calculos de esfuerzos conbinados
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Esfuerzos Combinados
INTRODUCCIÓN
El desarrollo de este trabajo está basado en temas de interés para el estudio de la
resistencia de materiales, tomando como base los esfuerzos y las deformaciones para su
análisis, estos son básicos para el entendimiento de los temas a tratar.
En esta investigación se abordan los siguientes temas: La transformación de esfuerzos y
deformaciones en el estado plano, esfuerzos que ocurren en recipientes de presión de
pared delgada, el uso del círculo de Mohr para la solución de problemas que implican
transformación de esfuerzo plano, esfuerzos principales, esfuerzos cortantes máximos, y
los temas asociados con la transformación del esfuerzo y la deformación, como el método
de la superposición.
En las transformaciones de deformación plana se verán las deformaciones en planos, ya
sea xy, yz, xz. Existen deformaciones tridimensionales, pero el estudio de las mismas
requiere conocimientos más profundos de la materia, que al nivel estudiado no ha sido
analizado. En este tema se logra observar como existen deformaciones que no ocurren en
los planos ya conocidos, y en tal caso es necesario llevarlos (a través de fórmulas) a un
plano conocido, para su fácil manejo. Para una mejor aplicación se presentan problemas
reales, donde se ven involucrados los temas antes mencionados, de manera que en el
diseño de estructuras y elementos sometidos a múltiples cargas se deben tener en cuenta
una serie de cálculos y elementos, para el análisis de los mismos.
Mecánica de los sólidos III
Esfuerzos Combinados
PROLOGOLos Esfuerzos Combinados son aquellos que actúan en
una sección de un elemento cuando existe una
combinación de dos o más de las acciones internas
actuando en dicho elemento. Los esfuerzos combinados
son importantes en muchos casos prácticos.
Esfuerzos de membrana en recipientes de pared delgada
sometidos a presión son los esfuerzos que aparecen en
las paredes de los recipientes cilíndricos, esféricos o de
cualquier otra forma, debido a presiones internas y
externas. Estos esfuerzos proporcionan ejemplos de un
estado de esfuerzo más general y se conocen como
esfuerzos biaxiales. Además, los recipientes a presión son
importantes por sí mismos, desde un punto de vista
práctico.
La transformación del esfuerzo significa la variación, con
la dirección de los componentes del esfuerzo y la
deformación de un punto. El estudio de este tema se
refiere principalmente a casos bidimensionales que a
casos en 3D. Este tema es importante en la deformación
de los esfuerzos máximos y las deformaciones máximas
en un punto de un elemento y en la determinación de las
combinaciones de esfuerzos que producen la falla en un
elemento.
En la práctica frecuentemente se encuentran cargas que
no concuerdan con las condiciones bajo las cuales
Mecánica de los sólidos III
Esfuerzos Combinados
las teorías básicas son válidas. La Fig. 1.1 muestra
ejemplos de problemas de este tipo. Sin embargo, estos
problemas pueden resolverse mediante una combinación
adecuada de métodos ya estudiados. La poderosa técnica
de la superposición se usa en la solución de todos los
problemas mostrados en la Fig. 1.1, estos involucran la
superposición de esfuerzos P/A y MC/I.
Mecánica de los sólidos III
FIGURA 1.1
Esfuerzos Combinados
OBJETIVOS
OBJETIVO GENERAL
Determinar la importancia que tiene el estudio y el cálculo de esfuerzos en
estructuras cargadas transversalmente y recipientes de pared delgada, para poder
relacionarlo a casos prácticos.
OBJETIVOS ESPECIFICOS
Presentar de manera clara y explícita la teoría necesaria para el estudio y
aplicación de esfuerzos combinados en la vida practica.
Utilizar el método de transformación de esfuerzos en un punto y de superposición
de esfuerzos en situaciones reales para determinar los esfuerzos resultantes de
elementos sometidos a cargas multiaxiales`
Aplicar los conocimientos de esfuerzos combinados en situaciones reales sobre
cilindros de oxigeno, postes de electricidad, y otros elementos cargados
transversalmente.
Mecánica de los sólidos III
Esfuerzos Combinados
1- ESFUERZO EN RECIPIENTES DE PARED DELGADA
Recipientes esféricos y cilíndricos sometidos a presión
(esfuerzo biaxial)
Los recipientes a presión son estructuras cerradas que
contienen líquidos o gases a presión (figura 1.2). Algunos
ejemplos conocidos son los tanques esféricos para
almacenamiento de agua, los tanques cilíndricos para aire
comprimido, tubos a presión y globos inflados. Las
paredes curvas de los recipientes sujetos a presión a
menudo son muy delgadas en relación con el radio y la
longitud, y en tales casos se encuentran en la clase
general de estructuras conocidas como “cascarones”.
Otros ejemplos de estructuras de cascaron son los techos
curvos, las cúpulas (o domos) y los fuselajes.
En esta sección, consideraremos únicamente recipientes
de pared delgada de forma esférica y cilíndrica circular
(Fig. 1.3). El término de pared delgada no es preciso, pero
una regla general es que la relación de radio r al espesor
de la pared t debe de ser mayor que 10 a fin que
podamos determinar los esfuerzos en las paredes con
exactitud razonable mediante únicamente estática. Una
segunda limitación es que la presión interna debe de ser
mayor que la externa; de lo contrario, el cascaron puede
fallar por colapso debido al pandeo de las paredes.
Recipientes esféricos sometidos a presión. Un tanque de
forma esférica es el recipiente ideal para resistir presión
Mecánica de los sólidos III
FIGURA 1.2
Esfuerzos Combinados
interna. Solo requiere observar las conocidas pompas de
jabón para reconocer que una esfera es el perfil “natural”
a este propósito. Para obtener los esfuerzos en la pared,
cortemos la esfera sobre un plano diametral vertical y
separemos la mitad del cascaron y su contenido, como un
cuerpo libre (Fig. 1.3a). Sobre este cuerpo libre actúan los
esfuerzos σ en la pared y la presión interna p. El peso del
tanque y su contenido se omiten en este análisis. La
presión actúa horizontalmente sobre el área circular
plana formada por el corte, y la fuerza resultante es igual
a p(π r2) , donde r es el radio interior de la esfera.
Obsérvese que la presión p es la presión interna neta, o
presión manométrica (esto es, la presión por encima de
la presión atmosférica, o presión externa).
El esfuerzo de tensión σ en la pared de la esfera es
uniforme alrededor de la circunferencia del tanque,
debido a la simetría del mismo y de su carga. Además,
como uniforme a través del espesor t . La exactitud de
esta aproximación se incrementa según se vuelve más
delgado el cascaron, y se reduce según se vuelve más
grueso. La fuerza obtenida a partir del esfuerzo normal es
σ (2π rm t), donde t es el espesor y rm es el radio medio
del cascaron (r m=r+t /2 ) . Por supuesto, dado que
nuestro análisis únicamente es válido para cascarones
muy delgados, podemos considerar que rm ≈ r; entonces,
la fuerza resultante se convierte en σ (2π rm t). El
equilibrio de fuerzas en la dirección horizontal da
σ (2 π rm t )−p ( π r2 )=0 de cual obtenemos:
σ= pr2 t
(1-
1)
Mecánica de los sólidos III
FIGURA 1.3
Esfuerzos Combinados
Como es evidente a partir de la simetría de un cascaron
esférico, esta misma ecuación para el esfuerzo σ se
obtendrá si se pasa un plano a través de la esfera en
cualquier dirección. Por lo tanto, concluimos que una
esfera “presurizada” está sometida a esfuerzos uniformes
a tensión σ en todas las direcciones. Esta condición de
esfuerzo se representa en la Fig. 1.3b por el pequeño
elemento con esfuerzos σ que actúan en direcciones
mutuamente perpendiculares. Los esfuerzos de este tipo,
que actúan de modo tangencial (en vez de perpendicular)
a la superficie curva, se conocen como “esfuerzos de
membrana”. El nombre surge del hecho de que los
esfuerzos de este tipo existen en membranas verdaderas,
tales como películas de jabón o delgadas hojas de caucho
o hule.
En la superficie exterior de un recipiente esférico a
presión, no actúan esfuerzos normales a la superficie, por
lo que la condición de esfuerzos es un caso especial de
esfuerzo biaxial es el que σ x y σ y son iguales (Fig. 1.4a).
Como no actúan esfuerzos cortantes sobre este
elemento, obtenemos exactamente obtenemos los
mismos esfuerzos al girar el elemento un ángulo
cualquiera alrededor del eje z. Así, el círculo de Mohr
para esta condición de esfuerzo se reduce a un punto, y
cada plano inclinado es un plano principal. Los esfuerzos
principales son:
σ 1=σ2=pr2 t
(1-2)
Mecánica de los sólidos III
FIGURA 1.4
Esfuerzos Combinados
También, el esfuerzo cortante máximo en el plano es
cero. Sin embargo, se debe advertir el elemento es
tridimensional y que el tercer esfuerzo principal (en la
dirección z) es cero. Por lo tanto, el esfuerzo cortante
máximo absoluto, originado mediante una rotación de
45° del elemento respecto a cualquiera de los x o y, es
τ max=σ2= pr
4 t (1-3)
En la superficie interior de la pared del recipiente
esférico, el elemento esforzado tiene los mismos
esfuerzos de membrana (Ec. 1-1), pero, adicionalmente,
actúa un esfuerzo de compresión en la dirección z, igual a
p (Fig. 1.4). Estos tres esfuerzos normales son los
esfuerzos principales:
σ 1=σ2=pr2 t
σ 3=−p (1-4)
El esfuerzo cortante en el plano es cero, pero el esfuerzo
cortante fuera del plano (producido mediante una
rotación de 45° alrededor de cualquiera de los ejes x y y)
es
τ max=σ+ p
2= pr
4 t+ p
2 (1-5)
Si la relación de r / t es
suficientemente grande,
el último término de esta
ecuación puede omitirse.
Entonces la ecuación se
convierte en la misma
Ec. (1-3), y se puede
suponer que el esfuerzo
cortante máximo es
constante a través del
espesor del cascaron.
Todo tanque esférico
utilizado como
recipiente a presión
tendrá al menos una
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Esfuerzos Combinados
abertura en la pared, así como varios accesorios y
soportes. Esta característica origina distribuciones no
uniformes de esfuerzos que no pueden analizarse
mediante métodos simples. Cerca de las discontinuidades
se generan grandes esfuerzos en el cascaron, por lo que
reforzarse tales regiones. Por lo tanto, las ecuaciones que
hemos establecidos para los esfuerzos de membrana son
válidas en cualquier punto del recipiente, excepto cerca
de las discontinuidades. En el diseño de tanques
intervienen otras consideraciones, incluyendo efectos de
corrosión, impactos accidentales y efectos térmicos.
Recipientes cilíndricos sometidos a presión. Considérese
ahora un tanque cilíndrico circular de pared delgada con
extremos cerrados y presión interna p (Fig. 1.5a). En la
figura se muestra un
elemento esforzado
cuyas caras son paralelas
y perpendiculares al eje
del tanque. Los
esfuerzos normales σ 1 y
σ 2, que actúan sobre las
caras laterales de este
elemento, representan
los esfuerzos de
membrana en la pared.
Sobre las caras del
elemento no actúan
esfuerzos cortantes
debido a la simetría del
recipiente. Por lo tanto,
los esfuerzos σ 1 y σ 2 son
esfuerzos principales.
Debido a su dirección, el
esfuerzo σ 1 se denomina
esfuerzo circunferencial
o esfuerzo tangencial
(esfuerzo de zuncho); en
forma similar, σ 2 es el
esfuerzo longitudinal o
esfuerzo axial. Cada uno
de estos esfuerzos
puede calcularse a partir
Mecánica de los sólidos III
Esfuerzos Combinados
del equilibrio mediante el empleo de diagramas de
cuerpo libre apropiados.
Para calcular el esfuerzo
circunferencial σ 1, se
aísla un cuerpo libre
mediante un diagrama
de cortes (mn y pq)
separados una distancia
b y perpendiculares al
eje longitudinal (Fig.
1.5a). También se
efectúa un tercer corte
en un plano vertical a
través del propio eje; el
cuerpo libre resultante
se muestra en la Fig.
1.5b. Sobre la cara
longitudinal de este
cuerpo libre actúan los
esfuerzos σ 1 en la pared
y la presión interna p.
Sobre las caras
transversales de este
cuerpo libre también
actúan esfuerzos y
presiones, pero no se
muestra en la figura ya
que no intervienen en la
ecuación de equilibrio
Mecánica de los sólidos III
FIGURA 1.5
Esfuerzos Combinados
que se utilizara. También, nuevamente se omite el peso
del recipiente y su contenido. Las fuerzas debidas al
esfuerzo σ 1 y a la presión p actúan en direcciones
opuestas, por lo que se tiene la siguiente ecuación de
equilibrio:
σ 1 (2 bt )−p (2br )=0
en la que t es el espesor de la pared y r es el radio
interior del cilindro. A partir de la ecuación anterior, se
obtiene:
σ 1=prt
(1-6)
como la fórmula para el esfuerzo circunferencial. Según
se explicó previamente, este esfuerzo está distribuido
uniformemente sobre el espesor de la pared siempre y
cuando esta sea delgada. El esfuerzo longitudinal σ 2 se
obtiene a partir de un cuerpo libre de la parte del tanque
a la izquierda de un corte que es perpendicular al eje
longitudinal (Fig. 1.5c). En este caso, la ecuación de
equilibrio es
σ 2 (2 πrt )−p ( π r2 )=0
en la que, como se
explicó previamente, se
utilizó el radio interior
del cascaron en vez del
radio medio (o principal)
al calcular la fuerza
debida al esfuerzo σ 2,
resulta
Mecánica de los sólidos III
Esfuerzos Combinados
σ 2=pr2 t
(1-7)
que es el mismo esfuerzo de membrana que el de un
cascaron esférico. Al comparar las Ec. (1-6) y (1-7), se
aprecia
σ 2=σ1
2 (1-8)
Luego, el esfuerzo longitudinal en un cascaron cilíndrico
es la mitad del esfuerzo circunferencial. Los esfuerzos
principales σ 1 y σ 2 en la superficie exterior del cascaron
se muestran en acción sobre el elemento esforzado en la
Fig. 1.6a. El tercer esfuerzo principal, que actúa en la
dirección z, es cero.
Así que nuevamente tenemos esfuerzo biaxial. Los
esfuerzos cortantes máximos localizados en el plano xy
se generan cuando el elemento se gira 45° alrededor del
eje z; este esfuerzo es
(τmax)z=σ1−σ2
2=
σ1
4= pr
4 t (1-9)
Los esfuerzos cortantes máximos obtenidos mediante
rotaciones a 45° alrededor de los ejes x y y son,
respectivamente,
(τmax)x=σ1
2= pr
2 t (τmax)y=
σ2
2= pr
4 t
Luego, el esfuerzo
cortante máximo
absoluto es
Mecánica de los sólidos III
FIGURA 1.6
Esfuerzos Combinados
τ max=σ1
2= pr
2t (1-10)
Y se presenta cuando el elemento se gira 45° respecto del
eje x. Las condiciones de esfuerzos en la superficie
interior del cascaron se muestran en la Fig. 1.6b. los
esfuerzos normales principales son
σ 1=prt
σ 2=pr2 t
σ 3=−p (1-11)
Los tres esfuerzos máximos, originados mediante
rotaciones de 45° alrededor de los ejes x, y y z, son
(τmax)x=σ1+ p
2= pr
2t+ p
2
(τmax)y=σ2+ p
2= pr
4 t+ p
2 (1-12)
(τmax)z=σ1−σ2
2= pr
4 t
El primero de estos esfuerzos es el mayor. Sin embargo,
como se explicó en el estudio de esfuerzos cortantes en
un cascaron esférico, se suele omitir el término adicional
p/2 en estas expresiones y suponer que el esfuerzo
cortante máximo es constante a través del espesor y está
dado por la ecuación (1-10).
Las fórmulas de esfuerzo anteriores son válidas en las
porciones del cilindro alejadas de cualquier
discontinuidad. Una discontinuidad obvia existe en el
extremo del cilindro donde se une la cabeza. Otras
ocurren en las aberturas
del cilindro o donde se
fijan objetos al cilindro
Mecánica de los sólidos III
Esfuerzos Combinados
EJEMPLO1.1
El tanque de la figura 1.7a tiene un espesor de ½ pulgada
y un diámetro interior de 48 pulgadas. Está lleno hasta el
borde superior con agua de peso específico
Ɣw=62.4 lb / pie3 y esta hecho de acero con peso
especifico Ɣacero=490 lb / pie3. Determine el estado de
esfuerzo en el punto A (esfuerzo circunferencial y
esfuerzo longitudinal). El tanque está abierto en su parte
superior.
DATOS
t = ½ pulgada =1/24 pie
r=d2=24 pulgadas=2 pie
Ɣw=62.4 lb / pie3 Ɣacero=490 lb / pie3.
Peso del de acero que se encuentra arriba del punto A
W acero=ƔaceroV acero
W acero= (490 lb / pie3 ) [Π (24.512
pies)2
−Π (2412
pies)2]
( 3pies )
W acero=¿777.7 lb
Encontrando la presión del agua en el nivel del punto A, utilizando la ley de pascal.
P=Ɣ w Z
Mecánica de los sólidos III
Esfuerzos Combinados
P=(62.4lb
pie3 ) (3 pies )=187.2lb
pie s2 ×1 pi e2
14 4 pulg2
P=1.30lb
pul g2=1.30 PSI
Esfuerzo circunferencial en el elemento A.
σ 1=Prt
σ 1=(1.30
lb
pul g2 ) (24 pulg )
0.5 pulg=62.40
lbpul g2
σ 1=62.40 PSI
Esfuerzo longitudinal en el elemento A.Como el tanque está abierto en su parte superior la ecuación
σ 2=Pr2t
, entonces
σ 2=W acero
Aacero
= 777.7 lb
Π [ (24.5 pulg )2− (24 pulg )2 ]
σ 2=102.20 lb / pul g2
Mecánica de los sólidos III
FIGURA 1.7
Esfuerzos Combinados
EJEMPLO1.2
Un tanque de aire comprimido está apoyado por dos
soportes como se indica en la figura 1.8; uno de los
soportes está diseñado de tal modo que no ejerce
ninguna fuerza longitudinal sobre el tanque. El cuerpo
cilíndrico del tanque tiene 30 in. de diámetro interior y
está hecho de placa de acero de 3/8 in. con soldadura de
botón de hélice que forma 25º con un plano transversal.
Los extremos son esféricos con un espesor uniforme de
5/16 in. Para una presión manométrica interior de 180
psi, determine: a) el esfuerzo normal y el esfuerzo
cortante máximo en los extremos esféricos, b) los
esfuerzos en dirección perpendicular t paralela a la
soldadura helicoidal.
Solución:
a) Tapa esférica.
p=180 psi , t= 516
ℑ .=0.3125∈.
r=15−0.3125=14.688∈.
σ 1= σ 2 = p
2t=
(180 psi ) 14.688∈¿2 (0.3125∈. )
Mecánica de los sólidos III
FIGURA 1.8
FIGURA 1.9
Esfuerzos Combinados
σ = 4 230 psi.
Se observa que para esfuerzos en un plano tangente a la
tapa, el circulo de Mohr se reduce a un punto (A,B) en el
eje horizontal y que todos los esfuerzos cortantes en el
plano son cero. En la superficie de la tapa, el tercer
esfuerzo principal es cero y corresponde al punto O. En
un circulo de Mohr de diámetro AO, el punto D’ es el de
esfuerzo cortante máximo y ocurre en planos a 45º del
plano tangente a la tapa.
τ max=12(4230 psi) τ max=2115 psi
b) Cuerpo cilíndrico del tanque. Primero se calcula el
esfuerzo de costilla σ 1 y el esfuerzo longitudinal
σ 2 . Usando las ecuaciones tenemos:
p=180 psi , t=38∈.=o .35∈.
r=15−0.375=14.625∈.
σ 1¿prt
=(180 psi ) ¿¿ σ 2¿12 σ 1¿2 510 psi
σ prom =
12¿σ 1 + σ 2) ¿5 265
R=12
¿σ 1 + σ 2)
¿1755 psi
Esfuerzos en la
soldadura. Notando que
tanto el esfuerzo de la
Costilla como el
longitudinal son
esfuerzos principales, se
traza el círculo de Mohr
Mecánica de los sólidos III
FIGURA 1.9
Esfuerzos Combinados
mostrado en la figura. El elemento son cara paralela a la
soldadura se obtiene rotando 25º la cara normal al eje Ob
en sentido contrario al de las agujas del reloj. Entonces,
se localiza en la soldadura rotando el radio CB 2θ=50 °
en sentido contrario a las agujas del reloj.
σw = σ prom – R cos 50° σw = + 14 140 psi
τ w = R sen 50° τ w = 1 344 psi
Como X’ está por debajo del eje horizontal τ w tiende a
rotar al elemento en sentido contrario al de las agujas del
reloj. (Ver fig. 1.10)
Mecánica de los sólidos III
FIGURA 1.10
Esfuerzos Combinados
2- TRANSFORMACIÓN DE ESFUERZOS EN UN PUNTOEn una sección de un elemento puede actuar una
combinación de dos o más de las acciones internas P, Vy,
Vz, T, My y Mz. Cuando se presenta este caso
generalmente los esfuerzos en la sección se pueden
obtener sumando las distribuciones de esfuerzos
asociadas con cada una de las acciones en la
combinación. Para calcular los esfuerzos debidos a las
acciones separadas se utilizan las formulas dadas para
elementos cargados axialmente, elementos sometidos a
torsión, y vigas. El esfuerzo normal y cortante, total o
combinado en cada punto de la sección se halla mediante
suma vectorial de los esfuerzos normal y cortante
calculados separadamente para cada acción. Los
esfuerzos normales separados siempre están en la misma
dirección con sentidos iguales u opuestos, y, por lo
consiguiente, se suman como escalares, mientras que los
esfuerzos cortantes separados pueden tener diferentes
direcciones en el plano de la sección cortadas y se suman
vectorialmente. Una limitación de este método es que los
esfuerzos combinados en todos los puntos de una sección
deben estar en la región elástica-lineal del material de tal
modo que se aplique el principio de superposición.
Además, las formulas de esfuerzo para acciones
separadas se pueden aplicar únicamente a los tipos de
elementos para los cuales son aplicables. En situaciones
prácticas ocurren comúnmente combinaciones tales
Mecánica de los sólidos III
Esfuerzos Combinados
como carga axial combinada con flexión, corte
combinado con flexión y corte combinado con torsión,
pero son posibles algunas otras combinaciones.
Las formulas para esfuerzos establecidas hasta aquí a lo
largo del texto dan los esfuerzos únicamente en ciertos
planos cortantes que pasan por los puntos de un cuerpo.
Por ejemplo la formula σ=P/A para varillas cargadas
axialmente da el esfuerzo normal en una varilla unica en
planos cortantes perpendiculares al eje longitudinal de la
varilla como se muestra en la figura 2.1a. Los esfuerzos
en planos cortantes orientados de distinta manera fig
2.1b son diferentes.
En el caso general, lo mismo que en el ejemplo, los
esfuerzos en un punto de un cuerpo son diferentes. En
algunos planos cortantes pueden actuar esfuerzos
significativamente mayores que otros. El siguiente
estudilo se refiere a esta variacion del esfuerzo en un
punto y trata principalmente el caso de esfuerzo biaxial,
en dos dimensiones.En primer lugar sde consideran
diferntes representaciones de los esfuerzos en el mismo
punto de un cuerpo bidimensional. La fig 2.2a representa
un elemento aislado por dos planos cortantes
infinitamente cercanos y mutuamente perpendicuares
que son normales a los ejes de las coordenadas X-Y. la
figura 2.2b muestra un elemento aislado de manera
semejante por planos cortantes normales a los ejes
orientados de manera diferente, X´-Y´. los esfuerzos en
las caras opuestas de cad uno de estos elementos son
Mecánica de los sólidos III
FIGURA 2.1
Esfuerzos Combinados
iguales y opouestos, y son los mismos que actuan sobre
los lados opuestos de un plano cortante unico. Cada uno
de los elementos aislados en la figura 2.2 esta sometido
a la accion de esfuerzos diferentes en el mismo punto.
Cada elemento tiene asociados tres elementos de
esfuerzos. En la figura 2.2a, las componentes se designan
σx,σy Y τxy en las coordenadas X-Y. las de la figura 2.2b
se designan σx´,σy´ Y τx´y´ en las coordenadas X´-Y´.
Estos dos co9njuntos de componentes de esfuerzo no son
los unicos que existen en ese punto.
Existe un numero infinito de conjuntos de componentes,
y cada conjunto esta asociado con uno del infinito
numero de sistemas de coordenadas posibles en el
Mecánica de los sólidos III
FIGURA 2.2
Esfuerzos Combinados
punto. Cada conjunto de componentes se puede
representar sobre un elemento orientado en un sistema
de coordenas adecuado, como se hizo en las figuras 2.2a
y 2.2b. cada uno de estos elemntos proporciona una
representacion diferntes de los esfuerzos en un punto.
El infinito numero de conjuntos de componentes de
esfuerzo que se describio no son independientes. Las
componentes de un sistema arbitrario de coordenadas X
´,Y´ estan relacionadas con la de un sistema de
coordenadas X,Y, como se explica mas adelante. Las
ecuaciones que relacionan las componentes de esfuerzos
en diferentes sistemas de coordenadas o, lo que es lo
mismo, en diferentes planos cortantes que pasan por un
punto, se llaman “ecuaciones de transformación de
esfuerzo”.
Las ecuaciones de transformación de esfuerzos se
obtienen de las condiciones de equilibrio de un elemento
de tamaño infinitesimal como el que se muestra en la
figura 9.10 esta formada por planos cortantes normales a
los ejes de referencia X,Y y por un tercer plano cortante
normal a un eje inclinado X´ que forma un angulo
arbitrario θ con el eje x. Los esfuerzos en la cara inclinada
son las dos componentes σx´ y τx´τy´asociados a las
coordenadas x´,y´. Se consideran cantidades positivas si
tienen los sentidos indicados y negativas si tienen los
sentidos opuestos.
Si en un elemento como el de la figura 2.3 se aisla de un
cuerpo que esta en equilibrio, el elemento debe estar en
Mecánica de los sólidos III
FIGURA 2.3
Esfuerzos Combinados
equilibrio. Las condiciones ∑Fx´= 0 y∑Fy´=0 para el
elemento de la figura 2.3 producen las expresiones para
los esfuerzos σx´ y τx´τy´ que se dan mas adelante. A
partie de estas ecuaciones de equilibrio se obtienen las
fuerzas en elemento efectuando los productos de cada
esfuerzo por el area de la cara sobre la cual actua. Se
supone que el elemento de la figura 2.3 tiene un espesor
unitario normal al plano X,Y el area de la cara inclinada se
designa por dA. Entonces, la cara opuesta y la cara
adyacente al angulo θ tiene areas dAsenθ y dAcosθ,
respectivamente. Tambien se hace uso de las identidades
trigonometricas
∑Fx´=0;
x’ dA = x dA cos cos + y dA sen sen
+ xy dA cos sen + xy sen cos
x’ = x sen2 + y cos2 + 2 xy cos sen
σ x ´=¿ σ x+σ y
2+
σ x−σ y
2cos2 θ+τ xy sen2θ (2-1)
Suma de fuerzas en la dirección y’
∑Fy´=0;
x’y’ dA = y dA cos sen - xy dA sen sen
+ xy cos cos - x dA sen cos
x’y’ = y cos sen - xy sen2 + xy
cos2- x sen cos τ x , y ,=−σ x−σ y
2sen2 θ+τ xy cos2θ
(2-2)
Mecánica de los sólidos III
Esfuerzos Combinados
Las ecuaciones (2-1) y (2-2) son las ecuaciones de la
transformación de esfuerzo para el caso bidimensional y
dan los valores σx´ y τx´τy´ para cualquier angulo θ en
funcion de σx, σy y τxy. La componente de esfuerzo, σy´,
esta dada por la ecuacion (2-1), aumentando el angulo θ
en 90°. Estas ecuaciones dan los esfuerzos en uno
cualquiera del infinito numero de planos cortantes que
pueden pasr por el punto de un cuerpo, en funcion de un
conjunto arbitrario de componentes de esfuerzo x,y. Asi
uno solo del infinito numero de conjunto de
componentes de esfuerzos en un punto.
Se puede demostrar que las ecuaciones (2-1) y (2-2)
tambien son aplicables si el elemento de la figura 2.3
tiene una aceleracion. De este modo las ecuaciones (2-1)
y (2-2) son aplicables bajo las condiciones estaticas y bajo
condiciones dinamicas de un cuerpo.
De acuerdo con las ecuaciones (2-1) y (2-2) se puede ver
que σ x ' y τ x ' y' dependen del ángulo θ de inclinación de los
planos sobre los que actúan esos esfuerzos. En la práctica
de ingeniería con frecuencia es importante determinar la
orientación de los planos que causa que el esfuerzo
normal sea máximo y mínimo, y la orientación de los
planos que hace que el esfuerzo cortante sea máximo.
Esfuerzos principales en
el plano. Para
determinar el esfuerzo
Mecánica de los sólidos III
Esfuerzos Combinados
normal máximo y mínimo, se debe diferenciar la ecuación
(2-1) con respecto a θ, e igualar a 0 el resultado. De este
modo se obtiene
dσ x´
dθ=
−σx−σ y
2(2 sen 2θ )+2 τ xy cos2θ=0
Al resolver esta ecuación se obtiene la orientación θ=θp,
de los planos de esfuerzo normal máximo y minimo.
tan2 θp=τ xy
(σ x−σ y)/2 (2-3)
La solución tiene dos raíces, θp 1 yθ p2. En forma especifica,
los valores de 2 θp1 y 2θp 2 estan a 180° entre si, por lo
θp 1 yθ p2 forman 90°.
Los valores de θp 1 yθ p2 deben sustituirse en la ecuación
(2-1), para poder obtener los esfuerzos normales que se
requieren. Se puede obtener el seno y el coseno de
2 θp1 y 2θp 2 con los triángulos sombreados de la figura
2.4. La construcción de esos triángulos se basa en la
ecuación (2-3), suponiendo que τ xy y (σ x−σ y) son
cantidades positivas o negativas, las dos. Para θp 1 se tiene
que
sen2θ p1=τ xy
√( σx−σ y
2 )2
+τ xy2
cos2θp 1=( σ x−σ y
2 )√( σ x−σ y
2 )2
+τ xy2
Mecánica de los sólidos III
FIGURA 2.4
Esfuerzos Combinados
Para θp 2
sen2θ p2=−τ xy
√( σ x−σ y
2 )2
+τ xy2
cos2θp 2=−( σ x−σ y
2 )√( σ x−σ y
2 )2
+τ xy2
Si se sustituye de estos dos conjuntos de relaciones
trigonométricas en la siguiente ecuación y se simplifica
σ x ´=¿ σ x+σ y
2+
σ x−σ y
2cos2 θ+τ xy sen2θ
Se obtiene
σ 1,2=σ x+σ y
2±√( σ x−σ y
2 )2
+τ xy2 (2-4)
Dependiendo del signo escogido, este resultado
determina el esfuerzo normal máximo y mínimo en el
plano, que actúa en un punto, cuando σ 1≥ σ2. Este
conjunto particular de valores se llaman esfuerzos
principales en el plano, y los planos correspondientes
sobre los que actúan se llaman planos principales de
esfuerzo, figura 2.5b. Además si las relaciones
trigonométricas para θp 1 yθ p2 se sustituyen en la
ecuación τ x , y ,=−σ x−σ y
2sen2 θ+τ xy cos2θ (2-2)
Se puede ver que τ x , y ,=0; esto es, “sobre los planos
principales no actúa el esfuerzo cortante”.
Mecánica de los sólidos III
FIGURA 2.5
Esfuerzos Combinados
Esfuerzo cortante máximo en el plano. La orientación de
un elemento que está sometido a esfuerzo cortante
máximo en sus caras se puede determinar sacando la
derivada de la ecuación (2-2) con respecto a θ e
igualando a cero el resultado. Se obtiene
tan2 θ s=−(σ x−σ y )/2
τ xy
(2-5)
Las dos raíces de esta ecuación θ s 1 y θs 2, se pueden
determinar con los triángulos de la figura 2.6.
Comparando con la figura 9.8, cada raíz de 2 θs esta a 90°
de 2 θp. Así las raíces de θ s y θp forman 45° entre ellas, y
el resultado es que los planos del esfuerzo cortante
máximo se pueden determinar orientando a un elemento
a 45° con respecto a la posición de un elemento que
defina los planos del esfuerzo principal.
Usando cualquiera de las raíces θ s 1o θ s 2, se puede
determinar el esfuerzo cortante máximo sacando los
valores trigonométricos de sen2 θs y cos2 θs en la figura
2.6, y sustituyéndola en la ecuación (2-2). El resultado es
τ maxenel plano=√( σ x−σ y
2 )2
+τ xy2 (2-6)
El valor de τ maxenel plano calculado con la ecuación (2-6) se
llama “esfuerzo cortante máximo en el plano”, porque
actúa sobre el elemento en el plano x-y. si se sustituyen
los valores de sen2 θs y
cos2 θs en la ecuación (2-
1),se ve que también hay
un esfuerzo normal
sobre los planos de
esfuerzo cortante
máximo en el plano. Se
obtiene
Mecánica de los sólidos III
FIGURA 2.6
Esfuerzos Combinados
σ prom=σ x+σ y
2 (2-7)
Puntos importantes
Los esfuerzos principales representan el esfuerzo
normal máximo y mínimo en el punto.
Cuando se representa el estado de esfuerzo
mediante los esfuerzos principales, sobre el
elemento no actúa esfuerzo cortante.
El estado de esfuerzo en el punto también se
puede representar en función del esfuerzo
cortante máximo en el plano. En este caso, sobre
el elemento también actuara un esfuerzo normal
promedio sobre el elemento.
El elemento que representa el esfuerzo cortante
máximo en el plano, con el esfuerzo normal
promedio correspondiente, está orientado a 45°
respecto al elemento que representa los esfuerzos
principales.
Mecánica de los sólidos III
Esfuerzos Combinados
EJEMPLO 2.1
La prensa oprime las superficies lisas en C y D, cuando se
aprieta la tuerca. Si la fuerza de tensión del tornillo es de
40KN, determine los esfuerzos principales en los puntos A
y B, e indique los resultados en elementos ubicados en
cada uno de esos puntos. El área transversal en A y B se
indica en la figura 2.7
.
+⅀M = 0
−40 KN (300 mm )+DY (500 mm )=0
DY=24 KN
+ ⅀ FY=0
Cy+ Dy−40 KN=0
Cy=40 KN−24 KN
Cy=16 KN
I= 112
bh3
I= 112
(30 mm ) (50 mm )3=0.3125 × 10−6 m4
Calculando primer momento de área
QA=Y A, A,=0
Mecánica de los sólidos III
FIGURA 2.7
DCL. de la prensa
Esfuerzos Combinados
QB=Y B, A ,=( 0.025
2m)( 0.025 m) (0.03 m )
QB=9.375 ×10−6 m3
Haciendo corte en la sección transversal del punto A y B
+⅀FY=0
16 KN−40 KN +V =0
V=24 KN
+ ⅀ M=0
M−16 KN (400 mm )+40 KN (100 mm )=0
M=2.4 KN . m
Calculando esfuerzos principales para A
σ 1=0
σ 2=σ A=−Mc
I=
− (2.4 KN . m ) (0.025 m)0.3125 ×10−6 m4
σ 2=−192 Mpa
Calculando los esfuerzos principales para B
σ B=−Mc
I=
−(2.4 KN .m ) (0 m )0.3125 × 10−6 m4
=0
τ B=VQB
Ib=
(24 × 103 N ) ( 9.375× 10−6 m3 )(0.3125 × 10−6 m4 ) (0.03m )
τ B=24.0 Mpa
σ X=0
σ Y=0
Mecánica de los sólidos III
Esfuerzos Combinados
τ XY=−24.0 Mpa
σ 1,2=σ x+σ y
2±√( σ x−σ y
2 )2
+τxy2
σ 1,2=0+0
2±√( 0−0
2 )2
+(−24.0 Mpa )2
σ 1,2=±√( 0 )2+ (−24.0 Mpa)2
σ 1=24.0 Mpa
σ 2=−24.0 Mpa
Calculando la orientación del elemento
tan2θp=τ xy
(σ x−σ y)/2
tan2 θp=−24 Mpa(0−0)/2
2 ѲP=tan−1∞
2 ѲP=± 90°
ѲP=± 45 °
Mecánica de los sólidos III
Esfuerzos Combinados
Circulo de Mohr para esfuerzo plano
Las ecuaciones de transformación para esfuerzo plano
pueden representarse mediante una gráfica como circulo
de Mohr. Esta representación es extremadamente útil
para apreciar las relaciones entre los esfuerzos normal y
cortante que actúan sobre ciertos planos inclinados en un
punto del cuerpo esforzado. Para determinar el círculo de
Mohr, reformulamos las ecuaciones:
σ x1−
σ x+σ y
2=
σ x−σ y
2cos2θ+τ xy sen2 θ (2-1)
τ x1 y1=
−σ x−σ y
2sen2 θ+τ xy cos2 θ (2-2)
Estas ecuaciones son las ecuaciones paramétricas de un
círculo, con el ángulo 2 θ como parámetro. Al elevar al
cuadrado ambos lados de cada ecuación (2-1) y sumarlos
se elimina el parámetro; la ecuación resultante es
(σx1−
σ x+σ y
2 )2
+τ x1 y1
2 =( σx−σ y
2 )2
+τ xy2 (2-8)
Esta ecuación puede formularse en una forma más
sencilla mediante la siguiente notación:
σ med=σ x+σ y
2R=√( σ x−σ y
2 )2
+τ xy2 (2-9)
La Ec. (2-8) resulta ahora
(σx1−σmed )2+τ x1 y1
2 =R2 (2-10)
Mecánica de los sólidos III
Esfuerzos Combinados
Que es la ecuación de un circulo en coordenadas σ x1 y
τ x1 y1. El circulo tiene radio R y su centro de tiene
coordenadas σ x1=σ med y τ x1 y1
=0.
Nuestra siguiente tarea es construir un círculo de Mohr a
partir de la Ec. (2-1) y (2-10). Para hacerlo, tomaremos σ x1
como la abscisa y τ x1 y1como la ordenada. Sin embargo, el
círculo puede trazarse en dos formas diferentes. En la
primera forma del círculo de Mohr, trazamos σ x1positivo a
la derecha y τ x1 y1, positivo hacia abajo; entonces el ángulo
2 θ es positivo en sentido contrario a las manecillas del
reloj (Fig. 2.8b). Ambas formas del círculo son
matemáticamente correctas y concuerdan con las
ecuaciones, por lo que elegir entre ellas es asunto de
preferencias personales. Como el ángulo θpara el
elemento esforzado es positivo en sentido contrario al de
las manecillas del reloj. Podemos evitar errores
adaptando la figura del círculo de Mohr en la que el
ángulo 2 θ es positivo en sentido contrario al de las
manecillas del reloj (sentido anti horario). Es así que
optaremos por la primera forma del circulo de Mohr (Fig.
2.8a).
Se procede ahora a construir el círculo de Mohr para un
elemento en esfuerzo plano (Fig. 2.9a y 2.9b). Los pasos
son los siguientes:
1) Localizar el centro C del circulo en el punto de
coordenadas σ x1=σ med y τ x1 y1
=0 (Fig. 2.9c).
Mecánica de los sólidos III
FIGURA 2.8
Esfuerzos Combinados
2) Localizar el punto de A, que es el punto sobre el círculo
que representa las condiciones de esfuerzo sobre la cara
x del elemento (θ=0 ); para este punto tenemos
σ x1=σ x y τ x1 y1
=τ xy.
3) Localizar el punto B, el cual representa las condiciones
de esfuerzo sobre la cara y del elemento (θ=90° ). Las
coordenadas de este punto son σ x1=σ y y τ x1 y1
=−τ xy, ya
que cuando el elemento se gira un ánguloθ=90°, el
esfuerzo normal σ x1 se vuelve σ y y el esfuerzo cortante
τ x1 y1 se vuelve el negativo de τ xy. Obsérvese que una recta
desde A hasta B pasa a través de C. Por lo que los puntos
A y B, que representan los esfuerzos sobre los planos a
90° uno del otro, están en los extremos opuestos del
diámetro (separados 180° en el círculo).
4) Dibujar el círculo a través de los puntos A y B con
centro en C.
Obsérvese que el radio R del círculo es la longitud de la
recta CA. Para calcular esta longitud, observamos que las
abscisas es (σ x−σ y )/2 y σ x, respectivamente. La
diferencia en estas abscisas es (σ x−σ y )/2, como se
muestra en la Fig. 2.9c. También, la ordenada del punto A
es σ xy. Por lo tanto, la recta CA representa la hipotenusa
de un triángulo rectángulo que tiene un lado de longitud
(σ x−σ y )/2, y otro lado de longitud τ xy. Al calcular la raíz
cuadrada de la suma de los cuadrados de los dos lados se
obtieneR (véase Ec. 2-9).
Mecánica de los sólidos III
Esfuerzos Combinados
Determinemos ahora los esfuerzos que actúan sobre una
cara inclinada del elemento orientado a un ángulo θ a
partir del eje x (Fig. 2.9b). Sobre el circulo de Mohr,
tomamos un ángulo 2 θ en sentido contrario al de las
menecillas del reloj a partir del radio CA, ya que A es el
punto para el cual θ=0°. El ángulo 2 θ ubica al
Punto D sobre el círculo. Este punto tiene las
coordenadas σ x1 y τ x1 y1
, que representan los esfuerzos
sobre la cara x1 del elemento esforzado. Para demostrar
que las coordenadas del punto D estasn dadas por las
ecuaciones de transformación de esfuerzos (Ec. 2-1 y 2-
2), representamos por β el ángulo entre la línea radial CD
y el eje σ x1. Luego, a partir de la geometría de la figura
2.9, obtenemos las cuatro relaciones siguientes:
σ x1=
σ x+σ y
2+R cos β τ x1 y1
=R sen β
cos (2 θ+β )=σ x−σ y
2 Rsen (2 θ+β )=
σ xy
R
Al desarrollar las expresiones del coseno y el seno se
obtiene
cos2 θ cos β−sen2 θ sen β=σx−σ y
2 R
cos2θ cos β+sen2θ sen β=τ xy
R
Al multiplicar la primera
ecuación por cos2θ y la
segunda por sen2θ, y
sumar después ambas
ecuaciones, obtenemos
Mecánica de los sólidos III
FIGURA 2.9
(2-11)
Esfuerzos Combinados
cos β= 1R ( σ x−σ y
2sen2θ+τxy sen2θ)
También, al multiplicar la primera ecuación por sen2θ y
la segunda por cos2θ y luego restar, obtenemos
sen β= 1R (−σx−σ y
2sen2θ+τ xy sen2θ)
Cuando estas expresiones de cos β y sen β se sustituyen
en las Ecs. (2-9), obtenemos las ecuaciones de
transformación de esfuerzos. De este modo, hemos que
el punto D sobre el circulo de Mohr, definido por el
ángulo de 2 θ, representa las condiciones sobre la cara x1
del elemento esforzado, definido por el ángulo θ.
El punto D', diametralmente opuesto al punto D, esta
localizado por un ángulo que es 180° mayor que el ángulo
de 2 θal punto D (Véase Fig. 2.9c). Por lo tanto, el punto
D' representa los esfuerzos sobre la cara del elemento
esforzado a 90° desde la cara representada del punto D;
en consecuencia, el punto D' proporciona los esfuerzos
sobre la cara y1.
Según giramos el elemento en sentido contrario al de las
manecillas del reloj a través de un ángulo θ (Fig. 2.9b), el
punto correspondiente a la cara x1 sobre el circulo de
Mohr se traslada en sentido contrario al de las manecillas
del reloj a través de un ángulo 2 θ. De igual manera, si
giramos el elemento en sentido de las manecillas del
reloj, el punto del círculo
se desplazara en este
mismo sentido. En el
punto P1 sobre el
círculo, los esfuerzos
normales alcanzaran su
valor algebraico máximo
y el
Mecánica de los sólidos III
Esfuerzos Combinados
plano principal, asociado con el valor algebraico mínimo
del esfuerzo normal, está representado por el por el
punto P2. A partir de la geometría del círculo, vemos que
el esfuerzo principal mayor es
σ 1=OC+C P1=σ x+σ y
2+R
El ángulo principal θP1 localizado en el eje x y el plano de
esfuerzo del esfuerzo principal algebraicamente mayor
pera ele elemento esforzado girado (Fig. 2.9b) es la mitad
del ángulo 2 θP 1 situado entre los radios CA y CP1 sobre el
circulo de Mohr. El coseno y el seno del ángulo 2θP 1
pueden determinarse mediante inspección a partir del
círculo:
cos2θP1=
σ1−σ1
2 Rsen2θP1
=τ xy
R
El ángulo 2θP 2 respecto al punto principal es 180° mayor
que 2θP 1 por lo que θP2
=θP1+90°.
Los puntos S y S', que representan los planos de
esfuerzos cortantes máximo y mínimo, están localizados
sobre el círculo en el ángulo de 90° respecto de los
puntos P1 y P2. Por lo
tanto, los planos de
esfuerzo cortante
máximo están a 45° de
los planos principales. El
esfuerzo cortante
máximo es
numéricamente igual al
radio del círculo.
También, los esfuerzos
normales sobre los
planos de esfuerzos
cortante máximo son
iguales a la abscisa del
punto C, que es el
esfuerzo normal medio.
Mecánica de los sólidos III
Esfuerzos Combinados
De lo anterior, evidentemente se puede determinar los
esfuerzos sobre el cualquier plano inclinado, así como los
esfuerzos principales y los esfuerzos cortantes máximos,
a partir del círculo de Mohr. El diagrama de la Fig. 2.9 se
dibujó con σ xy σ y como esfuerzos positivos, pero siguen
siendo los mismos procedimientos si uno o ambos
esfuerzos son negativos.
Mecánica de los sólidos III
Esfuerzos Combinados
Ejemplo 2.2
Un elemento en esfuerzo plano sometido a esfuerzos
σ x=−50 MPa, σ y=10 MPa y τ xy=−40 MPa, como se
muestra en la Fig. 6-18a. Mediante el circulo de Mohr,
determinar a) los esfuerzos que actúan sobre un
elemento girado un ángulo θ=45°, b) los esfuerzos
principales, y c) los esfuerzos cortantes máximos.
Mostrar todos los resultados sobre esquemas de
elemento orientados adecuadamente.
El centro del circulo esta sobre el eje σ x1 en el punto C
donde σ x1 es igual a σ med, el cual es
σ med=σ y+σ y
2=−50 MPa+10 MPa
2=−20 MPa
Los esfuerzos sobre la cara x del elemento determinan
las coordenadas del punto A:
σ x1=−50 MPa τ x1 y1
=−40 MPa
Las coordenadas del punto B representan los esfuerzos
sobre la cara y del elemento:
σ x1=10 MPaτ x1 y1
=40 MPa
Estos puntos definen el círculo, que tiene radio
R=√(30 MPa )2+( 40 MPa )2=50 MPa
El ángulo AC P2 es el ángulo 2 θP 2 desde el punto A hasta
el punto P2, y representa el plano principalmente que
contiene al esfuerzo principal algebraicamente menor σ 2.
Este ángulo se determina considerando que
Mecánica de los sólidos III
Esfuerzos Combinados
2 θP 2=40 MPa
30 MPa=4
3
Por lo que:
2 θP 2=53.13° θP2
=26.57°
Así, se han obtenido todos los ángulos y esfuerzo
requerido, como se muestra sobre el círculo.
(a) Los esfuerzos que actúan sobre un plano a θ=45°
están representados por el punto D, localizado a
un ángulo 2 θ=90° desde el punto A. El ángulo
DCP2 es
DCP2=90°−2θP2=90°−53.13°=36.87°
Este ángulo se encuentra entre la línea CD y el eje σ x1,
negativo; por lo tanto, por inspección obtenemos las
coordenadas del punto D:
σ x1=−20 MPa−50 MPa ( cos36.87° )=−60 MPa
τ x1 y1=50 MPa (sen36.87° )=30 MPa
En forma similar, las coordenadas del punto D' son
σ x1=−20 MPa+50 MPa (cos 36.87° )=20 MPa
τ x1 y1=−50 MPa (sen36.87° )=−30 MPa
Estos esfuerzos, que actúan sobre el elemento haθ=45°,
se muestra en la Fig. 6-19a.
(b) Los esfuerzos principales están representados por
los puntos P1 y P2 sobre el círculo. Sus valores son
σ 1=−20 MPa+50 MPa=30 MPa
Mecánica de los sólidos III
FIGURA 2.10 (Nota: todos los esfuerzos sobre el círculo de Mohr están en MPa)
Esfuerzos Combinados
σ 2=−20 MPa−50 MPa=−70 MPa
Según se obtiene mediante inspección a partir del círculo.
El ángulo 2θP 1 sobre el circulo (medido en sentido
contrario al de las manecillas de reloj desde A hasta P1)
es 53.1°+180°=233.1°, por lo que θP1=116.6°. El ángulo al
punto P2 es 2 θP 2=53.1°, o sea θP2
=26.6°. Los planos
principales y los esfuerzos principales se muestran en la
Fig. 6-19b.
(c) Los esfuerzos cortantes máximo y mínimo,
representando por los puntos S y S ', son
τ max=50 MPa y τ min=−50 MPa. El ángulo ACS
(igual a 2θS1) es 53.13 °+90 °=143.13 °, por lo que
el ángulo
θS1=71.6 °. los
esfuerzos
cortantes
máximos se
muestran en la
Fig. 6-19c.
Mecánica de los sólidos III
Esfuerzos Combinados
3- SUPERPOSICIÓN DE ESFUERZOS
El principio de superposición, dice que el efecto de carga
combinada dada sobre una estructura puede obtenerse
determinando, de forma separada, los efectos de las
distintas cargas y combinando los resultados obtenidos,
siempre que se cumplan las siguientes condiciones:
1. Cada efecto esta linealmente relacionado con la
carga que produce.
2. La deformación resultante de cualquier carga
dada es pequeña y no afecta las condiciones de
aplicación de las otras cargas.
En el caso de una descarga multiaxial, la primera
condición será satisfecha si los esfuerzos no exceden el
límite de proporcionalidad del material, y la segunda
condición también se cumplirá si el esfuerzo en cualquier
cara dada no causa deformaciones en las otras que sean
lo suficientemente grandes para afectar el cálculo de los
esfuerzos en esas caras.
Un elemento estructural sometido a cargas combinadas
con frecuencia se puede analizar superponiendo los
esfuerzos y las deformaciones causadas por cada carga en
acción por separado. Sin embargo, la superposición de
esfuerzos y deformaciones se permite sólo en ciertas
condiciones, como se explico anteriormente. Un requisito
es que los esfuerzos y las deformaciones deben ser
funciones lineales de las cargas aplicadas, lo que a su vez
Mecánica de los sólidos III
Esfuerzos Combinados
requiere que el material siga la ley de Hooke y que los
desplazamientos sean pequeños.
Un segundo requisito es que no debe haber interacción
entre las diversas cargas, es decir, los esfuerzos y las
deformaciones debidas a una carga no se deben ver
afectadas por la presencia de las otras cargas. La mayor
parte de las estructuras ordinarias satisfacen estas dos
condiciones y, por tanto, emplear la superposición es
muy común en el trabajo de ingeniería.
Considere la viga empotrada en un extremo y sujeta a
una carga inclinada P, como se muestra en la Fig. 3.1 (a).
Esta carga no produce flexión ni carga axial solamente,
sino una combinación de las dos. Si se descompone esta
fuerza en sus componentes horizontal y vertical.
La fuerza axial Px (Fig. 3.1b) produce esfuerzos directos
de tensión σ = P/A en todas las fibras. La fuerza P (Fig. 3.1
c) produce esfuerzos deflexión σ = Mc/I. Como ambos
esfuerzos (P/A y Mc/I) actúan para alargar o acortar las
fibras, pueden combinarse algebraicamente. El hecho de
que ambas cargas producen esfuerzos que tienen la
misma línea de acción confirma que la superposición de
esfuerzos es válida. Los esfuerzos en cualquier fibra
pueden calcularse como:
σ=±PA
±McI
(3-1)
Los esfuerzos de tensión se consideran positivos,
mientras que los esfuerzos de compresión son negativos.
Esta convención de signos nos ayuda a determinar la
Mecánica de los sólidos III
FIGURA 3.1
Esfuerzos Combinados
naturaleza de los esfuerzos duales. El termino c en el
factor Mc/I puede reemplazarse por la distancia general y
a partir del eje neutro, si se requiere el esfuerzo en un
punto diferente al de las fibras extremas.
Los esfuerzos calculados mediante la ec (3-1) no son
enteramente correctos. La carga Py produce una deflexión
(no mostrada) que, cuando se multiplica por la fuerza
axial Px , produce un pequeño momento secundario
tiende a reducir el momento total, y por consiguiente
puede depreciarse. Si la fuerza axial es de compresión, el
momento secundario incrementa el momento total, y el
depreciar este término no resulta conservativo. Sin
embargo, en la mayoría de los problemas de esfuerzos
combinados, el efecto de este término es pequeño y
puede depreciarse. En el caso de vigas-columnas
esbeltas, el efecto puede no ser depreciable.
EJEMPLO 3.1
Mecánica de los sólidos III
Esfuerzos Combinados
Calcular los esfuerzos máximos y localizar el eje neutro en
la viga en voladizo de 40 mm× 100 mm, indicada en la Fig.
3.2
Solución: El esfuerzo máximo ocurrirá en el extremo
empotrado, pues en ese lugar el momento flexionante es
máximo.
La carga de flexión de la Fig. 3.2c, produce esfuerzos de
tensión en las fibras superiores y esfuerzos de
compresión en las fibras inferiores. La carga axial de la
Fig. 3.2b produce esfuerzos de tensión en todas las fibras.
Así,
σ Sup
¿±PA
±McI
= +11520(40 ×10−3 ) (100 ×10−3 )
+(3 360 ) ( 360× 10−3 ) (50 ×10−3 )
112
( 40 ×10−3 ) (100 ×10−3 )3
= + 2.88 MPa +18.4MPa
= +21.02 MPa (tensión);
σ inf. ¿±PA
±McI
=¿ 2.88-18.4
= -15.26 MPa (compresión)La combinación de
esfuerzos se indica
Mecánica de los sólidos III
FIGURA 3.2
Esfuerzos Combinados
gráficamente en la Fig. 3.3. EL eje neutrón en el plano de
esfuerzos nulos, y puede localizarse mediante la ecuación
(3-1), o mediante simple geometría. Tenemos
σ=±PA
±MyI
0 = + 2.88 - (3 360 ) (360 ×10−3 ) y
112
( 40 ×10−3 ) (100× 10−3 )3
0 = (2.88 ×106¿−(362.88 ×106 ) y
y = 0.00794 m = 7.94 mm
Mecánica de los sólidos III
FIGURA 3.3
Esfuerzos Combinados
EJEMPLO 3.2
Un tubo de acero estándar de 4 pulg y de 36 pulg de
longitud se usa como dispositivo de izaje para una grúa.
Suponiendo que las cargas se aplican a los tercios de su
longitud (véase Fig. 3.4), y el esfuerzo máximo en el tubo
no debe exceder de 20,000 lb/pulg2, determinar el valor
admisible de P.
Solución: La fuerza axial en el tubo puede calcularse por
estática en términos de P. Considerando el diagrama de
cuerpo libre de la Fig. 3.4 (b), se tiene:
∑ Fγ= 0 45
T+ 45
T=2 P
T=1.25 P
La componente horizontal de la tensión es la fuerza axial
en el tubo, y puede calcularse como:
Tx = 35
(1.25 P )=0.75 P
Aplicando la ec. (3-1) a los esfuerzos en las fibras
superiores de la Fig. 3.4c, pues tanto los debidos a la
carga axial como a la carga flexionante, son de
compresión, se obtiene:
Mecánica de los sólidos III
FIGURA 3.4
Esfuerzos Combinados
σ=±PA
±MxI
−20 000=−0.75 P3.17
−(12 P )( 4.500
2 )7.23
=−0.24 P−3.72 P
P = 5 030 lb.
Mecánica de los sólidos III
Esfuerzos Combinados
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
RECIPIENTES DE
PARED DELGADA
Un tanque lleno de
oxigeno esta hecho de
acero cromo-molibdeno
con un espesor de pared
de 0.25pulg., una presión
en su interior de 2400psi
y un diámetro exterior
de 29.53pulg..
Determinar el esfuerzo
longitudinal y de costilla
(circunferencial) para el
cilindro mostrado en la
figura 4.1.
Datos
P=2400psi
Espesor=0.28pulg
Radio exterior=14.77pulg
Radio interior=14.49pulg
Gas: oxigeno (02)
Encontrando esfuerzo en
la parte cilíndrica.
ΣFx = 0,
2 [σ1 ( tdy ) ]−p (2 rdy )=0
Mecánica de los sólidos III
Esfuerzos Combinados
Formula: σ1=
prt
Sustituyendo datos en la formula.
σ1=
(2400 psi)(14 .49 pu lg)(0 . 28 pul)
=124,200 lb/pulg2
σ 1=124 , 200 PSI=124 .2 KSI
Encontrando esfuerzo en la dirección circunferencial
ΣFy=0, σ 2 (2 πrt )−p ( πr2 )=0
Formula: σ2=
pr2 t
Sustituyendo datos en la
formula.
σ2=
(2400 psi)(14 .49 pu lg)(2)(0 . 28 pul ) =
62,100 lb/pulg2
σ 2=62 ,100 PSI=62.1 KSI
Si bien es más difícil
fabricar recipientes a
presión esféricos, según los
cálculos queda demostrado
que la parte semiesférica
Mecánica de los sólidos III
FIGURA 4.1
Esfuerzos Combinados
opone la mitad del esfuerzo que la parte cilíndrica, esto se
debe a que la parte semiesférica tiene la capacidad de resistir
el doble de la presión interna.
Mecánica de los sólidos III
1.5m
0.457m0.127m
Esfuerzos Combinados
TRANSFORMACIÓN DE ESFUERZOS EN UN PUNTO
Un transformador de 1.78KN con un diámetro de 0.457m y una altura de 1.016m esta soportado por un poste circular hueco de acero A36 con un diámetro exterior de 0.2m y un espesor de 2mm. El transformador tiene una excentricidad de 0.127m desde la línea central del poste y su borde inferior esta a 4.284m arriba del suelo (ver figura 4.2).
Determinar los esfuerzos principales y los esfuerzos cortantes máximos en los puntos P y Q en la base del poste debido a una presión del viento de 1.30Kpa que actúa contra el transformador y debido al peso del mismo.
Solución:
El peso del transformador produce:
Una fuerza axial de compresión F1=1.78KN y un momento flexionante M1= (F1 )(d) sustituyendo
M1= (1.78KN)(0.127m+0.457m
2 ) = 2.136KN.m
La presión del viento contra el transformador produce una fuerza resultando F2
F2=PA= (1.30KPa)(0.457m)(1.016m)=0.60361KN
F2 = 603.61KN.m
Esta fuerza ocasiona un momento flexionante M2
M2= (F2)(d)= (603.61N)(4.284m+1.0116m
2 )=2,892.50N.m
M2=2.893KN.m
Un par de tensión T
T= F2.d= (603.61N)
(0.127m+0.457m
2 )=214.58N.m
Mecánica de los sólidos III
1.016m
4.284m
FIGURA 4.2
Esfuerzos Combinados
T=0.21458KN.m
Y una fuerza cortante a lo largo del poste
V= F2 =603.61KN
FW = Wposte arriba de la superficie + Wherrajes
Wposte =
[ (72 kg )(9.81ms2 )]−[ (π )( 0.2m
2 )2
−(π )( 0.196 m2 )
2]× [ (1.20m ) ] [(7850Kgm3 )] [(9.81
ms2 )]
Wposte=706.32N-114.46N=591.36N
Wherrajes=200lb=890N
FW=591.36N+890N=1481.36N
Esfuerzos en los puntos P y Q
Área de la sección transversal del poste
A=π4
(dext )2− π
4¿¿ = π ( 0.2
2m)
2
−π ( 0.196 m2 )
2
A=1.2441×10−3 m2
Esfuerzos normales
σ W=( FwA )=( 1481.36
1.2441 x 10−3 m2 )= 1,190.71KN/m2
σ W=¿1,190.71 KPa
(ver figura 4.4)
σF1= F 1A
=
1.78 KN
1.2441 x 10−3 m2=
1430.75KN/m2=¿ 1430.71 Kpa
(ver figura 4.5)
Mecánica de los sólidos III
0.196m
0.200m
FIGURA 4.3
FIGURA 4.4
FIGURA 4.6 produce esfuerzos de compresión en Q, no produce esfuerzos en P
σM1= σMy
σM2= σMz
Esfuerzos Combinados
σM1= M 1( d
2)
I
I = π
64¿=
π64
¿6.0972x10−6 m2
σM1= (2.136 KN .m )(0.200 m)
( 6.0972 x 10−6 m2 )(2)= 35032.53 KN/m2
σM1=35,032.53 Kpa (ver figura 4.6)
σM2=M
2 ( d2 )
I=¿
(2.893KN .m ) (0.200m )( 6.0972× 10−6 m2 ) (2 )
=47,488.00KN
m2
σM2=47,448.00KPa (ver figura 4.7)
Esfuerzos cortantes
Esfuerzo cortante debido a T
τ1=T ( dexter
2 )I p
Ip= π
32(dexter
4−d inter4 )= π
32[( 0.2m )4−(0.196 m)4 ]
I p=1.219× 10−5 m4
τ1=
(0.21458 KN . M )( 0.2m2
)
1.219 x 10−3
= 1760.30 KN/m2
τ1=1760.30 KPa
(ver figura 4.8)
Mecánica de los sólidos III
FIGURA 4.9 Produce esfuerzo cortante en el punto B. pero no produce esfuerzo en el punto A
FIGURA 4.8 Produce esfuerzos cortantes en P y en Q.
τ xz
τ xz
P Q
P Q
Esfuerzos Combinados
Esfuerzo cortante que produce la fuerza cortante V
τ2=¿ 4 V
3 A¿¿)
τ2=¿
4 (603.61 N)3(1.2441 x10−3 )
¿ ¿
τ 2=¿ 970.29 KN /m2¿ (ver figura 4.9)
Elementos de esfuerzo
σ p=σ w+σ F1+σ M 1+σ M2
σ p=−σ w−σ F1+0+σ M 2
σ p=−1190.71 KPa−1430.71 KPa+47,448.00 KPa
σ p=44,826.58 KPa=44.83 MPa (Tensió n)
σ x=44.83 MPa σ y=0
τ xz= 1760.30Kpa (ver figura 4.10)
Mecánica de los sólidos III
τ 2=τ xy= 970.29Kpa
τ1=τT =¿τ MX¿
τ xy
T
τ xy
τ xy
τ xy
V y
τ xz= 1760.30Kpa
τ xy
Esfuerzos Combinados
Para el punto Q
σ Q=σ w+σ F1+σ M 1+σ M 2
σ Q=−σw−σ F 1+σM 1+0
σ Q=−1190.71 KPa−1430.71 KPa−35032.53 KPa
σ Q=−37,653.95 KPa
σ Q=37.65 MPa(Compresi ó n)
σ x=37.65 MPa σ y=0 (ver figura 4.11)
τ xz= -1760.30Kpa- 970.29KPa = -2730.59KPa
Mecánica de los sólidos III
σ X = 44.83MPa
FIGURA 4.10
σ X
Esfuerzos Combinados
ESFUERZOS PRINCIPALES Y ESFUERZOS CORTANTE MAXIMOS EN EL PUNTO P
σ1,2 = σx+σy2
±√( σx−σy2
) ²+τ xz ²
σ1,2 = (44.83 MPa)2
±√( 44.83 MPa2 )
2
+(1.76 MPa) ²
σ1,2 = 22.415MPa ± 22.484MPa
σ1 = 46.90 MPa σ2 = -0.07MPa
τmax=√( σx−σy2
)²+τ xz ² = √( 44.83 MPa2 )
2
+(1.76 MPa) ²
τmax = 22.48MPa
ESFUERZOS PRINCIPALES Y ESFUERZOS CORTANTE MAXIMOS EN EL PUNTO Q
σ1,2 =
σx+σy2
±√( σx−σy2
) ²+τ xy ²
σ1,2 =
(−37.65 MPa)2
±√(−37.65 MPa2 )
2
+(2.73MPa) ²
σ1,2 = -18.825MPa ± 19.022MPa
σ1 = 0.20 MPa σ2 = -37.85MPa
τmax=√( σx−σy2
)²+τ xy ²=
√(−37.65 MPa2 )
2
+(2.73 MPa)²
τmax = 19.02MPa
Mecánica de los sólidos III
Esfuerzos Combinados
Mecánica de los sólidos III
Esfuerzos Combinados
SUPERPOSICIÓN DE ESFUERZOS
Del enunciado del problema anterior, Encontrar los esfuerzos principales y los esfuerzos cortantes máximos en el punto P y Q.
Nota: el perfil lateral del transformador cilíndrico, es como una placa rectangular
Paso 1
Analizando para W1 los puntos P y Q
W 1= 1,481.36N
σ w 1=W 1
A transversaldel tubo
=1481.36 N
1.2441× 10−3 m2=1190.71 Kpa
Para el punto P Para el punto Q
Mecánica de los sólidos III
= + +
Esfuerzos Combinados
Paso 2
Analizando los puntos P y Q para W2
El peso del transformador produce una fuerza de
compresión F1= peso del transformador=1.78KN
y un momento M=2.136KN.m
σ f=FA
=¿ 1.78 KN
1.2441× 10−3 m2 =1430.71Kpa
σ M=
Md2
I=
(2.146 KN .m ) (0.100 m)( 6.0972× 10−6 m2)
=35,032.53Kpa
Para el punto P Para el punto Q
Paso 3
Analizando los puntos P y Q para las presión del viento
La presión del viento produce un momento M=2892.50N.m
Un par torsor T=214.58N.m
Una fuerza cortante V=603.61N
Mecánica de los sólidos III
=
Esfuerzos Combinados
σ M=M
d2
I=
(2.893 KN .m ) (0.100 m )( 6.0972×10−6 m2)
=¿47488.00Kpa
τT=T
d2
I p
=(214.58 N . m ) (0.100 m )
(1.219 ×10−5 m4 )=1760.30Kpa
τV =4v3 A ( v2
2+r 2r1+r12
r22+r1
2 )=970.29 Kpa
Para el punto P Para el punto Q
Sumando los efectos de cada fuerza tenemos:
Para el punto P
σ 1,2= σ x+¿σ y
2¿ ± √(
σ x−σ y
2)
2
+τ xz2
Mecánica de los sólidos III
+ +
Esfuerzos Combinados
σ 1= 44866.6 Kpa
2 + √( 44866.60 Kpa
2)
2
+(1760.30 Kpa).2 σ 1=44.94 Mpa
σ 2= 44866.6 Kpa
2 - √( 44866.60 Kpa
2)
2
+(1760.30 Kpa).2 σ 2=−0.07 Mpa
τ max = √(σ x−σ y
2)
2
+τ xz2
τ max=¿ √( 44866.60 Kpa2 )
2
+(1760.30 Kpa ).2 τ max=22.43 Mpa
Para el punto Q
σ 1,2=σ x+σ y
2±√(
σ x−σ y
2)
2
+τ xz2 =
σ 1,2= −37654.00 Kpa
2 ± √( 37654.00 Kpa
2)
2
+(2730.59 Kpa).2 = -18.83Mpa ± 19.02Mpa
σ 1= 0.2Mpaσ 2=-37.85Mpa
Mecánica de los sólidos III
+ + =
Esfuerzos Combinados
τ max = √(σ x−σ y
2)
2
+τ xz2
τ max = √( 37654.00 Kpa2
)2
+(2730.59 Kpa).2 τ max=19.02 Mpa
Mecánica de los sólidos III
Esfuerzos Combinados
CONCLUSIONES
Como se ha visto los esfuerzos combinados se usan frecuentemente sin darnos cuenta,
como por ejemplo nuestras casa están hechas de vigas, que combinado distintos
materiales, soportan algunos mejor la flexión y otros mejor la compresión.
Estas combinaciones de esfuerzos son útiles en todas las ramas de la ingeniería.
A través de la utilización del método de transformación de esfuerzos en un punto y
superposición, es más efectivo el cálculo de esfuerzos principales en una viga o estructura,
sometida a múltiples cargas; ya que el método de la superposición facilita el cálculo de las
vigas o estructuras estáticamente indeterminadas, y a partir de la transformación de
esfuerzos en un punto se pueden conocer los esfuerzos principales que actúan sobre un
punto especifico de la estructura.
Mediante la aplicación de la teoría y conocimientos prácticos en el análisis de estructuras,
es más comprensible el comportamiento de las mismas bajo cargas soportadas
Con los cálculos ejecutados se obtienen los esfuerzos principales y esfuerzos cortantes en
un punto de una estructura, esto proporciona los elementos necesarios para el diseño de
las mismas, y permite colocar los apoyos en puntos clave, donde el esfuerzo es máximo
para que la estructura se mantenga estable.
Los recipientes cilíndricos o esféricos sirven como calderas o tanques que son de uso
común en la industria. Estos soportan cargas en todas sus direcciones cuando se someten
a presión, pero pueden ser analizados de manera simple siempre y cuando tengan una
pared delgada. Con esta suposición se analizo el esfuerzo en un recipiente de presión
cilíndrico que contenía oxigeno, a fin de encontrar los esfuerzos longitudinal y
circunferenciales que actúan sobre este, a través de las ecuaciones determinadas para su
resolución.
Mecánica de los sólidos III
Esfuerzos Combinados
RECOMENDACIONES
Para recipientes cilíndricos y esféricos, se debe tomar en cuenta la presión a la
que van a ser sometidos, puesto que de esto dependerá la elección del
material y el espesor del mismo, para que resista los esfuerzos longitudinales y
circunferenciales.
Para diseñar una estructura, primero se debe realizar un cálculo profundo, para
saber de manera exacta los puntos donde deben ser colocados los apoyos o
soportes, para que la estructura no esté sometida a esfuerzos de falla; de lo
contrario sufriría una deflexión que podría deformarla permanentemente
(deflexión permanente).
Mecánica de los sólidos III
Esfuerzos Combinados
REFERENCIAS BIBLIOGRAFÍCAS
Beer y Johnston, Mecánica de materiales, 5ta edición
2010. Editorial McGraw-Hill.
Hibbeler, R. C., Mecánica de Materiales, 6ta edición,
México, 2006. Editorial PEARSON EDUCACION.
Robert W. FitzGerald, Mecánica de materiales, México,
1990. Ediciones Alfa omega, S.A de C.V.
James M. Gere, Mecánica de Materiales, 7ma. Edición,
2009. Cengage Learning Editores, S.A de C.V.
Nicholas Willems,
Resistencia de
materiales, 1988.
Editorial McGraw-Hill.
Timoshenko – Gere, Mecánica de materiales, 2da edición
1986. Editorial. Iberoamérica.
GLOSARIO
Mecánica de los sólidos III
Esfuerzos Combinados
Esfuerzos combinados: Superposición de esfuerzos axiales y de flexión en la sección
transversal de un elemento estructural que da como resultado un conjunto de esfuerzos
de tracción y de compresión.
Concentración de esfuerzos: Aumento de los esfuerzos que se desarrollan en las zonas
defectuosas y de discontinuidad de un material.
Esfuerzos de membrana: Esfuerzos de compresión, tracción y laterales que actúan de
forma tangencial a la superficie de una membrana.
Membrana: Superficie flexible que soporta cargas mediante el desarrollo de esfuerzos de
tracción, generalmente fabricada de material asfáltico y resistente a la intemperie.
Tracción. Hace que se separen entre sí las distintas partículas que componen una pieza,
tendiendo a alargarla.
Compresión. Hace que se aproximen las diferentes partículas de un material, tendiendo a
producir acortamientos o aplastamientos
Flexión. Es una combinación de compresión y de tracción. Mientras que las fibras
superiores de la pieza sometida a un esfuerzo de flexión se alargan, las inferiores se
acortan, o viceversa.
Mecánica de los sólidos III
Esfuerzos Combinados
Determinado. Que es preciso, exacto
Indeterminado. Se aplica a la ecuación o problema matemático que tiene
infinitas solución
Inercia. La propiedad de un cuerpo a permanecer en su estado de reposo
hasta que se le aplique una fuerza.
Multiaxial. Lo realizado u obtenido en varios ejes.
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Esfuerzos Combinados
ANEXOS
Anexo 1.1 Datos Proporcionados Por Oxgasa San Miguel
EQUIPOS PARA GASES COMPRIMIDOS
(U.S. Departament of Transportation): es la agencia gubernamental de Estados Unidos que tiene jurisdicción sobre el envasado y transporte de gases comprimidos.
Cilindros de Alta Presión: Los cilindros de alta presión para gases comprimidos son envases de acero de calidad especial, fabricados sin uniones soldadas y tratados térmicamente para optimizar sus propiedades de resistencia y elasticidad.
Todos los cilindros utilizados por INFRASAL son fabricados bajo las normas D.O.T.
(Departament of Transportation), organismo regulador de estos envases en Estados Unidos.
Estos cilindros son llenados a alta presión, comprimiendo el gas en el reducido espacio interior del cilindro. La fuerza ejercida por el gas sobre las paredes del recipiente al tratar de conservar su volumen en condiciones naturales, generan el efecto llamado "presión".
Tipos de Cilindros
Según la calidad del acero, los cilindros pueden ser tipo 3A de acero al manganeso, de pared gruesa, o 3AA, generalmente de acero cromo - molibdeno, de pared delgada. Los cilindros utilizados por INFRASAL en su mayoría son del tipo 3AA , lo que representa una ventaja para los usuarios ya que son más livianos y resistentes para un determinado volumen y presión de servicio.
Los cilindros utilizados pueden ser de distintos tamaños, y por lo tanto de diferentes capacidades. El espesor de pared varía entre 5 y 8 mm., salvo en la base y en el hombro, en que el espesor aumenta para hacer seguro el manejo y permitir el estampado con letras de golpe, de los datos y valores indicados por las normas.
En cuanto a las presiones de llenado, y según las características físicas de cada gas, podemos distinguir dos casos:
(libras por pulgada cuadrada): Unidad de presión
Gases comprimidos de alta presión: Son aquellos que no se licúan, pudiendo emplearse la presión máxima que establece la norma para el cilindro de alta presión empleado. Es el
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Esfuerzos Combinados
caso de Aire, Ar, He, H2, N2 y O2 , entre otros.
Gases comprimidos-licuados de presión intermedia: Son aquellos que se licúan, y que a temperatura ambiente tienen presiones dentro del cilindro del orden de 725 psig a 870 psig, para el caso del CO2 y del N2O respectivamente.
En el caso de los gases comprimidos licuados, el llenado se establece como un porcentaje en peso de la capacidad de agua dentro del cilindro, el que para los gases mencionados es de 68%. Para estos gases se pueden utilizar cilindros de alta presión con menores restricciones que en el caso anterior. INFRASAL utiliza por seguridad cilindros para alta presión inclusive en el caso del CO2 y el N2O.
Cilindros de Acetileno.
Como se ha estudiado, el caso del Acetileno tiene tratamiento especial, por ser un gas altamente inflamable y sensible a la presión, por ello, los cilindros en que se carga Acetileno son diferentes a los que se han mencionado antes.
El cilindro se encuentra relleno con una pasta seca y porosa, en forma de panal, cuyas miles de pequeñas cavidades están rellenas a su vez con acetona líquida.
Al entrar al cilindro el Acetileno se disuelve en la acetona, repartiéndose en las pequeñas cavidades, con lo cual desaparece el riesgo de explosión y de esa forma es posible almacenar una cantidad mayor de gas a presión en el cilindro.
El hombro y/o la base del cilindro están equipados con tapones fusibles de seguridad, que son pernos fabricados con un tipo de aleación especial de plomo que funde a 100 ºC aproximadamente. El contenido de gas se determina pesando el cilindro vacío con acetona solamente y luego con gas.
Identificación de los cilindros
Todos los cilindros deben llevar una serie de signos estampados a golpes en el hombro que identifican dueño, normas de fabricación y control.
(libras por pulgada cuadrada): Unidad de presión
Propiedad de INFRASAL
Datos de Clasificación
- Norma de clasificación (DOT)
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Esfuerzos Combinados
- Tipo de material (3AA)
- Presión de servicio (2400 psi)
Datos de Fabricación
- Número de serie del cilindro
- Identificación del fabricante
- Mes y año de fabricación
- Marca oficial de
inspección reconocida
Marcas posteriores de Pruebas Hidrostática:
Fecha de la última prueba hidrostática y símbolo de la empresa que realizó dicha prueba.
Compuesto que acelera la combustión u otro proceso de oxidación. El contacto de estas sustancias con materiales combustibles puede generar fuego o explosión espontáneamente.
Identificación del gas contenido en un cilindro.
Marcas : Cada cilindro debe ser marcado en forma visible y estable, evitando el estampado en el cuerpo del cilindro. Las marcas deben ser fijadas en el hombro e incluyen el nombre del gas en idioma español, su fórmula química, el nombre usual del producto en caso de mezclas y la identificación del fabricante del gas. INFRASAL cumple con esta norma pegando en la zona indicada una etiqueta autoadhesiva donde se indica además su clasificación (oxidaste, inflamable, no inflamable, tóxico, no tóxico, etc.), la cantidad de gas , la fecha de llenado y las recomendaciones básicas de seguridad
Colores: INFRASAL tiene su propia clasificación de colores para facilitar la identificación del gas dentro de los cilindros.
Válvulas:
Cada cilindro tiene una válvula especial y distinta dependiendo del gas que contenga, determinada por la CGA, que permite llenarlo, transportarlo sin pérdidas y vaciar su contenido en forma segura.
Mecánica de los sólidos III
Esfuerzos Combinados
Mecánica de los sólidos III
Esfuerzos Combinados
Anexo 1.2 Tabla de dimensiones y especificaciones Técnicas de Postes de energía
Mecánica de los sólidos III
Esfuerzos Combinados
Anexo 1.3 Especificaciones de transformadores monofásicos
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DESCRIPCION DE MATERIALES UTILIZADOS EN DISTRIBUCIÓN ELECTRICA
CODIGO DESCRIPCION UNIDAD CANT. PESO TOTAL OBSERVACIONES
480101413 CONECTOR COMPRESION YP26AU2 BURNDY C/U 1 1-onza
482001520 GRAPA P/ LINEA VIVA P/ 1/0 CHANCE S1520 C/U 1 7-onzas
720101300 CONDUCTOR ELECTRICO ACSR # 2 MTS 30 8,96 lbs 30 MTS. PESAN 8.96 LIBRAS
420101350 PREFORMADA PLP ACSR # 2 DG-4542 C/U 1 5-onza
461300201 CLEVIS REMATE 5/8 BETHEA SA-201 C/U 1 12-onza
401500600 AISLADOR GAMMA CAMPANA CLEVIS 6" 13KVA ANSI 52-1 C/U 2 10-1/2 lbs
440462000 PERNO ARGOLLA 5/8x10" IRL R-9410 C/U 1 1.47 lbs
441000034 ARANDELA PLANA REDONDA DE 5/8 IRL R-1088 C/U 6 8-onzas
441400063 ARANDELA DE PRESION 5/8" IRL R-6833 C/U 6 2-onzas
300600013 PARARRAYO DE 9/10 KV. USA AZS101M010R C/U 1 8-libras
300100040 CORTACIRCUITO NCX 7.8/15KV USA C/U 1 16-lbs
310100005 FUSIBLE A.T. 5 AMP. TIPO K C/U 1 2-onzas
460900000 EXTENSION PARA CORTO CIRCUITO STANDAR C/U 1 4-libras
460510700 ABRAZADERA GALV.S/PERNO 5/7 C/U 3 3-1/2 LBS
440320750 PERNO CARRUAJE 1/2x6" T/CUADRADA IRL R-8646 C/U 6 2.63lbs
460610023 ALMOHADILLA P/CRUCERO TIPO C C/U 2 3-lbs
440400202 PERNO MAQUINA 5/8 X 2" T/CUADRADO IRL R-8802 C/U 2 12-onza
1200104000 CEPO PARA CARCAZA DE TRANSFOR. USA C/U 1 2-onzas
703000004 SOLIDO DESNUDO COBRE # 4 MTS 28 11-1/2 lbs 28 MTS. PESAN 11-1/2 LIBRAS
600110050 TUBERIA CONDUIT ALUM. 1/2" C/U 1 2-1/2 lbs
461800075 MTS. CINTA BANDIT DE 3/4 MTS 6 1.48lbs 6 MTS. PESAN 1.48 LIBRAS
461860075 C/U. HEBILLA PARA CINTA BANDIT 3/4" C/U 6 4-onzas
461700010 BARRA COPPERWELD 5/8 X 10` C/U 4 28-lbs
461760075 C/U. CEPO DE COBRE PARA BARRA 5/8" C/U 4 8-onzas
460430010 CLEVI PARA AISLADOR CARRETE AD CLI-0342 C/U 3 5-lbs
Mecánica de los sólidos III
Anexo 1.4 Tabla de especificaciones de materiales utilizados en postes de distribución eléctrica (errajes).
Esfuerzos Combinados
401400100 AISLADOR CARRETE GRANDE ANSI 53-2 C/U 3 3-1/2 LBS
440401000 PERNO MAQUINA 5/8 X 10`` IRL R-8810 C/U 5 4-1/2 lbs
1200101200 CEPO DE COBRE #4 PF-25 (UL) C/U 3 6-onzas
700171500 CONDUCTOR ELECTRICO THHN #2/0 MTS 8 11.68 lbs 8 MTS. PESAN 11.68 LIBRAS
480101400 CONECTOR COMPRESION YP25U25 BURNDY C/U 3 9-onzas
401500800 AISLADOR GAMMA ESPIGA 13KV ANSI 55-4 C/U 1 4-libras
460830013 ESPIGA CABEZOTE DE 13 KV (COLA DE PATO) C/U 1 4 LIBRAS
460160238 CRUCERO GALV DE 3 x 3 x 1/4 x 94" (2.38 MTS) C/U 1 38-1/2 lbs
460250094 TIRANTE GALV EN V DE 45" P/CRUCERO DE 94" (2.38MT) C/U 1 8-lbs
460610012 ALMOHADILLA P/CRUCERO NORMADO TIPO S C/U 1 1.5 lbs
440401150 PERNO MAQUINA 1/2 X 1 1/2" IRL R-8701-1/2 C/U 2 6-onzas
460720020 BARRA ANCLA DE EXPANSION D/OJO NORMADA IRL 5346-1 C/U 1 6-1/2 lbs
460730060 ANCLA EXPANSIVA DE 70 GALVANIZADA(REPOLLO) C/U 1 5-libras
462000032 MTS. CABLE DE ACERO 5/16" MTS 22 14.55 lbs 22 MTS. PESAN 14.55 LIBRAS
420400035 PREFORMADA PLP PARA RETENIDA 5/16 GDE-1106 C/U 4 3-lbs
461000060 ARGOLLA DE OJO (PATA DE MULA) AD ELTA-01 C/U 2 3-lbs
Mecánica de los sólidos III
Esfuerzos Combinados
Anexo 1.5
Mecánica de los sólidos III
Esfuerzos Combinados
Anexo 1.6 TECNELEC
Ubicado en Av. Roosevelt Sur, Final 3a. Av. Sur N°. 504. San Miguel.
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Esfuerzos Combinados
Anexo 1.7 Recopilación de datos (TECNELEC)
Mecánica de los sólidos III