cap__1 autovalores y autovectores

7/30/2019 CAP__1 Autovalores y Autovectores.

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Autovalores y Autovectores: Definicion y propiedades.Definicion. Sea A una matriz cuadrada de orden m. Diremos que un escalar K (= R o C) es un autovalor de Asi existe un vector v Km, v = 0 tal que Av = v, en cuyo caso se dice que v es un autovector de A asociado alautovalor .Proposicion. Sea un autovalor de A y v un autovector asociado, entonces:

1. es un autovalor de A con autovector v.

2. ( ) es un autovalor de A I con autovector v.

3. k es un autovalor de Ak con autovector v.

4. Si q() es un polinomio, entonces q() es un autovalor de q(A) con autovector v. (Ejemplo: 33 + 52 7 + 2es un autovalor de la matriz 3A3 + 5A2 7A + 2I).

5. Si A tiene inversa, entonces = 0 y 1 es un autovalor de A1 con autovector v.

Definicion. Sea A una matriz m m y sea 0 un autovalor de A. Se llama:

(a) Multiplicidad algebraica de 0, y se denota por ma(0), a la multiplicidad de 0 como raz del polinomiocaracterstico p() = det(A I) de A. Es decir, p() puede factorizarse como

p() = ( 0)ma(0)q(),

siendo q() un polinomio (de grado m ma(0)) que no se anula para 0, q(0) = 0.

(b) Multiplicidad geometrica de 0, y se denota por mg(0), a la dimension del espacio nulo de A 0I,

dim [Nul (A 0I)] = m rango [(A 0I)] .

Es decir, la multiplicidad geometrica coincide con el numero (maximo) de autovectores linealmente independientesasociados al autovalor.

Lo unico que se puede afirmar en general sobre la relacion entre las multiplicidades algebraica y geometrica de unautovalor de una matriz viene dado por el siguiente resultado.Lema. Sea 0 un autovalor de una matriz A, entonces 1 mg(0) ma(0).Proposicion. Sea A una matriz mm y sean 1, 2, . . . , m sus m autovalores (cada uno aparece tantas veces como

indique su multiplicidad algebraica) entonces:

su polinomio caracterstico es p() = (1)m( 1)( 2) ( m).

el determinante de A coincide con el producto de los autovalores: det(A) = 12 m.

la traza de A coincide con la suma de los autovalores:

tr(A) := a11 + . . . + amm = 1 + 2 + + m.

Proposicion. Sea A una matriz m m, entonces:


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1. At tiene los mismos autovalores que A (en general los autovectores asociados seran distintos).

2. Si A es real y v es un autovector de A asociado a , entonces v tambien es autovector de A asociado al autovalor. Ademas, las multiplicidades algebraicas y geometricas respectivas de y coinciden.

Matrices diagonalizables.Definicion. Se dice que una matriz A mm es diagonalizable si existe alguna matriz P no singular tal que P1APes una matriz diagonal.

Notemos que si

P1AP = D =

d1 0 0 . . . 00 d2 0 . . . 00 0 d3 . . . 0...

......

. . ....

0 0 0 . . . dm

entonces cada columna de P es un autovector de P asociado al correspondiente elemento diagonal de D que sera unautovalor de A. Ademas, puesto que existe la matriz inversa de P, las m columnas de P son linealmente independientes.Teorema. Sea A una matriz m m. Se verifica:

(1) A es diagonalizable si y solo si tiene m autovectores linealmente independientes.

(2) A autovalores distintos de A le corresponden autovectores linealmente independientes, es decir, si v1, , vk sonautovectores de A asociados respectivamente a los autovalores 1, , k y estos son distintos dos a dos, entoncesv1, , vk son linealmente independientes.

(3) Si A tiene todos sus autovalores simples, entonces es diagonalizable.

(4) A es diagonalizable si y solo si para cada autovalor se verifica que

ma() = mg().

Matrices semejantes y aplicaciones lineales. Consideremos una aplicacion lineal T : Rm Rm. Fijada la base

canonica Bc = {e1, . . . , em} deRm

, esta aplicacion lineal tiene asociada una matriz A, cuyas columnas son los vectoresT(e1), T(e2), . . . T (em).Si fijamos otra base B= {v1, . . . , vm} de R

m, la aplicacion lineal T tiene asociada una matriz B respecto a dichabase, la matriz cuyas columnas son las coordenadas de los vectores T(v1), T(v2), . . . T (vm) respecto a la base B, esdecir,

[T(v1)]B , . . . , [T(vm)]B .

Las matrices A y B verifican que B = P1AP siendo

P =

v1 . . . vm

.

En general, dicha relacion se formaliza mediante la siguiente definicion.Definicion. Se dice que dos matrices m m A y B son semejantes si existe alguna matriz no singular P tal que

B = P1AP.

La matriz P se suele denominar matriz de paso.A la vista de la definicion es obvio que una matriz es diagonalizable si es semejante a una matriz diagonal.

Proposicion. Si A y B son semejantes, entonces:

A y B tienen el mismo polinomio caracterstico y, por tanto, los mismos autovalores con las mismas multiplici-dades algebraicas. Si v es un autovector de A asociado a un autovalor , entonces P1v es un autovector de Basociado al mismo autovalor (siendo P la matriz no singular tal que B = P1AP).

det(A) = det(B) y tr(A)=tr(B).

Cada autovalor (de A y B) tiene la misma multiplicidad geometrica para ambas matrices, es decir,

dim [Nul (A I)] = dim [Nul (B I)] .


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Para cada exponente k = 1, 2, . . . se verifica que

dim

Nul

(A I)k

= dim

Nul

(B I)k

.

Notemos por otra parte que el que dos matrices tengan los mismos autovalores no conlleva, en general, el que seansemejantes; por ejemplo, las matrices

A = 0 10 0 y B =

0 00 0

tienen como unico autovector a = 0 pero no son semejantes. Si V es un espacio vectorial, B= {v1, . . . , vm} una basedel mismo, y f : V V una aplicacion lineal, notese entonces que la matriz de f en B es semejante a la matriz de fen cualquier otra base B = {v1, . . . , v

m} de V. Por lo tanto, a la vista de los resultados anteriores, se pueden definir,

los autovalores, la traza y el determinante de f como los autovalores, traza y determinante de f en cualquier base. Lomismo ocurre con el polinomio caracterstico.

Autovalores y autovectores complejos.Ampliamos en estas lneas lo tratado en la seccion 5.5 del libro (Lay). En dicha seccion se muestra como una matriz

real 2 2 diagonalizable en C (es decir, con un par de autovalores complejos conjugados, a bi) se puede escribir enuna forma no diagonal, pero con una estructura muy sencilla (ver teorema 9 de la pagina 334)

a b

b a

.

En el caso de tener una matriz real diagonalizable de mayor dimension con autovalores complejos podemos procederde un modo similar para obtener una matriz real no diagonal, pero s diagonal por bloques, con una estructura similara la anterior. As, una matriz diagonalizable pero con algun autovalor complejo no real (con lo cual la matriz de pasotendra algunos elementos no reales) sera semejante, a traves de una matriz de paso real, a una matriz diagonal porbloques

C =

C1 0 0 . . . 00 C2 0 . . . 00 0 C3 . . . 0

... ... ... . . . ...0 0 0 . . . C k

donde cada Cj es o bien un autovalor real o bien una submatriz 2 2 de la forma

a b

b a

, donde a y b son

respectivamente la parte real e imaginaria de un autovalor complejo (no real) de A.Si = a + bi,a,b R es un autovalor de A (matriz cuadrada real) y v = u1 + iu2 (u1, u2 R

m) es un autovectorde A asociado a , entonces v = u1 iu2 es autovector de A asociado a = a bi y, por tanto, tenemos las igualdades

Av = v = (a + bi) (u1 + iu2) Au1 + iAu2 = (au1 bu2) + i (bu1 + au2)Av = v = (a bi) (u1 iu2) Au1 iAu2 = (au1 bu2) i (bu1 + au2)

y por tanto, identificando las partes real e imaginaria en cualquiera de las dos igualdades anteriores tenemos,

Au1 = au1 bu2Au2 = bu1 + au2

.

Expresando estas igualdades de forma matricial tenemos

A

u1 u2

=

u1 u2

a b

b a

.

As, si multiplicamos A por una matriz en la que los autovectores complejos v y v sean dos vectores columna tenemos

A

v v

=

v v

. . .

00

. . .


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mientras que si sustituimos dichas columnas por la parte real y la parte imaginaria de v tendremos

A

u1 u2

=

u1 u2

. . . 0 . . .

. . .a b

b a. . .

. . . 0. . .

con lo cual, si multiplicamos A por una matriz real P cuyas columnas forman una base de Rn y en la que u1

y u2sean dos vectores columna y los restantes vectores columna sean autovectores reales o vectores obtenidos a partir de

la parte real y de la parte imaginaria (por parejas) de un autovector complejo, tendremos

AP =

u1 u2

=

u1 u2

. . . 0 0

0a b

b a0

0 0. . .

= P C

y por tanto P1AP = C, donde la diagonal de la submatriz

a b

b a

esta sobre la de la matriz C que sera una

matriz real casi-diagonal (diagonal por cajas). Veamoslo con ejemplos.Ejemplo. Obtener una matriz casi-diagonal real (y la correspondiente matriz de paso) semejante a la matriz

A =

2 1 1 34 1 0 43 1 2 35 3 1 6

.

Su ecuacion caracterstica es4 53 + 132 19 + 10 = 0.

Sus autovalores y sus autovectores asociados son

1 = 1, v1 =

1001

; 2 = 2, v2 =

1011

; 3 = 1 2i, v3 =

1 + i2

1 + i2

; 4 = 1 + 2i, v4 =

1 i2

1 i2

.

Al ser la matriz diagonalizable, si construimos Q = [v1, v2, v3, v4], obtenemos:

Q1AQ = D =

1 0 0 00 2 0 00 0 1 2i 00 0 0 1 + 2i

,

donde los autovalores aparecen en la matriz diagonal D en el orden en que se coloquen los autovectores correspondientesen la matriz Q. El inconveniente de esa expresion es que tanto D como Q son matrices complejas aunque A es real.Para evitar trabajar con matrices complejas se procede como sigue (aunque, en este caso, ya no se va a obtener unamatriz diagonal sino diagonal por bloques).

Por tanto, construyendo la matriz P = [v1, v2, Re (v3), Im (v3)], obtenemos:

C = P1AP =

1 0 0 00 2 0 00 0 1 20 0 2 1

.

Ejemplo. Obtener una matriz casi-diagonal real (y la correspondiente matriz de paso) semejante a la matriz

A =

2 2 1 13 1 1 00 2 1 31 1 1 2

.


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Su ecuacion caracterstica es4 + 52 + 4 = 0.


1 = i, v1 =

1 i2

1 + i2

; 2 = i, v2 =

1 + i2

1 i2

;

3 = 2i, v3 =

i1 + i11

; 4 = 2i, v4 =

i

1 i11

.

Al ser la matriz diagonalizable, si construimos Q = [v1, v2, v3, v4], obtenemos:

Q1AQ = D =

i 0 0 00 i 0 00 0 2i 00 0 0 2i

,


Por tanto, construyendo la matriz P = [Re(v1), Im (v1), Re (v3), Im (v3)], obtenemos:

C = P1AP =

0 1 0 01 0 0 00 0 0 20 0 2 0

.

Ejemplo. Obtener una matriz casi-diagonal real (y la correspondiente matriz de paso) semejante a la matriz

A =

0 2 52 7 8

5 8 6

.

Su ecuacion caracterstica es3 + 2 + 39 = 0.


1 = 2 3i, v1 =

i

1 + i

1

, 2 = 2 + 3i, v2 =

i

1 i

1

; 3 = 3, v3 =

11

1

.

Al ser la matriz diagonalizable, si construimos Q = [v1, v2, v3], obtenemos:

Q1AQ = D =

2 3i 0 00 2 + 3i 0

0 0 3

,


Por tanto, construyendo la matriz P = [Re(v1), Im (v1), v3], obtenemos:

C = P1AP =

2 3 03 2 0

0 0 3

.


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Aplicacion a recurrencias vectoriales.Definicion. Sea A una matriz cuadrada de orden m y sea u1, u2, . . . , un, . . . una sucesion de vectores en R

m definidosde manera recurrente por

un = Aun1, n = 1, 2, . . .

a partir de un vector inicial u0 Rm. Una relacion de recurrencia vectorial de esta forma se llama sistema de ecuaciones

en diferencias lineal homogeneo de primer orden con coeficientes constantes.Si un = Aun1 es un sistema de ecuaciones en diferencias, se tiene, razonando por induccion, que un = A

nu0.Con esta expresion podemos hallar un para cualquier valor de n. Si A diagonaliza, podemos dar una expresion massimple para un que nos permitira ahorrar tiempo de calculo y tambien estudiar el comportamiento a largo plazo de lasucesion un.Proposicion. Sea A una matriz cuadrada de orden m diagonalizable y u0 R

m. Entonces la solucion del sistema deecuaciones en diferencias un = Aun1 con vector inicial u0 es

un = Anu0 = P D

nP1u0, n = 1, 2, . . .

siendo P la matriz cuyas columnas forman una base de autovectores de A y D la matriz diagonal cuyos elementosdiagonales son los autovalores correspondientes.Observaciones.

Notese que si A no es diagonalizable no es posible, en general, aplicar la tecnica anterior para calcular la soluciondel sistema de ecuaciones en diferencias asociado. Sin embargo, hay un caso especialmente facil de resolver; siu0 es combinacion lineal de autovectores de A, podemos calcular un = A

nu0 aunque no sepamos calcular An:

Siu0 = 1v1 + + kvk y Avj = jvj para cada j = 1, . . . , k, entonces

Anu0 = 1n1 v1 + k

nkvk.

Ejercicios propuestos

Se sugieren los siguientes ejercicios del captulo 5 del texto (Lay):

- Seccion 5.1: todos los impares hasta el 27, 16, 18, 20, 22, 24.

- Seccion 5.2: todos los impares hasta el 27, 20, 22, 24.

- Seccion 5.3: todos los impares hasta el 27, 22, 24, 26.

- Seccion 5.4: todos los ejercicios hasta el 24.

- Seccion 5.5: todos los impares hasta el 21.

- Seccion 5.6: 1, 2, 17.

- Ejercicios suplementarios (pag. 364): del 1 al 13.

Ejercicio 1 Dada la matriz

A =

3 0 a3 1 b2 0 c

.

1. Calcular A de forma que (2, 0,1)t sea un autovector cuyo autovalor correspondiente es = 1.

2. Hallar los demas autovalores y autovectores.

Ejercicio 2 Sabiendo que la matriz: 0 c a1 0 b

1 1 0

es diagonalizable y tiene un autovalor doble, calcular a, b y c.


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Ejercicio 3 Para que valores de a R tiene la siguiente matriz A tres autovectores linealmente independientes? (esdecir, estudiar cuando A es diagonalizable)

A =

1 0 0a 1 0

1 1 2

.

Ejercicio 4 Dada la matriz

A =

1 0 1a 2 23 0 1

, a R.

1. Calcular los valores de a para los que A es diagonalizable.

2. Para dichos valores de a, calcular los autovalores y los autovectores de A1.

3. Para dichos valores de a, calcular An.

Ejercicio 5 Estudiar la diagonalizabilidad de las siguientes matrices en funcion de los parametros que aparecen.

A =

a + 3 b 1

0 a 0a2 1 c a + 1

, B =

5 0 00 1 b3 0 a

, C =

1 0 0 0a 1 0 0b d 1 0

c e f 1

.

Ejercicio 6 Sea f : R4 R4 la aplicacion lineal dada por f(x) = Ax, donde

A =

a 1 1 10 b 0 31 2 c 10 1 0 d

.

1. Hallar A sabiendo que f(S1) = S2, donde

S1

x1 x2 = 0x3 + x4 = 0

y S2 = Gen{(1,2, 1, 1)t, (0, 3,1,2)t}.

2. Probar que A no es diagonalizable.

Ejercicio 7 Consideremos la matriz

A =

a1 b1 c11 b2 c2

0 b3 c3

.

(a) Determinar los elementos de A sabiendo que sus autovalores son 1 = 2 y 2 = 3 (doble), que v1 = (1, 2, 1)t es

un autovector asociado a 2 = 3 y v2 = (2, 1, 0)t satisface que Av2 = 3v2 + v1.

(b) Estudiar si A es diagonalizable.

(c) Calcular las soluciones del sistema de ecuaciones en diferencias

un = Aun1

para los vectores iniciales u0 = (1, 2, 1)t y u0 = (1, 3, 2)

t.

Ejercicio 8 Dado el sistema de ecuaciones en diferencias un = Aun1, siendo

A =

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

,

1. Obtener la expresion general de un, segun los valores de R.

2. Calcular u10, dado el vector inicial u0 = (0, 2, 0, 2)t.

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