cap tulo vii - dariomoreno.files.wordpress.com · problemas con los cuerpos ... usar solamente...

Capıtulo VIIUn caso especial

1. Problemas con los cuerpos

Por ahı se lee que el problema de las dos partıculas es totalmente soluble

y que la solucion se conoce desde los tiempos de Newton y Kepler. Tambien hay

libros que dicen que el problema de las tres partıculas no tiene solucion y que esto

lo demostro Poincare, en un trabajo que le significo un premio. ¿Que significa

que el problema de las dos partıculas sea soluble?

El problema de las dos partıculas conduce a una ecuacion del tipo

d2~r/dt2 =−K ~r

r3(1)

y la primera interpretacion de la frase “ser soluble” podrıa ser que, a partir de la

ecuacion de movimiento, es posible escribir al vector posicion ~r como una funcion

del tiempo, de las condiciones iniciales y de los demas parametros que aparecen

en dicha ecuacion. Sabemos que esto no es posible y que la “solubilidad” de las

ecuaciones de movimiento se refiere al hecho de que, a partir de ella, se puede

escribir la ecuacion de la orbita en funcion del angulo polar θ y que, ademas, se

puede escribir una ecuacion que trabajosamente nos permite encontrar al angulo

θ en funcion del tiempo.

Cuando en geometrıa se afirma que el problema de la cuadratura del

cırculo no es soluble, lo que se quiere decir es que, imponiendo la condicion de

usar solamente regla y compas, el problema no tiene solucion. Algo parecido

124 Capıtulo VII

ocurre con el problema de los tres cuerpos: si se imponen restricciones en el tipo

de funciones que se pueden usar, entonces el problema es insoluble.

Pero nosotros no vamos a entrar en competencia con los matematicos,

sino que vamos a considerar solamente algunos casos especiales del problema de

los tres cuerpos (no sin antes hablar del problema de los dos cuerpos, para no

perder el orden ni las buenas costumbres). Ademas, nos reservamos el derecho

a usar metodos numericos, tal como usamos metodos numericos para resolver

la ecuacion de Kepler.

2. El problema de los dos cuerpos

Supongamos que en el Universo hay apenas dos partıculas. Dadas sus

posiciones y velocidades iniciales y suponiendo que se mueven sometidas sola-

mente a su interaccion gravitatoria, queremos encontrar sus posiciones ~r1(t) y

~r2(t). Este es el problema de las dos partıculas. Parece ser el problema mas

simple de todos, pero, tal como esta planteado, es insoluble.

La Humanidad se ha especializado en inventarse problemas insolubles.

Como si no bastaran los problemas sociales, los matematicos tambien han in-

ventado famosos problemas imposibles de resolver, como el de la cuadratura del

cırculo y otros.

Estos problemas geometricos suelen ser insolubles debido a las condi-

ciones que se imponen: usar solamente una regla (no graduada) y un compas.

De modo analogo, el problema de las dos partıculas se convierte en insoluble

si nosotros pedimos que se escriban las funciones ~r1(t) y ~r2(t). Basta relajar

un poco las condiciones, para que el problema de las dos partıculas sı tenga

solucion.

Por ejemplo, lo que se hace es dividirlo en partes. En primer lugar,

senalar la geometrıa de la solucion: segun sea la energıa total disponible y las

condiciones iniciales, las soluciones pueden ser rectas, elipses co-focales, parabo-

las o hiperbolas. Luego se introduce el factor tiempo, aceptandose entonces solu-

ciones que involucran resolver, numericamente, las correspondientes ecuaciones

Dario Moreno Osorio, 4 de octubre de 2011.

3. El problema de las tres partıculas 125

de Kepler.

Hablando con un poco mas de rigor, si llamamos problema de los dos

cuerpos al problema analogo, pero en el que intervienen cuerpos no puntuales

sino extensos, de nuevo el problema se hace imposible de tratar, excepto en aque-

llos casos especiales que lo asemejan al problema de las dos partıculas. La mejor

demostracion de esto es el caso clasico dentro del problema de los dos cuerpos:

el problema Tierra-Luna. A pesar del esfuerzo de los mejores astronomos, clasi-

cos y modernos, el problema sigue siendo un desafıo. Todas las complicaciones

provienen de la falta de esfericidad y rigidez de los cuerpos que interactuan.

3. El problema de las tres partıculas

Si el problema de las dos partıculas es complicado, no debe maravillar

que el problema de las tres partıculas no tenga solucion. No tiene solucion en

general, aunque sı hay soluciones en casos especiales. Por ejemplo, si las tres

partıculas son de igual masa y ademas parten desde el reposo, en ciertas confi-

guraciones especiales, entonces sı se puede predecir sus trayectorias.

Por ejemplo, si las tres partıculas estan en reposo en los vertices de

un triangulo equilatero y se las suelta, es claro que se moveran en lınea recta

y chocaran en su centro de masa. Lo que ocurrira despues del choque es un

misterio, aunque naturalmente pensamos que debe conservarse el momentum

angular, la energıa, etc.

Por cierto, no es esta la unica solucion posible. Por simetrıa, esperamos

que al menos exista otra solucion, una solucion en donde, en vez de soltar a

las partıculas sin velocidad inicial, a cada una se le da una velocidad inicial

ortogonal, con la recta que une al vertice del triangulo con el centro de masa.

Esperamos que exista una velocidad de tamano tal, que las tres partıculas giren

como si el triangulo fuese rıgido.

Tambien hay otros casos especiales en que uno puede abrigar ciertas

esperanzas de solucion; por ejemplo, si una de las partıculas es mucho mas masiva

que las otras dos.


126 Capıtulo VII

El primero en publicar soluciones a casos especiales fue Jose Luis La-

grange (1736–1813). Considero, por ejemplo, tres partıculas que estaban y per-

manecıan alineadas. A comienzos del siglo veinte, Poincare ya era famoso por

su demostracion de la imposibilidad de integrar las ecuaciones de movimiento,

en el caso en que las tres partıculas tuviesen condiciones iniciales cualesquiera,

A medidados del siglo pasado, Sitnikov y Alexeev alcanzaron notoriedad

al discutir un problema especial: dos partıculas de igual masa describen elipses

co-focales en el plano XY (es decir, el foco de ambas esta en un mismo punto;

digamos, en el origen). Una tercera partıcula, de masa mucho menor que las

anteriores, se mueve sobre el eje OZ. Esta partıcula es entonces un oscilador

forzado, en que la fuerza es una complicada funcion del tiempo. Este oscilador

se ha hecho famoso porque es caotico.

m

M

M

Figura 1 – Un oscilador famoso.

Lo interesante de este oscilador y de otros sistemas mecanicos, es que se

ha encontrado que leyes mecanicas totalmente deterministas, conducen a resul-

tados sorprendentes: orbitas caoticas. Fijemos nuestra atencion en los tiempos

t1, t2, t3, . . .,cuando la tercera partıcula atraviesa el plano XY. Lo notable es

que en este oscilador podemos elegir los valores t1, t2, t3, . . . anticipadamente,

tomandolos, por ejemplo, de los resultados de la loterıa. Siempre sera posible

elegir las condiciones iniciales z, z y el estado de las dos partıculas que giran en

el plano XY, de modo que la tercera partıcula cruza al plano XY en los instantes

elegidos... ¡al azar!

Aunque el estudio analıtico de este oscilador es bastante complicado,

nada cuesta escribir un programa de computacion para jugar un rato con el.


4. El sistema Sol–Tierra–Luna 127

Vamos a estudiar, entonces, algunos casos especiales del problema de los

tres cuerpos. El primero se refiere a nuestra companera en el espacio, la Luna. Signo de interrogacion delDr. Ley-Koo.

4. El sistema Sol–Tierra–Luna

Nosotros vivimos muy cerca de la Luna y un poco mas lejos del Sol, es

decir, vivimos en un sistema de tres cuerpos que no es facil de describir en ecua-

ciones. Ya sabemos que el sistema Tierra–Luna es suficientemente complicado

y seguramente lo sera aun mas, si le agregamos el Sol.

Entre todas las preguntas elementales que nos pueden hacer, hay una

que al menos a mı me causo sorpresa y me motivo a estudiarla con mas detalle.

Se trata de lo siguiente: si calculamos la fuerza que el Sol ejerce sobre la Luna,

resulta que esta fuerza es casi el doble de la fuerza que la Tierra ejerce sobre

la Luna. Pensando ingenuamente, podemos preguntarnos de inmediato como es

que la Luna “no se cae” hacia el Sol, o como es que el Sol no se “roba” a la

Luna.

Otra manera de ver el mismo asunto es preguntarnos como es la orbita

de la Luna, vista desde el Sol; dicho en griego, podemos preguntarnos por la

orbita heliocentrica de la Luna. En algunos libros aparece una respuesta dispara-

tada, pues muestra a la orbita heliocentrica de la Luna con rizos y cruzamientos

de todo tipo, Figura 2. Ciertamente algo huele mal, ya que si la fuerza predomi-

nante sobre la Luna es una fuerza hacia el Sol, entonces la orbita Lunar siempre

ha de ser concava hacia el Sol.

Durante unos cuantos anos, en el American Journal of Physics, el Prof.

Edward M. Purcell publico una seccion titulada “En el respaldo de un sobre”.

En el respaldo de un sobre no caben muchas ecuaciones, ası es que cuando se

habla de calcular “en el reverso de un sobre”, se quiere decir: encontrar un mo-

do sencillo de calcular; o bien, encontrar una solucion muy ingeniosa, casi sin

calculos. En una de las ultimas apariciones encontramos la siguiente pregunta:

¿que fraccion de la trayectoria de la Luna es concava hacia el Sol? Desgracia-

damente, Purcell dejo de publicar su instructiva columna y su respuesta nunca


128 Capıtulo VII

aparecio. Pero en lo que sigue yo doy la mıa.

5. La cinematica del problema

Como un primer paso para entender la orbita heliocentrica de la Luna,

pasemos revista a los hechos principales. La Luna gira en torno a la Tierra

dentro de una orbita elıptica de muy pequena excentricidad, inclinada apenas

un poco con el plano de la eclıptica. Los valores de estas magnitudes son

a = 3.844× 108 m ε = 0.0549 i = 509′

Ya dijimos que debido a perturbaciones solares y planetarias, el pro-

blema de la Luna es un problema de muchos cuerpos, ası que para hacerlo

tratable debemos hacer unas cuantas aproximaciones, igual como hicieron los

mas grandes matematicos del pasado. He aquı lo que haremos: 1) supondremos

que la inclinacion de la orbita de la Luna, respecto al plano de la eclıptica, es

cero; y 2) supondremos que, vista desde la Tierra, la orbita de la Luna es una

circunferencia, cuyo radio es igual al “a” anterior.

Sol

Órbita de la Tierra

Órbita de la Luna

alrededor de la Tierra

Órbita de la Luna

alrededor del Sol

Figura 2 – Orbita heliocentricade la Luna. ¡Error!

Sol

TierraLuna


6. Programa cinematico. 129

6. Programa cinematico.

Comenzaremos escribiendo un programa, para familiarizarnos con la

situacion. El programa parte de los datos cinematicos conocidos y solamente

dibuja la orbita heliocentrica de la Luna.

Llamemos Al y ωl al radio de la orbita y a la velocidad angular de la

Luna. Estos valores son

Al = 3.844× 108 m ωl = 2π/27.32166 = 0.2299708 dias−1

donde 27.32166 dıas es el tiempo que demora la Luna en dar una vuelta en torno

a la Tierra, vista desde el sistema de referencia de las estrellas.

Analogamente, llamemos At al radio de la orbita terrestre (tambien

considerada circular) y ωt a la velocidad angular media de la Tierra al girar en

torno al Sol. Vista desde las estrellas fijas, la Tierra tarda 365.25636 dias (un

ano sideral) en completar una vuelta en torno al Sol, asi que

At = 1.4959× 1011 m ωt = 2π/365.25636 = 1.720212× 10−2 dias−1

Si representamos a la posicion de la Luna respecto a la Tierra mediante

el numero complejo Zl = Aleiωlt y, de manera analoga, a la posicion de la Tierra

respecto al Sol Zt = Ateiωtt, entonces la posicion de la Luna, vista desde el Sol,

es la suma de estos dos numeros:

z(t) = x(t) + iy(t) = Ateiωtt +Ale

iωlt (2)

donde x(t), y(t) serıan las coordenadas de la Luna.

Si cambiamos la escala de la pantalla hasta que se alcance un radio

real de aproximadamente dos metros, y luego, imprimimos la orbita pedazo a

pedazo, se puede verificar facilmente que la orbita es siempre concava hacia el

sol. Para esto basta una regla. Si hacemos coincidir dos puntos no vecinos, se

observa que el punto central siempre esta hacia el lado de afuera, tal como en


130 Capıtulo VII

el caso de un cırculo.

7. Estudiando la curvatura

Aunque el experimento con el computador es muy convincente, algunos

agradeceran un argumento analıtico. Para decidir el asunto de la concavidad de

la orbita, examinemos el signo de su curvatura.

Puesto que la curvatura esta dada por

k =xy − yx

(x2 + y2)3/2

basta estudiar el signo de la expresion

S = xy − yx.

Un calculo directo nos da

S = A2tω

3t +A2

l ω3l +AtAlωtωl(ωt + ωl) sen

((ωt + ωl)t

)y usando los valores numericos ya conocidos, se obtiene

S = 1.157× 1017 + 0.562× 1017 sen(0.247 t)

Se ve que el primer termino es practicamente el doble del termino os-

cilante, de modo que la curvatura nunca cambia de signo y la orbita siempre es

concava hacia el Sol.

El principal obstaculo para entender intuitivamente a la orbita heliocen-

trica de la Luna, consiste en la reconciliacion de dos ideas aparentemente con-

tradictorias:

1. la orbita de la Luna debe entrar y salir de la circunferencia que representa

la orbita de la Tierra vista, desde el Sol; y

2. para salir de este cırculo, el vector curvatura debe apuntar hacia afuera.


8. La dinamica del problema 131

La primera idea es correcta, pero la segunda no lo es.

La figura mas simple para ilustrar esto aparece en la Figura 3. Se trata

simplemente de la superposicion de una elipse y una circunferencia; la elipse

entra y sale de la circunferencia, sin que su concavidad cambie. Tambien mos-

tramos otra orbita especial, construıda a partir de un cırculo y un triangulo,

Figura 4, al que se le han suavizado los vertices y curvado los lados.

8. La dinamica del problema

Consideremos ahora la dinamica del problema simplificado. Considera-

mos a los tres cuerpos como partıculas y suponemos que las orbitas de la Tierra

(en torno al Sol) y de la Luna (en torno a la Tierra), son cırculos coplanarios.

Instalamos el origen de nuestro sistema de referencia en el centro de

masa del sistema Sol-Tierra y suponemos que los ejes de referencia giran con la

velocidad angular media de la Tierra: Ω = 2π/365.25636 dıas−1, en torno al

Sol.

En este sistema, el Sol y la Tierra ocupan lugares fijos y solamente la

Luna se mueve. Para tener presente que este sistema de referencia no es inercial,

sino que esta girando, lo llamaremos “el sistema Ω.”

La masa solar es aproximadamente 330000 veces mayor que la masa de

la Tierra, ası es que el centro de masa del sistema Tierra–Sol practicamente

coincide con el centro de este ultimo.

Si llamamos D a la distancia Tierra-Sol, las coordenadas fijas del Sol y

Figura 3 – Superposicion de unaelipse y una circunferencia.


132 Capıtulo VII

Figura 4 – Orbita costruida a partir de un triangulo y un cırculo.

de la Tierra serıan: Xsol = −D/330000 y Xtierra = (32299/330000)D.

En el sistema Ω, la Tierra esta fija porque la atraccion gravitacional del

Sol esta exactamente equilibrada por la fuerza centrıfuga.Imagen tomada de internet,de la pagina del rincon del

vago.

Figura 5 – El reloj usado para mostrar la posicion de la Luna.

Pensemos en la Luna. Su masa es solamente 1/81 de la masa de la

Tierra (casi 27 millones de veces mas liviana que el Sol), ası es que en nuestro

modelo simplificado podemos suponer que la Luna no afecta a la posicion del


8. La dinamica del problema 133

Sol ni tampoco a la de la Tierra.

Ahora vamos a calcular la fuerza gravitacional que el Sol aplica a la

Luna y tambien calcularemos la fuerza centrıfuga sobre la Luna. El resultado

principal es que la suma de estas fuerzas es practicamente cero.

Si la Luna estuviese en el cırculo que corresponde a la orbita de la Tierra

en torno al Sol, entonces la cancelacion de la fuerza centrıfuga y la gravitacional

serıa exacta. Tengamos presente que el radio de la orbita Lunar es del orden de

un milesimo de la separacion Tierra–Sol.

Llamaremos Fg(D) y Fc(D) a las componentes horizontales de las fuer-

zas gravitacional y centrıfuga en la posicion donde se encuentra la Tierra (el

centro del reloj lunar), para evaluar la fuerza total a las 3 y 9. Se necestita

encontrar1

Ft(D + ∆r) = Fg(D + ∆r) + Fc(D + ∆r)

ya que cuando ∆r > 0 son las 3, y cuando ∆r < 0 son las 9. Como |∆r| D,

tenemos que

Fg(D + ∆r) ' Fg(D) +dFgdD

∆r

Fc(D + ∆r) ' Fc(D) +dFcdD

∆r

Como en el centro del reloj lunar sabemos que la fuerza total es cero, se tiene

que

F (D + ∆r) '(dFgdD

+dFcdD

)∆r

Como Fg(D) = −GMmD2 y Fc(D) = mΩ2D, obtenemos

F (D + ∆r) '(

2GMm

D3+mΩ2

)∆r = 3mΩ2∆r

por lo que

F (D + ∆r) ' 3Fc(D)

D∆r

1El desarrollo del calculo se debe al Dr. Jose Luis del Rıo Correa. Que se ha hecho con elafan de mostrar el camino para llegar al resultado expuesto por el Dr. Dario Moreno Osorio.


134 Capıtulo VII

y por lo tantoF (D + ∆r)

Fc(D)= 3

∆r

D' ± 3

1000

Ası la fuerza total a las 3 es de 3 milesimas el valor de la fuerza centrıfuga en el

centro del reloj, y a las 9 es menos 3 milesimas de Fc(D).

Entonces, si comparamos el tamano de la atraccion solar y la fuerza

centrıfuga cuando la Luna esta a las 12:00, sus magnitudes son iguales y las

fuerzas son casi exactamente anti-paralelas. De hecho, la atraccion gravitacional

Fg y la fuerza centrıfuga Fc, son

~Fg = −GMm

D3(D, y)

~Fc = +mΩ2 (D, y)

pero, puesto que GMm/D3 = mΩ2, se ve que la suma de estas dos fuerzas es

cero. Podemos afirmar entonces que, a las “12 y a las 6”, el jalon gravitacional

del Sol sobre la Luna se cancela con la fuerza centrıfuga que tambien actua sobre

la Luna.

Para tener una idea de lo que ocurre “a las 3 y a las 9”, podemos hacer

el siguiente calculo aproximado.

Diferenciamos a las expresiones que nos dan la fuerza gravitacional y la

fuerza centrıfuga, obteniendo

dFg = 2GMm

D3dr = 2mΩ2dr

dFc = mΩ2dr,

de donde el cambio total, con respecto a lo que ocurre en el centro de la orbita

lunar, es

dF = 3mΩ2dr


9. Las otras dos fuerzas sobre la Luna 135

y el cambio relativo dF/F es

dF

F= 3

dr

D= 3/1000

Primera conclusion: en primera aproximacion, la fuerza centrıfuga can-

cela completamente al jalon del Sol, sobre la Luna.

9. Las otras dos fuerzas sobre la Luna

Puesto que estamos analizando desde el sistema Ω, un sistema en rota-

cion, ademas del jalon gravitacional del Sol y de la fuerza centrıfuga hay otras

dos fuerzas mas, que actuan sobre la Luna: el jalon gravitacional de la Tierra y

la fuerza de Coriolis.

Centro de masa

Sol-Tierra

Fuerza de Coriolis

sobre la Luna

W

Figura 6 – La fuerza de Coriolis sobre la Luna. Se ha exagerado la posicion delcentro de masa del sistema para dar claridad.

La fuerza de Coriolis es −2m~Ω×~v, donde ~v es la velocidad de la Luna,

en el sistema Ω.

La rapidez de la Luna en torno a la Tierra es 1022 m/s y el tamano

de la fuerza de Coriolis es constante: 2mΩv. La fuerza de Coriolis es siempre

ortogonal con ~v y siempre apunta hacia fuera de la Tierra.

En el sistema de referencia Ω, ciertamente esperamos que la Luna tenga


136 Capıtulo VII

una orbita circular, con radio igual a la conocida distancia Tierra–Luna. Pero,

¿podemos esperar que la Luna tenga el mismo perıodo sideral al que estamos

acostumbrados, esto es, 27.3 dıas?

Nuestra primera respuesta podrıa ser afirmativa, ya que, conservandose

el radio de la orbita, la tercera ley de Kepler tambien exigirıa que el perıodo fuese

el mismo. Pero no. Lo que ocurre es que, respecto a un sistema de referencia

que gira, la tercera ley de Kepler no es la que todo el mundo conoce.

En un sistema de referencia inercial, la tercera ley de Kepler se puede

escribir

ω2r

3 = GM (3)

pero, en un sistema que gira, el razonamiento que conduce a la ecuacion (3)

debe incluir a la fuerza de Coriolis, como sigue

−mω2~r = −GMm

r2~r − 2m~Ω× ~v (4)

Naturalmente esta es una aproximacion, ya que la masa de la Tierra no

es infinita. Expandiendo la expresion para la fuerza de Coriolis,

~Ω× ~v = ~Ω× (~ω × ~r) = (~Ω · ~r)~ω − (~Ω · ~ω)~r

= −Ωω~r

puesto que ~Ω y ~ω son vectores paralelos. Entonces, la ecuacion (4) se convierte

en

−mω2~r = −GMm

r3~r + 2mΩω~r. (5)

Se ve que GMm/r3 = mω2o , donde ωo es la rapidez angular de la Luna,

en un sistema inercial. Entonces, a partir de la relacion (5), obtenemos una


9. Las otras dos fuerzas sobre la Luna 137

ecuacion de segundo grado para ω,

ω2 + 2Ωω − ω2o = 0 , (6)

cuyas soluciones son

ω = −Ω±√ω2o + Ω2 (7)

Solamente la raız positiva tiene sentido fısico y la usamos para obtener

el perıodo de la Luna, vista esta desde el sistema que gira. “Enchufando” los

numeros, se obtiene

ω = 0.2134105rad/s (8)

y de aquı se obtiene un perıodo distinto al mas citado: 27.3 dıas.

T = 2π/0.2134105 = 29.44 dıas

En conclusion, basta considerar los datos cinematicos experimentales

para descubrir que la curvatura de la orbita nunca cambia de signo. Esto prueba

que la orbita es siempre concava hacia el Sol, disipandose ası un error muy

comun.

Por otra parte, se ve que todas las piezas del rompecabezas dinami-

co caen en su lugar y se ajustan perfectamente. Sobre la Luna actuan cuatro

fuerzas y la fuerza centrıfuga cancela a la atraccion gravitacional solar. Quedan

solamente otras dos fuerzas radiales y, para la Luna, es posible suponer una

orbita circular de radio r = 3.844× 108 m, pero con un nuevo perıodo.

En vez de los acostumbrados 27.3 dıas, en el sistema giratorio el perıodo

es 29.44 dıas. Un amigo me dice que este es, aproximadamente, el lapso entre dos

lunas llenas. De hecho, este valor es muy proximo al llamado perıodo sinodico de

la Luna —29.53059 dıas—, que se define como el lapso entre dos configuracio-

nes similares del sistema Sol–Tierra–Luna. En vista de tantas aproximaciones


138 Capıtulo VII

hechas, debemos pensar que esta es una concordancia muy afortunada.

10. Despues de Newton

Newton vivio hace ya mucho tiempo, entre 1642 y 1727; digamos, hace

tres siglos. ¿Nada ha ocurrido en la Fısica desde entonces? Por supuesto que sı.

Han ocurrido muchas cosas. Ya sabemos, por ejemplo, que el modelo newtoniano

es adecuado solamente a escala macroscopica y a velocidades bajas, comparadas

con la velocidad de la luz. En especial, sabemos que las ideas de Newton con-

ducen a una teorıa de la gravitacion que aunque para todos los fines practicos

es muy precisa, es insatisfactoria desde otros puntos de vista.

Muy precisa para todos los fines practicos significa que es suficiente

para calcular eclipses, para ir y volver a la Luna, para viajar de ida y vuelta al

planeta Marte y para guiar sondas espaciales que recorran nuestro sistema solar.

En realidad, la dinaamica orbital newtoniana es tan precisa, que el maximo

cumplido que se podrıa hacer de la puntualidad de alguien es decir “es tan

puntual como un eclipse”.

Si alguien nos pidiese una cota para la impuntualidad Newtoniana,

podrıamos citar la pequena discrepancia entre la prediccion clasica y lo ob-

servado en el caso del planeta Mercurio.

Despues de Newton vinieron Leonhard Euler (1707–1742), Joseph Louis

Lagrange (1736–1813), Pierre Simon Laplace (1749–1827), William Rowan Ha-

milton (1805–1865) y, enfocando temas gravitacionales, Henri Poincare (1854–

1912). Despues de Poincare ya no anoto a nadie, pues practicamente despues de

el comenzo la llamada fısica moderna, con los quantos y la teorıa de la relativi-

dad de don Alberto Einstein.

11. Los defectos de la teorıa newtoniana

La teorıa newtoniana no es solamente la teorıa de la gravitacion que ya

hemos expuesto, sino tambien se refiere a leyes fundamentales de la mecanica.


11. Los defectos de la teorıa newtoniana 139

A escala astronomica, la teorıa newtoniana deja sin explicar el corri-

miento del perihelio de Mercurio y, tambien, el de los demas planetas, pues

Mercurio no es un caso de excepcion. Es excepcional solamente en que este es

el corrimiento mas facil de observar. Es facil “parchar” a la gravitacion clasi-

ca agregandole un termino correctivo. En vez de la famosa ley de gravitacion

universal, se debe escribir Esta es lanueva leyde gravitacion

~F = −(GMm

r2+

3GMml2

(cmr2)2

)r (9)

en que l es el momentum angular y c la velocidad de la luz. Una manera mas

transparente de escribir esta misma relacion es

~F = −GMm

r2

(1 +

3h2

c2r2

)r (10)

donde h es el momentum angular por unidad de masa.

Esta ley es la vieja ley de Newton, mas una “pequena correccion”; pero

esta correccion es suficiente, pues la nueva ley predice con toda exactitud la

precesion del perihelio de Mercurio y de todos los demas planetas. Podrıamos,

entonces, tomarla como la ley de gravitacion correcta, pero claramente esto no

es convincente. ¿De donde sale el termino de correccion? ¿Que hace la velocidad

de la luz c, en los fenomenos “puramente” mecanicos?

La crisis es mas profunda. Alguien podrıa argumentar que, tal como

uno puede inferir la ley de gravitacion clasica a partir de las leyes empıricas de

Kepler, si le agregamos los nuevos datos empıricos respecto a la precesion de los

perihelios, bien podrıa venir un super–Newton e inferir la nueva ley (9).

Realmente la nueva ley no cae del cielo y, en cierto sentido, Alberto

Einstein es el super–Newton del que hablabamos. La relacion (9) es un resulta-

do especial de su teorıa gravitacional, mas conocida como teorıa general de la

relatividad.


140 Capıtulo VII

12. Las preocupaciones de Einstein

Entre todas las preocupaciones que tuvo Einstein (ademas de las que

tuvo como hombre casado) hay una que, como estudiantes de mecanica, nos

atane directamente. Nos referimos a sus preocupaciones respecto a la inercia, esa

extrana propiedad que hace que los objetos “quieran” seguirse moviendo en lınea

recta y sin cambiar de rapidez. En cuanto usamos un termino antropomorfico

como “querer”, es inevitable que queramos seguir hablando en esos mismos

terminos y nos preguntemos, por ejemplo: ¿como saben los objetos que estan en

movimiento? ¿Movimiento respecto a que ?

Si tomamos a la masa como una de las propiedades mas importantes de

los objetos, se sabe que podemos interpretar su valor como “cantidad de inercia”;

pero, al mismo tiempo e indisolublemente ligada a esta inercia, esta siempre

presente la propiedad de atraer y ser atraıda. Inevitablemente, entonces, Einstein

hubo de ocuparse del problema de la gravitacion.

La teorıa newtoniana no solamente fracasaba al no explicar el corrimien-

to del perihelio de Mercurio, sino que, a la luz de la relatividad einsteiniana,

era una teorıa ambigua. En efecto, en la ley de gravitacion aparece el cuadra-

do de una distancia: la distancia entre las partıculas que interactuan. Pero la

distancia no es un invariante, ya que depende del sistema de referencia en el

cual analicemos. Por otra parte, las “noticias” de la presencia o movimientos de

objetos se propagan —segun Newton— con una velocidad infinita, mientras que

para Einstein la velocidad de la luz es una cota superior para la propagacion de

senales.

Cuentan que un dıa uno de los obreros que trabajaba en el edificio

donde tambien trabajaba Einstein, se cayo desde el techo. Afortunadamente

no se mato, por lo que no hubo que llevarlo a la morgue, sino a un hospital.

Tambien cuentan que uno de los primeros en ir a visitarlo fue Einstein. Quizas le

llevo al herido un gran ramo de flores, pero tambien le llevo una gran pregunta:

¿que sentiste, mientras ibas cayendo? La respuesta: nada, debe haber dejado a

Einstein rascandose la cabeza.


13. Como estudiar la nueva gravitacion 141

Es curioso que el cuento de la mecanica este llena de caıdas. Para em-

pezar, la historia de la caıda de objetos de la torre de Pisa mientras Galileo

observaba y cavilaba. Luego, la historia de la manzana que cae sobre la ca-

beza de Newton y que darıa comienzo a su teorıa gravitacional. Y ahora los

historiadores nos agregan una nueva caıda, esta vez la caıda de una persona.

La respuesta que recibio Einstein —nada— esta en el centro de su teorıa

gravitacional. Segun Einstein, los planetas se mueven como se mueven no porque

sobre ellos actuen misteriosas fuerzas, sino que se mueven ası...¡porque no les

queda mas remedio!

En la teorıa de Newton, las formas de las trayectorias de las partıculas

dependen de la fuerza a que estan sometidas y de las condiciones iniciales. A

veces esas fuerzas pueden provenir desde objetos muy lejanos, como es el caso

del sol y los planetas.

En la teorıa de Einstein no hay fuerzas que jalan o que empujan y

cada partıcula se mueve segun sean las condiciones fısicas locales; nadie recibe

ordenes desde lejos.

La teorıa de Newton pretende hacernos creer que la Tierra jala a la

Luna aun sin cable, hilo ni cadena. En suma, nada visible que transmita el

jalon. Newton no hace hipotesis, no inventa un mecanismo de transmision —lo

que es un defecto en la opinion de muchos. La teorıa newtoniana es muy exitosa,

pero ...

13. Como estudiar la nueva gravitacion

Cuando se pregunta como estudiar la nueva gravitacion, algunos in-

telectuales de derecha suelen decir: en serio. Esto significa primero adquirir el

instrumental matematico necesario (disponemos hoy de muy buenos libros) y,

solamente despues, estudiar como se aplica todo esto a la fısica de la gravitacion.

Por supuesto, los fanatismos no conducen a nada bueno. Si nos ponemos

a seguir cursos de geometrıa diferencial, como paso previo, probablemente se

nos quite todo deseo de estudiar relatividad, aunque quizas queramos seguir


142 Capıtulo VII

estudiando matematicas.

Por otra parte, todos mis amigos relativistas confiesan que ellos han

venido a entender ciertas cosas solamente al leer algunos libros de divulgacion,

que los hay muy buenos. Para empezar, uno de los clasicos, el libro de Arthur

Eddington Space, Time and Gravitation. En tiempos mas cercanos, el propio R.

Feynman tiene un par de capıtulos acerca de la curvatura del espaciotiempo y la

gravitacion, en sus conocidos “lectures”. Ya mas hacia aca, hacia nuestros dıas,

deberıamos leer a Taylor y Wheeler (Spacetime Physics). Mas recientemente (a

fines del siglo pasado), Taylor y Wheeler, en su libro Scouting black-holes, dan

un excelente ejemplo pedagogico al mostrar como es posible aprender de hoyos

negros sin necesidad de tensores.


cap tulo vii - dariomoreno.files.wordpress.com · problemas con los cuerpos ... usar solamente...

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