calculo integral varias variables ii

24
1º Ing. Química Matemáticas I Cálculo integral en funciones de varias variables II

Upload: carlos-marin-martinez

Post on 03-Jul-2015

253 views

Category:

Documents


2 download

TRANSCRIPT

Page 1: Calculo Integral Varias Variables II

1º Ing. QuímicaMatemáticas I

Cálculo integral en funciones de varias variables II

Page 2: Calculo Integral Varias Variables II

1º Ing. QuímicaMatemáticas I

Introducción al cálculo vectorial

Page 3: Calculo Integral Varias Variables II

Cálculo integral de funciones de varias

variablesCálculo vectorial Introducción

En esta sección introduciremos algunos conceptos que serán necesarios para avanzar en los cono-cimientos de integración, como es el caso de la integración sobre líneas o trayectorias, o de losteoremas de Green sobre integrales dobles.

En primer lugar definimos un como una relación entre conjuntos de vectores, o másintuitivamente, es algo al que le das vectores y te devuelve vectores

campo vectorial. Con más rigor diremos que

es un campo vectorial si se define como una relación : , donde . Evidentemente elconcepto de campo vectorial es una generalización del concepto de función (en una

n n n→ ∈

FF

o varias variables).

Al jugar con el concepto de vector debemos recordar las operaciones más básicas que existen entre ellos (excepto suma y diferencia, que son triviales); son el y elproducto escalar

1 2 1 2

1 2 1 2 1 1 2 2

.

Sean dos vectores ( , ) y ( , ). Se define el como el escalar ( , ) ( , )

O bien si defini

producto vectorial

u u u v v v producto escalaru v u u v v u v u v

= =⋅ = ⋅ = +

mos a como el ángulo entre los vectores y , podemos escribir cos( ).

u vu v u v

θθ⋅ =

Page 4: Calculo Integral Varias Variables II

Cálculo integral de funciones de varias

variablesCálculo vectorial Introducción

1 2

2 21 2

Definimos el módulo del vector ( , ) como

de manera que definimos un como aquel cuyo módulo es igual a 1. En gen

u u u

u u uvector unitario

=

= +

eral dadoun vector no unitario el vector

es un vector unitario.

El de dos vectores es un concepto algo más comp

uuu

producto vectorial

( ) ( )

3

31 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

licado. Para empezar exige refe-rirnos a un espacio vectorial de tres dimensiones, en nuestro caso a . Considerados entonces

, donde , , y , , , y donde ,u u u u u u v v v v v v∈ = = + = = +i + j k i + j k iu v u v

( ) ( ) ( )1 2 3 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1

1 2 3

, y son los vectores unitarios de los ejes , y respectivamente, definimos el producto vectorial como

.

x y z

u u u u v u v u v u v u v u vv v v

×

× = = − − + −

j k

i j ki + j k

u v

u v

Page 5: Calculo Integral Varias Variables II

Cálculo integral de funciones de varias

variablesCálculo vectorial Introducción

En lo que sigue presentamos el concepto de . Básicamente nos estaremos refi-riendo a algo que al actuar sobre un campo vectorial introduce sobre él operaciones donde las deri-vadas

operador diferencial

(parciales) están implicadas. Nos centraremos sólo en los dos operadores diferenciales más sencillos: la y el .

Para ello introducimos el operador básico , definido como:

divergencia rotacional

nabla

3

=

Obsérvese que nabla actuando sobre una función ( , , ) ( , , ) da el vector gradiente:

x y z

f x y z f x y z

∂ ∂ ∂∇ + +

∂ ∂ ∂

∈ → ∈

i j k.

= f f ffx y z∂ ∂ ∂

∇ + +∂ ∂ ∂

i j k.

Page 6: Calculo Integral Varias Variables II

Cálculo integral de funciones de varias

variablesCálculo vectorial Introducción

3 3Ahora podemos definir la divergencia y el rotacional de un campo vectorial : sin más que aplicar a y a los productos escalares y vectoriales. Así:

La de un campo vectorial : ( , ,divergencia x y

→∇

FF

F ( )

( )

3 31 2 3

31 21 2 3

) ( , , ), ( , , ), ( , , ) se define como el producto escalar de nabla y :

( , , ), ( , , ), ( , , ) .

El de un campo

z F x y z F x y z F x y z

FF FF x y z F x y z F x y z

x y z x y z

rotacional

∈ → ∈

∂∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂∇ ⋅ = + + ⋅ = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

i j k

F

F

( )

( ) ( ) ( )

3 31 2 3

3 2 1 3 2 1

1 2 3

vectorial : ( , , ) ( , , ), ( , , ), ( , , ) se define como el producto vectorial de nabla y :

x y z y z z x x y

x y z F x y z F x y z F x y z

F F F F F FF F F

∈ → ∈

∇× = ∂ ∂ ∂ = ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂i j k

i + j + k.

FF

F

Page 7: Calculo Integral Varias Variables II

Cálculo integral de funciones de varias

variablesCálculo vectorial Introducción

( )2

31 2

Obtener la divergencia y el rotacional del campo vectorial ( , , ) , , .

Por definición la divergencia será

2 0 3 ,

mientras q

Ejemplo

x y z x y z xyz

FF Fxy xy xy

x y z

=

∂∂ ∂⎛ ⎞∇ ⋅ = + + = + + =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

F

F

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

2 2

2

2 2

ue el rotacional será:

1 1 .

x y z y z z x x yxyz z x y xyz z x yx y z xyz

xz yz x xz yz x

∇× = ∂ ∂ ∂ = ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂

− − − −

i j ki + j + k =

= i + j + k = i j + k

F

Page 8: Calculo Integral Varias Variables II

1º Ing. QuímicaMatemáticas I

Integrales sobre trayectorias y líneas

Page 9: Calculo Integral Varias Variables II

Cálculo integral de funciones de varias

variablesIntegral de trayectoria Definición

Hasta ahora hemos visto cómo evaluar la integral de una función escalar sobre una región delplano. A partir de estos conocimientos es sencillo detérminar la integral de una función escalara lo largo d

2

2

e una en el plano.

Para ello definimos una función escalar de dos variables : , y una curva en el plano:[ , ] . Obsérvese que esta curva está , es decir que depende de un

pa

curva

fa b parametrizadaσ

⊂ →rámetro que al variar va dando los valores de los puntos ( , ) que forman la curva.

Consideremos la semicircunferencia superior de radio 1. Ésta puede definirse en coordenadas

cartesianas ( , )

t x y

Ejemplo

x y 2 como 1 . Sin embargo también se puede , introduciendo en e una dependencia respecto a un parámetro que nos genere la misma curva. En este casopodemos introducir cos( ) e sen(

y x parametrizarx y

x yα α

= −

= =

2

), donde el parámetro [0, ]. En términos de lanotación anterior podremos escribir: : [0, ] (cos( ) , sen( )) .

α π

σ α π α α

∈ → ∈

Page 10: Calculo Integral Varias Variables II

Cálculo integral de funciones de varias

variablesIntegral de trayectoria Definición

A partir de estas definiciones podemos ya construir la integral sobre la curva .Por definición la integral de una función escalar ( , ) sobre una curva ( ) 'suave' (sin esquinas, o más estrictament

f x y tσ

σe diferenciable en ese intervalo) se escribirá como

donde denota el diferencial de longitud de la curva .

En primer lugar es trivial ver que la función escalar

f ds dsσ

σ∫

( , ) tomará a lo largo de ( ) ( ( ), ( ))los valores ( ( ), ( )). Falta ver qué ocurre con el término diferencial que aparece en la integral,y para ver esto recurrimos a la geometría básica de la

f x y t x t y tf x t y t

σ =

curva (ver figura)

( )x t ( )x t dt+

( )y t

( )y t dt+

( ) ( ( ), ( ))t x t y tσ =

ds

y

x

2 2

02 2 2 2

2 2

De esta figura se ve que, por el teorema de Pitágoras,la diferencial de longitud (segmento rojo) es igual

a ( ( ) ( )) ( ( ) ( ))

( ( )) ( ( ))

( ( )) ( ( ))

dt

ds

ds x t dt x t y t dt y t

ds x t dt y t dt

ds x t y t dt

= + − + + − ⇒

′ ′⇒ = + ⇒

′ ′⇒ = + .

Page 11: Calculo Integral Varias Variables II

Cálculo integral de funciones de varias

variablesIntegral de trayectoria Ejemplo

2 2

En definitiva, a partir de todo esto podemos calcular la integral de una función escalar ( , ) sobreuna curva ( ) como

( ( ), ( )) ( ( )) ( ( )) .b

a

f x yt

f ds f x t y t x t y t dtσ

σ

′ ′= +∫ ∫

2 2

donde recuérdese que [ , ] es el intervalo en el que varía el parámetro para generar la curva .

Calculemos la integral de ( , ) sobre la semicircunferencia positiva de radio 2.Siguiend

a b t

Ejemplof x y x y

σ

= +

2 2 2

0

o el anterior ejemplo parametrizamos la curva como ( ) 2cos( ) e ( ) 2sen( ).donde [0, ]. Aplicando entonces la definición anterior tendremos que

( ( ), ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) (

x y

f ds f x y x y d x yπ

σ

α α α αα π

α α α α α α

= =∈

′ ′= + = +∫ ∫ 2 2 2

0

2 2 2 2

0

2 2 2 2

0 0

( )) ( ( )) ( ( ))

(2cos( )) (2sen( )) ( 2sen( )) (2cos( ))

4 (cos( )) (sen( )) 2 (sen( )) (cos( )) 8 8 .

x y d

d

d d

π

π

π π

α α α α

α α α α α

α α α α α α π

′ ′⎡ ⎤ + =⎣ ⎦

⎡ ⎤= + − + =⎣ ⎦

⎡ ⎤= + + = =⎣ ⎦

∫∫∫ ∫

Page 12: Calculo Integral Varias Variables II

Cálculo integral de funciones de varias

variablesIntegral de línea Definición

El concepto de integral de trayectoria está referido a funciones escalares, no obstante es posible generalizarlo a funciones vectoriales sin más que tener cuidado con la definición del diferencialde la curva sobre la que se integra.

En el caso de funciones escalares era el diferencial de longitud de la curva, y por lo tanto unescalar, sin embargo en el caso de un campo vectorial el diferencial d

ds

2

e la curva será un vector,denotado por . Siguiendo el mismo razonamiento que en el caso anterior tendremos que, si denotamos de nuevo la curva por :[ , ] , entonces vendrá dado por la igualdad

da b dσ →

ss

( )( )

2 21 2

2

:( ( ), ( )) . En consecuencia la integral de línea se definirá como sigue:

Sea un campo vectorial : definido por ( , ) ( , ), ( , ) y una curva

: [ , ] ( ), ( ) tal que e

d x t y t d ds

x y F x y F x y

t a b x t y tσ

′ ′= ⇒ =

→ =

∈ → ∈

s s

F F

F

( ) ( ) ( )1 2

s contínuo sobre y la curva es 'suave' (sin esquinas). Entonces la integral de línea de sobre se define como:

( ), ( ) ( ( ), ( )) ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) .b b

a ad x t y t x t y t dt F x t y t x t F x t y t y t dt

σ

σ σσ

′ ′ ′ ′⋅ = ⋅ = +∫ ∫ ∫

F

F s F

Page 13: Calculo Integral Varias Variables II

Cálculo integral de funciones de varias

variablesIntegral de trayectoria Ejemplo

Calculemos la integral de ( , ) ( , ) ( y denotan los vectores unitarios sobrelos ejes e ) sobre la semicircunferencia positiva de radio 2.

Parametrizamos la curva como ( ) 2cos( )

Ejemplox y x y x y

x y

x α α

= + =

=

i j i jF

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )0 0

0

0 0

e ( ) 2sen( ) donde [0, ]. Entonces

( ), ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( ), ( )

2cos( ), 2sen( ) 2sen( ), 2cos( )

4cos( )sen( ) 4sen( ) cos( ) 0 0.

: Se h

y

d x y x y d x y x y d

d

d d

π π

σ

π

π π

α α α π

α α α α α α α α α α

α α α α α

α α α α α α

= ∈

′ ′ ′ ′= ⋅ = ⋅ =

= ⋅ − =

= − + = =

∫ ∫ ∫∫∫ ∫

F s F

OBSERVACIÓN a exigido que la curva sobre la que se integra debe ser 'suave', sin em-bargo esto no es necesario. Si tiene puntos en el intervalo [ , ] en los que deja de ser diferen-ciable entonces se divide l

a bσ

σa curva en trozos diferenciables y se integra sobre ellos, sumándose

el resultado final para obtener la integral de trayectoria o de línea, según sea el caso. Por otro ladotodo lo que se ha visto es trivialmente generalizable a más de dos dimensiones.

Page 14: Calculo Integral Varias Variables II

1º Ing. QuímicaMatemáticas I

Teoremas integrales del análisis vectorial

Page 15: Calculo Integral Varias Variables II

Cálculo integral de funciones de varias

variablesTeoremas de Green Definición

En física y en química aparecen con frecuencia operadores diferenciales (como la divergenciao el rotacional) y lidiar con ellos puede resultar muy complicado. Para ayudarnos en esta tareaexisten ciertos teoremas que nos permiten relacionar la integración de expresiones en las queaparecen esos operadores diferenciales, con integrales más sencillas de resolver.

Estas relaciones se concretan en teore

2

mas integrales, de los cuales nos centraremos en dos: el teorema de la diverencia y el teorema del rotacional (teoremas de Green). Además nos referi-remos sólo al contexto de campos vectoriales en , aunque esta es sólo una restricción prác-tica, ya que estos resultados son fácilmente generalizables a dimensiones superiores.

Page 16: Calculo Integral Varias Variables II

Cálculo integral de funciones de varias

variablesTeoremas de Green Definición

2

Comencemos introduciendo algunas definiciones previas.Dada una región cuya frontera denotaremos por , diremos que está

si al recorrerla siguiendo esa orientación el iD D D positivamente

orientada⊂ ∂ ∂

nterior de queda a la izquierda (ver la figura). Denotaremos por al vector unitario perpendicular a la frontera , exterior a y conte-nido en el mismo plano que la propia región . Por otro lad

DD D

D∂n

o denotamos por al vector unitario perpendicular al plano en el que está contenida y orientado según la .Según esta regla si cerramos la mano derecha dejando extendido el d

D regla de la mano derechak

edo pulgar y el sentido en que recorremos la frontera es el indicado por el dedo índice, entonces la orientación de vendrá dada por la dirección del dedo pulgar (ver figura derecha).

D∂ k

x

y

z k

D D∂x

y

DD∂

n

Page 17: Calculo Integral Varias Variables II

Cálculo integral de funciones de varias

variablesTeoremas de Green Definición

2

Estamos ya en condiciones de presentar (sin demostración) el teorema de la divergencia.

Sea una región de tipo II y III, y denotemos por su frontera. Sea D D⊂ ∂

Teorema de la divergencia (en el plano)

( ) 2

la normal exteriora . Si : [ , ] ( ) ( ), ( ) es una parametrización de orientada positiva-mente, entonces estará dado por

( ), (

D t a b t x t y t D

y t x

σ σ∂ ∈ → = ∈ ∂

′ ′−=

n

n

n ( )( ) ( )

( )

2 2

2 21 2

).

( ) ( )

Sea : un campo vectorial diferenciable en tal que ( , ) ( , ), ( , ) .Entonces

div D D

t

x t y t

D x y F x y F x y

dA ds∂

′ ′+

→ =

= ⋅∫ ∫ n

F F

F F

Page 18: Calculo Integral Varias Variables II

Cálculo integral de funciones de varias

variablesTeoremas de Green Ejemplos

1 21 2

A partir de las definiciones anteriores podemos escribir la igualdad anterior de forma más prácticacomo

Demostrar q

D D

F Fdxdy F dy F dx

x y

Ejemplo

∂ ∂⎛ ⎞+ = −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

∫ ∫

1 2

2

ue .

Notese que el término es una función escalar, es decir : , y por tanto la integralsobre la frontera es una integral de trayectoria. De la definición de y , y d

D Dds F dy F dx

D

∂ ∂⋅ = −

⋅ ⋅ →∂

∫ ∫n

n nn

F

F FF

( ) ( )( ) ( )

1 2

2 2

e la parametriza-ción de , podemos escribir

( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ).

( ) ( )

F x t y t y t F x t y t x t

x t y t

σ′ ′−

⋅ =′ ′+

n F

Page 19: Calculo Integral Varias Variables II

Cálculo integral de funciones de varias

variablesTeoremas de Green Ejemplos

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2 21 2

2 2

1 2 1 2

Aplicando esto a la integral de trayectoria:( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( , ) ( , )

D D

b

a

F x t y t y t F x t y t x tds x t y t dt

x t y t

F x t y t y t F x t y t x t dt F x y dy F x y dx

∂ ∂

′ ′−′ ′⋅ = + =

′ ′+

′ ′= − = −⎡ ⎤⎣ ⎦

∫ ∫

nF

.

Verificar el teorema de Green para el plano cuando ( , ) , y es el disco unitario.

Para resolver el problema basta calcular ambos lados de la igualdad del teorema. En primer lugar

D

Ejemplox y xy x D

= +

i jF

1 2 .

Como el integrando no depende de conservamos el orden de integración. es de tipo II y III simultáneamente. En concreto d

D D

F Fdxdy y dxdy

x yx D

∂ ∂⎛ ⎞+ =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

∫ ∫

( ) ( ){ }2 2 2

escribimos a la región como de tipo III, definiéndola como

( , ) / 1 1 1 1 .

D

D x y y x y y= ∈ − − ≤ ≤ − ∧ − ≤ ≤

Page 20: Calculo Integral Varias Variables II

Cálculo integral de funciones de varias

variablesTeoremas de Green Ejemplos

( ) ( ){ }2 2 2

1 21

III simultáneamente. En concreto describimos a la región como de tipo II, definiéndola como

( , ) / 1 1 1 1 .

Escribimos entonces

D

D

D x y x y x x

F F dxdy y dxdyx y − −

= ∈ − − ≤ ≤ − ∧ − ≤ ≤

⎛ ⎞∂ ∂+ =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

∫ ( )2 2

2 2

11 1 1 1 1 3/ 22 2

1 1 1 11

1 2

22 1 1 0.3

Por otro lado para calcular parametrizamos convenientemente la frontera . Por

ejemplo tomamos ( ) cos( ) e ( ) sen( ) con

y y

y y

D

y dxdy y y dy y

F dy F dx D

x yα α α α α

− −

− − − − −−

= = − = − − =

− ∂

= =

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( )2

1 2 0

2 2 1 12 2

0 0 1 1

1 13 2cos( ) 1 12

1 11 1

[0,2 ], de donde

cos( )sen( ) cos( ) cos( )sen( )

cos ( )sen( ) cos( )sen( ) cos ( ) (cos( )) cos( ) (cos( ))

03 2

D DF dy F dx xy dy x dx d

d d d d

d d

π

π π

μ α

π

α α α α α α

α α α α α α α α α α

μ μμ μ μ μ

∂ ∂

− = − = + =

= + = − − =

= − − = − − = +

∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ 0 0.=

Page 21: Calculo Integral Varias Variables II

Cálculo integral de funciones de varias

variablesTeoremas de Green Definición

2

De igual modo presentamos sin demostración el teorema del rotacional.

Sea una región de tipo II y III, y denotemos por su frontera orientada positivamentey parametrizada s

D D⊂ ∂

Teorema del rotacional

( )( )

2 2 2

1 2

egún la curva : [ , ] ( ) ( ), ( ) . Sea : un

campo vectorial diferenciable en tal que ( , ) ( , ), ( , ) , y el vector unitarioperpendicular al plano de , obtenido de acuerdo a su

t a b t x t y t

D x y F x y F x yD

σ σ∈ → = ∈ →

= k

F

F

( )

( )2

orientación positiva. Entonces

.

Dado el campo vectorial ( , ) ( , ), integrar sobre la región del primer

cuadrante a

D DdA d

Ejemplox y xy x y

∂∇× ⋅ = ⋅

= + ∇× ⋅

∫ ∫k

k

F F s

F F2cotada por las curvas e .y x y x= =

Page 22: Calculo Integral Varias Variables II

Cálculo integral de funciones de varias

variablesTeoremas de Green Definición

Lo primero que debemos hacer es dibujar el recinto de integración y después integramos:Ejemplo

D

El recinto puede considerarse de tipo II o III (¿por qué?), y además como hay simetría en el integrando entre las variables e significa que no importa el orden de integración que escoja-mos.

Dx y

x

yD

y x=

2y x=

( ) ( ) ( )

2

2

2

1: evaluamos directamente la integral:

0 ( ) ( )0

( ) 0 ( )

0 0 1 2 0,0,1 2 . De aquí 1 2

x y z z x

z y

Método

xy x yxy x y

x y xy

xy xy xy

∇× = ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ++

−∂ + ∂

+ = − ∇× ⋅ = − ⇒

i j ki + j+ k -

i - j - k =

= i - j - k k

F

F

( ) ( ) 1 2 .D D

dA xy dxdy∇× ⋅ = −∫ ∫kF

Page 23: Calculo Integral Varias Variables II

Cálculo integral de funciones de varias

variablesTeoremas de Green Definición

Consideramos a como tipo II para que las curvas que definen la frontera del recinto de integraciónse definan como en función de (así no nos van a aparecer raices cuadradas en la integral,

Ejemplo

Dy x

( ) ( ){ }

( )

2 2

que suelenser más difíciles de integrar). De este modo escribiremos como:

( , ) / 0 1 .

Podemos ya calcular la integral como:

1 2D

D

D x y x y x x

dA

= ∈ ≤ ≤ ∧ ≤ ≤

∇× ⋅ = −∫ kF ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

222

21 1 1 1 2

0 0 0 0

1 1 1 12 3 4 61 1 12 4 2 3 5

0 0 00 0 0 0

1 2 22

1 1 1 1 1 .2 3 4 6 2 3 4 6 12

xx x

xD xx

yxy dydx xy dydx y dx x dx x x dx

x x x xx x x dx x x dx x x dx

= − = − = − −

− − = − − − = − − + = − − + =

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

2: evaluamos la integral por medio del teorema del rotacional. Una vez orientado el recinto como en la figura podemos afirmar según el teorema del rotacional que:

Método

( ) .

El problema se reduce entonces a calcular la integral de línea a lo largo de la frontera .D D

dA d

D∂

∇× ⋅ = ⋅

∂∫ ∫kF F s

Page 24: Calculo Integral Varias Variables II

Cálculo integral de funciones de varias

variablesTeoremas de Green Definición

2

2

En primer lugar calculamos la integral de línea a lo largo de la curva de . Para ello usamos la parametrización trivial , , con [0,1]. De ahí y siguiendo la teoría tenemos que:

Ejemploy x D

x t y t t= ∂

= = ∈

F ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

1 1 12 4 2 5 2 3

0 0 0

1 1 16 3 4

0 0 0

( ) ( ) , ( ) ( ) ( ), ( ) , 1, 2 2 2

1 2 1 42 2 .6 3 4 6 3 2 3

A continuación calculamos la integral de línea a lo largo de la curva de , pero

y xd x t y t x t y t x t y t dt t t t t t dt t t t dt

t t t

y x D

=′ ′⋅ = + ⋅ = + ⋅ = + + =

= + + = + + =

= ∂

∫ ∫ ∫ ∫s

ATENCIÓN, con-servando la orientación, es decir esta curva se recorrerá ahora de derecha a izquierda. Ello significa que la parametrización trivial será , , pero ahora [1,0]. De nuevo:

y x

x t y t t

d=

= = ∈

⋅∫ F s ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 02 2 3

1 1 1

0 04 2

1 1

( ) ( ) , ( ) ( ) ( ), ( ) , 1,1 2

1 52 1 .4 2 4 4

Finalmente como ambas curvas se han recorrido respetando la orientación incial:

x t y t x t y t x t y t dt t t t t dt t t dt

t t

′ ′= + ⋅ = + ⋅ = + =

= + = − − = −

∫ ∫ ∫

2

4 5 1 .3 4 12D y x y x

d d d∂ = =

⋅ = ⋅ + ⋅ = − =∫ ∫ ∫F s F s F s