campo y potencial electrico
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Campo y Potencial eléctrico
Prof. Dr. Victor H. Rios
2005
Cátedra de Física Experimental II
Fisica III -05
Fisica III -05
- Campo y potencial eléctrico de una carga puntual - Campo y potencial eléctrico de dos cargas, dipolo eléctrico. - Flujo de campo eléctrico.- Ley de Gauss.- Diferencia de potencial electrostático.- Relación entre campo y potencial eléctrico.- Superficies equipotenciales.- Conductores- Carga inducida y transferencia de carga- Generador de Van der Graaff
Contenidos
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Campo eléctrico y potencial de una carga puntual
El campo eléctrico de una carga puntual Q en un punto P distante r de la carga viene re-presentado por un vector de
• Módulo
• dirección radial• sentido hacia afuera si la carga es positiva, y hacia la carga si es negativa
El potencial del punto P debido a la carga Q es un escalar y vale
Fig. 1 Campo eléctrico y potencial de una carga puntual (positiva y negativa)
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Un campo eléctrico puede representarse por líneas de fuerza, líneas que son tangentes a la dirección del campo en cada uno de sus puntos.
En la figura, se representan las* Líneas de fuerza de una carga puntual, que son líneas rectas que pasan por la carga.* Líneas equipotenciales son superficies esféricas concéntricas.
Fig. 2 Líneas de campo y superficies equipotenciales
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Campo eléctrico de un sistema de dos cargas eléctricas
Cuando varias cargas están presentes el campo eléctrico resultante es la suma vectorial de los campos eléctricos producidos por cada una de las cargas. Consideremos el sistema de dos car-gas eléctricas de la fig.3
El módulo del campo eléctrico producido por cada una de las cargas es
Y las componentes del campo total son
Fig. 3 Suma vectorial de los campos eléctricos
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Como el campo es tangente a las líneas de fuerza, la ecuación de las líneas de fuerza es
El potencial en el punto P debido a las dos cargas es la suma de los potenciales debidos a cada una de las cargas en dicho punto.
Las superficies equipotenciales cortan perpendicularmente a las líneas de campo. Representa-remos en el applet la intersección de las superficies equipotenciales con el plano XY.
Fig. 4 Líneas de campo
La ecuación de las líneas equipoten-ciales es
Ecuación de las líneas de campo eléctrico y equipotenciales
Fig. 5 Líneas de campo y equipotenciales
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El dipolo eléctrico
El dipolo eléctrico es un tipo de distribución de carga que se presenta frecuentemente como vere-mos en el tema dedicado a los dieléctricos.
Un dipolo eléctrico está formado por dos cargas, una positiva +Q y otra negativa -Q del mismo va-lor, separadas una distancia d.
El potencial en el punto P distante r1 de la carga –Q y r2 de la carga +Q es
Expresamos r1 y r2 en función de r y q , que es la posición del punto P expresada en coordenadas polares.
Fig.6 Dipolo eléctrico
Teniendo en cuenta que d es pequeño frente a r, podemos obtener una buena aproximación em-pleando el desarrollo en serie
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Para expresar de forma aproximada los cocientes r / r1 y r / r2.
Despreciando los términos de orden superior a d2 / r2
El potencial se expresa en función de r y θ
Es interesante destacar, que el potencial debido a un dipolo disminuye con la inversa del cuadrado de la distancia r, mientras que para una carga puntual disminuye con la inversa de r.
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Componentes del campo eléctrico del Dipolo
Las componentes de E en coordenadas polares se pueden calcular a partir del gradiente de V expresado en coordenadas polares
Las componentes del campo eléctrico E son
Fig. 7 Componentes de E del dipolo eléctrico
La intensidad del campo eléctrico disminuye como el cubo de la distancia r.
Definimos momento dipolar al vector p, cuyo módulo es p=Qd, el producto de la carga Q por la separación d, y que se dirige desde la carga negativa a la positiva.
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Línea de cargas
Campo producido por un conjunto de cargas iguales e igualmente espaciadas
Vamos estudiar un sistema un sistema de n cargas puntuales iguales y equidistan-tes n > 2, como paso previo a la obtención del campo producido por una distribución continua de carga.
El campo eléctrico E producido por n cargas en el punto P, es la suma vectorial de los campos producidos por cada una de las car-gas individuales en el punto P.
donde ri es el vector unitario cuya dirección es la recta que pasa por la carga ¨i¨ y el pun-to P.
El potencial en el punto P, es la suma de los potenciales producidos por cada una de las cargas individuales en el punto P.
Fig. 8 Línea de cargas
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Campo producido por un hilo rectilíneo cargado
Vamos a deducir el campo producido en un punto P distante R, de una línea indefinida cargada con una densidad de carga de λ C/m.
Fig.9 Línea cargada
El campo producido por el elemento de car-ga dq, comprendido entre x y x+dx, tiene la dirección y el sentido indicado en la figura y su módulo es :
Este campo tiene dos componentes: una a lo largo del eje vertical Y
La otra a lo largo del eje horizontal X , y no es necesario calcularla ya que por simetría se anulan de dos en dos. El campo total es la suma de las componentes verticales Y
Componente
vertical
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Concepto de flujo del campo eléctrico
Cuando el vector campo eléctrico E es constante en todos los puntos de una superficie S, se de-nomina flujo al producto escalar del vector campo por el vector superficie Φ = E·S
El vector superficie es un vector que tiene:
a) por módulo el área de dicha superficieb) la dirección es perpendicular al plano que la
contiene
• el vector campo E y el vector superficie S son perpendiculares el flujo es cero• E es variable en S se puede escribir:
Fig. 10 Esquema para el cálculo de Φ
SdE
.
Cuando
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Ley de Gauss
El teorema de Gauss afirma que :
• El flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada :
es igual
• al cociente entre la carga que hay en el interior de dicha superficie dividido en ε0, es decir : q / ε0 .
SE
SdE
.
0
.q
SdES
Fig.11 Esquema para el uso del teorema de Gauss
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1.- A partir de la simetría de la distribución de carga, deter- minar la dirección del campo eléctrico.
La dirección del campo es radial y perpendicular a la línea cargada
2.- Elegir una superficie cerrada apropiada para calcular el flujo
Pasos a seguir para el cálculo de E
Tomamos como superficie cerrada, un cilindro de radio r y longitud L.
• Flujo a través de las bases del cilindro: el campo E y el vector superficie S1 o S2 forman 90º, luego el flujo es cero
• Flujo a través de la superficie lateral del cilindro: el campo E es paralelo al vector superficie dS y es constante en todos los puntos de la superficie lateral,
El flujo total es: E 2π r L
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3.- Determinar la carga que hay en el interior de la superficie cerrada
La carga que hay en el interior de la superficie cerrada vale q = λ L, donde λ es la carga por unidad de longitud.
4.- Aplicar el teorema de Gauss y despejar el módulo del campo eléctrico
Conclusión
El mismo resultado que hemos obtenido previamente, pero de una forma mucho más simple.
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Actualmente, los libros de texto no suelen mencionar el átomo de Kelvin-Thomson. Sin embargo, durante el periodo que va de 1902 a 1906 tuvo bastante éxito, hasta que Rutherford demostró que este modelo no podía explicar la dispersión de partículas alfa por los átomos de una lámina de oro.
Modelo del átomo de Kelvin-Thomson
Este modelo simple de átomo explicaba bastante bien la valencia química, la emisión de partículas β por los núcleos de elementos radioactivos, etc.
El aspecto didáctico más importante es la aplicación de la Ley de Gauss a una distribución es-férica y uniforme de carga, describir el movimiento oscilatorio de los electrones en dicho átomo.
Consideramos el caso más simple, un átomo o ion hidrogenoide con un solo electrón. Suponemos que el átomo tiene forma esférica de radio R, y que la carga positiva Q está uniformemente distribuida en dicha esfera.
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Campo eléctrico de una distribución esférica y uniforme de carga
El teorema de Gauss afirma :
0
.q
SdES
Para una distribución esférica y uniforme de carga, la aplicación del teorema de Gauss requiere los siguientes pasos:
1.- A partir de la simetría de la distribución de carga, deter- minar la dirección del campo eléctrico.
La distribución de carga tiene simetría esférica, la dirección del campo es radial.
2.- Elegir una superficie cerrada apropiada para calcular el flujo
Tomamos como superficie cerrada, una esfera de radio r.
Fig. 12 Geometría para usar Gauss
El campo eléctrico E es paralelo al vector superficie dS , y el campo es constante en todos los puntos de la superficie esférica como se ve en la figura, por lo que:
El flujo total es : E 4π r2
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3.- Determinar la carga que hay en el interior de la superficie cerrada
Para r < R. (figura de la izquierda)
Si estamos calculando el campo en el interior de la esfera unifor-memente cargada, la carga que hay en el interior de la superficie esférica de radio r es una parte de la carga total ( en color rosa-do), que se calcula multiplicando la densidad de carga por el vo-umen de la esfera de radio r.
Fig.13 Superficies de Gauss usadas.
Para r > R ( figura de la derecha)
Si estamos calculando el campo en el exterior de la esfera unifor-memente cargada, la carga que hay en el interior de la superficie esférica de radio r es la carga total
q = Q
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4.- Aplicar el teorema de Gauss y despejar el módulo del campo eléctrico
se obtiene
El campo en el exterior de una esfera cargada con carga Q, tiene la misma expre-sión que el campo producido por una carga puntual Q situada en su centro.
Concluímos
Potencial a una distancia ¨ r ¨ del centro de la esfera cargada
Se denomina potencial en un punto P a una distancia r del centro de la esfera cargada V ( r ) a:
• por convenio, se establece que en el infinito el potencial es cero, es decir V (∞ ).
• la diferencia de potencial existente entre el punto P y el infinito V ( r ) – V (∞ ).
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Representamos el módulo del campo eléctrico E, en función de la distancia r al centro de la esfera cargada, en los intervalos 0 < r < R y r > R
Fig.14 Grafico del cam-
po E = E ( r )
r > R
• Para hallar el potencial en un punto P que está fuera de la esfera cargada basta hallar el área sombreada (figura de la derecha)
r < R.
• Para calcular el potencial en un punto P, en el interior de la esfera cargada, es necesario sumar dos áreas, por ser la función que describe la dependencia del campo E con r, dis- continua en el punto r = R. (figura de la izquierda)
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Energía de ionización
La energía de ionización, es la energía mínima necesaria para sacar al electrón situado en el ori-gen de la esfera cargada hasta el infinito.
Para un átomo con un electrón q = Q = e = 1.6 10-19 C, R~ 10-10 m, WI =3.456 10-18 J=21.6 eV.
Es algo mayor que la energía de ionización del electrón en un átomo de hidrógeno en el estado fundamental, 13.6 eV.
Energía de la esfera cargada
Recordemos que la energía del sistema de partículas era:
* el potencial Vi se sustituye por el potencial en la posición r, V(r) que hemos calculado previamente.
* la carga qi se sustituye por la carga que hay en la capa esférica comprendida entre r y r+dr.
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El volumen de dicha capa esférica es 4π r2 dr , y la carga que hay en este volumen vale (densidad de carga por volumen)
La energía vale entonces
Energía total del átomo de Kelvin-Thomson
La energía total de nuestro modelo de átomo de hidrógeno Q = q = e, es la diferencia entre dos energías:
• la energía necesaria para formar la distribución uniforme de carga positiva W2
* la energía necesaria para sacar el electrón de la atracción de dicha carga WI
(energía de ionización).
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Conductores
En este tema se aplicará el teorema de Gauss para describir las propiedades electrostáticas de un conductor.
Localización del exceso de carga en un conductor
Un conductor se caracteriza por que los portadores de carga se pueden mover libremente por el interior del mismo.
Si las cargas en un conductor en equilibrio están en reposo, la intensidad del campo eléctrico en todos los puntos inte-riores del mismo deberá ser cero, de otro modo, las cargas se moverían originado una corriente eléctrica.
Dentro de un conductor de forma arbitraria se traza una superfi-cie cerrada S:
Fig. 15 Conductor * El campo eléctrico E=0 en todos los puntos de dicha superficie. * El flujo a través de la superficie cerrada S es cero. * La carga neta q en el interior de dicha superficie es nula.
Como la superficie cerrada S la podemos hacer tan pequeña como queramos, concluímos que en todo punto P del interior de un conductor no hay exceso de carga, por lo que esta deberá si-tuarse en la superficie del conductor.
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Conductor con un hueco dentro
Supongamos un conductor con un hueco dentro. Rodeamos el hueco con una superficie cerrada S.
• El campo E = 0 en el interior del conductor es cero.• El flujo a través de la superficie cerrada S será cero. • La carga q en el interior de dicha superficie será tam- bién cero.
Por tanto, el exceso de carga se sitúa en la superficie exte-rior del conductor.
Fig. 16 Conductor hueco
Conductor hueco con una carga dentro
Supongamos que se coloca una carga q en el inte-rior de una cavidad. Rodeamos la cavidad con una superficie cerrada S
Fig. 17 Conductor hueco con carga
• El campo en el interior del conductor es cero. • El flujo a través de la superficie cerrada S será cero.• La carga en el interior de dicha superficie será también cero.
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De modo que en la pared de la cavidad tiene que haber una carga igual y de signo opuesto al de la carga q introducida.
Conclusiones
Si el conductor estaba inicialmente descargado, sobre su superficie exterior tendrá que haber una carga igual y de signo opuesto a la existente so-bre la pared de la cavidad y por tanto, igual y del mismo signo que la carga q introducida en la ca-vidad.
Si el conductor poseía inicialmente una carga Q, la carga en su superficie exterior será Q+q.
En la fig.17, el conductor tenía una carga de 11+, al introducir en su cavidad una carga de 4+, en la superficie interior de la cavidad aparece una carga inducida de 4-, y en la superficie ex-terior de 15+.
Fig. 17
La carga total del conductor hueco no se ha modificado 15-4=11.
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Transferencia de carga
Supongamos que la carga q dentro de la cavidad se pone en contacto con la pared de la cavidad.
• El exceso de carga en la pared de la cavidad neutraliza la carga q.
• El resultado es una carga de valor q que se transfiere a la superficie exterior del conductor hueco.
Vamos a estudiar la transferencia de carga con más detalle:
Fig. 18 Transferencia de carga
Supongamos un cascarón metálico A de forma de capa esférica de radio interior rA, inicialmente cargada con qA.
El campo eléctrico en la cavidad solamente depende de la carga de la esfera qB, y vale a una distancia r del centro
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* El potencial de la esfera VB es mayor que el potencial del cascarón VA.
• La diferencia de potencial solamente depende de qB y es independiente de la carga inicial del cascarón qA.
• Si se ponen en contacto la esfera con la superficie interior del cascarón, o se unen me- diante un hilo conductor fluirá la carga de la esfera hacia el cascarón hasta que la diferencia de potencial VB - VA se anule, o sea hasta que qB se haga cero.
La conclusión es que toda la carga qB de la esfera se transfiere a la cubeta indepen-dientemente del valor inicial de la carga de la cubeta qA.
La diferencia de potencial entre la esfera y la cubeta suponiendo ambas concéntricas es
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El generador de Van de Graaff
Van de Graaff inventó el generador que lleva su nombre en 1931, con el propósito de producir una diferencia de potencial muy alta (del orden de 20 millones de volts) para acelerar partículas cargadas que se hacían chocar contra blancos fijos.
Los resultados de las colisiones nos informan de las características de los núcleos del material que constituye el blanco.
El generador de Van de Graaff es un generador de corriente constante, mientras que la batería es un generador de voltaje constante, lo que cambia es la intensidad dependiendo que los aparatos que se conectan.
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El generador de Van de Graaff
El generador de Van de Graaff es muy simple, consta de un motor, dos poleas, una correa o cinta, dos peines o terminales hechos de finos hilos de cobre y una esfera hueca donde se acumula la carga transportada por la cinta.
Un conductor metálico hueco A de forma aproximadamente es-férica, está sostenido por soportes aislantes de plástico, ator-nillados en un pié metálico C conectado a tierra.
Una correa o cinta de goma (no conductora) D se mueve entre dos poleas E y F. La polea F se acciona mediante un motor eléctrico.
Dos peines G y H están hechos de hilos conductores muy fi-nos, están situados a la altura del eje de las poleas. Las puntas de los peines están muy próximas pero no tocan a la cinta.
La rama izquierda de la cinta transportadora se mueve hacia arriba, transporta un flujo continuo de carga positiva hacia el conductor hueco A. Al llegar a G y debido a la propiedad de las puntas se crea un campo lo suficientemente intenso para ionizar el aire situado entre la punta G y la cinta.
Fig.19 Generador Van de Graaff
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El generador de Van de Graaff
El aire ionizado proporciona el medio para que la carga pase de la cinta a la punta G y a continua-ción, al conductor hueco A, debido a la propiedad de las cargas que se introducen en el interior de un conductor hueco
Funcionamiento del generador de Van de Graaff
Ahora explicaremos como adquiere la cinta la carga que transporta hasta el terminal esférico.
En primer lugar, se electrifica la superficie de la polea inferior F debido a que la superficie del polea y la cinta están hechos de materiales diferentes. La cinta y la superficie del rodillo ad-quieren cargas iguales y de signo contrario.
Sin embargo, la densidad de carga es mucho mayor en la su-perficie de la polea que en la cinta, ya que las cargas se ex-tienden por una superficie mucho mayor
Supongamos que hemos elegido los materiales de la cinta y de la superficie del rodillo de modo que la cinta adquiera un carga negativa y la superficie de la polea una carga positiva, tal como se ve en la figura.
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El generador de Van de Graaff
Si una aguja metálica se coloca cerca de la superficie de la cinta, a la altura de su eje. Se produce un intenso campo eléctrico entre la punta de la aguja y la superficie de la polea.
Las moléculas de aire en el espacio entre ambos elementos se ioni-zan, creando un puente conductor por el que circulan las cargas desde la punta metálica hacia la cinta.
Las cargas negativas son atraídas hacia la superficie de la polea, pero en medio del camino se encuentra la cinta, y se depositan en su super-ficie, cancelando parcialmente la carga positiva de la polea. Pero la cinta se mueve hacia arriba, y el proceso comienza de nuevo.
La polea superior E actúa en sentido contrario a la inferior F. No puede estar cargada positiva-mente. Tendrá que tener una carga negativa o ser neutra ( una polea cuya superficie es metálica).
Fig.20 Funcionamiento
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El generador de Van de Graaff
Existe la posibilidad de cambiar la polaridad de las cargas que transporta la cinta cambiando los materiales de la polea inferior y de la cinta.
Si la cinta está hecha de goma, y la polea inferior está hecha de nylon cubierto con una capa de plástico, en la polea se crea una carga negativa y en la goma positiva. La cinta transporta hacia arriba la carga positiva. Esta carga como ya se ha explicado, pasa a la superficie del conductor hueco.
Si se usa un material neutro en la polea superior E la cinta no transporta cargas hacia abajo. Si se usa nylon en la polea superior, la cinta transporta carga negativa hacia abajo, esta carga viene del conductor hueco. De este modo, la cinta carga positivamente el conductor hueco tanto en su movimiento ascendente como descendente.
Las características del generador de Van de Graaff típico son los siguientes:
Diámetro de la esfera conductora 21 cm Capacidad 15 pF Tensión máxima 150-200 kV Máxima corriente 6 mA
Dar el ejemplo de funcionamiento del
Van de Graaff
Fisica III -05C:\FIS III- 05\curso fisica interactivo\fisica\elecmagnet\campo_electrico\graaf\graaf.htm
En un generador real pone un límite al campo máximo en la superficie de la esfera a
partir del cual, el aire se ioniza y el generador no puede incrementar más la carga.
El generador deja de acumular carga cuando el aire se vuelve conductor.
Podemos aproximar el conductor hueco a una esfera conductora de radio R. Conociendo la carga acumulada Q se calcula el campo producido por un esfera conductora en su su-perficie
Para una esfera de radio R podemos calcular la carga máxima que puede a-cumular y el máximo potencial que adquiere la esfera cargada.
La intensidad del campo eléctrico límite es de aproximadamente 3.0 106 V/m
Explicación del Applets
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Supongamos una esfera de 40 cm de radio.
Podemos comprobar que :
* La capacidad de la esfera C = 4 π ε0 R es 44.4 pF
• La carga máxima que puede acumular es Q = 53.3 mC hasta que se produce la ruptura dieléctrica (el campo eléctrico límite es de 3.0 106 V/m)
• El máximo potencial V es de 1.2 millones de volts.
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Fin