calculo y anÁlisis de la viabilidad economica - final

D

uv

an C

ruz,

Ped

ro D

íaz,

An

gelo

Día

z

20

12

CÁ

LC

UL

O Y

AN

ÁL

ISIS

DE

LA

V

IAB

ILID

AD

EC

ON

ÓM

ICA

FORMULACIÓN Y

EVALUACIÓN DE PROYECTOS

1

Contenido Introducción ...................................................................................................................................... 2

1 Conceptos básicos de matemáticas financieras ........................................................................ 2

1.1 Equivalencias entre un valor actual y un valor futuro ........................................................ 3

1.2 Equivalencias entre un valor actual o futuro y una serie de pagos uniformes............... 5

1.3 Valor de la anualidad en función del valor presente ......................................................... 7

2 Criterios de evaluación.................................................................................................................. 9

2.1 Valor Actual Neto ................................................................................................................... 9

2.2 Tasa Interna de Retorno (TIR) ............................................................................................. 11

2.2.1 Cálculo de la TIR ................................................................................................................ 12

2.2.1.1 Método analítico ......................................................................................................... 12

2.2.1.2 Método gráfico ........................................................................................................... 14

2.2.2 Defectos de la TIR .............................................................................................................. 15

2.2.2.1 Primer defecto ............................................................................................................. 15

2.2.2.2 Segundo defecto. TIR múltiples. ............................................................................... 17

2.2.2.3 Tercer defecto. Proyectos mutuamente excluyentes. ............................................ 18

2.2.3. Tasa verdadera de rentabilidad (TIR modificada) ......................................................... 20

2.3 Periodo de recuperación de la inversión (PRI)................................................................. 21

2.4. Relación beneficio costo ..................................................................................................... 22

2.4.1 Criterios para aceptar o rechazar un proyecto usando RBC .................................... 23

3.1 Valor económico agregado ..................................................................................................... 23

3.1 Evaluación de proyectos en nivel de perfil. ........................................................................... 26

3.4 Valuación de opciones aplicada a la evaluación de proyectos. ......................................... 29

Preguntas y problemas .................................................................................................................. 32

2

Introducción

La medición de la rentabilidad económica de un proyecto no es fácil por las

enormes dificultades que existen para pronosticar el comportamiento de todas las

variables que condicionan su resultado. Por ello, lo común es explicar que lo que se

evalúa es uno, quizás el más probable, de los escenarios que podría enfrentar un

proyecto. El cálculo de la rentabilidad de cada uno de los escenarios es una de las

tareas más simples, fáciles y certeras del trabajo del evaluador. La determinación de

la rentabilidad propiamente tal es un proceso mecánico que conduce siempre a un

solo resultado. Por esto en este capítulo, más que exponer el desarrollo de las

fórmulas para calcular los criterios de evaluación, se profundiza el tema en la

interpretación de los resultados, los efectos de las distintas formas de Financiación,

las alternativas analíticas y la sensibilización de los resultados.

1 Conceptos básicos de matemáticas financieras

La rentabilidad de un proyecto se puede medir de muchas formas distintas: en

unidades monetarias, en porcentaje o en el tiempo que demora la recuperación de

la inversión, entre otras.

Todas ellas se basan en el concepto del valor tiempo del dinero, que considera que

siempre existe un costo asociado a los recursos que se utilizan en el proyecto, ya

sea de oportunidad, si existen otras posibilidades de uso del dinero, o financiero, si

se debe recurrir a un préstamo.

En otras palabras, $1 de hoy vale más que $1 a futuro, por cuanto el peso recibido

hoy puede invertirse inmediatamente para obteneruna ganancia que el peso

recibido a futuro no logra obtener.

Por ejemplo, $1000 invertidos hoy al 10% anual, permiten tener una ganancia de

$100 a recibir en un año más. Es decir. $1000 hoy equivalen a $1100 de un año más

o, lo que es igual, $1100 de unaño más equivalen a $1000 de hoy. Si los $1100 se

dejan invertidos por un segundo año, se obtiene una ganancia de $110,

3

correspondientes a 10% del capital invertido. Es decir, $1000 de hoy equivalen a

$1210 de dos años más.

1.1 Equivalencias entre un valor actual y un valor futuro

Valor Futuro a Interés Compuesto:

Consiste en calcular el valor equivalente de una cantidad actual (VA), después de

estar acumulando intereses por n períodos, a una tasa de interés i. La

representación gráfica sería:

El valor final o valor futuro (VF) de un valor actual (VA) se calcula

(1)

Donde i es la tasa de rentabilidad exigida y n el número de periodos.

Ejemplo:

Una empresa desea hacer uso de la línea de sobregiro automático que le ofrece su

banco para financiar 10.000 que requiere para invertir en capital de trabajo de un

nuevo proyecto, hasta que este genere los excedentes suficientes para que se

autofinancie. Si la tasa de interés real es del 10% anual y las proyecciones de caja

estiman que se cubrirá el sobregiro al finalizar el cuarto año de operación del

proyecto, el monto adeudado en ese momento se determina por:

Esto se demuestra fácilmente en la tabla

1 2 3 4

Saldo Inicial $ 10,000.00 $ 11,000.00 $ 12,100.00 $ 13,310.00

Interés $ 1,000.00 $ 1,100.00 $ 1,210.00 $ 1,331.00

0 1 2 3 n-1 n

VF

VA

4

Saldo Final $ 11,000.00 $ 12,100.00 $ 13,310.00 $ 14,641.00

Ejemplo: El señor Perez entra a trabajar a una empresa ganando $200000 al mes y

espera recibir un aumento anual promedio del 20%. ¿Cuánto quedará ganando

después de 5 años?

Valor presente de un valor Futuro

Si se busca calcular el valor actual de un valor futuro, se despeja el elemento VA de

la ecuación 1,de esta forma, el valor actual de un valor futuro se obtiene de:

(2)

Ejemplo:

Para determinar cuanto se debe depositar hoy para lograr acumular 18.000 al final

de 4 años si un banco ofrece una tasa de interés a los depósitos de un 10% anual,

se reemplaza la ecuación con estos valores y se obtiene:

Igual que en el ejemplo anterior esto se demuestra haciendo el análisis para cada

año como se muestra en la siguiente tabla:

1 2 3 4

Saldo Inicial $ 12,294 $ 13,523 $ 14,876 $ 16,363

1 2 3 n-1 n

VF

VA

5

Interés $ 1,229 $ 1,352 $ 1,488 $ 1,636

Saldo Final $ 13,523 $ 14,876 $ 16,363 $ 18,000

Ejemplo:

El señor Pedro necesita disponer de $300000 dentro de 6 meses para el pago de la

matrícula de su hijo. Si una corporación le ofrece el 3,5% mensual, ¿Cuánto deberá

depositar hoy para lograr su objetivo?

1.2 Equivalencias entre un valor actual o futuro y una serie de pagos

uniformes

Anualidad

Una anualidad, o pago uniforme, es un conjunto de flujos iguales en intervalos

iguales de tiempo. El término anualidad parece significar que los flujos se calculan

anualmente, esto no necesariamente es así, los períodos de tiempo pueden ser

también quinquenales, trimestrales, mensuales, quincenales, diarios, etc.

Valor presente de una serie de pagos uniformes

Cuando todos los flujos son iguales, el valor actual se puede calcular

alternativamente por medio de la siguiente expresión:

Donde F es el valor del flujo neto de caja, uniforme anualmente, y se denomina

anualidad.

El valor actualizado del flujo queda expresado en un período antes del inicio de la

serie uniforme. Es decir, si se actualizan los flujos iguales desde el momento 1 al

momento n, el resultado quedará expresado en moneda del momento cero.

Ejemplo

6

Si se busca calcular el valor actual de cinco pagos futuros iguales de $100 cada uno

a una tasa de del 10%, se obtiene un equivalente actual de:

Es decir, cinco pagos futuros anuales de $100 equivalen a un valor actual de

$379,08 o, lo que es lo mismo, un monto actual de $379,08 equivale a cinco

anualidades iguales de $100. Si se invierten hoy los $379,08 a la misma tasa i, al

final del primer año habrá subido la inversión a $416,99. Si se retiran $100 cada año

y se invierte el saldo al 10% anual, se podrán retirar exactamente cinco cuotas

iguales de $100.

El cálculo del valor actual de varios pagos que suceden en varios periodos distintos

es similar a sumar los valores actuales individuales, calculados mediante la ecuación

2, para obtener el valor actual de todo el flujo.

Ejemplo:

Se compró un vehículo con una cuota inicial de $1000000 y 36 cuotas mensuales

iguales de $200000 La agencia cobra el 2,5% mensual sobre saldos. Calcular el

valor del vehículo.

A este valor se le debe sumar el valor de la cuota inicial:

Ejemplo:

Si un proyecto genera cinco flujos de $2000, $2600, $3200, $3200 y $3200, el valor

actual del flujo indicaría, a una tasa de actualización del 10%, un resultado de:

N Flujo Factor VA

7

1 2000 1/(1+0,1)^1 1818

2 2600 1/(1+0,1)^2 2149

3 3200 1/(1+0,1)^3 2404

4 3200 1/(1+0,1)^4 2186

5 3200 1/(1+0,1)^5 1987

Total 10544

Esto se obtiene de actualizar el valor de cada flujo anual, como se muestra en la

tabla.

1.3 Valor de la anualidad en función del valor presente

Para calcular el valor de una anualidad que sea equivalente a un valor actual (como

inversión, por ejemplo), se despeja el término F de la ecuación anterior para

obtener:

Ejemplo:

Un lote de terreno que cuesta $20000000 se propone comprar con una cuota

inicial del 10% y 36 cuotas mensuales con una tasa de interés del 2% mensual.

Calcular el valor de las cuotas.

Entonces el valor de las cuotas se calculará así:

Ejemplo:

Se tiene un lote de $5000000 para pagarlo en 18 cuotas mensuales, con una tasa

de interés del 3%. Calcular el valor de las cuotas.

8

En algunos casos se requerirá determinar el costo anual equivalente para comparar

opciones de inversión, tal como se aplica, por ejemplo, a la optimización de

proyectos. En estas situaciones pueden existir vidas útiles distintas y flujos de caja

no uniformes. Esto se puede solucionar fácilmente si los flujos discontinuos se

traen primero a valor presente y luego se calcula la correspondiente anualidad.

Valor futuro de una anualidad

Cuando se busca el valor final de una serie de pagos iguales se recurre a la

siguiente expresión:

∑

Que es equivalente a la siguiente:

Ejemplo:

Si en cada uno de los siguientes cuatro años se depositara 1.000 a una tasa de

interés del 10%, ¿qué valor se tendrá al final del periodo?

O

En la siguiente tabla se demuestra y explica cómo se obtiene el valor final al ir

acumulando intereses sobre saldos crecientes por los mismos intereses de los

periodos pasados y los propios depósitos:

Hoy 1 2 3

Saldo Inicial $ 1,000 $ 2,100 $ 3,310

Interés $ 100 $ 210 $ 331

Saldo Capitalizado $ 1,100 $ 2,310 $ 3,641

Depósito $ 1,000 $ 1,000 $ 1,000 $ 1,000

9

Saldo Final $ 1,000 $ 2,100 $ 3,310 $ 4,641

Ejemplo:

Si se deposita $12000 cada fin de mes, durante un año, en una entidad financiera

que paga una tasa del 3% mensual. ¿Cuánto dinero se tendrá acumulado al final de

este tiempo?

2 Criterios de evaluación

La evaluación del proyecto compara, mediante distintos instrumentos, si el flujo de

caja proyectado permite al inversionista obtener la rentabilidad deseada, además

de recuperar la inversión. Los métodos más comunes corresponden al valor actual

neto (VAN), la tasa interna de retorno (TIR), el período de recuperación y la relación

beneficio-costo.

2.1 Valor Actual Neto

Es el método más conocido, mejor y más generalmente aceptado por los

evaluadores de proyectos. El valor presente neto es una cifra monetaria que resulta

de comparar el valor presente de los ingresos con el valor presente de los egresos.

Mide la rentabilidad después de recuperar toda la inversión. Para ello, calcula el

valor actual de todos los flujos futuros de caja, proyectados a partir del primer

período de operación, y le resta la inversión total expresada en el momento cero.

Esta comparación en el momento cero se realiza solo por convencionalismo, pero

es perfectamente válido realizarla en cualquier otra fecha.

Si el resultado es mayor que cero, mostrará cuanto se gana con el proyecto,

después de recuperar la inversión, por sobre la tasa i que se exigía de retorno al

10

proyecto; si el resultado es igual a cero, indica que el proyecto reporta exactamente

la tasa i que se quería obtener después de recuperar el capital invertido; y si el

resultado es negativo, muestra el monto que falta para ganar la tasa que se

deseaba obtener después de recuperada la inversión.

Ejemplo:

Suponga que para generar el flujo de caja expuesto en el ejemplo anterior, se debe

realizar una inversión de $10000.

Saldo Inversión Flujo Anual Rentabilidad Exigida Devolución Inversión

10000 2000 1000 1000

9000 2600 900 1700

7300 3200 730 2470

4830 3200 483 2717

2113 3200 211 2113

Saldo después de recuperar la inversión 876

Pero estos 876 de saldo después de recuperar la inversión están calculados al final

del momento cinco, y el VAN debe estar calculado en momento cero, por lo que

debemos devolver este dinero en el tiempo:

O lo que es igual a realizar la conversión de cada uno de los flujos a valor actual

(momento cero) y restarle el monto total de la inversión:

Para este ejemplo el valor actual de todos los flujos es 10544 (del ejemplo anterior)

Entonces,

Al restar al total de los valores actuales ya calculados en la inversión inicial, se

obtiene un VAN de $544, que se interpreta como el exceso de valor obtenido por

sobre lo exigido al capital invertido.

Ejemplo:

11

A dos inversionistas, en forma independiente, se les plantea la posibilidad de

emprender un proyecto de inversión, que requiere de una inversión inicial de

$1000 y que arrojaría los siguientes flujos de efectivo al final de cada año:

AÑO FLUJO DE EFECTIVO

1 350

2 380

3 400

4 500

La tasa de oportunidad del inversionista A es del 20% anual. En tanto la tasa de

oportunidad del inversionista B es del 30% anual. ¿Qué decisión debe tomar cada

inversionista?

Inversionista A

Inversionista B

El inversionista A debe aceptar el proyecto, mientras que el inversionista B debe

rechazarlo.

2.2 Tasa Interna de Retorno (TIR)

Es una herramienta para saber si un proyecto es rentable o no y lo que hace es

encontrar una tasa de interés que convierta al VPN en cero, iguala el valor presente

de los flujos descontados con la inversión.

Una interpretación importante de la TIR es que ella es la máxima tasa de interés a

la que un inversionista estaría dispuesto a pedir prestado dinero para financiar la

totalidad del proyecto, pagando con los beneficios (flujos netos de efectivo) la

totalidad del capital y de sus intereses, y sin perder un solo centavo.

12

La ecuación para su cálculo sería:

2.2.1 Cálculo de la TIR

2.2.1.1 Método analítico

Ejemplo:

Se invierten $200000 y después de un año se reciben $220000. Calcular la TIR.

$220000

0 1 año

$200000

Haciendo el VAN=0

Para hacer este procedimiento en Excel se utiliza la función TIR en la cual se

ingresan las celdas y no los valores.

=TIR (rango;estimar)

inversión año 1 TIR

-200000 220000 10,00%

Ejemplo:

13

El señor Perez invierte $ 200000 y recibe al final del primer año $ 110000 y al final

del segundo año $ 110000. Calcular la TIR

$110000 $110000

0 1 2 años

$200000

Se utiliza la formula cuadrática:

√

√

Ejemplo:

El señor Pedro Picapiedra compró a ORBE LTDA. Un lote de terreno por valor de

$20’000.000 y se comprometió a pagarlo de la siguiente forma: una cuota inicial de

$ 5’000.000, un pago de 3’500.000 dentro de 4 meses. Un pago de $ 5’500.000

dentro de 6 meses y un pago de $ 10’000.000 dentro de 12 meses. Calcular la tasa

de interés que le cobraron en la operación.

0 4 6 12 meses

$5000000 $3500000 $5500000 $10000000

14

Para calcular la tasa se emplea el sistema ensayo y error, que consiste en darle

valores a i hasta encontrar las dos tasas de interés mas cercanas, una que haga la

función negativa y otra que haga la función positiva: al azar se toma una tasa del

3% mensual:

Para una tasa del 3% el resultado es negativo entonces se toma una tasa mayor

que al azar seria de 2.5% mensual:

Se interpola linealmente para saber el resultado aproximado:

invers

ión

me

s 1

me

s 2

me

s 3

mes

4

me

s 5

mes

6

me

s 7

me

s 8

me

s 9

mes

10

mes

11

mes

12 TIR

-

15000

000 0 0 0

3500

000 0

5500

000 0 0 0 0 0

10000

000

2,7

8%

2.2.1.2 Método gráfico

Cuando se tiene la ecuación del VAN se le asignan diferentes valores de tasa con el

fin de obtener diferentes valores de VPN a esta grafica se le denomina “perfil del

VPN”.

15

La grafica corta con el eje x en 21.39 que es la TIR

Criterios para aceptar o rechazar una TIR

Cuando la TIR es mayor que la tasa de oportunidad, el proyecto se debe

aceptar. El inversionista obtiene un rendimiento mayor del exigido; el

inversionista gana más de lo que quería ganar.

Cuando la TIR es igual a la tasa de oportunidad, es indiferente emprender o

no el proyecto de inversión.

Cuando la TIR es menor que la tasa de oportunidad, el proyecto se debe

rechazar. El inversionista gana menos de lo que quería ganar.

2.2.2 Defectos de la TIR

2.2.2.1 Primer defecto

Si dos proyectos son independientes, entonces los criterios del VPN y la TIR

siempre conducirán a la misma decisión. Esto es valido siempre que el VPN sea una

función uniformemente decreciente de la tasa de descuento, esto quiere decir que

a medida que la tasa de descuento aumente, el valor del VPN disminuye.

y = -1E+07x6 + 1E+07x5 - 4E+06x4 + 741798x3 - 47749x2 - 2852,7x + 629,82

R² = 0,9998

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

500

600

700

0 0,1 0,2 0,3 0,4

perfil del VAN

perfil del VAN

Polinómica (perfil del VAN)

16

Casos

1- cuando el VPN aumenta en la medida en que aumenta la tasa de descuento

proyecto 0 1 2 3 TIR VPN

A 1000 -3600 4320 -1728 20,00% -0,75 €

Tasas

(%) 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45

VPN

-8,00

€

-2,92

€

-0,75

€

-0,08

€

0,00

€

0,06

€

0,46

€

1,37

€

2,92

€

5,13

€

Ya que es un proyecto no convencional la TIR es inconsistente como criterio para

aceptar o rechazar el proyecto ya que no se cumple el requerimiento de la función

(comportamiento de la función).

2- No existe TIR

tasas (%) 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,7 0,8

VPN 500,00 410,43 338,84 281,66 236,11 200,00 171,60 149,52 132,65 120,10 100,35 104,94

-10,00 €

-8,00 €

-6,00 €

-4,00 €

-2,00 €

0,00 €

2,00 €

4,00 €

6,00 €

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

perfil del VPN

perfil del VPN

17

Como se puede observar no ahí TIR ya que no se puede igualar la función de VAN

a cero debido al comportamiento de la misma.

2.2.2.2 Segundo defecto. TIR múltiples.

La TIR como un polinomio de grado n, que por conocimiento previo se sabe que

este tiene múltiples soluciones o raíces además de cambios de se signos lo que

provoca diferentes TIR.

proyecto 0 1 2 TIR1 TIR2 VPN(10%)

A -1600 10000 -10000 25,00% 400,00% -773,55 €

Tasas

(%) 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

VPN

-

1.600,0

0 €

622,2

2 €

900,0

0 €

800,0

0 €

622,2

2 €

440,8

2 €

275,0

0 €

128,4

0 €

0,0

0 €

-

112,4

0 €

-

211,1

1 €

0,00 €

100,00 €

200,00 €

300,00 €

400,00 €

500,00 €

600,00 €

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

perfil del VPN

perfil del VPN

18

Como se puede observar el comportamiento de esta función hace que se tenga

dos TIR positivas, pero lo mas relevante es que el VPN da saldos negativos,

entonces no sirve el criterio TIR para evaluar este tipo de proyectos, para esto el

VPN se debe utilizar como herramienta de decisión.

2.2.2.3 Tercer defecto. Proyectos mutuamente excluyentes.

Ahora se analiza la TIR para dos proyectos que sean mutuamente excluyentes. Es

decir, se puede escoger a, o escoger B, o se puede rechazar ambos, pero no se

puede aceptar los dos proyectos al mismo tiempo.

proyecto 0 1 2 3 4 TIR VPN (6%)

A -1000 500 400 300 100 14,49% 158,79 €

B -1000 100 300 400 600 11,79% 172,44 €

tasas

% 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4

VPN

A

300,00

€

180,42

€

78,82

€

-8,33

€

-83,72

€

-149,44

€

-207,14

€

-258,11

€

-303,42

€

VPN

B

400,00

€

206,50

€

49,18

€

-80,14

€

-187,50

€

-277,44

€

-353,42

€

-418,10

€

-473,55

€

-2.000,00 €

-1.500,00 €

-1.000,00 €

-500,00 €

0,00 €

500,00 €

1.000,00 €

1.500,00 €

0 1 2 3 4 5 6

perfil del VPN

perfil del VPN

19

proyecto 0 1 2 3 4 TIR VPN

(6%)

A -1000 500 400 300 100 14,49% 158,79 €

B -1000 100 300 400 600 11,79% 172,44 €

diferencia 0 400 100 -100 -500 7,17%

Si se utilizara TIR como criterio de selección se escogería el proyecto A por tener

mayor TIR. Para tasas de descuento entre Q% y 7.17%, por ejemplo el 6%, se

presenta un conflicto porque si se aplica el criterio del VPN el proyecto B es mejor

que el proyecto A al tener mayor VPN, pero según la TIR el proyecto A es mejor

que el B. para tasas de descuento mayores a las tasas de corte 7.17% los dos

métodos conducen a la misma decisión de aceptar el proyecto A.

Demostración de cómo se capitaliza paso a paso

mes cuota interes amortización saldo

0

1000

1 350 200 150 850

2 380 170 210 640

3 400 128 272 368

4 500 73,6 426,4 -58,4

-600,00 €

-500,00 €

-400,00 €

-300,00 €

-200,00 €

-100,00 €

0,00 €

100,00 €

200,00 €

300,00 €

400,00 €

500,00 €

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5VP

N

tasas

perfil del VPN

proyecto A

proyecto b

20

2.2.3. Tasa verdadera de rentabilidad (TIR modificada)

El proceso matemático de cálculo de la TIR supone que los flujos que libera el

proyecto son reinvertidos a la misma TIR, y esta suposición es irreal cuando la TIR

es mayor o menor a la tasa de oportunidad del inversionista.

Ejemplo: PedroPérez invierte hoy $12’000.000 en un negocio de repuestos y

después de 2 años recibe 15’600.000

$15600000

0 2 años

$12000000

En este caso la tasa del 14.02 % corresponde a la TIR del proyecto y al mismo

tiempo es la rentabilidad que obtiene el señor Pedro Pérez debido a que no existe

la posibilidad de la reinversión de flujos de caja durante la vida del proyecto.

Ejemplo: unos alumnos universitarios aportan $20’000.000 para instalar al frente de

su universidad un negocio de computadores. AL realizar su estudio económico,

esperan recibir beneficios netos cada año de $ 6’000.000 durante 5 años. El monto

de los beneficios anuales los pueden reinvertir a una tasa del 10 % anual, calcular:

a. TIR del proyecto.

b. La verdadera tasa de rendimiento de los alumnos.

$6000000

0 2 años

$20000000

proyecto 0 1 2 3 4 5 TIR

A -

20000000 6000000 6000000 6000000 6000000 6000000 15,24%

21

mes cuota interés amortización saldo

0,00

20.000.000,00

1,00 6.000.000,00 3.047.647,42 2.952.352,58 17.047.647,42

2,00 6.000.000,00 2.597.760,94 3.402.239,06 13.645.408,36

3,00 6.000.000,00 2.079.319,68 3.920.680,32 9.724.728,04

4,00 6.000.000,00 1.481.877,12 4.518.122,88 5.206.605,16

5,00 6.000.000,00 793.394,84 5.206.605,16 0,00

Pero el ejercicio supone que los alumnos pueden reinvertir los fondos que libera el

proyecto a una tasa anual 10 %.

En Excel se halla con la siguiente función:

=TIRM (rango; tasa de financiación; tasa de rentabilidad)

proyect

o 0 1 2 3 4 5 TIR TIRM

A -

20000000

600000

0

600000

0

600000

0

600000

0

600000

0

15,24

%

12,87

%

2.3 Periodo de recuperación de la inversión (PRI)

Este es otro criterio utilizado para la evaluación de un proyecto y lo que define es

el numero de periodos en que el proyecto se demora en recuperar la inversión.

Ejemplo:

Suponga que en un proyecto al que se le exige retorno del 10% anual, requiere de

una inversión de $2.000 y presenta flujos anuales de $200, $400, $800, y $800.

mes cuota interés Amortización saldo

0,00

2.000,00

1,00 200,00 200,00 0,00 2.000,00

2,00 400,00 200,00 200,00 1.800,00

3,00 600,00 180,00 420,00 1.380,00

4,00 800,00 138,00 662,00 718,00

5,00 800,00 71,80 728,20 -10,20

22

Ejemplo:

Se tiene un proyecto donde la tasa de retorno es de 5% mensual, se requiere una

inversión de $10’000.000 y presente flujos constantes de $800.000.

mes cuota interés Amortización saldo

0,00

10.000.000,00

1,00 800.000,00 500.000,00 300.000,00 9.700.000,00

2,00 800.000,00 485.000,00 315.000,00 9.385.000,00

3,00 800.000,00 469.250,00 330.750,00 9.054.250,00

4,00 800.000,00 452.712,50 347.287,50 8.706.962,50

5,00 800.000,00 435.348,13 364.651,88 8.342.310,63

6,00 800.000,00 417.115,53 382.884,47 7.959.426,16

7,00 800.000,00 397.971,31 402.028,69 7.557.397,46

8,00 800.000,00 377.869,87 422.130,13 7.135.267,34

9,00 800.000,00 356.763,37 443.236,63 6.692.030,70

10,00 800.000,00 334.601,54 465.398,46 6.226.632,24

11,00 800.000,00 311.331,61 488.668,39 5.737.963,85

12,00 800.000,00 286.898,19 513.101,81 5.224.862,04

13,00 800.000,00 261.243,10 538.756,90 4.686.105,15

14,00 800.000,00 234.305,26 565.694,74 4.120.410,40

15,00 800.000,00 206.020,52 593.979,48 3.526.430,92

16,00 800.000,00 176.321,55 623.678,45 2.902.752,47

17,00 800.000,00 145.137,62 654.862,38 2.247.890,09

18,00 800.000,00 112.394,50 687.605,50 1.560.284,60

19,00 800.000,00 78.014,23 721.985,77 838.298,83

20,00 800.000,00 41.914,94 758.085,06 80.213,77

21,00 800.000,00 4.010,69 795.989,31 -715.775,54

El proyecto tiene que durar por lo menos 21 meses para recuperar la inversión con

la tasa de rentabilidad esperada.

2.4. Relación beneficio costo

La relación o razón beneficio costo, también llamada índice de productividad, es la

razón presente de los flujos netos a la inversión inicial. Este índice se usa como

medio de clasificación de proyectos en orden descendente de productividad.

23

Formula

∑

2.4.1 Criterios para aceptar o rechazar un proyecto usando RBC

Si la relación es mayor que 1 aceptar el proyecto.

Si la relación es igual a 1 es indiferente si se acepta o no el proyecto.

Si la relación es menor que 1 se rechaza el proyecto.

Ejemplo: se tiene un proyecto con un 10% de tasa de descuento, se necesita una

inversión inicial de $5’000.000 y se obtienen ingresos de $1’000.000, $3’000.000,

$5’000.000, y $8’000.000. Determine la relación beneficio costo.

Se acepta el proyecto debido a que su razón es mayor que 1.

3.1 Valor económico agregado

El Valor Económico Agregado (VEA) es una herramienta que permite calcular y

evaluar la riqueza generada por una empresa u objeto de inversión, teniendo en

cuenta el nivel de riesgo con el que opera y pretende mostrar todos los factores

asociados a la actividad económica objeto del inversión.

En palabras simples, el VEA es el saldo que queda después de haber atendido

todos los gastos y satisfecho una rentabilidad mínima esperada por parte de los

accionistas. Es decir, se crea valor en una empresa cuando la rentabilidad generada

supera los costos de oportunidad de los accionistas1.

La siguiente fórmula expresa la forma como calcula el VEA2:

1Amat, Oriol, EVA: valor económico agregado, editorial Norma 2002, pág. 37.

22 Autor: Nassir Sapag Chain, Proyectos de inversión: formulación y evaluación, Editorial Pearson Educación

de México, 2007, pág 237.

24

Donde:

p: Precio unitario.

q: Cantidad estimada que será producida y vendida en un año.

cv: Costo variable unitario.

CF: Costo fijo anual.

D:Monto de depreciación anual de activos (adquiridos con la inversión).

t:Tasa de impuestos a las utilidades.

i: Tasa deseada de retorno sobre inversión.

I: Inversión asociada a la implementación.

VDn:Valor de desecho.

n:n periodos.

(∑ ∑ ) ∑ 3

Donde:

VM: Valor de los activos usados en el mercado (estimado).

VL: Valor en libros de los activos.

La evaluación de una inversión se hace en periodos de tiempo X, donde es

necesario conocer el valor que tendrá el objeto de inversión (negocio del proyecto)

en ese momento X, este valor recibe el nombre de Valor de Desecho.

3 Cahrles T. Horngren, Contabilidad financiera, Pearson, 2003, pág 286.

25

Ejemplo:

La investigación del mercado definió ventas anuales posibles de 430.000 unidades

a un precio unitario de $260 cada uno. El estudio de costos calculó que para ese

nivel de operación podrían esperarse los siguientes costos variables:

• Material directo $60

• Mano de obra directa $40

• Gastos de fabricación $20

Los costos fijos anuales de fabricación, administración y ventas, alcanzan a

$22.000.000. Se incluye el alquiler de edificios, bodegas y oficinas, ya que la única

inversión prevista es la de los equipos de producción. Además, contablemente se

deben considerar $8.000.000 de depreciación. La inversión en equipos alcanza a

$80.000.000, a los que se exige una rentabilidad del 12% anual.

Los equipos tienen una vida útil de 10 años, al cabo de los cuales tendrán un valor

de desecho estimado en $25.000.000. Para fines contables se deprecian total y

linealmente en diez años. Los impuestos ascienden al 15% de las utilidades.

Precio 260 p

Costo variable 60+40+20=120 cv

Costo Fijo 22.000.000 cf

Volumen de operación 430.000 q

Depreciación 8.000.000 D

Tasa de impuestos 15% t

Rentabilidad exigida 12% i

Inversión 80.000.000 I

Valor de desecho 25.000.000 VDn

Horizonte de análisis 10 n

Aplicando la fórmula:

26

VEA 35.290.000

3.1 Evaluación de proyectos en nivel de perfil.

Este es el nivel más básico de la evaluación de proyectos y haciéndolo solo nos

dice que proyecto hacer o si en realidad es viable hacer una evaluación económica

mas profunda.

Esto lo podemos hacer con graficas que muestren los ingresos y costos del

proyecto, primero miraremos una grafica donde el ingreso es constante es decir no

sube ni baja cuando pasa el tiempo

CT1 CT2

Ingreso

Q1 Q2

Q= cantidad a producir

CT= costo total

Ingreso CT

Cv

CF

27

Q1 Q2

Esta grafica es con dos proyectos mirando al nivel de producción si es mas rentable

un proyecto o no.

En nivel de perfil es posible recurrir a un método simplificado para medir la

rentabilidad de una opción de inversión, pero en función del supuesto de una

situación futura promedio perpetua.

El perfil constituye el más simple de los niveles de la evaluación, recomendándose

su aplicación sólo para determinar la conveniencia o inconveniencia de efectuar

una evaluación en un nivel más profundo o para elegir entre varias opciones al

formular un proyecto en nivel de prefactibilidad.4

[

]

Donde:

Rp’: Rentabilidad promedio de los recursos propios.

k: Tasa de interés del préstamo.

r: Rentabilidad exigida a los recursos propios invertidos.

Ia: Inversión total financiada con recursos propios.

Ip: Inversión financeada con recursos con préstamo

p: Precio unitario.

q: Cantidad estimada que será producida y vendida en un año.

cv: Costo variable unitario.

CF: Costo fijo anual.

D:Monto de depreciación anual de activos (adquiridos con la inversión).

t:Tasa de impuestos a las utilidades.

4 Autor: Nassir Sapag Chain, Proyectos de inversión: formulación y evaluación, Editorial Pearson de México,

2007, pág 240.

28

i: Tasa deseada de retorno sobre inversión.

I: Inversión asociada a la implementación.

VDn:Valor de desecho.

n:n periodos.

Ejemplo


a un precio unitario de $260 cada uno. El estudio de costos calculó que para ese

nivel de operación podrían esperarse los siguientes costos variables:

• Material directo $60

• Mano de obra directa $40

• Gastos de fabricación $20









La inversión es de 50% recursos prestados al 8% de interés efectivo anual.

Precio 260 p

Costo variable 120 cv

Costo Fijo 22.000.000 cf

Volumen de operación 430.000 q



Interés préstamo. 8% k

Rentabilidad exigida 12% r

Inversión prestada 40.000.000 Ip

Inversión propia 40.000.000 Ia



29

Aplicando la fórmula:

[

]

Se obtiene que:

Rp’ 30.250.000

3.4 Valuación de opciones aplicada a la evaluación de proyectos.

La empresa y los inversionistas estarán dispuestos a destinar recursos a un

proyecto siempre que la inversión tenga un retorno que les satisfaga. Sin embargo,

el retorno esperado está sujeto al comportamiento o volatilidad de una gran

cantidad de variables. El supuesto que adoptan todos los modelos de valoración de

opciones es que es posible predecir la volatilidad.

Frente a la imposibilidad de predecir con exactitud este comportamiento en la

evaluación de un proyecto, se aplica el mismo criterio general propuesto por Black

y Scholes5 en 1973 para proporcionar al decisor la máxima información posible. En

este sentido, se supone que mientras mayor sea la volatilidad o incertidumbre,

mayor será el interés por tener una opción.

6

5Diaz Mata, Alfredo, Invierta en la bolsa, 2ª. ed. México, Grupo Editorial Ibérica, 1994, pág. 307.

6Cabello Rosales, Alejandra, El modelo Black y Scholes y sus modificaciones. México, 2004, pág. 306.

30

CALL = Precio de la opción de inversión hoy (T = 0) en unidades

monetarias.

T= Período de vigencia de compra expresado en años.

r = 1 + tasa de interés sin riesgo entre T= 0 y t.

σ = Volatilidad anual de la acción en tanto por uno.

E = Precio del ejercicio de la opción

A = Precio del activo t = 0 en unidades monetarias.

N(dn) = Valor de la función de probabilidad acumulada de una distribución

normal estándar.

Ejemplo:

Teniendo los datos

A = Precio del activo

subyacente $31,129,406 Flujos de efectivo descontados

E = Precio de ejercicio de la

opción $33,543,803 Inversión inicial

r =Tasa libre de riesgo 23.46% Tasa sin riesgo

T = Tiempo expresado en

años 1

Tiempo hasta el que es posible

ejercer la opción

σ = Volatilidad 39.29% Volatilidad de los flujos de efectivo

esperados

La volatilidad de los flujos de efectivo puede ser estimada como la desviación

estándar de los mismos, de acuerdo a históricos o a pronósticos.

Sustituyendo en:

31

Los resultados obtenidos son:

d1 = 60.34%

d2 = 21.05%

Buscando los datos en la distribución normal:

N (d1) = N (60.34%) = 0.72687242que corresponde en la distribución normal a una

probabilidad.

N(d2) = N (21.05%)=0.58336755 que corresponde en la distribución normal a una

probabilidad.

Sustituyendo:

N (d1) = 0.72687242

N(d2) = 0.58336755

En:

Se obtiene:

CALL = $ 7,150,349.56

= ( 1) ( 2)

1 = ( / ) + ( + 2 / 2)

T

2 = 1

= ( 1) ( 2)

1 = ( / ) + ( + 2 / 2)

T

2 = 1

32

Preguntas y problemas

8.1. El valor final de un depósito inicial de $10.000 al 12% anual que se mantiene

por cinco años.

8.2. ¿Qué monto debe depositarse hoy a una tasa anual del 15% para que al cabo

de seis años se logre acumular $22.000?

8.3. ¿A qué tasa se debe hacer una inversión hoy para que al cabo de ocho años

triplique su valor?

33

8.4. ¿En cuánto tiempo una inversión de $20.000 se duplica si puede depositarse al

6% anual?

8.5.Si un proyecto financia $100.000 de su inversión con un préstamo al 11% de

interés anual ¿De qué monto debe ser la cuota para amortizar la deuda en sus

años?

8.6. Una inversión de $80.000 permite recibir a cambio cinco cuotas iguales de

$20.000 ¿Qué tasa de interés se está ganando?

34

Se realiza una interpolación lineal para hallar la tasa de interés correspondiente

[

]

8.7. Si se desea acumular $300.000 en ocho años ¿a qué tasa de interés se deben

invertir ocho depósitos de $8.000 cada uno?

Se realiza una interpolación lineal para hallar la tasa de interés correspondiente

[

]

8.8. ¿Qué monto acumularán doce depósitos iguales de $16000 a una tasa de

interés del 6% anual?

8.9. ¿Cuántos depósitos iguales de $7.000 Se deben hacer al 8% de interés anual

para acumular $56.000 al final del período?

35

8.10. Determine el valor actual del siguiente flujo a una tasa del 10% anual.

Año 1 2 3 4 5 6

Flujo 400 650 900 300 450 500

8.11.Calcule la tasa de interés de la compra a crédito de un insumo, si el proveedor

exige un pago contado equivalente a un 20% y el saldo en cinco cuotas iguales al

pago contado.

D: deuda del insumo

20%*D

0

D

36

Por criterio TIR la tasa es 8%

8.12. Calcule y explique el valor actual neto del siguiente flujo de caja, si se exige

un retorno del 12% anual.

Momento 0 1 2 3 4 5 6 7

Flujo -5.000 500 800 1.300 1.800 2.200 2.600 3.000

Como en VAN es mayor que cero indica que el proyecto es rentable, el

inversionista se gana por lo sobre lo que exigía al proyecto 2076,1 (en año cero)

después de haber recuperado la inversión.

8.13. Para los datos del ejercicio anterior, determine la tasa interna de retorno y

pruebe el resultado en una tabla de "supuestos de rentabilidad y recuperación de

la inversión".

La tasa de interés que hace que el VAN para el ejemplo anterior sea cero es

20,99%, es decir esta es la TIR. Esto se puede verificar efectuando la siguiente

operación:

37

8.14. Enuncie las principales razones por las cuales se critica la validez de la tasa

interna de retorno.

Entrega un resultado que conduce a la misma regla de decisión que la

obtenida con el VAN.

No sirve para comparar proyectos, por cuando una TIR mayor no es mejor

que una menor, ya que la conveniencia se mide en función de la cuantía de

la inversión realizada.

Cuando hay cambios en los signos del flujo de caja, por ejemplo por una

alta inversión en el periodo de operación, pueden encontrarse tantas tasas

internas de retorno como cambios de signo se observen en el flujo de caja.

8.15. Con los datos del ejercicio 8.12, calcule el período de recuperación de la

inversión.

mes cuota interés amortización saldo

0,00

5.000,00

1,00 500,00 600,00 -100,00 5.100,00

2,00 800,00 612,00 188,00 4.912,00

3,00 1.300,00 589,44 710,56 4.201,44

4,00 1.800,00 504,17 1.295,83 2.905,61

5,00 2.200,00 348,67 1.851,33 1.054,29

6,00 2.600,00 126,51 2.473,49 -1.419,20

7,00 3.000,00 -170,30 3.170,30 -4.589,50

El periodo de recuperación de la inversión es el sexto (6) ya que allí comienza el

saldo negativo, es decir ya se cubrió la inversión y además ahí rentabilidad desde

este periodo con la tasa acordada.

8.16. Calcule la tasa interna de retorno de los flujos de caja que se expusieron en

las tablas 7.8, 7.9 y 7.10 del capítulo anterior, y explique los resultados

comparativamente.

8.17. Explique la relación que existe entre el valor actual neto y el índice beneficio-

costo.

Estos dos criterios de evaluación de proyectos tienen la misma utilidad y siempre

deben concordar el uno con el otro en su resultado de aceptación o rechazo del

38

proyecto, ya que las dos miden o diferencia o razón siendo en VAN=0 y RBC=1 el

limite que divide la decisión del proyecto.

8.18. Analice el concepto de valor económico agregado y las formas para

incrementar la utilidad neta de la operación.

Si a todos los ingresos operacionales se le deducen la totalidad de los gastos

operacionales, el valor de los impuestos y el costo de oportunidad del capital se

obtiene el EVA. Por lo tanto, en esta medida se considera la productividad de

todos los factores utilizados para desarrollar la actividad empresarial.

El EVA es el resultado obtenido una vez se han cubierto todos los gastos y

satisfecho una rentabilidad mínima esperada por parte de los accionistas.

Existen tres elementos que ejercen cambios en el EVA: utilidades, rentabilidad y

flujo de caja, y altos movimientos garantizan la permanencia y el crecimiento

empresariales y todo ello permite crear valor.

8.19. ¿Cuáles son las críticas que se le hacen al VEA como instrumento de

evaluación de proyectos?

El EVA subestima la creación de valor debido, a que siempre parte de un capital

o total de activos que nunca sufre un proceso de recuperación a través de la

generación de flujos de caja, y en la medición de largos plazos no sería algo

diferente a VPN.

8.20. "La depreciación equivale a la reposición promedio anual de activos para

mantener la capacidad operativa del proyecto." Comente.

Esto es válido si y sólo si el proyecto contempla una pérdida de capacidad

operativa debido al uso de los activos. La depreciación no implica

necesariamente pérdida de productividad, por ejemplo, una máquina que se

compre en un proyecto se empezará a depreciar desde el primer día del uso y

no necesariamente ésta va a iniciar al 100% de su capacidad en el t=0 del

proyecto, quizá pasen uno o más periodos de depreciación para que esta

comience a funcionar al 100% de su capacidad.

39

8.21. Explique las alternativas para incluir un factor que considere la reposición

promedio anual de activos.

Se tendría que hacer una reserva que se destine especialmente para este fin,

bien sea para planes de mantenimiento que busquen el recálculo del valor de

depreciación o bien sea para la compra de nuevos equipos que sustituyan los ya

usados.

8.22. Con los siguientes antecedentes históricos, calcule y analice el VEA por el

método tradicional y el propuesto en este texto.

Precio 360 p


Costo Fijo 800.000 cf

Volumen de

operación 10.000 q

Depreciación 80.000 D


Rentabilidad

exigida 10% i



Horizonte de

análisis 5 n

Aplicando la fórmula de VEA, y los datos anteriores se obtiene el siguiente valor

VEA 772.000

Este valor expresa que en los 5 años de evaluación del proyecto y satisfaciendo

la expectativa de ganancia de los socios, se generan 772.000 unidades

monetarias con una inversión inicial 4.000.000 de unidades monetarias.

8.23. Comente la siguiente afirmación: "Toda empresa debe buscar maximizar su

nivel de operación".

Los niveles de operación expresan los niveles de actividad económica de una

empresa, lo que implica mayores flujos de caja y mejores niveles de utilidad, por

40

tal motivo se mejora el EVA con respecto a una inversión inicial, por tal motivo

se considera que la expresión anterior es cierta.

8.24. ¿Cómo afecta al análisis de equilibrio una racionalización que reduzca costos

de operación?

En la identificación de puntos de equilibrio para la toma de decisiones.

8.25. "El impuesto a las utilidades es un costo variable." Comente.

No, en Colombia la variación de los impuestos a las utilidades son aspectos que

se configuran en las leyes, y estas tienden a ser constantes en espacios de

tiempos prolongados.

8.26. "La empresa maximiza sus utilidades si aumenta su nivel de operación hasta

satisfacer toda la demanda." Comente

La maximización es un concepto ligado a la planeación y esta sólo contempla los

aspectos medibles de forma estocástica o probabilística. Los niveles de demanda

son datos estocásticos que pronostican comportamientos aproximados de las

ventas y se puede considerar óptimo si maximiza las utilidades al satisfacer

todos los requerimientos, entre ellos satisfacer la demanda, la cual puede llegar

a superar la capacidad productiva.

8.27. Analice el concepto de desinversión desde la perspectiva del punto de

equilibrio.

La desinversión es un pacto que se realiza con anterioridad al momento de

inversión en un proyecto y lo que básicamente busca es que si los niveles de

utilidad y rentabilidad no alcanzan los niveles esperados, el inversionista podrá

recuperar su dinero a través de los activos de la empresa.

8.28. Determine la opción más conveniente entre las dos alternativas que se

exponen a continuación.

ALTERNATIVA 1:


a un precio unitario de $260 cada uno, pagando una comisión de venta de un 1 %.

41

El estudio de costos calculó que para ese nivel de operación podrían esperarse los

siguientes costos variables:

Material directo $60

Mano de obra directa $40

Gastos de fabricación $20









ALTERNATIVA 2:

En el estudio técnico se detectó la existencia de un equipo menor, con capacidad

de hasta 400.000 unidades anuales. Si bien esta máquina deja demanda

insatisfecha, esto permitiría subir el precio de venta a $280, y aprovechar

deseconomías de escala que permitirían reducir el costo del material directo a $50.

Los costos fijos de esta alternativa alcanzarían a $18.000.000 por año. Este equipo

costaría $72.000.000 y se estima que al final de su vida útil tendrá un valor de

desecho de $28.000.000.

Al analizar y procesar los datos se obtienen los siguientes resultados, donde la

alternativa 2 es más atractiva que la alternativa 1:

Alternativa 1

Alternativa 2

Precio 260 p

Precio 280 P


Costo variable 50 Cv

Costo Fijo

22.000.00

0 cf

Costo Fijo

18.000.00

0 Cf

Volumen de

operación 430.000 q

Volumen de

operación 400.000 Q




Tasa de impuestos 15% T

42

Rentabilidad exigida 12% i

Rentabilidad exigida 12% I


Inversión

72.000.00

0 I

Valor de desecho

25.000.00

0

VD

n

Valor de desecho

28.000.00

0

VD

n


Horizonte de análisis 10 N

VEA

35.290.00

0

VEA

51.060.00

0

8.29. Con los antecedentes del ejercicio anterior ¿Qué rentabilidad porcentual

obtendría el inversionista si financia el 50% de la inversión con deuda al 8% de

interés anual?

Alternativa 1

Alternativa 2

Precio 260 p

Precio 280 p



Costo Fijo

22.000.00

0 cf

Costo Fijo

18.000.00

0 cf

Volumen de


Volumen de








Rentabilidad exigida 12% r

Rentabilidad exigida 12% I

Inversión prestada

40.000.00

0 Ip

Inversión prestada

40.000.00

0 Ip

Inversión propia

40.000.00

0 Ia

Inversión propia

40.000.00

0 Ia

Valor de desecho

25.000.00

0

VD

n

Valor de desecho

28.000.00

0

VD

n


Horizonte de análisis 10 N

Rp’

30.250.00

0

Rp’

60.980.00

0

43

Bibliografía

CORDOBA Padilla Marcial, formulación y evaluación de proyectos,

evaluación del proyecto, Ecoe ediciones, 2006.

44

MEZA Orosco Jhonny de Jesús, evaluación financiera de proyectos, métodos

para evaluar proyectos de inversión, Ecoe ediciones, 2010.

MEZA OROZCO, Jhonny. Matemáticas financieras aplicadas. Bogotá: ECOE

ediciones, Tercera edición, 2008. Páginas 46-49/62-86.

SAPAG CHAIN, Nassir. Proyectos de inversión: formulación y evaluación.

Person Educación, Primera edición, 2007. Paáginas 245-249.

Cabello Rosales, Alejandra, El modelo Black y Scholes y sus modificaciones.

México, 2004, pág. 306.

Diaz Mata, Alfredo, Invierta en la bolsa, 2ª. ed. México, Grupo Editorial

Ibérica, 1994, pág. 307.

Autor: Nassir Sapag Chain, Proyectos de inversión: formulación y evaluación,

Editorial Pearson de México, 2007, pág 240.

Amat, Oriol, EVA: valor económico agregado, editorial Norma 2002, pág. 37.

Nassir Sapag Chain, Proyectos de inversión: formulación y evaluación,

Editorial Pearson Educación de México, 2007, pág 237.

Cahrles T. Horngren, Contabilidad financiera, Pearson, 2003, pág 286.

calculo y anÁlisis de la viabilidad economica - final

Documents