Capítulo 5 1. Vectores no plano. Operações com vectores

_______________________________________________

4.3 a) e b)

6.

1.1 a)

5.1 a)

Pág. 122

2 ;CD QR CD QM CD DF CF+ = + = + =uur uur uur uur uur uur uur

______________________________________________

Pág. 1282.1 Pág. 124

______________________________________________

Pág. 1253.1 a)

3.2

3.3

4.1

______________________________________________

Pág. 127

4.2

5.2 a)

b)

c)

b)

c)

_______________________________________________

Pág. 129

_______________________________________________

Pág. 1307.1 a),b) e c)

Capítulo 5 1. Vectores no plano. Operações com vectores

5.1

Pág. 132

7.2

Pág. 1318.1 a)

______________________________________________

8.2

4.

______________________________________________1.1 Pág. 132

1.2

2.

3.

5.2

6.

_______________________________________________

7.

8.1

Capítulo 5 1. Vectores no plano. Operações com vectores

8.3

8.2

9.1

9.2

10.1

10.3

10.2

10.4

10.5

Capítulo 5 2. Rectas no plano. Circunferência, elipse e hipérbole

_______________________________________________

1.1 a) Pág. 135

______________________________________________

Pág. 138

Pág. 136

2.

3.1

3.4

1.2

2.3

4.1

3.5

3.6

3.7

4.2

1.2 b

Pág. 137

Capítulo 5 2. Rectas no plano. Circunferência, elipse e hipérbole

_______________________________________________

5.1.1 Pág. 139

______________________________________________

Pág. 141

6.1

5.2

7.1

6.2

5.1.2

5.1.3

c)

Pág. 140

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 2 2 1

1 2

2 , 0 3 , 2 1 , 2

Assim, uma equação vectorial da recta é:

, 3 , 2 1 , 2 ,

P P P P

P P

x y k k

= − = − = − −

= + − − ∈

uuur

¡

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

.

1 2

1 2

Uma equação vectorial da semi-recta é:

, 3 , 2 1 , 2 ,

Uma equação vectorial do segmento de recta é:

, 3 , 2 1 , 2 , 0 , 1

P P

x y k k

P P

x y k k

= + − − ∈

= + − − ∈

¡7.2

7.3

_______________________________________________

8.1 a) Pág. 143

Capítulo 5 2. Rectas no plano. Circunferência, elipse e hipérbole

Pág. 141

8.2

8.3

Capítulo 5 2. Rectas no plano. Circunferência, elipse e hipérbole

_______________________________________________

______________________________________________

Pág. 147

9.1 c)Pág. 144

11.1

10.1 Pág. 145

10.2 a)

b)

9.2

9.3

9.5

9.4

9.6

b)

Capítulo 5 2. Rectas no plano. Circunferência, elipse e hipérbole

_______________________________________________

______________________________________________

Pág. 157

11.2

15.2 a)

Pág. 149

2.

14.

A distância entre o ponto e a recta deequação 3 5 0 é igual a zero. Tal acontece

porque o ponto está situado sobre a recta. Assim,se substituirmos e pelo ponto A obtemos uma

igualdade do tipo

Ax y

Ax y

+ − =

0 0 ou seja.

3 1 2 5 0 0 0.

Nota: Por lapso, a solução apresentada no manual não está correcta.

=

× + − = ⇔ =

12.

( )

A área do triângulo é dada pelo semiproduto docomprimento da base pela altura.

A base é e a altura é , ou seja, a distância

de à recta .

2 1 1Recta : ;4 1 3

1 1 1 1

3 3

AB CM

C AB

AB m

y x y

−= =−

− = − ⇔ =

uur uur

( )

23

Recta : 3;

3 3 2 3 9

Ponto :

1 21 23 3 3 3 1 2

3 9 3 93 3

31 22 3 352 9 272

5 3 As coordenadas do ponto são ,

2 2

x

CM m

y x y x

M

y xy x

y x x x

yy x

x x x

M

+

= −

− = − − ⇔ = − +

= + = + ⇔ = − + + = − +

= = + ⇔ ⇔ + = − + =

( ) ( )

2 2

2 2

.

5 3 5C M : 2 3 ;2 2 2

AB : 4 1 2 1 10

5 10AB CM 252 2,52 2 2

Área

− + − =

− + − =

××= = = =

uur

uur

uur uur

Pág. 148

______________________________________________

( )

2 2

Seja um ponto da recta , de coordenadas

0,5, por exemplo.

Seja : 3 8 0

Aplicando a fórmula, vem:

3 103 0 1 5 8 310103 1

A r

s x y

d d d

+ − =

× + × − −= ⇔ = ⇔ =+

13.

______________________________________________

Pág. 150

Pág. 154

______________________________________________

15. 1 a)

b)

16.

( )

2 2

A explosão registou-se sobre um dos ramos

da hipérbole 1 de focos115600 24884400

onde se situam os receptores e 680m .A B

x y

A B d d

− =

− =

_______________________________________________

1. Pág. 158

( )0

Uma vez que a inclinação da recta é negativa ou seja,

declive menor que zero ( 0), então .

Resposta: (C)

Determinação das coordenadas do ponto médio ( )

0 0, ,

2 2 2 2D

y m x a y m x ma

m y x a

M

a b a b

− = − ⇔ = −

< = − +

+ + =

( )

( )

( )

1 1

eterminação do declive da recta, utilizando os pontos

: , e : 0 , 02 2

02

02

Equação da recta

0 0

Resposta: (B)

a bM O

aa

m mb b

y y m x x

a ay x y x

b b

−= ⇔ =

−

− = −

− = − ⇔ =

3.

Cap ítulo 5 2. Rectas no plano. Circunferência, elipse e hipérbole

______________________________________________

4. 7.4

Pág. 159

10.5

5.

6.

7.1

7.2

7.3

8.1

8.2

8.3

8.4

9.1

9.2

9.3

10.1

10.2

10.3

10.4

Capítulo 5 2. Rectas no plano. Circunferência, elipse e hipérbole

11. ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

2 22 2

22

2 22 22 2

222 2

2 22 2

22

2 2 2 2

2 2

2 2

3 1 0 4

2 5 3

3 1 4

2 5 3

3 1 4

2 5 9

6 9 2 1 8 16

4 4 10 25 9

6 6 6 0

4 10

x y x y

x y

x y x y

x y

x y x y

x y

x x y y x y y

x x y y

x y

x y x

+ + − = − + − − + + =

+ + − = + − ⇔ − + + =

+ + − = + −⇔ − + + =

+ + + − + = + − +⇔

− + + + + =+ − =

⇔+ − +

( ) ( )22

2

2

20 0

1

1 4 10 1 20 0

1

2 16 31 0

Recorrendo à fórmula resolvente, vem:

2 16 31 0

16 256 2484

2 24 4

2 2Se:

2 2 24 4 1 32 2 2

2 24 4 1

2 2

y

y x

x x x x

y x

x x

x x

x

x x

x y y

x y

+ == − +

⇔ + − + − + − + + =

= − +⇔

− + =

− + =

± −⇔ =

⇔ = + ∨ = −

= + → = − + + ⇔ = − −

= − → = − − +

i

i 23

2

Logo, existem duas soluções:

2 2 2 24 , 3 ou 4 , 3

2 2 2 2

y⇔ = − +

+ − − − − +

Capítulo 5 3. Produto escalar de dois vectores no plano

_______________________________________________

1.1 Pág. 161

______________________________________________

Pág. 166

Pág. 1642.1 a)

3.

1.5

1.3

1.2

1.4

1.6

b)

c)

d1)

d2)

d3)

2.2

2.2 a)

a1)

a2)

b)

a)

2.3

b)

3.1

3.2 a)

b)

c)

Capítulo 5 3. Produto escalar de dois vectores no plano

_______________________________________________

d)

4.1 a) Pág. 167

3.3

a)

b)

c)

b)

c)

d)

4.2

Capítulo 5 3. Produto escalar de dois vectores no plano

_______________________________________________

f)

6.2

Pág. 170

4.3

b)1.

4.

______________________________________________

Pág. 1685.1 a)

c)

d)

e)

f)

5.2

a)

b)

c)

d)

Pág. 169

______________________________________________

1

1 12 2

1 15 5

121

2

1 1 2 222 2 2

−

−=

−

−=

−

−= −

− − ×= = −

×

6.1 a)

b)

c)

d)

e)

( )( ) ( )

( )( ) ( )

1 3 113 1 3 1 3 1

3 1 3 1

3 1 2 2

1 2 312 3 2 3 2 3

2 3 2 3

2 3

− +−=

− − +

− −= = − −

−

− +−=

− − +

− −= = +

−

g)

6.3

( ) ( )( )

( )2 2

3 ; 2

1 , 4 4 , 2

3 , 2

3 2 13

O perímetro, P, do triângulo é:

3 2 13 5 13

Resposta: (C).

AB AC

BC C B

BC

P P

= =

= − = −

= −

= − + =

= + + ⇔ = +

uur

uur

( )

( )2

O ponto 0, 1 é um ponto de .

: 2 5Então:

1 2 0 5 6 56551 2

Nota: Por lapso, nenhuma das alternativas está correcta.

r

s y x

d

−

= +

− − × − += = =

+

(A) Esta afirmação é falsa.

As rectas não são paralelas porque têm declives diferentes.

(B) Esta afirmação é falsa.

O ângulo das rectas e é agudo e o ângulo dos vectores e

é recto

a b u vr r

( )

.

(C) Esta afirmação é falsa.

Se é a inclinação de uma recta e 90º, o declive de é

tan .

1 1(D) É verdade, porque .

2 2Resposta: (D).

r rα α

α

≠

= −−

2.

3.

( )

( ) ( )

( )

2 2 2 2

Sendo , um ponto genérico das rectas e , tem-se:

, ,

3 4 2 4 3 5

3 4 4 33 4 2 4 3 5

5 53 4 2 4 3 5 3 4 2 4 3 5

7 0 7 7 3 0

Logo, 7 0 7 7 3 0 são as equações d

P x y p q

d P r d P s

x y x y

x y x y

x y x y x y x y

x y x y

x y x y

= ⇔

+ − + +⇔ =

+ ++ − + +

⇔ =

⇔ + − = + + ∨ + − = − + +

⇔ − + = ∨ + + =

− + = ∨ + + = as rectas e .p q_______________________________________________

Pág. 1715.

Capítulo 5 3. Produto escalar de dois vectores no plano

6.

7.4

7.1

7.2

7.3

8.

9.

10.1

10.2

10.3

10.3.1

10.3.2

10.3.3