Clculo vectorial

Unidad 1. Vectores y geometra en el

espacio

Sistema de coordenadas

tridimensionales

Para localizar un punto en el espacio, se utilizan tres ejes coordenados mutuamente perpendiculares

Los ejes forman un sistema coordenado diestro o de mano derecha

Las coordenadas cartesianas (x,y,z) de un punto P en el espacio son los valores en los cuales los planos que pasan por P, perpendiculares a los ejes, cortan los ejes

Las coordenadas cartesianas del espacio tambin se llaman coordenadas rectangulares, porque los ejes que las defines se cortan en ngulos rectos

Los planos determinados por los ejes coordinados son:

plano xy, cuya ecuacin estndar es z = 0

plano xz, cuya ecuacin estndar el y = 0

plano yz, cuya ecuacin estndar el x = 0

Estos planos se cortan en el origen (0,0,0)

El origen tambin se identifica simplemente con la letra O

Los planos coordenados x = 0, y = 0 y z = 0 dividen al espacio en ocho celdas llamadas octantes

El octante en el cual todas las coordenadas de un punto son positivas se llama primer octante

No hay numeracin convencional para los otros siete octantes

Para escribir las ecuaciones de estos planos, se

utiliza la coordenada comn

El plano x = 2 es el plano perpendicular al eje x en x = 2

El plano y = 3 es el plano perpendicular al eje y en y = 3

El plano z = 5 es el plano perpendicular al eje z en z = 5

Observaciones

La distancia entre P1(x1,y1,z1) y P2(x2,y2,z2) es

La ecuacin en forma estndar de la esfera de

radio a y centro en (x0,y0,z0) es

Distancia y esferas en el espacio

Vectores

Para describir una fuerza, se necesita registrar la direccin en la cul acta, as como la

magnitud

El desplazamiento de un cuerpo, presenta la direccin y que tan lejos se mueve

Con la velocidad de un cuerpo, se debe conocer hacia donde se dirige, as como la

rapidez con que viaja

Las cantidades antes mencionadas se representan por medio de un segmento de recta

dirigido

La flecha apunta en la direccin de la accin y su longitud representa la magnitud de la accin

en su unidad apropiada

Si varios vectores presentan la misma longitud, son paralelas y apuntan

en la misma direccin, sin importar su punto inicial, son iguales

Esto es: AB = CD = OP = EF

Sea v = PQ

Existe un segmento de recta dirigido igual a

PQ cuyo punto inicial es el origen

sta es la representacin de v en posicin

estndar y es el vector que normalmente se usa

para representar v

Se puede especificar a v escribiendo las coordenadas de su punto final (v1,v2,v3)

cuando v est en posicin estndar

Si v es un vector en el plano, su punto final (v1,v2) tiene dos coordenadas

Definicin

Dados los puntos P(x1,y1,z1) y Q(x2,y2,z2), el vector en posicin estndar

v = (v1,v2,v3) igual a PQ es

v = {x2 x1, y2 y1, z2 z1}

Dos vectores son iguales si y slo si sus vectores de posicin estndar son idnticos

De manera que (u1,u2,u3) y (v1,v2,v3) son iguales si y slo si u1 = v1, u2 = v2 y u3 = v3

La magnitud o longitud del vector v = PQ es el nmero positivo

El nico vector con longitud 0 es el vector cero 0 = (0,0) o

0 = (0,0,0)

Este vector es el nico sin direccin especfica

Operaciones algebraicas con vectores

Dos operaciones fundamentales que pueden realizarse con vectores son la suma de vectores y la multiplicacin por un escalar

Un escalar es simplemente un nmero real y se llama as cuando se quiere resaltar su diferencia en relacin con los vectores

Los escalares pueden ser positivos, negativos o cero y se usan para escalar un vector multiplicado

Sean u = {u1,u2,u3} y v = {v1,v2,v3} vectores y k un escalar

Suma: u + v = {u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3}

Multiplicacin por escalar: ku = {ku1, ku2,ku3}

La suma de vectores se realiza sumando los componentes

correspondientes de los vectores

Se multiplica por un escalar haciendo el producto de cada

componente por el escalar

Se aplican exactamente en el plano {u1,u2} y {v1,v2}

Ley del paralelogramo

Resultante

Resultante

Interpretacin geomtrica Ley del paralelogramo

Mltiplos escalares de u

Si k > 0, entonces ku tiene la misma direccin que u

Si k < 0, entonces la direccin de ku es opuesta a u

Si se comparan las longitudes de u y ku, se observa que

La longitud de ku es igual al producto del valor absoluto

del escalar k por la longitud de u

La diferencia u v de dos vectores est definida por

u v = u + (-v)

Si u = {u1,u2,u3} y v = {v1,v2,v3}, entonces

u v = {u1 v1, u2 v2, u3 v3}

Propiedades de las operaciones con vectores

Cuando tres o ms vectores en el espacio se encuentran en

el mismo plano, se le conoce como coplanares

Por ejemplo, los vectores u,v y u + v siempre son coplanares

Vectores unitarios

Un vector v de longitud 1 se llama vector unitario

Los vectores unitarios estndar son

i = {1,0,0}, j = {0,1,0} y k = {0,0,1}

Cualquier vector v = {v1,v2,v3} se puede escribir como una

combinacin lineal de los vectores unitarios estndar de la

siguiente manera

v = {v1,v2,v3} = {v1,0,0} + {0,v2,0} + {0,0,v3}

= v1{1,0,0} + v2{0,1,0} + v3{0,0,1}

= v1i + v2j + v3k

Se le llama escalar (o nmero) v1 el componente en i del vector v,

a v2 el componente en j y a v3 el componente en k

La expresin en componentes del vector de P1(x1,y1,z1) a P2(x2,y2,z2) es

P1P2 = (x2 x1)i + (y2 y1)j + (z2 z1)k

Punto medio de un segmento de recta

Producto punto

Si se aplica una fuerza F a una partcula que se mueve a lo largo de una trayectoria, es

importante conocer la magnitud de la fuerza en

la direccin del movimiento

Si v es paralelo a la recta tangente a la trayectoria en el punto donde se aplica F, se

busca la magnitud de F en la direccin de v

La magnitud de la fuerza F en la direccin del vector v es la

longitud |F| cos de la proyeccin de F sobre v

ngulo entre vectores

Cuando dos vectores no nulos u y v se colocan de manera que sus puntos

Iniciales coincidan, forman un ngulo con medida 0

El ngulo entre dos vectores no nulos u = {u1,u2,u3} y v = {v1,v2,v3}

est dado por

Producto punto

Producto cruz

Cuando se necesitaba describir cunto se inclinaba una recta se utilizaba la pendiente y

el ngulo de inclinacin

En el espacio se quiere describir la forma en que se inclina un plano

Se consigue multiplicando dos vectores que se encuentran en el plano para obtener un tercer

vector perpendicular a ste

La inclinacin de este vector indica la inclinacin del plano

El producto que se usa para multiplicar los vectores es el producto vectorial o producto

cruz

Es el segundo mtodo de multiplicacin vectorial que se usa en clculo

El producto cruz de dos vectores

Sean u y v dos vectores en el espacio

Si u y v no son paralelos, entonces determinan un plano

Se selecciona un vector n perpendicular al plano mediante

la regla de la mano derecha

Entonces el producto cruz u v es el vector que se define

a continuacin:

u v = (|u| |v| sen ) n

Producto u v

Obtencin de componentes del producto cruz

|u v | como rea de un paralelogramo

Triple producto escalar o producto caja

El producto (u v) w se llama triple producto escalar de u, v y w

(en ese orden)

Como se puede ver en la ecuacin siguiente:

|(u v) w| = |u v| |w| |cos |, el valor absoluto del triple producto es el

volumen de un paraleleppedo

Rectas y planos en el espacio

En el espacio, una recta est determinada por un punto y un vector que indica la direccin de

la recta

L es una recta que pasa por P0(x0,y0,z0) y que es paralela a un vector v = v1i + v2j + v3k

L es el conjunto de todos los puntos P(x,y,z) tales que P0P es paralelo v

Por lo tanto, P0P = tv para algn parmetro escalar t

El valor de t depende de la localizacin del punto P a

lo largo de la recta, el dominio de t es (- , )

La forma desarrollada de la ecuacin P0P = tv es

(x x0)i + (y y0)j + (z z0)k = t(v1i + v2j + v3k)

xi + yj + zk = x0i + y0j + z0k + t(v1i + v2j + v3k)

Distancia de un punto a una recta

Para obtener la distancia de un punto S a una recta que pasa por un punto P,

paralela a un vector v, se determina el valor absoluto del componente escalar

de PS en la direccin de un vector normal a la recta

Ecuacin para un plano en el espacio

Un plano en el espacio esta determinado por un punto en el plano y su

inclinacin u orientacin

Esta inclinacin se define especificando un vector que es perpendicular

o normal al plano

Suponiendo que el plano M pasa por un punto P0(x0,y0,z0) y es normal

al vector n = Ai + Bj + Ck

Entonces M es el conjunto de todos los puntos P(x,y,z) para los cuales

P0P es ortogonal a n

Por lo tanto, el producto punto n P0P = 0

Esta ecuacin es equivalente a

(Ai + Bj + Ck) [(x x0)i + (y y0)j + (z z0)k] = 0

O bien,

A(x x0) + B(y y0) + C(z z0) = 0

Cilindros y superficies cuadrticas

Un cilindro es un superficie que se genera por el movimiento de una recta paralela a una recta

fija dada a lo largo de una curva plana dada

Superficies cuadrticas

Una superficie cuadrtica es a grfica en el espacio de una ecuacin de

segundo grado en x, y y z

Tiene por frmula general Ax2 + By2 + Cz2 + Dz = E

Donde A, B, C, D y E son constantes

Grficas de superficies cuadrticas

Problemas resueltos Problema 1.

Problema 2.

Problema 3.

Problema 4.

Problema 5.

Problema 6.

Dos botes remolcadores estn empujando un barco,

como se muestra en la figura. Cada bote

remolcador est ejerciendo una fuerza de 400

libras. Cul es la fuerza resultante sobre el barco?

Problema 7.

Problema 8.

Problema 9.

Problema 10.

Problema 11.

Problema 12

Problema 13.

Una cmara de televisin de 120 libras est colocada en un trpode, como se muestra en

la figura. Representar la fuerza ejercida en cada pata del trpode como un vector.

Sean los vectores F1, F2, y F3 las fuerzas ejercidas en las tres patas. A partir de la figura, se

puede determinar que las direcciones de F1, F2 y F3 son las siguientes:

Solucin

Problema 14.

Problema 15.

Problema 16.

Problema 17.

Problema 18.

Problema 19.

Una lancha de 600 libras se encuentra sobre una rampa inclinada 30, como se muestra en

la figura. Qu fuerza se requiere para impedir que la lancha resbale cuesta abajo por la

rampa?

Problema 20.

Problema 21.

Negativo de a)

Problema 22.

Problema 23.

Problema 24.

Se aplica una fuerza vertical de 50 libras al extremo de una palanca de un pie de longitud

unida a un eje en el punto P, como se muestra en la figura. Calcular el momento de

esta fuerza respecto al punto P cuando = 60

Problema 25.

Problema 26.

Problema 27.

Problema 28.

Problema 29.

Problema 30.

Problema 31.

Problema 32.

Problema 33.

Problema 34.

Problema 35.

Problema 36.