campo elÉctrico

UNIDAD 2: CAMPO ELÉCTRICO

2.1 El campo eléctrico

Se dice que en la región del espacio que rodea un objeto cargado existe un campo eléctrico.

La carga fuente. Cuando un objeto cargado (la carga de prueba) entra en este campo eléctrico, una

fuerza eléctrica actúa sobre el.

Definición: El vector E del campo eléctrico en un punto en el espacio, como la fuerza eléctrica Fe

que actúa sobre una carga de prueba positiva q0 colocada en ese punto. Dividida entre la carga de

prueba.

E=∣F e∣q0

S.I. [N/C]

Decimos que: en un punto existe un campo eléctrico, si una carga de prueba en dicho punto

experimenta una fuerza eléctrica.

El campo eléctrico es un vector que toma la dirección de la fuerza eléctrica.

¿Por que se utiliza una carga de prueba para medir el campo eléctrico sobre ella?

R/ La carga de prueba deberá ser lo suficientemente pequeña para que no afecte a la distribución de

carga responsable del campo eléctrico

E=limqo0

F e

q0

2.2 Campo eléctrico producido por una carga puntual

ING. SAMUEL ADOLFO DUEÑAS APARICIO 1

E=F e

q0

E= 140

q q0

q0 r2

E= 140

qr 2

2.3 Campo eléctrico debido a un sistema de cargas puntuales

Eneto= E1 E2 E3............ En=∑i=1

n

E i Principio de superposición

2.4 Campo eléctrico debido a una distribución continua de carga

Una colección de un gran numero de cargas elementales (e = 1.60x10 -19 C) puede considerarse

como una distribución continua. El campo establecido por la distribución de carga continua puede

calcularse al dividir la distribución en elementos infinitesimales dq cada elemento de carga


+ *

q q0 Er

+

+

+

q1

q2

q3

q0

E3

r3

r2

r1

*

E2

E3

establece un campo dE en un punto P y el campo resultante en P se determina a partir del principio

de superposición.

E=∫ dE

E x=∫ dE x , E y=∫ dE y , E z=∫ dE z

A menudo podemos simplificar el calculo argumentando sobre la base de simetría, que una o dos de

las integrales se hacen cero o que las dos de ellas tienen valores idénticos.

dE= 140

dqr2

r: es la distancia desde el elemento de carga dq al punto P.

Ilustraremos este tipo de calculo con varios ejemplos, en los cuales suponemos que la carga esta

distribuida de manera uniforme a lo largo de una linea , sobre una superficie, o en el interior de un

volumen. Cuando se hacen estos cálculos, es conveniente usar el concepto de densidad de carga.

Distribución Lineal

Si una carga Q esta distribuida de manera uniforme a lo largo de una linea de longitud l.

=Ql

=densidad decarga lineal [C /m ]

dQ=ds o dQ=Ql

ds


Distribución Superficial

Si una carga Q esta distribuida de manera uniforme sobre una superficie de área A.

=QA

=densidad decarga superficial [C /m2]

dQ= dA o dQ=QA

dA

Distribución Volumetrica

Si una carga Q se encuentra distribuida de manera uniforme en un volumen V.

=QV

=densidad decarga volumetrica [C /m3]

dQ=dV o dQ=QV

dV

2.5 Calculo del campo eléctrico producido por:

a) Un alambre cargado uniformemente.

b) Un anillo cargado uniformemente.

c) Un disco cargado uniformemente.

d) Un dipolo.

a) Linea (varilla) de carga infinita


+++++++++++++

*P

dz dq

z r

yθ

y

z

x

θ

dEz dE

dEy

y = pequeña comparada con la longitud de la linea

¿Cual es el campo E a una distancia y de la linea?

dE= 140

dqr2

dE= 140

dzy2z2

el campo eléctrico en el punto P tiene dos componentes:

dE y=dE cos y dE z=dE sen

E y=∫ dE y y E z=∫ dE z

E y= ∫z=−

z=

dEcos y E z= ∫z=−

z=

dEsen

E=E yE z

E= ∫z=−

z=

dEcos ∫z=−

z=

dEsen

Por simetría

E=2 ∫z=−

z=

dEcos ∫z=−

z=

dEsen

E=2 ∫z=0

z=

cosdE

E=2 ∫z=0

z=

cos 140

dzy2 z2

E= 20

∫z=0

z=

cos dzy2z2 , tan= z

y , z= y tan , dz= y sec2d


E= 20

∫=0

=/ 2

cos y sec 2 d y2 y2 tan 2

E= 20

∫=0

=/ 2

cos y sec 2 d y21tan2

, sec2=1tan 2

E= 20 y ∫

=0

=/2

cos sec 2 d sec2

E= 20 y ∫

=0

=/2

cos d

E= 20 y

[ sen 2−sen 0]

E= 20 y

El problema tiene una simetría cilíndrica con respecto al eje z. En todos los puntos del plano xy a

una distancia r de la linea de carga.

E= 20 r (Linea infinita)

b) El anillo de carga


++

++

+ ++

++

* P

ds

R

r z

θ

θdEsenθ

dEcosθ

dE

x

y

z

¿Cual es el campo eléctrico en un punto P a una distancia z del plano del anillo a lo largo de su eje

central?

dq=ds Elemento diferencial del anillo

dE= 140

dqr2

dE= 140

dsz2R2

Notese que todos los elementos de carga que forman el anillo están a la misma distancia r del punto

P

Por simetría

E y=E x=0

E=E z

dE z=dEcos

dE z=1

40

dsz 2R2 cos , cos= z

r

dE z=1

40

dsz 2R2

zr ajustando tenemos:

dE z=1

40

z ds z2R23 /2

E z=∫ 140

z ds z2R23 /2

E z=z

40 z 2R23/2 ∫s=0

s=2R

ds


E z=z

40 z2R23/2 [2 R−0]

E z=z2R

40 z 2R23/2

La carga total del anillo

dq=ds

q=2 R

E z=q z

40 z 2R23 /2 (Anillo cargado)

En los puntos muy lejanos del anillo de modo que z≫R , podemos despreciar a R2 en

comparación con z2

E z=q z

40 z 2023 /2

E z=q z

40 z 23 /2

E z=q z

40 z3

E z=1

40

qz2 z≫R

Si z lo sustituimos por r , A distancias muy grandes, el anillo parecería como una carga puntual.

Si z = 0 , E = 0

Una carga de prueba en el centro del anillo seria empujado o jalado igualmente en todas las

direcciones en el plano del anillo y no experimentaría ninguna fuerza neta.


c) Un disco de carga

¿Cual es el campo eléctrico en el punto P a una distancia z del disco a lo largo de su eje?

Estrategia:

Dividir al disco en anillos concentricos y calcular el campo eléctrico sumando (integrando) el anillo

plano con radio w y anchura dw

dq= dA , dA=2w dw

dq= 2w dw

dE z=q z

40 z2R23 /2campo eléctrico de un anillo

sustituyendo dq = q y R = w

dE z=z dq

40 z2w23/2

dE z=z 2w dw

40 z2w23 /2

dE z= z40

z2w2−3 /22w dw


R

wdw

z

* P

dE

z

y

x

E z=∫ z40

z2w2−3/22w dw

E z= z40

∫0

R

z2w2−3/22w dw

sea u=z 2w 2

du=2wdw

E z= z40

∫0

R

u−3/2 du

E z= z40

u−3/21

−3/210−R

E z= z40

−2u−1/2 0−R

E z= z40

−2 z2w2−1/2 0−R

E z= z40 −2

z2w20−R Evaluando, tenemos:

−2 z2R2− −2

z202 −2

z2R2 2

z factor común

2 −1 z2R2

1z ordenando


21z−

1 z 2R2

E z= z40

2 1z−

1 z2R2

E z=

20 zz−

z z2R2

E z=

20 1− z z2R2 (disco cargado)

Ecuación valida para z > 0

si R≫ z ; z 0 entonces:

E z=

20(lamina infinita)

Para z0 ; para tales puntos cercanos, el disco cargado se comporta realmente como si fuera

una extensión infinita.

d) El dipolo eléctrico


+

-

* P

θ

θ

θ θ

q

q

d

r

r

x Carga de prueba

E+E-

E

z

x

¿Cual es el campo eléctrico E en el punto P a una distancia x a lo largo de la bisectriz perpendicular

a la linea que une a las cargas?

E=E−E

E=2Ecos

E=2 140

qr2 cos

E=2 140

qr2

d / 2r

E= 140

qdr 3

E= 140

qd[ x2d / 22]3 /2

Campo eléctrico en P debido a un dipolo.

E qd Esta esencial propiedad se llama momento dipolar eléctrico “P”

P=qd El momento dipolar es una propiedad de las moléculas.

E= 140

P[ x2d / 22]3 /2

(Momento dipolar)

Si x≫d ;d 0

E= 140

P[ x20/22]3 /2

E= 140

Px 3


2.6 Lineas de Fuerza

Características

1. Las lineas de fuerza dan la dirección del campo eléctrico en cualquier punto.

2. Las lineas de fuerza se originan en las cargas positivas y terminan en las cargas negativas.

3. Las lineas de fuerza se trazan de tal modo que el numero de lineas por unidad de área de

sección transversal (perpendicular a las lineas) sea proporcional a la magnitud del campo.


2.7 Carga puntual en un campo eléctrico uniforme

E=Fq

F=E q (Fuerza Constante)

F=ma

a=∣F∣m

a= Eqm

a 1m (q y E no cambian)

1. ∑ F=ma

2. Ecuaciones de cinemática.

2.8 Un dipolo en un campo eléctrico uniforme.


total=FpositivaFnegativa Pivote en el centro del dipolo

total=F d2

senF d2

sen

total=F dsen

total=qE dsen

total=qd Esen

total=P Esen

total=P x E

Entrando en la pagina


E

P

Ejercicio #1: Una varilla de vidrio esta doblada en un semicírculo de radio r Una carga +q esta

uniformemente distribuida a lo largo de la mitad superior, y una carga -q esta uniformemente

distribuida a lo largo de la mitad inferior (ver figura) ¿Determine el campo eléctrico E en P en el

centro del semicírculo?

Por simetría

dE=2 dEcos

dE=2 140

dqr2 cos

E= 120

∫ dqr 2 cos

pero s=r

ds=rd

dq=ds

dq= rd

E= 120

∫ r d r 2 cos

E= 20 r∫ d cos


++

++

++

---

--

- * Pr

++

++

++

---

--

- * Pθθ

dEdE

ds

rdθ

E= 20 r ∫0

/2

cosd

E= 20 r

[ sen][0−/2]

E= 20 r

[ sen2−sen0 ]

E= 20 r

pero:

L= r2

q= L

= qL ,

= q

r2 , = 2q

r

E=2q / r20 r

E=2 q22 0 r 2

E= q20 r 2 hacia abajo R/

Ejercicio #2 Un electrón que se mueve con una velocidad de 4.86x106 m/s se dispara en forma

paralela a un campo eléctrico de 1030 N/C de intensidad dispuesto de tal modo que retarda su

movimiento. a) ¿Que distancia recorrerá el electrón en el campo antes de llegar (momentáneamente)

al reposo y b) Cuanto tiempo transcurrirá? c) Si el campo eléctrico termina abruptamente después


de 7.88 mm, ¿que fracción de su energía cinética inicial perderá el electrón al atravesarlo?

Datos:

v0=4.86x106 m / s

E=1030 N /C

a) d =?

v2=v022ad

−v02=−2 ad

d=v0

2

2a(1)

pero, F=qE

F=eE

2a Ley de Newton

F=ma

eE=ma

a= eEm (2)

Sustituyendo 2 en 1

d=v 0

2

2eEm

d=v0

2 m2eE

d=4.86x106 m /s 29.11x10−31 kg 21.60x−31C 1030 N /C


+++++++

-------

*F E

d=0.0653m≈6.53cm R/

b) t = ?

v=v0at

t=v0

a

t=v0

eEm

t=m v0

eE

t=9.11x10−31 kg 4.86x106 m / s1.60x10−19 C1030 N /C

t=2.69x10−8 s≈26.9 x10−9 s≈26.9 ns R/

c) d = 7.88 mm después de que E = 0

¿Fracción de energía cinética perdida?

v2=v022 ad

v=v02−2ad

v=v02−2eEd

m

v=4.86x106 m /s 2−2 1.60x10−19C 1030 N /C 0.00788m9.11x10−31 kg

v=4557259.5 m / s


K f

K i=

12

mv f2

12

mvi2

K f

K i=

v f2

v i2

K f

K i=4557259.5 m / s2

4.86x106 m /s 2

K f

K i=0.879

La energía perdida sera:

1−0.879=0.121 R/


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