UNIVERSIDAD NACIONALMAYOR DE SAN MARCOS(Universidad, del Perú, Decana De

América)

CURSO : Matematica III

TEMA : Calentamiento y enfriamiento de edificios

PROFESOR : Moya Lazaro Nancy Rosa

ALUMNOS : Cuzcano Caderon Kristofer

Boza Aranda Andrea

Mendoza Samame Diego

Vigo Jessica

Ciudad Universitaria, Julio del 2014

CALENTAMIENTO Y ENFRIAMIENTO DE EDIFICIOS

Nuestro objetivo es formular un modelo matemático que describa el perfil de temperatura dentro de un edificio durante 24 horas, como función de la temperatura exterior, el calor generado dentro del edificio y el calefactor o el aire acondicionado. Con este modelo queremos contestar las tres preguntas siguientes:

a. ¿Cuánto tiempo tarda en cambiar esencialmente la temperatura del edificio?b. ¿Cómo varia la temperatura del edificio durante la primavera y el otoño, cuando no

se utiliza la calefacción ni el aire acondicionado?c. ¿Cómo varia la temperatura del edificio durante el verano, cuando se utiliza el aire

acondicionado, o durante el invierno, cuando se utiliza la calefacción?

Un enfoque natural para modelar la temperatura dentro de un edificio es el uso del análisis por compartimientos. Sea T(t) la temperatura dentro del edificio en el instante t y veamos al edificio como un único compartimiento. Entonces la razón de cambio en la temperatura queda determinada por todos los factores que generan o disipan calor.

Tomaremos en cuenta tres factores principales que afectan la temperatura dentro del edificio. En primer lugar está el calor generado por las persona, las luces y las maquinas dentro del edificio. Esto causa una razón de incremento en la temperatura qu denotaremos por H(t). En segundo lugar está el calentamiento (o enfriamiento) proporcionado por la calefacción (o el aire acondicionado).Esta razón de incremento (o decremento) en temperatura será representada por U(t). En general, la razón de calentamiento adicional H(t) y la razón de calefacción o enfriamiento U(t) quedan descritas en términos de energía por unidad de tiempo (como las unidades térmicas británicas por hora). Sin embargo al multiplicar por la capacidad calórica del edificio (en unidades de cambio de temperatura por unidad de energía calórica), podemos expresar las dos cantidades H(t) y U(t) en términos de temperatura por unidad de tiempo.

El tercer factor es el efecto de la temperatura exterior M(t) sobre la temperatura dentro del edificio. La evidencia experimental ha mostrado que este factor se puede modelar mediante la ley del enfriamiento de Newton. Esta ley establece que hay una razón de cambio de la temperatura T(t) que es proporcional a la diferencia entre la temperatura exterior M(t) y la temperatura interior T(t). Es decir, la razón de cambio en temperatura del edificio debida a M(t) es

K [M(t)-T(t)]

La constante positiva K depende de las propiedades físicas del edificio, como la cantidad de puertas y ventanas y el tipo de aislamiento, pero K no depende de M, T o t . Por lo tanto, cuando la temperatura exterior es mayor que la temperatura interior, M(t)-T(t)>0 y hay un incremento en la temperatura del edificio debido a M(t). Por otro lado, cuando la temperatura exterior es menor que la temperatura interior, entonces M(t) –T(t)<0 y la temperatura del edificio disminuye.

En resumen, vemos que

(1)dTdt

=K [M(t)-T(t) ]+H(t)+U(t)

Cuando la razón de calentamiento adicional H(t) siempre es no negativa y U(t) es positiva para la calefacción y negativa para el aire acondicionado. Un modelo más detallado de la dinámica de temperatura del edificio implicaría más variables para representar diversas temperaturas en distintas habitaciones o zonas. Tal enfoque usaría el análisis por compartimentos, donde las habitaciones serían los distintos compartimientos.

Como la ecuación (1) es lineal, se puede resolver mediante el método analizando en la sección 2.3. Al escribir (1) en la forma canónica

(2) dTdt

+P(t)T(t)=Q(t)

Donde

P(t)=K,

(3) Q(t)=KM(t)+H(t)+U(t)

Vemos que el factor integrante es

µ(t)=exp(∫Kdt) =ek t

Para resolver (2), multiplicamos cada lado por ek t e integramos:

ek t dTdt

( t )+K ek t T (t )=ek t Q(t )

ek t T ( t )=∫ek t Q ( t ) dt +C

Al despejar T(t) se tiene

(4) T(t)=e−kt∫ ekt Q (t ) dt+C e−kt

=ek t {∫ ek t [ KM (t )+H (t )+U (t)] dt+C }Ejemplo 1: Suponga que al final del día (en el instante t0) cuando las personas salen del edificio, la temperatura exterior permanece constante e igual a M0, la razón de calentamiento adicional H dentro del edificio se anula y la razón de uso del calefactor o el aire acondicionado U también se nula. Determinar T(t), dada la condición inicial T(t0)=T0

Solución:

Con M=M0 , H=0 y U=0, la ecuación (4) se convierte en

T(t)= e−k t {∫ ek t KM 0 dt+C }=e−kt [M 0ekt+C ]

=M0+C e−k t

Al hacer t=t0 y usar el valor inicial T0 de la temperatura, vemos que la constante C es (T0-M0)exp(Kt0). Por lo tanto,

(5) T(t)=M0+(T0-M0) e−k (t−t 0 )

Cuando M0<T0 la solución en (5) decrece de manera exponencial a partir de la temperatura inicial T0 hasta la temperatura final M0. Para determinar el tiempo que tarda la temperatura en cambiar ”esencialmente”, considere la sencilla ecuación lineal dA/dt=-αA, cuyas soluciones tienen la forma A(t)=A(0)e-αt . Cuando t +∞, la función A(t) decae en forma exponencial (α>0) o crece de manera exponencial (α<0). En cualquier caso, el tiempo que tarda A(t) en cambiar de A(0)a A(0)/e(0.368A(0)) es justamente 1/ , pues

A(1α

)=A(0) e−α (1 /α)=A (0)

e❑

La cantidad 1/α , que no depende de A(0), es la constnte de tiempo para la ecuación.

Para las ecuaciones lineales de la forma más general dA/dt=-αA+g(t), nos referimos de nuevo a 1/α como la constante de tiempo.

De regreso al ejemplo 1, vemos que la temperatura T(t) satisface la ecuación

dTdt

(t)=-KT(t)+KM0, d (T−M 0)

dt(t)=-K [ T(0)-M0],

Donde M0 es una constante. En cualquier caso, la constante de tiempo es justamente 1/K, lo que representa el tiempo que tarda la diferencia de temperaturas T-M0 en cambiar de T0-M0 a (T0-M0)/e. También decimos que 1/K es la constante de tiempo para el edificio (sin calefacción o aire acondicionado). Un valor típico para la constante de tiempo de un edificios de 2 a 4 horas, pero esta constante de tiempo puede ser menor si las ventanas están abiertas o si existe un ventilador de aire. También puede ser mayor si el edificio está bien aislado.

En el contexto del ejemplo 1, podemos usar el concepto de constante de tiempo para responder nuestra pregunta inicial (a): la temperatura del edificio cambia de manera de manera exponencial, con una constante de tiempo igual a 1/K. Una respuesta a la pregunta

(b) acerca de la temperatura dentro del edificio durante la primavera o el otoño esta dada en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 2: Determinar la temperatura del edificio T(t) si la razón de calentamiento adicional H(t) es igual a la constante H0, no hay calentamiento ni enfriamiento (U(t)=0) y la temperatura exterior M varia como una onda senoidal en un periodo de 24 horas, con un mínimo en t=0(medianoche) y un máximo en t=12 (mediodía). Es decir

M(t)=M0-Bcoswt

Donde B es una constante positiva, M0 es la temperatura exterior promedio y w=2π /24=π /12 radianes/hora.

Solución:

La función Q(t)en (3) es ahora

Q(t)=K(M0-Bcoswt)+H0

Al hacer B0=M0+H0/K, podemos escribir Q como

(6) Q(t)=K(M0-Bcoswt),

Donde KB0 representa el valor promedio diario de Q(t); es decir,

KB0=1

24∫0

24

Q (t)dt

Cuando la función de forzamiento Q(t) en (6) se sustituye en la expresión para la temperatura en la ecuación (4), el resultado es

T(t)=e−kt [∫ ekt ( KB 0−KB coswt )dt +C ](7) T(t)=B0-BF(t)+Ce−kt

Donde

F(t)=coswt+( w

K )senwt

1+ (w / K ) 2

Elegimos la constante C de modo que en medianoche (t=0), el valor de temperatura T sea igual a cierta temperatura inicial T0 . Así,

C=T0-B0+BF(0)=T0-B0+B

1+(w / K )2

Observe que el tercer término de la solución (7) que implica a la constante C tiende a cero de manera exponencial. El termino constante B0 en (7) a M0+H0/K y representa la temperatura promedio diaria dentro del edificio (despreciando el termino exponencial). Cuando no hay una razón de calentamiento adicional dentro del edificio (H0=0), esta temperatura promedio es igual a la temperatura exterior promedio M0. El termino BF(t) en (7) representa la variación senoidal de la temperatura dentro del edificio correspondiente a la variación de la temperatura en el exterior. Como F(t) se puede escribir en la forma

(8) F(t)=1+(w/K)2-1/2cos(wt-¥),

Donde tan¥ =w/K , la variación senoidal dentro del edificio se retrasa con respecto de la variación en el exterior por / horas. Además, la magnitud de la variación dentro del edificio es ligeramente menor, por un factor de 1+(w/K)2-1/2, que la variación en el exterior. La frecuencia angular de variación w es 2π/24 radianes/hora. Los valores usuales para la razón adimensional w/K están entre ½ y 1. Par este rango , el retraso entre la temperatura interior y la exterior es aproximadamente de 1.8 a 3 horas y la magnitud de la variación interior esta entre 89 y 71% de la variación en el exterior . La figura 3.6 muestra la variación senoidal de 24 horas de la temperatura exterior por un día moderado típico así como de las variaciones de temperatura dentro del edificio para una razón adimensional w/K de la unidad , que corresponde a una constante de tiempo 1/K de aproximadamente 4 horas . Al trazar esta última curva, hemos supuesto que el término exponencial ha desaparecido.

Ejemplo3: Supóngase que en el edificio del ejemplo 2 se instala un termostato sencillo que se utiliza para comparar l temperatura real dentro del edificio con una temperatura deseada TD. Si la temperatura real es menor que la temperatura deseada, el calefactor comienza a funcionar y caso contrario se desconecta. Si la temperatura real es mayor que la temperatura deseada , el aire acondicionado comienza a enfriar y en caso contrario se desconecta. Si la cantidad de calentamiento o enfriamiento es proporcional a la diferencia de temperatura; es decir,

U(t)=KU(TD-T(t))

Donde KU es la constante de proporcionalidad (positiva), determinar T(t)

Solución:

Si el control proporcional U(t) se sustituye directamente en la ecuación diferencial (1) para la temperatura del edificio obtenemos

(9) =K(M(t)-T(t))+H(t) +KU( TD-T(t))

Al comparar la ecuación (9) con la ecuación diferencial lineal de primer orden (2) vemos que para este ejemplo, la cantidad P es igual a K+KU, mientras que l cantidad Q(t) que representa la función de forzamiento incluye a la temperatura deseada TD. Es decir,

P=K+KU,

Q(t)=KM(t)+H(t)+KUTD

Cuando la razón de calentamiento adicional es una constante H0 y la temperatura exterior M varia como una onda senoidal sobre un periodo de 24 horas de la misma forma que en el ejemplo 2, la función de forzamiento es

Q(t)=KM0-Bcost+H0+KUTD

La función Q(t) tiene un término constante y un término coseno, como en la ecuación (6) Esta equivalencia es más evidente al sustituir

(10) Q(t)=K1(B2-B1coswt)

Donde

W=2π/24=π/12 K1=K+KU

(11) B2=KUTD+KM 0+H 0

K 1 B1=BK/K1

Las expresiones para las constante P y la función de forzamiento Q(t) de la ecuación (10) son iguales a las expresiones del ejemplo 2 , excepto que las constantes K,B0 y B se reemplazan, respectivamente, por las constantes K1, B2 y B1 . Por lo tanto, la solución de la ecuación diferencial (9) será la misma que la solución de temperatura del ejemplo 2, excepto que se modifican los tres términos constantes. Así,

(12) T(t)= B2-B1F1(t)+Cexp(-K1t)

Donde

F1(t)=coswt+ (w / K 1 ) senwt

a+(w / K 1)2

Elegimos la constante C de modo que en el instante t=0 el valor de la temperatura T es igual a T0. Así

C=t0-B2+B1F1(0)

En el ejemplo anterior, la constante de tiempo para la ecuación (9) es 1/P=1/K1, donde K1=K+KU. En este caso, 1/K1 se conoce como la constante e tiempo con calefacción y aire acondicionado .Para un sistema típico de calefacción y aire acondicionado, KU es un poco menor que 2; para un edificio común , la constante K esta entre ½ y ¼. Por lo tanto , la

suma da un valor de K1 cercano a 2, y la constante de tiempo para el edificio con calefacción y aire acondicionado es cercana a ½ hora.

Al activar la calefacción o el aire, se necesitan casi 30 minutos para que el término exponencial de (12) desaparezca. Si despreciamos este término exponencial, la temperatura promedio dentro del edificio es B2. Como K1 es mucho mayor que K y H0 es pequeño, (11) implica que B2 es cercana a TD, la temperatura deseada. En otras palabras, después de un periodo de tiempo, la temperatura dentro del edificio es cercana a TD, con una pequeña variación senoidal (La temperatura promedio M0 y la razón de calentamiento adicional H0 tienen solo un efecto pequeño). Así, para ahorrar energía, el sistema de calefacción y aire acondicionado debe apagarse durante la noche. Al encenderse en la mañana, se necesitaran aproximadamente 30 minutos para que el interior del edificio alcance la temperatura deseada. Estas observaciones proporcionan una respuesta a la pregunta (c), en relación con la temperatura dentro del edificio durante el verano y el invierno, pregunta planteada al inicio de la sección.

La hipótesis establecida en el ejemplo 3, en el sentido de que la cantidad de calentamiento o enfriamiento es U(t) =KUTD-T(t) no siempre es adecuada. La usamos aquí y en los ejercicios para ilustrar el uso de la constante de tiempo. Los lectores más audaces podrían experimentar con otros modelos para U(t), en particular sí disponen de las técnicas numéricas analizadas en las secciones 3.6 y 3.7.