UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO

CAPITULO ISUPERFICIES: TEORA Y PROBLEMASRECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENCIONAL

El presente trabajo empieza con presentar las tcnicas de la Geometra Espacial en el campo de la Ingeniera y trabajaremos usando una teora adecuada de fcil entendimientos para estudiantes que recin empiezan a trabajar el calculo de varias variables de tal manera que sea este curso amigable y de fcil comprensin y que en forma autodidacta el alumno aprecie las bondades de todos los temas tratados, ya que el que sabe identificar la superficie y ubicarlo en el espacio de tres dimensiones podr bosquejar su grafica y dar solucin a los problemas que se les presente ya sea de, funciones vectoriales, funciones vectoriales de varias variables de mximos y mnimos, de integrales de lnea y de las aplicaciones de integrales mltiples.En este trabajo se describe en forma detallada la teora y ejercicios y problemas e implementamos algunos graficadores en el especio de tres dimensiones.La matemtica actual y en especial el Clculo se caracteriza por la importancia que le confiere a la Geometra Espacial y a las funciones de varias variables, por considerar que tanto las operaciones numricas como las lgicas en las funciones de varias variables usando la Geometra Espacial representan procesos estrechamente ligados.Aqu sugerimos algunas caractersticas deseables del estudiante: Habilidadparaencontrarsimilitudesyrelacionesentrecosas aparentemente distintas. Facilidad para abstraer. Tener pensamiento lgico y ordenado. Que le guste aclarar las cosas hasta entenderlas perfectamente. Profundizar en los temas que sean necesarios. Perceverancia suficiente para trabajar en la resolucin de los problemas que se le presenten hasta encontrar alguna solucin. Habilidad para analizar y construir. Capacidad para generalizar.

11. SISTEMA DE COORDENADA RECTANGULAR EN EL ESPACIO

Consideremos tres planos mutuamente perpendiculares, Pxy, PXz, Pyz, que se cortan en un mismo punto O. En la figura identificamos los siguientes elementos geomtricos.

a) EJES COORDENADOS.- Los ejes generalmente son identificados por letras X, Y, Z y se habla frecuentemente del eje X, del eje Y y del eje Z, donde:El eje X es la recta determinada por la interseccin de los planos Pxy y Pxz, el eje Y es la recta determinada por la interseccin de los planos Pxy y Pyz y El eje Z es la recta determinada por la interseccin de los planos Pxz y Pyz.La direccin positiva se indica por medio de una flecha. Los ejes coordenados tomados de dos en dos determinan tres planos, llamados planos coordenados.

b) PLANOS COORDENADOS.- El plano coordenado XY que denotaremos por Pxy, es determinado por las rectas: eje X y eje Y.

El plano coordenado XZ que denotaremos por Pxz, es determinado por las rectas: eje X y eje Z.El plano coordenado YZ que denotaremos por Pyz, es determinado por las rectas: eje Y y eje Z.Losplanoscoordenadosdividenalespacio tridimensional en 8 sub-espacios llamados octantes. Consideramos un punto p(x, y, z), cualquiera en el espacio tridimensional, a travs de p(x, y, z) se construye tres planos un plano perpendicular a cadauno de los ejes coordenados.Sean A(x, 0, 0) el punto en el cual el plano perpendicular corta al eje X, B(0, y,0) el punto en el cual el plano perpendicular corta al eje Y, y sea C(0, 0, z)el punto en el cual el plano perpendicular corta al eje Z

2. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

TEOREMA.-La distancia no dirigida entre dos puntos p1(x1, y1, z1) y p2(x2, y2, z2) del espacio tridimensional est dadopor:

d p , p x x 2 y2 z2yz12212121DEMOSTRACIN

Sea a p1 p2

un vector de origen p1 y extremo p2,

entonces:

a p1 p2 p2 p1 x2 x1, y2 y1, z2 z1 por lo tanto la longitud del vector a es:

d p , p

|| a ||

x x 2 y

y 2 z

z 2

122121213. DIVISIN DE UN SEGMENTOSEGN RAZN DADA TEOREMA.-Si los puntos p1(x1, y1, z1) y p2(x2, y2, z2) sonextremos de un segmento dirigido; las coordenadas

de un punto p(x, y, z) que divide al segmento

p1 p2

en la Razn r p1 p pp2

es:

x x1 rx2 , y 1ry1 ry2 , x z1 rz2 , r 11 r1 r

DEMOSTRACINDel grfico se tiene:

p1 p // pp2 r R tal que:1

p1 p r pp2 ,de donde

p p1 r p2 pal despejar p se tiene:

p 1 r

p1 rp2 , ahora reemplazamos

por sus coordenadas respectivas:

x, y, z 1

x , y , z r x , y , z

1r

11 1

222

x, y, z x1 rx2 , y1 ry2 , z1 rz2 , por igualdad

1r

1 r

1r

se tiene:x x1 rx2 , y y1 ry2 , z z1 rz2 , r 1

1r

1 r

1r

COROLARIO.- Si p(x, y, z) es el punto medio segmento

p1 p2

entonces r

p1 p 1.pp2Luego las coordenadas del punto medio son:

x1 x2 , y y1 y2 , z z1 z2x 2224. NGULOS DIRECTORES, COSENO DIRECTORES Y NMEROS DIRECTORES

Consideremos el vector a a1, a2 , a3

en el espacio tridimensional y los

ngulos , y formados por los ejes de coordenadas positivos y el vector

a a1, a2 , a3 ; es decir:

i , a,

j , a,

k , a. Si a // L

(recta) donde a a1, a2 , a3

diremos que:

i) a1, a2 , a3 son los nmeros directores de la recta L.

ii) Los ngulos

, y se llaman ngulos directores de la recta L, y

son formados por los rayos positivos de los ejes coordenadas y la recta, respectivamente.Los ngulos directores toman valores entre 0o y 1800, es decir:00 , ,1800iii) A los cosenos de los ngulos directores de la recta L, es decir: se denominan cosenos directores.

5. EXPRESIONES DE LOS COSENOS DIRECTORES DE UNA RECTA DETERMINADOS POR DOS DE SUS PUNTOSSea L una recta que pasa por los puntosp1 x1, y1, z1 y p2 x2 , y2 , z2

Sid p1, p2 || p1 p2 ||

, y son los

ngulos directores de la recta L, entonces se tiene:

cos

cos

x2 x1,d p1, p2 z2 z1d p1, p2

cos

y2 y1,d p1, p2

6. RELACIN ENTRE LOS COSENOS DIRECTORES DE UN RECTA TEOREMALa suma de los cuadrados de los cosenos directores de una recta L igual a 1, es decir: cos2 cos2 cos2 1

Aplicando la parte 5 se tiene:cosx2 x1 , cos y2 y1 , cos z2 z1 , de donde

10

d x

dx 2 y

dy 2 z

d z 2 , por lo tanto

212121

x x 2

y y 2

z z 2

cos2 cos2 cos2

21d 2

21211d 2d 2

cos2 cos2 cos2 1OBSERVACIN

Sia a1, a2 , a3

esunvectordireccindelarectaL,donde:

i, a|| a ||

j, a

a2 a2 a2 , entonces:

i.aa1|| a |||| a ||123cos

j.aa2|| a |||| a ||cos

a1 || a || cos

a2 || a || cos

k, ak.a a3|| a |||| a ||cos

a3 || a || cos

a || a || cos,|| a || cos ,|| a || cos || a || cos, cos , cos

LA RECTA

7. LA RECTA EN EL ESPACIO TRIDIMENCIONAL

Dado un punto

p0 x0 , y0 , z0

y un vector

a a1, a2 , a3

no nulo, llamaremos

recta que pasa por

p0 x0 , y0 , z0 paralela al vector a a1, a2 , a3

al conjunto.

L p R3 / p p ta,t R0

8. ECUACIN VECTORIAL DE LA RECTASea L la recta que pasa por el punto

p0 x0 , y0 , z0

paralelo al vector

a a1, a2 , a3 . Si

p x, y, z

de R3

es un punto cualquiera de la recta L, entonces el

vector

p0 p es paralelo al vector a , es decir:

p0 p // a t R

tal que:

L p p0 ta / t Rp0 p t a , de donde entonces

p p0 ta , por lo tanto la recta L es dado por: Ecuacin vectorial de la recta L.

OBSERVACIONES. 3Para cada par de puntos distintos de R3, hay una y solo una recta que pasa por ellos.

Consideramos la recta

L p0 ta / t R. Un punto p de R

pertenece a la

recta L si

p p0 ta

para algn t en R, es decir:

p L p p0 ta para algn t real9. ECUACIN PARAMTRICA DE LA RECTA EN EL ESPACIOConsideremos la ecuacin vectorial de la recta L:

L P0 ta / t RDe la observacin anterior se tiene:

p L p p0 ta para algn t real

De donde, al reemplazar las coordenadas de P, P0 y de las componentes del vector a se tiene: x, y, zx0 , y0 , z0 t a1, a2 , a3 , es decir:

x x0 a1tL : y y a t, t R02z z a t03Las cuales se conocen con el nombre de ecuaciones paramtricas de la recta L.

OBSERVACINLas ecuaciones paramtricas de la recta L que pasa por el par de puntos P1(x1,y1,z1) y P2(x2,y2,z2) esta dado por

x x1 x2 x1 tL : y y1 y2 y1 t , t Rz z1 z2 z1 t

10. ECUACIN SIMTRICA DE LA RECTAConsideremos las ecuaciones paramtricas de la recta L:

x x1 a1tL : y y a t , t R12z z a t13

Suponiendo que

a1 0, a2 0, a3 0 , despejando el parmetro t de cada

ecuacin tenemos: t x x0 y y0 z z0 , de donde por igualdad: 222L : x x0 y y0 z z0a1a2a3Que se denomina simtrica de la recta L.OBSERVACIN1. Si a3 =0, la ecuacin simtrica de la recta L se describe en la forma

L : x x0 y y0

z z0

a1a22. Si a1 a3 0 . La ecuacin simtrica de la recta L se escribe en la forma

L : x x0

z z0

11. RECTAS PARALELAS Y ORTOGONALESLas relaciones de paralelismo y ortogonalidad entre dos rectas se dan comparando sus vectores direccionalesConsideremos las ecuaciones vectoriales de dos rectas.

L1 p0 ta / t R

YL2 q0 b / R

La recta L1 y la recta L2 son paralelas (L1 // L2) si y solo si, sus vectores

direccionales son paralelos, es decir:

L1 // L2 a // b

La Recta L1 y la recta L2 son ortogonales L1 L2

si y

solo si sus vectores sus vectores direccionales son ortogonales, es decir:L1 L2 a b

OBSERVACIOES1. Si L1 y L2 son paralelas (L1 // L2), entonces L1 = L2

L1 L2

2. Si L1 y L2 no son paralelas (L1 // L2), entonces

L1 L2

(las rectas se

cruzan)

L1 L2

consta de un solo punto.

12. NGULO ENTRE DOS RECTASConsideremos las ecuaciones de dos rectas

L1 p0 ta / t Ry

L2 q0 b / R

Un ngulo entre las rectas L1 y L2 se define como el ngulo formado por sus vectores direccionales a y b , es decir:

L1, L2

a,b, y es dado por la formula

cos

a.b || a || || b ||

, 0

13. DISTANCIA MNIMA ENTRE DOS RECTAS (RECTAS QUE SE CRUZAN)

Si L1 p0 ta / t Ry

L2 q0 b / R

son dos rectas no paralelas

(rectas que se cruzan), entonces a la distancia mnima entre L1 y L2 denotaremos por d(L1,L2) y es definido como el segmento perpendicular comn entre ambas rectas.Si las rectas L1 y L2 se cruzan, quiere decir que existen planos paralelos que contienen a las rectas L1 y L2 respectivamente.

Si d es la distancia entre los planos P1 y P2 de donde N es normal al plano P2;

por lo tanto N es ortogonal a los vectores

a y b entre N a x b .

Ahora consideremos el vector unitario en la direccin de la normalN

N ;N

N .ACN .AC ,de|| N || || AC |||| AC |||| N ||

y como

N , AC entonces

cos

donde N.A C || AC || cos

...(1)

Por otro lado en el tringulo rectngulo ABC se tiene:

N .AC |d || AC || cos

(2)

de donde al comprar (1) y (2) se tiene:

d L1, L2 |

14. TEOREMA

Sean

L1 p0 ta / t Ry

L2 q0 b / Rdos rectas no paralelas (rectas

que se cruzan). La distancia mnima entre L1 y L2 esta dado por:

15. | p0q0 .a x b||| a x b ||TEOREMA

d L1, L2

La distancia del punto P a la recta

L1 p0 ta / t Res dado por:

|| p p ||2 || a || p p.a00|| a ||d L1, L2

16. PROYECCION ORTOGONAL SOBRE UN PUNTO

Consideremos una rectarecta L.

L1 p0 ta / t Ry un punto p, que no pertenece a la

LEntonces la proyeccin ortogonal del punto p sobre la recta L es el punto A de la

recta L, al cual denotaremos ortogonal a la recta L. Observando el grfico se tiene:

proyP

de tal manera que el vector AP sea

P A proyP0 P de donde A P

proyP0 P

0a0aA P proyP0 P , es decir:0a

A proyP p proyP0 P

L0a

PROBLEMAS DE RECTAS EN R3

1. Hallar la ecuacin de la recta que pasa por el punto A(3,1,-2) y es perpendicular

y corta a la rectaSOLUCIN

L : x 1 y 2 z 1 11 1

Si L 1, 2, 1t 1,1,1/ t R

La recta pedida que pasa por A(3,1,-2) es:

L1 3,1, 2a,b, c/ R

Como

L L1 1,1,1.a,b, c0 a b c 0a b c 0

...(1)

Sea

p L L1 entonces

p L p L1 de donde:

Si p L p 1t, 2 t, 1t , p L1 p 3 a,1b, 2 c,entonces: 1t, 2 t, 1t 3 a,1b, 2 cde donde:

1t 3 a

2 t 1b

1t 2 c

5a c1b a

Entonces

c 5b 4a

...(2)

De (1) y (2) se tiene: a = 2b, c = -3b, (a,b,c)= (2b,b,-3b) = b(2,1,-3) Por lo tanto la recta pedida:L3,1, 22,1, 3/ R

2. Hallar la ecuacin de la recta que pasa por el punto (3,-3,4) y es perpendicular a

cada una de las rectas

L1 :

x 2

y 3

z 2

y L2 :

x 3 2 y 7 3 z

SOLUCION

215

123

Rectas L1 y L2 en su forma vectorialL1 2,3, 2t 2, 1,5/ t Ry

L2 3,7 / 2,3 1,1,3 / R

como

L L1 2, 1, 5a, b, c 2, 1, 5a, b, c0

entonces

L L2 1,1, 3 a, b, c

1,1, 3a, b, c0

2a b 5c 0

3aa

a 3a a

a b 3c 0

de donde c 8

, b , a, b, ca, ,88

8 8 8,1,3

Por lo tanto

L3, 3, 4t 8,1, 3/ t R

3. Hallar la ecuacin de la recta que pasa por el punto M(-1,2,-3) es perpendicular

al vector a 6, 2, 3

y se corta con la recta

L1 :

x 1

y 1

z 3

325

SOLUCIONEscribiendo la recta L1 en su forma vectorial:L1 1, 1,3t 3, 2, 5/ t R

Sea

p L1 L p L1 P L :

Si p L1 p 13t, 12t,3 5t para algn t RComo b MP P M 3t 2, 2t 3, 5t 6Ademsa b a.b 0 6, 2, 3.3t 2, 2t 3, 5t 60

63t 222t 3 35t 60Por lo tanto:L1, 2, 3t 2, 3, 6/ t R

t 0,

b 2, 3, 6

4. Dados los puntos A(3,1,1) y B(3,-2,4). Hallar el punto C de la rectaL1, 1,1t 1,1, 0/ t Rtal que AB, AC 600

SOLUCIN

Sea C L C 1t. 1t,1AB.AC || AB |||| AC || cos 600 , donde

2t 22AC ||AB 0, 3,3, AC t 2,t 2, 0

|| AB ||

9 9 3 2

, ||

2 | t 2 |

Como

AB.AC || AB |||| AC || cos 600 , reemplazando:

6 3t 3 2. 2 | t 2 | 1 | t 2 |2 t2C 1t, 1t,1para t 2

de donde

t 2 0

como

t 2

entonces

5. Una recta pasa por el punto p(1,1,1) y es paralela al vector

a 1, 2,3

, otra

recta pasa por el punto Q(2,1,0) y es paralela al vector

b 3,8,13. Demostrar

que las dos rectas se cortan y determinar su punto de interseccin.

SOLUCION

Sean

L1 1,1,1t 1, 2,3/ t R

y L2 2,1,0 3,8,13 / R

Las recatas L1y L2 se cortan si y solo si P0 tal queP0 L1 L2 P0 L1 P0 L2

P0 L1 L2 como

Si P0 L1 P0 1t,12t,13t P0 L2 P0 2 3,18,13Como P0 es punto comn a L1y L2 entonces:1t,12t,13t 2 3,18,131t 2 3

12t 18

13t 13

resolviendo se tiene t 4, 1

Remplazando el punto de interseccin es P0(5,9,13)

6. Dadas las rectas

L1 3,1, 0t 1, 0,1/ t Ry

L2 1,1,12,1,0 / RHallar el punto Q que equidista de ambas rectas una distancia mnima, adems hallar esta distancia

SOLUCIONSea AL1 A3 t,1,t , B L2

B 12,1 ,1,

AB B A 2t 2, ,1t

a AB a.AB 0,

1, 0,1.2t 2, ,1t

de donde 22t 1 0

(1)

b AB b.AB 0 2,1, 0.2t 2, ,1t 0

52t 1 0

(2)

22t 1 0 formando el sistema de (1) y (2) se tiene 52t 4 0

resolviendo el sistema se tiene t 1 ,2

1

como Q es punto equidistante de A y B entonces Q A B Q 13 , 3 , 3 24 2 4

6La distancia mnima d 1 d A, B 24

Dadas las tres rectas

L1 1,1, 2t 1, 2, 0/ t RL2 2, 2, 01, 1,1/ RL3 0,3, 2r 5, 0, 2/ r R

7. Hallar la ecuacin de la recta que corte a estas tres rectas en M, N y P respectivamente de tal manera que MN NP

SOLUCION

M L1 1,1, 2t 1, 2, 0/ t RM 1t,12t, 2N L1 2, 2, 01, 1,1/ RN 2 , 2 , P L1 0,3, 2r 5, 0, 2/ r RP 5r,3, 2 2r MN N M t 1, 2t 1, 2

ComoMN NP

entonces se tiene

deNP P N 5r 2,1, 2r 2,

dondet 1, 2t 1, 2vectores se tiene

=5r 2,1, 2r 2, por igualdad de

t 1 5r 2

2t 1 1

2 2r 2

5r 2t 3 ...(1)

22t 0...(2)

2r 20...(3)

de (2) y (3) se tiene t, r

ahora reemplazamos en la ecuacin (1).

t 3 , 3 , r 3 , Luego

M 1 , 2, 2 , N 7 , 1 , 3 , P 15 ,3, 1

222

22 2 2 2

Por lo tanto:

L 1 , 2, 2 t 8, 5, 1/ t R

2

8. Hallar la ecuacin de la recta que pasa por p(19,0,0) y corta a las rectas

L1 5, 0, 1t 1,1,1/ t R, y

L2 1, 2, 2r 2,1, 0/ r R

SOLUCION

Sean

AL1 5, 0, 1t 1,1,1/ t RAt 5,t,t 1B L2 1, 2, 2r 2,1, 0/ r RB 2r 1, r 2, 2

como los puntos P, A, B son colineales, entonces:

PA // AB mR tal que PA m AB

de donde A P m B A

que al reemplazar por sus coordenadas se tiene:t 14, t, t 1m 2r t 6, r t 2, t 3t 14 2mr mt 6m

...(1)

por igualdad de vectores se tiene:

t rm mt 2r

t 1 mt 3m

...(2)...(3)

de la ecuacin (3) y (2) se tiene: t 3m 1 , r m 1 de la ecuacin(1)m 1m1mt 2mr 6m 14 reemplazando t y r se tiene:m 15 , t 28 , r 4

111315luego a PA t 14, t, t 1para t 28 ,

a 145 , 28 , 15

13

13 133

L 19.0.0t 154, 28,15/ t R

9. Encuentreelpuntodeinterseccindelasrectas:

L1 1, 7,17t 1, 2,3/ t Ry

L2 :

x 7

y z

415

SOLUCIONEscribiendo la ecuacin L2 en forma vectorial. L2 7, 0, 04,1, 5/ R

Sea p L1

L2 entonces p L1

p L2.

Si p L1 p 1t, 7 2t,17 3t p L2 p 7 4, , 5

como p L1

L2 1t, 7 2t,17 3t 7 4, , 5

1t 7 4

7 2t

17 3t 5

entonces t 4, 1 Luego:

p 3, 1, 5

10. Hallar la ecuacin vectorial de la recta que intercepta en ngulo recto a las rectas

L1 3,3, 4t 2, 2,3/ t R,

L2 1, 6, 11, 2, 0/ R

SOLUCION

Sean A L1 A3 2t, 3 2t, 4 3t BL2 B 1, 6 2, 1como A, B son puntos sobre la recta L entonces el vector direccin de la recta L es a AB B A de donde se tiene:

a 2 2t ,3 22t, 5 3t como L L1 , L2 entonces:

a.2, 2, 3 0a.1, 2, 00

17t 2132

2t 58

resolviendo el sistema se tiene t = -1,

= -2

por lo tanto los puntos son A(1,1,1), B(3,2,-1), a AB B A 2, 1.2,entonces la recta pedida es:L 1,1,1t 2, 1, 2/ t R11. Encontrar la ecuacin de la recta que pasa por el punto p(7,-2,9) y es perpendicular a las rectas

SOLUCION:Los vectores direcciones de L1 y L2 a (2, 2,3), b (2,5, 2)

respectivamente.

Sea L la recta que pasa por el punto p(7,-2,9), luego la recta pedida L=(7,-2,9)+tb / t R

pero como L L1, L2 en tonces c a,

ij k

b entonces:

c a b

2 -2 32 5 -2

(11,10,14)

Por lo tanto: L=(7,-2,9)+t(11,10,14) / t R

12. Hallar la ecuacin vectorial de la recta que intercepta en ngulo recto a las rectasL1 =(3,3,4)+t(2, 2,3) / t R, L2 =(1,6,-1)+(1, 2, 0) / R

SOLUCION:Sean AL1 A(3 2t, 3 2t, 4 3t) B L2 B(1, 6 3 2, 1)

Como A,B son puntos sobre la recta L entonces el vector direccin de la recta L es

a AB B A de donde se tiene:a (2 2t , 3 22t, 5 3t) como L L1, L2 entonces:

a.(2, 2, 3) 0a(1, 2, 0) 0

17t 2 13

2t 58

resolviendo el sistemas se tiene t= -1, 2,

por lo tanto los puntos son A(1,1,1), B(3,2,-1), a AB B A (2, 1, 2). Luego la ecuacion vectorial de la recta pedida es:L=(1,1,1)+t(2, 1, 2) / t R

13. Determinar una recta tal que con las rectasL1 (2,1, 4) t(1,1, 0) / t Ry L1 (2 ,1,3 ) / Rdeterminan un triangulo de area 5u2.

SOLUCION:

Sea pL1 L2 pL1 pL1 Si p L1 p(2 t,1 t, 4)pL2 p(2 ,1, 3 ) como pL1 L2 , entonces:(2 t,1t, 4) (2 ,1, 3 )2 t 2

de donde: 1t 1

4 3

al resolver el sistema se tiene que: t=1

por lo tanto el punto p es p(3,2,4), ahora tenemos en t cercano a p asi como t=2 entonces el punto A de L2 es A(4,3,4),ademas BL1 B(2 ,1, 3 ) entonces se tiene:a AB B A (2,2,1) por otra parte b AP P A (1, 1, 0)

ademas el area A= 12

a b

5 de donde a b =10 entonces

2 249 0 de

donde se tiene: 1 15 2,2 15 2 por lo tanto las rectas pedidas son: L=(4,3,4)+t(-15 2,-15 2, 5 2) / t RL=(4,3,4)+t(-15 2,-15 2, 5 2) / t R

14. Sea A(1,1,2) un punto y supongamos que la recta L tiene por ecuaciones paramtricas a: x=4-t, y y=5+3t,z=3+t, t R , encontrar un punto B en L, tal que A-B y la recta sean perpendicular.

SOLUCION:

Sea L=(4,5,3)+t(-1,3,1) / t Rb P0 A A P0 (3, 4, 1)

P B proyb

a.b .a

0a|| a ||2PB (1, 3,1).(3, 4, 1) .(1, 3,1)011

0PB 10 (1, 3,1)

10 , 30 , 10)

(11111111 103010103010

P0 B B P0 (,

, ) B(4

,5

,3 )

111111111111103010

B(,

, )

111111

15. Determinar los ngulos entre una recta L paralela al vector y los ejes coordenadas.

SOLUCION:

Sea L P0 ta / t R, donde a (1,1,1) es la direccin de la recta L y

||a ||3 entonces:

a21|| a ||3cos

cos

a11|| a ||3arc cos( 1 )3

arc cos( 1 )3

a31|| a ||3cos

arc cos( 1 )3

16. Hallar la longitud del menor segmento horizontal (paralelo al plano XY) que une las rectas

SOLUCION:

L1 =(1,2,0) t(1, 2,1) / t RL2 =(0,0,0) (1,1,1) / RSi A L1 A(1t, 2 2t, t), BL2 B(, , )

como AB // al plano XY entonces tLuego A(1t, 2 2t,t) y B(t,t,t)

1t 22 0AB ||d ||

t 2t 2 4t 5f '(t) 0

de donde f (t)

t 2 4t 5AB ||10 0t 2 nmero critico

d ||

1

d 1

17. Dadas las rectas .Hallar la ecuacin de la perpendicular comun.

SOLUCION:

Las rectas L1 y L2 no son paralelas, es decir L1// L2.

Ahora veremos si p L1 L2

pL1 pL2

Si pL1 p(12t, 2 3t, 5 4t), p L2 p(2,1, 2 2) (12t, 2 3t, 5 4t) (2,1, 2 2) de donde

3

t

12t 222 3t 11525 4t 2 2

132por lo tanto las rectas L1 y L2 son rectas que se cruzanijk

a 23

4 10i 4 j 2k

012L=(1, - 2,5) t(10, 4, 2) / t R; L'= (-2,1,-2) (10, 4, 2) / R18. Determinar bajo que direccin debe ser lanzada rectilneamente una partcula desde el punto A(2,2,3), hacia la recta L (0,1, ) / Rpara que lo

alcance al cabo de dos segundos, siendo su velocidad V

3u / seg

Sea BL B(0,1, ) para algnR adems e vt donde e d ( A, B) para

t 2seg. V

4 (1)2 (3)2d ( A, B)

3u, e 2 3

2 3

de donde 2 21 0 1

Luego B(0,0,1) entonces est dado por el vector AB B A (2, 2, 2)AB (2, 2, 2)

19. Determinara la ecuacin de la recta que pasa por el punto medio de AB y corta bajo un ngulo de 60 a la recta que pasa por los puntos R y S, donde A(2,4,0), B(0,0,-2), R(3,3,3), S(-1,3,3).

ABesSOLUCION

El punto medio del segmento

M(1,2,-1), y

observando el grafico este problema tiene dos soluciones. La ecuacin de la recta L1 que pasa por R y S es:L1 (1,3,3) t(0, 0, 0) / t RSea N el Punto de interseccin de L con L1 es decir:Si N L1 N (1t, 3, 3) pasa algn t R. Definimosb MN N M (t 2,1, 4), como 60 (L, L1 ) (a, b) entonces :

cos 60

a.b a . b

; donde a (1, 0, 0) y b (t 2,1, 4)

cos60 (1, 0, 0).(t 2,1, 4) 1 (t 2)

(t 2)2 116 2

(t 2)2 17

173(t 2)2 17 4(t 2)2 t 2 b (por lo tanto las soluciones son:

17 ,1, 4)3

L (1, 2, 1) (

17 ,1, 4) / R; L ' (1, 2, 1) r(

17 ,1, 4) / r R

33

20. Dados los vrtices del tringulo A(3,-1,-1), B(1,2,-7) y C(-5,14,-3). Hallar las ecuaciones simtricas de la bisectriz del ngulo interno del vrtice B.SOLUCIONTomemos los vectores unitarios u y v en las direcciones de

BA y BC y respectivamente donde:

BA (2, 3, 6),

BC (6,12, 4)

1 (2, 3, 6)

u BA|| BA ||

1 (2, 3, 6) y v 7

BC|| BC ||

1 (3, 6, 2) 77

entonces sea b u v

el vector de la direccin de la directriz BD es decir:

b 1 (1, 3,8) 1 (1, 3, 8).77

BD sonLuego los nmeros directores de la bisectriz

1, 3, 8.

Si B(1,2,-7) pertenece a la bisectriz, entonces sus ecuaciones simtricas son:

L : x 1 y 2 z 7138

EL PLANO

DEFINICIN.-

Un plano es un conjunto P de puntos p(x,y,z) de R3. Si existe un punto p0(x0,y0,z0) de R3

y dos vectores no paralelos que:

a (a1, a2 , a3 ) y

b (b1, b2 , b3 )

de R3 de tal manera

P

P(x, y, z) R3

/ P(x, y, z) P0 (x0 , y0 , z0 ) ta b,

t, R

ECUACIN VECTORIAL DEL PLANO.-

Consideremos un plano P que pasa por el punto p0(x0,y0,z0) y que es paralelo a los vectores paralelos

a (a1, a2 , a3 ) y

b (b1, b2, b3) .

Sea

p P

entonces existen

t, R

tal que:

p0 p ta b ,de donde

p p0 ta b

entonces:

p p0 ta b ,luegoP p0 ta b / t, R

Que es la ecuacin vectorial del plano P.

OBSERVACION.-

1. De la ecuacin vectorial del plano

P p0 ta b / t, R

se obtiene la

normal del plano que es una recta perpendicular a dicho plano: N a b .

2. Si Nes una normal al plano

P p0 ta b / t, R

y si

p1, p2 P

entonces N es ortogonal a

p1 p2 p2 p1 .

3. Si N es la normal al plano a N entonces p P .

0P p ta b / t, Ry si

p2 p1 es ortogonal

4. Si p0 es un punto fijo del plano P y N es su normal, entonces la ecuacin del

plano es

P : N.( p p0 ) 0

Es la ecuacin del plano que pasa por p0 y cuya normal es N .

ECUACIONES PARAMTRICAS DEL PLANO.-P p0 ta b / t, RConsideremos el plano.

Si p P entonces

p p0 ta b

para

t, R , reemplazando por sus respectivas

componentes se tiene: igualdad se tiene:

(x,y,z) = (x0 ,y0 ,z0 )+t(a1, a2 , a3 ) (b1, b2 , b3 )

de donde por

x x0 a1t b1

022P:y y a t b

033z z a t b

t,, R

Que son las ecuaciones paramtricas del plano P.

ECUACION GENERAL DEL PLANO.-

Sea P el plano que pasapor el punto cuyo vector normal es:

p0 (x0 ,y0 ,z0 )

N =(A,B,C). Si p P

entonces:

p0 p N , de donde

p0 p.N 0

entonces:

N.( p p0 ) 0 .Ahora

reemplazando por sus componentes: (A,B,C).(x-x0,y-y0,z-z0) = 0 entonces A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0 Ax + By + Cz + (-Ax0-By0-Cz0) = 0, de donde P: Ax + By +Cz + D = 0. Que es la ecuacin general P.PLANOS PARALELOS Y ORTOGONALES.-

Consideremos los planos: P1: A1x + B1y + C1z + D1 = 0 y P2: A2x + B2y + C2z + D2 = 0,

donde

N ( A1, B1,C1 ) y N 2 ( A2 , B2 ,C2 ) son sus normales, respectivamente, entonces:

i) El plano P1 es paralelo al plano P2 (P1// P2) si y solo si sus normales paralelas, es decir:

N1 y N 2

son

P1 // P2 N1 // N 2

Si,

N1 // N2 r R tal que N1 N2 , lo que quiere decir que los coeficientes de las ecuaciones cartesianas de los planos deben ser proporcionales, o sea que debe cumplirse:

A1B1C1

Ar2B2C2

Si los planos P1 y P2 son paralelos puede ocurrir que: P1 P2 P1 P2 es decir:

23P1 // P2 P1 P2 P1 P2

ii) El plano P es ortogonal al plano ortogonales, es decir:

P2 P1 P2 si y solo si sus normales

N1 y N2 son

P1 P2 N1 N2

Si N1 N2 N1.N2 0 A1 A2 B1B2 C1C2 0 , por lo tanto

P1 P2 A1 A2 B1B2 C1C2 0

INTERSECCIN DE PLANOS.-

Consideremos los planos: P1: A1x + B1y + C1z + D1 = 0 y P2: A2x + B2y + C2z + D2 = 0. Si el plano P1 no es paralelo al plano P2 (P1 // P2) entonces la interseccin de P1 y P2 nos da una recta L. es decir:

Si P1 // P2 L tal que P1 P2 L

ECUACIN BIPLANAR DE LA RECTA.-

A la ecuacin de una recta que es la interseccin de dos plano se denomina ecuacin biplanar de la recta y se expresa en la forma siguiente:

L : A1x B1 y C1z D1 0A2 x B2 y C2 z D2 0

La ecuacin biplanar de la recta se expresa en forma vectorial, paramtrica y simtrica. El vector direccin a de la recta se determina en la forma siguiente:

a= N1 N 2 , donde

N1 y N 2

son las normales de los planos P1

y P2 respectivamente:

a= N1 N 2

ijkA1 B1 C1 A2 B2 C2

(0, 0, 0)

El punto

p0 (x0, y0 , z0 )

por donde pasa la recta se determina

resolviendo el sistema de ecuaciones de los planos P1 y P2.

INTERSECCIN ENTRE RECTA Y PLANO.-

Consideremos la ecuacin general de un plano:

P: Ax + By + Cz + D = 0 y la ecuacin vectorial de la rectaL p0 ta / t Rsi L y P no son paralelos entonces al intercectarse nos da un punto Q, es decir:

L P Q

Para calcular el punto Q de interseccin se resuelve el sistema de ecuaciones de la recta L y el plano P.

PLANO PARALELO A UNA RECTA Y PLANO PERPENDICULAR A UNA RECTA.-

0Consideremos la ecuacin general del plano P: Ax + By + Cz + D = 0. donde N = (A,B,C) es la normal y

la ecuacin vectorial de la recta donde a es el vector direccin.

L p ta / t R

La recta L es paralela al plano P si solo si el vector direccin a es ortogonal

al vector normal N es decir:

L // P a N

Si la recta L es paralela al plano P puede ocurrir que la recta L est contenida en el plano P que la interseccin es el , es decir:

Si L//P L P LP

La recta L es perpendicular al plano P si y solo si el vector direccin a de L paralelo al

vector normal N de P, es decir:

L P a // N

FAMILIA DE PLANOS.-

En forma similar que en la geometra analtica plana, en donde se consideraba una familia de rectas, en este caso se puede considerar una familia de planos, por ejemplo, la ecuacin 2x - y + 3z + D = 0 representa una familia de planos

paralelos donde su normal es N = (2,-1,3). Una familia de planos importante, es el sistema de planos que pasan por la interseccin de dos planos dados, cuyas ecuaciones se expresan:

P1: A1x + B1y + C1z + D1 = 0.(1)

P2: A2x + B2y + C2z + D2 = 0

Los puntos p(x,y,z) que satisfacen a la ecuacin (1) estn sobre la recta de interseccin, dichos puntos p(x,y,z) tambin satisfacen a la ecuacin:

K1(A1x + B1y + C1z + D1) + K2(A2x + B2y + C2z + D2) = 0.(2)

donde K1 y K2 son nmeros reales cualesquiera excepto que sean ceros simultneamente.

Si en la ecuacin (2) se tiene que en la forma:

K1 0 , entonces a la ecuacin (2) se puede expresar

A1x + B1y + C1z + D1 + K2(A2x + B2y + C2z + D2) = 0.(3)

A la ecuacin (3) se denomina la familia ce planos que pasan pors la interseccin de los planos P1 y P2

DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO.-

Consideremos la ecuacin general de un plano P: Ax + By +Cz + D = 0 y un punto p1(x1,y1,z1) que no pertenece al plano P.

Consideremos un vector unitario N

en la direccin del vector normal, es decir

NNN

1( A, B, C)A2 B2 C 2

como = ( p0 p1, N ) entonces

p0 p1.N

p0 p1

cos

En el triangulo rectangulo se tiene: d ( p1, P) de (1) y (2) se tiene que:

p0 p1

cos

d ( p P) p p .

1( A, B, C).(x

x , y

y , z

z )

Ax1 By1 Cz1 (Ax0 By0 Cz0 )A2 B2 C 21,0 1N

A(x1 x0 ) B( y1 y0 ) C(z1 z0 )A2 B2 C 2

A2 B2 C 2

101010

d( p P) Ax1 By1 Cz1 D

1,A2 B2 C 2

OBSERVACION.- Dadas las ecuaciones generales de dos planos paralelos P1: Ax + By + Cz + D1 = 0 y P2: Ax + By + Cz + D2 = 0La distancia entre dichos planos esta dado por la formula.

d (P1, P2 ) D1 D2

A2 B2 C2

ANGULO ENTRE RECTAS Y PLANO.-

Consideremos la ecuacin vectorial de una recta

L p0 ta / t R

y la ecuacin

general del plano P: Ax + By + Cz + D = 0 cuyo vector normal es

N ( A, B,C)

Sea

(a,N ) angulo entre los vectores a

y N. entonces:

cos

a.N a N

, ademas tiene = , entonces:2

sen=sen() cos2

a.Na Nsen= a.NaNpor lo tanto:

Que es la expresion para calcular el angulo formado por una recta y un plano

PROYECION ORTOGONAL DE UN PUNTO SOBRE UN PLANO.-

La proyeccin ortogonal de un punto p sobre el plano P: Ax + By +Cz + D = 0 conp

normal

N ( A, B,C) es el punto p0 del plano P, al cual denotaremos por Pr oyP

, de tal

manera que el vector

p0 p1

es ortogonal al plano P. Para hallar el punto p0 trazamos porL p t N / t R

el punto p una recta L ortogonal al plano P es decir:L P p0

de donde

PROYECCION ORTOGONAL DE UNA RECTA SOBRE UN PLANO.-L p0 ta / t R

La proyeccin ortogonal de la recta

L+ D = 0, es la recta L, el cual denotaremos por Pr oyP

sobre el plano P: Ax + By + Czque esta contenida en el plano P

y que pasa por dos puntos de P que son las proyecciones ortogonales de dos puntos de L sobre el plano P.

DISTANCIA MINIMA ENTRE UN PLANO Y UNA RECTA QUE NO ESTA CONTENIDA EN EL PLANO.-

LadistanciamnimaentreunarectaL p0 ta / t R

y un plano

N ( p Q0 ) 0 ,

donde la recta L no esta contenida en el plano P y adems L es paralela a P es dado por la formula.

Q0 p0 .N NN0 0 d (L, P) comp Q p

ANGULO ENTRE DOS PLANOS.-Consideremos las ecuaciones generales de dos planos P1: A1x + B1y + C1z + D1 = 0, cuyanormales N (A1, B1,C1 ) y P : A2 x B2 y C2 z D2 0 cuya normal es N 2 ( A2 , B2 ,C2 ) .El angula formado por los planos P1 y P2 es igual

al ngulo entre sus vectores normales

N1 y N 2

respectivamente y es dado por la expresin siguiente:

cos= N1.N 2

N1N 2

PROBLEMAS DE PLANO EN R3

1. Hallar la ecuacin vectorial de la recta L, dado por la interseccin de los planos P1: 3x + y 2z = 5 ; P2: x + 2y + z + 5 = 0.

SOLUCIN:

Calculando el vector direccin a de la recta L.

ijka 3 1 -2 (5, 5, 5) 5(1, 1,1)121

ahora calculamos un punto de la recta L, para esto resolvemos el sistema de ecuaciones.

3x + y - 2z = 5x 2 y z 5 0

5x +5 y = -5 entonces x y 0

, simplificando

ahora damos un valor a cualquiera de las variables de x e y por ejemplo para x = 0, y = - 1,z = -3 entonces p0(0,-1,3).

Luego la ecuacin de la recta L en forma vectoriales:

L (0, 1, 3) t(1, 1,1) / t R

2. Hallar la ecuacin del plano que pasa por la interseccin de los planos 2x y z + 8= 0, x + 6y 2z 7 =0 y por el punto (1,-2,2)

SOLUCIN: Aplicando el concepto de familia de planos se tiene: P: 2x y z + 8 +k( x + 6y 2z 7) =0

como (1,-2,2)

P 2 2 2 8 k(112 4 7) 0 k 511

P: 2x y z + 8 +5/11 ( x + 6y 2z 7) =0

P : 27x 19y 21z 53 0

3. Hallar el punto de interseccin de la recta

P : 2x 3y z 11 0

L : x 2 y z 4 312

y el plano

SOLUCIN:

Escribiendo la recta L en forma vectorial.

L (2, 0, 4) t(3, 1, 2) / t R

como L//P p tal que p L P. Si pL P entonces pL p P

como

p P entonces p(-2+3t,-t,4+2t) para algun t R.

ademas p P 2(2 3t) 3(t) (4 2t) 11 0 t 3 Luego:p(-11,3,-2)

4. Demostrar que la rectaP : 4x 3y 6z 5 0

L (2,1, 5) t(3, 4, 4) / t R

es paralelo al plano

SOLUCIN:

Para demostrar que la recta L es paralela al plano P debe cumplirse que el vector direccin a de la recta es perpendicular al vector normal N del plano. Es decir:

Luego como a.N= 0 entonces a N. Por lo tanto la recta L es paralela al plano P.

5. Encontrar una ecuacin del plano que pasa por los puntos de A(1,0,-1) y B(2,1,3) y

1que adems es perpendicular al plano

P (x, y, z) R3 / x y z 2 0

SOLUCIN:

comP1 P2 N 1 // P, ademas se tiene que : A, BP AB (1,1,4) como N AB, N 1 entoncesi j k

N 1 1 41 1 -1

5(1, 1, 0)

de donde tenemos que: N= 5(1, 1, 0)

Luego P: N.((x, y, z) (x0 , y0 , z0 )) 0 de donde P: x-y=1

6. Hallar la ecuacin del plano que pasa por la interseccin de los planos 2x y +3z = 2 y 4x+ 3y z = 1y es perpendicular al plano 3x 4y 2z = 9

SOLUCIN:

Sea P la familia de planos que pasan por la interseccin de los planos 2x y +3z = 2 y 4x+ 3y z = 1P: 2x y +3z 2 + (4x + 3y z -1) = 0

P: (4 + 2)x + (3 1)y + (3 )z 2 = 0, donde su normal es:

N(42.31.3 ) y sea P: 3x-4y-2z=9 cuya normal es:N (3, 4, 2) como PP NN N.N 0

(3,-4,-2).(4 + 2,3 1.3) = =, de donde 12 + 6 - 12 + 4 6 + 2 = 0 entonces = -2

P: 6x 7 y - 5z 0

7. Hallar el ngulo que forma la recta con el plano

SOLUCIN:

Sea =(L,P) donde a (1,1, 2) vector direccion de la recta N (2, 1,1)

normal del plano P. Ahora aplicamos la relacin para calcular el ngulo .

elvector

sen= a.N (1,1, 2).(2, 1,1) 2 1 2 1

a Nde donde: sen= 12

6 662

entonces =60

8. Hallar la ecuacin del plano que pasa por el punto p0(3,1,-2) y hace ngulos iguales

con las rectas

L1 (1, 4, 2) t(1,1,1) / t RL2 : ejeOX , L3 : ejeOY

SOLUCIN:

El plano pedido es: P: donde pasa el plano.

N.( p p0 ) 0 , de donde

N ( A, B,C)

y p0(3,1,-2) el punto por

La condicin del problema es:

(L1, P)

(L2 , P)

(L3 , P), donde para (L1, P)

(L2 , P), se tiene:

Nsen =N.a

N.b

, donde a (1,1,1), b (1, 0, 0), N ( A, B, C)

aNbefectuando operaciones se tiene que: ( 3 1) A B C 0.....(1)

para (L2 , P)

(L3 , P), se tiene:

sen =

N.b Nb

N.c

Nc

, donde b (1, 0, 0), c (0,1,1), N ( A, B, C)

efectuando operaciones se tiene: A=B.....(2)

ahora reemplazamos (2) en (1) se tiene: C ( 3 2)B

como N ( A, B,C) (B, B,( 3 2)B) B(1,1, 3 2) B 0

Por lo tanto P: (1,1, 3 2) .(x-3,y-1,z+2) = 0P:x+y+( 3 2)z 2 3 8 0

9. Sea

(a,b, c) y N ( A, B,C)

vectores no nulos de R3 tal que N

si p0(x0, y0,

z0) es un punto del plano = Ax + By + Cz + D = 0. Demostrar queL p0 t / t Resta contenida en .

SOLUCIN:

como N N.0 Aa Bb Cc 0 ademasL p0 t / t R(x0 , y0 , z0 ) t(a, b, c) / t Rpor demostrar que L : Ax By Cz d 0Sea pL p(x0 ta, y0 tb, z0 tc)como p0 A(x0 ta) B( y0 tb) C(z0 tc) D 0

Ax0 By0 Cz0 D t( Aa Bb Cc) 00

= 0 + t(Aa Bb Cc) 0 t0 0, entonces p luego L

10. Hallar la ecuacin del plano que pasa por el punto A83,4,1) y es ortogonal a los planos P1: x-y = 4, P2: x+y = 6

SOLUCIN:

Sea P1 : x y 4 de donde N1 (1, 1, 0)N 2 (1, 1, 0) :

P2 : x y 6 de donde N 2 (1, 0,1)P: N.( p A) 0 es el plano pedido como P P1, P2 entonces N1, N 2 // P de donde la normal N de P es:

ijk

N N1 N 2 1 -1 0101

(1, 1,1)

como P: N.( p A) 0 , al reemplazar se tiene. P: (-1,-1,1).(x-3,y-4,z-1) = 0

P : x y z 6

11. Si P es un plano tal que:P eje x =(a,0,0)/a 0,a R, P eje y = (0,b,0)/b 0,a R. Demostrar que P P: x y z 1

tiene la ecuacin:

abc

SOLUCION:Sea a AB B A (a, b, 0) b = AC = C - A (a, 0, c)

ij kN = a b = -a b 0 =(bc,ac,ab)-a 0 c

La ecuacion del plano es: P: N.(p - A) = 0, reemplazando se tiene:

P: (bc,ac,ab).(x-a,y,z) = 0

P: bcx +acy + abz = abc

P:

x y z 1abc

12. Si A,B,C y D son todos no nulos. Demustrese que el tetraedro formado por los planos coordenados y el plano P: Ax + By + Cz + D = 0 tiene un volumen igual a

D316 ABCV

SOLUCION:Sean P, Q, R, los puntos de interseccin del plano P: Ax + By + Cz + D = 0, con los ejesP(D ,0,0), Q(0,- D ,0) y R(0, 0, D )coordinados respectivamente, es decir:ABCEl volumen del tetraedro OPQRS es:

V 1 OPOQOR6

de donde se tiene:

OP = (

D ,0,0), OQ = (0,- D ,0) y OR (0, 0, D )

ABCD00

D3ABCD316 ABCD316 ABCA

V 10 - D= 16B600 - D C

V

13. Un plano pasa por el punto A(3,1,-1), es perpendicular al plano 2x 2y + z = -4, y un intercepto Z es igual a -3, hallase su ecuacin.

SOLUCION:

Sea P1: 2x 2y + z = -4, de donde

N1 (2, 2,1)

y P el plano por calcular. Luego como

P1 P N1 // Pplano P y adems

y como intercepto Z con P es -3 entonces B(0,0,3) es un punto del

A, B P AB // P de donde AB (3, 1, 2) como N1, AB // P entonces la normal es N dado por

N N1 AB

ij k2 -2 3 (11,10,14)2 5 -2

P : N.(x 3, y 1, z 1) 0, de donde P: (5, 1,8).(x 3, y 1, z 1) 0, por lo tanto:P: 5x + y - 8z - 24 = 0

14. Hallar la ecuacin de cada uno de los planos que se hallan a dos unidades del origen y tiene una normal que hace ngulos de 60 con los semi ejes positivos OX y OY.

SOLUCION:

Sea P el plano buscado, cuya normal es

N cos, cos , cos

2como ==60 cos2cos2 cos21 cos= 2

N (1 , 1 ,

2 ) 1 (1,1, 2)

2 222La ecuacin del plano es: P: x + y 0 0 0 D

2z + D = 0

como d (0, P) 2

11 2

=2 de donde D =4

D = 4 D = -4

Si D = 4 entonces P1: x + y D =-4 entonces P2: x + y

2z + 4 = 02z - 4 = 0

15. Hallar la ecuacin del plano perpendicular al plano z = 2, que contenga al punto (2,2,2) y que haga un ngulo de 60 con el plano3x 2 y 3z 2 0

SOLUCION:

La ecuacin del plano pedido es d la forma P: Ax + By + D = 0 puesto que es perpendicular al plano z = 2 paralelo al plano XY. La normal del plano P es: N ( A, B,O)

N1.NN1 NSi P1 : 3x 2 y 3z 2 0, de donde N1 ( 3, 2, 3)

El angulo formado por P1 y P es =60 que es dado por: cos=

cos 60

3A 2B4 A2 B2de donde

1 2

3A 2B4 A2 B22

A2 B2

3A 2B

4( A2 B2 ) 3A2 4B2 4 3AB A 4 3B

...(1)

como (2,2,2) P 2A+2B+D = 0...(2)

de (1) y (2) se tiene D = (8 3 2)Breemplazando (1) y (3) en P: Ax + By + D = 0

...(3)

P: 4 3Bx + By - (8 3 2)B 0, B 0 P : 4 3x + y - 8 3 2 0

16. La recta

L1 (5 t, t, 0) / t Rse refleja en el plano : 2x y z . Hallar la

ecuacin de la recta reflejada

SOLUCION

Se observa que p2 L1 p2 L1 p2 Si p2 L1 p2 (5 t, t, 0) para algun t R adems p2 : 2(5 t) t 0 1 0 t 3 de donde p2 (2, 3, 0) tambin p1 (5, 0, 0) L1como : 2x y z 1 0, de donde N (2, 1,1) entonces N N // L3L3 (5, 0, 0) (2, 1,1) / RAL3 AL3 A

A L3 A5 2, , para algn R, adems A 2(5 2) 1 0 entonces 3 , de donde:2

entonces

A(2, 3 , 3) AP (2, 3 , 3) Bp

p B 2 Ap

2(3, 3 , 3) (6, 3, 3)

22122

1112 2

p1 p2 p1 p2 (3, 3, 0) Bp2 p2 B (3, 0, 3) como Bp2 // L y p2 Lentonces L (2,3, 0) r(3, 0,3) / r R

17. Dado el plano

P : x 2 y 3z 8 y la recta L : x 4 5 z , y 1.

Hallar la

43ecuacin de la recta que pasa por el punto (0, 2, -1) paralela al plano dado y corta la recta L.

A la ecuacin de la recta

L : x 4 5 z , y 1,

escribiremos en forma vectorial

43L (4, 4,5) t(4, 0,3) / t R.

Sea L1 la recta por determinara, es decir:

L1 (0, 2, 1) r(a,b, c) / r R

como

L1 corta a L p L1 L

p L1 p L

Si p L1 p(ra, 2 rb, 1rc) p L p(4 4t, 1, 5 3t)de donde por igualdad (ra, 2 rb, 1rc) (4 4t, 1, 5 3t) entonces.

a 4t 4

34 4t rar

1 2 rb

b

...(1)

5 3b 1rc

r

63t

c r

como P : x 2 y 3z 8 de donde N (1, 2, 3) como L1 // P entoncesa N donde a (a, b, c) Si a N a.N 0 0 a 2b 3c 0...(2)

reemplazando (1) en (2) se tiene.

de donde: a 12 , b 3 , c 6

4t - 4 6 18 9t 0 t 4rrrcomo a (a, b, c) 3 (4, 1, 2)

rrrrL1 (0, 2, 1) (4, 1, 2) / R

18. El intercepto Y de un plano es menor en una unidad que su intercepto Z y mayor en dos unidades que su intercepto X, si el volumen encerrado por el plano y los tres planos coordenados es 15u3, hallar la ecuacin del plano.SOLUCION:Los puntos por donde pasa el plano son: (0,0,a), (0,a-1,0),(a-3,0,0) y la ecuacin del plano es:

: N.(x, y, z) d donde N ( A, B, C)(0, 0, a) ( A, B, C).(0, 0, a) d aC d(0, a 1, 0) ( A, B, C).(0, a 1, 0) dB(a 1) d (a 3, 0, 0)

( A, B, C).(3 a, 0, 0) d A(a 3) d. de donde

A da 3

, B

d a 1

, C d adems se tiene que:V a

d 316 ABCdonde V 15u3

1d 3

ddd

V ddd

15 (a 3)(a 1)a 90 a 6 de donde A

, B

, C

6..

356

a 3

a 1 a

como : N.(x, y, z) d : d (1 1 1).(x, y, z) d3 5 6: x y z 135619. Hallar la ecuacin de la recta que pasa por el punto (1,-1,1), perpendicular a la recta 3x = 2y = z y paralela al plano x + y z = 0

Sean L :(1, 1,1) (a, b, c) / Rla recta buscada L1 : 3x 2 y z

entonces: L1

z b (1 , 1 ,1)

x13y1213 2

L L1

(a, b, c)(1 , 1 ,1) 0 2a 3b 6c 0...(1) 3 2

como el plano P: x y z 0, de donde N (1,1, 1) por ser P // L N (a, b, c) 0 (1,1, 1).(a, b, c) 0entonces a b c 0...(2)

2a 3b 0 ahora resolvemos el siguiente sistema:a b c 0

a 9cb 8c

(a,b, c) (9c, 8c, c) c(9, 8,1) por lo tanto L (1, 1,1) (9, 8,1) / R

lo que es igual a expresar de la forma:

L : x 1 y 1 z 1

20. Sean

91 : 3x y z 1 y 2 x y 3z 1,

81dos planos. Hallar las ecuaciones

paramtricas de la recta L que pasa por las proyecciones del punto Q(1,1,1) sobre cada plano.

Del grafico se observa que la recta l pasa por los puntos Ay B que son las proyecciones del punto Q sobre cada plano, por lo tanto calcularemos los puntos A y B

Para el punto A trazamos la recta L1, es decir:

L1 (1,1,1) t(3,1, 1) / t R

como A L1 1 entonces A L1 A 1. Si A L1 A(13t,1 t,1 t)

para algn t R, demas A 1

3(13t) 1t t 1 1 t 2 ,11

de donde el punto A( 5 , 9 , 13). Para el punto B trazamos la recta L , es11 11 112

decir:

L2 (1,1,1) t(1, 1, 3) / t Rcomo BL2 2 BL2 B2

Si BL2 B(1t,1t,13t) para algn t R

adems B2

1t 1t 3(13t) 1 t 211

de donde el punto B( 9 , 13 , 5 )11 11 11

Sea a AB B A 4 (1,1, 2) por lo tanto la recta L pedida es: 11

L ( 5 , 9 , 13) (1,1, 2) / Rcuyas ecuaciones paramtricas son:11 11 11

x

L : y

5 119 11

, R

z 13 2

11

SUPERFICIES CUDRATICAS

1. INTRODUCCION

Superficies la ecuacin E(x,y) = 0 nos representa un lugar geomtrico en el plano XY, la ecuacin E(x,y) = 0, extenderemos al espacio tridimensional, cuya ecuacin rectangular en tres variables representaremos por:

P x, y, z 0Tambin se conoce que todo plano se representa analticamente por una nica ecuacin lineal de la forma:

P : Ax By Cz D 0De una manera ms general, veremos se existe una representacin analtica de una figura geomtrica, al cual denominaremos superficie, tal representacin consistir de una nica ecuacin rectangular de la forma:

F(x, y, z) 0(1)

x2 y2 z2 r2Por Ejemplo, por medio de la distancia entre dos puntos se puede demostrar que la superficie esfrica de radio r con centro en el origen se representa analticamente por la ecuacin:

2. DEFINICIN 1.Definir una superficie, consiste en, caracterizarla por medio de una propiedad comn a todos sus puntos. ( es decir expresarlo como un lugar geomtrico) o por su ley de generacin.Las superficies as definidas solo son estudiadas va analtica, expresadas por la

ecuacin:

z f x, y

oFx, y, z0 a la cual satisfacen las coordenadas de

cada punto punto situado en esta superficie y no satisfacen las coordenadas de ningn otro punto situado fuera de ella a esta ecuacin se denomina ECUACION DE UNA SUPERFICIE, la naturaleza de esta ecuacin depende de la forma y posicin de la superficie as como del sistema en el que se trabaja. En conclusin una superficie se representa por una sola ecuacin de tres variables. A continuacin presentamos algunas definiciones de Superficie:

DEFINICIN: 2.- Supongamos un punto X cuyas coordenadas x , y , z sean funciones de dos parmetros u , v :

x x u,v,

y y u,v,

z z u,v(ecuaciones paramtricas de Superficie)

Representando por la misma letra X al vector OX cuyas componentes son las coordenadas x , y , z , las tres ecuaciones paramtricas se pueden condensar en una ecuacin vectorial nica:

X X u,vx u,vi y u,v j z u,v k

(ecuacin vectorial de Superficie)

DEFINICIN: 3.- Sea An un espacio afn de dimensin n; tomamos un origen O y la estructura vectorial Vcorrespondiente. Se llama cudrica al conjunto de

puntos x An

tales que:

XX2 k 0 donde es una forma cuadrtica no nula de V , una

forma lineal y k K

siempre que

La ecuacin F(x,y,z) = 0 contiene tres variables, sin embargo la ecuacin de una superficie pueden contener solamente una o dos variables.Por ejemplo la ecuacin x = k constante, representa un plano paralelo al plano YZ.

De igual manera la ecuacin x2 +y2 = 4 considerada en el espacio representa un cilindro circular recto. Toda ecuacin de la forma F(x,y,z) = 0, no necesariamente representa una superficie, por ejemplo la ecuacin x2 +y2+z2+9 = 0, no representa ningn lugar geomtrico, adems la ecuacin x2+y2+z2 = 0 tiene una sola solucin real que es:x = y = z = 0, cuyo lugar geomtrico esta constituido por un solo punto, el origen.

3. SUPERFICIES CUADRTICAS

LUGARES GEOMTRICOS EN EL ESPACIO.-El estudio de un lugar geomtrico en el espacio corresponde, al igual que en el plano de dos fases distintas:i ) Mediante la definicin del lugar geomtrico el cual se deduce de sus ecuaciones o ecuacin.ii ) Por el estudio de las propiedades algebraicas de stas no solo la forma del lugar geomtricos, sino tambin sus propiedades geomtricas.El estudio de la geometra espacial de acuerdo al ltimo anlisis se reduce al estudio de una superficie; lo que podemos expresarlo de la siguiente manera:a ) Dada una superficie definida geomtricamente; determinar su ecuacin. b ) Dada una ecuacin, determinar la superficie que representa.

PRIMER PROBLEMA FUNDAMENTALEste problema podemos resolverlo de la misma manera que en plano, por dos mtodos: el directo y el indirecto.

LUGAR GEOMTRICO:Lamamos un lugar geomtrico al conjunto de puntos del espacio que gozan de una misma propiedad expresada por la definicin del lugar. Para demostrar que un lugar geomtrico es una lnea alabeada o superficie hay que probar:1 Que todo punto del espacio que goza de la propiedad del lugar est sobre la lnea o superficie.2 Recprocamente, todo punto situado sobre la lnea o superficie considerada goza de la propiedad del lugar.

La ecuacin o ecuaciones existentes entre las coordenadas de los puntos de la lnea o superficie en cuestin se llaman la ecuacin o ecuaciones del lugar. Para obtener un lugar pueden aplicarse dos mtodos generales: el directo y el indirecto.El mtodo directo, cuando puede aplicarse, basta representar por variables x , y, z las coordenadas de un punto del lugar y traducir en seguida en forma algebraica, por medio de una o dos ecuaciones, la propiedad de que gozan todos los puntos del lugar.El mtodo indirecto ( o de los parmetros ), que el ms generalmente empleado, se consideran las superficies como lugares de lneas o generatrices obtenidas por interseccin de dos superficies variables que dependen de uno o ms parmetros y que se mueven con arreglo a leyes determinadas que condicionan estos parmetros cuando hay ms de uno.

Ejemplos:1.- Determinar la ecuacin del lugar geomtrico de los planos cuya distancia al origen es igual al cudruple de las abscisas respectivas.Solucin

OPUsando el mtodo directo:

Sea

P x, y, z

un punto que satisface las condiciones dadas:4 x

Pero:OP

x2 y2 z2luego se tiene:4 x

x2y2 z2dedonde:15 x2 y2 z2 0correspondiente.

ecuacindellugargeomtrico

2.- Determinar la ecuacin de la superficie generada por la familia de curvas:

x 2 y k z 0,

y2 k x , siendo k un parmetro variable.Solucin

Usando el mtodo indirecto:x 2 y

x 2 yx

de: x 2 y k z 0

k z

eny 2 k x z

y2 z x2 2 x y 0es la ecuacin de la superficie pedida.

3.- Determinar la ecuacin de la superficie generada por la recta que pasa por el

22

punto

P 3,0,0y se apoya en la circunferencia de ecuacin: y z 1

Solucin

x 0

Usando el mtodo indirecto:

Como la directriz es una lnea recta

P1 x1 , y1 , z1 D

la ecuacin de

lageneratrizGes:

x 3yzx1 3y1z1

.Adems

P1 D

2 z2 1

; x1 0

... (1)

x11x 3y3y1x 3z

luego

y1 3 y

x 3 3 z

............................................................(2)

3z1

luego

z1

x 3

.........................................................(3)

9 y2 9 z2 x 32 0Ahora (3) y (2) en (1) obtenemos:

SEGUNDO PROBLEMA FUNDAMENTAL:

La determinacin de la superficie representativa de una ecuacin dada se procesa mediante el estudio sistemtico de la misma, al cual se denomina: DISCUSIN DE LA ECUACIN.

Para la discusin, caracterizacin y construccin de la superficie representativa de una ecuacin, de manera anloga a como se hace en geometra plana se adoptar el siguiente procedimiento para construir la grfica de una superficie consideremos la siguiente discusin, mediante los pasos siguientes:1) Interseccin con los ejes coordenados.2) Trazas sobre los planos coordenados.3) Simetras con respecto a los planos coordenados, ejes coordinados y el origen.4) Secciones transversales o secciones paralelas a los planos coordenados.5) Extensin de la superficie.6) Construccin de la superficie.Consideremos la ecuacin de una superficie.

F(x, y, z) 0Ahora describiremos todo el proceso a realizar en la construccin de la grfica de dicha superficie.

1. Determinacin de las intersecciones con los ejes coordenados:Para obtener la interseccin de una superficie con determinado eje se anulan, en la ecuacin de la superficie, las variables, las variables no correspondientes al eje considerado, obteniendo as, la coordenada del mismo nombre de su eje:

x : eny : enz : en

F x, y, z 0F x, y, z 0F x, y, z 0

hacer z = y = 0hacer x = z = 0 hacer x = y = 0

Si en

F x, y, z0se verificax y z 0 , la superficie pasa por el origen.

Esto sucede cuando no contiene trminos independientes.

2. Determinacin de las trazas sobre los planos coordenados:

La traza de la superficie

F x, y, z0sobre el plano XY , por ejemplo en la

interseccin con el plano: Z = 0 .

Haciendo, Z = 0 en

F x, y, z0se obtendr f x, y0 ; que define en el

plano XY, una curva que es la traza buscada.Podemos concluir que, para obtener la ecuacin de la traza de una superficie con uno de los planos coordenados, bastar anular en la ecuacin de la superficieF x, y, z0la variable no correspondiente a los ejes del plano coordenadoconsiderado. Esto es:

i ) Traza sobre el plano XY :

f x, y 0 en F x, y, z 0, hacer Z = 0 , y se obtiene: z 0ii ) Traza sobre el plano XZ :

en F x, y, z0, hacer Y = 0 , y se obtiene: f x, z0y 0iii ) i ) Traza sobre el plano YZ :

f y, z 0 en F x, y, z 0, hacer X = 0 , y se obtiene: x 0Las trazas de una superficie sobre los planos coordenados se denominan:TRAZAS PRINCIPALES.

3.- SIMETRALa simetra de una Superficie se considera en relacin a los planos coordenados, a los ejes coordenados y al origen.i ) Simetra en relacin a los planos coordenados:Si la ecuacin de una superficie algebraica slo tiene potencias pares de una de las variables, esa superficie es simtrica en relacin al plano correspondiente a las otras dos variables. Esto es con respecto a los planos:

XY debe cumplirse; XZ debe cumplirse;YZ debe cumplirse;

F x, y, zF x, y,zF x, y, zF x, y, zF x, y, zF x, y, z

ii ) Simetra en relacin con los ejes coordenados:Si la ecuacin de una superficie algebraica contiene potencias pares de dos variables e impares de la tercera variable, esa superficie es simtrica en relacin a los ejes correspondiente a la tercera variables. Esto es con respecto a los ejes:

X debe cumplirse : Y debe cumplirse :Z debe cumplirse :

F x, y, zF x,y,zF x, y, zF x, y,zF x, y, zF x,y, z

iii ) Simetra en el origen:Una superficie es simtrica en relacin al origen cuando su ecuacin algebraica solo contiene trminos de grado par y de grado impar en relacin a las variables.En la primera hiptesis la superficie es simtrica en relacin a los ejes coordenados, a los planos coordenados y al origen, en la segunda, solo al origen.

4.- Seccin y extensin:Las secciones planas se pueden obtener cortando la superficie por una serie de planos paralelos a los planos coordenados; por ejemplo los planos paralelos al plano XY, se obtienen de la ecuacin Z = k ; k es una constante arbitraria.

45Si F x, y, z0

F x, y, k 0.................................. ( * )z k

( * ) representa las ecuaciones de la curva de interseccin del plano con las superficies, donde a cada valor de k le corresponde una curva.El campo de variacin de k en (*) representa una curva real y define la extensin de la superficie en relacin a los ejes coordenados, Sea aclara este asunto con el siguiente ejemplo:

Ejemplo: 1.- Discutir la siguiente ecuacin : x2 y2 z 4 ; Grafique.Solucin

1 ) Intersecciones con los ejes: con

F x, y, z:

x2 y2 z 4 0

x : eny : enz : en

F x, y, z 0F x, y, z 0F x, y, z 0

hacer z = y = 0 x = zhacer x = z = 0 y = z hacer x = y = 0 z = - 4

2 ) Trazas: i ) Traza sobre el plano XY :22

en F x, y, z0, hacer Z = 0 , y se obtiene: x y

4Circunferencia

de: r = 2ii ) Traza sobre el plano XZ :

z 0

2

en Fx, y, z 0

x z, hacer Y = 0 , y se obtiene: y 0

4Parbola V(0,-4) = (x ,z)

iii ) Traza sobre el plano YZ :2

x 0en F x, y, z0, hacer X = 0 , y se obtiene: y z

4Parbola

de vrtice V(0,-4) = (y ,z) 3 ) Simetra:La superficie es simtrica en relacin a los planos ( XZ ) y ( YZ ) y en relacin al eje Z

4 ) Seccin y extensin: Para Z = k ; se tiene: x2 y2 4 kcrecientes para k 0 y decrecientes para- 4 k 0 ).

( crculos de radio

Sik = - 4 su radio es igual cero; las secciones paralelos al plano XY son imaginarios para k - 4 ; la superficie no existe abajo del plano Z = - 4.

- Paray = kse tiene :vx, z0,4 k 2

x2 z 4 k 2

son parbolas de vrtices

k R . Las parbolas son reales, luego la superficie se extiende indefinidamente a lo largo del eje X.5 ) Esbozo de la imagen geomtrica. GRAFICA : Con los elementos proporcionadospor la discusin anterior, se puede hacer un esbozo de la superficie:

EJE Z

Seccion : Y ZSeccion : X ZEJE YSeccion : X YEJE X

Llamaremos superficies cuadrticas a toda ecuacin de segundo grado en las variables x,y,z que tiene la forma:

Ax2 By2 Cz2 Dxy Exz Fyz Gx Hy Kz L 0

donde A, B, C, D, E, F,

G, H, K son constantes , y por lo menos una es diferente de cero.

Ejemplo 2.- Discutir y hacer la grfica de la superficie cuya ecuacin esSolucinA) Intersecciones con los ejes coordenados.

x2 y2 z2 1

a. Con el eje X, se hace y = z= 0, de donde son: (1,0,0) , (-1,0,0)b. Con el eje Y, se hace x = z= 0, de donde son: (0,1,0) , (0,-1,0)

x2 1 entonces

y2 1 entonces

x 1 , de donde los puntos

y 1, de donde los puntos

c. Con el eje Z, se hace x = y= 0, de donde z2 1 entonces no existe interseccin con el eje ZB) Las trazas sobre los planos coordenados.a. La traza con el plano XY: se hace z = 0; x2 y2 1 es una circunferencia

b. La traza con el plano XZ: se hace y = 0;

x2 z2 1 es una hiprbola

c. La traza con el plano YZ: se hace x = 0;y2 z2 1 es una hiprbolaC) Simetra con respecto a los planos coordenados, ejes coordenados y al origen.La superficie es simtrica al origen, a los ejes coordenados y a los planos coordenados, puesto que la ecuacin no cambia al aplicar el criterio establecido.D) Las secciones transversales o paralelas a los planos coordenados:Consideramos las secciones paralelas al plano XY;

sea z = k entonces de circunferencias.

x2 y2 1k 2

es una familia

E) Extensin:

z

x2 y2 1 , x2 y2 1

4. DISCUCIN DE LAS PRINCIPALES SUPERFICIES CUADRTICASUna superficie muy comn es la dada por una ecuacin de la formaA x2 B y 2 C z 2 D x E y F z G 0que denominamos superficie cudratica o simplemente cudrica. Veremos la discusin de las cudricas de aquellas cuyo centro est en el origen de coordenadas y cuyos ejes siguen la direccin de los ejes coordenados. Las seis cudricas fundamentales son:

i) Elipsoideii) Hiperboloide de una hojaiii) Hiperboloide de dos hojasiv) Paraboloide Elpticov) Paraboloide Hiperblicovi) Cono

La manera ms sencilla de representar el grfico de una cudrica es hallar sus intersecciones con los ejes y determinar las secciones producidas por cada uno de los planos coordenados o planos paralelos a los coordenados

1) ELIPSOIDE.-Es el lugar de todos los puntos p(x,y,z) de

R3 que

222

satisfacen a la ecuacin de la forma:

x y z a2 b2c2

1,

a 0 , b 0 , c 0 , a b , a cGraficando el elipsoide se tiene:

b c .

a) Intersecciones con los ejes coordenados

Con el eje X, se hace Con el eje Y, se hace

y z 0, x a ,x z 0, y b ,

A1 a, 0, 0, A2 a, 0, 0B1 0,b, 0, B2 0, b, 0

Con el eje X, se hace

x y 0, z c , C1 0, 0, c,C2 0, 0, c

b) Las Trazas sobre los planos coordenados.22

La traza sobre el plano XY, se hace z = 0

x ya2b2

1, es una elipse en el plano XY

-La traza sobre el plano XZ, se hace y = 0

x2z2

1, es una elipse en el plano XZ

a2c2

-La traza sobre el plano YZ, se hace x = 0

y2z2

1, es una elipse en el plano YZ

b2c2c) Simetras con respecto al origen, ejes y planos coordenados.222

Sea

E : x y z a2b2c2

1, entonces

Con respecto al origen ; s a,b, cx, y, z Con respecto al eje X ; s a,b, cx, y, z Con respecto al eje Y ; s a,b, cx, y, z Con respecto al eje Z ; s a,b, cx, y, z Con respecto al plano XY ; s a,b, cx, y, z

Con respecto al plano XZ ; s a,b, cx, y, z Con respecto al plano YZ ; s a,b, cx, y, z d) Las secciones paralelas a los planos coordenados.x2y2k 2

Los planos z = k, corta la superficie en la curvade elipses donde c k c .

a2b2

1, que es una familiac2

x2y21a2b2222

e) Extensin de la superficie de

22

x y z a2 b2c2

1 se tiene

z | c |

de donde

x y 1a2b2

2) Esfera.-La superficie es el lugar geomtrico de todos los puntos p(x,y,z) en el espacio que equidistan de un punto fijo, la distanciaconstante se llama radio y el punto fijo centro.

0, el222

Si la ecuacin del elipsoide

x y z a2 b2c2

1 se tiene a = b = c

elipsoide se transforma en x2 y2 z2 R2 , que es la ecuacin de la esfera de radio R y centro en el origen de las coordenadas.Graficando la esfera se tiene:a) Intersecciones con los ejes coordenados.

Con el eje X, se hace, Con el eje Y, se hace,

y z 0 , x R ,x z 0 , y R ,

A1 R, 0, 0 ,B1 0, R, 0 ,

A2 R, 0, 0B2 0, R, 0

Con el eje Z, se hace,

x y 0 , z R , C1 0, 0, R, C2 0, 0, R

b) Las trazas sobre los planos coordenados. La traza sobre el plano XY, se hace z = 0.x2 y2 R2 , es una circunferencia del plano XY La traza sobre el plano XZ, se hace y = 0x2 z2 R2 , es una circunferencia en el plano XZ La traza sobre el plano YZ, se hace x = 0y2 z2 R2 , es una circunferencia en el plano YZ

c) Simtricas respecto al origen, ejes y planos coordenados.

La ecuacin de la esfera y planos coordenados.

x2 y2 z2 R2 es simtrica respecto al origen, a los ejes

d) Las secciones paralelas a los planoscoordenados.

Las secciones paralelas lo tomaremos con respecto al plano coordenado XY, es decir,

Z = K se tiene circunferencia.

x2 y2 R2 k 2 , R k R , que es una familia de

TEOREMA.- La ecuacin de la superficie esfrica con centro en el punto c(h,k,l) y de radio la constante R > 0 es: x h2 y k 2 z l 2 R2

DemostracinSea P(x,y,z) un punto cualquiera de la esfera, luego por definicin de esfera se tiene:E P x, y, z R3 / d ( p, c) R

x h2 ( y k)2 (z l)2Rx h2 y k 2 z l 2 R2

de donde:

OBSERVACIN.- La ecuacin x h2 y k 2 z l 2 R2 seconoce con el nombre de forma ordinaria de la ecuacin de la esfera, si desarrollamos la ecuacin de la esfera se tiene:x2 y2 z2 2hx 2ky 2lz h2 k 2 l2 R2 0, de donde se tiene:

x2 y2 z2 Ax By Cz D 03)

PARABOLOIDE ELPTICO.- Es el lugar geomtrico de todos lospuntos p(x,y,z) de R3 que satisfacen la

ecuacin de la forma

x2y2 z , de donde a 0,b 0, a ba2b2

Graficando el paraboloide elptico tenemos:a) Intersecciones con los ejes coordenados.

Con el eje X, se hace, Con el eje Y, se hace,

y z 0 ,x z 0 ,

x 0 ,y 0 ,

A(0, 0, 0)B(0, 0, 0)

Con el eje Z, se hace,

x y 0 ,

z 0 , C(0, 0, 0)

b) Las trazas sobre los planos coordenados La traza sobre el plano XY, se hace z = 022

x ya2b2

0 que representa un punto

La traza sobre el plano XZ, se hace y = 0x2z que representa a una parbola en el plano XZa2-La traza sobre el plano YZ, se hace x = 0y2z que representa a una parbola en el plano YZb2c) Simetras respecto al origen, ejes y planos coordenados. Con respecto al origen puesto que x, y, z P

Con respecto al eje X, puesto que x, y, z P Con respecto al eje Y, puesto que x, y, z P Con respecto al eje Z, puesto que x, y, z P Con respecto al plano XY, puesto que x, y, z P Con respecto al plano XZ, puesto que x, y, z P Con respecto al plano YZ, puesto que x, y, z Pd) Secciones paralelas a los planos coordenados.Las secciones paralelas tomaremos con respecto al plano XY para esto se tiene z = kx2y2

que corta en la superficie en la curva

x2

a2b2y2

k que es de la familia de elipses

e) Extensiones de la superficie:

z es definido (x, y) R2

a2b2

OTRAS VARIANTES

4) HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA.- Es el lugar geomtrico de todoslos puntos P(x,y,z) de R3 que222

satisfacen a la ecuacin

x y z a2 b2c2

1 , donde a 0 , b 0 , c 0 .

Graficando el hiperboloide de una hoja se tiene.a) Intersecciones con los ejes coordenados

Con el eje X, se hace

y z 0 , x a ,

A1 a, 0, 0

A2 a, 0, 0

Con el eje Y, se hace

x z 0 , y b ,

B1 0,b, 0, B2 0, b, 0

Con el eje Z, se hace

x y 0 ,

z2 c2 ,

b) Las trazas sobre los ejes coordenados.

x2y2

La traza sobre el plano XY, se hace z = 0; dondea2b2

1, es elipse

x2z2

-La traza sobre el plano XZ, se hace y = 0; dondea2c2

1, es hiprbola

y2z2

-La traza sobre el plano YZ, se hace x = 0; dondeb2c2c) Simetras Con respecto al origen es simtrica. Con respecto a los ejes coordenados es simtrica Con respecto a los planos coordenados es simtrica

d) Secciones paralelas a los planos coordenadosLos planos z = k corta a la superficie en la curva222

1 , es hiprbola

x ya2b2

1kc2

, que es una familia

de elipses y los planos y = k corta a la superficie en la curvax 2z 2k 2b 2 k 21,

a2c2

c2b2

b k b , que es una familia de hiprbola.

OTRAS VARIANTES

5) HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS.-Es el lugar geomtrico detodos los puntosP222

(x,y,z) de R3 que satisfacen la ecuacin:0, c 0.x y z a2 b2c2

1 , donde a 0, b

Graficando el hiperboloide de dos hojas se tiene:a) Intersecciones con los ejes coordenados

Con el eje X, se hace

y z 0 , x a ,

A1 a, 0, 0

A2 a, 0, 0

Con el eje Y, se hace Con el eje Z, se hace

x z 0 ,x y 0 ,

y b2 , z c2 ,

b) Las trazas sobre los ejes coordenados.

x2y2

La traza sobre el plano XY, se hace z = 0; dondea2b2

1, es hiprbola

x2z2

-La traza sobre el plano XZ, se hace y = 0; dondea2c2

1, es hiprbola

y2z2-La traza sobre el plano YZ, se hace x = 0; donde 1, b2c2c) Simetras Con respecto al origen existe simetra. Con respecto a los ejes coordenados, existe simetra Con respecto a los planos coordenados es simtrica

d) Secciones paralelas a los planos coordenadosx2y2k 2

Los planos z = k, corta a la superficie, dando la curva

familia de hiprbolas.

a2b2

1c2

que es una

x2z2k 2

Los planos y = k, corta a la superficie, dando la curva

familia de hiprbolas.

a2c2

1c2

que es una

y2z2

k 2 a2

Los planos x = k, corta la superficie dando la curva k < -a, que es una familia de elipses.

b2c2a2

donde K > a

OTRAS VARIANTES

6) HIPERBOLOIDE PARABOLICO.- Es el lugar geomtrico de todos los22

puntos P (x,y,z) de R3 que satisfacen la ecuacin:son positivos y c 0.y x z b2 a2c

, donde a y b

Graficando el hiperboloide parablico para el caso c > 0.a) Intersecciones con los ejes coordenados

Con el eje X, se hace Con el eje Y, se hace Con el eje Z, se hace

y z 0 , x z 0 , x y 0 ,

x 0 A0, 0, 0y 0, B(0,0,0)z 0, C(0,0,0)

b) Las trazas sobre los ejes coordenados. La traza sobre el plano XY, se hace z = 0;

y b x, y b x , rectas.aa2

-La traza sobre el plano XZ, se hace y = 0; z c x2a22

, parbola.

-La traza sobre el plano YZ, se hace x = 0;

c) Simetras Con respecto al origen

cz y2b2

, parbola.

Con respecto a los ejes coordenados, con el eje Z en los dems eje Con respecto a los planos coordenados Pxy , Pxz , Pyzd) Secciones paralelas a los planos coordenadosy2x2k

Al plano XY, se hace z = k;

b2a2c

, familia de hiprbolas.

x2zk 2

Al plano XZ, se hace y = k; a2cb2

, familia de parbola.

Al plano YZ, se hace x = k;

y2zk 2b2ca2

, familia de parbola.

OTRAS VARIANTES

7) EL CONO ELPTICO O CIRCULAR.- Es el lugar geomtrico de todos los puntosP (x,y,z) de R3 que satisfacenx2y2z2

la ecuacin:

, a 0, b 0, c 0.

a2b2c2Graficando el cono elptico.a) Intersecciones con los ejes coordenados

Con el eje X, se hace Con el eje Y, se hace Con el eje Z, se hace

y z 0 , x z 0 , x y 0 ,

x 0 A0, 0, 0y 0, B(0,0,0)z 0, C(0,0,0)

b) Las trazas sobre los ejes coordenados. La traza sobre el plano XY, se hace z = 0; x = y = 0 p(0,0,0).a

La traza sobre el plano XZ, se hace y = 0;

x z cb

dos rectas.

-La traza sobre el plano YZ, se hace x = 0;

y z c

dos rectas.

c) Simetras Con respecto al origen existe. Con respecto a los ejes coordenados, existe Con respecto a los planos coordenados existed) Secciones paralelas a los planos coordenadosx2y2k 2

Al plano XY, se hace z = k;

a2b2c2

, familia de elipses.

z2x2k 2

-Al plano XZ, se hace y = k;

c2a2b2

, familia de hiprbolas.

z2y2k 2

Al plano YZ, se hace x = k;

c2b2a2

, familia de hiprbolas.

OTRAS VARIANTES

5. SUPERFICIES CILNDRICASLlamaremos superficies cilndrica a la superficie que es generada por una recta que se mueve a lo largo de una curva plana dad, de tal manera que siempre se mantenga paralela a una recta fija dad que no est en el plano de dicha curva.

La recta mvil se llama generatriz y la curva plana se llama directriz de la superficie cilndrica.

Si la generatriz de una superficie cilndrica es perpendicular al plano de la directriz; la superficie se llama cilindro recto, en caso contrario cilindro oblicuo.

6. DETERMINACIN DE LA ECUACINDE UNA SUPERFICIE CILNDRICA

(1)Consideramos la directriz en uno de los planos coordenados por ejemplo, tomamos el plano YZ, entonces la ecuacin de la directrizF(y,z) 0

es:

D :

x 0

Si p(x, y, z) es un punto cualquiera de la superficie, cuya generatriz tiene por nmeros directores [a, b, c] y si p(0, y, z) es el punto de interseccin de la directriz que pasa por el punto p(x,y,z) entonces el punto p(0,y,z) satisface a la ecuacin de la directriz

F(y', z') 0D : x ' 0

G : x 0 y y ' z z ' abcY la ecuacin de la Generatriz es dado por:

(2)

De las ecuaciones (1) y (2) al eliminar x, y, z se tiene la ecuacin de la superficie cilndrica.

7. SUPERFICIE CNICALlamaremos superficie cnica a la superficie que es generada por una recta que se mueve de tal manera que siempre pasa por una curva plana dada fija y por un punto fijo que no est contenido en el plano de la curva fija dada.

La recta mvil se llama generatriz y la curva fija dada directriz y el punto fijo se llama vrtice de la superficie cnica.

El vrtice divide a la superficie cnica en dos porciones cada una de los cuales se llama hoja o rama de la superficie cnica

8. DETERMINACIN DE LA ECUACIN DE LA SUPERFICIE CNICAConsideremos la ecuacin de la directriz en uno de los planos coordenados, por ejemplo en elF(y,z) 0

plano YZ, cuya ecuacin es D :

x 0

y el

vrtice V (x0 , y0 , z0 ) .

F(y', z') 0D : x ' 0Como P(x,y,z) pertenece a la directriz, por lo tanto lo satisface, es decir:

... (1)

x x0y y0z z0G :x 'x0y 'y0z ' z0La ecuacin de la generatriz que pasa por V y p es dado por:

(2)

De las ecuaciones (1) y (2) al eliminar los parmetros x, y, z se obtiene la ecuacin de la superficie cnica.

9. SUPERFICIES DE REVOLUCINLlamaremos Superficie de revolucin a la superficie que es generada por la rotacin de una curva plana de una recta fija contenida en el plano de esa curva.La curva plana se llama generatriz y la recta fija eje de revolucin eje de la superficie.

Por el punto p(x, y, z) se hace pasar un plano perpendicular al eje de revolucin, la interseccin de la superficie con el plano es una circunferencia.Si c es el punto de interseccin del plano con la recta L y Q es el punto de interseccin con la curva C entonces se cumple d(P,C) = d(Q,C) que es la ecuacin de la superficie de revolucin.Si la superficie de revolucin es obtenida por la rotacin de una curva que est en uno de los planos coordenados alrededor de uno de los ejes coordenados, su ecuacin se determina mediante el siguiente cuadro:

Ecuacin de la GeneratrizEje de RevolucinEcuacin de la superficie

z = f(y); x = 0Eje Yx2 z2 f ( y)2

x = f(y); z = 0Eje Yx2 z2 f ( y)2

z = f(x); y = 0Eje Xy2 z2 f ( y)2

y = f(x); z = 0Eje Xy2 z2 f ( y)2

y = f(z); x = 0Eje Zx2 y2 f ( y)2

x = f(z); y = 0Eje Zx2 y2 f ( y)2

Ejemplo: Hallar la ecuacin de la superficie de revolucin engendrada al girar la curva dada alrededor del eje sealado.E : x y 2 en el plano y z al rededor del eje y.Solucin

Sabemos que:

x y 2

es una curva en el plano

x y cuyas ecuaciones son:

f x, y 0

, z 0

............................................(1)

tambin que si una curva rota alrededor del eje y entonces la funcin

generatriz tiene la forma:

x2 z2

f

y 2 ....................(2)

Adems

P x, y, zS

y que el paralelo que pasa por P corta a la generatriz G en un

punto del plano: x y es

Px, y, zy su centro es C que pertenece al eje x ( ver

figura ) . Por ser radios del mismo paralelo se tiene que:

CP

CP

pero

y 2z 2CP por la ecuacin (2) y tambin

CP

y

y

y 2 z 2

................................................(3)

Adems P

Pestn en el mismo plano entonces:

Como

xx .......................................................................(4)PG (generatriz que tiene la forma de la ecuacin (1)

f x, y0Por eliminacin de parmetros

;x,

y,

z0................................. (5)zentre la ecuaciones 1,2,3,4,5

Obtenemos:

f x ,

y 2 z 2 0

Luego reemplazamos en la curva dada:

x y 2 se tiene:

y 2z 2x 2y 2 z 2 4

x 2 y 2 z 2 4

x 2El cual representa un cono

10. TRASLACIN DE EJESLa Traslacin de ejes en el espacio tridimensional se realiza en forma similar que la traslacin en el plano cartesiano; si O(x0, y0, z0) es un punto en el sistema cartesiano OXYZ, entonces en el punto O(x0, y0, z0) construiremos el nuevo sistema oxyz de tal manera que los rayos positivos de los nuevos ejes sean

paralelos y tengan el mismo sentido que el sistema cartesiano original, es decir, en la forma:

Un punto p en el espacio correspondiente al sistema OXYZ, se tiene por coordenadas a (x, y, z) es decir p(x, y, z) y el sistema OXYZ tiene por coordenadas a (x, y, z) es decir p(x, y, z). La relacin entre estas coordenadas esta dada por:

x x0 xy y0 y

0z z z

11. ROTACIN DE LOS EJES EN UNO DE LOS PLANOS COORDENADOS Veremos la rotacin de los ejes de los planos coordenados mantenindose el otro fijo y el mismo origen.Suponiendo que efectuamos una transformacin de coordenadas del plano XY en otro sistema XY en donde se mantiene fijo el origen y los ejes X e Y son obtenidos rotando los ejes X e Y en forma antihoraria en un ngulos como se ilustra en la figura.

Esta transformacin en el plano XY es:

Cada punto p tendr dos representaciones una en coordenadas (x,y) con respecto al sistema original otras en coordenadas (x, y) con respecto al nuevo sistema.

Ahora determinaremos la relacin (x,y) y(x, y), para esto tracemos las rectas OP, AP y BP (ver figura)

Se observa que x OA ,y AP ,xOB ,yBP

Luego el triangulo

OAP

se tiene:

x OP cos ,

y OPsen , donde

x OP coscos OPsenseny OPsencos OPsencos

(1)

En el triangulo OBP

se tiene:

xOP cos, y OPsenx xcos ysen

(2)

Ahora reemplazando (2) en (1) se tiene y xsenycosxx cosysen

al resolver el sistema

se tiene:

yx cos ysen

(3)

Por tratarse del plano XOY veremos el caso de la ecuacin de segundo grado:Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0, donde A, B, C no nulos simultneamente.

Como

x xcos ysen,

y xsen ycos

se tiene:

A(xcosysen)2 B(xcosysen)(xsenycos) C(xsenycos)2 D(xcosysen) E(xsenycos) F 0

B cos 2A C sen2 cos 2sen2

A CB

ctg 2A CB

desarrollado y simplificando se tiene:Acos2 BsencosCsen2x2 Asen2BsencosC cos2 y2 B cos 2Asen2Csen2xyD cosEsenxE cos D cosyF 0

Como el coeficiente de xy debe ser cero, entonces se tiene:B cos 2Asen2Csen20 de donde:

B cos 2A C sen2 cos 2A C

por lo tanto ctg2A C

que es la

sen2BBrelacin para obtener el ngulo de rotacin.

Rotacin de los ejes coordenados rectangulares en el espacio:Si hacemos girar los ejes coordenados rectangulares en torno de su origen O

como punto fijo de manera que los ngulos directores de los nuevos ejes respecto a los originales x , y , z sean:

x, y, z

con

1 , 1 , 1

;2 , 2 , 2

;3 , 3 ,

3 , respectivamente, y las coordenadas de un

puntocualquieraPdelespacioantesydespusdelarotacinson

x, y, zy

x, y, z

respectivamente, entonces las ecuaciones de transformacin de

las originales a las nuevas son:x xcos 1 ycos

2 zcos 3

T : y x cos

z x cos

1ycos 1ycos 2

2 zcos 3 zcos 3

....................................................(1)

y las ecuaciones de la transformacin inversa de las coordenadas nuevas a las originales son:

x

x cos 1y cos 1z cos 1

T : y

z

x cos x cos

2 y cos 3y cos

2 z cos 3z cos

2 ....................................................(2)3

22Se observa que el sistema formado por (1) incluye 9 coeficientes variables, que son los cosenos de los ngulos directores de los nuevos ejes en relacin a los antiguos. Estos coeficientes no son entretanto independientes, estando ligados por las siguientes relaciones:

cos 2

1 cos

1 cos

11

T cos 2

c2 os

2 cos

223 cos

2 cos

223 cos

2 1 .........................................................................(3)3 1

y , por ser los ejes perpendiculares entre si:

cos

1 cos

2 cos

1 cos

2 cos

1 cos

2 0

,xy

cT : os cos

1 cos cos

3 cos cos

1 cos cos

3 cos 1 cos

cos cos

3 0 0

, xz, yz

........(4)

23

2323

De manera que es necesario que se den por lo menos tres ngulos directores para que el sistema est constituido por las frmulas de transformacin queda determinado y se pueden calcular las nuevas coordenadas en funcin de las antiguas viceversa.Transformacin General

0Combinando los dos casos anteriores, este es, una translacin de los ejes que

transporte el origen hacia el punto

Ox

, y0

, z0

y una rotacin de manera que los

ngulos directores de los ejes finales

O x, O y, O zen relacin a los semiejes

O x, O y, O zsean los indicados en el artculo anterior se tiene:x x0 xcos 1ycos 2zcos 3

T: y

y0 xcos 1ycos 2zcos 3 ...................................................(5)

0z z xcos

1y cos

2zcos 3

Obs: Como las frmulas generales de transformacin de coordenadas son funciones lineales de las variables, se concluye que la ecuacin de una superficie o de una lnea en el espacio no cambiar de grado o de orden ante cualquier transformacin que sufran los ejes coordenados.

COORDENADAS CILNDRICAS Y ESFRICASEl sistema de coordenadas cilndricas, un punto en el espacio tridimensional est representado por la Terna coordenadadonde y son las coordenadas polares de la proyeccin de en el planosal punto .

Para convertir de coordenadas cilndricas a rectangulares, emplearemos las ecuaciones:x rCos y rSenz zMientras que para convertir de coordenadas rectangulares a cilndricas usamos:r 2 x 2 y 2Tanyxz zEjemplo:1.- Determine el punto con coordenadas y encuentre sus coordenadas rectangulares.x 2Cos120 1

3y 2Sen120 1.732 z 1

P (1,

3,1)

2.- Encuentre las coordenadas cilndricas del punto (3,-3,-7)

Tan1 3

45

3

r 32 32

18r 4.2426z 7

P

18,/ 4,7

COORDENADAS CILNDRICAS

Las coordenadas cilndricas son tiles en problemas que tienen simetra alrededor de su eje, en ese caso se selecciona el eje z de manera que coincida con el eje de simetra.

Por ejemplo el eje de un cilindro circular con ecuacin cartesiana

x2 y2 c2

es el eje

. En las coordenadas cilndricas, este cilindro tiene ecuacin nombre que recibe como coordenadas cilndricas.

r c . Esta es la razn del

Ejemplo:3.- Encuentre la ecuacin en coordenadas cilndricas de un elipsoide 4x2 4 y2 z2 1.x2 y2 r 2Sabemos queRetomando la ecuacin de la elipsoidez2 14x2 4 y2z2 14x2 y2 z2 14r 2 comor c z2 14c2Ecuacin del elipsoide en coordenadas cilndricas.

COORDENADAS ESFRICAS

Las coordenadas esfricas de un punto en el espacioUn sistema de coordenadas esfricas se aplica en un problema donde hay simetra alrededor de un punto y el origen se pone en ese punto. Por ejemplo, la esfera con centro en el origen de radio tiene la ecuacin ; esta es la razn por la cual reciben el nombre de coordenadas esfricas.

Sabemos que

x rCos

y y rSen

; de modo que para convertir de coordenadas

esfricas a rectangulares empleamos las ecuaciones:x SenCos y SenSen z Cos

Del mismo modo, la frmula de la distancia muestra que

2 x2 y2 z2 .

Ejemplo:

4.- Dado el punto rectangulares.

2,

4 ,

3 . Hallar el punto y encontrar sus coordenadas

x SenCosx 2Sen60Cos45x 1.2247

y SenSeny 2Sen60Sen45y 1.2247

z Cosz 2Cos60z 1

2Re c3 ,

3 ,12

5.- El punto 0,2

3,2est dado en coordenadas rectangulares. Encuentre sus

coordenadas esfricas.

02 2 32 22

12 4z Cos1 2

16 4

Cos460

PROBLEMAS DE SUPERFICIES EN R3

1. Hallar la ecuacin de la esfera que estn en los planos paralelos 6x 3y 2z 35 0 , 6x 3y 2z 63 0 . Sabiendo que el punto P(5,-1,-1) es el punto de contacto de uno de ellos.

Solucin

Sea Sea

L 5, 1, 1t(6, 3, 2) / t RAL P2 AL AP2

Si AL A5 6t, 13t, 12t

Paraalgnt R , como

A P2

entonces:

65 6t 313t 212t 63 0de donde:

t 2 , Ay p

A(7,5,3) , como c es punto medio de

se tiene: c 5 7 , 15 , 13 c 1, 2,1222

Adems, r = d(c,p) =7 por lo tanto:

E : x 12 y 22 z 12 49

2. Hallar la ecuacin del plano tangente a la esfera x2 +y2 + z2 = 49 en el punto M(6,-3,-2)SOLUCION

OM // N pero OM M O 6, 3, 2Luego N 6, 3, 2 entonces la ecucin del plano tangente en M ser;P : N.x 6, y 3, z 20P : 6x 3x 2z 49 0

3. Demostrar que el plano 2x 6y + 3z 49 = 0, es tangente a la esfera x2 + y2 + z2 = 49. Calcular las coordenadas del punto de contacto

SOLUCIONSi P : 2x 6 y 3z 49 0 es tangete a la esferax2 y2 z2 49 entonces d C, Pr C : Centro de la esfera 0, 0, 0r : radio de la esfera 7d C, P| 2(0) 6(0) 3(0) 49 | 49 74 36 949Por lo tanto P es tangente al PlanoPara hallar el punto de contacto. Hallamos la recta que pasa por el centro y el punto de contacto, que por definicin tendr como vector direccional el vector normal del plano

tangente:

L t 2, 6,3/ t Rintersectando L con el plano2(2t) 6(6) 3(3t) 49 0 4t 36t 9t 49 t 1P0 2, 6,3

4. Hallar la ecuacin del cilindro cuyas generatrices son paralelas al vectorx2 y2 9a 2, 3, 4, si las ecuaciones de la directriz son: z 1

SOLUCIN

x2 y2 9 Sea D : z 1

. la directriz.

Sea Px, y, zD

x '2 y '2 9

entonces la satiface D : z ' 1ahora calculamos la generatriz, es decir:G : x x ' y y ' z z ' ,

...(1)

234de donde G : x x ' y y ' z 1 ...(2)234

Eliminando los parmetros x, y de la ecuaciones (1) y (2)

x x ' z 1

x ' 2 x z 1

Luego de la ecuacion (2) se tiene 24

2...(3)

y y ' z 1

y ' 4 y 3z 3

reemplazamos (3) en (1) y se tiene:22

344

2x z 1

4 y 3z 3

49

4 2x z 12 4 y 3z 32 144

2416x2 16y2 13z2 16xz 24yz 16x 24y 26z 131

5. Hallar la ecuacin de la esfera que pasa por las circunferenciasx2 z2 25, y 2; x2 z2 16, y 3

SOLUCIN

Con los datos haremos un grfico para visualizar el planteamiento del problema

Del grafico se tiene A(0,2,5) en el Triangulo ACD.

2 b2 252 3 b2 16

r2 2 b2 252 tambin tanto al igualar se tiene.b 2

r2 3 b2 16 por

Luego el centro es C 0. 2, 0y el radio r2 41x2 y 22 z2 416. Hallar la ecuacin de la esfera que pasa por las circunferencias x2 +y2 =25, z = 2; x2 +y2 =16, z = 3SOLUCIN

Sea C el centro de la esfera de radio R luego en el

ACD :

R2 3 a2 25

En el CBE : se obtiene: Luego igualando se tiene:

R2 3 a2 16

2 a2 25 3 a2 162a 4 de donde a 2Luego el centro es C(-2,0,0) y el radio R2 = 41 por lo tanto la ecuacin de la esfera es:x 22 y2 z2 417. Encontrar la ecuacin del cono, con vrtice en el origen, cuyas generatrices hacen un ngulo de 300 con el vector unitario que forman ngulos iguales con los ejes X, Y, Z. SOLUCIN

Por datos del problema se tiene: u= (cos,cos,cos)como cos2cos2 cos21 puesto que coscoscos

3cos21

cos 3

u

3 1,1,1

23

Sea r x, y, z el vector de posicin de un punto cualquiera del cono, como por dato se tiene entonces. r.u || r || . || u || cos 30o

x, y, z

3 1,1,1

x2 y2 z2 . 3

32

x2 y2 z21 x y z 32

2 x y z 3

x2 y2 z2

8. Hallar la ecuacin del cono que tiene el vrtice en el punto (0,0,C); si las ecuaciones22

de la directriz son

x ya2b2

1, z = 0

x2y2

Sea D : a2 b2

z 0

1, la curva directriz. Si P ' x, y, z D

entonces lo satisface

x '2D : a

y '21b

...(1)

22

z ' 0Ahora calcularemos la ecuaci{on de la generatriz donde V0,0,Ces el vrtice de la

superficie cnica. G : x 0

y 0 z c

y como z' 0

x '0 y '0

z 'c

9. Una vez comprobado que el punto M(1,3,-1) esta situado en el paraboloide hiperblico 4x2 z2 = y, hallar las ecuaciones de sus generatrices que pasa por el punto M. SOLUCIN

Sea H : 4x2 z2 y

M 1, 3, 1Hy

4 1 3

de donde:

L1: 2x z k 2x z kyL2 : 2x z k 2x z k

...(1)

...(2)

de la ecuacin (1) 2x z k

2 1 k

k 1

L1 : 2x z 1

2x z y

L1 :

x y 1 14

z 1

2

de la ecuacin(2), 2x z k y

2 1 k

k 3

L2 : 2x z 3

2x z 3

L2 : z 2x 3 y 12x 9

x, y, z L2 x, y, z x,12x 9, 2x 30, 9, 3x 1,12, 2L : x y 9 z 32 1122

10. Hallar la ecuacin del cono que tiene el vrtice en el origen de coordenadas, si lasx2 2z 1 0ecuaciones de la directriz son: y z 1 0SOLUCION

x2 2z 1 0 Sea D : y z 1 0

x '2 2z '1 0 s P'(x',y',z') D : y 'z '1 0

...(1)

La ecuacin de la generatriz es: G : x 0

y 0 z 0

de donde G : x x '

y zy 'z '

.....(2)

x ' 0

y ' 0

z '0

de las ecuaciones (1) y (2) eliminamos los parmetros x',y',z'

x z

x ' xz '

x'

z ' z

y z

y ' yz '

yz 'zremplazando (3) en la ecuacin y'+z'+1=0

Ahora reemplazamos (4) en x'-2z'+1= 0, se tiene: (

x z-y

)2

2z z y

1