cap 6
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Dinámica del flujo no viscoso incompresible
Todos los fluidos reales poseen viscosidad. sin embargo, muchas veces secomportan corno si no la tuvieran. Por esta razón, resulta útil conocer la di-námica de un fluido ideol q,s,e se supone incompresible y carente de viscosi-dad. EI análisis del movimienro de un fluido ideal es mfu simple que el de unflujo viscoso debido a que no existen esfuerzos cortantes. Los esfuerzosnormales son los únicos que se deben considerar en dicho análisis.
6.I CAMPO DE ESTUERZÜS EN UI\ rLUJO NO VISCOSO
si aplicamos la segunda ley de Newton al elemento de masa mostrado en lafigura 6-1, podemos demostrar que el esfuerzo normal en un punto es elmismo en todas las direcciones, es decir, el esfuerzo normal en un puntoconstituye una cantidad escalar. Escribienclo la segunda ley de Newton en ladirección ¿ se puede incluir a las fuerzas superficiales y u lur fuerzas volu-métricas,
dF,: dFs.+ dFa": dma"
Teniendo en cuenta los esfuerzos mostrados en la figura 6-1, se obtiene, alsubstituir en la ecuación anterior,
- o,, tlx dy + onn¿,/s ¿/xsena - dx dv dz tlx dv dzPu , :pj-a,
Puesto que
:dyds.'
sen fl
265
266 DINAIVíICA DEL FLUJO NO VISCOSO IN\COMPRESIBLE
. dtdvd¿y="y 2-
l-"rI o,¿
I
,,,I
Flg. &1, Elemenlo dilorencial ds masa en un flujo ri{) !15üo$o.
resulta entonÜes
- o--¿\ tl\' + o,,,,¿/,r'¿/t' '- ,,r, '!: !l':l'' -= ,,'l "t'" ,,-
Af dividir entre dxd),, se obtiene
l: dz-o,= 'l' ún, - l(l 'a' : t) a t.l-
Teniendo en cuenta que dz es infinitamente pequeña, resulta
0rr: on,
De manera análoga, escribiendo la segunda ley de Newton en la direcciÓn 1'
se obtiene oyy: 6nn. En consecuencia, resulta finalmente
o-.: 6).',: 6,rn
Como la forma del elemento (es decir, la superficie ds) se escogió arbitra-riamente, se puede concluir que para un fluido tlo vi§coso en movimiento, el
esfuerzo normal en un punto es el mismo en todas las direcciones (es decir,se tr¿ta de una cantidad escalar). El esfuerzo normal en un flujo no viscoso
es la presión termodinámica con signo negativo, o,n : - ¡r.(Este resultado es
consistente con las ecuaciones 5.30 para p : 0.)
6.2 ECUACION DE LA CANTIDAD DE MOVTMIENTO PARAUN FLUJO SIN ROZAMIENTO: ECUACIONES DE ET.JI,ER
Las ecuaciOnes de movimiento para un flujo sin rozamiento, llamadas
ecuaciones de Euler, se obtienen fácilmente de las ecuaciones generales de
movimiento (ecuaciones 5.29). Puesto que en un flujo sin rozamiento no
DINAMICA DEL FLUJO NO VISCOSO INCOMPRESIBLE 267
puede haber esfuerzos cortantes y el esfuerzo normal está constituido por la
presión termodinámica con signo negativg, entonces las ecuaciones de mo-
vimiento para este caso se reducen a
,,o.-11:, (:; -,lX +,+-,:)
or, -"!r:, (;., ::, n.J .
',. #)
,,r, -!:, (:: ., l: *, * ",'I)
(6.1a)
(6.1b)
(6.1c)
Podemos escribir también las ecuaciones anteriores como una sola ecuaciÓn
vectorial
es decir,
. l ¡i. lv tl ,'/\¡,8 -Yp:r(1, r, ¡; n r¡r, + "' i)
.DVpB-YP:t,
Para el caso en el que la única fuerza volumétrica sea la debida a la grave-
dad, entonces dicha fuerza por unidad de masa, á, resulta igual al vector
aceleración de la gravedad, 1i, escribiéndose la ecuación 6.2 como
DVps-Yp:o * (6.3)
Si en particular, la coordenada z se dirige verticalmente, se tiene entonces,
Yz:R,y pA: -psi': -psYzresultando para la ecuación de Euler
IDV- YP-gYz: - -P Dt (6'4)
La ecuación de cantidad de movimiento para un flujo sin roz¿mientopuede escribirse también en coordenadas cilindricas. Las ecuaciones com-ponentes, con la gravedad como única fuerza volumétrica, son
(:6.2)
ltpu,-- ^:(1,:p(rlip
9t - a;,: (tt :l,r ('1,
lv, * ,lv, *v!lV, *,l1V: -Vi¡r-"r'rtl,.o-"¡r*7lvo ..ivu vn?v,t ,,?vo YVo-'Fr- - + ^.+v-'^ +--t'l t'r r t'l) (': r
(6.5a)
(6.sb)
268 DTN,4MICA DEL FLUJO NO V¡SCOSO INCCIbÍPRESIBLE
n" _, O, dV_ ñy , VrdV, ,, AV,
Par:u":É+4 ,,r*t;7;nYE (ó'5c)
Si el eje e se dirige verticalmente hacia arriba, entonces f, = go= 0 y g, =-s-Ejemplo 6.1
considérese un flujo en-el cual el campo de velocitrades está dado por ü =Axi * Ayj - 2Azk donde A = | s-r. Demuestre que se traia de un posibleflujo incompresible. Si se supone que el eje e es vertical, ., : f OOO tg/r., yque todas las dimensiones se expresan en metros, carcular el gradiente dcpresión en el punto (1, 2, S).
Problema de ejemplo ó.1
DATOS CONOCIDOS:
Campo de velocidades, ü: Axl + Ay¡ - ZAzk,conA = i.0 s*r.El eje z es vertical y p =1 000 kg/mr.
DETEHMINAR:
(a) Demuestre que er campo de verocidade§ representa un posibre f rujo incompre-s¡ble.
(b) El grad¡ente de presión en (1, 2, S).
SOLUCION:
Ecuaciones fundamentales: V .pú + 0o- =0dt
pÉ-v DVp : p O, (dosprécionse las fuezas viscosas)
Para un fruJo incompresible, ra conservación de ra masa resurtav. ü-0, es decir
':.Y*!r=oLtx dy dz
conü: Axt + Ayl - 2Azk, resulta
t(Ax) , ?(Ayl ,?(_2Az\& * ¡y-*- r-:A+A-2A=o
Por lo tanto, er campo cre verocidades representa un posibre frujo rncomproslbresi la gravedad es ra única f uerza vorumétriea que inrorvreno y er eJe z esrá cririgkrovgrtlcalmente hacia arriba, entonces
pÉ=p§=*psk
DINAMICA DEL FLUJO NO VISCOSO INCOMPRESIBLE
Despejando a Vp, en la ecuación de Euler,
269
Yp:-pS¡r- pD#
:-psk*
: * psk - ptAx(Ai) + Ay(Ai) + (-2Az)(-2Ak\1Yp : - plA2xi + Azyj + (4A22 + g)kl
0
-/frv av ¡ü aú1,\rt*uñ*rñ*"ul
,,i.. ( (r-)'u *En el punto (1, 2,5),
vp: - looo ks
[(9' 1'" t* (9 9.81 m \-l N.s2* -;- )*l *n .,."
9pvp= z¡ - zs.ak kN/m2lm
r*6.3 ECUACIONES DE trULER PARA FLUIDOS CONMOVIMIENTO DE CUERPO RIGIDO
En el capítulo 3 establecimos que si un fluido se acelera de tal manera queno exista movimiento relativo entre capas de fluido adyacentes entre si, esdecir, cuando el fluido se mueve sin deformación, entonces no se presentanesfuerzos cortantes. En tales condiciones pudimos determinar la variaciónde la presión dentro del fluido al apricar las ecu4ciones de movimiento a uncuerpo libre seleccionado en forma apropiada. consideramos clos casosespecíficosÍpara una aceleración rectilínea, dedujimos la ecuación diferen_cial del movimienro, ecuación 3.19 y en el ejemplo 3.10 aplicamos dichaecuación a un tanque lleno de agua que se movia como un cuerpo sólido; es-tudiamos igualmente el caso de un flujo estacionario con rotación alrededorde un eje vertical en el ejemplo 3.il y dedujimos las ecuaciones de movi-miento para un elemento de fluido diferencial que efectuaba una rotación.
como las ecuaciones de Euler son las ecuaciones de movimiento para unflujo rozamiento, es decir, un flujo en el que no existen esfuerzos cortantes,constituyen entonces las ecuaciones básicas (escritas en un sistema de coor-denadas apropiados) para resolver probremas de flujo sin rozamiento. sedeja como ejercicio al lector demostrar que empleando las ecuaciones deEuler para resolver los problemas de ejemplo 3.10 y 3.1I se obtienen resul-tandos idénticos a los ya conocidos.
"Esta sección puod6 omitirss sin pordar crnt¡nu¡dad on st t6xto.
270 DTNAM]CA DEL FLUJ) No VTSC)S7 INC)MPRESIBLE
6.4 ECUACIONES DB EULER EN COORDENADAS DELINEA DE CORRIENTE
En el capítulo 2 se señaló que una representación gráfica conveniente estáconstituida por las lineas de corriente, es decir, aquellas líneas dibujadas e¡r
cada punto tangentes al vector velocidad del campo de flujo. En un flujo es-
tacionario una partícula de fluido se mueve a lo largo de una linea decorriente porque para este caso, las trayectorias y las lineas de corrientecoinciden. De este modo, al describir el movimiento de una particula defluido para un flujo estacion¿rrio, la distancia a lo largo de una lí¡lea decorriente constituye una coordenacia lógica para escribir las ecuaciones dcmovimiento. Las "coordenadas de linea de corri0nte" tamtrién pucdcn utili-zarse para describir un flujo no estacionario. En estc caso las lineas decorriente ofrecen una representación gráfica del campo de velocidades ins-tantáneo.
Considérese, por sencillez, el flujo en el plano J,z mostrado en la figura6-2. Se trata de escribir las ecuaciones de movimiento utilizando la coorde-nada s (distancia a lo largo de una linea de corriente) y la coordenacla n (dis-tancia perpendicular a la línea de corriente). Como el vector velocidad debeser tangente a la linea de corriente, elltonces el campo de velocidades estádada por i - ú(., l). l-a presión en el centro del elemento de fluido es ¡-l. Siaplicamos la segunda ley de Newton en la dirección s, al elemento de fluidocuyo volumen es ds dn dx enlonces, despreciando las fuerzas viscosas
(,donde /J es el ángulo entre la tangente a la línea de corriente y la clirecciónhorizontal, y o. es la aceleración de la particula de fluido a lo largo de lalínea de corriente. l-uego de simplificar la ecuación, se obtiene
il,¡r4S€fl/i - ¡rtr,
l_IE
't
:i t) tt,tx *[, . :/', l'),r,,,, - pssent]ttttdxts: pdsdttdxu.
[ áp d"llP-:- :'d.nd¡I d§ 2l
l,. 3:atfo"o,
F19.6.2. Particula d6 flu¡dc mov¡éndose a lo largo de una linea de corriente
DINAMICA DEL FLUJO NO VISCOSO INCOMPRESIBLE
puesto que sen $ : izlls, podemos escribir
li¡ l:^'-ti '':tr'
l' ( 's l s
A lo largo de cualquier linea de corriente l4 : l"(t' l)' y la aceleración total
de una iarticula de fluido en la dirección de la linea de corriente está dada
por
Dl, il, , ,tlit"- r), : if *
" ¡,
L,a velocidad es tangente a la línea de corriente y en consecuencia el
subindice.s utilizado en |,''. es reclundante y se puede eliminar. La ecuación de
Euler en la'direcciÓn de la línea de corriente, con el eje z dirigido vertical-
mente, resulta entonces
217
1 i-/,
p (.§(6.6a)
Para un flujo estacionario y despreciando las fuerzas volumétricas, la
ecuación de Euler en la dirección de la linea de corriente se reduce a
11: iV -.il'-Ll ^:^ *l:
(s tl (.\
l,-P ,rr^j'/, I .\ {'.\
(6.6b)
(, -f ;a),".
que indica que una disminución en ia velocidad va acompañada de un incre-
mento en la presión y viceversa.Podemos ahora obtener la ecuación de Euler en la dirección normal a las
líneas de corriente, aplicando para ello la segunda ley de Newton al elemen-
to de fluido en dicha dirección. Se obtiene, al despreciar las fuerzas viscosas
- (, . :f 'l) ,/s ¿/x - p¡lcos {) tJtt ttx tts : pa,dn ttx cts
donde B es el ángulo entre la dirección n y la vertical, y an es la aceleraciÓn de
la particula de fluido en la dirección n. Simplificada la ecuación, resulta
(^p
itt l)(l coslt: l)uil
Puesto que cos lt : i:lln, se puede escribir
I ¿tp ?:--i -0^-:u"l)(n (11
272 DINA\UTICA DEL FLUJO NO VISCOSO INCAMPRESIBLE
La aceleración normal del elcmento de fluido se dirige hacia el centru clecurvatura de la linea de corriente, es decir, en la dirección r negativa; de estemodo, en las coordenadas de la figura 6-2, la conocida aceleracióncentrípeta se escribe como
ur: : v:
para un flujo estacionario,l ¿ono" n .r1l radio de curvatura cle la linea clecorriente. De este modo, para un flujo estacionario la ecuación de Eulerperpendicular a la línea de corriente se escribe como
(6.7¿)
Para un flujo estacionario en el plano horizontal, la ecuación de Eulernormal a la línea de corriente se reduce a
lep V2
,¡r- R (6'7b)
Ia cual indica que la presión se incrementa en una dirección alejándose delcentro de curvatura de las lineas de corriente. En aquellas regiones dondelas líneas de corriente son rectilineas, el radio de curvatura, R, es infinito ypor consiguiente, no existe variación de presión perpenclicular a las lineas decorriente.
6.5 ECUACION DE BERNOULLI _INTEGRACION DE LASECUACIONES DE EULER A LO LARGO DE UNA LINEA DECORRINNTE PARA UN FLUJO ESTACIONARIO
En párrafos anteriores establecimos las ecuaciones de cantidad de movimien-to y de continuidad en forma diferencial. Teóricamente, para un flujo noviscoso e incompresible estas ecuaciones pueden resolverse obteniéndose loscampos de velocidad y de presión completos. (si la densiclad no es consran-te, se necesita tener en cuenta, adiciclnalmente, una relación termodinámica,)si bien en teoria, estas ecuaciones se pueden resolver, Ia solución para uncampo de flujo particular puede resultar muy laboriosa. sin embargo, po-demos integrar la ecuación de Euler fácilmente para un flujo estacionario alo largo de una línea de corriente. Lo anterior puede lograrse con facilidadsi se utiliza Ia forma de la ecuación de Euler correspondiente a una linea decorriente, expresada por la ecuación 6.6a. El resultado se obtendrá por doscaminos diferentes a fin de lograr un mejor sentido físico respecto a lasrestricciones que deben guardar dichos resultados.
1 si "l
llr¡o fu"r" no eslac¡onario, la confi0uraciÓn d6 lín€as ds cqr¡ente podria variar con 9l tiempo. En este caso
o'= 't * 1Y"R ,.¡
I ?p 11: Yz
;,t*s¿": n
DINAMICA DEL FLUJO NO VISCOSO INCOMPRESIBLE 273
6.5.1 DEDUCCION UTILIZANDOLAS COOHDENADAS DE LINEA DL, coRHIENTE
La ecuación de Euler para un flujo estacionario a lo largo de una linea decorriente está dada por
l0p 0z ..AV-pi,t-u^:'rtSi una partícula de fluido se mueve una distancia ds ade corriente, se tiene
(6.8)
lo largo de una linea
?p; ds : dp (cambio de presión a lo largo de s).
0z
¿, ds : tl: (cambio de nivel a lo largo de s)
AV
- ils: dV (cambio de velocidad a lo largo de s)
De este modo, después de multiplicar ra ecuación 6.g por r/.s, se obtiene
-dP - gtlz: v dvp
Q*nr=+VtlV:o
La integración de esta ecuación permite obtener
flp v2J ¡;ns:+ 2:constante
(a lo largo de s)
(a lo largo de s)
A¡rtes de aplicar la ecuación 6.9 debe especificarse Ia relación que hay entrela presión p y la densidad , p. para er caso especiar de un flujo incompresibre,p = constante, reduciéndose la ecuación 6.9a
(a lo largo de s) (6.9)
V2F ¡¡; + l*
: consranre (a lo largo de una linea de corriente) (6.10)
La esuación 6.10 recíbe el nombre de ecuación de Bernoulti. Muchas vecesse utiliza equivocadamente debido a que no se tienen presentes ras restric-cio,es inrplicadas en su deducción. Asi, es importante recorcrar las suposi-ciones hechas al deducir dicha ecuación. Se tienc;l. Flujo estacionario2. Flujo incornpresibleJ. F'lujo sin rozamicnro4. Flujo a lo largo dc una linea cle corrieulc
274 DINAMICA DEL FLUJo NO VTSCOSO INCOMPRESIBLE
La ecuación de Bernoulli es una ecuación sumamente útil porque rela-
ciona los cambios en presión con los cambios de velocidad y de nivel a lglargo de una linea de corriente. Sin embargo, mediante ella se consiguen re-
sultados correctos sólo cuando se aplica a aquellos casos donde las cuatro
restricciones anteriores se satisfacen razonablemente. Por lo tanto, es nece-
sario tener en cuenta dichas restricciones cuando se utiliza la ecuaciÓn de
Bernoulli. (En general, la constante de Bernoulli que aparece en la ecuación
6.10 tiene diferentes valores para diferentes lineas de corriente.)
.'6-5.2 DEDUCCION UTILIZANDO COORDENADASRECTANGULARES
La forma vectorial de la ecuaciÓn de Euler, ecuaciÓn 6.4, se puede tantbién
integrar a Io largo de una línea de corriente. Como el campo de velocidades,
17, se especifica en términos de las coordenadas rectangulares r, )', l, resulta
conveniente emplear Ia nomenclatura vectorial.2 El estudio aqui realizado se
limita a un flujo estacionario; por Io tanto, el resultado final de nuestro
análisis debe ser la ecuación 6.9.Para un flujo estacionario la ecuaciÓn de Eder en coordenadas rectangu-
lares se escribe comoI DV lV tlV tl'
- pVp - uY=: 'Dt:,,7; +,'1\ + "Tt
Al utilizar la notación vectorialav av avr¿^ *u" +w}-(V'V)V('.\ ('y (t:
(Se sugiere al lector que verifique esta igualdad expandiendo el lado derechrl
de la ecuación 6.ll y utilizando la operaciÓn común del producto punto')En consecuencia, la ecuación de Euler puede expresarse como
1-_:vp-'vz:1ü.vfil)
Para un flujo estacionario el campo de velocidades está dada por V = V(x, -y, z). Las líneas de corriente son lineas trazadas en el campo de flujo tan-gentes en todo punto al vector velocidad. Recuérdese, una vez más, que pa-
ra un flujo estacionario las lineas de corriente, las trayectorias y las lineas de
emisión, coinciden. El movimiento de una partícula a lo largo de una linea
de corriente satisface la ecuación 6.12. En el incremento del tiempo dl, lapartícula se mueve una distanciads a lo largo de la linea de corriente.
Si se toma el producto punto de los términos de la ecuaciÓn 6.12 por ladistancia d§ a lo largo de una linea de corriente, se obtiene una ectlaciÓn es-
"E8la socclón pugdo omitlrlo 3ln p€rdor conllnuidad gn al toxto.
2 Utili."l"no" 18 lÓmul8 vaclorlál
tú vlú - jl'rú úr ú " iv , út
qu6 !a puado verilicar al sxp¡ndtr cads mlombro de la ec€ción 6n sus compononlss (vóaso ap6ndics C)
(6.rI)
(6.12)
DINAMICA DEL FLUJO NO VISCOSO INCOMPRESTBLE N5
calar que relaciona la presión p, la velocidad, V y el nivel, z, a lo largo deuna linea de corriente. Tomando cururrces el producto punto de ds y laecuación 6.12, se obtiene
-lar-.,rn ^w-.s*-t'-Yp. di - sYz- ds : (V .V)V . ds (6.13)
donded§: dxi + dyj + dzfr (a lo largo de s)
Ahora bien, debemos calcular cada uno de los tres términos que intervienenen la ecuación 6.13.
-'¡r, ;,r: -ll,*. tui,. uu#f ,*, + dyti + dzt<)
: -ilb,- *'úd' *d*d'f (a ro rargo de s)
lr*:-Vp. d§: -1 dp (a lo largo de s)ppv
-syz.di: -gk.ldxi + dyj + tlzÍ<)
-gVz. ¿3- -gdz (alolargo des)
utilizando la fórmula vectorial,3 podemos escribir el tercer término como
ti' .vlv . ds : liv(v . í,¡ - i, x (y x v¡1. as
: {iv(v.i'¡¡ . as - {y " (v x v)}.d§
El último término del lado derecho de esta ecuación es cero puesto que y' esparalelo a d§. En consecuencia,
ti' .vli . ¿3 : !y(i . v¡. as (a to largo de s)
tf ^dv2 .avz . av21: iL' ^
*;' u + o; l'ldxi
+ dYi + dzt<f
'f o!
d* +Y a, +Y a,1: 1¡ r,* t)! A, -- )
ti' .V¡i . {ts : +(t!'?) (a lo largo de s)
Si estos tres términos se substituyen en Ia ecuación 6. 13, se obtiene
Ü * n d, + !;,l1v'z¡ :o (a lo largo de s)p¿3 Esla lórmule so domusstra on sl ap6ndlce C.
276 DINAMICA DEL FLUJI No VISC¡SI INIaMPRESTBLE
Al integrar esta ecuación
rdo Yz
J ; * sz + 2 : constante (a lo largo de s)
Si la densidad es constante, se obtiene finalmente la ecuación de Bernoulli
L*gr*p
V2
2: constante (a Io largo de una linea de corriente)
Como era de esperarse, las dos últimas ecuaciones resultan idénticas a lasecuaciones 6.9 y 6.10, respectivamente, que se dedujeron previamente al uti-lizar las coordenadas de línea de corriente. La ecuación de Bernoulli que se
obtuvo utilizando las coordenadas rectangulares está igualmente limitadapor las siguientes restricciones:
1. Flujo estacionario2. Flujo incompresible3. Flujo sin rozamiento4. Flujo a lo largo de una llnea de corriente
6.5.3 APLICACIONES
La ecuación de Bernoulli se puede aplicar entre dos puntos cualesquierade una línea de corriente, con la condición de que las otras tres restriccionesse cumplan. El resultado que se obtiene es
* 0zt * 0zz (6.14)
donde los subíndices I y 2 representan dos puntos cualesquiera de una lineade corriente. Las aplicaciones de las ecuaciones 6.10 y 6.14 a casos üomunesdel movimiento de un fluido se ilustran mediante los ejemplos 6.2 al.6.4.
En algunos casos, el fluj«l bajo análisis resulta no estacionario desde elpunto de vista de cierto marco (sistema) de referenciar pero estacionariodesde el punto de vista de otro marco de referencia. Puesto que la ecuaciónde Bernoulli se obtuvo al integrar la segunda ley de Newton para unaparticula de fluido, puede utilizarse para cualquier marco de referencia iner-cial (véase la explicación acerca de la transformación de sistemas de referen-cia en la sección 4-4.3). El procedimiento se ilustra en el ejempl«r 6.5.
Ejemplo 6.2
A través de una tobera horizontal se descarga aire hacia la atmóslcra; e I fllu-jo es estacionario y con baja velocidad. A la entracla de la tobera, el área crc
la sección transversal es 0. I m2; a la salida, el área es 0.02 nr2. Et flujo esesencialmente incompresible y los efectos de rozamiento se pueden dcsprc-ciar. Determinar la presión ¡nanométrica necesaria a la enlrada de la tobcrapara producir una velocidad a la salida de 50 m/s.
Pz.Vlp2
P, ., V?
p*T
DINAMICA DEL FLUJO NO VISCOSO INCOMPRESTBLE 271
Probkma de ejemplo ó.2
DATOS CONOCIDOS:
Flujo a través de una tobera, como se ¡lustra en la f igura. El f luJo de aire es astac¡ona-rio, incompres¡ble y siñ rozamiento.
DETERMINAR:
Pt - P",-'
¿l=0.1 m2 lI
P2 = PatmV¿ = 50 m/sAz= 0.02 nf
Ecuaciones f undamenlales:
?-+*ez,:?*Ynn',:0(1)/tYt ro:fr)r"tdv+)r"oÜ'dÁ
Suposiciones: (l) Flujoestacionario(2) Flujo incompresibte(3) Flujo sin rozam¡snto(4) Flujo a lo largo de una línea de corrionto(5) zt = zz.
(6) Ftujo uniforme en las seccion€s O V @A f in de evaluar p, se aprica ra ecuación de Bernouili enrre ros puntos 0 y @a ro rar.go d6 una linea do corrienié. Entonces
D.pt: p¿ +;lvi - vl)La ecuación de continuidad se ut¡liza para delerm¡n ar v r, garael volumen de contfolmosirado.
0= {-lpv,A]}+ {lpvrArl} o V,A,=V,A,de tal manera que
v, = v¿+ :uo 'n, o=0,' 1' = 1om/s"A, s 0.1 m
Para el aire en condiciones estándar, p = 1.23 kg/m3.
Pt * P,,*: f,Vl - vr,l
:; , , ,, ko [rsor,$
_ (10), j:J9t - Por^ = I.48 kPa
N's¿
Lln€a dúcorrionte
kg'm
9t - P,r^
NE DINAMTCA DEL FLUJI No VISCzSa TNCIMPRESIBLE
Ejemplo 6.3
un tubo en u que actúa como un sifón para agua, se muestra en la siguientefigura. si el flujo se puede considerar como sin rozamiento como una pri-mera aproximación, y si el fluido que sale de la parte inferior del sifón cons-tituye un chorro libre a la presión atmosférica, determin¿r (una vez listadaslas suposiciones necesarias) la velocidad del chorro libre en m,/s y la presiónabsoluta del fluido en el punto,4 del conducto, en pa.
Problems de ejemplo 6.3
OATOS CONOCIDOS:
Agua que fluye a lravés del sifón mostrado
DfiERMINAR:
La velocidad dol agua a la salida[¡ preslón €n el punto @ del conducto,
Ecuación fundamental:
1- gz: constante
Rozamiento insi gnif icanteFlujo estacionarioFlulo incompresible
-T
I
I
8m
I
Ior
(a)
(b)
p,v'p2
(1)
(2t
(3)
I Este problema ilustra una aplicación común de la ecuac¡ón de Bernoulli. obsérve- 'l
j se oue si f ueran rectas las lineas de corriente del f luio a la entrada y a la salida oe II la tobera, la presión ser¡a uniforme en dicha sección. )
Suposiciones:
DINAMICA DEL }.-LIJJO NO VISCOSO INCOMPRESIBLE n9
(4) Ftujo a lo largü de una linea de corriente(5) DepÓsito de gran lamarlo comparado con el conducto.
Aplicando la ecuac¡ón de Bernoulli entre los puntos O V @.
oa*\ + oz.:r-¿*Ylp 2 t', ;+s"Como áreadeldepósito,, áreadel"onou"1e,V, t 0. AsimismO, Pt: Pz: Pnr.,detal mOdo
que
v,: Jzs(z, i,¡
Para delerminar la presión en el punto @, puede escribirse la ecuaciÓn de Bernoullientre @ y @.
L ** * ezt -2o ** n rr^p2pL
Una vez más, V, r 0 y de la conservaciÓn de la masa yi = Vz. Por lo tanto
v1gzt -- -: + gzz
pt:pt*pg(zr-z^)
1"01 x 105 N-!-;j
y Vtr: 2g(2, - z2l
/z- g.at m -z m: l-x-- ; x : 11.7mls V2
v
D- D. Vi D, v2P7 -Pt t gzt - *' sro:l) + gQ, - z^) - ?p p 2 -^ p - 2
vi*0V
'I 999 ks--x
-x2mr
999 kg , 9.81 _I_ *ml sl
(l1.7)2 m2 * *.='s2 kg'm
(-1m), t'"'kg'm
p t : 22.8 kPa (absoluto)
Ejemplo 6.4
El acceso a un canal que conduce agua se controla mediante una compuertadeslizante. Aguas arriba de la compuerta, el nivel del agua alcanza 1.5 pies y
la velocidad es despreciable. En la sección transversal más reducida (muchasveces conocida como "vena contracia") aguas abajo de la compuerta, las
lineas de corriente son rectilíneas y el nivel del agua es 2 pulg. Se puede su-poner que en cada secciÓn la distribución de presiones corresponde a lahidrostática y el flujo es uniforme; el rozamiento es despreciable. Determi-nar la velocidad del flujo aguas abajo de la compuerta y el gasto volumétri-co en pies3 por segundo por cada pie de ancho.
2t0 DINAMICA DEL FLUJO NO VISCOSO INCO¡uIPRESIBLE
Problema de ejemplo ó.4
DATOS GONOCIDOS:
FluJo de agua a travás de una compuerla de descarga. El fluio es unilorme en cada
sección, sin rozam¡ento y la rlistribución de presiÓn corresponde a la hidrostát¡ca en
lasseccionesOv@
a de descarga
Yl =0V6na contrasta
I), = 2 pulg
DETERMINAR:
(a) vz.(b) Q eo pies3/s por cada pie de ancho.
SOLUCION:
El fluio descrito satislace todas las condiciones necesarias para poder aplicar la
ecuación de BernOulli. l¿ duda, en todo ca§o, es ¿qué llnea de corf iente se debe utili-
zar'l
Ecuación lundamental: L -\ r gzt =U *# n nr,pzpSuposiciones: (1) Flujoestacionario
(21 Flujo incompresible(3) Fluio sin rozamiento(4) Fluio a lo largo de una linea dB corriente(5) Flulo uniforme eñ cada §ección(6) DistribuciÓn hidrostática de la presión.
Teniendo presente la suposiciÓn 6,
de tal Íioclo que
8:&:r +s@-zlpp
Substituyenclo esta relaciÓn en la ecuacién de Bernoulli, se obliene
l,
iI¡
.
1
,
:
i
!
!!
p:g^,*+1lD'z) o
T*nrr,-z¡) +lnn,,='f " e(Dz*vl
z,) + --i -r.,2 9zz
e§ decirv? viinno,=i*nr,
Este resultado implica queV2/2 + gD : conslante, teniendo esta constante el mis-mo valor a lo largo de cualquier linea de corr¡enlo del f lujo. Despejando a y2 §€ ob-
tiene vr: JzgrD, - D) * v1,
Pero Vl : 0, de tal modo que
v, = Jzs1oio,,: l, ,. *{p (**.-, *,n 1Fj
DINAIvIICA DEL FLUJA NO VISCOSO INCOMPRESTBLE 281
Vu : 9.23pies/s
Para un flujo unilorme, O = VA = VDw, es decir,
O 9.23 pies 2 Pulg pie-:VD:VzDz= '-x -x-.-w s 12 pulg
O oie3/s- : 1.58w pie
= 1.58 pies2/s
9w
[jemplo 6.5
Una avioneta vuela a 150 km/h a una altitud de I 000 m en la atmósfera es-
tándar. En cierto punto cercano a una de las alas, la velocidad delaire relo-liv¿ a dicha ala es 60 m/s. Calcule la presión en este punto.
Problema de ejemplo 6.5
DATOS CONÓCIDO§:
Avioneta que vuela a 150 km/h a 1 000 m de altitud en la atmósfera estándar.
V.ir" = 0
V¡ = 60 m/sá (relat¡va al ala)
Vu=150k*lh*@
DETERMINAR:
Presión, pr, en el punto A.
Observadorv0
-»-
282 DINAlVllCA DEL FLUJO NO ''TSCOSO
INC'O\VP]II:]SIBLL
El f lujo es no estacionario si se observa desde un marco de ref erencia f ijo, es decir, s¡
el observador se encuentra parado en la tierra. Sin embargo, un observador montadoen la sala observar¡a el s¡gu¡ente flujo estacionario:
- Observadorx
= M*l/¿¡¡s= Va, = 150 km/h
Por lo tanto, la ecuación de Bernoulli puede aplicarse a lo largo de una linea de
corriente referida al marco de referencia inercial del observador que se mueve.
Ecuación fundamental: &11"* &* or.,,^, Ü nV'o;*;*gzate"7+-+g2A
(1) Flujo estacionariol2l Flujo incompres¡ble (V < 100 m/s)(3) Flu,jo sin rozamiento(4) Flujo a lo largo de una linea de corriente(5) Az despreciable
Los valores de la pres¡ón y la densidad se pueden encontrar en la tabla A"4. De estemodo, a 1000 m,
l: o.aezoPo
-l: o.sozsPo
En consecuencia,
p : 0.BB70po =0.8870 " 1 01 x1o'
* :8.96 x 10+N/m2
¡r = 0.9075p, : o.9o7s,' "H - f.12kg/mr
Despeiando a Pa,
P,t : Pg¡s+ rf, u!*"- vlr¡.
8.96 x 104 N:-;m-
1 1.12 kg [¡150 km 1O0O m h \' (60)2 m2 I N s'+_Y _tt _Y _Y_l - _t_z m'l\ h km 36oos ) s'lrsrn
p, : 88.6 kPa (absoluta)
DINAM|CA DEL Í¡LIJJO NO VISCOSO INCOMPRESTBI.E 2E3
ó.ó PRESION ESTATICA, PRtrSION DE BSTANCAMIENTOY PRtrSION DINAIVIICA
La presión, p, eue hemos utilizado al deducir la ecuación de Bernoulli,ecuación 6.10, es Ia presión termoclinámica que comúnmente se le conocecomo presión estática. La presión estática es la presión que se mediria me-iliante un instrumento que se moviera junto con el flujo. sin ernbargo, talmedición resulta dilicil de llevar a cabo en la práctica. ¿cómo podemos en-tonces determinar experimentalmente la presión estática?
En la sección 6-5.I demostramos que no puede haber variación de presiónperpendicularmente a las lineas de corriente cuanclo éstas son rectilíneas.Este resultado hace posible medir ra presión estática en un fluido que senlueve, utilizando un pequeño orificio en la pared en una región donde laslineas de corriente sean rectilíneas, como se muestra en la figura 6-3a. Este¡:equeño orificio en la pared debe practicarse cuidadosamente con su ejeperpendicular a la superficie. si el orificio es perpendicular a la pared delconducto y no introcluce perturbaciones, se pueden lograr mediciónes muyaproximadas de la presión estática al conectar el orificio a un instrumentode medición apropiado.
z/////.///l////,////////z////////////,,/////////t
----------- FruroLlneas decorrients de ____->
fluio
-
vvzvvvTv4rvv/vv7vv%zorif¡cio para )l
modir la preslón/ I
vAl manómetro o medidor
, da presión(b) Sonda para medir prosión 6stática(4 Orificio de la pared
Flg. &3. Msdlclón de la presión €státióa.
Por otra parte, en una corriente cle fluido alejada de una pared, o en si-tuaciones donde las líneas de corriente presentan alguna curvatura, sepueden efectuar mediciones suficientemente aproximadas de la presión está-tica utilizando una sonda como Ia mostrad¿ en la figura 6-3á. Los dispositi-vos de esta naturaleza deben diseñarse de tal manera que los orificios mecli-dores se coloquen correctamente respecto a la punta y albrazode la sonda yasí evitar resultados erróneos. Al utilizarse, la sección de medición debe ali_nearse con la dirección local del flujo.
se dispone comercialmente de sondas para medir presión estática como lamostrada en la tigura 6-3b y en una variedad cle formas y en tamaños hastade una l6 pulg de diámetro.
La presión de estancamiento es el valor que toma la presión cuando unfluido en movimiento se desacelera hasta alcanzar la velocidad cero median-te un proceso sin rozamiento. En un flujo incompresible, se puede utilizar laecuación de Bernoulli para relacionar los cambios de velociáad y de presióna lo largo de una línea de corriente en un proceso de tal naturaléza.
2T4 DINAMICA DEL FLUJ} No VISC1S} INC1MPRESIBLE
Despreciando las diferencias en nivel, la ecuación ó.10 se reduce apv2,* T:constante
si la presión estática es p en un punto el flujo doncle la velocidad es /, en-tonces la presión de estancamiento, po, puede calcularse mediante
es decir
Po: P + *PV' (6.15|
Ya que la presión de estancamiento corres¡ronde al punto donde la veloci-dad Zo, es 0.
La ecuación 6. l5 constituye la definición matemática de la presión de es-tancamiento, válida para un flujo incompresible. El término |pIl2 se le co-noce generalmente como presión dinámica" Al resolver para la presión diná-mica se obtiene
*pv':Po-Py despejando la velocidad
V* (6. r6)
De este modo, si la presión de estancamiento y la prcsión estática sc pucclcnmedir en un punto, Ia ecuación 6. l6 permite obtener cl valor local clc la vc-locidad de flujo.
La presión de estancamiento se mide en bl laboratorio utilizando una son-da provista de un orificio cuyo eje es paralelo a la dirección aguas arriba,cümo se muestra en la figura 6-4. Dicho dispositivo recibe el nombre de son-da de presión de estancamiento, o tubo pitot. La sección de medición dcbe-rá también alinearse con la dirección local del flujo.
Hemos visto que la presión estática en un punto se puede medir ya seamediante un orificio practicado en la pared o una sonda especiat para m«lirpresiones estáticas (fig. 63). si se conoce la presión de estancamiento en elmismo punto, se puede calcular entonces la velocidad del flujo utilizando laecuación 6. 16. En Ia figura G5 se muestran esquemáticamente dos arreglosexperimentales posibles para tal efecto.
En la figura GSa, la presión estática correspondiente al punto á se micleu¡ilizando el orificio practicado en la pared. La presión de estancamiento se
Fluio_-.+Pcquüño orific¡o
,l'Al mnómotro o modidor
do prosión
Po. vá p v2:-+-p 2 p'2
Flg. &1. Msd¡c¡ón de te prosión d€ ostancamiento.
DINAMICA DEL I:LUJO NO VISCOSO INCOMPRESIBLE 285
fluro__+ B
(o) Tubo de corgo (olluro pic¿omótrico)rorol urilizodo coniunromrnro con (b) lubo P¡tot ostótico
un or¡fic¡o en lo porod
F¡9, &5. Medlclón slmultánBa do la prs§lón estática y d6 la prosión d€ ostancamienlo.
mide directamente en el punto.4 mediante el tubo de carga total, como se
muestra en la figura. (El brazo del tubo de carga total se coloca aguas abajodel punto de medición con objeto de reducir al mínimo las perturbacionesen el flujo.)
En la figura 6-5ó se muestra la combinación de dos sondas formando asi
el llamado tubo Pitot estático. El tubo interior se utiliza para medir lapresión de estancamiento en el punto B, mientras que la presión estática en
el punto C se determina mediante los pequeños orificios del tubo exterior.En aquellos casos donde la variación de la presión estática en la dirección de
la corriente es pequeña, el tubo Pitot estático se puede utilizar para determi-nar la velocidad en el punto .B del flujo suponiendo que ¡rd : pc, ! utilizan-do la ecuacion 6.16. (Obsérvese que cuando Pr*Pc, este procedimientoimplicaría resultados erróneos.)
La definición y el cálculo de la presión de estancamiento para un flujocompresible se estudiará en la sección 9-3.1.
lijemplo ó,ó
Un tubo Pitot se coloca en un flujo de agua para medir su velocidad. Eltubo se coloca de tal manera que apunte hacia la dirección aguas arriba delflujo y que la presión que se obtiene de la sonda sea la presión de estanca-miento. La presión estática se mide en la misma sección del flujo, utilizandou¡l orificio practicado en la pared. Si el fluido en el manómetro es mercurio,determinese la velocidad del flujo.
(b) lubo P¡tol astótico
,///," ,//// / , ,/////7////////4//./ '// '.
2E6 DINAMICA DEL í-LUJO NO VISCOSO rNCO¡yrpRESrBLE
Problema de ejemplo 6.ó
DATOS CONOCIDOS:
un tubo Pitot colocado en un f lujo como se muestra en la f igura. El f luldo es asua y olfluido manométrico es mercurio.
DETEBMINAR:
La velocidad del flujo
SOLUCION:
Ecuación fundamental:
Suposiciones: (1) Flujoestacionario(2) Flujo incompresible(3) Flujo a lo largo de una linea de corr¡ente(4) Desacereración sin rozamiento a ro rargo de ra rinea de corrien.
te de estancamienlo.Escribiendo la ecuación de Bernoulli a lo largo de la linea de corriente de estanca.miento, se obtiene, al tomar Az : 0
PoPV2v-¡'vpo es la presión de estancamiento en el orif icio dol tubo donde la velocidad se ha re.ducido, sin que intervenga el rozamiento, hasta cero. DespeJando v se obtiene
i.+ + sz:constanre
[i(pn: pl
Vp
Po - P = Pnrgh - P¡t,o9h = pr,ogh(DRn, - 1)
v = i2PH,ogh(éH,. - 1) : rfzgrrrcrgn, - r¡V Pn,o
i2 9.81 m ' ¿Omm m ---V' ;-x xlooomm(13.6-1)
Del diagrama,
v
V : 3.14 m/s
{Esteproblema ilustra el uso de un tubo p¡tot para determinar la velocidad en un (
( punto. I
DINAMTCA DEL FLL]TO NO VISCOSO INCOMPRESIBLE 2E1
6-7 RELACToN BNTRE Le pnnrnnA r-uyDE LA TERMODINAMICA Y LA ECUACIÜN DE BERNOULLI
La ecuación de Bernoulli (ecuación 6. l0) se obtuvo integrando la ecuaciónde Euler a lo largo de una línea de corriente para un ruío .rtacionario, in-compresible y sin rozamiento. La ecuación 6.i0 constituv. *i un caso parti-cular obtenido de la ecuación de ra cantidad de movimiento para unapartícula de fluido.
se puede obtener una ecuación idéntica en forma a Ia ecuación 6.r0 (sibien con restriccione_s muy diferentes) utilizando ta primera l.v ¿. ra termo-dinámica. Nuesrro objetivo en esta sección es obtener a partir áe ra ecuaciónde energía la ecuación de Bernoulli expresada por Ia ecuación 6.r0. una vezque se obtenga este resurtado, compararemos ras restricciones que deben sa-tisfacer ambas ecuaciones. Er procedimiento nos ayudará a entender de ma_nera más clara las restricciones utilizadas en la ecuación 6.10.
considérese el flujo estacionario en la ausencia de fuerzas cortantes (tan-genciales). seleccionaremos un. volumen de control acotaJopor lineas decorriente en su periferia. un vorumen de control de este tipo, most.ado en lafigura 66, generalmente recibe el nombre de tubo de corriente.
Llnoos do corriBnio
Flg. &6. Flujo a travás de un tubo ds corrionts.
Ecuación fundamental:
:0(I) :0(t) :o(l) :0("r)/ / / ./
0 ,/f" t /,^" * /-," : fi,,epttv +Jr," * pr¡pv.dÁ g.ss)
V2e:u* l+9,Restricciones: (l) ú" = O
(2) \,*n, = o(3) Wouo = O
(4) Flujo estacionario(5) propiedades y flujo uniformes en cada sección
2ÜE DINAMICA DEL FLUJO NO I{SCÜSO INCOIVIPRESIBLE
Bajo estas restricciones, la ecuación 4.59 se reduce a
o: (r, r /,¡¿), + 'rt * ,.,) i- l¡,, r',..1,11
* (,,, n p:r': * 'ri *,,.,) i'lt,¿v..'1.,1i - Imie¡rtras que la ecuación de continuidad resulta
= $r)
o:l/f orrv+ l' ,,i''.diy't Jvc' Jsc '
es decir,0 : Í_lp,r,,,t,l) + llprti {,ll
Por lo tanto,th: ptV1.4¡ : p2V2A1
Además,. iO tOlm ¿O
Q = ,,i :
,1i,, ,l : ,li,,'i'De este modo, de la ecuación de la cnergia,
.:[(r,., * :i * r.,) - (r,,, *'r3 * r,,)],, * (,,, -,, - lfl),,,o bien' vi r.,i / rrg\
Pr{'r { a * !:r: P:l': *'2- * a:., t- (rt¡ - ,,t - ,ti,,)Si el úlrimo término de esta ecuación se desprecia, se obtiene la lorma desEa-
da. Debemos entonces incluir en este análisis las siguicntes restricciones adi-
cionales: (6) (u. - u, - JQi¿l¡r¡) : 0(7) Flujo incompresible, es decir, !,r : D2 : llfi: constantc.
De este modo la ecuación de la energía se reduce a
/)r I 'i 1,, I 'l
,'2 tlisr:1,+l t*lzz
o bien.,tp V-',,*'u + 4:: constante (6'17)
La ecuación 6.17 es idéntica en l'or¡na a l¿r ectritei(rrt clc Bcntor¡lli,
ecuación 6.10. Recuérdese que la ecuación de Bernoulli sc obluvo a partir tlc
conceptos de cantidad de movimiento (segrtncla lcy dc Ncrvton) y cs válitlrt
para un flujo estacionario, incompresible y sin rozan-riento a lo largo clc trrla
DINAMTCA DEL FLUIO NO VISCOSO INCOMPRESIBLE 289
linea de corriente. La ecqación 6.t7, por otra parte, se obtuvo aplicando la
primera ley de lzi termodinámica a u¡¡ vulumen de control constituido por
un tubo de corriente, sujeto a las restricciones I a 7 descritas anteriormente.
De este modo, la ecuación de Bernoulli (ecuaciÓn 6.10) y la forma idéntica
de la ecuación de la energia (ecuaciÓn 6.17) se dedujeron de modelos entera-
mente diferentes, provenientes de conceptos básicos por completo distin-tos, y teniendo en cuenta restricciones diferentes.
una vez deducida la ecuación 6.17, pudiera haber alguna confusión res-
pecto a la restricción 6, es decir,
tl2 - U1
obviamente, una posibilidad es que u2 : üt Y que 6Qldm: 0' otra posibili-
dad es que los términos uz - u ty óQldm sean iguales. Este es el caso para
flujo incompresible sin fricción, lo cual se demuestra en el ejemplo 6,7.para el caso especial considerado en esta sección resulta cierto que la pri-
mera ley de Ia termodinámica se reduce a la ecuación de Bernoulli. Como la
ecuación de Bernoulli se obtiene al integrar ta ecuació¡r de Euler (forma di'ferencial de la segunda ley de Newton) para un flujo estacionario, in-
compresible y sin rozamiento a lo largo de una linea de corriente, para este
caso especial la primera ley de la termodinámica y la segunda ley de Newton
no proporcionan información por separado. sin embargo, en un caso más
general, la primera ley de la termodinámica y la segunda ley de Newton son
ecuaciones independientes y deben satisfacerse en forma separada.
Ejemplo ó.7
Considérese un flujo sin rozamiento incompresible con trasierencia de ca'
lor. Demuestre que
Prr¡blema de ejemplo ó.7
DATOS CONOCIDOS:
Flujo sin ro¿amiento e incompres¡ble con tran§ferencia de calor'
DEMOSTRAF:
douz_ut=iñ
SOLUCION:
En general, la energia interna, u, puede expresarse como ¿/ = u (T, v). Para un lluio in'
compresible, v = constante y u = u(I). Entonces, el estado termodinámico del
6Q--:udm
óoItr-ll¡:-:
tlfil
mtJL ¡,l-UJu ¡,tü yt¡LuSU ¡ñtl¡rtplltslt¡l,A
fluldo queda dstorminado por una sora propiedad t€rr.od¡námica, r. Er camb¡o deenorgla rntorna de cuarqurer proce§o ,r'- ir, dep.nde únrcamenre do ras tempera.turag en los ostadoü linales que definen ef piocso.De la ecuaclón de Glbbs Tds = 4u + pjv, vá¡ida para una substancia pura queolcclúa cualquier proceso, se obtiene
fds : duPuesto qus 6r cambio d6 energia interna, du, es inrlependi€nt6 d€r proc6§o, podemosutilizar un procsso revorsible para el cual f ds : d(áe/rJ m) = du. por lo ta¡ttü,
*- ul
es dscír
Problems de ejenrplo 6.t
DATOS CONOCIDOS:
üz * utdo---= 0dn¡
EJemplo ó.S
A rravés der sistema mostrado en la figura fluye agua en esiado estacionarioque proviene de un gran depósito abierto. La aescarga en Ia secuión Q) es ala presión atnrosférica. se coroca un carentado, auá*oo, o*i ,r¡o que cü-lienta el flujo a razón de r00 Bru/rbm. se supone qu" "i-nüo
es esraciona.rio, sin rozamiento e incompresibre. Determine er incremenrá u. t.*p.ru,u-ra del fluido entre las secciones C y O
Agua provenient€ de un gran depósilo que f ruye a travé§ der sistema mosrrado en rafigura y que descarga a ra presión armosfórica. Er car.ntádor provoe energia térmicaa razón de 100 Btullbm al ftujo.
Dt = D2= 5'D¡=3'
Csl€ntador
Dt= D,¿o5'Dt= 3'
DINAMICA DEL FLUJO AIO YI§COSO INCOMPREST,LE
OETERMTNART '
El lñcrsm€nto ds tomperstura del fluldo entre las secclones @ y @.
SOLUCION:
Ecuacloneslundam€ntal6s:
;.+ * sz:consrante
4(11
o =fir"'* * Íu.n''aÁ= 0(4) = o(a)
10(1)///ó, /.* ú,"(nnu":ffi,"rr*. J:"(, + pv +# * n,)ov.o¡
Suposlclones: (1) Flujoestacionar¡o(2) Flujo sln rozamlento(3) FluJo lncompreslblo(4) Ausencla d€r trabajo der eJe y dB rrabs,o rearzado por fuer¿as
cortantes (tangenclales)(5) Flujo a lo largo d€ una linea ds corr¡ento
BaJo ras suposicionos señaradas, ra prrmera rey ds ra rermodinámrca para €r vorumendü control mostrado en la f igura, sB r€duce a
o = {"(' * pv *+. ,) pú'oÁ
: l, (' + Pv ++. t) pú'aÁ. I, 0 * ,, *$
Tenlsndo propledadeo unlformes en las secclones (D y @.
Q = -frA,v,t(r, * p,, n#n rr,) + bvrArl(,Do ta conservación de la masa, lpA rv ,l : lpArv rl : rrr
o = "b,- u, * (3.#n,,,) _ e.f * r,,)]Para un flujo srn rozamrento, lncompres¡u. y estacronar¡o a ro rargo de una ,nea d€corrignte,
;.+*sz-consranleÓ:rñ(ur-ur)
* n) ov.oa
+ pzv +# * nrr)
Por lo tanto
29r
292 DINAMICA DEL FLAJA NO YISCOSO TNCAMPRESIBLE
Al dividir entre d, se obl¡eneóo
-=u.dm
f Esta ecuaciÓn 3e hubi6ra podido escrlbir dir6ctamente teniendo presente los re'l
I sultados del problema de ejemplo 6.7 J
Como para un fluido lncompreslble, u2 - ut: cltTz - fr)' entonces
_ur-\_100Btu *lbm'Rc lbm 1 Btu
Tz-Tt=100R
I Este problema llustra que, en general, la primera ley de la tofmodinámica v la ][ecuaclón de Bernoulli son €cuaclones independi€ntes' i
*T6I ECUACION DE BERNOULLIAPLICAT'A A UN FLUJO IRROTACIONAL
En la sección 6-5.1 se integró la ecuación de Euler a lo largo de una línea de
corriente p¿ua un flujo estacionario incompresible y no viscoso con objeto
de obtener la ecuación de Bernoulli,
T2
oV2;.;*
gz:constante (a lo largo de una linea de corriente) (6. l0)
(6. r2f
La ecuación f.10 se puede aplicar entre dtls puntos cualesquiera de la mis-
ma línea de corriente. El valor de la constante puede variar en general, de
una lineü de ctrriente a otra.Si el campo de flujo además de ser no viscoso, e§tacionario e incompre-
sible, es irrotacional (es decir, del campo de velocidades es tal Que 2o =V)ú : 0), puede demostrarse que la ecuación de Bernoulli se puede aplicar
entre dos puntos cualesquiera del flujo; es decir, el valor de la constante en
la ecuación 6.t0 es el mismo para tdas las lineas de corriente. A fin dc
ilustrar lo anterior, comencemos con la ecuaciÓn de Euler en forma veclo-
rial,t.
-'-Vp - gVz : lV 'VlVp
titilizando la fórmula vectorial
ti .v¡i' = ,v(v - nl * í' x (v x t7)
se observa que para un flujo irrotacional, siendo Y x í': 0, entonces
tv .vli' : ivtv . ü)
' 'Esta sscclÓn pusde omitifs€ s¡n peld€r continuidad en el lexto
DINAMICA DEL FLUJO NO YISCOSO INCOMPRESIBLE 293
pudiéndose escribir la ecuación de Euler para un flujo irrotacional como
-lr, - svz : i.rrO' i) :!vv't (6.18)
(6.1e)
En el incremento de tiempo dl, una particula del fluido se mueve desde una
posición dada por el vectór Í hasta la posición í + di; el desplazamiento diLs arbitrario en cualquier dirección. Efectuando el producto punto de dl =A.l'+ iy¡ + dzf< con cada uno de los términos de la ecuación 6'18, se ob-
tiene
*\rr' ,ti - sez' di :!rv{v\' atp
-+ - sdz:\avt
f, * n r, +las'¡: o
y por lo tanto
es decir,
lntegrando esta ecuaciÓn se obtiene
* * n, *l=constante
(6.20)
como r,li es un desptazamiento arbitrario, entonces para un flujo no viscoso
incompresible y estacionario que además sea irrotacional, la ecuaciÓn 6'20
es válida para cualesquiera dos puntos del campo de flujo'
**6.9 ECUACION DE BERNOULLT PARA UN FLUJONO ESTACIONARIO: INTEGRACION DE LA ECUACION DE
T]ULER A LO LARGO DE UNA LINEA DE CORRIENTE
No es necesario restringir la aplicación de la ecuación de Bernoulli a flujos
estacionarios. El objetivo de esta sección es desarrollar la ecuación corres-
pondiente para un flujo no estacionario a lo largo de una linea de corriente
y de ilustrar su uso.
La ecuación cle cantidad de movimiento para un flujo sin rozamiento se
otrtuvo en la sección 6-2 como
Para un flujo incompresible, p = constante' resultando
L * s, -+ :constante
IDV- VP-ttY=:-
p
" Esta sección puede omit¡rse s¡n perder conl¡nuidad en €l texto
(6.4)
»4 DINAMICA DEL FLUJ) No yTScaSo INCf/MPRESTBLE
La ecuación 6.4 es una ecuación vectorial; se puede obtener una forma esca-lar efectuando el producto punto de dicha ecuación con ds, donde ds es unelemento de desplazamientó a lo largo de una línea de corriente. De estemodo.
t--'¡ro.ds - syz.ds:X ,u:o# ds: v"ff u, *ff o, (6.2r)
Los términos resultan
Yp' d§: dp (cambio de presión a lo largo de s)
Y z ' d§ : dz (cambio de z a lo largo de s)
(cambio de ( a lo largo de s)
Substituyendo en la ecuación 6.21, resulta
ff a,: ar,
(6.lll
Integrando lo largo de una llnea de corriente desde el punto I hasta el punto2. se obtiene
I' Ü*ry* sez- zt)+ !:#ds:o (62i)
Para flujo incompresible, la densidad es constante; para este caso especial,la ecuación 6.23 resulta
-* - s dz : 4av, +a{ as
(a lo largo de unalínea de corriente)
(6.24)
con objeto de calcular la integral que aparece en la ecuación 6.24 se debecon(rc€r la variación de la cantidad lY"lltcomo una función de s, la distan-cia a lo largó de la linea de corriente medida desde el punto l. (para un flujoestacionario, óV"lAt = 0, y la ecuación 6.?A se reduce a Ia ecuación 6. 10.)
conviene repasar las restricciones que deben satisfacer la ecuación ó.24.Se tiene:
l" Flujo incompresible2. Flujo sin rozamiento3. Flujo a lo largo de una linea de corriente.
En consecuencia, la ecuación 6.24 se puede aplicar a cualquier flujo cndonde estas restricciones sean congruentes con la situación fisica.
La aplicación de la ecuación 6.M se ilusrra en el problema de ejemplo 6.g.
T -+ar sz,:';.+. nr,* {'ffa,
DINAMICA DEL FLU.IO NO YISCOSO INCOMPRESIBLE 295
f,Jcmplo ó.9
se conecta una tubería de gran longitud a un depósito de gran tamaño queinicialmente se enruentra lleno de agua hasta el nivel ¡ m. Et diámetro de latubería es 150 mm y su longitud es 6 m. como primera aproximación sepuede despreciar la fr.cción. Determinar la velocidad del flujo a la salida deltubo como una fi'nción del tiempo una vez que se ha quitado el tapón delextremo libre. El depósito es suficientemente grande como para suponerdespreciable cualquier cambio en el nivel del agua.
Problem¡ de eJemplo ó.9
SOLUCION:
Aplicando la ecuac¡ón de Bernoulli al flujo no estac¡onarlo a lo largo cte la llnea decorriente deede el punto @ hasta el punto @.
Ecuación fundamental: {/p
DATOS CONOCIDOS:
fuberla y gran depósito mostrados en la figura.
DETERMINAR:
Y:(l).
Suposiciones: FluJo incompresibleFluJo sin rozam¡antoFlujo a lo largo de una llnea de corriente desde @ hasla @Pt=Pz:P.mV2t-ozz=0zt: h - constanteLa velocidad en el depósito es despreciable excepto en una re.gión pequeña cercana a la ontrada al lubo.
V1 ¡.¿ iV9zt:9h= z+ J, nir"
:0(6)
r. /,. f #,"vl+t+szt:
0(5)
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
m(8)
Se tiene entonces,
2,96 DTNAMICA DEL FLUJO NO VISCOSO INCOMPRESTBLE
En vista de la suposición (8), la integral se reduce a
12 lV- rL.tV.I -=-: ds = I -=-: dsJr ¡t Jo ¿11
En toda sección del tubo V, = V z, de tal modo que
Substíluyendo se obtiene
Separando var¡ables,dv2 _ dt
zgh - vi 2L
lniegrandoentrelos lim¡tes y = 0a f = 0y y =.Yz6t = t,
f"_dv I- 1 ./ v \lv,r, ¡¡;=p: L,r*
tanh-¡(.C1.
Puesto que tanhl (0) = 0, se obliene
aL iV- rL dV- dV.| 'ds: I "ds=L 'Jo lf Jo dt dt
v1 dv,oh:--:+L ''2dt
-Ltrnr'-'f-L\ = 1,Zgh \,zgn ) 2t
h:,".n(; o;n)
t
2L
es decir
Para las condiciones dadas
vz$\
t2 9.81 m - 3mI x -----x :7.67m/sVs'
t , -.--- r 't 7.67*_.t2oh:_x_x2L'" 2 6m
Se obtiene entonces V, = 7.67 tanh (0.639 ,)
m
- : 0.639r
s
,-.EO
^|¡
t0
8
6
4
2
o
'z - 7.67 tanh (0.639 4
DINAMICA DEL FLUJO NO VTSCOSO INCOMPRESIBLE 297
Objetlvos .Iul capítulo
uua vez completado el estudio del capitulo 6, el tector deberá ser capív de lo si-guiente:
l. Escribir las ecuaciones de Euler en: (a) forma vectorial, (b) coordenadas rec-tangulares, (c) coordenadas cilindric¿s y (d) coordenadas de linea de corriente.
2. Integrar la ecuación de Euler a lo largo de una linea de corriente para un flujoestacionario con objeto de obtener la ecuación de Bernoulli. Establecer lasrestricciones en el uso de la ecuación de Bernoulli.
3. Deiinir presión estática, presión de estancamiento y presión dinámica.4. Establecer las condiciones bajo las cuales la primera ley de la termodinámica se
reduce a la ecuación de Bernoulli para r¡n flujo no viscoso incompresible y es-tacionario a través de un tubo de corriente.*t5. Demostrar que la ecuación de Bernoulli se puede aplicar entre dos puntoscualesquiera cle un campo de flujo incompresible no viscoso y estacionario queresulte además irrotacional.
**6. Escribir la ecuación de Bernoulli para el flujo no estacionario a to largo de unalinea de corriente. Establecer las restricciones en el uso de esta ecuación.
7. Resolver los problemas al final del capitulo que se relacionan con el materialestudiado.
Problemas
C¡erto campo de velocidades se representa como
V:AS,i+Ax.idonde ,4 = 3 m/s/m y las coordenadas x y y están dadas en metros. La densi-dad del fluido es 750 kg,/mr. Calcule la aceleración de una parrícula de fluidoen el punto (¿ f) : (1,0), y determine el gradienre de presión en el mismopunto si É: -A.Considérese el campo de velocidades en pies,/s dado por
i :6xy - Bx2¡i + (Ax¡, - Byr).¡
donde,4 = 2/piesy I = l/pies . s. La densidad es 2 slug,/pies3 y la fuerza vo-lumétrica en la unidad de masa es É : -g.i. Determine la aceleración de unaparticula de fluido y el gradiente de presión en el punto 1t ,,,¡ = (1, l).La componente en la dirección x de la velocidad de un flujo incompresibleestá dada en m,/s por
u:Ax:A:ga-rEn el punto (x, y) = (2,0), la componente en dirección y de la velocidad es y
.: 0; además, w = 0 en todo punto. Obtenga una ecuación para la compo-nente ) de la velocidad y determine la aceleración de una partícula de fluidoen el punto(2, 0).Un campo de flujo incompresible está dado por
V:(Ax+By)i-Ayj
" Eslos obietivos se apl¡can a aqu€llas secc¡ones que pued€n om¡lirse sin p€rdor coñlinu¡dad en el taxto
6.I
6.2
63
6"4
298 DTNAMICA DEL FL{JJO NA VISCOSO INCOMPRESTBLE
dondel = I s-1, B = 2s-¡ ylascoordenadassemiden en metros. Deter-mine la magnitud y la dirección de la aceleración de una partícula de fluidoen el punto (x, y) = (1, Z).
6.5 un flujo de agua está descrito por er siguiente campo de verocidades enPies/s' t = 1,tx+ ar)r + (- Ay + Bt)j
donde.4 = l0s-1, B = 5 pies . s-2, xyyenpies, y /ens. calculelaacerera-ción de una particula de fluido en el punto (¿ .v,) = (1, 5) en el instante f =l0 s. Calcúlese 0pl0x bajo las mismas condiciones si f, : g.
6.6 un campo de velocidades de un fluido cuya densidad es igual a I 500 kglm3,está dado en m./s por
v=1ex-lilrt+@y-Bxltjdonde ¡4 = I s-2, B = 2 s- 2,x y/ están en metros y, en s, Las fuerzas volu-métric¿s son despreciables. Calcúlese Vp en el purto (¿ !) = il,2) en el ins-tantef = ls.
6.7 En un flujo sin rozdmiento e incompresibre, er campo de velocidades en m/sy las fuerzas volumétricas que actúan están dadas porV:Axi*AúÉ: -sk
La presión es p0 e.n el punto (x, y, z) = (0, 0, 0). Obtenga una expresión parael campo de presiones, p{x, y, z).ó.t obtenga una expresión para er gradiente de presión para el campo de flujodel problema 5.23.
6'9 EI flujo incompresible, sin rozamiento y estacionario de derecha a izquierdaalrededor del cilindro circurar de radio, a, está dado por el campo
, : rl0' - r]cosoi. ., [(r' +,]senoi,
considérese er flujo a lo largo de la linea de corriente que constituye ra super-ñcie del cilindro, es decir, ¡ É d. Exprese las componentes del gíaai.nt. a.presión en términos del ángulo 0.
6.10 El problema de ejempro 3.9 decia: ,,una persona que muda su residencia aotra localidad, debe levar consigo durante su üaje pu, .a.r.te.a una pecera.Esta tiene forma de una paralelepipedo de lZ x 24 x 12 pulg. ¿Hasta quénivel debe llenarse la pecera para poder ¿segurar que el agua no se derramedurante el üaje? " Resuelva este problema utilizando las ecuaciones de Euler.6'll El problema de ejemplo 3.10 decía: "un recipiente cilindrico, parcialmentelleno con un líquido, se hace girar alrededor de su eje con ueloc'idaa angularconstante, ro. Después de un corto periodo no existe movimiento rerativo; esdecir, el liquido gira con er cilindro como si er sistema fuera un cuerpo rígido.Determine la forma de la superficie libre der líquido". Resuerva este proble-ma utilizando las ecuaciones de Euler (el cifináro tiene radio ^R).6.12 El recipiente cilíndrico del problema 6. ll inicialmente está lteno de riquiclohasta Ia mitad. Determine ra velor¡idad angular máxima con la cual puede gi-rar el recipiente sin que se derrame el liquido por la parte superior, ütilice lasecuaciones de Frrler.
DINAMICA DEL FLUJO NO VISCOSO INCOMPRESIBLE 299
6.13 Considérese el movimiento de un fluido en estado estacionario con rotaciónde cuerpo rigido alrededor del eje z. Supóngase A = - Sk. Demuestre que laecuación 6.5 se reduce en este caso a
ap _ pvi?rr
-pg
6.14 El campo de flujo de un vórtice forzado (es decir con movimiento de cuerporígido) está dado por la expresión
i : r,¡rio
donde a¡ = l0 s- I y r se mide en metros. Supóngase que se trata de un fluidosin rozamiento con p = I 000 kg/m1 . Exprese el gradiente radial de presión,Ópl1r, como función de r y calcule el cambio de presión entre rr = I m y r¿ =2m.
6.15 La sección de entrada de un difusor está formada por uoa esquina que ha si-do rebajada hasta darle forma curva. A través de dicha sección fluye aire a20 psia y l00oF. La velocidad del ai¡e es 150 pies/s y el radio de curvatura delas lineas de corriente es 3 pulg. Determine la magnitud de la aceleracióncentrípeta experimentada por una particula de fluido al pasar por la esquina;exprese el resultado en tórminos de la aceleración de la gravedad. Calcule asi-mismo el gradiente de presión, fplár.
ó.16 El campo de flujo en un vórtice libre o irrotacional está dada por la expresión
i:!r,t r>o¿fir
donde r se mide en metros. Supóngase un fluido sin rozamiento con p =I 000 kglm3, y k : 2On m2ls. Exprese el gradiente radial de presión, comofunción de ry calcule el cambio de presión entre rr = I m y r: - 2 m.
6.17 Expandiendo la expresión (i .Vli'en sus component€s, demuestre que
DV AV
ñ: (v. v)t/ + ,r_
6.1E El área transversal al flujo en un conducto horizontal que trasporta aire, sereduce continuamente desde 0.75 hasta 0.25 pies2. El gasto másico se man-tiene en 1.5 lbm,zs para 40 psia y 70oF. Se puede suponer que el flujo no tienerozamiento. Determine el cambio de presión a lo largo del tramo del conduc-to en el cual se reduce el área,
6.19 A través de un tubo circular fluye agua" En una sección transversal el diámetroes 0.3 m, la presión estática absoluta es 260 kPas, la velocidad es 3 m,/s y la al-tura respecto al nivel del suelo es l0 m. La altura en una sección aguas abajoes 0 m y el diámetro de la tuberia es 0. l5 m. Determine la presión manométri-ca en la sscción aguas abajo. Se pueden despreciar los efectos del roza-miento.
óo,:0¡0
0p
Dz
3OO DINAMICA DEL FL.JJO NO VISCoSo INCoMPRESIBLE
6.20 A través de un tubo vertical de 0.1 m (fig 6-7) que descarga a la presión at-mosférica mediante una tobera de 0.05 m de diámetro, fluye agua en estadoestacionario. La velocidad de la corriente a la salida de la tobera debe ser 20
m/s. Calcule la presión manométrica necesaria en la sección @, v considérerque el rozamiento es insignificante.
Fr"'lll .i'
eu- I
D-75mm
Flg. &7. Flg" &E.
6.21 En la figura 6-8 se muestra un sifón. Se puede considerar que el agua fluyesin rozamiento. El gasto volumétrico es 0.03 m3ls su temperatura es 20oC y
el diámetro del tubo es 75 mm3. Calcule la máxima altura permisible /¡, de tal
. modo que la presión en el punto z4 se encuentre por encima de la presiÓn de
vapor del a8ua.6.22 Desde un depósito muy grande fluye agua a través de un tubo de 2 pulg de
diámetro (fig. 6-9). El fluido obscuro en el manomeiro es mercurio. Determi-ne la velocidad en el ducto y el gasto volunrétrico de descarga.
6"23
6.U
Fig. &8. Fle. $10.
El recipiente mostrado en la figura 610 tiene un orificio muy bien redondea-do de área lr. En el instante I = 0, el nivel del agua se encuentra a la alturaás. Obtenga una expresión para el nivel del agua, h, en cualquier instante, t.Considérese una boquilla lisa de tal manera que la perturbación del flujo quepasa a través de ella es minima, y la cual se conecta a una manguera dejardín. Al entrar a la boquilla, donde la velocidad es insignificante, la pre-
sión manométrica del agua es 160 kPa. La presión a la salida de la boquilla es
la atmosférica. Supóngase que el agua permanece como una sola corriente y
que el arrastre aerodinámico es despreciable: estime la altura máxima ¡rcrencima del nivel de la salida de la boquilla hasta la cual puede llegar la co-
rriente.
) l2*'"'Fle. $10.
6.n
DINAMICA DEL FLUJO ¡{O T/SCOSO INCOMPRESIBLE 301
ó.25 Una corriente de tiquido que se mueve eon velocidad baja sale de una tobera
en dirección verticalmente hacia abajo. Se puede con§iderarque la velocidad
es uniforme en la secciÓn lransversal de la boquilla' y que lo§ efectos de roza'
miento son despreciables. A la salida de la boquilla, localizada en el nivel z¡,
la velocidad del chorro y el área son I/s Y.4o, respectivamente. Determine el
cambio de la secciÓn transversal del chorro en funciÓn de la altura para e <Z¡,
6,26
Fls' &f 1.
El sistema mostrado en la figura Gl I consta de dos discos paralelos que con-
tienen agua. como primera aproximación, suÉngase qu€ el rozamiento es
nulo. Determine el gasto volumétrico, Y l-a presión en el punto O'considérese el flujo incompresible de airc entre los discos paralelo§ mostra-
dos en la figura 6.12. supóngase que el flujo es puramente radial y uniforme
en cada sección y que los efectos viscosos se pueden despreciar. Obtenga una
expresión para la distribuciÓn de la velocidad entre los discos si
V-= 15 m/s a r = R = ?5 mm. Calcule, además de magnitud y la dirección
de la fuerza de presión neta que actúa en la placa supuior entre ri Y R si ¿ =Rt2.
I
I
Fle. Gl2.
ó.2t Obtenga una expresión para la distribuciÓn de presión en funciÓn del radio
del disco del problema 5.41. Calcule la fuerza de presiÓn neta que actúa
sobre el disco.6.29 El flujo estacionario, incompresible y sin rozamiento que va de izquierda a
derecha alrededor de un cilindro circular estacionario de radio rl, está repre-
sentado por el campo de velocidades
r, : u [r - (i)']*.r,, -, [' * (i)']*"r,,
302 DINAMTCA DEL FLUJO NO YISCOSO INCO¡úPRESIBLE
(a) Obtcnga una expresión pa¡a la distribución de presiones a lo largo de
la línea de corriente que está sonstituida por la supeficie del cilindro,esdecir,r=o.
(b) Determine los puntos sobre el cilindro donde la presión estátic¿ es
igual a la presión estática de la corriente libre.(c) Determine la fuerza de presión neta que actúa sobre el cilindro.
6.30 El flujo sobre una estructura inflable de forma senucilindrica (fig. Cl3)puede aproúmarse por la distribución de velocidades del problema 6.29 con
0 < 0 < r¡. Durante urta tormenta, la velocidad del viento alcanza 100 km/h;la temperatura en el exterior es soC. Un barómetro coloc¿do en el interior de
la estructura seña1a 720 mm de mercurio. La estructura tiene un diámetro de
6 m y una longitud de l8 m. Determine la fuerza neta que tiende a levantar laestructura del suelo.
6.3f Considérese el flujo incompresible, estacionario y sin rozamiento de aire
alrededor de un ala de un avión. El aire se aproxima al ala con l0 psia, 40oFy velocidad 200 pies/s relativa al ala. En cierto putto del flujo, la presión
manométrica es -0.40 psi. Calcule la velocidad del aire con re§pecto al ala
en este punto, r'
6.32 La toma de agua de mar para cl sistema de enfriamiento del reactor nuclearde un submarino se encuentra en el casco exterior. La velocidad máximacuando el submarino se encuentra sumergido es 35 nudos. La velocidad delagua sr¡ la toma, paralelamente al casco, es 20 nudos cuando el submarino se
rRuev€ a su .máxima velocidad. Determine la presión estática máxima quepuede esperarse en la toma, en N/m2.
ó.33 Un tubo Pitot estático se utiliza para medir la velocidad en un punto de
una corriente de aire. Para que la siguiente suposición sea válida, es decir,que el flujo sea incompresible y que los resultados que se obtengan sean
aproximados, la velocidad se debe mantener en 100 m/s o meno§. Se pueden
suponer las propiedades de la atmósfera estándar. Determine la desviaciónen el manómetro, en mm de agua, que corresponden a la máxima velocidaddese¿ble.
6.14 Un túnel de viento descubierto toma aire de la atmósfera mediante una tobe-ra bien redondeada. En la sección de prueba, donde el flujo es recto y casi
uniforme, se ha practicado un orificio en la pared del túnel para medir la pre-
sión estática. El manómetro conectado al orificio indica una presión estáticadentro del túnel de 45 mm de agua por debajo de la presión atmosférica. Su-póngase que el aire es incompresible y que se encuentra a 25uC, y 100 kPa(absoluta). Calcule la velocidad en la sección de prueba del túnel de viento.
ó.35 Un chorro de aire proveniente de una boquilla se hace incidir perpendicular-
mente contra una pared donde se ha practicado un orificio para medir la pre
Esrucluro semicilf ndrico
Flg. &13.
DINAMICA DEL FLT]JO NO VISCOSO INCOMPRESIBLE 303
" sión. Un barómetro conectado al orificio señala una presión de 0"14 pulS de
mercurio por encima de Ia presiÓn atmosférica. Determine la velocidad apro-
ximada del aire que sale de ta boquilla si se encuentra a 40oF y 14.7 psia.
6.3ó Desde el sistema mostrado en la figura 6.14 se descarga agua a través de la§
tuberfas O V @. EI área de la sección transversal en @ es I .0 pulg2 y el área
de @ es 2.0 pulgl. Se tiene un calentamiento de 1.8 Btu por cada slug de
fluido que pÍ¡sa a travh del calentador. Desprécien§e los efectos del roza-
miento en cualquier caida de presiÓn a travé§ del c¿lentador'(a) Calcule el gasto volumétrico en la sección O.(b) Si el área @ es igual al fuea @ y ambas se encuentran al mismo nivel,
calcule el cambio de energia interna especifica a traves del calentador.
(c) Calcule el gasto volumétrico en la secciÓn @'
Flg" G14.
6.37 Considérese un flujo incompresible de aire en condicione§ e§tándaf, con un
campo de velocidades dado por
'i:o*r-Ayj+Bkdonde á = l0 s- l, I = 30 m/s y las coordenadas están dadas en metros.Despréciese la acción de la gravedad. Determine el c¿mbio de presión entrelos puntos {0, 0, 0) y (3, l, 0).
6.38 Consiclérese el flujo de agua representado por el campo de velocidades
V:Ay|+Axjdondeá = 3 s-r y las coordenadas se expresan en mttros. ¿Es posible calcu-lar el cambio de presión entre los puntos (0, 0, 0) y (1, l, l)? En caso afirma-tivo, calcúlese dicho cambio de presión.
6.19 Un campo de flujo incompresible está dado por
i:Ax2J'i-Ary'j
donde,4 = 6/mx s. Calcule la rotación del flujo. ¿Qué se puede decir respec-
to al empleo de la ecuación de Bernouüi en este caso?
6.ü Considérese el campo de flujo de agua dado por
i:¡ft2)'1i-B*y'j
donde/ = 3/m1. syB = 2/m3 . s.
(a) Encuentre la función de corriente que corre§ponde a este flujo.
@P2= P¿¡n
Determine la rotación del fluido.Si la acción de la gravedad no se considera, ¿es posible calcular la di-fere ncia de presión entre los puntos (0, 0, 0) y (1, l, l). En caso afirma-tivo, c¿lcúlese dicho cambio de presión; en crso negativo, diga porqué no.
6.41 Determine si puede aplicarse la ecr.¡acióa de Bernoulli entre diferentes radios,para los siguientes vórtices:
(a) Y : ori6
6.42 Dos discos circulares de radio, R, están separados por una distancia ó. El dis-co superior se mueve acercándose al disco inferior con vekxidad Iz. El espa-cio entre los discos está lleno de un fluido incompresible y sin rozamiento elcual experimenta un aplastamiento contbrme los discos se acercan. Supónga-se que en cualquier sección radial la velocidad es uniforme en toda la separa-ción, ü, entre los discos. Sin embargo, obsérvese que ó es una función deltiempo. La presión que rodea a los discos es a la atmosférica. Determine lapresión manométrica correspondiente a r = 0.
ó,{3 Aplique la ecuación de Bemoulli para flujo no estacionario al manómetro enforma de U que aparece en la figura 6,15 y cuya sección tiene un área cons-tante. Supóngase que iniqialmente existe una diferencia de nivel entre tas doscolumnas y que a partir de este instante se deja que el sistema trate de alcan-zar el equiübrio. Obtenga una ecuación diferencial para / en función deltiempo.
(b)(c)
-fr(b) v:=-i,!flr
II
-T
Fig. &rn