calculo vectorial.ppt

30
FACULTAD DE CIENCIAS BASICAS DEPARTAMENTO DE INGENIERIA CALCULO VECTORIAL Dr. Carlos Wilson Lizarazo Gómez Investigador Matemáticas aplicadas

Upload: sol-m-lozano

Post on 29-Nov-2015

100 views

Category:

Documents


5 download

TRANSCRIPT

Page 1: Calculo vectorial.ppt

FACULTAD DE CIENCIAS BASICAS

DEPARTAMENTO DE INGENIERIA

CALCULO VECTORIAL

Dr. Carlos Wilson Lizarazo Gómez

Investigador Matemáticas aplicadas

Page 2: Calculo vectorial.ppt

Vector, en álgebra, es una cantidad que tiene magnitud, dirección y sentido al mismo tiempo.

VECTORES

En la suma e los vectores A, B y C nos obtenemos el vector resultante R uniendo los extremos de el primer y el último vector como se observa

en la figura.

Recordemos ahora un poco sobre ortogonalidad de vectores…

Page 3: Calculo vectorial.ppt

Por hipótesis de la desigualdad triangular tenemos la formula:

//A+B//² = //A// + //B// + 2A · B

Significado geométrico de la desigualdad triangular.

//A+B// ≤ //A// + //B//

Dos vectores de forma perpendicular satisfacen el teorema de Pitágoras.

//A+B//² = //A//² + //B//²

De otro modo podemos decir que el producto escalar de dos vectores perpendiculares en un plano es cero

(0).

Si A · B = 0 entices son perpendiculares u ortogonales.

//A+B//

//A//

//B//

//A+B//

//A//

//B//

Page 4: Calculo vectorial.ppt

PRACTIQUEMOS:

1. Demuestra si es o no cierta la proposición siguiente referente a vectores en Vn: ¿Si A · B = A · C y A ≠ 0, es B = C?

2. Demuestra si es o no cierta la proposición siguiente que se refiere a vectores en Vn: ¿Si A · B para todo B, es A = 0?

3. Demostrar que para dos vectores cualesquiera A y B de Vn se tiene:

//A+B//² + //A-B//² = 2//A//² + 2//B//²

¿Qué teorema geométrico acerca de los lados y diagonales de un paralelogramo se puede deducir de esta identidad?

Page 5: Calculo vectorial.ppt

PRODUCTO CRUZ O PRODUCTO VECTORIAL

El producto vectorial A x B ( por eso también llamado producto cruz) está

definido únicamente para vectores de . El resultado será también un vector

de

Sean A = (a1, a2, a3) y B = (b1, b2, b3)

Su producto vectorial se define como:

A x B = (a2b3 – a3b2, a3b1 – a1b3, a1b2 – a2b1)

Page 6: Calculo vectorial.ppt

Este producto cruz o producto vectorial se define de esta forma porque tiene

ciertas propiedades, veamos:

PARA TODOS LOS VECTORES A, B, C DE V3 y para todo número real c

tenemos:

• A x B = (B x A) Por simetría alternada.

• A x (B + C) = (A x B) + (A x C) Por ley distributiva.

• c (A x B) = (cA) x B

• A · (A x B) = 0 Ortogonalidad con respecto a A.

A · (A x B) = a1 (a2b3 – a3b2) + a2 (a3b1 – a1b3) + a3 (a1b2 – a2b1) = 0

• B · (A x B) = 0 Ortogonalidad con respecto a B.

Se deduce del anterior.

• //A x B//² = //A//² //B//² - (A · B)² Por la identidad de Lagrange

//A x B//² = (a2b3 - a3b2)² + (a3b1 - a1b3)² + (a1b2 – a2b1)²

//A//² //B//² - (A · B)² = (a²1 + a²2 + a²3)(b²1 + b²2 + b²3) – (a1b1 + a2b2 + a3b3)

• A x B = 0 Si y sólo si A y B son linealmente dependientes.

Page 7: Calculo vectorial.ppt

El siguiente teorema muestra dos propiedades fundamentales del producto vectorial…

TEOREMA

Sean A y B dos vectores linealmente independientes en V3

Se tiene:

• Los vectores A, B, A x B son linealmente independientes.

•Todo vector de N en V3 ortogonal a A y B simultáneamente es el producto de un escalar de A x B

Por los teoremas anteriores se puede demostrar geométricamente el producto vectorial, en las siguientes imágenes el vector A x B representado mediante otro vector dependerá de las posiciones relativas de las flechas.

k Sistema coordenado orientado en sentido

directo

j

i

Page 8: Calculo vectorial.ppt

DETERMINANTES

Arthrur Cayley creó la teoría de los invariantes en forma

algebraica, Que fue desarrollada con la introducción de los

determinantes y generalizada con las matrices y formas

multilineales. Asimismo investigó sobre la teoría de los grupos

y dio una formulación algebraica completa a los conceptos de

la geometría proyectiva.

Page 9: Calculo vectorial.ppt

DETERMINANTES DE ORDEN 2

Son determinantes sencillas y se pueden definir así:

El valor de un determinante de orden dos es la diferencia entre los elementos de la diagonal principal y de la secundaria.

EJEMPLO

Page 10: Calculo vectorial.ppt

DETERMINANTES DE ORDEN 3

El Determinante menor correspondiente a un elemento de la matriz de otro determinante de mayor orden es el que se obtiene al eliminar la fila y la

columna a la que pertenece tal elemento.

De esta forma podemos expresar un determinante de orden 3 en términos de determinantes de segundo orden como veremos a

continuación con un ejemplo.

Page 11: Calculo vectorial.ppt

a b c e f d f d e

d e f = a h i - b g i - c g h

g h i

Page 12: Calculo vectorial.ppt

VECTORES CANONICOS EN R³

Los vectores canónicos en R3 son :i = (1,0,0)j = (0,1,0)k= (0,0,1)

Puede verificarse que los mismos son ortogonales entre sí, comprobando que el producto escalar es nulo para cualquier par.

v = v1 i + v2 j + v3 k

i

k

j v2 j

v3k

v1i

v

X

Z

Y

v1 i + v2 j

v1 i +v2 j +v3 k

Page 13: Calculo vectorial.ppt

PRODUCTO MIXTO O TRIPLE PRODUCTO ESCALAR

Podemos plantear el producto escalar entre un vector u x v y un tercer vector w:

u x v w esta operación se denomina producto mixto

u x v w = w1(u2v3-u3v2) +w2 (u3v1-u1v3) + w3(u1v2-u2v1)Esto es el desarrollo por la tercera fila del determinante:

= u x v wu1 u2 u3v1 v2 v3w1 w2 w3

Es fácil comprobar que u x v w = u v x w (El 2° término es el desarrollo por la 1ª fila del mismo determinante)

Ortogonalidad de u x v respecto de u y de vu x v u y u x v v , lo que es equivalente a escribir:

u x v u = u x v v = 0

u x v u= = 0 ( dos filas iguales) Similar situación se da en u x v v =0

u1 u2 u3v1 v2 v3u1 u2 u3

Page 14: Calculo vectorial.ppt

De una forma más clara tenemos:

A · B x C = a1 b2 b3 + a2 b3 b1 + a3 b1 b2

c2 c3 c3 c1 c1 c2

a1 a2 a3

= b1 b2 b3

c1 c2 c3

Page 15: Calculo vectorial.ppt

REGLA DE CRAMER

El producto mixto es utilizado para resolver ecuaciones lineales con 3 incógnitas x, y, z y este sistema esta escrito de la forma:

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

Sea A el vector de componentes de a1, a2 y a3 lo mismo para B, C, y D.

De esta forma las tres ecuaciones anteriores serán equivalentes a :

xA + yB + zC = D

Ahora si multiplicamos escalarmete todos los términos por (BC) y colocando [ABC] en lugar de A · B x C, tenemos:

x [ABC] + y [BBC] + z [CBC] = [DBC]

Como [BBC] = [CBC] = 0 Los coeficientes de Y y Z dedsaparecen y nos queda:

X = [DBC] / [ABC] si [ABC] ≠ 0

Page 16: Calculo vectorial.ppt

Así mismo llegamos a las fórmulas para Y y Z obteniendo:

Y = [ADC] / [ABC]

Z = [ABD] / [ABC]

Si [ABC] ≠ 0

Cuando los productos mixtos que aparecen en esas fórmulas se colocan como determinantes, el resultado es conocido como REGLA DE CRAMER para la

resolución del sistema de tres ecuaciones lineales.

d1 b1 c1 a1 d1 c1 a1 b1 d1

d2 b2 c2 a2 d2 c2 a2 b2 d2

d3 b3 c3 a3 d3 c3 a3 b3 d3

x = y = z =

a1 b1 c1 a1 b1 c1 a1 b1 c1

a2 b2 c2 a2 b2 c2 a2 b2 c2

a3 b3 c3 a3 b3 c3 a3 b3 c3

Page 17: Calculo vectorial.ppt

ECUACIONES CARTESIANAS PARA RECTAS Y PLANOS

A veces solemos pensar en líneas y figuras a las que le podríamos llamar

planos y objetos como estos se pensaban imposible de expresar de

forma matemática, es entonces cuando surgen las llamadas ECUACIONES

PARA RECTAS Y PLANOS.

Estas nos ayudan a expresarnos de una forma mas que sencilla con los

números para que así a través de estos pintemos la maravilla de la naturaleza

en un papel.

Page 18: Calculo vectorial.ppt

ECUACION VECTORIAL DE L

Una recta en el plano xy está determinada cuando se dan un punto y una dirección sobre la recta pendiante o angulo de inclinación y

puede expresarse usando la forma punto pendiente.

Una recta L está determinada en un espacio tridimensional cuando sabemos un punto P0 (x0, y0, z0)

y sea v un vector paralelo a L

Tenemos a P (x, y, z) que es un punto cualquiera, y sean r0

y r vectores con las posiciones de P0 y P.

Si a es el vector P0P, entonces la ley del triángulo

para el vector suma da: r = r0 + a

Nota: a = tv porque a y v son paralelos y su vector escalar es t

r = r0 + tv

Recordemos que esta recta toma valores positivos y negativos a partir del punto P0 (x0, y0, z0)

P 0(x0, y0, z0)P(x, y, z)

r0r

a

vO

z

y

x

L

t<0

t = 0

t >0

Page 19: Calculo vectorial.ppt

ECUACION PARAMETRICA

Dos vectores son iguales si sólo si sus componentes correspondientes son iguales, de aquí nos salen entonces tres ecuaciones escalares.

x = x0 + at y = y0 +bt z = z0 + ct

Donde t є IR .

Page 20: Calculo vectorial.ppt

ECUACION SIMETRICA

Cuando se elimina el parámetro t de la ecuación paramétrica.

Si ninguno de los números a, b, c es cero podemos resolver cada una de las ecuaciones para t, igualamos los resultados y obtenemos:

x – x0 = y – y0 = z – z

a b c

Page 21: Calculo vectorial.ppt

RECTAS OBLICUAS

Las RECTAS OBLICUAS son aquellas que no se intersecan ni son paralelas, por lo tanto no están en el mismo plano.

Para esto las soluciones de las primeras dos ecuaciones del sistema x, y, z deben tener valores que no satisfagan la tercera ecuación.

EJEMPLO:

1 + t = 2s Al resolver estas dos ecuaciones tenemos,

-2 + 3t = 3 + s t = 11/5 y s = 8/5.

4 – t = -3 + 4s Estos valores no satisfacen la tercera exuacion.

Es así como las rectas L1 y L2 no se intersecan y se llaman oblicuas.z

yx

L1

L2

Page 22: Calculo vectorial.ppt

Superficies cuadráticasLas secciones cónicas: elipse, parábola e hipérbola tienen su generalización al espacio tridimensional en elipsoide, paraboloide e hiperboloide.    Definición  (superficies cuadráticas) La gráfica de una ecuación de segundo grado en tres variables se conocen como superficies cuadráticas, salvo casos degenerados.    Observación: en la ecuación de segundo grado deliberadamente no hemos incluido los términos mixtos , y , pues la presencia de estos genera superficies con rotación.

Se dividen en:•Elipsoide.•Paraboloide Elíptico.•Paraboloide Hiperbólico.•Cono Elíptico.•Hiperboloide de una hoja.•Hiperboloide de dos hojas.

Page 23: Calculo vectorial.ppt

Elipsoide• La gráfica de la ecuación:

corresponde a un elipsoide. Es simétrico con respecto a cada uno de los tres planos coordenados y tiene intersección con los ejes coordenados en ), y .La traza del elipsoide sobre cada uno de los planos coordenados es un único punto (! ) o una elipse.

Page 24: Calculo vectorial.ppt

Paraboloide elíptico

La gráfica de la ecuación:

es un paraboloide elíptico. Sus trazas sobre planos horizontales son elipse :

Sus trazas sobre planos verticales, ya sean o

son parábola. o

Page 25: Calculo vectorial.ppt

Paraboloide hiperbólico

La gráfica de la ecuación:

es un paraboloide hiperbólico. Sus trazas sobre planos horizontales son hipérbolas o dos rectas. Sus trazas sobre planos verticales paralelos al plano son parábolas que abren hacia abajo, mientras que las trazas sobre planos verticales paralelos al plano son parábolas que abren hacia arriba. Su gráfica tiene la forma de una silla de montar.

Page 26: Calculo vectorial.ppt

Hiperboloide de una hoja

La gráfica de la ecuación:

es un hiperboloide de una hoja. Sus trazas sobre planos horizontales son elipses.

Sus trazas sobre planos verticales son hipérbolas o un par de rectas que se intersecan (!). Su gráfica se muestra

Page 27: Calculo vectorial.ppt

Cono elíptico

La gráfica de la ecuación:

es un cono elíptico. Sus trazas sobre planos horizontales son elipses. Sus trazas sobre planos verticales corresponden a hipérbolas o un par de rectas. Su gráfica se muestra en la figura 4.

Page 28: Calculo vectorial.ppt

Hiperboloide de dos hojas

La gráfica de la ecuación

es un hiperboloide de dos hojas.Su gráfica consta de dos hojas separadas.Sus trazas sobre planos horizontales son elipses y sobre planos verticales son hipérbolas

Page 29: Calculo vectorial.ppt

Ejercicios

Identifique cada una de las siguiente superficies cuadráticas

a.)

b.)

Page 30: Calculo vectorial.ppt

Ejemplos

Dividiendo por 4 la primera ecuación obtenemos:

lo cual corresponde a un hiperboloide de dos hoja, con el eje y como eje de simetría.

Completando el cuadrado en x para la segunda superficie obtenemos :

que corresponde a un paraboloide elíptico con eje paralelo al eje Y