cap tulo 3 gesti on de stock en una farmacia...

Capıtulo 3

Gestion de Stock en unaFarmacia Hospitalaria

En este capıtulo se aplicaran las estrategias de control MPC aplicandomultiples escenarios, reduccion de escenarios basado en arboles y chance con-trains al problema de la gestion en una farmacia hospitalaria.

3.1. Introduccion

Las cadenas de suministro estan compuestas por las estructuras y proce-sos utilizados por una organizacion para proporcionar un servicio o un bien aun consumidor. Desde el punto de vista de la teorıa de control, las cadenas desuministro actuales presentan fenomenos interesantes como las oscilaciones,amplificaciones y retardos [14]. Debido a los retardos de traslado de mate-riales o retardos informativos, puede ser que la produccion o stocks se hallenen exceso o no alcancen los niveles optimos. Por estas razones, la dinamicade las cadenas de suministro han sido analizados en profundidad y han sidoutilizados como un ejemplo de aplicacion en varios campos del control; veasepor ejemplo las obras de [15] o [16].

Las consecuencias de una mala polıtica de control de los nodos en unacadena de suministro puede variar en funcion del tipo de bien o servicio con-siderado. En particular, los fallos en la gestion del stock en una farmacia delhospital pueden tener consecuencias sociales y economicas catastroficas. Por

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30 CAPITULO 3. GESTION DE STOCK EN UNA FARMACIA

un lado, las necesidades clınicas del hospital tienen que ser satisfechas, el cos-to social de la falta de disponibilidad de medicamentos puede ser muy grave,ya que puede conducir a la perdida de vidas humanas. Por otro, no es posibleelevar demasiado los niveles de stock promedio. Los hospitales cuentan conpresupuestos ajustados que imponen limitaciones en la gestion de stocks. [17]estiman que alrededor de un 35 % de los gastos de hospitalizacion de los ser-vicios y bienes se deben al departamento de farmacia. En los paıses, donde elsistema de salud es publico, estos gastos son muy significativos. Por lo tanto,la gestion del inventario es una de las principales tareas que un servicio defarmacia debe llevar a cabo en un hospital. Es un problema complejo, ya querequiere para establecer un equilibrio entre criterios de optimizacion muchasveces contradictorias. Ademas, otros factores que complican tıpicamente pro-blemas de gestion de inventario tambien se deben tomar en consideracion eneste contexto. Por ejemplo, hay limitaciones sobre la colocacion de medica-mentos almacenados, en un local de capacidad determinada, especialmentepara aquellos farmacos que tienen que ser conservados a baja temperatura,y por lo tanto tienen que ser almacenados en un refrigerador. Los retrasos enlas entregas del medicamento y las demandas no deterministas son tambiencuestiones importantes en este campo.

Por lo general, los encargados de farmacia aplican polıticas muy simplesde control de stock. En particular, una polıtica (s, S) es habitualmente uti-lizada, lo que significa que cuando el inventario cae por debajo del nivel sse hace un pedido para elevar de nuevo a S. Alternativamente, los pedidosse pueden asignar un tamano fijo Q y s se define como el punto de pedi-do. Se debe considerar tambien que otras estrategias de control de stock derevision periodica son posibles, vease, por ejemplo [18] o [19]. Sin embargo,estas polıticas carecen de la flexibilidad suficiente para considerar todos losfactores que intervienen en este problema de optimizacion de una manerasistematica. Por esta razon, en este trabajo se propone aplicar el control pre-dictivo basado en modelo (MPC) para el problema de la gestion de stock(inventarios) del departamento de farmacia.

Las cadenas de abastecimiento y los inventarios tambien se han benefi-ciado de la aplicacion del MPC. Por ejemplo, [20] y [21] aplica MPC parasuministrar gestion de la cadena de fabricacion de semiconductores. [16] uti-liza un punto de referencia de la cadena de suministro, el Juego de la Cervezadel MIT, para probar un algoritmo MPC distribuido con baja carga comu-nicacional. [22] aplica un MPC robusto al sistema de produccion-inventario.Por ultimo,[23] utiliza una variacion del MPC para reducir el numero deparametros de ajuste en la gestion de los inventarios y las cadenas de sumi-

3.2. DESCRIPCION DEL PROBLEMA 31

nistro.

Para poner a prueba la estrategia propuesta, se realizaran simulacionesbasadas en datos reales del procedimiento Hospital Reina Sofıa en Cordoba,Espana es un hospital universitario de gran tamano que sobresale en los ser-vicios de trasplantes. El hospital tiene una capacidad total de mil doscientoscamas para los pacientes hospitalizados. Ademas de estos pacientes hospi-talizados, el departamento de farmacia ofrece mensualmente mas de cincomil entregas de medicamentos para pacientes externos. En este hospital, losgastos en materia de medicina superan la cantidad de cincuenta millones deeuros al ano.

3.2. Descripcion del Problema

Se asume que el inventario de farmacia esta compuesto por Ni medica-mentos diferentes. El siguiente modelo discreto no lienal sera utilizado parareprensentar la evolucion del nivel de stock de medicamentos i:

si(t+ 1) = si(t) +

npi∑j=1

oji (t− τji )− di(t), (3.1)

donde si ∈ R es el stock de medicamentos i, oji ∈ R es el numero de artıculospedidos a los j-th de los npi proveedores de medicamentos i, τ ji es el retardo detransporte correspondiente, y di(k) representa la demanda de medicamentosi. El numero de artıculos pedidos puede descomponerse como oji = δji (t −τ ji )uji (t− τ

ji ), con δji (t) es una variable booleana cuyo valor es uno solo si un

pedido de medicamento i al proveedor j es realizada en un tiempo t, casocontrario, su valor es cero, y uji ∈ R es el numero actual de artıculos ordenadosen caso de un pedido. Esta descomposicion se introduce para simplificar lacontabilidad de costos que estan relacionados con la realizacion de pedidos.

Se consideran los siguientes costos asociados al problema de gestion deinventario:

pji es el coste que el proveedor j oferta por el medicamento i. Se asume,por simplificar, que este precio no depende del numero de medicamentospedidos.

Cjsh,i son los gastos de pedido del medicamentoi al proveedor j.


Cop,i respresenta los gastos asciados a la realizacion de un pedido de unmedicamento i.

Cos,i es el coste de quedarse sin existencias de medicamentos i, es de-cir, el coste de la escasez. En este caso, es posible que pedir ayuda aotros hospitales. Estos prestamos requieren contratar entregas especia-les, que pueden tener un alto coste. Ademas, el riesgo de no ser capazde satisfacer las necesidades clınicas del hospital es maxima en estepunto.

Cs,i es el coste de almacenamiento del medicamento i.

Los objetivos de la gestion del inventario de farmacia se pueden resumiren los siguientes puntos:

1. Satisfaccion de la demanda. La probabilidad de escasez de medicamen-tos tiene que ser minimizado. La demanda de los medicamentos no esdeterminista. Lo mismo puede ocurrir con el retardo de transporte aso-ciados a los envıos. Como consecuencia de ello, es comun establecerun stock de seguridad con el fin de hacer frente a la incertidumbre in-troducida por estos problemas. Dos posibilidades se presentan en estepunto en funcion de si un stock de seguridad fijo o variable se establez-ca. En el primer caso, un lımite mınimo se introduce en el problemade optimizacion. En el segundo, el stock de seguridad se convierte enun parametro de optimizacion. De todos modos, esto se traduce en lasiguiente condicion matematica:

mınδji ,u

ji ∀i,j

N∑k=0

Ni∑i=1

Cos,iPr(si(t+ k) < 0), (3.2)

donde Pr(si(t+k) < 0) representa la probabilidad de si(t+k) sea nega-tiva y N es el tamano del horizonte del tiempo en el cual, la condiciondeb ser satisfecha.

2. Minimizar los gastos en la adquisicion de medicamentos y los nivelesde inventario, es decir,

mınδji ,u

ji ∀i,j

N∑k=0

Ni∑i=1

npi∑j=1

δji (t+ k)(pjiuji (t+ k) + Cj

sh,i) +N∑k=0

Ni∑i=1

Cs,isi(t+ k).

(3.3)

3.2. DESCRIPCION DEL PROBLEMA 33

3. Minimizar el numero de pedidos realizados. Los recursos humanos deldepartamento de farmacia son limitados. Por lo tanto, es convenientereducir al mınimo los costes fijos, que se introducen cada vez que sehace un pedido. Este objetivo se entiende mejor cuando se toma encuenta que, por ejemplo, en un hospital como el Reina Sofıa mas dedoce mil pedidos se realizan durante un ano. Matematicamente, estacondicion es equivalente al siguiente problema de minimizacion:

mınδ

N∑k=0

Ni∑i=1

npi∑j=1

Cop,iδji (t+ k). (3.4)

Ademas, difentes restricciones se deben considerar:

Restricciones de almacenamiento. Por un lado, el stock de medi-camentos i tiene que ser mayor que un stock de seguridad minSi

, cuyamision es proporcionar una garantıa adicional para que se reduzca laprobabilidad de falta de inventario. Por otro, puede haber restriccionesde la sala que limitan el numero maximo de muestras de medicamentosque se pueden almacenar. Por lo tanto,

si ∈ [minsi ,maxsi ]. (3.5)

Restricciones de pedidos. Las restricciones en los ordenes requierenel uso de dos variables diferentes . La primera es una variable boolea-na que representa si un pedido de un medicamento i se ha realizadocon el proveedor j durante el tiempo t . Por lo tanto, δji (t) ∈ [0, 1] .En caso de realizar un pedido se debe considerar que existe tanto unnumero maximo como un mınimo de medicamentos que se puede hacerel pedido, es decir,

uji ∈ [minuji,maxuji

]. (3.6)

Restricciones de operacion. La farmacia tiene una capacidad limi-tada para hacer pedidos y la recepcion de los envıos. Por esta razon,un lımite tiene que ser impuesto sobre el numero de pedidos realizadosdurante un horizonte de longitud N , es decir,

N∑k=0

npi∑j=1

δji (t+ k) ≤ ∆i, (3.7)

donde ∆i es el maximo numero de pedidos de medicamentos i quepueden ser realizados durante el horizonte.


Restricciones economicas. Se va a considerar una restriccion en lacantidad de dinero que se puede gastar durante el horizonte de N ,siendo max$ la cantidad maxima. Para simplificar, se va a ignorar losgastos debido al almacenamiento de medicamentos. Por lo tanto, esteobjetivo se puede escribir como:

N∑k=0

Ni∑i=1

npi∑j=1

δji (t+ k)(pjiuji (t+ k) + Cj

sh,i + Cop,i) ≤ max$ (3.8)

3.3. Problema de optimizacion en la gestion

de inventario de farmacia

El objetivo del problema de otimizacion es triple; la demanda debe sersatisfecha, los activos fijos reducidos y el numero de pedidos minimizado. Elsistema se lo puede respresentar como la Figura 3.1.

Figura 3.1: Representacion del sistema

Las entradas del sistema son la demanda estimada de medicamentos,perturbaciones y restriccones. Las salidas son el nivel optimo de stock, costesmınimos y datos de cuando y cuantos pedidos deben ser entregados. El ındicede rendimiento considerado en este trabajo implica una funcion ponderadamulticriterio donde la demanda de satisfaccion, se incluyen los gastos y elnumero de pedidos.

3.3. PROBLEMA DE OPTIMIZACION 35

mınuJ = β1Dem(u, t) + β2Expenses(u, t)

+β3Orders(u, t),(3.9)

dondeDem, Expenses yOrders son, respectivamente, los terminos asociadosa la demanda de satisfaccion, los costos y las ordenes. Las salidas del problemadependen en gran medida de los pesos β, priorizando los diferentes terminos.

3.3.1. Control Predictivo Basado en Modelo (MPC)

MPC es una estrategia de control basado en el uso explıcito de un modelodinamico para predecir la salida del proceso en instantes de tiempo futurosa lo largo de un horizonte de prediccion (N) [1]. El conjunto de senales decontrol futuras se calcula mediante la optimizacion de un criterio o funcionobjetivo. Las salidas previstas dependen de las entradas pasadas conocidas yvalores de salidas hasta el instante k y en las senales de control futuras. Solola senal de control calculada para el instante k es enviado al proceso, mientrasque las proximas senales de control se descartan. Algunas de las ventajas quepresenta MPC sobre otros metodos de control de optimizacion incluyen larelativa facilidad de implementacion, la extension immediata para el casomultivariable, y la consideracion de las restricciones en la optimizacion.

En este trabajo, se ha utilizado la tecnica de MPC para resolver el pro-blema. A continuacion se examinan los terminos involucrados en la expresion(3.9). La primera de ellas esta relacionada con la satisfaccion de la demanda.Como se ha dicho, la demanda tiene un comportamiento aleatorio. Por lotanto, lo unico que podemos hacer es reducir al mınimo la probabilidad deescasez de medicamentos, como se muestra en (3.2).

3.3.2. Programacion MPC

A continuacion, se va a presentar algunas consideraciones sobre el proble-ma de control de inventario con el fin de facilitar su aplicacion. Por lo tanto,la funcion objetivo sera minimizar el numero de pedidos y gastos realizados.

Sea el sistema definido por:

s(t+ 1) = s(t) + o(t− τ)− d(t), (3.10)


Donde s(t) = [s1(t), ..., sNi(t)], d(t) = [d1(t), ..., dNi

(t)] y o(t− τ) =npi∑j=1

δji (t−

τ ji )uji (t− τji ) represneta el numero total de artıculos pedidos. Como se puede

observar, el sistema (3.10) es equivalente a (3.1).

El problema a resolver es el siguiente:

mınoJ

sujeto a (3.10) y (3.5)-(3.8). En este problema particular, tenemos que consi-derar dos variables de control: Una variable booleana δji (t) y uji (t), las cualesson las componetes de la variable de control o(t). Debido a que la busqueda deestas dos variables juntas, resolver el problema de optimizacion es una tareadifıcil, debido a la diferente naturaleza de ellas, este problema se resuelve pormedio de un algoritmo de busqueda exhaustiva, la solucion del problema unavez para cada escenario posible, dependiendo del valor de {δji (t), ..., δ

ji (t+N)}.

Con este algoritmo, el problema de optimizacion se resuelve con respecto ala variable uji (t).

Se puede observar que si δji (t + k) = 0, k ∈ {0, 1, ..., N}, el numero deartıculos pedidos oji (t+ k) = 0. Por lo tanto, para simplificar el problema, elvector de variables de control {uji (t), ..., u

ji (t + N)}, es reducido, eliminando

las componentes nulas uji (t+ k), esto es:

∀δji (t+ k) = 0, k ∈ {0, 1, ..., N},uji (t)

...

uji (t+ k)...

uji (t+N)

︸︷︷︸

uji (t)

→

uji (t)...

uji (t+ k − 1)

uji (t+ k + 1)...

uji (t+N)

︸︷︷︸

u’ji (t)

,

donde uji (t) ∈ RN+1 and u’ji (t) ∈ RN ′+1, siendo

N ′ = N −N∑k=0

(1− δji (t+ k)

)

3.3. PROBLEMA DE OPTIMIZACION 37

Se puede ver que esta operacion, es decir, para reducir el vector uji (t) au’ji (t), se puede lograr mediante un simple cambio de variables.

uji (t) = Mu’ji (t),

donde M ∈ RN+1 × RN ′+1.

Por ejemplo, si N = 4:

uji (t) =

uji (t)

uji (t+ 1)

uji (t+ 2)

uji (t+ 3)

,

y se asumen estos valores: δji (t) = 1, δji (t+1) = 1, δji (t+2) = 0 y δji (t+3) = 1.Esto significa que uji (t) tiene que ser reducido, ası N ′ = 3 y

M =

1 0 00 1 00 0 00 0 1

,

esta matriz provee el vector reducido:

u’ji (t) =

uji (t)

uji (t+ 1)

uji (t+ 3)

.Por lo tanto, u’ji (t) contiene solo los elementos ordenados que no son cero.

Este problema de optimizacion sera resuelto tantas veces como posiblescombinaciones con los valores de {δji (t), ..., δ

ji (t + N)}, para evitar de esta

variable en la optimizacion, por lo que vamos a obtener el mismo numerode valores de la funcion objetivo. La combinacion optima de los valores de{δji (t), ..., δ

ji (t+N)}corresponde con aquella que proporciona el valor mınimo

de la funcion objetivo.

Es necesario prestar especial atencion a las restricciones, durante la solu-cion de este problema. No es posible imponer toda la matriz de restricciones


al vector reducido u’ji (t), por lo que es necesario aplicar la matriz de transfor-macion M a la matriz de restricciones solo para las componentes de controlque se estan considerando.

3.4. CC-MPC

En esta seccion se presenta la forma de analizar el problema basandoseen restricciones estocasticas. En (3.10), la demanda agregada de d(t) ha aso-ciado una perturbacion estocastica, debido a la naturaleza incierta de d(t).A medida que el estado se ve influido por incertidumbres aditivas d(t), laslimitaciones no pueden ser representados de una manera determinista. Porlo tanto, se vuelven a escribir de una manera probabilıstica, por ejemplo:

P (s(t+ k) ≥ smin) ≥ 1− δs, ∀k ∈ {1, .., N},

donde δs es la probabilidad de fallo, por lo que es el riesgo de desabasteci-miento vinculado. El desarrollo de la ultima expresion a lo largo del horizontede prediccion, y suponiendo que las perturbaciones se comportan como unafuncion de una cierta distribucion de probabilidad, es posible calcular o esti-mar la media y la desviacion estandar de la variable de estado. Por ejemplo,para el primer instante de la horizonte de prediccion y suponiendo que lasperturbaciones se comportan como una distribucion normal con media µ ydesviacion estandar σ, es decir, d(t) = N(µ, σ), se obtiene:

P (s(t+ 0) + o(t+ 0)− d(t+ 0) ≥ smin) ≥ 1− δs,

la cual es normalizada de la siguiente forma:

P[s(t+1)−s(t+0)−o(t+0)−µ

σ≥ smin−s(t+0)−o(t+0)−µ

σ

]≥ 1− δs

P[s(t+1)−s(t+0)−o(t+0)−µ

σ≤ smin−s(t+0)−o(t+0)−µ

σ

]≤ δs

ϕ(smin − s(t+ 0)− o(t+ 0)− µ

σ

)≤ δs

3.4. CC-MPC 39

smin − s(t+ 0)− o(t+ 0)− µσ

≤ ϕ−1(δs),

donde ϕ(·) es la funcion de distribucion probabilıstica. Esto permite escribirlas restricciones de la forma:

−o(t+ 0) ≤ s(t+ 0)− smin + ϕ−1(δs)σ + µ.

Para el segundo instante en el horizonte de prediccion:

P (s(t+ 2) ≥ smin) ≥ 1− δsP (s(t+ 1) + o(t+ 1)− d(t+ 1) ≥ smin) ≥ 1− δsP ((s(t+ 0) + o(t+ 0)− d(t+ 0)) + o(t+ 1)−d(t+ 1) ≥ smin) ≥ 1− δsP (s(t+ 0) + o(t+ 0)− d(t+ 0)) + o(t+ 1)−d(t+ 1) ≥ smin) ≥ 1− δs.

De manera similar a los analisis anteriores, se obtiene:

ϕ(smin − s(t+ 0)− o(t+ 0)− o(t+ 1)− 2µ

σ√

2

)≤ δs

smin − s(t+ 0)− o(t+ 0)− o(t+ 1)− 2µ

σ√

2≤ ϕ−1δs,

con lo cual se puede escribir las restricciones de la siguiente manera:

−o(t+ 0)− o(t+ 1) ≤ s(t+ 0)− smin + ϕ−1δs · σ√

2 + 2µ.

En general, para un horizonte de prediccion N , tenemos la siguiente res-triccion que tiene que ser incluido en el problema de optimizacion detras deldiseno de la MPC para aplicar las restricciones probabilısticas:

−

1 0 0 · · · 01 1 0 · · · 01 1 1 · · · 0...

...1 1 · · · 1

o(t+ 0)o(t+ 1)o(t+ 2)

...o(t+N − 1)

≤

111...1

s(t+ 0)

+

1 1 1

1 2√

2

1 3√

3...

......

1 N√N

−sminµϕ−1(δs)σ

.


A continuacion, se aplica la tecnica de CC- MPC propuesta a uno delos medicamentos de mayor coste que se utiliza en estos hospitales. Ademas,este farmaco merece una atencion especial, ya que se debe almacenar en unrefrigerador, lo que hace aun mas importante para reducir su promedio denivel de almacenamiento.

En cuanto al controlador, se ha considerado un horizonte de prediccion de8 dıas. La evolucion de la accion se basa en utilizar el modelo lineal discreto(3.10). Los pedidos de este medicamento tienen una cantidad mınima de 4unidades y el maximo se ha fijado en 1000. El precio del medicamento es de250 euros por unidad y cada pedido hecho implica un coste adicional de 2euros. Las entregas de este medicamento, por lo general, tienen un retraso de2 dıas con respecto al momento en el que se realiza la orden. Por ultimo , laexpresion de la demanda de (3.10) es no determinista. Una caracterizacionprobabilıstica de su comportamiento se ha calculado para este medicamentoen base a datos historicos. Como resultado, se ha modelado la demandadiaria como una variable aleatoria normal con media µ = 20 y una desviacionestandar de σ = 15.

Para simplificar, no se han considerado restricciones de almacenamientoni de costes vinculados a este. La restriccion implementada se ha realizadocon respecto a las acciones que la probabilidad del desabastecimiento tieneque ser inferior a 0.001 (es decir , se solicita un nivel de confianza del 99,999% ).

Una simulacion de 230 dıas se muestra en la Figura 3.2. En azul, semuestra la evolucion del stock utilizando CC- MPC. En rojo, se muestrala evolucion real de las acciones de acuerdo con los datos del hospital. Enambos casos, el estado es siempre positivo, pero en el caso de CC- MPC elnivel promedio fue de 291 unidades con una desviacion estandar de 101, quesupera los resultados registrados por el hospital (una media de 394 unidadesy una desviacion estandar de 186). Se debe tener en cuenta que, por el precioconsiderado, esta diferencia corresponde a una cantidad de mas de 60.000euros que se mantiene congelada innecariamente. Finalmente, tambien esinteresante anotar que durante el perıodo estudiado el hospital realiza 26ordenes mientras que la CC- MPC realiza 13. Es decir, la CC- MPC obtuvomejores resultados incluso con menos ordenes.

La optimizacion tiene que hacerse teniendo en cuenta las restriccionesdadas por (3.5) - (3.8). Un problema se resuelve en cada tiempo de muestreopara calcular una secuencia de control u que lleva el sistema a la referencia

3.5. MPC MULTIPLES ESCENARIOS 41

deseada. Para este medicamento, la referencia de valores (stock de seguridad)se ha establecido en 2.

Figura 3.2: Evolucion del stock y pedidos realizados real y simulado.

3.5. MPC Multiples escenarios

En esta seccion se aplicara la tecnica de multiples escenarios al problemade gestion del stock de la farmacia. Para aplicar esta tecnica no son necesa-rias los comportamientos probabilısticos de la demanda, es suficiente conocervarios escenarios de las posibles evoluciones de la demanda. El calculo delcontrolador dara como resultado una accion de control capaz de satisfacera todas las posibles perturbaciones del sistema ampliado, como se indica en(3.11).

s1(t+ 1)s2(t+ 1)s3(t+ 1)

...sK(t+ 1)

=

s1(t)s2(t)s3(t)

...sK(t)

+

III...I

o(t− τ)−

d1(t)d2(t)d3(t)

...dK(t)

(3.11)

donde K es el numero de escenarios considerados.


En la aplicacion de esta tecnica al modelo de gestion del stock de la farmacia(3.10), se han considerado 25 escenarios, los cuales han sido obtenidos de datoshistoricos de la demanda del medicamento para K semanas anteriores a partirdel dıa actual. Los escenarios obtenidos se han realizado con la mitad de los da-tos historicos y la demanda para cada instante de simulacion se han utilizado lasegunda mitad del historico de datos.

Las simulaciones se han realizado para 230 dıas, con un horizonte de predicciony de control de 8 dıas. La evolucion del stock del almacenamiento y los pedidosrealizados se muestran en la Figura 3.3. En color rojo se indica la evolcuion delstock realizada por el hospital, mientras que en azul, se muestra la evoucion delstock resultado de la aplicacion del MPC basado en multi-escenarios.

La optimizacion tiene que hacerse teniendo en cuenta las restricciones dadaspor (3.5) - (3.8). Un problema se resuelve en cada tiempo de muestreo para calcularuna secuencia de control u valida para cualquier escenario considerado.


Los resultados obtenidos con la aplicacion del MPC Multi-escenarios son 18pedidos, mientras que el hospital realiza, en ese mismo perıodo, 26 ordenes demedicamento. El quiebre del stock es de cero para los dos casos, los pedidos querealizada el Hospital y aplicando multi-escenarios. La media de almacenamientoaplicando multi-escenarios es 1040, el hospital 394 Con una desviacion media de334 y 186, respectivamente.

3.6. MPC BASADO EN ARBOLES 43

Una observacion para esta tecnica es el esfuerzo computacional realizado, quees mucho mayor que la tecnica de CC-MPC aplicada en la seccion anterior. Ademasal considerar 25 posibles evoluciones de la demanda, la accion de control es masconservadora, debido a que se realiza la optimiazacion considerando casos extre-mos.

3.6. MPC basado en arboles

Esta tecnica consite en dar una estructura de arbol con un numero de ramifi-caciones reducidas partiendo de un conjunto inicial de escenarios que representanlas perturbaciones. La reduccion de escenarios a una forma de arboles se ha reali-zado mediante el software GAMS. Una vez reducidos los escenarios se procede a laoptimizacion de la funcion de coste, sujeta a las restricciones propias del problema,adicionando restricciones de igualdad de la acciones de control en los puntos debifurcacion de las perturbaciones.

El sistema se lo presenta de una forma ampliada para el numero de escenariosreducidos que se consideraran, tal como se inidca en (3.12).

s1(t+ 1)s2(t+ 1)s3(t+ 1)

...sR(t+ 1)

=

s1(t)s2(t)s3(t)

...sR(t)

+

I 0 0 · · · 00 I 0 · · · 00 0 I · · · 0...

. . ....

0 0 0 · · · I

o1(t)o2(t)o3(t)

...oR(t)

−

d1(t)d2(t)d3(t)

...dR(t)

(3.12)

donde R es el numero reducido de escenarios a partir de K escenarios originales.

Las restricciones del problema son las mismas consideradas en los apartadosanteriores (3.5) - (3.8). Adicionalmente se debe considerar restricciones de igualdadpara las acciones de control u en los puntos de bifurcaciones, definido por (2.6).


3.6.1. Simulaciones

Las simulaciones realizadas mediante la tecnica de arboles, se parte de unconjunto de 25 escenarios y se hace un arbol con una reduccion a 5 escenarios,que representan la dinamica principal de la evolucion de las perturbaciones. Lassimulaciones se han realizado para 230 dıas, con un horizonte de prediccion yde control de 8 dıas. La evolucion del stock del almacenamiento y los pedidosrealizados se muestran en la Figura 3.4. En color rojo se indica la evolucion delstock realizada por el hospital, mientras que en azul, se muestra la evolucion delstock resultado de la aplicacion del MPC basado en arboles.


La optimizacion tiene que hacerse teniendo en cuenta las restricciones dadaspor (3.5) - (3.8). Un problema se resuelve en cada tiempo de muestreo para calcularuna secuencia de control u valida para el arbolo generado.

Los resultados obtenidos con la aplicacion del MPC basado en arboles son13 pedidos, mientras que el hospital realiza en ese mismo perıod 26 ordenes demedicamento. El quiebre del stock es de cero para los dos casos, los pedidos querealizada el Hospital y MPC basado en arboles. La media de almacenamientoaplicando tecnica de arboles es 183, el hospital 394 Con una desviacion media de334 y 89, respectivamente.

Se puede observar que aplicando esta tecnica el stock de almacenamiento del

3.7. COMPARATIVA DEL DESENVOLVIMIENTO 45

medicamento, de igual manera el numero de ordenes realizadas en los mismosperıodos, son mucho menor que los obtenidos con la aplicacion de las dos tecnicasrevisadas anteriormente. Una de las desventajas de esta tecnica es el esfuerzocomputacional realizado para la reduccion de los escenarios en cada uno de losinstantes de la simulacion.

3.7. Comparativa del desenvolvimiento de las

diferentes tecnicas aplicadas

En esta seccion se realizara una comparativa del desenvolvimiento de la evo-lucion del medicamento en el mismo perıodo de tiempo. Mediante la Tabla 3.1 sepuede observar las caracterısticas obtenidas para cada una de estas tecnicas.

Una menor media de almacenamiento y menor desviacion estandar se obtienenmediante la modelacion de la demanda como una estructura de arbol. La desven-taja de esta tecnica es el gran esfuerzo computacional que debe implementar en elcalculo de la accion de control en cada uno de los instantes de simulacion. Por otrolado mediante CC-MPC, se obtiene el mismo numero de pedidos que con arboles,la diferencia esta en el numero medio de medicamentos almacenados es mayor enesta segunda tecnica (CC-MPC) que con arboles, la ventaja de esta tecnica esque no se requiere conocer escenarios, unicamente se necesita la determinacion decaracterısticas probabilısticas de la demanda.

MPC aplicado Pedidos Quiebre Media DesviacionChance- Constraints 13 0 291 101Multi-escenarios 16 0 148 74

Basado en Arboles 13 0 183 89

Tabla 3.1: Comparacion de las diferentes tecnicas de MPC aplicadas

Una precaucion que hay decir con respecto a los resultados en este punto:puede haber cierta incertidumbre asociada a los datos reales. A veces, ya sea lasdispensaciones de medicamentos o la llegada de nuevos se registran mas tarde deque ocurran. Otra cuestion interesante con respecto a la evolucion real son susgrandes picos, que se asocian generalmente a los pedidos realizados antes de losperıodos de vacaciones (no se pueden hacer pedidos a continuacion). En cualquiercaso, la diferencia entre el caso real y la simulacion es lo suficientemente grandepara creer que la aplicacion de este tipo de polıticas en este contexto es prometedor.

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