calculo por elementos finitos

8/8/2019 Calculo Por Elementos Finitos

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INTRODUCCIÓN

El presente trabajo tiene como objetivo la comparación de losdiferentes casos de análisis de los esfuerzos internos de un bloquetrapezoidal, teniendo como prioridad la comparación en función al númerode partes en que se divide al objeto de estudio (número de elementosfinitos), así como también comparaciones en función de los diferentestipos de fuerza actuantes generadas por agentes externos al cuerpo, comofuerzas por aplicación directa

En la primera parte del trabajo se observará el calculo manual hechopara n=3 elementos finitos que lo hare con la ayuda de matlab usándolocomo calculadora. Luego le presentare los diagramas de flujo necesarios

junto al algoritmo realizado, además lo he Automatizado para n elementosfinitos con ayuda del MATLAB software general utilizado para los casos de

elementos finitos ello nos permite hallar mejor los resultados.

Para constatar el funcionamiento del programa se ha colocadoejemplos ilustrativos (con sus respectivas gráficas), de donde solo para elanálisis de 3 elementos finitos se ha colocado el programa completo, yaque para análisis mayores a 10, la dimensión de las matrices requieres demayores espacios.

He tratado de ser lo mas didáctico posible con los gráficos y esquemaspara lograr un mejor entendimiento.



INFORME 1º TRACCIÓN

Problema

Calcular los esfuerzos de cada elemento finito y la reacción en el apoyo. Usar 3 elementosfinitos.

**Todas las medidas en milímetros

Solución:

1º MODELAMIENTO: DISCRETIZACION:

El modelo se discretiza en 3 elementos finitos según se observa en el siguiente grafico:

NUMERO DE ELEMENTO FINITO

NODOS LOCALES

1 2

1 1 2

NODOS GLOBALES2 2 3

3 3 4



Calculo previo para 3 elementos finitos

Pasamos todas las unidades al SI

Datos:

; Modulo de Elasticidad

Longitud de cada fem

7,0.35,4); Las bn c/nodo, por semejanza de triangulos

>> bn=linspace(0.7,0.35,4)

bn = 0.7000 0.5833 0.4667 0.3500

Ahora determinamos la base media de cada elemento finito:

>> b=[(0.7+0.5833)/2,(0.5833+0.4667)/2,(0.4667+0.3500)/2]

b = 0.6417 0.5250 0.4083

El area media para cada fem, vendrá dado por:

>> A=b.^2

A = 0.4117 0.2756 0.1667

DETERMONACION DE LARIGIDEZ Y EL MONTAJE DE LOOS MISMOS:

Para cada elemento finito (1):

>> k1=E*A(1)/L*[1 -1;-1 1]

k1 =

1.0e+011 *

4.9406 -4.9406

-4.9406 4.9406



Llenando en una matriz vacia de 5X5; teniendo en cuenta que los grados de libertad correspondientes

a este elemento finito (1) son los grados de libertad de 1 y 2.

>> KT=zeros(4,4);

>> KT(1:2,1:2)=KT(1:2,1:2)+k1

KT =

1.0e+011 *

4.9406 -4.9406 0 0

-4.9406 4.9406 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

Para el elemento finito (2); grados de libertad para este elemento finito 2 y 3:

>> k2=E*A(2)/L*[1 -1;-1 1]

k2 =

1.0e+011 *

3.3075 -3.3075

-3.3075 3.3075

>> KT(2:3,2:3)=KT(2:3,2:3)+k2

KT =

1.0e+011 *

4.9406 -4.9406 0 0

-4.9406 8.2481 -3.3075 0

0 -3.3075 3.3075 0

0 0 0 0



Para el elemento finito (3); grados de libertad para este elemento finito 3 y 4:

>> k3=E*A(3)/L*[1 -1;-1 1]

k3 =

1.0e+011 *

2.0010 -2.0010

-2.0010 2.0010

>> KT(3:4,3:4)=KT(3:4,3:4)+k3

KT =

1.0e+011 *

4.9406 -4.9406 0 0

-4.9406 8.2481 -3.3075 0

0 -3.3075 5.3085 -2.0010

0 0 -2.0010 2.0010

El vector Cargas

>> FT=zeros(4,1);

Las Cargas están aplicados en los nodos 2 y 4, entonces:

>> FT(4)=5*10^3

FT =

0

0

0

-5000



SOLUCION DEL SISTEMA:

Introducción a las condiciones de contorno:

Primero se supone que no se toca el extremo inferior: (q1=0).

>> KM=KT(2:4,2:4);

>> FM=FT(2:4);

La solución para este caso será:

>> QM=KM\FM

QM =

1.0e-007 *

-0.1012

-0.2524

-0.5022

El vector deformación completo será:

>> Q=[0;QM]

Q =

1.0e-007 *

0

-0.1012

-0.2524

-0.5022



La Re acción será:

>> R=(KT*Q-FT)

R =

1.0e+003 *

5.0000

0

-0.0000

-0.0000

DIAGRAMADE FLUJO DEL PROCESO:

INICIO

DATOS:

E: Modulo de Elasticidd

F: Carga externa

L,a: Longitudes a usar

Calculo de Áreas

Calculo de las

constantes

de Rigidez

Solucionando

el sistema.

Se Obtiene Como

resultados El valor de

las deformaciones QTy las reacciones.



AUTOMATIZACION DEL PRGRAMA PARA N ELEMENTOS FINITOS:

function [QT,R]=formdirecta1(n) disp('------------------') disp('Numero de Elementos Finitos=' ) disp(n-1) %Donde n es el numero de nodos(n -1 elemtnos finitos)

%Los Datos generales son: E=3*10^9; %Modulo de elasticidad a1=0.7; %Seccion mayor a2=0.35; %Seccion menor LT=0.75; %Longitud total de la barra P=5*10^3; %Carga en el extremo %Modelamiento de discretizacion L=linspace(0,LT,n); a=linspace(a1,a2,n); KT=zeros(n,n); FT=zeros(n,1); %Montaje del KT y el FT for j=1:n-1;

aj=mean([a(j) a(j+1)]); Aj=aj^2; Lj=L(j+1)-L(j); kj=E*Aj/Lj*[1 -1;-1 1]; nn=j:j+1; KT(nn,nn)=KT(nn,nn)+kj;

end FT(n)=-P; %introduccion a las condiciones de contorno KM=KT(2:n,2:n); FM=FT(2:n); %Solucion del sistema QM=KM\FM; QT=[0;QM]; clear KM FM disp('Los valores de Es QT y R son:' )

disp('----------------------------- ') disp('Es--->Esfuerzo:') disp('QT--->Deformacion') disp('R --->Reaccion ') R=KT*QT-FT; Es=-E/Lj*QT plot(Es,-QT) title('CALCULO DE ELEMENTOS FINITOS' ) xlabel('Esfuerzo (Es)' ) % Etiqueta el eje horizontal ylabel('Deformacion QT' ) % Etiqueta el eje vertical legend('Curva esfuerzo-deformacion') % Leyenda

DESARROLLANDO EL PROGRAMA



Automatizacion del programa para n elementos finitos

>> [QT,R]=formdirecta1(4)

------------------

Número de Elementos Finitos=

3

Los valores de Es QT y R son:

-----------------------------

Es--->Esfuerzo:

QT--->Deformación

R --->Reacción

Es =

1.0e+004 *

0

1.2144

3.0284

6.0272

Deformacion

QT =

1.0e-005 *

0

-0.1012

-0.2524

-0.5023



Reaccion:

R =

1.0e+003 *

5.0000

0

0

-0.0000

GRAFICA ESFUERZO- DEFORMCION

0 1 2 3 4 5 6 7

x 10 4

0

1

2

3

4

5

6 x 10

-6 CALCULO DE ELE ME NTOS FINITOS

Esfuerzo (Es)

D e f o r m a c i o n

Q T

Curva esfuerzo-deformacion



Para 101 nodos

>> [QT,R]=formdirecta1(101)------------------Numero de Elementos Finitos=

100

Los valores de Es QT y R son:-----------------------------Es--->Esfuerzo:QT--->DeformacionR --->Reaccion

Es =

1.0e+006 *

00.0103

0.02060.03110.04160.05230.06310.07400.08500.09620.10740.11880.13030.14190.1536

0.16550.17750.18960.20180.21420.22680.23940.25220.26520.27830.29150.3049

0.31850.33220.34610.36010.37430.38870.40330.41800.43290.4480



0.46320.47870.49440.51020.52620.54250.55890.57560.59250.60960.62690.64450.66220.68030.69850.71700.73580.75480.7741

0.79360.81350.83360.85400.87460.89560.91690.93850.96040.98261.00521.02811.0513

1.07491.09891.12321.14791.17311.19861.22451.25081.27761.30481.33241.3605

1.38911.41821.44771.47781.50841.53951.57121.60351.63631.6697



1.70381.73851.77381.80981.84641.88381.92191.96082.00042.0408

QT =

1.0e-005 *

0-0.0026-0.0052

-0.0078-0.0104-0.0131-0.0158-0.0185-0.0213-0.0240-0.0269-0.0297-0.0326-0.0355-0.0384-0.0414

-0.0444-0.0474-0.0505-0.0536-0.0567-0.0599-0.0631-0.0663-0.0696-0.0729-0.0762-0.0796

-0.0831-0.0865-0.0900-0.0936-0.0972-0.1008-0.1045-0.1082-0.1120-0.1158



-0.1197-0.1236-0.1276-0.1316-0.1356-0.1397-0.1439-0.1481-0.1524-0.1567-0.1611-0.1656-0.1701-0.1746-0.1793-0.1839-0.1887-0.1935-0.1984

-0.2034-0.2084-0.2135-0.2187-0.2239-0.2292-0.2346-0.2401-0.2457-0.2513-0.2570-0.2628-0.2687

-0.2747-0.2808-0.2870-0.2933-0.2996-0.3061-0.3127-0.3194-0.3262-0.3331-0.3401-0.3473

-0.3545-0.3619-0.3695-0.3771-0.3849-0.3928-0.4009-0.4091-0.4174-0.4259



-0.4346-0.4434-0.4524-0.4616-0.4710-0.4805-0.4902-0.5001-0.5102

R =

1.0e+003 *

5.0000

.

.

.-0.0000-0.0000-0.00000.0000-0.0000-0.0000

0 0.5 1 1 .5 2 2.5

x 10 6

0

1

2

3

4

5

6 x 10

-6 CALCULO DE ELEMENTOS FINITOS

Esfuerzo (Es)

D e f o r m a c i o n

Q T

Curva esfuerzo-deformacion



CONCLUSIONES

Si observamos las graficas de esfuerzos para los casos de deformación

y Se denota una mayor precisión cuando analizamos más elementos finitos

(en este caso 100), ya que la gráfica para 3 elementos finitos nos

muestra los esfuerzos promedios para cada sector.

y En el punto de aplicación de las fuerzas externas, se ve que la

deformación es mínima con relación a las otras deformaciones. Esto

sucede por la dirección de la fuerza aplicada que es en dirección al

peso.

y En relación con el valor de la reacción del suelo, este se mantiene

constante, la variación en relación con la precisi ón del cálculo es

mínima y no tiene una importante significancia.

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