Ondas transversales en una cuerda

Problema 1. Una cuerda uniforme de 2,5 m de longitud y 0,01 Kg de masa se somete a una tension de 10 N.Calcular la frecuencia de vibración de la cuerda.

Resp: 10 Hz.

Problema 2. Una cuerda de 4 m de longitud se fija por sus extremos y se le hace vibrar. La rapidez de las ondassobre la cuerda es de 20 m/s. Hallar su frecuencia de vibración.

Resp: 2, 5 Hz.

Problema 3. La longitud de onda de una cuerda de una guitarra es 60 cm y vibra a 245 Hz.

a) ¿ Cual es la rapidez de las ondas transversales sobre la cuerda?

b) Si la densidad lineal es de 0,001 kg/m, ¿ Cual es la tensión aplicada?

Resp:a) 294 m/seg, b) 86, 6N.

Problema 4. La ecuación de onda transversal que se mueve a los largo de una cuerda viene dada por:

y = 0,3 sin(π(0,5x− 50t))

en donde y y x están en cm y t en seg. Hallar la amplitud, la longitud de onda, el numero de onda, la fre-cuencia, el periodo y la velocidad de la onda. Hallar la velocidad transversal máxima de cualquier partícula enla cuerda.

Resp: 0, 3m, 4m, π/2 1/m, 25 Hz, 0, 04 seg, 100 m/seg, vmax = 15π m/seg.

Problema 5. La ecuación de una onda, en unidades del S.I., que se propaga por una cuerda es: y(x, t) =0, 05 cos 2π(4t− 2x).

a) Determinar las magnitudes características de la onda (amplitud, frecuencia angular, número de onda,longitud de onda, frecuencia, periodo, velocidad de propagación).

b) Mostrar las expresiones generales de la velocidad y aceleración transversal de un elemento de la cuerda ysus valores máximos.

c) Determinar los valores de la elongación, velocidad y aceleración de un punto situado a 1 m del origen enel instante t = 3 s.

Resp: a) Amplitud = 0, 05 m, frecuencia angular = 8π rad/s, k = 4π 1/m, λ =2π, frecuencia = 4 Hz, periodo= 0, 25 s, velocidad de propagación= 2 m/s, b) vmax = 0, 4π m/s, amax=3, 2π m/s2, c) 0,05 m, 0 m/s, −3, 2πm/s2.

Problema 6. Se agita el extremo de una cuerda con una frecuencia de 2 Hz y una amplitud de 3 cm. Si laperturbación se propaga con una velocidad de 0, 5 m/s, escribe la expresión que representa el movimiento porla cuerda.

Resp: y = 0, 03 cos 4π(t− 2x).

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Problema 7. Una onda transversal de 1 cm de amplitud y 100 Hz de frecuencia se propaga a lo largo del ejede abscisas con una velocidad de 20 m/s. Escribe la expresión de la elongación, velocidad y aceleración de unapartícula situada a 10 cm del foco. ¿ En qué instante alcanza esa partícula los valores máximos de las expresio-nes anteriores?

Resp: x = 10−2 cos(2π(100t−0, 5)), xmax en t = 5.10−3 seg,v = −2π sin(2π(100t−0, 5)), vmax en t= 1, 25.10−2

seg, a = −400π2 cos(2π(100t− 0, 5)), amax en t= = 10−2 seg.

Problema 8. La ecuación de una onda que se propaga transversalmente por una cuerda expresada en unidadesdel S.I. es: y(x, t) = 0, 06 cos 2π(4t− 2x).

a) Determinar el periodo y la longitud de onda.

b) Calcular la diferencia de fase entre los estados de vibración de una partícula cualquiera de la cuerda enlos instantes t = 0 s, t = 0, 5 s y t = 0, 625 s.

c) Representar gráficamente la forma que adopta la cuerda en los instantes anteriores.

d) Hallar la diferencia de fase entre los estados de vibración en un instante para las partículas situadas en lasposiciones x = 0 m, x = 1 m y x = 1, 25 m.

e) Representa gráficamente los movimientos vibratorios de las partículas anteriores.

Resp: a) 0,25 seg, 0,5 m, b) 4π rad, 5π rad, c) 4π rad, 5π rad.

Problema 9. Un silbato emite una frecuencia de 4300 Hz y produce una onda cuyo valor máximo de presiónes por encima del valor ambiental 4× 10−2. La onda se propaga en el aire a 344 m/seg. Determinar la expresiónmatemática de la onda. Realizar hipótesis si es necesario.

Resp: 4× 10−2 cos(25πx− 8600πt).

Problema 10. Un hilo de caucho tiene una longitud de 1 m y masa 30 gr. Para doblar su longitud se necesitauna tensión de 4 N.

a) Calcular la constante característica del hilo de caucho.

b) Si el hilo se estira 1,5 m, ¿ Cuál es la velocidad de propagación de las ondas en él?

Resp: a) 4 N/m b) 10 m/seg.

Problema 11. Una onda armónica transversal se desplaza hacia la derecha (x > 0) con una amplitud de 4 cm,longitud de onda 4 cm y a una frecuencia de 8 Hz. Determinar:

a) La velocidad de propagación.

b) La fase inicial si en x = 0 cm y t = 0 seg, la elongación es −2 cm.

c) La expresión matemática de la onda.

d) La distancia que separa a puntos x que oscilan con una diferencia de fase de π/3 radianes.

e) El intervalo de tiempo para que haya un desfasaje de π/3 radianes.

Resp: a) 32 cm/seg, b) −π/6 rad, c) 4 cm sin(16πt− π/2x− π/6), d) 0,6 cm, e) 0,024 seg.

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Problema 12. Se cuelga de una cuerda de 2 m de longitud y 4 gr. de masa, una masa de 2 Kg. Hallar la velo-cidad de propagación de las ondas. Hacer hipótesis si es necesario. Suponiendo un tipo de solución armónicacon amplitud máxima de 0,1 cm y longitud de onda 0,3 m. Calcular la velocidad máxima transversal de la cuerda.

Resp: 99 m/seg, 2,07 m/seg.

Problema 13. Un acuerda es tensada por un peso de 20 Kg. dentro de un pozo que tiene 80 m de profundidady la masa de la cuerda es de 6 Kg. Un geologo manda señales por la cuerda a su colega en la superficie a 2 Hz.Calcular la tensión de la cuerda, la densidad másica lineal, la velocidad de propagación y la longitud de onda.Si es necesario realizar hipótesis. ¿ Qué pasa si se considera el peso de la cuerda?

Resp: 196 N, 0,075 Kg/m, 51,1 m/seg, 25,6 m, aumenta la tension, la velocidad y la longitud de onda a fre-cuencia constante, v = 58,3 m/seg.

Problema 14. En la figura adjunta las densidades lineales de las cuerdas 1 y 2 son 3,31 gr/m y 4,87 gr/m,respectivamente. Se encuentran bajo tension por una masa de 511 gr. El sistema se encuentra en equilibrio.

a) Calcular la velocidad de propagación de las ondas cuando las tension de las 2 cuerdas son iguales.

b) En la figura b) la masa de 511 gr se divide en 2, m1 y m2. Encontrar los valores de m1 y m2 tales que lasvelocidades de las cuerdas son iguales.

Resp: a) v1 = 27,5 m/seg, v2 = 55,67 m/seg, b) m1 = 206,8 gr, m2 = 304,2 gr.

Problema 15. Una onda con una frecuencia de 200 Hz y una amplitud de 1,2 cm se mueve en un cuerda conuna masa de 0,06 Kg. La tension aplicada a la cuerda es de 50 N. La longitud de onda es 20 m. Calcular la energíay potencia total de la cuerda. Ayuda: calcular la energía cinetica y potencial de un movimiento armónico simple.

Resp: 13,64 joules, 88,06 joule/seg.

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