CAPITULO 1 Fundamentos de Radiación para

Aplicaciones Atmosféricas

Este texto está diseñado para el estudio, comprensión y análisis cuantitativo de la radiación atmosférica, un campo en el que las interacciones de la radiación solar y terrestre con las moléculas, aerosoles y partículas de las nubes en atmósferas planetarias, así como con la superficie, se estudian a través de la teoría de transferencia radiativa y observaciones radiométricas hechas desde el suelo, el aire y el espacio. Este campo está estrechamente relacionado con la investigación de los efectos invernadero atmosférico resultantes de las perturbaciones externas de radiación en los sistemas climáticos y el desarrollo de metodologías para inferir los parámetros de la atmósfera y la superficie por medio de la teledetección. Comenzamos con una discusión de varios conceptos, definiciones y unidades que tengan relación con el campo de la radiación atmosférica.

1.1 CONCEPTOS, DEFINICIONES Y UNIDADES

1.1.1 Espectro EM

El proceso más importante responsable de la transferencia de energía en la atmósfera es la radiación electromagnética (EM). La radiación EM viaja en forma de onda, y todas las ondas EM viajan a la misma velocidad, la velocidad de la luz. c=2.99793×108 m s-1 en el vacío y casi la misma velocidad en el aire. La luz visible, los rayos gamma, rayos X, luz ultravioleta, radiación infrarroja, las microondas, las señales de televisión y ondas de radio constituyen el espectro EM. La retina del ojo humano es sensible a las ondas EM con frecuencias entre 4.3×1014 vibraciones por segundo (usualmente escrito como ciclos por segundo y abreviado cps.) y 7.5×1014 cps. Esta banda de frecuencias es llamada la región visible del espectro EM. El ojo, sin embargo, no responde las frecuencias de ondas electromagnéticas superiores a 7.5×1014 cps. Tales ondas, se extienden más allá del límite violeta del espectro, llamada luz ultravioleta. El ojo humano también no responde a ondas EM con frecuencias inferiores a 4.3×1014 cps. Estas ondas, con

frecuencias inferiores a la frecuencia más baja de la luz visible en el extremo rojo

del espectro y mayor que 3 × 1012 cps, se llama luz infrarroja o radiación infrarroja.

Más allá de la porción infrarroja del espectro están las microondas, las cuales cubren las frecuencias desde 3 × 1010

cps a 3 × 1012 cps. Las regiones espectrales

más significantes asociadas con transferencia de energía radiativa en atmosferas planetarias se encuentran entre la luz ultravioleta y microondas. La región de los rayos X del espectro EM, consiste de ondas con frecuencias desde 3×1016 cps a 3×1018

cps, y es adyacente a la región ultravioleta del espectro. La región de rayos gamma del espectro tiene las frecuencias más altas en el espectro, por encima de 3×1019

cps. Las ondas de radio tienen las frecuencias más bajas en el espectro, extendiéndose por debajo de 3×105

cps.

Las ondas EM son generalmente descritas en términos de su longitud de onda más que su frecuencia. La siguiente formula general relaciona la frecuencia y la longitud de onda λ: = / (1.1.1)

Donde c representa la velocidad de la luz en el vacío. Por convención se usa las unidades de micrómetros (µm; 1 µm = 10-4 cm) para denotar las longitudes de onda de radiación desde el sol. Otras unidades, conocidas como nanómetros (nm; 1 nm = 10-7 cm = 10-3 µm) y angstroms (Å; 1 Å = 10-4 µm) también se usan frecuentemente, particularmente para la radiación ultravioleta. La ecuación (1.1.1) es válida para cualquier tipo de onda y no está restringida a ondas EM. Es costumbre utilizar el número de onda ν para describir las características de la radiación infrarroja. Es definido por: = = (1.1.2)

Así, una longitud de onda de 10 micrómetros (µm) es igual a 1000 cm-1 número de onda. En la región de las microondas, sin embargo, la unidad de frecuencia es usada frecuentemente y es llamada gigahertz (GHz). Un GHz es igual a 109 cps. De aquí, 1 cm es equivalente a 30 GHz. La Figura 1.1 muestra el espectro EM completo junto a cada región correspondiente de frecuencias, numero de onda y longitud de onda.

Figura 1.1.El espectro EM en términos de la longitud de onda en µm, frecuencia en GHz, y numero de onda en cm-1

1.1.2 Angulo solido

El análisis del campo de radiación a menudo requiere la consideración de la cantidad de energía radiante confinada a un elemento de ángulo sólido. Un ángulo solido es definido como: el cociente del área σ de una superficie esférica y el cuadrado del radio, r, de la esfera que intercepta la superficie esférica (Figura 1.2). Ω = / (1.1.3)

Las unidades del ángulo solido son expresadas en términos del estereoradian (sr). Para una esfera cuya superficie es 4πr2, su ángulo solito es 4π sr.

Figura 1.2. Definición de ángulo sólido, donde σ denota el área y r es la distancia

Figura 1.3. Ilustración de un de ángulo solido diferencial y su representación en coordenadas polares, también muestra para propósitos demostrativos un haz de radiación a través de un elemento de área dA en direcciones confinadas a un elemento de ángulo solido dΩ. Las otras notaciones se definen en el texto. Para obtener un elemento diferencial de ángulo sólido, construimos una esfera cuyo centro es denotado como O. Asumiendo una línea a través del punto O moviéndose en el espacio e interceptando una superficie arbitraria localizada a

una distancia r desde el punto O, entonces es evidente de la Figura 1.3, que el área diferencial en coordenadas polares está dado por = (1.1.4) De aquí, el ángulo solido diferencial es: Ω = = (1.1.5)

Donde θ y φ denota los ángulos cenit y acimut, respectivamente, en coordenadas polares.

1.1.3 Cantidades Radiométricas Básicas

Considerar la cantidad diferencial de energía radiante dEλ en un intervalo de tiempo dt y en un intervalo de longitudes de onda específicas, λ a λ + dλ, la cual atraviesa un elemento de área dA representado en la Figura 1.3, en las direcciones confinadas a un ángulo solido diferencial, la cual está orientado un ángulo θ a la normal de dA. Esta energía es expresada en términos de la Intensidad específica Iλ por: = Ω (1.1.6) Donde cosθdA denota el área efectiva a la cual la energía está siendo interceptada. La ecuación (1.1.6) define la intensidad monocromática (o radiancia) en una forma general como: = !"#$%&' (1.1.7)

Así, la intensidad está en unidades de energía por área por tiempo por longitud de onda y por estereorradian. Es evidente que la intensidad implica una direccionalidad en la radiación. Por lo general, se dice que la intensidad está confinada en un haz de radiación. La densidad de flujo monocromática o la irradiancia monocromática de la energía radiante es definida por la componente normal de Iλ integrada sobre todo el ángulo solido hemisférico y puede ser escrito como: ( = ) Ω% (1.1.8)

En coordenadas polares, se escribe como: ( = ) ) , +/,+, (1.1.9)

Para radiación isotrópica (es decir, si la intensidad es independiente de la dirección), la densidad de flujo monocromático es entonces: ( = - (1.1.10)

La densidad de flujo total de la energía radiante, o irradiancia, para todas las longitudes de onda (energía por área por tiempo), se puede obtener integrando la densidad de flujo monocromático sobre todo el espectro electromagnético: ( = ) (., (1.1.11)

Además, el flujo total f, o potencia radiante W (energía por tiempo), es definido por: / = ) (' (1.1.12)

La densidad de flujo monocromático en el dominio de frecuencias puede ser escrita en la forma: (01 = 201 (1.1.13)

A partir de la relación entre longitud de onda y frecuencia (Ec. 1.1.1), tenemos: (01 = −/( (1.1.14) Del mismo modo, la intensidad en los dominios de longitud de onda y frecuencia se relacionan por: 01 = −/ (1.1.15) Una relación similar entre la densidad de flujo monocromático, o intensidad, en términos del número de onda y longitud de onda (o frecuencia) se puede expresar por medio de la Ec. 1.1.2. Cuando la densidad de flujo o la irradiancia es desde una superficie emisora, la cantidad se denomina Emitancia. Cuando expresamos en términos de la longitud de onda, se refiere como la Emitancia Monocromatica. La intensidad o radiancia es también llamada Brillo o Luminancia (Brillo fotométrico). El flujo total de una superficie emisora es frecuentemente conocida como la Luminosidad. Las cantidades radiométricas básicas son resumidas en la tabla 1.1, junto con su símbolo, dimensiones y unidades.

Tabla 1.1. Símbolos, dimensiones y unidades de varias cantidades radiométricas Símbolo Cantidad Dimensiones Unidades

E Energía ML2T −2 J f Flujo (luminosidad) ML2T −3 J s−1, W

F Densidad de flujo (irradiancia) Emitancia

MT−3 W m−2

I Intensidad (radiancia) Brillo (Luminancia)

MT−3 W m−2 sr−1

1.1.4 Conceptos de dispersión y absorción

La mayor parte de la luz que llega a nuestros ojos no proviene directamente de su fuente, sino indirectamente a través del proceso de dispersión. Vemos dispersión difusa de la luz del sol cuando miramos las nubes o el cielo. Las superficies del suelo y del agua y los objetos que nos rodean son visibles a través de la luz que se dispersa. Una lámpara eléctrica no nos envíe la luz directamente desde el filamento luminoso pero por lo general se ilumina con la luz que ha sido dispersada por la bombilla de vidrio. A menos que miremos directamente a una fuente de luz, como el sol, una llama o un filamento incandescente, vemos luz que ha sido dispersada. En la atmósfera, vemos muchos ejemplos coloridos de dispersión generada por las moléculas, los aerosoles y las nubes que contienen gotas de agua y cristales de hielo. El arco iris, el cielo azul, nubes blancas, y halos, por nombrar algunos, son todos fenómenos ópticos producidos por la dispersión. La dispersión es un proceso físico fundamental físicos asociados con la luz y su interacción con la materia. Ocurre en todas las longitudes de onda a lo largo de todo el espectro electromagnético. La dispersión es un proceso físico por la cual una partícula en el camino de una onda electromagnética abstrae continuamente energía desde la onda incidente y redirecciona la energía en todas las direcciones. Por lo tanto, la partícula puede ser considerada como una fuente puntual de energía dispersada. En la atmosfera, las partículas son responsables de la gama de dispersión por el tamaño de las moléculas de gas (~10-4 µm), aerosoles (~1 µm), gotas de agua (~10 µm), cristales de hielo (~100 µm), y grandes gotas de lluvia y partículas de granizo (~1 cm). El efecto del tamaño de la partícula sobre la dispersión se infiere por un término físico llamado “parámetro de tamaño”. Para una partícula esférica, se define como la relación de la circunferencia de partículas a la longitud de onda incidente, es decir, x = 2πa/λ, donde a es el radio de la partícula. Si x<<1, la dispersión se llama dispersión de Rayleigh. Un excelente ejemplo de este caso es la dispersión de la luz visible (0,4 - 0,7 µm) por moléculas de la atmósfera, lo que lleva a la explicación de cielo azul y la polarización del cielo que se discutirá en el Capítulo 3. Para partículas cuyas tamaños son comparables o más grandes de que la longitud de onda, es decir x ≥ 1, la dispersión es referida comúnmente como dispersión de Lorentz-Mie. La teoría matemática de dispersión de Lorentz-Mie para partículas esféricas se presenta en el Capítulo 5. La Figura 1.4 ilustra los patrones de dispersión de aerosoles esféricos de tamaño 10-4, 0.1 y 1 µm iluminados por una luz visible de 0.5 µm. Una partícula pequeña tienda a dispersar la luz igualmente en las direcciones hacia adelante u hacia atrás. Cuando la partícula es más grande, la energía se dispersada cada vez más concentrándose en la dirección hacia adelante con patrones de dispersión cada vez más complejos. Debido a la simetría esférica con respecto al haz de luz incidente, los patrones de dispersión para otros planos es el mismo como los presentados en la figura 1.4. La dispersión de la luz del sol por gotas de las nubes y gotas de lluvia produce el arco iris. Observaciones in situ y la fotografías de microscópica electrónica han mostrado que los aerosoles en la atmósfera, tales como minerales, hollín e incluso partículas oceánicas, muestran una gran variedad de formas que van desde las cuasi-esféricas con figuras geométricas muy irregulares dentro de su estructura interna. La forma y el tamaño de los cristales de hielo se rigen por la temperatura y la

sobresaturación, pero por lo general tienen una estructura hexagonal básica. En la atmósfera, si el crecimiento de cristales de hielo consisten en la colisión y fusión, la forma del cristal puede ser extremadamente complejo. Las observaciones recientes sobre la base de las sondas de aeronaves óptica y técnicas de replicador de latitud media generalizada, tropicales, árticas, y cirros muestran que estas nubes son en gran parte compuesta de cristales de hielo en forma de rosetas de bala, columnas sólidas y huecas, placas, y agregados y cristales de hielo con superficies irregulares con tamaños que van desde unos pocos micrómetros a miles de micrómetros. La dispersión de la luz solar por algunos de los cristales de hielo definidos produce fenómenos ópticos fascinantes incluyendo halos de 22° y 46° y numerosos arcos y puntos brillantes. La luz dispersada por partículas no esféricas e inhomogeneas, es materia de investigación en la actualidad, será cubierta en el Capítulo 5 y en la cual se presenta una combinación de soluciones geométricas y soluciones numéricas aproximadas.

Figura 1.4. Patrones angulares de la dispersión por aerosoles esféricos de tres tamaños iluminados por la luz visible de 0.5 µm: (a) 10-4 µm, (b) 0.1 µm y (c) 1 µm. El patrón de dispersión hacia adelante para aerosoles de 1 µm es extremadamente grande y se ha escalado para propósitos de presentación. En dispersión atmosférica, se asume generalmente que la luz dispersada por moléculas y partículas tienen la misma frecuencia (o longitudes de onda) que la onda incidente. Notar, sin embargo, que luz láser de alta energía puede producir fenómenos tales como dispersión Raman en corrimiento de frecuencias, la cual puede ser empleada para el sensoramiento remoto del vapor de agua. Las moléculas atmosféricas y partículas están separadas ampliamente, tal que cada partícula disperse la luz exactamente en la misma forma como si todas las otras partículas no existieran. Eso se refiere como dispersión independiente. La suposición de dispersión independiente simplifica enormemente el problema de la dispersión de la luz por una colección de partículas, ya que permite el uso de la cantidad de energía en vez de campo eléctrico en el análisis de la propagación de ondas electromagnéticas en atmosferas planetarias. En un volumen de dispersión, que contiene muchas partículas, cada partícula está expuesta, y también dispersa, la luz que ya se ha dispersado por otras partículas. Para demostrar este concepto nos referimos a la figura. 1.5. Una partícula en la posición P elimina la luz incidente por dispersión por una sola vez, es decir, dispersión simple, en todas las direcciones. Mientras tanto, una parte de esta luz

dispersada alcanza la partícula en la posición Q, donde se dispersa de nuevo en todas las direcciones. Esto se llama dispersión secundaria. Del mismo modo, una subsecuente dispersión de tercer orden involucra la partícula en la posición R. La dispersión de más de una vez se llama dispersión múltiple. De la figura. 1.5, parte de la luz incidente que ha sido el primero dispersado fuera de la dirección d puede volver a aparecer en esta dirección por medio de la dispersión múltiple. La dispersión múltiple es un proceso importante para la transferencia de energía radiante en la atmósfera, sobre todo cuando los aerosoles y las nubes están involucrados. El Capítulo 6 se ocupa de la teoría de la dispersión múltiple en atmósferas planetarias.

Figura 1.5. Proceso de dispersión múltiple que involucra ordenes de dispersión en la dirección denotada por d: primero (P), segundo (Q) y tercero (R)

La dispersión es a menudo acompañada por la absorción. La hierba se ve verde, ya que dispersa la luz verde mientras se absorbe la luz roja y azul. La energía absorbida se convierte en otra forma, y ya no está presente como la luz roja o azul. En ambientes moleculares, hay muy poca absorción de energía en el espectro visible. Las nubes también absorben la luz visible muy poco. Tanto la dispersión y la absorción eliminan la energía de un haz de luz que atraviesa un medio. El haz de luz se atenúa, y llamamos a esta atenuación extinción. Por lo tanto, la extinción es el resultado de la dispersión más la absorción. En un medio no absorbente, la dispersión es el único proceso de extinción. En el ámbito de la dispersión de la luz y la transferencia radiativa, se acostumbra a usar un término llamado sección transversal, análoga al área geométrica de una partícula, para indicar la cantidad de energía eliminada del haz original por la partícula. Cuando la sección transversal se asocia con la dimensión de las partículas, sus unidades se denotan en términos de área (cm2). Por lo tanto, la extensión de la sección transversal, en unidades de área, es la suma de la dispersión y la absorción de secciones transversales. Sin embargo, cuando la sección transversal es en referencia a la unidad de masa, sus unidades se dan en el área por unidad de masa (cm2 g-1). En este caso, la sección transversal de extinción en masa se utiliza en la transferencia de radiación. La extinción en masa de la sección transversal es, por lo tanto, la suma de las secciones transversales de absorción de la masa y la dispersión de masa. Por otra parte, cuando la sección transversal de extinción se multiplica por la densidad del número de partículas (cm-

3), o cuando la extinción en masa de la sección transversal se multiplica por la densidad (g cm-3), la cantidad se conoce como el coeficiente de extinción, cuyas unidades se dan en términos de longitud (cm-1). En el ámbito de la transferencia de

radiación infrarroja, la sección transversal de absorción de masa es simplemente conocida como el coeficiente de absorción. La absorción de energía por partículas y moléculas conduce a la emisión. El concepto de emisión está asociado con la radiación de cuerpo negro y se discutirá en la siguiente sección. Además, un menor número de constituyentes atmosféricos muestran complicadas estructuras de absorción de línea en la región infrarroja. En la Sección 1.3 y el Capítulo 4 se discute sobre los fundamentos de la formación de línea y la transferencia de la radiación infrarroja en la atmósfera. Una comprensión fundamental de los procesos de dispersión y absorción en la atmósfera es imprescindible para el estudio del balance de radiación y el clima de las atmósferas planetarias y para la exploración de técnicas de sondeo remoto para deducir la composición atmosférica y su estructura.

1.2 LEYES DE RADIACIÓN DE CUERPO NEGRO

Las leyes de la radiación de cuerpo negro son básicas para la comprensión de los procesos de absorción y emisión. Un cuerpo negro es un concepto básico en la física y puede visualizarse considerando una cavidad con un orificio de entrada pequeño, como se muestra en la figura. 1.6. La mayor parte del flujo radiante de entrada en este agujero desde el exterior quedará atrapado dentro de la cavidad, con independencia de las características del material y la superficie de la pared. Reflexiones repetidas internas se producen hasta que todos los flujos son absorbidos por la pared. La probabilidad de que cualquiera de los flujos de entrada se escape por el agujero es tan pequeña que el interior parece oscuro. El termino cuerpo negro se utiliza para una configuración de material donde la absorción es completa. La emisión por un cuerpo negro es el inverso de la absorción. El flujo emitido por cualquier área pequeña de la pared se refleja en varias ocasiones y en cada encuentro con la pared, el flujo se ve debilitado por la absorción y reforzado por la nueva emisión. Después de numerosos encuentros, de emisión y absorción alcanzan una condición de equilibrio con respecto a la temperatura de la pared. A continuación, se presentan cuatro leyes fundamentales que gobiernan la radiación del cuerpo negro, comenzando con la ley de Planck.

Figura 1.6. Una cavidad de radiación de cuerpo negro para ilustrar que la absorción es completa.

1.2.1 Ley de Planck En su búsqueda de una explicación teórica para la radiación de la cavidad, Planck (1901) supone que los átomos que componen la pared se comportan como diminutos osciladores electromagnéticos, cada uno con una frecuencia característica de oscilación. Los osciladores emiten energía en la cavidad y absorber la energía de ella. En su análisis, Planck fue llevado a hacer dos suposiciones acerca de los osciladores atómicos. En primer lugar, Planck postuló que un oscilador sólo puede tener la energía propuesta por = ℎ5 (1.2.1) Donde 5 es la frecuencia del oscilador, h es la constante de Planck, y n es llamado el número cuántico y puede tomar solamente valores enteros, La Ec. (1.2.1) afirma que la energía del oscilador esta cuantizada. Aunque desarrollos posteriores revelan que la formula correcta para un oscilador harmónico es,

= 6 + 12: ℎ5 (ver ecuación 1.3.7), los cambios introducidos no difieren de las conclusiones de Planck. En segundo lugar, Planck postula que los osciladores no radian energía continuamente, sino solo en paquetes, o en cuantos. Estos cuantos de energía son emitidos cuando un oscilador cambia desde uno a otro de sus estados de energía cuantizados. De aquí, si el número cuantico cambia por una unidad, la cantidad de energía radiada viene dada por: ; = ;ℎ5 = ℎ5 (1.2.2) Determinar la energía emitida requiere conocer el número total de osciladores con frecuencia ν para todos los estados posibles en acuerdo con la estadística de Boltzmann (apéndice A). Después de los dos postulados anteriores y la normalización de la energía media emitida por oscilador, la función de Planck en unidades de energía / área / tiempo / sr / frecuencia está dada por => = ?@

AB CD1EFGH (1.2.3)

Donde K es la constante de Boltzmann, c es la velocidad de la luz y T es la temperatura absoluta. Las constantes de Planck y Boltzmann han sido determinados experimentalmente y son h=6.626×10-34Js y K = 1.3806×10-23J °K-1. La función de Planck relaciona la intensidad monocromática emitida con la frecuencia y la temperatura de la sustancia emisora. Utilizando la relación entre frecuencia y longitud de onda, la ecuación (1.2.3) se puede escribir en términos de la longitud de onda λ. => = ?

IAB CJE!FGH = KLIABM!FGH

(1.2.4)

Donde C1 y C2 son conocidas como las constantes de radiación. La figura 1.7 muestra curvas de Bλ(T) versus longitud de onda para un número de temperaturas de emisión. Es evidente que la intensidad radiante del cuerpo negro aumenta con la temperatura y que la longitud de onda del máximo de intensidad decrece con el incremento de la temperatura. La función de Planck se comporta muy diferente cuando λ→∞, referida como la distribución de Rayleigh-Jeans, y cuando λ→0, referida como la distribución de Wien.

Figura 1.7. Intensidad de cuerpo negro (función de Planck) como una función de la longitud de onda para un numero de temperaturas de emisión

1.2.2 Ley de Stefan-Boltzmann La intensidad de radiación total de un cuerpo negro se puede obtener por integración de la función de Planck sobre todo el dominio de longitudes de onda desde 0 a ∞.

=> = ) =>., = ) ?NIAB CJE!FGH

., (1.2.5)

Introduciendo una nueva variable, x =hc/KλT, la ec. 1.2.5 se escribe como: => = OPQP?@ = ) R@BSG., T (1.2.6)

El término integral es igual a π4/15. Definiendo U = 2-VWV/15ℎY (1.2.7)

Tenemos que: => = U>V (1.2.8) Ya que la radiación de cuerpo es isotrópica, la densidad de flujo emitida por un cuerpo negro es: ( = -=> = >V (1.2.9) Donde σ es la constante de Stefan-Boltzmann y es igual a 5.67×10-8Jm-2s-1°K-4. La ecuación (1.2.9) establece que la densidad de flujo emitida por un cuerpo negro es proporcional a la cuarta potencia de la temperatura absoluta. Esta es la ley de Stefan-Boltzmann, fundamental para el análisis de transferencia radiativa de banda ancha en el infrarrojo.

1.2.3 Ley de desplazamiento de Wien La ley de desplazamiento de Wien establece que la longitud de onda de la intensidad máxima de radiación de cuerpo negro es inversamente proporcional a la temperatura. Diferenciando la función de Planck con respecto a la longitud de onda igualando el resultado a cero, Z[!QZ = 0 (1.2.10)

Obtenemos la longitud de onda del máximo, ] = ^/> (1.2.11) Donde a=2.897×10-3 m°K. A partir de esta relación, podemos determinar la temperatura de un cuerpo negro a partir de la medida de la intensidad monocromática máxima. La dependencia de la posición de la intensidad máxima sobre la temperatura es evidente a partir de las curvas de cuerpo negro en la figura 1.7.

1.2.4 Ley de Kirchhoff Las últimas tres leyes fundamentales tienen que ver con la intensidad de radiación emitida por un cuerpo negro, que depende de la longitud de onda y la temperatura del medio. Un medio puede absorber radiación de una longitud de onda particular, y al mismo tiempo, emitir radiación de la misma longitud de onda. La razón a la que las emisiones se llevan a cabo es una función de la temperatura y la longitud de onda. Esta es la propiedad fundamental de un medio con la condición de equilibrio termodinámico. El enunciado físico con respecto a la absorción y emisión fue propuesto por primera vez por Kirchhoff (1860). Para comprender el significado físico de la ley de Kirchhoff, consideremos un recinto cerrado perfectamente aislado con paredes negras. Supongamos que este sistema ha alcanzado el estado de equilibrio termodinámico caracterizado por temperatura uniforme y radiación isotrópica. Debido a que las paredes son de color negro la radiación emitida por el sistema a las paredes se absorbe. Por otra parte, debido a que hay equilibrio, la misma cantidad de radiación absorbida por las paredes es también emitida. Ya que el cuerpo negro absorbe el máximo de radiación posible, se ha de emitir la misma cantidad de radiación. Si se emite mas, el equilibrio no será posible, y esto violaría la segunda ley de la termodinámica. La radiación dentro del sistema se conoce como radiación de cuerpo negro como se señalo anteriormente, y la cantidad de Intensad de radiación es una función de la temperatura y la longitud de onda. Sobre la base de la discusión precedente, la emisividad de una determinada longitud de onda, ελ (definido como la razón de la intensidad emitida a la función de Planck), de un medio es igual a la capacidad de absorción, Aλ (absortividad, definida, como la razón de la intensidad absorbida a la función de Planck), de ese medio en equilibrio termodinámico. Por lo tanto, podemos escribir:

ελ = Aλ (1.2.12)

Un medio con una absortividad Aλ absorbe solamente Aλ times la intensidad de radiación de cuerpo negro Bλ(T) y por lo tanto emite ελ veces la intensidad de radiación de cuerpo negro. Para un cuerpo negro, la absorción es un máximo y también los es la emisión. Así, tenemos

Aλ = ελ = 1, (1.2.13) para todas las longitudes de onda. Un cuerpo gris esta caracterizado por absorción y emisión incompleta y puede ser descrito por

Aλ = ελ < 1, (1.2.13) La ley de Kirchhoff exige la condición de equilibrio termodinámico, de tal manera que la temperatura uniforme y la radiación isotrópica se alcancen. Obviamente, el campo de radiación de la atmosfera de la Tierra como un todo no es isotrópico y su temperatura no es uniforme. Sin embargo, en un volumen localizado debajo de los 60–70 km., con una buena aproximación, puede considerarse isotrópica con un temperatura uniforme la cual las transiciones energía son gobernadas por colisiones moleculares. Es en este contexto de Equilibrio Termodinámico Local (LTE) la ley de Kirchhoff es aplicable a la atmosfera. Situaciones fuera de las condiciones de LTE se discutirán en la Seccion1.3.3.

1.3 FORMACIÓN DE LÍNEAS DE ABSORCIÓN Y FORMA DE LÍNEA

1.3.1 Formación de Línea

La espectroscopia de alta resolución revela que los espectros de emisión de ciertos gases están compuestos por un gran número de líneas espectrales individuales y características. En la sección anterior, indicamos que Planck explico con éxito la naturaleza de la radiación de los objetos sólidos calientes, de la que el radiador de cavidad es el prototipo. Esta radiación genera espectros continuos, en lugar de líneas espectrales. Las ideas de Planck de cuantificación, bien extendida, sin embargo, conducen a una comprensión de los espectros de línea también. En lo siguiente, se utiliza el modelo más simple de hidrógeno para discutir la formación de líneas de emisión y absorción.

1.3.1.1 Modelo de Bohr

La investigación del espectro de hidrogeno llevo a Bohr (1913) a postular que las orbitas circulares de los electrones están cuantizados; esto es, su momento angular debe tener solamente múltiplos enteros de un valor básico. Bohr asume que el átomo de hidrogeno existe, de forma similar a los osciladores de Planck, en ciertos estados estacionarios en la cual no radia. La radiación ocurre solamente cuando el átomo hace una transición desde un estado con energía Ek a un estado con menor energía Ej. Así, escribimos O − _ = ℎ5 (1.3.1) Donde ℎ5 representa el quantum de energía transportada por el fotón, el cual es emitido desde el átomo durante la transición. El estado de energía mas bajo es llamado el estado fundamental del átomo. Cuando un electrón de un átomo

absorbe energía debido a la colisión y salta a una órbita más grande, el átomo se dice que está en un estado excitado. Entonces de acuerdo con la ecuación (1.3.1), una transición súbita tendrá lugar, y el átono emite un fotón de energía y colapsa a un estado de energía más bajo. Esto se ilustra en la Figura 1.8 para un átono de hidrogeno. También se muestra en esa figura la absorción de un fotón para un átono de hidrogeno estacionario.

Figura 1.8. Ilustración de la emisión y absorción para un átono de hidrogeno que está compuesto de un protón y un electrón. El radio de la órbita circular r esta dado por n2×053Å, donde n es el numero cuántico, y 1 Å = 10-8 cm. Bohr además postulo que el momento angular puede tomar solamente valores discretos por: ` = a ?+b , = 1,2,3,… (1.3.2)

Con esta regla de selección, Bohr muestra a partir de la ecuación de movimiento para un electrón que el estado de energía total del sistema está dado por: f = ]BPghi?

f = − jk?f , = 1,2,3, … (1.3.3)

Done m es la masa del electrón, e es la carga eléctrica transportada por el electrón, ε0 es la constante de permitividad dado por 8.85×10-12 coul/volt/m, con 1 volt = 1 joule/coul, y RH es la constante de Rydberg para el hidrogeno con un valor de 1.097×105 cm-1. De la ecuación (1.3.1), el numero de onda de las líneas de emisión o absorción en el espectro de hidrogeno es:

5 = lm a _ − Ob (1.3.4)

Figura 1.9. Diagrama de niveles de energía para un átono de hidrogeno mostrando el numero cuántico n para cada nivel y algunas de las transiciones que aparecen en el espectro.

Donde j y k son enteros que definen, respectivamente, los estados de energía inferior y superior. La figura 1.9 muestra el diagrama de energía para el hidrogeno. En el campo de la espectroscopia, la energía es usualmente dada en unidades de electrón voltios (eV) o en unidades de numero de onda (cm-1). Un electrón voltio es la energía adquirida por un electrón acelerado por una diferencia de potencial de un voltio, y es equivalente a 1.602×10-19 J. Cada salto cuántico entre niveles de energía fijos resulta en la emisión o absorción de una frecuencia característica o longitud de onda. Este cuanto aparece en el espectro como líneas de emisión o absorción. Para el átomo de hidrógeno simple descrito previamente el espectro de líneas es relativamente simple, mientras que los espectros de moléculas de vapor de agua, dióxido de carbono y ozono son mucho más complejos.

1.3.1.2 Transiciones Vibracional y Rotacional

En la discusión previa, usamos las transiciones electrónicas del átomo de hidrogeno para ilustrar la emisión y absorción. Esto nos ayuda a introducir las formas en la cual una molécula puede almacenar varios tipos de energía. Cualquier partícula que se mueve tiene energía cinética como un resultado de su movimiento en el espacio. Esta es conocida como energía traslacional. La energía cinética traslacional promedio de una sola molécula en las direcciones x, y, z es

igual a KT/2, donde K es la constante de Boltzmann y T es la temperatura absoluta. Una molécula, compuesta de átomos, puede rotar o girar alrededor de un eje a través de su centro de gravedad y por lo tanto tiene energía rotacional. Los átomos de las moléculas están ligados por ciertas fuerzas similares a los resortes, tal que los átomos individuales puedan vibrar cerca de su posición de equilibrio relativo una a otra. La molécula, por lo tanto, también tendrá energía vibracional. Estos tres tipos de energía molecular se basan en una modelo muy mecánico de la molécula, que ignora la estructura detallada de la molécula en términos de núcleo y electrones. Es posible, sin embargo, que la energía de la molécula cambie como resultado de un cambio en el estado de energía de los electrones de la cual está compuesto, como lo demostrado por el modelo de Bohr, Así, la molécula tienes energía electrónica. Los últimos tres tipos de energía están cuantizados y toman solamente valores discretos. La absorción y emisión de la radiación tomar lugar cuando los átomos de las moléculas se someten a a las transiciones de un estado de energía a otro. En general, estas transiciones están gobernadas por reglas de selección. En transiciones radiativas, la molécula debe acoplarse con un campo electromagnético tal que el intercambio de energía pueda tomar lugar. Este acoplamiento es generalmente proporcionado por el momento dipolar eléctrico de la molécula. Si los centros efectivos de las cargas positivas y negativas de las moléculas tienen separación no cero, entonces el momento dipolar existe. Los gases radiativamente activos en el infrarrojo, tales como H2O y O3, tienen momentos dipolar eléctrico permanente debido a su distribución de carga asimétrica, La moléculas lineales como N2 y O2, sin embargo, son inactivos en el infrarrojo debido a su distribución de carga simétrica. Sin embargo ellos tienes momento dipolares magnéticos débiles que permiten actividades radiativas tengan lugar en el ultravioleta y en menor medida en la región visible. Los cambios de energía rotacional son relativamente pequeños, con un mínimo en el orden de 1 cm-1. Por esta razón, las líneas rotacionales puras ocurren en el espectro de las microondas e infrarrojo lejano. La mayor parte de los niveles de energía rotacional por encima del nivel más bajo están poblados a temperatura terrestre. Los cambios en la energía vibracional son generalmente mayores que 600 cm-1, la cual es mucho mayor que el cambio mínimo en energía rotacional. Así, las transiciones vibracionales nunca ocurren solas pero están acoplados con transiciones rotacionales simultáneas. Este acoplamiento da lugar a un grupo de líneas conocido como la banda de vibración-rotación en el espectro infrarrojo intermedio. Una transición electrónica implica típicamente unos pocos electrón voltios (~104 cm-1) de la energía. Debido a que un fotón de alta energía se requiere para la transición, la absorción y la emisión por lo general se producen en el espectro visible o ultravioleta. Los átomos pueden producir espectros de línea asociada a la energía electrónica. Las moléculas, sin embargo, pueden tener dos tipos adicionales de energía, dando lugar a sistemas de banda complejo. En el inciso 1.3.1.1, discutimos el significado físico de los estados estacionarios de un átomo de hidrógeno. Schrodinger (1926) introdujo por primera vez la idea de estados estacionarios correspondientes a las ondas de materia y se utiliza esta idea como base de la mecánica ondulatoria. En la mecánica cuántica, para determinar los estados de energía producida por las transiciones de vibración y rotación, un término que se refiere como el operador Hamiltoniano, H, fue

introducido como un operador conveniente para reemplazar variables en la expresión clásica de la energía, E, de un sistema compuesto de un núcleo atómico y electrones que forman una molécula. La ecuación de Schrodinger puede ser escrita en términos de la ecuación diferencial de primer orden involucrando la función de onda y el operador Hamiltoniano (apéndice B), El Hamiltoniano puede ser linealmente separado en un término dependiente del tiempo y un término independiente del tiempo. Los estados estacionarios de las moléculas se pueden deducir desde el termino independiente del tiempo, dado como resultado eigenvalores discretos (niveles de energía), En, y eigenfunciones, ϕn, Las transiciones entre niveles de energía resultan en la absorción y emisión de fotones con frecuencia 5 siguiendo la relación de Planck. El térmico dependiente del tiempo puede ser tratado como una perturbación a partir de la cual se puede evaluar la razón de cambio de la probabilidad que el estado estacionario sea ocupado. El operador Hamiltoniano para el oscilador harmónico rígido que rota es separable por movimientos vibracional y rotacional tal que las energías puedan ser agregadas para un estado combinado. Para los estados rotacional, la energía cinética de un dipolo rotador rígido es igual a la mitad del producto del momento angular, L, y la velocidad angular, ω, es decir, Lω/2, donde L = Iω e I es el momento de inercia. A partir de la solución de la ecuación de Schrodinger independiente del tiempo, las restricciones cuánticas para el momento angular están dadas por: ` = ?+ noo + 1p/ (1.3.5)

Donde J es el numero cuántico rotacional (un entero). Así, la energía rotacional cuantizada puede ser escrita como: q = =ℎoo + 1 (1.3.6) Donde B=h/8π2Ic es la constante rotacional. Esta expresión es válida para un dipolo rígido que gira asumiendo tapas esféricos o moléculas lineales. Para tapas asimétricas, se requiere un término adicional. La regla de selección para transiciones de radiación es gobernada por ∆J=±1, aplicable para el modelo de oscilador armónico rígido que rota. A partir de la relación de Planck en (13.1), la ubicación de la línea espectral se puede derivar y está dada por ν =2BJ’ (cm-1), donde J’ puede ser cualquier numero cuántico. Debido a la regla de selección, la separación en número de onda de líneas adyacentes es simplemente 2B (cm-1), como muestra la Figura 1.10a. Como se señaló anteriormente, debido a la poca energía de una transición de rotación, los espectros de rotación pura se producen sólo en el infrarrojo lejano y las regiones de microondas. Para los estados vibracionales, los niveles de energía cuantizados de una vibración armónica están dados por 0 = ℎ5O5O + (1.3.7)

Donde νk es el numero cuántico vibracional (un entero) y el subíndice k denota los modos normales. Para moléculas triatómicas tales como H2O y O3, hay tres modos normales, referidos como fundamentales. Para moléculas lineales como NO2 y CO2, hay cuatro modos fundamentales, pero dos modos ortogonales son

degenerados y solamente tres fundamentales existen (Figura 3.3). El término degenerado es usado para denotar estados con la misma energía pero con diferente conjuntos de números cuánticos.

Figura 1.10. (a) transición rotacional siguiendo la regla de selección ∆J=+1 y líneas espectrales espaciados igualmente en número de onda. (b) transiciones vibracional y rotacional simultanea donde ∆J=-1 produce la ramificación P y ∆J=+1 genera la ramificación R. ∆J=0 muestra la ramificación Q que traslapa con los numero de onda vibracional. La vibración molecular produce un momento dipolar eléctrico oscilante que es suficiente para ambas transiciones vibracional y rotacional. Así, ambas

transiciones ocurren simultáneamente y el nivel de energía resultante es la suma de las energías de transición separadas. Debido a que la energía de la transición vibracional es mucho mayor que la de la transición rotacional como se hizo notar previamente, y ya que muchos niveles rotacionales están activos, el espectro de las transiciones combinadas es un arreglo de líneas rotacionales agrupadas alrededor del número de onda vibracional, como ilustra la Figura 1.10b. A partir de la ecuación (1.3.6) y (1.3.7) , la suma de las energías rotacional y vibracional es: 0,q = =ℎoo + 1 + ℎ5O5O + (1.3.8)

En casos simples, la regla de selección es ∆νk = ±1, excepto que ∆νk = -1 no puede ser aplicado a νk = 0. Considere las transiciones (ν’k, J’)←(ν”k, J”), y seaν”k=0, el estado base, y ν”k=1, el primer estado excitado. J’ y J” denotan los estados rotacional superior e inferior, respectivamente, como muestra la Figura 1.10b. As reglas de selección en este caso son ∆νk = 1 (fundamental) y ∆J = ±1. La mayoría de las moléculas están en el estado base pero están distribuidos en numerosos niveles de J”. Así, cualquier molécula avanzado al nivel ν’ puede ir al siguiente nivel rotacional superior, para ∆J=+1, o para el siguiente nivel inferior, para ∆J=-1, con una probabilidad más o menos igual. Usando la relación de Planck, encontramos que el número de onda espectral de la línea está dada por

5 = 5O r +2=os, os = 1,2, …,∆o = +1−2=os + 1,os = 0,1,…,∆o = −1 (1.3.9)

Donde J’ es el numero cuántico rotacional en el estado vibracional excitado ν’. Debido a que muchos niveles de energía rotacionales cercanamente espaciados están involucrados, numerosas transiciones generan una banda de líneas rotacionales agrupadas a cada lado del número de onda vibracional, νk, con espaciamiento de 2B cm-1, en cuanto a un espectro de rotación pura. Varias de las transiciones simultaneas disponibles para moléculas diatónicas y moléculas triatómicas (es decir, CO2) en modos normales k=1 (ν1) y k=3 (ν3) fundamentales son mostrados esquemáticamente en la figura 1.10b. El grupo con menor energía (∆J=-1) y por tanto la porción de numero de onda menor de la banda, es llamada la ramificación P. La parte del número de onda superior es referida como la ramificación R, correspondiente a (∆J=+1). El espaciamiento del nivel rotacional en el nivel ν’ son algo más pequeños que aquellos en el nivel ν” debido a que el momento de inercia incrementa en niveles vibracionales mayores. Las longitudes de las flejas no aumentan de manera constante desde la izquierda a la derecha y la separación del número de onda de las líneas disminuye levemente. La ramificaciones P y R son llamadas Ramificaciones paralelas debido a que momento dipolar oscila paralelamente al eje internuclear (Figura 3.3). Para tales modos vibracionales la transición (∆J=0) está prohibida. En mecánica cuántica, es comúnmente referida como transiciones prohibidas y permitidas. Par el modo vibracional k=2 (ν2) moléculas triatómicas lineales y los tres modos de inclinación triatómica (Figura 3.3), el cambio de momento dipolar tiene una componente perpendicular a un eje inernuclear. La regla de selección rotacional es ahora (∆J=0, ±1), la cual produce una ramificación Q que corresponde a ∆J=0, conocida como la ramificación perpendicular. Esta ramificación ocurre a la frecuencia vibracional propia. En casos sencillos, aparece como una línea ancha sin resolver.

Pero si el momento de inercia difiere en los niveles ν’ y ν”, la ramificación Q puede ser vista como un grupo de líneas muy poco espaciadas. Las transiciones vibracional y rotacional discutidas anteriormente son para el oscilador armónico rígido que rota en la cual las reglas de selección están dadas por (∆J= ±1) y (∆ν= ±1). Debido a la no harmonicidad del oscilador, la transición ν=1←0 se diferencia de la transición ν= 2←1. La banda de estado superior 2←1 no tiene la misma frecuencia que la banda del estado fundamental 1←0. Por otra parte, la no harmonicidad también cambia las reglas de selección de las de un oscilador armónico en el que todos los cambios integrales de los números cuánticos son permitidos. Por ejemplo, ∆ν=2 da la primera banda armónica con el doble de la frecuencia del modo normal (fundamental). Los cambios simultáneos en dos diferentes números cuánticos vibracionales dan lugar a bandas combinadas y diferentes con frecuencias que son la suma o diferencia de las frecuencias del modo normal. Ellos normalmente tienen menores probabilidades de transición que los fundamentos.

1.3.2 Ensanchamiento de Línea

La emisión monocromática casi nunca se observa. Los niveles de energía durante las transiciones de energía son normalmente cambiados ligeramente debido a las influencias externas sobre los átomos y moléculas, y la pérdida de energía en la emisión. Como consecuencia, la radiación emitida durante las transiciones de energía repetidas no es monocromática, y las líneas espectrales de ancho finito pueden observarse. La ensanchamiento de las líneas espectrales es causado por: (1) la amortiguación de las vibraciones del oscilador como resultado de la pérdida de energía en la emisión (el ensanchamiento de las líneas en este caso se considera normal), (2) las perturbaciones debidas a colisiones recíproca entre las moléculas absorbentes y moléculas absorbentes y no absorbentes, y (3) el efecto Doppler resultado de la diferencia de velocidades térmica de los átomos y moléculas. En ensanchamiento de las líneas debido a la pérdida de energía en las emisiones (ensanchamiento natural) es prácticamente insignificante en comparación con el causado por las colisiones y el efecto Doppler. En la alta atmósfera, encontramos una combinación de ensanchamientos por colisión y Doppler, mientras que en la baja atmósfera, por debajo de 20 km aproximadamente, el ensanchamiento por colisión prevalece debido al efecto de la presión.

1.3.2.1 Ensanchamiento por presión

La forma de líneas espectrales debido a colisiones, referidas como ensanchamiento por presión, están dadas por el perfil de Lorentz (Lorentz, 1906). Esta expresado por la formula u0 = v+ w0Gixw = y/5 − z, (1.3.10)

Donde u0 denota el coeficiente de absorción, z, el numero de onda de una línea monocromática ideal, α es el ancho medio de la línea a la mitad del máximo y es una función de de la presión y en menor medida de la

temperatura, /5 − z, representa el factor de forma de la línea espectral, y la intensidad de la línea S es definido por ) u05 = y.G. (1.3.11)

En este caso, decimos que el coeficiente de absorción esta normalizado. La Figura 1.11 ilustra el perfil de Lorentz.

Figura 1.11. Formas de línea de Lorentz y Doppler para las mismas intensidades y anchos de línea. La forma de la línea de absorción de Lorentz es fundamental para la teoría de transferencia de radiación en el infrarrojo de las atmosferas y por esta razón es necesario dar un breve explicación de cómo se deriva la formula denotada en la ecuación (1.3.10). Una molécula aislada emite o absorbe una onda harmónica pura dada por / = 2-5, (1.3.12a) Donde c es la velocidad de la luz y A es una amplitud arbitraria. Durante el periodo –t/2 a t/2, la distribución de amplitud g(ν) de la onda en el dominio de números de ondas discretos se puede obtener desde la transformada de Fourier del coseno:

5 = |2- a2-50′b2-5′′&,= 2-Y

-50+550+5 + -50− 550−5 1.3.12U Generalmente, los anchos de líneas de absorción son mucho más pequeñas que 5,, tal que le primer término en (1.3.12b) pueda ser despreciado cuando es comparado al segundo.

La única desviación del comportamiento puramente armónico se produciría por la amortiguación debido a la perdida de energía en emisión. En el infrarrojo, el efecto espectroscópico de este amortiguamiento es extremadamente pequeño. Sin embargo, si unja molécula radiando choca con otra molécula, este altera el tren de ondas armónico radiante debido a las fuerza intermoleculares, y la frecuencia de la molécula que emite será temporalmente desplazada por una cantidad apreciable. Ya que la colisión puede considerarse como instantánea, asumimos que el principal efecto de la colisión es destruir la coherencia de fase del tren de onda emitido. Así, después de la colisión la molécula comienza a emitir a otra fase y esta nueva fase está ahora distribuida aleatoriamente. De los principios generales de estadística, el tiempo entre colisiones está distribuida de acuerdo a la Ley de Posisson, que establece la probabilidad de que una colisión ocurra en el tiempo t y t + dt es e-t/t0, donde t0 es la media temporal entre colisiones. Todas las fases iniciales del tren de ondas deben ser promediadas. Así, el coeficiente de absorción viene dado por: u0 = ′ ) nzpG&/&i., (1.3.13) nzp, es la distribución de intensidad, A’ es una constante. Además, asiendo 1/, = 2- y usando la Ec. 1.3.11, encontramos que la Ec. 1.3.13 es equivalente a la Ec. 1.3.10. Así pues, 2-es el número de colisiones por molécula por unidad de tiempo. La forma de la línea Lorentz también se puede derivar desde la teoría clásica de absorción y dispersión como muestra el apéndice D. De la teoría cinética de gases, el ancho medio α depende la presión y la temperatura es dado por: = ,/,>,/>f (1.3.14) α0 es el ancho a presión (p0=1013 mb) y temperatura, (T0=273 K) estándares. El índice n va desde ½ a 1, dependiendo del tipo de molécula, Cuando n=1/2, se conoce como valor clásico, bajo esta condición α0 va desde 0.01 a 0.1 cm-1 para la mayoría de gases radiativamente activos en la atmosfera de la Tierra y depende de la línea espectral, Para el CO2, es bastante constante con un valor de 0.07.

1.3.2.2 Ensanchamiento Doppler

Asumiendo que no hay ensanchamiento por colisión en un gas altamente enrarecido, una molécula en un estado cuántico dado radia a un número de onda 5,. Si las moléculas tienen una componente de velocidad en la línea de visión (línea que une la molécula y el observador), y si ≪ , la velocidad de la luz, el número de onda: z = z,1 ± / (1.3.15) Sea la probabilidad que la componente de velocidad sea entre y + . De la teoría cinética, si los estados translacional están en equilibrio, es dado por la distribución de Maxwell-Boltzmann:

= /2-W>/G]/Q (1.3.16) m, es la masa de la molécula, K es la constante de Boltzmann y T la temperatura absoluta. Para obtener la distribución Doppler, insertamos la expresión (13.15) en (1.3.16) y normalizamos para una Intensidad de línea integrada S, definida en (1.3.11). Así encontramos el coeficiente de absorción en la forma:

u0 = vw√+ G6NDi : (1.3.17)

= z,2W>// (1.3.18)

Es una medida del ancho Doppler de la línea. El ancho medio es √2. Una represnetacion grafica de la forma de líneas Doppler es mostrada en la Fig 1.11. Debido a que el coeficiente de absorción de una línea Doppler es dependiente de G6NDi :, este es más intenso en el centro de línea y más

débil en los lados que la forma de Lorentz. Esto implica que cuando una línea es completamente absorbida en el centro, cualquier adición de absorción ocurrirá en los lados y será causado por efectos de colisión más que efecto Doppler.

1.3.2.3 Perfil de Voigt

En la región de 20-50 km, la forma de línea efectiva es determinada por procesos de colisión y efecto Doppler. Agregándose, la componente de corrimiento Doppler a las líneas de presión ensanchadas a números de onda z′ − z, a fin de combinar los dos efectos. Las formas de línea para ensanchamiento por presión y Doppler pueden expresarse como: /z′ − z, y /z − z′, respectivamente. Para tomar en cuenta todas las posibles velocidades térmicas, a convolución de la forma de las líneas de Lorentz y Doppler se pueden realizar y obtener: /z − z, = ) /zs − z,/z − zszsx.G. = (1.3.19a)

1-Y/ 1zs − z, + x.

G.T −z − zs z′

Esta forma de línea es llamada como el Perfil de Voigt. Para simplificar el perfil de Voigt, hacemos = z − z′/, = /, T = z − z0/, Obteniendo: /z − z, = vw√+WT, (1.3.19b)

Donde la función de Voigt se define como:

WT, = + ) xRG& G&x.G. (1.3.20)

1.3.3 Detalle de Equilibrio Termodinámico

En la sección 1.2.4, señalamos que en equilibrio termodinámico, la función fuente es dada por la función de Planck, que depende de T, frecuencia, y c. Dentro de un pequeño recinto cerrado a temperatura constante, un elemento de materia absorbe y emite según las leyes de Planck y Kirchhoff. Sin embargo, como señalo Einstein, la emisión es también afectada por el campo de radiación incidente, emisión inducida. En lo siguiente extenderemos como la función fuente y el coeficiente de absorción cambia desde sus valores de equilibrio por acción de radiación incidente. Lo cual lleva a usas un modelo estadístico microscópico para comprender la condición bajo la cual la ley de Kirchhoff no se puede aplicar.

1.4 INTRODUCCIÓN A TRANSFERENCIA RADIATIVA

1.4.1 La ecuación de Transferencia radiativa

Un haz de radiación que atraviesa un medio será atenuado por su interacción con la materia. Si la intensidad de radiación Iλ se convierte en Iλ + dIλ después de atravesar un espesor ds en la dirección de propagación, entonces = −u (1.4.1)

Donde ρ es la densidad del material y kλ denota la sección transversal de extinción de masa (en unidades de rea por masa) para radiación de longitud de onda λ. Como se discutió en la sección 1.1.4, la sección eficaz de extinción de masa es la suma de las secciones transversales de absorción y dispersión. Así, la reducción en la intensidad es debida a la absorción del material así como la dispersión por el material. Por otro lado, la intensidad de la radiación puede ser intensificada por emisión del material más la dispersión múltiple de todas las otras direcciones en un haz bajo consideración a la misma longitud de onda (Figura 1.13). Definimos el coeficiente función fuente jλ tal que el aumento en la intensidad debido a la emisión y múltiple dispersión es dado por = (1.4.2) Donde el coeficiente función fuente tiene el mismo significado físico que la sección transversal de extinción de masa. Al combinar las ecuaciones (1.4.1) y (1.4.2) tenemos = −u + (1.4.3)

Sin embargo, es conveniente definir la función fuente Jλ tal que

o = /u (1.4.4)

Figura 1.13. Atenuación de la intensidad de la radiación al atravesar un medio de extinción De esta manera, la función fuente tiene unidades de intensidad radiante. Permitiendo que la ecuación (1.4.3) puede ser escrito como !O!# = − + o (1.4.5)

Esta es la ecuación de transferencia radiativa general, la cual es fundamental para la discusión de cualquier proceso de transferencia de radiación.

1.4.2 Ley de Beer-Bouguer-Lambert

Considérese un haz de luz del sol, la cual cubre las longitudes de onda de 0.2 a 5 µm aproximadamente. Las contribuciones del sistema Tierra-Atmósfera se pueden despreciar generalmente, como se discutió en la sección 1.2. Además, si la radiación difusa producida por dispersión múltiple puede ser despreciada, entonces la ecuación (1.4.5) se reduce a la siguiente forma: !O!# = − (1.4.6)

Sea la Intensidad incidente Iλ(0) en s=0. Entonces la intensidad emergente a una distancia s1 mostrada en la Figura 1.3 puede ser obtenida por integración de la ecuación (1.4.6) y viene dada por 1 = 0T−) u#L, (1.4.7)

Asumiendo que el medio es homogéneo, tal que kλ sea independiente de la distancia s y definiendo la longitud de camino = ) 1, (1.4.8)

La ecuación (1.4.7) se puede escribir como

1 = 0−O! (1.4.9) Esta es conocida como la ley de Beer-Bouguer-Lambert, la cual establece que la disminución en la intensidad radiante que atraviesa un medio de extinción homogénea está de acuerdo a un decaimiento exponencial cuyo argumento es el producto de la sección transversal de extinción de masa y la longitud del camino. A partir de la ecuación (1.4.9), definimos la transmisividad monocromática Tλ: > = 1/0 = −O! (1.4.10) Además, para un medio no dispersivo, la absortividad monocromática, que representa la fracción de la radiación incidente que es absorbida por el medio, es dada por = 1 − > = 1 − −O! (1.4.11) Las ecuaciones (1.4.10) y (1.4.11) son normalmente expresadas en el dominio del número de onda en conjunción con la aplicación de transferencia radiativa en el infrarrojo. Finalmente, si hay una contribución de dispersión del medio, ciertas porciones de radiación incidente puede reflejarse hacia la dirección incidente. En este caso, definimos la reflectividad monocromática Rλ, la cual es la razón de la intensidad reflejada (retro-dispersión) a la intensidad incidente. Por conservación de energía, se debe tener que > + + l = 1 (1.4.12) Para la transferencia de radiación a través de un medio dispersivo y absorbente.

1.4.3 La ecuación de Schwarzschild y su Solución

Consideremos un medio no dispersivo en LTE. Un haz de intensidad Iλ pasa a través de el se someterá a los proceso de absorción y emision simultáneamente. Este es el caso de transferencia de radiación en el infrarrojo térmico emitido desde la Tierra y la atmosfera. La función fuente, definida en la ecuación (1.4.4), es dada por la función de Planck y puede ser expresada por o = => (1.4.13) Y la ETR puede ser escrita como: !O!# = − + => (1.4.14)

Donde kλ es ahora el coeficiente de absorción. El primer término del lado derecho de la ecuación (1.4.14) denota la reducción de la intensidad radiante debido a la absorción, mientras que el segundo térmico representa el incremento en la intensidad de la radiación debido a emisión de cuerpo negro del material. Para

buscar una solución de la ecuación de Schwarzchild, definimos el espesor óptico monocromático del medio entre los puntos s y s1 como muestra la Figura 1.14 en la forma.

Figura 1.14. Representación esquemática del espesor óptico del medio , = ) u′#L# (1.4.15)

Notando que: , = −u (1.4.16) La ecuación (1.4.14) se hace − !#!#L,# = − + =n>p (1.4.17)

Multiplicando la ecuación por el factor G1,, e integrando el espesor ds desde 0 a s1, obtenemos −) G1,1, = ) =n>pG1,1, 1, (1.4.18)

Por consiguiente tenemos 1 = 0−!#L,, + ) =n>p−!#L,#u#L0 (1.4.19)

En primer término de la ecuación (1.4.19) es prácticamente equivalente a la ecuación (1.4.7), representa la atenuación por absorción de la intensidad de las radiaciones por el medio. El segundo término denota la contribución de la emisión del medio a lo largo del camino 0 a s1. Si la temperatura y densidad del medio y el coeficiente de absorción asociada a lo largo del camino del haz son conocidos, la ecuación (1.4.19) puede ser integrado numéricamente para poder obtener la intensidad de la radiación en el punto s1. Las aplicaciones de la ecuación (1.4.19) para transferencia radiativa infrarroja y para el sondeo remoto de perfiles de temperatura atmosférica serán discutidos en los Capítulos 4 y 7. En la discusión de las líneas de absorción y emisión en el espectro del sol y estrellas, Schwarzschild (1914) presenta la ecuación (1.4.14) dentro del contexto de la ley de Kirchhoff y deriva una solución integral para la condición sin dispersión.

Figura 1.15. Geometría para atmosfera plano-paralela, donde θ y φ son los ángulos cenit y acimut, respectivamente, y s representa el vector posición.

1.4.4 La ETR para Atmósferas Plano-Paralelas

Para muchas aplicaciones de transferencia radiativa atmosférica, es físicamente apropiado considerar que la atmosfera en porciones localizadas es plano-paralela tal que las variaciones en la intensidad y parámetros atmosféricos (temperatura y perfiles de gases) sean permitidos solamente en la dirección vertical (es decir, altura y presión). En este caso, es conveniente medir distancias normales lineales al plano de estratificación (Figura 1.15). Si Z denota esta distancia, entonces la ETR general definida en la ecuación (1.4.5) se hace ,$,O = −, , + o, , (1.4.20)

Donde θ denota la inclinación desde la normal, y φ el ángulo acimut en referencia al eje x. Aquí, hemos omitido el subíndice λ en varias cantidades radiométricas. Introduciendo el espesor óptico normal (o profundidad) = ) u′., (1.4.21)

Medida hacia abajo desde el límite exterior, tenemos ,¡, = , , − o, , (1.4.22)

Donde µ = cosθ. Esta es la ecuación básica para el problema de dispersión múltiple en atmosferas plano-paralelas

Figura 1.16. Intensidades hacia arriba (µ) y hacia abajo (-µ) en un determinado nivel τ y en los niveles de la parte superior (τ = 0) e inferior (τ = τ*) en una atmosfera finita plano-paralelo. Seguimos el mismo procedimiento descrito en la sección (1.4.3), la ecuación (1.4.22) se puede resolver para obtener las intensidades hacia arriba y hacia abajo para un atmosfera finita que está limitada en dos lados a τ=0 y τ=τ* como se ilustra en la Figura 1.16. Para obtener la intensidad hacia arriba (µ>0) en el nivel τ, multiplicamos la ecuación (1.4.22) por el factor G/¡ y realizamos la integración desde τ a τ = τ*. Esto nos lleva a

, , = ∗, , Ga∗G¡ b + os, , GsG¡ ′ ∗ 1 ≥ ≥ 0

(1.4.23) Para obtener la intensidad hacia abajo (µ<0) en el nivel τ, se usa el factor G/¡ y µ es reemplazado por -µ. Después de realizar la integración desde τ=0 a τ, obtenemos:

, − , = 0, − , G¡ + os, − , GGG¤¡ ′ , 1 ≥ ≥ 0

(1.4.24) En las ecuaciones (1.4.23) y (1.4.24), ∗, , y 0,− , representan las intensidades fuentes internas en las superficies inferior y superior, respectivamente, como se muestra en la Figura 1.16. Para aplicaciones a atmosferas planetarias, es deseable medir las intensidades emergentes hacia el exterior en la parte superior e inferior de la atmosfera en

conjunción con estudios de sensoramiento remoto de la composición atmosférica y balance de radiación. Estableciendo τ=0 en la ecuación (1.4.23), tenemos

0, , = ∗, , G¥∗¦ + ) os, , G¥¤¦ s¡∗, (1.4.25)

Donde el primer y segundo término representan, respectivamente, la contribución de la superficie inferior (atenuada en la parte superior) y la contribución atmosférica interna. Por otro lado, si elegimos τ=τ* en la ecuación (1.4.24), obtenemos

∗, − , = 0, − , G∗¡ + os, − , GG∗G¤¡ ′ ∗, 1 ≥ ≥ 0

(1.4.26) Donde, nuevamente, el primer y el segundo término representan la contribución de la superficie superior (atenuada en la parte inferior) y la contribución de la atmósfera interior, respectivamente. Las aplicaciones detalladas de las ecuaciones anteriores asociadas a la transferencia de la radiación en el infrarrojo y dispersión múltiple se discutirán en los capítulos 4 y 6.

1.4.5 La ETR para un medio no homogéneos tridimensionales

En varias condiciones atmosféricas, la suposición plano-paralela puede no ser válida. Estas incluyen la transferencia de radiación en la atmosfera donde la geometría debe ser tomada en cuenta, y en nubes con dimensiones finitas y/o no homogéneas en la dirección horizontal. Lo último ha sido objeto de investigación y desarrollo en la actualidad en relación con estudios de nubes en clima y sensoramiento remoto. Aunque este tema se verá con más detalle en el Capítulo 6, aquí proporcionamos algunas notas introductorias consistentes con la presentación precedente. Comenzamos con la ETR general discutida en la sección 1.4.1. El coeficiente de extinción será §B = u y omitiendo el subíndice λ para simplificar, tenemos − ¨©# = − o (1.4.27)

El operador diferencia puede ser definido en tiempo y espacio como:

# = ZZ& +ª ∙ ¬ (1.4.28)

Donde c es la velocidad de la luz, ΩΩΩΩ es un vector unitario que especifica la dirección de dispersión a través de un vector posición s, y t es el tiempo. Bajo la condición que la radiación es independiente del tiempo (estado estacionario), Tal como iluminación del sol, La ecuación (1.4.27) se puede expresar como − ¨©­ ª ∙ ¬­,ª = ­,ª − o­, ª (1.4.29a)

Donde la función fuente, J, puede ser producto de la dispersión simple del haz de luz solar directa, dispersión múltiple de la intensidad difusa, y emisión del medio. En coordenadas cartesianas (x, y, z), tenemos ª ∙ ¬ = Ω® ¯®+ Ω° ¯° + Ω± ¯± (1.4.29b)

Donde los cosenos directores son dados por: Ω® = ZRZ# = = 1 − / (1.4.30a)

Ω° = ZZ# = = 1 − / (1.4.30b)

Ω± = ZZ# = = (1.4.30c)

Donde θ y φ son los ángulos cenit y acimut definidos anteriormente, y |­| = =T + + /. En general, soluciones analíticas de la ecuación (1.4.29a) no existen y deben ser resueltos numéricamente. En casos donde el medio es homogéneo con respecto a sus propiedades de dispersión simple incluyendo el coeficiente de extinción, la ecuación (1.4.29a) se reduce a una ecuación diferencial parcial de primer orden a partir de la cual se pueden derivar soluciones simplificadas. Los lectores interesados deben referirse al Capítulo 6 para más detalles.