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Cap 7
Intervalos de Confianza
Mate 3015
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INTERVALOS DE CONFIANZA
PARA UNA PROPORCIÓN
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Ahora discutimos estadística inferencial -el proceso
de generalizar la información obtenida de una
muestra de una población.
El area de la estadística inferencial en el cual
trabajaremos se conoce como estimación: se
utilizan datos de la muestra para estimar el valor
de algún parámetro desconocido
Estadísticas inferencial
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Un estimador es un valor que puede calcularse a
partir de los datos de la muestra y que
proporciona información sobre el valor del
parámetro.
Un estimador puntual es el valor de un
estadístico que estima el valor real de un
parámetro.
Por ejemplo, la media muestral, 𝑥, es un
estimador puntual de la media poblacional .
Estimador
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Monedas de un centavo acuñadas después de 1982 son de
97.5% de zinc y 2.5% de cobre. Los siguientes datos
representan los pesos (en gramos) de 17 de estos
centavos seleccionados al azar.
2.46 2.47 2.49 2.48 2.50 2.44 2.46 2.45 2.49
2.47 2.45 2.46 2.45 2.46 2.47 2.44 2.45
Tratando los datos como una muestra aleatoria simple,
calcule un estimador puntual para la media poblacional
de los pesos de monedas de un centavo acuñadas
después de 1982.
Ejemplo 1: Calcular un estimador puntual
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El estimador puntual para la media poblacional es
El estimador puntual para es
Solución
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Sabemos que estadísticos como 𝑥 varían de una muestra
a otra.
Por ejemplo, una muestra aleatoria diferente de 17
monedas podría dar lugar a una estimador puntual
diferente de la media de la población.
Por lo tanto, resultaría más útil saber cuán bueno es
nuestro estimado.
Con este fin, se construye un intervalo de confianza
que consiste de un intervalo de valores, y una cierta
probabilidad de que ese intervalo incluye el
parámetro desconocido.
Intervalo de confianza
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Un intervalo de confianza para un parámetro
desconocido se compone de un intervalo de números.
El nivel de confianza representa la proporción esperada
de intervalos que contendrán el parámetro si se
obtiene un número grande de muestras diferentes.
El nivel de confianza se denota (1-)·100% ,
donde 0<≤0.05.
es el error que estamos dispuestos a permitir.
Intervalo de confianza
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Ejemplo:Si 𝛼 = 0.05
el nivel de confianza es (1 – 0.05)*100% = 95%
Interpretación:
Si se construyen 100 intervalos de confianza
diferentes, cada uno basado en una muestra
diferente de la misma población, esperaríamos
que 95 de los intervalos incluyeran al parámetro
que estamos estimando y que 5 no lo incluyeran.
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Valores críticosBajo ciertas condiciones, si tomamos muchas muestras, la distribución de probabilidad para cierta proporción en las muestrases aproximadamente normal.
Un valor crítico es el número en la escala horizontal que separa los
valores Z que son raros o pocos probables para la proporcion
de los valores que no son raros.
El número z/2 es un valor crítico que separa un área igual a /2 en
el lado derecho de la curva normal, si z es positivo o un área
igual a /2 en el lado derecho de la curva normal si z es
negativo.
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Valores críticos comunes• Tabla 4 muestra algunos de los valores críticos
comunes utilizados en la construcción de confianza
intervalos.
9-11
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Determinar z2 para un nivel
de confianza de 95%
-z2z2
Valores Críticos
2 = 2.5% = .025
= 5%Nivel de confianza 95%
𝑍𝛼
2= 1.96 es el
valor que tiene
97.5% del área
bajo la curva a su
izquierda
Area bajo la curva
a la izquierda de
z=1.96 es 0.9750
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Determine el valor crítico que corresponde con el nivel de
confianza dado.
a) 94%
Ejemplo: Determinar el valor crítico para un nivel de confianza
Usamos 𝛼 = 1 – 0.94
𝛼 = 0.06
Por lo que 𝑍0.06
2
= 𝑍0.03
Buscamos en la tabla el valor que
tiene una cantidad de área igual a
1 – 0.03, o sea 0.97 hacia su
izquierda.
El valor más cercano a 0.9700 es
0.9699 que corresponde a 1.88.
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Determine el valor crítico que corresponde con el nivel de
confianza dado.
b) 80%
Ejemplo: Determinar el valor crítico para un nivel de confianza
Usamos 𝛼 = 1 – 0.8
𝛼 = 0.2
Por lo que 𝑍0.2
2
= 𝑍0.1
Buscamos en la tabla el valor que
tiene una cantidad de área igual a
1 – 0.1, o sea 0.9 hacia su
izquierda.
El valor más cercano a 0.9 es
0.8997 que corresponde a 1.28.
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Definición
Cuando se utilizan datos de una muestra aleatoria simple
para estimar una proporción poblacional p, el margen
de error observado entre el valor real, p y el valor
observado 𝑝, se denota por E.
También llamado el error máximo del estimado se
puede calcular con la siguiente fórmula:
donde z/2 es el valor crítico, 𝑝 es la proporción
estimada y n es el tamaño de la muestra.
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Intervalo de confianza para estimar una
proporción p para una población
1. La muestra es una muestra aleatoria simple.
2. Se satisfacen las condiciones para una
distribución :hay un número fijo de ensayos,
los ensayos son independientes, hay dos
categorías de los resultados, y las
probabilidades se mantienen constantes para
cada ensayo.
3. Hay al menos 5 éxitos y 5 fracasos.
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Intervalo de confianza para
estimar una proporción p para
una población
p – E < < + Eˆ p̂pdonde
Decimos que el intervalo de confianza es
(p – E, p + E)ˆ ˆ
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Ejemplo:
a. Determinar el margen de error, E, que corresponde
a un nivel de confianza de 95%.
b. Hallar un intervalo de confianza, a un nivel de 95%
para la proporción poblacional p.
Una encuesta realizada por el Pew Research Center
poll de 1501 adultos estadounidences seleccionados
aleatoriamente mostró que 70% de los que
respondieron creen en calentamiento global. Para esta
muestra n = 1501 y ˆ 0.70p
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Verificamos:
muestra aleatoria simple
número fijo de ensayos, 1501
ensayos son independientes
dos categorías de resultados(cree o no cree or
does not);
probabilidad constante.
núm. de éxitos y fracasos son al menos
a) Use la fórmula para hallar el margen de error.
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b) intervalo de confianza (95%)
Ejemplo: continuación
ˆ ˆp E p p E
0.70 0.023183 p 0.70 0.023183
0.677 p 0.723
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La proporción de los jugadores
zurdos de béisbol profesional Ejemplo: En una muestra aleatoria simple de 59
jugadores de beísbol, se determina que hay 15 zurdos.
Determinar un intervalo de confianza de 95% alrededor
de esta proporción.
Solución:
– Hay 15 jugadores de béisbol zurdos en la muestra por lo
que la proporción de la muestra es 𝑝 =15
59≈ 0.2542.
– Para construir un intervalo de confianza de 95% usamos
𝑧 𝛼 2 = 1.96.
– Use la fórmula para hallar el margen de error.
𝟎. 𝟏𝟏𝟏𝟏
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La proporción de los jugadores
zurdos de béisbol profesional Cont:
Construir intervalo de confianza
Interpretación
– Si se construyen 100 intervalos de confianza diferentes,
cada uno basado en una muestra diferente de la población
de jugadores de béisbol, esperamos que en 95 de las
muestras, la proporción de jugadores zurdos caiga en el
intervalo.
El intervalo de confianza es
(0.2542 - 0.1111, 0.2542 + 0.1111) = (0.143, 0.365)
ˆ ˆp E p p E
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INTERVALOS DE CONFIANZA
PARA UNA MEDIA
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El margen de error, E, en un intervalo
de confianza de (1-)·100% para el
cual se conoce está dado por
donde n es el tamaño de la muestra
Nota: Requerimos que la población de la que se extrajo la
muestra se distribuye normalmente, o que el tamaño de
las muestras sea mayor o igual a 30.
E z 2
n
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Intervalo de confianza para
estimar una media, 𝝁, para una
población con conocido
𝒙 – E < 𝝁 < 𝒙 + Edonde
Decimos que el intervalo de confianza es
( 𝒙– E, 𝒙 + E)
E z 2
n
7.1 - 26Copyright © 2010, 2007, 2004 Pearson Education, Inc. All Rights Reserved.9-26
Construya un intervalo de confianza de 99% alrededor
de la media poblacional del peso (en gramos) de
mondedas acuñadas después de 1982. Asumir que
=0.02 gramos y que la población se distribuye
normalmente.
2.46 2.47 2.49 2.48 2.50 2.44 2.46 2.45 2.49
2.47 2.45 2.46 2.45 2.46 2.47 2.44 2.45
Ejemplo: Construir un intervalo de confianza
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Buscamos en la tabla el valor Z que tiene un área igual a 0.99 a su izquierda.
Margen de error:
Intervalo de confianza: 𝑥 = 2.464
=(2.464 - 2.575, 2.464+0.012)
= (2.452, 2.476)
Tenemos 99% de confianza en que el peso medio de lasmonedas acuñadas después de 1982 está entre 2.452 y2.476 gramos.
2z
nz
2 012.0
1702.0575.2
),( ExEx
01.02
02.0 zz
575.201.0 Z