cambiadores de tomas con transformadores

IV Congreso Venezolano de Ingeniera Elctrica, IV CVIE, 7-10Sep2004

Ajuste de Cambiador de Tomas por Anlisis de Sensibilidad Francisco M. Gonzlez-Longatt

[email protected] Diciembre, 2003

I. Resumen. El uso de transformador con cambiador de toma persigue controlar el flujo de MVAR o el voltaje en una barra dentro de limites, su simulacin en el flujo de potencia implica el uso de iteraciones de ajuste, en este documento se presenta los fundamentos y un ejemplo del anlisis de sensibilidad aplicado al ajuste del ajuste del tap, en el proceso iterativo de Newton Raspn para flujo de potencia. Este ajuste, el voltaje controlado es la funcin deseada y es expresada en trminos del vector de estado del sistema. Palabras Claves: Ajuste, Sensibilidad, Tap, Flujo de Potencia

II. Introduccin En el problema de flujo de potencia tradicional es necesario incluir ajustes en los mtodos de solucin para simular las estrategias de control que permiten la operacin del sistema de potencia: Ajuste automtico de MVAR, el transformador con tomas variables y desfasador y el uso de barras oscilantes en diferentes reas para el control del intercambio neto entre reas. Las variables involucradas en estos controles pueden ser divididas en variables ajustables y variables restringidas Las variables ajustables son asumidas constantes a menos que las restricciones asociadas a stas excedan los lmites especificados. Cuando esto sucede, las variables ajustables son permitidas que varen, hasta que las variables restringidas vuelvan dentro de sus lmites. Si haciendo esto, las variables ajustables alcanzan sus lmites, estas son fijadas al lmite y las variables restringidas se le permite que salgan de sus lmites especificados [1]. La iteraciones de ajuste se emplean para considerar las estrategias de control dentro de la solucin del flujo de potencia. Los enfoques que son empleados comnmente para incorporar el ajuste dentro del proceso de solucin de flujo de potencia son [2]: 1. El ajuste por realimentacin del error,

involucra la modificacin de una variable de control para mantener la variable funcionalmente dependiente a un valor especificado en un mecanismo de lazo cerrado [2]. Es decir, se fija la variable restringida al lmite violado y se permite a la

variable ajustada asociada cambiar por la modificacin del conjunto de variables.

2. El ajuste automtico se basa en la modificacin de la matriz Jacobiana para ajustar equitativamente las restricciones, con el objeto de dirigir la solucin de las variables de control [2]. Es posible el uso de coeficientes de sensibilidad para modificar la variable ajustada con la idea de traer la variable restringida dentro de sus lmites.

A lo largo de este documento se persigue efectuar una simple exposicin del problema de flujo de potencia, incorporando iteracin de ajuste para incluir el cambiador automtico de tomas en transformadores.

III. Flujo de Potencia: Problema Clsico El problema del flujo de potencia, consiste en el clculo de los voltajes de barra y los flujos de potencia por los elementos ramas, una vez que la topologa, impedancias, carga y generadores han sido especificados. Cada barra es caracterizada por cuatro parmetros, tales que una vez especificados dos de ellos, los restantes pueden ser calculados mediante la solucin de la ecuacin de balance de potencias:

*ii

calci

calci

espi

espi IVjQPjQP =+=+

para i =1, 2, ..., n (1)

donde la potencia especificada en cara barra debe ser igual a la potencia que fluye hacia el sistema, cumplindose [Y]V = I. (1) es un conjunto de 2n ecuaciones, cuando se desdobla en parte real e imaginaria:

( )( )

=

=

+=

+=n

jijjijiij

espi

n

jijjijiij

espi

senVVYQ

VVYP

1

1

cos

(2)

Donde: ijijijjjjiii YYVVVV === ,, III.1. Ecuaciones y Metodologa de Solucin: Fundamentos Considere un sistema de potencia para pruebas (Figura 1). La Barra-1 se considera del tipo slack, siendo conocida 11 V , las Barras 2 y 3 se toman como de carga, siendo conocido potencia activa y reactiva total demandada (P2, Q2, P3, Q3).


Figura 1. Sistema de prueba

El conjunto de ecuaciones que corresponde es este sistema es:

( )( )( )( )

=++

=++

=+

=+

=

=

=

=

0

0

0cos

0cos

3

31

33333

3

21

22222

3

31

33333

3

21

22222

jj

jjjj

jj

jjjj

jj

jjjj

jj

jjjj

senVVYQ

senVVYQ

VVYP

VVYP

(3)

(1.3) corresponde a un conjunto de ecuaciones no lineales, en base a las variables 3232 ,,, VV . En forma general, el problema de flujo de potencia puede ser escrito como una ecuacin de balances de potencia:

0),( =yxg rrr (4) siendo x

r el vector de variables de estado, o

variables dependientes y yr el vector de variables independientes:

=

3

2

3

2

VV

xr

=

3

2

3

2

QQPP

yr

El vector de estado del sistema se puede obtener de la solucin de (4) por tcnicas iterativas. La tcnica iterativa de Jacobi, se basa en crear una funcin aproximante de la forma: ( )yxx kk rrr ,1= Siendo kx

rel vector de estado de la iteracin k.

Una mejora de Jacobi, es Gauss-Seidel (GS), en el cual se emplean directamente las aproximaciones de voltaje de la misma iteracin para aproximar las otras barras. Por otra parte, la tcnica de Newton-Raphson (NR), proveniente del desarrollo de series de Taylor de (2.3). (se asume y

r, constante)

xxxgxgxxg

+=+ rrrrrrr )()()(

De modo que el vector de estado de la iteracin (k + 1) viene dado por:

xxx kkrrr +=+1

Siendo:

[ ])()()( 1 kkkk xgxxgxxgx rrrrrrrrr +

=

Donde:xxg krrr

)( se conoce como el Jacobiano de

(4). En el caso del flujo de potencia )( xxg krrr + ,

corresponde al valor de balance de potencia deseado, o ideal.

[ ] kkk gJxx rrr += + 11 Para el sistema en consideracin (Figura 1), el conjunto de ecuaciones iterativas empleando la tcnica de GS resulta:

[ ][ ]

=

=

++

+

)1(232131*)(

3

33

33

)1(3

)(323121*)(

2

22

22

)1(2

1

1

k

k

k

k

k

k

VYVYV

jQPY

V

VYVYV

jQPY

V

La tcnica iterativa de NR para el ejemplo en cuestin resulta:

[ ]

+

=

+

+

+

+

3

2

3

2

1

)(3

)(2

)(3

)(2

)1(3

)1(2

)1(3

)1(2

QQPP

JVV

VV

k

k

k

k

k

k

k

k

donde:

=

)(33

)(22

)(33

)(22

3

2

3

2

kcalcesp

kcalcesp

kcalcesp

kcalcesp

QQQQPPPP

QQPP

[ ]

=

3

3

2

3

3

3

2

3

3

2

2

2

3

2

2

2

3

3

2

3

3

3

2

3

3

2

2

2

3

2

2

2

QQVQ

VQ

QQVQ

VQ

PPVP

VP

PPVP

VP

J

III.2. Solucin Clsica: Ejemplo Se considera el sistema de prueba donde la Barra-1 es del tipo de compensacin, con voltaje

up.005.1 , y datos en las Tablas 1 y 2. Tabla 1. Datos de barras para el Sistema de Prueba

Barra Tipo de Barra

P [p.u.] Q [p.u.]

1 Slack 2 Carga-1 0.95 0.43 3 Carga-2 0.55 0.45

Tabla 2. Datos elementos para el Sistema de Prueba Barra Barra R[p.u.] X[p.u]

1 2 0.012 0.24 1 3 0.015 0.45 2 3 0.0125 0.252

Se resolvi el flujo de potencia, empleando la tcnica iterativa de NR, sin aceleracin,

Carga-1

T23

Barra-2

Carga-2

T12

Barra-3 T13

Generador Barra-1


permitiendo un mximo error absoluto en potencias de 10-9pu.

Tabla 2. Solucin en la iteracin 7 de N-R Barra Voltaje [p.u] Angulo [grados]

1 1.0500000 0 2 0.8467997 -14.9382 3 0.8128413 -15.4951

III.3. Anlisis de Sensibilidad: Fundamentos El problema de flujo de potencia tradicional (4) debe ser modificado para incluir las estrategias de control, por lo que se divide el vector de variables independientes en : el vector de parmetrosr , y el vector de variables de control ur . Resultando

0),,( =rrrr uxg (4) Para determinar el vector de estado ante una variacin del vector de variables independientes, es apropiado el uso del anlisis de sensibilidad. Esto puede ser logrado al expandir (4) en desarrollo de series de Taylor:

0=+

+

rrrrr

rrrr

guugx

xg

Donde el cambio en la variable de estado es:

r

rr

rrrr

rrrr

=

gxgu

ug

xgx

11

(5)

Quedando definidas las matrices de sensitividad de las variables de estado a las variables de control (Sxu) y a los parmetros (Sx) respectivamente:

rr

rr

rr

rr

=

=

gxgS

ug

xgS

x

xu

1

1

(6)

donde [ ]Jxg =rr

, es la matriz, 2n2n, Jacobiana de la funcin de balances de potencia. Lo anterior permite el clculo del cambio el vector de estado ante un cambio en el vector de parmetros:

rr = xuSx (7)

III.3. Anlisis de Sensibilidad: Ejemplo Considerando el sistema de prueba, la ecuacin de equilibrio de potencias con respectivo vector de parmetros (no se considera variables de control:

( ) ( )( )( )

=

rrrrrr

rrr

,,,

,

3

2

1

xgxgxg

xg

siendo su variacin al vector de parmetros:

=

3

4

2

4

2

4

2

4

3

3

2

3

2

3

2

3

3

2

2

2

2

2

2

2

3

1

2

1

3

1

2

1

Qg

Qg

Pg

Pg

Qg

Qg

Pg

Pg

Qg

Qg

Pg

Pg

Qg

Qg

Pg

Pg

grr ;

=

1000010000100001

rrg

La matriz de sensitividad de las variables de estado a los parmetros resulta:

[ ] [ ]IJgxgSx =

=

1

1

rr

rr

Considerando la solucin obtenida en (III.2.), se logra:

=

0305.00039.02287.01012.00067.00125.01064.01747.04037.02226.01731.001092.002325.002892.01116.01349.0

xS

Si se considera un cambio en la demanda de la Barra-2, upQupP .05.0,.1.0 22 == el anlisis de sensibilidad arroja que los cambios en el vector es estado sern:

==

0103.00168.00220.00280.0

rr xuSx

Donde ante este cambio los voltajes en las barras Tabla 3. Solucin ante cambio en la demanda de Barra-2,

por anlisis de sensibilidad Barra Voltaje [p.u] Angulo [grados]

1 1.0500000 0 2 0.8188 -15.9031 3 0.7908 -16.0867

El posterior anlisis de flujo de potencia con NR, con la nueva demanda resulta:


Tabla 4. Solucin ante cambio en la demanda de Barra-2, por NR

Barra Voltaje [p.u] Angulo [grados] 1 1.0500000 0 2 0.8226 -16.6091 3 0.7930 -16.6697

III.4. Sensibilidad y Variables de Control: Fundamentos Para considerar las variables de control, la ecuacin de balance de potencia (4) las incluir dentro del vector u

r, y adems se debe definir

una funcin deseada ( )rrrr ,,uxf para las variables controladas. De nodo que el cambio en las variables a controlar con respecto al cambio en las variables de control u

r , se obtiene del anlisis de sensibilidad. Procediendo por el desarrollo de series de Taylor.

ffuufx

xf =

++

r

rr

rrr

rrr

Se supone que no hay cambio respecto a los parmetros:

uufx

xff rr

rrr

rr +

= Tomando las variaciones de la variable es estado de (5) y (6), se tiene:

[ ] uFFuSf uxxu rrr += uxxu FFSu

f +=rr

(8)

Siendo Sfu la matriz de sensibilidad para las variables dependientes a las variables de control.

uxxufu FFSS += Si la sensibilidad

ufrr

, se puede emplear (8) Para

ajustar el cambio en la variable de control ur y

lograr un cambio deseado en la funcin fr

. uSf fur= (9)

III.4. Ajuste de Tap por Sensibilidad: Fundamentos y Ejemplo En el sistema de prueba, el transformador T23, se le agrega cambiador automtico de tomas para controlar el voltaje de la barra 3, 3V (ver Figura 2). La variable a controlar puede ser expresada en trminos de la variable de estado, por lo que la funcin deseada resulta:

( )

=

00

0

3Vxfrr

Figura 2. Sistema de prueba con Cambiador Automtico

de tomas El valor del cambiador de tomas es la variable de control a considerar, [ ]23tu =r , de modo que aplicando sensibilidad, respecto a la variables de control resulta:

[ ] xfu FugJugxgS rr

rr

rr

=

=

1

1

Ahora bien, en el transformador con cambiador de tomas.

La potencia que fluye del nodo i al j es dado por: ( )

( )pqjiijijjiijijiijijjiijijjiijijiij

tyVVgtVQ

tyVVgtVP

+==

sin

cos22

22

Y el flujo de potencia en direccin opuesta j a i: ( )( )jiijjijijijijji

jiijjijijijijji

tyVVgVQ

tyVVgVP

+=

=sin

cos2

2

NOTA: y23, es la admitancia del transformador T23 y no el elemento Y23 de la matriz admitancia. La variacin en el balance de potencia respecto al cambio al vector de variable de control puede ser fcilmente derivando de las anteriores ecuaciones de potencia en el transformador respecto a la variable de control t23.

==

23

3

23

2

23

3

23

2

23

tQ

tQ

tPt

P

tg

ug

Total

Total

Total

Total

rrr

donde: calci

espi

Totali

calci

espi

Totali

QQQPPP

==

de modo que resulta:

Carga-1

T23

Barra-2

Carga-2

T12

Barra-3 T13

Generador

Barra-1

( ) ijytt 1 ( ) ijyt1

ijty

i j

Ii Ij

Vj Vi


( )( )

( )( )

+

+

=

32232332

2332233223

2

223

32232332

233223233223

2

223

2cos

cos2

senyVVsenyVVbVt

yVVtyVVgVt

ugrr

La variacin de la funcin deseada respecto a la variable a la variable de estado, queda:

==

3232

ffVf

VfF

xf

x

rrrrrr

[ ]0010=xF

Por su parte, la variacin de la funcin desea respecto al vector de variable de control, resulta nulo.

023

===

tfF

uf

u

rrr

Si inicialmente se considera el cambiador de tomas del transformador u = t23, se encuentra fijo en 0.95 p.u. la solucin del flujo de potencia por NR resulta:

Tabla 5. Solucin por NR con tap fijo Barra Voltaje [p.u] Angulo [grados]

1 1.0500000 0 2 0.8573 -14.9055 3 0.7908 -15.6393

La sensibilidad de la funcin deseada f = V3, respecto a la variable de control puede ser calculada:

[ ] xFugJuf rr

rr

=

1 Donde el inverso de la matriz del Jacobiano es:

[ ]

=

0301.00036.02287.01000.00063.00125.01094.01753.03961.02202.01713.01056.02390.02913.01153.01356.0

1J

Mientras que la variacin del balance de potencia respecto a la variable de control es:

=

=

67793.285302.217044.017913.0

23tg

ug

rrr

siendo el valor de la sensibilidad:

p.u.tV

uf 955842868779290

23

3 ==

rr

Debido a que el valor de ..0.789239153 upV = est fuera del rango

especificado (limite interior en la barra 3, 0.75 p.u.), entonces la variacin deseada es:

..03923915003 up.-Vdeseado = . Esta correccin

para el voltaje controlado, requiere un cambio en la variable de control, la posicin del tap.

..0.091533.42868003923.0

23

3

up

tVfu =

=

=r

r

As que la posicin del cambiador de toma que garantiza el cumplimiento de la restriccin del voltaje en la barra 3 es:

..14416.123 upt = Es decir un tap que permita -12.6%. La solucin por NR a la nueva posicin del tap indica:

Tabla 6. Solucin por NR con ajuste del tap Barra Voltaje [p.u] Angulo [grados]

1 1.0500000 0 2 0.8728351 -14.8489 3 0.7500072 -16.0877

IV. Conclusiones Las estrategias de control y sus variables modifican el proceso de resolucin de flujo de potencia tradicional, debindose emplear las iteraciones de ajuste, adems de las tcnicas tradicionales, en este documento, se uso anlisis de sensibilidad para el ajuste automtico de cambiador de toma de transformador, resultando un mtodo muy rpido de calculo y que demuestra una rpida convergencia.

VI. Trabajos Futuros Efectuar la prueba con sistemas de

mayor tamao. Estudiar las interacciones los esquemas

de control y su mecanismo de sobrellevarlos.


VII. Referencias Documentales [1] Maria G., Yuen A., Findlay J. Control

Variable in Load Flows. [2] S. K. Chang, V. Brandwajn: Adjusted

Solutions in Fast Decoupled Load Flow, IEEE Transaction on Power Systems, Vol. 3, No. 2, May 1998.

[3] Marti, Jose (1975). Anlisis de Sistemas de Potencia: Estudio de Flujo de Carga en Sistemas de Potencia. Universidad Central de Venezuela

[4] Stevenson W., Grainger J. (1996). Anlisis de Sistemas de Potencia. Mc Graw Hill

[5] Nedic D. Tap Adjusting in AC Load Flow. UMIST, Sept 2002

VIII. Anexo Para observar el comportamiento del voltaje en las barras del sistema ante las variaciones del tap, se procedi a implementar una grafica donde se muestra las soluciones de voltajes para flujo de potencia antes posiciones de tap entre0.5 y 1 p.u.

0.550.60.650.70.750.80.850.90.9510

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Posicion del Tap [p.u]

Vol

taje

[p.u

.]

Barra 1

Barra 2

Barra 3

0.874

0.75

cambiadores de tomas con transformadores

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