cap 1 conjuntos y funciones
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Moisés Villena Muñoz
Capítulo I CONJUNTOS
1. NOTACIONES { }1,2,3, ∗= = O { }0 0,1,2,3,= Naturales
{ }, 3, 2, 1,0,1,2,3,= − − − Enteros
{ }0∗ = −
{ }; , ; 0p p q qq= ∈ ≠ Racionales
∅ Conjunto vacio
2. RELACIÓN DE CONTENENCIA Subconjunto: A B⊂ Subconjunto Propio: A B o lo que es lo mismo A B⊂ y A B≠ Notación: { }x X x X∈ ⇔ ⊂
Propiedades: A A⊂ ; para todo A Relación Reflexiva ( ) ( ) ( )A B B A A B⎡ ⊂ ∧ ⊂ ⎤ ⇒ =⎣ ⎦ Relación antisimétrica
( ) ( ) ( )A B B C A C⎡ ⊂ ∧ ⊂ ⎤ ⇒ ⊂⎣ ⎦ Relación Tranasitiva
3. CONJUNTO DE PARTES DE X , CONJUNTO DE
SUBCONJUNTOS DE X . Lo denotaremos como ( )P X
Está incluido el ∅ y el propio X ; es decir ( )P X ≠ ∅
4. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS UNIÓN: { };A B x x A x B∪ = ∈ ∨ ∈
INTERSECCIÓN: { };A B x x A x B∩ = ∈ ∧ ∈ Si A B∩ = Φ entonces A y B son disjuntos DIFERENCIA: { };A B x x A x B− = ∈ ∧ ∉ Si B A⊂ entonces A B− se llama complemento de B en relación a A
cA AA B C B B− = =
B
A
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4.1 Propiedades. Tomando los complementos en relación al conjunto fundamental E Sean ,A B E⊂ , entonces:
• ( )ccA A=
• c cA B B A⊂ ⇒ ⊂ • cA A E= Φ⇒ = • ( )c c cA B A B∪ = ∩
• ( )c c cA B A B∩ = ∪ 5. PAR ORDENADO
Se escribe como ( ),a b ; donde " "a se la llama primera coordenada y a " "b segunda coordenada
5.1 Igualdad ( ) ( ), ,a b a b a a b b′ ′ ′ ′= ⇔ = ∧ =
5.2 Producto cartesiano ( ){ }, : ,A B a b a A b B× = ∈ ∈
2A B A B A A A= ⇒ × = = × Observación. La diagonal de 2A es un subconjunto de A A× A AΔ ⊂ × donde ( ){ }, :a a a AΔ = ∈ Comentario.
( ){ }1 2 1 2 1 1 2 2, : ,A A a a a A a A× = ∈ ∈
( ){ }1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3, , : , ,A A A a a a a A a A a A× × = ∈ ∈ ∈
( ){ }( ){ }
1 2 1 2 1 1 2 2
1 2
, , , : , , ,
, , , : , 1,2, ,n n n n
n i i
A A A a a a a A a A a A
a a a a A i n
× × × = ∈ ∈ ∈
= ∈ =
( ){ }1 2 1
1
: , ; 1,2,
n n nn
n n nn
A A A A A
a a A n n
+∞
+=
∈
× × × × × =
= ∈ ∈ =
∏
Pregunta: ¿ Defina ( ){ }: ,i i i iii
A a a A i∈
∈
= ∈ ∈∏ ?
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6. FUNCIONES
Se la denota de la siguiente manera: :f A B ; donde A se llama DOMINIO y B CONTRADOMINIO
Tenemos una Regla de correspondencia que asocia a cada elemento de A un único elemento de B .
Si decimos que ( )x A f x B∈ ∈ , entonces una función se caracteriza por:
( ), !x A f x B∀ ∈ ∃ ∈ 6.1 Gráfico (Grafo)
El gráfico de :f A B , se define como:
( ) ( ) ( ){ }, :G f x y A B y f x= ∈ × =
Se dice que: ( ) ( )f g G f G g= ⇔ =
6.2 FUNCIÓN INYECTIVA Una función :f A B es Inyectiva si y sólo si ( ) ( )( ) ( ),x y A f x f y x y⎡ ⎤∀ ∈ = ⇒ =⎣ ⎦
o lo que es lo mismo ( ) ( ) ( )( ),x y A x y f x f y⎡ ⎤∀ ∈ ≠ ⇒ ≠⎣ ⎦
Ejemplo. La función inmersión
( ):
i A B B
x i x x⊂
=
6.3 FUNCIÓN SOBREYECTIVA
Una función :f A B es Sobreyectiva si y sólo si ( ); ;y B x A y f x∀ ∈ ∃ ∈ = Ejemplo. La función proyección subinmersión
( ) ( )
1
1
: , ,
A B Aa b a b a
ππ
×
=
( ) ( )
2
2
: , ,
A B Aa b a b b
ππ
×
=
6.4 FUNCIÓN BIYECTIVA
La función :f A B es biyectiva si y sólo si es inyectiva y sobreyectiva. Ejemplo La función identidad
( )
:
X
X
id X Xx id x x=
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6.5 IMAGEN. Sea :f A B y se X A⊂ . La Imagen de X por la función f se denota como ( )f X y se define de la siguiente manera:
( ) ( ){ } ( ){ }: : ,f X f x x X y B y f x x X= ∈ = ∈ = ∈ Observación. :f A B es sobreyectiva si y sólo si ( )f A B=
6.5.1 Propiedades.
1. ( ) ( ) ( )f X Y f X f Y∪ = ∪ Prueba
( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )( )
tal que
y f X Y x X Y y f xx X x Yy f X y f Y
y f X f Y
∈ ∪ ⇒ ∃ ∈ ∪ =
⇒ ∈ ∨ ∈
⇒ ∈ ∨ ∈
⇒ ∈ ∪
Por otro lado ( ) ( ) ( ) ( )
( )( )( )
tal que
y f X f Y y f X y f Y
x X x Y y f x
x X Y
y f X Y
∈⎡ ∪ ⎤ ⇒ ∈ ∨ ∈⎣ ⎦⇒ ∃ ∈ ∨ ∃ ∈ =
⇒ ∃ ∈ ∪
⇒ ∈ ∪
2. ( ) ( ) ( )f X Y f X f Y∩ ⊂ ∩ Prueba
( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )( )
tal que
y f X Y x X Y f x yx X x Yy f X y f Y
y f X f Y
∈ ∩ ⇒ ∃ ∈ ∩ =
⇒ ∈ ∧ ∈
⇒ ∈ ∧ ∈
⇒ ∈ ∩
Por otro lado ( ) ( ) ( ) ( )y f X f Y y f X y f Y∈⎡ ∩ ⎤ ⇒ ∈ ∧ ∈⎣ ⎦
Esto no quiere decir que exista algún [ ]x X Y∈ ∩ ; por ejemplo, sea
{ }: 0X x x= ∈ ≥ , { }: 0Y x x= ∈ ≤ y sea :f tal que ( ) 2f x x= .
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Entonces ( )f X X= , ( )f Y X= y ( ) ( )f X f Y X∩ = . Sin embargo,
{ }0X Y∩ = y por tanto ( ) { }( ) { }0 0f X Y f X∩ = = ≠
3. ( ) ( )X Y f X f Y⊂ ⇒ ⊂ Prueba. ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
X Y x X x Y
f x f X f x f Y
f X f Y
⊂ ⇔ ∈ ⇒ ∈
⇒ ∈ ⇒ ∈
⇒ ⊂
4. ( )f ∅ =∅ Prueba. Consideremos un y tal que ( )y f x∈ ∅ ⇒ ∃ ∈∅ . El consecuente de esta aplicación es falso, por tanto su antecedente debe ser falso también para que la implicación sea verdadera, entonces ( ) ( )y f f∉ ∅ ⇒ ∅ =∅ .
6.6 IMAGEN INVERSA Dada una función :f A B , sea Y B⊂ , la Imagen Inversa de Y por f , denotada como
( )1f Y− , es:
( ) ( ){ }1 :f Y x A f x Y− = ∈ ∈ 6.6.1 Propiedades. Sea :f A B , con Y B⊂ y Z B⊂ , entonces:
1. ( ) ( ) ( )1 1 1f Y Z f Y f Z− − −∪ = ∪ Prueba.
( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
1
1 1
1 1
x f Y Z f x Y Z
f x Y f x Z
x f Y x f Z
x f Y f Z
−
− −
− −
∈ ∪ ⇒ ∈ ∪
⇒ ∈ ∨ ∈
⇒ ∈ ∨ ∈
⎡ ⎤⇒ ∈ ∪⎣ ⎦
En el otro sentido
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( )
1 1 1 1
1
x f Y f Z x f Y x f Z
f x Y f x Z
f x Y Z
x f Y Z
− − − −
−
⎡ ⎤∈ ∪ ⇒ ∈ ∨ ∈⎣ ⎦⇒ ∈ ∨ ∈
⇒ ∈ ∪
⇒ ∈ ∪
Lo cual demuestra que ( ) ( ) ( )1 1 1f Y Z f Y f Z− − −∪ = ∪
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2. ( ) ( ) ( )1 1 1f Y Z f Y f Z− − −∩ = ∩ Prueba.
( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
1
1 1
1 1
x f Y Z f x Y Z
f x Y f x Z
x f Y x f Z
x f Y f Z
−
− −
− −
∈ ∩ ⇒ ∈ ∩
⇒ ∈ ∧ ∈
⇒ ∈ ∧ ∈
⎡ ⎤⇒ ∈ ∩⎣ ⎦
En el otro sentido
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( )
1 1 1 1
1
x f Y f Z x f Y x f Z
f x Y f x Z
f x Y Z
x f Y Z
− − − −
−
⎡ ⎤∈ ∩ ⇒ ∈ ∧ ∈⎣ ⎦⇒ ∈ ∧ ∈
⇒ ∈ ∩
⇒ ∈ ∩
Lo cual demuestra que ( ) ( ) ( )1 1 1f Y Z f Y f Z− − −∩ = ∩
3. ( ) ( )( )1 1 ccf Y f Y− −=
Prueba. ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( )( )
1
1 1
1
c c
c
x f Y f x Y
f x B f x Y
x f B x f Y
x f Y
−
− −
−
∈ ⇔ ∈
⇔ ∈ ∧ ∉
⇔ ∈ ∧ ∉
⇔ ∈
En el otro sentido
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( )
1 1
1
c
c
c
x f Y x A x f Y
f x B f x Y
f x Y
x f Y
− −
−
∈ ⇒ ∈ ∧ ∉
⇒ ∈ ∧ ∉
⇒ ∈
⇒ ∈
Esto demuestra que ( ) ( )( )1 1 ccf Y f Y− −=
4. ( ) ( )1 1Y Z f Y f Z− −⊂ ⇒ ⊂ Prueba. Tomando Y Z⊂ , entonces se cumple que ( ) ( )f x Y f x Z∈ ⇒ ∈ entonces
también se cumple que ( ) ( )1 1x f Y x f Z− −∈ ⇒ ∈ , por tanto ( ) ( )1 1f Y f Z− −⊂
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5. ( )1f B A− = Prueba. Suponga que ( ) ( )1x f B f x B−∈ ⇒ ∈ y por definición de función el dominio
debe ser A ; es decir ( )1f B A− = . En sentido inverso, se lo observa rápidamente.
6. ( )1f − Φ = Φ Prueba. Suponga que ( ) ( )1x f f x−∈ Φ ⇒ ∈Φ , el consecuente es falso, por tanto para que la proposición sea verdadera se requiere que el antecedente también sea falso; es decir ( )1f − Φ no tenga elementos, por tanto ( )1f − Φ = Φ . En sentido contrario es bastante obvia la demostración.
6.7 COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Sean :f A B y :g B C donde B B⊂ . Entonces
( )( ) ( )( ):
x
g f A C
x g f g f x=
Observación: La composición es asociativa. Sean :f A B , :g B C y :h C D . Entonces ( ) ( ) :h g f h g f A D= Prueba.
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )h g f x h g f x h g f x h g f x⎡ ⎤ = = = ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Proposición.
1. Si :f A B , :g B C son inyectivas entonces :g f A C es Inyectiva. Prueba. Si f es inyectiva se cumple que ( ) ( )1 2 1 2 1 2,x x A x x f x f x∀ ∈ ⎡ ≠ ⇒ ≠ ⎤⎣ ⎦ ,
pero ( ) ( )1 2,f x f x B∈ y si g es inyectiva se cumple que
( ) ( ) ( )( ) ( )( )1 2 1 2f x f x g f x g f x≠ ⇒ ≠ , lo cual demuestra que g f es inyectiva.
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2. Si :f A B , :g B C son sobreyectivas entonces :g f A C es sobre.
Prueba. Si :f A B es sobreyectiva entonces ( ), tal que =b B a A b f a∀ ∈ ∃ ∈ y si
:g B C es sobreyectiva entonces ( ), tal que =c C b B c f b∀ ∈ ∃ ∈ . Veamos ahora la composición :g f A C . Escojamos un c C∈ , entonces existirá ( )1 b f c B−= ∈ y si tomamos ( )1 b f c B−= ∈ exististirá también
( )( )1 1a g f c A− −= ∈ . Esto demuestra que :g f A C es sobreyectiva.
3. Si :f A B , :g B C son biyectivas entonces :g f A C es
biyectiva. Esto se demuestra como consecuencia de las dos proposiciones anteriores.
Observación.
Cualquier función :f A B siempre se puede escribir como la composición de una función inyectiva y otra sobre. Es decir 1f h f= donde h es inyectiva y 1f es sobre.
Prueba.
Sea ( )( ) ( )
1
1
:
f A f A
x f x f x= que es sobre.
Y sea ( ):
h f A B
y y donde ( )y f x= . La función Identidad que es Inyectiva.
Entonces ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )1 1 ;h f x h f x h f x f x x A= = = ∀ ∈ , por tanto 1h f f= Propiedad
Sean :f A B , :g B C y sean X A⊂ y Y C⊂ , entonces tenemos
( )( ) ( )( )g f X g f X= y se cumple que ( ) ( ) ( )( )1 1 1g f Y f g Y− − −= .
Prueba.
( )( ) ( ) ( )( )( )
( )( )( ) ( )
1 1 1
1
x f g Y f x g Y
g f x Y
g f x Y
x g f Y
− − −
−
⎡ ⎤∈ ⇔ ∈⎣ ⎦⇔ ∈
⇔ ∈
⇔ ∈
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7. RESTRICCIÓN Sean :f A B y sea X A⊂ . La Restricción denotada como xf , es una función
definida de la siguiente manera:
( ) ( )
:
x
x x x
f X B
x f f=
Observación. Tomemos la inclusión
( )
: x
i X A Ax i x⊂
=
Entonces :xf f i X B=
8. EXTENSIÓN
Sea X A⊂ y sea :g X A la restricción de una función :f A B al conjunto X ,
decimos que f es una extensión de g . Observación. Cuidado con las Extensiones Ejemplo 1
Sea { }: 0
1
f
xx
− de clase { }( )1 0C − como ( ) 2
1f xx
′ = − , entonces f no
tiene una extensión continua en Ejemplo 2
Sea ( )
0
: 0,1
1 1
n
n
g D
z zz
+∞
=
=−∑
no se puede extender analíticamente, ni siquiera
continuamente en una vecindad que contiene al uno.
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9. INVERSA IZQUIERDA
Sean :f A B , :g B A . g es una Inversa Izquierda de f si y sólo si :Ag f id A A= . Es decir, ( )( ) ;g f a a a A= ∀ ∈ .
Teorema :f A B posee Inversa Izquierda si y sólo si f es inyectiva. Prueba. Primero suponga f posee inversa izquierda entonces existe :g B A tal que
( )( ) ( )( );g f a a a A g f a a= ∀ ∈ ⇔ = . Si ,x y A∈ entonces ( )( )g f x x= y
( )( )g f y y= . Entonces se concluye que si ( ) ( )f x f y x y= ⇒ = ( f es inyectiva).
Ahora suponga que f es inyectiva , entonces se cumple que ( ) ( )f x f y x y= ⇒ = . Sea
( )g y x= entonces ( )( )g f x x= como también ( )( )g f y y= , se concluye que existe
g ; es decir f posee inversa izquierda.
10. INVERSA DERECHA La función :g B A es una inversa derecha de :f A B si :Bf g id B B= donde ( )( )f g b b= . Teorema :f A B posee inversa derecha si y sólo si f es sobre. Prueba Supongamos que f es sobre, entonces ( ), ,y B x A f x y∀ ∈ ∃ ∈ = , esto implica que
( )1f y− ≠ ∅ . Por el teorema de elección, escogemos ( )1x f y−∈ ; definamos
( ),y g y x∀ = , entonces ( )( ) ( )( ) ( ) Bf g y f g y f x y id= = = = . Por lo tanto f posee inversa derecha. Ahora supongamos que f posee inversa derecha, entonces ( )( ) ,f g b b b B= ∀ ∈ entonces f es sobre.
11. FUNCIÓN INVERSA
A la función :g B A se la llama Inversa de :f A B si y sólo si :Ag f id A A= y :Bf g id B B= .
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Conclusión. :f A B posee inversa si y sólo si f es una biyección.
Prueba. Primero, si :f A B posee inversa entonces existe :g B A tal que g f f g= entonces g es inversa izquierda de f , por tanto f es inyectiva; y también g es inversa derecha de f , por tanto f es sobre. Esto indica que f es una biyección. Segundo, Si f es una biyección, entonces es inyectiva y sobreyectiva, entonces tiene una inversa izquierda y una inversa derecha, por tanto posee inversa. Proposición
Si una función :f A B posee inversa entonces ella es única. Prueba. Sean :g B A y :h B A inversas de f . Entonces: ( ) ( )B Ah h id h f g h f g id g g= = = = = NOTACIÓN Llamaremos 1 :f B A− la inversa de una biyección :f A B Observación. Si :f A B y :g B C son biyectivas, entonces ( ) 1 1 1g f f g− − −=
12. FAMILIAS
Sea L un Conjunto de Índices y sea X un conjunto. Una Familia de Elementos de X con índices en L es una función x tal que:
:
l
x L Xl x
Usaremos la notación ( )l l Lx
∈para la familia de elementos de un conjunto X .
Ejemplo. A la función { }: 1,2, , x L n X= se le llama n-uplas de elementos de X . Es decir:
( ) ( )1 2, , , nLx x x x xλ λ∈
==
Definiciones. Sea ( ) L
Aλ λ∈una familia de Conjuntos, se define:
La UNION DE FAMILIAS como { }00: ;L
A x L x Aλ λλ
λ∈
= ∃ ∈ ∈∪
La INTERSECCIÓN DE FAMILIAS como { }: ;L
A x x A Lλ λλ
λ∈
= ∈ ∀ ∈∩
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Ejemplo.
Si { }1,2, ,L n= , entonces 1
n
iL i
A Aλλ∈ =
=∪ ∪ y 1
n
iL i
A Aλλ∈ =
=∩ ∩
Una Familia con Índices en el conjunto { }1,2,3,∗ = o { }0,1,2,3,= se llama una SUCESIÓN. Es decir:
:
n
x Xn x
Donde ( ) ( )1 2, ,n nx x x x
∈= =
• Una SUCESIÓN DE CONJUNTOS sería ( )n n
A∈
. Entonces:
1. 0 1 20
n nn n
A A A A A∞
∈ =
= = ∪ ∪ ∪∪ ∪
2. 0 1 20
n nn n
A A A A A∞
∈ =
= = ∩ ∩ ∩∩ ∩
Proposición.
Sea ( ) LAλ λ∈
una familia de Conjuntos de un conjunto fundamental X , entonces:
1. c
c
L L
A Aλ λλ λ∈ ∈
⎛ ⎞=⎜ ⎟
⎝ ⎠∪ ∩ ; y
2. c
c
L L
A Aλ λλ λ∈ ∈
⎛ ⎞=⎜ ⎟
⎝ ⎠∩ ∪
Prueba. 1.
( ),
,
,
c
L
c
c
L
x A L x A
L x A
L x A
x A
λ λλ
λ
λ
λλ
λ
λ
λ
∈
∈
⎛ ⎞∈ ⇔ ¬ ∃ ∈ ∈⎜ ⎟⎝ ⎠
⇔ ∀ ∈ ∉
⇔∀ ∈ ∈
⇔ ∈
∪
∩
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2.
( ),
,
,
c
L
c
c
L
x A L x A
L x A
L x A
x A
λ λλ
λ
λ
λλ
λ
λ
λ
∈
∈
⎛ ⎞∈ ⇔ ¬ ∀ ∈ ∈⎜ ⎟⎝ ⎠
⇔ ∃ ∈ ∉
⇔ ∃ ∈ ∈
⇔ ∈
∩
∪
PROPIEDADES. Sea :f A B , consideremos una familia ( ) L
Aλ λ∈ de subconjuntos de A y una familia
( ) MBμ μ∈
de subconjuntos de B . Entonces:
1. ( )L L
f A f Aλ λλ λ∈ ∈
⎛ ⎞=⎜ ⎟
⎝ ⎠∪ ∪
Prueba.
( ) ( )
( )( )
( )
tal que
, ,
,
L L
L
y f A x A y f x
L x A y f x
L y f A
y f A
λ λλ λ
λ
λ
λλ
λ
λ
∈ ∈
∈
⎛ ⎞∈ ⇔ ∃ ∈ =⎜ ⎟
⎝ ⎠⇔ ∃ ∈ ∈ =
⇔ ∃ ∈ ∈
⇔ ∈
∪ ∪
∪
2. ( )L L
f A f Aλ λλ λ∈ ∈
⎛ ⎞⊂⎜ ⎟
⎝ ⎠∩ ∩
Prueba.
( )
( )( )
( )
tal que
, ,
,
L L
L
y f A x A y f x
x A L y f x
L y f A
y f A
λ λλ λ
λ
λ
λλ
λ
λ
∈ ∈
∈
⎛ ⎞∈ ⇔ ∃ ∈ =⎜ ⎟
⎝ ⎠⇒ ∈ ∀ ∈ =
⇒∀ ∈ ∈
⇒ ∈
∩ ∩
∩
O también
Es fácl observar que ( ) ,iL
f A f A iλλ∈
⎛ ⎞⊂ ∀⎜ ⎟
⎝ ⎠∩ , entonces ( )
L L
f A f Aλ λλ λ∈ ∈
⎛ ⎞⊂⎜ ⎟
⎝ ⎠∩ ∩
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3. ( )1 1
M M
f B f Bμ μμ μ
− −
∈ ∈
⎛ ⎞=⎜ ⎟
⎝ ⎠∪ ∪
Prueba.
( )
( )( )
( )
1
1
1
,
,
M M
u M
x f B f x B
M f x B
M x f B
x f B
μ μμ μ
μ
μ
μ
μ
μ
−
∈ ∈
−
−
∈
⎛ ⎞∈ ⇔ ∈⎜ ⎟
⎝ ⎠⇔ ∃ ∈ ∈
⇔ ∃ ∈ ∈
⇔ ∈
∪ ∪
∪
4. ( )1 1
M M
f B f Bμ μμ μ
− −
∈ ∈
⎛ ⎞=⎜ ⎟
⎝ ⎠∩ ∩
Prueba.
( )
( )( )
( )
1
1
1
,
,
M M
M
x f B f x B
f x B M
x f B M
x f B
μ μμ μ
μ
μ
μμ
μ
μ
−
∈ ∈
−
−
∈
⎛ ⎞∈ ⇔ ∈⎜ ⎟
⎝ ⎠⇔ ∈ ∀ ∈
⇔ ∈ ∀ ∈
⇔ ∈
∩ ∩
∩
13. PRODUCTO CARTESIANO
i. Sean 1 2, , , nA A A conjuntos, entonces:
( ){ }
{ }( )
1 2 1 2 1 11
1 2
, , , : , ,
: 1,2, ,
; 1,2, ,
n
n i n n ni
n
i i
A A A A A a a a a A a A
n A A A
i a i a A i n
=
= × × × = = = ∈ ∈
⎧ ⎫∪ ∪ ∪⎪ ⎪= ⎨ ⎬= ∈ =⎪ ⎪⎩ ⎭
∏ a
a
ii. Sea ( ) LAλ λ∈
una familia de Conjuntos, entonces:
( ){ }
( ) ( )
: ;
: ; ;
LL
L
A A a a A L
L A a a A L
λ λ λ λλλ
λ λ λλ
λ
λ λ
∈∈
∈
= = ∈ ∀ ∈
⎧ ⎫= = ∈ ∀ ∈⎨ ⎬⎩ ⎭
∏
∪a
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14. PROYECCIÓN
( )
0 0
0
:
L
L
A A A
a a a
λ λ λλ
λ λλ
π∈
∈
=
=
∏
Es sobreyectiva para todo 0 Lλ ∈
EJERCICIO 4 a. ( ) ( ) ( )A B C A C B C∪ × = × ∪ ×
Prueba. ( ) ( ) ( ) [ ]
[ ] [ ][ ] [ ]( ) ( ) ( ) ( )
,
, ,
x y A B C x A B y C
x A x B y C
x A y C x B y C
x y A C x y B C
∈⎡ ∪ × ⎤ ⇔ ⎡ ∈ ∪ ⎤ ∧ ∈⎣ ⎦ ⎣ ⎦⇔ ∈ ∨ ∈ ∧ ∈
⇔ ∈ ∧ ∈ ∨ ∈ ∧ ∈
⇔ ⎡ ∈ × ⎤ ∨ ⎡ ∈ × ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦
( ) ( ) ( ) ,x y A C B C⇔ ∈⎡ × ∪ × ⎤⎣ ⎦
b. ( ) ( ) ( )A B C A C B C∩ × = × ∩ × Prueba.
( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )
,
, ,
,
x y A B C x A B y C
x A x B y C
x A y C x B y C
x y A C x y B C
x y A C B C
∈ ∩ × ⇔ ∈ ∩ ∧ ∈
⇔ ∈ ∧ ∈ ∧ ∈
⇔ ∈ ∧ ∈ ∧ ∈ ∧ ∈
⇔ ∈ × ∧ ∈ ×
⇔ ∈ × ∩ ×
c. ( ) ( ) ( )A B C A C B C− × = × − ×
( ) ( ) ( )A B C A B A C× − = × − × Prueba.
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( )( )
,
,
,
x y A B C x A y B C
x A y B y Cx A y B x A y C
x y A B x A y C
x y A B
∈ × − = ∈ ∧ ∈ −
= ∈ ∧ ∈ ∧ ∉= ∈ ∧ ∈ ∧ ∈ ∧ ∉
= ∈ × ∧ ¬ ∉ ∧ ∉
= ∈ × ( )( )x A y C∧¬ ∉ ∨ ∈
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d. ,A A B B A B A B⊂ ⊂ ⇒ × ⊂ × Prueba. ( ) ( ) ( ) ( ), ,x y A B x A y B x A y B x y A B∈ × ⇔ ∈ ∧ ∈ ⇒ ∈ ∧ ∈ ⇒ ∈ ×
EJERCICIO 5 Sea la función :f A B . Entonces: a. ( )( )1 ;f f X X X A− ⊃ ∀ ⊂
Prueba. ( )( ) ( ) ( )
( )( )
1
1
x f f X f x f X
X f f X
−
−
∈ ⇔ ∈
⇔ ⊂
b. ( )( )1 es inyectiva ;f f f X X X A−⇔ = ∀ ⊂
Prueba. Suponga que f sea inyectiva, entonces:
( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )
11 1
12 2
x f f X f x f X
x f f X f x f X
−
−
∈ ⇔ ∈
∈ ⇔ ∈
Si ( ) ( )1 2f x f x= entonces ( )( )1f f X X− =
Ahora suponga que ( )( )1f f X X− = . Entonces ( )( )11 1f f x x− = y
( )( )12 2f f x x− = , se observa que ( ) ( )1 2 1 2f x f x x x= ⇒ = , f es inyectiva.
c. ( )( )1 ;f f Y Y Y B− ⊂ ∀ ⊂
Prueba. ( )( ) ( ) ( )1 1y f f Y x f Y f x Y− −∈ ⇔ ∈ ⇔ ∈ . Así ( )( )1f f Y Y− ⊂ .
d. ( )( )1 es sobreyectiva ;f f f Y Y Y B−⇔ = ∀ ⊂
Suponga que f sea sobreyectiva y Y B⊂ . Si y Y∈ entonces ( )1f y− ≠ ∅ ,
es decir existe ( ) tal que x A f x y∈ = , entonces ( )1x f Y−∈ y
( ) ( )( )1f x f f Y−∈ . Esto quiere decir que ( )( )1Y f f Y Y−⊂ ⊂ . Por lo tanto
( )( )1f f Y Y− = .
Cap.I Moisés Villena
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Ahora suponga que ( )( )1f f Y Y− = , esto quiere decir que ( )( )1f f y y− = ,
entonces ( )1 ,f y y− ≠ ∅ ∀ . Por lo tanto f es sobreyectiva.
EJERCICIO 6 Dadas las familias ( ) L
Aλ λ∈ y ( ) M
Bμ μ∈. Sean ( )( ), L M
A Bλ μ λ μ ∈ ×∪ y
( )( ) L MA Bλ μ λμ ∈ ×∩ . Pruebe que:
i. ( )( ),L u M L M
A B A Bλ μ λ μλ λ μ∈ ∈ ∈ ×
⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠∩ ∩∪ ∪ ∪
( ) ( )( )
, ,
, ,
L u M L u M
x A B x A x B
L x A M x B
L M x A x B
λ μ λ μλ λ
λ μ
λ μ
λ μ
λ μ
∈ ∈ ∈ ∈
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∈ ⇔ ∈ ∧ ∈⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⇔ ∃ ∈ ∈ ∧ ∃ ∈ ∈
⇔ ∃ ∈ ∃ ∈ ∈ ∧ ∈
∩∪ ∪ ∪ ∪
( )( ),
L M
x A Bλ μλ μ ∈ ×
⎡ ⎤⇔ ∈⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦∩∪
ii. ( )( ),L u M L M
A B A Bλ μ λ μλ λ μ∈ ∈ ∈ ×
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ∪⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠∪∩ ∩ ∩
( ) ( )( )
, ,
, ,
L u M L u M
x A B x A x B
L x A M x B
L M x A x B
λ μ λ μλ λ
λ μ
λ μ
λ μ
λ μ
∈ ∈ ∈ ∈
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∈ ⇔ ∈ ∨ ∈⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⇔ ∀ ∈ ∈ ∨ ∀ ∈ ∈
⇔ ∀ ∈ ∀ ∈ ∈ ∨ ∈
∪∩ ∩ ∩ ∩
( )( ),
L M
x A Bλ μλ μ ∈ ×
⎡ ⎤⇔ ∈ ∪⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦∩
EJERCICIO 7
Dados los conjuntos A,B,C establezca una biyección entre ( );A B Cℑ × y ( )( ), ,A B Cℑ ℑ SOLUCIÓN. CON FUNCIONES DISCRETAS. Sea :f A B C× tal que ( ), ; 1, , ; 1, , ; 1, ,i j kf a b c i m j n k p= ∀ = ∀ = ∀ =
Sea ( ) 2:
i i
H f h A fa g
= donde :ig B C tal que ( )i j kg b c=
CON FUNCIONES CONTINUAS
Cap.I Moisés Villena
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Sea :f A B C× tal que ( ),f x y z= .
Sea ( ) ;xh x g x A= ∀ ∈ tal que :xg B C y ( )xg y z=