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CALCULO NUMERICO I, Grupo C, Curso 2011/12

PRIMERA PRUEBA INTERMEDIA, 27/03/2012

Nombre y Apellidos:

1. (a) Enuncia el Teorema de convergencia global del Metodo de Newton. Bajo las condi-ciones del enunciado, demuestra que la funcion f tiene una unica raız ↵ en [a, b] yque la sucesion que proporciona el metodo esta bien definida y converge hacia ↵,para cualquier x0 2 [a, b].

(b) Sean ↵, � 2 R, con � > 0, y g : (↵ � �, ↵ + �) ! R una funcion tal que g(↵) = ↵ yg 2 C

1(↵� �, ↵ + �). Supongamos que, para una constante C > 1, se tiene

|g0(x)| � C, 8x 2 (↵� �, ↵ + �).

Demuestra entonces que ↵ es un punto repulsivo para el Metodo de las Aproxima-ciones Sucesivas (MAS) aplicado a g.

2. Se considera la ecuacion homogenea

(EH) f(x) = 0, con f(x) = x

3 + 2x2 + x + 3.

Se pide:

(a) Determinar el numero de raıces de (EH) y separarlas en intervalos disjuntos.

(b) Escribir el Metodo de Newton (MN) aplicado a (EH). Calcular un intervalo de con-vergencia global para (MN) hacia la menor solucion ↵ de (EH).

(c) Aplicar el Metodo de Newton para aproximar ↵ hasta la segunda iteracion aplicandola Regla de Fourier para escoger el punto de inicializacion x0. Calcular razonadamenteuna cota del error cometido, dando la expresion explıcita de la constante.

3. Se considera ahora la ecuacion de punto fijo

(EPF) x = g(x), siendo g(x) =1

4(3� e

x) .

(a) Escribir el Metodo de las Aproximaciones Sucesivas (MAS) asociado a (EPF) yprobar que el intervalo [0, 1] es de convergencia global para dicho metodo hacia laraız � 2 [0, 1] de (EPF). ¿De que orden es el metodo? Razonese la respuesta.

(b) Obtener para el (MAS) una cota del error |xk

� �| en funcion del numero de itera-ciones k, de x0 y de x1. Tomando x0 = 005, calcular el numero de iteraciones quehacen falta para asegurar un error en la aproximacion menor que 10�4.

Puntuacion: Pregunta 1, 3’5 puntos; Pregunta 2, 3’5 puntos; Pregunta 3, 3 puntos.

CALCULO NUMERICO I – Grupo D (Prof. Pedro Marın Rubio) – Curso 2011/12

PRIMERA PRUEBA INTERMEDIA – 12/04/2012

Nombre y Apellidos: VERSION RESUELTA

1. (a) Enunciar el Teorema de convergencia global del Metodo de las Aproximaciones Sucesivas. Bajolas condiciones del enunciado, demostrar solo que la ecuacion x = g(x) tiene una unica solucion↵ en [a, b] y que la sucesion que proporciona el metodo esta bien definida y converge hacia ↵,para cualquier x0 2 [a, b].

(b) Sean ↵, � 2 R, con � > 0, y g : (↵ � �,↵ + �) ! R una funcion tal que g(↵) = ↵ y g 2C

1(↵� �,↵ + �). Supongamos ademas que |g0(↵)| < 1.

Demostrar entonces que el Metodo de las Aproximaciones Sucesivas (MAS) aplicado a g eslocalmente convergente en ↵.


(EH) f(x) = 0, con f(x) = x

3 � 2x

2 + x + 3.

Se pide:


(b) Escribir el Metodo de Newton (MN) aplicado a (EH). Calcular un intervalo de convergenciaglobal para (MN) hacia la menor solucion ↵ de (EH).

(c) Aplicar el Metodo de Newton para aproximar ↵ hasta la tercera iteracion aplicando la Regla deFourier para escoger el punto de inicializacion x0. Calcular razonadamente una cota del errorcometido, dando la expresion explıcita de la constante.

3. Se considera la ecuacion de punto fijo

(EPF) x = g(x), siendo g(x) = 1� 13e

x

.

(a) Escribir el Metodo de las Aproximaciones Sucesivas (MAS) asociado a (EPF) y probar que elintervalo [0, 1] es de convergencia global para dicho metodo hacia la raız � 2 [0, 1] de (EPF).¿De que orden es el metodo? Razonar la respuesta.

(b) Obtener para el (MAS) una cota del error |xk

� �| en funcion del numero de iteraciones k, dex0 y de x1. Tomando x0 = 005, calcular el numero de iteraciones que hacen falta para asegurarun error en la aproximacion menor que 10�4.

Puntuacion: Pregunta 1, 3’5 puntos; Pregunta 2, 3’5 puntos; Pregunta 3, 3 puntos.

SOLUCION

Ej. 1 Apdo (a) Teorema de convergencia global de (MAS) y acotacion del error.Sean a, b 2 R, con a < b, y g : [a, b]! R dados. Supongamos que g([a, b]) ✓ [a, b] y que g es contractiva

en el intervalo [a, b], con constante de contractividad L 2 [0, 1). Entonces,

1. La funcion g posee un unico punto fijo ↵ en [a, b].

2. El metodo de aproximaciones sucesivas (MAS) esta bien definido en [a, b], i.e., para todo x0 2 [a, b]se tiene que {x

k

}k�0 ⇢ [a, b].

3. El metodo de aproximaciones sucesivas (MAS) es globalmente convergente en [a, b] hacia ↵ conorden de convergencia al menos 1.

4. Se tienen las siguientes acotaciones del error absoluto:

|xk

� ↵| L

k|x0 � ↵| 8k � 0 y 8x0 2 [a, b] (cota a priori),

|xk

� ↵| L

k

1� L

|x1 � x0| 8k � 1 y 8x0 2 [a, b] (cota a posteriori).

A continuacion demostramos que existe una unica solucion ↵ 2 [a, b] de la ecuacion x = g(x).En efecto, como g es contractiva, en particular es continua. Como g([a, b]) ⇢ [a, b], tenemos que la

funcion h(x) = x� g(x) tiene signos distintos en a y en b. Como g es continua, h tambien, ası que por elTeorema de Bolzano existe al menos una raız en [a, b].

No pueden existir dos soluciones distintas de x = g(x) en [a, b], ya que, si las hubiera, llamandolasa ↵1 < ↵2 b, tenemos que

0 < ↵2 � ↵1 = g(↵2)� g(↵1) L(↵2 � ↵1) < ↵2 � ↵1,

lo que es absurdo.

Finalmente, veamos que para cualquier x0 2 [a, b], el metodo de aproximaciones sucesivas esta bienplanteado y es convergente hacia ↵.

Que esta bien planteado es consecuencia inmediata del hecho de que x

k+1 = g(xk

), y si x

k

2 [a, b], comog([a, b]) ⇢ [a, b], entonces se tiene que x

k+1 2 [a, b]. Ası, de forma inductiva, tenemos que {xk

}k

⇢ [a, b] ypor tanto el metodo esta bien planteado.

Veamos que es convergente probando la cota a priori del enunciado por induccion en el valor k delnumero de iteraciones.

En efecto, el caso k = 1 se tiene, ya que

|x1 � ↵| = |g(x0)� g(↵)| L|x0 � ↵|.

Damos por valido la desigualdad para un valor k, y la probaremos para el valor k + 1. Tenemos

|xk+1 � ↵| = |g(x

k

)� g(↵)| L|xk

� ↵| L

k+1|x0 � ↵|,

donde hemos usado la acotacion a priori que dabamos por valida por induccion para el valor k. Quedaprobada por tanto la cota a priori.

Observemos que |x0�↵| b� a, y que al ser L 2 [0, 1), al tomar k !1, se tiene que L

k ! 0, lo queprueba que lım

k!1 x

k

= ↵.

Ej. 1 Apdo (b) Bajo las hipotesis del enunciado de este apartado, vamos a probar que existe un intervalo[↵� ⇢, ↵ + ⇢] ⇢ [↵� �,↵ + �] en el cual se cumplen las hipotesis del teorema enunciado para el apartado(a). Esto es, el metodo de aproximaciones sucesivas es localmente convergente.

En efecto, como |g0(↵)| < 1, existe ⇢ 2 (0, �) tal que g 2 C

1([↵� ⇢, ↵ + ⇢]) y

|g0(x)| < 1 8x 2 [↵� ⇢, ↵ + ⇢].

Como consecuencia del teorema del valor medio la funcion g es contractiva en el intervalo [↵�⇢, ↵+⇢]y

L = maxx2[↵�⇢,↵+⇢]

|g0(x)| = |g0(x)| < 1, con x 2 [↵� ⇢, ↵ + ⇢],

es una constante de contractividad asociada.Por otro lado g([↵� ⇢, ↵ + ⇢]) ✓ [↵� ⇢, ↵ + ⇢] pues, fijado x 2 [↵� ⇢, ↵ + ⇢], existe ⇠ 2 (↵� ⇢, ↵ + ⇢)

tal que|g(x)� ↵| = |g(x)� g(↵)| = |g0(⇠)||x� ↵| L|x� ↵| L⇢ < ⇢.

Ahora, podemos aplicar el Teorema de convergencia global del MAS del apartado (a) en el intervalo[↵� ⇢, ↵ + ⇢] a g obteniendo la prueba del resultado.

Ej. 2 Apdo (a) Como f(x) = x

3 � 2x

2 + x + 3, tenemos que f

0(x) = 3x

2 � 4x + 1. Para estudiar lamonotonıa de f, analizamos el signo de f

0, el cual viene dado, por el teorema de Bolzano, a partir de las

zonas en que queda separada la recta real por las raıces de f

0.

f

0(x) = 0 , x =4 ±

p16� 126

= {1, 1/3}.

Por tanto, f posee a lo mas una raız en (�1, 1/3], a lo mas una raız en [1/3, 1], y a lo mas una raız en[1,1).

Como lımx!�1 f(x) = �1, f(1/3) = 85/27 > 0, f(1) = 3 y lım

x!1 f(x) = 1, tenemos solo uncambio de signo, en el intervalo (�1, 1/3]. Ası que hay una sola raız, que se encuentra en este intervalo.

Ej. 2 Apdo (b) El Metodo de Newton consiste en dar un valor x0 2 R y generar la sucesion {xk

}k�1 a

traves de la siguiente ley de recurrencia:

x

k+1 = x

k

� f(xk

)f

0(xk

)8k � 0.

Naturalmente, para que el metodo este bien planteado en un intervalo [a, b] y sea convergente, dichasucesion debe poder ser construida, y la convergencia se tiene si se cumplen las siguientes cuatro hipotesis(la condicion de que f 2 C

2([a, b]) se verifica trivialmente al ser un polinomio), a saber:

1. f(a)f(b) < 0,

2. f

0(x) 6= 0, para todo x 2 [a, b],

3. el signo de f

00(x) es constante en [a, b] (es decir, o f

00(x) � 0 para todo x 2 [a, b], o f

00(x) 0 paratodo x 2 [a, b]),

4. si c 2 {a, b} es tal que |f 0(c)| = mın(|f 0(a)|, |f 0(b)|), entonces

|f(c)||f 0(c)| b� a.

Entonces se concluira, por el resultado probado en teorıa, que:

1. La funcion f tiene una unica raız ↵ en [a, b], i.e., existe un unico ↵ 2 [a, b] tal que f(↵) = 0.

2. El (MN) esta bien definido, i.e. para todo x0 2 [a, b] se tiene {xk

}k�0 ⇢ [a, b].

3. El (MN) es globalmente convergente en [a, b] hacia ↵, i.e., para todo x0 2 [a, b] se tiene que existelım x

k

= ↵.

4. El (MN) tiene convergencia al menos cuadratica en [a, b]. De hecho, si m1 y M2 estan dadas por:

m1 = mınx2[a,b]

|f 0(x)| y M2 = maxx2[a,b]

|f 00(x)|,

entonces se tienen las siguientes acotaciones del error absoluto:

|xk+1 � ↵| M2

2m1|x

k

� ↵|2, 8k � 0,

|xk+1 � ↵| M2

2m1|x

k+1 � x

k

|2, 8k � 0.

Como por el apartado anterior sabemos que la unica raız esta en (�1, 1/3] pero que f

0(1/3) = 0,

tenemos que tomar [a, b] ⇢ (�1, 1/3) con a suficientemente negativo para asegurar signo negativo de f,

y b suficientemente cerca de 1/3 por la izquierda para que f tenga signo positivo. Ası, la condicion 1 setendra facilmente y la condicion 2 sera cierta trivialmente.

Antes de buscar dichos valores, analizamos las condiciones 3 y 4: como

f

00(x) = 6x� 4,

tenemos que el cambio de signo en f

00 se produce en x = 2/3. Ya que buscamos [a, b] ⇢ (�1, 1/3),tambien la condicion 3 se tendra trivialmente.

La condicion 4 involucra conocer el comportamiento de f

0. Sabemos que f

0 es positiva en (�1, 1/3),luego la condicion puede escribirse prescindiendo de valores absolutos. Como f

00 es negativa en dichointervalo, f

0 es decreciente. Ası, min{f 0(a), f 0(b)} = f

0(b), con lo que c = b, y debemos imponer que

f(b)f

0(b) b� a.

Observemos que hemos usado que f(b) > 0. Independientemente del valor que tomemos para b (tal quef(b) > 0), tenemos que f(b)/f

0(b) 2 (0,+1) con lo que siempre es posible tomar un valor a suficientementenegativo para satisfacer la desigualdad anterior.

En efecto, probamos con unos valores cercanos a 1/3 : f(�1) = �1 y f(0) = 3. Por tanto, �1 y 0son posibles candidatos a valores a y b. Como las condiciones 2 y 3 son automaticamente satisfechas,comprobamos la condicion 4 para el valor b = 0 (tenemos que f

0(0) = 1):

f(b)f

0(b)= 3 6 b� a = �1.

En cambio, tomando a = �3 vemos que se tiene la desigualdad. Solo hemos requerido ampliar mas elintervalo hacia la izquierda ya que eso no cambia el resto de condiciones comprobadas antes (que eranafectadas por los signos de f, f

0 y f

00).

Ası pues, el intervalo [�3, 0] es valido para aplicar el metodo de Newton y asegurar convergencia globalen el.

Ej. 2 Apdo (c) Ahora planteamos el metodo de Newton con x0 2 {a, b} = {�3, 0} tal que f(x0)f 00(x0) �0, que se cumple con x0 = �3.

x0 = �3, x

k+1 = x

k

� f(xk

)f

0(xk

)8k � 0.

Entonces obtenemos como tres primeras iteraciones los valores

x1 = �10875,

x2 = �1021882691,

x3 = �0092841442.

Usando la cota a posteriori dada en la teorıa, tenemos que

M2 = max[�3,0]

|f 00(x)| = 22, m1 = mın[�3,0]

|f 0(x)| = 1,

|x3 � ↵| M2

2m1|x3 � x2|2 = 11(x3 � x2)2 = 0000766722.

Ej. 3 Apdo (a) El metodo de aproximaciones sucesivas aplicado a la ecuacion de punto fijo consiste en

x0 2 [0, 1], x

k+1 = g(xk

) 8k � 0.

Como la funcion g(x) = 1 � 13e

x es derivable y |g0(x)| = e

x

/3 e/3 < 1 para todo x 2 [0, 1], tenemosgarantizado que g es contractiva (con constante de contractividad L = e/3).

Necesitamos comprobar que g([0, 1]) ⇢ [0, 1]. Sabemos que g es estrictamente decreciente en [0, 1], conlo que

g([0, 1]) = [g(1), g(0)] = [1� e/3, 2/3] ⇢ [0, 1].

Esto garantiza que podemos usar el teorema de convergencia global del MAS (enunciado en el ejercicio1).

Cualquier sucesion generada a traves del MAS tiene orden de convergencia exactamente 1 por unresultado de teorıa, ya que g

0(x) 6= 0 en todo x 2 [0, 1], en particular g

0(�) 6= 0.

Ej. 3 Apdo (b) Queremos calcular una cota para la sucesion generada. El resultado de teorıa nos diceque

|xk

� �| L

k

1� L

|x1 � x0|.

Por tanto, para aproximar hasta un error menor que 10�4 basta imponer que

L

k

1� L

|x1 � x0| 10�4,

lo que conllevak � (�4 ln 10 + ln(1� L)� ln |x1 � x0|)/ lnL.

Con los valoresL = e/3, x0 = 005, x1 = g(x0) = 1� e

1/2/3 ⇠ 0045042624,

tenemos quek � 86092,

esto significa que hay que hacer 87 iteraciones para garantizar un acercamiento con error menor que 10�4.

El gran numero de iteraciones no es extrano si recordamos que el orden del metodo era uno y que el valorde L ⇠ 009060939 tampoco era especialmente pequeno sino todo lo contrario.

Calculo Numerico I. Grado en Matematicas. Curso 2011/12

Primera Convocatoria.

13 de Junio de 2012

1. Enunciar y demostrar el Teorema de convergencia global del Metodo de las Aproximaciones Sucesivas para unaecuacion escrita en forma de punto fijo.

2. Sea g(x) = log(x2 + 2x+ 1). Pretendemos resolver la ecuacion g(x) = x mediante el m.a.s. Se pide:

a) Probar que g cumple las hipotesis del Teorema Global de Convergencia del m.a.s en el intervalo [2, 3].¿Cuantas raıces ↵ de la ecuacion g(x) = x hay en este intervalo?.

b) Probar que si x0 > ↵ entonces ↵ < xn+1 < xn para todo n � 0.

c) Determinar el numero de iteraciones necesarias para conseguir una precision menor que 10�5 en el calculode ↵.


(EH) f(x) = 0, con f(x) = x

3 + 2x2 + 2x� 2.

Se pide:


(b) Escribir el Metodo de Newton (MN) aplicado a (EH). Calcular un intervalo de convergencia global para(MN) hacia la mayor solucion ↵ de (EH).

(c) Aplicar el Metodo de Newton para aproximar ↵ hasta la segunda iteracion aplicando la Regla de Fourierpara escoger el punto de inicializacion x0. Calcular razonadamente una cota del error cometido, dando laexpresion explıcita de la constante.

4. Sean a, b 2 R, con a < b, y f 2 C

1([a, b]) una funcion. Demuestra la formula de error de la formula de cuadraturadel rectangulo:

R0(f) =

Z b

af(x) dx� f(a)(b� a) =

f

0(⇠)

2(b� a)2,

donde ⇠ 2 [a, b]. Como consecuencia, demuestra que la formula de cuadratura del rectangulo es de orden 0.

5. Sea la funcion f(x) = x

3. Se pide:

a) Sean los nodos x0 = 0, x1 = 1, x2 = 2 y x3 = 3. Calcular las funciones de base de Lagrange del problema deinterpolacion del grado que corresponda sobre estos nodos. Aplicarlo a calcular el polinomio de interpolacionde f(x).

b) Supongamos conocido el el polinomio de interpolacion del apartado anterior. Anadamos el nodo x4 = 4.Determinar el polinomio de interpolacion de f(x) sobre el soporte x0, x1, x2, x3 y x4.

c) Estimar el error de interpolacion en los dos casos anteriores.

6. Resolver el siguiente sistema lineal por el metodo de Gauss:

8>>>><

>>>>:

x1 + x2 + 3x3 + x4 + 11x5 = 11x1 + 3x2 + 6x3 + 8x4 + 12x5 = 132x2 + 2x3 + 5x4 + 5x5 = 7x1 + x2 + 5x3 + 5x4 + 7x5 = 5x1 + x2 + 5x3 + 7x4 + 11x5 = 0

Los alumnos con el Primer Parcial hacen los ejercicios 1, 2 y 3.Los alumnos con el Segundo Parcial hacen los ejercicios 4, 5 y 6.Los alumnos con la asignatura completa hacen todos los ejercicios.Puntuacion: Problema 1: 3 puntos. Problema 2: 3’5 puntos. Problema 3: 3’5 puntos. Problema 4: 3’5 puntos.Problema 5: 3’5 puntos. Problema 6: 3 puntos.Puntuacion de los que van con la asignatura completa: Parte proporcional de la puntuacion anterior.Tiempo: Dos horas para el que se examine de un parcial y cuatro horas para el que se examine de toda la asignatura.

CALCULO NUMERICO I – Grupo D (Prof. Pedro Marın Rubio) – Curso 2011/12

SEGUNDA PRUEBA INTERMEDIA – 08/06/2012

Nombre y Apellidos: VERSION RESUELTA POR EL PROFESOR

1. (a) Dado n 2 N [ {0}, enunciar y demostrar el teorema de existencia y unicidad de polinomio deinterpolacion para n + 1 pares de valores {(x

i

, f

i

)}n

i=0 donde los nodos {xi

}n

i=0 son distintosentre si dos a dos.

(b) Aplicar el metodo de las diferencias divididas de Newton para calcular explıcitamente el unicopolinomio de grado menor o igual que tres (es decir, p(x) = ax

3 + bx

2 + cx + d) que interpolalos valores

x

i

f

i

0 -21 02 04 18

(c) Calcular el polinomio anterior de algun otro modo distinto al del apartado anterior.

2. Consideremos el soporte de interpolacion � = {a = x0 < x1 < · · ·xn

= b } ⇢ [a, b]. Construimos elespacio de funciones de interpolacion

V

h

= {vh

2 C

0([a, b]) tales que v

h

(a) = 0, v

h

|[xi�1,xi] 2 P1([xi�1, xi

]), i = 1, . . . , n }

Dada una funcion f 2 C

0([a, b]) tal que f(a) = 0, planteamos el problema de interpolacion deLagrange sobre V

h

:

(P )⇢

Obtener una funcion f

h

2 V

h

tal quef

h

(xi

) = f (xi

), 8 i = 0, 1, . . . , n.

Se pide:

(a) Probar que existe una, y solo una, solucion para (P ).

(b) Probar que existen funciones �

i

2 V

h

, i = 1, . . . , n, tales que f

h

(x) =nX

i=1

f(xi

) �

i

(x).

Determinar la dimension de V

h

.

3. Dados a < b numeros reales, f : [a, b]! R y c = (a + b)/2, se pide:

(a) Justificar que el polinomio de grado menor o igual que dos que interpola a f en {a, b, c} vienedado por

p(x) = f(a) +f(c)� f(a)

c� a

(x� a) +f(b)� 2f(c) + f(a)

(c� a)(b� a)(x� a)(x� c).

Indicacion: usar el metodo de diferencias divididas de Newton y el hecho de que c�a = b� c.

(b) Sabiendo queZ

b

a

(x� a)(x� c)dx =Z

b�a

0s(s + a� c)ds =

(b� a)3

3+ (a� c)

(b� a)2

2,

utilizar el apartado anterior para probar queZ

b

a

p(x)dx =b� a

6(f(a) + 4f(c) + f(b)) [Regla de Simpson].

Indicacion: usar que 2(c� a) = b� a.

1

4. Dada f 2 C

2([a, b]), deducir las siguientes formulas de error en integracion numerica:

(a) Punto Medio: existe ⇠ 2 [a, b] tal que

RPM

0 (f) =Z

b

a

f(x)dx� f

✓a + b

2

◆(b� a) =

f

00(⇠)24

(b� a)3.

(b) Punto Medio Compuesto con n + 1 nodos uniformemente espaciados: existe ⇠ 2 [a, b] tal que

RPMC

0 (f) =Z

b

a

f(x)dx� h

nX

i=1

f

✓x

i�1 + x

i

2

◆=

f

00(⇠)24

(b� a)h2

donde h = (b� a)/n.

(c) Usar la formula de punto medio compuesta con seis nodos (n = 5) para aproximar

⇡

4=Z 1

0

11 + x

2dx.

(d) Estimar el error cometido en la aproximacion del apartado (c) usando el apartado (b).Concluir una aproximacion de ⇡ y una estimacion del error cometido.

5. Resolver el siguiente sistema lineal por el metodo de Gauss, transformandolo previamente en unsistema equivalente con matriz de coeficientes triangular superior, y aplicando posteriormente unalgoritmo de subida: 8

>><

>>:

x1 + x2 + x3 + 10x4 = 12x1 + 3x2 + 2x3 + 7x4 = 12�2x1 � 4x2 + 3x3 � x4 = �142x1 + 3x2 � 3x3 + 6x4 = 17

Puntuacion: Preguntas 1 y 2, 2 puntos; Preguntas 3 y 5, 1 punto; Pregunta 4, 4 puntos.

2

SOLUCION

Ej. 1 Apdo. (a) Dados n + 1 pares de valores reales {(xi

, f

i

)}n

i=0 con los valores {xi

}n

i=0 distintos entresi dos a dos, existe un unico polinomio de grado a lo mas n, que denotaremos p

n

(·) 2 Pn

[x], que interpolaa dichos valores, es decir, p

n

(xi

) = f

i

para todo i = 0, . . . , n.

Mas aun, dicho polinomio puede escribirse de la forma

p

n

(x) =nX

i=0

f

i

L

i

(x)

dondeL

i

(x) = ⇧n

j=0,j 6=i

x� x

j

x

i

� x

j

2 Pn

[x] 8 i = 0, . . . , n.

Prueba de la existencia. Consideremos los polinomios L

i

(x) que acabamos de construir arriba (yque obviamente tienen grado menor o igual que n). Tenemos que L

i

(xj

) = �

ij

(delta de Kronecker; 1 sii = j, 0 si i 6= j), con lo que la funcion p

n

(x) =P

n

i=0 f

i

L

i

(x) es un polinomio de grado menor o igual a n

que interpola a los valores dados.

Unicidad del polinomio de interpolacion. Si hubiera dos polinomios p

n

y q

n

con las propiedadesdel enunciado, entonces r

n

(x) := p

n

(x)� q

n

(x) serıa otro polinomio de grado menor o igual que n con almenos n + 1 raıces distintas entres sı. Ello implica que r

n

(x) es factorizable por monomios de la formax� x

j

y en definitiva quer

n

(x) = C(x� x0) · . . . · (x� x

n

).

Pero para que r

n

tenga grado menor o igual que n, ha de tenerse que C = 0, de donde p

n

(x) ⌘ q

n

(x), loque termina la prueba.

Ej. 1 Apdo. (b) El metodo de las diferencias divididas de Newton aplicado a la tabla del enunciadogenera los siguientes valores:

x

i

f

i

0 -22

1 0 -10 1

2 0 39

4 18

lo que significa que

p3(x) = �2 + 2x� x(x� 1) + x(x� 1)(x� 2)= �2 + 2x� x

2 + x + x

3 � 3x

2 + 2x

= x

3 � 4x

2 + 5x� 2.

No esta de mas hacer la comprobacion, tras el calculo, de que p3(0) = �2, p3(1) = 0, p3(2) = 0 yp3(4) = 18.

3

Ej. 1 Apdo. (c) Dado que sabemos que existe p3(x), que es un polinomio de, a lo mas, grado tres, y quese anula en x = 1 y x = 2, tenemos que se debe escribir de la forma

p3(x) = (x� 1)(x� 2)(ax + b)

con a, b 2 R a determinar. Esta estrategia sera mas economica que usar los polinomios de interpolacionde Lagrange, que involucrarıan demasiados calculos.

Ahora tenemos dos incognitas a despejar, a y b, y dos condiciones: p3(0) = �2 y p3(4) = 18. De laprimera, deducimos que 2b = �2, por tanto b = �1. De la segunda, p3(4) = 6(4a � 1) = 18, de dondea = 1.

Finalmente, se comprueba operando que

p3(x) = (x� 1)(x� 2)(x� 1)= (x2 � 2x + 1)(x� 2)= x

3 � 2x

2 � 2x

2 + 4x + x� 2= x

3 � 4x

2 + 5x� 2

como ya sabıamos por el apartado anterior, y debido a la unicidad del polinomio de interpolacion.

Ej. 2 Apdo. (a) Antes de empezar, observemos que podrıamos hacer el ejercicio basandonos en el resul-tado general estudiado en teorıa, pero lo haremos directamente para mayor claridad.

V

h

es un conjunto no vacıo (la funcion identicamente nula esta en V

h

) y de hecho, se trata de unespacio vectorial, pues suma de funciones de V

h

y producto de funciones de V

h

por escalar pertenecen aV

h

, ya que la continuidad, la condicion inicial y el caracter P1 a trozos se mantienen.

Existencia de f

h

2 V

h

solucion de (P): Consideremos la funcion definida a trozos

f

h

(x) =

(0 si x = x0 = a,

f(xi�1) + f(xi)�f(xi�1)

xi�xi�1(x� x

i�1) si x 2 (xi�1, xi

], i = 0, . . . , n.

Es claro que se trata de una funcion P1 en cada trozo, que es globalmente continua (en los nodos, su valores el f(x

i

) correspondiente), y por definicion, f

h

(x0) = 0, con lo que f

h

2 V

h

resuelve el problema (P).

Unicidad de solucion para el problema (P). En efecto, si hubiera dos soluciones, p y q, entoncesla diferencia r(x) = p(x)� q(x) 2 V

h

cumple que es P1 a trozos, pero en cada intervalo [xi�1, xi

] cumpleque vale cero en los extremos. Por tanto, es funcion identicamente nula en cada intervalo [x

i�1, xi

] y portanto en todo [a, b], lo que prueba la unicidad.

Ej. 2 Apdo. (b) De forma analoga al apartado anterior, podemos construir funciones �

i

que cumplen�

i

(xj

) = �

ij

para todo i = 1, . . . , n, j = 0, . . . , n. Concretamente, para cada i = 1, . . . , n, definimos

�

i

(x) =

8>>><

>>>:

x� x

i�1

x

i

� x

i�1si x 2 [x

i�1, xi

],x

i+1 � x

x

i+1 � x

i

si x 2 [xi

, x

i+1],

0 en otro caso.

Observese que no incluımos el caso i = 0 ya que no estamos interesados en un valor distinto de cero parael nodo x0.

Dichas funciones {�i

} ⇢ V

h

, y ademas se tiene quenX

i=1

f(xi

)�i

(x)

4

es un elemento de V

h

que resuelve el problema (P). Dada la unicidad de solucion para el problema (P),se deduce la igualdad

f

h

(x) =nX

i=1

f(xi

)�i

(x).

Finalmente, notese que {�i

}n

i=1 no solo es sistema generador de V

h

(por lo anterior), sino que ademassus elementos son todos linealmente independientes entre si (cada uno de ellos vale 1 en “su correspon-diente” nodo), por lo que son base algebraica de V

h

. La dimension de V

h

es por tanto n.

Ej. 3 Apdo. (a) El metodo de las diferencias divididas de Newton aplicado al conjunto de pares de valores{(a, f(a)), (c, f(c)), (b, f(b))} genera el esquema

x

i

f

i

a f(a)f(c)�f(a)

c�a

c f(c) f(b)�2f(c)+f(a)(c�a)(b�a)

f(b)�f(c)c�a

b f(b)

de donde se obtiene la formula de p(x) usando el algoritmo estudiado en clase de las diferencias divididasde la diagonal superior anterior.

Ej. 3 Apdo. (b) Usando la Regla de Barrow y las indicaciones dadas, tenemos

Zb

a

p(x)dx = f(a)(b� a) +f(c)� f(a)

c� a

Zb

a

(x� a)dx +f(b)� 2f(c) + f(a)

(c� a)(b� a)

Zb

a

(x� a)(x� c)dx

= f(a)(b� a) +f(c)� f(a)

c� a

· (b� a)2

2+

f(b)� 2f(c) + f(a)(c� a)(b� a)

✓(b� a)3

3+ (a� c)

(b� a)2

2

◆

= (b� a)✓

f(a) + f(c)� f(a) +f(b)� 2f(c) + f(a)

(c� a)· 4(c� a) + 3(a� c)

6

◆

=b� a

6(f(a) + 4f(c) + f(b)).

Ej. 4 Apdo. (a) Usando desarrollo de Taylor hasta orden 2 para f apoyados en el punto c, se tiene que

RPM

0 (f) =Z

b

a

(f(x)� f(c))dx

=Z

b

a

✓f

0(c)(x� c) +f

00(⇠x

)2

(x� c)2◆

dx

=f

00(⇠)2

(b� c)2

3,

donde la integral del primer sumando no aporta nada al ser este impar respecto al punto medio, y enla segunda hemos usado el teorema del valor medio generalizado, para sacar fuera f

00(⇠) (para cierto⇠ 2 [a, b]) y queda solo la integral

Rb

a

(x� c)2dx. Usando que b� a = 2(b� c), se concluye el resultado.

Ej. 4 Apdo. (b) Si aplicamos la formula anterior en los n intervalos [xi�1, xi

] con i = 1, . . . , n, denotandoh = (b� a)/n, tenemos que existen ⇠

i

2 [xi�1, xi

] tales que

RPMC

0 (f) =nX

i=1

f

00(⇠i

)24

h

3.

5

Si denotamos m = mın[a,b] f00(x), M = max[a,b] f

00(x), tenemos que

nX

i=1

m

24h

3 nX

i=1

f

00(⇠i

)24

h

3 nX

i=1

M

24h

3.

Por tanto,

m

nX

i=1

h

3

24

nX

i=1

f

00(⇠i

)24

h

3 M

nX

i=1

h

3

24,

de donde

m

nX

i=1

f

00(⇠i

)24

h

3

!/

nX

i=1

h

3

24

!M.

Por el Teorema de los valores intermedios de Darboux (puesto que f

00 es continua), se tiene que existe⇠ 2 [a, b] tal que

nX

i=1

f

00(⇠i

)24

h

3

!/

nX

i=1

h

3

24

!= f

00(⇠),

de donde

RPMC

0 (f) =f

00(⇠)24

nX

i=1

h

3.

La prueba concluye teniendo en cuenta que

nX

i=1

h

3 = h

2nX

i=1

h = h

2(b� a).

Ej. 4 Apdo. (c) Antes de empezar, observemos que la integral indefinidaR

11+x

2 dx es inmediata, corres-ponde a la arctan(x)+C y por tanto, tras aplicar Barrow, efectivamente tenemos que la integral definidaentre 0 y 1 vale ⇡/4. Por tanto, lo que se propone en este apartado es una aproximacion numerica de ⇡/4,

lo que al final, ajustando ese factor 4, significa que podemos aproximar ⇡ tanto como queramos usandointegracion numerica. Como solo nos piden seis nodos, no debemos esperar una gran aproximacion (pero sifuera necesario mayor exactitud, podrıamos obtenerla sin mas que aumentar el numero de nodos a utilizar).

Los seis nodos a considerar (h = 1/5 = 002) son x0 = 0, 002, 004, 006, 008, y x5 = 1. Ası, tenemos que

⇡

4=Z 1

0

11 + x

2dx ⇠ h(f(001) + f(003) + f(005) + f(007) + f(009)) = 00786231466,

donde hemos denotado f(x) = 1/(1 + x

2). Observese que la aproximacion anterior, pasando el 4 multipli-cando, equivale a decir que ⇡ ⇠ 30144925864.

Ej. 4 Apdo. (d) Para usar la formula del error del apartado (b), calculamos primero f

0 y f

00.

f

0(x) =�2x

(1 + x

2)2,

f

00(x) =�2(1 + x

2)2 + 2(1 + x

2)(2x)2

(1 + x

2)4=�2� 2x

2 + 8x

2

(1 + x

2)3= 2

3x

2 � 1(1 + x

2)3.

Si nos fijamos en el intervalo [0,1], acotando el numerador de f

00 por su maximo, y el denominador porsu mınimo, llegamos a que

maxx2[0,1]

|f 00(x)| 4,

6

con lo que al tomar valores absolutos en la formula del error del apartado (b) y sustituir la cota obtenida,concluimos que

|RPMC

0 (f)| 424

0004 = 0000_

6 ,

y por tanto, si denotamos por I

PMC

0 (f) a la aproximacion calculada en el apartado anterior deR 10

1(1+x

2)dx,

tenemos que|⇡ � 4I

PMC

0 (f)| = 4|RPMC

0 (f)| 4 · 0000_

6 = 0002_

6 .

Observemos que efectivamente en nuestro caso la diferencia entre la aproximacion y el valor de ⇡ es0000333321.

Ej. 5 Usando la notacion matricial abreviada (A|b) se tienen las siguientes equivalencias entre sistemas(salvo que obtengamos algun coeficiente especialmente pequeno, por simplicidad no usamos pivote parcialni total): 0

BB@

1 1 1 10 121 3 2 7 12�2 �4 3 �1 �14

2 3 �3 6 17

1

CCA,

0

BB@

1 1 1 10 120 2 1 �3 00 �2 5 19 100 1 �5 �14 �7

1

CCA

donde para obtener el segundo sistema (equivalente) hemos restado a la segunda fila (del sistema original)la primera, a la tercera sumado dos veces la primera, y a la cuarta restada dos veces la primera fila.

Siguiendo con transformaciones similares en las filas tercera y cuarta a partir de la segunda (que yano detallamos), tenemos

0

BB@

1 1 1 10 120 2 1 �3 00 �2 5 19 100 1 �5 �14 �7

1

CCA,

0

BB@

1 1 1 10 120 2 1 �3 00 0 6 16 100 0 �11/2 �25/2 �7

1

CCA,

0

BB@

1 1 1 10 120 2 1 �3 00 0 6 16 100 0 0 13/6 13/6

1

CCA .

Este ultimo sistema, con matriz de coeficientes triangular superior, es equivalente al original (solucion deuno lo es si y solo si lo es del otro), y se puede obtener por un simple argumento de subida:

8>><

>>:

x1 + x2 + x3 + 10x4 = 122x2 + x3 � 3x4 = 0

6x3 + 16x4 = 1013/6x4 = 13/6

donde podemos despejar inmediatamente en la ultima ecuacion x4 = 1, para a continuacion, en la penulti-ma, deducir que x3 = �1, y por tanto de la segunda x2 = 2 y, por ultimo, de la primera ecuacion, x1 = 1.

Por tanto, la (unica) solucion del problema es

x =

0

BB@

12�1

1

1

CCA .

Cualquier otra combinacion en las filas, con pivote parcial o total o sin el, ha de conducir a la mismasolucion.

7


Segunda Convocatoria.

5 de Septiembre de 2012

1. Enunciar el Teorema de Convergencia Global del Metodo de Newton y demostrar la convergenciade la sucesion generada por el metodo hacia la unica raız de la funcion en el intervalo.

2. Sea a > 0. Se pide:

a) Demostrar que en el intervalo [1/2, 1 + 2a] la sucesion xn =√a+ xn−1 converge cualquiera

que sea x0 en el intervalo.

b) Calcular lim xn y aplicarlo para obtener el valor de√6 +

√6 +

√6 + . . ..

3. Sean a, b ∈ IR, con a < b, f : [a, b] → IR una funcion y {x0, x1, · · · , xn} ⊂ [a, b], n + 1 puntosdistintos. Demuestra que existe un unico polinomio Pn(x) de grado menor o igual que n, quesatisface

Pn(xi) = f(xi), ∀i : 0 ≤ i ≤ n.

4. Consideremos la formula elemental de cuadratura∫ b

a

f(x) dx ≃ ω1 f(x1) + ω2 f(x2),

con a, b ∈ IR, a < b, x1 = a+ h y x2 = b− h, siendo h = (b− a)/4. Se pide:

(a) Determinar ω1 y ω2 para que la formula sea del mayor orden posible. ¿Que orden es este?.

(b) Aproximar el valor log(2) mediante la formula anterior y mediante la formula del trapecio,

usando f(x) =1

x, a = 1, b = 2. ¿Que aproximacion es mas precisa?.

(c) Supongamos ω1 = ω2 = (b− a)/2. Construir la formula de cuadratura compuesta asociadaa la anterior formula elemental, con nodos uniformemente espaciados.

5. Resolver el siguiente sistema lineal por el metodo de Gauss:⎧⎪⎪⎪⎪⎨

⎪⎪⎪⎪⎩

x1 + x2 + 5x3 + x4 + 10x5 = 19x1 + 3x2 + 2x3 + 8x4 + 11x5 = 36−2x2 − 3x3 + 4x4 − 3x5 = 8x1 + x2 + x3 + 5x4 + 6x5 = 232x1 − 4x2 + 7x3 − 3x4 + 9x5 = 15

Puntuacion: Todos los problemas valen 2 puntos.Tiempo: Tres horas.


Tercera Convocatoria.

12 de Diciembre de 2012

1. a) Sea α un punto fijo de g y g una funcion tal que g ∈ C1(α − δ,α + δ). Supongamos que|g′(α)| < 1. Demostrar que entonces ∃ρ > 0 tal que ∀x0 ∈ (α − ρ,α + ρ) el metodo deaproximaciones sucesivas genera una sucesion convergente a α. Ademas, ∃L ∈ (0, 1) tal que

|xk − α| ≤ Lk|x0 − α| ∀k ≥ 0, ∀x0 ∈ [α− ρ,α + ρ]

|xk − α| ≤ Lk

1− L|x1 − x0| ∀k ≥ 1, ∀x0 ∈ [α− ρ,α + ρ].

b) Consideramos ahora una funcion f ∈ C2(a, b) y α ∈ (a, b) tal que f(α) = 0 y f ′(α) = 0.Probar que entonces ∃ρ > 0 tal que el metodo de Newton genera una sucesion convergentea α cualquiera que sea x0 ∈ [α− ρ,α + ρ]. Ademas, suponiendo que xk = α ∀k,

limk→+∞

|xk+1 − α||xk − α|2 =

|f ′′(α)|2|f ′(α)| .

2. Se considera la ecuacion ex = −x3 + 2. Responder a las siguientes cuestiones:

(a) Hallar el numero de raıces de dicha ecuacion y separarlas.

(b) Enunciar las cuatro hipotesis del Metodo de Newton y encontrar un intervalo donde severifiquen para la ecuacion f(x) = 0 con f(x) = ex + x3 − 2.

(c) Enunciar la condicion suficiente de la Regla de Fourier para garantizar la convergencia delMetodo de Newton y aplicarlo en este caso para obtener cuatro iteraciones.

3. Sean a, b ∈ IR, con a < b, f ∈ Cn+1([a, b]) una funcion y {x0, x1, · · · , xn} ⊂ [a, b], n+ 1 puntosdistintos. Consideremos Pn el polinomio de interpolacion de f asociado a los nodos anteriores.Prueba entonces que para cada x ∈ [a, b] existe ξx ∈ Ix (con Ix el menor intervalo cerrado quecontiene a los nodos xi y al punto x) tal que

En(x) = f(x)− Pn(x) =fn+1)(ξx)

(n+ 1)!Πn+1(x),

con Πn+1(x) = (x− x0)(x− x1) · · · (x− xn).

4. Dada la funcion f(x) = cos(x), hallar el polinomio de interpolacion de f en los nodos {0, π/2, π}.Usar dicho polinomio para calcular una aproximacion de sen(π/6).

5. Resolver el siguiente sistema lineal por el metodo de Gauss:⎧⎪⎪⎪⎪⎨

⎪⎪⎪⎪⎩

−2x1 + 6x2 − 5x4 + 2x5 = −33x1 + x2 + 4x3 + 13x4 + 16x5 = 42−2x2 − 5x3 + 7x4 − 4x5 = −4x1 − 5x2 + 2x3 + 5x5 = 15−2x1 − x3 − 11x4 − 7x5 = −22

Puntuacion: Todos los problemas valen 2 puntos.Tiempo: Tres horas.

CALCULO NUMERICO I – Grupo B (Prof. Pedro Marın Rubio) – Curso 2012/13

PRIMERA PRUEBA INTERMEDIA – 26/04/2013

Nombre y Apellidos: VERSION RESUELTA

1. Enunciar y demostrar (incluidas las estimaciones a priori y a posteriori) el Teorema de convergenciaglobal del Metodo de las Aproximaciones Sucesivas (MAS).


(EH) f(x) = 0, con f(x) = xe

2x � 2.

Se pide:


(b) Escribir el Metodo de Newton (MN) aplicado a (EH). Calcular un intervalo de convergenciaglobal para (MN) hacia la menor solucion ↵ de (EH).

(c) Calcular razonadamente una cota del error cometido a posteriori, dado en teorıa por la formula

|xk+1 � ↵| M2

2m1|x

k+1 � x

k

|2 8k � 0,

dando los valores explıcitos de M2 y m1 segun el intervalo hallado en el apartado anterior.

(d) Aplicar el (MN) hasta la segunda iteracion comenzando con x0 = 0.6 para aproximar ↵.


(EPF) x = g(x), siendo g(x) = cos x.

(a) Justificar razonadamente que existe una unica solucion de la (EPF) en el intervalo [0,⇡/2].

(b) Denotando ↵ 2 [0,⇡/2] a la unica solucion de ↵ = cos ↵, razonar que el (MAS) es localmenteconvergente hacia ↵ en un entorno de dicho punto.

(c) Demostrar que el intervalo [1/2, 1] es un intervalo de convergencia global para el (MAS) hacia↵.

(d) Teniendo en cuenta el intervalo [1/2, 1] indicado en el apartado anterior, y tomando x0 = 1,

calcular el numero de iteraciones necesarias para justificar que el error de la aproximaciongenerada por el (MAS) hacia ↵ es menor que 10�4

.

(e) Siendo x0 = 1, calcular x25, x26, x27, x28, x29 y x30. ¿Que se observa para dichos valores yque comentario suscita con respecto al apartado anterior?

(f) Verificar que la funcion f(x) = x � cos x cumple en el intervalo [1/2, 1] las tres hipotesisde la Regla de Fourier y aplicar con la eleccion adecuada de x0 (indicada en dicha Regla)el (MN) cuatro veces, es decir, hasta obtener x4. Explicitar los valores x0, x1, x2, x3 y x4.¿Que comentario merece al comparar con los apartados anteriores?

Puntuacion: Pregunta 1, 3 puntos; Pregunta 2, 3 puntos; Pregunta 3, 4 puntos.

SOLUCION

Ej. 1 Teorema de convergencia global de (MAS) y acotacion del error.Sean a, b 2 R, con a < b, y g : [a, b]! R dados. Supongamos que g([a, b]) ✓ [a, b] y que g es contractiva

en el intervalo [a, b], con constante de contractividad L 2 [0, 1). Entonces,


2. El metodo de aproximaciones sucesivas (MAS) esta bien definido en [a, b], i.e., para todo x0 2 [a, b]se tiene que {x

k

}k�0 ⇢ [a, b].

3. El metodo de aproximaciones sucesivas (MAS) es globalmente convergente en [a, b] hacia ↵ conorden de convergencia al menos 1.


|xk

� ↵| L

k|x0 � ↵| 8k � 0 y 8x0 2 [a, b] (cota a priori),

|xk

� ↵| L

k

1� L

|x1 � x0| 8k � 1 y 8x0 2 [a, b] (cota a posteriori).

A continuacion demostramos que existe una unica solucion ↵ 2 [a, b] de la ecuacion x = g(x).En efecto, como g es contractiva, en particular es continua. Como g([a, b]) ⇢ [a, b], tenemos que la

funcion h(x) = x� g(x) tiene signos distintos en a y en b. Como g es continua, h tambien, ası que por elTeorema de Bolzano existe al menos una raız en [a, b].

No pueden existir dos soluciones distintas de x = g(x) en [a, b], ya que, si las hubiera, llamandolasa ↵1 < ↵2 b, tenemos que

0 < ↵2 � ↵1 = g(↵2)� g(↵1) L(↵2 � ↵1) < ↵2 � ↵1,

lo que es absurdo.

Finalmente, veamos que para cualquier x0 2 [a, b], el metodo de aproximaciones sucesivas esta bienplanteado y es convergente hacia ↵.

Que esta bien planteado es consecuencia inmediata del hecho de que x

k+1 = g(xk

), y si x

k

2 [a, b], comog([a, b]) ⇢ [a, b], entonces se tiene que x

k+1 2 [a, b]. Ası, de forma inductiva, tenemos que {xk

}k

⇢ [a, b] ypor tanto el metodo esta bien planteado.

Veamos que es convergente probando la cota a priori del enunciado por induccion en el valor k delnumero de iteraciones.

En efecto, el caso k = 1 se tiene, ya que

|x1 � ↵| = |g(x0)� g(↵)| L|x0 � ↵|.

Damos por valido la desigualdad para un valor k, y la probaremos para el valor k + 1. Tenemos

|xk+1 � ↵| = |g(x

k

)� g(↵)| L|xk

� ↵| L

k+1|x0 � ↵|,

donde hemos usado la acotacion a priori que dabamos por valida por induccion para el valor k. Quedaprobada por tanto la cota a priori.

Observemos que |x0 � ↵| b � a, y que al ser L 2 [0, 1), al tomar k ! 1, se tiene que L

k ! 0, loque prueba que lım

k!1 x

k

= ↵. Ademas, la contractividad de g indica que la convergencia es con ordenal menos 1.

Para probar la cota a posteriori, observemos que para cualquier m > k se tiene que

|xm

� x

k

| |xm

� x

m�1| + |xm�1 � x

m�2| + . . . + |xk+1 � x

k

|

y usando que |xj+1 � x

j

| L

j |x1 � x0| para cualquier j � 0 (de prueba analoga a lo anterior), se deduceque

|xm

� x

k

| ⇣L

m�1 + L

m�2 + . . . + L

k

⌘|x1 � x0| =

L

k � L

m

1� L

|x1 � x0|,

donde hemos usado la expresion de la suma de los terminos de una progresion geometrica (de razon L).Evidentemente, podemos mayorar la fraccion L

k�L

m

1�L

por L

k

1�L

y tomar lımite m ! 1 en la expresionanterior para concluir la cota buscada.

Ej. 2 (a) La funcion f(x) = xe

2x� 2 es continua y derivable cuantas veces queramos en todo R. Se tieneque

f

0(x) = e

2x + 2xe

2x = e

2x(1 + 2x),

y por tanto los signos de f

0 dependen de si se esta a izquierda o derecha de x = �1/2. En cada uno deesos intervalos la funcion f es estrictamente monotona por lo que tendra a lo mas un cero.

Un analisis de signo nos dice que

lımx!�1

f(x) = �2, f(�1/2) = �1/(2e)� 2 < 0, lımx!1

f(x) =1,

por lo que existe una unica raız de f en todo R, y se encuentra en (�1/2,1), o siendo algo mas precisos,en (0,1) ya que f(0) = �2 y f(1) = e

2 � 2 > 0.

(b) El (MN) aplicado a dicha (EH) se escribe

x0 dado, x

k+1 = x

k

� f(xk

)f

0(xk

)8k � 0.

Para buscar un intervalo [a, b] donde aplicarlo y que sea un metodo bien definido y convergente a la unicasolucion ↵ 2 (0, 1) de la (EH) debemos comprobar que se verifiquen cuatro condiciones:

i) cambio de signo: un intervalo que contenga al (0,1) bastara.ii) que f

0 no se anule: bastara que el intervalo [a, b] elegido no contenga a -1/2.iii) que f

00 tenga signo constante: en este caso

f

00(x) = 2e

2x(1 + 2x) + e

2x2 = 4e

2x(x + 1),

que siempre es positivo si x > �1. Por tanto nos bastara para verificar esta condicion que �1 62 [a, b]. Nodebemos olvidar que el intervalo [a, b] debera cumplir las cuatro condiciones a la vez, de modo queaun debemos esperar a analizar la cuarta condicion.

iv) si c 2 {a, b} es tal que |f 0(c)| = mın{|f 0(a)|, |f 0(b)|}, entonces |f(c)|/|f 0(c)| b� a.

Por simplicidad, fijamos ya uno de los dos valores, por ejemplo a, tomamos a = 0 [que sirve para tenerautomaticamente la mitad de i), ii) e iii) y que conozcamos los signos de f

0 y f

00, ambos positivos ya paracualquier x � 0] y ahora forzamos a que b sea tal que f(b) > 0 y que se tenga la condicion citada arriba.

Observemos que al ser f

0 positiva, la primera parte de la condicion se lee f

0(c) = mın{f 0(a), f 0(b)} y alser f

00 positiva (f 0 creciente) se tiene que c = a = 0. Por tanto, la condicion iv) se lee a� f(a)/f

0(a) b.Al tomar a = 0 obtenemos que 2 b. Como f(b) > 0, el intervalo [0, 2] cumple las cuatro condiciones(habra otros resultados posibles, por supuesto, esta deduccion no es unica).

(c) Para el intervalo calculado en el apartado anterior, [0, 2], nos piden los valores

m1 = mın[0,2]

|f 0(x)| y M2 = max[0,2]

|f 00(x)|.

Ya hemos dicho que f

0 y f

00 son positivas, por lo que prescindimos de los valores absolutos.Ası, por propiedades de monotonıa de f

0 (creciente) y de f

00 (tambien creciente, basta ver su formula,sin necesidad de recurrir a calcular f

000 y ver su signo), se tiene que

m1 = f

0(0) = 1, M2 = f

00(2) = 12e

4,

con lo que la cota a posteriori para el (MN) se lee ahora en el intervalo [0, 2] (otras desigualdades sonposibles con otras elecciones de intervalos):

|xk+1 � ↵| 6e

4(xk+1 � x

k

)2 8k � 0.

(d) Si tomamos x0 = 0.6, los valores de las dos primeras iteraciones del (MN) son1:x1 = 0.60108565x2 = 0.60108394y aunque no lo pida el ejercicio, comentemos que dado que 0.62 [0, 2], podemos aplicar la cota delapartado anterior y garantizar que |x2 � ↵| 9.58564⇥10�10

.

Ej. 3 (a) La funcion f(x) = x�cos x es continua en [0,⇡/2] y cambia de signo en los extremos: f(0) = �1y f(⇡/2) = ⇡/2. Por el Teorema de Bolzano existe al menos una raız de f, que es solucion de la (EPF).La unicidad sigue de un argumento de monotonıa para f : en efecto, f

0(x) = 1� cos x siempre es positivaen el intervalo indicado (solo se anula en ⇡/2), con lo que f es estrictamente creciente en dicho intervalo,lo que prueba la unicidad de raız para f y de punto fijo para g en el citado intervalo.2

(b) Al ser g de clase C

1 en todo R, y tener g

0(↵) = �sen↵, que en valor absoluto es menor estrictoque 1 en todo [0,⇡/2) (ya que ↵ 6= ⇡/2), se puede aplicar el Teorema de convergencia local del (MAS), loque prueba la afirmacion3.

(c) Hay que probar que g satisface las dos hipotesis del Teorema enunciado en el ejercicio 1 para elintervalo [1/2, 1].

La contractividad es evidente: g

0(x) = �senx que es positiva en dicho intervalo y

max[1/2,1]

|g0(x)| = sen (1) ⇠ 0.8414709 < 1,

donde hemos usado4 que |g0(x)| =sen(x) es una funcion creciente en [1/2, 1].En segundo lugar, comprobamos que g([a, b]) ⇢ [a, b]. Como la funcion g es decreciente en dicho

intervalo, se tiene queg([1/2, 1]) = [g(1), g(1/2)] ⇠ [0.877, 0.54] ⇢ [1/2, 1].

(d) La cota a posteriori del error para el (MAS) dice que

|xk

� ↵| L

k

1� L

|x1 � x0|.

1Los valores numericos obtenidos aquı y en otros apartados del examen pueden variar ligeramente dependiendo de lamaquina utilizada.

2Hay otras vıas para probar este apartado. Por ejemplo, dado que la monotonıa de f indica la unicidad de solucion parael problema (hay a lo mas una solucion), quien lea el examen completo puede ahorrarse el trabajo de la existencia e indicarque esta sigue del apartado (c) que se prueba mas adelante. Una vıa erronea pero utilizada por varios alumnos es probar lashipotesis del Teorema Global de Convergencia del (MAS) en [0, ⇡/2], pero esto es incorrecto ya que g no es contractiva en[0, ⇡/2], sino que es contractiva en cualquier intervalo de la forma [0, b] con b < ⇡/2 ya que max[0,b] sen x = sen b = L 2 [0, 1).

3Otra forma de probar este apartado tras haber leıdo el examen completo antes de empezar es diciendo que es consecuenciadel apdo. siguiente c), ya que si en [1/2,1] hay convergencia global del (MAS) hacia la unica solucion y es claro que ↵ 6= 1/2y ↵ 6= 1, por tanto ↵ 2 (1/2, 1) y la convergencia global implica trivialmente la convergencia local.

4La calculadora SIEMPRE debe estar en modo rad (radianes).

Como nos indican que tomemos x0 = 1, tenemos que x1 = cos(1). Ademas conocemos el valor de laconstante de contractividad L =sen(1) 2 [0, 1). Ası que basta imponer

L

k

1� L

|x1 � x0| < 10�4

y despejar el valor de k. Operando, resulta que

k � ln(1� L)� 4 ln 10� ln | cos(1)� 1|lnL

⇠ 59.52,

con lo que basta hacer 60 iteraciones para garantizar por esta acotacion un error menor que 10�4.

(e) Dado x0 = 1 solo debemos pulsar la tecla “cos” de la calculadora repetidamente para obtenertantas iteraciones como queramos. En concreto, tras pulsar entre 25 y 30 veces obtenemos:

x25 = 0.73907137x26 = 0.73909441x27 = 0.73907889x28 = 0.73908934x29 = 0.7390823x30 = 0.73908704Observemos que mientras el apartado anterior hablaba de 60 iteraciones, este numero se obtenıa como

cota suficiente del numero de iteraciones, pero no necesariamente hay que llegar a tantas para obtenercuatro decimales exactos. De hecho, vemos que con 30 iteraciones, ya tenemos cinco decimales exactos,o sea, que el error es menor que 10�5

. No obstante, y dado que el (MAS) es en este caso de orden exac-tamente 1 (pues g

0(↵) 6= 0 al ser ↵ 6= 0), la convergencia sigue siendo lenta, y en cambio el Metodo deNewton convergera mas rapidamente (orden al menos dos, y en este caso exactamente dos, por tenerseque f

00(↵) 6= 0), como veremos en el siguiente apartado.

(f) Verifiquemos las tres hipotesis de la Regla de Fourier en [1/2, 1] para f , a saber:i) Ya hemos comprobado al principio del ejercicio que g([1/2, 1]) ⇢ [1/2, 1], lo que implica el cambio

de signo en f, en efecto: f(1/2) ⇠ �0.37758 y f(1) = 0.45969 tienen signos distintos.ii) f

0(x) = 1+sen(x) � 1 en [0,⇡/2] y por tanto no se anula en ningun punto de [1/2, 1], que era lacondicion segunda.

iii) f

00(x) = cos(x) tiene signo constante en [1/2, 1], que es positivo, con lo que se cumple la terceracondicion.

Ahora, tomando x0 2 {1/2, 1} tal que f(x0)f 00(x0) � 0, sabemos que el Metodo de Newton sera con-vergente. Al tener que f

00 es positiva, tomamos x0 = 1, ya que f(1) > 0. Los valores resultantes de lascuatro primeras iteraciones son:

x1 = 0.7503638x2 = 0.7391128x3 = 0.7390851x4 = 0.7390851

con lo que vemos que al menos siete cifras son exactas (de hecho, probablemente sean trece o catorce -aunque no visibles en nuestras calculadoras-, ya que (MN) es de orden al menos dos), y con tres iteracioneshabıamos obtenido ya una aproximacion mejor que las 30 hechas con el (MAS), lo que prueba la mayorrapidez del (MN) que ya sabıamos por teorıa, en comparacion con el (MAS) x

k+1 = cos x

k

, que en estecaso es de orden exactamente uno (por lo ya argumentado al final del apartado anterior).


SEGUNDA PRUEBA INTERMEDIA – 31/05/2013

Nombre y Apellidos:

1. (a) Sea A 2 M

n⇥n

(R). Dar la definicion de que A sea definida positiva.

(b) Demostrar que una matriz A definida positiva tiene determinante distinto de cero.

(c) Probar que si A 2 M

n⇥n

(R) es definida positiva, e I 2 M

n⇥n

(R) denota la matriz identidad,entonces, dado � 2 [0, 1], la matriz A

�

= �A + (1� �)I es definida positiva.

(d) Concluir de los apartados anteriores que el determinante de la matriz A

�

es distinto de cero ycon ayuda del Teorema de Bolzano, se tiene que el determinante de A es mayor que cero.

(e) Como consecuencia de lo anterior, ¿como son las submatrices principales A

r

de una matriz A

definida positiva? ¿y sus menores principales det(Ar

)? ¿Que se deduce por tanto del Teoremade Doolittle para una matriz A definida positiva?

2. Consideramos el sistema lineal de tres ecuaciones con tres incognitas8<

:

x +z = 1,

4y +8z = 4,

x +8y +21z = 9.

(a) Aplicar el Metodo de Gauss (sin ningun tipo de pivote, ni parcial ni total) para resolver elsistema.

(b) Justificar que la matriz de coeficientes del sistema, A, admite descomposicion de tipo LU yhallar la unica factorizacion LU de tipo Doolittle.

(c) Justificar que la matriz A es definida positiva y hallar la descomposicion de Cholesky.

3. (a) Enunciar y demostrar el teorema de interpolacion de Lagrange.

(b) Obtener por el metodo que se estime mas conveniente el polinomio de interpolacion de lafuncion f(x) = x

3 + x

2 + x + 1 en los valores x0 = 0, x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3 y x4 = 10.

4. (a) Aplicar la Regla de Simpson simple (no compuesta) para aproximarZ 1

0

41 + x

2dx.

No analizar el error; solo indicar el valor numerico aproximado de dicha integral.

(b) Enunciar la formula del punto medio compuesta para aproximar la integralR

b

a

f(x)dx para unafuncion f 2 C

2([a, b]) usando n subintervalos ası como el error cometido en dicha aproximacion.

(c) Aplicar el enunciado anterior para estimar el numero de subintervalos n en que habrıa quedividir el intervalo [0, 1] para aproximar

Z 1

0

11 + x

2dx

con un error menor que 2.5⇥10�5. Si llevaramos al ordenador la ejecucion de este metodo de

integracion numerica y multiplicaramos por 4 el resultado, ¿que valor estarıamos aproximandocon al menos tres cifras decimales exactas?

Puntuacion: Ejercicios 1 y 3: 2 puntos cada uno; Ejercicios 2 y 4: 3 puntos cada uno.

SOLUCION

Ej. 1

(a) A es definida positiva si para todo x 2 Rn \ {~0} se tiene que x

⇤Ax > 0.

(b) Si det(A) = 0, entonces existe v 2 Rn\{~0} tal que Av = 0, pero entonces v

⇤Av = 0, en contradiccion

con que A es definida positiva.

(c) Dado cualquier vector x 2 Rn \ {~0}, se tiene que

x

⇤A

�

x = �x

⇤Ax + (1� �)kxk2

que es positivo estrictamente al ser combinacion convexa de dos valores estrictamente positivos:x

⇤Ax y kxk2.

(d) Como A

�

es definida positiva para todo � 2 [0, 1], por el apartado (a), se tiene que det(A�

) es nonulo para cualquier � 2 [0, 1]. Por tanto, la funcion g(�) :=det(A

�

), que es una funcion continua yque no se anula nunca en [0, 1] cumple que tiene signo constante. Como g(0) = 1, se tiene que elsigno es siempre positivo.

(e) Si A es definida positiva, es claro que cualquier submatriz principal suya A

r

tambien es definidapositiva, ya que tomando x := (x1, . . . , xr

)t 2 Rr \ {~0}, se tiene que

x

⇤A

r

x = x

⇤Ax > 0

donde hemos notado x = (x1, . . . , xr

, 0, . . . , 0)t 2 Rn \ {~0}. Por tanto, todos los menores principalesdet(A

r

) son no nulos (de hecho, son estrictamente positivos), y por el Teorema de Doolittle, se tieneque una matriz A definida positiva admite descomposicion LU.

Ej. 2

(a) Aplicamos el Metodo de Gauss a la matriz ampliada (coeficientes y terminos independientes):0

@1 0 1 10 4 8 41 8 21 9

1

A ==)F3 = F3 � F1

0

@1 0 1 10 4 8 40 8 20 8

1

A ==)F3 = F3 � 2F2

0

@1 0 1 10 4 8 40 0 4 0

1

A

La resolucion por un algoritmo de subida indica que z = 0, y = 1 y x = 1.

(b) Las hipotesis del Teorema de Doolittle exigen que los menores principales sean no nulos. Es claroque los tres menores principales de A son no nulos (los dos primeros lo son de forma trivial, ydet(A) = 1⇥ 4⇥ = 16 fijandonos en la diagonal de la matriz final obtenida por el Metodo de Gaussen el apartado anterior, lo que no ha modificado el valor del determinante). Aplicando el Teoremade Doolittle, existe factorizacion LU (que ademas por teorıa es unica de tipo Doolittle, esto es, conunos en la diagonal de L).

Para obtenerla1 usamos el hecho de que en las transformaciones hechas en el calculo anterior (en lasque no ha sido necesario cambiar de pivote en ningun momento), se tiene que la matriz triangularsuperior U es la obtenida finalmente en el proceso de Gauss, mientras que la matriz triangular

1Aunque podrıamos hacer directamente la descomposicion despejando termino a termino en la igualdad A = LU (primerafila de U , primera columna de L, segunda fila de U , segunda columna de L, etc), es mas rapido usar el apartado anterior.

inferior L es2 la formada por unos en la diagonal, y signos cambiados (digamos ↵) en las posicionesfila i columna j de los coeficientes empleados al sustituir la fila F

i

por F

i

� ↵F

j

:

L =

0

@1 0 00 1 01 2 1

1

A, U =

0

@1 0 10 4 80 0 4

1

A.

Es inmediato comprobar (y es recomendable hacerlo) que A = LU.

(c) Lo primero que debemos observar es que se verifican las hipotesis del Teorema de Cholesky: simetrıay caracter definido positivo de A por el Criterio de Sylvester (todos los menores principales sonmayores estrictamente que cero).

Obtengamos B 2 M

n⇥n

(R) triangular inferior tal que A = BB

⇤. Para ello3 nos apoyamos en el

siguiente resultado:

A 2 M

n⇥n

(R) simetrica y tal que admite factorizacion LU , entonces existe una matriz diagonal D

tal que A = LDL

⇤. Mas concretamente, se puede descomponer U = DL

⇤.

En este caso, es facil identificar D, cuya diagonal es la diagonal de U :

D =

0

@1 0 00 4 00 0 4

1

A.

Al ser todos estos terminos positivos, podemos extraer raıces cuadradas y escribir D = D

1/2D

1/2,lo que implica que B = LD

1/2 es la matriz de la factorizacion de Cholesky, ya que BB

⇤ =LD

1/2D

1/2L

⇤ = LU = A :

B = L

0

@1 0 00 2 00 0 2

1

A =

0

@1 0 00 2 01 4 2

1

A ;

efectivamente se puede comprobar que A = BB

⇤.

Ej. 3

(a) Dada una funcion f : [a, b] ! R, n + 1 valores {xi

}n

i=0 ⇢ [a, b] distintos entre si dos a dos, existe ununico polinomio de grado a lo mas n, que denotaremos p

n

(·) 2 Pn

[x], que interpola a f en dichosnodos, es decir, p

n

(xi

) = f(xi

) para todo i = 0, . . . , n.

4

Mas aun, dicho polinomio puede escribirse de la forma

p

n

(x) =nX

i=0

f(xi

)Li

(x)

dondeL

i

(x) = ⇧n

j=0,j 6=i

x� x

j

x

i

� x

j

2 Pn

[x] 8 i = 0, . . . , n.

2Recuerdese el resultado de teorıa que a partir de la igualdad E

(n�1)E

(n�2)...E

(1)A = U permitıa escribir A = LU con

L = (E(1))�1. . . (E(n�1))�1, que es triangular inferior, con diagonal formada por unos, y elementos bajo la diagonal principal

los de las matrices originales E

(i) cambiados de signo.3Aunque podrıamos calcular B directamente despejando de la igualdad A = BB

⇤ de forma analoga a como se calcula engeneral la descomposicion LU, , usaremos un metodo mas rapido a partir de lo calculado previamente.

4Un enunciado equivalente es que dados n + 1 pares de valores reales {(xi, fi)}ni=0 con los valores {xi}n

i=0 distintos entresi dos a dos, existe un unico polinomio de grado a lo mas n, que denotaremos pn(·) 2 Pn[x], que interpola a dichos valores,es decir, pn(xi) = fi para todo i = 0, . . . , n.

Prueba de la existencia. Consideremos los polinomios L

i

(x) que acabamos de construir arriba (yque obviamente tienen grado menor o igual que n). Tenemos que L

i

(xj

) = �

ij

(delta de Kronecker;1 si i = j, 0 si i 6= j), con lo que la funcion p

n

(x) =P

n

i=0 f(xi

)Li

(x) es un polinomio de gradomenor o igual a n que interpola a los valores dados.

Unicidad del polinomio de interpolacion. Si hubiera dos polinomios p

n

y q

n

con las propiedadesdel enunciado, entonces r

n

(x) := p

n

(x) � q

n

(x) serıa otro polinomio de grado menor o igual que n

con al menos n+1 raıces distintas entres sı. Ello implica que r

n

(x) es factorizable por monomios dela forma x� x

j

y en definitiva que

r

n

(x) = C(x� x0) · . . . · (x� x

n

).

Pero para que r

n

tenga grado menor o igual que n, ha de tenerse que C = 0, de donde p

n

(x) ⌘ q

n

(x),lo que termina la prueba5.

(b) La funcion f(x) = x

3 + x

2 + x + 1 es un polinomio de grado tres, que evidentemente se interpola asi mismo. Dado que nos piden un polinomio de interpolacion en cinco puntos (el polinomio deberıatener grado a lo mas cuatro), y f lo cumple, por la unicidad del polinomio de interpolacion (probadaen el apartado anterior), el polinomio buscado es la propia funcion y = f(x).

Ej. 4

(a) La Regla de Simpson para aproximar la integral definidaR

b

a

g(x)dx de una funcion g dada consisteen la formula

b� a

6

✓g(a) + g

✓a + b

2

◆+ g(b)

◆.

Aplicado a g(x) = 4/(1 + x

2), a = 0 y b = 1, produce el valor numerico 3.1_

3 (que efectivamenteguarda “cierto parecido” con el numero ⇡, que es el valor exacto solucion de la integral definida).

(b) Dada f 2 C

2([a, b]), se puede aproximarR

b

a

f(x)dx por

I

PMC

(f) = h

nX

j=1

f

✓x

j

+ x

j�1

2

◆

donde h = (b� a)/n, y x

j

= a+ jh para todo j = 0, . . . , n. Usando dicha formula, el error cometidoviene dado por Z

b

a

f(x)dx� I

PMC

(f) =124

f

00(⇠)h2(b� a)

para cierto ⇠ 2 [a, b].

(c) Del apartado previo, tenemos la estimacion��Z

b

a

f(x)dx� I

PMC

(f)��

M2

24h

2(b� a),

donde M2 = max[a,b] |f 00(x)|.5Otra forma de finalizar la unicidad es decir que por el Teorema Fundamental del Algebra, un polinomio de grado a lo

mas n posee a lo mas n raıces, salvo que sea identicamente nulo (que es la opcion que ocurre al tener al menos n + 1 raıcesdistintas en este caso).

Calculamos primero f

0 y f

00 en este caso concreto.

f

0(x) =�2x

(1 + x

2)2,

f

00(x) =�2(1 + x

2)2 + 2(1 + x

2)(2x)2

(1 + x

2)4=�2� 2x

2 + 8x

2

(1 + x

2)3= 2

3x

2 � 1(1 + x

2)3.

Si nos fijamos en el intervalo [0,1], acotando el numerador de f

00 por su maximo, y el denominadorpor su mınimo, llegamos a la siguiente estimacion (posiblemente no optima6):

maxx2[0,1]

|f 00(x)| 4,

con lo que al tomar valores absolutos en la formula del error del apartado (a) y sustituir la cotaobtenida, concluimos que

��Z 1

0

11 + x

2dx� I

PMC

(f)��

424

h

2 =1

6n

2.

Por tanto, si deseamos que el error sea menor que 2.5⇥10�5 basta imponer que

16n

2 2.5⇥ 10�5

,

esto es, 81.649 n con lo que bastara tomar n = 82. Lease nota al pie para una mejora7.

La integral que estarıamos aproximando serıaR 10 4/(1+x

2)dx = ⇡ y el error menor que 4⇥2.5⇥10�5 =10�4

, con lo que estarıamos obteniendo al menos las tres primeras cifras decimales de ⇡ de formaexacta [Un programa informatico en esta lınea sera analizado en las clases practicas].

6En realidad, la estimacion mas fina es la siguiente: f

000(x) = 24x(1� x

2)/(1 + x

2)4, que tiene signo positivo en [0, 1], loque implica que f

00 es creciente. Observemos que esto no significa que M2 sea f

00(1), ya que hay que tener en cuenta el valorabsoluto de f

00. De hecho, M2 = max{|f 00(0)|, |f 00(1)|} = 2.

7Si hemos usado la cota mas fina de la nota anterior, esto es, M2 = 2, operando analogamente concluimos que 57.73< n,

con lo que tomamos n = 58. Observerse que mientras mejor sea la cota utilizada para M2, mas ajustado sera el resultadofinal; analogamente, a cotas mas groseras de M2, obtendremos un valor n mayor.


PRUEBA PRACTICA – 7/6/2013

Nombre y Apellidos:

En todos los ejercicios dar tanto el codigo utilizado como el resultado obtenido.

1. Se considera la sucesion {yn

}n�1 definida por y

n

= 1/2n

. CalcularP10

n=1 y

n

.

2. Se sabe que la ecuacion x = cos x tiene una unica solucion en [0,⇡/2) y que sea cual sea el valorinicial x0 2 [0,⇡/2), el MAS x

n+1 = cos(xn

) es convergente. Plantear un bucle para obtener loscuatro primeros valores de la sucesion si x0 = 1, esto es, x1, x2, x3, x4.

¿Como modificarıas el codigo anterior para hacer un fichero function cuyo argumento de salida sea elvector de las iteraciones calculadas y los argumentos de entrada sean x0, n (el numero de iteracionesa realizar) y tol, un nivel de tolerancia tal que el programa deje de calcular iteraciones si la diferencia|x

k

� x

k+1| <tol?

3. Resolver el sistema lineal Au = b que aparece mas abajo de dos formas distintas: una con un comandodirecto de Octave y otra haciendo previamente la descomposicion LU de la matriz A (observese quees diagonal dominante en sentido estricto).

A =

0

BBBB@

4 �1�1 4 �1

�1 4 �1�1 4 �1

�1 4

1

CCCCA, b =

0

BBBB@

12345

1

CCCCA.

4. El valor de la siguiente integral definida Z 1

0e

x

dx

es bien conocido: e � 1 ⇠ 1.718281... Calcularlo de forma aproximada con integracion numericausando una particion uniformemente espaciada del intervalo [0, 1] y aplicando la funcion vectorizadaf(x) = exp(x) y el comando trapz. Indicar el resultado si se toman 100 puntos equiespaciados enel intervalo [0, 1].

Hacer un programa que dependa de n, el numero de nodos equiespaciados del intervalo [0, 1], paraconstruir dicho vector, construir la imagen por una funcion vectorizada, y como resultado de salidagenere el valor aproximado de la integral con trapz.

Puntuacion: 2.5 puntos cada pregunta.

SOLUCION

1. >> sum(1./(2.^[1:10]))

ans = 0.9990

2. x(1)=1; for i=1:4

x(i+1)=cos(x(i));

end

x

La solucion obtenida es x = 1.0000 0.5403 0.8576 0.6543 0.7935

Un programa (hay muchas opciones posibles, no es unico) para la segunda parte serıa el siguiente:

function x=ejercicio2(x0,n,tol)

x(1)=x0; for i=1:n

x(i+1)=cos(x(i));

if(abs(x(i+1)-x(i))<tol)

disp(’metodo converge en ’),disp(i),disp(’ iteraciones.’)

return

end

end

disp(’metodo no ha convergido en maximo de iteraciones permitidas’)

3. Hay varias maneras de introducir las dos matrices del sistema y resolverlo. Dos formas que respondenlo pedido son:

A=diag(4*ones(5,1))-diag(ones(4,1),1)-diag(ones(4,1),-1); b=[1:5]’;

A\b

[L,U,P]=lu(A); z=L\(P*b); u=U\z

La solucion es u = 0.4962 0.9846 1.4423 1.7846 1.6962

4. Los comandos para la primera parte son xx=linspace(0,1); trapz(xx,exp(xx))

La solucion (en formato corto) efectivamente es 1.7183

Un posible programa que responda la segunda parte serıa:

function sol=ejercicio4(n)

xx=linspace(0,1,n); sol=trapz(xx,exp(xx));

Si hubieramos empezado por esta segunda parte, la primera simplemente consistirıa en ejecutar

>> ejercicio4(100)

Grado en Matematicas. Calculo Numerico I. Curso 2012/13.

Examen de junio, 21 de junio de 2013.

Primer Parcial.

Teorıa Enunciar y demostrar el Teorema de Convergencia Local del MAS.

Problema. Consideremos la ecuacion algebraica f(x) = 0, donde

f(x) =6x

x

4 + 1+ 2.

Se pide:

1. Probar que f admite dos raıces ↵1 < ↵2.

2. Escribir el metodo de Newton para calcular ↵1 en el intervalo [�2,� 4

q53 ], eligiendo

x0 segun la regla de Fourier. Probar que el metodo converge, con base a resultadosteoricos. Calcular el primer iterado.

3. Siendo g la funcion definida por

g(x) = �1 + x

4

3,

probar que g cumple las hipotesis del teorema de convergencia global del MAS en elintervalo [�1

2 , 0].

4. Explicar por que si se toma x0 2 [�12 , 0] el MAS aplicado a g(x) converge a la raız ↵2

de f(x). Estimar el numero de iteraciones necesarias para calcular esta raız medianteel MAS con un error menor que 10�4, empezando por x0 = 0.

Puntuacion: Teorıa: 3 puntos. Problema: 7 puntos.

Segundo Parcial.

Teorıa

1. Sea f : [a, b]! IR continua.

a) Obten el polinomio de interpolacion P0 de f correspondiente al punto x0 =(a + b)/2, y el polinomio de interpolacion P1 de f correspondiente a los puntosx0 = a, x0 = b. Como consecuencia deduce las formulas de integracion del puntomedio y de los trapecios.

b) Dividiendo el intervalo [a, b] en n partes iguales y aplicando el metodo del puntomedio en cada una obten la formula del punto medio compuesta. Mediante un proce-dimiento similar pero aplicando ahora la formula de los trapecios en cada intervalo,deduce la formula compuesta de los trapecios.

Problemas

1. Consideremos la matriz A =

0

BB@

1 �1 0 1�1 5 �2 �1

0 �2 5 �21 �1 ↵ 6

1

CCA, y el vector b =

0

BB@

�24�2

0

1

CCA .

a) Calcular de forma directa la factorizacion LU de A, y probar que esta existe paratodo ↵ 2 IR. Probar que para cierto valor de ↵ uno de los menores principalesde la matriz A se anula. ¿Contradice esto la teorıa?

b) ¿Para que valores de ↵ admite A factorizacion de Cholesky?. Deducir esta apartir de la factorizacion LU.

c) Usando la factorizacion de LU de A y tomando ↵ = 5 resolver el sistema linealAx = b.

2. Hallar un valor aproximado dep

10 utilizando el polinomio de interpolacion de lafuncion f(x) =

px en los puntos x0 = 1, x1 = 4, x2 = 9 y x3 = 16. Para ello,

calcular el polinomio de interpolacion mediante la formula de Newton. Comparar elvalor calculado con

p10.

Puntuacion: Teorıa: 3 puntos. Problema 1: 5 puntos. Problema 2: 2 puntos.


Examen de junio, 21 de junio de 2013. Matlab

Nota previa: indicar solo en papel los comandos que escribirıa para cada uno de los

siguientes ejercicios si estuviera delante del ordenador.

1. Calculo de la expresion

sin

✓4e

3

cos(⇡/3)

◆+ ln 20.

2. Representacion de la funcion y = x

3+ e

�x

en el intervalo [0, 1].

3. Programar un bucle que calcule el Metodo de Newton para la funcion f(x) =

6x

x

4+ 1

+ 2 a partir de una inicializacion dada.

4. Consideremos la matriz y el vector

A =

0

BB@

1 �1 0 1

�1 5 �2 �1

0 �2 5 �2

1 �1 �2 6

1

CCA , b =

0

BB@

7

�6

5

11

1

CCA .

Admitiendo que la matriz admite una factorizacion de tipo Cholesky, utilizar el

comando chol para resolver en dos algoritmos de bajada y subida el sistema Ax = b

anterior mediante la factorizacion de Cholesky.

5. Programar el calculo del polinomio de interpolacion de la funcion f(x) =

px en los

puntos x0 = 1, x1 = 4, x2 = 9 y x3 = 16, utilizando el comando polyfit(x,y,n) con

valores adecuados. Evaluar el polinomio en x = 10 a traves del comando polyval.

¿Que valor se espera aproximar?

Grado en Matematicas. Calculo Numerico I. Curso 2012/13. 4/9/2013

Examen de segunda convocatoria de teorıa y problemas.

Teorıa.

1. Describir el metodo de dicotomıa (o biseccion) y obtener la cota de error para estemetodo.

2. (a) Sean a, b 2 R, con a < b, y f 2 C

2([a, b]) una funcion. Tomando c = (a + b)/2 elpunto medio de [a, b], demostrar la formula de error para la formula de cuadraturadel punto medio:

R0(f) =Z

b

a

f(x) dx� f(c)(b� a) =f

00(⇠)24

(b� a)3, con ⇠ 2 [a, b].

Ayuda: Usar que para todo x 2 [a, b], se tiene el desarrollo de Taylor

f(x) = f(c) + f

0(c)(x� c) +f

00(⇣x

)2

(x� c)2,

donde ⇣

x

pertenece al intervalo de extremos c y x.(b) Usar lar regla del punto medio global para aproximar la integral definida

Z 1

0

2x

1 + x

2dx = ln(1 + x

2)��10

= ln 2.

(c) Obtener una cota a priori del error usando la formula dada anteriormente.

Problemas.

1. Se considera la ecuacion x = 2ln(1 + x) + 1. Se pide:

(a) Determinar el numero de soluciones de la ecuacion y separarlas.(b) Llamando x a la mayor de las soluciones de la ecuacion anterior vamos a aplicar el

metodo de aproximaciones sucesivas para calcularla.(b1) Demostrar que en el intervalo [4, 5] la funcion g(x) = 2ln(1 + x) + 1 verifica

0 g

0(x) 25, 8x 2 [4, 5].

(b2) Teniendo en cuenta el apartado anterior probar que para todo x0 2 [4, 5], elmetodo de aproximaciones sucesivas definido por

x

n+1 = 2ln(1 + x

n

) + 1, 8n � 1

converge hacia x.(b3) Tomando x0 = 4, calcular x1 y obtener una estimacion de |x1 � x|.

(c) En el resto de ejercicio se va a aplicar el metodo de Newton para aproximar x.(c1) Probar que la funcion

f(x) = 2ln(1 + x)� x + 1

cumple las hipotesis de la regla de Fourier en el intervalo [4, 5].

(c2) Tomando el punto x0 2 [4, 5] que proporciona la regla de Fourier, realizar unaiteracion del metodo de Newton y obtener una estimacion de |x1 � x|.

2. Se consideran las matrices

A =

0

@1 2 �12 8 0

�1 0 11

1

A, b =

0

@21832

1

A.

Se pide:

(a) Resolver el sistema Au = b mediante el metodo de Gauss.

(b) Calcular la factorizacion de Doolitle de la matriz A.

(c) A partir de la factorizacion de Doolitle, obtener la de Cholesky de A.

3. De una funcion f se conocen los siguientes valores:

x -2 -1 0 1f(x) 5 2 1 2

Se pide:

(a) Hallar un polinomio P que coincida con f en los puntos de la tabla anterior.

(b) Usando el apartado anterior, hallar un polinomio Q que coincida con f en lospuntos de la tabla anterior y que ademas tome el valor 5 cuando x = 2.

(c) ¿Que valor puede considerarse como mejor aproximacion de f(4), el proporcionadopor P o por Q? Razonese la respuesta.

Puntuacion: pregunta 1 de teorıa: un punto; pregunta 2 de teorıa: dos puntos; problema 1:tres puntos; problemas 2 y 3: dos puntos cada uno.

Grado en Matematicas. Calculo Numerico I. Curso 2012/13. 4/9/2013Examen de septiembre de Practicas informaticas: Matlab/Octave

Nota previa: indicar solo en papel los comandos que escribirıa para cada uno de los si-

guientes ejercicios si estuviera delante del ordenador.

1. Calcular la expresion s5 ln 2

sen (⇡/3)

.

2. Representar la funcion y =

1

1 + x

2en el intervalo [�2, 2].

3. Programar un bucle que calcule el Metodo de Aproximaciones Sucesivas para la funcion

g(x) = 2 ln(1 + x) + 1 a partir de una inicializacion dada.

4. Se consideran la matriz y el vector siguientes:

A =

0

@1 2 �1

2 8 0

�1 0 11

1

A, b =

0

@2

18

32

1

A.

Admitiendo que la matriz admite una factorizacion de tipo Cholesky, utilizar el comando

chol para resolver en dos algoritmos de bajada y subida el sistema Ax = b anterior

mediante la factorizacion de Cholesky.

5. Programar el calculo del polinomio de interpolacion de una funcion f que verifique que

f(�2) = 5, f(�1) = 2, f(0) = 1 y f(1) = 2.

Para ello utilizar el comando polyfit(x,y,n) con valores adecuados.

Evaluar dicho polinomio en x = 2 a traves del comando polyval.

Puntuacion: 2 puntos cada ejercicio.


Examen de 3

aconvocatoria: 25 de noviembre de 2013.

Teorıa. Enunciar y probar el Teorema de Convergencia global del Metodo de Aproximaciones

Sucesivas.

Problemas.

1. Se considera la ecuacion

2x + senx = 1. (1)

Se pide:

(a) Probar que existe una unica solucion de la ecuacion anterior.

(b) En este apartado vamos a aplicar el metodo de aproximaciones sucesivas para apro-

ximar ↵. Para ello, escribimos la ecuacion (1) en la forma

x =

1

2

� senx

2

. (2)

(b1) Escribir el metodo de aproximaciones sucesivas correspondiente a (2) y probar su

convergencia para todo x0 2 [0, ⇡/6].

(b2) Tomando x0 = ⇡/6, calcular x1 y obtener una estimacion de |x1 � ↵|.

(c) En este apartado vamos a aplicar el metodo de Newton para aproximar ↵.

(c1) Prueba que la funcion

f(x) = 2x + senx� 1

cumple las hipotesis de la regla de Fourier en el intervalo [0, ⇡/6].

(c2) Tomando el punto x0 2 [0, ⇡/6] que proporciona la regla de Fourier, realizar una

iteracion del metodo de Newton y obtener una estimacion de |x1 � ↵|.

2. Dada la matriz

A =

0

@1 2 3

2 5 10

3 10 26

1

A, (3)

se pide:

(a) Justificar por el criterio de Sylvester que A es definida positiva

(b) Calcular la unica descomposicion de Cholesky de A con elementos positivos en la

diagonal.

(c) Aplicar el metodo de Cholesky para resolver la ecuacion Ax = b con b = (2, 2,�5)

t.

3. (a) Dado h > 0, aplica la formula de integracion del punto medio para aproximar la

integral Z h

0

dx

1 + x

.

(b) Como consecuencia del apartado anterior y teniendo en cuenta la expresion del

error para la formula del punto medio, prueba que se tiene la desigualdad

��ln(1 + h)� 2h

2 + h

�� h

3

12

, 8h > 0.

Puntuacion: Teorıa 2 ptos. Problema 1: 3.5 ptos; problema 2: 2.5 ptos; problema 3: 2 ptos.

Grado en Matematicas – Universidad de Sevilla Curso 2013/14

Calculo Numerico I – 1

er

parcial – Grupo A (especial) 30/4/2014

1. Enunciar el Teorema de Convergencia Global del Metodo de Newton (MN).

2. Enunciar y demostrar el Teorema de Convergencia Global del Metodo de Aproximaciones Suce-sivas (MAS).

3. Se considera la siguiente ecuacion:

x

3 � 2x + 1 = �x. (1)

(a) Estudia el numero de raıces de dicha ecuacion y separalas en intervalos disjuntos.

(b) Asociada trivialmente a la ecuacion (1), consideramos a partir de ahora la (EPF)

�x

3 + 2x� 1 = x.

Justifica que la menor de las raıces de la ecuacion (a la que denotaremos por ↵1) es repulsivapara el (MAS) asociado a dicha (EPF).

4. Asociada a la ecuacion (1), consideramos la ecuacion homogenea (EH)

f(x) = 0

donde f(x) = x

3 � x + 1.

(a) Hallar un intervalo en el que se verifiquen las hipotesis del Teorema de Convergencia Globaldel Metodo de Newton (MN) asociado a la (EH) para la menor de sus raıces.

(b) Dar una expresion del error absoluto cometido en el intervalo calculado en el apartadoanterior para |xk+1 � ↵| en funcion de |xk+1 � xk|2, M2 y m1, hallando explıcitamente losvalores M2 y m1.

(c) Aplicar la Regla de Fourier en el intervalo hallado en el apartado (b) con la inicializacionadecuada para calcular x1, x2, x3, etc, de modo que el error |xk+1 � ↵1| < 10�4.

Duracion: 1 hora y 30 minutos.Puntuacion: Ejercicio 1: 1 pto.; ejercicio 2: 2 ptos.; ejercicio 3: 2 ptos.; ejercicio 4: 5 ptos.



er

parcial – Grupo A : Prof. P. Marın Rubio 9/4/2014

1. Enunciar el Teorema de Convergencia Global del Metodo de Aproximaciones Sucesivas (MAS).

2. Enunciar el Teorema de Convergencia Local del Metodo de Aproximaciones Sucesivas y demostrarlo suponiendo

valido el Teorema de Convergencia Global del MAS (es decir, no hay que probar el Teorema Global).

3. Se considera la siguiente ecuacion de punto fijo (EPF):

�e

x/6 = x.

Se pide:

(a) Estudia el numero de raıces de dicha ecuacion y separalas en intervalos disjuntos.(b) Escribe el (MAS) asociado a la (EPF).(c) Justifica que la menor de las raıces de la (EPF) (en caso de que tenga varias soluciones) es atractiva para

el (MAS) asociado. Supuesto que la sucesion generada por el (MAS) nunca llega a coincidir con dicharaız, ¿de que orden es exactamente el (MAS)?

(d) Calcula justificadamente un intervalo donde el Teorema de Convergencia Global del MAS pueda utilizarsepara aproximar la menor de las raıces de la (EPF).

(e) ¿Que numero de iteraciones mınimas son necesarias segun el apartado anterior para garantizar un errormenor que 10�2, sea cual sea el valor inicial x0 con que se aplique el metodo?

(f) Considera x0 = �1 y calcula tres iteraciones del (MAS) asociado a la (EPF).

4. Se considera la siguiente ecuacion homogenea (EH):

x� e

x/6 = 0.

Se pide:

(a) Estudia el numero de raıces de dicha ecuacion y separalas en intervalos disjuntos.(b) Justifica que el (MAS) asociado a la (EH) escrita como la (EPF) e

x/6 = x no es localmente convergentehacia la mayor de las raıces de la ecuacion, esto es, la mayor de las raıces de la ecuacion es repulsiva parael (MAS) asociado.

(c) Analogamente, justifica que el (MAS) asociado a la (EH) escrita como la (EPF) anterior es localmenteconvergente hacia la menor de las raıces de la ecuacion, esto es, la menor de las raıces de la ecuacion esatractiva para el (MAS) asociado.

(d) Hallar un intervalo en el que se verifiquen las hipotesis del Teorema de Convergencia Global del Metodode Newton (MN) asociado a la (EH) para la menor de sus raıces.

(e) Dar una expresion del error cometido en el intervalo calculado en el apartado anterior, |xk+1 � ↵|, en

funcion de |xk+1 � x

k

|2, M2 y m1, hallando explıcitamente los valores M2 y m1.

(f) Aplicar la Regla de Fourier en el intervalo hallado en el apartado (d) con la inicializacion adecuada paracalcular x1 y estimar con el apartado (e) el error |x1 �↵1|, donde estamos denotando por ↵1 a la menorde las raıces de la (EH).

5. Usando los dos ejercicios anteriores, ¿cuantas raıces posee la ecuacion e

x/3 = x

2?

Duracion: 2 horas.Puntuacion: Ejercicio 1: 0’5; ejercicio 2: 2; ejercicio 3: 3; ejercicio 4: 4; ejercicio 5: 0’5.

Solucion (P. Marın Rubio):

Ejercicio 1 Teorema de Convergencia Global del (MAS) y acotacion del error. Sean a, b 2 R, cona < b, y g : [a, b] ! R dados. Supongamos que g([a, b]) ✓ [a, b] y que g es contractiva en el intervalo [a, b], conconstante de contractividad L 2 [0, 1). Entonces,


2. El metodo de aproximaciones sucesivas (MAS) esta bien definido en [a, b], esto es, para todo x0 2 [a, b] setiene que {x

k

}k�0 ⇢ [a, b].

3. El metodo de aproximaciones sucesivas (MAS) es globalmente convergente en [a, b] hacia ↵ con orden deconvergencia al menos 1.


|xk

� ↵| L

k|x0 � ↵| 8k � 0, x0 2 [a, b] (cota a priori),

|xk

� ↵| L

k

1� L

|x1 � x0| 8k � 1, x0 2 [a, b] (cota a posteriori).

Ejercicio 2 Teorema de Convergencia Local del (MAS). Sea I ⇢ R un intervalo abierto y g : I ! Runa funcion tal que existe ↵ 2 I verificando g(↵) = ↵. Supongamos que existe � > 0 tal que (↵ � �,↵ + �) ⇢ I yg 2 C

1(↵� �,↵ + �). Supongamos tambien que

|g0(↵)| < 1.

Entonces, ↵ es un punto atractivo para (MAS), es decir, existe ⇢ 2 (0, �) tal que para cualquier x0 2 [↵� ⇢, ↵ + ⇢],el (MAS) esta bien definido y genera una sucesion {x

k

}k�0 que satisface lim x

k

= ↵. Ademas, existe una constanteL 2 [0, 1) (que depende de ⇢ y |g0(↵)|) tal que

|xk

� ↵| L

k|x0 � ↵| 8k � 0, x0 2 [↵� ⇢, ↵ + ⇢],

|xk

� ↵| L

k

1� L

|x1 � x0| 8k � 1, x0 2 [↵� ⇢, ↵ + ⇢].

Demostracion. La prueba es una consecuencia del Teorema de Convergencia Global del (MAS) aplicado en unintervalo (que tendremos que encontrar) [↵�⇢, ↵+⇢]. Como |g0(↵)| < 1, existe ⇢ 2 (0, �) tal que g 2 C

1([↵�⇢, ↵+⇢])y

|g0(x)| < 1 8x 2 [↵� ⇢, ↵ + ⇢].

Como g 2 C

1, por el Teorema de Weierstrass,

L = maxx2[↵�⇢,↵+⇢]

|g0(x)| = |g0(x)| < 1, con x 2 [↵� ⇢, ↵ + ⇢],

es una constante de contractividad asociada.Por otro lado g([↵� ⇢, ↵ + ⇢]) ✓ [↵� ⇢, ↵ + ⇢] pues, fijado x 2 [↵� ⇢, ↵ + ⇢], existe ⇠ 2 (↵� ⇢, ↵ + ⇢) tal que

|g(x)� ↵| = |g(x)� g(↵)| = |g0(⇠)||x� ↵| L|x� ↵| L⇢ < ⇢.

Se tiene ası la propiedad.Podemos aplicar el Teorema de Convergencia Global del (MAS) a g en el intervalo [↵� ⇢, ↵ + ⇢] obteniendo la

prueba del resultado.

Ejercicio 3

(a) Definimos la funcion auxiliar f(x) = e

x/6 + x, que esta bien definida y es continua y derivable en todo R.

Como f

0(x) = e

x/6/6 + 1 es estrictamente positiva, f es estrictamente creciente en todo R, por lo que a lo

mas f posee un cero (es decir, g posee a lo mas un punto fijo). Por otro lado, usando los “extremos” delintervalo donde f es monotona, como lim

x!�1

f(x) = �1 y limx!1

f(x) = 1, tenemos que hay cambiode signo de la funcion f . Por tanto, es posible elegir ciertos valores a y b con los que aplicar el Teorema deBolzano en el intervalo [a, b]. Mas concretamente, se comprueba que f cambia de signo entre x = �1 y x = 0.Por el Teorema de Bolzano, f posee al menos un cero en dicho intervalo. De todo lo anterior se deduce quela (EPF) posee una unica solucion en R, y que se encuentra en el intervalo [�1, 0].

2

(b) Consideramos la funcion g(x) = �e

x/6, que es continua y derivable en todo R. El (MAS) se escribe:⇢

Dado x0 2 R,

x

k+1 = g(xk

) = �e

xk/6, k � 0.

(c) Como la (EPF) posee una unica solucion, que denotaremos ↵, por el Teorema de Convergencia Local del(MAS), basta comprobar si |g0(↵)| < 1. Como g

0(x) = �e

x/6/6 y ↵ 2 [�1, 0], se tiene que |g0(↵)| 1/6. Ello

implica que el (MAS) es localmente convergente en un entorno de ↵.Si para todo k 2 N, x

k

6= ↵, como g

0(↵) 6= 0, por un resultado de teorıa, el (MAS) es de orden exactamenteuno.

(d) Buscamos un intervalo [a, b] donde g sea contractiva y que g([a, b]) ⇢ [a, b]. Como |g0(x)| 1/6 en todo(�1, 0], tenemos garantizada la contractividad de g por un resultado de teorıa (Teorema del Valor Medio)con constante de contractividad⇤ L = 1/6. Ası, nos centramos en buscar a y b con a < b 0 y cong([a, b]) = [g(b), g(a)] ⇢ [a, b] (en la ultima igualdad hemos usado que g es decreciente). La primera tentativa,tras el apartado (a) anterior, es probar a = �1 y b = 0. Comprobamos efectivamente que g(0) = �1 yg(�1) = �e

�1/6 ⇠ �00846. Por tanto, podemos considerar el intervalo [�1, 0] donde el (MAS) esta bienplanteado y es convergente hacia ↵, la unica solucion de la (EPF).

(e) Si utilizamos la estimacion a priori del Teorema de Convergencia Global del (MAS), entonces se tiene que

|xk

� ↵| L

k|x0 � ↵|.

Como sabemos que el metodo converge para cualquier x0 2 [a, b] = [�1, 0] y que ↵ 2 [�1, 0], entonces|x0 � ↵| 1. Ademas, por el apartado anterior, podemos considerar L = 1/6, con lo que para conseguir que|x

k

� ↵| 10�2 basta imponerL

k 10�2.

Despejando, se tiene que

k � ln(10�2)lnL

⇠ 205701944,

de modo que serıan necesarias calcular k = 3 iteraciones†.

(f) x

k+1 = g(xk

) = �e

xk/6 genera, a partir de x0 = �1, los siguientes tres primeros terminos:x1 = �008464817, x2 = �008684195, x3 = �008652501.

Ejercicio 4

(a) Definimos la funcion f(x) = x�e

x/6. Dicha funcion esta bien definida en todo R, y es continua y derivable, de

hecho, f 2 C

2(R). La derivada f

0(x) = 1�e

x/6/6 tiene signo positivo en (�1, 6 ln 6) y negativo en (6 ln 6,1),

por lo que f posee a lo mas una unica raız en cada uno de esos intervalos. Como f(6 ln 6) = 6(ln 6 � 1) > 0y lim

x!±1

f(x) = �1 (es decir, hay cambios de signo), sabemos que aplicando la monotonıa anteriormenteestudiada de f y el Teorema de Bolzano en intervalos adecuados a izquierda y derecha del punto 6 ln 6, f

posee exactamente dos ceros, a los que denotaremos por ↵1 y ↵2, y que verifican ↵1 < 6 ln 6 < ↵2.

(b) Si llamamos g(x) = e

x/6, como g

0(x) = e

x/6/6 y ↵2 > 6 ln 6 por el apartado anterior, se tiene que g

0(↵2) > 1.Por un resultado de teorıa, complementario al Teorema Local de Convergencia del (MAS), se concluye que↵2 es repulsivo para el (MAS) asociado.

(c) Analogamente al apartado anterior, como ↵1 < 6 ln 6, 0 < g

0(↵1) < 1, por lo que del Teorema Local deConvergencia del (MAS) se concluye que efectivamente ↵1 es atractivo para el (MAS) asociado a la (EPF)indicada.

⇤La constante L puede ser mejorada dependiendo del intervalo [a, b] en que finalmente se plantee el (MAS). No obstante L = 1/6 yanos valdra si [a, b] ⇢ (�1, 0].

†El resultado puede variar segun el intervalo considerado por cada persona.

3

(d) Sabemos del apartado (a) que f(x) = x� e

x/6 cambia de signo en (�1, 6 ln 6) pasando de negativo a positivoa traves de ↵1 (recuerdese que ↵1 < 6 ln 6), siendo su derivada f

0(x) = 1 � e

x/6/6, que se anula solo en

x = 6 ln 6. De modo que buscamos [a, b] con b < 6 ln 6 (para que f

0(x) 6= 0 en todo el intervalo [a, b]) y talque aun haya cambio de signo entre f(a) y f(b). Con ello tendremos las condiciones (i) e (ii) del Teorema deConvergencia Global del (MN). Antes de buscar esto, observemos que f

00(x) = �e

x/6/36 tiene signo constante

(negativo) en todo R, con lo que la condicion (iii) se cumple aquı trivialmente.La condicion mas compleja es la (iv): si c 2 {a, b} es tal que |f 0(c)| = min{|f 0(a)|, |f 0(b)|}, entonces|f(c)|/|f 0(c)| b� a.

Dicha condicion, dado que a izquierda de 6 ln 6, f

0 tiene signo positivo, se reescribe como

si c 2 {a, b} es tal que f

0(c) = min{f 0(a), f 0(b)}, entonces |f(c)|/f

0(c) b� a.

Observemos que f

00 siempre tiene signo negativo, por lo que f

0 es decreciente, por lo que c = b y la condicion(iv) finalmente se lee:

f(b)/f

0(b) b� a,

donde hemos utilizado que ya conocemos el signo que buscamos para f(b), positivo. Es claro que si encontramosun valor b < 6 ln 6 con f(b) > 0, siempre sera posible considerar a < b suficientemente lejano, para que (iv) sesatisfaga.Consideramos‡ b = 2, que verifica f(2) ⇠ 00604 > 0 y es por tanto valido. Calculando f(2)/f

0(2) ⇠ 007875804,tenemos que basta tomar a 102124196 (siempre y cuando f(a) < 0 para cumplir la condicion (i) de tenerf(a) < 0). Tomamos por comodidad§ en las expresiones que siguen a = 1; como f(1) < 0, de todo lo anterior,podemos afirmar que [1, 2] es un intervalo valido para aplicar el Teorema de Convergencia Global del (MN).

(e) En el intervalo [1, 2] dado en el apartado anterior, se tiene que

m1 = min[1,2]

|f 0(x)| = min[1,2]

f

0(x) = 1� e

1/3/6,

donde hemos usado que f

00 es negativa y por tanto f

0 decreciente.Ademas,

M2 = max[1,2]

|f 00(x)| = max[1,2]

e

x/6/36 = e

1/3/36,

donde hemos utilizado que e

x/6 es una funcion siempre creciente.Ası, el error a posterior dado en el (MN) asociado a la (EH) es

|xk+1 � ↵| M2

2m1|x

k+1 � x

k

|2 8k � 0.

(f) En el caso del intervalo [1, 2], la Regla de Fourier debe¶ ser aplicada con x0 = 1. El (MN) nos dice entoncesque x1 = x0 � f(x0)/f

0(x0) ⇠ 102258236.

Por otro lado, del apartado anterior

|x1 � ↵1| M2

2m1|x1 � x0|2 ⇠ 102881022⇥ 10�3

.

Ejercicio 5 Tomando raıces cuadradas en la ecuacion dada, las dos opciones con signo ±x en la derecha dela ecuacion, permiten afirmar tras los ejercicios anteriores que hay exactamente tres raıces: una negativa, masconcretamente en el intervalo (�1, 0) y otras dos positivas, una en (1, 2) y otra en (6 ln 6,1).

‡El resultado expresado aquı es uno posible, pero hay infinitas opciones igualmente validas. Hemos elegido un valor para b con elque f(b) > 0 lo mas ajustado posible, haciendo varios calculos –f(6), f(5), ...– para con ello ayudar a acortar lo mas posible la longituddel intervalo final donde resolver el problema.

§En realidad, uno deberıa preguntar si con a = 102 ya consigue el resultado, y efectivamente f(102) ⇠ �000214 ya nos vale, con loque si hubieramos elegido el intervalo [102, 2], el resultado de los siguientes calculos hubiera sido mejor.

¶Si hubiesemos elegido el intervalo [102, 2] ajustando mas, entonces hubieramos tomado x0 = 102 con lo que x1 = 102268733 y elerror cometido serıa |x1 � ↵| 108241176⇥ 10�5

.

4


Primer Parcial.

11 de Abril de 2014

1. Enuncia el teorema de convergencia global del metodo de Newton y demuestra la conver-gencia de la sucesion en el caso en que f ′ < 0 y f ′′ ≥ 0 (3 puntos).

2. Sea g : IR → IR tal que g2 tiene un unico punto fijo (por g2 entendemos la composiciong ◦g). Probar entonces que g tiene un unico punto fijo que coincide con el de g2 (1 punto).

3. Se considera la ecuacion x2 − 2 + ln(x + 1) = 0.

a) Demostrar que tiene una unica solucion y separarla.

b) Comprobar si en el intervalo del apartado a) se verifican las hipotesis del teorema deconvergencia global del metodo de Newton.

c) Calcular una aproximacion de la raız con un error menor que 10−2. (3 puntos)

4. Se considera la ecuacionx = 3

√x2 + 2.

a) Probar que esta ecuacion tiene una unica solucion y que la sucesion generada por el(MAS) converge a dicha solucion.

b) Calcular cuantas iteraciones son necesarias para garantizar un error menor que 10−3

empezando con x0 = 1 (3 puntos).



o

parcial – Grupo A : Prof. P. Marın Rubio 16/5/2014

1. Se considera el sistema lineal de tres ecuaciones y tres incognitas8<

:

x +2y +3z = �2,

2x +8y +22z = 0,

3x +22y +82z = 19.

En lo que sigue usaremos la nomenclatura usual Au = b para denotar al sistema lineal anterior. Se pide:

(a) Aplicar el Metodo de Gauss al sistema anterior, intentando en lo posible no aplicar ninguna tecnica depivote ni parcial ni total. Indicar si el sistema es incompatible o compatible, y en tal caso si es compatibledeterminado o indeterminado. Si se trata de un sistema compatible determinado, dar la solucion.

(b) Razonar justificadamente por resultados de teorıa que la matriz A de coeficientes admite factorizacionLU y calcular la unica descomposicion LU de tipo Doolittle.

(c) Razonar justificadamente por resultados de teorıa que la matriz A de coeficientes admite factorizacionde tipo Cholesky y calcular la unica descomposicion de tipo Cholesky donde los elementos de la diagonalde cierta matriz B triangular inferior son todos mayores que cero.

2. Se sabe que una funcion y = f(x) cumple que f(0) = 1, f(1) = 3, f(2) = 3 y f(3) = �5. Se pide:

(a) Enunciar el Teorema de interpolacion de Lagrange.

(b) Utilizar el Metodo de las diferencias divididas de Newton para hallar el unico polinomio de P3[x] queinterpola a f en dichos valores. A dicho polinomio de interpolacion, en lo que sigue, lo denotaremos porP3(·).

(c) Suponiendo que f 2 C

4([0, 3]) y que M4 := max[0,3] |f (4(x)| = 3, estimar con ayuda de un resultado deteorıa sobre el error de interpolacion (que debera ser enunciado), la diferencia |f(3/2)� P3(3/2)|.

3. Consideramos la funcion y =p

x. Es inmediato comprobar que que

Z 2

1

pxdx =

x

3/2

3/2

��2

1

=23(23/2 � 1) ⇠ 1021895142.

Se pide:

(a) Aplicar la formula simple del punto medio en el intervalo [1, 2] para aproximar dicho valor.

(b) Aplicar la formula simple del trapecio en el intervalo [1, 2] para aproximar dicho valor.

(c) Calcular max[1,2] |f 00(x)| y utilizar dicho valor para estimar los errores cometidos al aplicar las dosformulas anteriores, con las formulas de error de integracion numerica.

(d) Repetir lo que se solicita en los tres apartados anteriores pero con formulas de cuadratura compuestasen el intervalo [1, 2] dividiendolo en cuatro subintervalos de la misma longitud.

Duracion: 2 horas.Puntuacion: Ejercicio 1: 3 puntos; ejercicio 2: 3 puntos; ejercicio 3: 4 puntos;

Solucion (P. Marın Rubio):

Ejercicio 1(a)

0

@1 2 3 �22 8 22 03 22 82 19

1

A)

F2 = F2 � 2F1

F3 = F3 � 3F1

0

@1 2 3 �20 4 16 40 16 73 25

1

A )F3 = F3 � 4F2

0

@1 2 3 �20 4 16 40 0 9 9

1

A.

Ahora se comprueba que el sistema se ha transformado en otro equivalente, que claramente es compatible determi-nado. Por un algoritmo de subida inmediato, tenemos que la solucion es z = 1, y = �3, x = 1.

Ejercicio 1(b) La matriz A verifica las condiciones del siguiente resultado:Teorema de descomposicion LU de Doolittle: Sea A 2 M

n⇥n

(R) tal que sus menores principales son no nulos.Entonces A admite descomposicion LU con L 2 M

n⇥n

(R) triangular inferior y U 2 M

n⇥n

(R) triangular supe-rior. Ademas, dicha descomposicion es unica si exigimos que sea de tipo Doolittle, esto es, con L

ii

= 1 para todoi = 1, . . . , n.

Por el apartado anterior, y dado que el Metodo de Gauss no altera el valor de los determinantes de las siguientesmatrices (salvo en signo mas o menos si hay permutaciones de filas), tenemos que los menores principales son nonulos. Por tanto, existen L, U 2M

n⇥n

(R) como en el teorema tales que A = LU.

Sabemos por un resultado de teorıa que cuando en el Metodo de Gauss no se han intercambiado filas, ladescomposicion LU de tipo Doolittle se obtiene inmediatamente del siguiente modo: U es la matriz de coeficientesresultante al final de la transformacion. L es una matriz triangular inferior con unos en la diagonal y con resto deelementos los de signo opuesto a las operaciones realizadas, esto es,

A =

0

@1 2 32 8 223 22 82

1

A = LU =

0

@1 0 02 1 03 4 1

1

A

0

@1 2 30 4 160 0 9

1

A.

Ejercicio 1(c) A verifica las hipotesis del Teorema de factorizacion de Cholesky, a saber, A es simetrica convalores reales, y es definida positiva. Esto ultimo se cumple gracias al Criterio de Sylvester, esto es, matriz simetricade valores reales con todos sus menores principales son positivos (lo razonamos sobre los menores principales de lamatriz U obtenida tras aplicar Gauss, igual que hicimos en el apartado (b)).

Por tanto, existe B 2M

n⇥n

(R) triangular inferior, tal que A = BB

⇤. De hecho, dicha descomposicion es unicasi pedimos a la diagonal de B que este formada por valores positivos.

Otra manera de obtener dicho resultado es utilizando el hecho de que A es simetrica y admite factorizacionLU . Entonces, por un resultado dado en teorıa previo al Teorema de Cholesky, sabemos que A = LDL

⇤ conD 2M

n⇥n

(R) matriz diagonal. Si los elementos de la diagonal de D son positivos, entonces existe la factorizacionde Cholesky, y viene dada, por ejemplo, por A = BB

⇤ con B = LD

1/2.

En efecto, usando este ultimo resultado, U = DL

⇤ donde forzosamente

D =

0

@1 0 00 4 00 0 9

1

A, D

1/2 =

0

@1 0 00 2 00 0 3

1

A.

Se puede comprobar que efectivamente U = DL

⇤. Entonces tomamos

B = LD

1/2 =

0

@1 0 02 2 03 8 3

1

A,

y se comprueba que se cumple A = BB

⇤.

2

Ejercicio 2(a) Teorema de interpolacion de Lagrange. (Formula de interpolacion de Lagrange)

Sean f : [a, b]! R y {x0, x1, · · · , x

n

}, n+1 puntos distintos del intervalo [a, b]. Entonces, existe un unico polinomioP

n

(x) de grado menor o igual que n, que verifica

P

n

(xi

) = f (xi

), i = 0, 1, · · · , n.

A este polinomio se le denomina polinomio de interpolacion de f en los nodos {x0, x1, · · · , x

n

}.Ademas, el polinomio de interpolacion puede ser calculado mediante la formula

P

n

(x) =nX

i=0

f (xi

) L

i

(x),

donde, para cada i 2 {0, 1, · · · , n}, L

i

(x) es el polinomio de grado n definido por

L

i

(x) =nY

j=0j 6=i

x � x

j

x

i

� x

j

.

Ejercicio 2(b) Las diferencias divididas asociadas a los pares de valores dados son:

x

i

y

i

0 12

1 3 �10 �1

2 3 �4�8

3 �5

Por tanto,

P3(x) = 1 + 2x� x(x� 1)� x(x� 1)(x� 2)= 1 + 2x� x

2 + x� x(x2 � 3x + 2)= 1 + 3x� x

2 � x

3 + 3x

2 � 2x

= �x

3 + 2x

2 + x + 1.

No esta de mas comprobar efectivamente tras obtener la solucion, que efectivamente P3(xi

) = y

i

para todoi = 0, . . . , 3.

Ejercicio 2(c) El resultado teorico sobre el error de interpolacion dice que si f 2 C

4([0, 3]), entonces paracualquier x 2 [0, 3] existe un ⇠

x

2 [0, 3] tal que

f(x)� P3(x) =f

(4(⇠x

)4!

⇧4(x).

En particular, denotando M4 = max[0,3] |f (4(r)|, tenemos que

|f(x)� P3(x)| M4

4!|⇧4(x)|.

Aplicando esto a x = 3/2, concluimos

|f(3/2)� P3(3/2)| 324

· 32

· 12

· 12

· 32

=9

128⇠ 000703125.

3

Ejercicio 3(a) I

PM

= (b� a)f�

a+b

2

�=p

105 = 102247449.

Ejercicio 3(b) I

T

= b�a

2 (f(a) + f(b)) = 12 (1 +

p2) = 102071068.

Ejercicio 3(c) El error cometido en las formulas de cuadratura de punto medio y trapecio es respectivamente

R

PM

= f

00(⇠1)24 (b� a)3 y R

T

= � f

00(⇠2)12 (b� a)3 para ciertos puntos ⇠1, ⇠2 2 [1, 2].

Necesitamos por tanto una cota o estimacion (lo mejor posible) de |f 00(x)| para cualquier x 2 [1, 2]. En este casotan simple podemos calcular con exactitud

max[1,2]

|f 00(x)| = max[1,2]

��1

4x

px

�� =14.

Por tanto,

|RPM

| 14 · 24

=196⇠ 000104166,

|RT

| 14 · 12

=148⇠ 000208333.

Ejercicio 3(d) Si dividimos el intervalo [1, 2] en cuatro subintervalos de igual longitud, obtenemos h = 1/4 ypor tanto x0 = a = 1, x1 = 1025, x2 = 105, x3 = 1075 y x4 = b = 2.

La formula de cuadratura del punto medio compuesta es

I

PMC

= h

4X

i=1

f

✓x

i�1 + x

i

2

◆=

14

(f(10125) + f(10375) + f(10625) + f(10875)) ⇠ 10219331346.

Por otro lado, el error asociado es (para cierto ⇠1 2 [1, 2]) R

PMC

= f

00(⇠1)24 h

2(b� a), por lo que

|RPMC

| 14 · 24 · 42

⇠ 00000651042.

Analogamente, la formula de cuadratura del trapecio compuesta es

I

TC

=h

2

f(a) + 2

3X

i=1

f(xi

) + f(b)

!=

18⇥f(1) + 2

�f(1025) + f(105) + f(1075)

�+ f(2)

⇤⇠ 10218190324.

Por otro lado, el error asociado es (para cierto ⇠2 2 [1, 2]) R

TC

= f

00(⇠2)12 h

2(b � a), por lo que la cota prevista delerror es evidentemente el doble del anterior:

|RTC

| 14 · 12 · 42

⇠ 00001302083.

En ambos casos, al poder computarse exactamente la diferencia entre la integral definida exacta y las correspon-dientes aproximaciones, se comprueba que las diferencias estan acotadas por los errores predichos teoricamente.

4


Primer Parcial

16 de Mayo de 2014

1. Enuncia y demuestra el teorema de convergencia global del metodo de aproximacionessucesivas o teorema del punto fijo (3 puntos).

2. Se considera la ecuacion6 x + sen x = 3. (1)

Se pide:

a) Probar que existe una unica solucion de la ecuacion (1 punto).

b) Escribimos la ecuacion (1) de esta forma

x =1

2− sen x

6.

Encontrar un intervalo donde se tenga garantizada la convergencia global del metodode aproximaciones sucesivas y obtener una aproximacion con un error menor que 10−1

(3 puntos).

c) Resolver (1) mediante el metodo de Newton, encontrando un intervalo donde se tengala convergencia global del metodo y obteniendo una solucion aproximada con un errormenor que 10−2 (3 puntos).

Tiempo: 1 hora y media.

Segundo Parcial, 16 de Mayo de 2014.

1. Dada la matriz A ⎛

⎜⎝1 2 3

2 5 10

3 10 26

⎞

⎟⎠

a) Comprobar que es definida positiva.

b) Calcular la unica descomposicion de Cholesky de A con elementos positivos en ladiagonal.

c) Aplicar el metodo de Cholesky para resolver el sistema Ax = b con b = (2, 2,−5)t.

2. Sean

A =

⎛

⎜⎝1 2 −1

2 8 0

−1 0 11

⎞

⎟⎠ b =

⎛

⎜⎝2

18

32

⎞

⎟⎠ .

Se pide:

a) Resolver Ax = b mediante el metodo de Gauss.

b) Calcular la factorizacion de Doolittle de la matriz A.

c) A partir de la factorizacion de Doolittle obtener la de Cholesky.


x -2 -1 0 1f(x) 5 2 1 2

a) Hallar el polinomio de interpolacion de f .

b) Si ahora se tiene ademas que f(2) = 5, obtener el polinomio de interpolacion.

c) Calcular una aproximacion de∫ 1

−2 f(x) dx usando la formula compuesta de los trapecios.

4. a) Sea f ∈ C2([a, b]). Dar y demostrar una expresion del error para la formula decuadratura del punto medio.

b) Aproximar ∫ 1

0

2x

1 + x2dx

mediante dicha formula y dar una estimacion del error.¿Que valor estamos aproxi-mando?

Todos los problemas del segundo parcial valen 2’5 puntos.Tiempo: 2 horas.



aconvocatoria 16/6/2014

PRIMER PARCIAL

1. Enunciar el Teorema de Convergencia Global del Metodo de Aproximaciones Sucesivas (MAS).

2. Enunciar el Teorema de Convergencia Local del Metodo de Aproximaciones Sucesivas y demostrarlo suponiendovalido el Teorema de Convergencia Global del MAS (es decir, no hay que probar el Teorema Global).

3. El tiempo t que tarda en caer un cuerpo que se lanza hacia arriba es solucion de la ecuacion

0 = �gt +⇣

g

k

+ v

⌘(1� e

�kt),

siendo v la velocidad con la que se lanza, g la aceleracion gravitatoria y k la constante de friccion. Sabiendoque g = 9, 8m/sg

2 y suponiendo v = 50m/sg, k = 0, 1/sg tenemos entonces la ecuacion

0 = �9, 8 t + 148(1� e

� t10 ). (1)

Se pide:

a) Prueba que la ecuacion anterior tiene una unica solucion positiva que llamaremos ↵, la cual se encuentraen el intervalo [8, 9].

b) Vamos a aproximar ↵ por el metodo de aproximaciones sucesivas para lo que escribimos la ecuacion como

t =1489.8

(1� e

� t10 ).

(a) Escribe el metodo de aproximaciones sucesivas correspondiente.

(b) Demuestra que el metodo es convergente para todo t

0

2 [8, 9].

(c) Tomando t

0

= 8, 5 calcula la segunda iteracion t

2

y una cota de error cometido al aproximar ↵ por t

2

.

c) Vamos a aproximar ↵ por el metododo de Newton

(a) Escribe el metodo de Newton correspondiente

(b) Prueba que el intervalo [8, 9] se encuentra en las condiciones de la regla de Fourier para (1).

(c) Tomando t

0

el punto inicial dado por la regla de Fourier, calcula t

1

y una cota de error cometido alaproximar ↵ por t

1

.

Duracion 1er parcial: 2 horas.Puntuacion: Ejercicio 1: 1; ejercicio 2: 2; ejercicio 3: 7;




SEGUNDO PARCIAL

1. Enunciar y demostrar el Teorema de Doolittle de factorizacion LU de una matriz.

2. Se consideran las matrices

A =

0

B@1 0 20 3 12 1 5

1

CA b =

0

B@144

1

CA

Se pide:

a) Resolver el sistema A x = b mediante el metodo de Gauss.

b) Calcular la factorizacion de Doolittle de la matriz A.

c) A partir de la factorizacion de Doolittle obtener la de Cholesky.

3. Se considera la funcion f (x) =p

1 + 8 x. Se pide:

i) Determinar el polinomio de interpolacion de f en los puntos x

0

= 0, x

1

= 1, x

2

= 3 y x

3

= 6.

ii) Calcular un valor aproximado de la integralZ

1

0

f (x) dx aplicando las formulas de los trapecios y de

Simpson. Comparar con el valor exacto. Dar una estimacion del error cometido utilizando la formula delos trapecios.

Duracion 2o parcial: 2 horas.Puntuacion: Ejercicio 1: 3; ejercicio 2: 3; ejercicio 3: 4;

Duracion Examen completo (pendientes 1er y 2o parciales): 3 horas. Deberan hacer los ejercicios 1 y3 de la primera parte, y 2 y 3 de la segunda parte.Puntuacion: Ejercicio 1 (1a parte): 2; ejercicio 3 (1a parte): 3; ejercicio 2 (2a parte): 2; ejercicio 3 (2aparte): 3.




EXAMEN DE LABORATORIO

Nota previa: Entregar en papel los resultados y comandos utilizados. No se entregara ningun fichero, ni porplataforma ni correo electronico.

1. Calculare

cos(⇡/5)

2 + ln 10.

2. Realizar 10 iteraciones del MAS xk+1

= 2 ln(1 + xk) + 1 a partir de la inicializacion x

0

= 4.

3. Dada la matriz

A =

0

@15 68 996 16 233 4 7

1

A,

calcular una descomposicion LU y resolver con ella el sistema Ax = b con b = (1, 1, 1)t.

4. Aplicar la formula del trapecio en una particion del intervalo [0, 1] de paso 0.01 para aproximar la integral

Z1

0

41 + x

2

dx.

Duracion: 1h15min.Puntuacion: 2.5 puntos cada ejercicio.

SOLUCION EXAMEN LABORATORIO: [Los programas aquı expuestos no son los unicos posibles.]

• exp(cos(pi/5))/(2+log(10))

ans =

0.5219

• x=4;

for i=1:10

x=2*log(1+x)+1;

end

x

x =

4.3567 (en esta version se ha optado por mostrar solo el valor final; que es una aproximacion de la (EPF)).

• A=[15 68 99;6 16 23;3 4 7];

[L,U,P]=lu(A)

U\(L\(P*[1;1;1]))L =

1.0000 0 0

0.4000 1.0000 0

0.2000 0.8571 1.0000

U =

15.0000 68.0000 99.0000

0 -11.2000 -16.6000

0 0 1.4286

P =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

ans =

0.3333

-0.3500

0.2000

• x=[0:0.1:1];y=4./(1+x.^2);trapz(x,y)

ans =

3.1399, que efectivamente se parece (relativamente) a ⇡, el valor exacto de la integral.

4

CALCULO NUMERICO I - EXAMEN DE LABORATORIO Curso 2013/2014Grupo A (Prof. P. Marın-Rubio) 6/6/2014

Nombre y apellidos:

Nota: Entregar los ejercicios resueltos en papel: planteamiento, comandos usados, y resultados.

1. Construir los 10 primeros terminos de la sucesion x

1

= 20, xk+1

=xk

2(k � 1), y calcular

P10

i=1

xi.

2. Dada la funcion f(x) = x senx, calcular de forma aproximada el maximo global de la funcion en elintervalo [0, 4]. Para ello, construir un vector particion del intervalo [0,4] de paso 0.1, ası como lasimagenes a traves de f , y, o bien usar el comando max aplicado a dichas imagenes, o bien usar elcomando plot. Indicar el maximo de forma aproximada, y donde se alcanza.

3. (1er PIS 12-13) Usar el metodo de aproximaciones sucesivas (MAS) con el valor 1 como inicializacionpara resolver la ecuacion de punto fijo (EPF) x = cos x en [0,⇡/2] (se sabe que el metodo es convergentepor un resultado de teorıa que no hay que probar). Dar la solucion con una tolerancia de 10�3, eindicar el numero de iteraciones que han sido necesarias para obtenerla.

4. (2o PIS 13-14) Se considera el sistema lineal de tres ecuaciones y tres incognitas8<

:

x +2y +3z = �2,

2x +8y +22z = 0,

3x +22y +82z = 19.

Denotando por A a la matriz de coeficientes, usar el comando lu para hallar L y U que factorizan unacierta permutacion (por P ) de la matriz A. Emplear dicha factorizacion para resolver el sistema. Dardicha solucion.

5. Construir una particion del intervalo [0, 2⇡] con 100 puntos uniformemente espaciados.

Calcular las imagenes de dichos puntos a traves de la funcion seno.

Aplicar la regla del trapecio compuesto a dichos vectores con el comando adecuado de MatLab/Octave.Dar el resultado y analizar si es logico el valor obtenido.

6. Con ayuda del comando quad y una funcion y = f(x) definida por f(x) = x senx, calcular

Z1

0

f(x)dx.

Tiempo: 1 hora.Puntuacion: Ejercicios 1, 2, 4 y 6: 1.5 puntos; ejercicios 3 y 5: 2 puntos cada uno.

SOLUCION:

1. x=20;

for i=1:9

x(i+1)=x(i)/2;

end

sum(x)

39.9609

2. x=[0:0.1:4];

y=x.*sin(x);

[maximo,idonde]=max(y);

disp(’Maximo alcanzado en y=’)

disp(maximo)

disp(’cuando x vale’)

disp(x(idonde))

Maximo alcanzado en y=

1.8186

cuando x vale

2

3. x=1;

for i=1:100

x(i+1)=cos(x(i));

if(abs(x(i+1)-x(i))<1e-3)

x(end)

i

return

end

end

ans=

0.7388

i =

17

4. A=[1 2 3

2 8 22

3 22 82];

b=[-2;0;19]

[L,U,P]=lu(A); U\(L\(P*b))

ans =

1.0000

-3.0000

1.0000

5. x=linspace(0,2*pi,100);

y=sin(x);

trapz(x,y)

ans =

-3.1745e-016

Valor muy cercano a 0 porque eso es lo que valela integral exactamente, al ser funcion imparperiodica de periodo 2⇡.

6. Generamos un fichero f.m cuyo codigo esfunction y=f(x)

y=x.*sin(x);

Ahora ejecutamos

quad(’f’,0,1)

ans =

0.3012




1. Enunciar el Teorema de Convergencia Global del Metodo de Newton.

2. Se considera la ecuacionx + 3 ln(1 + e

�x) = 5.

Se pide:

a) Determina el numero de soluciones de la ecuacion y separalas.

b) Siendo ↵ la menor de las raıces vamos a aproximarla por el metodo de Newton

(a) Demuestra que el intervalo [�3,�2] verifica las condiciones de la regla de Fourier.(b) Tomando x0 2 [�3,�2] segun la regla de Fourier calcula x1 ası como una cota del error que se comete

al aproximar ↵ por x1.

c) Siendo � la mayor de las raıces vamos a aproximarla por el metodo de aproximaciones sucesivas. Escribimosla ecuacion como

x = 5� 3 ln(1 + e

�x). (1)

(a) Demuestra la convergencia del metodo de aproximaciones sucesivas para todo x0 2 [4, 5].(b) Tomando x0 = 5, calcula x1 ası como una cota del error que se comete al aproximar � por x1.

3. Dada la matriz 0

B@1 ↵ 0↵ 2 �↵

0 �↵ 3

1

CA

a) ¿Para que valores de ↵ existe la factorizacion de Cholesky?b) Resolver el sistema para ↵ = 1 y segundo miembro b = (1, 3,�4)t mediante la factorizacion de Cholesky.c) ¿Cual es su descomposicion LU?

4. Enunciar y demostrar el Teorema de Interpolacion Polinomica de Lagrange.


x -2 -1 0 1 2f(x) -5 1 1 1 7

Se pide:

(a) Hallar un polinomio P que coincida con f en los puntos de la tabla anterior.(b) Hallar un polinomio Q que coincida con f solo en cuatro de los puntos.

(c) Usar P y Q para calcular valores aproximados de I =R 20 f(x) dx.

(d) Aproximar I por los metodos del punto medio, de los trapecios y de Simpson.(e) Razonar que valor puede considerarse mejor aproximacion de I.

6. Indicar que comando de MatLab/Octave permitirıa calcular la siguiente operacion:

23 � 5e

�1

ln 3 + cos 8� sen (5⇡/2).

7. Indicar que sintaxis relacionada con el comando quad de MatLab/Octave permite calcularZ 1

0

11 + x

2dx.

Duracion: 3 horas. Observacion: La parte teorica son los cinco primeros ejercicios. La parte de laboratorio(para quien se presente a ella) consiste en los ejercicios 6 y 7.Puntuacion parte teorica: Ejercicio 1: 1 punto; ejercicio 2: 4 puntos; ejercicios 3 y 5: 1.5 puntos; ejercicio 4: 2puntos.Puntuacion parte laboratorio: ejercicio 6: 4 puntos; ejercicio 7: 6 puntos.




1. Enunciar el Metodo de Biseccion y analisis del error.

2. Se considera la siguiente ecuacion:x

3 � 2x + 1 = �x. (1)

(a) Estudia el numero de raıces de dicha ecuacion y separalas en intervalos disjuntos.

(b) Asociada trivialmente a la ecuacion (1), consideramos a partir de ahora la (EPF)

�x

3 + 2x� 1 = x.

Justifica que la menor de las raıces de la ecuacion (a la que denotaremos por ↵1) es repulsiva para el(MAS) asociado a dicha (EPF).

3. Asociada a la ecuacion (1), consideramos la ecuacion homogenea (EH)

f(x) = 0

donde f(x) = x

3 � x + 1.

(a) Hallar un intervalo en el que se verifiquen las hipotesis del Teorema de Convergencia Global del Metodode Newton (MN) asociado a la (EH) para la menor de sus raıces.

(b) Dar una expresion del error absoluto cometido en el intervalo calculado en el apartado anterior para|xk+1 � ↵| en funcion de |xk+1 � xk|2, M2 y m1, hallando explıcitamente los valores M2 y m1.

(c) Aplicar la Regla de Fourier en el intervalo hallado en el apartado (b) con la inicializacion adecuada paracalcular x1, x2, x3, etc, de modo que el error |xk+1 � ↵1| < 10�4.

4. Dada la matriz

A =

0

BBB@

2 �1 0 0�2 4 1 0�2 1 5 �1

2 �1 0 �4

1

CCCA

¿Es posible la factorizacion LU? ¿Por que? ¿Y la factorizacion de Cholesky? Resolver mediante el metodoLU el sistema A u = b con b = (2,�2,�3,�2)t.

5. (a) Sea f : [a, b] ! R una funcion (a, b 2 R, a < b) y {x0, x1, ..., xn} un conjunto de n+1 puntos distintos en[a, b]. Demuestra que existe un unico polinomio Pn(x) de grado menor o igual que n tal que Pn(xi) =f(xi), 8i : 1 i n. Como aplicacion, calcula el polinomio de interpolacion P3(x) que coincide con f

en los siguientes valores: f(0) = 1, f(1) = 3, f(2) = 11 y f(3) = 31.

(b) Se considera la formula de integracion numerica

Z 2

0f(x) dx

⇠= Af(0) + Bf(1) + Cf(2).

Determina los valores de A, B y C para que la formula sea exacta para polinomios del mayor gradoposible. ¿Cual es este? Como aplicacion, aproxima mediante la formula anterior el valor de la integralZ 2

0cos x

2dx.

Duracion: 3 horas.Puntuacion: 2 puntos cada ejercicio.

Calculo Numerico I. Primera Convocatoria. 17 de Junio de 2015

1. Enuncia el teorema de convergencia global del metodo de aproximaciones sucesivas y demuestralo.

2. Enuncia un resultado que de la expresion del error de la formula de integracion numerica del puntomedio y demuestralo.

3. Se considera la siguiente ecuacion en forma homogenea para valores positivos de x:

x

2 + 2x� 4 log(x+ 2) = 0.

Se pide:

i) Determinar cuantas raıces reales posee y separarlas, dando un intervalo de longitud uno y conextremos enteros para cada una de ellas.

ii) Comprobar que se satisfacen las hipotesis del Teorema de Convergencia Global del Metodo deNewton en el intervalo donde esta separada la mayor de las raıces.

iii) Aplicar el Metodo de Newton hasta la tercera iteracion para aproximar la mayor de dichas raıcesen el intervalo en el que se encuentra separada, aplicando la Regla de Fourier para escoger elpunto de inicializacion x0. Calcular razonadamente una cota del error en dicha iteracion.

4. a) Demuestra que la matriz

A =

0

@1 0 �10 4 2�1 2 3

1

A

es definida positiva.

b) Encuentra una matriz B triangular inferior, con elementos diagonales positivos, tal que BB

t = A.

c) Usando el metodo de Gauss-Jordan, calcula la inversa de B

t.

d) A partir de los dos apartados anteriores, calcula la inversa de A.

5. Empıricamente se han obtenido los siguientes valores de y = f(x) :

x 0 2 4 6y 0 1 -1 2

a) Hallar el polinomio de interpolacion que se ajuste a estos datos.

b) Si a la tabla anterior se anade una nueva observacion:

x 8y 4

obtener el nuevo polinomio de interpolacion correspondiente a todos los datos. Hallar el valorque, aproximadamente, deberıa corresponder a x = 7 mediante este ultimo polinomio.

c) Si ahora queremos hacer una interpolacion lineal a trozos, ¿cual serıa el valor que corresponderıaa x = 7? ¿Cual de las dos aproximaciones es mas fiable?

Primer Parcial: preguntas 1 y 3. Los alumnos de los grupos C y D deben hacer tambien el problema 4.Segundo Parcial: preguntas 2, 4 y 5, salvo los alumnos de los grupos C y D que no tienen que hacer elproblema 4.Puntuacion: Todos los problemas tienen la misma puntuacion.Tiempo: tres horas.

Grados en Matemáticas, Mat-Fís y Mat-Est – Univ. Sevilla Curso 2015/16

Cálculo Numérico I – 1

erparcial – Grupo D – Prof. P. Marín Rubio 5/4/2016

Nombre y apellidos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1. Enunciar y demostrar el Teorema de Convergencia Global del Método de Aproximaciones Suce-sivas (MAS).

2. Enunciar la Regla de Fourier.

3. Se considera la ecuación de punto fijo (EPF)

x = g(x) con g(x) :=2x

x

2 + 1+ 2.

Se pide:

(a) Estudia el número de raíces de dicha ecuación y sepáralas en intervalos disjuntos. Para ello

utiliza la función f dada en el siguiente ejercicio.

(b) Justifica que la menor de las raíces de la (EPF) (en caso de que tenga varias soluciones) esatractiva para el (MAS) asociado a la función g indicada. Supuesto que la sucesión generadapor el (MAS) nunca llega a coincidir con dicha raíz, ¿de qué orden es exactamente el (MAS)?

(c) Calcula justificadamente un intervalo donde el Teorema de Convergencia Global del MASpueda utilizarse para aproximar la menor de las raíces de la (EPF).

(d) ¿Qué número de iteraciones son suficientes, según el intervalo obtenido en el apartado an-terior, para garantizar un error menor o igual que 10�4, sea cual sea el valor inicial x0 conque se aplique el método?

4. Se considera la ecuación homogénea (EH)

f(x) = 0 con f(x) := x

3 � 2x2 � x� 2.

Se pide:

(a) Hallar razonadamente un intervalo donde la Regla de Fourier pueda ser aplicada para queel Método de Newton (MN) asociado a la (EH) sea convergente hacia la menor de las raícesde la ecuación, que en adelante denotaremos por ↵.

(b) Dar la fórmula del error a posteriori (4.2) para el (MN) en el intervalo obtenido en elapartado anterior, explicitando para ello los valores numéricos de M2 y m1.

(c) Realizar las iteraciones necesarias a partir del extremo adecuado del intervalo hallado en elapartado (b) para conseguir que el error absoluto satisfaga |x

k+1 � ↵| 10�4.

Duración: 2 horas.Puntuación: Ejercicio 1: 2’5; ejercicio 2: 0’5; ejercicio 3: 4; ejercicio 4: 3.

Solución:

Ejercicio 1 Teorema de Convergencia Global del (MAS) y acotación del error.

Sean a, b 2 R, con a < b, y g : [a, b] ! R dados. Supongamos que g([a, b]) ✓ [a, b] y que g escontractiva en el intervalo [a, b], con constante de contractividad L 2 [0, 1). Entonces:

1. La función g posee un único punto fijo ↵ en [a, b].

2. El método de aproximaciones sucesivas (abreviadamente (MAS)) está bien definido en[a, b], esto es, para todo x0 2 [a, b] se tiene que {x

k

}k�0 ⇢ [a, b], donde x

k

= g(x

k�1) paratodo k � 1.

3. El método de aproximaciones sucesivas (MAS) es globalmente convergente en [a, b] hacia↵ con orden de convergencia al menos 1.


|xk

� ↵| L

k|x0 � ↵| 8k � 0, x0 2 [a, b] (cota a priori),

|xk

� ↵| L

k

1� L

|x1 � x0| 8k � 0, x0 2 [a, b] (cota a posteriori).

Demostración: En primer lugar, al ser g una función contractiva en el intervalo [a, b]

deducimos que g es también continua en [a, b]. Veamos la prueba de los puntos del enunciado:El primer punto es consecuencia directa del Teorema de Bolzano, ya que la función auxiliar

h(x) = x � g(x) también es continua en [a, b], y dado que g([a, b]) ⇢ [a, b] se tiene que h(a) 0 h(b). Por ello existe al menos un valor ↵ 2 [a, b] tal que h(↵) = 0 o lo que es lo mismo,↵ = g(↵). La unicidad de punto fijo se obtiene gracias a la contractividad de g. En efecto, siexistieran dos puntos fijos ↵1 6= ↵2 de g en [a, b], entonces

0 < |↵1 � ↵2| = |g(↵1)� g(↵2)| L|↵1 � ↵2| < |↵1 � ↵2|,

lo que es contradictorio.La segunda afirmación es una consecuencia trivial de la hipótesis g([a, b]) ✓ [a, b]. En efecto,

x0 2 [a, b] de partida; por inducción damos por válido que x

k

2 [a, b]; para ver que x

k+1 2 [a, b]

simplemente usamos la definición de x

k+1 = g(x

k

) y que g([a, b]) ✓ [a, b]. Luego para cualquierx0 2 [a, b] el método está bien definido y satisface {x

k

}k�0 ⇢ [a, b].

Para probar el punto 3, probemos la cota a priori. Fijemos x0 2 [a, b] arbitrario. De lacontractividad de g aplicada reiteradamente se tiene

|xk

� ↵| = |g(xk�1)� g(↵)| L|x

k�1 � ↵| · · · L

k|x0 � ↵|.

Obsérvese que en la desigualdad anterior estamos usando el punto 2 (ya probado), esto es, quepara cualquier k � 0, x

k

2 [a, b].Teniendo en cuenta que L 2 [0, 1), deducimos que lım x

k

= ↵ y, por tanto, tenemos que elmétodo (MAS) es globalmente convergente en el intervalo [a, b].

Por otro lado, la contractividad de g aplicada en cualquier par de puntos x

k

y ↵ implica

|xk

� ↵| L|xk�1 � ↵| 8k � 1,

esto es, el método tiene orden de convergencia al menos 1.Para finalizar probemos la cota a posteriori del punto 4. Observemos primero que si m 2

N [ {0}, entonces

|xm+1 � x

m

| = |g(xm

)� g(x

m�1)| L|xm

� x

m�1| · · · L

m|x1 � x0|,

2

(de nuevo hemos usado que, para cualquier m � 0, xk

2 [a, b] y que g es contractiva en [a, b]).Por otro lado, si tomamos k,m 2 N [ {0} con m > k, aplicamos la desigualdad triangular ytenemos en cuenta la desigualdad anterior, podemos escribir

|xm

� x

k

| |xm

� x

m�1|+ |xm�1 � x

m�2|+ · · ·+ |xk+2 � x

k+1|+ |xk+1 � x

k

|

�L

m�1+ L

m�2+ · · ·+ L

k+1+ L

k

�|x1 � x0| =

✓L

k � L

m

1� L

◆|x1 � x0|

L

k

1� L

|x1 � x0|.

Sabemos que lım

m!1 x

m

= ↵, así, si en la desigualdad precedente tomamos lımm!1 obtendre-

mos la cota a posteriori. Esto finaliza la prueba.1

Ejercicio 2 Regla de Fourier:

Consideremos una función f 2 C

2([a, b]) tal que satisface las hipótesis

(i) f(a)f(b) < 0,

(ii) f

0(x) 6= 0 para todo x 2 [a, b],

(iii) el signo de f

00(x) es constante en [a, b] (es decir, o f

00(x) � 0 para todo x 2 [a, b], o

f

00(x) 0 para todo x 2 [a, b]).

Sea x0 = a ó x0 = b tal que se tiene2f(x0) > 0 si f 00

(x) � 0 para todo x 2 [a, b], o f(x0) < 0

si f 00(x) 0 para todo x 2 [a, b].

Entonces, la sucesión {xk

}k�0 generada por el método de Newton (MN por brevedad), esto

es,

x0 2 [a, b] dado, xk+1 = x

k

� f(x

k

)

f

0(x

k

)

8k � 0,

está bien definida, es monótona, {xk

}k�0 ⇢ [a, b] y es convergente hacia ↵ (la única raíz de

f en [a, b]) con orden de convergencia al menos cuadrática. Además se tienen las siguientesestimaciones del error absoluto:

|xk+1 � ↵| M2

2m1|x

k

� ↵|2 8k � 0,

|xk+1 � ↵| M2

2m1|x

k+1 � x

k

|2 8k � 0,

donde m1 = mın

x2[a,b] |f 0(x)| y M2 = max

x2[a,b] |f 00(x)|.

1Otra forma de probar la cota a posteriori es con ayuda de la siguiente desigualdad: |x0 � ↵| = |x0 ± x1 � ↵| |x0�x1|+ |x1�↵| y que |x1�↵| L|x0�↵|, de donde (1�L)|x0�↵| |x0�x1|. Esto unido a la cota a priori tambiénimplica la cota a posteriori.

2Si f

00(x) ⌘ 0 en todo el intervalo, f es una línea recta y el (MN) lleva directamente a la solución por cualquier

extremo que se empiece.

3

Nota previa a los ejercicios 3 y 4: Para estudiar la (EPF) podríamos comenzar anali-zando la función auxiliar h(x) = x� g(x), cuya primera derivada es

h

0(x) = 1� 2(x

2+ 1)� (2x)

2

(x

2+ 1)

2= 1� 2� 2x

2

(x

2+ 1)

2=

x

4+ 4x

2 � 1

(x

2+ 1)

2.

Es posible analizar el signo de h

0 (se trata de una expresión bicuadrada, basta poner t = x

2) ycon ello la monotonía de h. Sin embargo, la indicación en negrita del enunciado (3a) relaciona laecuación con la función f del ejercicio 4. Ello simplificará el cálculo y además relacionará ambosejercicios. El objetivo es aproximar ↵ aplicando el (MAS) a g y el (MN) a f. La conclusión serála esperada: el (MN) será más eficiente que el (MAS).

Ejercicio 3(a) En consonancia con la indicación del enunciado, debemos ver primero si la (EPF) x =

g(x) es equivalente a alguna ecuación relacionada con f. Efectivamente,

x = g(x) () x� 2x

x

2+ 1

� 2 = 0 () �2x� 2x

2 � 2 + x

3+ x

x

2+ 1

= 0 () f(x) = 0.

Evidentemente, la función polinómica f, de grado 3, resulta más fácil de analizar que lafunción h descrita anteriormente.

Como f es un polinomio, se trata de una función continua y derivable en todo R. Se tieneque f

0(x) = 3x

2 � 4x� 1 y f

0(x) = 0 si y sólo si x = (4±

p28)/6, esto es, x1 = �0

02152504 y

x2 = 1

05485838.

Como f

0 es positiva en (�1, x1) [ (x2,1) y negativa en (x1, x2), en cada intervalo poseea lo más una raíz. Sin embargo, f(x1) ⇡ �1

08873882, con lo que todos los valores de f en el

intervalo (�1, x1] son negativos y no corta por tanto al eje OX. Por ser f decreciente en [x1, x2]

y f(x1) < 0, se tiene que f(x2) < f(x1) < 0 y el mismo argumento sirve para justificar que f

no posee raíces ahí. Por contra, dado que f(x2) < 0 y lım

x!1 f(x) = 1, se tiene un cambiode signo y por el Teorema de Bolzano (aplicado en un adecuado intervalo cerrado y acotado),al menos hay una raíz de f en el intervalo [x2,1). Por la monotonía de f ahí, la raíz es únicapara f y por tanto para la (EPF). De hecho, aunque no lo pide este apartado, podemos precisarun poco más el intervalo en que se halla la raíz, pues f(2) = �4 y f(3) = 4. Por tanto, ↵ 2 [2, 3].

(b) La primera mitad de este apartado se podría hacer simplemente aplicando el apartado(c). Sin embargo, en ese apartado también necesitaremos calcular y acotar |g0| para obteneruna constante de contractividad para g. Por ello, vamos a calcular ya g

0 y a usar un resultadode teoría: si |g0(↵)| < 1, entonces la raíz ↵ es atractiva para el (MAS) aplicado a g.

g

0(x) =

2(x

2+ 1)� (2x)

2

(x

2+ 1)

2= 2

1� x

2

(x

2+ 1)

2.

Por un cálculo previo sabemos que ↵ 2 [2, 3], por tanto sólo nos interesan acotaciones de g

0 enese intervalo3.

Una estimación no fina sobre g

0, pero suficiente para concluir el carácter atractivo de ↵ parael (MAS) aplicado a g, es la siguiente: para el numerador de g

0 acotamos por su máximo envalor absoluto y para el denominador por su mínimo. Así, |g0(x)| 16/25 < 1. Concluimos que↵ es atractiva para el (MAS) aplicado a g.

Además, como g

0(x) 6= 0 en [2,3], lo es también en particular en x = ↵; por otro resultado

de teoría, el (MAS) aplicado en un entorno suficientemente próximo a ↵ genera una sucesiónconvergente hacia ↵ de orden exactamente 1.

3La elección de intervalo para analizar no es única, por supuesto, siempre y cuando contenga al valor ↵.

4

(c) Veamos un intervalo donde se verifiquen las hipótesis del Teorema Global de Convergen-cia del (MAS). Un candidato es el intervalo [2,3]. Como g

0(x) 6= 0 en [2,3] (g0 sólo se anula en

±1; g0 es negativa en [2,3]), se tiene que g es monótona (decreciente) en [2,3]. Así, para ver sig([2, 3]) ⇢ [2, 3], basta4 calcular g(2) y g(3). Concretamente se tiene que

g([2, 3]) = [g(3), g(2)] = [2

06, 2

08] ⇢ [2, 3].

Por otro lado, antes vimos que g es contractiva en [2,3] pues |g0(x)| 16/25 si x 2 [2, 3].

Esto concluye el apartado: el intervalo [2,3] es válido para aplicar el Teorema de ConvergenciaGlobal del (MAS) a g para converger hacia ↵.

(d) Si aplicamos las cotas (4.1) ó (4.2) del Teorema de Convergencia Global del (MAS) conla constante 16/25=0’64 obtendremos un número de iteraciones que puede ser mejorable (esdecir, que baste un número menor de iteraciones). Antes por tanto de responder al apartado,vamos a calcular una constante de contractividad mejor para g en [2,3]. Para ello tenemosque calcular max

x2[2,3] |g0(x)| = L. No basta con evaluar g

0 en 2 y en 3, sin antes analizar lamonotonía de g

0, para lo que debemos calcular5g

00 y analizar su signo.

g

00(x) = 2

�2x(x

2+ 1)

2 � 2(x

2+ 1)2x(1� x

2)

(x

2+ 1)

4= �4x

x

2+ 1 + 2(1� x

2)

(x

2+ 1)

3= 4x

x

2 � 3

(x

2+ 1)

3.

Siendo 0 y ±p3 las raíces de g00, tenemos que no se anula en [2,3]. Concretamente g0 es creciente

en [2,3], pero al tomar valores negativos hay que ser cuidadoso para calcular L :

L = max

x2[2,3]|g0(x)| = max

x2[2,3](�g

0(x)) = � mın

x2[2,3]g

0(x) = �g

0(2) = 6/25 = 0

024,

que es claramente una cota mejor que el 0’64 obtenido anteriormente.Como se pide una cantidad suficiente de iteraciones para garantizar un error sea cual sea el

x0 inicial, usaremos la cota (4.1)6 con L = 6/25:

|xk

� ↵| L

k|x0 � ↵| L

k

,

donde hemos usado el hecho de que ↵ y x0 2 [2, 3], por lo que |x0 � ↵| 1. Como se pidegarantizar que |x

k

� ↵| 10

�4, bastará imponer

L

k 10

�4 () k lnL �4 ln 10 () k � �4 ln 10/ lnL ⇡ 6

04538118,

esto es, tomando en este caso k = 7 iteraciones7

Ejercicio 4(a) Por lo analizado en el ejercicio 3, f posee una única raíz ↵, localizada (en particular)

en el intervalo [2,3]. Por tanto la primera tentativa para aplicar la Regla de Fourier podríaser el intervalo [2,3]. En efecto, se cumplen las tres condiciones de la Regla de Fourier: (i)f(2)f(3) < 0; (ii) f 0 sólo se anulaba en x1 = �0

02152504 y x2 = 1

05485838. (iii) f 00

(x) = 6x� 4

se anula en x = 2/3, por lo que tiene signo constante (positivo) en [2,3].

4Si no se tuviera la monotonía de g en el intervalo, habría que estudiar con más detalle el signo de g

0 y así los máximosy mínimos absolutos de g en [2,3].

5Para evitar cálculos engorrosos, siempre que hay una expresión racional, se deben simplificar factores comunes ennumerador y denominador antes de continuar operando.

6La cota (4.2) depende del x0 concreto pues requiere calcular x1 = g(x0) para cada elección de x0, a menos, claro,que se acotara max

x02[2,3] |g(x0)� x0|, lo que es posible, pero más complejo que usar (4.1).7Por supuesto una elección más ajustada del intervalo [a, b] donde garantizar la aplicación del (MAS) con b � a < 1

permitiría obtener una cota más fina para |g0(x)| y por tanto mejor L y menor k.

5

(b) La fórmula del error a posteriori (4.2) del (MN) es

|xk+1 � ↵| M2

2m1|x

k+1 � x

k

|2,

donde m1 = mın[2,3] |f 0(x)| y M2 = max[2,3] |f 00

(x)|.Como f

0 y f

00 son positivas en [2,3], podemos eliminar los valores absolutos y calcular m1 yM2 fácilmente. Más exactamente, f 00 es creciente (porque f 000 es positiva), así que M2 = f

00(3) =

14. Como f

00(x) > 0 en [2,3], f 0 es creciente y m1 = f

0(2) = 3. Así que

|xk+1 � ↵| 7

3

|xk+1 � x

k

|2 8k � 0.

(c) Para aplicar la Regla de Fourier, dado que f

00(x) � 0 en [2,3], debemos elegir x0 = 3 ya

que f(3) > 0.

La fórmula (4.2) del error absoluto del (MN) no permite en general calcular el número deiteraciones. Como el (MN) es de orden al menos cuadrático, la convergencia de la sucesión(monótona en la Regla de Fourier) será rápida. El apartado pide que se realicen las iteraciones.Empleamos la desigualdad del error absoluto obtenida en el apartado anterior para ver cuándodetener los cálculos.

x1 = x0 �f(x0)

f

0(x0)

= 2

07142857 ) |x1 � ↵| 0

019,

x2 = x1 �f(x1)

f

0(x1)

= 2

06607854 ) |x2 � ↵| 6

06786⇥ 10

�3,

x3 = x2 �f(x2)

f

0(x2)

= 2

06589691 ) |x3 � ↵| 7

06974314⇥ 10

�6.

Han bastado tres iteraciones del (MN) para obtener un error menor que 10

�4 como se pedía.(De hecho, al ser el error menor que 10

�5 y por el guarismo que aparece en las cienmilésimas,se tienen que las cuatro primeras cifras decimales de x3 son exactas.)

Ahora que tenemos una muy buena aproximación de ↵ con el x3 anterior, aunque no se pide,se muestran las iteraciones del (MAS) aplicado en un punto al azar del intervalo [2,3]. Porsupuesto, en a lo sumo 7 iteraciones, se consigue un error menor que 10

�4:

x

(MAS)0 = 2

05,

x

(MAS)1 = 2

0689655172,

x

(MAS)2 = 2

0653285199,

x

(MAS)3 = 2

0660027569,

x

(MAS)4 = 2

0658769444,

x

(MAS)5 = 2

0659003925,

x

(MAS)6 = 2

0658960214.

Se han tenido que realizar 6 iteraciones en el (MAS) para llegar a un valor similar al obtenidopor el (MN). De hecho, x(MAS)

5 sólo tiene dos cifras decimales exactas.

6



o

parcial – Grupo D – Prof. P. Marín Rubio 3/6/2016


1. 2 ptos. Enuncia y demuestra el Teorema de descomposición LU de Doolittle.

2. 2.5 ptos. Dada la matriz

A =

0

@1 2 32 8 223 22 82

1

A,

se pide:

a) Aplica el Método de Gauss a la matriz A y empléalo para calcular su determinante.

b) Justifica que la matriz admite descomposición de tipo Doolittle y calcúlala.

c) Utiliza la descomposición de tipo Doolittle para resolver por medio de dos algoritmos, debajada y de subida, el sistema Ax = b con

b =

0

@0841

1

A.

d) Enuncia el Criterio de Sylvester y aplícalo para justificar que A es definida positiva.

e) Enuncia el Teorema de Cholesky y calcula la descomposición homónima de A con elementospositivos en la diagonal.

3. 1 pto. Enuncia y demuestra el Teorema de interpolación polinómica de Lagrange.

4. 1.5 ptos. Se tienen los siguientes datos:

x

i

-3 -2 -1 1 2 3y

i

68 13 4 4 13 68

a) ¿De grado menor o igual que qué entero no negativo n se puede asegurar que existe un únicopolinomio p

n

2 Pn

[x] que interpola a dichos valores?

b) Utiliza la tabla de pares

exi

1 4 9eyi

4 13 68

para calcular, por el Método de las Diferencias Divididas de Newton, el único polinomioq 2 P2[x] que interpola a dichos valores.

c) ¿Qué relación hay entre p

n

y q? Utilízala para hallar p

n

explícitamente. ¿Qué observasrespecto a la contestación inicial del apartado a)? ¿Puedes enunciar un resultado general alrespecto?

5. 1.5 ptos. Dada la función f(x) = senx,

a) calcula la integral definida Z 1

0f(x)dx

de forma exacta y de forma aproximada utilizando la Regla de Simpson. ¿Qué error absolutose ha cometido?

b) Halla una cota a priori del error cometido |R2(f)| y comprobar que efectivamente el errorabsoluto real hallado en el apartado a) se encuentra por debajo de dicha cota.

6. 1.5 ptos. La función de densidad de una variable normal de media nula y desviación típica unoes

f(x) =1p2⇡

e

�x

2/2,

su gráfica es

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 40

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

y se sabe que Z

Rf(x)dx = lım

m!1

Zm

�m

f(x)dx = 1.

De hecho, por el rápido decaimiento de la exponencial, no hace falta un m muy grande para tenerun valor cercano a 1. Por simetría, la integral impropia de f(x) en [0,1) es 1/2. Se pide:

a) Aplica la regla de Simpson simple para calcular una aproximación deZ 4

0f(x)dx.

b) Aplica la regla de Simpson compuesta con dos subintervalos de igual longitud para calcularuna nueva aproximación de la integral anterior.

Duración: 2 horas.

Universidad de Sevilla. Grado en Matematicas y dobles grados Mat. y Fıs., Mat. y Est. Curso 2015/16

CALCULO NUMERICO I Examen 1a Convocatoria. 15 de junio de 2016, 9:30

Apellidos y nombre: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grupo . . . Se presenta a: ⇤ 1a parte ⇤ 2a parte ⇤ todo

1. Enuncie y demuestre el Teorema de convergencia global del Metodo de las Aproximaciones Sucesivas para una ecuacionescrita en forma de punto fijo.

2. Se considera la ecuacionx = 2senx.

a) Demuestre que dicha ecuacion posee una unica solucion en (0,1).

b) Hallese un intervalo [a, b] donde poder aplicar el Teorema Global de Convergencia del MAS. Determinar el valor deuna constante de contractividad L para la funcion g(x) = 2senx en dicho intervalo.

c) ¿Cuantas iteraciones son necesarias para garantizar un error absoluto menor que 10�3 sea cual sea la inicializacionelegida en el intervalo indicado en el apartado b)?

d) Calcule a partir de x0 = a los valores {xi

}1i4.

3. Se considera la ecuacionx

4 + 2x3 � 7x2 + 3 = 0.

a) Determine el numero de raıces reales que tiene y separelas en intervalos abiertos disjuntos cuyos extremos sean enteros.

b) Estudie si es aplicable el metodo de Newton en el intervalo que contiene a la menor raız negativa. En caso afirmativo,indique si es globalmente convergente en dicho intervalo.

c) Aplique dos iteraciones de dicho metodo desde un punto inicial adecuado y calcule el error con el que se ha obtenidola menor raız negativa.

4. Sea

A =

0

B@↵ 1 0

� 2 1

0 1 2

1

CA

a) Obtener los valores de ↵ y � para los cuales

• A es singular.

• A es estrictamente diagonal dominante.

• A es simetrica y definida positiva.

b) Para ↵ = 2 y � = 1 resolver el sistema Ax = b, con b = (�2, 0, 2)t, mediante el metodo de Cholesky.

5. a) Enunciar y demostrar el Teorema sobre la existencia y unicidad del polinomio de interpolacion global de Lagrange.

b) Sea f(x) = ln(ex + 2) y p1(x) el polinomio de interpolacion de Lagrande asociado a f y al soporte S = {0, 2}.Determinar la cota optima (un valor numerico) del error de interpolacion |f(x)� p1(x)| para todo x 2 [0, 2].

6. Sean a, b 2 R, con a < b, y f 2 C

1([a, b]) dados. Demuestre la formula de error de la formula de cuadratura del rectangulo:

R0(f) =

Zb

a

f(x) dx� f(a)(b� a) =f

0(⇠)

2(b� a)2,

donde ⇠ 2 [a, b]. Como consecuencia, pruebe que la formula de cuadratura del rectangulo es de orden 0.

Los alumnos con el Primer Parcial hacen los ejercicios 1, 2 y 3.Los alumnos con el Segundo Parcial hacen los ejercicios 4, 5 y 6.Los alumnos con la asignatura completa hacen todos los ejercicios.Puntuacion: Problema 1: 3 puntos. Problema 2: 4 puntos. Problema 3: 3 puntos.

Problema 4: 4 puntos. Problema 5: 4 puntos. Problema 6: 2 puntos.Puntuacion de los que van con la asignatura completa: Parte proporcional de la puntuacion anterior.Tiempo: Dos horas para el que se examine de un parcial y cuatro horas para el que se examine de toda la asignatura.

Universidad de Sevilla. Curso 2015/16

Grado en Matematicas y dobles grados Mat. y Fıs., Mat. y Est.

CALCULO NUMERICO I Examen 2a Convocatoria. 14 de septiembre de 2016, 9:30

Apellidos y nombre: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grupo . . .

1. 2 puntos. Enuncie el Teorema de Convergencia Global del Metodo de Newton y demuestre⇤ la convergencia

de la sucesion generada por el metodo hacia la unica raız de la funcion en el intervalo.

⇤Nota: no probar la existencia de una unica raız. Asumiendo que existe y es unica, demuestre solo la conver-gencia de la sucesion hacia dicha raız. No tratar los cuatro casos posibles, sino solo uno (el que se quiera).

2. 3 puntos. Se considera la ecuacion

x = e

�x

2

.

a) Demuestre que dicha ecuacion posee una unica solucion en (0,1).

b) Hallese un intervalo [a, b] donde poder aplicar el Teorema Global de Convergencia del MAS. Determinar

el valor de una constante de contractividad L para la funcion g(x) = e

�x

2

en dicho intervalo.

c) ¿Cuantas iteraciones son necesarias para garantizar un error absoluto menor que 10�3 sea cual sea lainicializacion elegida en el intervalo indicado en el apartado b)?

d) Calcule a partir de x0 = a los valores {xi

}1i4.

3. 1 punto. Enuncie el Teorema sobre la existencia y unicidad de descomposicion LU de Doolittle. Demuestre

la unicidad de dicha descomposicion.

4. 1.5 puntos. Sea

A =

0

B@4 ↵ �1

2� 5 �4

� �2 ↵

1

CA .

a) Obtenga los valores de ↵ y � para los cuales la matriz es diagonal dominante estrictamente.

b) Para ↵ = 1 y � = 0 se considera el sistema Ax = b, con b = (6, 8,�2)t. Resuelva este sistema por elmetodo de LU.

5. 1.5 puntos. Estime el numero mınimo de subintevalos necesarios para calcular el valor aproximado de la

integral

Z 2

1ln(x3) dx con un error menor o igual que 10�4, aplicando la formula compuesta del punto medio

con intervalos regularmente espaciados.

6. 1 punto. Si f 2 C

1([a, b]), demuestre la expresion del error en la formula del rectangulo simple:

Existe ⇠ 2 [a, b] tal que

Zb

a

f(x) dx ⇡ (b� a)f(b)� f

0(⇠)

2(b� a)2.

Tiempo: tres horas y media.



CALCULO NUMERICO I Examen 3a Convocatoria. 22 de noviembre de 2016, 16:00


1. 2 puntos. Enuncie los teoremas global y local del MAS. Demuestre el teorema local dando por valido el

teorema global.

2. 2 puntos. Se desea estudiar la ecuacion

x� cos

✓1

x+ 1

◆= 0 x 2 [0, 1].

a) Justifique que en ese intervalo hay una sola raız. ¿Tiene la ecuacion mas soluciones positivas?

b) Estudie si es aplicable el metodo de Newton en [0, 1] y su eventual convergencia global.

c) Aplique dos iteraciones de dicho metodo desde un punto inicial adecuado, tal que se asegure la conver-gencia hacia la unica raız x 2 [0, 1], e indique el error con el que se ha aproximado dicha raız.

3. 2 puntos. Enuncie el Teorema sobre la existencia y unicidad de descomposicion de Cholesky. Demuestre la

unicidad de dicha descomposicion.

4. 2 puntos. Dada la matriz

A =

0

B@2 ↵ �1

↵ 2 1

�1 1 4

1

CA

se pide:

a) Obtener los valores de ↵ para que sea definida positiva.

b) Para ↵ = 1 resolver el sistema Ax = b, con b = (0, 0, 4)t, mediante el metodo de Cholesky.

5. 2 puntos. Determine el peso ↵0 y el nodo x1 tales que la siguiente formula de integracion numerica sea del

mayor orden posible:

Z 1

�1f(x) dx ⇡ ↵0 f

✓� 1p

3

◆� f(x1), f 2 C([�1, 1]).

Justifique que dicha formula es de tipo interpolatorio polinomico, es decir, que ↵0 =R 1�1 L0(x)dx y �1 =

R 1�1 L1(x)dx donde x0 = �1/

p3 y Li 2 P1[x] (i = 0, 1) verifican Li(xj) = �ij para i, j = 0, 1.

Tiempo: tres horas.



erparcial – Grupo D – Prof. P. Marín Rubio 28/3/2017


1. 0.25 ptos. Dados ↵ 2 R, una sucesión {xk

} con lım

k

x

k

= ↵ y p 2 (0,1), ¿qué significa que lasucesión converja hacia ↵ con orden al menos p?

2. 2 ptos. Enuncia y demuestra el Teorema de Convergencia Global del Método de AproximacionesSucesivas (MAS).

3. 0.75 ptos. Enuncia la Regla de Fourier.

4. 1 pto. Se considera la ecuación de punto fijo (EPF)1

x = g1(x) con g1(x) := � log(x).

Se pide:

(a) Estudia el número de raíces de dicha ecuación y sepáralas en intervalos disjuntos.(b) Justifica que la menor de las raíces de la (EPF)1 (en caso de que tenga varias soluciones) es

repulsiva para el (MAS) asociado a la función g1 indicada.

5. 3 ptos. Se considera la ecuación de punto fijo (EPF)2

x = g2(x) con g2(x) := e

�x

.

Se pide:

(a) Comprueba que las raíces de la (EPF)2 son las mismas que las de la (EPF)1 del ejercicioanterior.

(b) Justifica que la menor de las raíces de la (EPF)2 (en caso de que tenga varias soluciones) esatractiva para el (MAS) asociado a la función g2 indicada.Supuesto que una sucesión generada por el (MAS) localmente entorno a dicha raíz (y con-vergente a la misma) nunca llega a coincidir con ella, ¿de qué orden es exactamente el(MAS)?

(c) Calcula un intervalo donde el Teorema de Convergencia Global del MAS pueda utilizarsepara aproximar la menor de las raíces de la (EPF)2.

(d) ¿Qué número de iteraciones son suficientes, según el intervalo obtenido en el apartado an-terior, para garantizar un error menor o igual que 10

�3, sea cual sea el valor inicial x0 conque se aplique el método? ¿Y si el error ha de ser menor o igual que 10

�7?

6. 3 ptos. Se considera la ecuación homogénea (EH)

f(x) = 0 con f(x) := x� e

�x

.

Se pide:

(a) Halla razonadamente un intervalo donde el Teorema Global del Método de Newton puedaser aplicado para que la sucesión generada por el Método de Newton (MN) asociado a f seaconvergente hacia la menor de las raíces de la ecuación (EH), que en adelante denotaremospor ↵.

(b) Da la fórmula del error a posteriori (4.2) para el (MN) en el intervalo obtenido en el apartadoanterior, explicitando para ello los valores numéricos de M2 y m1.

(c) Realiza las iteraciones necesarias a partir del extremo adecuado del intervalo hallado enel apartado (a) según la Regla de Fourier para conseguir que el error absoluto satisfaga|x

k+1 � ↵| 10

�7. ¿Cuántas iteraciones han sido necesarias? (Compara la respuesta con la

obtenida en el ejercicio 5d).(d) ¿Con qué orden converge hacia ↵ el (MN), al menos dos, exactamente dos o mayor?

Dobles grados en Matemáticas-Física y Matemáticas-Estadística Univ. Sevilla

Cálculo Numérico I. Gr. D – 2

o

parcial 16/17 – Prof. P. Marín Rubio 29/5/17

Apellidos, nombre: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1. 2 ptos. Enuncia y demuestra el Teorema de descomposición de Cholesky. [Nota: para la de-mostración, puedes enunciar sin probar cualquier resultado previo auxiliar dado en las clases.]

2. 2.5 ptos. Dada la matriz

A =

0

@4 2 �22 10 11�2 11 21

1

A,

se pide:

a) Aplica el Método de Gauss a la matriz A (si es posible, sin emplear ninguna técnica depivoteo) y empléalo para calcular su determinante.

b) Justifica que la matriz admite descomposición de tipo Doolittle y calcúlala.

c) Utiliza la descomposición de tipo Doolittle para resolver por medio de dos algoritmos, debajada y de subida, el sistema Ax = b con

b =

0

@1011�1

1

A.

d) Enuncia el Criterio de Sylvester y aplícalo para justificar que A es definida positiva.

e) Calcula la descomposición de Cholesky de A con elementos positivos en la diagonal.

3. 1.5 ptos. Dados n+1 puntos {x0, x1, . . . , xn} ⇢ [a, b] y f : [a, b] ! R, define la diferencia divididade una función f centrada en un punto x

i

y orden m. Enuncia el teorema de interpolación de lasdiferencias divididas de Newton.

4. 2 ptos. Dada la función f(x) =p1� x

2, se pide:

a) Calcula la aproximación de la integral definidaR 10 f(x)dx usando la Regla de Simpson

(simple).

b) Halla una aproximación de la misma integral definida usando la fórmula del trapecio com-puesta con seis subintervalos.

5. 2 ptos. Dada la función f(x) = e

�x

, se pide:

a) Calcula el valor exacto de la integral definidaR 10 f(x)dx.

b) Aplica la fórmula del punto medio (simple) para aproximarla, da una cota a priori del errorcometido y compara que efectivamente el error está por debajo de lo predicho.

c) Halla una aproximación de la misma integral definida usando la fórmula del punto mediocompuesta con tres subintervalos, y obtén una cota a priori del error cometido como en elapartado b).

Duración: 2 horas.



Apellidos y nombre: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grupo . . . Se presenta a: ⇤ 1a parte ⇤ 2a parte ⇤ todo

1. (a) Enuncie el Teorema de convergencia global del Metodo de las Aproximaciones Sucesivas para una ecuacion escrita enforma de punto fijo.

(b) Enuncie y demuestre el Teorema de convergencia local del Metodo de las Aproximaciones Sucesivas para una ecuacionescrita en forma de punto fijo, dando por valido el resultado del apartado (a).


x =cos(x)� x

3 + 5

10, x 2 R.

(a) Demuestre que la ecuacion anterior admite una unica solucion ↵ y obtenga un intervalo I de extremos enterosconsecutivos que la contenga.

(b) Compruebe que en el intervalo I del apartado anterior se tiene convergencia global del Metodo de AproximacionesSucesivas (MAS).

(c) Aproxime ↵ con un error menor que 10�4 usando el MAS. Justifique que la aproximacion dada verifica la cota deerror.

3. Se considera la ecuacion no lineal f(x) = 0 con

f(x) = 2 cos(x)� x

2

(a) Determine el numero de soluciones de esta ecuacion y separelas en intervalos disjuntos.

(b) Escriba el metodo de Newton asociado y determine un intervalo de convergencia global para la raız positiva. ¿Deque orden es el metodo? Razonese la respuesta.

(c) Sea {xn}n�0 la sucesion generada por el metodo de Newton y ↵ la raız de f(x). Escriba una cota del error |xn � ↵|en funcion de |xn � xn�1|, dando la expresion explıcita de la constante.

4. Resuelva el sistema Ax = b, donde

A =

0

@4 �1 0�1 4 �10 �1 4

1

Ab =

0

@262

1

A,

mediante el metodo de Cholesky, comprobando previamente que dicho metodo puede ser aplicado. Utilizando dicha facto-rizacion, calculese la primera columna de la matriz inversa de A.

5. Enuncie y demuestre el Teorema sobre la existencia y unicidad del polinomio de interpolacion global de Lagrange.

6. Conociendo la siguiente tabla de valores de una funcion y = f(x):

x 0 2 4 6y -2 8 4 10

(a) Aproxime f mediante su polinomio de interpolacion correspondiente a la tabla dada. Si posteriormente se conoce quepara x = 8 se obtiene y = 4, hallese el nuevo polinomio de interpolacion.

(b) Obtenga una aproximacion de

Z 8

0f(x) dx usando la formula de los trapecios compuesta para los cinco pares de datos

conocidos.

(c) Deduzca una expresion del error cuando se aproxima la integral

Z b

af(x) dx mediante la formula de los trapecios

compuesta. Obtenga una cota del error cometido en el apartado b) en funcion de kf 00k1.

Los alumnos con el Primer Parcial hacen los ejercicios 1, 2 y 3.Los alumnos con el Segundo Parcial hacen los ejercicios 4, 5 y 6.Los alumnos con la asignatura completa hacen los ejercicios 1, 2, 5 y 6.Puntuacion: Problema 1: 3 puntos. Problema 2: 4 puntos. Problema 3: 3 puntos.

Problema 4: 4 puntos. Problema 5: 2 puntos. Problema 6: 4 puntos.Puntuacion de los que van con la asignatura completa: 2, 3, 2 y 3 puntos respectivamente.Tiempo: Dos horas para el que se examine de un parcial y tres horas para quien se examine de toda la asignatura.



CALCULO NUMERICO I Examen 2a Convocatoria. 11 de septiembre de 2017, 9:30


1. 1 punto. Enuncie el Teorema de Convergencia Local del Metodo de Aproximaciones Sucesivas.

2. 1 punto. Enuncie el Teorema de Convergencia Local del Metodo de Newton y demuestre que el metodo

esta bien planteado localmente, usando el teorema del ejercicio anterior.

3. 3 puntos. Se considera la ecuacion de punto fijo x = g(x), con x 2 R, siendo

g(x) = 3pe

x � 4.

a) Estudie el numero de puntos fijos de g y separelos en intervalos de extremos enteros consecutivos. En loque sigue denotaremos por ↵1 y ↵2 al menor y al mayor punto fijo de g respectivamente.

b) Compruebe que en el intervalo asociado a ↵1 en el apartado anterior se tiene convergencia global delMetodo de Aproximaciones Sucesivas (MAS).

c) Aproxime ↵1 con un error menor que 10�3 usando el MAS, calculando previamente cuantas iteracionesson necesarias para garantizar dicha cota del error.

d) ¿Se tiene tambien convergencia global o local del MAS en el intervalo asociado a ↵2 en el primer apartado?Justifique su respuesta.

4. 1 punto. Enuncie el Teorema de descomposicion de Cholesky. Demuestre, bajo condiciones adecuadas, la

unicidad de dicha descomposicion.

5. 1.5 puntos. Consideremos el sistema de ecuaciones

8<

:

x+ 2y � z = �1,2x� 3y + z = �6,x+ 4z = 2.

a) Aplique el metodo de Gauss para resolver el sistema de ecuaciones.

b) A partir del metodo de Gauss, obtenga la factorizacion de Doolittle para la matriz del sistema A.

c) Calcule, utilizando la factorizacion de Doolittle, la tercera columna de la matriz inversa de A.

6. 2.5 puntos. Dada una funcion f : [�1, 2] ! R integrable en sentido Riemann, se considera su integral

I(f) =

Z 2

�1f(x) dx y la formula de cuadratura

I

⇤(f) = ↵f(�1) + �f(1).

a) Halle ↵ y � para que la formula sea exacta para polinomios del mayor grado posible. ¿Cual es este?

b) ¿Que relacion existe entre esta formula y la formula de tipo interpolatorio de orden mayor o igual que 1que se puede plantear para aproximar la integral de f en S = {�1, 1}? Justifique la respuesta.

c) Supongase que f 2 C

2([�1, 2]). Usando el error de interpolacion |f(x) � p1(x)|, obtenga una cota delerror |I(f)� I

⇤(f)| en funcion de kf 00k1 := maxx2[�1,2] |f 00(x)|, siendo p1 el polinomio de interpolacion

de f para el soporte S = {�1, 1}.

Tiempo: tres horas.



CALCULO NUMERICO I Examen 3a Convocatoria. 13 de diciembre de 2017, 16:00


1. 2 puntos.

a) Enuncie el Teorema de Convergencia Global del Metodo de Aproximaciones Sucesivas.

b) Enuncie el Teorema de Convergencia Local del Metodo de Aproximaciones Sucesivas y demuestrelo

usando el apartado anterior.

2. 3 puntos. Se considera la ecuacion no lineal f(x) = 0 con

f(x) = x+ 5 ln(2x+ 3)� 4.

a) Determine el numero de soluciones de esta ecuacion y separelas en intervalos disjuntos.

b) Escriba el metodo de Newton asociado y determine un intervalo de convergencia global. ¿Cual serıa el

punto inicial mas adecuado para comenzar a aproximar la solucion? Razone la respuesta.

c) Sea {xn}n�0 la sucesion generada por el metodo de Newton y ↵ la raız de f(x). Escriba una cota del

error |xn+1 � ↵| en funcion de |xn+1 � xn|, dando la expresion explıcita de la constante.

d) Calcule hasta x3 usando el valor x0 determinado en el apartado b) y estime una cota del error |x3 � ↵|usando el apartado c).

3. 1 punto. Enuncie el Teorema de descomposicion LU de Doolittle. Demuestre, bajo condiciones adecuadas,

la unicidad de dicha descomposicion.

4. 1.5 puntos. Se considera el siguiente sistema de ecuaciones:

8<

:

3x+ y = 3,

x+ 2y � 2z = 3,

�2y + 3z = �3.

a) Pruebe que la matriz A asociada al sistema es definida positiva.

b) Demuestre que la matriz A admite una factorizacion LU de tipo Crout y calculela.

c) Utilice la descomposicion anterior para resolver el sistema de ecuaciones.

5. 2.5 puntos. Dada la integral I(f) =

Z b

af(x) dx,

a) De la formula del trapecio simple para aproximar I(f) y el error asociado. Deduzca a partir ellos la

formula del trapecio compuesta y el error correspondiente.

b) Determine el numero de subintervalos necesarios para calcular un valor aproximado de la integralZ 1/2

0sen (x) dx con un error menor que 10

�3utilizando la formula compuesta del trapecio.

Tiempo: tres horas.

Dobles grados en Mat-Fıs y Mat-Est – Universidad de Sevilla Curso 2017/18


o

parcial – Grupo D – Prof. P. Marın Rubio 1/6/2018

APELLIDOS y nombre: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1. 0.5 ptos./apdo. Teorıa:

(a) Enunciar el Teorema de Doolittle de descomposicion LU de una matriz.

(b) Definir que significa que una matriz A 2 M

n⇥n

(R) sea definida positiva.

(c) Enunciar el Teorema de factorizacion de Cholesky de una matriz A.

(d) Usar la teorıa de interpolacion global polinomica para justificar que la siguiente matriz

(llamada de Vandermonde) es regular:

0

BBBBB@

1 1 . . . 1

x0 x1 . . . x

n

x

20 x

21 . . . x

2n

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

x

n

0 x

n

1 . . . x

n

n

1

CCCCCA,

donde el conjunto de valores {x0, . . . , xn} ⇢ R son distintos entre si dos a dos.

(e) Dada una funcion f : [a, b] ! R y n+1 nodos distintos entre sı {x0, . . . , xn} ⇢ [a, b], definir

la diferencia dividida de f centrada en x

i

de orden m 2 N [ {0} con m+ i n.

(f) Enunciar la formula de integracion numerica simple del punto medio, la expresion del residuo

bajo hipotesis adecuadas para f y probarla.

2. 3 ptos. Dado el sistema 8<

:

2x1 + 4x2 � 2x3 = 2,

x1 + 3x2 + x3 = 1� a

2,

2x1 + 7x2 + (3a+ 4)x3 = 2,

Usando el Metodo de Gauss analizar, dependiendo del valor del parametro a, si el sistema

es compatible (determinado o indeterminado) o incompatible.

Resolverlo, si es posible, para a = 1.

Para a = 1, indicar si la matriz es factorizable en sentido LU. ¿Y para otros valores de a?

3. 2 ptos. Dada la funcion log x, se pretende aproximar su forma integral

Zx

1

1

s

ds

por una formula de integracion numerica de punto medio compuesto. ¿Que numero mınimo de

subintervalos bastaran para conseguir que el residuo sea menor o igual que 10

�5para cualquier

x 2 [1, 5]?

4. 2 ptos. Se considera la integral definida

Z 1/2

0

6p1� x

2dx.

Calcular su valor.

Aproximarla por la Regla de Simpson simple, es decir, en todo el intervalo [0, 1/2].

Aproximarla por la Regla de Simpson compuesta en dos subintervalos de igual longitud.

Duracion: dos horas.



Apellidos y nombre: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grupo . . . . . . Se presenta a: ⇤ 1a parte ⇤ 2a parte ⇤ todo

1. a) Enunciar el Teorema de convergencia global del Metodo de las Aproximaciones Sucesivas para una ecuacion escritaen forma de punto fijo.

b) Demostrar la existencia y unicidad de punto fijo bajo las condiciones del teorema ası como la convergencia con ordenal menos uno.

2. Dada la ecuacion de punto fijo g(x) = x para g(x) = x� 2

3log(x2 � 3x+ 2),

a) Determinar el numero de soluciones de la ecuacion y separarlas. Obtener un intervalo, I, de amplitud 005, en el quese encuentre la mayor solucion de la ecuacion.

b) Comprobar que es posible aplicar el Teorema Convergencia Local del MAS hacia la mayor solucion de x = g(x).

c) Tomando x0 = 205, hallar x1 y obtener el numero de iteraciones necesarias para asegurar que el error cometido esmenor que 10�3. Trabajar con cuatro cifras decimales y redondeo.

3. Considera la ecuacion homogeneax

2 � e

�x � 11 = 0.

a) Probar que la ecuacion anterior admite una unica solucion ↵ 2 (0,1).

b) Determinar un intervalo I de longitud uno donde la Regla de Fourier sea aplicable.

c) Calcular, a partir de un punto adecuado segun el apartado anterior, tres iteraciones del Metodo de Newton.

4. Se considera la matriz

A =

0

@1 2 x

0 x �11 3 x

1

A.

a) Analizar si A posee factorizacion LU dependiendo del valor de x.

b) Para los casos en que sı posea factorizacion LU, hallarlas (dependiente del valor x).

5. Sea p(x) = �3x2+11x�7 el unico polinomio de interpolacion para los pares {(1, 1), (2, 3), (3,�1)}y q(x) = �005x2+305x�2el polinomio de interpolacion para los pares {(0,�2), (1, 1), (2, 3)}. A partir de estos polinomios calcular el unico polinomiode interpolacion para el conjunto de valores {(0,�2), (1, 1), (2, 3), (3,�1)}.

6. a) Enunciar las formulas de integracion numerica de punto medio y de Simpson ası como los errores cometidos (bajohipotesis adecuadas).

b) Enunciar y demostrar la formula de integracion numerica de punto medio compuesta y el error cometido (bajo hipotesisadecuadas).

Primer Parcial: ejercicios 1, 2 y 3. Segundo Parcial: ejercicios 4, 5 y 6. Asignatura completa: todos los ejercicios.Puntuacion: Problema 1: 3 puntos. Problema 2: 4 puntos. Problema 3: 3 puntos.

Problema 4: 3 puntos. Problema 5: 3 puntos. Problema 6: 4 puntos.Puntuacion de los que van con la asignatura completa: Parte proporcional de la puntuacion anterior.Tiempo: Dos horas para el que se examine de un parcial y tres horas y media para el que se examine de toda la asignatura.

Examen de prácticas con MATLAB (1a Conv.) 20 de junio de 2018, 13:00 - 15:00CÁLCULO NUMÉRICO I - Grados en Matemáticas y dobles en FM y ME Curso 2017/18

Apellidos y nombre del alumno/a

Grupo

1. (3 puntos) Las gráficas de las funciones

f(x) = 3p1 + x

2 +1

5e

x

, g(x) = �x

2 + 2x+ 13, (1)

se cortan en dos puntos. Escribe un script de nombre Cortes.m que:

a) Dibuje las gráficas de ambas funciones en un intervalo adecuado, de forma que se visualicen los dos

puntos de corte.

b) Calcule las coordenadas de los dos puntos de intersección utilizando la función fzero.

c) Dibuje con marcadores los puntos de corte e incluya una leyenda que identifique la gráfica de las dos

funciones.

d) Calcule la integral de f en el intervalo [0, 1].

2. (2 puntos) Escriba una M-función function [flag] = SumaM4(v) que reciba como argumento de en-

trada un vector v y devuelva flag=1 si la suma de las componentes de dicho vector es mayor estricto que

4 y flag=0 en caso contrario.

3. (2 puntos) Escriba un script Sistema.m que realice lo siguiente:

a) Construya una matriz banda A de 10⇥ 10 que tenga 20,18,. . . 4,2 en la diagonal principal, �2 en las

dos primeras diagonales secundarias superior e inferior.

b) Dado el vector columna b = (1, 2, . . . , 10)>, resuelva mediante el método de Cholesky el sistema

Ax = b

e imprima el resultado x por pantalla así como una comprobación de que es “solución”.

4. (3 puntos) Un índice bursátil ha mostrado al cierre de cada jornada los siguientes valores:

Tiempo (días) 1 2 3 4 6 7

Cotización acción (eur) 62.2 41.5 37.7 43.8 47.1 58.2

Escriba un script de nombre cotizacion.m que lleve a cabo lo siguiente:

a) Calcular el polinomio de interpolación global de Lagrange p(x) que pasa por estos puntos y repre-

sentarlo gráficamente en un intervalo que contenga los datos de la tabla anterior, señalando con

marcadores los puntos interpolados.

b) Estimar la cotización al cierre del día 5 que se obtiene usando el polinomio de interpolación p(x).

c) Si a la tabla anterior se añaden los valores t = 8 e y = 61.1, calcular el nuevo polinomio de interpo-

lación q(x). Representarlo junto con el polinomio anterior, de manera que se identifique claramente

cada polinomio.

d) Estimar la cotización el día 5 que se obtiene usando el polinomio de interpolación q(x). Mostrar

ambos resultados (éste y el del apartado b).

calculo num´ erico i, grupo c, curso 2011/12´ primera ... · primera prueba intermedia,...

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