Campo vectorial

Ejemplo de campo vectorial noconservativocuyorotacionalno se anula.Enmatemticas, uncampo vectorialrepresenta la distribucin espacial de unamagnitud vectorial. Es una expresin declculo vectorialque asocia unvectora cada punto en elespacio euclidiano, de la forma.Los campos vectoriales se utilizan enfsica, por ejemplo, para representar la velocidad y la direccin de un fluido en el espacio, o la intensidad y la direccin defuerzascomo lagravitatoriao lafuerza electromagntica.Como expresin matemtica rigurosa, los campos vectoriales se definen envariedadesdiferenciables comoseccionesdelfibrado tangentede la variedad. Este es el tipo de tratamiento necesario para modelizar elespacio-tiempo curvode lateora general de la relatividadpor ejemplo.ndice[ocultar] 1Definicin 1.1Operaciones con campos vectoriales 1.2Derivacin y potenciales escalares y vectores 1.3Puntos estacionarios 2Ejemplos 2.1Campo gradiente 2.2Campo central 2.3Campo solenoidal 3Integral curvilnea 4Curvas integrales 5Teorema de Poincar 6Vase tambinDefinicin[editar]Uncampo vectorialsobre un subconjunto delespacio euclidianoes unafuncincon valores vectoriales:

Se dice quees uncampo vectorialCksi como funcin es k vecesdiferenciable con continuidadenX. Un campo vectorial se puede visualizar como un espacioXcon un vectorn- dimensional unido a cada punto enX.Operaciones con campos vectoriales[editar]Dados dos campos vectorialesCkF,Gdefinidos sobreXy una funcin Cka valores realesfdefinida sobreX, se definen las operaciones producto por escalar y adicin:

Debido a la linealidad de la funcin (F+G):

define elmdulode los campos vectorialesCksobre elanillode las funcionesCk. Alternativamente el conjunto de todos los campos vectoriales sobre un determinado subconjuntoXes en s mismo unespacio vectorial.Derivacin y potenciales escalares y vectores[editar]Los campos vectoriales se deben comparar a los campos escalares, que asocian un nmero oescalara cada punto en el espacio (o a cada punto de alguna variedad).Lasderivadasde un campo vectorial, que dan por resultado un campo escalar u otro campo vectorial, se llamandivergenciayrotorrespectivamente. Recprocamente: Dado un campo vectorial cuyo rotacional se anula en un punto , existe un campo potencial escalar cuyo gradiente coincide con el campo escalar en un entorno de ese punto. Dado uncampo vectorial solenoidalcuya divergencia se anula en un punto, existe un campo vectorial llamado potencial vector cuyo rotacional coincide con el campo escalar en un entorno de ese punto.Estas propiedades derivan delteorema de Poincar.Puntos estacionarios[editar]Un puntoesestacionariosi:

El conjunto de todos los espacios vectoriales definidos sobre un subconjuntoX, que son estacionarios en un determinado punto forman un subespacio vectorial del conjunto del espacio vectorial definido en la seccin anterior.Ejemplos[editar] Un campo vectorial para el movimiento del aire en la tierra asociar a cada punto en la superficie de la tierra un vector con la velocidad y la direccin del viento en ese punto. Esto se puede dibujar usando flechas para representar el viento; la longitud (magnitud) de la flecha ser una indicacin de la velocidad del viento. Un "Alta" en la funcin usual de lapresin baromtricaactuara as como una fuente (flechas saliendo), y un "Baja" ser un sumidero (flechas que entran), puesto que el aire tiende a moverse desde las reas de alta presin a las reas de presin baja.Vase tambin:Teorema de la bola peluda#Meteorologa Uncampode velocidad de un lquidomvil. En este caso, unvectorde velocidad se asocia a cada punto en el lquido. En untnel de viento, las lneas de campo se pueden revelar usando humo. Campos magnticos. Las lneas de campo se pueden revelar usando pequeaslimaduras de hierro. Lasecuaciones de Maxwellpermiten que utilicemos un conjunto dado de condiciones iniciales para deducir, para cada punto en elespacio euclidiano, una magnitud y una direccin para lafuerzaexperimentada por una partcula de prueba cargada en ese punto; el campo vectorial que resulta es elcampo electromagntico.Campo gradiente[editar]Los campos vectoriales se pueden construir a partir decampos escalaresusando el operador diferencial vectorialgradienteque da lugar a la definicin siguiente.Un campo vectorial CkFsobreXse llama uncampo gradienteocampo conservativosi existe una funcin Ck+1a valores realesf:XR(un campo escalar) de modo que

La integral curvilnea sobre cualquier curva cerrada (e.g. (a) = (b)) en un campo gradiente es siempre cero.

Campo central[editar]Artculo principal:Campo centralUn campo vectorial CsobreRn\{0} se llamacampo centralsi puede encontrarse un puntotal que:

Donde O(n,R) es elgrupo ortogonal.Se dice que los campos centrales soninvariantesbajotransformaciones ortogonalesalrededor de un puntoScuyo vector posicin es. El puntoSse llama elcentrodel campo.Un campo central es siempre un campo gradiente, por los campos centrales pueden ser caracterizados ms fcilmente mediante:

Dondees una funcin potencial que depende slo de la distancia entre el punto donde se mide el campo y el "centro del campo".Campo solenoidal[editar]Otros campos vectoriales se pueden construir a partir de un campo vectorial usando el operador diferencial vectorialrotacionalque da lugar a la definicin siguiente.Un campo vectorial CkFsobreXse llama uncampo solenoidalsi existe una funcin vectorial Ck+1A:XRn(un campo vectorial) de modo que:

Laintegral de superficieo flujo cualquier superficie cerrada de un campo solenoidal es siempre cero.

Integral curvilnea[editar]Una tcnica comn en la fsica es integrar un campo vectorial a lo largo de unacurva. Dado una partcula en un campo vectorial gravitacional, donde cada vector representa la fuerza que acta en la partcula en ese punto del espacio, la integral curvilnea es el trabajo hecho sobre la partcula cuando viaja a lo largo de cierta trayectoria.La integral curvilnea se construye anlogamente a laintegral de Riemanny existe si la curva esrectificable(tiene longitud finita) y el campo vectorial es continuo.Dado un campo vectorialF(x) y una curva (t) deaabse define la integral curvilnea como

Algunas reglas simples para el clculo de los integrales curvilneas son

Curvas integrales[editar]Los campos vectoriales tienen una interpretacin agradable en trminos de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden autnomas.Dado un C0campo vectorialFdefinido sobreX

podemos intentar definir curvas (t) sobreXde modo que para cadaten un intervaloI

y

Puesto en nuestra ecuacin de campo vectorial conseguimos

lo que es la definicin de una ecuacin diferencial ordinaria de primer orden explcita con las curvas (t) como soluciones.SiFesLipschitz continuase puede encontrar una curvaCnicaxpara cada puntoxenXde modo que

Las curvas xse llaman lascurvas integralesdel campo vectorialFy particionanXenclases de equivalencia. No es siempre posible ampliar el intervalo (-, +) a la recta real total. El flujo puede por ejemplo alcanzar el borde deXen un tiempo finito.Integrar el campo vectorial a lo largo de cualquier curva integral da

En dimensin 2 o tres se puede visualizar el campo vectorial como dando lugar a un flujo enX. Si dejamos caer una partcula en este flujo en el puntoxse mover a lo largo de una curva xen el flujo dependiendo del punto inicialx. Sixes un punto estacionario enFentonces la partcula seguir estacionaria.Los usos tpicos sonaerodinmicaenlquidos,flujo geodsico, lossubgrupos uniparamtricosy lafuncin exponencialengrupos de Lie.Teorema de Poincar[editar]Elteorema de Poincarsobre1-formas exactastiene varias consecuencias interesantes para los campos vectoriales:1. Si un campo vectorial cumple en algn puntoPque, entonces el campo eslocalmenteconservativo, es decir, existe un entorno dePdonde se cumple que:, es decir, es localmente expresable como el gradiente de uncampo escalar.2. Si un campo vectorial essolenoidalen un puntoP:, entonces el campo localmente deriva de un potencial vector, es decir, existe un entorno dePdonde se cumple que:.