cap «õtulo 4 anillos noetherianos y artinianos anillos noetherianos y artinianos 87 es decir...

Capıtulo 4Anillos noetherianos y artinianos

Muchos anillos de importancia, tanto en geometrıa algebraica como en teorıade numeros, satisfacen ciertas condiciones de finitud que se suelen expresar mejor,siguiendo a Noether y Artin, en terminos de condiciones de cadena en sus ideales.Ejemplos de especial importancia son los anillos de polinomios con coeficientes enun campo K[x1, . . . ,xn] y el anillo de enteros Z.

Anillos noetherianos. Un anillo A es noetheriano si todos sus ideales son finita-mente generados.

Proposicion 4.1 Si A es anillo, son equivalentes:

(1) A es noetheriano.

(2) Toda cadena ascendente de ideales propios

I1 ! I2 ! · · ·! In ! · · ·

se estaciona, i.e., existe un entero m tal que Im = Im+1 = · · · .

(3) Todo conjunto no vacıo de ideales de propios A tiene un elemento maximo, i.e.,un ideal que no esta contenido en ninguno de los ideales de la familia dada.

Demostracion. (1) " (2): Sea I :=!

I j. Como los ideales I j estan encadenados,entonces I es un ideal de A y es propio porque los I j lo son. Por hipotesis I esfinitamente generado, digamos I = #a1, . . . ,an$, donde notamos que para m sufi-cientemente grande se tiene que ai % Im y por lo tanto I ! Im, i.e., Ik = Im para todak & m.

(2) " (3): Si F es una familia no vacıa de ideales propios de A que no contiene unelemento maximo, entonces para cualquier I1 % F existe un I2 % F tal que I1 ! I2.De esta manera se construye una cadena que no se estaciona.

(3)" (1): Si I ! A es un ideal propio, sea F la familia de ideales contenidos en I dela forma #a1, . . . ,am$. Por hipotesis esta familia tiene un elemento maximo, digamos#a1, . . . ,an$. Entonces, para todo a % I se tiene que #a1, . . . ,an,a$ ! #a1, . . . ,an$,

85

86 4 Anillos noetherianos y artinianos

y como este es maximo se sigue que #a1, . . . ,an,a$ = #a1, . . . ,an$ y por lo tantoa % #a1, . . . ,an$ y ası I = #a1, . . . ,an$. '(

Ejemplo 1. El anillo Z es un DIP y por lo tanto es noetheriano. Todo campo K esnoetheriano y el anillo de polinomios K[x1, . . . ,xn] tambien es noetheriano por elteorema siguiente:

Teorema 4.2 (Teorema de la base de Hilbert) Si A es un anillo noetheriano, en-tonces A[x] tambien lo es. En particular, si K es un campo, entonces el anillo depolinomios K[x1, . . . ,xn] es noetheriano.

Demostracion. La segunda afirmacion se sigue de la primera por induccion. Parademostrar la primera afirmacion, mostraremos que si A[x] no fuera noetheriano en-tonces A no lo es. Supongamos entonces que A[x] no es noetheriano y sea I ! A[x]un ideal que no es finitamente generado. Sea f1 % I de grado mınimo. Escojamosf2 % I)# f1$ de grado menor (el cual existe porque I no es finitamente generado).Iterando este proceso, escojamos fk+1 % I)# f1, . . . , fk$ de grado menor. Por la elec-cion de los fi, sus grados ni satisfacen que n1 * n2 · · · . Mas aun, si ai es el coeficientede grado de fi, entonces

#a1$ ! #a1,a2$ ! · · ·! A

es una cadena de ideales de A que no se estaciona, ya que si lo hiciera, digamos

#a1, . . . ,ak$= #a1, . . . ,ak,ak+1$

se tendrıa una igualdad de la forma

ak+1 =k

!i=1

riai con los ri % A

y poniendo

g := fk+1)k

!i=1

rixnk+1)ni fi % I)# f1, . . . , fk$

este es un polinomio de grado gr(g) < gr( fk+1) porque el coeficiente ak+1 de fk+1se cancela en

ak+1xnk+1)k

!i=1

rixnk+1)niaixni = ak+1xnk+1 )k

!i=1

riaixnk+1 = 0

porque !ki=1 riai = ak+1, lo cual contradice la minimalidad del grado de fk+1. '(

En el capıtulo 1, pagina 17, se definieron los conjuntos algebraicos afines V(I)!Kn para I ! K[x1, . . . ,xn] un ideal, con K algebraicamente cerrado. Por el teoremade la base de Hilbert, todos estos ideales son finitamente generados, digamos I =# f1, . . . , fk$ con fi % I. Se sigue que

V(I) = V( f1)+ · · ·+V( fk),

4 Anillos noetherianos y artinianos 87

es decir, todos los conjuntos algebraicos afines son la interseccion un numero finitode hipersuperficies V( fi) ! Kn (vea el ejemplo 6 del capıtulo 1 en la pagina 18).Dicho en otras palabras, en la definicion de los conjuntos algebraicos afines V(I)basta considerar conjuntos finitos de polinomios (que generen el ideal I).

Localizacion preserva la noetherianidad:

Proposicion 4.3 Si A es noetheriano y S! A es multiplicativo, entonces S)1A tam-bien es noetheriano.

Demostracion. Si J es cualquier ideal de S)1A, entonces !)1J ! A es finitamentegenerado y por lo tanto S)1!)1J tambien es finitamente generado, pero por 3.7 esteultimo ideal es J. '(

Recordemos ahora del capıtulo 1, pagina 18, que si U ! SpecmK[x1, . . . ,xn],entonces I(U) =

"m%U m; en particular para U = SpecmK[x1, . . . ,xn] se tiene que

I(Specm(K[x1, . . . ,xn])) =#

m%SpecmK[x1,...,xn]

m

y dejamos como el ejercicio 27 el probar que si K es un campo infinito, entonces

I(Specm(K[x1, . . . ,xn])) = 0

(note que en particular si K es algebraicamente cerrado, el ejemplo 2 en la pagina91 prueba el caso correspondiente).

Si A es cualquier anillo, a la interseccion de todos los ideales maximos de A sele llama el radical de Jacobson de A y lo denotaremos por J(A). Ası, el ejercicio 27citado anteriormente, pide probar que J(K[x1, . . . ,xn]) = 0.

Lema 4.4 Si A es un anillo y c % A, entonces c % J(A) si y solo si 1)ac % A, (unaunidad) para todo a % A.

Demostracion. Si 1)ac no es una unidad, entonces esta contenido en un ideal maxi-mo m de A y como c % J(A) ! m entonces ac % m y por lo tanto 1 % m, lo cual esimposible.

Recıprocamente, si c -%m para algun ideal maximo, entonces m+#c$= #1$ y porlo tanto 1 = m+ac para algun m %m y c % A. Se sigue que 1)ac = m %m y por lotanto no es una unidad. '(

Teorema 4.5 (Lema de Nakayama) Sean I ! A un ideal tal que I ! J(A) y M unA-modulo finitamente generado.

(1) Si M = IM, entonces M = 0.

(2) Si N es un submodulo de M tal que M = N + IM, entonces M = N.

Demostracion. (1): Si x1, . . . ,xn generan M, por hipotesis podemos escribir

xi = !j

ai jx j con los ai j % I.


Entonces, x1, . . . ,xn son soluciones del sistema de n ecuaciones en n incognitas

!j("i j)ai j)x j = 0 donde "i j es una delta de Kronecker

y ası, por la regla de Cramer det("i j ) ai j) · xi = 0 para toda i. Observe ahora queen la expansion del determinante anterior todos los sumandos tienen un factor en Iexcepto el termino correspondiente a la diagonal que es de la forma (1)a11) · · ·(1)ann); por lo tanto el determinante anterior se expande como un 1 mas una suma deelementos de I, digamos 1+c con c% I ! J(A). Se sigue que d = det("i j)ai j)% A,porque de lo contrario existirıa un ideal maximo m tal que d %m, y como d = 1+ccon c % J(A), entonces c %m y consecuentemente 1 %m, una contradiccion. Por lotanto, det("i j) ai j) % A,. Ası, la igualdad det("i j) ai j) · xi = 0 implica que xi = 0para todo i y por lo tanto M = 0.

(2): La hipotesis dice que M/N = (N + IM)/N = I(M/N) y ası por la parte (1) sesigue que M/N = 0, i.e., M = N. '(

Un caso importante del lema de Nakayama es cuando A es un anillo local, i.e.,cuando tiene solo un ideal maximo m. Observe entonces que todo elemento u %A)m es una unidad porque de lo contrario estarıa contenido en un ideal maximodiferente de m. Se sigue que A)m = A,.

Corolario 4.6 (Lema de Nakayama) Sean (A,m) un anillo local y M un A-modulofinitamente generado.

(1) Si M = mM, entonces M = 0.

(2) Si N es un submodulo de M tal que M = N +mM, entonces M = N.'(

OBSERVACION. Si (A,m) es un anillo local, viendo al ideal m como un A-modulo,para el A-modulo cociente m/m2, como m anula a m/m2, la accion A.m/m2 /m/m2 se factoriza a traves del epimorfismo canonico al campo residual # : A /A/m =: k(m), i.e., se tiene un diagrama conmutativo:

A.m/m2

#.id!!

"" m/m2

k(m).m/m2

##

de tal forma que m/m2 es un k(m)-espacio vectorial.

Corolario 4.7 Sea (A,m) un anillo noetheriano local. Entonces, m es un ideal fi-nitamente generado por los elementos $1, . . . ,$n si y solo si sus clases residualesmodulo m2 generan m/m2 como k(m)-espacio vectorial. En particular, el numeromınimo de generadores de m es igual a la dimension del k(m)-espacio vectorialm/m2.


Demostracion. Si $1, . . . ,$n generan m, claramente sus clases residuales generan elcociente m/m2. Recıprocamente, si sus clases residuales $i + m2 generan m/m2,entonces

m = #$1, . . . ,$n$+m2.

Como A es noetheriano, entonces m es finitamente generado y ası aplicando la se-gunda parte del lema de Nakayama con M = m y N = #$1, . . . ,$n$ se sigue quem = #$1, . . . ,$n$. '(

Lema 4.8 En un anillo noetheriano todo conjunto de generadores de un ideal con-tiene un conjunto finito de generadores.

Demostracion. Si I = A, 1 % I se puede escribir como 1 = r1a1 + · · ·+ rnan conlos ai en cualquier conjunto de generadores de I. Se sigue que I esta generado pora1, . . . ,an. Supongamos ahora que I ! A es un ideal propio y sea % un conjunto degeneradores de I. Sea F el conjunto de ideales generados por subconjuntos finitos de% . Como A es noetheriano F tiene un elemento maximo m y este m debe contener atodos los elementos de % (si no fuera ası anadiendo cualquier otro elemento de % alos generadores de m se obtendrıa otro ideal mayor que m) y por lo tanto m = I. '(

Teorema 4.9 (Teorema de interseccion de Krull) Si A es un anillo noetheriano eI un ideal tal que I ! J(A), entonces

"n&1 In = 0.

Demostracion. Mostraremos primero que, para cualquier ideal I en un anillo noe-theriano

(1)#

n&1In = I ·

#

n&1In.

Note entonces que, en el caso cuando I ! J(A), por el lema de Nakayama se sigueque

"n&1 In = 0, como se querıa. Basta entonces probar (1) y para comenzar note

que la inclusion 0 es obvia. Para la otra inclusion, sean a1, . . . ,ar generadores de I.Entonces, In consiste de las sumas finitas

!i1+···+ir=n

&i1···ir ai11 · · ·air

r &i1···ir % A.

En otras palabras, In consiste de los elementos de la forma g(a1, . . . ,ar) para algunpolinomio homogeneo g(x1, . . . ,xr)%A[x1, . . . ,xr] de grado n. Denotemos con Hm alconjunto de polinomios homogeneos f de grado m tales que f (a1, . . . ,ar) %

"n&1 In

y sea J el ideal de A[x1, . . . ,xr] generado por!

m Hm. Por el lema anterior existeun conjunto finito { f1, . . . , fk} de elementos de

!m Hm que genera a J. Sean di =

gr( fi) y sea d = max{di}. Si b %"

n&1 In, en particular b % Id+1 y por lo tantob = f (a1, . . . ,ar) para algun polinomio homogeneo f de grado d +1. Por definicionf % Hd+1 ! J = # f1, . . . , fk$ y ası existen gi % A[x1, . . . ,xr] tales que

f = g1 f1 + · · ·+gk fk.


Como f y los fi son homogeneos, podemos omitir de cada gi los terminos que nosean de grado gr( f ))gr( fi) = d +1)di > 0 y suponer que los gi son homogeneosde grado d +1)di > 0 y por lo tanto no son constantes. Entonces, gi(a1, . . . ,ar) % Iya que los ai % I y los gi son homogeneos no constantes. Por lo tanto

b = f (a1, . . . ,ar) = !i

gi(a1, . . . ,ar) · fi(a1, . . . ,ar) % I ·#

n&1In

lo cual demuestra (1), como se querıa. '(

Corolario 4.10 Si A es noetheriano e I !A es un ideal, entonces#

n&1In = {x % A : existe a % I tal que (1)a)x = 0}.

Demostracion. Si M ="

In, en la demostracion del teorema anterior se mostro queIM = M. Ahora, si S = 1 + I, entonces S es un subconjunto multiplicativo de A ynote que para todo a/s en el ideal S)1I ! S)1A (donde a % I,s % S) se tiene que

1+as

=s+a

s

donde s% S = 1+ I implica que s = 1+a1 con a1 % I por lo que s+a = 1+(a+a1)%1+ I y ası 1+a/s % (S)1A), y por lo tanto a/s % J(S)1A) por 4.4, es decir, S)1I !J(S)1A) donde S)1A es noetheriano por 4.3. Observe ahora que de M = IM se sigueque S)1M = (S)1I)(S)1M). Como S)1I ! J(S)1A), por el lema de Nakayama sesigue que S)1M = 0. Finalmente, como A es Noetheriano, entonces M es finitamentegenerado; se sigue que la igualdad S)1M = 0 es equivalente a que exista s % S talque sM = 0. En efecto, claramente sM = 0 implica que S)1M = 0. Recıprocamente,si S)1M = 0, escribamos M = #a1, . . . ,am$; entonces los ai/1 generan S)1M comoS)1A-modulo, y como S)1M = 0 lo anterior quiere decir que ai/1 = 0, i.e., existesi % S tal que siai = 0, para toda 1 * i * m. Poniendo s = s1 · · ·sm % S se tiene quesai = 0 para toda i y por lo tanto sM = 0. '(

Proposicion 4.11 Si A es un anillo noetheriano, todo ideal I contiene una potenciade su radical

2I. En particular, su nilradical es nilpotente.

Demostracion. Como A es noetheriano, podemos suponer que2

I esta generadopor a1, . . . ,an. Entonces, para cada i una potencia ari

i % I. Por lo tanto, para cadaelemento $1a1 + · · ·+$nan de

2I ($i % A) en la potencia

($1a1 + · · ·+$nan)r1+···+rn

al expandirla cada uno de sus sumandos tiene un factor de la forma arii para algun i

y por lo tanto esta en I. '(

Proposicion 4.12 Si K es un campo y A una K-algebra de tipo finito, entonces,J(A) =

20 = nilA. En particular, si A es reducido, entonces J(A) = 0.


Demostracion. Como nilA ="

p y los maximos son primos, entonces nilA! J(A).Recıprocamente, si f % J(A) queremos mostrar que f es nilpotente. Supongamosque no lo es; entonces A f -= 0 y ası existe un ideal maximo m ! A f , y como A f 3A[T ]/# f T ) 1$ por 3.6, entonces A f es una K-algebra de tipo finito, porque A loes y consecuentemente A[T ] tambien lo es. Se sigue que A f /m es una extensionde tipo finito de K y ası, por 3.21 es una extension algebraica. Sea # : A / A f elmorfismo canonico. Entonces # induce un monomorfismo A/#)1(m) ! A f /m, i.e.,A/#)1(m) es una K-subalgebra de A f /m. Por 3.20 se sigue que A/#)1(m) es uncampo y por lo tanto #)1(m) es un ideal maximo de A. Note ahora que f -% #)1(m)porque #( f ) es una unidad de A f . Finalmente, el hecho de que f no este en el idealmaximo #)1(m) de A contradice el que f % J(A). Se sigue que f es nilpotente,como se querıa. '(

Ejemplo 2. Si K es un campo algebraicamente cerrado y p!K[x1, . . . ,xn] es un idealprimo, el anillo A = K[x1, . . . ,xn]/p es una K-algebra de tipo finito y es un dominioentero (en particular es reducido) y ası la proposicion anterior dice que J(A) = 0.

Proposicion 4.13 Si A es noetheriano, m! A es maximo y mAm es el ideal maximodel anillo local Am, entonces para todo n& 0 la funcion

A/mn / Am/(mAm)n

dada por a+mn 4/ (a/1)+(mAm)n es un isomorfismo. Mas aun, induce isomorfis-mos

mk/mn 5)/ (mAm)k/(mAm)n

para toda k < n.

Demostracion. La segunda afirmacion se sigue de la primera aplicando el lema delquinto ya que se tiene el diagrama conmutativo siguiente, para todo k < n:

0 "" mk/mn ""

!!

A/mn ""

3!!

A/mk ""

3!!

0

0 "" (mAm)k/(mAm)n "" Am/(mAm)n "" Am/(mAm)k "" 0

y por lo tanto basta probar la primera afirmacion. Sean S = A)m y ! : A / Am

el morfismo canonico (que induce la funcion que queremos probar que es un iso-morfismo). Para mostrar que A/mn / Am/(mAm)n es inyectiva, notamos primeroque S)1(mn) = (mAm)n y ası debemos mostrar que !)1S)1(mn) = mn. Para esto,si a % !)1S)1(mn), entonces !(a) = a/1 % S)1(mn) y ası a/1 = b/s con b % mn

y s % S. Se sigue que tsa % mn para algun t % S y por lo tanto tsa = 0 en A/mn.Por otra parte, el unico ideal maximo que contiene a mn es m (ya que si n es otroideal maximo que contiene a mn, entonces mAm = S)1m0 S)1n por lo que m0 ny ası m = n) y por la correspondencia con los ideales del cociente A/mn se sigueeste es un anillo local cuyo unico ideal maximo es m/mn, y como t,s % S = A)m,entonces ts -%m/mn debe ser una unidad en A/mn, y ası la igualdad tsa = 0 implica


que a = 0 en A/mn, i.e., a % mn. Hemos ası mostrado que !)1S)1(mn) ! mn. Laotra inclusion es directa.

Resta probar que A/mn / Am/(mAm)n es suprayectiva. Para esto, sea a/s% Am,i.e., a % A y s % A)m. Como antes, el unico ideal maximo de A que contiene amn es m y por lo tanto ningun ideal maximo contiene a s y mn, i.e., #s$+mn = A.Se sigue que existen x % A y b % mn tales que sx + b = 1. Como s es invertible enAm/(mAm)n, entonces a/s es el unico elemento de este anillo tal que s(a/s) = a.Como s(ax) = a(1)b) con b %mn, entonces ab % (mAm)n por lo que la imagen deax en Am satisface que s(ax) = a en Am/(mAm)n y por lo tanto ax/1 = a/s, es decir!(ax) = a/s. '(

Ejemplo 3. Si p % Z es primo, entonces

Z#p$/pZ#p$ 3 Z/pZ

y en general,Z#p$/pnZ#p$ 3 Z/pnZ.

Ideales primarios. Un ideal q de A es primario si es propio y ab % q implica quea % q o bn % q para algun n & 1. Equivalentemente, q ! A es primario si y solo sitodos los divisores de cero de A/q son nilpotentes (ya que si q es primario y si xy = 0en A/q y si x -= 0, entonces xy % q y x -% q y como q es primario se tiene que yn % qpara algun n& 1, i.e., yn = 0 y por lo tanto y es nilpotente. El recıproco es similar).

Ejemplo 4. Todo ideal primo p de A es primario.

Ejemplo 5. En Z los ideales 0 y #pn$, para p primo, son primarios. En efecto, 0 esprimo y ası es primario. Ahora, si p > 1 es primo de Z y si xy% #pn$, entonces pn|xyy si pn " x, entonces algun pk|y, 1 * k * n y ası y = pkt por lo que yn = pkntn, i.e.,yn % #pn$.

Ejemplo 6. En K[x,y] el ideal q = #x2,y$ es primario porque en K[x,y]/#x2,y$ 3K[x]/#x2$ (se !!muere"" la variable y) los divisores de cero son los multiplos de x ypor lo tanto son nilpotentes porque x2 = 0 en el cociente.

Lema 4.14 Si q es primario, entonces2

q es un ideal primo.

Demostracion. Si ab%2q, entonces (ab)n % q para algun n& 1 y ası an % q o bmn %q. En cualquier caso, a %2q o b %2q. '(

Si q es primario y p =2

q, diremos que q es p-primario.

Ejemplo 7. En Z el ideal 0 es 0-primario, y para p % Z primo los ideales #pn$ son#p$-primarios porque

$#pn$ = #p$ ya que si a %

$#pn$, entonces at % #pn$, i.e,

at = pnu!#p$ y por lo tanto a% #p$. Recıprocamente, si a% #p$, entonces an % #pn$y ası a %

$#pn$. Mostraremos ahora que estos son todos los ideales primarios de Z.


En efecto, si I = #a$ !Z es un ideal primario, entonces2

I = #0$ o #p$. En el primercaso I = 0 ya que Z no tiene nilpotentes. En el segundo caso, #a$ = I !

2I = #p$

por lo que p | a, y escribiendo a = pmu con p " u, si sucediera que u > 1, entoncesexistirıa otro primo q tal que q|u y ası a = pmu = pmqnv con p,q " v y notamos queI = #a$ ! #q$ y consecuentemente #p$ =

2I !

$#q$ = #q$, i.e., #p$ ! #q$ por lo

que p = q. Se sigue que u = 1 y a = pm, como se querıa.

Lema 4.15 Sean m un ideal maximo y q un ideal arbitrario. Son equivalentes:

(1) q es m-primario.

(2)2

q = m.

(3) m es el unico primo mınimo que contiene a q.

Demostracion. Claramente (1) " (2) y (2) " (3) por definicion de radical. Para(3)" (1) note que la hipotesis implica que A/q tiene un unico ideal primo, a saber,m/q. En efecto, si q1/q! A/q es primo, entonces q1 0 q y ası (3) implica que m! q1

y como m es maximo se sigue que q1 = m. Por lo tanto, nil(A/q) = m/q y ası loselementos de m/q son nilpotentes y como A/q es local con ideal maximo m/q, loselementos de A/q fuera de m/q son unidades. '(

Corolario 4.16 Si m es maximo, entonces las potencias mk son m-primarios. '(

Lema 4.17 Si f : A / B es un morfismo de anillos y q ! B es primario, entoncesf)1(q)! A es primario.

Demostracion. Si ab% f)1(q) y a -% f)1(q), entonces f (a) f (b) = f (ab)% q y comof (a) -% q se sigue que f (b)n % q, i.e., bn % f)1(q), para algun n& 1. '(

Lema 4.18 Si q1, . . . ,qn son p-primarios (para el mismo p), entonces q ="

qi esp-primario.

Demostracion.2

q =2"

qi ="2

qi = p. Ahora, si ab % q con b -% q, entoncesab % qi para todo i y existe un j tal que b -% q j, y como q j es primario se tiene queat % q j para algun t & 1 y ası a %2q j = p =

2q, i.e., ar % q, para algun r. '(

Si I es un ideal de A y x % A, considere el ideal que traslada x a I (vea el ejercicio9 de la pagina 25)

(I : x) := {a % A : ax % I}

y note que claramente x % I implica que (I : x) = A.

Lema 4.19 Sean q un ideal p-primario de A y x % A.

(1) Si x -% q, entonces (q : x) es p-primario y ası$

(q : x) = p.

(2) Si x -% p, entonces (q : x) = q.

Demostracion. (1): Mostraremos primero que$

(q : x) = p: Si a %$

(q : x), enton-ces an % (q : x) para algun n & 1. Ası, anx % q y como x -% q, entonces amn % qy ası a % 2q = p. Recıprocamente, si a % p como p =

2q entonces at % q y


ası at % (q : x), i.e., a %$

(q : x). Ahora, si ab % (q : x) entonces abx % q y co-mo q es p-primario se sigue que an % q o bx % q. En el primer caso se tiene quean % (q : x) y en el segundo caso se tiene que b % (q : x) y por lo tanto (q : x) esprimario.

Para (2), claramente q ! (q : x) y para la otra inclusion, si a % (q : x) entoncesax % q con x -% p =

2q, i.e., para todo n& 1 se tiene que xn -% q. Como q es primario

se sigue que a % q. '(

Descomposicion primaria. Una descomposicion primaria de un ideal I de A es unaexpresion de I como interseccion finita de ideales primarios:

(,) I =m#

i=1qi.

Hay ejemplos de ideales que no tienen una tal descomposicion primaria. En la sec-cion siguiente veremos que si A es noetheriano todos sus ideales admiten una des-composicion primaria. Una descomposicion primaria (,) se dice que es mınima si:

(i) Los ideales primos2

qi = pi son distintos(ii)Ninguno de los qi puede ser omitido de (,), es decir, para todo i = 1, . . . ,n,#

j -=iq j -! qi.

OBSERVACION. Si I admite una descomposicion primaria (,), entonces admite unadescomposicion primaria mınima ya que, por 4.18 podemos combinar ideales pri-marios con el mismo radical y ası (i) se puede tener. Para (ii), note que cualquier qien (,) que no satisfaga (ii) puede ser omitido.

Los ideales primos pi =2

qi que ocurren en una descomposicion primaria mıni-ma de I se dice que pertenecen o que estan asociados a I.

Si I es cualquier ideal de A, los ideales primos mınimos de I son los elementosmınimos del conjunto V (I) de ideales primos que contienen a I. Note que si I esun ideal propio, entonces existe un ideal maximo que lo contiene y por lo tanto Itiene ideales primos que lo contienen. Cuando I admite una descomposicion pri-maria sus ideales primos mınimos son los radicales de los ideales primarios de ladescomposicion de I:

Proposicion 4.20 Si I = q1+ · · ·+qn, con los qi primarios y pi =2

qi, entonces losideales primos mınimos de I son los elementos mınimos del conjunto {p1, . . . ,pn}.

Demostracion. Para comenzar, observe que como pi =2

qi, entonces qi ! pi y porlo tanto I = q1+ · · ·+qn ! pi y ası cada pi contiene a I. Ahora, si p es un primo quecontiene a I, entonces p0

"ni=1 qi y por lo tanto

p =2

p0n#

i=1

2qi =

n#

i=1pi


y ası p0 pi para algun i (porque si no fuera ası, para cada i existirıa un ai % pi)p ya1 · · ·an %

"i pi ! p, una contradiccion con el hecho de que p es primo), vea tambien

1.16. '(

La proposicion anterior nos dice que, cuando I admite una descomposicion pri-maria, I tiene un conjunto finito de primos mınimos que lo contienen y por lo tantosu radical

2I es una interseccion finita de primos. El teorema siguiente nos dice que

los primos asociados a I estan unıvocamente determinados por I:

Teorema 4.21 (Primer teorema de unicidad) Si I = q1 + · · ·+ qn es una descom-posicion primaria mınima de I y pi =

2qi, entonces

{p1, . . . ,pn} = {$

(I : x) :$

(I : x) es primo y x varıa en A}.

En particular, el conjunto {p1, . . . ,pn} es independiente de la eleccion de la des-composicion primaria de I.

Demostracion. Para cualquier x % A se tiene que

(I : x) =%#

qi : x&

=#

(qi : x)

y por lo tanto$

(I : x) =$"

(qi : x) =#$

(qi : x) =#

x -%qi

pi

la ultima igualdad por 4.19. Ahora, si$

(I : x) es primo, la igualdad anterior implicaque es igual a uno de los pi ya que, poniendo p :=

$(I : x), la igualdad dice que p!

pi para todo i y el argumento en parentesis de la demostracion de la proposicion 4.20anterior (vea tambien 1.16) dice que p 0 pi, para algun i y por lo tanto

$(I : x) =

p = pi.Recıprocamente, para ver que cada pi =

2qi es de la forma

$(I : x) observe

que para cada pi existe un ai %"

j -=i q j ) qi porque la descomposicion primaria esmınima. Por el lema 4.19 se sigue que

$(qi : ai) = pi y para j -= i se tiene que

ai % q j y ası$

(q j : ai) = A. Por lo tanto

$(I : ai) =

$("

q j : ai) ='%"

j -=i q j : ai&+ (qi : ai)

='%"

j -=i q j : ai&+

$(qi : ai) = A+pi = pi.

'(El asociado de un ideal. Si I es un ideal de A, al conjunto

Ass(I) := {$

(I : x) :$

(I : x) es primo y x varıa en A}

se le llama el asociado del ideal I. Ası, el primer teorema de unicidad dice que si Iadmite una descomposicion primaria, I = q1+ · · ·+qn y pi =

2qi, entonces


Ass(I) = {p1, . . . ,pn}

y los ideales primos pi se dice que estan asociados al ideal I. Los elementos mi-nimales de Ass(I) se conocen como los primos aislados asociados a I. Los primosasociados que no son aislados se llaman primos encajados.

Ejemplo 8. En A = K[x,y], K un campo, para el ideal I = #x2,xy$ se tiene la descom-posicion primaria

I = #x2,xy$= p1+p22 con p1 = #x$, p2 = #x,y$

porque el ideal p1 = #x$ es primo (por lo tanto, primario) ya que el cocienteK[x,y]/#x$ 3 K[y] y el ideal p2 = #x,y$ es maximo, porque K[x,y]/#x,y$ 3 K, ypor lo tanto el ideal p2

2 = #x,y$2 es p2-primario. Aquı los primos asociados son p1y p2 y notamos que p1 ! p2 por lo que p1 es un primo aislado y p2 es un primoencajado. Note que en este ejemplo

2I =

'p1+p2

2 =2

p1+'

p22 = p1+p2 = p1

pero I no es un ideal primario porque en el cociente K[x,y]/#x2,xy$ se tiene quexy = 0 por lo que y es divisor de cero, pero no es nilpotente.

En el ejemplo anterior note que se tiene tambien otra descomposicion primariadiferente

I = #x2,xy$= #x$+ #x2,y$,

donde #x2,y$ es #x,y$-primario por el ejemplo 6.

NOTA. Los terminos aislado y encajado provienen de la geometrıa, ya que siI ! K[x1, . . . ,xn], con K algebraicamente cerrado, el ideal I define la variedad afınV(I) ! Kn (vease la pagina 17 del capıtulo 1) y los primos aislados de I corres-ponden a los puntos genericos (vea la pagina 13 del capıtulo 1) de las componentesirreducibles de V(I) ya que la cerradura de {p} es toda la componente irreduci-ble correspondiente, y los primos encajados corresponden a subvariedades de estascomponentes irreducibles, i.e., variedades encajadas en las componentes irreduci-bles.

En el ejemplo 8 anterior, si K es algebraicamente cerrado, la variedad afın

V(I) = V#x2,xy$ ! K2

es la interseccion del eje coordenado x (correspondiente a los ceros de x2) y la unionde los dos ejes coordenados x, y (correspondiente a los ceros de xy) por lo queV(I) es el eje x, que es irreducible. De hecho, corresponde al primo aislado #x$,i.e., V(I) = V#x$ y el primo encajado #x,y$ corresponde al origen {(0,0)} = V#x,y$encajado en el eje x.

Este ejemplo ilustra la unicidad de los primos asociados a un ideal que admiteuna descomposicion primaria, pero tambien ilustra la no unicidad de los ideales


primarios involucrados en la descomposicion. De hecho, lo que el ejemplo muestraadicionalmente es que en las dos descomposiciones siempre aparecen los factorescorrespondientes a los primos aislados y esto es precisamente lo que nos dira elsegundo teorema de unicidad. Antes de demostrarlo, mostraremos que en un anillonoetheriano todos los ideales tienen una descomposicion primaria.

Descomposicion primaria en anillos noetherianos. Un ideal I de A es irreducible1

si para cualesquiera ideales J1,J2 tales que I = J1 + J2 se tiene que I = J1 o I =J2. El resultado principal es que en un anillo noetheriano todo ideal admite unadescomposicion primaria.

Teorema 4.22 Sea A un anillo noetheriano. Entonces,

(1) Todo ideal irreducible es primario.

(2) Todo ideal de A es una interseccion finita de ideales irreducibles. Consecuente-mente, todo ideal de A es una interseccion finita de ideales primarios.

Demostracion. (1): Si I es irreducible, supongamos que xy% I y que y -% I. Queremosprobar que xn % I, para algun n. Como A es noetheriano, la cadena de ideales

(I : x)! (I : x2)! · · ·

se estaciona, i.e., (I : xn) = (I : xn+1) = · · · , para algun n& 1. Se sigue que

(,) (#xn$+ I)+ (#y$+ I) = I.

En efecto, si a % (#xn$+ I)+ (#y$+ I), escribiendo a = xns + b y a = yt + b1, conb,b1 % I, lo segundo implica que ax = xyt +b1x% I y lo primero implica que xn+1s =ax)bx% I. Por lo tanto s% (I : xn+1) = (I : xn) y ası a = xns+b% I. La otra inclusiones obvia.

Ahora, como I es irreducible, la igualdad (,) junto con la hipotesis de que y -% I(por lo que (#y$+ I) -= I) implican que (#xn$+ I) = I y por lo tanto xn % I, como sequerıa.

Finalmente, si (2) fuera falsa, el conjunto de ideales para los cuales la afirmacion(2) es falsa serıa no vacıo y como A es noetheriano este conjunto tendrıa un elementomaximo, digamos I. Ası, I es reducible y lo podemos escribir como I = J1+ J2 conI # Ji. Por la maximalidad de I cada Ji es una interseccion finita de irreducibles yjuntandolas se tiene que I es interseccion finita de irreducibles, una contradiccion.

'(

El segundo teorema de unicidad. Para probar que las intersecciones de idealesaislados asociados a un ideal descomponible no dependen de la descomposicionprimaria del ideal, necesitaremos estudiar primero como se comportan los idealesprimarios bajo localizacion.

1 Este concepto coincide con el de espacio irreducible para el caso del subespacio V (I) de SpecA,ya que V (I) = V (J1 + J2) = V (J1)6V (J2) y ası I es irreducible si y solo si V (I) es un subespacioirreducible. Vea la pagina 12 del capıtulo 1.


Proposicion 4.23 Sean S ! A un conjunto multiplicativo y q ! A un ideal p-primario.

(1) Si S+p -= /0, entonces S)1q = S)1A.

(2) Si S+p = /0, entonces S)1q es un ideal S)1p-primario de S)1A. Mas aun, bajoel morfismo de localizacion ! : A / S)1A, la imagen inversa de S)1q en A es q.Ası, bajo la correspondencia entre ideales de S)1A e ideales de A inducida por ! ,ideales primarios de S)1A corresponden a ideales primarios de A.

Demostracion. (1): Si s% S+p, entonces para algun n& 1, sn % S+q ya que p =2

q.Se sigue que S)1q = {a/s : a% q, s% S} contiene a sn/1 que es una unidad de S)1Ay por lo tanto S)1q = S)1A.

(2): Si S+ p = /0, entonces para todo s % S, as % q implica que a % q (ya que comosn % S entonces sn no puede estar en q para algun n porque lo contrario implicarıaque s% p, en contradiccion con la hipotesis). Por lo tanto, si a/s% S)1A esta en S)1q,entonces a % q y como q ! A, entonces S)1q ! S)1A. Ahora, si (x/s)(y/t) % S)1q yx/s -% S)1q, entonces x -% q y como este es primario se sigue que yn % q, para algunn & 1, y por lo tanto (y/t)n = yn/tn % S)1q y ası S)1q es primario. Ahora, comoel radical conmuta con localizacion, entonces

$S)1q = S)12q = S)1p, y S)1p es

primo porque p lo es. Finalmente, por 4.17, la imagen inversa de un ideal primarioes primario. '(

Si I ! A es un ideal y S ! A es multiplicativo, a la imagen inversa de S)1I, bajoel morfismo de localizacion ! : A/ S)1A, lo denotaremos por S(I).

Proposicion 4.24 Sean S ! A un subconjunto multiplicativo, I ! A un ideal des-componible e I =

"ni=1 qi una descomposicion primaria mınima de I. Sean pi =2

qi y supongamos que los qi estan numerados de tal forma que S intersecta apk+1, . . . ,pn y es disjunto con p1, . . . ,pk. Entonces,

S)1I =k#

i=1S)1qi y S(I) =

k#

i=iqi

y estas son sus descomposiciones primarias mınimas.

Demostracion. Se tiene

(,) S)1I = S)1( n#

i=1qi

)=

k#

i=1S)1qi,

la ultima igualdad por 4.23 ya que si S+ pi -= /0 entonces S)1qi = S)1A. Tambien,por 4.23, si S+pi = /0, entonces los S)1qi son S)1pi-primarios. Por otra parte, comolos pi son distintos, entonces los S)1pi, 1 * i * k, tambien lo son y ası (,) es unadescomposicion primaria mınima por la correspondencia biunıvoca de 4.23. Final-mente, tomando las imagenes inversas, bajo el morfismo de localizacion, de amboslados en (,), obtenemos que


S(I) = !)1(

S)1I)

= !)1( k#

i=1S)1qi

)=

k#

i=1!)1%S)1qi

&=

k#

i=1qi

por la segunda parte de 4.23. '(

Un subconjunto ' ! Ass(I) se dice que es aislado si siempre que p1 % Ass(I)es tal que p1 ! p para algun p % ' , se tiene que p1 % ' . Por ejemplo, si ' es unsubconjunto de primos aislados de Ass(I), entonces ' es un conjunto aislado.

OBSERVACION. (1) Si ' ! Ass(I) es aislado, entonces S = A)!

p%' p es multi-plicativamente cerrado. De hecho, la observacion es valida para todo subconjunto' ! SpecA.

(2) Si ' ! Ass(I) es aislado y S = A)!

p%' p, entonces para todo p1 % Ass(I) setiene que

p1 % ' " p1 +S = /0p1 -% ' " p1 +S -= /0.

La observacion (1) es porque si a,b % S, entonces a,b -% p para todo p % ' , ycomo los p son primos, entonces ab -% p para todo p % ' y por lo tanto ab % S.

Para (2), la primera parte es por la definicion de S. Para la segunda parte, observeque si p1 -% ' , entonces p1 -!

!p%' p porque si se tuviera la inclusion entonces se

tendrıa que p1 ! p, para algun p % ' por 1.16, y como ' es aislado esto ultimoimplicarıa que p1 % ' , una contradiccion; se sigue que p1 +S -= /0, por definicion deS.

Teorema 4.25 (Segundo teorema de unicidad) Sean I ! A un ideal descomponi-ble e I =

"ni=1 qi una descomposicion primaria mınima. Si ' = {pi1 , . . . ,pik} !

Ass(I) es un conjunto aislado, entonces qi1 + · · ·+ qik es independiente de la des-composicion primaria mınima de I.

Demostracion. Si S = A)!

p%' p, por la observacion (2), para todo p % Ass(I),p+S = /0 si p % ' , y p+S -= /0 si p -% ' , y por la proposicion anterior

S(I) =#

pi j%'qi j = qi1 + · · ·+qik

y ası qi1 + · · ·+qik es independiente de la descomposicion ya que S(I) solo dependede ' ! Ass(I) y el primer teorema de unicidad dice que los primos de Ass(I) nodependen de la descomposicion. '(

Anillos artinianos. Un anillo A es artiniano si toda cadena descendente de idealesde A:

I1 0 I2 0 · · ·

se estaciona, i.e., existe un n tal que In = In+k para toda k & 0.

Proposicion 4.26 Si A es un anillo, son equivalentes:


(1) A es artiniano.

(2) Todo conjunto no vacıo de ideales de A tiene un elemento mınimo, i.e., un idealque no contiene propiamente otro ideal de la familia.

Demostracion. Se sigue del lema de Zorn. Vea 4.1. '(

Ejemplo 9. Z es noetheriano pero no es artiniano porque la cadena de ideales

#a$ 0 #a2$ 0 · · ·

no se estaciona, si a -= 0,±1. Similarmente, si K es un campo, el anillo de polino-mios K[x] es noetheriano pero no es artiniano.

Proposicion 4.27 Un anillo artiniano tiene dimension2 de Krull cero. En otras pa-labras, en un anillo artiniano todo ideal primo es maximo.

Demostracion. Sea p un ideal primo en un anillo artiniano A. Entonces, B = A/p esun dominio entero artiniano. Para cualquier elemento no nulo b % B la cadena deideales #b$ 0 #b2$ 0 · · · se estaciona, i.e., #bn$ = #bn+1$ = · · · , para algun n & 1.En particular, bn = bn+1c para algun c % B y n& 1. Como b -= 0 y B es un dominioentero, podemos cancelar bn de la igualdad anterior y obtener que 1 = bc, i.e., b esuna unidad y por lo tanto todo elemento distinto de cero de B es invertible y ası B esun campo y consecuentemente p es maximo. '(

Corolario 4.28 En un anillo artiniano el nilradical y el radical de Jacobson soniguales.

Demostracion. J(A) ="

maximos m ="

primos p = nilA. '(

Proposicion 4.29 Un anillo artiniano tiene solo un numero finito de ideales maxi-mos.

Demostracion. Si F es el conjunto de todas las intersecciones finitas m1 + · · ·+mrde ideales maximos de un anillo artiniano A, por 4.26 F tiene un elemento mınimom1 + · · ·+mn. Por lo tanto, para cualquier ideal maximo m de A se tiene que m esuno de los mi en la interseccion anterior porque si no fuera ası, como m no puedeestar contenido propiamente en ningun mi por maximalidad, entonces existirıan ai %mi )m para cada i, y el elemento a1 · · ·an % m1 + · · ·+mn pero no estarıa en m(porque este es primo). Ası, m+m1+ · · ·+mn ! m1+ · · ·+mn, lo cual contradice laminimalidad de este ultimo. '(

Proposicion 4.30 En un anillo artiniano A su nilradical es nilpotente.

Demostracion. La cadena de ideales nilA 0 nil2 A 0 · · · se estaciona, i.e., niln A =niln+1 A = · · · para algun n& 1. Supongamos que niln A -= 0. Existen ideales I tales

2 En lo que sigue, y hasta antes del capıtulo siguiente donde se estudia la dimension de Krull deun anillo arbitrario, solo consideraremos el caso de dimension de Krull cero, donde la definicionequivale a que todo ideal primo sea maximo.


que I niln A -= 0, por ejemplo I = nilA y ası la familia F de tales ideales tiene unelemento mınimo, digamos J. Entonces, existe un a % J tal que aniln A -= 0. Comoa % J, entonces #a$ ! J y por la minimalidad de J se debe tener que #a$= J. Ahora,(aniln A)niln A = anil2n A = aniln A -= 0 y como #a$ es ideal aniln A! #a$, entoncespor la minimalidad de J = #a$ se sigue que aniln A = #a$. Por lo tanto a = ax paraalgun x % niln A y consecuentemente a = ax = ax2 = · · · = axn = · · · = a · · ·a · xt =a ·0 = 0 porque x % niln A! nilA y ası algun xt = 0. Esto contradice la eleccion dea con aniln A -= 0. Se sigue que niln A = 0. '(

Series de composicion. Para demostrar el lema 4.35 siguiente, necesitaremos algu-nos resultados sobre longitud de modulos que introducimos a continuacion.

Si M es un A-modulo, una cadena de longitud n en M es una sucesion desubmodulos de M de la forma

(,) 0 = M0 !M1 ! · · ·!Mn = M.

Si la cadena es maxima, i.e., ya no se pueden insertar submodulos en (,) diremosque la cadena (,) es una serie de composicion de longitud n de M. Note que decirque la cadena (,) es maxima es equivalente a pedir que los cocientes consecutivosMj/Mj)1 sean modulos simples (vea el ejercicio 16 en la pagina 2 del capıtulo 2).

Ejemplo 10. Si A = K es un campo y M es un K-espacio vectorial de dimensionfinita n, una serie de composicion de M es una bandera en M, i.e., una cadena desubespacios vectoriales de la forma

0 = M0 !M1 ! · · ·!Mn = M

donde dimMj = dimMj)1 +1, por lo que los cocientes Mj/Mj)1 tienen dimension1 y ası son simples. Note que la longitud de esta serie de composicion es igual an = dimM.

Si un A-modulo M tiene una serie de composicon de longitud n, denotaremos con!(M) a la longitud menor de todas las series de composicion de M. Ası, !(M) * n.Si M no tiene una serie de composicion pondremos !(M) = ". El numero !(M)satisface las propiedades siguientes:

(i): Si N ! M, entonces !(N) < !(M). En efecto, si {Mi} es una serie de compo-sicion (,) de M de longitud mınima !(M) = n, poniendo Ni = N +Mi observe queNi/Ni)1 !Mi/Mi)1 y como los Mi/Mi)1 son simples entonces Ni/Ni)1 = Mi/Mi)1o Ni = Ni)1. En el segundo caso se puede remover al termino repetido para al finalobtener una serie de composicion de N que muestra que !(N) * !(M). Ahora, sisucediera que !(N) = !(M) = n, entonces Ni/Ni)1 = Mi/Mi)1 para todo i = 1, . . . ,ny por lo tanto Ni = Mi para todo i, en particular N = M, una contradiccion. Se sigueque !(N) < !(M).

(ii): Cualquier cadena en M tiene longitud * !(M). En efecto, si

0 = M10 ! M1

1 ! · · · ! M1k = M


es una cadena en M de longitud k, por la observacion (i) anterior

0 = !(M0) < !(M1) < · · · < !(Mk) = !(M)

donde notamos que hay k enteros entre 0 y !(Mk), i.e., !(M)& k.

Lema 4.31 Si M tiene una serie de composicion de longitud n, entonces todas lasseries de composicion de M tienen la misma longitud n. Mas aun, toda cadena enM se puede extender a una serie de composicion de M.

Demostracion. Si una serie de composicion de M es de longitud k, por la observacion(ii) anterior se tiene que k * !(M), y como por definicion !(M) * k, entonces setiene la igualdad. Consideremos ahora cualquier cadena en M. Si su longitud es n =!(M), entonces por (ii) es una serie de composicion de M. Si su longitud es < !(M),entonces por la primera parte de la proposicion no es una serie de composicion deM y por lo tanto no es una cadena maxima, i.e., se pueden insertar terminos hastaque su longitud sea n = !(M). '(

Si M tiene una serie de composicion, a !(M) se le llama la longitud de M y sedice que M es de longitud finita.

Proposicion 4.32 Un A-modulo M tiene una serie de composicion si y solo si M esnoetheriano y artiniano. (Para las definiciones de modulo noetheriano y artiniano,que generalizan las del caso de anillos, vea los ejercicios 4.8 y 4.9).

Demostracion. Si M tiene una serie de composicion, todas las cadenas de M tienenlongitud * !(M) y ası son acotadas y por lo tanto se estacionan. Recıprocamente,construimos una serie de composicion de M como sigue: pongamos M0 = M. ComoM0 es noetheriano, la familia {M1 ! M0} tiene un elemento maximo M1 ! M0.Repetimos el procedimiento para M1 y tenemos ası una cadena descendente

M = M0 0M1 0M2 0 · · ·

y como M es artiniano la cadena descendente anterior se estaciona dando lugar auna cadena de la forma

M = M0 0M1 0M2 0 · · ·0Mn = 0

que se puede completar a serie de composicion de M. '(

Proposicion 4.33 La longitud !(M) es una funcion aditiva en la clase de todos losmodulos de longitud finita.

Demostracion. Mostraremos que si 0 f)/ M1 / M g)/ M11 / 0 es una sucesionexacta corta de A-modulos de longitud finita, entonces !(M) = !(M1)+ !(M11). Enefecto, para cualquier serie de composicion {M1

i}0*i*k de M1 consideremos susimagenes bajo f notando que M1

i 3 f (M1i):

0 = f (M10) ! f (M1

1) ! · · · ! f (M1k) = f (M1)3M1


y para cualquier serie de composicon {M11i }0*i*t de M11 consideremos sus preimage-

nes bajo g notando que como M11 3M/M1 los submodulos M11i corresponden (bajo

g) a submodulos M11i de M que contienen a M1 y el cero de M11 corresponde a M1:

0 = M1 3M110 ! M11

1 ! · · · ! M11t 3M11.

Pegamos las dos sucesiones anteriores de submodulos de M para obtener

0 = f (M10) ! f (M1

1) ! · · · ! f (M1k) = f (M1)3M1 = M11

0 ! M111 ! · · · ! M11

t = M

que es una serie de composicion de M de longitud k + t, como se querıa. '(

Proposicion 4.34 Si K es un campo y M es un K-espacio vectorial, son equivalen-tes:

(1) dimK M < ".

(2) !(M) < ".

(3) M es noetheriano.

(4) M es artiniano.

Mas aun, si se satisfacen las condiciones anteriores, entonces dimK M = !(M).

Demostracion. (1)" (2): Si dimM = n < ", una serie de composicion de M es unabandera

0 = M0 ! M1 ! · · · ! Mn = M

por lo que dimMi = i y los cocientes Mi/Mi)1 de dimension 1 por lo que !(M) =n = dimM.(2)" (3) y (2)" (4) se siguen de 4.32. Para (3)" (1), supongamos que (1) esfalso. Entonces, existe un numero infinito de vectores x1,x2, . . . de M linealmente in-dependientes. Consideremos entonces los subespacios vectoriales Mi = #x1, . . . ,xn$y note que estos forman una cadena ascendente infinita

M1 ! M2 ! · · ·

contradiciendo que M es noetheriano. La implicacion (4) " (1) es similar, soloconsiderando los subespacios Ni = #xi+1, . . .$ que forman la cadena descendenteinfinita

N1 0 N2 0 · · ·

que contradice que M es artiniano. '(

Lema 4.35 Sea A un anillo en el cual algun producto finito de ideales maximos escero. Entonces, A es artiniano si y solo si A es noetheriano.

Demostracion. Supongamos que m1 · · ·mn = 0 con los mi ideales maximos no ne-cesariamente distintos. Considere la cadena de ideales


A0m1 0m1m2 0 · · ·0m1 · · ·mn = 0

y los cocientes consecutivos

Mr := m1 · · ·mr)1/m1 · · ·mr

como A-modulos y observe que la accion de A en los Mr se factoriza a traves delepimorfismo canonico al campo residual # : A / A/mr =: k(mr), i.e., se tiene undiagrama conmutativo:

A.Mr

#.id!!

"" Mr

k(mr).Mr

$$

y los subespacios del espacio vectorial Mr estan en correspondencia biunıvoca conlos ideales de A contenidos entre m1 · · ·mr)1 y m1 · · ·mr. Si A es noetheriano (arti-niano) entonces Mr es noetheriano (artiniano) y por lo tanto es de dimension finitacomo k(mr)-espacio vectorial por la proposicion anterior, y es noetheriano y ar-tiniano como A-modulo por la correspondencia mencionada arriba. Aplicacionesiteradas del ejercicio 10 a las sucesiones exactas siguientes

0/ 0 = m1 · · ·mn /m1 · · ·mn)1 /Mn / 0

0/m1 · · ·mn)1 /Mn)1 / 0

...

0/m1m2 /m1 /M2 / 0

0/m1 / A/M1 / 0

muestran que si A es artiniano (respectivamente, noetheriano) entonces es noethe-riano (respectivamente, artiniano) como A-modulo y por lo tanto como anillo. '(

Teorema 4.36 Un anillo es artiniano si y solo si es noetheriano de dimension cero.

Demostracion. Si A es artiniano, por 4.27, dimA = 0. Por 4.29, A tiene un numerofinito de ideales maximos m1, . . . ,mn y ası

m1 · · ·mn !m1+ · · ·+mn = J(A) = nilA

donde la ultima igualdad es por 4.28, y por 4.30 una potencia de este productom1 · · ·mn es cero y ası A es noetheriano por el lema anterior.

Recıprocamente, si dimA = 0 y A es noetheriano entonces el ideal 0 admite unadescomposicion primaria y ası A tiene un numero finito de ideales primos mınimosy estos son maximos porque dimA = 0. Ahora, el nilradical de A es la interseccionde estos ideales primos mınimos y ası nilA es la interseccion de un numero finito de


ideales maximos, y como A es noetheriano, por 4.11, alguna potencia de su nilradi-cal es cero y ası podemos aplicar el lema anterior para concluir que A es artiniano.

'(

Teorema 4.37 (Teorema de estructura de los anillos artinianos) Todo anillo ar-tiniano A se puede escribir de forma unica, como producto directo finito de anillosartinianos locales.

Demostracion. Si m1, . . . ,mn son los ideales maximos distintos de A, en la demos-tracion del teorema anterior vimos que algun producto mk

1 · · ·mkn = 0. Como se tiene

que'

mki = mi, entonces para i -= j los radicales

'mk

i y'

mkj son coprimos y por

lo tanto los ideales mki y mk

j tambien son coprimos por el ejercicio 5, inciso (ix) delcapıtulo 1. Del teorema chino del residuo se tiene un isomorfismo

A3 A/mr11 . · · ·.A/mrn

n ,

y cada anillo artiniano A/mrii es obviamente local por el argumento en la demostra-

cion de 4.13. '(

Proposicion 4.38 Sea (A,m) un anillo artiniano local. Si m es principal, entoncestodo ideal de A es principal. De hecho, si m = #($ e I ! A es un ideal, entoncesI = #(r$, para algun r & 0.

Demostracion. Por 4.28, nilA = J(A) = m y ası por 4.30 alguna potencia de m escero, i.e., mn = #(n$ = 0 para algun n. Sea I -= 0 un ideal propio de A. Entonces,existe un entero r & 0 tal que I !mr pero I -!mr+1 (por ejemplo r = 1 sirve para laprimera condicion y note que r* n porque mn = 0). Por lo tanto, existe un elementoa% I tal que a% #(r$ pero a -% #(r+1$, es decir, a = u(r para algun u%A y la segundacondicion implica que u -%m y por lo tanto u es una unidad de A y ası (r = au)1 % Ipor lo que I = #(r$. '(

Si (A,m) es artiniano local, como nilA = J(A) = m, entonces por 4.30 el idealm es nilpotente y como A es local, entonces todo elemento de A es una unidad o esnilpotente.

Ejemplo 11. Si p es primo, el anillo Z/pn es artiniano local con ideal maximo elcorrespondiente a #p$. Si n = pe1

1 . perr , el teorema anterior dice que

Z/n3 Z/pe11 . · · ·.Z/per

r

es artiniano.

Proposicion 4.39 Si (A,m) es noetheriano local, entonces se cumple una y solouna de las afirmaciones siguientes:

(1) mn -= mn+1 para todo n& 1.

(2) mn = 0 para algun n, y en este caso A es artiniano.


Demostracion. Si sucediera que mn = mn+1 para algun n, por el lema de Nakayamase sigue que mn = 0 y como A es noetheriano por 4.35 se sigue que A es artiniano.

'(

Proposicion 4.40 Sea A un anillo noetheriano. Son equivalentes:

(1) A es artiniano.

(2) SpecA es finito y discreto.

(3) SpecA es discreto.

Demostracion. (1)" (2): Por 4.27 y 4.29, SpecA es finito y discreto. (2)" (3) esobvio. (3)" (1): Como SpecA es discreto, entonces para todo p % SpecA, {p} escerrado y ası p es maximo por lo que dimA = 0 y ası, por 4.36, A es artiniano. '(

Proposicion 4.41 Sean K un campo y A una K-algebra de tipo finito. Son equiva-lentes:

(1) A es artiniana.

(2) A es una K-algebra finita.

Demostracion. (1)" (2): Por el teorema de estructura de anillos artinianos 4.39, elanillo A es un producto directo finito de anillos artinianos locales y si probamos quecada uno de estos es una K-algebra finita, entonces A tambien lo es. Supongamosentonces que (A,m) es un anillo artiniano local que es de tipo finito como K-algebra.Entonces, en K / A/ A/m el campo residual A/m es una extension finita de K porel teorema de Zariski 3.21. Como A es artiniana, entonces tambien es noetheriana ypor 4.32 tiene longitud finita como A-modulo y consecuentemente no se puede teneruna cadena infinita

0! #x1$! #x1,x2$! · · ·!M

con los xi %M. Se sigue que M es finitamente generado como A-modulo.(2)" (1): Como A es K-algebra, todo ideal de A es un K-espacio vectorial y por lahipotesis (2) se tiene que dimK A = n < ". Entonces los ideales de A son tambiende dimension finita como espacios vectoriales sobre K y por lo tanto son artinianospor 4.34. '(

Ejercicios

4.1. Los ejercicios siguientes son variantes del !!lema de Nakayama"" y tendremosocasion de usar varias de estas versiones.

(1) Si M es un A-modulo finitamente generado y M = IM, entonces existe un a % Acon a7 1 (mod I) tal que aM = 0.

(2) Si I ! J(A), entonces todo a % A tal que a7 1 (mod I) es invertible.


(3) Si M es finitamente generado, I ! J(A) y N !M es tal que N/IN "/M/IM esun isomorfismo, entonces M = N.

(4) Si (A,m) es local, M es finitamente generado y si x1, . . . ,xn % M son tales quesus imagenes x1, . . . ,xn generan M/mM, entonces los xi generan M.

(5) Si (A,m) es local y k = A/m es su campo residual, entonces m%M/mM

&= 0 y

ası M/mM es un k-espacio vectorial de dimension finita.

4.2. Si A es un anillo, se dice que A es reducido si su nilradical es cero. Si A es unanillo reducido que tiene solo un numero finito de ideales primos, demuestre que lasafirmaciones siguientes son equivalentes:(i) La dimension de Krull de A es cero.(ii) A es isomorfo a un producto directo de un numero finito de campos.Sugerencia: use el teorema chino del residuo.

4.3. Si p es un ideal primo de A y n& 1, demuestre que2

pn = p.

4.4. Demuestre que un anillo local (A,m) de dimension cero consiste solo de unida-des y elementos nilpotentes.

4.5. Si (A,m) es un anillo local, demuestre que 0 y 1 son los unicos elementosidempotentes.

4.6. Si I ! A es un ideal propio, demuestre que2

I = I si y solo si I es la interseccionde ideales primos.

4.7. Sean K un campo y p ! K[x1, . . . ,xn] un ideal primo. Demuestre que si L es elcampo de fracciones del dominio entero K[x1, . . . ,xn]/p, entonces grtrK L* n)1.

4.8. Sea M un A-modulo. Demuestre que las propiedades siguientes son equivalen-tes:(i) Todo submodulo de M es finitamente generado.(ii) Toda cadena ascendente de submodulos de M:

N1 ! N2 ! · · ·

se estaciona, i.e., existe un n& 1 tal que Nn = Nn+k, para todo k & 0.(iii) Toda familia no vacıa de submodulos de M tiene un elemento maximo para elorden dado por la inclusion.

Un modulo que satisface las condiciones anteriores se dice que es noetheriano.

4.9. Sea M un A-modulo. Demuestre que las propiedades siguientes son equivalen-tes:(i) Toda cadena descendente de submodulos de M:

N1 0 N2 0 · · ·

se estaciona, i.e., existe un n& 1 tal que Nn = Nn+k, para todo k & 0.(ii)Toda familia no vacıa de submodulos de M tiene un elemento mınimo para elorden dado por la inclusion.

Un modulo que satisface las condiciones anteriores se dice que es artiniano.


4.10. Si 0 / M1 / M / M11 / 0 es una sucesion exacta corta de A-modulos, de-muestre que:(i) M es noetheriano si y solo si M1 y M11 lo son.(ii) M es artiniano si y solo si M1 y M11 lo son.

4.11. Si {Mi}, 1* i* n son A-modulos noetherianos (respectivamente, artinianos),demuestre que su suma directa es noetheriano (respectivamente, artiniano).

4.12. Si A es un anillo noetheriano (respectivamente, artiniano) y M es un A-modulofinitamente generado, demuestre que M es noetheriano (respectivamente, artiniano).

4.13. Sean K un campo y A una K-algebra de tipo finito. Si I ! A es cualquier ideal,demuestre que

2I = J(I) =

#

m maximo 0 Im.

4.14. Si A ! B son anillos con B entero sobre A y B noetheriano, demuestre quesobre cada primo p % SpecA hay solo un numero finito de primos P % SpecB, esdecir, para la funcion ai : SpecB / SpecA inducida por la inclusion i : A "/ B, lafibra (ai))1(p) es finita.

4.15. Si K es un campo, todo K-espacio vectorial de dimension finita V es obvia-mente noetheriano. Demuestre que tambien es artiniano. Por otra parte, todo K-espacio vectorial noetheriano es de dimension finita. Demuestre que todo K-espaciovectorial artiniano es de dimension finita.

4.16. Si A es noetheriano, por 4.3, Ap es noetheriano para todo ideal primo p de A.¿Ser noetheriano es una propiedad local?

4.17. Si todos los ideales primos de A son finitamente generados, demuestre que Aes noetheriano.

4.18. Si M es un A-modulo noetheriano, demuestre que A/(0 : M) es noetheriano.Aquı (0 : M) se define como para el caso de ideales y es el anulador de M.

4.19. Si A es noetheriano y f : A/ A es un epimorfismo de anillos, demuestre quees inyectivo.

4.20. Si M,N son A-modulos tales que M + N y M+N son finitamente generados,demuestre que M y N tambien lo son.

4.21. Si M es un A-modulo finitamente generado e I ! A es un ideal, demuestre que$

(0 : M/IM) =$

(0 : M)+ I.

4.22. Si f : A/ B es un morfismo de anillos, demuestre que f (J(A))! J(B).

4.23. Un anillo A es semilocal si solo tiene un numero finito de ideales maximos. SiA es semilocal con ideales maximos m1, . . . ,mn, demuestre que

J(A) = m1+ · · ·+mn = m1 · · ·mn.


4.24. Si A es semilocal y f : A / B es un morfismo de anillos, demuestre quef (J(A)) = J(B).

4.25. Sea An(M) = (0 : M) = {a % A : ax = 0 para todo x %M} el anulador de M.Si M es un A-modulo finitamente generado y p % SpecA, demuestre que Mp = 0 siy solo si p %V (AnM). Sugerencia: M finitamente generado implica que An(Mp) =An(M)p.

4.26. Si M es un A-modulo, su soporte es el conjunto

suppM = {p % SpecA : Mp -= 0}.

Si M,N son finitamente generados, demuestre que supp(M 8A N) = suppM +suppN, y si M es finitamente generado e I!A es un ideal, demuestre que supp(M/IM)=(suppM)+V (I). Sugerencia: M/IM 3 M8A (A/I), I = An(A/I) y supp(A/I) =V (I).

4.27. Si K es un campo infinito, demuestre que I(Kn) = 0, donde para U ! Kn

interprete a I(U) como

I(U) = { f % K[x1, . . . ,xn] : f (P) = 0 para todo P %U}.

Note que cuando K es algebraicamente cerrado el ejemplo 2 de la pagina 91 de-muestra el caso correspondiente.

4.28. Sea M un A-modulo. Demuestre el teorema de Jordan-Holder: Si {Mi} y {M1i}

son dos series de composicion de M, entonces existe una biyeccion entre la familiade cocientes {Mi/Mi)1}y la familia {M1

i/M1i)1} tal que los cocientes correspondien-

tes son isomorfos.

cap «õtulo 4 anillos noetherianos y artinianos anillos noetherianos y artinianos 87 es decir...

Documents