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CAMPO GRAVITATORIO

Índice de contenidos:

Introducción 1

Momento angular 2

Leyes de Kepler 3

Ley de gravitación Universal 4

Concepto de campo 6

Líneas de Fuerza 6

Campo gravitatorio 7

Campo conservativo 8

Energía potencial gravitatoria 9

Flujo de un campo gravitatorio. Teorema de Gauss 11

Aplicaciones del Teorema de Gauss. 11

Velocidad de escape. 13

Satélites 14

Campo gravitatorio _ 1 de 16

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INTRODUCCIÓN

La observación y posteriormente el estudio de los cuerpos celestes atrajo al hombre desde la

antigüedad. Primero es una necesidad (control de los tiempos para la siembra o la recogida) y

luego, controlado esto, se satisface la necesidad de un conocimiento mayor.

De esta forma surgen desde tiempo remotos, teorías que intentan explicar el movimiento de estos

cuerpos. Así por ejemplo Ptolomeo de Alejandría

establece un sistema en el que la Tierra ocuparía el

centro del Universo y en torno a ella se moverían los

demás cuerpos celestes describiendo órbitas cuya

forma sería una epicicloide (el planeta describiría con

movimiento uniforme un círculo, epiciclo, cuyo centro

se desplazaba a lo largo de otro círculo de mayor radio

que está ocupado en su centro por la Tierra, este

último círculo recibe el nombre de deferente.

Estas y otras explicaciones similares fueron aceptadas como válidas hasta el

siglo XVI en que Copérnico (1473 - 1543) consideró que todos los planetas,

incluida la Tierra, giraban en torno al Sol que estaría en el centro de sus órbitas.

Las ideas principales de su teoría son:

• Los movimientos celestes son uniformes, eternos, y circulares o compuestos de

diversos ciclos (epiciclos).

• El centro del universo se encuentra cerca del Sol.

• Orbitando el Sol, en orden, se encuentran Mercurio, Venus, la Tierra y la Luna, Marte,

Júpiter, Saturno.

• Las estrellas son objetos distantes que permanecen fijos y por lo tanto no orbitan

alrededor del Sol.

• La Tierra tiene tres movimientos: la rotación diaria, la revolución anual, y la inclinación

anual de su eje.

• El movimiento retrógrado, se refiere a la observación de

que los otros planetas del Sistema Solar parecen ir hacia

atrás en ciertos momentos de su movimiento (esto era lo

que solucionaba Ptolomeo introduciendo los epiciclos),

de los planetas es explicado por el movimiento de la

Tierra.

• La distancia de la Tierra al Sol es pequeña comparada

con la distancia a las estrellas.

Sus propuestas agradaron en principio al papa Clemente VII

quién le invitó a participar en la reforma del calendario. No obstante chocaron con la

Sistema solar de Copérnico. De revolutionibus orbium coelestium (1566)



incomprensión de muchos contemporáneos que se oponían a ellas e incluso las condenaban

como heréticas. De hecho uno de sus primeros detractores fue Lutero aunque luego también la

Iglesia Católica decide incluir su libro en el índice de obras prohibidas (Acta del Santo Oficio 16

de Febrero de 1616). También algunos científicos negaban la

validez de las teorías copernicanas.

Uno de los astrónomos más importantes en esa

época, Tycho Brahe (1546 - 1601), se opone

firmemente al modelo de Copernico y elabora,

usando todas sus propias observaciones, que son

las mejores en aquel momento, un modelo

alternativo al de Copernico que sigue respetando la situación de la

Tierra en el centro del Universo.

Galileo (1564 – 1642), padre del método experimental y uno de los que más

influye en el cambio de mentalidad en la Ciencia, basándose en sus propias

observaciones y en las leyes elaboradas por Kepler (que veremos más

adelante) de las que tenía noticia porque mantenía con él una relación

espistolar, también abraza la teoría copernicana lo cual le traería serios

problemas con la Inquisición.

Repaso conceptos previos

MOMENTO ANGULAR

Se define el momento angular con respecto a O de una partícula de masa m que se mueve a una

velocidad como el momento respecto a O del vector momento lineal de esa partícula:

vmrLrrr

×=

El momento angular será un vector perpendicular al plano determinado por el punto O y el vector

momento lineal. En general esta magnitud cambiará de dirección módulo y sentido según sea el

movimiento de la partícula. Sin embargo, si la trayectoria está en un plano la dirección del

momento angular permanece constante. En el caso de un movimiento circular el módulo de L

será m r v (pues r y v son en este caso

perpendiculares) o lo que es lo mismo L = m ω

r2.

Para estudiar la variación del momento angular

estudiaremos su derivada respecto al tiempo.

dt

pd r + p

dt

rd =

dt

)p r(d =

dt

Ldr

rrrrrr

×××

Pero el primer producto será cero puesto que se multiplican dos vectores que tienen la misma

vmr

rr

Lr



dirección (velocidad y momento lineal). Por otro lado el segundo sumando es el valor del momento

de la fuerza que actúa sobre la partícula respecto del punto O.

LEYES DE KEPLER

La propuesta de Copérnico cautiva a Kepler ya que explica de una forma mucho más sencilla que

hasta el momento el funcionamiento del Universo. En ella se basa para enunciar las leyes del

movimiento planetario.

Usando las observaciones y medidas realizadas por T. Brahe y por él mismo, éstas mucho menos

importantes ya que su fuerte era el cálculo, pues a causa de una enfermedad en la infancia había

perdido mucha vista, Kepler publica sus resultados en 1609, se pueden resumir en tres leyes:

• 1ª Los planetas en su movimiento alrededor del Sol describen órbitas planas,

cerradas de forma elíptica en uno de cuyos focos está el Sol.

• 2ª El segmento que une el sol y un planeta barre superficies iguales en

tiempos iguales (ley de las areas). Definiendo la velocidad areolar como el

area barrida por el vector de posición de un planeta tomando como origen el

Sol, esta ley se puede enunciar: "La velocidad areolar de un planeta es

constante a lo largo de toda su trayectoria."

• 3ª El cociente entre el cuadrado del periodo de un planeta cualquiera y el

cubo del semieje mayor de la elipse descrita por el planeta tiene el mismo valor para todos

ellos.

1ª ley de Kepler : Los planetas giran en órbitas planas cerradas que recorren siempre en el mismo

sentido.

La derivada del momento angular del planeta respecto

de la posición del Sol será:

dt

vmrd

dt

Ld )(rrr

×=

recordemos que la derivada de un producto es “derivada del primer factor por el segundo sin

derivar más el primero por la derivada del segundo”.

Framrvmvdt

vmdrvm

dt

rd

dt

Ld rrrrrrr

rrrr

×=×+×=×+×= )(

Pero como podemos observar el primer producto vectorial es cero puesto que los dos vectores

tienen la misma dirección y el mismo sentido (sen 0 = 0) y en el segundo los dos vectores tienen

sentidos opuestos (sen 180 = 0). Esto significa que el momento angular es constante. Lo es su

módulo, su dirección y su sentido.

Al ser constante la dirección se deduce que vmr

y la posición del Sol estarán siempre en el mismo

vmr

rr

Fr

F

Lr

F



plano y que el sentido de giro del planeta será siempre el mismo (en caso contrario se daría un

cambio en el sentido de la dirección del momento angular.

2ª ley de Kepler (ley de las áreas) “El vector de posición del planeta, tomando como origen la

estrella, barre áreas iguales en tiempos iguales” También aquí el valor constante del momento

angular del planeta respecto de la posición de la estrella puede explicarla. Ahora es el valor

constante de su módulo el que nos lo va a explicar:

dt

dAm

dt

dlmrL ·2·· ==

Como el momento angular y la masa son constantes la velocidad areolar también lo será.

3ª ley de Kepler si dos planetas/satélites giran en torno a una estrella/planeta lo hacen de forma

que la relación entre el cuadrado del periodo de cada uno de ellos y el cubo del radio es constante.

Se demostrará a partir de la Ley de Gravitación Universal de Newton.

32

22

31

21

R

T

R

T =

LEY DE GRAVITACION UNIVERSAL

Basándose en las leyes de la Dinámica y en las leyes de Kepler planteadas anteriormente,

Newton deduce (a consecuencia de una apuesta) la ley de gravitación universal.

Para simplificar el cálculo, suponemos que el planeta gira en una órbita circular de radio R. El

planeta estará sometido a una aceleración:

RT

4 = R =

Rv = a 2

22

2

nπω

Según lo expuesto anteriormente en la 2ª Ley de Kepler

(velocidad areolar constante) su velocidad lineal (v) será

constante y también su velocidad angular (ω).

Aplicando la 2ª ley de Newton la fuerza a que estará sometido el planeta será:

RT

4m = am = F

2

2

nπ

dl

r

dA

12Fr

21Fr



Multipliacando y dividiendo por R2: 3

2R

RT

4m = F 2

2π

Teniendo en cuenta la tercera ley de Kepler: (T2 / R3) constante:

1KR

4m = F

2

2π

Según el principio de acción y reacción el planeta ejercerá sobre el Sol una fuerza de igual

módulo, dirección y sentido contrario:

KR

4 M= F 22

2π

Como ambas fuerzas son iguales: M⋅K2 = m⋅K1 es decir: K2/m = K1/M = K. Sustituyendo

en la ecuación de la fuerza:

R

mMM

K4

= F2

2 ·1π

Los primeros factores de la fórmula de la fuerza son constantes con lo que se puede poner:

R

MmG = F

2

·

Siendo G la Constante de Gravitación Universal cuyo valor es 6,67·10-11 N m2 s-2.

"La fuerza de atracción entre dos cuerpos materiales, con masas M y m, es

directamente proporcional al cuadrado de la distancia entre sus centros".

El valor de G fue determinado experimentalmente por H. Cavendish utilizando

la balanza de torsión. Permite calcular la fuerza gravitatoria entre las bolas

pequeñas y las grandes de la figura a partir del ángulo medido de torsión del hilo metálico del

que cuelgan.

El ángulo de torsión φ se mide utilizando un espejo que

refleja un rayo luminoso que llega a él. Midiendo el ángulo

que forman el rayo incidente y el reflejado se calcula el

ángulo de torsión.

También se conoce la constante de torsión (k) del hilo así

como el valor de las masas que interaccionan y la

distancia entre sus centros (r). El momento del par que se

genera (fuerzas de atracción gravitatoria por la longitud de la barra (de masa despreciable) que

une las esferas pequeñas es igual al producto de la constante de torsión por el ángulo.

Conocidos todos los valores menos G, se puede calcular éste.



G será numéricamente igual a la fuerza con que se atraen dos masas

de 1 kg separadas una distancia de 1 metro. Las unidades son

N·m2·kg-2

Una vez calculado el valor de G y conociendo el peso de un cuerpo

cualquiera se puede determinar el valor de la masa de la Tierra.

También se puede determinar la masa del Sol o de cualquier planeta.

CONCEPTO DE CAMPO. LINEAS DE FUERZA.

onc

Si en todos los puntos de una región del espacio, una magnitud física, escalar o vectorial, toma

valores que dependen de las coordenadas y del tiempo, se dice que esa región del espacio es un

campo.

Si la magnitud física es un escalar se llama campo escalar y si la magnitud física es un vector se

trata de un campo vectorial.

Para representar un campo escalar se usan líneas que unen todos

los puntos en los que la magnitud escalar toma un valor constante

(líneas o superficies isoescalares o equiescalares).

Las lineas isoescalares no se cortarán nunca pues en cada punto

del campo el escalar solamente toma un valor.

Otro ejemplo de lineas isoescalares serían las isóbaras de un mapa meteorológico (estas líneas

unen puntos de igual presión).

Cuando se trata de representar un campo vectorial, siendo Fr

la

magnitud vectorial definida en el campo se dibujan las líneas de

campo. Se definen éstas como aquellas líneas que en cada

punto del campo son tangentes al vector Fr

en ese punto. El módulo de Fr

viene dado por el

número de líneas de campo que en cada lugar atraviesa la unidad de superficie. Así en A el

módulo de Fr

es 4 mientras que en B es solamente 3. Las superficies en A y B son superficies

unitarias.

Tampoco las líneas de campo se cortan pues en cada punto la dirección de Fr

es única.

Cuando la magnitud Fr

es una fuerza se dice que el campo vectorial es un campo de fuerzas y las

líneas de campo se llaman líneas de fuerza.

T1

T2

T3

Fr

A

B



Si de un punto de un campo salen más líneas de campo que las

que entran en él se dice que ese punto es un manantial de líneas

de campo (I), en caso contrario se habla de un sumidero de

líneas de campo (II).

CAMPOS DE FUERZAS.

Son lugares del espacio donde al colocar un punto material, que posee una magnitud física

determinada (masa, carga,...) aparece una fuerza sobre él.

Esta fuerza depende de las coordenadas de cada punto y de la magnitud activa (puede ser la

masa en un campo gravitatorio, la carga en un campo eléctrico…) La partícula que crea el campo

posee también esa magnitud activa.

La fuerza que en un punto determinado actúa sobre un punto material de magnitud activa (a) viene

dada por: EaF ·=

E es el vector intensidad de campo. Se define como la fuerza que actua en un punto del campo

sobre la partícula de magnitud activa (a=1) unidad cuando se situa en ese punto del campo.

En estos campos las líneas de campo son líneas de fuerza tangentes en cada punto al vector E .

CAMPO GRAVITATORIO.

Para describir la interacción a distancia entre dos cuerpos

recurriremos al concepto anterior de campo de fuerzas.

Ahora la magnitud activa que crea el campo es la masa.

• Sea una masa m la que crea el campo de fuerzas. Hemos visto antes (Ley de Gravitación

Universal) que toda masa m' situada en el campo experimenta una fuerza de atracción

hacia m:

u d

mmG = f r2

rr ′

− ·

Donde rur

es un vector unitario cuya dirección es la línea que une los centros de masas de

m y m' y sentido de m a m'.

• Si en un punto del espacio existe una masa m crea un campo gravitatorio y en cada uno

de sus puntos se define el vector intensidad de campo de dirección la recta que une el

punto con m, sentido hacia m y módulo el de la fuerza que se ejercería en ese punto sobre

una masa m' unidad:

fr

rur

m m’



u d

mG =

m

f = g r2

r

rr −

′

• Esto significa que una masa m' colocada en un punto del campo experimenta una fuerza

sobre ella: gmfrr

=

• La trayectoria que seguiría cualquier masa m' situada en el campo converge en la masa m

por lo que esta masa sería un sumidero de líneas de fuerza. La dirección del vector

intensidad de campo ( gr

) será tangente en todos los puntos de las líneas de fuerza.

Principio de superposición:

Cuando dos o mas masas crean un campo, la intensidad del

campo en cualquier punto es la intensidad de campo

gravitatorio en un punto es la suma vectorial de cada una de

las intensidades de campo debidas a la presencia de las

cargas respectivas.

CAMPOS CONSERVATIVOS.

Se pueden definir como tales aquellos campos vectoriales en los que el trabajo realizado por las

fuerzas del campo para llevar una partícula de un punto a otro solamente depende de la posición

inicial y final de la partícula y no del camino recorrido. Este trabajo realizado por las fuerzas del

campo coincide con la disminución de la energía potencial y también con el aumento de la energía

cinética.

Sea un campo de fuerzas conservativo. El trabajo realizado

para llevar una partícula desde el origen hasta un punto

(x,y,z) se puede definir como: rd F = WB

ABA

rr

∫→

El trabajo realizado por las fuerzas del campo para llevar a la partícula desde O hasta P será igual

a la disminución de la energía potencial de la misma.

E E = rd F = W pp

B

ABA BA

−∫→

rr

Pero la disminución de la energía potencial implica un incremento de la energía cinética, es decir,

el trabajo realizado por las fuerzas del campo también se puede considerar igual a la diferencia

entre la energía cinética final menos la energía cinética inicial.

E E = rd F = W CC

B

ABA AB

−∫→

rr

Como el trabajo realizado es el mismo se deduce que la suma de energía cinética y potencial, la

energía mecánica del sistema permanece constante en un campo conservativo.

Son campos conservativos todos los campos de fuerzas centrales, es decir todos aquellos en los

que las direcciones de las fuerzas del campo pasan por el mismo punto. Ejemplo: Las fuerzas que

1gr 2g

r

3gr

gr m2

m1

m3

A B

I

II



provocan el MAS, los campos gravitatorios, los campos electrostáticos…

ENERGIA POTENCIAL GRAVITATORIA.

Supongamos una masa m' que se mueve en el seno de un campo

gravitatorio creado por una masa m. La trayectoria que sigue m' es la

línea entre 1 y 2. La única fuerza que actua sobre m' está dirigida

siempre hacia el mismo punto (es una fuerza central) por tanto la

trayectoria que siga m' estará en un plano (por ejemplo el del papel).

Para llevar m' de 1 a 2 actúa la fuerza ejercida por el campo f. La circulación entre 1 y 2 será:

E - E =x

mmG

x

mmG = dx

x

mmG = rd f = W pp

122

2

1

2

1

21 21

′−

′′−∫∫→

···rr

De donde se deduce que la energía potencial gravitatoria de una masa m' en un punto que dista x

de la masa que crea el campo será:

x

mmG = E p

′− ·

Se sabe que el trabajo realizado sobre m' es también igual al incremento de energía cinética:

x

mmG

x

mmG =

2vm

2vm

= W12

21

22

21

′−

′′−

′→

····

Por tanto la suma de energía cinética y potencial correspondiente a cada posición será:

x

mm G

2vm

= x

mmG

2vm

1

21

2

22 ′

−′′

−′ ·

····

Esto significa que, siempre que no actúen fuerzas externas, la energía mecánica del sistema

permanece constante. (Teorema de conservación de la energía).

ENERGÍA POTENCIAL EN LAS CERCANÍAS DE LA SUPERFICIE TERRESTRE

En el caso particular de que un cuerpo de masa m se encuentre en el campo gravitatorio creado

por la Tierra podemos poner que la energía potencial de dicho cuerpo que se encuentra a una

determinada altura (h) sobre la superficie terrestre será:

hR

MmG

r

MmGEp +

−=−= ··

Supongamos que esa partícula se mueve (por la acción del peso) desde una altura h (a una

distancia R del centro de la Tierra) hasta su superficie. El trabajo realizado por esta fuerza supone

una variación en la energía potencial del sistema:

+−=

−−+

−=−=∆hRR

GmMR

GmM

hR

GmMEEE phpp

11)0()(

Operando se llega a que:

o

o

1

2

m

m ́

Fr

X Y



mgh

R

hh

mR

GMEp =

+=∆

12

Puesto que h<<R y su cociente se puede considerar cero.

Esto es válido para alturas sobre la superficie terrestre mucho

menores que el radio de la Tierra, lo que significa que la fuerza de

atracción gravitatoria se puede considerar constante entre los dos

extremos del desplazamiento (RT = 6370 km). Observando la imagen

se puede deducir lo poco que varía g en la estratosfera.

POTENCIAL GRAVITATORIO.

Se definió como potencial en un punto la energía potencial que en ese punto tenía la partícula de

unidad de magnitud activa (en ese caso unidad de masa). El potencial gravitatorio en cada punto

será pues:

x

mG =

mE = V p −

′

El trabajo realizado sobre m' por la fuerza gravitatoria se m' se traslada de 1 a 2 es:

W1→2= Ep1 - Ep2 = m'(V1 - V2)

A V1 - V2 se le llama diferencia de potencial y representa el trabajo realizado por la fuerza del

campo para trasladar una masa unidad desde 1 hasta 2.

Si se pretende sacar fuera del campo a una masa unitaria situada en un punto del mismo (1) el

trabajo realizado será numéricamente igual a la diferencia de potencial pero sus unidades serán

J/kg y no J: 11 VVV =− ∞

Potencial en un punto es numéricamente igual al trabajo realizado por las fuerzas del campo para

llevar la masa unidad desde ese punto hasta el infinito (fuera del campo).

Como se puede deducir de la fórmula del potencial las superficies equipotenciales de un campo

creado por una masa puntual son esferas centradas en la masa que crea el campo. Dado que el

trabajo para llevar una masa de un punto a otro de una superficie equipotencial será cero (ver

fórmula que relaciona trabajo y potencial) se deduce que las líneas de fuerza serán

perpendiculares a las superficies equipotenciales e n todos sus puntos . También lo será el

vector intensidad de campo.



FLUJO DE UN VECTOR A TRAVES DE UNA SUPERFICIE

En primer lugar se debe recordar que una superficie se puede

representar por un vector de dirección perpendicular a ella y cuyo

sentido depende del sentido de recorrido que se asigne al perímetro

de la misma.

Supongamos ahora la superficie de la figura situada en el interior de

un campo, se define como flujo del campo a través de la superficie:

SdF = S

rr·∫Φ

pero α·cos·· dSFSd F =rr

y dado que dS⋅cosα sería el módulo de la

superficie elemental perpendicular al vector a (dS') resulta:

'cos dS F = dS F = Sd F = SSS ∫∫∫Φ αrr

Si la superficie fuese cerrada: Sd F = S

rr

∫Φ

Se considera como positivo el flujo cuando las líneas de campo salen hacia afuera de la superficie

(recuérdese el signo del producto escalar).

FLUJO DE UN CAMPO GRAVITATORIO. TEOREMA DE GAUSS.

Primer caso: masa m puntual y superficie esférica centrada en ella

Calcularemos el flujo a través de dicha superficie: Sd g = S

rr∫Φ

El vector gr

en cualquier punto de la superficie será perpendicular a

ella (igual dirección que Sdr

) y su sentido de fuera hacia la masa m

que crea el campo (contrario a Sdr

). El módulo de gr

será igual en

todos los puntos de la superficie pues todos distan r de m.

Por todo ello:

mG 4 = r 4 r

mG =

r 4 g = dS g = dS g =

22

2SS

ππ

π

−−Φ

−∫−−∫Φ

Segundo caso: una masa puntual m encerrada en una superficie cualquiera S.

Dado que el flujo es igual al número de líneas de fuerza que atraviesan dicha superficie, este

número será el mismo que el de las líneas de fuerza que atraviesan la superficie esférica S'

centrada en m. Por esta razón también aquí: Φ = - 4π⋅G⋅m

Fr

Fr

Sdr

'Sdr

gr

gr

Sdr

Sdr



Tercer caso: en el interior de una superficie están las masas

m1 y m2. Según el principio de superposición, en un punto de la

superficie: 21 gggrrr +=

Por lo que el flujo a través de un elemento de superficie ds

será: 2121 ·· Φ+Φ=+ ddSdgSdgrrrr

El flujo total a través de toda la superficie:

mG 4 - = ) mG 4 - ( + mG 4 - = + = interior2121 πππΦΦΦ

Que es la expresión matemática del teorema de Gauss para un campo gravitatorio (minterior - masa

total en el interior de la superficie).

Cuarto caso: Supongamos una superficie que no contiene

ninguna masa en su interior. Todas las líneas de campo que

entran en S salen de ella. Teniendo en cuenta que el flujo

entrante es negativo y el saliente positivo: 0 = + saleentra ΦΦ

También aquí se cumple el teorema de Gauss pues mint = 0.

APLICACIONES DEL TEOREMA DE GAUSS.

1. Cálculo de un campo creado por una esfera homogénea de radio R y masa M.

a) En el exterior de la esfera, a una distancia r de su

centro.

Tomemos la superficie esférica S, centrada en el mismo

centro de la masa M y con radio r. Calculamos el flujo del

campo a través de S.

Según la definición de flujo:

r 4 g = dS g = dS g = dS g = 2SSS π−∫−−∫∫Φ r

Y según el teorema de Gauss: mG 4 = interiorπ−Φ

Como el flujo es el mismo:

r

MG = g M 4G = r 4 g

22 ⇒−− ππ

La intensidad de campo en cualquier punto exterior a la masa es la misma que la que

correspondería a la creada por una masa puntual en el centro de la esfera.

r R

gr

S



b) En el interior de la esfera.

Al igual que antes:

r

mG = g m 4G =

r 4 g = dS g = dS g = dS g =

2

interiorinterior

2SSS

:π

π

−Φ

−∫−−∫∫Φ r

Pero si la esfera es homogenea y su densidad es ρ:

R

r MG = g

R

R r

r 3

4

G = g

r 3

4 = m

33

3

2

3

3interior

⇒ρπ

πρ

Esto puede aplicarse al cálculo de la intensidad del campo gravitatorio terrestre si se considerarse

a la Tierra una esfera homogénea.

VELOCIDAD DE ESCAPE

Es la mínima velocidad que debe tener un cuerpo para salir de un campo gravitatorio.

Para el caso del campo gravitatorio terrestre, la energía potencial fuera del campo es cero, en la

superficie terrestre tiene el siguiente valor:

Tp R

GMmE

−=

Para que el cuerpo escape del campo gravitatorio debe tener una

cierta velocidad y su energía cinética:

2

2mvEc =

Si simplemente se busca que el cuerpo pueda abandonar el campo gravitatorio, fuera de él puede

permanecer en reposo y su energía total será 0 porque fuera del campo también la energía

potencial vale cero.

gr

Sdr

R

r

gr

r RT

9,8



02

2

=+− mv

R

GMm

T

Simplificando y despejando v (velocidad de escape):

TR

GMv

2=

Teniendo en cuenta los valores de G, M y RT, la velocidad de escape es 11,2 km/s.

SATÉLITES

Un satélite, artificial o no, está girando en torno al planeta con una

velocidad suficiente para no caer y además tiene una cierta energía

potencial por encontrarse a una distancia del planeta que crea el campo

gravitatorio.

En primer lugar su energía potencial será: r

MmGEP −= y su energía cinética:

2

2mvEC = .

Además no debe caerse con lo que la fuerza de atracción gravitatoria 2r

MmGF = que es la única

que actúa sobre él será la fuerza centrípeta que lo hace girar r

mvamF c

2

· == como se trata del

mismo valor se deduce que r

v

r

MG

2

= y la energía cinética puede ponerse como:

r

MmGEc 2

1= y la energía mecánica del sistema será la suma de energía potencial y cinética

con lo que se deduce que su valor será:

r

MmGEEE cpm 2

1−=+=

Deducimos que si el satélite permanece en órbita, como su energía total es negativa permanece

ligado al campo gravitatorio.

Si lo que se pretende es poner el satélite en órbita desde la superficie del planeta tendremos en

cuenta que ahí tiene energía potencial al encontrarse a una distancia del centro del mismo RT.

Además tendrá que ser lanzado a una cierta velocidad desde la superficie. Esto implica que, al ser

el campo gravitatorio un campo conservativo se conserva la energía mecánica y se cumple:

r

MmG

R

MmG

mvEEE

Tpcm 2

12

20

00 −=−=+=

Despejando podemos deducir la velocidad con que sale de la Tierra para ponerse en una órbita

determinada de radio r (a una altura h = r – RT):



−=

−=

T

T

T Rr

RrGM

rRGMv

·212

Si la velocidad de lanzamiento fuese inferior el satélite volvería al suelo tras describir una parábola,

si es igual permanece en órbita, como se ha calculado, si es mayor la órbita sería una parábola

(Em = 0) o una hipérbola (Em > 0), en ambos casos se va del campo gravitatorio. (Recordar que si

no se fuera, su energía total sería negativa).

La sonda espacial Voyager (derecha)

ha abandonado el campo gravitatorio

terrestre mientras que el Telescopio

Hubble (izquierda) orbita la Tierra a

una distancia de su superficie de 593

km y un periodo de algo más de 96

minutos

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