral de volumen de la divergencia de 𝐴.


Para demostrar el teorema de la divergencia, subdivida el volumen v en un gran número de celdas pequeñas. Si la celda de orden k tiene un volumen ∆𝑣𝑘 y está acotada por la superficie 𝑆𝑘

𝐴 ⋅ 𝑑𝑆 = 𝐴 ⋅ 𝑑𝑆𝑠𝑘𝑘𝑠

= 𝐴 ⋅ 𝑑𝑆𝑠𝑘

∆𝑣𝑘∆𝑣𝑘

𝑘

Divergencia\__es.wikipedia.org_wiki_Teorema_de_la_divergencia.pdf

Divergencia\__en.wikipedia.org_wiki_Divergence_theorem.pdf

Divergencia\Teorema de la divergencia de Gauss.pdf

Divergencia/__es.wikipedia.org_wiki_Teorema_de_la_divergencia.pdf











Divergencia/__en.wikipedia.org_wiki_Divergence_theorem.pdf










Divergencia/Teorema de la divergencia de Gauss.pdf
















Puesto que el flujo de salida hacia una celda es de entrada hacia otras celdas vecinas, se da una cancelación en toda superficie interior, de tal modo que la suma de las integrales de superficie sobre las 𝑆𝑘 es igual a la integral de superficie sobre la superficie S.

El teorema se aplica a cualquier volumen v acotado por la superficie cerrada S.

Divergencia\__en.wikipedia.org_wiki_Gauss's_law.pdf

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ROTACIONAL DE UN VECTOR Y EL TEOREMA DE STOKES

Maxwell introdujo la palabra rotacional en sus estudios de campo electromagnéticos.

Sin embargo, el rotaciones se entiende fácilmente en conexión con el flujo de fluidos.

Si un instrumento con paletas, como el que se muestra en la fig. siguiente, se inserta en el flujo de un fluido, entonces el rotacional del campo de velocidad F es una medida de la tendencia del fluido a hacer girar el dispositivo alrededor de su eje vertical w.


Si 𝛻 × 𝐹 = 0, se dice entonces que el flujo de fluidos es irrotacional, y ellos significa que se encuentra libre de vórtices o remolinos que provoquen la rotación de las paletas.


La circulación de un campo vectorial A alrededor de

una trayectoria cerrada L como la integral 𝐴 ⋅ 𝑑𝑙𝐿

.

Se define ahora en el rotacional de A como un vector axial (o rotacional) cuya magnitud es la circulación máxima de A por unidad de área conforme el área tiende a cero y cuya dirección es la dirección normal de la misma cuando ésta está orientada de tal modo que hace que la circulación máxima.


La siguiente ecuación muestra el rotacional de un vector

𝑟𝑜𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 𝐴 = 𝛻 × 𝐴 = lim∆𝑆→0

𝐴 ⋅ 𝑑𝑙𝐿

∆𝑆 𝑚á𝑥𝑛

En donde el área ∆𝑆 está acotada por la curva L y 𝑛 es el vector unitario normal a la superficie ∆𝑆 y se ha determinado aplicando la regla de la mano derecha.


En el sistema cartesiano el rotacional se expresa de la siguiente manera:

𝛻 × 𝐴𝑐𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠𝑖𝑎𝑛𝑎𝑠 =

𝑥 𝑦 𝑧 𝜕

𝜕𝑥

𝜕

𝜕𝑦

𝜕

𝜕𝑧𝐴𝑥 𝐴𝑦 𝐴𝑧

𝛻 × 𝐴 =𝜕𝐴𝑧

𝜕𝑦−

𝜕𝐴𝑦

𝜕𝑧𝑥 −

𝜕𝐴𝑧

𝜕𝑥−

𝜕𝐴𝑥

𝜕𝑧𝑦 +

𝜕𝐴𝑦

𝜕𝑥−

𝜕𝐴𝑥

𝜕𝑦𝑧


Si se emplean sistemas de coordenadas diferentes del cartesiano, la expresión debe generalizarse, para incluir el que los vectores de la base dependen de la posición.

Para un sistema de coordenadas ortogonales, como las cartesianas, las cilíndricas o las esféricas, la expresión general precisa de los factores de escala


𝛻 × 𝐹 =1

ℎ1ℎ2ℎ3

ℎ1𝑞 1 ℎ2𝑞 2 ℎ3𝑞 3

𝜕

𝜕𝑞1

𝜕

𝜕𝑞2

𝜕

𝜕𝑞3

ℎ1𝐹1 ℎ2𝐹2 ℎ3𝐹3

Donde, en cartesianas ℎ𝑥 = ℎ𝑦 = ℎ𝑧 = 1 y reobtenemos

la expresión anterior.

En coordenadas cilíndricas ℎ𝜌 = ℎ𝑧 = 1, ℎ∅ = ρ y en

coordenadas esféricas ℎ𝑟 = 1, ℎ𝜃 = r, ℎ∅ = 𝑟 sen 𝜃


𝛻 × 𝐴𝑐𝑖𝑙í𝑛𝑑𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠 =1

𝜌

𝜌 𝜌∅ 𝑧 𝜕

𝜕𝜌

𝜕

𝜕∅

𝜕

𝜕𝑧𝐴𝜌 𝜌𝐴∅ 𝐴𝑧

𝛻 × 𝐴 =1

𝜌

𝜕𝐴𝑧

𝜕∅−

𝜕𝐴∅

𝜕𝑧𝜌 −

𝜕𝐴𝑧

𝜕𝜌−

𝜕𝐴𝜌

𝜕𝑧∅ +

1

𝜌

𝜕 𝜌𝐴∅

𝜕𝜌−

𝜕𝐴𝜌

𝜕∅𝑧


𝛻 × 𝐴𝑒𝑠𝑓é𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠 =1

𝑟2 sen 𝜃

𝑟 𝑟𝜃 ∅

𝜕

𝜕𝑟

𝜕

𝜕𝜃

𝜕

𝜕∅𝐴𝑟 𝑟𝐴𝜃 𝑟 sen 𝜃 𝐴∅

𝛻 × 𝐴 =1

𝑟 sen 𝜃

𝜕 sin 𝜃 𝐴∅

𝜕𝜃−

𝜕𝐴𝜃

𝜕∅𝒓 −

1

𝑟

𝜕 𝑟𝐴∅

𝜕𝑟−

1

sen 𝜃

𝜕𝐴𝑟

𝜕∅𝜽

+1

𝑟

𝜕 𝑟𝐴𝜃

𝜕𝑟−

𝜕𝐴𝑟

𝜕𝜃∅


Observe las siguientes propiedades del rotacional: 1. El rotacional de un campo vectorial es otro campo vectorial

2. El rotacional de un campo escalar 𝑉, 𝛻 × 𝑉, no tiene sentido.

3. 𝛻 × 𝐴 + 𝐵 = 𝛻 × 𝐴 + 𝛻 × 𝐵

4. 𝛻 × 𝐴 × 𝐵 = 𝐴 𝛻 ⋅ 𝐵 − 𝐵 𝛻 ⋅ 𝐴 + 𝐵 𝛻 ⋅ 𝐴 - 𝐴 ⋅ 𝛻 𝐵

5. La divergencia del rotacional de un campo vectorial se hace cero, es decir ∇ ⋅ ∇ × 𝐴 = 0

6. El rotacional del gradiente de un campo escalar se hace cero,𝛻 × ∇𝑉 = 0.


También la definición del rotacional de A, Se le llama el teorema de Stokes.

𝐴 ⋅ 𝑑𝑙𝐿

= ∫𝑆 ∇ × 𝐴 ⋅ 𝑑𝑆

El teorema enuncia que la circulación de A entorno a una trayectoria (cerrada) L es igual a la integral de la superficie del rotacional de A sobre la superficie abierta S acotada por L como se muestra


Siempre que A y ∇ × 𝐴 sean continuas en S

La demostración del teorema de Stokes es similar a la del teorema de la divergencia.

La superficie S se subdivide en un gran número de celdas como en la fig.


Si la celda de orden k tiene área de superficie ∆𝑆𝑘 y está delimitada por la trayectoria 𝐿𝑘

𝐴 ⋅ 𝑑l = 𝐴 ⋅ 𝑑𝑙𝐿𝑘𝑘L

= 𝐴 ⋅ 𝑑𝑙𝐿𝑘

∆𝑆𝑘∆𝑆𝑘

𝑘

Como se ilustra en la fig. anterior, ocurre una cancelación en cada trayectoria interior, por lo que la suma de las integrales de línea en torno a las 𝐿𝑘 es igual que la integral de línea en torno a la curva de acotación L.


Por lo tanto si se toma el límite del miembro derecho y ∆𝑆𝑘 → 0 se llega a el Teorema de Stokes.

Las direcciones de dl y dS debe escogerse aplicando la regla de la mano derecha. Si hacemos que los dedos apunten en la dirección dl, el pulgar indicará la dirección de dS.

Nótese que mientras el teorema de divergencia relaciona una integral de superficie con una integral de volumen, el teorema de Stokes relaciona una integral de línea (circulación) con una integral de superficie.


Rotacional\__en.wikipedia.org_wiki_Stokes'_theorem.pdf

Rotacional\__es.wikipedia.org_wiki_Rotacional.pdf

Rotacional\__www.wikimatematica.org_index.php_title=Rotaci

onal.pdf

Rotacional\int_sup_rot&div.pdf

Rotacional\rotacional.pdf

Rotacional\rotacional1.pdf

Rotacional/__en.wikipedia.org_wiki_Stokes'_theorem.pdf



Rotacional/__es.wikipedia.org_wiki_Rotacional.pdf



Rotacional/__www.wikimatematica.org_index.php_title=Rotacional.pdf




Rotacional/int_sup_rot&div.pdf



Rotacional/rotacional.pdf



Rotacional/rotacional1.pdf



cap1. operadores diferenciales

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