Campo vectorial

En matemáticas, un campo vectorial representa la distribución espacial de una magnitud vectorial.

Es una expresión de cálculo vectorial que asocia un vector a cada punto en el espacio euclidiano, de

la forma  .

Los campos vectoriales se utilizan en física, por ejemplo, para representar la velocidad y la dirección

de un fluido en el espacio, o la intensidad y la dirección de fuerzas como la gravitatoria o la fuerza

electromagnética.

Como expresión matemática rigurosa, los campos vectoriales se definen

en variedades diferenciables como secciones del fibrado tangente  de la variedad. Este es el tipo de

tratamiento necesario para modelizar el espacio-tiempo curvo de la teoría general de la

relatividad por ejemplo.

Definición[

Un campo vectorial sobre un subconjunto del espacio euclidiano   es una función con

valores vectoriales:

Se dice que   es un campo vectorial Ck si como función es k veces diferenciable con

continuidad en X. Un campo vectorial se puede visualizar como un espacio X con un vector n-

dimensional unido a cada punto en X.

Operaciones con campos vectoriales[editar · editar código]

Dados dos campos vectoriales Ck F, G definidos sobre X y una función Ck a valores reales f definida

sobre X, se definen las operaciones producto por escalar y adición:

Debido a la linealidad de la función (F+G):

define el módulo de los campos vectoriales Ck sobre el anillo de las funciones Ck. Alternativamente

el conjunto de todos los campos vectoriales sobre un determinado subconjunto X es en sí mismo

un espacio vectorial.

Derivación y potenciales escalares y vectores[editar · editar código]

Los campos vectoriales se deben comparar a los campos escalares, que asocian un número

o escalar a cada punto en el espacio (o a cada punto de alguna variedad).

Las derivadas de un campo vectorial, que dan por resultado un campo escalar u otro campo

vectorial, se llaman divergencia y rotor respectivamente. Recíprocamente:

Dado un campo vectorial cuyo rotacional se anula en un punto , existe un campo potencial

escalar cuyo gradiente coincide con el campo escalar en un entorno de ese punto.

Dado un campo vectorial solenoidal cuya divergencia se anula en un punto, existe un campo

vectorial llamado potencial vector cuyo rotacional coincide con el campo escalar en un entorno

de ese punto.

Estas propiedades derivan del teorema de Poincaré.

Puntos estacionarios[editar · editar código]

Un punto x en X se llama estacionario si:

El conjunto de todos los espacios vectoriales definidos sobre un subconjunto X, que son

estacionarios en un determinado punto forman un subespacio vectorial del conjunto del espacio

vectorial definido en la sección anterior.

Ejemplos[editar · editar código]

Un campo vectorial para el movimiento del aire en la tierra asociará a cada punto en la

superficie de la tierra un vector con la velocidad y la dirección del viento en ese punto. Esto

se puede dibujar usando flechas para representar el viento; la longitud (magnitud) de la

flecha será una indicación de la velocidad del viento. Un "Alta" en la función usual de

la presión barométricaactuaría así como una fuente (flechas saliendo), y un "Baja" será un

sumidero (flechas que entran), puesto que el aire tiende a moverse desde las áreas de alta

presión a las áreas de presión baja.

Véase también: Teorema de la bola peluda#Meteorología

Un campo de velocidad de un líquido móvil. En este caso, un vector de velocidad se asocia

a cada punto en el líquido. En un túnel de viento, las líneas de campo se pueden revelar

usando humo.

Campos magnéticos . Las líneas de campo se pueden revelar usando pequeñas limaduras

de hierro.

Las ecuaciones de Maxwell permiten que utilicemos un conjunto dado de condiciones

iniciales para deducir, para cada punto en el espacio euclidiano, una magnitud y una

dirección para lafuerza experimentada por una partícula de prueba cargada en ese punto;

el campo vectorial que resulta es el campo electromagnético.

Campo gradiente[editar · editar código]

Los campos vectoriales se pueden construir a partir de campos escalares usando el operador

diferencial vectorial gradiente que da lugar a la definición siguiente.

Un campo vectorial Ck F sobre X se llama un campo gradiente o campo conservativo si existe

una función Ck+1 a valores reales f: X → R (un campo escalar) de modo que

La integral curvilínea sobre cualquier curva cerrada (e.g. γ(a) = γ(b)) en un campo gradiente es

siempre cero.

Campo central

Un campo vectorial C∞ sobre Rn \{0} se llama campo central si puede encontrarse un punto   tal

que:

Donde O(n, R) es el grupo ortogonal.Se dice que los campos centrales

son invariantes bajo transformaciones ortogonales alrededor de un punto S cuyo vector posición

es  . El punto S se llama el centro del campo.

Un campo central es siempre un campo gradiente, por los campos centrales pueden ser

caracterizados más fácilmente mediante:

Donde   es una función potencial que depende sólo de la distancia entre el

punto donde se mide el campo y el "centro del campo".

Campo solenoidal

Otros campos vectoriales se pueden construir a partir de un campo vectorial usando el operador

diferencial vectorial rotacional que da lugar a la definición siguiente.

Un campo vectorial Ck F sobre X se llama un campo solenoidal si existe una función vectorial

Ck+1 A: X → Rn (un campo vectorial) de modo que:

La integral de superificie o flujo cualquier superficie cerrada de un campo solenoidal es siempre

cero.

Integral curvilínea

Una técnica común en la física es integrar un campo vectorial a lo largo de una curva. Dado una

partícula en un campo vectorial gravitacional, donde cada vector representa la fuerza que actúa en

la partícula en ese punto del espacio, la integral curvilínea es el trabajo hecho sobre la partícula

cuando viaja a lo largo de cierta trayectoria.

La integral curvilínea se construye análogamente a la integral de Riemann y existe si la curva

es rectificable (tiene longitud finita) y el campo vectorial es continuo.

Dado un campo vectorial F(x) y una curva γ(t) de a a b se define la integral curvilínea como

Algunas reglas simples para el cálculo de los integrales curvilíneas son

Curvas integrales

Los campos vectoriales tienen una interpretación agradable en términos de ecuaciones diferenciales

ordinarias de primer orden autónomas.

Dado un C0 campo vectorial F definido sobre X

podemos intentar definir curvas γ(t) sobre X de modo que para cada t en un intervalo I

y

Puesto en nuestra ecuación de campo vectorial conseguimos

lo que es la definición de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden explícita con las curvas

γ(t) como soluciones.

Si F es Lipschitz continua  se puede encontrar una curva C¹ única γx para cada punto x en X de

modo que

Las curvas γx se llaman las curvas integrales del campo vectorial F y particionan X en clases de

equivalencia. No es siempre posible ampliar el intervalo (-µ, +µ) a la recta real total. El flujo puede

por ejemplo alcanzar el borde de X en un tiempo finito.

Integrar el campo vectorial a lo largo de cualquier curva integral γ da

En dimensión 2 o tres se puede visualizar el campo vectorial como dando lugar a un flujo en  X. Si

dejamos caer una partícula en este flujo en el punto x se moverá a lo largo de una curva γx en el

flujo dependiendo del punto inicial x. Si x es un punto estacionario en F entonces la partícula seguirá

estacionaria.

Los usos típicos son aerodinámica en líquidos, flujo geodésico, los subgrupos uniparamétricos y

la función exponencial en grupos de Lie.

Teorema de Poincaré

El teorema de Poincaré sobre 1-formas exactas tiene varias consecuencias interesantes para los

campos vectoriales:

Si un campo vectorial cumple en algún punto P que  , entonces el campo

es localmente conservativo, es decir, existe un entorno de P donde se cumple que:  , es

decir, es localmente expresable como el gradiente de un campo escalar.

Si un campo vectorial es solenoidal en un punto P:  , entonces el campo localmente

deriva de un potencial vector, es decir, existe un entorno de P donde se cumple

que:  .

Campo escalarEn matemáticas y física, un campo escalar representa la distribución espacial de una magnitud

escalar, asociando un valor a cada punto del espacio. En matemáticas, el valor es un número; en

física, una magnitud física. Los campos escalares se usan en física, por ejemplo, para indicar la

distribución de la temperatura o la presión de un gas en el espacio.

Como expresión matemática, un campo escalar es una función de  . Esto quiere decir

que asocia cada punto de un espacio vectorial con un número o escalar  .

Esta función también es conocida como función de punto o función escalar.

Campos escalares en física[editar · editar código]

En mecánica de fluidos la presión puede ser tratada como un campo escalar, o la distribución de

temperatura sobre un cuerpo es otro campo escalar. Todos estos campos son clasificados como

campos escalares por motivo de la descripción matemática necesaria. Una construcción que

caracteriza los campos escalares son las superficies equipotenciales que son los conjuntos de

puntos sobre los cuales la función toma un mismo valor.

En física cuántica, se usa el término "campo escalar" de una forma más restringida, se aplica a

describir el campo asociado a partículas de espín nulo (p.ej. los piones).

Campos escalares en geometría diferencial[editar · editar código]

Dada una variedad diferenciable   y dado un atlas de la misma:

Un campo escalar diferenciable,   es cualquier función tal que:

Es campo escalar diferenciable en  .