calculo integral para ingenieria_santiago

Cálculo integralpara ingeniería

Cálculo integralpara ingeniería

Rubén Darío Santiago Acosta Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Estado de México

Carlos Daniel Prado Pérez Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Estado de México

José Luis Gómez Muñoz Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Estado de México

Ma. de Lourdes Quezada Batalla Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Estado de México

Leopoldo Zúñiga Silva Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus San Luis Potosí

Javier Pulido Cejudo Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Santa Fe

Lázaro Barajas de la Torre Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, Vicerrectoría de la Zona Centro

Omar Olmos López Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Toluca

Revisión técnica Fernando Vallejo Aguirre Instituto Politécnico NacionalUnidad Interdisciplinaria en Ingeniería y Tecnologías Avanzadas

Manuel González Sarabia Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Estado de México

Datos de catalogación bibliográfica

SANTIAGO, PRADO, GÓMEZ, QUEZADA, ZÚÑIGA, PULIDO, BARAJAS, OLMOS

Cálculo integral para ingeniería

��PEARSON EDUCACIÓN, México, 2008

ISBN: 978-970-26-0990-2Área: Universitarios

Formato: 20 × 25.5 cm Páginas: 544

Editor: Rubén Fuerte Rivera e-mail: [email protected]

Editor de desarrollo: Felipe Hernández Carrasco Supervisor de producción: Gustavo Rivas Romero

PRIMERA EDICIÓN, 2008

D.R. © 2008 por Pearson Educación de México, S.A. de C.V. Atlacomulco No. 500 – 5° piso Col. Industrial Atoto 53519 Naucalpan de Juárez, Edo. de México

Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Núm. 1031

Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transmi-tirse, por un sistema de recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecá-nico, fotoquímico, magnético o electroóptico, por fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escri-to del editor.

El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización deleditor o de sus representantes.

ISBN 10: 970-26-0990-9ISBN 13: 978-970-26-0990-2

Impreso en México. Printed in Mexico.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 11 10 09 08

Unidad 1 Diferencial e integral definida 1

1.1 El concepto de diferencial 1

Sección 1.1.1 La diferencial de una función 4

Sección 1.1.2 Modelos basados en la diferencial y análisis de errores 10

1.2 La integral definida 23

Sección 1.2.1 La notación suma 25

Sección 1.2.2 El promedio de una función 28

Sección 1.2.3 Áreas bajo curvas 32

Sección 1.2.4 La integral definida y sus propiedades 37

1.3 El teorema fundamental del cálculo 52

Sección 1.3.1 El teorema del valor medio para integrales 54

Sección 1.3.2 La búsqueda del teorema fundamental del cálculo 57

Sección 1.3.3 Teorema fundamental del cálculo (segunda parte) 62

Unidad 2 Métodos de integración 73

2.1 Método de sustitución y ecuaciones diferenciales 73

Sección 2.1.1 Método de sustitución 75

Sección 2.1.2 Ecuaciones diferenciales 84

2.2 Integración por partes 97

Sección 2.2.1 Integración por partes 98

Contenido

vi Contenido

2.3 Integrales de potencias trigonométricas 117

Sección 2.3.1 Integrales que incluyen potencias de seno y coseno 118

Sección 2.3.2 Integrales que incluyen potencias de tangente y secante 124

Sección 2.3.3 Integrales de productos de senos y cosenos

con diferente argumento 129

Sección 2.3.4 Integrales de potencias de funciones hiperbólicas 131

2.4 Método de sustitución trigonométrica 142

Sección 2.4.1 Sustitución trigonométrica 143

2.5 Integración por fracciones parciales 159

Sección 2.5.1 El método de fracciones parciales 160

Sección 2.5.2 Ecuación logística 171

Sección 2.5.3 Métodos de Hermite y Heaviside 175

2.6 Sustituciones diversas 193

Sección 2.6.1 Método de sustitución del ángulo medio 195

Sección 2.6.2 Racionalización de funciones irracionales 200

Sección 2.6.3 Integrales binomias 202

Sección 2.6.4 Sustitución de Euler 205

Sección 2.6.5 Método alemán de reducción 207

2.7 Integración numérica 222

Sección 2.7.1 Método del trapecio 223

Sección 2.7.2 Método de Simpson 228

Sección 2.7.3 Método de cuadraturas de Gauss 234

Unidad 3 Aplicaciones de la integral 249

3.1 Área entre curvas 249

Sección 3.1.1 Áreas entre curvas 250

3.2 Volúmenes 266

Sección 3.2.1 Sólidos de revolución 268

Sección 3.2.2 Método de cáscaras cilíndricas 280

Sección 3.2.3 Elección entre arandelas y cáscaras cilíndricas 283

Sección 3.2.4 Volúmenes de sólidos con área transversal

conocida 286

3.3 Aplicaciones de la integral 300

Sección 3.3.1 Longitud de arco 301

Sección 3.3.2 Área superficial de sólidos de revolución 306

Sección 3.3.3 Densidad de masa 310

Sección 3.3.4 Centro de masa y momentos de inercia 313

Sección 3.3.5 Trabajo 322

Sección 3.3.6 Fuerza y presión 325

viiContenido

Unidad 4 Formas indeterminadas e integral impropia 343

4.1 Formas indeterminadas 343

Sección 4.1.1 Formas indeterminadas y la regla de L’Hopital 346

Sección 4.1.2 La regla de L’Hopital 348

4.2 Integrales impropias 365

Sección 4.2.1 Integrales impropias 366

Unidad 5 Sucesiones y series 389

5.1 Sucesiones 389

Sección 5.1.1 El concepto de sucesión 391

Sección 5.1.2 Convergencia y divergencia de sucesiones 394

5.2 Primeras series 414

Sección 5.2.1 El concepto de serie 416

5.3 Criterios de convergencia 444

Sección 5.3.1 Series de términos positivos 445

Sección 5.3.2 Series de términos positivos y negativos 450

Sección 5.3.3 Aceleración de la convergencia 455

Unidad 6 Series de potencias 479

6.1 Polinomios y series de Taylor 479

Sección 6.1.1 Polinomios de Taylor 481

Sección 6.1.2 Serie de Taylor 486

6.2 Series de potencias 501

Sección 6.2.1 Series de potencias 502

Sección 6.2.2 Operaciones con series de potencias 505

Sección 6.2.3 Derivación e integración de series de potencias 511

Para el Tecnológico de Monterrey es un orgullo contar con equipos docentes capacitadosen el desarrollo y la creación de conocimiento, de investigación y de herramientas útilespara el aprendizaje de nuestros estudiantes. “Cálculo integral para ingeniería”, es unejemplo de ello, al ser una publicación funcional que te guiará a través de la aprehen-sión, a comprender de manera práctica y didáctica, el cálculo y sus aplicaciones.

El uso de actividades que fomentan el aprendizaje colaborativo, la aplicación de pro-blemas al contexto de nuestra cotidianeidad, la utilización de un gran número de ejerci-cios con su respectiva solución y la base de un modelo educativo capaz de explotar elaprendizaje simbólico, numérico, gráfico y verbal, hacen de este libro un excelente re-fuerzo para tu incursión al mundo del cálculo.

El libro cuenta además, con un CD basado en prácticas de exploración computacio-nal de conceptos matemáticos, que te servirá de apoyo al agudizar tu capacidad de aná-lisis mediante ejercicios interactivos, permitiéndote ser aún más ágil en la resolución deproblemas prácticos.

“Cálculo integral para ingeniería” está elaborado con estricto apego al programa vi-gente de la materia impartida en nuestro sistema, y refleja los años de experiencia delcuerpo docente que le ha dado vida, teniendo como principal incentivo, la vocación a laenseñanza y el impulso al desarrollo educativo de nuestra comunidad.

Además de complementar tu aprendizaje a través del semestre, “Cálculo integral paraingeniería” te servirá de consulta aún después de haber adquirido los conocimientosque alberga. Por ello, te invito a que disfrutes de esta publicación y aproveches al máxi-mo la investigación, y el trabajo invertido por parte de sus autores, en esta herramientaque resultará funcional para ti, en la medida en que te tomes el tiempo y la paciencianecesarias para cultivar tu aprendizaje.

Dr. Pedro Luis Grasa SolerDirector GeneralTecnológico de Monterrey, Campus Estado de México

Presentación

Los científicos necesitamos especialmente la imaginación.No bastan las matemáticas ni la lógica.

Necesitamos algo de estética y poesía.

María Casares

Prólogo

Arquímedes (287-212 a.C.) Riemann (1826-1866) Cauchy (1789-1857) Lagrange (1736-1813)

El texto que tienes en tus manos es el segundo tomo de una obra dedicada al estudio delos conceptos fundamentales del cálculo de una variable real. En el primer libro presen-tamos las ideas básicas del cálculo diferencial y discutimos diversas aplicaciones en to-das las áreas del conocimiento. En este segundo tomo presentamos las ideas básicas delcálculo integral y la teoría de aproximación basada en el concepto de serie de potencias.

El tema primordial que desarrollaremos, la integral de una función, tiene una historiaque empezó en la antigua Grecia. El primer matemático en estudiarla fue el griego Ar-químedes de Siracusa (287-212 a.C.), quien inventó el método de exhaución para encon-trar el área de figuras planas. Este método consiste en inscribir y/o circunscribir figuraspoligonales, con área simple de calcular, en una región plana compleja, de tal forma que

xii Prólogo

al aumentar el número de figuras poligonales, su área se aproxime cada vez más al áreade la región. Sin embargo, la falta de técnicas apropiadas hizo imposible extender el mé-todo a regiones que no fueran el círculo, las porciones de la parábola u otras igualmen-te sencillas. Fue necesario esperar hasta el siglo XVII, cuando los genios de Newtony Leibnitz, plantearon una metodología más adecuada para determinar el área de unaregión dada. Hay que decir que sus métodos eran un tanto confusos (desconocían elconcepto formal de límite); pero lograron concluir que los procesos de derivación eintegración son, en cierto sentido, inversos entre sí. Ninguno de los dos tuvo la preocu-pación de dotar con rigor matemático sus deducciones. Baste decir que Newton sólo co-rroboraba experimentalmente sus resultados; en tanto que Leibnitz se conformaba con lalógica fina de sus deducciones y el uso de su exitosa simbología.

Aproximadamente 150 años después, el matemático francés Augustin Louis Cauchy(1789-1857) formuló claramente el concepto de límite y, en consecuencia, estableció loscimientos para desarrollar el cálculo con mayor rigor. Sus obras Cours d’ Analyse yAnalyse Algebrique, aparecidas en 1821, son verdaderas joyas del pensamiento matemá-tico moderno y sirvieron de base para independizar el concepto de integral como proce-so inverso de la derivada y, así, adquirir o readquirir la importancia que merece comoconcepto matemático relacionado con el límite de sumas y con el área bajo curvas. Conestos elementos, el célebre matemático alemán Bernhard Riemann (1826-1866) precisó,en 1854, el concepto de integral y determinó las condiciones en las cuales las sumas deRiemann tienden hacia un límite finito: hecho decisivo que llevó al cálculo integral a lacúspide del saber matemático de la época.

El segundo tema fundamental que abordamos en el texto es el concepto de serie que,básicamente, es una extensión matemática para entender la suma de un número infinitode términos a partir de la suma de un número finito. Este concepto también tiene undesarrollo histórico interesante y la contribución de matemáticos de gran renombre.Por ejemplo, Jacobo Bernoulli (1654-1705) publicó en 1689 una demostración sobre ladivergencia de la serie armónica. A finales del siglo XVIII, los matemáticos se plan-tean la pregunta de si es posible representar cualquier función de variable real como unaserie de potencias. Dicha cuestión motivó una serie de trabajos interesantes, donde des-tacaban los que realizó el mismo Louis Cauchy y su colega francés Joseph Lagrange(1736-1813). Esto a la vez provocó un desarrollo importante de las ideas del cálculo. Enla actualidad el concepto de serie de potencias encuentra su utilidad de manera naturalal proporcionar aproximaciones de funciones donde otros métodos analíticos no puedenutilizarse. En el texto proporcionamos elementos suficientes para comprender qué es loque está detrás de este concepto.

Por otro lado, al igual que en el texto anterior, los diferentes temas que abordamos sepresentan de forma precisa, no demasiado formal, haciendo énfasis en su utilidad para lasolución de problemas. Para ello dividimos la obra en seis unidades; las primeras cuatroestán dedicadas a la integración, y las dos últimas, al concepto de serie. Brevemente teexponemos la descripción de cada unidad.

Unidad 1. Diferencial e integral definida. El material se presenta de forma natural.Desde el principio enfocamos la diferencial como herramienta para el cálculo de erroresy como representación “atómica” de un todo. Posteriormente definimos el concepto deintegral definida, y establecemos el teorema fundamental del cálculo que relaciona losconceptos de integral definida y derivación.

Unidad 2. Métodos de integración. Aquí examinamos las técnicas básicas de integra-ción incorporando algunos métodos no tan rutinarios, que sirven como complemento

xiiiPrólogo

ideal de la unidad. Conscientes de las limitaciones de estos métodos, presentamos algunosmétodos de integración numérica, con lo cual te brindamos la posibilidad de calcular,al menos de esta forma, un amplio espectro de integrales.

Unidad 3. Aplicaciones de la integral. Aquí analizamos las aplicaciones habituales delcálculo integral (cálculo de áreas y volúmenes). Dedicamos también una sección parapresentar aplicaciones diversas en geometría y física. Nuestro interés es mostrarte elenorme potencial de la integración de funciones.

Unidad 4. Formas indeterminadas e integral impropia. Los procesos al infinito sepresentan con muchísima frecuencia en las aplicaciones de la matemática. Por ejemplo,en la teoría de la probabilidad aparece regularmente el concepto de integral impropia.Por esta razón no es extraño que dediquemos un capítulo a discutir acerca de dos proce-sos al infinito fundamentales: las formas indeterminadas y las integrales impropias.

Unidad 5. Sucesiones y series. Esta unidad trata la suma de un número infinito de tér-minos. Sabemos que este tema puede resultar sumamente abstracto cuando se estudia porprimera vez. Por tal razón, nos apoyamos en enfoques de tipos numérico y gráfico paraestablecer el resultado matemático discutido. Nuestra experiencia nos dice que estofacilitará tu tarea de aprendizaje y te permitirá, al mismo tiempo, valorar la importanciade las series en una infinidad de aplicaciones.

Unidad 6. Series de potencias. El último tema del libro se dedica a los conceptos re-lacionados con la serie de potencias. Esta unidad complementa lo que estudiamos en eltomo dedicado al cálculo diferencial.

Este libro, al igual que el anterior, se distingue por las siguientes particularidades.

a) La teoría se presenta con un buen nivel de generalización y precisión, buscando entodo momento su conexión con la práctica y utilidad del conocimiento discutido.

b) Se incorporan problemas originales y actuales que darán sentido a los conceptosy teoremas que te presentamos. Muchos de estos problemas requieren del trabajoen grupos pequeños y del uso de tecnología, lo cual permitirá desarrollar tus ha-bilidades matemáticas de forma planeada y organizada.

c) Cada unidad contiene un buen número de ejemplos completamente resueltos, un lis-tado amplio de ejercicios propuestos (todos con su respuesta) y una sección de auto-evaluación que te ayudará a valorar los progresos alcanzados durante tu estudio.

d) El texto cuenta con un CD de apoyo el cual contiene prácticas de exploracióncomputacional de conceptos matemáticos, actividades de aprendizaje del uso depaquetes como Excel y Mathematica, ejercicios de autovaloración, así como tareasindividualizadas.

En conclusión, reconocemos que no hay rama de la ciencia o de la ingeniería donde nosea indispensable conocer y aplicar los conceptos, teoremas y métodos del cálculo inte-gral. Para adquirir la suficiente habilidad, tanto en lo operativo como en los procesos depensamiento relacionados, te invitamos a practicar con lápiz y papel; a resolver los pro-blemas propuestos; y a utilizar el texto y su CD de apoyo, ya que en nuestra opinión nohay aprendizaje en matemáticas sin la práctica y el involucramiento del estudiante.

LOS AUTORES

Unidad

Diferencial e integral definida

Contenido de la unidad

1.1 El concepto de diferencial

1.2 La integral definida

1.3 El teorema fundamental del cálculo

Tragedia ecológica

El Lago de Guadalupe es un espejo de agua de 340 hectáreas, con una altura promedio de 18.5 metros, quese encuentra ubicado al norponiente de la Ciudad de México. Sus aguas se utilizan principalmente para riegoy provienen de diferentes afluentes que descargan cerca de 15 millones de metros cúbicos anuales, además deque recibe 2,380,000 millones de metros cúbicos de lluvia. Inesperadamente, un día de febrero de 2004 apa-recieron centenares de peces muertos en sus riberas. En mayo se recogieron muchísimos más; y para diciem-

1.1 El concepto de diferencial

Las matemáticas son el alfabeto con elcual Dios ha escrito el Universo.

Galileo Galilei

Tabla 1.1: Datos de la contaminación por demanda bioquímica de oxígeno (DBO5)y Escherichia coli (E. COLI) del Lago de Guadalupe en dos momentosdiferentes. La DBO se mide en miligramos por litro; y la E. COLI, en número de colonias por 100 mililitros.

bre se estimaba que esta crisis había provocado la muerte de miles de aves y queprodujo cerca de 30 toneladas de peces muertos. ¿Por qué ocurrió esa tragediaecológica en 2004? Las razones son de diversa índole: crecimiento desordenadode los asentamientos urbanos alrededor del lago, descarga de aguas residuales sintratamiento, falta de infraestructura para la recolección de residuos sólidos, defo-restación y poco respeto por la naturaleza.

2 Unidad 1: Diferencial e integral definida

FIGURA 1.1: Lago de Guadalupe, imágenes de la crisis de 2004.

Para combatir la alta contaminación del lago, se formó la Comisión de la Cuen-ca de los Afluentes de la Presa Guadalupe, con la intención de que coordinara lostrabajos y las acciones necesarias para revertir la problemática de deterioro delos recursos naturales, particularmente los hídricos. Así, a finales de 2004 se ini-ció el monitoreo de los parámetros físico-químicos y biológicos del lago con nue-ve estaciones de monitoreo, cuyos resultados se muestran en la tabla 1.1.

Estación de Diciembre de 2004 Diciembre de 2005monitoreo DBOs E. COLI DBO5 E. COLI

1 203 196 40 90

2 199 21 54 18

3 254 210 61 110

4 251 147 45 87

5 260 162 42 117

6 251 17 40 15

7 190 49 36 31

8 400 4,400 60 320

9 315 460 45 120

Promedio 258.11 629.11 47 100.88

En 2005 se colocaron cientos de recolectores marginales de drenaje, lo cual re-dujo significativamente la entrada de contaminantes al lago, como se muestra enlas columnas 4 y 5 de la tabla 1.1, que corresponden a la medición de diciembrede ese año.

Las normas nacionales establecen que la demanda bioquímica de oxígeno(DBO) y el número de bacterias coliformes (COLI) no deben ser mayores a 75miligramos por litro ni a 200 en el número de colonias por cada 100 mililitros,respectivamente. Supón que el volumen del lago no cambia y que se mantienen losresultados de finales de 2005. ¿Cuántos años habrá que esperar para que se re-duzcan las concentraciones de contaminantes a los niveles adecuados establecidospor las normas ambientales?

Observaciones:

La DBO se define como la cantidad de oxígeno que requieren los microorganismospresentes en las aguas residuales para oxidar toda la materia orgánica contenida.Este oxígeno lo obtienen las bacterias del que está disuelto en el agua, y que puededisminuir su concentración y poner en peligro la vida de las especies acuáticas.Por tal razón, es necesario reducir la DBO, para mantener el oxígeno disuelto enel agua de los lagos arriba de 5 miligramos por litro.

La E.COLI es una bacteria que forma parte de nuestra flora intestinal. Sin em-bargo, un aumento de ella en la población de nuestro organismo produce gravesproblemas gastrointestinales. Por lo tanto, su presencia en aguas residuales indi-ca contaminación por heces fecales humanas y representa un problema de saludpública.

31.1: El concepto de diferencial

Introducción

El concepto de diferencial es uno de los más importantes del cálculo y, sin lu-gar a dudas, uno de los que tiene mayor diversidad de aplicaciones, tanto en laformulación de modelos como en el análisis de errores. Imagina, por ejemplo,a un físico interesado en saber cómo cambia la longitud de una varilla deacero, al modificar la temperatura del medio ambiente. Tu primera hipótesissería que un trastorno ligero en la temperatura debería provocar un pequeñocambio en la longitud de la varilla; con base en ello se construye el modelode dilatación lineal que se estudia en los cursos básicos de física. En otrasocasiones, los ecólogos que analizan problemas de contaminación —comoel presentado al inicio de esta sección— observan el efecto de una pequeñacantidad de contaminante en la vida del ecosistema y elaboran modelos queconsideran los efectos acumulados producidos por grandes cantidades decontaminantes. Los ingenieros también usan la diferencial, por ejemplo,para analizar y acotar los errores propagados en sus modelos, ya que susinstrumentos de medición no son exactos.

Estas tres diferentes problemáticas (modelación de fenómenos físicos y deingeniería, acumulación de efectos o integración, y análisis de errores basa-da en la linealización de funciones) evidencian la utilidad de la diferencial.Podemos decir, grosso modo, que su utilidad radica en que una pequeña par-te representativa contiene la información de un todo. La idea general que sub-yace detrás es que el todo se forma por la unión de sus partes, de manera que

Sección 1.1.1 La diferencial de una función

Para iniciar, recuerda que la derivada de una función y = f (x) en el punto x0 se define me-diante el siguiente límite, siempre que éste exista,

Ten presente también que si la función es derivable en x0 entonces la ecuación de la rectatangente que pasa por el punto (x0, f (x0)) está dada por:

En la figura 1.2 se muestran tanto la gráfica de la función como la de su recta tangente.Observa que si la variable independiente cambia en una cantidad Δx, entonces la funcióncambia en una cantidad f (x0 + Δx) − f (x0); mientras que la modificación en la ordenada dela recta tangente es . En resumen, estas transformaciones se definencomo sigue.

y f x f x x− = Δ( ) '( )0 0

y f x f x x x= + −( ) '( )( )0 0 0

f xf x x f x

xx' ( )

( ) ( )0

0 0

0= + −

→lím

Δ

ΔΔ


una propiedad global podría calcularse obteniendo cada una de las contribu-ciones de los pedazos que lo forman (véase el ejemplo resuelto 7). Un aspectoque no debes pasar por alto es que la diferencial sirve para linealizar funciones;es decir, para ver cada función, al menos localmente, como si se tratara de unpequeño segmento de línea recta.

En esta sección analizaremos el concepto de diferencial y lo aplicaremos,sobre todo, al análisis de errores y a la modelación. Reservaremos su uso enintegración para cuando estudiemos el teorema fundamental del cálculo.

Objetivos

Al terminar de estudiar esta sección, deberás ser capaz de:

• Comprender el concepto de diferencial de una función.• Utilizar la diferencial en el planteamiento de modelos de la

geometría y de la física.• Estimar errores empleando la diferencial.

Definición 1.1: Incremento de una función

El incremento de una función Δf es el cambio que sufre ésta cuando la variableindependiente cambia una cantidad Δx, pasando de x0 a x0 + Δx, y está dado por:

(1.1)Δ Δf f x x f x= + −( ) ( )0 0

Observa que si identificamos podemos escribir la diferencial como:

(1.3)

Por otro lado, de acuerdo con las definiciones de derivada y del incremento de una fun-ción tenemos:

,

de donde,

Es decir, el incremento se puede aproximar con la diferencial, como se ve en la figura 1.2.Para una función derivable en x = x0, cuanto menor sea Δx, la aproximación Δf(x0) = df(x0)será mejor. Relacionado con este resultado, se tiene el teorema 1.1 que es consecuenciadirecta de la definición de la derivada en x = x0.

Δf x f x dx df x( ) '( ) ( )0 0 0≈ =

f xf x

x

f x

d x'( )

( ) ( )0

0 0≈ =ΔΔ

Δ

df f x dx= '( )0

h x dx= =Δ


Definición 1.2: Diferencial de una función

Sean una función derivable en el intervalo (a, b) y x0 un punto en el in-tervalo. A la función

(1.2)

se le llama la diferencial de f en el punto x0 y se denota por .df x( )0

g h f x h( ) '( )= 0

y f x= ( )

y

x

f(ff x0 + Δx)

f(ff x0)

x0

df(ff x0)

Δx = dx

ΔfΔ (ff x0)

FIGURA 1.2: Interpretación geométrica de la diferencial.

Teorema 1.1

Sea f una función diferenciable en (a, b). Para x0 en (a, b) y ε > 0 existe δ > 0

tal que si , entonces f x f x f x x x( ) ( ( ) '( )( ))− + − <0 0 0 ε0 0≤ − <x x δ

El teorema indica que la diferencial estará tan cerca como queramos del incremento(menor que una distancia ε) con sólo pedir que la diferencia entre x y x0 sea pequeña (me-nor que d ); es decir, el teorema expresa simplemente que podemos aproximar muy bienla función original, cerca de x0, con una función lineal si nos limitamos lo suficienteen el dominio de la función. De forma simple, para valores cercanos a x0 se tiene que:


A continuación, exponemos algunas observaciones que no debes olvidar.

Observaciones:

a) El incremento Δx y la diferencial dx de la variable independiente son iguales.b) La diferencial de una función depende de dos características: el punto x0 donde se es-

té haciendo el cálculo y el valor de dx.c) Para un punto x0 fijo, la diferencial dy = f '(x0)dx es una función lineal en las variables

dx y dy, y más aún, gráficamente es una recta que pasa por el origen cuya pendientees f '(x0).

Aproximación lineal

(1.4)f x f x f x x x( ) ( ) '( )≈ + −( )0 0 0

Ejemplos

solución

Ejemplo 1.1

Dada la función calcula Δ f y df si . Interpreta losresultados obtenidos.

De la definición de incremento de una función tenemos:

Desarrollando,

Por otro lado, como se tiene, de la definición de diferencial, que:

Sustituyendo en las dos expresiones anteriores, incremento y diferencial, se obtiene que:

y df ( ) .3 4 6=Δf ( ) .3 4 731=

Δx = 0 1.

df f dx dx( ) '( )3 3 46= =

f x x x' ( ) = + −3 8 52

Δ Δ Δ Δf x x x( ) ( ) ( )3 13 463 2= + +

Δ ΔΔ Δ Δ

f f x f

x x x

( ) ( ) ( )3 3 3

3 4 3 5 33 2

= + −= +( ) + +( ) − +( )++⎡

⎣⎤⎦−6 54

Δx = 0 1 0 01 0 001 0 0001. , . , . , .f x x x x( ) = + − +3 24 5 6


Para el caso Δx = 0.01 resulta:

Δf (3) = 0.461301 y df (3) = 0.46

En la segunda columna de la tabla 1.2 se presentan los incrementos de la variable independiente; en latercera y cuarta, los valores de Δ f (3) y de d f(3). En la quinta, la diferencia entre estas dos cantidades.Observa que la función es derivable en x = 3 y que entre más cercano esté Δx a cero, más próxima acero estará la diferencia Δ f(3) − d f(3). En consecuencia, d f(3) será una mejor aproximación de Δ f(3) enla medida en la que Δx esté más cercana a cero.

Tabla 1.2: Incrementos y diferenciales.

x0 Δx Δf(3) d f (3) Δf(3) − d f (3)

3 0.1 4.731 4.6 0.131

3 0.01 0.461301 0.46 0.001301

3 0.001 0.046013 0.046 0.000013

3 0.0001 0.00460013 0.0046 0.00000013

Ejemplo 1.2

Dada la función , demuestra que cuando .Δ x → 0ΔΔ

f x d f x

x

( ) ( )− → 0f x x( ) = 2 2

solución

De la definición de incremento tenemos:

Por otro lado, de la definición de diferencial resulta , luego:

,

Que tiende a cero cuando Δx tiende a cero. Usamos en la simplificación anterior que dx = Δx. En general,el resultado es válido para funciones derivables en x0. En efecto,

lím límΔ Δ

ΔΔ

ΔΔx x

f x df x

x

f x

x

f x→ →

− = −0

0 0

0

0( ) ( ) ( ) '( 00

0

00

)

( )'( )

ΔΔ

ΔΔΔ

x

x

f x

xf x

x

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

→lím

llímΔ

ΔΔx

f x

xf x

→−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ =

0

00 0

( )'( )

ΔΔ

Δ ΔΔ

Δf x d f x

x

x x x x dx

xx

( ) ( )− =+ ( ) −

=4 2 4

22

df x f x dx xd x( ) '( )= = 4

Δ Δ Δ

Δ Δ

f x f x x f x x x x

x x x x

( ) ( ) ( )= + − = +( ) −

= + +

2 2

2 2

2 2

2 (( )( ) −

= + ( )

2 2

2

2

4 2

x

x x xΔ Δ


Ejemplo 1.3

Usa diferenciales para estimar el valor de .48 5.

solución

Para resolver este tipo de ejercicios necesitamos una función y un valor de referencia donde resulte sencilloel cálculo de la función y tan cercano como se pueda del valor que queremos obtener. Para este caso, con-sidera que la función es , que el punto de referencia es x0 = 49 y que Δx = 48.5 − 49 = −0.5.

Tenemos:

Como , obtenemos que:

es decir,

De aquí resulta que . Si realizas el cálculo con calculadora, podrás

comprobar que y que nuestro resultado es una buena aproximación. En la figura 1.3

hemos superpuesto tanto la gráfica de la función como la gráfica de su recta tangente

en el punto (49, 7). Observa que ambas gráficas son muy

parecidas en la cercanía de x0 = 49. En la actualidad, este ejemplo resulta en cierta medida obsoleto; sinembargo, también es representativo del poder de aproximación de la diferencial.

y f f x x= + − = + −( ) '( )( ) ( )49 49 49 71

1449

f x x( ) =

48 5. ≈ 6.96419

48 5 7. ≈ − 0.0357143 = 6.96429

48 5 491

140 5. ( . )− ≈ − = − 0.0357143

f f( . ) ( ) ( . ),48 5 491

2 490 5− ≈ −

f xx

' ( ) = 1

2

Δ Δ Δf f x f df f x( ) ( ) ( ) ( ) ' ( )49 49 49 49 49= + − ≈ =

f x x( ) =

y

x

10

8

6

4

2

20 80x0 = 49

FIGURA 1.3: Aspecto de la linealización de la función .y x x= = en 0 49

solución


Ejemplo 1.4

Aproxima el valor de f (x) = sen(x) en .

Una de las virtudes de la diferencial es que nos permite linealizar a la función en x0. Esto puede utili-zarse de la siguiente manera: un determinado cálculo con una función (diferenciable en x0) y = f (x) sesustituye por el cálculo que corresponde a la linealización de la función g(h) (véase nuevamente la de-finición 1.1) en x0.

π40

y

x

– 2– 4– 6

– 0.5

– 1

– 1.5

1.5

1

0.5

2 4 6

Así, en vez de calcular (que quizá sea difícil), determinaremos . Dado que

, resulta que para h suficientemente pequeño,

De aquí:

Así, resulta que

Con una calculadora, obtenemos que . Una vez más se aprecia la cercanía entre

ambas aproximaciones. En la figura 1.4 es evidente la proximidad entre la función y su linealización enla cercanía de x0 = 0.

sen 0.0784591π40

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ≈

sen 0.0785398π π40 40

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ≈ =

sen( )h h≈

Δ f h g h h( ) ( ) ( ) ( )0 0= − ≈ =sen sen

g h h h h( ) '( ) cos( )= = =sen 0 0

gπ40

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟f

π π40 40

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟sen

FIGURA 1.4: Aspecto de la linealización de la función en y = sen(x) en x0 = 0.

Sección 1.1.2 Modelos basados en la diferencialy análisis de errores

El concepto de diferencial es útil para construir modelos físicos porque permite rela-cionar linealmente las variables de los fenómenos a estudiar. Por ejemplo, el modelode dilatación lineal de sólidos

nos indica que a cambios pequeños de temperatura dT corresponden pequeños cambiosdL en la longitud inicial L0 de un sólido. El coeficiente α se conoce como coeficiente dedilatación lineal y depende del material considerado.

Por otra parte, hemos dicho que las diferenciales son útiles en el análisis de errores.Para fijar ideas, supón que deseas determinar el volumen encerrado en una caja cúbica,que mides uno de sus lados y obtienes un valor x0 con un error dx en la medición. Ladiferencia representa el error máximo que se puede obteneren la medición del volumen del cubo, al que llamaremos error absoluto. Como sabemos,este error se puede aproximar por la diferencial de volumen dV. Muchas veces interesaconocer el error relativo respecto del volumen en x0, el cual se calcula dividiendo el errorabsoluto entre el volumen. En otras ocasiones, nos interesa conocer el error porcentual;para ello, basta multiplicar por 100% el error relativo. Tanto el relativo como el porcen-tual pueden ser aproximados utilizando diferenciales. En la tabla 1.3 se muestran lasexpresiones exactas y aproximadas para el cálculo de errores.

ΔV V x dx V x= + −( ) ( )0 0

dL L dT= α 0


Exacto Estimado

f (x) L (x) = f (x0) + f '(x0)(x − x0)

Δ f (x0) = f (x0 + Δx) − f (x0)

d f

f x

( )0

100×Δ f x

f x

( )

( )0

0

100×

d f

f x

( )0

Δ f x

f x

( )

( )0

0

d f x f x dx( ) ' ( )0 0=

Valor de lafunción en x

Error o cambio absoluto

Error o cambio relativo

Error ocambioporcentual

Los siguientes tres ejemplos ilustrarán la utilidad de la diferencial y su uso en elcálculo de errores.

Tabla 1.3: Errores o cambios relativos y absolutos.

Ejemplos

solución


Ejemplo 1.5

Un silo (observa la figura 1.5) tiene la forma de un cilindro circular recto coronado por una semies-fera. La altura del cilindro es de 25 metros (altura que aquí consideraremos exacta); en tanto que lacircunferencia de la base mide 10 metros, con un error máximo en la medición de 15 centímetros.Calcula el volumen del silo a partir de tales medidas y usa diferenciales para estimar el error máximocometido en el cálculo del volumen. Determina también los errores absoluto y porcentual.

Denotemos con P la circunferencia de la base. Entonces, representa el “error exac-to” de tal medición. El problema radica, precisamente, en que es imposible obtener este “error exacto”.De acuerdo con la información de este ejercicio, lo que sabemos es que dicho de otra ma-nera, el valor Pexac satisface

P P Pmed exac med− ≤ ≤ +0 15 0 15. .

Δ P ≤ 0 15. ;

Δ P P Pexac med= −

25m

r

FIGURA 1.5: Pequeños errores en la medición de dimensionesgrandes tienen efectos importantes en el cálculo de errores.

El volumen del silo, con las dimensiones proporcionadas, se obtiene sumando el volumen del cilindroy el volumen de la semiesfera. Tenemos, entonces,

V V r r r= = +( ) 252

32 3π π


solución

Ahora, a partir de , hallamos que:

Para estimar el error cometido en el cálculo anterior necesitamos encontrar . De de-

ducimos que , luego

De la desigualdad del triángulo para valores absolutos , concluimos que:

Aunque en apariencia es muy grande, este error depende de la magnitud de las dimensiones que se mi-dieron. Desde este punto de vista, el error relativo es más representativo; concretamente

Es decir, en el cálculo del volumen del silo se cometió un error (porcentual) de únicamente 3.06%.

Ejemplo 1.6

Supón que P(t) es el número de individuos de una población (de humanos, insectos o bacterias) que tieneíndices constantes de natalidad y mortandad η y μ, respectivamente (en nacimientos y muertes por unidadde tiempo). Encuentra una expresión para el cambio en la población P(t) y determina dP(t0).

Durante un corto intervalo de tiempo Δt, ocurren ηP(t)Δt nacimientos y μP(t)Δt muertes; así, el cam-bio en P(t) está dado aproximadamente por:

De aquí, concluimos que .dP t P t dt( ) ( ) ( )0 0= −η μ

Δ ΔP t P t t( ) ( )0 0≈ −( )η μ

ΔV

V

5

5

6 348

207 3870 0306

π

π

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

≤ =.

..

ΔV dV 5 5

505

25

π ππ

ππ

π⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ≈ ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ = ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ + ⎛

⎝⎜⎞⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

≤ +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

≤ +⎛⎝⎜

2

25050

25050

dr

dr

π

π⎞⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =0 15

26 348 3.

.π

m

a b a b+ ≤ +

ΔV r dV r r r dr( ) ( )≈ = +( )50 2 2π π

Δ r ≤ 0 15

2

.

π

Δ P ≤ 0 15.ΔV r( )

V = ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= + ≈255 2

3

5 1875 250

320

2 3

2π

ππ

πππ

77 387.

P rmed med= =2 10π

solución


Ejemplo 1.7

Imagina un tanque que contiene alguna solución (una mezcla de soluto y solvente), por ejemplo, saldisuelta en agua. Supón que hacia el tanque fluye una solución con una tasa constante de ve litros porsegundo, la cual posee una concentración ce gramos de soluto por litro. Si la solución del tanque semantiene bien mezclada y fluye hacia fuera con una tasa de vs litros por segundo, determina el cambioen la cantidad de soluto en la mezcla en el intervalo de tiempo [t, t + Δt]. Después infiere una expresiónpara dx(t). (Supón que Δt es pequeño.)

Entrada Salida

FIGURA 1.6: El cambio de soluto en una solución bien mezclada.

Sea x(t) la cantidad de soluto que existe en la mezcla. Lo que deseamos estimar es el cambio en la can-tidad de soluto Δx(t) durante el intervalo de tiempo . Se tiene que la cantidad de soluto quefluye hacia el tanque durante Δt segundos es

Observa cómo la consideración de las dimensiones corrobora esta expresión. En efecto,

Por otro lado, la cantidad de soluto que fluye hacia fuera del tanque durante el mismo intervalo de tiem-po depende de la concentración cs(t) en el tanque al instante t; ésta concentración es:

c ts ( ) = cantidad de soluto en el tiempo

volumen de l

t

aa mezcla en el tiempo t= x t

V t

( )

( ),

v c te elitros

segundo

gramos

litros

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Δ eegundos gramos( ) = v c te eΔ

v c te e Δ

t t t, +[ ]Δ


donde V(t) denota el volumen (no constante, a menos que ve = vs) de la solución al instante t. De estamanera,

De aquí concluimos que

dx t v c vx t

V tte e s( )

( )

( )= −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

Δ

ΔΔ

xv c te e

≈ −≈ −

gramos que ingresan gramos que salenvv c t

v c t vx t

V tt

v c vx t

V t

s s

e e s

e e s

Δ

Δ Δ≈ −

= −

( )

( )

( )

( )

⎛⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Δ t

1. Proporciona la definición de diferencial de la función f en el punto x0 ∈ (a, b).2. Determina la diferencial de las siguientes funciones:

a)

b)

c) y = (a2 − x2)5

d)

e)

f )

g)

h)

i) y = x arctan(x2)

j) y = e3x cos(2x)

yx x

x=

+cos( )2

1

ye

e

x

x=

+1

yx x

xx=

−+ −ln( )

ln( )1

1

y x x= +1

33tan ( ) tan( )

y x= +1 2

yx x

x= − +

+1

4

2

3

y x x x= + − +3 24 5 2

3. Para cada uno de los siguientes incisos, determina Δy, dy y dy − Δy:

a) c) y = x4

b) y = 1/x

4. Para cada una de las siguientes funciones, calcula dy. Después, usa este resultado para determinar unaaproximación del incremento de y cuando x varía de x0 a x1.

a) y = x3 − 3x2 + 2x − 7; x0 = 4; x1 = 3.95 c) ; x0 = 1; x1 = 1.1

b) ; x0 = 3; x1 = 3.1yx

x=

+1

yx x

x= +

+

3 2

2 1

y x x= + −3 5 22


5. Usa diferenciales para hallar un valor aproximado del volumen de una cáscara esférica de 200 mm dediámetro exterior y 1 mm de espesor.

6. Emplea diferenciales para calcular un valor aproximado de:

a) tan(46°) b) cos(62°) c) d) e) ln(1.5)

Recuerda que .

7. Se midió el diámetro de una circunferencia y se encontró que tenía 5.2 cm, con un error máximo de0.05 cm. Encuentra un valor aproximado del error máximo que se cometerá, al calcular el área del círculocon tales valores. Determina también los errores relativo y porcentual correspondientes.

8. Al medir el radio de una esfera, se obtuvo 3 m con un error máximo de 0.01 m. Determina los erroresmáximos cometidos al calcular el área de la superficie (S) y el volumen (V), así como los correspon-dientes errores porcentuales.

9. Determina una fórmula aproximada que proporcione el volumen de una cáscara cilíndrica delgada conlos extremos abiertos (sin tapa y fondo), si el radio es r, la altura es l y el espesor es e.

10. Se quiere realizar una caja cúbica de 1 dm3 de capacidad. ¿Con qué exactitud debe construirse la aristainterior de este cubo, con la finalidad de que el volumen de la caja tenga un error máximo de 3 cm3?

11. En cada uno de los siguientes incisos, supón que la ecuación dada define implícitamente una funcióndel tipo y = f (x). A partir de la información y0 = f (x0) que se le proporciona, utiliza diferenciales paraaproximar el valor solicitado.

a) xy3 + x2 y − y2 = −10; f (−1) = 2; calcula aproximadamente f(−0.97).

b) xsen(xy) + y2 = −0.818595; f (2) = −1; determina aproximadamente f(2.3).

c) xexy + y2 = 4; f (0) = 2; calcula aproximadamente f(−0.4).

12. El periodo, tiempo necesario para que un péndulo oscile una vez, está dado por la fórmula

donde l es la longitud del péndulo y se mide en metros, T está dado segundos y g = 9.8 m/s2. Determina:

a) La longitud de un péndulo que oscila una vez por segundo.

b) La alteración en el periodo T si el péndulo se alarga 3 mm.

c) ¿Cuánto se adelantaría o retrasaría con esta alteración un reloj en un día?

13. La resistencia eléctrica de un alambre es directamente proporcional a su longitud e inversamente pro-porcional al cuadrado de su diámetro. Al medir un alambre de longitud dada se encuentra un error por-centual del 2% en la medida de su diámetro. Encuentra el error porcentual en el valor calculado de laresistencia. Supón que la longitud no tiene error en su medida.

14. La arena que se escapa de un recipiente forma un montículo en forma de cono, cuya altura siempre esigual al radio de su base. Si el volumen del montículo aumenta 2 cm3 usando diferenciales, calcula elincremento en el radio cuando éste mide 10 cm.

T ll

g( ) = π 2

1180

° = πradianes

623627


15. La ley de gravitación universal de Newton establece que la fuerza de atracción entre dos partículas con

masas m1 y m2 está dada por , donde G es la constante de gravitación universal y r es la

distancia entre las partículas. Usa diferenciales para estimar el incremento que se requiere en el radiopara que la fuerza aumente un 10% cuando r = 20 cm.

16. ¿Con cuánta exactitud debe medirse el diámetro de una circunferencia para que el cálculo del área re-sulte con un error menor del 1%?

17. Demuestra que el error relativo en el cálculo del volumen de una esfera es tres veces el error relativodel radio.

18. Cuando un bloque cúbico de cierto metal se calienta, cada arista aumenta 0.1% por grado de elevaciónde la temperatura. Determina el incremento porcentual de la superficie y del volumen del bloque, porcada grado de aumento de calor.

19. Una isla tiene forma elíptica como la que se muestra en la figura 1.7. Al bajar la marea, las aguas sedesplazan, provocando un incremento de los semiejes en una cantidad da.

a) Determina el incremento de área ΔA, calculando la diferencia de áreas de las elipses de la figura 1.7;éste es un resultado exacto.

b) Corta la franja alrededor de la elipse y forma con ella una tira de ancho da y longitud igual al

perímetro de la elipse de semiejes a y . Calcula ΔA (ahora de manera aproximada) como el área

de la franja indicada.

NOTA: Para el cálculo del perímetro de la elipse de semiejes mayor x y menor y puede utilizarse la fórmu-

la .

c) Según las consideraciones anteriores, ¿cuál será la expresión de la diferencial de área?

P xy x

=⎛⎝⎜⎞⎠⎟4

2

π /

3

4

a

F Gm m

r= 1 2

2

da

a

3a4

FIGURA 1.7: El incremento de áreas entre las mareas alta y baja en una isla.


20. El prisma regular de la figura 1.8 tiene todos los lados de su base y la altura iguales a “a”. Supónque dividimos este sólido en partes de espesor dx; expresa la diferencial de volumen de cada parteen términos de x, a y Δx.

a

a

a a

x

dx

FIGURA 1.8: El diferencial de volumen es una parte representativa del volumen de un sólido.

21. El fondo de un tanque para agua (vacío) de 10 m de radio está a 30 m sobre el suelo, como se muestraen la figura 1.9.

a) Calcula el diferencial de volumen de la sección sombreada dentro del tanque en términos de z y Δz.

b) Determina una expresión para el diferencial de trabajo dW necesario para subir el elemento de agua,mostrado en la sección sombreada de la figura 1.9, desde el suelo hasta la altura ; consi-dera que la densidad del agua es de 1 ton/m3.

h z= −40

z

30 m

10 m

40 – z

Δz

40 m

FIGURA 1.9: El diferencial de trabajo al subir, desde el suelo, un elemento de volumen de agua.

Problemas para trabajar en equipo


x

(50, 25)

y = kx2

(–50, 25)

dy

y

FIGURA 1.10: Fuerza de empuje sobre una presa con sección transversal parabólica.

22. El perfil transversal de un río es una parábola vertical como se muestra en la figura 1.10; la presa queregula el nivel de agua presenta una cara normal a la dirección del mismo. El ancho en la superficie esde 100 metros; y la profundidad máxima, 25 metros. Si el agua pesa 1 ton/m3 expresa el diferencial defuerza del agua en términos de Δy y y.

Con tu equipo de trabajo, analiza y resuelve las siguientes situaciones.

1. Tragedia ecológica. Con base en la teoría desarrollada, discute con tus compañeros el pro-blema planteado al inicio de esta sección. Da respuesta fundamentada a la pregunta que ahíse formula.

2. Dibujo con diferenciales. Imagina un muro del que sabe que la altura correspondiente a xmetros (medidos en el piso desde un extremo, al que llamaremos origen) está dada por lasiguiente tabla, donde la altura está también medida en metros:

Metros 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Altura 5 5.32 5.68 6.08 6.52 7 7.52 8.08 8.68 9.32 10

Metros 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9

Altura 10.72 11.48 12.28 13.12 14 14.92 15.88 16.88 17.92

Autoevaluación


a) Elabora un diagrama que ilustre la posible forma de este muro. Como observas, el muroes muy alto y su forma es caprichosa.

b) Propón una función que pueda representar la altura h(x), en metros.

c) Si el gasto de pintura es de 3 pesos por metro cuadrado, ¿cuánto se desembolsará si sepinta desde 0 metros hasta 2.7 metros? ¿Y cuánto si se pinta desde 2.3 hasta 2.7 metros?

d) Si los pintores suelen tener un error que no excede 0.05 metros al medir sobre la base delmuro, ¿cuál será el error máximo esperado en el gasto en las dos situaciones del incisoanterior?

Metros 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7

Altura 19 20.12 21.28 22.48 23.72 25 26.32 27.68

1. Si , elige la opción que contiene Δ f (x) y d f(x) .

a)

b)

c)

d)

2. Una caja con forma de cubo tiene en cada una de sus aristas una longitud de 4 centímetros, conun posible error de 0.05 cm. Elige la opción que da el posible error al calcular el volumen dela caja.

a) ±3.2 cm3 b) ±1.8 cm3 c) ±2.4 cm3 d) ±2.8 cm3

3. Indica la opción que contiene el valor de Δy − dy para x = 1/2, Δx = −0.2 y y = f (x) = x3 + x.

a) −0.3095 b) 0.04615 c) 0.342 d) 0.052

4. Supón que la ecuación dada por define implícitamente la función y = f(x). Si (3,2)

satisface la ecuación anterior, a partir del concepto de diferencial, elige la opción que contieneun valor aproximado de f (3.2).

a) b) c) d) f ( . ) .3 2 0 9826≈f ( . ) .3 2 1 5413≈f ( . ) .3 2 1 9556≈f ( . ) .3 2 2 1324≈

xy xy

− = 6

df x xdx( ) = 2Δ Δ Δf x x x x( ) = +[ ]2

df x xx

dx( ) = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

12Δ Δ

ΔΔf x x

x x xx( )

( )= +

+⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

1

df x xx

dx( ) = +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

12Δ

ΔΔf x x

x x xx( )

( )= +

+⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥2

1

df x xx

dx( ) = +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

12Δ Δ

ΔΔf x x x

x x xx( )

( )= + +

+⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥2

1

f x xx

( ) = −2 1


5. Elige la opción que proporciona el volumen de una cáscara esférica que tiene un radio interiorde 10 centímetros y un espesor de 2 milímetros.

a) b) c) d)

6. La distancia l de un objeto se calcula con mediciones angulares hechas en los extremos de unalínea base, de longitud b (considerada como exacta) y normal a la distancia l. Elige la opciónque indica la relación entre el error de la distancia con el error en la medición del ángulo θ.

a)

b)

c)

d)

7. Elige la opción que proporciona el volumen aproximado de un tubo cilíndrico de pared delga-da que tiene un radio interior de r centímetros, una altura de h centímetros (considerada exac-ta) y un espesor Δr centímetros.

a) b) c) d) π r r h2 3+( )Δ cm2 3π r h rΔ cm2 2 3π r h rΔ cmπ r r h+( )Δ cm3

− = +( )l dl b l d2 2 2 θ

− = +( )b d b l dlθ

− = +( )b dl b l d2 2 θ

− = +( )b d b l dlθ 2 2

dV = 80 3π cmdV =100 3π cmdV = 60 3π cmdV = 40 3π cm

FIGURA 1.11: Relación entre errores.

Respuestas a los

Ejercicios y problemas

1. Sea y = f (x) una función derivable en el dominio (a, b). A la función se le llama la dife-rencial de f en el punto .

2.

x a b0 ∈ ( , )g h f x h( ) ' ( )= 0

a)

b)

c)

d)

e)

f ) dyx d x

x=

−( )ln( )

12

dy x d x= sec ( )4

dyx d x

x=

+1 2

dy x a x dx= − −10 2 2 4( )

dyx x x x dx

x= − + − + −

+( )

( )

4 3 2

3 2

2 3 8 4

4

dy x x dx= + −( )3 8 52

l

d�

b


g)

h)

i)

j) dy e x x dxx= −( )3 3 2 2 2cos( ) sen( )

dyx

xx dx=

++

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

1

2

42arctan( )

dyx x x x

xdx= − +

+

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

cos( ) ( )sen( )

( )

2 2 1 2

1 2

dye dx

e

x

x=

+( )1 2

3.

a) ; ;

b) ; ;

c) ; ;

4.

a) ; c) ;

b) ;

5. , el valor exacto es

6. Aproximadamente: a) 1.0350, b) 0.46977, c) 25.04, d) 3.95833, e) 0.5

7. Error máximo: 0.41 cm2; error relativo: 0.0192; error porcentual: 1.92%

8. Errores máximos: S, 0.24 πm2; V, 0.36 πm3; errores relativos: S, 0.66%; V, 1%

9. 2 π r l e

10. El error no debe exceder 0.01 cm

11.

12. a) 0.993 m; b) 0.00152 segundos; c) –2 minutos 10 segundos

13. 4 %

14.

15. −1

16. El error no debe exceder 0.5%

17. La respuesta aparece en el propio enunciado del ejercicio.

18. La superficie aumenta 0.2% por grado; el volumen aumenta 0.3% por grado.

19. a) ; b) ; c)

20.

21. a) ; b)

22. d F y y y= −( )20 25 Δ

dW z z z= −( ) −( )π 40 100 2 ΔdV z z= −( )π 100 2 Δ

dV ax x= 2 Δ

d A a da= 5 612.ΔA a da≈ 5 612.ΔA a da da= +( )π 1 75.

1

500 00637

π≈ .

a f b f c) ( . ) . ; ( . ) . ; ) ) − ≈ ≈ −0 97 2 008 2 3 1 0063 ff ( . ) .− =0 4 2 1

ΔV =124 400 3mmdV =125 600 3mm

Δy ≈ 0 00625.dydx

x=

+( )1 2

Δy ≈ 0 12222.dyx x x dx

x= + +

+( )

( )

2 5 4

1 2

2

2Δy ≈ −1 30.dy x x dx= − +( )3 6 22

dy y x x x x x− = − ( ) − ( ) − ( )Δ Δ Δ Δ6 42 2 3 4dy x dx= 4 3Δ Δ Δ Δ Δy x x x x x x x= + ( ) + ( ) + ( )4 6 43 2 2 3 4

dy y x x x x− = −( ) +( )⎡⎣ ⎤⎦Δ Δ Δ2 2/dy dx x= − / 2Δ Δ Δy x x x x= − +( )⎡⎣ ⎤⎦/

dy y x− = − ( )Δ Δ32

dy x dx= +( )6 5Δ Δ Δy x x x= +( ) + ( )6 5 32


Respuestas a los ejercicios de autoevaluación

1. a) 2. c) 3. d) 4. b) 5. d) 6. b) 7. c)

Referencias

1. Apóstol, T., Cálculo con funciones de una variable con una introducción al álgebra lineal, 2a. ed.,Barcelona, Reverté, 1980.

2. Courant, R. y John, F., Introducción al cálculo y al análisis matemático, vol. I, México, Limusa, 1982.

3. Del Grande, J. y Duff, G., Introducción al cálculo elemental, México, Harla, 1982.

4. Mochón, S., Quiero entender el cálculo, México, Iberoamérica, 1994.

5. Rivaud, J., Ejercicios de análisis, Madrid, Reverté, 1975.

6. Seeley, R., Cálculo de una y varias variables, México, Trillas, 1978.

7. http://www2.eluniversal.com.mx/pls/impreso/noticia.html?id_nota=71113&tabla=ciudad

Producir sí, pero ¿cómo?

231.2: La integral definida

1.2 La integral definida

Al final de una distancia indefinidasiempre hubo un punto confuso, hacia

el que su sueño murió.

Gustave Flaubert

La empresa Tornillos y Tuercas S. A. cuentacon dos máquinas para la elaboración de torni-llos. La máquina A es un equipo nuevo quetiene un rendimiento variable en el tiempo.Por seguridad, empieza con un ritmo lento,después eleva su productividad hasta un máxi-mo, y luego lo hace decrecer porque sus partesse calientan y es necesario detener la produc-ción por un mínimo de dos horas. Cuando sedetiene la máquina A entra en funcionamientola B, que produce menos por ser más antigua,pero que es muy constante en su rendimiento.En la figura 1.13 se muestran los ritmos deproducción por hora de ambos equipos.

FIGURA 1.12: ¿Cómo combinar el trabajo de dos máquinaspara obtener la mayor producción?

t hr

P unid hr20002000

15001500

10001000

500500

– 500500–

– 2– 22 44 66 88t hr

P unid hr20002000

15001500

10001000

500500

– 500500–

– 2– 22 44 66 88

Máquina A Máquina B

FIGURA 1.13: En las gráficas se muestran los ritmos o las velocidades de producción de las máquinas A y B. La velocidadmáxima de producción de la primera es de 18 800 unidades por hora.

Para maximizar la producción, los ingenieros de la empresa han seguido tres pro-cedimientos:

• Dejan que la máquina A cumpla un ciclo completo de ocho horas de funciona-miento y dos de descanso, y durante las últimas hacen funcionar la máquina By repiten el proceso indefinidamente, hasta que llegan a cinco días (120 horas).

• Dejan que la máquina A alcance su máxima producción; luego la detienen,hacen funcionar la B por dos horas, y repiten el proceso durante cinco días.

• Dejan que la máquina A funcione por un periodo de siete horas, después hacenfuncionar la B por dos horas, y repiten el proceso durante cinco días.

Con estas consideraciones:

a) Calcula la producción total en una semana de cinco días, siguiendo los tresprocedimientos descritos. ¿Cuál será mejor?

b) Si la máquina A se detiene después de un tiempo mayor a la producción má-xima, por ejemplo, t = 5 horas, ¿cuál sería la producción? ¿Qué pasaría si fueranseis horas?

c) ¿Podrías sugerir un procedimiento que haga producir más que los tres utilizadospor los ingenieros de la empresa?

d) ¿Cuál será la producción máxima que se pueda obtener?


Introducción

En esta sección trataremos el concepto de la integral definida y su importan-cia para resolver problemas como el descrito. El proceso de acumular infor-mación es la idea básica que sustenta el concepto de integral definida y es labase de su aplicabilidad en la solución de problemas. La analogía más cercanaes la suma usual; pero como los fenómenos que estudiaremos ahora no serándiscretos, sino que cambiarán continuamente, debemos hacer una definiciónadecuada que rescate lo que esperaríamos intuitivamente. En específico,cotejaremos la definición usual de promedio de una cantidad finita de núme-ros, con la definición de promedio de una cantidad infinita de números quevarían continuamente. Después, hablaremos del área bajo la curva y su rela-ción con el promedio de la función. Finalmente, analizaremos el concepto deintegración y aplicaremos algunas de sus propiedades para calcular, más omenos fácilmente, una buena cantidad de integrales. Iniciemos ahora el estu-dio del concepto de integración.

Objetivos


• Comprender el concepto de integral definida de una funciónreal.

• Conocer y aplicar las propiedades básicas de la integral definida.• Calcular el promedio de funciones en intervalos dados, utili-

zando la notación de suma o el concepto de integral definida.

Sección 1.2.1 La notación suma

Como veremos más delante, en muchas ocasiones es útil contar con una notación para lasuma de n términos que permita mantener clara la idea de suma, pero que simplifique loque escribimos. Introducimos, entonces, la siguiente notación.


• Calcular el área bajo la curva de funciones positivas en inter-valos dados, usando la notación de suma o el concepto de inte-gral definida.

• Calcular integrales definidas de funciones sencillas en interva-los dados.

• Aplicar el concepto de integral para resolver problemas en di-versas áreas.

Notación

La suma de los términos a1, a2,...,an se escribe usando el símbolo (sigma) como

(1.5)

Donde i se conoce como el índice de la suma, ai es el sumando i-ésimo, y loslímites inferior y superior son, respectivamente, 1 y n.

a a a aii

n

n=∑ = + + +

11 2 �

Σ

Propiedades

Si c es una constante, entonces:

a) (1.6)

b) (1.7)

c) (1.8)a a a ai ii

n

n+=

+−( ) = −∑ 11

1 1

a b a bi ii

n

ii

n

ii

n

±( ) = ±= = =∑ ∑ ∑

1 1 1

ca c aii

n

ii

n

= =∑ ∑=

1 1

Algunas de las propiedades más importantes de la suma son las siguientes:

Estas tres propiedades se deducen de las reglas de la suma finita de términos. Por ejem-plo, para la primera, utilizamos la propiedad distributiva, de donde claramente resulta:

ca ca ca ca c a a a c aii

n

n n ii= =

∑ = + + + = + + +( ) =1

1 2 1 21

� �nn

∑

La última se conoce como propiedad telescópica, que se infiere de la propiedad asocia-tiva de la suma. En efecto, si desarrollamos la suma y cancelamos, obtenemos:

Además, contamos con las siguientes fórmulas (1.9 a 1.14) que nos serán de mucha uti-lidad más adelante:

a a a a a a a a ai ii

n

n+=

−( ) = −( ) + −( ) + −( ) + +∑ 11

2 1 3 2 4 3 � ++ +−( ) = −1 1 1a a an n


Fórmulas de sumas importantes

a) (1.9)

b) (1.10)

c) (1.11)

d) (1.12)

e) (1.13)

f ) (1.14)i nn n n n n

i

n4

1

4 4 42

1 21 2 1 3 3 1

30=∑ = + + + =

+( ) + + −�

( )( )

i nn n

i

n3

1

3 3 32 2

1 21

4=∑ = + + + =

+( )�

i nn n n

i

n2

1

2 2 21 21 2 1

6=∑ = + + + =

+( ) +( )�

( ) ( )2 1 1 3 2 11

2i n ni

n

− = + + + − ==∑ �

i nn n

i

n

=∑ = + + + =

+( )1

1 21

2�

11i

n

n=∑ =

Sólo mostraremos la fórmula (1.12), ya que la (1.13) y la (1.14) se deducen de forma

similar y las tres primeras son evidentes. Calculemos por dos formas

diferentes. Primero desarrollemos la suma, y apliquemos la propiedad telescópica; así,resulta que:

Ahora, desarrollemos el sumando general antes de hacer la suma. Posteriormente, use-mos las fórmulas (1.9) y (1.10). Tenemos, entonces,

( )i i i i i ii

n

i

n

+ −( ) = + + + −( )= =∑ ∑1 3 3 13 3

1

3 2 3

1

simpliificando

( )i ii

n

+ −( ) = −( ) + −( ) + −( ) + +=∑ 1 2 1 3 2 4 33 3

1

3 3 3 3 3 3 � (( )

( )

n n

n

+ −( )= + −

1

1 1

3 3

3

simplificando

desarrollaando

= + +n n n3 23 3

( )i ii

n

+ −( )=∑ 1 3 3

1

Al igualar los dos resultados:

Al despejar obtenemos:

De donde se consigue el resultado buscado:

in n n

i

n2

1

1 2 1

6=∑ = + +( )( )

.

33

2 2 22 3 1

21 22

1

3 2 2i n nn n

n nn

n ni

n

=∑ = + + = + + = +( ) ( )( ++1).

ii

n2

1=∑

n n n i n ni

n3 2 2

1

23 3 33

2

5

2+ + = + +

=∑ .

por las pr= + += = =∑ ∑ ∑3 3 12

1 1 1

i ii

n

i

n

i

n

oopiedades de la suma

us= + + +=∑3 3

212

1

i n n ni

n

( ) aando las fórmulas de sumas.


Ejemplos

solución

Ejemplo 1.8

Determina el valor de la siguiente suma:

Si utilizamos las propiedades y las fórmulas de sumas, tenemos que:

i i i i i ii i i

3 2

1

253

1

252

1

25

4 5 3 4 5 1− + −( ) = − + −= = =∑ ∑ ∑

iii ==∑∑

=

1

25

1

25

2

por las propiedades de suma

55 26

4

4 25 26 51

6

5 25 26

225

2 2× − × × × + × × − por las fórmmulas de sumas

= 85075

i i ii

3 2

1

25

4 5 3− + −( )=∑

Sección 1.2.2 El promedio de una función

Dos aplicaciones donde el símbolo resulta útil son el cálculo de áreas bajo una curvay el promedio de una función en un intervalo. Empezaremos por calcular el promedio deuna función. La base de nuestro método la encontramos en el concepto de promedio quemanejamos cotidianamente. Supón, por ejemplo, que en un curso de cálculo, obtuviste lascalificaciones parciales 88, 92, 95 y 85. Claramente, los cuatro números son diferentes,

pero el promedio ( ), obtenido al sumar las calificaciones y

dividir entre cuatro, es un número que razonablemente representa las cuatro calificacionesparciales. Veamos cómo incorporar este tipo de promedio al problema que nos interesa.

Considera que queremos determinar el promedio de la función f(x) = x en el intervalo

. Primero, dividimos el intervalo en cinco subintervalos de longitud , posterior-mente evaluamos la función en los extremos derechos de cada uno. En la tabla 1.4 se mues-tran los intervalos, los extremos derechos y los valores que toma la función en esos extremos:

450 4,[ ]

prom = + + + =88 92 95 85

490

Σ


Intervalo

ξ 4/5 8/5 12/5 16/5 4

f (ξ ) 4/5 8/5 12/5 16/5 4

16

54,

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

12

5

16

5,

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

8

5

12

5,

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

4

5

8

5,

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

04

5,

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

Si promediamos, como en el caso de las calificaciones, obtenemos una primera estima-ción del promedio, que denotaremos por , por utilizar cinco intervalos y lafunción evaluada en los extremos derechos.

¿Qué hemos hecho? Geométricamente, aproximamos la función original por la función

seccionada que asocia el valor a cada intervalo de la forma , con

i = 1, 2,..., 5, como se muestra en la figura 1.14:

4 1

5

4

5

( ),

i i−⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

4

5

i

prom5der ( )f

i

i

45

85

125

165

205

5

45

5

12

51

5

+ + + += ==∑

== 2 4.

prom5der ( )f

Tabla 1.4: Promedio de una función. Para cada intervalo sselecciona un punto y evalúa la función.

2 3 4

1

2

3

4y

x1

FIGURA 1.14: Determinación del promedio de los valores de f (x) = x en [0,1].

Si repetimos el proceso con 10 intervalos, obtenemos:

Observa que podemos pasar de forma inmediata al caso de n subintervalos de igual lon-gitud. Basta con sustituir el número 10 de la expresión anterior por n. Así, obtenemos:

Utilizando la fórmula (1.10), después de simplificar, resulta que:

Finalmente, en el límite cuando n tiende a ∞, obtenemos el promedio buscado:

Para generalizar el cálculo anterior, primero necesitamos hacer la siguiente definición:

prom lím( )fnn

= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

→∞2

22

promnder ( )

( )f

n

n n

n=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ = +4 1

22

22

promnder ( )f

in

n nii

n

i

n

= ==

=

∑∑

4

412

1

prom10der ( ) .f

i

i≈ = ==∑ 4

10

10

44

202 21

10


Definición 1.3: Partición de un intervalo

Sea [a, b] un intervalo. Decimos que Δ es una partición del intervalo en n sub-intervalos [xi−1, xi] con i = 1, 2,..., n si para puntos x0, x1, x2,..., xn ∈ [a,b], secumple que a = x0 < x1 < x2 < ... < xn−1 < xn = b. La partición es regular si la longi-tud de todos los subintervalos es la misma: en caso contrario, es irregular. La normade la partición es el máximo de las longitudes de los subintervalos y la denota-mos por .|| ||Δ

x0 = a, x1 = a + L, x2 = a + 2L, x3 = a + 3L, xn = a + nL. . .

ΔxΔΔ 1 = L ΔxΔΔ 2 = L ΔxΔΔ 3 = L ΔxΔΔ i = L ΔxΔΔ n = L

FIGURA 1.15: Partición regular donde las longitudes de los intervalos son iguales, Δxi = L para i = 1, 2,…, n.

La figura 1.15 muestra una partición regular. Observa que la longitud de todos los in-

tervalos es y que los puntos de la partición cumplen:

con i = 1,..., n (1.15)x a i x a ib a

ni = + = + −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟Δ

Δxb a

ni =−

En nuestro ejemplo utilizamos una partición regular. Para aclarar el proceso de cálculodel promedio, necesitaremos hacer algunas precisiones y observaciones:

1. La función f debe estar definida en todos los puntos del intervalo donde se pro-media. No es necesario que sea continua, sólo necesitamos que se pueda evaluar.

2. El promedio de n evaluaciones de la función f(ξ1), f (ξ2),..., f (ξn) que denotare-mos por promn( f ), está dado por:

(1.16)

3. En general, el promedio de una función definida en [a, b], que denotaremos por

, se calcula usando la fórmula:

(1.17)

Donde ξ i es cualquier punto en el i-ésimo intervalo [xi−1, xi] de la partición regu-lar usada. Para el caso de que los ξ i sean los extremos derechos, como en nues-tro ejemplo, la fórmula del promedio se reduce a:

(1.18)

4. Si la partición usada no es regular, resulta inadecuado usar la fórmula (1.17), yaque se requiere ponderar el valor de la función por la longitud de cada subinter-valo. Es decir, si las longitudes de los subintervalos son Δxi, con i = 1,2,..., n en-tonces el promedio estará dado por:

(1.19)

En esta expresión es la norma de la partición y significa que las longitudes

de todos los subintervalos tienden a cero. Además, consideramos que la suma detodas las Δxi es igual a b − a, la longitud del intervalo original. Para el caso de lasparticiones regulares, la fórmula anterior se reduce a la expresión (1.17).

En conclusión, el promedio de una función con dominio [a, b] se puede determinar a travésdel procedimiento siguiente:

lím|| ||Δ →0

ff x f x f

a bn

[ , ]|| ||

( ) ( ) ( )= + + +→

límΔ

Δ Δ Δ0

1 1 2 2ξ ξ ξ� xx

x x x

f x

b an

n

i ii

n

Δ Δ Δ

Δ

Δ1 2

0

1

+ + +=

−→=∑

�lím

|| ||

( )ξ

f

f ab a i

n

na bn

i

n

[ , ] =+

−( )⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

→∞=∑

lím 1

f

f

na bn

ii

n

[ , ]

( )

=→∞

=∑

lím

ξ1

f a b[ , ]

promn ( )

( )

f

f

n

ii

n

= =∑ ξ

1



Promedio de una función y = f(x) en el intervalo [a, b]

1. Divide el intervalo en n subintervalos de longitudes Δxi, i = 1,2,..., n.

2. Selecciona un punto ξ i en cada uno de los intervalos y calcule f (ξ i).

3. Calcula el promedio de las n cantidades f (ξ i) usando cualquiera de las expre-siones

o:

4. Calcula el límite cuando n → ∞ o cuando , respectivamente.|| ||Δ → 0

promn ( )f

f x

b a

i ii

n

=( )

−=∑ ξ Δ

1promn ( )f

f

n

ii

n

=( )

=∑ ξ

1

Ejemplos

solución

Ejemplo 1.9

a) Calcula el promedio de la función f (x) = x2 en el intervalo [0, 2], considerando 20 intervalos de lamisma longitud y evaluando la función en los extremos derechos.

b) Repite el cálculo evaluando en los extremos izquierdos. c) Repite el cálculo utilizando n intervalos de la misma longitud.

a) Dividimos el intervalo [0,2] en 20 intervalos y así obtenemos los 21 puntos siguientes

Para obtener el promedio derecho, basta con evaluar la función en los puntos

con i = 1,2,..., 20. Entonces:

En la figura 1.16 se muestran la gráfica de la función y las 20 longitudes calculadas con la fórmula an-terior. Queremos ahora calcular el promedio de estas 20 alturas.

fi i

10 100

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

xi

i = 10

x = 01

10

2

102, , , , .…

FIGURA 1.16: La función evaluada en 20 puntosdiferentes. A partir de estosvalores, se obtiene el promediode la función.

0.5 1.5 2.52211– 0.5–

11

22

33

4

x

y

Sección 1.2.3 Áreas bajo curvas

El cálculo de áreas bajo curvas es otra aplicación donde el símbolo juega un valiosopapel. Por ejemplo, supón que quieres determinar el área bajo la curva definida por lafunción f (x) = 3 + x en el intervalo [1, 5]. Como primera aproximación, dividimos el in-tervalo en cuatro intervalos de igual longitud. Después, construimos cuatro rectángulosde base Δx = 1 y alturas iguales al valor de la función en los extremos derechos de cadasubintervalo. Observa la figura 1.17:

Σ


Al promediar, tenemos:

b) Para determinar el promedio izquierdo hay que evaluar la función en los puntos con

i = 0, 1,..., 19. Al seguir el proceso anterior:

c) Para el caso general, con n intervalos tenemos:

Si el número de intervalos crece, entonces ambos promedios se acercan a 4/3. Éste es el promedio dela función en el intervalo dado, es decir: . f [ , ] /0 2 4 3=

promnizq ( )f

n

i

n ni

i

n

i

n

= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

=

−

=

−

∑1 2 42

0

1

32

1

1

∑∑ = − − = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −⎛⎝⎜

⎞⎠

4 1 2 1

6

2

31

12

13

( )( )( )n n n

n n n ⎟⎟

promnder ( )f

n

i

n ni

n

i

n

i

n

= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = =

= =∑ ∑1 2 4 42

13

2

1

(( )( )n n

n n n

+ + = +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1 2 1

6

2

31

12

13

prom20izq ( )f

ii

i i

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

= =∑1

20 10

1

2000

2

0

192

1

119 19 20 39

2000 6

247

2001 235∑ = × ×

×= = .

xi

i = 10

prom usando la f20der ( )f

i

i

= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

∑1

20 10

2

1

20

óórmula del promedio

desarroll==∑1

20002

1

20

ii

aando

utilizando= × ××

= =20 21 41

2000 6

287

2001 435. las fórmulas de sumas

Finalmente, sumamos el área de los cuatro rectángulos, que llamaremos área4( f ). Obte-nemos así que:

Pensemos ahora el caso general de n rectángulos de base . Los interva-

los se muestran en la primera fila de la tabla 1.5. En la tercera fila se muestran los valo-res de la función en los extremos derechos de cada uno.

Δxn n

= − =5 1 4

área4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f f x x f x x f x x f x x= + + +1 1 2 2 2 2 2Δ Δ Δ Δ 22

2 3 4 55 6 7 8 26

= + + += + + + =

f f f f( ) ( ) ( ) ( )


y

x654321

2

4

6

8

10

FIGURA 1.17: Área bajo una recta utilizando cuatro rectángulos. Observa que el área de losrectángulos es superior al área bajo la recta.

Intervalo … …

ξ … … 4

f (x) … … 3 + 434+ i

n3

4 2+ ( )

n3

4+n

4i

n

4 2( )

n4

n

4 14

( ),

n

n

−⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

4 1 4( ),

i

n

i

n

−⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

4 4 2

n n,

( )⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

04

,n

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

Tabla 1.5: Área bajo una curva. Para cada intervalo se selecciona un punto,donde se evalúa la función para obtener la altura del rectángulo.

Calculamos ahora el área de cada rectángulo multiplicando su base Δxi por su alturaf (ξ i). Así obtenemos:

Finalmente, en el límite cuando n tiende a ∞ obtenemos que el área es igual a 20. En lafigura 1.18 se muestra gráficamente cómo se aproxima el área de los rectángulos al áreabajo la recta:

área sumando las áreas de n ( ) ( )f f xi ii

n

==∑ ξ Δ

1

ccada rectángulo

sustituy= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

∑ 34 4

1

i

n ni

n

eendo altura y base de los rectángulos

= +12

n

1162

1

i

ni

n ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

=∑ desarrollando el producto

112 16 1

22nn

n

n n⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+( )aplicando las ffórmulas de la suma

simplificando= +208

n


y

x654321

2

4

68

10

– 1– 2

y

x654321

2

4

68

10

– 1– 2

y

x654321

2

4

68

10

– 1– 2

FIGURA 1.18: Las gráficas corresponden al área de 6, 10 y 15 rectángulos. Nota que cada vez más el área de los rectángulos seacerca al área bajo la recta.

Al igual que en el cálculo del promedio, tenemos algunas observaciones sobre el cálcu-lo de áreas.

1. El área bajo la curva y = f (x) > 0 en el intervalo [a, b], donde se encuentra defi-nida la función, está dada por:

(1.20)

Donde ξi es cualquier punto en el subintervalo i-ésimo [xi−1, xi] que tiene lon-gitud Δxi = xi − xi−1.

2. Si utilizamos una partición regular y evaluamos la función en los extremos dere-chos de cada intervalo, dados por la ecuación (1.15), podemos reescribir la fór-mula del área como:

(1.21)área lím( )f f ab a i

n

b a

nni

n

= +−( )⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

−⎛⎝⎜

⎞→∞ =∑

1⎠⎠⎟

área lím( ) ( )f f xn

ii

n

i=→∞ =∑ ξ

1

Δ

3. Otras dos expresiones que utilizan los extremos izquierdos o los puntos mediosde cada intervalo para evaluar la función, y que son muy utilizadas, son las si-guientes (1.22 y 1.23):

(1.22)

(1.23)

4. Si consideramos que la partición no es regular, entonces utilizamos el cálculo dellímite para que la norma de la partición tienda a cero. En este caso, la expresiónpara el área está dada por:

(1.24)

5. No es difícil ver que el área bajo la curva y el promedio de una función en un in-tervalo [a,b] se relacionan mediante la expresión:

Es decir, el promedio de una función es la altura de un rectángulo que tiene ba-se b − a y área ( f ), como se muestra en la figura 1.19.

área ( ) ( )[ , ]f f b aa b= −

área lím( ) ( )|| ||

f f xi ii

n

=→ =∑

ΔΔ

01

ξ

área lím( )( )

f f ab a i

n

b an

i

n

= +− −( )⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

−→∞ =∑

12

1 nn⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

área lím( )( )( )

f f ab a i

n

b a

nni

n

= + − −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−→∞ =∑ 1

1

⎛⎛⎝⎜

⎞⎠⎟


y

a, b

a bx

f

FIGURA 1.19: Relación entre área bajo la curva y el valor promedio.

En conclusión, el área bajo una curva se determina con el siguiente procedimiento:

Área bajo la curva y = f (x) > 0 en el intervalo [a, b]

1. Divide el intervalo en n subintervalos de longitudes Δxi, i = 1,2,..., n.

2. Selecciona un punto ξien cada uno de los intervalos y calcule f (ξi).

3. Calcula el área de los n rectángulos de alturas f (ξi) y base Δxi usando

4. Calcula el límite cuando n → ∞ o cuando ||Δ|| → 0.

árean ( )f f xi ii

n

= ( )=∑ ξ Δ

1


Ejemplos

solución

Ejemplo 1.10Calcula el área comprendida entre la gráfica de la función f (x) = 2x + 1 con dominio [1,3] y el eje x,evaluando en los extremos izquierdos.

Empezamos con el ancho de cada subintervalo y vemos que éste es . Cada rec-

tángulo tiene la siguiente altura:

con i = 1,2,…, n.

En consecuencia, el área de cada rectángulo es:

altura basen

i

n n× = − +

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥⎛⎝⎜⎞⎠⎟3

4 4 2

fn

in

in

i1

21 2 1

21 1 3

4 4+ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = + −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ = − +( ) ( )

nn

Δxb a

n n n= − = − =3 1 2

y

x44321

2

4

6

8

– 2–

FIGURA 1.20: Interpretación de la integral definida como área bajo la curva.

La suma de las áreas de estos rectángulos aproxima el área buscada por debajo del valor exacto, comose observa en la figura 1.20 Al calcular la suma tenemos:

Finalmente, si hacemos tender n a ∞ encontramos el área exacta bajo la recta:

Áreann

= −⎡⎣⎢

⎤⎦⎥=

→∞lím 10

410

área( )fn

i

n n

n

i

n

= − +⎡⎣⎢

⎤⎦⎥⎛⎝⎜⎞⎠⎟

= ⎛⎝⎜⎞⎠

=∑ 3

4 4 2

2

1

⎟⎟ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= =

∑ ∑34 8

12

1n ni

i

n

i

n

aplicando llas propiedades de la suma

= ⎛⎝⎜⎞⎠⎟ −⎛⎝

23

4

nn

n⎜⎜⎞⎠⎟ +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+8 1

22n

n n( )aplicando la fórmula dde sumas

simplificando= −104

n

Sección 1.2.4 La integral definida y sus propiedades

Determinar el promedio de una función o el área bajo una curva puede ser muy tortuo-so, por lo que resulta conveniente contar con un método que facilite su cálculo. Empe-zaremos por hacer algunas definiciones que nos lleven directamente a éste y al tema fun-damental del presente libro.


Definición 1.4: Sumas de Riemann

Sea f una función con dominio en el intervalo [a, b], y Δ una partición del in-tervalo de la forma . Definimos la suma de Riemann

de orden n a la expresión donde y , y la

denotaremos como .S fab

n

Δx x xi i i= − −1x xi i i− ≤ ≤1 ξf xi ii

n

( )ξ Δ=∑

1

a x x x x x bn n= =−0 1 2 1, , , , ,…

Un caso particular de las sumas de Riemann ocurre cuando la partición es regular y eva-luamos la función en los extremos derechos , . En ese caso, la sumade Riemann está dada por la expresión:

(1.25)

Con tales consideraciones, estamos en condiciones de hacer la siguiente definición.

S f f ai b a

n

b a

nab

ni

n

= + −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

∑ ( )

1

i n=1 2, , ,…ξi ix=

Definición 1.5: Integral definida de una función

Decimos que una función f es integrable en el intervalo [a, b], si existe . En

ese caso, denotamos . Al símbolo lo llamaremos

integral definida de la función f en el intervalo [a, b].

f x dxa

b

( )∫f x dx S fa

b

ab

n( )|| ||

=∫ →límΔ 0

lím|| ||Δ →0

S fab

n

Observa que cada sumando de tiene la forma f (xi)Δxi y por ello dentro del símbolo

de la integral (que no es más que una S mayúscula alargada) aparece la expresión

f (x)dx, que ya habíamos usado para definir la diferencial de la función f (x), la cual resultamuy afortunada, como se verá en la siguiente sección. Nota también que para particionesregulares, la integral definida se reduce a

f x dx S fa

b

nab

n( ) =∫ →∞lím

a

b

∫

S fab

n

De acuerdo con esta última definición tenemos los siguientes resultados:


Resultados

1. El valor promedio de una función. Si f es una función con dominio [a,b] eintegrable en ese intervalo, entonces:

.

2. El área bajo la curva. Si f es una función con dominio [a,b], integrable y nonegativa, entonces el área de la figura plana comprendida entre la gráfica de

f y el eje x en el intervalo [a,b] es igual a . Es decir:

área f x dxa

b

= ∫ ( )

f x dxa

b

( )∫

fb a

f x dxa ba

b

[ , ] ( )=− ∫1

El segundo de estos resultados nos proporciona una interpretación geométrica de la in-tegral definida, de ahí su importancia. Sin embargo, no siempre se da la igualdad entreintegral definida y área; esta última siempre es positiva, mientras que las integrales defi-nidas pueden ser positivas, negativas o nulas. Tal situación se ilustra en la figura 1.21.

–

++

FIGURA 1.21: Interpretación del signo de la integral definida y de las áreas bajo curvas.

Por otra parte, intuitivamente pensamos que dada una función continua positiva en[a,b] siempre existe el área bajo la curva, lo que significa que este tipo de funciones esintegrable. Esta discusión nos lleva a establecer el siguiente teorema, que enunciaremossin demostrar.

Sin embargo, no todas las funciones son integrables. Por ejemplo:

no es integrable según Riemann en ningún intervalo [a,b] con a < b. Para mostrarlo,considera que f es integrable y que Δ es una partición del intervalo [a,b]. Si en todos lossubintervalos originados por la partición elegimos un número irracional, entonces, lasuma de Riemann toma el valor

Si seleccionamos un número racional tenemos

En el límite, cuando n tiende a ∞, obtenemos dos resultados diferentes, lo cual no esposible. Si el límite existe, debe ser único. Por lo tanto, la función no es integrable.

Para terminar, enunciamos y demostramos un teorema sobre las propiedades de laintegral definida:

f x x xi ii

n

ii

n

( ) ( )Δ Δ= =∑ ∑= =

1 1

0 0

f x x x b ai ii

n

ii

n

( )Δ Δ= =∑ ∑= = −

1 1

f xx

x( ) =

⎧⎨

0

1

si es racional

si es irracional⎩⎩


Teorema 1.2

Si y = f (x) es continua en el intervalo [a,b] entonces es integrable en ese mismointervalo.

Teorema 1.3

Si f y g son dos funciones reales, cuyo dominio es el intervalo cerrado [a,b] y ambasson integrables en aquél, entonces son ciertas las siguientes afirmaciones:

a) para cualquier constante k

b)

c)

d) para cualquier

e) Si f(x) = k es la función constante con valor k, entonces

f ) Si f (x) = x entonces f x dx xdx b aa

b

a

b

( ) ( )= = −∫ ∫1

22 2

f x dx kdx k b aa

b

a

b

( ) ( )= = −∫ ∫

c a b∈ [ ],f x dx f x dx f x dxa

c

c

b

a

b

( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫+ =

f x dx f x dxa

b

b

a

( ) ( )= −∫∫

f x g x dx f x dx g x dxa

b

a

b

a

b

( ) ( ) ( ) ( )±( ) = ±∫ ∫ ∫

k f x dx k f x dxa

b

a

b

( ) ( )∫ ∫=

Demostración:

a) La afirmación de este inciso es consecuencia de las propiedades de la suma finita detérminos. De aquí se desprende que

por lo tanto,

b) Esta afirmación también se sigue de las propiedades de la suma finita de términos.Tenemos que:

por lo tanto,

c) La demostración de la afirmación c) es consecuencia de que debido aque .

d) Para demostrar esta propiedad, observa que una suma de orden n en el intervalo [a,c]y otra del mismo orden en el intervalo [c,b] nos dan una suma de orden 2n en elintervalo [a,b]. Basta tomarlas para comprobar que

Esta propiedad es válida para cualquier valor de c, aunque es necesario asegurar quef es integrable en los tres intervalos [a,b], [a,c] y [c,b].

e) La afirmación del inciso e) se verifica inmediatamente usando la siguiente factori-zación en cada suma de Riemann:

por lo tanto,

f ) Finalmente, para demostrar la última de las afirmaciones, usaremos una partición re-gular y evaluaremos la función en los extremos derechos. Así, usando la relación(1.25), tenemos

S f ai b a

n

b a

nab

ni

n

= + −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

∑ ( )

1

kd x S k k b aa

b

nab

n∫ = = −→∞lím ( )

S k k x k x k b aab

n ii

n

ii

n

= = = −= =∑ ∑Δ Δ

1 1

( ),

f x dx f x dx S f S fa

c

c

b

nac

nn

cb

n( ) ( )∫ ∫+ = +→∞ →∞lím lím == =

→∞ ∫lím2

2n

ab

n

a

b

S f f x dx( )

a b b a− = − −( )S f S fb

an a

bn= −

f x g x dx S f g Sa

b

nab

n nn

ab( ) ( )±( ) = ±( ) =∫ →∞ →∞

lím lím ff S g f x dx g x dxnn

ab

n

a

b

a

b

± = ±→∞ ∫ ∫lím ( ) ( )

S f g S f S gab

n n ab

n ab

n±( ) = ± ,

k f x dx S k f k S f k fa

b

nab

nn

ab

n( )∫ = ( ) = ( ) =→∞ →∞

lím lím (( )x dxa

b

∫

S k f k S fab

n ab

n( ) = ,


Esta suma se puede expandir para obtener

De esta última expresión, al hacer tender n a ∞ resulta

por lo tanto:

Con esto concluimos la demostración del teorema.

xdx S fb a

a

b

nab

n= = −∫ →∞

lím2 2

2

lím límn

ab

nn

S f b a ab a

n→∞ →∞= − + − +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

⎡( )

( )2

21

1

⎣⎣⎢

⎤

⎦⎥

= − + − = − + − +

=

( )( )

,b a ab a

ab ab

aba

b

22

2 2

22 2 2

2−− a2

2

ai b a

n

b a

n

b a

na

i

n

i

+ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=∑ ( )

1 == =∑ ∑+

= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + −⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟

+1 1

21

n

i

n

i

b a

nan

b a

n

n n( )

22

21

12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= −( ) +−( ) +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟b a a

b a

n


Ejemplos

solución

Ejemplo 1.11 (segunda visita)

Calcula el área bajo la gráfica de la función f (x) = 2x + 1, sobre el eje x y en el intervalo [1,3].

Para determinar el área basta calcular . Si usamos las propiedades de la integral, tenemos que

Con geometría elemental podemos verificar este resultado, ya que el área en cuestión es la suma delárea del rectángulo de base 2 y altura 3, que es 6, más el área del triángulo rectángulo, también de ba-se 2 y altura 4, que es 4. Así, 10 es el área en cuestión.

( )2 1 2 29 1

21 3 1

1

3

1

3

1

3

x d x x d x d x+ = + = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + ⋅ −∫ ∫ ∫ (( ) = 10

( )2 11

3

x dx+∫

solución


Ejemplo 1.12

Calcula el área bajo la curva en el intervalo [0,8].

Recordemos que las funciones máximo entero y valor absoluto se definen respectivamente como:

y

Entonces, restringiéndonos al intervalo [0,8], tenemos que:

De donde resulta

Como

se tiene que:

Finalmente, obtenemos

En la figura 1.22 se muestra el área bajo cada una de las dos funciones y el área bajo su suma. Pode-mos determinar estas áreas utilizando las fórmulas geométricas para el área de rectángulo y triángulo,con lo que obtendremos que las áreas bajo las curvas son 12, 17 y 29 para las primera, segunda y ter-cera gráficas, respectivamente.

xx dx

xdx

23

20

8

0

8�

��

��

�

��

��+ −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

=⌠⌡⎮

⌠⌡⌡⎮

+ − = + =∫ x dx3 12 17 290

8

x dx x dx x dx

xdx dx

− = − + + −

= − +

∫ ∫ ∫

∫

3 3 3

3

0

8

0

3

3

8

0

3

( ) ( )

00

3

3

8

3

8

2 2 2

3

3

23 3

8

2

3

2

∫ ∫ ∫+ −

= − + + − −

xdx dx

( )( )

( ) ( )33 8 3

17

( )−

=

xx x

x x

x x− =

− − − <− − ≥

⎧⎨⎩

=− + <

33 3 0

3 3 0

3( ) si

si

si 33

3 3

si x x− ≥⎧⎨⎩

xdx dx dx dx dx

20 2 3

0

8

0

2

2

4

4

6�

��

��

⌠⌡⎮

= + + +∫ ∫ ∫( )66

8

2 2 2 3 2 12∫ = + + =( ) ( )

x

x

x

x2

0 0 2

1 4

2 6

3

�

��

��=

≤ <≤ <≤ <

si

si 2

si 4

si 6 ≤≤ <

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪ x 8

xx x

x x=− <

≥⎧⎨⎩

si

si

0

0x n n x n n �= ≤ < + ∈si con 1

yx

x= + −2

3�

��

��


y

x

66

44

2

2 4 6 88– 22–

y

x

6

4

2

2 4 6 88– 22–

y

x

66

44

2

22 4 6 8– 22–

FIGURA 1.22: Las gráficas a) y b) muestran el área bajo la curva . En c) se muestra el área bajo lasuma de las dos funciones.

x x/ 2 3 y −

solución

Ejemplo 1.13

a) Determina el área bajo la curva en el intervalo [0,b], utilizando las sumas de Riemann.

b) Usa la expresión encontrada en a) para calcular

c) Calcula

d) Calcula el valor promedio de en el intervalo [4,9]

a) Para determinar el área, consideremos la partición no regular que se muestra en la figura 1.23:

y x=

xdx4

9

∫

xdxa

b

∫

y x=

x0 = 0 x2 = 4L x4 = 16L xn = n2 L. . .

ΔxΔΔ 1 = L ΔxΔΔ 2 = 3L ΔxΔΔ 3 = 5L ΔxΔΔ 4 = 7L ΔxΔΔ n = (2n – 1)– L

x1 = L x3 = 9L

. . .

FIGURA 1.23: Partición donde las longitudes de los intervalos son diferentes.

Nota que los puntos están dados por xi = i 2L con i = 1,2...,n. Como además xn = b, se tiene que b = n2L,

de donde conseguimos la longitud del primer intervalo . Observa nuevamente la figura. En ge-

neral, tenemos que las longitudes Δxi están dadas por

para i = 1,2,...,nΔx i Li b

ni = − = −

( )( )

2 12 1

2

Lb

n=

2


Evaluando la función en los extremos derechos:

Al calcular las sumas de Riemann:

Para obtener el area sólo falta calcular el límite cuando n tiende a ∞. Al hacerlo, obtenemos

b) Con el resultado anterior establecemos que

Más aún, usando las propiedades de la integral definida sabemos que:

c) Si aplicamos esta relación obtenemos la respuesta a la última pregunta.

d) Para determinar el valor promedio, basta dividir el resultado obtenido entre la longitud del interva-lo, en este caso 5.

f xdx[ , ]4 94

91

5

38

15=

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =∫

xdx4

93 2 3 22

39

2

34 18

16

3

38

3∫ = − = − =( ) ( )/ /

xdx xdx xdx xdx xdx ba

b

a

b a b

∫ ∫ ∫ ∫ ∫= + = − + = −0

0 0 0

3 22

3/ 22

33 2a /

xdx bb

0

3 22

3∫ = /

área lím= =→∞ =∑

ni i

i

n

f x x b( ) /Δ1

3 22

3

f x xi

nb

i b

ni i

i

n

i

n

( )( )Δ

= =∑ ∑= ⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

12

1

2 1ssustituyendo

desarro= −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

=∑b

i i

ni

n3 2

2

31

2/ lllando

sacando las const= −( )=∑b

ni i

i

n3 2

32

1

2/

aantes de la suma

= + + − +b

n

n n n n n3 2

3

1 2 1

3

1/ ( )( ) ( ))

2

3

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

aplicando las fórmulas de sumas

b // ( ) ( )22

1

3

1 2 1 1

2

n

n

n

n

n

n

+ + − +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ dividiendo enntre n

bn n n n

3

3 2 1

31

12

1 1

2

1

2= +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟− −/

22

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

simplificando

f x xi b

n

i

nbi i( ) = = =

2

2


1. Calcula las siguientes sumas:

a) c)

b) d)

2. Determina los promedios derecho e izquierdo de las siguientes funciones en los intervalos proporcio-nados, considerando intervalos de la misma longitud.

a) f (x) = 7 + 2x en el intervalo [1,9] con k = 8

b) f (x) = 2x − x2 en el intervalo [0,2] con k = 4

c) f (x) = x + 3x2 en el intervalo [−1,3] con k = 10

d) f (x) = x3 + 4x2 − 3x + 2 en el intervalo [0,4] con k = 10

e) f (x) = sen(x) en el intervalo [0,π] con k = 6

3. Utiliza la fórmula (1.18) para determinar el promedio de las siguientes funciones en los intervalos dados:

a) f (x) = 5x + 3 en [0,5] e) f (x) = x3 + x2 en [0,3]

b) f (x) = 2x − 10 en [−2,2] f ) f (x) = 5x4 + 4x3 en [0,2]

c) f (x) = x2 + 1 en [1,5] g) en [0,4]

d) f (x) = x − x2 en [−2,2]

4. Estima el área comprendida entre la gráfica de las siguientes funciones, así como el eje x en el intervalodado, utilizando una partición regular con k intervalos y evaluando la función en los puntos que se indican;

a) f (x) = 3x + 2 en el intervalo [0,5] con k = 10, y evalúa en los extremos izquierdos.

b) f (x) = x + 4 en el intervalo [1,8] con k = 7, y evalúa en los puntos medios.

c) f (x) = 5x + 4 en el intervalo [0,6] con k = 12, y evalúa en los extremos derechos.

d) f (x) = x2 + 2x en el intervalo [1,3] con k = 10, y evalúa en los extremos izquierdos.

e) f (x) = x3 + 4x2 + 9x en el intervalo [0,2] con k = 5, y evalúa en los puntos medios.

f ) f (x) = x4 + 4x3 en el intervalo [0,4] con k = 8, y evalúa en los extremos derechos.

g) f (x) = x2 + x en el intervalo [0,5] con k = n, y evalúa en los extremos izquierdos.

h) f (x) = x3 en el intervalo [0,2] con k = n, y evalúa en los puntos medios.

i) f (x) = x4 + x3 en el intervalo [0,4] con k = n, y evalúa en los extremos derechos.

5. Calcula , para la función dada y = f (x) en el intervalo especificado [a,b].

a) en el intervalo [0,1] c) en el intervalo [−1,3]

b) en el intervalo [0,4] d) en el intervalo [−1,1]f x x x( ) = −21

2 f x x( ) =

f x x( ) =f x x( ) = −5 2

f x dxa

b

( )∫

f x x( ) = + +5 1 1

( )2 3 44 3 2

1

7

i i ii

− +=∑( )i i

i

2

1

25

3 5+ −=∑

( )i ii

3 2

1

5

3+=∑( )3 4

1

10

ii

+=∑


6. Utiliza la definición de integral definida para demostrar que

a)

b)

c)

7. Utiliza los resultados del ejercicio anterior para calcular el valor promedio de la función f en el inter-valo dado:a) f (x) = 3x − 1 en el intervalo [2, 5] d) f (x) = x2 + 3x3 en el intervalo [1, 10]

b) f (x) = x(1 − x) en el intervalo [0, 5] e) f (x) = 3x4 − x3 en el intervalo [−3, 5]

c) f (x) = x en el intervalo [−1, 1]

8. La gráfica de una función se muestra en la figura 1.24. Si los vértices de la curva tienen coordenadas(0, 0), (1, 1), (2, 1/2), (3, 1) y (4, 0), determina el área bajo la curva en el intervalo [0, 4].

x dx b aa

b4 5 51

5∫ = −( )

x dx b aa

b3 4 41

4∫ = −( )

x dx b aa

b2 3 31

3∫ = −( )

1 2 3 4

1

0.5

y

x

FIGURA 1.24: Gráfica de la función del ejercicio 8, que tiene apariencia de “M”.

9. En los ejercicios siguientes, calcula el área bajo la gráfica de la función descrita.

a) en el intervalo [2, 6] d) en el intervalo [0, 5]

b) en el intervalo [2, 5] e) en el intervalo [−4, 4]

c) en el intervalo [1, 4]

10. Sea f una función con dominio [−a, a]. Demuestra que si f es integrable en [0, a] y

a) f es par, entonces

b) f es impar, entonces f x dxa

a

( ) =−∫ 0

f x dx f x dxa

a a

( ) ( )−∫ ∫= 2

0

f x x x( ) = +3 22 3

f x x( ) = −2 4f x x x( ) = + −2 1

f x x x x( ) = + +4 32 f x x x( ) = +


11. Usa el ejercicio anterior y la interpretación de la integral definida como área para hallar el valor de

12. Utiliza propiedades de la integral definida y su interpretación como área para encontrar , donde

13. Calcula

14. Encuentra todos los valores de c para los cuales:

a)

b)

15. Calcula las siguientes integrales definidas:

a) , donde

b) , donde con c una constante tal que 0 < c < 1

16. Encuentra un polinomio cuadrático p(x) = ax2 + bx + c para el cual p(0) = p(1) = 0 y

17. Encuentra un polinomio cúbico p(x) = ax3 + bx2 + cx + d para el cual p(0) = p(−2) = 0; p(1) = 15 y

18. Si n es un entero positivo, calcula:

a) y b)

19. Sea para x ≥ 0. Dibuja la gráfica de f en el intervalo [0,3).

20. Sea n un entero positivo. La función f está definida en el intervalo [0,n] de la siguiente manera:f (x) = (−1)m m, si m ≤ x < m + 1 con m = 0,1,2,...,n−1; además, f (n) = 0. Ahora considera la función

.

a) Calcula g(3), g(4) y (g ° g)(3)

b) ¿Para qué valor(es) de n se tiene |g(n) | = 7?

g n f x dxn

( ) ( )= ∫0

f x t dtx

( ) = ∫ 20

t dtn

2

0

��∫t dt

n

0∫

3 42

0

p x dx( ) =−∫

p x dx( ) =∫ 10

1

f x

x x c

cx

cc x

( ) =≤ ≤

−−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ≤ ≤

⎧⎨⎪

⎩⎪

si

si

0

1

11

f x dx( )0

1

∫

f xx x

x x( ) = ≤ <

− ≤ ≤

⎧⎨⎪

⎩⎪

2 0 1

2 1 2

si

si f x dx( )

0

2

∫

x x dxc

1 00

−( ) =∫

x x dxc

1 00

−( ) =∫

x d x x d xa

b

a

b ∫ ∫+ −

f x x si x

si x( ) = − ≤ ≤

< ≤

⎧⎨⎪

⎩⎪4 0 1

4 1 5

2

f x dx( )0

5

∫

x x dx5

1

123 1+( ) −

−∫




1. Producir sí, pero ¿cómo?

2. Carrera de maratón. Un corredor de maratón empieza la carrera lentamente, porque guar-da su energía para la parte final. Después, casi sin sentirlo, sube su velocidad hasta un va-lor máximo, para después disminuirla por efectos del cansancio. Una ecuación que modelala velocidad del corredor es

v (t) = A − B(t − 2)2

Si empieza con una velocidad de 7 km/hora y termina los 42 km de la carrera en 4 horas,

a) Determina los valores de A y B.

b) Establece la velocidad promedio del corredor.

c) Calcula la velocidad promedio del corredor en el intervalo [0,t] y su velocidad prome-dio máxima.

d) Si el corredor corriera toda la carrera a su velocidad promedio máxima, ¿cuánto tiempoharía en recorrer los 42 km?

3. La huerta. Por experiencia un horticultor sabe que los árboles de manzanas producen pocolos primeros 15 años debido a que no han alcanzado la madurez; que los siguientes 30 añostienen una alta producción, para reducirla durante los últimos 15 años a causa de su edad.Si la producción total en toneladas por año de una huerta de manzanos está dada por

con 0 < x < 60

Calcula la producción total promedio anual de la huerta.

Determina la producción promedio anual a los t años.

¿En qué tiempo deben cortarse los árboles de la huerta para obtener los mejores rendimien-tos? Explica.

4. Promedios de aprendizaje, base de contratación laboral. En una fábrica, dos obreros recibenun curso de capacitación sobre el uso de una máquina de alta complejidad técnica; pero sólouno de ellos será contratado para utilizarla. La siguiente tabla muestra el nivel de aprendizaje(máximo 1) de cada uno en el tiempo especificado (medido en días). En promedio ¿Quiéntuvo mejor nivel de aprendizaje? ¿Cuál de los dos es más eficiente para aprender?

Al responder debes aclarar lo que entiendes por eficiencia. Es importante que ofrezcas unabuena respuesta, ya que el gerente de la planta la usará para decidir a quién contratará.

y x= − −( )57616

2530

2


Tiempo Nivel de aprendizaje Nivel de aprendizaje del primer obrero del segundo obrero

0.5 0.005102041 0.267261242

1 0.020408163 0.377964473

1.5 0.045918367 0.46291005

2 0.081632653 0.534522484

2.5 0.12755102 0.597614305

3 0.183673469 0.654653671

3.5 0.25 0.707106781

4 0.326530612 0.755928946

4.5 0.413265306 0.801783726

5 0.510204082 0.845154255

5.5 0.617346939 0.88640526

6 0.734693878 0.9258201

6.5 0.862244898 0.963624112

7 1 1

Autoevaluación

1. Calcula la integral definida de la función en el intervalo [−3,1]

a) 20 b) 21 c) 19 d) 22

2. Determina el área bajo la curva de la función en el intervalo [1,2]

a) 1/2 b) 1/4 c) 3/2 d) Es imposible determinarla

3. Calcula el promedio de la función en el intervalo [0,3]

a) –5 b) 9 c) –2 d) 5

4. ¿Cuánto tiempo deberá transcurrir para que el promedio de los valores de la función de costoc(t) = 3t + 1 en el intervalo [0,T ] sea 4?

a) T = 2 b) T = 2.5 c) T = 1.5 d) T = 4

f x x( ) = −1 2

f x x x( ) = −

f x x x( ) = −3


Respuestas a los


1.a) 205 b) 6375 c) 390 d) 7560

2.a) promder = 18; promizq = 16 d) promder = 39.4; promizq = 27.8

b) promder = 0.625; promizq = 0.625 e) promder = 0.622008; promizq = 0.622008

c) promder = 9.48; promizq = 6.68

3.a) 31/2 d) −4/3 g) 27/2

b) −10 e) 39/4

c) 34/3 f ) 24

4.a) 43.75 d) 15.48b) 59.5 e) 32.48c) 121.5 f ) 598.125

5.a) 0.5 b) 6 c) 5 d) −2.5

6. SUGERENCIA: Utiliza una partición regular y después las fórmulas (1.25), (1.12), (1.13) y (1.14).

7.

a) 19/2 b) −35/6 c) 0 d) 870.25 e) 235.6

8. 2.5

9.a) 30 b) 45 c) 190.5 d) 947.5 e) 32

10. El resultado está en el propio enunciado del ejercicio.

11.

12.

13. a − b

14. a) ; b) 0

15. a) ; b)

16. p(x) = 6x − 6x2

17. p(x) = 3x2 + 8x2 + 4x

c2

56

0 32,

π4

16+

3

2

π

g)

h)

i) áreander ( )

( )( )f

n n n n

n= + + + −64 1 63 87 8 8

15

3 2

4

áreanpm ( )f

n

n= −4 22

2

áreanizq ( )

( )( )f

n n

n= − −25 1 13 5

6 2


18. a) ; b)

La función tiene como fórmula . Su gráfica se muestra a continuación (figura 1.25).f x

x

x x

x x

( ) =≤ <≤ <≤ <

⎧⎨⎪

⎩⎪

0 0 1

1 2

4 2 3

si

si

si

n n n−( ) −( )1 2 1

6

n n −( )1

2

2

4

6

8

10

12

1 2 3

FIGURA 1.25: Gráfica de la función y = f (x).

19.a) g(3) = 1; g(4) = −1; g(g(3)) = 0; b) n = 14 y n = 15


1. b) 2. a) 3. c) 4. a)

Referencias


2. Courant, R. y John, F., Introducción al cálculo y al análisis matemático, vol. I, México, Edmusa, 1982.3. Courant, R. y Robbins, H., ¿Qué son las matemáticas?, México, Fondo de Cultura Económica, 2002.4. Haaser, N, LaSalle, J. y Sullivan, J., Análisis matemático, vol. 1, México, Trillas, 1982.5. Piskunov, N., Cálculo diferencial e integral, Barcelona, Montaner y Simón, 1978. 6. Prado, Santiago, et al., Precálculo, México, Pearson Educación, 2006.7. Rivaud, J., Ejercicios de análisis, Madrid, Reverté, 1975.8. Seeley, R., Cálculo de una y varias variables, México, Trillas, 1978.

Alud en la autopista México-Toluca


1.3 El teorema fundamental

del cálculo

En las matemáticas se exhiben conexio-nes entre cosas que son poco obvias, de

forma extraordinaria.

A. N. Whitehead

1 2 3 4

2

2.5

1.5

1

0.5

t(tiempo en horas)

v(m /h)

FIGURA 1.26: Alud en la autopista México–Toluca. FIGURA 1.27: Rapidez de un buldózer.

El domingo 24 de septiembre de 2006,1 las lluvias que cayeron en una zona co-nocida como La Marquesa provocaron un deslave, que prácticamente cerró en sutotalidad la autopista que conecta las ciudades de México y Toluca. La empresaconcesionaria y operadora de esta vía, Pinfra, S.A., presionó a geólogos y alpersonal de protección civil estatal para que permitieran la reapertura de la carre-tera, alegando que el cierre les generaría pérdidas millonarias. Las obras derestauración permitieron que, de las 5:00 a las 12:00 horas del lunes siguiente, sequitaran alrededor de mil metros cúbicos de material de la autopista.

Si hubieras sido el ingeniero responsable de la obra de limpieza de la autopista,y hubieras tenido que enfrentar la presión para que reabriera, ¿cuánto tiempo máshabrías declarado a la empresa que tardaría tu brigada en limpiar los tres mil metroscúbicos restantes de material del primer derrumbe? Supón que las siguientes sonlas condiciones de trabajo:

• Cuentas con 20 máquinas buldózer para la limpieza.• Cada máquina puede penetrar en los escombros alrededor de un metro y avanzar

a lo largo de la zona a un ritmo de v metros/hora, donde v es la función cuyagráfica se muestra en la figura 1.27.

• El ancho de la parte frontal de la cuchilla de cada buldózer es de cuatro metros.

1 http://www.eluniversalgrafico.com.mx/58467.html

531.3: El teorema fundamental del cálculo

Introducción

El teorema fundamental del cálculo (TFC) es uno de los pocos teoremas ma-temáticos que alcanzan el estatus de término fundamental. Aunque pareceríaque saber cálculo es un requisito ineludible para entenderlo, en realidad lasideas matemáticas que lo sustentan son muy básicas y aparecen rutinariamen-te. Por ejemplo, imagina que una persona ahorra mensualmente alguna can-tidad; después de un cierto tiempo, el cambio en su fortuna personal estaríadado por la suma de todos los ahorros acumulados. Si ahorra $3,000, $2,500y $1,250 en tres meses consecutivos, entonces su fortuna habrá aumentado$6,750 (sin considerar intereses posibles). En general, si a(t) y F(t) son elahorro y la fortuna en el mes t, entonces,

Por otra parte, si conocemos la función fortuna en el tiempo, podremos de-terminar el ahorro hecho en cualquier mes. En efecto:

Un segundo ejemplo lo constituye la producción de una empresa. Si se sabeque ésta elabora cierta cantidad de artículos por día, ¿cuántos produce en unaño? La respuesta es clara: si p(x) es la producción promedio estimada en eldía x y P(x) es la función de producción total hasta ese día, entonces:

De la misma forma, si conocemos la función de producción total, podremosconocer la producción promedio diaria en cualquier día. En efecto:

Un tercer ejemplo, que aparece regularmente en los cursos de física, es la re-lación entre velocidad y distancia recorrida. En la figura 1.28 se muestra lavelocidad de un móvil en diferentes intervalos de tiempo. La distancia totalrecorrida en la suma de las distancias de cada intervalo. Es decir,

v t v t v t v t x t x tn n i ii

n

f i1 1 2 21

Δ Δ Δ Δ+ + + = = −=∑� ( ) ( )

P x P x p x( ) ( ) ( )− − =1

p i P x Pi

x

( ) ( ) ( )=∑ = −

1

0

F t F t a t( ) ( ) ( )− − =1

a i F t Fi

t

( ) ( ) ( )=∑ = −

1

0

Sección 1.3.1 El teorema del valor medio para integrales

En la sección anterior hablamos del promedio de una función en un intervalo. Ahoranos preguntamos: ¿es posible determinar un valor tal que ? En laf f a b( ) [ , ]ξ =ξ ∈ ( , )a b


Estos ejemplos ilustran cómo la acumulación o suma de una variable se rela-ciona con el cambio total producido en otra; esta relación es la base aritméti-ca del TFC.

Por otra parte, los problemas que dan origen al cálculo diferencial y alcálculo integral (tangentes a una curva y área bajo una curva) que geométri-camente son totalmente distintos, encuentran en el teorema fundamental unaconexión casi inesperada pero sumamente útil y bella.

t seg

v m s

vv2

v3

v1

d1 = v1 DDDDt1

dd2dd = v2 DDDt2d3 = v3 Dt3

tt1 t2 t3

FIGURA 1.28: Gráfica que muestra la relación entre distancia recorrida y velocidad en diferentes intervalos de tiempo.

Objetivos


• Enunciar, demostrar y aplicar el teorema del valor medio paraintegrales.

• Enunciar, demostrar y aplicar el teorema fundamental delcálculo.

• Definir la antiderivada de una función.• Identificar las antiderivadas básicas.• Demostrar que dos antiderivadas de una función difieren en

una constante.• Conocer y aplicar las propiedades de linealidad de la integral

indefinida.• Calcular antiderivadas de funciones básicas.

figura 1.29 se muestran dos situaciones. En la primera, tenemos una función continuadonde gráficamente podemos encontrar el número ξ. En la segunda gráfica, vemos unafunción discontinua donde no es posible determinar ningún valor ξ que cumpla la con-dición de la pregunta.


y

xbba

a)

x

f xf

y

xbba

f a, bf

b)

FIGURA 1.29: Interpretación geométrica del TVM. En a) para funciones continuas existe ξ; en b) para funciones discontinuas puede no existir.

Así, tenemos el siguiente resultado que nos indica cuándo existe ξ.

Teorema del valor medio (TVM) para integrales

Si f (x) es una función continua en un intervalo [a,b], entonces existe un valortal que:

fb a

f x dxa

b

( ) ( )ξ =− ∫1

ξ ∈ ( , )a b

Demostración:

Como la función f (x) es continua en el intervalo cerrado [a,b], entonces alcanza susvalores extremos absolutos en ese intervalo. Sean m y M los valores mínimo y máximoabsolutos que se alcanzan en x = c y x = d, respectivamente, ambos, en el intervalo [a,b].Sin perder generalidad, supón que c < d. Como , por el teorema del va-lor intermedio para funciones continuas (véase, por ejemplo, Cálculo diferencial dePrado et al.), existe tal que . En otras palabras, existe

tal que . Lo cual demuestra el teorema.

Observa que la función tiene que ser continua; en caso contrario, no podríamos ase-gurar nada sobre la existencia de ξ. Desde un punto de vista geométrico para funcionespositivas, el teorema afirma que existe un rectángulo de base b − a y altura f (ξ), tal queel área bajo la curva es igual al área del rectángulo, como se muestra en la figura 1.29a.

fb a

f x dxa

b

( ) ( )ξ =− ∫1ξ ∈ ( , )a b

f f a b( ) [ , ]ξ =ξ ∈ ⊆( , ) ( , )c d a b

m f Ma b≤ ≤[ , ]


Ejemplos

solución

Ejemplo 1.14

Supón que con , y encuentra un número ξ tal que .

Calculemos primero el valor promedio de la función en el intervalo dado. Tenemos entonces que:

Para determinar el valor de ξ necesitamos resolver la ecuación . De aquí obtenemos .

En la figura 1.30 se muestra el valor de ξ y su significado geométrico.

ξ = ± 4

34

8

32− =ξ

f x dx= −

= + − − −( )⎡⎣⎢

⎤⎦

−∫

1

44

1

44 2 2

1

32 2

2

2

2

3 3

( )

( ) ( ) ⎥⎥

= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =1

416

16

3

8

3

f f a b( ) [ , ]ξ =x ∈ −[ , ]2 2f x x( ) = −4 2

y

x

f f xx

– 2– x 22

4

FIGURA 1.30: El rectángulo que tiene área igual al área bajo la curva.

Sección 1.3.2 La búsqueda del teorema fundamentaldel cálculo

Imagina que tiene una función y = F(x) definida en el intervalo [a,b]. La pendiente de larecta secante que une los dos puntos extremos (a, F(a)) y (b, F(b)) está dada por

donde hemos definido Δx1 = b − a. De esta ecuación, tenemos

La cantidad f1Δx1 es el área de un rectángulo de base Δx1 y altura f1, como se muestra enla figura 1.32.

f x F b F a1 1Δ = −( ) ( )

fF b F a

b a

F b F a

x11

= −−

= −( ) ( ) ( ) ( ),

Δ


y

xa b

Fb

Fa

Δx1 = b – a

Fb – Fa

b – af1ff =

Δx1 = b – a

y

xa b

f1ff

Área1 = f1ff Δx1

FIGURA 1.31: Pendiente de la recta secante, unaprimera vista hacia la integración.

FIGURA 1.32: Relación entre el área de un rectánguloy la pendiente de una recta secante.

Dividamos ahora el intervalo original en dos subintervalos de igual longitud Δx1 =

y construyamos dos rectas secantes, una para cada subintervalo. Observa la

figura 1.30. Las pendientes de estas rectas son:

y ,

donde x1 = (a + b)/2 es el punto medio del intervalo. De estas expresiones, tenemos

Estas dos cantidades son precisamente las áreas de los dos rectángulos que se muestranen la figura 1.34. La suma de estas dos áreas da como resultado

f x f x F b F a1 1 2 2Δ Δ+ = −( ) ( )

f x F x F a f x F b F x1 1 1 2 2 1Δ Δ= − = −( ) ( ) ( ) ( ) y

fF b F x

x21

2

= −( ) ( )

Δf

F x F a

x11

1

= −( ) ( )

Δ

Δxb a

2 2= −

Repitamos ahora el proceso, considerando 4 subintervalos de igual longitud

. Las pendientes de las rectas secantes en este caso son

donde xi = a + iΔxi. Por otro lado, las áreas de los cuatro rectángulos mostrados en la fi-gura 1.36 son

Haciendo las cancelaciones de términos semejantes, si sumamos estas áreas obtenemos:

f x F b F ai ii

Δ = −=∑ ( ) ( )

1

4

f x F x F a f x F x F x f x1 1 1 2 2 2 1 3 3Δ Δ Δ= − = − =( ) ( ), ( ) ( ), FF x F x f x F b F x( ) ( ) ( ) ( )3 2 4 4 3− = − y Δ

fF x F a

xf

F x F x

xf

F x1

1

12

2 1

23= − = − =( ) ( )

,( ) ( )

,(

Δ Δ 33 2

34

3

4

) ( ) ( ) ( ),

− = −F x

xf

F b F x

xΔ Δ y

Δxb a

ii = − =4

1 2 3 4, , , ,


y

xa b

Fb

Fx1

Fa

Δx1 = x1 – a–

f1ff

f2ff

x1

Δx2 = b − x1

y

xa b

f1ff

Área1 = f1ff Δx1

Área2 = f2ff Δx2

Δx1 = x1 – ax1

Δx2 = b – x1

f2ff

FIGURA 1.33: Relación entre la pendiente de dosrectas secantes y el área.

FIGURA 1.34: Áreas de rectángulos con alturas igualesa las pendientes de las rectas secantes.

y

xa b

f1ff

x1

f2ff

x3x2

f3ff

f4ff

f1ff Δx1

f2ff Δx2

f3ff Δx3

f4ff Δx4

y

xa b

Fb

Fa f1ff

f2ff

x1 x2 x3

f3fff4ff

FxFF 1

FxFF 2

FIGURA 1.35: Relación entre la pendiente de rectassecantes y el área.

FIGURA 1.36: Áreas de cuatro rectángulos con alturas igua-les a las pendientes de las rectas secantes.

Pasemos al caso más general. Imagine que el intervalo [a,b] se divide en n subintervalos

de longitud con i = 1, 2,...,n. Considere ahora el subintervalo [xi, xi−1]; la

pendiente de la recta secante que une los puntos (xi−1, F(xi−1)) y (xi, F(xi)) está dada por

de donde

Sumando y haciendo las cancelaciones pertinentes, obtenemos

Observa que no importa el tamaño de la partición, pues siempre se obtiene el mismo re-sultado. Más aún, en el límite cuando n tiende a infinito, se tiene

(1.26)

De donde, usando la definición de integral definida,

En esta expresión la función f (x) es la función que se obtiene de considerar el límite delas pendientes de las rectas secantes. Es decir:

El resultado (1.26) es válido para cualquier otra función G(x) tal que G(x) = F(x) + C,donde C es cualquier constante real. En efecto, ésta sólo traslada verticalmente la grá-fica de F(x) que aparece en las figuras (1.31), (1.33) y (1.35) y no se afecta el procesoque seguimos.

Estos resultados, deducidos intuitivamente y con poco rigor, son la base del teoremaque nos interesa enunciar y demostrar, que es el fundamental del cálculo.

f xF x

x

dF

dxx( )

( )= =→

límΔ

ΔΔ0

f x dx F b F aa

b

( ) ( ) ( )∫ = −

límn

i ii

n

f x F b F a→∞ =

= −∑ Δ ( ) ( )1

f x F x F a F x F x F bi ii

n

Δ=∑ = −( )+ −( )+ +

11 2 1( ) ( ) ( ) ( ) (� )) ( ) ( ) ( )−( ) = −−F x F b F an 1

f x F x F xi i i iΔ = − −( ) ( )1

fF x F x

xii i

i

=− −( ) ( )

,1

Δ

Δxb a

ni = −


Teorema fundamental del cálculo (primera parte)

Si f es una función continua en un intervalo [a,b], entonces la derivada de la

función existe en [a,b] y además ,

para todo x ∈ [a,b].

F xd

dxf s ds f x

a

x

'( ) ( ) ( )= =∫F x f s dsa

x

( ) ( )= ∫

Demostración:

Sin perder generalidad, supón que h > 0. Así,

Por el teorema del valor medio para integrales existe ξ ∈ [x, x + h] tal que

De donde resulta que

Tomando en cuenta que f es continua en [a,b], por lo cual , y la defini-ción de derivada, tenemos que

Es decir,

Con lo cual queda demostrado el teorema fundamental del cálculo en su primera parte.

d

dxf s ds f x

a

x

( ) ( )∫ =

f x fF x h F x

hF x

h h( ) ( )

( ) ( )'( )= = + − =

→ →lím lím

0 0ξ

límh

f f x→

=0

( ) ( )ξ

fF x h F x

h( )

( ) ( )ξ = + −

f s ds f x h x hfx

x h

( ) ( ) ( ) ( )+

∫ = + −[ ] =ξ ξ

F x h F x f s ds f s ds

f s ds

a

x h

a

x

a

x

( ) ( ) ( ) ( )

( )

+ − = −

=

+

+

∫ ∫hh

x

a

x

x h

f s ds

f s ds

∫ ∫

∫

+

=+

( )

( )


Observaciones

1. En la figura 1.37 se muestra el área bajo la curva y = f (s) > 0 en el intervalo

a ≤ s ≤ x, que puede representarse por la función . De acuerdo

con el teorema fundamental, la derivada de esta función es f (x). En consecuen-cia, el teorema indica que los procesos de derivación e integración son inversos.

F x f s dsa

x

( ) ( )= ∫

f (s)

s = a s = xs

FIGURA 1.37: Representación gráfica de .f s dsa

x( )∫


2. Si el límite superior es una función h(x), derivable y continua para toda x, en-tonces, por el teorema fundamental del cálculo y la regla de la cadena tene-mos el siguiente resultado:

(1.27)d

dxf s ds f h x

dh x

dxa

h x

( ) ( )( )

( )

∫⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = ( )

Ejemplos

solución

solución

Ejemplo 1.15

Calcula la derivada de la función definida como

Usando la primera parte del teorema fundamental del cálculo tenemos.

Ejemplo 1.16

Calcula la derivada de la función

Apliquemos nuevamente el operador derivada

Dado que el límite superior es x3 haremos un cambio de variable. Sea u(x) = x3. De esta forma, usandola regla de la cadena tenemos

d

dxe ds

d

due ds

du

dxxs

a

xs

a

u3

3 2∫ ∫⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =. ee x eu x= 3 2 3

F xd

dxe dss

a

x

'( ) = ∫3

F x e dss

a

x

( ) = ∫3

d F x

dx

d

dxu du x

a

x( ) = =∫ 5 53 3

F x u dua

x

( ) = ∫ 5 3

Sección 1.3.3 Teorema fundamental del cálculo(segunda parte)

Antes de establecer la segunda parte del teorema fundamental, requerimos la siguientedefinición.


solución

solución

Ejemplo 1.17

Aplica el teorema fundamental del cálculo para calcular .

Nota que los límites de integración se encuentran invertidos, así que primero invertimos y después cal-culamos la derivada.

Ejemplo 1.18

Utiliza el teorema fundamental del cálculo para evaluar

Observa que no importa el nombre que utilices para la variable de integración; por esta razón se leconoce como variable muda. Así:

d

dzp dp z

b

zcos( ) cos( )2 2=∫

d

dzp dp

b

zcos( )2∫( )

d

dx rdr

d

dx rdr

x

a

a

x

1

1

1

12 2−

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ = −

−

⎛

⎝

⎜⌠⌡⎮ ⌠

⌡⎮⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ = −

−=

−1

1

1

12 2x x

d

dx rdr

x

a

1

1 2−

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

⌠⌡⎮

Definición 1.6

Una función F es una primitiva, antiderivada o integral indefinida de una fun-ción f, si en algún intervalo I se cumple f (x) = F '(x), para cada x ∈ I. Si el in-tervalo es I = [a,b] se pedirá, además, que f (a) = F '+(a) y f (b) = F '−(b), dondeF '+(a) es la derivada lateral derecha en x = a y F '−(b) es la derivada lateral iz-quierda en x = b.

En esencia, una primitiva responde a la siguiente pregunta: ¿qué función tiene la propie-dad de que su derivada produce como resultado una función previamente dada? Porejemplo, ¿qué función tiene x5 como derivada? Una posible respuesta sería F(x) = x6/6;pero existen una infinidad de resultados, todos relacionados entre sí.

En efecto, de acuerdo con el TFC, la función es una antiderivada de f,

ya que F ' (x) = f (x). Si en vez del límite inferior constante a, consideramos un valor di-

ferente, como c ∈(a,b), obtenemos una segunda función , que también esantiderivada de f. Con estas circunstancias:

Así demostramos que dos antiderivadas de una misma función difieren en una constan-te. Es decir, probamos la siguiente propiedad de las antiderivadas.

F x G x f s ds f s ds

f s ds f s

a

x

c

x

a

x

( ) ( ) ( ) ( )

( ) (

− = −

= +

∫ ∫

∫ ))

( )

ds

f s ds

x

c

a

c

∫

∫= = constante

G x f s dsc

x

( ) ( )= ∫

F x f s dsa

x

( ) ( )= ∫


Propiedad

Si , entonces, , donde C es una constante.F x G x C( ) ( )= +F x G x'( ) '( )=

Por esta razón, las antiderivadas o primitivas suelen escribirse como y reciben el nombre de integrales indefinidas. Utilizando, desde ahora esta notación, pa-ra las antiderivadas tenemos las siguientes propiedades, las cuales enunciaremos sin de-mostrar.

F x f x dx C( ) ( )= +∫

Propiedades de linealidad de la integral indefinida

a) , con k una constante.

b) f x g x dx f x dx g x dx( ) ( ) ( ) ( )+[ ] = +∫ ∫ ∫

k f x dx k f x dx( ) ( )= ∫∫

La primera propiedad indica que las constantes salen del símbolo de integración. La se-gunda afirma que la integral de una suma es la suma de las integrales. En la tabla 1.6 semuestran algunas integrales indefinidas básicas que serán muy útiles a lo largo de estetexto.

Estamos ahora en condiciones de enunciar y mostrar la segunda parte del TFC.


1. 14.

2. 15.

3. 16.

4. 17.

5. 18.

6. 19.

7. 20.

8. 21

9. 22.

10. 23.

11. 24.

12. 25.

13. cot( ) ln ( )v dv v C= +∫ sen

dv

v v a aarc

v

aC

2 2

1

−+

⌠⌡⎮ =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟sectan( ) ln cos( ) ln sec( )v dv v C v C= − + = +∫

dv

a v

v

aC

2 2−= +

⌠⌡⎮

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟arcsencsc( )cot( ) csc( )v v dv v C= − +∫

dv

v a a

v a

v aC

2 2

1

2−−+

+⌠⌡⎮ =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ln

( )

( )sec( ) tan( ) sec( )v v dv v C= +∫

dv

v a a

v

aC

2 2

1

++⌠

⌡⎮ =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟arctancsc ( ) cot ( )2 v dv v C= − +∫

csch( )coth( ) csch( )v v dv v C∫ = − +sec ( ) tan( )2 v dv v C∫ = +

sech( ) tanh( ) sech( )v v dv v C∫ = − +cos( ) sen( )v dv v C= +∫

csch ( ) coth( )2 v dv v C∫ = − +sen( ) cos ( )v dv v C= − +∫

sech ( ) tanh( )2 v dv v C∫ = +a dva

aCv

v

∫ = +ln( )

cosh( ) senh( )v dv v C∫ = +e d e Cv vv∫ = +

senh( ) cosh( )v dv v C= +∫dv

vv C

⌠⌡⎮ = +ln

csc( ) ln csc( ) cot( )v dv v v C= − +∫v dvv

nC nn

n

∫ =+

+ ≠ −+1

11;

sec( ) ln sec( ) tan( )v dv v v C= + +∫dv v C= +∫

Tabla 1.6: Tabla básica de fórmulas de integración.

Teorema fundamental del cálculo (segunda parte)

Si f es una función continua en el intervalo [a,b] y F es una primitiva de f en esteintervalo, entonces:

para todo x ∈[a,b]f s ds F x F aa

x

( ) ( ) ( ),∫ = −

Demostración del teorema fundamental. Segunda parte

Sea una primitiva de f. Como f es una función continua en el interva-

lo considerado y de acuerdo con la primera parte del teorema fundamental del cálculo,sabemos que Si F(x) es otra antiderivada, como dos antiderivadas de lamisma función difieren solamente por una constante, se tiene que

Si evaluamos en x = a y utilizamos que

obtenemos . Con este resultado:

De aquí concluimos que

con lo cual queda demostrada la segunda parte del TFC.

f s ds F x F aa

x

( ) ( ) ( ),∫ = −

G x F x F a( ) ( ) ( )= −

C F a= − ( )

G a f s dsa

a

( ) ( ) ,= =∫ 0

G x F x C( ) ( )− =

G x f x' ( ) ( ).=

G x f s dsa

x( ) ( )= ∫


Ejemplos

solución

Ejemplo 1.19

Determina el valor medio de la función f (x) = sen(x) sobre el intervalo [0,π].

Partiendo de la definición correspondiente, tenemos

Ejemplo 1.20

Usa el teorema fundamental del cálculo para encontrar una función F(x), cuya derivada sea x2 − 1 y quetome el valor de 6 cuando x sea igual a 3.

f x dx x[ , ] sen( ) cos( )00 0

1 1 2π

π π

π π π= = −( ) =∫


solución

En esencia, se busca una función F(x) tal que y que, además, cumpla la condición

F(3) = 6. Con base en el teorema fundamental del cálculo, la función buscada debe tener la forma

Ahora,

De aquí que la función buscada sea

donde hemos utilizado las fórmulas 1 y 2 de la tabla 1.6.

F x s dss

sx

xx x

( ) ( )= − + = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ = −⎛⎝⎜∫ 2

3

3

3

3

1 63

63

⎞⎞⎠⎟

− −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + = −27

33 6

3

3xx,

6 3 12

3

3

= = − + =∫F s ds C C( ) ( )

F x s ds Cx

( ) ( ) .= − +∫ 2

3

1

d F x

dxx

( ) = −2 1

1. En cada uno de los siguientes incisos, encuentra una primitiva de f y después aplique la segunda parte

del teorema fundamental del cálculo para hallar

a) b)

2. Calcula las siguientes integrales definidas:

f x x x( ) sen( )= +3 2 5f x xx

x( ) ,= + >22

0

I f x dxa

b

= ∫ ( )

a)

b)

c)

d ) para cualquier x real.

e) para cualquier x real.

f ) 1 2

2

0

4

+⌠⌡⎮

sen ( )

cos ( )

x

xdx

π

t t dtx

+( )∫ 2

0

,

t dtx

0∫ ,

x x dx2

0

4

4 3− +∫

3 31

4

− −( )∫ x dx

sec ( )2

6

6

x dx−∫π

π


3. Considera la gráfica quebrada de la figura 1.38 que corresponde a una función f.

0 1 2 3 4 5

2

4

6

8

10

FIGURA 1.38: La función F es la función que proporciona el área bajo la curva y = f (x).

a) Calcula

b) Si , encuentra una fórmula para F y obtén la gráfica de y = F(x)

4. En cada uno de los siguientes incisos, la función f es continua y satisface la ecuación dada.

a) Si , calcula y .

b) Encuentra una función f y un valor de la constante C tal que .

c) Halla una función f y un valor de la constante C tal que .

5. Encuentra la derivada de las siguientes funciones:

a) ; b) ;

c) ; d)

6. Una función definida en todo � satisface que . Encuentra un polinomio cua-

drático p(x) = a + bx + cx2 tal que , y p''(0) = f ''(0).p f' ( ) ' ( )0 0=p f( ) ( )0 0=

f xsen t

tdt

x

( )( )= + +

+⌠⌡⎮3

1

2 2

0

F x t t dtx

x

( ) = + +∫ 4 2 41

F x t dtx

x

( ) = +( )∫ 3 10

3

13

F x t dtx

( ) = +∫ 43

0

12

F xt

tdt

x

( ) =+

⌠⌡⎮

3

22

4

t f t dt x x xx

c

x

( ) ( ) cos( )∫ = − −sen2

2

f t dt xC

x

( ) cos( )∫ = − 1

2

f 'π4

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟f

π4

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟f t dt x x x x

x

( ) sen( ) cos( )0

21

22

1

22∫ = − + + +

F x f x dxx

( ) ( )= ∫0

f x dx( )0

5

∫


7. Calcula

8. La distribución vertical de la velocidad del agua en un río se puede representar con la fórmula v =c (D − h)1/6, donde v es la velocidad (en m/s) a una profundidad de h metros bajo la superficie del agua,D es la profundidad del río y c es una constante positiva.

a) Establece una fórmula para la velocidad media vmed en términos de D y c.

b) Comprueba que donde v0 es la velocidad del agua en la superficie.

9. Considera la función , definida en . Determina:

a) Las raíces de la función.

b) Los intervalos donde la función crece y donde decrece.

c) Los intervalos donde la función es cóncava hacia arriba y donde sea cóncava hacia abajo.

d) La gráfica de la función.

10. Sea g una función continua en � tal que g(1) = 5 y . Calcule: a) f '(x); b) f ''(1) y f '''(1), si

11. La velocidad mínima que se requiere para que un objeto escape de la atracción gravitatoria de un pla-neta se obtiene resolviendo la ecuación

donde v0 es la velocidad inicial del objeto lanzado desde el planeta; r0 es el radio del planeta; v es lavelocidad del objeto a una distancia r del centro del planeta; G es la constante de gravitación universaly M es la masa del planeta.

a) Encuentra una relación entre v, v0, r y r0

b) Usa esta expresión para determinar la velocidad mínima requerida para que un objeto escape de uncuerpo de masa M.

c) Determina la velocidad de escape de la Tierra.

12. a) Si An y Bn son las áreas sombreadas de la siguiente figura, calcula An + Bn.

b) Si en la figura 1.39 se representa el área del rectángulo más grande, y A la del más pequeño, ¿quérelación existe entre An, Bn, A y B? Calcula nuevamente la suma An + Bn usando la relación encontrada.

c) Establece una relación entre An y Bn .

vdv GMdr

rc

v

v

r

r

00

2∫ = − +⌠⌡⎮

,

f x x t g t dtx

( ) ( ) ( )= −∫1

22

0

g t dt( ) =∫ 20

1

− ≤ ≤3 3xF x e dttx

( ) = −

−∫

2

3

v vmed = 6

7 0

d

dxt dt dx

x

3 12

2

1

4

−( )⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟∫

⌠

⌡⎮⎮ .



13. Una función desconocida y = f (x) > 0 tiene la propiedad de que el área comprendida entre su gráfica yel eje x en el intervalo [0, x] es igual a la ordenada del punto P(x, y). Halla la función que satisface es-ta condición y que además pasa por el punto P0(0, 1).

b

f (x) = xn

An

Bn

a

FIGURA 1.39: Relación entre las áreas An y Bn.


1. Alud en la autopista México-Toluca. Ofrece alguna solución a la situación que se presentaen la introducción del capítulo.

2. Funciones definidas por integración. En diversas áreas de la ciencia y la ingeniería apare-cen funciones que se resuelven usando integrales definidas. A continuación se muestrancuatro integrales que definen cuatro funciones en �.

Integral seno de Fresnel Integral coseno de Fresnel Función error Función integral senoidal

a) Investiga en qué áreas aparecen estas funciones y su utilidad.

b) Considera la función S(x) y ahora

i. Calcula su derivada. ii. Determina sus extremos relativos.

iii. Establece las regiones de concavidad de la función.iv. Con estos elementos, elabora un esbozo de la gráfica de la función.v. Utiliza algún paquete computacional o dispositivo graficador para construir la

gráfica de la función y compararlo con tu resultado.

c) Repite los puntos del inciso anterior para las otras tres funciones.

Si xt

tdt

x

( )sen( )= ⌠

⌡⎮0

erf( )x e dttx

= −∫2 2

0πC x

tdt

x

( ) cos=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⌠

⌡⎮

π 2

0

2S x

tdt

x

( ) sen=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⌠

⌡⎮

π 2

0

2


3. Compra y venta de maquinaria. Una empresa compra maquinaria con un valor inicial V0.Por experiencia, se sabe que aquella se deprecia linealmente, de acuerdo con la ecuación

Además, se sabe que los costos de mantenimiento en el tiempo aumentan de forma propor-cional al cuadrado del tiempo de servicio de la maquinaria. Es decir:

,

de tal suerte, que los costos en el tiempo de la maquinaria están dados por

a) Determina el costo promedio al tiempo t de servicio de la maquinaria.

b) Establece el tiempo en el cual se tiene el costo promedio mínimo.

c) Explica por qué se sugiere cambiar la maquinaria en el tiempo obtenido en el incisoanterior.

costos( ) ( ) ( )t dep t man t V kt t= + = −( )+α β02

man t t( ) = β 2

dep t V kt( ) = −( )α 0

Autoevaluación

1. Calcula F '(−1), si

a) 0 b) c) −1 d )

2. Obtén la derivada de la siguiente función

a) b) c) d )

3. Calcula el valor promedio de la función f (x) = 4 + 3sen(x) en el intervalo [0,π]:

a) 4.00 b) 7.00 c) 18.56 d) 5.91

4. Establece el área bajo la curva f (x) = x5 + 2x4 + 2x + 3 en el intervalo [0, x]:

F xx

x'( ) =

+1 3F x

x

x'( ) =

+2 6F x

x

x'( ) =

+1 6F x

x

x'( ) =

+1 8 3

F xdx

x

x

( ) =+∫

2 2 32

2

− 22

F x t t dtx

( ) = +∫ 211

a)

b)

c)

d) área x x x x= + + + +1

6

2

53 56 5 2

área x x x= + + +1

6

2

535 4

área x x x x= + + +6 5 22 3

área x x x x= + + +1

6

2

536 5 2


5. Considera la función de área , donde

Observa la figura 1.40. Determina el valor de a para el cual F(a) = 5.

a) 1.5684 b) 2.1516 c) 1.8642 d) 2.71548

f tt t t

tt

( ) =+ ≤ ≤

+ < ≤

⎧⎨⎪

⎩⎪

2 0 1

3

21 3

si

si F x f t dt

x( ) ( )= ∫0

a0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

1 1.5 3

FIGURA 1.40: Problema 3 de autoevaluación.

Respuestas a los


1. a) ;

b) ;

2. a) ; b) ; c) 4; d) ; e) ; f )

3. a) 14; b)

F x

x x

xx

x

xx

( )

,

,

,

=

≤ ≤

− − < ≤

− + <

2 0 1

32

1

21 3

53

215

5

23

2

2

xx ≤

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪ 5

24

− π2

3

2xx x+( )x

x2

13

2

2

3

I b a b a= −( ) − ( ) − ( )( )1

336 6 cos cosF x

xx c( ) cos= − ( )+

6

33

I b a= −( )23

23

2F x x c( ) = +23

2

2

4

6

8

10

12

14

1 2 3 4 5


4. a) ; ; b) f (t) = –sen(t), ; c) f (t) = sen(t) − 1, C = 0

5. a) ; b) ; c) ; d)

6.

7. –111

8. a)

9. a) La gráfica tiene una raíz en x = −3.

b) La función es creciente en todo su dominio.

c) La función es cóncava hacia arriba en (−3,0),cóncava hacia arriba en (0,3) y tiene un punto de inflexión en x = 0.

d) La gráfica de la función es la siguiente.

10. a) ; b) f '' (1) = 2; f ''' (1) = 5

11. a) ; b) ; c)

12. a) bn+1 − an+1; b) An + Bn = B − A; c) An = nBn

13. f (x) = ex

v m s0 11 174≈ . /vGM

R02=v v GM

y R2

02 2

1 1= + −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

f x x g t dt t g t dtx x

'( ) ( ) ( )= −∫ ∫0 0

v cDmed = 6

71 6/

p x x x( ) = + +31

2

1

42

4 1 4

2

4 2

4

2x x

x

x x

x

+ + + + +− +( ) + +( )3 27 1 3 13 10 2 9 10

x x x2 183x x +

4

2

7

12

x

x +

C = π3f '

π π4

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −f

π π4 2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =


1. b) 2. b) 3. d) 4. a) 5. c)

21– 2– 3– 3– – 1–

1.75

Referencias


2. Courant, R.y John, F., Introducción al cálculo y al análisis matemático, vol. I, México, Limusa, 1982.3. Etgen, G. y Salas, Hille. Calculus, vol. I , 4a. ed., Barcelona, Reverté, 2002.4. Prado, Santiago, et al., Precálculo, México, Pearson Educación, 2006.5. Rivaud, J., Ejercicios de análisis, Madrid, Reverté, 1975.6. Seeley, R., Cálculo de una y varias variables, México, Trillas, 1978.

73

Unidad

Métodos de integración


2.1 Método de sustitución y ecuaciones diferenciales

2.2 Integración por partes

2.3 Integrales de potencias trigonométricas

2.4 Método de sustitución trigonométrica

2.5 Integración por fracciones parciales

2.6 Sustituciones diversas

2.7 Integración numérica

2.1 Método de sustitución y ecuaciones

diferenciales

La razón de ser de un matemático noes otra que la de resolver y proponer

problemas, pues dicha actividadconstituye el corazón de las

matemáticas.

P. R. Halmos

¿Inocente o culpable?

El viernes 13 de enero de 2006, a las cinco de la tarde, Juan y Jorgediscutían de forma acalorada por motivos personales. La pelea alcanzótintes dramáticos y Juan aseguró que Jorge moriría esa noche. Despuésde la riña, Juan se dirigió a la casa de su novia, Raquel, quien lo ha-bía invitado a la cena del aniversario de bodas de sus padres. Despuésde bailar con Raquel y cansado de las actividades de la mañana, Juanse fue a su casa, a las 11 de la noche. A las tres de la mañana, agentespoliciacos lo detuvieron: era el principal sospechoso del homicidio deJorge. Cuando lo aprehendieron, Juan argumentó que después de lacena se había dirigido a su hogar y que había olvidado el incidente consu amigo, a quien realmente estimaba mucho.

Cerca de las 12 de la noche, la policía recibió una llamada anóni-ma, la cual reportaba que Jorge había sido asesinado en un parquemuy cercano a la casa de Juan. La policía llegó al lugar, exactamentea las 24:00 horas. El oficial al mando del caso reportó que, en esepreciso momento, las temperaturas del cuerpo del fallecido y del medioambiente eran 29° C y 10° C, respectivamente, y que una hora después—tiempo durante el que revisó la escena del crimen—, la temperaturade Jorge era 25° C y la del sitio había descendido 2° C. También indi-caba que se esperaba lluvia y que el frío era intenso.

Durante el juicio, la parte acusadora insistió en que Juan era elasesino, pues en la ropa de Jorge se habían encontrado huellas de las

manos de aquél y que, además, Juan había tenido el tiempo suficiente para llevara cabo el crimen, ya que para llegar de la casa de Raquel al lugar del homicidiosólo se necesitaban 25 minutos.

La defensa de Juan, asesorada por un equipo técnico, argumentó que su clienteno podía haber estado en el parque a la hora señalada, porque el crimen ocurriócuando éste todavía estaba en la casa de Raquel y que, si se tomaban en cuentalos 25 minutos de distancia entre ambos sitios, se podía asegurar que el homicidahabía sido otro. Finalmente, los abogados indicaron que ni siquiera suponiendoque la razón del cambio de la temperatura corporal fuera proporcional a la diferen-cia de la temperatura del occiso con la del medio ambiente, elevada a las potencias1, 2 o 3, se podría asegurar que Juan había sido el responsable.

De acuerdo con los datos, ¿hay evidencia suficiente para determinar que Juanes inocente? ¿Qué sentencia debería dictar el juez responsable del caso?

74 Unidad 2: Métodos de integración

FIGURA 2.1: Juan y Raquel, bailando.¿Juan es inocente?

Introducción

En el proceso de integración encontramos funciones que, en general, no tie-nen el aspecto de las integrales inmediatas, expresadas en la tabla de integra-les básicas de la sección anterior. Por ello, es necesario desarrollar estrategiasque permitan calcular integrales de funciones complicadas. El primero queestudiaremos es el de sustitución o de cambio de variable, que es la base detodos los demás procedimientos. Además, lo aplicaremos para resolver ecua-ciones diferenciales sencillas. Al final, estableceremos algunos modelos físi-cos interesantes en los que este método resulta fundamental para encontrarlas soluciones.

Sección 2.1.1 Método de sustitución

En muchos casos, el cálculo de una integral complicada requiere de algunos cambios devariable que transformen la integral en otra más simple, donde se identifique rápidamen-te una antiderivada. Ésta es la idea básica del método de sustitución. Con la finalidad decomprender mejor la idea, supón que quieres calcular la siguiente integral:

Si definimos la función u = e5x2, tenemos

du = 10xe5x2dx, de donde

La integral se transforma usando estos resultados

Con ello hemos encontrado una antiderivada de la función original; para mostrar que elcálculo es correcto basta con derivar la última expresión.

En general, si F es una antiderivada de f, entonces,

Si, además, u = g(x) de la definición de diferencial, sabemos que du = g'(x)dx, en conse-cuencia

que es coherente con la regla de la cadena de derivadas. Este resultado lo formalizamoscon el siguiente teorema, que enunciaremos sin demostración.

F g x f g x g x dx C( ( )) ( ( )) '( )= +∫

F u f u du C( ) ( )= +∫

Idu

uC

e Cx

=

= +

= +

⌠⌡⎮ 3

103

103

105 2

integrando,

sustittuyendo u

duxe dxx

105 2

=

I xe dxx= ∫ 3 5 2

752.1: Método de sustitución y ecuaciones diferenciales

Objetivos


• Enunciar y aplicar la regla de la cadena para antiderivadas.• Calcular integrales mediante el método de sustitución.• Resolver ecuaciones diferenciales básicas con el método de

separación de variables.• Modelar fenómenos de diferente tipo utilizando ecuaciones

diferenciales.

Para el caso de las integrales definidas, tenemos el teorema equivalente.


Teorema 2.1: Cambio de variable para integrales indefinidas

Sea u = g(x) una función derivable en algún intervalo donde la función f seacontinua. Entonces,

f g x g x dx f u du( ( )) '( ) ( )∫ ∫=

Teorema 2.2: Cambio de variable para integrales definidas

Si g'(x) es continua en a ≤ x ≤ b y f (x) es continua sobre la imagen de g(x), en-tonces,

f g x g x dx f u dua

b

g a

g b

( ( )) '( ) ( )( )

( )

∫ ∫=

Demostración:

Sea F(x) una antiderivada de f (x), entonces,

Recomendamos emplear el método de sustitución cuando aparezca una integral compli-cada, ya que una primera simplificación ayudará a decidir el siguiente paso. Sin embar-go, en algunos casos no basta con un primer cambio de variable y, en cambio, quizá seanecesario un segundo cambio o varios más. La práctica le permitirá determinar cada vezcon mayor facilidad el cambio adecuado. Por otro lado, existen dos errores comunescuando se utiliza el método de sustitución. El primero consiste en no transformar ade-cuadamente la integral, y dejar el integrando en términos de las variables nueva y vieja.El segundo es transformar el integrando, pero no los límites de integración. Recuerdasiempre que debe cambiar los límites y reescribir el integrando sólo en términos de lanueva variable. Tomando en cuenta dichas observaciones, establecemos el método desustitución

f g x g x dx F g xa

b

a

b( ( )) '( ) ( ( ))∫ = por el teorema dee integrales definidas,

eva= −F g b F g a( ( )) ( ( )) lluando,

tomando y = ==

F u u uu g a

u g b( ) ( )

( )

1

2

1 2 ccomo límites de la variable u

f u dug a

,

( )( )

=gg b( )

∫ por la definición de antiderivada.


Método de sustitución

1. Propón un cambio de variable u = g(x).

2. Si es necesario y posible, despeje x; si no, busque una función de apoyo.

3. Calcula du = g'(x)dx.

4. Obtén los límites de la variable u considerando u(x = a) = g(a) y u(x = b) = g(b).

5. Reescribe la integral en términos de la variable u, utilizando los resultadosanteriores.

Ejemplos

solución

Ejemplo 2.1

Calcula las siguientes integrales:

a)

b)

c)

Para estas tres integrales, el cambio de variable es inmediato.

a) En el primer caso, proponemos el argumento de la función como el cambio de variable u = 2x + 1.

Al diferenciar, resulta du = 2dx, y al despejar dx obtenemos . Así,

I x dxu du

= +

=

∫ cos( )2 1

2

� � identificando términos

ccos( )udu

21

∫

=

haciendo el cambio de variable

22sen( )u C+ sacando constantes de la integral e integrando

sustituyendo = + +1

22 1sen( )x C u

dxdu=2

I x dx= −∫ sec ( )2 2 3

Ix

dx=+

⌠⌡⎮

2

1 5

I x dx= +∫ cos( )2 1


solución

b) Ahora proponemos u = 1 + 5x, de aquí tenemos du = 5dx, despejando . Entonces,

c) Ahora proponemos u = 2 − 3x, de donde du = −3dx, despejando . Así,

Ejemplo 2.2

Calcula la integral

De entrada, observa que el término x2 está relacionado con la derivada de x3. Si hacemos la sustitución

u = x3 + 1, tenemos que su diferencial es du = 3x2dx, de donde . Al reunir tales resultados,

expresamos la integral en términos de la variable u:

Una antiderivada de u1/2 es . Así,u

C u C3 2

32

3 22

3

//+ = +

( ) //

x x dxu

duu du

3 1 2 2

3

1 2

13

+ =⌠

⌡⎮

⌠⌡⎮� �

dux dx

32=

I x x dx= +∫ 2 3 1

I x dxu du

= −−

∫ sec ( )2

3

2 3 �� identificando términnos

haciendo el cambio de va= −⌠⌡⎮

sec ( )2

3u

durriable

sacando constantes de la= − +1

3tan( )u C integral e integrando

susti= − − +1

32 3tan( )x C ttuyendo u

dxdu= −3

Ix

dx

u

du

=+

=

⌠

⌡

⎮⎮⎮

2

1 5

5

�

�identificando términos

22

52

5

u

du⌠⌡⎮

=

haciendo el cambio de variable

lnn u C+ sacando constantes de la integral e inttegrando

sustituyendo = + +2

51 5ln x C u

dxdu=5


solución

solución

Finalmente, al sustituir el valor de u, obtenemos

Ejemplo 2.3

Calcula la integral

Observa que cos(x5) es una función compuesta, de manera que podemos realizar la sustitución u = x5,de donde du = 5x4dx. De esta forma, después de hacer el cambio de variable e integrar, la integral I seexpresa como

Finalmente, al sustituir u obtenemos

Ejemplo 2.4

Calcula la integral

En este caso, la integración resulta casi inmediata, ya que si definimos u = x3 − x, entonces du = (3x2 − 1)dx;de manera que, al sustituir e integrar resulta

En términos de la variable original, obtenemos

I = ex3− x + C.

Ejemplo 2.5

Determina el área limitada por la curva arriba del eje x, entre las rectas x = 2 y x = 5.y x x= −2 12

I x e dx e du e Cx x u u= − = = +−∫ ∫( )3 12 3

I x e dxx x= − −∫ ( )3 12 3

I x C= +1

55sen( )

I x x dxf u du

= =⌠⌡⎮

1

55

1

55 4cos( )( ) cos

( ) �� (( ) sen( )u du u C∫ = +1

5

I x x dx= ∫ 4 5cos( )

I x C= + +2

913 3 2( ) /

I u duu

C u C= = ⋅ + = +∫1

3

1

3

2

3

2

91 2

3 23 2/

//


solución

Para determinar el área basta, calcular la integral . Como se define, cualquier cambio

de variable que hagamos modificará los límites de integración. El cambio que proponemos es u = x2 − 1,su diferencial es du = 2xdx, y los límites de la variable u son u(x = 2) = 3 y u(x = 5) = 24. El área bus-cada y el área transformada por el cambio de variable se muestran en la figura 2.2.

I x x dx= −∫ 2 12

2

5

50

40

30

20

10

– 1– 1 2 3 4 5 6x

y

a) b)

u

v

– 1–252015105

1

2

3

4

5

FIGURA 2.2: En a) se muestra el área buscada en un sistema de ejes x, y. En b) se muestrael área transformada mediante el cambio de variable. Ambas producen el mismo resultado.

Reunimos estos resultados en la línea siguiente:

Cambio de variable Diferencial Límites

u(x = 2) = 3u = x2 − 1 du = 2xdx

u(x = 5) = 24

De esta manera,

I x xdx

udu

52 1 2

2

5

1 21 2

= −⌠⌡⎮

( ) /

/

�� identificanndo términos y sustituyendo u

u du= =∫ 1 2

3

24 2/

33

2

324

2

33 74 919

3 2

3

24

3 2 3 2

u /

/ /( ) .

integrando

= − = 66 evaluando


solución

Ejemplo 2.6

Calcula el área de la región sombreada de la figura 2.3.

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0.80.60.40.2 1

y =ex + 1 + 1

ex

FIGURA 2.3: Cálculo del área de la región sombreada.

Para determinar el área, basta con calcular la integral

Proponemos u = ex + 1 como un primer cambio de variable para simplificar la integral; su diferencial ylos nuevos límites se muestran en las siguientes líneas.

Ae dx

e

x

x=

+ +

⌠⌡⎮

1 10

1


u(x = 0) = 2u = ex + 1 du = exdx

u(x = 1) = e + 1

Con este cambio la integral, se transforma en

Ahora proponemos como un segundo cambio. Observa que para calcular du necesitamosdespejar u antes, el resumen del cambio se muestra a continuación.

v u= +1

Adu

u

e

=+

+

⌠⌡⎮ 12

1


Así, obtenemos

Ejemplo 2.7

Calcula el área y el valor promedio de las siguientes funciones en el intervalo [−1, 1].

a)

b)

c) h xex( ) =

+1

1

g xe

e

x

x( ) =+

2

1

f xe

e

x

x( ) =+1

Av dv

v

v

e

= −

= −⎛⎝⎜

⎞

+

+ +

⌠⌡⎮

2 1

22

2 1

1 1

( )sustituyendo

⎠⎠⎟= −

+

+ +

++ +⌠

⌡⎮dv v v

e

e

2 1

1 1

2 1

1 12 2 ln( ) integrandoo

evalu= + +( )− +( )− + +( ) + +( )2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1e eln ln aando

≈ 0 642056.


u = (v − 1)2du = 2(v − 1)dv

v u e e( )= + = + +1 1 1

v u( )= = +2 2 1v u= +1

solución

a) Para determinar el área sólo necesitamos calcular la integral de la función, ya que ésta es positiva enel intervalo proporcionado. Usemos el cambio de variable u = ex + 1; la diferencial y los límites deintegración se muestran en la siguiente línea de apoyo:


u = ex + 1 ;

despejando ex se tiene du = exdx

u(1) = 1 + eex = u − 1

u ee

e( )− = + = +−1 1

11


Entonces,

Finalmente, el valor promedio se obtiene dividiendo el área entre la longitud del intervalo. Es de-cir, f

–[−1, 1] = 1/2.

b) Hacemos exactamente el mismo cambio del inciso anterior. Tenemos ahora

Nuevamente, el valor promedio se obtiene dividiendo el área entre la longitud del intervalo. Obtene-mos así g

–[−1, 1] ≈ 0.675201.

c) En este último caso, primero reescribimos el integrando como sigue

Considerando

1

1

1

1 1e e e

e

ex x x

x

x+=

+=

+−

−

−( )

área ge dx

e

e e dx

e

x

x

x

u

x

du

x

u

( ) =+

=+

−

−

⌠⌡⎮

2

1

11

1 1

��

�−−

+

⌠

⌡

⎮⎮⎮

= −

1

1

1

identificando términos

( )

(

u du

ue 11

1

1

1

11

)/ ( )/e

e

e e

e

udu

+

+

+

⌠⌡⎮

⌠⌡⎮

= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ simplifficando

integrando= −⎡⎣ ⎤⎦

= +

+

+u u

e e

eln

[

( )/1

1

1 ee ee

e

e

e− + − + − +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

ln( )] ln11 1

evaluandoo

= − − ≈−e e 1 1 1 350402.

área fe dx

e

du

u

x

x

e e

e

( )

( )/

=+

=− +

+⌠⌡⎮

⌠⌡⎮1

1

1

1

1

sustiituyendo

integrando=

= + −

++ln

ln( ) l

( )/u

e

e e

e

1

1

1 nn

ln( )

e

e

e

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

1evaluando y simplificando

== 1


u = −x du = −dx u(−1) = 1; u(1) = −1

tenemos

donde identificamos la integral que apareció en el cálculo del área de la función f. Finalmente, el va-lor promedio es: h

–[−1, 1] = 1/2.

área he dx

e

e du

e

ex

x

u

u

u

( ) =+

= −+

=−

−

−

−

⌠⌡⎮

⌠⌡⎮1 1

1

1

1

1

ddu

eárea fu +

= =−

⌠⌡⎮ 1

1

1

1

( )

Sección 2.1.2 Ecuaciones diferenciales

Las ecuaciones diferenciales son el lenguaje natural para describir fenómenos de diver-sas áreas de la ciencia y la ingeniería. Sin profundizar, expresamos que una ecuación di-ferencial es una relación que incluye una función y sus derivadas; su objetivo consiste endeterminar la función que satisface tal relación. Aquí juegan un papel vital los métodosde integración; sin embargo, el campo de las ecuaciones diferenciales es tan amplio quesólo trataremos las llamadas ecuaciones diferenciales separables de primer orden. Paraempezar, mencionaremos la siguiente definición.


Ecuación diferencial separable de primer orden

1. Una ecuación diferencial es de variables separables si se puede escribir como

y ' = f (x)g(y) (2.1)

2. La expresión H(x, y) = 0 es solución, si al sustituir x, y y y ' en la ecuación di-ferencial se produce una identidad.

3. H(x, y) = 0 es solución de la ecuación diferencial con la condición inicialy(x0) = y0 si es solución y, además, H(x0, y0) = 0.

Por ejemplo, la ecuación diferencial con la condición inicial y(3) = 5 tiene como

solución . En efecto, como y' = 5/3 y obtenemos, al sustituir en la ecuación

diferencial, la identidad . Además, el punto (3, 5) está en la recta .

Por otro lado, para resolver una ecuación de variables separables, sólo tenemos quereescribir la ecuación con las variables separadas. Es decir,

Después, buscamos las antiderivadas de las funciones que aparecen en cada extremo dela ecuación. Estas antiderivadas difieren en una constante: si G(y) y F(x) son primitivas

de y f(x), respectivamente, entonces, G(y) = F(x) + C. Si además la ecuación tiene

la condición inicial y(x0) = y0 entonces G(y0) = F(x0) + C, de donde C = G(y0) − F(x0).Así, obtenemos G(y) − G(y0) = F(x) − F(x0). Como G y F son antiderivadas, entonces porel teorema fundamental del cálculo

f x dx F x F x G y G ydy

g yx

x

y

y

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

00

0 0∫ = − = − = ⌠⌡⌡⎮

y

g y

'

( )

y

g yf x

'

( )( )=

y x= 5

35

3

5

3≡

y

x= 5

3y x= 5

3

yy

x' =

En resumen, la solución de la ecuación diferencial (2.1) con la condición inicial y(x0) = y0está dada por la expresión

(2.2)f x dxdy

g yx

x

y

y

( )( )

00

∫ = ⌠⌡⎮


Ejemplos

solución

Ejemplo 2.8

Resuelve la ecuación diferencial

Con la condición inicial y(0) = 1.

Sólo necesitamos separar las variables

La solución se obtiene integrando ambos lados de esta ecuación. Si consideramos la condición inicial,obtenemos

Ejemplo 2.9

Carlos saca un vaso de agua fría del refrigerador y lo deja sobre una mesa. El día está soleado y la tem-peratura es de 30° C. Una vez afuera del refrigerador, la temperatura del agua era de 0° C y después de10 minutos subió a 15° C. Determina una ecuación diferencial que modele el cambio de la temperatu-ra en el tiempo, suponiendo que la razón a la que cambia la temperatura de la bebida es proporcional:

a) a la diferencia entre su propia temperatura y la del medio que lo rodea.

b) al cuadrado de la diferencia entre su propia temperatura y la del medio que lo rodea.

dy

yx e dx

y e

y

y

xx

y

y x

x

x1

2

0

1 0

33

0

3

0

⌠⌡⎮

=

=

=

∫

= =ln

ln( ) ee

y e

x

ex

3

3

11

−

= −

dy

yx e dxx= 3 2 3

dy

dxx yex= 3 2 3


solución

a) Establezcamos el modelo matemático de la situación. Para ello, observa que:

• La frase “razón a la que cambia la temperatura” nos indica que se está hablando de la derivada de

la temperatura en el tiempo .

• La frase “proporcional a la diferencia de la temperatura y el medio” significa k(30 − T ).

De modo que la ecuación diferencial que buscamos es

Resolvemos la ecuación separando las variables y usando T(0) = 0. Obtenemos

Al tomar la exponencial a ambos lados y despejar T,

De las condiciones del problema, sabemos que T(10) = 15, entonces,

15 = 30(1 − e−10k)De donde concluimos que

k = 0.0693147

Finalmente, la función de temperatura en el tiempo es

T = 30(1 − e−0.0693147t)

b) En este caso, la ecuación diferencial que buscamos es:

Nuevamente usamos separación de variables y T(0) = 0 para resolver la ecuación, por lo que

kdtdT

T

ktT

tT

02

030

1

30

1

30

∫ =−

=−

−

⌠⌡⎮ ( )

dT

dtk T= −( )30 2

eT

T e

kt

kt

−

−

= −

= −

30

3030 1( )

kdtdT

T

kt

t T

0 030∫ =

−

= −

⌠⌡⎮

separando variables,

lnn( ) ln( )

ln

30 30

30

30

− +

− = −⎛⎝⎜

⎞⎠

T

ktT

integrando,

⎟⎟ simplificando.

dT

dtk T= −( )30

dT

dt


Al despejar T:

Si usamos ahora T(10) = 15, obtenemos

De donde concluimos que

Finalmente, la función de temperatura en el tiempo es

Las gráficas de las dos funciones obtenidas se muestran en la figura 2.4. Observa que ambas curvas tie-nen concavidad hacia abajo y cumplen las condiciones del problema. Para decidir cuál modela mejor,es necesario contar con un número mayor de datos experimentales.

Tt

t=

+30

10

k = 1

300

159000

1 300=

+k

k

Tkt

kt=

+900

1 30

10

t min

T °C

2020

3030

4040

– 10–– 1010–

10 2020 30 4040

FIGURA 2.4: Curvas de temperatura en el tiempo obtenidas con los modelos del ejemplo 2.9.Con línea sólida se muestra el modelo a) y con línea punteada el modelo b).

solución

Ejemplo 2.10

A un tanque de 30 litros de agua pura se le agrega salmuera (agua con sal) con una concentraciónde 2 gramos/litro a una velocidad de 4 litros/seg. La mezcla bien revuelta sale a la misma velocidad.Determina la cantidad de sal que hay en el tanque como función del tiempo.

Supón que A(t) es la cantidad de sal al tiempo t, que ce y c son las concentraciones de entrada y saliday que v es la velocidad de salida y entrada de la mezcla. En un intervalo de tiempo dt, la cantidad desal que cambia es dA. Por otra parte, la cantidad de sal que entra es cevdt y la que sale cvdt, así que

dA = cevdt − cvdt


Observa que el volumen V0 no cambia porque las velocidades de entrada y salida son iguales. Enton-ces, la concentración c se relaciona con la cantidad de sal y el volumen mediante

Al usar los dos últimos resultados, tenemos la ecuación diferencial que modela la situación:

Al sustituir los datos de nuestro problema y considerar que A(0) = 0, tenemos

Al separar variables e integrar:

Finalmente, despejamos la variable A:

A = 60 − 60e−2t/15 gramos

Observa que si el proceso continúa indefinidamente, la cantidad de sal se acercará a 60 gramos.

2

15 60

2

1560

2

1

0 0

00

dt dA

A

tA

t

t A

t

t

A

A

∫ ∫=−

= − −=

=ln( )

55

60

60=

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ln

A

dA

dt

AA= −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ = −4 2

30

2

1560( )

dA

dtv c

A

Ve= −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

0

cA

V=

0

1. Usa el método de sustitución para calcular las siguientes integrales.

a)

b)

c)

d )

e)

f )

g)

h)

i)

j)

k) cos( )x dx+∫ 12

0

π

dx

ex2 +⌠⌡⎮

(ln( ))x

xdx

p⌠⌡⎮

tan( )

cos ( )

x

xdx2

⌠⌡⎮

dx

ex1+⌠⌡⎮

dx

x1 1+ +⌠⌡⎮

11 13

2+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−⌠⌡⎮ z z

dz

x x

x xdx

2

2 3 44 3 2

+− −

⌠⌡⎮ ( )

x

x cdx

a

b2

3 3( )+⌠⌡⎮

x

xdx

a

b

( )2 31+

⌠

⌡⎮

( )2 3 2

1

0

s ds+−∫


2. Para m ≠ n, apóyate en alguna(s) de la(s) siguientes identidades:

sen(α ± β) = sen(α)cos(β) ± sen(β)cos(α)

cos(α ± β) = cos(α)cos(β) ∓ sen(α)sen(β)

y el método de cambio de variable para calcular las siguientes integrales:

a) b) c)

3. Considera la función seno hiperbólico definida por

a) Proporciona un argumento en favor de la existencia de la función inversa, la cual denotaremoscomo y = arcsenh(x).

b) Encuentra una fórmula para la función f (x) = arcsenh(x).

c) Calcula el área sombreada bajo la curva que se muestra en la figura 2.5.f xx

x( )

arcsenh( )=+1 2

senh( )xe ex x

= − −

2

cos( )cos( )∫ mx nx dxsen( )sen( )∫ mx nx dxsen( )cos( )∫ mx nx dx

x

y1

0.8

0.6

0.4

0.2

– 0.5–– 0.2–

0.5 1 1.5 2 2.5

FIGURA 2.5: Área bajo la curva y = f (x).

4. Una curva y = f (x) en el primer cuadrante que pasa por el punto P0(1,1) tiene la propiedad de que elsegmento de cualquiera de sus tangentes, comprendido entre los ejes coordenados, se divide a la mitaden el punto de contacto P(x,y). Determina de qué curva se trata.

5. a) Haz el cambio de variable u = π − x en la integral y verifica

b) Aplica el inciso anterior para calcular

6. Encuentra una ecuación y = f (x) para la curva que pasa por el punto (0, 1) y cuya pendiente en cual-

quier punto (x, y) sea x x2 1− .

x x

xdx

sen( )

cos ( )1 2

0+

⌠⌡⎮

π

x f x dx f x dx(sen( )) (sen( ))0 0

2

π ππ∫ ∫=

x f x dx(sen( ))0

π

∫


7. Muestra que si f es una función periódica con periodo p, entonces, . Usa este

resultado para calcular

8. Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales en variables separables con la condición inicial indicada:

sen( ) .x dx1

1+

∫π

f x dx f x dxa

a p p

( ) ( )+

∫ ∫=0

a) xyy' = 4x + 1; y(1) = 2

b) xy' = 4xy + 3y; y(1) = 3

c) y' = x2 + y2 + x2y2 + 1; y(1) = 2

d) ; y(0) = 1

e) y ' = e2x+y; y(0) = 5

f ) y' = 3e3x− y; y(2) = 1

g) y ' = xex2− y; y(1) = 1

h) y ' = sen(x)e2y; y(π/2) = 1

i) ; y(1) = 2

j) ; y(1) = 5yxe

x

y

' =+

2

2 1

yxe

x

y

' =+2 2

yx

y' =

+−

2 1

5

9. Establece una ecuación diferencial para cada una de las siguientes situaciones y resuelve.

a) La población de peces en un lago aumenta con una rapidez proporcional al número de éstos queestán presentes en un instante dado.

b) La población de bacterias en un cultivo crece, de forma proporcional al cuadrado del número debacterias en un instante dado.

c) La razón de cambio de la temperatura de un objeto es proporcional a la diferencia entre ésta y latemperatura del medio ambiente.

d) La fortuna de un millonario crece proporcionalmente al cuadrado del dinero que tiene en un ins-tante dado.

10. En el caso de un proceso adiabático en que interviene un gas perfecto, la presión P está relacionada conel volumen V a través de la ecuación

donde cP y cV son los calores específicos del gas a presión y volumen constantes, respectivamente. Re-suelve la ecuación para obtener la presión en función del volumen, suponiendo que la presión es de 4libras por pulgada cúbica, cuando el volumen es de una pulgada cúbica.

11. Encuentra una expresión de la densidad de energía u de un cuerpo negro en términos de su temperatu-ra absoluta T si se sabe, por diversos experimentos, que:

12. Determina una expresión para el volumen V de un gas como función de la presión P, si la velocidad devariación del volumen con respecto a la presión es proporcional a −V/P2.

13. En los ministerios públicos del país, resulta común el siguiente procedimiento para determinar la horaen que una persona pudo haber fallecido. Se toman la temperatura del lugar y del cuerpo en dos tiem-pos diferentes. Después se establece un modelo diferencial, suponiendo que la rapidez de cambio de latemperatura del cuerpo es proporcional a la diferencia entre la temperatura del medio, y la del cuerpoes proporcional al cuadrado de esta diferencia. Una vez que se resuelve el modelo, es fácil determinarla hora buscada. Aplica los dos modelos de enfriamiento para determinar la hora en que una personafue asesinada, si se sabe que la temperatura ambiente es 5° C, que a las 7 de la mañana la del cuerpo

du

dT

u

T= 4

dP

dV

c P

c Vp

v

= −


era 23° C y que dos horas después ésta bajó a 18°. Supón que, en vida, la temperatura de un ser humanoes de 37° C.

14. La policía descubre el cadáver de un profesor de matemáticas. Para resolver el crimen es decisivo de-terminar cuándo se cometió el homicidio. El médico forense llega al mediodía y de inmediato observaque la temperatura del cuerpo es de 30 grados Celsius. Espera una hora y observa que el estado decalor del cuerpo disminuyó a 29 grados. Asimismo, nota que la temperatura de la habitación es cons-tante e igual a 27 grados Celsius. Suponiendo que la temperatura de la víctima era normal en el mo-mento de su fallecimiento (37 grados), determina la hora en que se cometió el crimen.

15. Un tanque de 1,500 litros contiene inicialmente 300 litros de una solución salina, en la cual se disol-vieron 2.5 kilos de sal. Se agrega otra solución salina que tiene una concentración de 0.3 kilos por li-tro, a razón de 15 litros por minuto. Si la mezcla sale del tanque a la misma velocidad de 15 litros porminuto, determina la cantidad de sal después de t minutos.

16. Un recipiente de 30 litros de capacidad contiene inicialmente 10 litros de solución salina, en la cual sedisolvieron 100 gramos de sal. Se agrega solución salina con concentración de 20 gramos/litro a razónde 5 litros/minuto y, simultáneamente, la mezcla sale del recipiente a la misma velocidad. Determinala cantidad de sal que hay en el recipiente y la concentración de ésta para cualquier tiempo t > 0.

17. Un barco que pesa 86,400 toneladas parte del reposo con un empuje constante de la hélice de 3,000newtons. Si la resistencia debida al agua es de 1500v newtons, donde v es la velocidad en metros porsegundo, calcula la velocidad del barco como función del tiempo, su velocidad terminal y la distanciaque habrá recorrido cuando alcance 90% de su velocidad terminal.

18. El peso de un ser humano, desde el nacimiento hasta la muerte, puede modelarse por la ecuación deGompertz:

donde a y b son constantes apropiadas no nulas. Encuentra una solución de esta ecuación que satisfa-ga la condición inicial W(0) = W0 > 0.

19. La tractriz en una curva que tiene la propiedad de que la longitud del segmento de cada recta tangentedesde el punto de tangencia hasta el punto de intersección con el eje x es una constante positiva a. De-termina una ecuación diferencial para los puntos de la tractriz y posteriormente resuélvela.

Sugerencia: Usa la figura 2.6 para relacionar la derivada con tan(θ).dy

dx

dW

dta b W W= −( ln( ))

x, y

ya

qx

y

FIGURA 2.6: Segmento de una tractriz.




1. ¿Inocente o culpable?

2. Persecución. Un conejo parte del punto (2, 0) y corre hacia el semiplano superior sobre larecta x = 3, con una velocidad constante de 10 kilómetros por hora. Un perro que está so-bre el eje y en el punto (0, 1) lo ve 6 minutos después, y lo persigue con una velocidadconstante de 20 kilómetros por hora.

a) Determina la trayectoria del perro como una función de x.

b) Determina el punto en que el perro atrapa al conejo y los minutos que se demora enhacerlo.

3. El principio de Torricelli. De acuerdo con el principio de Torricelli, la rapidez con que el

agua baja de un tanque cilíndrico con un orificio de área A0 en el fondo está dada por

, donde A es el área de la sección transversal del tinaco. Observa la figura 2.7,

donde g = 9.81 m/s2 es la aceleración de la gravedad; en tanto que y es una coordenadavertical que describe la altura de la superficie del agua en cualquier instante. Supón quela altura del agua, medida desde el fondo, es de 1.5 m, y que los radios del tanque y delorificio de salida son 1.0 m y 2.0 cm, respectivamente.

a) ¿Cuánto tardará el tinaco en vaciarse si no tiene alimentación de agua?

b) Determina el tiempo en que se vaciará el tanque, si el tinaco recibe 5 litros/min de agua.

c) Grafica la altura del agua como función del tiempo en ambos casos.

A

Ag y

0

2

y

A0

A

FIGURA 2.7: Principio de Torricelli.


Autoevaluación

1. Encuentra la ecuación de la curva que tiene derivada y pasa por el punto (4, 2).

a) b) c) d)

2. Si f es una función tal que su derivada es continua en [a, b], elige el inciso que contiene elcálculo correcto de

a) f (b) − f (a) b) c) d)

3. Si f es una función continua, elige la opción en la que se encuentra una integral igual a

a) b) c) d)

4. Un tanque contiene inicialmente 20 litros de una solución salina, en la cual se disolvieron 1.2kilos de sal. Se agrega otra solución salina, cuya concentración es de 0.5 kilo por litro, a razónde 2 litros por minuto. Si la mezcla sale del tanque a la misma velocidad de 2 litros por minu-to, determina la cantidad de sal después de t minutos.

a) sal(t) = 10 − 8.8e−0.1t c) sal(t) = 12 − 10.8e−0.1t

b) sal(t) = 12 − 10.8e−0.2t d) sal(t) = 10 − 8.8e−0.2t

5. Encuentra en la columna B el resultado de la integral propuesta en la columna A.

f x c d xa c

b c( )−

+

+

∫f x c dxc

b( )+∫f x c dx

a

c( )−∫f x c dx

a c

b c( )−

−

−

∫

f x dxa

b

( )∫

12

2 2( ( ) ( ))f a f b−12

2 2( ( ) ( ))f b f a−32

2 2( ( ) ( ))f a f b+

f t f t dta

b

( ) '( )∫

y x= +2 9y x= − +7 92y x= − +3 92y x= + −2 9 3

d y

d x

x

x=

+2 9

Columna A Columna B

a)

b)

c)

d ) sen x

xdx

+( )+

⌠

⌡⎮

1

13

8

x d x

x2 32 3

1 3

−−

⌠⌡⎮

/

/

x x dx( ) /−∫ 1 1 3

x x dx2 1+∫ i.

ii.

iii.

iv. 2 1 1 21 2

+ +( ) +−

x C/

27

45

231 1 1

72

52

32( ) ( ) ( )x x x C+ − + + + +

2 1 1 2+ + +x C

32

2 3(sen( ) cos( )) /x x C− +


Columna A Columna B

e)

f )

g) ( ) /x x

xdx

2 1 51 2

1

+ −−

⌠⌡⎮

xdx

x x1 12 2 3+ + +

⌠

⌡⎮⎮

( )

(sen( ) cos( ))

(sen( ) cos( )) /

x x

x xdx

+−

⌠⌡⎮ 1 3

Respuestas a los


1.

a)

b)

c)

d)

e)

f ) dx

xx x C

1 12 1 2 1 1

+ += + − + +( )+⌠

⌡⎮ ln

11 1 1 2

2 1

3

2 2+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = − +

++

−⌠⌡⎮ z z

dzz

zC

( )

x x

x xdx

x xC

2

2 3 4 2 3 34 3 2

1

18 4 3 2

+− −

=− −

+⌠⌡⎮ ( ) ( )

x

x cdx

n a c n b ca

b

n n

2

3 3 3 3 3 3

1

3

1

3( ) ( ) ( )+=

+−

+⌠⌡⎮

x

xdx

a ba

b

( )2 31

1

1

1

12 2+

⌠

⌡⎮ =

+−

+

( )2 313

32

1

0

s ds+ =−∫ g)

h)

i)

j)

k) cos( )x dx+ = +( )∫ 12

0

1

66 3

π

π

dx

e

xe Cx

x

2 2

1

22

+= − + +⌠

⌡⎮ln( )

(ln( ))ln

;

ln ln ;

x

xdx

x

pC p

x C p

p

p

⌠⌡⎮

=( )

++ ≠ −

+ =

+1

11

−−

⎧

⎨⎪

⎩⎪ 1

tan( )

cos ( )tan ( )

x

xdx x C2

21

2⌠⌡⎮

= +

dx

e

e

eC

x

x

x1

1 1

1 1+= + −

+ +

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ +⌠

⌡⎮ln

v.

vi.

vii. 2(cos(2) − cos(3))

viii.

ix. 2(sen(3) − sen(2))

x.

xi. 23

3 2(sen( ) cos( )) /x x C+ +

37

341 1

73

43( ) ( )x x C− + − +

52

2 2 51 2( ) /x x C+ − +

− − +52

2 51( ) /x C

−227


2. a)

b)

c)

3.

a) , para todo x ∈�. La función es creciente en su dominio y, en con-

secuencia, uno a uno, por lo cual existe su función inversa.

b)

c)

4. xy = 1

5. b)

6.

7. 2

8.

y x= + +13

2 231

32( )

π 2

4

A = ≈23

3 22(arcsenh( )) / 1.15637

f x x x x( ) arcsenh( ) ln= = + +( )2 1

d x

dxx

e ex xsenh( )cosh( )= = + >

−

20

cos( )cos( )sen[( ) ]

( )

sen[(mx nx dx

m n x

m n

m∫ = −

−+ +

2

nn x

m nC

) ]

( )2 ++

sen( )sen( )sen[( ) ]

( )

sen[(∫ = −

−− +

mx nx dxm n x

m n

m

2

nn x

m nC

) ]

( )2 ++

sen( )cos( )cos[( ) ]

( )

cos[(∫ = −

−+ +

mx nx dxm n x

m n

m

2

nn x

m nC

) ]

( )2 ++

a)

b) 4x + ln(3x3) − ln(y) = 4

c)

d)

e)

f ) e6 − e − e 3x + ey = 0

g) 2ey − 2e − ex2 + eπ2/4 = 0

h) 2cos(x) + e−2 − e−2y = 0

i)

j) 1

2

1

2

1

2

1

2010 2

2

e exy− −− − +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =ln

e exy− −− − +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =2

21

2

2

30ln

ee e

xy

251

20

− + − =− −

xx

yy+ − − + =

3 2

35

2

11

20

xx

y+ + − =3

32 4 3arctan( ) arctan( ) /

42

22

xy

x− + =ln( )

9.

a)

b)

c)

d) dF

dtkF F t

F

F kt= =

−2 0

1 0; ( )

( )

( )

dT

dtk T T T t T T T ea a a

kt= − − = + − −( ); ( ) ( ( ) )0

dP

dtkP P t

P

P kt= =

−2 0

1 0; ( )

( )

( )

dP

dtkP P t P ekt= =; ( ) ( )0

10. PVγ = 4

11. u = σT4

12. V = ke1/P


13. a) Con el modelo proporcional a la diferencia de temperaturas, la persona murió a las 03:00 horas,

27 min, 50 seg.

b) Con el modelo proporcional al cuadrado de la diferencia de temperaturas, la persona murió a las04:00 horas, 43min, 30 seg.

14. 9 hr, 1 min aproximadamente.

15. sal(t) = 90 − 87.5e−0.05t

16. sal(t) = 200 − 100e−t /2; conc(t) = 20 − 10e−t /2

17. v(t) = 2 − 2e−25t /144 m/s; vterminal = 2 m/s; distancia = 16.1578m

18.

19. x aa a y

ya y= −

+ −⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ + −ln

2 22 2

w t e wa

be e

btbt

( )( )

=−1

0


1. a) 2. c) 3. d) 4. a) 5. (a, iii.); (b, x.); (c, x.); (d, vii.); (e, i.); ( f, ii.); (g, vi.)

Referencias


2. Courant, R. y John, F., Introducción al cálculo y al análisis matemático, vol. I, México, Limusa, 1982.

3. Courant, R. y Robbins, H., ¿Qué son las matemáticas?, México, Fondo de Cultura Económica, 2002.

4. Haaser, N, LaSalle, J. y Sullivan, J., Análisis matemático, vol. 1, México, Trillas, 1982.

5. Piskunov, N., Cálculo diferencial e integral, Barcelona, Montaner y Simón, 1978.

6. Prado, Santiago, et al., Precálculo, México, Pearson Educación, 2006.

7. Rivaud, J., Ejercicios de análisis, Madrid, Reverté, 1975.

8. Seeley, R., Cálculo de una y varias variables, México, Trillas, 1978.

Probabilidad y tiempos de espera

La probabilidad es un área de las matemáticas donde la integración resulta suma-mente útil. Veamos: si y = f (x) es una función de densidad de probabilidad, en-tonces la probabilidad que la variable aleatoria x tome valores en el intervalo [a,b]se calcula utilizando la expresión

(2.3)

Por ejemplo, para ofrecer un mejor servicio, algunas compañías requieren conocerla forma como los clientes llegan a ellas. Éste es un proceso aleatorio y la proba-bilidad es la base de su estudio. Supón que l es el promedio de clientes por horaque llegan a un banco; la función de densidad para el tiempo en que k personasllegan a esa entidad está dada por:

(2.4)

La gráfica de esta función se muestra en la figura 2.8.

f xt e

kt

t k t

( )( )!

; .=−

>− −λ λ1

10

P a x b f x dxa

b

( ) ( )≤ ≤ = ∫

972.2: Integración por partes

2.2 Integración por partes

Las matemáticas nos llevan más allá delo que es humano: hacia la región de la

necesidad absoluta, a la cual se debeajustar no solamente el mundo real, si-

no todo mundo posible.

Bertrand Russell

t

f

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

1 2 3 4 5

FIGURA 2.8: Gráfica de la función de densidad de probabilidadde la ecuación (2.4).

Esta compañía necesita una expresión para la probabilidad de que lleguen k per-sonas antes de t horas, ya que pronto se llevará a cabo una reestructuración en elárea de servicio para reducir los tiempos de espera. ¿Cómo sería tal expresión?Antes de intentar encontrarla, vale la pena calcular algunos casos prácticos. Porejemplo, si se sabe que l = 7 clientes/hora, ¿cuál será la probabilidad de que lle-guen las siguientes cifras de clientes?

• 8 entre la primera y segunda hora.

• 10 antes de tres horas.

• 5 después de la primera hora.


Introducción

Por desgracia, la búsqueda de las antiderivadas de una función y = f (x) pue-de resultar un problema poco sencillo de resolver, sobre todo, debido a queno existen métodos generales para el cálculo de las integrales que sean 100%efectivos. Afortunadamente, contamos con técnicas que, en muchos de los ca-sos importantes, nos permiten conocer la antiderivada de una función. Entrelos más utilizados se encuentra el método de la integración por partes que,como su nombre lo indica, se basa en calcular la integral de una función,integrando partes de la integral original. Más adelante estudiaremos diversassituaciones donde es importante su uso.

Objetivos


• Describir y aplicar el método de integración por partes.• Conocer y aplicar el método tabular de integral por partes.• Aplicar el método de integral por partes para establecer fórmu-

las de reducción.

Sección 2.2.1 Integración por partes

Supón que tenemos dos funciones u (x) y v(x) continuamente diferenciables y definidasen un intervalo abierto I. De acuerdo con la regla de la diferencial del producto,

o, de forma equivalente:

Al integrar cada miembro de esta ecuación, se obtiene la fórmula de integración porpartes.

udv d uv vdu= ( ) −

d uv vdu udv( ) = +

La fórmula anterior es útil cuando no es una integral sencilla, pero las integrales

y sí lo son. Para el caso de integrales definidas, tenemos el siguiente teorema.vdu∫dv∫udv∫


Fórmula de integración por partes

(2.5)udv uv vdu∫ ∫= −

Teorema 2.3

Si y = u(x) y y = v(x) son funciones continuamente diferenciables definidas enun intervalo abierto I, entonces para todo a,b ∈ I tenemos

(2.6) u v x dx u x v x v x u x dxa

b

a

b

a

b

∫ ∫= −' '( ) ( ) ( ) ( ) ( )

A continuación, una simpática interpretación geométrica de la fórmula (2.6). En efecto,la figura 2.9 muestra en un plano uv la gráfica de una cierta función creciente u = u(v),donde se supone que u = u(x), ua = u(a) y ub = u(b) y equivalentemente v = v(x),va = v(a) y vb = v(b). En general, la función u(v) no necesariamente es creciente, peropara los fines que nos ocupan, es suficiente relacionar la geometría con la fórmula(2.6).

v

vb

va

ua ub

u

Área 1

Área 2

Área 3

Área 4

v u

FIGURA 2.9: Función v = v(u) y cuatro regiones que se relacionan de acuerdo con el método de integral por partes.

En efecto, de acuerdo con la interpretación geométrica de la integral se tiene que:

Por otro lado, en la misma figura observamos dos rectángulos: las regiones 3 y 4, cuyasáreas están dadas por:

De forma clara, se tiene que

de donde

que es, precisamente, la fórmula (2.6) en forma desarrollada.

En el método de integración por partes, es necesario elegir adecuadamente los facto-res u y dv. No existen reglas generales de cómo hacer la selección; no obstante, una su-gerencia es elegir dv, de forma que sea fácil y posible integrarla y para que también la

nueva integral tenga un grado de dificultad menor que la integral original. En

la tabla 2.1 se muestran algunos casos de integrales y la forma de seleccionar u y dv.

vdu∫

u v dv u v u v v u duv

v

b b a a

u

u

a

b

a

b

( ) ( )∫ ∫= − −

u v u v u v dv v u dub b a a

v

v

u

u

a

b

a

b

= + +∫ ∫( ) ( )

Área de la región 3

Área de la región

= u va a

44 = u vb b

Área de la región 1

Área de la

= ∫ v u duu

u

a

b

( )

rregión 2 = ∫ u v dvv

v

a

b

( )


Integral u dv

xn eaxdx

xn cos(ax)dx

xn sen(ax)dx

xn cosh(ax)dx

xn senh(ax)dx

ln(x) xndx

arcsen(x) xndx

arctan(x) xndxx x dxn arctan( )∫x x dxn arcsen( )∫

x x dxn ln( )∫x ax dxn senh( )∫x ax dxn cosh( )∫x ax dxn sen( )∫x ax dxn cos( )∫

x e dxn ax∫

Tabla 2.1: Algunas integrales que pueden resolverseusando el método de integración por partes.


Ejemplos

solución

solución

Ejemplo 2.11

Usa el método de integración por partes para calcular la integral

Como uno de los factores es ln(x), resulta conveniente elegir

Entonces,

Si utilizamos la fórmula de integración por partes, obtenemos

Observa que la constante C1 no aparece en la respuesta final porque se elimina en el proceso. Este re-sultado es verdadero en general y no es necesario escribir la constante de integración al integral dv.

Ejemplo 2.12

Calcula la integral

Como uno de los factores es arcsen(x), elegimos

u dv dx= =arcsen( ) y x

arcsen( )x dx0

1

∫

ln( ) ln( )x xdx xx

Cx

u dv u

v

��

∫ = +⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ −

2

1

2

2 22 1+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⌠

⌡⎮ C

dx

x

vdu ��

usando integral poor partes,

= + − − +xx C x

xC x C

2

1

2

1 22 4ln( ) ln( ) ln( ) ddesarrollando,

simplificand= − +xx

xC

2 2

22 4ln( ) oo.

dux

dx v xdxx

C= = = +∫1

2

2

1;

u x dv xdx= =ln( );

x x dxln ( )∫


solución

Entonces,

Utilizando la fórmula de integración por partes:

Para obtener la segunda integral usamos el método de cambio de variable visto anteriormente. De estamanera

Si sustituimos en la integral original:

Ejemplo 2.13

Calcula la integral

De acuerdo con la tabla 2.1, elegimos

u = x2 y dv = e xdx

Entonces,

Al aplicar la fórmula de integración por partes, obtenemos

La integral es más sencilla que la original, pero no es directa. Por lo que integraremos por par-

tes una segunda vez:

u x dv e dxx= = y

xe dxx∫

x e dx x e xe dxx x x2 2 2∫ ∫= − .

du xdx v e dx ex x= = =∫2 y

x e dxx2∫

arcsen( ) arcsen( )x dx x x0

1

0

1 12

1∫ = − = −π

x

xdx x x dx x

1

1

21 2 1

2

0

1

2

0

1

2

0

12

−= − −( ) −( ) = − −⌠

⌡⎮⌠⌡

− 11

1=

arcsen( ) arcsen( )x dx x xx

xdx∫ = −

−⌠⌡⎮0

1

2

0

1

1

dudx

xv dx x=

−= =∫

1 2y


solución

solución

Entonces,

Y tenemos que

Finalmente, regresando a la integral original:

Ejemplo 2.14

Calcula la integral

En este ejemplo vamos a tomar:

Entonces,

Para calcular v utilizamos el método de cambio de variable. Sea z = x2 por lo que dz = 2xdx y

Si utilizamos la fórmula de integración por partes,

Ejemplo 2.15

Determina una expresión para

En este ejemplo la elección de u y dv es indistinta. Tomemos, por ejemplo,

u = e x y dv = cos(x)dx

e x dxx cos( )∫

x e dx xe

xe

dx xex

x x x3 2 22

2 2 2

22

2 2∫ =

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟− =

⎛⌠⌡⎮

⎝⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟− +e

Cx2

2

v xe dx edz

e ex z z x= = = =∫ ⌠⌡⎮

2 2

2

1

2

1

2

du xdx v xe dxx= = ∫22

y

u x dv xe dxx= =2 2

y

x e dxx3 2∫

x e dx x e xe dx x e xe e x ex x x x x x x2 2 2 22 2∫ ∫= − = − −⎡⎣ ⎤⎦ = − 22 2xe e Cx x+ +

xe dx xe e dx xe ex x x x x∫ ∫= − = −

du dx v e dx ex x= = =∫ y


solución

Entonces,

Al integrar por partes, tenemos

Calcularemos esta última integral, usando nuevamente integración por partes. Sean ahora:

u = e x y dv = sen(x)dx

Entonces,

Obtenemos

Al sustituir en la integral original:

Al despejar la integral se obtiene

Ejemplo 2.16

Calcula la integral

Descomponemos el factor sec3(x) y la escribimos

Elegimos

u = sec(x) y dv = sec2(x)dx

Entonces,

du x x dx v x dx x= = =∫sec( ) tan( ) sec ( ) tan( ) y 2

sec ( ) sec( )sec ( ) .3 2x dx x x dx∫ ∫=

sec ( )3 x dx∫

e x dx e x x Cx xcos( ) ( ) cos( )∫ = +( ) +1

2sen

e x dxx cos( )∫

e x dx e x e x dx e xx x x xcos( ) sen( ) sen( ) sen( )∫ ∫= − = − −ee x e x dx

e x e x

x x

x x

cos( ) cos( )

sen( ) cos( )

+⎡⎣ ⎤⎦= +

∫−− ∫ e x dxx cos( )

e x dx e x e x dxx x xsen( ) cos( ) cos( )∫ ∫= − +

du e dx dv x dx xx= = = −∫ y sen( ) cos( )

e x dx e x e x dxx x xcos( ) ( ) ( )∫ ∫= −sen sen

du e dx dv x dx xx= = =∫ cos( ) ( )y sen


solución

Usamos la fórmula de integración por partes:

Utilizamos la identidad trigonométrica tan2 (x) = sec2 (x) −1 y tenemos que

Al despejar la integral buscada, obtenemos

Ejemplo 2.17

Determina una expresión para la integral

Para calcular se sigue una estrategia similar. Considera:

Entonces,

Si seguimos el procedimiento de la integral por partes:

Al despejar la integral buscada y utilizar el resultado del ejercicio anterior, se obtiene

Ejemplo 2.18


cos(ln( ))x dx∫

sec ( ) sec ( ) tan( ) sec( ) tan( ) l5 31

4

3

8x dx x x x x∫ = + + nn sec( ) tan( )x x C+( ) +

sec ( ) sec ( ) tan( ) sec ( ) tan ( )5 3 3 23x dx x x x x dx∫ ∫= −

== − −⎡⎣ ⎤⎦=

∫sec( ) tan( ) sec ( ) sec ( )

sec

x x x x dx3 13 2

33 5 33 3( ) tan( ) sec ( ) sec ( )x x x dx x dx− + ∫∫

du x x dx v x= =3 3sec ( ) tan( ) tan( ) y

y u x dv x dx= =sec ( ) sec ( )3 2

sec ( )5 x dx∫

sec ( )5 x dx∫

sec ( ) sec( ) tan( ) ln sec( ) tan( )3 1

2x dx x x x x∫ = + +( ) ++ C

sec ( ) sec( ) tan( ) sec( ) sec ( )3 2 1x dx x x x x∫ = − −⎡⎣ ⎤⎦ ddx

x x x dx x dx

∫∫∫= − +sec( ) tan( ) sec ( ) sec( )3

sec ( ) sec( ) tan( ) sec( ) tan ( )3 2x dx x x x x dx∫ ∫= −


solución

solución

Utilizamos el cambio de variable z = ln(x), luego x = ez y dx = ezdz. Sustituyendo en la integral, tene-mos

Usamos el resultado que obtuvimos en el ejemplo 2.15:

por lo que llegamos a

Ejemplo 2.19

Calcula la integral

Utilizamos el cambio de variable , y luego x = z2 y dx = 2zdz. Sustituyendo en la integral:

Considera ahora el nuevo cambio de variable

Finalmente, al aplicar integración por partes:

cos cos( )

( ) ( )

x dx z z dz

z z z dz

( ) =

= −⎡⎣ ⎤∫ ∫

∫2

2 sen sen ⎦⎦= +[ ]= ( ) + ( )⎡⎣ ⎤⎦ +

2

2

z z z

x x x C

sen

sen

( ) cos( )

cos

u z dv z dzdu dz= ==

cos( )senv z= ( )

cos cos( )x dx z z dz( ) =∫ ∫ 2

z x=

cos x dx( )∫

cos(ln( ))cos(ln( )) (ln( ))

x dxx x x

C∫ = +[ ] +sen

2

e z dze z z

Czz

cos( )cos( ) sen( )∫ = +[ ] +

2

cos(ln( )) cos( )x dx e z dzz∫ ∫=


solución

Ejemplo 2.20

Calcula la integral

Para resolver necesitamos usar varias veces el método de integración por partes. Elegimos primero

u = x5; dv = exdx (2.7)

du = 5x4; v = ex (2.8)

Al aplicar el método, obtenemos

Como la nueva integral también se resuelve por partes, elegimos

u = 5x4; dv = exdx (2.9)

du = 20x3; v = ex (2.10)

Así,

Antes de seguir con el proceso, observa que las ecuaciones (2.9) son las mismas que las ecuaciones(2.8) y que el integrando de la nueva integral se consigue multiplicando las ecuaciones de la línea(2.10). Además, las variables u se obtienen, una tras la otra, derivando y las variables v integrando unaseguida de la otra. Finalmente, los términos que interesan para la solución se obtienen multiplicando lavariable u de la línea (2.7) con la variable v de la línea (2.8); después, la variable u de la línea (2.9) conla variable v de la línea (2.10) intercalando el signo, y así sucesivamente. En la tabla 2.2 se muestra elesquema completo.

x e dx x e x e x e dxx x x x5 5 4 35 20∫ ∫= − −( )

x e dx x e x e dxx x x5 5 45∫ ∫= −

x e dxx5∫

Signos alternados u y sus derivadas dv y sus antiderivadas

+ x5 ex

− 5x4 ex

+ 20x3 ex

− 60x2 ex

+ 120x ex

− 120 ex

+ 0 ex

Tabla 2.2: Método tabular de integración por partes.Observa que se deriva u hasta que se anula.


solución

Al seguir este proceso, se obtiene como resultado

Observación:

Este método funciona muy bien para calcular integrales de la forma , ,

y donde P (x) es un polinomio de grado n, a ≠ 0 y k ≠ 0,1.

Ejemplo 2.21

Demuestra la fórmula de reducción para

En este caso, elegimos

u = xn y dv = e xdxEntonces,

du = nxn−1dx y v = e x

Si utilizamos la fórmula de integración por partes, obtenemos

Ejemplo 2.22

Demuestra la fórmula de reducción

Después, aplícala para deducir

cos ( )/

n x dx

n

n

n

nn

n

n0

21 3

2

1

2 21

ππ

∫ =

− ⋅ −−

⋅ ⋅

− ⋅

� par

nn

nn

−−

⋅

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

3

2

2

3� ; impar

cos ( ) cos ( )sen( ) cos ( )n n nx dxn

x xn

nx∫ ∫= + −− −1 11 2 ddx n para ≥1

x e dx x e e nx dx x e n x e dxn x n x x n n x n x∫ ∫ ∫= − ( ) = −− −1 1

n ∈ �.x e dx x e n x e dxn x n x n x∫ ∫= − −1

P x

a bxdxk

( )

( )+⌠⌡⎮

P x e dxax( )∫

P x ax dx( )sen( )∫P x ax dx( )cos( )∫

x e dx x e x e x e x e xex x x x x x5 5 4 3 25 20 60 120 120∫ = − + − + − ee C

e x x x x x C

x

x

+

= − + − + −( ) +5 4 3 25 20 60 120 120


solución

Sea

u = cosn−1(x) y dv = cos(x)dx

Entonces,

Utilizando la fórmula de integración por partes:

Si usamos sen2(x) = 1 − cos2(x) se tiene

Finalmente, despejando :

Al integrar ahora desde x = 0 hasta x = p/2 y observando que sen(0) = 0 y cos(p/2) = 0, obtenemos

Y al aplicar repetidamente este resultado:

cos ( )

;/

/

n x dx

n

n

n

ndx n

0

20

21 3

2

1

2π

π

∫∫

=

− ⋅ −−

⋅� par

nn

n

n

nx dx n

− ⋅ −−

⋅

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪ ∫1 3

2

2

30

2

� cos( ) ;/π

impar⎪⎪

=

− ⋅ −−

⋅ ⋅

− ⋅ −−

⋅

n

n

n

nn

n

n

n

nn

1 3

2

1

2 21 3

2

2

3

�

�

π par

; impar

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

cosn nx dxn

nx dx( ) cos ( )

/ /

0

22

0

21

π π

∫ ∫= − −

cos ( ) cos ( )sen( ) cos ( )n n nx dxn

x xn

nx d∫ = + −− −1 11 2 xx∫

cos ( )n x dx∫

cos ( ) cos ( )sen( ) cos ( )n nx dx x x n x∫ = + −( ) −⎡⎣−1 21 1 ⎤⎤⎦

= + −( )

−

− −

∫ cos ( )

cos ( )sen( ) cos

n

n n

x dx

x x n

2

1 21 (( ) cos ( )x dx x dxn−⎡⎣ ⎤⎦∫ ∫

cos ( ) cos ( )sen( ) sen ( ) cosn nx dx x x x n∫ = − − −( )−1 2 1 nn

n

x dx

x x n x

−

−

⎡⎣ ⎤⎦= + −( )

∫ 2

1 21

( )

cos ( )sen( ) sen ( )ccos ( )n x dx−∫ 2

du n x x dx v xn= − −( ) =−1 2cos ( )sen( ) sen( ) y


1. Con tus propias palabras, indica el método de integración por partes y cómo debes elegir u y dv.

2. Obtén las siguientes integrales:

a)

b)

c)

d )

e)

f )

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

o)

p)

q)

r)

s)

t)

u)

v) e dxx2∫

ln x dx2 1+( )∫

sen x dx( )∫

sen(ln( ))x dx∫

x x dxln 16 2

0

1

+( )∫

e x dxx5 2cos( )∫

e sen x dxx2 3( )∫

x

xdx

5 2+⌠⌡⎮

x x dx+∫ 1

x x dxarcsen( )2∫

arccot( )2x dx∫

3arccos( )x dx∫

x x dxarctan( )∫

x x dxsec ( )2∫

x x x dxcsc( ) cot( )∫

x x dxln( )+∫ 2

x x dxsec ( )2 3∫

x x dx3 2sen( )∫

ln( )x dx( )∫ 2

x dxx5∫

x e dxx3 2−∫

2 1 3x e dxx+( )∫

3. Utiliza el método tabular para calcular las siguientes integrales:

a)

b)

c)

d)

e) ( )sen( )x x x dx3 2 5+∫

( )cos( )x x x dx3 3−∫

( )x x e dxx4 2 33 5+ +∫

2

2 1

3

1 3

t

tdt

+( )⌠⌡⎮ /

t

tdt

2

1 5

5

2

++( )

⌠⌡⎮ /

4. Determina el área de la región limitada por f(x) = arccos(x), el eje x, el eje y y la recta x = 1/2.

5. Establece el área de la región limitada por f (x) = ln(x), el eje x, y las rectas x = 1 y x = e.

6. Durante el desarrollo de una epidemia de sarampión en Toluca, la razón de llegada de casos nuevos alHospital Regional de Zona 26 del IMSS fue igual a f (t) = 5te−t/10, donde t se midió en días y t = 0 se con-sideró el tiempo de inicio de la epidemia. ¿Cuántos casos se trataron en el nosocomio en los primerost = 5 días y en los primeros t = 10 días?

7. En la teoría matemática de la información, aparece la integral de Boltzmann

a) Calcula I (P1), si p1(x) = 2x es una función definida en el intervalo [0,1].

I p p x p x dx( ) ( ) ln ( )= ( )∫0

1



b) Determina I(p2), si

8. Usa el método tabular para mostrar que

donde P (x) es un polinomio de grado n > 0 y m ≠ 0.

9. Utiliza el método de integración por partes para demostrar:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i) sec ( )tan( ) sec ( )

sec (nn

nx dxx x

n

n

n=

−+ −

−

−−∫

22

1

2

1xx dx n) ;∫ ≠ 1

x e dx x e n x e dxn x n x n x= −∫ ∫ −1

ln( ) ln( ) ln( )x dx x x n x dxn n n( ) = ( ) − ( )∫ ∫ −1

x e dxx e

a

n

ax e dxn ax

n axn ax= − −∫∫ 1

x ax dxx

aax

m

ax ax dxn

nncos( ) sen( ) sen( )= − −∫∫ 1

x ax dxx

aax

m

ax ax dxn

nnsen( ) cos( ) cos( )= − + −∫∫ 1

x x dxx

nx

x

nC nn

n n

ln( ) ln( ) ;=+

−+( )

+ ≠ −+ +

∫1 1

21 11

e bx dxe a bx b bx

a bCax

ax

cos( )sen( ) cos( )= +( )

++∫ 2 2

e bx dxe a bx b bx

a bCax

ax

sen( )sen( ) cos( )= −( )

++∫ 2 2

e P x dxe

mP x

P x

m

P x

m

P xmxmx

( ) ( )'( ) ''( ) '''( )∫ = − + −

2 mm

P x

mn

n

n31+ + −

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥… ( )

( ),

( )

p xx x

x x2

4 01

2

4 41

21

( ) =≤ ≤

− ≤ ≤

⎧

⎨⎪

⎩⎪

si

si


1. Probabilidad. (Situación de inicio de la sección).

2. Fórmulas de reducción. Aplica el método de la integral por partes para determinar la si-guiente fórmula de reducción:


a) Muestra que para n entero y n ≥ 2.

b) Demuestra ahora que

i.

ii.

3. Flujo continuo de ingresos, su valor presente y su valor futuro.En matemáticas financieras, se define la razón de cambio del ingreso o la tasa de flujo

de ingreso f (t) como la cantidad de ingresos que se reciben por año (en general, por uni-dad de tiempo). El ingreso total para k años está dado por:

Si el ingreso gana una tasa de interés r, compuesta continuamente, entonces definimos losvalores presente y futuro en k años como:

a) Explica los significados del valor presente y del valor futuro de un flujo continuo deingresos.

b) Supón que la tasa de flujo de ingreso es constante, f (t) = C0. Determina fórmulas parael valor presente y el valor futuro.

c) Repite el inciso anterior, si la tasa de flujo de ingreso es lineal: f (t) = C0 + C1t.

d) Las ganancias de un ingenio azucarero dependen de la cantidad de azúcar que puedenproducir. En ese caso, se puede considerar que las máquinas-herramientas del ingenioproducen un flujo continuo de ingresos; como se desgastan con el uso, la produccióndepende del tiempo. Imagina que algunos estudios estadísticos señalan que la vidaútil de las máquinas-herramientas de un ingenio es de 10 años y que la tasa de flujo deingresos es

Determina el ingreso total, el valor presente y el valor futuro en los primeros 2 años y enlos próximos 10.

f tt t

t t( ) = ≤ ≤

< ≤⎧⎨⎪

⎩⎪

2 0 2

2 10

si

si

Valor futuro = −∫e f t e dtr k r tk

( )0

Valor presente = −∫ f t e dtr tk

( )0

Ingreso total = ∫ f t dtk

( )0

sen p2

0

1 3 5 2 1

2 4 6 2 2

2

r x dxr

r( )

( )=

−∫

i i i�ii i i�i

ππ

aara y entero.r ≥1

sen p2 1

0

2 4 6 2

3 5 7 2 1

2

r x dxr

r+ =

+∫ ( )( )

i i i�ii i i�i

π

aara y entero.r ≥1

sen senn nx dxn

nx dx( ) ( )= −

∫ ∫ −1

0

2

0

2 2π π

sen ( ) sen ( )cos( ) sen ( )n n nx dxn

x xn

nx∫ = − + −− −1 11 2 ddx∫


Autoevaluación

1. Indica la opción que contiene el resultado de

a) b) c) d)

2. Halla la opción que contiene el resultado de

a) c)

b) d)

3. Encuentra la opción que contiene el resultado de

a) c)

b) d)

4. Determina la opción que contiene el resultado de

a) c)

b) d)

5. Encuentra la opción que contiene el resultado de

a) c)

b) d) M x x C= +[ ] +3 1 4 ln( )Mx

x C= −[ ] +5

255 1ln( )

M x x C= + ( ) +3 44lnM x x C= − +4 34

3

M x x dx= ∫ 4 ln( )

Lx

x C= −( ) +3

84 3

43

ln( )Lx

x C= +( ) +3

163

43

ln( )

Lx

x C= −( ) +3

164 3

43

ln( )Lx

x C= −( ) +3

44 3

43

ln( )

L x x dx= ∫ 3 ln( )

K t t t c= − −( ) +arcsen( ) ln 1 2K t c= − +arccos( )

K t t t c= + − +arcsen( ) 1 2Kt

c=−

+1

1 2

K t dt= ∫ arcsen( )

Jx

xC= − ( ) +sen ln( )

J x x x C= ( ) − ( )[ ] +cos ln( ) sen ln( )

Jx x

x x C= + ( )[ ] +ln( )cos sen

2J

xx x C= ( ) + ( )[ ] +

2cos ln( ) sen ln( )

J x dx= ( )∫ cos ln( )

Ix

xC= + +2

2

ln( )I x x C= −( ) +2

93 2

32 ln( )I x C= +ln( )

72I x x C= ( ) +3

2 2ln( )

I x x dx= ∫ ln( )


Respuestas a los


1. dv se elige de forma que sea fácil de calcular su integral.

2.

a)

b)

c)

d)

e)

f )

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

o)

p) e x dx e x x Cx x2 231

132 3 3 3sen( ) sen( ) cos( )∫ = −( ) +

x

xdx x x C

5 2

1

35 5 2

+= − +( ) + +∫

x x dx x x C+ = +( ) − +( ) +∫ 12

151 2 3

32

x x dx x x x Carcsen( ) arcsen2 4 2 21

21∫ = − + ( )( ) +

arc cot( ) cot ( ) ln2 21

41 41 2x dx x x x C∫ = + + +−

3 3 1 32arccos( ) arccos( )x dx x x x C∫ = − − + [ ] +

x x dxx

x x Carctan( ) arctan( )∫ = − + +( ) +2

1

21 2

x x dx x x x Csec ( ) ln cos( ) tan( )2∫ = + +

x x x dx x x x x Ccsc( ) cot( ) csc( ) ln csc( ) cot( )∫ = − + − +

x x dx x x x x Cln( ) ln+ = − − +( )+ − +( ) +( )+∫ 21

44

1

24 22 2

x x dx x x x Csec ( ) ln cos( ) tan( )2 31

93

1

33∫ = + +

x x dx x x x x3 2 221

43 2 2

3

81 2sen( ) cos( )∫ = − − +( ) + − +( )ssen( )2x C+

ln( ) ln( ) ln ( )x dx x x x C( ) = − +( ) +∫ 2 22 2

x dxx

Cxx

55 5 1

52∫ =( ) −( ) +ln( )

ln ( )

x e dx e x x x Cx x3 2 2 2 31

83 6 6 4− −∫ = − + + +( ) +

2 11

9

2

33 3x e dx e

xCx x+( ) = +

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟ +∫


q)

r)

s)

t)

u)

v)

3.

a)

b)

c)

d)

e)

4.

5. A = 1

6. A los 5 días se trataron a 45 enfermos; y a los 10, 132 pacientes.

7. En ambos incisos la respuesta es 0.193147.

A = − +( )1

66 3 3 π

− + + + +1

52 5

1

252 3 5

6

1253 2( ) cos( ) ( ) sen( ) cox x x x x x ss( ) sen( )5

6

6255x x−

1

33

1

93 1 3

2

933 2( )sen( ) ( )cos( ) sen( )x x x x x x x− + − − −− 2

273cos( )x

1

35 3

1

96 4

1

276 122 4 3 3 3 2 3( ) ( ) ( )+ + − + + +x x e x x e x ex x xx x xxe e− +8

27

8

813 3

3

21 2

27

201 2

81

1601 23 2 3 2 5 3 8x x x x x x( ) ( ) ( )/ /+ − + + + // /( )3 11 3243

32501 2− + x

5

45 2

25

182

125

25222 4 5 9 5 1( )( ) ( ) ( )/ /+ + − + + +x x x x x 44 5/

e dx e x Cx x2 2 1 2∫ = − +( ) +

ln arctan( ) lnx dx x x x x2 21 2 2 1+( ) = − + + +( )∫

sen cos senx dx x x x C( ) = − ( ) + ( ) +∫ 2 2

sen(ln( )) cos ln( ) sen ln( )x dx x x x C∫ = − ( ) − ( )[ ] +1

2

x xln ln( ) ln( )161

21 64 2 17 172

0

1

+( ) = − − +( )∫

e x dx e x x Cx x5 521

295 2 2 2cos( ) cos( ) sen( )∫ = +( ) +



1. c) 2. a) 3. c) 4. c) 5. b)

Referencias

1. Horowitz, D. “Tabular Integration by Parts”, en The College Mathematics Journal, 1991.2. Gillman, L. “More on Tabular Integration by Parts”, en The College Mathematics Journal, 2002.3. C. E. Shannon, “A mathematical Theory of Communication”, en Bell System Technical Journal, vol.

27, pp. 379-423 y 623-656, julio y octubre de 1948. Versión on line: http://cm.bell-labs-.com/cm/ms/what/shannonday/paper.html

4. Pérez, J. Cálculo diferencial e integral, Granada, Universidad de Granada, 2006.5. Piskunov, N., Cálculo diferencial e integral, Barcelona, Montaner y Simon, 1978. 6. Thomas, G. Cálculo (una variable), 11a. ed., México, Pearson Educación, 2005.

Señales de prueba

En la vida diaria contamos con aparatos sofisticados (teléfonos celulares, redesinalámbricas, etcétera) que nos permiten comunicarnos rápida y eficazmente, yque aprovechan ampliamente las nuevas tecnologías electrónicas. No debe resultarsorprendente que para llevar a cabo estos avances se utilicen diversos conceptosmatemáticos. Por ejemplo, para diseñar teléfonos celulares se realizan pruebasde envío y recepción de señales que pretenden reducir el ruido y maximizar losparámetros físicos importantes. Un estudio reciente muestra que si se envía unaseñal cuadrada, como la que se muestra en la figura 2.10, se recibe otra que puedemodelarse utilizando la siguiente función:

V t x xr ( ) sen( ) sen( ) sen(= + + +5

2

10

33

25

10

77

ππ

ππ

ππ xx x) sen( )+ 10

99

ππ

1172.3: Integrales de potencias trigonométricas

2.3 Integrales de potencias

trigonométricas

Uno no puede dejar de tener la sensa-ción de que estas fórmulas matemáticasposeeen una existencia independiente y

una inteligencia propia; que son mássabias que nosotros, más sabias que susdescubridores y que obtenemos más delo que originalmente se puso en ellas.

Heinrich Hertz

t ms

V volts66

55

44

33

22

11

– 0.50–– 11–

0.5. 1 1.5 22 2.52 33

FIGURA 2.10: Señal de entrada en un sistema de pruebas de telefonía móvil.El tiempo se expresa en milisegundos; y el voltaje, en voltios.

La eficiencia de transmisión es un parámetro que caracteriza el canal me-diante el cual se envían y reciben las señales, y se determina usando la re-lación:

e = Voltaje rms de la señal recibida

Voltaje rrms de la señal enviada=

V

Vrms r

rms e

,

,

Donde, por definición, el voltaje rms Vrms, es decir, el voltaje raíz medio cuadrá-tico (por sus siglas en inglés) está dado por

P es el periodo de ambas señales. Con estas consideraciones, determina:

a) ¿cuál es el voltaje rms efectivo de las señales enviadas y recibidas en este sis-tema de pruebas?

b) ¿cuál es la eficiencia del canal?

c) ¿cómo puede mejorarse la eficiencia de la transmisión?

VP

V t dtrms

P

= ∫1 2

0

[ ( )]


Introducción

En áreas como las teorías de señales y sistemas, la acústica, la teoría del calory las series de Fourier, entre otras, aparece la necesidad de calcular integralesque incluyen potencias de funciones trigonométricas, como lo ilustra la situa-ción precedente. Para solucionar este tipo de integrales, se requiere estableceruna estrategia que considere el uso de identidades trigonométricas, cambios devariable y fórmulas de reducción, la cual presentaremos y será la base, en lasección siguiente, para estudiar el método de sustitución trigonométrica.

Objetivos

Al terminar de estudiar esta sección, deberás ser capaz de resolverintegrales cuyos integrandos incluyan:

• potencias de las funciones seno y coseno. • potencias de las funciones tangente y secante (cotangente y cosecante).• productos de funciones senoidales con diferente argumento.• potencias de funciones hiperbólicas.

Sección 2.3.1 Integrales que incluyen potenciasde seno y coseno

Las integrales que nos interesa calcular en este apartado tienen integrandos formados porproductos de potencias de funciones sinusoidales con el mismo argumento. Es decir, sondel tipo

Nuestra estrategia consistirá en reducir el integrando a expresiones que podamos in-tegrar fácilmente, a través de identidades trigonométricas y/o cambios de variable.No obstante, existen varios casos que dependen de la paridad de las potencias. Porejemplo, podemos reducir una expresión del tipo senm(z)cos2k+1(z) utilizando la identi-dad cos2(z) = 1 − sen2(z) de la siguiente forma:

senm(z)cos2k+1(z) = senm(z)[cos2(z)]k cos(z) = senm(z)[1 − sen2(z)]k cos(z)

sen ( )cos ( )m nz z dz∫

Finalmente, para hallar la integral, sólo basta hacer el cambio de variable u = sen(z). Enefecto, tenemos:

La cual podemos resolver desarrollando el binomio. En la tabla 2.3 se muestran todoslos casos posibles: el primero (Ia y Ib) cuando una de las funciones tiene potencia im-par, y el segundo (II) cuando las dos tienen potencia par. Además, se muestra el tipo deintegrando, la reducción a utilizar, la identidad que se necesita y, cuando es posible, elcambio de variable adecuado para simplificar la integral.

sen ( )cos ( ) [ ]m k m kz z u u du2 1 21+∫ ∫= −


Ian = 2k + 1

impar

Ibm = 2k + 1

impar

IIn = 2k,m = 2rambospares

senm(z)cos2k+1(z)

sen2k+1(z)cos n(z)

sen2r(z)cos2k(z)

cos2k+1(z) = cos(z)cos2k(z)

sen2k+1(z) = sen(z)sen2k(z)

(sen2(z))r(cos2(z)) k

cos2(z) = 1 − sen2(z)

sen2(z) = 1 − cos2(z)

y

o

sen( )cos( ) sen( )z z z= 12 2

sen ( ) cos( )2 12 1 2z z= −[ ]

cos ( ) cos( )2 12 1 2z z= +[ ]

u = sen(z)

u = cos(z)

Tabla 2.3: Los casos posibles para integrar la expresión senm(z)cosn(z).

Caso Integrando Reducción Identidad Cambio

Ejemplos

Ejemplo 2.23

Determina el área bajo la curva y = sen3(x) desde x = 0 hasta x = π. (Véase la figura 2.11)

x

0.8

0.4

0.2

0.6

2pp

y

– 0.2–

1y = sen3 x

FIGURA 2.11: La gráfica de la curva y = sen3(x)en el intervalo [0, π].


solución

solución

Primero buscaremos una antiderivada o primitiva de y = sen3(x). Observa que necesitamos reducir lafunción a integrar utilizando el caso Ia de la tabla 2.3. Si seguimos esta estrategia tenemos:

Al hacer el cambio de variable u = cos(x) y du = −sen(x)dx:

Finalmente, el área está dada por

Ejemplo 2.24


De nuevo, la potencia de cos(2x) en el integrando nos indica que debemos aplicar el caso I. Seguimosentonces la estrategia adecuada:

Hacemos el cambio de variable u = sen(2x) y du = 2 cos(2x)dx y obtenemos:

cos ( ) ( )5 2 42 1 22∫ = − +

=

⌠⌡⎮

x dx u udu

u

sustituyendo,

22 3 101

22

1

32

3 5

3

− + +

= −

u uC

x

integrando,

sen( ) sen ( xx x C u) sen ( ) .+ +1

1025 sustituyendo

cos ( ) cos ( )cos( )5 42 2 2∫ ∫=x dx x x dx separando térmminos,

agrupando,=

= −

∫ (cos ( )) cos( )

(

2 22 2

1

x x dx

ssen ( )) cos( )

(

2 22 2

1

x x dx∫=

usando identidades,

−− +∫ 2 2 2 22 4sen ( ) sen ( ))cos( )x x x dx desarrollandoo.

cos ( )5 2∫ x dx

A x dx xx= = − + = − −⎛

⎝⎜∫ sen ( ) cos( )cos ( )3

0

3

03

2

3

2

3

π π⎞⎞⎠⎟ = 4

3

sen ( ) ( )( )3 2

3

1

3

∫ ∫= − −

= − +

x dx u du

uu

sustituyendo,

++

= − + +

C

xx

C

integrando,

sustituyencos( )cos ( )3

3ddo u.

sen ( ) sen ( )sen( ) ( cos ( ))sen3 2 21∫ ∫ ∫= = −x dx x x dx x (( )x dx


solución

solución

Ejemplo 2.25


Como la potencia de sen(x) es impar, aplicamos la estrategia del caso I:

Realizamos el cambio de variable u = cos(x) y du = −sen(x)dx:

Ejemplo 2.26

Calcula

Observa que las dos potencias son números impares positivos, así que seguimos la estrategia del caso I.Con la finalidad de ahorrar pasos algebraicos, separamos el factor con la potencia más pequeña. Así:

Cambiamos la variable: u = sen(x) y du = cos(x)dx:

sen ( )cos ( ) ( )7 5 7 2 41 2∫ ∫= − +x x dx u u u du sustituyenddo,

desarrollando e int= − + +1

8

1

5

1

128 10 12u u u C eegrando,

= − + +1

8

1

5

1

128 10 12sen ( ) sen ( ) sen ( )x x x CC usustituyendo .

sen ( )cos ( ) sen ( )cos ( )cos( )7 5 7 4∫ ∫=x x dx x x x dx sepparando,

agrupan= ∫ sen ( )(cos ( )) cos( )7 2 2x x x dx ddo,

usando ide= −∫ sen ( )( sen ( )) cos( )7 2 21x x x dx nntidades

= − +∫ sen ( )( sen ( ) sen ( ))cos(7 2 41 2x x x x))dx desarrollando.

sen ( )cos ( )7 5∫ x x dx

sen ( )cos ( ) ( )3 6 2 61x x dx u u du∫ ∫= − − sustituyendo,

== −

= − +

∫ ( )u u du

u uC

8 6

9 7

9 7

desarrollando,

integranndo,

sustituyendo = − +1

9

1

79 7cos ( ) cos ( ) .x x C u

sen ( )cos ( ) sen ( )cos ( )sen( )

(

3 6 2 6∫ ∫=

=

x x dx x x x dx

11 2 6−∫ cos ( ))cos ( )sen( )x x x dx



solución

Ejemplo 2.27

Determina el valor promedio de la función f(x) = sen6(x) en el intervalo (−π, π). La gráfica de la fun-ción se muestra en la figura 2.12.

x

0.8

0.4

0.2

0.6

2– p p

p

y1

2p

–

FIGURA 2.12: Gráfica de la curva f (x) = sen6(x) en el intervalo [−π, π].

Primero buscaremos una antiderivada de f (x). La potencia de sen(x) es par, así que aplicamos la reduc-ción sugerida en el caso II:

Observa que no reducimos más, porque los primeros tres términos se integran directamente; en tantoque el cuarto requiere una sustitución. En efecto, la integral de los primeros tres términos es

Considera ahora el cambio de variable

u = sen(2x); du = 2cos(2x)dx

5

24 2

3

24

5

22 2− +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ = −⌠

⌡⎮cos( ) cos( ) sen(x x dx x xx x C) sen( )+ +3

84 1

sen ( ) (sen ( ))cos( )6 2 3

31 2

2x x

x= =

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

usando iidentidades,

= − + −1

81 3 2 3 22 3( cos( ) cos ( ) cos (x x 22

1

81 3 2 3

1 4

x

xx

))

cos( )cos( )

desarrollando,

= − ++

222 22⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

cos ( )cos( )x x usando identiddades,

= − + + − −1

81 3 2

3

2

3

24 1 22cos( ) cos( ) ( sen (x x xx x))cos( )2

1

8

5

24

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= −

usando identidades,

ccos( ) cos( ) sen ( )cos( )23

24 2 22x x x x+ +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

desaarrollando.


solución

Luego, la integral del cuarto término es

Finalmente, el resultado de la integral de f (x) está dada por

El valor promedio se obtiene como sigue:

Ejemplo 2.28

Calcula la integral

Las potencias, tanto de sen(x), como de cos(x) son pares. Entonces, siguiendo la estrategia del caso II,las reducimos tantas veces como sea necesario, para posteriormente hacer la integral. Entonces,

La integral de los tres primeros términos es inmediata:

1

22

1

24

2

1

22+ −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

= +⌠⌡⎮

cos( ) cos( ) sen(x x dxx

x)) sen( )− +1

84 1x C

sen ( )cos ( ) sen ( )(cos ( ))cos( )2 4 2 2 2 1 2

2x x x x

x= = −⎛⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1 2

2

2cos( )xusando identidades,

== − +

=

1

81 2 1 2

1

2( cos ( ))( cos( ))x x desarrollando,

881 2 2 22 3( cos( ) cos ( ) cos ( ))+ − −x x x desarrollandoo,

= + − +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −1

81 2

1 4

222cos( )

cos( )cos ( )cox

xx ss( )

cos(

2

1

8

1

22

x

x

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= +

usando identidades,

)) cos( ) ( sen ( ))cos( )− − −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1

24 1 2 22x x x desarrrollando.


f x dx[ , ] sen ( )−−

=

=

∫π ππ

π

π

π

1

2

1

2

6 por definición,

55

16

1

42

3

644

1

4823x x x x− + +⎡

⎣⎢⎤⎦

sen( ) sen( ) sen ( )⎥⎥

= ⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

=

−π

π

ππ

integrando,

evaluando.1

2

5

8

5

16

sen ( ) sen( ) sen( ) sen6 5

16

1

42

3

644

1

48∫ = − + +x dx x x x 33 2( )x C+

sen ( ) cos( ) sen (2 2 32

32 21

2

1

6

1

62x x dx u du u C∫ ∫= = + = xx C) + 2


Para la integral del cuarto término, hacemos el cambio de variable

u = sen(2x); du = 2cos(2x)dx

Y obtenemos

El resultado de la integral es

sen ( )cos ( ) sen( ) sen( )2 4 1

8 2

1

22

1

84x x dx

xx x∫ = + − + CC x x C

x

13

21

8

1

62

1

22

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟− − +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

sen ( ) sen( )

116

1

82

1

644

1

4823+ − − +sen( ) sen( ) sen ( )x x x C

( sen ( ))cos( ) ( )1 2 21

212 2− = − −∫ ∫x x dx u du sustituyeendo,

integrando,= − +

= −

u uC

x

3

2

3

6 21

62

1

2sen ( ) senn( ) .2 2x C u+ sustituyendo

Sección 2.3.2 Integrales que incluyen potenciasde tangente y secante

Ahora analizaremos integrales cuyos integrandos son productos de potencias de tangen-tes y secantes (o bien, productos de cotangentes y cosecantes) con el mismo argumento.Es decir, queremos integrar funciones del tipo

o

Los casos más simples se obtienen cuando m = 0, n = 1 o m = 1, n = 0; para ellos, es ne-cesario conocer las fórmulas siguientes:

cot ( )csc ( )m nz z dz∫tan ( )sec ( )m nz z dz∫

csc( ) ln csc( ) cot( )x dx x x C= − + +∫cot( ) ln sen( )x dx x C= +∫

sec( ) ln sec( ) tan( )x dx x x C= + +∫tan( ) ln cos( )x dx x C= − +∫

Tabla 2.4: Fórmulas de integración de algunas funcionestrigonométricas.

Distinguimos también cuatro casos que dependen de la paridad de los expo-nentes, los cuales se muestran en la tabla 2.5.


Im ≥ 2

IIan = 2k par

k ≥ 1

IIbn = 2k par

k ≥ 1

IIIm = 2k + 1

impark ≥ 0, n ≥ 1

IVm = 2k

n = 2r + 1;k ≥ 0, r ≥ 0

tanm(z)cotm(z),

sec2k(z),csc2k(z),

tanm(z)sec2k(z)cotm(z)csc2k(z)

tan2k+1(z)secn(z)cot2k−1(z)cscn(z)

tan2k(z)sec2r+1(z)

tanm(z) = tanm−2(z)tan2(z)cotm(z) = cotm−2(z)cot2(z)

sec2k(z) = sec2k−2(z)sec2(z)csc2k(z) = csc2k−2(z)csc2(z)

sec2k(z) = sec2k−2(z)sec2(z)csc2k(z) = csc2k−2(z)csc2(z)

[tan2(z)]k secn−1(z)tan(z)sec(z)[cot2(z)]k cscn−1(z)cot(z)csc(z)

Integración por partes

tan2(z) = sec2(z) − 1cot2(z) = csc2(z) − 1

sec2(z) = 1 + tan2(z)csc2(z) = 1 + cot2(z)


tan2(z) = sec2(z) − 1cot2(z) = csc2(z) − 1


u = tan(z)u = cot(z)



u = sec(z)u = csc(z)

Tabla 2.5: Los casos posibles para integrar la expresión tanm(z)secn(z).

Caso Integrando Reducción Identidad Cambio

Ejemplos

solución

Ejemplo 2.29

Encuentra una expresión para

Reducimos el integrando de acuerdo con el caso I:

Para calcular la integral del primer término del lado derecho, utilizamos el cambio de variableu = cot(x); du = −csc2(x)dx. Los otros términos tienen integrales inmediatas. Entonces,

cot ( )cot ( )

cot( )43

3x dx

xx x C∫ = − + + +

cot ( ) cot ( )cot ( )

cot

4 2 2

2

x dx x x=

=

reescribiendo,

(( )(csc ( ) )

cot ( )c

x x

x

2

2

1−

=

usando identidades,

ssc ( ) cot ( )

cot ( )csc (

2 2

2 2

x x

x x

−

=

desarrollando,

)) (csc ( ) )− −2 1x usando identidades.

cot ( )4 x dx∫


solución

solución

Ejemplo 2.30

Halla la integral

Otra vez, es una integral que corresponde al caso I. Si seguimos la estrategia indicada:

Finalmente, las integrales de los primeros tres términos son inmediatas bajo el cambio de variableu = tan(x) y du = sec2(x)dx. Tenemos, entonces,

Ejemplo 2.31


En este caso, la integral corresponde al caso IIa. Así:

Ejemplo 2.32

Halla tan ( )sec ( )5 4∫ x x dx

sec ( ) sec ( )sec ( )

(tan

4 2 2x dx x x dx∫ ∫=

=

separando,

22 2

2

1( ) )sec ( )

tan (

x x dx+

=

∫ usando identidades,

xx x dx x dx

x

)sec ( ) sec ( )

tan ( )

2 2

3

3

+

=

∫∫ separando,

++ +tan( )x C integrando.

sec ( )4∫ x dx

tan ( )tan ( ) tan ( ) tan ( )

ln cos76 4 2

6 4 2x dx

x x x∫ = − + + (( )x C+

tan ( ) tan ( ) tan ( )

tan ( )(

7 5 2

5

x dx x x

x

=

=

separando,

ssec ( ) )

tan ( )sec (

2

5 2

1x

x

−

=

usando identidades,

xx x

x x

) tan ( )

tan ( )sec ( ) ta

−

= −

5

5 2

desarrollando,

nn ( )(sec ( ) )

tan (

3 2

5

1x x

x

−

=

usando identidades,

))sec ( ) tan ( )sec ( ) tan ( )2 3 2 3x x x x− + desarrollanddo,

= − +tan ( )sec ( ) tan ( )sec ( ) tan( )se5 2 3 2x x x x x cc ( ) tan( )2 x x− usando identidades.

tan ( )7∫ x dx


solución

solución

Como en el caso anterior:

Ejemplo 2.33

Calcula la integral

Se puede resolver de dos formas diferentes: siguiendo las estrategias de los casos IIb y III. Como lapotencia de tan(x) es menor que la potencia de sec(x), utilizamos la reducción sugerida en el caso III.

Hacemos ahora el cambio de variable

u = sec(x) y du = sec(x)tan(x)dx

Tenemos:

Ejemplo 2.34

Obtén una expresión para

cot ( )csc ( )5 7∫ x x dx

tan ( )sec ( ) ( )5 8 11 9 72∫ ∫= − +x x dx u u u du sustituyenddo,

integrando,= − + +

=

u u uC

x

12 10 8

12

12 5 8

12

sec ( ) −− + +sec ( ) sec ( ).

10 8

5 8

x xC usustituyendo

tan ( )sec ( ) tan ( )sec ( )sec( ) tan( )5 8 4 7x x x x x x= sepparando,

sepa= (tan ( )) sec ( )sec( ) tan( )2 2 7x x x x rrando,

usan= −(sec ( ) ) sec ( )sec( ) tan( )2 2 71x x x x ddo identidades,

= − +(sec ( ) sec ( ) )sec (4 2 72 1x x x))sec( ) tan( )x x desarrollando.

tan ( )sec ( )5 8∫ x x dx

tan ( )sec ( ) tan ( )sec ( )sec ( )5 4 5 2 2∫ ∫=x x dx x x x dx seeparando,

usan= +∫ tan ( )(tan ( ) )sec ( )5 2 21x x x dx ddo identidades,

= +∫ tan ( )sec ( ) tan ( )s7 2 5x x dx x eec ( )

tan ( ) tan ( )

2

8 6

8 6

x dx

x x

∫= + +

desarrollando,

CC integrando.


solución

solución

Seguimos la estrategia del caso III.

Haciendo el cambio de variable u = csc(x) y du = −csc(x)cot(x)dx resulta

Ejemplo 2.35

Calcula

La integral corresponde al caso IV, para calcularla utilizamos primero el método de integración por par-tes. Elegimos

Tenemos, entonces,

tan ( )sec ( ) sec ( ) tan( ) sec ( )2 5 5 71

5

1

5∫ = −x x dx x x x ddx

x x x

∫= −

integrando,

1

5

1

55 5sec ( ) tan( ) sec ( )secc ( )

sec ( ) tan( ) sec (

2

5 51

5

1

5

x dx

x x

∫= −

separando,

xx x dx)( tan ( ))

sec

1

1

5

2

5

+

=

∫ usando identidades,

(( ) tan( ) sec ( ) tan ( )sec ( )x x x dx x x dx− −∫ ∫1

5

1

55 2 5 ddesarrollando.

u x du x dx

dv x x dx v

= =

= =

tan( ); sec ( ) ,

tan( ) sec ( ) ;

2

5 11

55sec ( )x

tan ( )sec ( )2 5∫ x x dx

cot ( )csc ( ) ( )5 7 10 8 62∫ ∫= − − −x x dx u u u du sustituyenndo,

integrando,= − + − +

= −

u u uC

x

11 9 7

11

11

2

9 7

csc ( )) csc ( ) csc ( ).

11

2

9 7

9 7

+ − +x xC usustituyendo

cot ( )csc ( ) cot ( )csc ( )csc( )cot( )5 7 4 6x x x x x x= sepparando,

rees= (cot ( )) csc ( )csc( )cot( )2 2 6x x x x ccribiendo,

= −(csc ( ) ) csc ( )csc( )cot( )2 2 61x x x x uusando identidades,

= − +(csc ( ) csc ( ) )cs4 22 1x x cc ( )csc( )cot( )6 x x x desarrollando.


De donde resulta

La integral que nos falta se calculó en el ejemplo 2.29 de la sección de integral por partes. Sustituyen-do el resultado obtenemos, finalmente, que:

tan ( )sec ( ) sec ( ) tan( ) sec (2 5 5 31

6

1

6

1

4∫ = −x x dx x x xx x x x x x) tan( ) sec( ) tan( ) ln sec( ) tan( )+ + +( ) +3

8CC

x x x x

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= − −1

6

1

24

15 3sec ( ) tan( ) sec ( ) tan( )116

1

16sec( ) tan( ) ln sec( ) tan( )x x x x C− + +

6 2 5 5 5tan ( )sec ( ) sec ( ) tan( ) sec ( )∫ ∫= −x x dx x x x dx

Sección 2.3.3 Integrales de productos de senos y cosenoscon diferente argumento

Deseamos ahora integrar productos de funciones sinusoidales que no tienen el mismo ar-gumento. La idea que seguiremos es utilizar identidades trigonométricas para producirfunciones con el mismo argumento. Los tres casos que nos interesan se muestran en latabla 2.6; ahí también se indica la identidad trigonométrica adecuada para transformar elintegrando y poder hacer la integral.

Caso Integral (m ≠ n) Identidad

Tabla 2.6: Integrales de productos de funcionessinusoidales con argumento diferente.

I

II

III cos( )cos( ) cos( ) cos( )A B A B A B= − + +[ ]12cos( )cos( )∫ mx nx dx

sen( )sen( ) cos( ) cos( )A B A B A B= − − +[ ]12sen( )sen( )∫ mx nx dx

sen( )cos( ) sen( ) sen( )A B A B A B= − + +[ ]12sen( )cos( )∫ mx nx dx

Ejemplos

Ejemplo 2.36

Encuentra el valor de la integral

sen( )cos( )5 20

x x dxπ

∫


solución

x

– 0.25

y1

0.75

0.50.25

– 0.5

– 0.75– 1

p2p

FIGURA 2.13: Gráfica de la curva f (x) = sen(5x)cos(2x) en el intervalo [0, π].

solución

En la figura 2.13 se muestra la gráfica de la función f (x) = sen(5x)cos(2x). Observa que la integralcorresponde al caso I; utilizando la identidad trigonométrica asociada correspondiente, tenemos

Ejemplo 2.37

Calcula la integral

Corresponde al caso II; si usamos la identidad :

sen( )sen( ) cos( ) cos( )∫ = − − +[ ]3 2 3 2 3 212x x dx x x x x ddx

x x dx

∫∫= −[ ]

por la identidad,

12 5cos( ) cos( ) ssimplificando,

2in= −⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

+1 5

5sen( )

sen( )x

xC ttegrando.

sen( )sen( ) cos( ) cos( )A B A B A B= − − +[ ]12

sen( )sen( )∫ 3 2x x dx

sen( )cos( ) (sen( ) sen(5 21

25 2 5 2

0

x x dx x x x xπ

∫ = − + + )))

(sen( ) se

dx

x

0

1

23

π

∫

= +

usando la identidad,

nn( ))

cos( ) cos(

7

1

2

3

3

0

x dx

x

π

∫

= − −

simplificando,

77

7

1

2

1

3

1

7

1

3

1

7

0

x)⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

= + + +⎛⎝⎜

⎞⎠

π

integrando,

⎟⎟ = 10

21evaluando.

Sección 2.3.4 Integrales de potencias de funciones hiperbólicas

La integración de potencias funciones hiperbólicas es completamente análoga a la inte-gración de las potencias de funciones trigonométricas. En estos casos, debes recordar lasidentidades que se muestran en la tabla 2.7, así como las integrales de la tabla 2.8.


solución

Ejemplo 2.38

Resuelve

Esta integral corresponde al caso (III); al usar la identidad tenemos:

cos( )cos( ) cos( ) cos( )∫ ∫= − + +[ ]3 3 312x x dx x x x x dx ppor la identidad,

si= +[ ]∫ 12 2 4cos( ) cos( )x x dx mmplificando,

in= +⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

+1

2

2

2

4

4

sen( ) sen( )x xC ttegrando.

cos( )cos( ) cos( ) cos( )A B A B A B= − + +[ ]12

cos( )cos( )∫ 3x x dx

Identidades hiperbólicas

1

2

2 2

2 2

= −= +

cosh ( ) senh ( )

cosh( ) cosh ( ) senh (

x x

x x xxx x x

x

)senh( ) senh( )cosh( )

cosh ( ) (cosh

2 21

22

=

= (( ) )

senh ( ) (cosh( ) )

sech ( ) t

2 1

1

22 1

1

2

2

x

x x

x

+

= −

= − aanh ( )

csch ( ) coth ( )

2

2 2 1

x

x x= −

Tabla 2.7: Identidades trigonométricashiperbólicas.

Integrales hiperbólicas

cosh( ) senh( )

senh( ) cosh( )

tan

x dx x C

x dx x C

∫∫

= +

= +

hh( ) ln(cosh( ))

coth( ) ln(senh( )

x dx x C

x dx x

∫∫

= +

= ))

sech( ) arctan( )

csch( ) ln

+

= +

=

∫

∫

C

x dx e C

x dxe

x

x

2

−−+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+1

1eCx

Tabla 2.8: Integrales defunciones hiperbólicas.

Ejemplos

Ejemplo 2.39

Calcula las integrales siguientes:

a) b) sech ( )3 x dx∫sech( )x dx∫


solución

a) Para resolver la primera integral, escribimos sech(x) en términos de exponenciales:

Si usamos el cambio de variable u = ex, du = exdx obtenemos

b) Para determinar una expresión para la segunda integral utilizamos integral por partes, toma en cuen-ta que:

Entonces,

Al usar la identidad sech2(x) = 1 − tanh2(x),

De donde:

El resultado, usando el del primer inciso, es:

Ejemplo 2.40


senh ( )cosh ( )3 4t t dt∫

sech ( ) tanh( )sech( ) arctan( )3 1

2x dx x x e Cx∫ = + +

2 3sech ( ) tanh( )sech( ) sech( )x dx x x x dx∫ ∫= +

sech ( ) tanh( )sech( ) sech( )( sech (3 21x dx x x x∫ = + − xx dx

x x x dx x d

))

tanh( )sech( ) sech( ) sech ( )∫∫= + − 3 xx∫

sech ( ) tanh( )sech( ) sech( ) tanh ( )3 2x dx x x x x d∫ = + xx∫

u x du x x dx

dv x dx v

= = −=

sech( ) sech( ) tanh( )

sech ( )2 == tanh( )x

sech( )

arctan(

x dxu

du∫ =+

=

⌠⌡⎮

2

12

2 sustituyendo,

uu C

e Cx

)

arctan( )

+= +

integrando,

sustituyendo2 uu.

sech( )x dxe e

dx

e

e

x x

x

x

∫ =+

=

−⌠⌡⎮

2

22

sustituyendo,

++⌠⌡⎮ 1

dx desarrollando.


solución

Procedemos como en el caso Ib de funciones circulares para potencias de seno y coseno. Así:

Observa que en el último paso utilizamos el cambio de variable u = cosh(t) y du = senh(t)dt.

senh ( )cosh ( ) senh ( )cosh ( )senh( )3 4 2 4t t dt t t t∫ = ddt

t t t d

∫= −

separando,

(cosh ( ) )cosh ( )senh( )2 41 tt

t t

∫= −

usando identidades,

(cosh ( ) cosh ( ))s6 4 eenh( )

cosh ( ) cosh

t dt

t

∫= −

desarrollando,

1

7

1

57 5 (( )t C+ integrando.

1. Con tus propias palabras, describe cómo integrar , si

a) m es impar. b) n es impar. c) m y n son pares. d) m y n son impares.

2. Explica cómo integrar , si

a) m es par. b) n es impar.

3. Calcula las siguientes integrales; utilice los casos establecidos en la tabla 2.3.

sec ( ) tan ( )m nu u du∫

sen u u dum n∫ ( )cos ( )

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

o) cos ( )sen ( )7 44 4x x dx∫

cos ( )sen ( )7 24 4x x dx∫

cos ( )7 4x dx∫

cos ( )

sen ( )

5

3

x

xdx

⌠⌡⎮

sen ( ) cos( )5 3x x dx∫sen ( ) cos( )5 x x dx∫

sen ( )cos ( )3 4

0

2 24

x x dx

π

∫

sen cos3 5

2 2

x xdx

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟∫

cos ( ) sen ( )2 43 3x x dx∫sen ( ) cos ( )3 2x x dx∫sen ( ) cos ( )2 4x x dx∫cos ( )6 3x dx∫cos ( )4 x dx∫sen ( ) cos ( )4 3x x dx∫x x dxsen ( )2 2∫


4. Apóyate en los casos enunciados en la tabla 2.5 para determinar las siguientes integrales:

a)

b)

c)

d)

e)

f )

g)

h)

i)

j) sec( ) tan ( )x x dx7∫

sec ( ) tan ( )5 3x x dx∫

6 19 2x x dxtan ( )+∫

sec ( ) tan ( )4 7e e e dxx x x∫

cos ( )

sen ( )

2

3

4

4

x

xdx

⌠⌡⎮

cos ( )

sen ( )

2

4

x

xdx

⌠⌡⎮



tan tan3 4

3 3

x xdx

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⌠⌡⎮

tan ( )4 x dx∫

5. Usa los casos de la tabla 2.6 para calcular las siguientes integrales:

a)

b)

c)

d)

e)

f )

g)

h) sen( )sen( )sen( )x x x dx2 3∫

cos( )cos ( )x x dx2 3∫

sen( )sen( )ax ax b dx+∫cos( )cos( )ax b ax b dx+ −∫

sen cosx x

dx3

2

3

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⌠⌡⎮

cos cosx x

dx2 3

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⌠⌡⎮

sen( ) sen( )10 15x x dx∫sen( ) cos( )3 5x x dx∫

6. Utiliza los casos de la tabla 2.7 para encontrar una expresión para las siguientes integrales:

a)

b)

c)

d)

e)

f )

g)

h)

i)

j) sech ( ) tanh ( )2 52 2x x dx∫

sech ( )3 5 3x dx+∫

sech( )2x dx∫

coth ( )4 x dx∫

tanh ( )3 x dx∫

senh ( ) cosh ( )2 2x x dx∫

senh ( ) cosh( )3 x x dx∫

cosh ( )4 x dx∫

cosh ( )3 x dx∫

senh ( )3 x dx∫

7. Un cuerpo de masa m = 0.5 kg se encuentra unido a un resorte y se mueve con la función de posiciónx(t) = 0.03 cos(8t) + 0.01 sen(8t), donde x está dada en metros y t en segundos. Determina el valorpromedio de su energía cinética en el intervalo de tiempo[0, π/2].

8. Determina el área bajo la curva f(x) = 4 sech(x) en el intervalo [−1, 1] y, después, su valor promedio.

9. En mecánica cuántica, la probabilidad de encontrar una partícula en un intervalo [a, b] está dada por

, donde ψ (x) es la función de onda de la partícula. Si una partícula tiene fun-

ción de onda , establece la probabilidad de que la partícula se encuentre en elintervalo [0, 0.65], cuando el número cuántico n toma los valores 1, 2, 3, 4 o 5.

ψ π( ) sen( )x n x= 2

P a x b x dxa

b

( ) ( )≤ ≤ = ∫ ψ 2



10. Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales de variables separables:

a)

b)

c)

d) con la condición inicial y(1) = 0dy

dxx y x y= + + +1 4 4cos( ) cos( )

dy

dxx y x y= + + +1 sen( ) cosh( ) sen( )cosh( )

dy

dxx y= sen ( ) cosh ( )3 2

dy

dxx y= cos ( ) sech ( )2 22


1. Señales de prueba. (Que se presentó al inicio de esta sección.)

2. La función Beta. Ésta es una de las muchas funciones que estudió Leonard Euler, y que haresultado muy útil para analizar diversos problemas de física y matemáticas. Dicha funciónse define mediante la integral

a) Calcula B(1, 2), B(1, 3), B(2, 2), B(2, 3).b) Encuentra fórmulas para determinar B(1, n), B(2, n).c) Muestra que el cambio de variable z = sen2(θ) transforma la función beta en

d) Calcula B(1/2, 1), B(3/2, 1), B(1/2, 2) y B(3/2, 3).

e) Muestra que

f ) Usa la expresión anterior para encontrar

i.

ii. z z dz8 9

0

1

1( )−∫

z z dz4 4

0

1

1( )−∫

B n kn k

n kn k n k( , )

! !

( )!; , ; ,+ + =

+ +∈ ≥1 1

10Z

B x y d x yx y( , ) sen ( )cos ( ) ; ,/

= > >− −∫2 0 02 1 2 1

0

2

θ θ θπ

B x y z z dz x yx y( , ) ( ) ; ,= − > >− −∫ 1 1

0

1

1 0 0


g) Muestra que donde el símbolo doble

factorial se define como (2n − 1)!! = (2n − 1)(2n − 3)...(3)(1). Es decir, (2n − 1)!! es elproducto de los impares, empezando en 1 y terminando en 2n − 1.

h) Usa la expresión anterior para calcular

i. , sugerencia: haz el cambio u2 = 4z

i) Calcula

j) Usa la función beta para deducir las fórmulas de Wallis.

i. para n ≥ 3 impar

ii. para n ≥ 2 par cosn xdxn

n= ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1

2

3

4

5

6

1�

00

2

2

π

π∫ ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

cosn xdxn

n= ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

3

4

5

6

7

1�

00

2π

∫

cos ( )6

0

θ θπ

d∫

u u du3 2 3 2

0

2

4( ) /−∫

B n kn k

n kn k

n k( , )

( )!!( )!!

( )!; ,+ + = − −

++1

2

1

2

2 1 2 1

2∈∈ �;

Autoevaluación

1. Señala la opción que contenga el resultado de

a) c)

b) d)

2. Indica la opción que tiene el resultado de

a) c)

b) d) Jx

C=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+1

2 24cscJ

xC= −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+1

2 24csc

Jx x x=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+

⎛⎝⎜

1

6 2

1

2 2

1

2 26 4 2cot cot cot

⎞⎞⎠⎟+ CJ

x xC=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+1

10 2 25 2csc cot

Jx x

dx=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⌠⌡⎮csc cot4

2 2

I x x C= − +15

5 13

3cos ( ) cos ( )I x x C= +112

4 3sen ( ) cos ( )

I x x c= − +14

4 16

6sen ( ) sen ( )Ix x

C= − +cos ( ) cos ( )3 5

3 5

I x x dx= ∫ sen ( ) cos ( )3 2


3. Indica cuál inciso contiene el resultado de

a) c)

b) d)

4. Calcula

a) b) c) d)

5. Resuelve

a) b) c) d)

6. Determina una expresión para la integral

a) c)

b) d )

7. Encuentra una primitiva de

a) c)

b) d )

8. Indica la opción que representa el resultado de

a) Q = −6cos(x) + tan(x) + C c) Q = 6csc(x) + tan(x) + C

b) Q = 6cos(x) + sec(x) + C d) Q = −6csc(x) − sec(x) + C

9. Señala la opción que contenga el resultado de

a) R = 6senh(x) − csch(x) + C c) R = senh(x)[6x − coth(x)] + C

b) R = −6csch(x) + tanh(x) + C d) R = 6cosh(x) + tanh(x) + C

R x x dx= +⎡⎣ ⎤⎦∫ cosh( ) csch ( )6 2

Q x x dx= − +⎡⎣ ⎤⎦∫ sen( ) sec ( )6 2

Px

C=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+1

2 24cscP

xC= −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+1

2 24csc

Px x x=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+

⎛⎝⎜

1

6 2

1

2 2

1

2 26 4 2cot cot cot

⎞⎞⎠⎟+ CP

x xC=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+1

10 2 25 2csc cot

Px x

dx=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⌠⌡⎮csc cot4

2 2

Nx x

C= − +sec ( ) sec ( )8 6

8 6N

x xC= +sec ( ) tan ( )6 4

24

Nx x

C= +sec ( ) tan( )4

4N

x xC= − +sec ( ) sec ( )7 5

7 5

N x x dx= ∫ sec ( ) tan ( )5 3

M = + ( )1

22lnM = − ( )1

22lnM = 1

2M = − 1

2

M x dx= ∫ tan ( )3

0

4π

L = +π 2

16L = −π 2

16L = −4 2

24L = −4 2

12

L x dx= ∫ sen ( )2 28

4

π

π

K x x C= + +1

42

1

126cos( ) cos( )K x x C= + +1

42

1

126sen( ) sen( )

K x C= +1

86sen( )K x x C= +1

82 4sen( ) sen( )

K x x dx= ∫ cos( )cos( )2 4


10. Indica la opción que tiene el resultado de hacer la integral

a) S = 6tanh5(x) − 10tanh3(x) + 30sech(x) + C

b) S = 6tanh5(x) − 10tanh3(x) + 30tanh(x) + C

c) S = −6tanh5(x) − 10tanh3(x) − 30tanh(x) + 30x + C

d) S = 6tanh5(x) − 10tanh3(x) + 30tanh(x) − 30x + C

S x dx= ∫ 30 6tanh ( )

Respuestas a los


1. Se debe revisar la primera parte de la sección.

2. Debe verse la segunda parte de la sección.

3.

a)

b)

c)

d)

e)

f )

g)

h)

i)

j) sen ( ) cos( )cos ( ) cos ( ) cos5 2

3

4

7

23

27

2

x x dxx x= − + −

1112

11

( )xC+∫

sen ( )cos ( )3 4

0

2 21

35

4

x x dx

π

∫ =

sen cos cos3 5 8

2 2

1

4 2

x xdx

x⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟−∫ 11

3 26cos

xC

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+

cos ( )sen ( )sen( ) sen (2 4

3

3 31

8 2

12

24

6x x dx

x x x∫ = − − ))

18

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟+ C

sen ( ) cos ( )cos ( ) cos ( )3 2

3 5

3 5x x dx

x xC∫ = − + +

sen ( ) cos ( )sen( ) sen ( )2 4

3

16

4

64

2

48x x dx

x x xC= − + +∫∫

cos ( )sen( ) sen( ) sen (6

3

35

16

6

12

12

64

6x dx

x x x= + + − xxC

)

144+∫

cos ( )sen( ) sen( )4 3

8

2

4

4

32x dx

x x xC= + + +∫

sen ( ) cos ( )sen ( ) sen ( )4 3

5 7

5 7x x dx

x xC= − +∫

x x dxx x

Csen ( )sen( )2 2

2 2

2

2

8∫ = − +


k)

l)

m)

n)

o)

4.

a)

b)

c)

d)

e)

f )

g)

h)

i)

j)

5.

a)

b) sen( ) sen( )sen( ) sen( )

10 1525

50

5

10x x dx

x xC= − + +∫

sen( ) cos( )cos( ) cos( )

3 58

16

2

4x x dx

x xC= − + +∫

sec( ) tan ( ) sec ( ) sec ( ) sec (x x dx x x x7 7 5 31

7

3

5∫ = − + )) sec( )− +x C

sec ( ) tan ( ) sec ( ) sec ( )5 3 7 51

7

1

5x x dx x x C∫ = − +

6 13

81

1

21

39 2 8 2 6 2x x dx x xtan ( ) tan ( ) tan ( )+ = + − + +∫ 441

3

21 34 2 2 2tan ( ) tan ( ) log cos( )x x x C+ − + − +

sec ( ) tan ( ) tan ( ) tan (4 7 8 101

8

1

10e e e dx e ex x x x∫ = + xx C) +

cos ( )

sen ( )csc( )cot( ) l

2

3

4

4

1

84 4

1

8

x

xdx x x

⌠⌡⎮

= − + nn(csc( ) cot( ))4 4x x C+ +

cos ( )

sen ( )

cot ( )2

4

3

3

x

xdx

xC∫ = − +

sec ( ) tan ( )sec ( ) sec ( )3 3

5 3

5 3x x dx

x xC= − +∫

sec ( ) tan ( )tan ( ) tan ( )4 2

3 5

3 5x x dx

x xC= + +∫

tan tan tan3 4 2

3 3

3

2 3

x xdx

x⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= ⎛⎝⎝⎜

⎞⎠⎟ + ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ − ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ + ⎛

⎝tan tan ln cos3

33

33

3

x x x⎜⎜

⎞⎠⎟ + +∫ x C

tan ( )tan ( )

tan( )43

3x dx

xx x C= − + +∫

cos ( )sen ( ) sen ( ) sen ( )7 4 5 74 41

204

3

284x x dx x x∫ = − ++ − +

1

124

1

4449 11sen ( ) sen ( )x x C

cos ( )sen ( ) sen ( ) sen ( )7 2 3 54 41

124

3

204x x dx x x∫ = − ++ − +

3

284

1

3647 9sen ( ) sen ( )x x C

cos ( ) sen( ) sen ( ) sen (7 3 541

44

1

44

3

204x dx x x x∫ = − + )) sen ( )− +

1

2847 x C

cos ( )

sen ( )

sen ( )

sen ( )ln sen

5

3

2

22

1

22

x

xdx

x

x∫ = − − (( )x C+

sen ( ) cos( ) cos ( ) cos ( )5 3 43 1033

4

3

5

3x x dx x x∫ = − + −

116163 cos ( )x C+

Respuestas a los ejercicios de autoevaluación de la sección 2.3<T4>1. d)2. b)3. b)4. d)5. c)6. a)7. b)8. b)9. a)10. c)Referencias de la sección 2.3<T4>1. Pérez, J., Cálculo diferencial e integral, Granada, Universidad de Granada, 2006. 2. Piskunov, N., Cálculo diferencial e integral, Barcelona, Montaner y Simón, 1978. 3. Thomas, G., Cálculo (una variable), 11a. ed., México, Pearson Educación, 2005.


c)

d)

e)

f )

g)

h)

6.

a)

b)

c)

d)

e)

f )

g)

h)

i)

j)

7. 0.008 joules.

8. área = 6.92616, promedio = 3.46308.

9. P1 = 0.7788, P2 = 0.5743, P3 = 0.6664, P4 = 0.6734, P5 = 0.6182

sech ( ) tanh ( ) tanh ( )2 5 62 21

122x x dx x C∫ = +

sech ( ) tanh( )sech( ) ar3 5 31

105 3 5 3

1

5x dx x x+ = + + +∫ cctan( )e Cx5 3+ +

sech( ) arctan( )2 2x dx e Cx∫ = +

coth ( ) coth( )coth ( )4

3

3x dx x x

xC= − − +∫

tanh ( ) ln cosh( )tanh ( )3

2

2x dx x

xC= − +∫

senh ( ) cosh ( )senh( )2 2

8

4

32x x dx

x xC= − + +∫

senh ( ) cosh( )senh ( )3

4

4x x dx

xC= +∫

cosh ( )senh( ) senh( )4 3

8

2

4

4

32x dx

x x xC= + + +∫

cosh ( )senh ( )

senh( )33

3x dx

xx C= + +∫

senh ( )cosh ( )

cosh( )33

3x dx

xx C= − +∫

sen( )sen( )sen( )cos( ) cos( )

x x x dxx x

2 36

24

4

16= − −

ccos( )2

8

xC+∫

cos( )cos ( )sen( ) sen( ) sen( )

x x dxx x x2 3

2

5

20

7

1= + +

88+∫ C

sen( )sen( ) cos( ) sen( )ax ax b dx x ba

ax b+ = − + +1

2

1

42 CC∫

cos( )cos( ) cos( ) sen( )ax b ax b dx x ba

ax+ − = +1

22

1

42 ++∫ C

sen cos cos cx x

dxx

3

2

3

3

2 3

1

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− oos( )x C+∫

cos cos sen sex x

dxx

2 3

3

5

5

63

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ nn

xC

6

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+∫


10.

a)

b)

c) 2arctan(ey/2) = x − cos(x) + C

d) tany

x x2

2 32⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟ = + −

tanh( ) cos( ) cos ( )y x x C= − + +1

33

1

42

2 2

1

84senh( ) sen( )y

y xx C+ = + +


1. d) 2. b) 3. b) 4. d) 5. c)6. a) 7. b) 8. b) 9. a) 10. c)

Referencias

1. Pérez, J., Cálculo diferencial e integral, Granada, Universidad de Granada, 2006. 2. Piskunov, N., Cálculo diferencial e integral, Barcelona, Montaner y Simón, 1978. 3. Thomas, G., Cálculo (una variable), 11a. ed., México, Pearson Educación, 2005.

Tanques de gasolina

De manera constante, la procuraduría del consumidor alerta sobre el robo coti-diano que sufrimos los automovilistas cuando cargamos gasolina. Una posiblesolución a este problema sería incorporar en los automóviles un sistema que per-mita medir fácilmente la cantidad de gasolina que contiene su tanque. Se sugiereuno con marcas en los tanques tales que, conociendo el nivel o altura que alcan-za la gasolina, se determine su volumen.

1. Imagina que tienes un tanque cilíndrico horizontal, como el que se muestraen la figura 2.14a. Encuentra una expresión para el volumen de gasolina quecontiene el tanque, en términos de la altura h; suponga que el radio de la basedel tanque es R = 0.188m y la longitud es L = 0.451m.

2. Repite el procedimiento anterior para el caso del tanque de la figura 2.14b, alque se le agregaron semiesferas de radio R en los extremos.


2.4. Método de sustitución

trigonométrica

La integración ordinaria es solamente lamemoria de la diferenciación. Los dife-

rentes artificios mediante los cuales se lle-va a cabo la integración son cambios: node lo conocido a lo desconocido, sino de

formas en que la memoria no será de uti-lidad a aquéllas en que sí lo serán.

Augustus de Morgan

RL

R

h

L

a) b)

FIGURA 2.14: Tanques de gasolina. En a) se muestra uno cilíndrico; b) tiene dos semiesferas en los extremos.

Sección 2.4.1 Sustitución trigonométrica

El método de sustitución trigonométrica, como su nombre lo indica, se basa en reempla-zar la variable de integración por una función trigonométrica. Suele ser útil si el integran-

do contiene cualquiera de los términos . De estamanera es posible eliminar el radical utilizando identidades trigonométricas. Por ejem-

plo, el cambio u = a sen(θ) transforma el término en

con a > 0 y

Por otra parte, podemos establecer el cambio de variable apoyándonos en un triángulorectángulo adecuado. No resulta difícil comprobar que la hipotenusa de este triángulo es

a y que sus catetos son u y , como se observa en la tabla 2.9, donde tambiénresumimos las sustituciones trigonométricas aplicables a otras expresiones. En cada ca-so, se restringe θ, con la finalidad de asegurar que la función que define la sustituciónsea biunívoca. De hecho, estas restricciones son las mismas que se requieren para defi-nir las funciones trigonométricas inversas.

a u2 2−

02

≤ ≤θ πa u a a a a2 2 2 2 2 2 21− = − = −( ) =sen ( ) sen ( ) cos( )θ θ θ

a u2 2−

a u u a a u2 2 2 2 2 2− − +, o

1432.4: Método de sustitución trigonométrica

Introducción

El método de sustitución trigonométrica aparece en diversas situaciones. Enfísica, por ejemplo, en el cálculo de campos eléctricos o magnéticos produci-dos por líneas de carga o corriente; más aún, en problemas geométricos, co-mo la situación anterior, es de gran utilidad. En esta sección estudiaremos susdiferentes variantes.

Objetivos

Al terminar de estudiar esta sección, deberás ser capaz de describiry aplicar el método de sustitución trigonométrica para resolverlas integrales que lo requieran.


Expresión Sustitución Identidad Triángulo(a > 0)

Tabla 2.9: Sustituciones recomendadas de acuerdo con la expresión que aparezcaen la integral.

1 − sen2(θ) = cos2(θ)

1 + tan2(θ) = sec2(θ)

sec2(θ) − 1 = tan2(θ)u au a

u a=

≤ < ≥

≤ < ≤ −sec( );θ

θ π

π θ π

023

2

si

si u a2 2−

u au

u=

≤ < ≥

− < < <tan( );θ

θ π

π θ

02

0

20 0

si

si u a2 2−

u au

u=

≤ ≤ ≥

− ≤ < <sen( );θ

θ π

π θ

02

0

20 0

si

si

a u2 2+ au

u

a

u

u

a

u

u

Ejemplos

solución

Ejemplo 2.41

Calcula la integral

Mediante la sustitución adecuada, deseamos que desaparezca el radical . Para ello, tome encuenta el triángulo rectángulo de la figura 2.15.

25 2− x

Ix

xdx= −⌠

⌡⎮25 2

2

a u2 2+

a u2 2+

u a2 2−


Nota que en el radical los signos positivo y negativo están asociados a 25 y a x2, de forma que asociamossus raíces (positivas, por comodidad) 5 y x a las longitudes de la hipotenusa y de un cateto del triángu-lo, sin importar cuál relacionemos con x, pues el resultado final será el mismo. La selección que hici-mos es la usual. Del triángulo obtenemos el cambio de variable buscando la relación trigonométrica

más sencilla que implica a θ y a x, y ésta es . Entonces, al despejar x y al diferenciar y des-

pejar θ se tiene

; ; ; (2.11)

Además, del mismo triángulo de la figura (2.15) obtenemos

Sustituimos en la integral y resulta

donde utilizamos la identidad . Si nos apoyamos ahora en la identidad cot2(θ) = csc2(θ) − 1,

obtenemos

Para reescribir el resultado en términos de la variable x necesitamos observar nuevamente el triángulode la figura 2.15:

Finalmente, con las ecuaciones (2.11) se obtiene el resultado final:

25 25

5

2

2

2− = − − −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+

⌠⌡⎮

x

xdx

x

x

xCarcsen

cot( )θ = −25 2x

x

251

2

22− = −( ) = − − +

⌠⌡⎮ ∫x

xdx d Ccsc ( ) cot( )θ θ θ θ

cot( )cos( )

sen( )θ θ

θ=

25 5

255

2

2 2

− = ( )⌠⌡⎮

⌠⌡⎮

x

xdx

send

cos( )

( )cos( )

θθ

θ θ == ∫ cot ( ) ,2 θ θd

25 52− =x cos( )θ

θ =⎛⎝⎜

⎞⎠⎟arcsen

x

5dx = 5cos( )θx = 5sen( )θ

sen( )θ = x

5

5x

q

FIGURA 2.15: Triángulo asociado a la sustitución del ejemplo 2.41.

25 2− x


solución

Ejemplo 2.42

Encuentra una expresión para la integral

Observamos la tabla (2.9) y vemos que el cambio adecuado es u = a tan(θ) con y u = 2x. Enla figura 2.16 se muestra el triángulo asociado a este caso.

a = 7

7 4 2+∫ x dx

2x

q


Entonces,

Despejando x, diferenciando y despejando θ se tiene

; ; (2.12)

Además, del triángulo obtenemos

(2.13)

Y, al sustituir en la integral, resulta

Esta integral se resolvió en el ejemplo 2.46 de la sección dedicada a la integración por partes. Con elresultado que ahí obtuvimos llegamos a

7 47

42+ = + +( ) +∫ x dx Csec( ) tan( ) ln sec( ) tan( )θ θ θ θ 11

7 4 77

2

7

22 2 3+ = =∫ ∫ ∫x dx d dsec( ) sec ( ) sec ( )θ θ θ θ θ

7 4 72+ =x sec( )θ

θ =⎛⎝⎜

⎞⎠⎟arctan

2

7

xdx d= 7

22sec ( )θ θx = 7

2tan( )θ

2 7x = tan( )θ


solución

Para escribir el resultado en términos de la variable x utilizamos las relaciones (2.12) y (2.13):

el cual podemos simplificar todavía más si usamos . Finalmente,

Ejemplo 2.43

Calcula la integral

El radical no se encuentra en ninguna de las formas mostradas en la tabla (2.9), así que completamosel trinomio cuadrado en el radicando, de donde obtenemos

x2 + 8x + 7 = (x2 + 8x + 16) − 16 + 7 = (x + 4)2 − 9

dx

x x2 8 73

2+ +( )⌠

⌡⎮⎮

7 42

7 47

47 4 22 2 2+ = + + + + +∫ x dx

xx x x Cln

− ( ) + =7

47 1ln C C

7 47

4

7 4

7

2

7

7 4

7

2

72

2 2

+ = + + + +⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟+∫ x dx

x x x xCln 11

2 2

17

4

2 7 4

7

7 4 2

7= + + + +⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟+x x x x

Cln

x + 4

q

3


De acuerdo con la tabla (2.9) el triángulo adecuado es el que se muestra en la figura 2.17.Esto nos lleva a la sustitución

sec( )θ = +x 4

3


Al despejar x y diferenciar θ se tiene

x = 3 sec(θ) −4; dx = 3 sec(θ) tan(θ); (2.14)

Además, del triángulo:

(2.15)

Si sustituimos en la integral:

Nos apoyamos en la reducción

y con la sustitución adicional u = sen(θ), tenemos

Considerando la figura 2.17,

Finalmente, el resultado es

De forma equivalente:

Ejemplo 2.44

Calcula la integral

ln ( )

ln ( )

3

2 4

t

t tdt

−

⌠

⌡⎮

dx

x x

x

x xC

2 28 7

4

9 8 73

23

2+ +( )= − +

+ +( )+

⌠

⌡⎮⎮

dx

x

x

xC

+( ) −( )= − +

+( ) −( ) +⌠

⌡⎮⎮

4 9

4

9 4 923 2

sen( )θ =+( ) −

+x

x

4 9

4

2

dx

xd

+( ) −( )= = −

⌠

⌡⎮⎮

⌠⌡⎮4 9

1

9

12 3 2 2/

cos( )

sen ( )

θθ

θ99sen( )θ

+ C

sec( )

tan ( )cos( )

sen ( )

cos ( )

cos( )

s

θθ

θθθ

θ2 2

2

1

= =een ( )

,2 θ

dx

x

d

+( ) −⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟

=⌠

⌡

⎮⎮

4 9

3

2723 3

sec( ) tan( )

tan

θ θ θ(( )

sec( )

tan ( )θθ θ

θ⌠⌡⎮

⌠⌡⎮= 1

9 2

d

tan( )θ =+( ) −x 4 9

3

2

θ = +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟arctan

x 4

3


solución

Primero hacemos el cambio de variable:

Con lo que

Del triángulo de la figura 2.18 se tiene que

z = 2 sec(θ); (2.16)

Al diferenciar y despejar θ,

dz = 2 sec(θ) tan(θ)dθ ;

Finalmente, sustituyendo en la integral:

θ =⎛⎝⎜

⎞⎠⎟arcsec

z

2

z2 4 2− = tan( )θ

ln ( )

ln ( )

3

2

3

24 4

t

t tdt

z

zdz

−=

−

⌠

⌡⎮

⌠

⌡⎮

z t dzdt

t= =ln( );

z

q

2


Ahora usamos la identidad sec2(θ) = 1 + tan2(θ), lo cual nos lleva a:

z

zdz d

3

2

2 2

24

8

8 1−

=

= +( )

⌠

⌡⎮ ∫ sec ( )sec ( )

tan ( )

θ θ θ

θ ssec ( )

sec ( ) tan ( )sec ( )

2

2 2 28

θ θ

θ θ θ θ θ∫∫ ∫= +⎡⎣

d

d d ⎤⎤⎦

= +⎡

⎣ 8

3

3

tan( )tan ( )θ θ

⎢⎢⎤

⎦⎥+ C

z

zdz d

3

2

3

4

8

22

−=

⌠

⌡⎮

sec ( )

tan( )( )sec( ) tan( )

θθ

θ θ θθ θ θ⌠⌡⎮ = ∫8 4sec ( )d


solución

Para escribir nuestro resultado con la variable, z usamos la ecuación (2.16), de donde

Finalmente, al usar z = ln(t) obtenemos el resultado de la integral pedida:

Ejemplo 2.45


De forma similar al ejercicio anterior, primero es conveniente hacer el cambio de variable

z = et; dz = etdt

Con lo cual obtenemos, después de completar el trinomio cuadrado del término que aparece en el radi-cando:

Utilizamos ahora el triángulo de la figura 2.19 para establecer el cambio

z + 3 = 5 tan θ ; dz = 5 sec2 θdθ ; z +( ) + =3 25 52 sec( )θ

e

e edt

dz

z z

dt

t t2 26 34 6 343

23

2+ +( )=

+ +( )=

⌠

⌡⎮⎮

⌠

⌡⎮⎮

zz

z +( ) +⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟

⌠

⌡

⎮⎮

3 252

3

e

e edt

t

t t2 6 343

2+ +( )⌠

⌡⎮⎮

ln ( )

ln ( )

ln ( )ln ( )

3

2

22

4

8

3

t

t tdt

tt

−= +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ −

⌠

⌡⎮ 44 + C

z

zdz z z C

zz

3

2

2 2 3 2

22

44 4

1

34

4

312

−= − + −( ) +

= − + −

⌠

⌡⎮

/

44

8

34

22

( ) +

= + − +

C

zz C

( )

z + 3

q

5



Sustituimos en la integral:

Del triángulo de la figura 2.19:

Finalmente,

El resultado de la integral pedida es, entonces,

e

e edt

e

e eC

t

t t

t

t t2 26 34

3

25 6 343

2+ +( )= +

+ ++

⌠

⌡⎮⎮

dz

z

z

z zC

+( ) +( )= +

+ ++

⌠

⌡⎮⎮

3 25

3

25 6 3423 2

sen( )θ = +

+( ) += +

+ +z

z

z

z z

3

3 25

3

6 342 2

dz

z

d

+( ) +⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟

=( )

⌠

⌡

⎮⎮

3 25

5

523

2

3

sec ( )

sec( )

θ θθ

⌠⌠

⌡⎮

⌠⌡⎮=

= = +∫

d

d C

θθ

θ θ θ

25

1

25

1

25

sec( )

cos( ) sen( )

1. Con tus propias palabras, indica la sustitución adecuada para calcular las siguientes integrales

a) b) c)

2. Calcula las siguientes integrales:

u a du2 2−∫a u du2 2+∫a u du2 2−∫

a)

b)

c)

d )

e)

f ) x x dx−∫ 2

4 25 2+∫ x dx

49 2−⌠⌡⎮

x

xdx

x dx2 4−∫

dx

x2 1−⌠⌡⎮

x dx2 9+∫


g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

o)

p)

q)

r) ; a > 0x a x dx3 2 2−∫

ln( )

ln( ) ln ( )

x

x x xdx

1 4 2− −

⌠

⌡⎮

sen( )

cos ( ) cos( )

x

x xdx

2 4 1+ +

⌠

⌡⎮

dx

e ex x2 1+ +⌠⌡⎮

dx

e x2 1−⌠⌡⎮

dx

e ex x2 +⌠⌡⎮

x

x xdx

5 2 12 − +⌠⌡⎮

2 8

1 2

x

x xdx

−

− −⌠⌡⎮

dx

x x2 6−⌠⌡⎮

x

x xdx

4 4 2+ −⌠⌡⎮

x

x xdx

+

+ +⌠⌡⎮

1

6 52

2 2− −∫ x x dx

3. Determina el área encerrada por la elipse

4. La probabilidad de que una variable aleatoria continua tome valores en el intervalo [a, b] se calcula me-

diante la integral , donde f (t) es la función de densidad de probabilidad. Establece la probabi-

lidad de que una variable aleatoria tome valores en el intervalo (−1,1), si la función de densidad de pro-babilidad está dada por

con −∞ < t < ∞

5. De acuerdo con la ley de conservación de la energía, una partícula de masa m con energía potencial V(x)

se mueve según la ecuación , donde E es la energía total de la partícula, x su posición

y v su velocidad. Si una partícula con masa m = 4 kg parte al tiempo t = 0 seg de la posición x = 0 m convelocidad v = 1 m/s y se mueve con energía potencial V(x) = 2x2, determina su posición como funcióndel tiempo.

Sugerencia: Despeja la velocidad en la ecuación de la energía y usa y después separa las varia-

bles de la ecuación diferencial obtenida.

6. Observa la figura 2.20. Encuentra el área de la región que está dentro del círculo de radio r = 4 centra-do en el origen y arriba de la recta y = h con 0 < h < 4.

vdx

dt=

E mv V x= +1

22 ( )

f tt

( ) /=+( )3

4 1 2 5 2

f t dta

b

( )∫

x

a

y

b

2

2

2

21+ = .


7. La curvatura de una función se calcula de acuerdo con la fórmula , donde y' y y'' son

la primera y segunda derivadas de la función. Determina una función que tenga curvatura constante igual a k = 1/4.

Observación: Primero supón que z = y', después necesitarás integrar dos veces.

ky

y=

+( )''

( ')/

1 2 3 2


2– 2–

y

x– 4– 44

– 2–

– 44–

2

444

FIGURA 2.20: Área de círculo.


1. Tanques de gasolina.

2. Ley de Biot y Savart. Observa la figura 2.21. De acuerdo con la Ley de Biot y Savart, lamagnitud del campo magnético B está dada por la siguiente integral. El campo produce unacorriente I circulante sobre un alambre de longitud L, en un punto P(a, b), que se encuen-tra sobre el eje y.

donde es la permeabilidad magnética del vacío. μ π07 24 10= × − Nw Amp/

BIa

a b ydy

L

=+ −( )( )

⌠

⌡⎮⎮

μ

π0

2 2 3 2

04

/


a) Usa esta fórmula para determinar el campo magnético producido por una corriente deI = 10 amperes que circula por un alambre de longitud L = 0.40 metros en los puntosP(0.1, 0.01) y P(0.1, 01).

b) Determina una expresión general para el campo magnético en un punto cualquiera (a, b).

c) Calcula una expresión para el campo promedio que siente una partícula que se muevede P(0.1, 0.1) al punto P(0.1, 0.01) sobre la línea recta que une ambos puntos.

P(a, b)

y

x0

I

L

FIGURA 2.21: Ley de Biot y Savart.

P(a, b)

y

x0 L

FIGURA 2.22: Campo y potencial eléctrico.

3. Campo y potencial eléctrico. La varilla de la figura 2.22 tiene longitud L y densidad decarga uniforme λ. Las componentes del campo eléctrico que produce en el punto P(a, b)están dadas por

y .EKb

a x bdxy

L

=− +( )

⌠

⌡⎮⎮

λ

( )2 2

0

32

EK a x

a x bdxx

L

= −

− +( )⌠

⌡⎮⎮

λ ( )

( )2 2

0

32

donde es la constante eléctrica. Asimismo, el potencial eléctricoen el mismo punto P(a, b) está dado por

VK

a x bdx

L

=− +( )

⌠

⌡⎮⎮

λ

( )2 2

0

12

K Nw m C= ×9 109 2 2/


a) Determina las componentes del campo en los puntos (0, L), (L/2, L) y (L, L).

b) Calcula el potencial en los puntos (0, L), (L/2, L) y (L, L).

c) ¿Cómo se relaciona el campo eléctrico con el potencial? Explica.

Autoevaluación


a) I = arcsen (x − 1) + C c)

b) d )

2. Señala la opción que contiene el resultado de

a) c)

b) d)


a) c)

b) d)

4. Explica cuál es la opción que contiene el resultado de

a) c)

b) d ) Lx

xC=

−+

36 36 2L

x

xC=

−+

36 2

Lx

C=−

+2

6 36 2L

xC= −

−+2

36 2

Lx

dx=−( )

⌠

⌡⎮⎮

1

36 23

2

Kx

C= +cos ( )4

4K

xC= +

5

5

K xx

C= − +−( )2

23

2

11

3K x

xC= + +tan( )

tan ( )3

3

Kx

xdx=

−

⌠⌡⎮

3

2 1

Jx

C=⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟+arcsen

4

3

Jx

C= −−

+1

2 16 2

Jx

C= −

−( )+3

2 16 25

2J

x

xC=

−+

16 16 2

Jx

dx=−( )

⌠

⌡⎮⎮

1

16 23

2

I x x C= + −( ) +ln 3 2 2I x x C= + − +4 3 2 2

Ix

C= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+2

1

2arcsen

Ix x

dx=+ −

⌠⌡⎮

2

3 2 2


5. Señala la opción que contiene el resultado de

a) c)

b) d) M x x x C= − − + + − +ln ln1 1 4 1 42 2Mx

xx C= − − + − +ln

1 1 4

21 4

22

M x x x C= − − + + − +ln ln1 1 4 2 1 42 2M x x C= − − + − +ln 1 1 4 1 42 2

Mx

xdx= −⌠

⌡⎮1 4 2

Respuestas a los


1. Se debe revisar la teoría de esta sección.

2.

a)

b)

c)

d )

e)

f )

g)

h)

i) x

x xdx x x

xC

4 44 4 2

2

2 22

2

+ −= − + − + −⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟+∫ arcsen

x

x xdx x x x x x C

++ +

= + + − + + + + +∫ 1

6 56 5 2 3 6 5

2

2 2ln

22 1

42

9

8

2 1

32 2− − = + − − + +⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟+∫ x x dx

xx x

xCarcsen

x x dxx

x x x C− = − − + −( ) +∫ 2 22 1

4

1

82 1arcsen

4 252

5

5 49

45 4 252

22+ = − + + +

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ +∫ x dx

x xx x Cln

4949 7 7 7 49

22 2− = − + − + − +∫ x

xdx x x x Cln ln

x dx x x x x C2 2 241

24 2 4− = − − + − +∫ ln

dx

xx x C

2

2

11

−= + − +∫ ln

x dxx

x x x C2 2 292

99

29+ = + + + + +∫ ln


j)

k)

l)

m)

n)

o)

p)

q)

r)

3. A = πab

4. P = 0.883883

5. x = sen(t)

6.

7. (x − C1)2 + (y − C2)

2 = 16

área = −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ − −16

16

416

22arcsen

hh h

x a x dx a x a x C3 2 2 2 2 3 2 2 21

152 3− = − −( ) +( ) +∫ /

ln( )

ln( ) ln ( )ln( ) ln ( )

x

x x xdx x x

1 41 4 2

2

2

− −= − − − −∫ aarcsen

ln( )2

5

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+xC

sen( )

cos ( ) cos( )ln cos( ) cos (

x

x xdx x

2

2

4 12

+ += + +∫ xx x C) cos( )+ + +4 1

dx

e ex e e e C

x x

x x x

2

2

12 2 1

+ += − + + + + +∫ ln

dx

ee C

x

x

2 1−= ( ) +∫ arcsec

dx

e e

e

eC

x x

x

x2

2 1

+= − + +∫

x

x xdx x x

xx x

5 2 1

1

55 2 1

1

5 5

5 1

55 2 1

2

2 2

− += − + − − + − +∫ ln ++ C

2 8

12 1 9

2 1

52

2x

x xdx x x

xC

−

− −= − − − − +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

+∫ arcsen

dx

x xx x x C

2

2

63 6

−= − + − +∫ ln



1. c) 2. a) 3. c) 4. d) 5. b)

Referencias

1. Pérez, J., Cálculo diferencial e integral, Grananda, Universidad de Granada, 2006. 2. Piskunov, N., Cálculo diferencial e integral, Barcelona, Montaner y Simón, 1978. 3. Thomas, G., Cálculo (una variable), 11a. ed., México, Pearson Educación, 2005.

El efecto Allee

El crecimiento de una población que se reproduce sexualmente se puede mode-lar a través del modelo de Malthus o de la ecuación logística. En el primero sesupone que los recursos son ilimitados; mientras que en el segundo se realiza unajuste considerando que la población tiene un límite. En ambos, sin embargo, nose considera la posibilidad de que la población desaparezca debido a que seencuentre debajo de la población umbral necesaria para su subsistencia. La expe-riencia demuestra que si la velocidad de crecimiento de la población es baja—cuando se debe primordialmente a la falta de apareamientos—, quizá esté enriesgo de desaparecer. A este fenómeno se le conoce como efecto Allee y se mo-dela con base en la ecuación diferencial

donde k es un factor de crecimiento; r indica la capacidad máxima de la pobla-ción; a es un umbral, por debajo del cual la velocidad de crecimiento es negati-va; y 0 < a < r. Las tres constantes son positivas:

a) Estudia gráficamente la función , e indica en qué

región la razón de cambio de la población es positiva y en cuál negativa.

b) Resuelve la ecuación diferencial, suponiendo que en el tiempo t = 0 la pobla-ción es P0.

c) Analiza el caso de una población con r = 0.02, k = 18,000, a = 800, suponien-do primero que P0 = 780 y después que P0 = 820. ¿Qué ocurre si P0 = 800?

d) Con los datos del inciso anterior, ¿qué ocurre si la población inicial es de20,000 habitantes o si fueran 16,000?

e) En general, construye una gráfica de la población considerando los casosP0 < a, a < P0 < r, P0 > r. Interpreta las gráficas obtenidas.

H P kP P aP

r( ) = −( ) −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟1

dP

dtkP P a

P

r= −( ) −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟1

1592.5: Integración por fracciones parciales

2.5 Integración por

fracciones parciales

La matemática es la herramientaespecialmente adecuada para tratar

con conceptos abstractos decualquier naturaleza y su poder

en este campo es ilimitado.

P.A.M. Dirac

Sección 2.5.1 El método de fracciones parciales

En álgebra es común encontrar ejercicios o problemas, donde se necesita simplificar aformas más compactas expresiones como

; ;

El proceso que nos interesa ahora es, precisamente, el inverso: dada una fracción final¿de qué fracciones parciales proviene? Para contestar, observemos los pasos seguidos enla simplificación de las fracciones anteriores:

4

2

7

4

4 4 7 2

2 4

11 2

22x x

x x

x x

x

x−+

+= + + −

− += +

+( ) ( )

( )( ) xx

x x

x

x

x

x

−

−−

−( )= −( ) −

−( )= −

−( )

83

1

5

1

3 1 5

1

3 8

1

5

2 2 2

xx

x

x

x x x

x x

x x+ ++

=+( ) + +( )

+( ) = + +3 9

1

5 1 3 9

1

8 9 52

2

2

2

xx x2 1+( )

5 9

12x x+

+3

1

5

1 2x x−−

−( )

4

2

7

4x x−+

+


Objetivos


• Determinar las fracciones parciales de una función racional.• Integrar funciones racionales con el método de fracciones par-

ciales.• Aplicar el método de Heaviside para calcular los coeficientes

de los términos lineales de una fracción parcial.• Aplicar el método de Hermite para integrar funciones racionales.• Modelar situaciones de crecimiento de población de tipo lo-

gístico.

Introducción

El método de fracciones parciales se utiliza primordialmente para encontrarexpresiones de integrales de funciones racionales. Como veremos, se basaen el teorema fundamental del álgebra que indica que cualquier polinomiose puede factorizar en productos de factores lineales y factores cuadráticosirreducibles. Esto nos permite proponer una forma diferente de escribir lafunción racional, que a la vez, nos ayuda a determinar la integral más fácil-mente. En esta sección también discutiremos dos métodos complementa-rios: de Heaviside y de Hermite, que potencian el procedimiento tradicionalde fracciones parciales. De nuevo, el campo de las ecuaciones diferencialeses fuente de situaciones donde nuestro método de integración encuentra susmejores aplicaciones. El problema con que se inicia esta sección es un claroejemplo de ello.

Los tres pasos básicos son: tomar un denominador común, y después sumar y simplifi-car. Observa, además, que las fracciones parciales y totales son impropias. Una de estasúltimas se caracteriza porque el grado del polinomio del numerador es menor que el deldenominador.

Para el proceso inverso, primero debemos identificar los términos de donde puedeprovenir una fracción total; para ello, debemos factorizar el denominador en factoresirreducibles de primero y segundo grados. Posteriormente, se deben proponer las frac-ciones parciales más generales posibles asociadas a cada factor del denominador. Por

ejemplo, para determinar las fracciones parciales de la fracción total propia ,

primero observemos que el denominador se puede factorizar como x2 + 2x − 8 = (x − 2)(x + 4). Por cada factor, proponemos una fracción parcial general y establecemos laigualdad entre la fracción total y la suma de las fracciones parciales:

Ahora sólo falta conocer los coeficientes A y B. Hay muchas formas para obtenerlos, porejemplo, si multiplicamos la expresión por (x − 2)(x + 4), con lo cual obtenemos

11x + 2 = A(x + 4) + B(x − 2) = (A + B) x + 4A − 2B

En esta ecuación se encuentra establecida una igualdad entre dos polinomios; como dospolinomios son iguales si y sólo si también lo son los coeficientes de potencias corres-pondientes, se debe:

A + B = 11 coeficientes de x,

4A − 2B = 2 términos independientes de x.

La solución de este sistema de ecuaciones es

A = 4 y B = 7.

Con estos valores obtenemos las fracciones parciales de donde proviene la fracción total. En general, el método de fracciones parciales se basa en el teorema fundamental del

álgebra, que señala que cualquier polinomio de grado n con coeficientes constantes rea-les se puede factorizar como producto de términos lineales ax + b y cuadráticos irredu-cibles (sin raíces reales) ax2 + bx + c. Y, en consecuencia, cualquier función racional seescribe en la forma

,

donde p(x) es un polinomio y o . Ahora, esta-

bleceremos el método para la búsqueda de las fracciones parciales de una fracción totaldada.

F xBx C

ax bx ci n( ) = +

+ +( )2F x

A

ax bi n( ) =

+( )

f xP x

Q xp x F x F x F xk( ) = = + + + +( )

( )( ) ( ) ( ) ( )1 2 �

11 2

2 8

11 2

2 4 2 42

x

x x

x

x x

A

x

B

x

++ −

= +− +

=−

++( )( )

11 2

2 82

x

x x

++ −


Vale la pena hacer algunos comentarios sobre el método propuesto.


Método de fracciones parciales

Para descomponer en fracciones simples se sigue la siguiente es-

trategia:

1. Divide si la fracción es impropia. Con esto obtendrá ,

donde p(x) será un polinomio y será una fracción propia.

2. Factoriza Q(x) en factores lineales (ax + b)n y cuadráticos irreducibles(ax2 + bx + c)n.

3. Por cada factor lineal (ax + b)n propón las fracciones parciales

4. Por cada factor cuadrático (ax2 + bx + c)n propón las fracciones simples

5. Suma las fracciones parciales propuestas e iguala con la fracción propia

.

6. Multiplica la ecuación obtenida en el paso anterior por Q(x); con esto, obtendrásla igualdad entre dos polinomios.

7. Establece el sistema de ecuaciones a resolver, igualando los coeficientes delas potencias correspondientes de cada polinomio.

8. Resuelve el sistema de ecuaciones y sustituye sus resultados en la ecuación

obtenida en el paso 5 para obtener . Finalmente, suma el polinomio p(x)

para obtener .P x

Q x

( )

( )

R x

Q x

( )

( )

R x

Q x

( )

( )

A x B

ax bx c

A x B

ax bx c

A x B

ax

n n1 12

2 2

2 2

++ +

+

+ +( )+

, , ,�22 + +( )bx c

n

A

ax b

A

ax b

A

ax bn

n1 2

2+( ) +( ) +( ), , ,�

R x

Q x

( )

( )

P x

Q xp x

R x

Q x

( )

( )( )

( )

( )= +

P x

Q x

( )

( )

f xP x

Q x( ) = ( )

( )

Observaciones

• Si en la factorización se producen factores lineales (ax + b)n con n = 1, dire-mos que los factores son lineales no repetidos. En caso de que n > 1, diremos

El método que analizamos tiene su aplicación más interesante en la integración de fun-ciones racionales. Para encontrar la integral de una función de este tipo, primero busca-mos las fracciones parciales de donde proviene y después las integramos. En la tabla 2.10se muestran las integrales que necesitamos conocer para calcular rápidamente la integralde una función racional. Observa que la última expresión es una fórmula de reducción.Si no deseas utilizarla, deberás hacer las integrales de ese tipo utilizando sustitucióntrigonométrica.


que los factores lineales son repetidos. Hacemos la misma clasificación paralos factores cuadráticos irreducibles obtenidos (ax2 + bx + c)n: si n = 1 dire-mos que los factores son cuadráticos no repetidos y si n > 1 serán factorescuadráticos repetidos.

• El objetivo de los pasos 6, 7 y 8 es conocer los coeficientes de las fraccionesparciales. Desde luego, el método que proponemos no es la única alternativapara conocerlos, pero sí es un algoritmo general que se aplica en cualquiercaso.

Integrales básicas(a, b ≠ 0 y n > 1)

1.

2.

3.

4.

5.

6. dx

a b x

x

n a a b x

nn n2 2 2 2 2 2 2 1

2 1

2 3

+( )=

− +( )+ −⌠

⌡⎮⎮ −

( ) 22 1 2 2 2 2 1( )n a

dx

a b xCn− +( )

+−

⌠

⌡⎮⎮

xdx

a b x n b a xCn n2 2 2 2 2 2 1

1

2 1+( )=

− +( )+

⌠

⌡⎮⎮ −

( )

dx

a b x ab

bx

aC2 2 2

1

+= ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ +⌠

⌡⎮arctan

xdx

a b x ba b x C2 2 2 2

2 2 21

2+= +( ) +⌠

⌡⎮ln

dx

a bx b n a bxCn n+( )

=− +( )

+⌠⌡⎮ −

1

1 1( )

dx

a bx ba bx C

+= + +⌠

⌡⎮1

ln

Tabla 2.10: Fórmulas de las integrales necesarias en el métodode fracciones parciales.


Ejemplos

solución

Ejemplo 2.46

Determina las fracciones parciales de donde provienen las fracciones siguientes:

a) b)

a) En este caso, proponemos que

Multiplicando por (x − 1)2 tenemos

3x − 8 = A(x − 1) + B = Ax + B − A

Al igualar los coeficientes de las mismas potencias de cada polinomio,

A = 3 coeficentes de x,

B − A = −8 términos independientes de x.

La solución del sistema es: A = 3 y B = −5. Finalmente, la fracción total se puede escribir en términosde sus fracciones parciales como

b) Proponemos ahora que

Multiplicamos por x(x2 + 1) y después desarrollamos

8x2 + 9x + 5 = A(x2 + 1) + x(Bx + C) = (A + B)x2 + Cx + A

Igualamos los coeficientes de las mismas potencias de cada polinomio para obtener

A + B = 8 coeficentes de x2,

C = 9 coeficientes de x,

A = 5 términos independientes de x

La solución del sistema es A = 5; B = 3 y C = 9. Con este resultado podemos escribir R en términos desus fracciones parciales como

Rx x

x x x

x

x= + +

+( ) = + ++

5 9 5

1

5 3 9

1

2

2 2

Rx x

x x

A

x

Bx C

x= + +

+( ) = + ++

8 9 5

1 1

2

2 2

Qx

x x x= −

−( )=

−−

−( )3 8

1

3

1

5

12 2

Qx

x

A

x

B

x= −

−( )=

−+

−( )3 8

1 1 12 2

Rx x

x x= + +

+( )8 9 5

1

2

2Q

x

x= −

−( )3 8

1 2


solución

Ejemplo 2.47


Observa que la fracción es impropia, es decir, el grado del numerador es mayor que el del denominador.Por ello, el primer paso es hacer la división para reescribir la función como la suma de un polinomio másuna fracción propia. Es posible realizar directamente la división, como se muestra a continuación.

De aquí obtenemos que

El término polinomial se integra directamente. Para integrar la parte fraccionaria, primero necesitamosdeterminar sus fracciones parciales. Como los factores del denominador son lineales y no repetidos,proponemos que

Si multiplicamos por (x − 2)(x + 2):

3x − 23 = A(x + 2) + B(x − 2)

Al desarrollar:

3x − 23 = (A + B) x + 2A − 2B

Como dos polinomios son iguales si son iguales los coeficientes de las mismas potencias, obtenemosel siguiente sistema de ecuaciones:

3 = A + B

−23 = 2A − 2B

cuya solución es

y B = 29

4A = − 17

4

3 23

4

3 23

2 2 2 22

x

x

x

x x

A

x

B

x

−−

= −−( ) +( ) =

−( ) ++( )

x x x

xx

x

x

4 2

22

2

10 3 1

46

3 23

4

− + +−

= − + −−

)x x x xx

2 4 2

2

4 10 3 16

− − + +−

6

− +− + +

x x

x x

4 2

2

4

3 1

6x2 24−3 23x −

x x x

xdx

4 2

2

10 3 1

4

− + +−

⌠⌡⎮


solución

Entonces,

El resultado final se consigue integrando la expresión anterior de la siguiente manera:

Ejemplo 2.48

Calcula la integral

La función racional a integrar es propia y no necesitamos dividir. Factorizaremos el denominador, pa-ra establecer las fracciones parciales de donde proviene la fracción original

x3 + x2 − 2x = x(x2 + x − 2) = x(x − 1)(x − 2)

Observa que los tres factores son lineales no repetidos, lo que nos permite proponer la siguiente des-composición en fracciones parciales:

Al multiplicar por x3 + x2 − 2x:

4x2 − 3x − 4 = A(x − 1)(x + 2) + Bx(x + 2) + Cx(x − 1) multiplicando,

= (A + B + C)x2 + (A + 2B − C)x + (−2A) agrupando términos.

Igualamos los coeficientes de potencias iguales de x para conseguir el sistema de ecuaciones

A + B + C = 4;

A + 2B − C = −3;

−2A = −4.

La solución de este sistema es: A = 2, B = −1, C = 3. Entonces,

por lo que

donde C1 es la constante de integración que hemos indicado para evitar confusión con el coeficiente Cque necesitamos en el método.

4 3 4

22 1 3 2

2

3 2 1x x

x x xdx x x x C

− −+ −

= − − + + +⌠⌡⎮

ln ln ln

4 3 4

2

2 1

1

3

2

2

3 2

x x

x x x x x x

− −+ −

= −−

++

4 3 4

2 1 2

2

3 2

x x

x x x

A

x

B

x

C

x

− −+ −

= +−

++

4 3 4

2

2

3 2

x x

x x xdx

− −+ −

⌠⌡⎮

x x x

xdx

xx x

4 2

2

310 3 1

4 36

17

42

29

4

− + +−

= − − − +⌠⌡⎮

ln ln xx C+ +2

x x x

xx

x x

4 2

2210 3 1

46

17 4

2

29 4

2

− + +−

= − −−

++

/ /


solución

Ejemplo 2.49

Calcula la integral

En este caso, la fracción también es propia y no necesitamos dividir. Además, ahora contamos con unfactor lineal repetido, por ello, la descomposición en fracciones parciales que proponemos es

Multiplicando por x(x − 1)3 resulta

x3 − 4x − 1 = A(x − 1)3 + Bx(x − 1)2 + Cx(x − 1) + Dx

= (A + B)x3 + (−3A − 2B + C)x2 + (3A + B − C + D)x + (−A)

Igualamos coeficientes de potencias iguales para que resulte el sistema de ecuaciones

A + B = 1;

−3A − 2B + C = 0;

3A + B − C + D = −4;

−A = −1

cuya solución es

A = 1; B = 0; C = 3 y D = −4.

por lo cual

Finalmente, integrando, tenemos

Ejemplo 2.50


5 3 2 13 2

4 2

x x x

x xdx

− + −+

⌠⌡⎮

x x

x xdx x

x xC

3

3 2 14 1

1

3

1

3

1

− −−( )

= −−

+−( )

+⌠

⌡⎮ ln

x x

x x x x x

3

3 2 3

4 1

1

1 3

1

4

1

− −−( )

= +−( )

−−( )

x x

x x

A

x

B

x

C

x

D

x

3

3 2 3

4 1

1 1 1 1

− −−( )

= +−

+−( )

+−( )

;

x x

x xdx

3

3

4 1

1

− −−( )

⌠

⌡⎮


solución

De nuevo, como la fracción es propia, empezamos por factorizar el denominador

x4 + x2 = x2(x2 + 1)

Observa que aparece un factor lineal repetido x2 y un factor cuadrático irreducible x2 + 1. La descom-posición de fracciones parciales que proponemos es

Multiplicando por el factor x2(x2 + 1),

5x3 − 3x2 + 2x − 1 = Ax(x2 + 1) + B(x2 + 1) + Cx3 + Dx2

= (A + C)x3 + (B + D)x2 + Ax + B

En este caso, al igualar los coeficientes de potencias correspondientes, se obtiene el sistema de ecua-ciones

A + C = 5

B + D = −3

A = 2

B = −1

cuya solución es

A = 2; B = −1; C = 3; D = −2.

Por lo cual

Integramos para el resultado final:

Ejemplo 2.51

Calcula la integral

xdx

x x−( ) +( )⌠

⌡⎮⎮

1 12 2

5 3 2 1

12

1 3

21

3 2

2 22x x x

x xdx x

xx

− + −+( ) = + + + −

⌠

⌡⎮ ln ln 22 1arctan( )x C+

5 3 2 1

1

2 1 3 2

1

3 2

2 2 2 2

x x x

x x x x

x

x

− + −+( ) = − + −

+

5 3 2 1

1 1

3 2

2 2 2 2

x x x

x x

A

x

B

x

Cx D

x

− + −+( ) = + + +

+


solución

El denominador tiene un factor lineal x − 1 y un factor cuadrático irreducible repetido (x2 + 1)2, así quela descomposición de fracciones parciales que proponemos es

Seguimos el proceso de los ejercicios anteriores y multiplicamos por (x − 1)(x2 + 1)2:

de donde resulta el sistema de ecuaciones

0 = A + B

0 = C − B

0 = 2A + B − C + D

1 = E − B + C − D

0 = A − C − E

Aprovecharemos la segunda ecuación para reescribir el sistema de la siguiente forma

A = −B

C = B

0 = 2A + D

1 = E − D

0 = A − C − E

La solución, fácil de encontrar, es

por lo cual

Las integrales de estos términos son inmediatas. (Consulta el formulario de integrales de la tabla 2.10de esta sección.)

x

x xdx x x

−( ) +( )= − − + −

⌠

⌡⎮⎮

1 1

1

41

1

81

1

42 22ln ln arctaan( ) arctan( )x

xx

x

xC+

+( ) + ++

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

=

1

4 1

1

4 12 2 1

11

41

1

81

1

4 1

1

4 12

2 2 1ln lnx xx

x

xC− − + +

+( ) ++

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

x

x x x

x

x x

x

x−( ) +( )=

−( ) −+( ) −

+( ) −1 1

1

4 1 4 1

1

4 1 22 2 2 2 22 2 2 21

1

2 1+( )+

+( )x

;A B C D E= = − = − = − =1

4

1

4

1

4

1

2

1

2; ; ; .

x A x Bx C x x Dx E x

A

= +( ) + +( ) −( ) +( ) + +( ) −( )=

2 2 21 1 1 1

( ++ + − + + − + + − + − + − −B x C B x A B C D x E B C D x A C) ( ) ( ) ( )4 3 22 EE

x

x x

A

x

Bx C

x

Dx E

x−( ) +( )=

−+ +

++ +

+( )1 1 1 1 12 2 2 2 2


solución

Ejemplo 2.52

Calcula la integral

Primero, hacemos el cambio de variable z = tan(x); dz = sec2(x)dx. Entonces,

el denominador tiene un factor lineal repetido y uno no repetido. La descomposición en fracciones par-ciales que proponemos es

Multiplicamos por z2(z + 1):

1 = Az(z + 1) + B(z + 1) + Cz2

= (A + C)z2 + (A + B)z + B

de donde obtenemos el sistema de ecuaciones

0 = A + C;

0 = A + B;

1 = B.

La solución de este sistema es A = −1; B = 1; C = 1. Finalmente,

por lo que

El último paso es regresar a la variable x original:

sec ( )

tan ( ) tan ( )ln tan( )

tan(

2

3 2

1x

x xdx x

+= − −⌠

⌡⎮ xxx C

)ln tan( )+ + +1 1

dz

z zz

zz C3 2 1

11

+= − − + + +⌠

⌡⎮ln ln

1 1 1 1

13 2 2z z z z z+= − + +

+

1

1 12 2z z

A

z

B

z

C

z+( ) = + ++

sec ( )

tan ( ) tan ( )

2

3 2 3 2 2

x

x xdx

dz

z z

dz

z+=

+=⌠

⌡⎮⌠⌡⎮ zz +( )

⌠⌡⎮ 1

sec ( )

tan ( ) tan ( )

2

3 2

x

x xdx

+⌠⌡⎮

Sección 2.5.2 Ecuación logística

Dos de los modelos de crecimiento de una población que se han utilizado con buen éxi-to son los de Malthus y el logístico. En el primero, se supone que la razón de crecimien-to de una población es proporcional a la población misma; es decir,

Si la población inicial es P0, no es difícil mostrar que la población está dada porP(t) = P0e

kt. Con este modelo, la población crece sin medida. Sin embargo, sabemos que losrecursos con que ella cuenta no son ilimitados y tendrán efecto sobre su crecimiento. Elmodelo logístico incorpora este hecho y establece un límite a la población máxima quese puede tener. En este caso, la ecuación diferencial apropiada es

(2.17)

Donde r y k son constantes positivas y el coeficiente r se conoce como la capacidad máxi-ma de la población. Aun sin resolver la ecuación diferencial, sabemos que si 0 < P < r

entonces , lo cual significa que la población crece. Si P > r entonces y

decrece. En la figura 2.23 se muestra la gráfica de , donde se observa

que tendrá una razón de cambio máxima cuando . La ecuación diferencial (2.17)

se resuelve fácilmente utilizando el método de separación de variables y fracciones par-ciales, como lo constatamos en los ejemplos.

Pr=2

g P kPP

r( ) = −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟1

dP

dt< 0

dP

dt> 0

dP

dtkP

P

r= −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟1

dP

dtkP=


kr

dPdt

r rx

2

4

FIGURA 2.23: Gráfica de la función g(P): la población crece en la región (0, r).

Ejemplos

Ejemplo 2.53

Expertos en demografía estiman que la máxima población que la Tierra puede sostener es de 30,000millones de personas. Supón que la población crece siguiendo un modelo logístico, que en el año 2000había 6,000 millones de seres humanos y que en 2005 ya eran 6,500 millones, aproximadamente. ¿Encuánto tiempo se alcanzarán 25,000 millones de habitantes?


solución

Si el crecimiento es logístico, entonces la ecuación diferencial que modela la población humana es laecuación (2.17) con r = 30, en unidades de miles de millones; es decir,

Si separamos las variables de población y tiempo:

Podemos integrar el término izquierdo usando el método de fracciones parciales; proponemos que

Multiplicando por P(30 − P) resulta:

30 = A(30 − P) + BP = P(B − A) + 30A

lo cual nos lleva al sistema de ecuaciones

B − A = 0 coeficientes de P,

30 A = 30 términos independientes de P.

Cuya solución es A = B = 1. Finalmente,

Aprovechemos las propiedades de la función logaritmo para expresar P en términos de t. Así,

Consideremos que t = 0 en el año 2000 y t = 5 en el año 2005. De la condición P(0) = 6 se tiene

630

11

1

=+

C

C

lnP

Pkt C

30 −= + por propiedades de los logaritmoos,

aplicando la exponenciP

Pe C ekt C kt

30 1−= =+ aal y sus propiedades,

desP C e C ekt kt1 301 1+( ) = aarrollando,

despejando .PC e

C eP

kt

kt=+

30

11

1

1 1

30P PdP kdt+

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =⌠

⌡⎮ ∫ sustituyendo los coeeficientes,

integrando.ln lnP P kt C− − = +30

30

30 30P P

A

P

B

P−( ) = +−

30

30

dP

P Pkdt

−( ) =⌠⌡⎮ ∫

dP

dtkP

P= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟1

30


de donde obtenemos

De la condición P(5) = 6.5,

de donde resulta

Así, la ecuación logística que modela la población humana es

En la figura 2.24 se muestra la gráfica de la población para los próximos 300 años. Observa que 30,000millones es, en efecto, la población límite.

Pe

e e

t

t=+

=+

7 5

1 0 25

7 5

0 25

0 0202192

0 0202192

.

.

.

.

.

. −− −=+0 0202192 0 0202192

30

1 4. .t te

6 5 1 625 7 5

5 875 6

5

5

. . .

.

+ =

=

e e

e

k kt

k

multiplicando,

..

log.

.

5

1

5

6 5

5 87

despejando la exponencial,

k =55

0 0202192⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = . despejando .k

6 57 5

1 0 25

5

5..

.=

+e

e

k

k

C11

4=

t

P t

– 5–50 100 150 200 250 3000– 505–

551010

1515

20202525

3030

3535

FIGURA 2.24: Número mundial de habitantes, de acuerdo con el modelo logístico.El tiempo se mide en años; y la población, en miles de millones de habitantes.

Por otra parte, la población será de 25,000 millones de habitantes cuando

De aquí,

e

t

t− =0 0202192 1

20. despejando la exponencial,

== =ln( )

..

20

0 0202192148 163 años despejando el tiempo.

2530

1 4 0 0202192=+ −e t.


solución

Ejemplo 2.54

En un informe reciente de la Organización Mundial de Salud, la fiebre de Lassa aparece como una delas enfermedades de mayor contagio en África. Imagina que esta epidemia crece en una comunidad,de forma proporcional al número de habitantes infectados y a la cifra de los que no lo han sido. En-cuentra una ecuación diferencial que modele el crecimiento de la población infectada y, después, unaexpresión para el número de ellos, como una función del tiempo (en semanas). Supón que la comuni-dad señalada tiene 2,000 residentes, que 500 tenían la enfermedad cuando ésta se detectó y que 800fueron contagiados a finales de la primera semana.

Supón que P(t) es la población infectada al tiempo t, que N es la cantidad de habitantes de la comunidad.El hecho que la primera crezca proporcionalmente a la cifra de los infectados y de los no infectadossignifica que

Al separar las variables y usar P(0) = 500 se tiene que

Integrando por el método de fracciones parciales:

Observa que para el tiempo t = 1 la población es P = 800, de forma que la constante 2000k es

Si usamos este valor, se tiene que

Finalmente, despejando P:

Pe t=

+ −2000

1 3 0 693147.

ktP

P

eP

PPe P

kt

kt

=−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= −

+ =

−

−

ln3

20002000

33 20000

2000800

1200

500

15000 693k = ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ − ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ =ln ln . 1147

ktP P

kt

t

t

P

P

==

= − −0

5002000

2000

2000

2000

ln( ) ln( )

==−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ − ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ln ln

P

P2000

500

1500

dP

P Pkdt

Pt

2000500

0−( ) =⌠

⌡⎮ ∫

dP

dtkP N P= −( )

Sección 2.5.3 Métodos de Hermite y Heaviside

Como seguramente lo observaste, en el método de fracciones parciales se requiere demucha habilidad algebraica para plantear y resolver el sistema de ecuaciones que setrabaja, y obtener así la integral de una función dada. Para reducir las dificultades,dispones de otras estrategias, algunas muy sencillas.

En primer lugar, analicemos la que se conoce como método de Heaviside. Piense, porejemplo, que queremos determinar los coeficientes A, B y C de la siguiente ecuación:

(2.18)

Si multiplicamos por x + 1, tenemos

Esta expresión es válida para x ≠ −2; si la evaluamos en x = −1 obtenemos

Si ahora multiplicamos la ecuación (2.18) por (x + 2)2:

(2.19)x

x

A x

xB x C

++

= +( )+

+ +( ) +3

1

2

12

2

Ax

x x

= ++

==−

3

22

1

x

xA

B

x

C

xx

++

= ++

++( )

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

+3

2 2 212 2( )

( )

x

x x

A

x

B

x

C

x

++ +

=+

++

++( )

3

1 2 1 2 22 2( )( )


La gráfica de esta función se muestra en la figura 2.25. Observa que a las tres semanas la población in-fectada es cercana a 1,500 habitantes; después, la velocidad de contagio disminuye; pero a la larga (10semanas), casi todos los habitantes estarán infectados.

2000

1500

500

– 500–1 2 3 4 5 6 7 88

P

1000

t

FIGURA 2.25: El crecimiento de una epidemia que depende del tamaño de la población. El tiempo se mide en semanas.

Esta expresión es válida para x ≠ −1. En particular, si la evaluamos en x = −2:

Derivando la expresión (2.19), resulta

Finalmente, si evaluamos en x = −2, entonces,

B = −2

Con lo que resulta:

Observa que no necesitamos ningún sistema de ecuaciones para calcular los coeficien-tes, ya que el método permite obtenerlos de forma casi inmediata. En general, tenemoslos siguientes casos:

x

x x x x x

++ +

=+

−+

−+( )

3

1 2

2

1

2

2

1

22 2( )( )

−+( )

= +( ) +( ) − +( )+( )

+2

1

2 1 2 2

12

2

2x

A x x x

xB

Cx

x x

= ++

= −=−

3

11

2


Caso 2.1: Factores lineales no repetidos

a) Si es una fracción propia; y x − a, un factor lineal no repetido de

Qn(x), la fracción se puede escribir como , donde

(2.20)AP a

Q a

x a P x

Q xnx a

n

= = −

− →

( )

( )

( ) ( )

( )1

lím

P x

Q x

A

x a

R x

Q xn n

( )

( )

( )

( )=

−+

−1

P x

Q xn

( )

( )

Caso 2.2: Factores lineales repetidos

b) En el caso de que x − a sea un factor lineal repetido k veces de Qn(x), la fracción se

puede escribir como , donde

con j = 1, 2,..., k. (2.21)Ak j

d

dx

x a P x

Q xjx a

k j

k j

k

n

=−

−⎡

⎣⎢

→

−

−lím1

( )!

( ) ( )

( )

⎤⎤

⎦⎥

P x

Q x

A

x a

A

x a

A

x a

R x

Qn

kk

n k

( )

( )

( )=−

+−( )

+−( )

+−

1 22 �

(( )x

En los casos de factores cuadráticos irreducibles no es tan sencillo determinar los coefi-cientes. Sin embargo, es posible extender los resultados anteriores, factorizando los tér-minos cuadráticos en términos lineales con coeficientes complejos y usando álgebra denúmeros complejos.

Una segunda alternativa, conocida como método de Hermite, consiste en proponer deinicio la forma de la integral de una función racional con factores repetidos y, después,

calcular los coeficientes necesarios faltantes. En efecto, supón que es una fracción

propia y que Q(x) se factoriza como Q(x) = (x − ai)ni … (x2 + bix + ci)

mi con x2 + bix + cifactor cuadrático irreducible; entonces,

(2.22)

donde R(x) es un polinomio de grado menor al grado de (x − ai)ni−1…(x2 + bix + ci)

mi−1. Pa-ra determinar los coeficientes desconocidos, necesitamos calcular la derivada indicada,lo cual quizá sea laborioso. Sin embargo, la ventaja es clara; la integral que correspondea los factores repetidos es inmediata, como lo veremos en los ejemplos 2.58 y 2.59.

P x

Q x

A

x a

Bx C

x b x c

d

dx

R x

x ai i i

( )

( )

( )=−

+ + ++ +

+ +−

� �2

iin

i i

mi i

x b x c( ) + +( )⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

− −1 2 1…

P x

Q x

( )

( )


Ejemplos

solución

Ejemplo 2.55

Utiliza el método de Heaviside para calcular la integral

Como la integral es propia, tenemos

Los coeficientes A, B y C se calculan utilizando

Ax x

x x

Bx

x

x

= + +−( ) +( ) = −

= +→−

→

lím

lím

1

2

2

2

3 2 3

2 5

1

3

3 22 3

1 5

19

21

3 2 3

15

2

x

x x

Cx x

x xx

++( ) +( ) =

= + ++( )→−

lím−−( ) = =

2

68

28

17

7

3 2 3

1 2 5 1 2 5

2x x

x x x

A

x

B

x

C

x

+ ++( ) −( ) +( ) =

++

−+

+

3 2 3

1 2 5

2x x

x x xdx

+ ++( ) −( ) +( )

⌠⌡⎮


solución

Así,

Al integrar:

donde C1 es la constante de integración.

Ejemplo 2.56

Usa el método de Heaviside para calcular la integral

Primero, proponemos que

Los coeficientes, A, B y C se calculan utilizando

Para el coeficiente B, usamos

Finalmente,

Integrando,

x

x xdx x x

xC

−−( ) +( )

= − − + + −+

+⌠⌡⎮

7

1 1

3

21

3

21

4

12 ln ln 11

x

x x x x x

−−( ) +( )

= −−( ) +

+( ) ++( )

7

1 1

3

2 1

3

2 1

4

12 2

Bd

dx

x

x xx x= −

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

=−(→− →−

lím lím1 1

7

1

6

1))

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=2

3

2

Ax

x

Cx

x

x

x

= −+( )

= − = −

= −−

=

→

→−

lím

lím

1 2

1

7

1

6

4

3

2

7

1

8

2== 4

x

x x

A

x

B

x

C

x

−−( ) +( )

=−

++

++( )

7

1 1 1 1 12 2

x

x xdx

−−( ) +( )

⌠⌡⎮

7

1 1 2

3 2 3

1 2 5

1

31

19

21

2x x

x x xdx x

+ ++( ) −( ) +( ) = + +

⌠⌡⎮

ln ln xx x C− + + +217

75 1ln

3 2 3

1 2 5

1

3 1

19

21 2

2x x

x x x x x

+ ++( ) −( ) +( ) = −

+( ) +−( ) + 117

7 5x +( )


solución

Ejemplo 2.57

Usa el método de Heaviside y el álgebra de números complejos para calcular la integral

Como la fracción es propia proponemos que

donde hemos considerado que el factor cuadrático se puede escribir como x2 + 1 = (x + i)(x − i), concomo unidad imaginaria. Ahora, los coeficientes A y B se calcularán utilizando las relaciones

(2.21) y (2.20), respectivamente:

Para calcular los coeficientes C y D utilizamos álgebra de números complejos y la relación (2.20):

Así,

Al final:

Al integrar:

x x x

x xdx x

3 2

2 2

4 2 3

4 1

282

2894

1+ + +−( ) +( ) = − −

⌠

⌡⎮⎮ ln

339

17 4

7

5781

23

2892

1xx x C

−( ) + +( ) − +ln arctan( )

x x x

x x x x

3 2

2 2

4 2 3

4 1

282

89 4

139

17 4

+ + +−( ) +( ) =

−( ) +−(( )

+ −+( )2 2

7 23

289 1

x

x

C

x i

D

x i

C D x C D i

x

x

x−+

+= +( ) + −( )

+= −

+( )2 21

7 23

289 1

Cx x x

x x ix i= + + +

−( ) +( )⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ = +

→lím

3 24 2 3

4

7

578

23ii

Dx x x

x x ix i

578

4 2 3

4

73 2

= + + +−( ) −( )

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

→−lím

5578

23

578− i

Ad

dx

x x x

x

B

x= + + +

+⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

=

→lím

lí

4

3 2

2

4 2 3

1

282

289

mmx

x x x

x→

+ + ++

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

4

3 2

2

4 2 3

1

139

17

i = −1

x x x

x x

A

x

B

x

C

x i

D3 2

2 2 2

4 2 3

4 1 4 4

+ + +−( ) +( ) =

−+

−( )+

−+

xx i+

x x x

x xdx

3 2

2 2

4 2 3

4 1

+ + +−( ) +( )

⌠

⌡⎮⎮


solución

Ejemplo 2.58

Utiliza el método de Hermite para calcular la integral

Como el factor x2 + 1 tiene multiplicidad dos, proponemos, de acuerdo con el método de Hermite,

Al calcular la derivada,

Desarrollamos y agrupamos términos en potencias de x:

Multiplicamos por (x − 1)(x2 + 1)2 y obtenemos la siguiente igualdad entre polinomios:

De aquí establecemos el sistema de ecuaciones

−2 = A − D − C1 = D + 2E − B + C0 = D − 2E + 2A + B − C0 = C − B − D0 = A + B

cuya solución está dada por

Finalmente,

x

x xdx

A

x

Bx C

xdx

−− +

=−

+ ++

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

⌠⌡⎮ ∫

2

1 1 1 12 2 2( )( )++ +

+

=−−

+

Dx E

x

x

x

2

14

14

1

1

propuesta de solución,

+++

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

+−+

= −

∫1

1 1

1

2

34

14

2xdx

x

xsustituyendo,

441

1

81

3 1

4 12

2 1ln ln arctan( )x x xx

xC− + +( ) + + −

+( ) + iintegrando.

A B C D E= − = = = = −1

4

1

41

3

4

1

4; ; ; ; .

x A B x C B D x D E A B C x D E− = +( ) + − −( ) + − + + −( ) + + −2 2 2 24 3 2 BB C x A D C+( ) + − −

x

x x

A B x C B D x D E A B−− +

= +( ) + − −( ) + − + +2

1 1

2 22 2

4 3

( )( )

−−( ) + + − +( ) + − −− +

C x D E B C x A D C

x x

2

2 2

2

1 1( )( )

x

x x

A

x

Bx C

x

x D Dx E−− +

=−

+ ++

++( ) − +(2

1 1 1 1

12 2 2

2

( )( )

))+( )

2

12 2

x

x

x

x x

A

x

Bx C

x

d

dx

Dx E

x

−− +

=−

+ ++

+ ++

⎡⎣

2

1 1 1 1 12 2 2 2( )( ) ⎢⎢⎤⎦⎥

x

x xdx

−− +

⌠⌡⎮

2

1 12 2( )( )


solución

Ejemplo 2.59

Utiliza el método de Hermite para calcular la integral

De acuerdo con el método sugerido, proponemos

No es difícil mostrar que la derivada está dada por

Así, multiplicando por (x − 1)2(x + 2)3:

De aquí establecemos el siguiente sistema de ecuaciones

La solución de este sistema es

Por último,

x

x xdx

x xdx

−− +

=−

−+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⌠⌡⎮

⌠⌡

2

1 2

2

27

1

1

1

22 3( ) ( )⎮⎮ + + −

− +

= − − + +

2 5 4

9 1 22

271

2

272

2

2

2

x x

x x

x x

( )( )

ln lnxx x

x xC

2

2 15 4

9 1 2

+ −− +

+( )( )

A B C D E= = − = = = −2

27

2

27

2

9

5

9

4

9; ; ; ; .

− = − − += − − + − −= + − −=

2 8 2 41 4 4 4 30 2 6 2 30

A D BC A D B E

C A D B−− + +

= +C A B

A B5 2

0

x Cx C D x D C E x D A x x− = − + − + − − − + − +2 2 4 3 2 1 23 2( ) ( ) ( )( )33 2 21 2

8 2 4 4 4 4 3

+ − += − − + + − − + − −

B x x

A D B C A D B E

( ) ( )

( )xx C A D B x C A B x A B x+ + − − + − + + + +( ) ( ) ( )2 6 2 3 5 22 3 4

d

dx

Cx Dx E

x x

Cx C D x2

2

3

1 2

2+ +−( ) +( )

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

= − + −( ) 22

2 3

4 3 2

1 2

+ − − −−( ) +( )

( )D C E x D

x x

x

x x

A

x

B

x

d

dx

Cx Dx E

x

−− +

=−

++

+ + +−

2

1 2 1 2 12 3

2

( ) ( ) ( )(xx +⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

2 2)

x

x xdx

−− +

⌠⌡⎮

2

1 22 3( ) ( )


1. Indica los pasos necesarios para descomponer, en fracciones parciales, la función racional

2. Descompón las siguientes fracciones en sus fracciones parciales:

f xP x

Q x( )

( )

( ).=

a)

b)

c)

d )

e)

f )

g)

h)

i)

j) yx

x x= +

+ +3 5

1 42 2 2( ) ( )

yx x

=+

1

12 2( )

yx x

x x= + +

+1

4

2

2 2( )

yx x

=+

1

12( )

yx

x x= −

+ +2 3

1 2

2

2 2( ) ( )

yx x x

x x= + − +

+ +4 2 3 2

1 2

3 2

3( )( )

yx

x= +

−

3

2

3

4

yx x

x x= +

+ +

2

2

3

5 4

yx x

x x x= + −

− + −

2 3 2

1 1 5( )( )( )

yx

x x= +

− +1

2 3( )( )

3. Calcula las siguientes integrales utilizando el método de fracciones parciales:

a)

b)

c)

d )

e)

f )

g)

h)

i)

j)

k)

l )

m)

n)

o) dx

x1 2 2+( )

⌠

⌡⎮⎮

dx

x3 1+⌠⌡⎮

dx

x x x x2 24 3 4 5− +( ) + +( )⌠

⌡⎮

x

xdx

4

4 1−⌠⌡⎮

x x

x xdx

3

2

1

1

+ ++( )

⌠

⌡⎮

x x

x xdx

2

2 2

8 7

3 10

− +

− −( )⌠

⌡⎮⎮

5 6 9

3 1

2

2 2

x x

x xdx

+ +−( ) +( )

⌠

⌡⎮

x x x

x x xdx

4 3 2

3 2

6 12 6

6 12 8

− + +− + −

⌠⌡⎮

x

x xdx

3

3

1

4

−−

⌠⌡⎮

dx

x x +( )⌠⌡⎮ 1 2

5 2

5 4

3

3 2

x

x x xdx

+− +

⌠⌡⎮

2 41 91

1 3 4

2x x

x x xdx

+ −−( ) +( ) −( )

⌠⌡⎮

dx

x x x−( ) +( ) +( )⌠⌡⎮ 1 2 3

dx

x x x3 22− +⌠⌡⎮

xdx

x x−( ) +( )⌠⌡⎮ 1 1 2


p)

q)

r)

s)

t) cos ( )sen( )

sen ( )

3

22 5

x x

xdx

+⌠⌡⎮

x x

x xdx

3

2

1

1

5 6

5 6

+ +− +

−

⌠⌡⎮

x x x dx

x x x

4 2

5 4 3

2 3 3− − −( )+ +

⌠

⌡⎮

dx

x x x+( ) + +( )⌠

⌡⎮⎮

1 12 2

3 5

2 22 2

x dx

x x

+( )+ +( )

⌠

⌡⎮⎮

4. Calcula las siguientes integrales.

Observación: Antes, necesitarás hacer una sustitución.

a)

b)

c)

d ) tan( )x dx∫

tanh( )x dx∫

dx

e ex x4 +⌠⌡⎮

1 1

12x

x

xdx

−+

⌠⌡⎮

5. Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales con las condiciones iniciales dadas.

a) con y(0) = 5

b) con y(0) = 1

c) con y(0) = 10

d ) con y(0) = 15

e) con y(0) = 3

f ) con y(0) = 11dy

dx

y y y

y y=

−( ) − +( )− +

12 50 15

130 24

2

2

dy

dx

y y y

y y= − +

− +2 3

2 4

2 3

2

dy

dx

y y y

y y= − +

− +100 25

100 40

2 3

2

dy

dxy y= −( )0 3 100.

dy

dxy y= + +2 5 6

dy

dxy= −( )1 2

6. En tiempos de guerra, un espía llega a una aldea que tiene una población de 240 habitantes. Aunque sudisfraz es casi perfecto, empieza a correr el rumor de su verdadera identidad. Él calcula que la razónde crecimiento del rumor es proporcional al producto del número N de los que ya lo saben, por el nú-mero 240 − N de quienes aún lo desconocen; es decir,

, k constante

El agente secreto necesita una semana para completar su tarea y sabe que, cuando la tercera parte de lapoblación conozca su identidad, también la conocerá el enemigo y, entones, su vida penderá de un hi-lo. Si, cuando llegó al lugar, sólo una persona sabía su secreto y dos lo saben después de un día de es-tancia, ¿completará su misión o será atrapado por el enemigo? ¿Qué ocurriría si fueran 270 poblado-res? ¿Y si fueran 210?

dN

dtkN N= −( )240


7. En una zona pesquera del Pacífico, la masa total de los peces y(t) se modela con la ecuación

, donde y se mide en kilogramos, t en años, y los valores de los parámetros anuales

son r = 8 × 107 kg y k = 0.71. Si y(0) = 2 × 107 kg, encuentra y(t) y calcula y(1). ¿Cuánto tiempo pasarápara que la masa total de los peces llegue a 6 × 107 kg?

8. Una persona infectada del virus de la influenza ingresa a una comunidad aislada que tiene 200 residen-tes. Si el virus se propaga proporcionalmente al producto de residentes contagiados y de no contagia-dos, determina la cifra de individuos contagiados como función del tiempo, suponiendo que después decinco días hay 14 contagiados.

9. Calcula para n = 1, 2, 3, 4, 5

10. Demuestra que para n > 1

11. Aplica la fórmula del ejercicio anterior para calcular las siguientes integrales:

dx

a b x

x

n a a b x

nn n2 2 2 2 2 2 2 1

2 1

2 3

+( )=

− +( )+ −⌠

⌡⎮⎮ −

( ) 22 1 2 2 2 2 1( )n a

dx

a b xCn− +( )

+−

⌠

⌡⎮⎮

s nx x

xdx

n n

( ) =−( )

+∫1

1 20

1

dy

dtky

y

r= −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟1

a)

b)

c)

d)

e) dx

x x2 4 32 3+ +( )

⌠

⌡⎮⎮

dx

x x2 31+ +( )

⌠

⌡⎮⎮

dx

x4 92 3+( )

⌠

⌡⎮⎮

dx

x2 34+( )

⌠

⌡⎮⎮

dx

x2 21+( )

⌠

⌡⎮⎮

12. Aplica el método de Hermite para determinar el polinomio necesario R(x), que aparece en la ecuación(2.22), para cada una de las siguientes expresiones racionales y, después, calcula sus integrales.

a)

b)

c)

d )

e)

f )

g) yx x x

x x= − + +

+( )2 2 4 2

1

2 3

3 2 2

yx x

x x= + +

+( ) +( )5 4

1 1

2

2 2 3

yx

x x= +

+( ) +( )1

2 42 2 2

yx x

=−( ) +( )

1

1 12 2

yx x x

x x= + + +

−( ) +( )2 4 2 4

3 3

2 3

2 2

yx x

x x= + +

+( )4 7 2

1

2

2 3

yx x

x x= + +

+( ) +( )1

1 2

2

2 2




1. El efecto Allee (que viene al inicio de esta sección).

2. Áreas bajo curvas especiales.

a) Considera la función

i. Grafica la curva en el intervalo (−2,2)

ii. Factoriza el denominador, le sugerimos sumar y restar el término 2x2, completar eltrinomio y usar diferencia de cuadrados.

iii. Encuentra las fracciones parciales de la función dada.

iv. Halla una primitiva de la función.

v. Calcula el área bajo la curva desde x = −1 hasta x = 1

b) Repite los incisos anteriores considerando la curva

c) ¿Existirá una fórmula para determinar el área bajo la curva de funciones del tipo

con n > 1? Explique.

3. Un modelo para cosecha de peces. Para establecer una granja piscícola se requiere saberla cantidad de peces que pueden ponerse a la venta, sin arriesgar la estabilidad de la población.Supón que una población de peces evoluciona de acuerdo con la ecuación logística y quese cosecha un número fijo por unidad de tiempo. La ecuación que modela dicha situaciónestá dada por

a) ¿Cuál es el significado de r, k y H?

b) Determina una expresión de la población en el tiempo, suponiendo que r = 0.2, k = 1000y H = 100.

c) Grafica la expresión anterior, suponiendo diferentes valores de la población inicial.

d ) Supón que r = 0.2, k = 1000 y diferentes valores de la población inicial, ¿qué número Hpondría en peligro la estabilidad de la población?

e) Determina una expresión general para la población en el tiempo.

f ) Calcula el número de peces cosechados H que pondría en peligro la estabilidad de lapoblación.

4. Un modelo de depredación. Supón que P(t) es la población de conejos en el tiempo t yque evoluciona de acuerdo con la ecuación logística. Imagina, además, que esta poblaciónse reduce debido a la depredación de los lobos, de forma que la razón de cambio de lapoblación está dada por

dP

dtP

P P

P= −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ −

+0 4 1

400

9

5.

dP

dtrP

P

kH= −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ −1

h xx n( ) =

+1

1 2

g xx

( ) =+1

1 6

f xx

( ) =+1

1 4


a) ¿Cómo debe ser la población inicial de los conejos para mantener estable el sistemadepredador-presa?

b) Encuentra una expresión para la población de conejos en el tiempo.

c) Grafica la expresión anterior, considerando diferentes valores de la población inicial.

5. Un modelo para una epidemia. El síndrome de inmunodeficiencia adquirida (sida) surgióen la década de 1980, en pleno siglo XX. Desde entonces, se han dedicado incontables re-cursos económicos y humanos para erradicarlo. No ha sido una tarea fácil, ya que actual-mente existen más de 40 millones de personas contagiadas, cerca de 14,000 personas se in-fectan cada día y muchos millones más han muerto debido a tal padecimiento. (Véase lafigura 2.26). Para elaborar un modelo burdo sobre la población infectada en México, tomaen cuenta los siguientes elementos:

FIGURA 2.26: Estadísticas mundiales del sida para diciembre de 2002. Fuente UNAIDS.AIDS Epidemia Update: diciembre de 2002. Ginebra: UNAIDS, 2000.

a) Investiga los datos históricos del crecimiento anual de la población infectada en México.Por ejemplo, visite el portal de Conasida: http://www.salud.gob.mx/conasida/

b) Ajusta los datos de crecimiento anual de la población a un polinomio de grado 3, con lafinalidad de obtener un modelo poblacional del tipo:

c) ¿Qué predice su modelo respecto del número de personas infectadas para el año 2010?

d) Si la tendencia continúa, ¿en qué año se esperaría tener en México el doble de las per-sonas infectadas respecto de la actualidad?

e) Según su modelo, ¿en qué año crece con mayor rapidez el número de personas infectadas?

f ) ¿En qué año debiera esperarse una desaceleración en la propagación del padecimiento?

dP

dtA BP CP DP= + + +2 3

42 millones de personas viven con VIH/SIDA

Cada día se infectan 14,000 personas en todo el mundo

América del Norte950 000

Europa occidental550 000

Europa oriental yAsia central

1 000 000

Asia oriental y Pacífico1 000 000

Caribe120 000

América Latina1 500 000 África

subsariana28 500 000 Australia y

Nueva Zelandia28 500 000

Asia del Sur ysuboriental

5 600 000

África del Nortey Oriente Medio

500 000


Autoevaluación

1. Encuentra una expresión para la integral

Ix

x xdx= +

+( ) −( )⌠

⌡⎮

3 4

4 32

a)

b)

c)

d) Ix

xC= +

−+ln

2 4

3

Ix

x C= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ − − +1

2 23arctan ln

Ix

x C= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + − +1

2 23arctan ln

I x x C= +( ) + − +1

24 32ln ln

2. Determina una expresión para

Jx x

dx=+( ) −( )

⌠⌡⎮

2

2 22

a)

b) Jx

x xC= +

−−

+( ) +1

8

2

2

1

2 2ln

J x x x C= + + +( ) − − +1

82

1

22

1

822ln ln ln c)

d) Jx

x C= −+( ) − − +1

2 2

1

82ln

Jx

x C= −+( ) + − +2

22ln

3. Calcula la siguiente integral

Kx

x x x xdx= + ( )

( ) +⌠

⌡⎮

3 10 2

3

ln( )

ln( ) ln( ).

a)

b)

c)

d) K x x C= + ( ) +⎡⎣ ⎤⎦ +37

212ln ln( ) ln ln

K x x C= + +( ) +37

212ln( ) ln

K x x C= ( ) + +3 3ln ln( ) ln( )

K x x C= + + +37

212ln ln( ) ln

4. Determina una expresión para la integral

Lx

x xdx= +

− +⌠⌡⎮

1

5 62

a)

b)

c)

d) L x x C= −( ) −( ) +ln 3 23 4

L x x C= −( ) −( ) +ln 3 24 3

Lx

xC= −( )

−( )+ln

3

2

4

3

Lx x

x xC= − − +

− +( )+

2

2 2

2 11

5 6


5. Indica la opción que contiene el resultado de hacer la integral

Mdx

x x=

+( )⌠⌡⎮ 2 2 7

a)

b)

c)

d ) Mx

x

xC=

++

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+1

2

1

2 7

1

2 2 7ln

Mx

x

xC= − +

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+1

2

1 7

2 2 7ln

Mx

x x

x

xC= − +

+( ) ++

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+1

4

2 14

2 77

2 7ln

Mx

xC=

++1

2 2 7ln

Respuestas a los


1. Revisa la teoría desarrollada en la sección correspondiente.

2.

a)

b)

c)

d )

e)

f )

g)

h) 1

4

1

4

1

4

3

4 4

2

2 2 2 2

+ ++

= + + −+( )

x x

x x x x

x

x( )

1

1

1

12 2x x x

x

x( )+= −

+

2 3

1 2

2

2

5

2

2

1

1

1

2

2 2 2 2

x

x x x x x x

−+ +

=+

++( )

−+

−+( )( ) ( )

4 2 3 2

1 2

3

1

1

2

21

2

3 2

3

x x x

x x x x x

+ − ++ +

=+( ) +

+−

+( )( )( ) 22 3

16

2+

+( )x

x

xx

x x

3

2

3

4

11

4 2

5

4 2

+−

= +−( ) +

+( )

x x

x x x x

2

2

3

5 41

2

3 1

4

3 4

++ +

= −+( ) −

+( )

x x

x x x x x

2 3 2

1 1 5

19

12 5

1

4 1

1

3

+ −− + −

=−( ) −

−( ) −( )( )( ) xx +( )1

x

x x x x

+− +

=−( ) +

+( )1

2 3

3

5 2

2

5 3( )( )


i)

j)

3.

a)

b)

c)

d )

e)

f )

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m) dx

x x x xx x

2 24 3 4 5

1

523

1

201

1

65− +( ) + +( ) = − − − +∫ ln ln lln arctanx x x C2 4 57

1302+ + + +( ) +

x

xdx x

x

xx C

4

4 1

1

4

1

1

1

2−= + −

+− +∫ ln arctan( )

x x

x xdx x

x

xC

3

2 2

1

1 1

+ ++( ) = +

++∫ ln

x x

x xdx

x x

2

2 2

8 7

3 10

8

49 5

27

49 2

3− +

− −( )= −

−( ) −+( ) +∫

00

343

5

2ln

x

xC

−+

+

5 6 9

3 1

9

2 3

1

2 1

2

2 2

x x

x xdx

x xC

+ +−( ) +( )

= −−( ) −

+( ) +∫

x x x

x x xdx

x

x x

4 3 2

3 2

26 12 6

6 12 8 2

8

2

11

2

− + +− + −

= −−

−−∫ (( )

+2 C

x

x xdx

x x

x xC

3

3

16

7 9

1

4 4

1

16 2 1 2 1

−−

= +−( ) +( )

+∫ ln

dx

x x x

x

xC

+( )=

++

++∫

1

1

1 12 ln

5 2

5 45

1

2

161

64

7

3

3

3 2

x

x x xdx x x x x

+− +

= + + − − −∫ ln ln ln 11 + C

2 41 91

1 3 4

1 42 4 5x x

x x xdx

x x+ −−( ) +( ) −( ) =

−( ) −( )∫ ln

xxC

+( )+

3 7

dx

x x x

x x

xC

−( ) +( ) +( ) = −( ) +( )+( )

+∫1 2 3

1

12

1 3

2

3

4ln

dx

x x xx x

xC3 22

11

1− += − − −

−+∫ ln ln

xdx

x x x

x

xC

−( ) +( )= −

−( ) + −+

+∫1 1

1

2 1

1

4

1

12 ln

3 5

1 4

23

125 1

2

25 1

13 22 2 2 2

x

x x x x

++ +

=+( ) +

+( )+ −

( ) ( )

33

125 4

9 19

25 42 2 2

x

x

x

x+( ) + −

+( )

1

1

1

1 12 2 2 2 2x x x

x

x

x

x( )+= −

+−

+( )


n)

o)

p)

q)

r)

s)

t)

4.

a)

b)

c)

e)

5.

tan( ) arctan tan( ) arctan tx dx x∫ = − −( ) + +1

21 2

1

21 2 aan( ) ln

tan( ) tan( )

tan( ) tax

x x

x( ) − + +

− + −1

2 2

1 2

1 2 nn( )xC

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +

tanh( ) arctan tanh( ) lntanh( )

tax dx x

x∫ = − ( ) +

+1

2

1

nnh( )xC

−⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟+

1

dx

e ee

ex x

xx

4

1

3

2 1

3

1

31

+= − − −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

+⌠⌡⎮

− arctan ln ++( ) − − +( ) +e e e Cx x x1

61 2ln

1 1

12

1

1

1 12x

x

xdx

x

x

x

x

x

x

−+

= −+

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟− + −⌠

⌡⎮arctan

+++

1C

cos ( ) sen( )

sen ( )sen ( ) ln

3

22

2 5

1

4

7

82

x x

xdx x

+= − +∫ ssen ( )2 5x C+ +

x x

x xdx

3

21

15 6

5 610 48 2 24 3

+ +− +

= − ( ) + ( )−∫ ln ln

x x x dx

x x x xx

4 2

5 4 3 2

2 3 3 3

2

2

3

2− − −( )+ +

= + −∫ ln arctanxx

C+⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

+1

3

dx

x x xx

x

x x+( ) + +( )= + + +

+ +( ) +∫1 1

12

3 1

5

3 32 2 2ln arcttan ln

2 1

3

1

212x

x x C+⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

− + +( ) +

3 5

2 2

2 1

2 2 22 2 2

x dx

x x

x

x xx

+( )+ +( )

= −+ +( ) + +∫ arctan 11( ) + C

dx

x

x

xx C

1 2 1

1

22 2 2+( )=

+( ) + ( ) +∫ arctan

dx

xx x x

x3

2

1

1

31

1

61

1

3

2 1

3+= + − − + + −⎛

⎝⎜∫ ln ln arctan⎞⎞⎠⎟

+ C

a)

b)

c)

d )

e)

f ) y e e et t t= − + + +( )1

215 6 25 108 36 2

y e e et t t= + − − +( )1

21 6 1 36 36 2

y e e et t t= − + + +( )5

21 6 1 84 36 2

ye x=

+ −100

1 9 3

ye

e

x

x= −−

9 8

3 4

yx

x= −

−4 5

4 1


6. Si la población es de 240 habitantes, no completará la misión porque a los 7 días lo sabrán 83 personas;si fuera de 270 individuos, sí la llevaría a cabo porque lo sabrían 89. Si la población fuera de 210, no lacompletaría porque lo sabrían 81 personas.

7. , y(1) = 3.23241 × 107 kg, y(3.09468 años) = 6 × 107 kg

8.

9. ;

.

10. Aplica el método de integración por partes a , después despeja la integral buscada.

11.

a)

b)

c)

d)

e)

12.

a) .

b)

c) R x x Ix

x xx( ) ; ln= − − =

− −

−( ) +( ) +2010

9

20109

3 3

58

27 −− + + +3

50

273ln x C

R x x x Ix x

x xx( ) ; ln= − − − =

− − −

+( )−4

17

25

4172

5

152

2

2 ++ + +5 1ln x C

R x x Ix

x xx x( ) ; ln ln= − − = − −

+( ) +( ) − + + +5 45 4

1 23 1 3 2 ++ C

dx

x x

x

x x

x

x2 4 3

1

4 2 4 3

3 3

8 22 3 2 2 2+ +( )

= +

+ +( )+ +

+

⌠

⌡⎮⎮ 44 3

3

8 22 1

xx C

+( ) + +( ) +arctan ( )

dx

x x

x

x x

x

x x2 3 2 2 21

2 1

6 1

2 1

3 1+ +( )= +

+ +( )+ +

+ +(⌠

⌡⎮⎮ )) + +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

+4

3 3

2 1

3arctan

xC

dx

x

x

x

x

x4 9 36 9 4 216 9 4

1

1292 3 2 2 2+( )

=+( )

++( ) +

⌠

⌡⎮⎮ 66

2

3arctan

xC

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

dx

x

x

x

x

x2 3 2 2 24 16 4

3

128 4

3

256+( )=

+( )+

+( ) +⌠

⌡⎮⎮ arcctan

xC

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

dx

x

x

xx C

2 2 21 2 1

1

2+( )=

+( ) + ( ) +⌠

⌡⎮⎮ arctan

dx

a b xn2 2 2 1

+( ) −

⌠

⌡⎮⎮

s( ) ln( )511411

25204= − −π

s s s( ) ln( ) ; ( ) ln( ); ( )11

44 4 2

2

32 3

53= − +( ) = − + =π 660 2

2 422

7− + = −π πln( ) ( ); s

N te t( ) .=

+ −200

1 199 0 541323

y te t( ) .=

+ −8

1 3 0 71


d)

e)

f )

g) R x x x Ix x

x x( ) ; arctan= − + + = − + +

+( ) +1 2 41 2 4

143

3

2 2 xx C( ) +

R x x x x x Ix x x x

x( ) ;= + + + + = + + + +

+(1 3 2 2

1 3 2 2

1

2 3 42 3 4

)) +( )

+ ( ) + + − +( ) +x

x x x C2 2

2

12 1

1

21arctan ln ln

R x x x Ix x

x x( ) ;= + + =

+ +

+( ) +1

8

3

32

3

64

18

332

364

22

2

2

44

3

128 2( ) + ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +arctan

xC

R xx

Ix

xx x( ) ; arctan ln= − = −

+( ) − ( ) + −1

4

1

4 1

1

2

1

41

2 −− +( ) +1

81 2ln x C

Referencias

1. Pérez, J., Cálculo diferencial e integral, Granada, Universidad de Granada, 2006. 2. Piskunov, N., Cálculo diferencial e integral, Barcelona, Montaner y Simón, Barcelona, 1978. 3. Thomas, G., Cálculo (una variable), 11a. ed., México, Pearson Educación, 2005.


1. d) 2. b) 3. d) 4. b) 5. c)

Algunos recursos naturales, comolos marinos, tienen la capacidad deautorregularse, por lo que brindan alhombre tanto recursos como alimen-tos. En muchos casos, se explotanesos recursos sin pensar en su con-servación y luego, cuando dejan deproducir dividendos económicos, seabandonan. Ejemplos claros de elloson la pesca de la ballena, del atún,del salmón, etcétera. No obstante,hay diversos estudios que pretendenmaximizar la producción con un altogrado de conservación. Por ejemplo, los datos siguientes correspon-den al crecimiento en longitud y peso de la carpa (Cyprinus carpio)en la presa de Atlangatepec en Tlaxcala (véase la figura 2.27).

La carpa de la presa de Atlangatepec

1932.6: Sustituciones diversas

2.6 Sustituciones diversas

Así como es fácil encontrar ladiferencial de una cantidad dada,

también es difícil encontrar la integralde un diferencial dado. Más aun, a veces

no podemos decir con certezasi la integral de una cantidad dada

pueda hallarse o no.

Johann Bernoulli

FIGURA 2.27: Presa de Atlangatepec, en el estado mexicano de Tlaxcala.

Tabla 2.11: Datos de la carpa de la presa de Atlangatepec.

Edad Longitud Incremento en la Peso Incremento en el (años) L (cm) longitud ΔL w peso Δw

1 11.01 11.01 57.34 57.34

2 20 8.99 309.79 252.45

3 27.39 7.39 752.64 442.85

4 33.45 6.06 1324.27 571.63

5 38.43 4.98 1959.82 635.55

6 42.51 4.08 2607.63 647.81

7 45.87 3.36 3231.98 624.35

8 48.62 2.75 3811.05 579.07

9 50.88 2.26 4333.54 522.49

10 52.74 1.86 4795.46 461.92

Por otro lado, un modelo matemático del peso de un pez diseñado por VonBertalanffy establece que

(2.23)

donde a y b son constantes positivas y w es el peso del pez. El término aw2/3

representa el aporte debido a los nutrientes, suponiendo que es proporcionala la superficie del animal; mientras que bw representa la disminución debidaa la respiración, cuando ésta es proporcional al peso del pez.

a) Resuelve la ecuación diferencial (2.23), suponiendo que el peso es despre-ciable en el tiempo inicial.

b) Encuentra los valores de a y b que mejor ajusten los datos de la carpa deAtlangatepec.

c) Construye una gráfica que muestre la evolución del peso del animal en eltiempo, comparando los datos experimentales con los resultados teóricos.

d) ¿Cuál es el peso máximo esperado de la carpa? En general, de acuerdo conla expresión (2.23), ¿cuál es el peso máximo de un pez?

e) Encuentra el incremento promedio máximo. De acuerdo con él, ¿a quégrupo de edad se recomienda explotar la carpa?

f ) Un modelo de longitud del pez, también debido a Von Bertalanffy, indicaque

Determina la solución de la longitud del pez e indica cómo se relaciona el pesocon la longitud.

dL

dtL= −α β

dw

dtaw bw= −2 3/


Introducción

En las secciones precedentes, estudiamos varios de los métodos de inte-gración más utilizados. En ésta abordaremos otros que completarán unamplio esquema que le permitirá resolver la mayoría de las integrales.Los cinco procedimientos que analizaremos son sustitución del ángulomedio, racionalización de funciones irracionales, integrales binomias,sustituciones de Euler y método alemán de reducción. Sus aplicacionesson diversas; para muestra basta el estudio de pesquerías donde, de ma-nera “natural”, aparece la integral de Von Bertalanffy.

Objetivos


• Aplicar el método de sustitución del ángulo medio para inte-grar funciones racionales de senos y cosenos.

Sección 2.6.1 Método de sustitución del ángulo medio

El método conocido como sustitución del ángulo medio permite transformar integralesdel tipo

(2.24)

donde f (x, y) es una función racional de dos variables, en integrales racionales rutinarias.Para mostrar esta aseveración observa el triángulo de la figura 2.28, las funciones trigo-nométricas del ángulo x/2 están dadas por:

(2.25)tan ; cos ;x

zx

z

x

2 2

1

1 22

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ =

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟sen ==

+

z

z1 2.

f x x dxcos( ),sen( ) ,( )∫


• Integrar funciones irracionales por racionalización.• Calcular integrales binomios.• Aplicar las tres sustituciones de Euler para calcular integrales

que lo requieran.• Aplicar el método alemán de reducción para resolver integra-

les que lo necesiten.

x

z

2

1 – z2

1

FIGURA 2.28: Triángulo de apoyo para el cambio de variable z = tan(x/2).

Por otro lado, usando las identidades trigonométricas del seno y coseno del ángulo do-ble y los resultados anteriores, obtenemos

(2.26)

sen( ) sen cos

cos( )

xx x z

z

x

= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

+2

2 2

2

1 2

== ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ − ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ = −

+

=

cos sen

tan( )

2 22

22 2

1

1

x x z

z

xssen( )

cos( )

x

x

z

z=

−2

1 2

Sólo falta saber cómo se transforma la diferencial dx. Como z = tan (x/2), tenemos quex = 2 arctan (z); si diferenciamos:

(2.27)

En resumen, con las ecuaciones (2.26) y (2.27) se transforma la integral (2.24) en unaintegral racional que se puede resolver con el método de fracciones parciales. Sin embargo,si presenta algún tipo de simetría es recomendable utilizar los cambios de variable quese sugieren en el siguiente resultado. La razón es simple: las integrales resultantes sonmenos complicadas que las que aparecen usando la sustitución del ángulo doble.

dxz

dz=+2

1 2


Cambios de variable para calcular la integral (2.24)

1. Si f (−cos(x), −sen(x)) = f (cos(x), sen(x)), función par en seno y coseno, enton-ces, el cambio adecuado será

(2.28)

2. Si f (cos(x), −sen(x)) = −f (cos(x), sen(x)), función impar en seno, entonces, elcambio adecuado será

(2.29)

3. Si f (−cos(x), sen(x)) = −f (cos(x), sen(x)), función impar en coseno, entonces, elcambio adecuado será

(2.30)sen ; cos ;x z x z dxdz

z( ) = ( ) = − =

−1

1

2

2

cos ; sen ;x z x z dxdz

z( ) = ( ) = − = −

−1

1

2

2

tan ; cos ; sen ;x z xz

xz

zdx

dz

z( ) = ( ) =

+( ) =

+=

+1

1 1 12 2 22

Ejemplos

Ejemplo 2.60

Calcula la integral

dx

x x1+ +⌠⌡⎮ sen( ) cos( )


solución

solución

Si usamos el cambio de variable del ángulo medio, tenemos

Ejemplo 2.61


Al utilizar el cambio de variable:

Para determinar la última integral, utilicemos el método de fracciones parciales. Estamos en el caso defactores lineales no repetidos, así que proponemos la siguiente descomposición:

Multiplicando por (2z − 1)(z + 2),

1 = A(z + 2) + B(2z − 1)

1

2 1 2 2 1 2z z

A

z

B

z−( ) +( ) =−

++

dx

x x

dz

zz

z

3 4

2

1

32

14

2

2

sen( ) cos( )−= +

+⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟ −

⌠⌡⎮ 11

1

2

4 6

2

2

2

−+

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

=+

⌠

⌡

⎮⎮⎮⎮

z

z

dz

z

sustituyendo,

zz

dz

z z

−

=−( ) +( )

⌠⌡⎮

⌠⌡⎮

4

2 1 2

simplificando,

factorrizando el denominador.

dx

x x3 4sen( ) cos( )−⌠⌡⎮

dx

x x

dz

zz

z

z1

2

1

12

1

1

1

2

2

2+ += +

++

+ −+

⌠⌡⎮ sen( ) cos( )

zz

dz

z z z

2

2 2

2

1 2 1

⌠

⌡

⎮⎮⎮

⌠

⌡=

+( ) + + −( )

sustituyendo,

⎮⎮

⌠⌡⎮

=+

simplificando,

desarrollando y fadz

z1cctorizando,

integrando,= +( ) +

= +

ln

ln tan

1

12

z C

x⎛⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ C sustituyendo.


solución

Este resultado es válido para todo z, en particular cuando z = 1/2 y z = −2. En ambos casos, obtenemosdirectamente los coeficientes A = 2/5 y B = −1/5, para cada uno. Finalmente:

Ejemplo 2.62

Calcula la integral

Utilizamos las fórmulas (2.26) y (2.27) para conseguir:

De nuevo, el método de fracciones parciales es adecuado para calcular la última integral. Proponemosla siguiente descomposición:

Multiplicando por , obtenemos

Al desarrollar y agrupar los términos correspondientes a cada potencia de z, resulta

Si igualamos los coeficientes de potencias correspondientes en cada polinomio, establecemos el si-guiente sistema de ecuaciones:

20 22 20

= += + +

− = − += − +

B DA B C

A B DA C

2 2 2 22 3 2− = − + + − + + + + + +z A C z A B D z A B C z B D( ) ( ) ( ) ( )

2 1 1 2 12 2 2−( ) = +( ) + −( ) + +( ) +( )z Az B z z Cz D z

1 1 22 2+( ) + −( )z z z

2 1

1 1 2 1 1 2

2

2 2 2 2

−( )+( ) + −( ) = +

++ +

+ −z

z z z

Az B

z

Cz D

z z

dx

xz

dz

z

z1

2

1

12

1

2 12

2+

= +

+−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=⌠⌡⎮

⌠

⌡

⎮⎮⎮tan( )

−−( )+( ) − +( )

⌠

⌡⎮⎮

z dz

z z z

2

2 21 1 2

dx

x1 +⌠⌡⎮ tan( )

dx

x x z zdz

3 4

2 5

2 1

1 5

2sen( ) cos

/ /

−=

−−

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⌠⌡⎮

⌠⌡⎮⎮

= − − + +

sustituyendo,

integrand1

52 1

1

52ln lnz z C oo,

s= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ − − ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ + +1

52

21

1

5 22ln tan ln tan

x xC uustituyendo.


Al resolver el sistema:.

Si sustituimos los coeficientes e integramos:

Sin embargo, la función a integrar es par en seno y coseno, ya que

Entonces, la integral se calcula utilizando el cambio de variable u = tan(x) y el conjunto de fórmulas(2.28). Así,

Ahora proponemos que

Al multiplicar por (1 + z)(1 + z2) y después de agrupar:

1 = (A + B) + (B + C)z + (A + C)z2.

Esto nos lleva al sistema de ecuaciones

Cuya solución es

Finalmente,

Usando identidades trigonométricas no es difícil mostrar que

dx

x

xx x C

1 2

1

2+= + ( ) + ( ) +⌠

⌡⎮ tanln cos sen

dx

x z

z

zdz

1

1

2

1

1

1

11

2

2+=

++ −

+⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

=

⌠⌡⎮

⌠⌡⎮tan( )

loog arctan( ) log

log tan(

11

2

1

41

1

21

2+ + − + +

= +

z z z C

x)) log tan ( )+ − + +xx C

2

1

41 2

A B C= = = −1

2

1

2

1

2; ;

100

= += += +

A BB CA C

1

1 1 1 12 2+( ) +( ) =+

+ ++z z

A

z

B Cz

z.

dx

x z

dz

z1

1

1 1 2+=

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

⌠⌡⎮

⌠⌡⎮tan( )

.

f x xxx

− −( ) =+ −

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=sen( ), cos( )sen( )cos( )

1

1

11

1+= ( )

sen( )cos( )

sen( ),cos( )xx

f x x

dx

x

z

z

z

z zdz

1

1

1

1

1 22 2+= − +

++ − +

+ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⌠⌡⎮

⌠tan( ) ⌡⌡⎮

= − + + ( ) + + − +

= −

1

21

1

21 2

1

2

2 2ln arctan ln

ln

z z z z C

112 2

1

21 2

22 2+ ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ + + + ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ −tan ln tan tan

x x x x

22⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + C

A B C D= − = = − =1 1 1 1; ; ;

Sección 2.6.2 Racionalización de funciones irracionales

Algunas funciones irracionales (con radicales) pueden transformarse en funciones racio-nales mediante las sustituciones adecuadas. Por ejemplo, si la función a integrar f depen-de de x, xm1/n1, xm2/n2,..., xmk/nk para algún entero k, y las únicas operaciones que se utilizanson la suma, la resta, el producto y el cociente, entonces, el cambio adecuado es

u = xr con r el mínimo común múltiplo de n1,..., n2,..., nk, ie. r = mcm(n1, n2,.., nk)

El método sigue funcionando, si en lugar de la variable x tenemos una función racionalg(x).


Ejemplos

solución

Ejemplo 2.63

Calcula la integral

Aquí aparecen los términos x1/2 y x1/3. Identificamos n1 = 2 y n2 = 3, y su mínimo común múltiplo es 6.La sustitución adecuada es

.

Entonces, al sustituir y simplificar:

.

Si usamos

,

obtendremos:

dx

x xu u

udu

+= − + −

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⌠⌡⎮

⌠⌡⎮3

26 11

1sustituyenddo,

integrando,= − + − + +

= − +

2 3 6 6 1

2 3

3 2

3

u u u u C

x x

ln

66 6 16 6x x C− + +ln sustituyendo.

u

uu u

u

32

11

1

1+= − + −

+

dx

x x

u du

u u

u du

u+=

+=

+⌠⌡⎮

⌠⌡⎮

⌠⌡⎮3

5

3 2

366

1

x u dx u du x u x u= = = =6 5 3 3 26; ; ;

dx

x x+⌠⌡⎮ 3


solución

solución

Ejemplo 2.64


De la integral identificamos que n1 = n2 = 2; así, la sustitución adecuada será

.

Sustituyendo en la integral:

Ejemplo 2.65

Calcula la integral

Aquí identificamos n1 = 2, así que la sustitución adecuada es

.

Luego, al sustituir en la integral,

.

Al dividir la fracción del integrando:

.2

12

2

1 1

2

2

u

u u u−= +

−( ) +( )

12

1

2

12

2

2− = −−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

−∫ ⌠⌡⎮

⌠⌡⎮

e dx uu

udu

u

udux

1 1 12

12 2 2

2− = = − = −( ) = −−

e u e u x u dxudu

ux x; ; ln ;

1−∫ e dxx

dx

x x

udu

u u( ) ( )1 1

23

21

2 3+ + +=

+⌠⌡⎮

⌠⌡⎮

sustituyendoo,

simplificando,

inte

=+

=

⌠⌡⎮

21

2

2

du

uuarctan( ) ggrando,

sustituyendo.= +⎡⎣ ⎤⎦ +2 11

2arctan ( )x C

1 2 1 12 332

12+ = = +( ) = +( ) =x u dx udu x u x u; ; ;

dx

x x( ) ( )1 13

21

2+ + +⌠⌡⎮

Sección 2.6.3 Integrales binomias

Una integral binomia es del tipo

donde a, b, m, n y p son constantes. No siempre es posible determinar una expresión entérminos de funciones elementales para las integrales binomias. Sólo en los casos que semuestran en la tabla 2.12 es posible calcularlas.

x a bx dxm n p+( )∫


Proponemos así la descomposición en fracciones parciales:

Y multiplicamos por (u − 1)(u + 1):

2 = A(u + 1) + B(u − 1)

Si evaluamos en u = −1 y en u = 1, conseguimos B = −1 y A = 1, respectivamente. Finalmente, la inte-gral está dada por

1 21

1

1

1− = +

−−

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟∫ ⌠

⌡⎮e dx

u udux sustituyendo,

== + − − + +

= + −+

+

2 1 1

21

1

u u u C

uu

uC

ln ln

ln

integrando,

ssimplificando,

susti= − + − −

− ++2 1

1 1

1 1e

e

eCx

x

xln ttuyendo u.

2

1 1 1 1( )( )u u

A

u

B

u− +=

−+

+

Caso Usar el cambio Despejar x Calcular dx

,

, dxsu

na

u b

a

s s n

= − −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− − −11

1

xu b

a

s n

= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−1/

u ax bs n= +−p pr

s∈ =�;

m

np

+ + ∈1�

dxsu

nb

u a

b

s s n

= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− −11

1

xu a

b

s n

= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1/

u a bxs n= +p pr

s∈ =�;

m

n

+ ∈1�

dxn

u n=−1 1

1x u n= 1/u xn=p ∈�

Tabla 2.12: Sustituciones para calcular integrales binomias.


Ejemplos

solución

solución

Ejemplo 2.66

Calcula la integral

En la integral identificamos los números

.

Como , primer caso de las integrales binomias, proponemos el cambio de variable

; ;

al sustituir en la integral original:

Desde luego, esta integral se puede resolver simplemente desarrollando el cubo en la integral originaly después integrando. Como un ejercicio, te proponemos mostrar que los resultados que se obtenganutilizando ambos métodos sean los mismos.

Ejemplo 2.67


Identificamos en la integral, por comparación con el tipo general de las integrales binomias,

.m n p a b= = = = =3 43

24 3; ; ; ;

x x dx3 4 3 24 3( ) /+∫

x x dxu

u u du

1 3 4 5 3

1 254

5 12

31 4

1 2/ /

( )/

/

� �� +( )+

⌠⌠

⌡⎮⎮ = +( )

=

∫5

41 2

5

41

2 3 3

2 3

u u du

u

/

/

sustituyendo,

++ + +( )=

∫ 6 12 8

5

4

2 3u u u du desarrollando el cubo,

uu u u u du2 3 5 3 8 3 11 36 12 8/ / / /+ + +( )∫ multiplicando,,

inte= + + + +3

4

45

16

45

11

15

75 3 8 3 11 3 14 3u u u u C/ / / / ggrando y simplificando,

= + +3

4

45

164 3 32 15x x/ / 445

11

15

744 15 56 15x x C u/ / .+ + sustituyendo

dx u du= 5

41 4/x u= 5 4/u x= 4 5/

p = ∈3 �

m n p a b= = = = =1

3

4

53 1 2; ; ; ;

x x dx1 3 4 5 31 2/ /+( )∫


solución

Como elegimos el segundo caso, proponemos entonces el cambio de variable

u2 = 4 + 3x4.Al diferenciar:

; .

Sustituimos en la integral:

Ejemplo 2.68

Encuentra la integral

En la integral identificamos los números

.

Como (tercer caso de las integrales binomios), proponemos el cambio de

variable:

u2 = x−1/2 + 1; x = (u2 − 1)−2; dx = −4u(u2 − 1)−3 du

Al reescribir el integrando, tenemos


x x dxu

uu u

−

−( )− −

−

+( )−

3 2

1

1 2 7 2

42 3

72

1/ / /

� �� −−( )

−

−

−

⌠

⌡⎮ = −

= +

∫1

6

5

3

4

4

5

du

u du

uC

� sustituyendo,

iintegrando,

sustituyendo = +( ) +− −4

511 2 5 2

x C/ /uu.

x x x x x x1 4 1 2 7 2 1 4 1 2 1 2 7 21 1/ / / / / / /

( )+ = +( )( ) =− − − −33 2 1 2 7 21/ / /

x− −+( )

m

np

+ + = − = − ∈15

41

2

7

21 �

m n p a b= = = − = =1

4

1

2

7

21 1; ; ; ;

x x dx1 4 1 2 7 21/ / /( )+ −∫

4 36

4 3 2 3

6

4

2

+( ) =⌠

⌡⎮⎮

⌠⌡⎮

x x dxu du

uudu ��

/sustiituyendo,

integrando,= +

= +( ) +

uC

x

5

4 5 2

301

304 3

/CC usustituyendo .

x dx udu3 1

6=2 12 3udu x dx=

m

n

+ ∈1�

Sección 2.6.4 Sustitución de Euler

Ya vimos que el método de sustitución trigonométrica es útil para calcular integrales deltipo

las cuales también se pueden transformar a integrales de funciones racionales mediante lassustituciones que se muestran en la tabla 2.13 y que se deben al genio de Euler.

f x ax bx c dx, 2 + +( )⌠⌡


Caso Cambio de variable x Diferencial

I.

II.

III. α y β son raíces de

ax2 + bx + c = 0dx

at

a tdt=

−( )−( )

22 2

β αx

a t

a t= −

−β α 2

2a x x x t−( ) −( ) = −( )α β α

dxa c t b t c

t adt=

+ − +( )−( )

2 2

2 2x

b t c

t a= −

−2

2ax bx c xt c2 + + = +c > 0

dxbt a c t

b t adt=

− +( )−( )

2 2

2

2

2x

c t

b t a= − +

−

2

2ax bx c a x t2 + + = +a > 0

Tabla 2.13: Sustituciones de Euler.

Observa que en todos los casos, es necesario elevar al cuadrado para expresar x en fun-ción de t y posteriormente calcular dx. Te sugerimos aprender sólo el cambio de varia-ble, y obtener el despeje y la diferencial siempre que se necesiten.

Ejemplos

solución

Ejemplo 2.69

Calcula la integral

Como x2 − x − 2 = (x − 2)(x + 1) elegimos el tercer caso para hacer la sustitución. Es decir, propo-nemos

o tx

x= +

−1

2( )( ) ( )x x x t− + = −2 1 2

dx

x x2 2− −⌠⌡⎮


solución

Elevamos al cuadrado y despejamos x:

Además,

Calculemos ahora dx:


Ejemplo 2.70

Encuentra la integral

Como el coeficiente de x2 es positivo, elegimos el primer caso para hacer la sustitución; es decir, pro-ponemos

o t x x x= + −2 4x x x t2 4+ = +

dx

x x2 4+⌠⌡⎮

dx

x x t

t

tdt

t2

2

2 22

13

1

6

1− −= −

−−( )

⌠⌡⎮

⌠

⌡⎮⎮

sustituyeendo,

simplificando,= −−

= +−

+

⌠⌡⎮

2

11

1

2

dt

tt

tCln iintegrando,

sustituyen=

+−

+

+−

−+ln

xxxx

C

12

1

12

1

ddo t.

dxt t t t

tdt

tdt

t=

−( ) − +( )−( )

= −−( )

2 2

2 2 2 2

1 4 1 2 2

1

6

1

( )( ) ( )x x x t

t

tt

− + = −

= +−

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2 1 2

1 2

12

2

2 sustituyyendo,

simplificando.=−

3

12

t

t

x x t

x t

+ = −

−( ) = − −

1 2

1 1

2

2

( ) elevando al cuadrado,

22

1 2

1

2

2

2

t x

xt

t

agrupando términos con

de

,

= +−

sspejando x.


Elevamos al cuadrado y despejamos:

Además,

Calculamos ahora dx:

Sustituimos en la integral original y conseguimos:

dx

x x t t

t

t t

tdt

2 2

2

24

1

4

4 2

8 2

4 2+=

−−

−−( )

⌠⌡⎮

⌠

⌡

⎮⎮

susttituyendo,

simplificando,=−

= − − +

⌠⌡⎮

dt

tt C

22ln iintegrando,

sustituyendo= − + − + +ln .2 42x x x C t

dxt t t

tdt

t t

t=

−( ) − ( ) −( )−( )

= −−( )

4 2 2 2

4 2

8 2

4 2

2

2

2

2 ddt

x x x t

t

tt

t t

t

2

2

2

4

4 2

4

4 2

+ = +

=−

+

= −−

sustituyendo,

simmplificando.

x x x t

x x x

2 2

2 2

4

4 2

+ = +( )+ = +

elevando al cuadrado,

xxt t

x t t

+−( ) =

2

24 2

desarrollando,

simplificando y agrupando términos con

despe

x

xt

t

,

=−

2

4 2jjando x.

Sección 2.6.5 Método alemán de reducción

En esta sección nos interesa determinar integrales del tipo

donde Pn(x) es un polinomio de grado n. Para ello, proponemos que la solución esté da-da por

(2.31)P x

ax bx cdx Q x ax bx c

A

ax bxn

n( )

( )2 1

2

2+ += + + +

+ +⌠⌡⎮ −

ccdx

⌠⌡⎮

P x

ax bx cdxn ( )

2 + +⌠⌡⎮

donde Qn − 1(x) es un polinomio desconocido de grado n − 1 y A es una constante. El po-linomio y la constante quedan determinados, si derivamos la expresión anterior:

Multiplicamos por y simplificamos:

(2.32)

donde Q 'n−1(x) es la derivada del polinomio Qn−1(x). La ecuación (2.32) es una igual-dad entre dos polinomios de grado n. Si igualamos los coeficientes de potencias corres-pondientes, formaremos un sistema de n ecuaciones con n incógnitas. Su solución nospermite conocer el polinomio Qn−1(x) y la constante A. La integral faltante en (2.31) sepuede calcular usando las sustituciones de Euler o el método de sustitución trigonomé-trica, o bien, por identificación de términos en las siguientes fórmulas:

(2.33)

A ésta muy ingeniosa estrategia de reducción se le conoce como el método alemán.

dt

tt C

dt

tt t C

1 11

2 2

2

−= +

+= + + +⌠

⌡⎮⌠⌡⎮

arcsen( ) ; ln ;ddt

tt t C

2

2

11

−= + − +⌠

⌡⎮ln

P x Q x ax bx c ax b Q x An n n( ) ' ( ) ( ) ( )= + +( ) + + +− −12

12

ax bx c2 + +

P x

ax bx cQ x ax bx c

ax b Qnn

n( )' ( )

( ) (2 1

2 12

+ += + + + +

−− xx

ax bx c

A

ax bx c

)2 2+ +

++ +


Ejemplos

solución

Ejemplo 2.71

Calcula la integral

Proponemos que

Al derivar,

Multiplicamos por :

x x x x ax bx c ax b x A

a

3 2 2 22 2 2 1

3

+ + − = − + +( ) + + −( ) += −

( )

xx bx a c x b A3 22 2− + − + +( )

1 2− x

x x x

x

x ax bx c

xax b x

3 2

2

2

2

22 2

1 12 1

+ + −−

= −+ +( )−

+ +( ) − ++−A

x1 2

x x x

xdx ax bx c x

A

xdx

3 2

2

2 2

2

2 2

11

1

+ + −−

= + +( ) − +−

⌠⌡⎮

⌠⌡⌡⎮

x x x

xdx

3 2

2

2 2

1

+ + −−

⌠⌡⎮


solución

de donde logramos el sistema de ecuaciones

que tiene la solución

a = −1/3; b = −1; c = −5/3; A = −1

Finalmente:

Ejemplo 2.72


Proponemos

Derivando, resulta

Si multiplicamos por , obtenemos:

De donde logramos el sistema de ecuaciones

− = +− = +

= +=

12 21 61 10 22 3

c Ac b

a ba

2 12 2 2 43 2 2 2x x x x ax bx c ax b x x+ − − = +( ) + +( ) + +( ) +( ) + AA

ax a b x c b x c A= + +( ) + +( ) + +3 10 2 6 23 2

x x2 4+

2 12

4

2

42

3 2

2

2

2

x x x

x x

x ax bx c

x xax b

+ − −+

=+( ) + +( )

++ +(( ) + +

+x x

A

x x

2

24

4

2 12

44

4

3 2

2

2 2

2

x x x

x xdx ax bx c x x

A

x

+ − −+

= + +( ) + ++

⌠⌡⎮

xxdx

⌠⌡⎮

2 12

4

3 2

2

x x x

x xdx

+ − −+

⌠⌡⎮

x x x

xdx x x x

3 2

2

2 22 2

1

1

3

5

31

1

1

+ + −

−= − − −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ − −

⌠

⌡⎮

−−

= − + +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ − − +

⌠⌡⎮ x

dx

x x x x C

2

2 21

3

5

31 arcsen( )

− = += −= −= −

21 22 21 3

b Aa cba


cuya solución es

Ahora sustituimos estos valores y usamos el resultado del ejemplo 2.70 para obtener:

2 12

4

2

3

17

616

3 2

2

2 2x x x

x xdx x x x

+ − −

+= − +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ +

⌠

⌡⎮ 44

44

42

3

17

616 4 4

2

2 2

xx x

dx

x x x x

+ −

+

= − +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + +

⌠⌡⎮

44 2 42ln + − + +x x x C

a b c A= = − = = −2

3

17

616 44; ; ;

1. Con tus propias palabras, escribe qué debe hacer para integrar funciones racionales de senos y cosenos.

2. Indica cómo debe proceder para integrar funciones que contengan expresiones de la forma .

3. Aplica el método de sustitución del ángulo medio para calcular las siguientes integrales:

g xn ( )

a)

b)

c)

d)

e)

f )

g)

h)

i)

j) dx

x4 30

−⌠⌡⎮ cos( )

π

dx

x4 5sec( ) +⌠⌡⎮

dx

x xsen( ) tan( )+⌠⌡⎮

dx

x xcos( ) sen( )+ +⌠⌡⎮ 2 3

dx

x x8 4 7− +⌠⌡⎮ sen( ) cos( )

sen( )

sen( )

x

xdx

1−⌠⌡⎮

cos

cos

x

xdx

1+⌠⌡⎮

dx

x2 +⌠⌡⎮ cos( )

dx

x x3 4sen( ) cos( )+⌠⌡⎮

dx

x x10

2

+ +⌠⌡⎮ sen( ) cos

π


4. Aplica el método de racionalización de funciones irracionales para calcular las siguientes integrales:

a)

b)

c)

d)

e)

f )

g)

h)

i)

j)

k) dx

ex1+⌠⌡⎮

x dx

x

−( )−( ) +

⌠

⌡⎮

2

2 3

23

23

10

27

dx

x x2 3

1

27

+⌠⌡⎮

x dx

x

32

10

1

+⌠⌡⎮

dx

x x2 9 23

0

12

+( )⌠

⌡⎮

x

xdx

+ ++ −

⌠⌡⎮

1 1

1 1

dx

x x5

81

8−⌠⌡⎮

x

xdx

2

4 15

2+( )⌠

⌡⎮

x x

xdx

32

13

146

−⌠⌡⎮

dx

x x−⌠⌡⎮ 3

xdx

x1 43+

⌠

⌡⎮

5. Aplica el método de integrales binomias para calcular las siguientes integrales:

a)

b)

c)

d)

e)

f )

g)

h)

i)

j)

k) x x dx16 3 5 7 103 151/ / /

+( )−∫

x

xdx

5 3

3 7 74 91

/

/ /+( )

⌠

⌡⎮⎮

x

xdx

1 3

1 7 34 31

/

/ /+( )

⌠

⌡⎮⎮

x

xdx

1 5

1 3 28 51

/

/ /+( )

⌠

⌡⎮⎮

x x dx7 3 5 3 1 25/ / /

+( )∫

x x dx7 2 3 2 1 53 2/ / /

+( )∫

x x dx1 2 3 2 1 33 2/ / /

+( )∫

x x dx5 3 1 31 +( )∫ /

x x dx1 2 31 3/ +( )∫

x x dx1 4 41/ +( )∫

x x dx5 3 31 +( )∫

6. Aplica el caso I de las sustituciones de Euler para calcular las siguientes integrales:

a)

b)

c)

d)

e)

f )

g) dx

x x1 4 2 3 2+ +( )

⌠

⌡⎮⎮ /

dx

x x1 4 2 3 2+ +( )

⌠

⌡⎮⎮ /

dx

x x16 9 2+ +⌠⌡⎮

dx

x x1 4 2+ +⌠⌡⎮

dx

x x1 4 2+ +⌠⌡⎮

dx

x16 2+⌠⌡⎮

dx

x25 2+⌠⌡⎮


7. Aplica el caso II de las sustituciones de Euler para calcular las siguientes integrales:

a)

b)

c)

d)

e)

f )

g)

h) dx

x x7 4 2+ −⌠⌡⎮

dx

x x1 2 2+ −⌠⌡⎮

dx

x9 2−⌠⌡⎮

dx

x x4 2 2+ +⌠⌡⎮

dx

x x4 2+ +⌠⌡⎮

dx

x x1 4 2+ +⌠⌡⎮

dx

x1 25 2+⌠⌡⎮

dx

x9 2+⌠⌡⎮

8. Aplica el caso III de las sustituciones de Euler para calcular las siguientes integrales:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h) dx

x x2 3 212− −( )

⌠

⌡⎮⎮ /

dx

x x2 12− −⌠⌡⎮

dx

x x− − +⌠⌡⎮ 12 2

dx

x x35 12 2 3 2− +( )

⌠

⌡⎮⎮ /

dx

x x35 12 2− +⌠⌡⎮

dx

x x2 3 2 3 2− +( )

⌠

⌡⎮⎮ /

dx

x x2 3 2− +⌠⌡⎮

dx

x x2 3 2− +⌠⌡⎮

9. Aplica el método alemán para calcular las siguientes integrales:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h) 2 3 2

1 4

2 3

2

+ + +

+ −

⌠

⌡⎮

x x x

x xdx

2 5 9

5 7

2

2

− +

− + +

⌠

⌡⎮

x x

x xdx

2 5 9

2 3 4

2

2

− +

+ −

⌠

⌡⎮

x x

x xdx

1 2 4

1 5

2

2

− +

+ +

⌠

⌡⎮

x x

x xdx

3

3 2

2

2

+ +

+ +

⌠

⌡⎮

x x

x xdx

5 2 4

1

2

2

+ −

+ +

⌠

⌡⎮

x x

x xdx

1 7 3

1 3 9

2

2

− +

+ −

⌠

⌡⎮

x x

x xdx

− + +

+ −

⌠

⌡⎮

3 4

5 4

2

2

x x

x xdx

10. Utiliza la sustitución del ángulo medio para mostrar que . Deduce lue-

go una fórmula semejante para .csc( )x dx∫sec( ) ln

tan

tanx dx C

x

x=

+ ( )− ( ) +∫ 1

12

2




1. La carpa de la presa de Atlangatepec.

2. Modelo general de peso de un pez de Von Bertalanffy. Un modelo general para el peso deun pez debido establece que

(2.34)

donde a y b son constantes positivas, w es el peso del pez y r es el exponente de la rela-ción entre la anchura A y la longitud L del organismo. Para el crecimiento uniforme se tie-ne que r = 1 que, precisamente, es el caso anterior.

a) Resuelve la ecuación diferencial (2.23), suponiendo que en el tiempo inicial el peso esdespreciable.

b) Usa los valores de a y b de la situación anterior, así como diferentes valores de r paradeterminar el peso de la carpa de Atlangatepec.

c) Construye la gráfica del peso del pez en el tiempo para diferentes valores de r.

d) Determina una expresión general para el peso máximo en términos de r.

e) Encuentra una expresión para el incremento promedio máximo en términos de r.

dw

dtaw bw

r

r= −++1

2 1

Autoevaluación

1. Indica la opción que contiene el resultado de Idx

x x=

+ +⌠⌡⎮1 sen( ) cos( )

a)

b)

c)

d) Ix

C= + ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +ln tan1

2

Ix x

C= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ +ln cos ln

2 2sen

Ix x

C= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ +ln tan ln

2 2sen

Ix

C= + ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +ln cot1

2


2. Señala la opción que contiene el resultado de Jdx

x=

−⌠⌡⎮4 30

cos( )

π

a)

b)

c)

d) J = 7π

J = 0

J = π7

J = ( )7 π

3. Indica la opción que contiene el resultado de Kdx

x=

+⌠⌡⎮20

2

sen( )

π

a)

b)

c)

d) K = π3

K = π3 3

K = π3

K = 3 3 π

4. Señala la opción que contiene el resultado de L x dx= +∫ 1

a)

b)

c)

d) L x x C= +( ) + +( ) +5 1 3 15

23

2

L x x C= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +( ) + ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ +( ) +1

31

2

31

32

12

L x x C= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +( ) + ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ +( ) +1

51

2

31

52

32

L x x C= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +( ) − ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ +( ) +4

51

4

31

52

32

5. Elige la opción que contiene el resultado de

a)

b)

c)

d)

6. Calcula la siguiente integral binomia:

N x x dx= +( )∫ 8 3 1 31

/

M x x x= − ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ + ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ + ⎛6

1

7

1

5

1

4

1

37

65

62

3

⎝⎝⎜⎞⎠⎟ + ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ + + −⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

+x x x x C1

21

31

61

61

21ln

M x x x x x x x= − + + + + + + −⎡⎣ ⎤6 7 5 4 3 2 17

65

62

31

21

31

61

6ln ⎦⎦ + C

M x x x= − ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ + ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ + ⎛

⎝1

7

1

5

1

4

1

37

65

62

3 ⎜⎜⎞⎠⎟ + ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ + + −⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

+x x x x C1

21

31

61

61

21ln

M x x x= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ + ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ + ⎛

⎝⎜1

7

1

5

1

4

1

37

65

62

3⎞⎞⎠⎟ + ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ + + − +x x x x C

12

13

16

16

1

21ln

Mx

xdx= +

−⌠⌡⎮

1

1 3


a)

b)

c)

d) N x x x C= +( ) + −( ) +1

701 9 12 143 4 3 3 6/

N x x C= +( ) −( ) +1

141 4 33 4 3 3/

N x x x C= +( ) − +( ) +1

1401 9 12 143 4 3 3 6/

N x x C= +( ) − +( ) +1

281 3 43 4 3 3/

7. Usa el caso III de las sustituciones de Euler para calcular la integral

a)

b)

c)

d)

8. Aplica el método alemán de reducción para determinar la integral

a)

b)

c)

d) R x x xx

C= +( ) − + + + −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+7 2 11

22 arcsen

Rx

x x x x x C= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ − + + + + + − + +( ) +7

6 31

1

61 2 2 12 2ln

Rx

x xx

C= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ − + + + −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

+7

6 31

1

6

1

22 arcsen

R x x x x x x C= +( ) − + + + − + − + + +7 2 1 1 2 2 12 2ln

Rx x

x xdx= + +

− + +

⌠⌡⎮

1 3

1

2

2

Px x

x xC= − + −

− − −+ln

2 3

2 3

Px

xC= − −

−+2

3

2ln

Px

x

x

xC= − −

−− −

−+2

2

32

3

2

Px x

x xC= − − −

− + −+ln

2 3

2 3

Pdx

x x=

− +⌠⌡⎮ 6 5 2


Respuestas a los


1. Se debe revisar la teoría de la primera parte de la sección.

2. Debe revisarse la teoría de la segunda parte de la sección.

3.

a)

b)

c)

d)

e)

f )

g)

h)

i)

j) dx

x4 3 70

−=⌠

⌡⎮ cos( )

ππ

dx

x

x

4 5

2

5 2

4

1sec( )arctan tan

+= ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

+⌠⌡⎮ 55 2

34

15 23ln tan ln

x xC

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ − − ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ + +tan

dx

x x

x x

sen( ) tan( )ln tan tan

+= ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ −⌠

⌡⎮1

2 2

1

4 22 ⎛⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ + C

dx

x x

x

cos( ) sen( )arctan tan

+ += + ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

⎡⎣

⌠⌡⎮ 2 3

12⎢⎢

⎤⎦⎥

+ C

dx

x x

x

8 4 7 25

− += ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ − −⌠

⌡⎮ sen( ) cos( )ln tan ln tann

xC

23⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ − +

sen( )

sen( )

sen

cos

x

xdx x

x

x1

22

2−

= − +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⌠⌡⎮ ⎞⎞

⎠⎟ − ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+sen

xC

2

cos( )

cos( )tan

x

xdx x

xC

1 2+= − ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ +⌠

⌡⎮

dx

x

xC

2

2

3

1

3 2+= ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

+⌠⌡⎮ cos( )

arctan tan

dx

x x

x

3 4

1

52

21

1

5sen( ) cos( )ln tan l

+= ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ + −⌠

⌡⎮nn tan

xC

22⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ − +

dx

x x12

0

2

+ +=⌠

⌡⎮ sen( ) cos( )ln

π


4.

a)

b)

c)

d)

e)

f )

g)

h)

i)

j)

k)

5.

a)

b)

c) x x dx x x x x C1 2 3 3 2 5 2 2 31 32

3

54

5

9

29/ / /+( ) = + + + +∫

x x dx x x x x1 4 4 5 4 7 4 9 4 1114

5

16

7

8

3

16

11/ / / /+( ) = + + +∫ // /4 13 44

13+ +x C

x x dx x x x x C5 3 3 6 9 12 1511

6

1

3

1

4

1

15+( ) = + + + +∫

dx

e

e

eC

x

x

x1

1 1

1 1+= + −

+ ++⌠

⌡⎮ln

x dx

x

−( )−( ) +

= + −⌠

⌡⎮

2

2 310 3 3 9 3

2

3

23

23

10

27

π arctan⎛⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

dx

x x23 09614

3

1

27

+=⌠

⌡⎮.

x dx

x

32

1 2

4

30

1

+= −⌠

⌡⎮π

dx

x x2 9 23 9

1

33

0

12

+( ) = − ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⌠

⌡⎮ arctan

x

xdx x x x C

+ ++ −

= + + + + − +⌠⌡⎮

1 1

1 14 1 4 1 1ln

dx

x xx

x

xx5

81

8

38

18

18

18

8

32

1

14

−= + −

++⌠

⌡⎮ln arctan (( ) + C

x

xdx

x x

xC

2 2

4 1

6 6 1

12 4 15

23

2+( )= + +

+( )+

⌠

⌡⎮

x x

xdx x x C

32

13

14

94

1312

6

2

27

2

13

− = − +⌠⌡⎮

dx

x x

x

xC

−=

−+⌠

⌡⎮ 43

3

33

1ln

x dx

xx x C

1

4

3

4

31

43

43 43

+= − +( ) +

⌠

⌡⎮ ln


d)

e)

f )

g)

h)

i)

j)

k)

6.

a)

b)

c)

d)

e)

f )

g) dx

x x x x x x x1 4

2

2 2 1 4 2 2 1 42 3 2

2+ +( )=

+ − + + + − + + +

⌠

⌡⎮⎮ /

xxC

22( )

+

dx

x x x x x x x x1 4

2

1 4 4 1 4 1 42 3 2

2+ +( )=

+ − + + + − + + +

⌠

⌡⎮⎮ /

222( )

+ C

dx

x xx x x C

16 99 2 2 16 9

2

2

+ += − + − + + +⌠

⌡⎮ln

dx

x xx x x C

1 4

1

21 8 4 1 4

2

2

+ += − + − + + +⌠

⌡⎮ln

dx

x xx x x C

1 4

1

21 8 4 1 4

2

2

+ += − + − + + +⌠

⌡⎮ln

dx

xx x C

1616

2

2

+= − − + + +⌠

⌡⎮ln

dx

xx x C

2525

2

2

+= − − + + +⌠

⌡⎮ln

x x dx x16 3 5 7 103 15 5 7 118 11

21

1181/ / / / /

+( ) = − +( )−∫ 55 5 7 133 153

191+ +( ) +x C/ /

x

xdx

x

5 3

3 7 74 9 3 7 65 91

21

65 1

3/

/ / / /+( )

= −+( )

+⌠

⌡⎮⎮ − 88 1 3 7 56 9

+( )+

−xC

/ /

x

xdx

x

1 3

1 7 34 3 1 7 31 31

21

31 1

3/

/ / / /+( )

= −+( )

+⌠

⌡⎮⎮ − 44 1 1 7 28 3

+( )+

−xC

/ /

x

xdx

x

1 5

1 3 28 5 1 3 23 51

15

23 1

5/

/ / / /+( )

= −+( )

+⌠

⌡⎮⎮ − 66 1 1 3 18 5

+( )+

−xC

/ /

x x dx x x7 3 5 3 1 2 5 3 3 2 5 352

255 10 3/ / / / / /+( ) = +( ) − +(∫ )) + C

x x dx x x7 2 3 2 1 5 3 2 6 53 2

5

21223 2 75 60/ / / / /

+( ) = +( ) −∫ 33 2 344/ +( ) +x C

x x dx x C1 2 3 2 1 3 3 2 4 33 2

1

43 2/ / / / /

+( ) = +( ) +∫

x x dx x x C5 3 1 3 3 4 3 311

281 3 4+( ) = +( ) − +( ) +∫ / /


7.

a)

b)

c)

d)

e)

f )

g)

h)

8.

a)

b)

c)

d) dx

x x

x x

x xC

35 12

5 7

5 72− += − + −

− − −+⌠

⌡⎮ln

dx

x x

x

x

x

xC

2 32

2

12

1

22 3 2− +( )

= − −−

− −−

+⌠

⌡⎮⎮ /

dx

x x

x

xC

2 32

1

22− += − −

−+⌠

⌡⎮ln

dx

x x

x x

x xC

2 3

1 2

1 22− += − + −

− − −+⌠

⌡⎮ln

dx

x x

x x

xC

7 42

7 7 42

2

+ −= − + −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +⌠

⌡⎮arctan

dx

x x

x x

xC

1 22

1 1 22

2

+ −= − − + + −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +⌠

⌡⎮arctan

dx

x

x

xC

92

3 92

2

−= − − + −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +⌠

⌡⎮arctan

dx

x x

x x x

x x xC

4 2

2 4 2

2 4 22

2

2+ += − + + + +

− − + + ++⌠

⌡⎮ln

dx

x x

x x x

x x xC

4

2 4

2 42

2

2+ += − + + + +

− − + + ++⌠

⌡⎮ln

dx

x x

x x x

x x x1 4

1

2

1 2 1 4

1 2 1 42

2

2+ += − + + + +

− − + + +⌠⌡⎮

ln ++ C

dx

x

x x

x xC

1 25

1

5

1 5 1 25

1 5 1 252

2

2+= − + + +

− − + ++⌠

⌡⎮ln

dx

x

x x

x xC

9

3 9

3 92

2

2+= − + + +

− − + ++⌠

⌡⎮ln


e)

f )

g)

h)

9.

a)

b)

c)

d)

e)

f )

g)

h) 2 3 2

1 4

101

12

5

3 4

2 3

2

2+ + +

+ −= − + +

⎛⎝⎜

⎞⎠

⌠

⌡⎮

x x x

x xdx

x x⎟⎟ + − + −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ +1 4

112

3

2

22x x

xCarcsen

2 5 9

5 73

47

25 7

2

2

2− +

− + += −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ − + + +

⌠

⌡⎮

x x

x xdx x x x

3363

27 2 2 5 7 2ln + + − + +( ) +x x x C

2 5 9

2 3 4

1

16

3

42 3 4

2

2

2− +

+ −= −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ + −

⌠

⌡⎮

x x

x xdx

xx x ++

−⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

+53

32

23

43

arcsenx

C

1 2 4

1 5

4

3

23

31 5 3

2

2

2− +

+ += −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ + + +

⌠

⌡⎮

x x

x xdx

xx x 88 5 2 2 1 5 2ln + + + +( ) +x x x C

3

3 2 3

1

63 2

7

32

2

2

2+ +

+ += −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ + + +

⌠

⌡⎮

x x

x xdx

xx x ln ++ + + +( ) +2 2 3 2 2x x x C

5 2 4

1

7

3

4

31 4 1

2

2

2+ −

+ += −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ + + +

⌠

⌡⎮

x x

x xdx

xx x ln ++ + + +( ) +2 2 1 2x x x C

1 7 3

1 3 9

19

54 91 3 9

2

2

2− +

+ −= −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ + −

⌠

⌡⎮

x x

x xdx

xx x ++ −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+1

543

1

6arcsen x C

− + +

+ −= − +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ + −

⌠

⌡⎮

3 4

5 4

25

48 125 4

2

2

2x x

x xdx

xx x −− −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ +33

322

1

4arcsen x C

dx

x x

x

x

x

xC

2 3 212

2

49

4

3

2

49

3

4− −( )= − −

+− +

−+

⌠

⌡⎮⎮ /

dx

x x

x

xC2 12

2

7

3

4− −= − +

−+⌠

⌡⎮ln

dx

x x

x x

x xC

− − += + + −

+ − −+⌠

⌡⎮ 12

3 4

3 42ln

dx

x x

x

x

x

xC

35 12

1

2

7

5

1

2

5

72 3 2− +( )

= − −−

− −−

+⌠

⌡⎮⎮ /



1. d) 2. b) 3. c) 4. a) 5. d) 6. b) 7. d) 8. c)

Referencias

1. Jurado, J. y Salas, D., “Solución de la ecuación diferencial de crecimiento en peso de Von Bertalanffy(1938), por dos métodos distintos”, Anales del Instituto de Geofísica, México, UNAM, 1993.

2. Ritter, 0., Suárez, J. y Rodríguez, R., “Crecimiento, sobrevivencia y optimización de la carpa (Cyprinuscarpio) en la presa de Atlangatepec, Tlaxcala”, Anales del Instituto de Geofísica, México, UNAM, 1992.

3. Pérez, J., Cálculo diferencial e integral, Granada, Universidad de Granada, 2006. 4. Piskunov, N., Cálculo diferencial e integral, Barelona, Montaner y Simón, 1978. 5. Thomas, G. Cálculo (una variable), onceava edición, Pearson, México, 2005.

Tabla 2.14: Coordenadas de diversos puntos del terreno afectado parala construcción de la presa El Charco. Las medidas estándadas en metros.

El Charco

Para promover el desarrollo del país, el gobierno elabora proyectos de gran en-vergadura, los cuales muchas veces requieren la expropiación de enormes exten-siones de terreno; por ejemplo, cuando se necesita construir una presa para forta-lecer el crecimiento agrícola y generar energía eléctrica, se afectan terrenos co-munales y ejidales. El gran problema aquí es determinar con exactitud qué árease afectará para resarcir a los pobladores con indemnizaciones claras y justas. Enun caso reciente, el gobierno federal expropió amplios terrenos alrededor de la la-guna El Charco, ubicada en la Costa Chica del estado de Guerrero, para construiruna presa y un centro económico de gran importancia para la región. En el decre-to respectivo se indica que los pobladores recibirían 75 pesos por metro cuadra-do como indemnización. En la tabla 2.14 se muestran las coordenadas de diver-sos puntos de la periferia del terreno afectado, los cuales fueron tomados por losingenieros con respecto a un punto fijo considerado como origen. ¿Cuál será elárea afectada? ¿Cuál será el costo de la indemnización?


2.7 Integración numérica

La matemática es la ciencia del ordeny la medida de bellas cadenas

de razonamientos, todos,sencillos y fáciles.

René Descartes

X(metros)

y(metros)

2416.97 1335.32

2460.30 979.47

2550.86 740.00

2780.20 563.73

3080.10 584.87

3350.64 544.35

X(metros)

y(metros)

3262.56 473.88

3067.02 350.20

2933.13 275.41

2656.56 327.67

2348.27 278.34

1745.79 528.49

X(metros)

y(metros)

1108.07 1035.85

835.02 1204.96

730.12 1522.06

627.14 1604.86

304.76 2029.41

558.44 2048.79

X(metros)

y(metros)

1157.41 1902.57

1425.17 1950.14

1685.89 1691.18

2025.89 1685.89

2210.86 1381.13

2416.97 1335.32

Sección 2.7.1 Método del trapecio

En la figura 2.29a se muestra un trapecio típico, con sus tres dimensiones básicas: ladomayor B1, lado menor B2 y grosor h. Por geometría elemental, sabemos que el área deeste trapecio está dada por la fórmula

(2.35)AB B

hTrap = +⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟1 2

2

2232.7: Integración numérica

Introducción

En las secciones anteriores estudiamos diversos métodos analíticos para re-solver integrales; sin embargo, en general, no son aplicables para integrar ungran número de funciones. Por ejemplo, en integrales como

;

las cuales aparecen en estadística y en óptica, y no son solucionables con losmétodos analíticos. En otras palabras, existen funciones integrables cuya in-tegral no se puede expresar en términos de funciones elementales. En otroscasos, también en estadística y en física, aparecen integrales del tipo:

,

que, en cambio, sí pueden resolverse usando los métodos analíticos, pero sonsumamente complejas. De esta forma, en esta sección, analizaremos las con-diciones para estimar numéricamente, con el grado de precisión deseado, elvalor de estas integrales. Los tres métodos numéricos (trapecio, Simpson yCuadraturas de Gauss) que presentamos son, en general, mucho mejores queel cálculo de la integral por sumas de Riemann.

dx

x na

b

( ) /1 2 2+∫

cos( )x dxa

b2∫e dxx

a

b−∫

2

Objetivos


• Aplicar el método del trapecio en el cálculo de integrales defi-nidas.

• Aplicar el método de Simpson en el cálculo de integrales defi-nidas.

• Aplicar el método de cuadraturas de Gauss para determinar el va-lor de integrales definidas de funciones continuas, en intervaloscerrados.

Considera ahora una función positiva y = f (x) en el intervalo (a, b). Queremos aproximarel área bajo la curva mediante un conjunto de trapecios; para ello, primero haremos unapartición [a = x0, x1], [x1, x2],…,[xn−1, xn = b] del intervalo [a, b] en subintervalos de

igual longitud . Después, calcularemos los valores yi = f(xi) que toma la función

en los puntos xi, con i = 1, 2,…, n. Posteriormente, construiremos los trapecios sobre ca-da intervalo. Observa la figura 2.29b.

hb a

n= −


x0 x1 x2 x3 x4 x5

y0

y1y2

y3

y4

y5B1

B2

y

xh

a) b)

FIGURA 2.29: En a) se muestra un trapecio de lados B1 y B2 y grosor h; y en b), el área bajo una curva y su aproximación mediante la suma del área de varios trapecios.

Las dimensiones del primer trapecio, que se encuentra sobre el intervalo (x0, x1), son

B1 = f (x1)

B2 = f (x0)

h = x1 − x0y su área es

A esta relación se le conoce como fórmula simple del método del trapecio. En general,para el trapecio sobre el intervalo (xi, xi + 1):

Si sumamos el área de todos los trapecios, obtenemos una aproximación del área bajo lacurva:

En la figura 2.29b, observa que el área encerrada por los trapecios es buena estimaciónpara el área bajo la curva y que los posibles errores, por exceso o por defecto, se redu-

Ah

f x f xh

f x f xh

trap = +[ ]+ +[ ]+ +2 20 1 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ...

22

22 2

1

0 1 2

f x f x

hf x f x f x

n n( ) ( )

( ) ( ) ( ) ...

− +[ ]= + + + ++ +[ ]−2 1f x f xn n( ) ( )

B B f x f xh x x

Ah

f x f

i i

i i

i i

1 2 1

1

2

+ = += −

= +

−

−

( ) ( )

( ( ) (Δ xxi−1 ))

ΔAh

f x f x1 1 02= +( ( ) ( ))

cen aumentando el número de subintervalos. En general, se tiene el siguiente método pa-ra el cálculo de integrales.


Método del trapecio para el cálculo numérico de integrales

Sea y = f (x) una función continua en el intervalo finito [a, b]. Una estimaciónde la integral de la función en el intervalo por el método del trapecio está dadapor:

(2.36)

donde n es el número de intervalos, h = (b − a)/n es su longitud y yi = f (xi) conxi+1 = xi + h, para i = 0, 1, 2,…, n − 1.

f x dxh

y y y y ya

b

n n( ) [ ... ]∫ ≈ + + + + +−22 2 20 1 2 1

Observaciones

• Para n = 1 la fórmula (2.36) se conoce como fórmula simple del trapecio; encualquier otro caso, se llama fórmula compuesta del trapecio.

• El error que se produce al estimar la integral por el método del trapecio estádado por la fórmula

(2.37)

para algún valor de μ tal que a ≤ μ ≤ b. Queda fuera del alcance de este textomostrar que esta fórmula sea correcta.

errornh f b a f

ntrap = = −3 3

212 12

''( ) ( ) ''( )μ μ

Ejemplos

solución

Ejemplo 2.73

Calcula el valor de la integral

Usamos el método del trapecio con n = 1, 2, 3, 4 subintervalos.

La función a integrar es f(x) = e−x2en el intervalo [0, 1]. Si consideramos sólo un intervalo, n = 1, tenemos:

, x0 = 0 y x1 = 1.hb a

n= − = 1

e dxx−∫2

0

1


Si utilizamos la expresión (2.36):

Para el caso de dos trapecios:

En este caso, la suma del área de los trapecios es:

Para tres subintervalos obtenemos, de forma similar:

En tanto, el área bajo la curva se aproxima por

Finalmente, para el caso de n = 4 trapecios:

Así,

En la tabla 2.15 se muestran los resultados anteriores y los que corresponden a n = 5, 6,…, 10 interva-los. En la figura 2.30 se muestran la curva y la aproximación con tres trapecios.

Ah

f x f x f x f x f x4 0 1 2 3 422 2 2

1

8

= + + + +[ ]=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

[11 2 2 2 0 7429841 16 1 4 9 16 1+ + + + =− − − −e e e e/ / / ] .

h x x x x x= = = = = =1

40

1

4

1

2

3

410 1 2 3 4, , , , ,

Ah

f x f x f x f x e3 0 1 2 31

22 2

1

61 2= + + +[ ] = + −( ) ( ) ( ) ( ) [ /99 4 9 12 0 739986+ + =− −e e/ ] .

h x x x x= = = = =1

30

1

3

2

310 1 2 3, , , ,

Ah

f x f x f x e e2 0 1 21 4 1

22

1

41 0= + +[ ] = + + =− −( ) ( ) ( ) [ ]/ ..73137

h x x x= − = = = =1 0

2

1

20

1

210 1 2, , ,

Ah

f x f x e1 0 11

2

1

21 0 68394= +[ ] = + =−( ) ( ) [ ] .

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

– 0.2– 0.2

0.2 1.210.80.60.4

n Área

1 0.68394

2 0.73137

3 0.739986

4 0.742984

5 0.744368

6 0.745119

7 0.745572

8 0.745866

9 0.746067

10 0.746211

Tabla 2.15: Cálculo de la integraldel ejemplo 2.73 conn trapecios.

FIGURA 2.30: Gráfica de la función del ejemplo 2.73 y su aproximación por tres trapecios.


solución

Ejemplo 2.74

Usa cuatro intervalos de igual longitud para estimar el valor de la siguiente integral:

Determina también el error de la estimación. Más adelante discutiremos la razón de

que esta integral represente geométricamente la longitud de la curva , desde x = 0 hasta x = 4.

La función a integrar es en el intervalo [0, 4]. Como n = 4 se tiene que h = 1, por lo que

necesitamos evaluar la función en x = 0, 1, 2, 3, 4. Si aplicamos la fórmula (2.36):

Para determinar el error, se requiere calcular la segunda derivada:

Entonces,

De acuerdo con esto, el valor exacto de la integral se encuentra en el intervalo

(4.60592 − 0.02083, 4.60592 + 0.02083) = (4.58509, 4.62675)

En efecto, usando el método de sustitución trigonométrica, a modo de ejercicio, muestre que:

Ejemplo 2.75

Estima el número de intervalos necesario para que el cálculo de la integral , mediante el mé-todo del trapecio, tenga un error menor a ε = 10−3.

e dxx−∫ 2

0

5

Lx

dx= + =∫ 116

4 591172

0

4

.

errornh f

xtrap = =

+≤

3 3

2 3 212

4 1 4

12 16

''( ) ( ) ( )

( ) /

μ 11

480 020833= .

f xx

''( )( ) /

=+

4

16 2 3 2

Ah

f f f f ftrap = + + + +[ ]

= +

20 2 1 2 2 2 3 4

1

21

1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

77

4

5

2

5

42 4 60592+ + +

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ = .

f xx

( ) = +116

2

yx=

2

8

Lx

dx= +∫ 116

2

0

4

Sección 2.7.2 Método de Simpson

Para establecer el método de Simpson necesitamos, primero, determinar el área bajo lafunción cuadrática y = f (x) = ax2 + bx + c en el intervalo [−h, h]. Por un lado, integran-do la función en el intervalo, tenemos que

(2.38)

Por otra parte, si sustituimos la función en los puntos x0 = −h, x1 = 0, x2 = h obtenemoslas abscisas de los puntos por donde pasa la curva; es decir,

y0 = ah2 − bh + c

y1 = c

y2 = ah2 + bh + c

Despejemos ahora los coeficientes a, b, c en términos de y0, y1, y2:

ay y y

h

by y

hc y

=+ −

=−

=

2 0 12

2 0

1

2

2

2

A ax bx cx

ahb

h ch ah

px h

x h

= + +

= + + +

=−

=1

3

1

21

3 2

1

3

3 2

3 2 33 2

3

22

32

− +

= +

bh ch

ah ch


solución

La segunda derivada de la función f (x) = e−2x es f ''(x) = 4e−2x. Aplicando la expresión (2.37) se tiene

Si despejamos n:

En conclusión, usando n = 205 se obtiene el error pedido en el cálculo de la integral.

n ≥ =125

3 0 001204 124

( . ).

errorb a f

n

e

ntrap

x

= − = ≤−( ) ''( ) ( ) ( )3

2

3 2

212

5 4

12

μ 1125

30 0012n

= .

Finalmente, usando estos resultados en (2.38) determinamos el área bajo la parábola enel intervalo [−h, h].

(2.39)

Observa que el resultado depende sólo de h y de los valores y0, y1, y2 en vez de x0, x1, x2; esdecir, el área bajo una parábola que pasa por los puntos (x1 − h, y0), (x1, y1), (x1 + h, y2)es exactamente Ap.

A y y y h y h

hy y y

p = + − +

= + +

1

32 2

34

2 0 1 1

0 1 2

( )

[ ]


x0 x1 x2 x3 x4 x5

y0 y1

y2

y3

y4

y5

y1

y

x

a) b)

y0

y2

y6

x6

FIGURA 2.31: En a) se muestra una parábola que pasa por los puntos (x0, y0), (x1, y1) y (x2, y2), el área bajo esta

parábola es siempre y no depende de los valores de x. En b) se muestra el

área bajo una curva utilizando tres parábolas; la complejidad de la curva es tal que se observanclaramente errores por exceso o por defecto en la estimación del área.

Ah

y y yp = + +3

40 1 2( )

Establezcamos ahora el método de Simpson para determinar el área bajo la curvay = f (x) desde x = a hasta x = b. Considera primero una partición de 2n subintervalos

[a = x0, x1], [x1, x2],…, [x2n−1, x2n = b] de igual longitud . Calculemos ahora

los valores yi = f (xi) que toma la función en los puntos xi, con i = 1, 2,…, 2n. Posterior-mente, construimos las parábolas sobre cada par de intervalos. Observa la figura 7.29b.

De acuerdo con el resultado (2.39), para los primeros dos intervalos con puntos ex-tremos x0, x1, x2, se tiene que el área es:

Para los siguientes dos intervalos con puntos extremos x2, x3, x4, el área bajo la parábo-la correspondiente es

Al seguir el proceso, obtenemos el área bajo cada parábola. Un breve resumen se mues-tra en la tabla 2.16.

ΔAh

f x f x f x2 2 3 434= + +( ( ) ( ) ( ))

ΔAh

f x f x f x1 0 1 234= + +( ( ) ( ) ( ))

hb a

n= −

2

Al sumar el área bajo cada parábola obtenemos el área total:

(2.40)

Ésta es la fórmula de Simpson para determinar el área bajo una curva. En general, estemétodo establece lo siguiente:

Ah

f x f x f x f x f xsimp = + + + + +3

4 2 4 20 1 2 3 4[ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .... ( ) ( ) ( )]+ + +− −2 42 2 2 1 2f x f x f xn n n


Tabla 2.16: El intervalo, los puntos extremos y el áreabajo la parábola que pasa por estos puntos.

Intervalo Puntos Área

(x0, x2) (x0, y0), (x1, y1), (x2, y2)

(x2, x4) (x2, y2), (x3, y3), (x4, y4)

… … …

(x2n−2, x2n) (x2n−2, y2n−2), (x2n−1, y2n−1), (x2n, y2n)h

y y yn n n342 2 2 1 2( )− −+ +

hy y y

342 3 4( )+ +

hy y y

340 1 2( )+ +

Método de Simpson para el cálculo numérico de integrales

Sea y = f (x) una función continua en el intervalo finito [a, b]. Una estimación dela integral de la función en el intervalo por el método de Simpson está dada por:

(2.41)

donde n es el número de intervalos, h = (b − a)/n es su longitud y yi = f (xi) conxi+1 = xi + h, para i = 0, 1, 2,…, 2n − 1.

f x dxh

y y y y y ya

b

n( ) [ ...∫ ≈ + + + + + + +−34 2 4 2 20 1 2 3 4 2 2 44 2 1 2y yn n− + ]

Observaciones

• La expresión (2.39) es la fórmula simple y la (2.41) es la fórmula compues-ta, ambas de Simpson.

• El error que se produce al estimar la integral por el método de Simpson estádada por la fórmula

(2.42)

para algún valor de μ tal que a ≤ μ ≤ b; aquí f (4) es la cuarta derivada de lafunción. Queda fuera del alcance de este texto mostrar que esta fórmula delerror es correcta.

errornh f b a f

nsimp = = −5 4 5 4

4180 180

( ) ( )( ) ( ) ( )μ μ


Ejemplos

solución

Ejemplo 2.76

Utiliza el método de Simpson con cuatro y ocho intervalos para determinar el valor de la integral:

Analicemos el caso de n = 4 intervalos, cada uno con longitud . Los puntos a consi-derar son

x0 = 0, , , y x4 = π

Los valores correspondientes de las ordenadas son, respectivamente:

y0 = 1, y1 = 0.815705, y2 = −0.781212, y3 = 0.744151 y y4 = −0.902685

Entonces, un valor aproximado para la integral es

Ih

y y y y y= + + + + =3

4 2 4 1 249910 1 2 3 4( ) .

x33

4= π

x2 2= π

x1 4= π

h = ≈π4

0 785398.

I x dx= ∫ cos( )2

0

π

34

π4

x

y2

1

–1

–2

ππππ222222

ππππ

FIGURA 2.32: Aproximación de la integral del ejemplo 2.75 usando el método de Simpson con cuatro intervalos.

Para el caso n = 8 intervalos los puntos y las aproximaciones por segmentos se muestran en la tabla2.17; mientras que en la figura 2.33 se muestra la aproximación. Sumando el resultado de cada parábo-la obtenemos el valor de la integral

I = 0.75506 + 0.0997396 − 0.400656 + 0.132764 = 0.586908


Al seguir el procedimiento anterior, se obtienen los resultados de la tabla 2.18 para diferentes valores de n.

i xi yi Asimp

0 0 1

1 0.392699 0.988133

2 0.785398 0.815705

3 1.1781 0.181865

4 1.5708 −0.781212

5 1.9635 −0.755931

6 2.35619 0.744151

7 2.74889 0.293194

8 3.14159 −0.902685

Tabla 2.17: Puntos y áreas de cada parábola al calcular el áreapor el método de Simpson con ocho intervalos.

34

π4

x

y2

1

–1

–2

πππ π22222

πππ

FIGURA 2.33: Aproximación del área bajola curva usando el método deSimpson con ocho intervalos.

4 1.24991

16 0.565164

28 0.565631

40 0.565678

52 0.565688

64 0.565691

76 0.565692

n Asimp

Tabla 2.18: Cálculo de la integral del ejemplo 2.75 usandoel método de Simpson con n intervalos.

Ih

y y y4 6 7 834 0 132764= + + =( ) .

Ih

y y y3 4 5 634 0 400656= + + = −( ) .

Ih

y y y2 2 3 434 0 0997396= + + =( ) .

Ih

y y y1 0 1 234 0 75506= + + =( ) .


solución

El valor obtenido con cualquier software simbólico o calculadora es . Observa

que si usamos 16 intervalos ya tenemos una aproximación exacta hasta tres cifras decimales; si quere-mos mejorar la estimación, necesitamos aumentar el costo del cálculo, de forma que si queremos cin-co cifras decimales correctas, necesitamos 64 intervalos.

Ejemplo 2.77

Determina el área bajo la curva y = e2x desde x = −1 hasta x = 1 usando 4 intervalos. Estima el errorcometido. Calcula también el número de intervalos necesario para asegurar que el error sea menor aε = 10−5.

Usamos el método de Simpson con cuatro intervalos y tenemos que ; además,

Así,

La cuarta derivada de y = e2x es y(4) = 16e2x, que en el intervalo [−1, 1] está acotada por y(4) = 16e2, asíque el error es menor a

Si deseamos que el error sea menor que 10−5 necesitamos que

Despejando n resulta

Como el número de intervalos debe ser par, entonces el valor de n adecuado es n = 40.

ne≥

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =32 16

180 0 00001

2 1 4( )

( . )

/

38.0756

errorb a f

n

e

ntrap = − ≤ ≤( ) ( ) ( )( )5 4

4

2

4180

32 16

180

μ00 00001.

errornh f e

simp = ≤ ≈5 4 2

180

4 16

32 180

( ) ( ) ( )

( )

μ0.08221006

Vh

y y y y y= + + + + =3

4 2 4 3 195610 1 2 3 4[ ] .

x x x x x

y y0 1 2 3 4

0 1

1 0 5 0 0 5 1

0 1353

= − = − = = ==

; . ; ; . ; .

. ; == = = =0 3679 1 2 7183 7 38912 3 4. ; . ; . .y y y

h = − − =1 1

4

1

2

( )

cos( ) .x dx2

0

0 565694π

∫ =

Sección 2.7.3 Método de cuadraturas de Gauss

Por un momento regresemos al método del trapecio. Si consideramos sólo un intervalola expresión (2.36) se reduce a:

Observa que la estimación de la integral es exacta cuando la función a integrar f (x) es li-neal. Nota también que el cálculo se hace evaluando la función en los dos puntos extre-mos del intervalo y multiplicando cada uno de ellos por un factor, en este caso h/2. Lapregunta que nos hacemos aquí es si ¿será posible estimar exactamente la integral de unafunción polinomial en el intervalo (a, b), evaluando la función en sólo dos puntos x1 y x2y multiplicando cada evaluación por factores w1 y w2? En otras palabras, ¿existen valores

x1, x2 ∈(a, b) y w1, w2 ∈� tales que ?

La respuesta no es obvia. Observa que tenemos cuatro incógnitas, lo cual significaque el grado máximo de la función polinomial que buscamos es tres. Considera enton-ces la función cúbica f (x) = a0 + a1x + a2x

2 + a3x3 y el intervalo (−1, 1). Integramos:

Necesitamos encontrar x1, x2, w1 y w2 tales que

(2.43)

Es decir, queremos que se cumpla

Como el resultado debe ser válido para cualquier conjunto de valores a0, a1, a2, a3, es ne-cesario que

De la segunda y cuarta ecuación:

w x w x

w x w x1 1 2 2

1 13

2 23

= −= −

202

30

1 2

1 1 2 2

1 12

2 22

1 13

2

= += +

= +

= +

w ww x w x

w x w x

w x w x223

22

302

1 0 1 1 2 12

3 13

2 0 1 2aa

w a a x a x a x w a a x+ = + + + + +( ) ( ++ +

= + + + +

a x a x

a w w a w x w x a w

2 22

3 23

0 1 2 1 1 1 2 2 2

)

( ) ( ) ( 11 12

2 22

3 1 13

2 23x w x a w x w x+ + +) ( )

22

302

1 1 2 2aa

w f x w f x+ = +( ) ( )

f x dx a xa

xa

xa

x aa

( ) = + + + = +− −∫ 0

1 2 2 3 3 4

1

1

1

1

02

2 3 42

2

33

f x dx w f x w f xa

b

( ) ( ) ( )= +∫ 1 1 2 2

f x dxh

f a f bh

f ah

f ba

b

( ) ( ) ( ) ( ) ( )≅ +[ ] = +∫ 2 2 2


Dividimos para obtener x 21 = x 2

2, de donde x1 = ± x2, como x1 ≠ x2 se tiene x2 = −x1. Re-gresamos luego a la segunda ecuación del sistema, de donde w1 = w2; usamos ahora laprimera ecuación y obtenemos w1 = w2 = 1. Finalmente, sustituyendo estos resultados en

la tercera ecuación, resulta .

En resumen, si regresamos a la ecuación (2.43), para cualquier función polinomialcúbica se cumple que:

(2.44)

Para el caso de la integral en el intervalo [a, b], basta con hacer el cambio de variable

(2.45)

que transforma el intervalo [a, b] en el intervalo [−1, 1] y después aplicamos la expre-sión (2.44). Con esto, concluimos que es posible calcular exactamente la integral de unafunción cúbica evaluando la función en únicamente dos puntos.

La fórmula (2.44) es la base para estimar el valor de la integral, aun para el caso defunciones diferentes a las polinomiales de grado menor o igual a 3. En este caso, hace-mos una estimación simple usando directamente la fórmula (2.44). También podemoshacerlo de forma compuesta realizando primero una partición del intervalo original y su-mando las estimaciones de todos los intervalos, como en los métodos del trapecio y deSimpson. Una tercera posibilidad es generalizar el proceso anterior considerando n pun-tos x1, x2,…, xn y n pesos w1, w2,…,wn, de forma que, para funciones polinomiales de gra-do 2n − 1 se tenga el resultado exacto:

En resumen, tenemos el siguiente resultado.

f x dx w f x w f x w f xn n( ) ( ) ( ) ... ( )−∫ = + + +1

1

1 1 2 2

ux a

b a= − + −

−1

2( )

f x dx f f( )−∫ = ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

+ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1

11

3

1

3

x x1 21

3= = −


Método de cuadraturas de Gauss

Sea y = f(x) una función continua en el intervalo finito [−1, 1]. Una estimaciónde la integral de la función en ese intervalo, por el método de cuadraturas deGauss, utilizando n puntos está dada por

(2.46)

Donde los puntos xi y los pesos wi, desde n = 2 hasta n = 10, están dados por latabla 2.19.

f x dx w f x w f x w f xn n( ) ( ) ( ) ... ( )−∫ = + + +1

1

1 1 2 2

Para completar el esquema, presentaremos, sin demostración, la fórmula del error debi-da a la integración por cuadraturas.


xi ωi xi ωi xi ωi

n = 2 n = 3 n = 4

±0.57735 1 0.0 0.88888889 ±0.33998104 0.65214515

±0.77459667 0.55555555 ±0.86113631 0.34785485

n = 5 n = 6 n = 7

0.0 0.56888889 ±0.23861918 0.46791393 0.0 0.41795918

±0.53846931 0.47862867 ±0.66120939 0.36076157 ±0.40584515 0.38183005

±0.90617985 0.23692689 ±0.93246951 0.17132449 ±0.74153119 0.27970539

±0.94910791 0.12948497

n = 8 n = 9 n = 10

±0.18343464 0.36268378 0.0 0.33023936 ±0.14887434 0.29552422

±0.52553241 0.31370665 ±0.32425342 0.31234708 ±0.43339539 0.26926672

±0.79666648 0.22238103 ±0.61337143 0.26031070 ±0.67940957 ±0.21908636

±0.96028986 0.10122854 ±0.83603111 0.18064816 ±0.86506337 0.14945135

±0.96816024 0.08127439 ±0.97390653 0.06667134

Tabla 2.19: Nodos y pesos del método de cuadraturas para diferentes valores de n.

Fórmula del error por cuadraturas

Si y = f(x) es una función con al menos 2n derivadas, entonces el error cometi-do al utilizar el método de cuadraturas con n puntos está dado por

(2.47)

Donde n es el número de puntos utilizado y f (2n) es la dos enésima derivada dela función evaluada en algún punto μ∈[−1, 1].

Errorn f

n ncuadr

n n

=+ [ ]

+2

2 1 2

2 1 4 2

3

[ !] ( )

( ) ( )!

( ) μ

Ejemplos

Ejemplo 2.78

Usa el método de cuadraturas de Gauss con n = 2 y n = 4 para determinar el valor de la integral

2

4 41

1

+−∫ x

dx


solución

solución

De acuerdo con la expresión (2.44), el valor de la integral usando n = 2 puntos es

Si usamos la expresión (2.46) y los datos de la tabla 2.19, para el caso n = 4, tenemos:

Como ejercicio, demuestra que el valor exacto de la integral es 0.955934. Es impresionante que sólobaste evaluar la función en cuatro puntos, para tener una precisión de tres cifras significativas.

Ejemplo 2.79

Utiliza el método de cuadraturas de Gauss con n = 4 para determinar el valor de la integral

Primero hacemos un cambio de variable para transformar los límites de integración al intervalo [−1, 1].Para ello, busquemos la ecuación de la recta que une los puntos (−3, −1) y (5, 1):

Al despejar la variable x se tiene

x = 4u + 1; dx = 4du

Entonces,

1

9

4

9 4 123

5

21

1

+=

+ +− −∫ ∫x

dxu

du( )

u xx

ux

= − +− −− −

+ = − ++

=−

11 1

5 33 1

3

41

4

( )

( )( )

1

9 23

5

+−∫ x

dx

2

40 861136314

1

1

+= − +

−∫ x

dx f 0.34785485 0.652( . ) 114515

0.65214515

f

f

( . )

( .

−

+

0 33998104

0 33998104)) ( )+=

0.34785485 0.86113631

0.955787

f

2

4

1

3

1

3

2

419

41

1

+= −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

+ ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=+ ⎛

⎝⎜⎞⎠

−∫ x

dx f f

⎟⎟

++ ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

= ≈2

419

36

370.972973


solución

Si aplicamos ahora la fórmula (2.46) y la tabla 2.19, considerando :

Ejemplo 2.80

Determina una cota superior para el error cometido al utilizar el método de cuadraturas con n = 3 pun-tos para calcular la integral

La cuarta derivada de la función y = e2x es y(4) = 16e2x. De acuerdo con la fórmula (2.47):

Es decir, con sólo evaluar la función en dos puntos tenemos dos dígitos de precisión. Es claro que:

de donde podemos obtener el error cometido en la aproximación; éste es

error = 0.00458796

que, en efecto, es menor que 0.00750634.

e dx

w f x w f x w f x

x2

1

1

1 1 2 2 2 2

3 62686−∫ =

+ + =

.

( ) ( ) ( ) 3.662227

Errore e

cuadr = ≤ ≈2 3 16

7 6

8

7875

7 4 2

3

2[ !]

( )[ !]

μ

0.000750634

e dxx2

1

1

−∫

4

9 4 10 861136312

1

1

+ += − +

−∫ ( )

( . )u

du f0.34785485 0..65214515

0.65214515

f

f

( . )

( .

−

+

0 33998104

0 339988104) ( )+=

0.34785485 0.86113631

0.606078

f

f uu

( )( )

=+ +

4

9 4 1 2


1. Utiliza el método del trapecio para estimar el valor de las siguientes integrales, con el número de inter-valos indicado

a) ; n = 4

b) ; n = 5

c)

d)

e)

f )

g)

h)

i)

j) cos ( ) ;2

0

4x dx nπ

∫ =

x

xdx n

2 38

3

7

+=∫ ;

x

xdx n

2

0

2

86

−=∫ ;

e x dx nx3

0

4sen( ) ;π

∫ =

x x dx n2

0

3

4tan( ) ;

π

∫ =

8

464

1 6

2 5

xdx n

+=∫

.

.

;

x e dx nx3

1

3

3∫ =;

x x dx n2

3 5

5

5ln( ) ;.∫ =

( ).

x x x dx3 2

0

2 5

2 3 2− + +∫

( )4 3 2 13 2

2

2

x x x dx+ + −−∫

2. Calcula las siguientes integrales usando el método de Simpson con el número de intervalos considerado.

a) ; n = 4

b) ; n = 4

c)

d) ; n = 2

e) ; n = 4

f ) ; n = 6

g) ; n = 6

h) ; n = 8

i) ; n = 8

j) ; n = 6

k) ; n = 4x x e dxx4 6

2

4

cos ( )∫

cos ( )2

2

x dxπ

π

∫

x

xdx

2

30

8

1+∫

x

xdx2

1

3

4+∫

e x dxx−∫ 2 54

cos( )π

π

x x dx2

0

2

cos( )

π

∫

1

130

2

xdx

+∫

xe dxx−∫ 2

0

2

( )ln( ) ;x x x dx n3 2

1

3

6+ =∫

( )x x dx3 2

0

4

5−∫

( )x x x dx3 2

2

2

2 3+ − +−∫

3. Determina una cota para el error cometido al calcular, con el método del trapecio, las siguientes inte-grales con el número de intervalos indicado.


a) ; n = 4

b) ; n = 6

c) ; n = 8

d) ; n = 6

e) ; n = 26( ) /1 1 3

0

26

+∫ x dx

1

12

3

+∫ xdx

22

3

5

xdx∫

31

3

e dxx∫

10

1

+∫ xdx

4. Define una cota para el error cometido al calcular, por el método de Simpson, las integrales del incisoanterior con el número de intervalos indicado.

5. Aproxima las siguientes integrales aplicando la cuadratura gaussiana, con el número de puntos indica-do y compara sus resultados con el valor exacto de las integrales.

a) ; n = 4

b) ; n = 4

c) ; n = 2

d) ; n = 3

e) ; n = 2

f ) ; n = 6

g) ; n = 4

h) ; n = 6

i) ; n = 2

j) ; n = 8cos ( )2

20 1

x e

xdx

x

+∫π

x

xdx

20

1

1+∫

x

xdx

2

21

3

9+∫

e x dxx2

0

2cos( )π

∫

x x dx2 3

4

2

cos ( )π

π

∫

2

433

4

xdx

+∫

x e dxx4 2

2

12−

−∫

x x dx5

1

2

ln( )∫

x e dxx4

1

1

−∫

x e

xdx

x2

21

1

1+−∫

6. Determina el número n de intervalos necesarios para que se pueda calcular la integral dada con el errormáximo ε, a través del método del trapecio.

a) ; ε = 10−6

b) ; ε = 10−3

c) ; ε = 10−4e dxx−∫0

1

1 20

4

+∫ x dx

x dx4

0

1

∫

7. Repite el ejercicio anterior para el método de Simpson.

8. En algunos experimentos de viscosidad se ha encontrado que una partícula de masa m, soltada en la par-te superior de un contenedor que contiene un fluido viscoso, se mueve de acuerdo con la siguiente ley:

tm

udu

v t

v t

= − ∫ 3 2

0

/( )

( )


Si m = 10 kgs y v(0) = 10 m/s, utiliza el método de Simpson con cuatro intervalos para aproximar eltiempo requerido para que la velocidad de descenso de la partícula sea v = 5 m/s.

9. Aproxima , utilizando las fórmulas del trapecio y de Simpson, si la función f está dada por la

tabla

f x dx( )2

4

∫

x 3 3.5 4 4.5 5

f (x) 4.12547 5.25968 6.45879 7.21568 8.24569

10. Calcula la integral :

a) usando el método del trapecio con n = 8 intervalos.

b) usando el método de Simpson con n = 8 intervalos.

c) usando el método de cuadraturas de Gauss con n = 3 puntos.

d) compara con el valor exacto. ¿Qué método produce el menor error?

11. Utiliza los métodos del trapecio y de Simpson para determinar aproximaciones de las siguientes inte-grales con n = 10 intervalos de igual longitud.

a) c)

b)

12. La siguiente tabla muestra la velocidad de un automóvil en la carretera México-Cuernavaca durante unahora. Aproxima la distancia recorrida usando 6 subdivisiones de longitud 10 minutos, basándote en elmétodo del trapecio.

J x x dx= −∫ 2 2

0

1

exp( )

Kx

dx=+−

∫1

1 41

1

I x dx= ∫ sen( )2

0

π

x e dxx3

1

1

−∫

Tiempo (min) 0 10 20 30 40 50 60

Veloc. (km/hora) 60 55 58 62 68 75 81

13. Usa los métodos simples del trapecio y de Simpson con dos intervalos y el de cuadratura gaussiana condos puntos para determinar expresiones dependientes de k que estimen el valor de la integral:

Compara los resultados obtenidos aplicando las expresiones respectivas con el valor verdadero para elcaso k = 3. ¿Cuál es el mejor procedimiento?

I k x x dxk( ) exp( )= −∫ 2

0

1



14. Piensa en la fórmula de integración . Encuentra los valores de la constan-

te A y de los puntos x0 y x1 para que la fórmula sea exacta para polinomios del mayor grado posible.¿Cuál es ese grado?

15. Considera la fórmula de integración . Encuentra el valor de

las constantes A0, A1, A2 para que la fórmula sea exacta para polinomios del mayor grado posible. ¿Cuáles ese grado?

16. Sea T = g(t) con t ∈ [0, 24], la función que define la temperatura ambiente en Cuernavaca determinada

a lo largo de las distintas horas del día. Para aproximar la temperatura media en un

día cualquiera, un grupo de meteorólogos propone tomar únicamente dos lecturas en los instantes t1 yt2 y usar la relación Tm = A1g(t1) + A2g(t2).

a) Algunos de estos meteorólogos opinan que g(t) es un polinomio cúbico. De ser así, determina lostiempos en que deben hacerse las mediciones de temperatura y las constantes A1, A2.

b) Otros de sus colegas piensan que es necesario incluir términos trigonométricos que tomen en cuen-ta la intensidad de la radiación solar; para ellos, el comportamiento de g(t) se ajusta mejor a funcio-nes del tipo:

Define los tiempos en que deben hacerse las medidas de temperatura y los coeficientes a, b, c, d.

g t a bt c t d t( ) cos ( ) sen ( )= + + −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + −π π

2412

2412⎛⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

T g t dtm = ∫1

240

24

( )

x f x dx A f A f A f2

1

1

0 1 21 0 1( ) ( ) ( ) ( )−∫ = − + +

f x dx A f x f x( ) ( ( ) ( ))0

1

0 1∫ = +


1. El Charco, que se presenta en la introducción de esta sección.

2. Fórmulas de integración de Newton-Cotes. Las fórmulas del trapecio y Simpson son casosparticulares de las fórmulas de Newton-Cotes. Los dos métodos que hemos estudiado sebasan en obtener una fórmula de integración exacta para polinomios de uno y dos grados,respectivamente, y para ello evalúan la función en dos o tres puntos de un intervalo dado.Construye ahora una fórmula de integración para evaluar exactamente polinomios de gra-do tres, para lo cual debes responder los siguientes incisos:

a) Integra un polinomio de grado tres P(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x

3 en el intervalo

. Observa que la longitud del intervalo es igual a 3h.−⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

3

2

3

2

h h,


b) Considera que el polinomio pasa por los cuatro puntos , , y

. Expresa los coeficientes a0, a1, a2 y a3 en términos de y0, y1, y2 y y3.

c) Usa los dos resultados anteriores para mostrar que

d) Establece ahora un método simple para calcular y apóyate en él para deter-

minar el valor de las siguientes integrales y .

e) Supón que el intervalo original de integración [a, b] se divide en 3n subintervalos deigual longitud; establezca una fórmula compuesta para calcular integrales y aplícalapara calcular las integrales del inciso anterior con seis subintervalos.

f ) Siguiendo el proceso anterior, construye una fórmula para evaluar integrales que seaexacta para polinomios de grado cuatro.

3. Fórmulas de integración por cerraduras utilizando tres puntos. Como seguramente habrásobservado, los métodos de cuadraturas son sumamente poderosos y útiles, ya que sólo senecesita evaluar la función en algunos pocos puntos. Ahora construirá un método de cua-draturas basado en la evaluación de la función en tres puntos. Considera el polinomio degrado cinco f (x) = a0 + a1x + a2x

2 + a3x3 + a4x

4 + a5x5. El problema es determinar w1, w2,

w3, x1, x2, x3 tales que

Para ello, sigue el proceso siguiente:

a) Establece el siguiente sistema de ecuaciones:

i = 0, 1, 2, 3, 4, 5

¿Por qué basta con establecer este sistema de ecuaciones para resolver el problema?

b) Usa las ecuaciones con i = 0, 2, 4 para mostrar que una solución del sistema debe cum-plir x2 = 0, x3 = −x2 y w1 = w3.

c) Reescribe el sistema de ecuaciones restante considerando los resultados del inciso an-terior y resuélvelo.

x dx w x w x w xi i i i

−∫ = + +1

1

1 1 2 2 3 3;

I f x dx w f x w f x w f x= = + +−∫ ( ) ( ) ( ) ( )1

1

1 1 2 2 3 3

x e dxx3 2

0

3

∫e x dxx ln( )1

4

∫

f x dxa

b

( )∫

( ) (/

/

a a x a x a x dxh

y yh

h

0 1 22

33

3 2

3 2

0 13

83 3+ + + = + +

−∫ yy y2 3+ )

3

2 3h

y,⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

hy

2 2,⎛⎝⎜

⎞⎠⎟−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

hy

2 1,−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

3

2 0h

y,


Autoevaluación

1. Calcula el valor de la siguiente integral usando el método del trapecio con tres intervalos:

a) 7.06433 b) 7.7426 c) 6.68104 d) 4.68104

2. Determina el valor de la siguiente integral usando el método de Simpson con cuatro intervalos:

a) 0.184874 b) 0.204868 c) 0.193316 d) 0.182828

x e dxx2 2

0

2−∫

7 3

1 50

3x

xdx

++∫

d) Establece ahora una fórmula de integración y úsala para calcular la integral de las si-guientes funciones. Compara los resultados que arroja su fórmula con los exactos.

; ;

4. Comparación numérica. Con la finalidad de apreciar la bondad de las diferentes fórmulasde integración numérica (trapecio, Simpson, Gauss), considera las siguientes integrales:

a) Calcula el valor exacto de todas las integrales.

b) Estima el valor de cada integral aplicando:

i. las fórmulas simples del trapecio y de Simpson.

ii. las fórmulas compuestas del trapecio y de Simpson con n = 2, 4, 8 subintervalos deigual longitud.

iii. el método de cuadraturas con n = 2, 3, 5 puntos.

c) Construye un cuadro comparativo donde se ponga de manifiesto el error cometido encada uno de los casos anteriores. Para ello, toma en cuenta la diferencia entre los valo-res estimados y los exactos; no uses las fórmulas del error.

Lx

dx=+∫2

2520

5

K x x e dxx= + + −∫ ( ) ;2

0

5

1Jx

dx= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟∫ sen ;

π5

0

5

I x dx= +∫ 40

5

;

Kx x

xdx= +

+−∫

2

21

1

1J x e dxx=

−∫ 2

1

1

Ix

dx=+−

∫1

1 21

1


3. Usa el método de cuadraturas de Gauss con n = 3, para determinar el valor de

a) 0.566234 b) 0.597288 c) 0.594444 d) 0.599327

4. Determina el mínimo valor de n necesario para calcular la siguiente integral con un error me-nor a 0.001 usando el método del trapecio

a) 26 b) 9 c) 82 d) 3

5. En la columna B, encuentra la estimación del valor de la siguiente integral, utilizando el mé-todo indicado en la columna A.

Columna A Columna B

xe dxx−

−∫ 3

1

1

e dxx−∫0

2

x

xdx

1 20

2

+∫

a) trapecio con dos intervalos

b) Simpson con dos intervalos

c) Simpson con cuatro intervalos

d) Cuadratura gaussiana con n = 2

i. −3.16117

ii. −2.5346

iii. −1.2567

iv. −4.75881

v. −6.67858

vi. −4.35341

vii. −4.50716

viii. −10.0179

Respuestas a los


1.a) 14.

b) 13.9063

c) 40.097

d) 285.353

e) 0.364873

f ) 0.456369

g) 745.55

h) −0.418851

i) 5.49582

j) 1.5708


2.a) 17.3333

b) −42.6667

c) 24.2459

d) 0.192657

e) 1.09683

f ) 0.467305

g) 0.019316

h) 0.477755

i) 14.4857

j) 0.785398

k) 3010.5

3.a) 0.00130208

b) 1.11586

c) 0.00154321

d) 0.000171468

e) 0.481481

4.a) 0.0000203451

b) 0.00826565

c) 0.000014289

d) 0.000000423

e) 0.142661

5. a) 0.556053

b) 0.551852

c) 5.57302

d) 0.142507

e) 0.04407

f ) 0.0715376

g) 135.043

h) 0.609057

i) 0.413008

j) 2.40325

6.a) 1000 b) 74 c) 29

7.a) 20 b) 18 c) 4

8. 2.62075

9. A través del método del trapecio: 12.5599; con el método de Simpson: 12.5317.

10. a) 0.5018

b) 0.451487

c) 0.441217

d) Simpson con 8 intervalos, pues el resultadoexacto es 0.449507

11. Con el método del trapecio: a) 0.722381; b) 0.63685; c) 1.72725

Con el de Simpson: a) 0.795031; b) 0.627915; c) 1.73402

12. 64.75 km.

13. ,

Para k = 3 se tiene Itr(3) = 0.140645; Isimp(3) = 0.126213; Icuad(3) = 0.136196

14. , , , grado = 3

15. A0 = A2 = 1/5, A1 = 4/15, grado = 3

A = 1

2x2

3 3

6= +

x13 3

6= −

I kcuadk k( ) . * ( . ) . * (= +−0 239081 0 42265 2 0 1342161 11 57735 21. )k k−

I ke esimp k( )

( ),/= + −

1

6

1

3 2 1 1 4I ke etr k( ) /= + +

1

4

1

2 1 1 4


16.

a) , , , grado = 3

b) Una posibilidad es A1 = 0, A2 = 1, x2 = 12 y x1 en cualquier otro valor.

A A1 11

2= =x2 4 3 3= +( )x1 4 3 3= −( )


1. a) 2. d) 3. d) 4. a) 5. (a, viii.); (b, v.); (c, iv.); (d, i.)

Referencias

1. Gerald, C. y Wheatley, P., Análisis numérico con aplicaciones, 6a. ed., México, Pearson Educación,2000.

2. Nieves, A. y Domínguez, F., Métodos numéricos aplicados a la ingeniería, 2a. ed., México, CECSA,2005.

249

Unidad

Aplicaciones de la integral


3.1 Área entre curvas

3.2 Volúmenes

3.3 Aplicaciones de la integral

3.1 Área entre curvas

En la mayoría de las ciencias, una generación derriba lo que otra ha

construido. Solamente en matemáticas,cada generación construye un nuevo

piso sobre la vieja estructura.

Hermann Hankel

La función de Lorenz y el índice de Gini

Para medir la distribución de los ingresos de una población se utiliza la función de Lorenz L(x), que está de-finida y es creciente en el intervalo [0, 1]. Dicha función se construye considerando fracciones de la pobla-ción de menor a mayor ingreso. Por ejemplo, si se sabe que el 50% de la población más pobre obtiene el 10%de los ingresos, entonces se tendría que L(0.5) = 0.10. Por otro lado, el índice de Gini es una medida de ladesigualdad de la distribución de los salarios, que se define mediante la integral

G x L x dx= −( )∫20

1

( )

Ejercicio

a) Elabora un esquema gráfico que muestre la curva de Lorenz y la recta y = x,y utilízalo para explicar el significado geométrico del índice de Gini.

b) En la tabla 3.1 se muestran los datos del producto interno bruto (PIB) de lospaíses del mundo; para esos datos, construye la curva de Lorenz y determinael índice de Gini.

c) Desde un punto de vista económico, explica los costos y beneficios de un ín-dice de Gini cercano a los valores 1 o 0.

250 Unidad 3: Aplicaciones de la integral

Fracción de países 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Fracción del PIB 0.0 0.001 0.002 0.005 0.10 0.18 0.28 0.58 0.11 0.21 1

Tabla 3.1: El producto interno bruto mundial y su distribución entre los países del mundo.

Introducción

En esta sección abordaremos el problema de calcular áreas encerradas pordos o más curvas. Basaremos el estudio en el conocimiento que ya tenemossobre la relación entre área e integral. Primero, definiremos dos tipos genera-les de regiones y mostraremos cómo aplicar la integral para calcular su área.Este problema geométrico lo encontramos, por ejemplo, en situaciones comola precedente, donde se vuelve necesario determinar con mucha precisión elárea de una región dada.

Objetivos


• calcular el área encerrada entre dos curvas.• reconocer los tipos de regiones I y II, así como la forma de

calcular sus áreas.

Sección 3.1.1 Áreas entre curvas

En la sección 1.2 mostramos que el área de la región limitada superiormente por lacurva y = f (x) > 0, inferiormente por el eje x y lateralmente por las rectas x = a yx = b, es igual a la integral definida de la función en el intervalo [a, b]. Ahora desea-mos calcular el área encerrada por las curvas y = f (x), y = g(x) y las rectas verticalesx = a y x = b.

Con la finalidad de establecer una expresión que permita determinar esta área, supónque f(x) > g(x) en [a, b]; observa la figura 3.1. Considera ahora una partición del inter-valo [a, b] en n pequeños subintervalos (a = x0, x1), (x1, x2),…, (xn − 1, xn = b). En cada in-tervalo construimos un rectángulo de base Δxi = xi − xi − 1 y altura f(ξi) − g(ξi), donde ξies un punto en el intervalo (xi − 1, xi), i = 1, 2,…, n. Sumando el área de estos rectángu-los, obtenemos una aproximación del área buscada A. Es decir:

En el límite, cuando la norma de la partición tiende a cero, tenemos

Finalmente, usando la integral definida, obtenemos el siguiente resultado:

A f g xP

i i ii

n

= ( ) − ( )⎡⎣ ⎤⎦→ =∑lím

|| || 01

ξ ξ Δ

A ≈ ( ) − ( )⎡⎣ ⎤⎦=∑ f g xi i ii

n

ξ ξ Δ1

2513.1: Área entre curvas

y

x

x = bx = a x = bx = a

y

x

y = f x

y = g x

y = f x

y = g x

FIGURA 3.1: Área limitada por dos funciones que no se intersecan en el intervalo [a, b]; observa que el área se puedeestimar sumando el área de rectángulos verticales.

Área entre curvas y = f (x) y y = g(x) que no se intersecan

El área de una región limitada arriba por y = f (x), abajo por y = g(x) y lateral-mente por x = a y x = b está dada por

(3.1)A R f x g x dxa

b

= = −[ ]∫área de la región ( ) ( )

No siempre se cumple que f(x) > g(x) en todo el intervalo [a, b], ya que pueden existirsubintervalos donde f(x) < g(x); observa la figura 3.3. Para calcular el área encerrada porlas dos curvas en el intervalo [a, b] es necesario determinar primero los puntos de inter-sección x1, x2,…, xn pertenecientes al intervalo y ordenados de menor a mayor, es decir:

a ≤ x1 < x2 < … < xn ≤ b; y posteriormente evaluar la integral que aparece en la fórmula(3.1) para cada uno de los subintervalos [a, x1], [x1, x2],…, [xn − 1, xn], [xn, b]. Cuando elresultado sea positivo, tendremos el área encerrada por las curvas en ese intervalo. Siel resultado es negativo, basta con cambiar el signo para obtener el área. Si queremosasegurar que siempre tengamos el área correcta, se suma el valor absoluto de las integra-les en cada región; esto es equivalente a sumar las integrales del valor absoluto de ladiferencia de las dos funciones, que a la vez, es equivalente a integrar en[a, b]. Es decir,

En resumen, tenemos el siguiente resultado.

A g x f x dx f x g x dx ga

x

x

x

= −( ) + −( ) + +∫ ∫( ) ( ) ( ) ( ) (1

1

2

� xx f x dx

g x f x dx f x g x d

x

b

a

xn

) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

−( )

= − + −

∫

∫1

xx g x f x dx

g x f x dx

x

x

x

b

a

bn1

2

∫ ∫

∫

+ + −

= −

� ( ) ( )

( ) ( )

f x g x( ) ( )−


y

xx = bx = a

y = f x

y = g x

y

xx = bx = a

y = f x

y = g x

FIGURA 3.2: Dos funciones que se intersecan en [a, b], en una parte del intervalo se satisface f(x) > g(x) y en otrase cumple la desigualdad contraria.

Área encerrada por curvas y = f (x) y y = g(x) que se intersecan

El área de una región encerrada por la funciones y = f (x) y y = g(x) en el inter-valo [a, b] está dada por:

(3.2)A f x g x dxa

b

= −∫ ( ) ( )

Tenemos dos resultados adicionales equivalentes a las fórmulas (3.1) y (3.2) que correspon-den a las figuras 3.3 y 3.4. En el primer caso, queremos determinar el área encerrada porlas curvas x = f(y), x = g(y) y las rectas horizontales y = c y y = d; observa la figura 3.4.


y

x

y = d

y = c x = f y

x = g y

y

x

y = d

y = c x = f y

x = g y

FIGURA 3.3: Dos curvas definidas por x = f(y) y x = g(y) que no se intersecan en el intervalo [c, d]. Observa que elárea se puede estimar sumando el área de rectángulos horizontales.

Primero hacemos una partición del intervalo [c, d], sobre el eje y, en n pequeños subin-tervalos (c = y0, y1), (y1, y2),…, (yn − 1, yn = d). Para cada subintervalo construimos rec-tángulos horizontales de base Δyi = yi − yi − 1 y altura f(ξi) − g(ξi), donde ξi es un puntoen el intervalo (yi − 1, yi), i = 1, 2,…, n. Sumando el área de estos rectángulos y, posterior-mente, tomando el límite cuando la norma de la partición tiende a cero, tenemos que elárea encerrada está dada por

Si usamos la definición de integral definida, obtenemos el siguiente resultado:

A f g xP

i i ii

n

= ( ) − ( )⎡⎣ ⎤⎦→ =∑lím

|| || 01

ξ ξ Δ

Área entre curvas x = f (y) y x = g(y) que no se intersecan

El área de una región limitada a la derecha por x = f (y), a la izquierda porx = g(y) y lateralmente por y = c y y = d está dada por

(3.3)A f y g y dyc

d

= −[ ]∫ ( ) ( )

De forma similar, en el caso ilustrado en la figura 3.4, tenemos el resultado más generalsiguiente:

Área encerrada por curvas x = f (y) y x = g(y) que se intersecan

El área de una región encerrada por las funciones x = f(y), x = g(y) y las rectas y = cy y = d está dada por:

(3.4)A f y g y dyc

d

= −∫ ( ) ( )

Todas las gráficas de los ejemplos siguientes no son necesarias, ya que las áreas a calcu-lar sólo requieren conocer los puntos de intersección. Sin embargo, las incluimos porqueson ilustrativas del área que buscamos. Para su construcción, se puede consultar la sec-ción 9.2 del libro Cálculo diferencial de los autores de este texto.


y

x

y = d

y = c

x = f y

x = g y

y

x

y = d

y = c

x = f y

x = g y

FIGURA 3.4: El área encerrada por dos curvas definidas por x = f(y) y x = g(y) que se intersecan dentro del inter-valo [c, d]. Observa que el área se puede estimar sumando el área de rectángulos horizontales.

Ejemplos

Ejemplo 3.1

Determina el área de la región limitada abajo por la parábola y arriba por la curva .yx

=+

100

64 2yx

= −2

94

y

x

15

5 10 15

– 5

– 10– 15

y

x

15

5 10 15

– 5

– 10– 15

a) b)

12.5

– 5

FIGURA 3.5: Área entre dos curvas, ejemplo 3.1.


solución

En la figura 3.5b se muestran las gráficas de las dos funciones dadas y el área que delimitan. Observaque el área buscada se puede estimar mediante la suma de rectángulos verticales; en consecuencia, lafórmula adecuada para hacer el cálculo es la fórmula (3.1). Necesitamos ahora los puntos de intersec-ción de las curvas. Para obtenerlos, igualamos las ordenadas de ambas curvas. Así, obtenemos:

El área pedida se obtiene aplicando la fórmula (3.1) con y .

Ejemplo 3.2

Determina el área de la región limitada abajo por la parábola y = 4x2 − 21x − 122 y arriba por la rectay = 7x − 2.

Ax

xdx=

+− −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

−

100

64 94

2

2

6 65654

6 6

.

. 55654

100

8 8

⌠

⌡⎮⎮

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

sustituyendo,

arctanx x33

6 65654

6 65654

274+

=−

x.

.

integrando,

48.7541 evaaluando.

g xx

( ) = −2

94f x

x( ) =

+100

64 2

x

x

x

2

2

2

94

100

64

64

− =+

+

igualando las ordenadas,

(( ) −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = +x

x

x

22

94 100 64multiplicando por ,

44 228 3204 0+ − == ±

x

x

simplificando,

6.65654 resolvviendo la ecuación cuadrática.

y

x

50

10– 5

100

– 100

– 150

– 200

12.512.5

y

x

50

10– 5

100

– 100

– 150

– 200a) b)



solución

Nuevamente aplicamos la fórmula (3.1) porque el área buscada se puede describir como la suma de rec-tángulos verticales (figura 3.7). Identificamos ahora f(x) = 7x − 2 y g(x) = 4x2 − 21x − 122. Los puntosde intersección de las curvas son:

Finalmente, el área encerrada entre las curvas está dada por

Ejemplo 3.3

Determina el área encerrada por las curvas y = 5x2 − 3x + 2 y y = −3x3 − x2 + 54x + 62.

A x x x dx= − − − −( )⎡⎣

⎤⎦

−∫ 7 2 4 21 1222

3

10

sustituyendo,,

simplificando,= − + +⎡⎣ ⎤⎦

= −

−∫ 4 28 120

4

2

3

10

x x dx

xxx x

22

3

10

314 120+ +

=−

integrando,

1464.67 evaluanndo.

4 21 122 7 2

4 28 120 0

2

2

x x x

x x

− − = −

− − =

igualando,

simpllificando,

resolviendo la ecuacióx1 2 3 10, ,= − nn cuadrática.

y

x

50

2– 2

100

– 100

– 50– 4– 6 4 6

150

200y

x

50

2– 2

100

– 100

– 50– 4– 6 4 6

150

200

a) b)


solución

La figura 3.7 muestra la gráfica de las dos curvas y el área buscada. Para determinar esta área calcula-mos primero los puntos de intersección de las curvas. Así tenemos que:


Observa que una solución de esta ecuación es x1 = −1. Proponemos entonces la factorización

x3 + 2x2 − 19x − 20 = (x + 1)(ax2 + bx + c)

Y desarrollando obtenemos

x3 + 2x2 − 19x − 20 = ax3 + (a + b)x2 + (b + c)x + c.

Al igualar los coeficientes de potencias correspondientes obtendremos el sistema de ecuaciones:

a = 1

a + b = 2

b + c = −19

c = −20

que tiene como solución:

a = 1, b = 1, c = −20.

Sustituyendo estos valores y factorizando, nuevamente obtenemos:

x3 + 2x2 − 19x − 20 = (x + 1)(x2 + x − 20) = (x + 1)(x + 5)(x − 4)

Las raíces de esta ecuación son x1 = −5, x2 = −1 y x3 = 4; aplicando la fórmula (3.2), tenemos que

Apoyándonos en las figuras 3.7a y 3.7b, separamos la integral en dos:

Finalmente, el área es:

A = A1 + A2 = 224 + 406.25 = 630.25

Ejemplo 3.4

Determina el área encerrada por las curvas y = −x3 + 8x2 y y = 8x4 − 9x3 − 64x2 + 72x.

A x x x dxx

xx

23 2

1

4 43

2

3 6 57 603

42

57

260= + − −( ) = + − −

−∫ xx

−

=1

4

406.25

A x x x dxx

xx

13 2

5

1 43

2

3 6 57 603

42

57

2= − − + +( ) = − − +

−

−

∫ ++ =−

−

60 2245

1

x

A x x x x x dx x x= − + − − − + +( ) = + −−∫ 5 3 2 3 54 62 3 6 52 3 2

5

43 2 77 60

5

4

x dx−−∫

5 3 2 3 54 62

3 6 57

2 3 2

3 2

x x x x x

x x

− + = − − + +

+ −

igualando,

xx

x x x

− =

+ − − =

60 0

2 19 20 03 2

simplificando,

dividienndo entre 3.


solución

En la figura 3.8 se muestra el área encerrada por las dos curvas, para calcularla determinamos primerolos puntos de intersección, y después igualamos las dos funciones. Obtener las raíces es un ejerciciosimple de factorización. En efecto,

De donde las raíces son: x1 = −3, x2 = 0, x3 = 1 y x4 = 3. El área encerrada por las curvas se determinautilizando la relación 3.2.

Observa, en la figura 3.9, que esta área la constituyen tres pequeñas áreas, las cuales se calculan comosigue:

A x x x x dx x x x14 3 2

1

35 4 38 8 72 72

8

52 24= − + + −( ) = − + + −∫ 336 108 82

1

3

x = .


0

15 4 38 8 72 72

8

52 24 36= − − +( ) = − − +∫ xx2

0

1

11 6= .


3

05 4 38 8 72 72

8

52 24= − + + −( ) = − + +

−∫ −− =

−36 421 22

3

0

x .

A x x x x dxa

b

= − − +∫ 8 8 72 724 3 2

8 9 64 72 8

8 8 7

4 3 2 3 2

4 3

x x x x x x

x x

− − + = − +

− −

igualando,

22 72 0

8 1 72 1 0

2

3

x x

x x x x

+ =

−( ) − −( ) =

simplificando,

uuna primera factorización,

u8 1 9 02x x x−( ) −( ) = nna segunda factorización,

8 1 3 3x x x x−( ) −( ) +( ) == 0 una tercera factorización.

y

x50

– 3

100

– 100

– 504

150

a) b)

31– 4

– 150

– 200

y

x50

– 3

100

– 100

– 504

150

31– 4

– 150

– 200


solución


Finalmente, el área encerrada está dada por:

A = A1 + A2 + A3 = 421.2 + 11.6 + 108.8 = 541.6

Ejemplo 3.5

Determina el área encerrada por las curvas x = 2 + 4y y x = −30 + 4y + 2y2.

y

x20

6

a) b)

10– 40– 2

4

– 4

– 6

y

x20

6

10– 40– 2

4

– 4

– 6


En este caso, el área encerrada se determina usando rectángulos horizontales; por esa razón, debemosutilizar la expresión (3.3). 0bserva la figura 3.9. Primero calculamos los puntos de intersección de lascurvas. Así, tenemos:

2y2 + 4y − 30 = 2 + 4y igualando,

2y2 − 32 = 0 simplificando.

De la última ecuación se obtienen las raíces y1 = −4 y y2 = 4. Así el área encerrada está dada por:

A y y y dy= + − + −( )⎡⎣

⎤⎦

=

−∫ 2 4 2 4 30

3

2

4

4

sustituyendo,

22 2

322

3

2

4

4

3

4

4

−⎡⎣ ⎤⎦

= −

−

−

∫ y dy

y y

simplificando,

inntegrando,

evaluando.=512

3


solución

Ejemplo 3.6

Determina el área encerrada por las curvas x = 2y2 − 4y + 4 y x = −5y3 + 7y2 + 56y + 4.

y

x

6

a) b)

50

– 4

4

2

100 150– 50– 100

y

x

6

50

– 4

4

2

100 150– 50– 100


Nuevamente, el área encerrada entre las curvas se obtiene sumando el área de rectángulos horizontales.Observa la figura 3.10. Así que primero determinamos los puntos de intersección.

Entonces, las raíces son: y1 = −3, y2 = 0 y y = 4, el área encerrada está dada por:

De la figura 3.10, el área que buscamos está formada por dos regiones, cada una de ellas con área:

Finalmente, área requerida está dada por:

A = A1 + A2 = 123.75 + 266.67 = 390.42

A y y y dy y y y23 2

0

44 3 2

0

4

5 5 605

4

5

330

80= − + +( ) = − + + =∫

00

3266 67= .

A y y y dy y y y13 2

3

04 3 2

3

0

5 5 605

4

5

330

49= − −( ) = − − =

− −∫

55

4123 75= .

A y y y dy= − −−∫ 5 5 603 2

3

4

2 4 4 5 7 56 4

5 5 60

2 3 2

3 2

y y y y y

y y

− + = − + + +

− −

igualando,

yy

y y y

=

− −( ) =

0

5 12 02

simplificando,

una primera ffactorización,

una segunda fa5 4 3 0y y y−( ) +( ) = cctorización.


solución

Ejemplo 3.7

Determina el área encerrada por las curvas x = −8y3 − 9y2 + 5y − 6 y x = −10y4 + 2y3 + 31y2 − 35y − 6.

y

x50

– 3

100– 100

a) b)

1

75 25– 75 – 50 – 25

– 2

2

3y

x50

– 3

100– 100

1

75 25– 75 – 50 – 25

– 2

2

3


Busquemos primero los puntos de intersección.

Las raíces son, entonces: y = −2, y = 0, y = 1 y y = 2. Ahora las áreas de las tres regiones de la figura3.11, se calculan como sigue:

Entonces, el área total encerrada

A A A A= + + = + + = =1 2 3

248

3

37

6

53

6

293

397 6667.

A y y y y dy y y y34 3 2

1

25 4 310 10 40 40 2

5

2

40

3= − − +( ) = − −∫ ++ =20

53

62

1

2

y

A y y y y dy y y24 3 2

0

15 410 10 40 40 2

5

2

40

3= − + + −( ) = − + +∫ yy y3 2

2

0

2037

6− =

−

A y y y y dy y y y14 3 2

2

05 410 10 40 40 2

5

2

40

3= − − +( ) = − −

−∫ 33 2

2

0

20248

3+ =

−y

− − + − = − + + − −8 9 5 6 10 2 31 35 63 2 4 3 2y y y y y y y igualando,,

simplificando,10 10 40 40 0

10 1

4 3 2

3

y y y y

y y

− − + =

−(( ) − −( ) =40 1 0

10

y y

y

una primera factorización,

yy y

y

−( ) −( ) =1 4 0

10

2 una segunda factorización,

yy y y−( ) −( ) +( ) =1 2 2 0 una última factorización.


Determina el área encerrada por las siguientes curvas:

a) y = 5x − x2 y y = 0

b) y = x y y = x2

c) , y = 0 y x = 1

d) , y = 1 y x = 9

e) xy = 2, y = 1, y = 4, x = 0 en el primer cuadrante

f ) x = y2 + 1, x = 10

g) y = 3 + 2x − x2, x = 0, y = 0, en el segundo cuadrante

h) y = ln(x), el eje x y x = e3

i) y = sen2(x), el eje x, x = 0 y x = 2π

j) , el eje x y la recta x = 5

k) , el eje x y las rectas x = 4 y x = 6

l) , los dos ejes coordenados y la recta x = 4

m) y = arcsen(2x); el eje x y la recta

n) y = −2 + 2x; y = −2 − 10x + 6x2, 8

o) y = −1 + 3x; y = 59 + 35x + 4x2, 5.3333

p) y = 5 + 2x; y = 35 − 34x + 6x2, 64

q) x = −6 − 4y; x = 174 − 70y + 6x2, 1

r) x = 1 + 4y; x = −143 − 56y − 6y2, 8

s) x = −3 + 5y; x = −183 + 5y + 5y2, 1440

t) y = 4x2 + 3x − 2; y = −3x3 + 22x2 + 78x − 452, 3005.25

u) y = 3x2 − 5x − 5; y = 4x3 − 9x2 − 21x + 43, 131

v) y = x2 − 2x − 1; y = x3 − 4x2 − 3x + 4, 49.3333

w) y = −5x2 − 2x + 3; y = 3x3 − 1x2 − 5x + 9, 9.25

x) x = 1 − y + 4y2; x = 109 − 28y − 8y2 + 3y3, 435.25

y) x = −3 − 4y − 6y2; x = −19 + 10y2 − 4y3, 84.3333

z) x = −6 + 5y + 2y2; x = 18 − 3y − 4y2 + 2y3, 65.5

x =3

4

yx

x=

+

3

2 34( )

yx

x x=

−− +

1

5 62

y xx

= −22

16

y x=

y x=




1. La función de Lorenz y el índice de GiniInvestiga sobre la función de Lorenz y el índice de Gini. Posteriormente, responde laspreguntas del inicio de la sección y las siguientes.

a) Calcula el índice de Gini para las siguientes funciones de Lorenz.

i. L(x) = x2

ii.

b) Si m es la pendiente de la recta que une los puntos A y B en la curva de Lorenz y = L(x),demuestra que la fracción de población situada entre esos puntos obtiene menos de unafracción igual del recurso medido por la función de Lorenz, si m < 1. ¿Qué ocurresi m = 1? ¿Y si m > 1?

c) Se define el coeficiente de partes iguales (CPI) como el porcentaje p de la población querecibe una parte igual de los recursos. Calcula el CPI de la función de Lorenz

2. Jugando con áreas

a) Para este problema considera que f(x) = 2x − 3x3.

b) Encuentra el área limitada por la función anterior y el eje x para x > 0.

c) Determina el valor de a tal que la integral de la función en [0, a] sea la mitad del áreadel inciso anterior.

d) Encuentra el valor de b tal que la integral de la función y − b ≥ 0 sea igual a la mital delárea del inciso a).

e) Determina c tal que

donde x1 es el punto de intersección de las curvas y = f(x) y y = c.

3. Área entre parábolas

Considera las dos familias de curvas y = x2 − a2 y x = a2 − y2:

a) Determina el área interior a las dos parábolas, cuando a = 0 y a = 1.

b) Para el caso a = 2 encuentra los puntos de intersección (sugerencia: completa cuadra-dos). Posteriormente encuentra el área entre las curvas.

c) Encuentra una fórmula general para el área encerrada entre las dos parábolas que seaválida para el caso a ≥ 2.

c f x dx f x c dxx

x

p

−( ) = −( )∫ ∫( ) ( )0

1

1

L x x x( ) / /= +1

2

1

23 2 5 2

L xe

e

x

( ) =−−

1

1


Autoevaluación

1. Determina el área encerrada por la parábola y = x2 y la recta y = 4x + 21.

a) A = 500/3 b) A = 200/3 c) A = 20/3 d) A = 660

2. Calcula el área encerrada por las curvas y = x2 y y = x3.

a) A = 1/3 b) A = 7/12 c) A = 1 d) A = 1/12

3. Determina el área encerrada por las curvas y = x5 y y = x3.

a) A = 1/16 b) A = 1/12 c) A = 4 d) A = 0

4. Calcula el área encerrada por las curvas y = 4 − 12x + 2x2 + x3 y y = 4 + 3x.

a) A = 0 b) A = 863/2 c) A = 863/6 d) A = 21/6

5. Determina el área encerrada por las curvas x = 4 − 9y − 3y2 + y3 y x = 4 + y.

a) A = 407/4 b) A = 100 c) A = 102 d) A = 305/3

Respuestas a los


a) 20.8333

b) 0.166667

c) 0.333333

d) −9.33333

e) 2.77259

f ) 36.

g) 3.66667

h) 41.1711

i) π

j) 124.874

k) 1.50408

l) 0.04

m) 0.20345

n) 8

o) 5.3333

p) 64

q) 1

r) 8

s) 1440

t) 3005.25

u) 131

v) 49.3333

w) 9.25

x) 435.25

y) 84.3333

z) 65.5



1. a) 2. d) 3. a) 4. c) 5. a)

Referencias

1. Medina, Fernando, Consideraciones sobre el índice de Gini para medir la concentración del ingreso, San-tiago de Chile, CEPAL, 2001, versión on line: http://www.cepal.org/publicaciones/xml/0/6570/ lcl1493e.pdf

2. Piskunov, N., Cálculo diferencial e integral, Barcelona, Montaner y Simón, 1978. 3. Thomas, G., Cálculo (una variable), 11ª. ed., Pearson Educación, México, 2005.

La fórmula secreta de la Coca ColaMR


3.2 Volúmenes

Así como los números irracionales sonun mito conveniente que simplifica las

leyes de la aritmética, de la misma ma-nera los objetos físicos son entidades

postuladas que complementan y simpli-fican nuestra descripción del flujo de la

existencia. El esquema conceptual de losobjetos físicos es un mito más sencillo

que la verdad literal que, sin embargo,contiene esa verdad literal como una

parte dispersa.

Willard Van Orman Quine

ALT

UR

A

ALT

UR

A

ALT

UR

A

DIÁMETRO

DIÁMETRO

DIÁMETRO

FIGURA 3.12: Botellas de Coca ColaMR que son copias a escala del modelo clásico. Debes encontraruna fórmula para calcular el volumen de esas botellas en función de su altura.

La compañía Coca ColaMR quiere fabricar nuevas botellas de vidrio de distintostamaños, de manera que sean copias exactas, a escalas diferentes, del modeloclásico (véase figura 3.12). Incluso las tapas deben ajustarse a las nuevas bo-tellas. Por tal razón, se necesita determinar una fórmula que permita calcular elvolumen (en mililitros) en términos de la altura (en centímetros) con una preci-sión de, al menos, ± 0.1 mililitros. ¿Cómo debe ser la expresión funcional de es-ta fórmula?

2673.2: Volúmenes

Introducción

Los sólidos de revolución son objetos tridimensionales que se obtienen al gi-rar una región plana alrededor de un eje de rotación, y aparecen de diversasformas en la vida cotidiana. En las figuras 3.13 y 3.14 se ilustran diferentesobjetos que son sólidos de revolución. En muchas situaciones resulta impor-tante conocer sus características físicas (volumen, peso) y geométricas (cen-troide, momento de inercia). Iniciamos entonces su estudio en esta sección.

FIGURA 3.13: Algunas frutas que son sólidos de revolución. La imagen corres-ponde al cuadro Frutas de temporada de Aurora Santiago.

FIGURA 3.14: Los tornos producen piezas que son sólidos de revolución. Deizquierda a derecha: torno para madera; otro torno mecánicopara metal; y finalmente la pantalla de un tercer torno de con-trol numérico.

Sección 3.2.1 Sólidos de revolución

En la figura 3.15 se muestra la región limitada por rectas y = 4, y = 12, x = 6 y x = 8, asícomo el sólido que se obtiene al girar dicha región alrededor de la recta y = 15.


Objetivos


• Calcular el volumen de un sólido de revolución usando los mé-todos de discos, arandelas y cáscaras cilíndricas, tomando co-mo eje de giro los ejes coordenados o cualquier línea paralelaa dichos ejes.

• Determinar el volumen de un sólido conociendo el área de unasección transversal.

EJE

16

14

12

10

8

6

4

2

108642

EJE

y = 15

FIGURA 3.15: Eje de rotación y sólido de revolución del ejemplo 3.8. El sólido tiene forma de arandela (discoperforado).

Observa que el sólido que se obtiene es un disco perforado, mejor conocido comoarandela, el cual también puede interpretarse como un cilindro sólido de radio gran-de, al que se le hizo un orificio cilíndrico de radio pequeño en el centro. El volumendel sólido es igual al volumen del cilindro grande menos el volumen del agujero ci-líndrico pequeño. Recuerda que para cada cilindro el volumen es igual al área de labase circular multiplicada por la altura. En este caso, la altura es el grosor de la aran-dela. Si llamamos Δx a ese grosor, R al radio exterior (radio del cilindro sólido) y r alradio interior (radio del agujero cilíndrico), entonces el volumen de este sólido de re-volución está dado por:

VolumenVolumen del cilindrosólido grande

= ⎡⎣⎢

⎤⎦⎥⎥

− ⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

Volumen del agujerocilíndrico pequeño

VVolumenÁrea de la basecircular grande

G= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⋅ rrosorde la arandela

Área de la base⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥ −

ccircular pequeñaGrosorde la arandela

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⋅⎛⎝⎜⎜⎞⎠⎟

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

= ( ) ⋅( )⎡⎣

⎤⎦ − ( ) ⋅( )⎡

⎣⎤⎦v R x r xπ π2 2Δ Δ

2693.2: Volúmenes

16

14

12

10

8

6

4

2

108642

R

12 14 16

R

FIGURA 3.16: El radio exterior de la arandela del ejemplo 3.8.

El valor del radio exterior R, al girar esta región alrededor del eje y = 5, es R = 15 − 4 = 11.Observa la figura 3.16. De forma similar, el radio interior r, al girar alrededor del ejey = 15, es r = 15 − 12 = 3 (véase la figura 3.17). En conclusión, la altura de los doscilindros (el grosor de la arandela) vale Δx = 8 − 6 = 2.

Δx

16

14

12

10

8

6

4

2

108642 12 14 16

r

r

Δx

FIGURA 3.17: El radio interior y el grosor de la arandela del ejemplo 3.8.

El volumen del sólido generado al rotar la región encerrada entre las rectas y = 4, y = 12,x = 6 y x = 8 alrededor del eje y = 15 es:

Esta discusión nos muestra cómo determinar el volumen de una arandela. Pasemos ahora ageneralizar el resultado para responder la pregunta ¿cómo calcular el volumen del sóli-do que se obtiene al girar una área alrededor de un eje dado? Para ello considera un só-lido como el de la figura 3.18.

v R x r x

v

= ( ) ⋅( )⎡⎣

⎤⎦ − ( ) ⋅ ( )⎡

⎣⎤⎦

= ( ) ⋅ ( )π π

π

2 2

211 2

Δ Δ

⎡⎡⎣

⎤⎦ − ( ) ⋅ ( )⎡

⎣⎤⎦

==

ππ

3 2

224703 717

2

vv .


FIGURA 3.18: Una arandela se genera al rotar un rectángulo con su lado mayor perpendicular al eje de rotación.

FIGURA 3.19: La suma de volúmenes de arandelas es una aproximación al volumen del sólido. Cuanto más arandelas usa,mejor será la aproximación. Al hacer tender a infinito el número de arandelas, se obtiene el volumen exactodel sólido.

En la figura 3.18 se muestran una área y un rectángulo pequeño inscrito en esa área, consu lado mayor perpendicular al eje de rotación. Cuando ese rectángulo se rota alrededordel eje, se genera una arandela similar a la de nuestro ejemplo anterior, cuyo volumen secalcula fácilmente. Esto sugiere que es posible cubrir la región con rectángulos y sumarlos volúmenes de las arandelas generadas al rotar. Esa suma de volúmenes de arandelases una aproximación al volumen del sólido de revolución. Cuanto más arandelas usa,mejor será la aproximación (véase la figura 3.19).

Para formalizar el resultado, considera que la región está limitada por las curvas y = g(x),y = f (x) en el intervalo (a, b), y que éste se dividió en n pequeños subintervalos(a = x0, x1), (x1, x2), … , (xn − 1, xn = b). En la figura 3.20 se muestra la gráfica que corres-ponde a un intervalo genérico (xj, xj + 1), así como la arandela j-ésima asociada que tienegrosor Δxj, radio exterior Rj y radio interior rj. El volumen Δvj de esta arandela se calculade la misma manera que el volumen presentado en nuestra discusión previa.

Δ Δ ΔΔ

v R x r x

R r xj j j j j

j j j

= −= −( )

π ππ

2 2

2 2

2713.2: Volúmenes

EJE

rj

Rj

Δxj

y = f (x)

y = cEJE

y = g(x)

x = x1 x = x2

EJE

FIGURA 3.20: Las gráficas de las funciones f(x) y g(x) encierran la región. Cada arandela j tiene su propio grosor Δxj, supropio radio exterior Rj y su propio radio interior rj.

Como se observa en la figura 3.21, si el eje de rotación es la línea horizontal y = c, lafunción más alejada del eje es f (x) y la función más cercana al eje es g(x), entonces elradio exterior es Rj = f(xj) − c y el radio interior es rj = g(xj) − c. De manera que el volu-men de la arandela j-ésima queda como:

Δ Δv R r x

f x c g x c

j j j j

j j

= −( )= ( ) −⎡⎣ ⎤⎦ − ( ) −⎡⎣ ⎤⎦

π

π

2 2

2 22( )Δx j

A continuación sumamos los volúmenes de todas las arandelas generadas al girar los rec-tángulos que cubren la región, para obtener una aproximación del volumen del sólido derevolución. Si llamamos VN al volumen aproximado con una cantidad N de arandelas, en-tonces VN viene dado por la siguiente expresión:

Tomando el límite cuando la norma de la partición tiende a cero, obtenemos el volumenexacto V del sólido de revolución; es decir:

Finalmente, aplicando la relación entre sumas de Riemann y la integral definida, obtene-mos el siguiente resultado.

V f x c g x c xP

j j j= ( ) −( ) − ( ) −( )⎡⎣⎢

⎤⎦⎥→

lím|| || 0

2 2π Δ

jj

N

=∑

1

V f x c g x c xN j j jj

N

= ( ) −⎡⎣ ⎤⎦ − ( ) −⎡⎣ ⎤⎦( )=

∑π2 2

1

Δ


f (x)

EJE

y = c

EJE

R = f (x) – c

xj xj

y = c

g(x)r = g(x) – c

ΔxΔx

FIGURA 3.21: El radio exterior R y el radio interior r en términos del eje y = c y de las funciones f(x) y g(x) queencierran la región.

Volumen del sólido de revolución: método de discos

El volumen del sólido de revolución generado cuando, alrededor del eje hori-zontal y = c, se hace girar la región que está encerrada entre las gráficas de dosfunciones f (x) y g(x) con intersecciones en x = a y x = b es:

V f x c g x c dxa

b

= ( ) −⎡⎣ ⎤⎦ − ( ) −⎡⎣ ⎤⎦( )⌠⌡π 2 2

No es buena idea memorizar esta fórmula, sino entender el procedimiento que usamospara obtenerla. Más adelante estudiaremos otros casos (girar alrededor un eje vertical envez de horizontal y el uso de cáscaras cilíndricas en vez de arandelas), con los cualestambién se determinan los volúmenes de los sólidos de revolución.

Observación:

En algunas ocasiones, resulta útil emplear la notación de diferenciales en vez de los in-crementos. En esa notación no es necesario escribir el límite ni la sumatoria en cada ejer-cicio. Además es una notación muy utilizada en las aplicaciones de física e ingeniería. Entérminos prácticos, consideramos las diferenciales dx y dV en vez de los incrementos

Δx y ΔV, así como la integral definida en vez del límite .lím|| ||P

jj

N

x→ =

( )∑0

1

� Δ

2733.2: Volúmenes

Ejemplos

solución

Ejemplo 3.8

a) Dibuja el sólido de revolución que se obtiene de rotar la región encerrada entre las curvas y = 4 + 2x − x2,y = 10 − 6x + x2, alrededor del eje y = −1.

b) Calcula el volumen de ese sólido.

Para graficar la región encerrada entre las dos curvas, necesitamos primero determinar los puntos don-de se cortan. En esos puntos, los valores de y de ambas curvas coinciden, y se encuentran igualando lasexpresiones para y de ambas curvas:

4 + 2x − x2 = 10 − 6x + x2

Pasando todos los términos al lado derecho de la ecuación, y simplificando, obtenemos:

2x2 − 8x + 6 = 0

Si aplicamos la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas, tenemos las dos soluciones x = 1y x2 = 3. Para obtener el valor de y1 reemplazamos el valor de x1 en cualquiera de las dos curvas:

y1 = 4 + 2 ⋅ (1) − (1)2 = 5

De forma similar, encontramos el valor de y2:

y2 = 4 + 2 ⋅ (3) − (3)2 = 1

Es decir, los dos puntos de intersección son (x1, y1) = (1, 5 ) y (x2, y2) = (3, 1). Tracemos ahora la re-gión entre las curvas (véase la figura 3.23). Primero dibujemos los puntos de cruce. Posteriormente tra-cemos las dos parábolas, que deben pasar por los puntos de intersección. Finalmente, pintemos la re-gión que queda encerrada entre las curvas y tracemos el eje de rotación y = −1.


Después de dibujar la región de la figura 3.22, construyamos el sólido de revolución que se genera alrotar esa región alrededor del eje y = −1 (véase la figura 3.23). Para calcular su volumen, sumaremosuna cantidad infinita de arandelas.

5

4

3

2

1

5

4

3

2

1

5

4

3

2

1

5

4

3

2

1

5

4

3

2

1

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

(1, 5)

(3, 1)

y = 4 + 2x – x2

y = 10 – 6x + x2

EJE

y = –1

FIGURA 3.22: Trazado de la región del ejemplo 3.9.

FIGURA 3.23: Sólido de revolución del ejemplo 3.9.

Como se observa en la figura 3.24, al girar un rectángulo con su lado mayor perpendicular al eje de ro-tación, se genera una arandela con radio exterior R = 4 + 2x − x2 + 1 y radio interior r = 10 − 6x + x2 + 1.Si utilizamos el subíndice j para indicar que es la “j-ésima” arandela y llamamos Δxj a su grosor yΔvj a su volumen, entonces su volumen queda:

Δ Δv R r x

x x x

j j j j

j j j

= −⎡⎣ ⎤⎦= + − +( ) − − +

π

π

2 2

2 24 2 1 10 6 xx x

x x x

j j

j j j

2 2

2 3

1

96 152 64 8

+( )⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

= − + − +⎡⎣ ⎤

Δ

π ⎦⎦ Δx j

2753.2: Volúmenes

5

4

3

2

1

– 1

5

4

3

2

1

– 1

y = 10 – 6x +

x2

r = 10 – 6x +

x2 +

1

y = 4 +

2x – x2

R =

4 + 2x – x

2 + 1

xx

Rr

FIGURA 3.24: El radio exterior R y el radio interior r en términos de x para el sólido del ejemplo 3.9.

solución

A continuación sumamos los volúmenes de todas las arandelas generadas por los rectángulos que cu-bren la región. Si VN es el volumen aproximado con una cantidad N de arandelas, entonces VN viene da-do por la siguiente expresión:

El volumen exacto V del sólido de revolución se obtiene al hacer tender a cero la norma de la partición(recuerda: si la partición es regular, basta con tender a infinito el número de arandelas N) y usando larelación de este límite con la integral definida. Es decir:

Ejemplo 3.9

Vuelve a escribir la solución del ejemplo 3.8 utilizando la notación de diferenciales.

La primera parte de la solución no cambia; la diferencia viene al considerar una arandela. Ya no la lla-maremos la “arandela j-ésima”. Ahora nos referiremos a ella como una arandela típica, con un grosordiferencial dx y un diferencial de volumen dV, como se observa en la figura 3.25. Usando las expresiones

V x x x xP

j j j jj

= − + − +⎡⎣ ⎤⎦→ =lím

|| || 0

2 3

1

96 152 64 8π ΔNN

x x x dx

∑

∫= − + − +⎡⎣ ⎤⎦

= =

π

π

96 152 64 8

64

367 020

2 3

1

3

. 66

V x x x xN j j j jj

N

= − + − +⎡⎣ ⎤⎦=

∑π 96 152 64 82 3

1

Δ


para los radios exterior e interior, y la expresión para el volumen de una arandela, tenemos que el dife-rencial de volumen de una arandela típica está dado por:

Integrando se obtiene el volumen del sólido de revolución:

En este procedimiento no aparecen explícitamente los símbolos de sumatoria y límite; además, tiene laventaja de facilitar el trabajo de modelación que, en este caso, es la construcción de la integral adecua-da para el cálculo de volúmenes de sólidos de revolución. Evidentemente, la respuesta de este ejemploes la misma que en el ejemplo anterior.

V dV

V x x x dx

V

región

x

x

=

= − + − +⎡⎣ ⎤⎦

∫

∫ π 96 152 64 82 3

1

2

== − + − +⎡⎣ ⎤⎦

= =

∫ π

π

96 152 64 8

64

367 0206

2 3

1

3x x x dx

V .

dV R r dx

dV x x x x

= −⎡⎣ ⎤⎦= + − +( ) − − + +(

π

π

2 2

2 2 24 2 1 10 6 1))⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

= − + − +⎡⎣ ⎤⎦

2

2 396 152 64 8

dx

dV x x x dxπ

dx

Rr

dV

FIGURA 3.25: Una arandela de grosor diferencial dx tiene un volumen diferencial dV. Al integrar el diferencial devolumen en la región, se obtiene el volumen del sólido de revolución.

V dVregión

= ∫

2773.2: Volúmenes

solución

Ejemplo 3.10

a) Dibuja el sólido de revolución que se obtiene al rotar la región encerrada entre las curvas y = 4 − x2

y y = 0 alrededor del eje x = 3.b) Determina el volumen de ese sólido.

Para saber cuál es la región encerrada entre las dos curvas, necesitamos determinar primero los puntosdonde se cruzan las curvas. En esos puntos, coinciden las ordenadas (coordenada y) de ambas curvas,y es posible encontrarlos igualando las expresiones de y de ambas curvas:

4 − x2 = 0

Resolviendo esa ecuación cuadrática, se obtienen las siguientes dos soluciones reales:

x1 = −2, x2 = 2.

El valor y1 que le corresponde a x1 se obtiene reemplazando el valor de x1 en cualquiera de las dos curvas:

y1 = 4 − (−2)2 = 0

De forma similar, encontramos el valor de y2:

y2 = 4 − (2)2 = 0

En consecuencia, los dos puntos de intersección son (x1, y1) = (−2, 0) y (x2, y2) = (2, 0). Para trazar laregión entre las curvas, dibujamos primero los puntos de cruce, luego las dos curvas (recta y parábola)y el eje de rotación x = 3 (recta vertical) (véase la figura 3.26).

(–2, 0) (2, 0)

y = 4 – x2

y = 0

x =

3

EJE

4

3

2

1

4321–3 –2 –1

4

3

2

1

4321–3 –2 –1

4

3

2

1

4321–3 –2 –1


Ahora giramos la región de la figura 3.26 alrededor del eje x = 3 para obtener el sólido de revoluciónque se muestra en la figura 3.27.


Como se observa en la figura 3.28, al girar un rectángulo con su lado mayor perpendicular al eje de ro-tación, se genera una arandela. Ahora el grosor es una pequeña distancia vertical, es decir, el diferen-cial dy, exactamente como en el ejemplo anterior, pero con dy en vez de dx. El diferencial de volumende una arandela queda, entonces:

Y el volumen del sólido de revolución se obtiene integrando la variable y. Puesto que tenemos dy envez de dx, los límites de integración van desde un valor inicial ymín hasta un valor final ymáx que permi-tan cubrir toda la región con rectángulos: cubrir todo el sólido con arandelas. En la figura 3.26 se ob-serva que el valor mínimo de y en la región es ymín = 0; mientras que el valor máximo se da en ymáx = 4.Así el volumen viene dado por:

V dV

V R r dy

V R r

región

y

y

mín

máx

=

= −⎡⎣ ⎤⎦

= −⎡

∫

∫ π

π

2 2

2 2⎣⎣ ⎤⎦∫ dy

0

4

dV R r dy= −⎡⎣ ⎤⎦π 2 2

FIGURA 3.27: Sólido de revolución del ejemplo 3.10.

R

r

dydy

R

r

3

1

–3 –1–2 1 2 3 4

FIGURA 3.28: Una arandela para el sólido de revolución del ejemplo 3.10.

2793.2: Volúmenes

Como estamos integrando la variable y, necesitamos tener los radios R y r en función de esta variable.En la figura 3.28 se observa que ambos radios llegan a lados distintos de la curva y = 4 − x2. Despejan-do x de esta expresión, se obtiene , con el signo positivo para el lado derecho de la curva,y el signo negativo para el lado izquierdo de la curva, como se ve en la figura 3.29.

x y= ± −4

y = 4 – x2

4

3

2

1

321–3 –2 –1

–1

4

3

2

1

321–3 –2 –1

–1

4

3

2

1

321–3 –2 –1

–1

Observa, en la figura 3.30, que al girar alrededor del eje x = 3 obtenemos el radio interior ,

mientras que el radio exterior es . Usando estas expresiones para los radios, vemos que

el volumen del sólido está dado por:

V y y dy= + −( ) − − −( )⎡⎣⎢

⎤⎦⎥∫ π 3 4 3 4

2 2

0

4

R y= + −3 4

r y= − −3 4

FIGURA 3.29: Al despejar x de la curva y = 4 − x2 se obtiene una expresión para el lado izquierdo de la curva y otraexpresión para el lado derecho.

Rr

dy

dy

dy

4–3 –2 –1 1 2 3 4–3 –2 –1 1 2 3

1

3

1

33 3

1 1

FIGURA 3.30: El radio exterior R y el radio interior r para la región del ejemplo 3.10.

x y= − −4 x y= +4

x y= −4 x y= − −4r y= − −3 4

R y= − − −( )3 4

Sección 3.2.2 Método de cáscaras cilíndricas

En las figuras 3.18, 3.24 y 3.30 se muestra que, al rotar un rectángulo con su lado ma-yor perpendicular al eje de rotación, se forma una arandela. Ahora, en la figura 3.32, seve que al rotar un rectángulo con su lado mayor paralelo al eje de rotación, se forma unacáscara cilíndrica, cuyo volumen se calcula fácilmente.


Para evaluar esta integral necesitamos usar el cambio de variable

u = 4 − y, du = −dy

De donde

u1(y1 = 0) = 4, u2(y2 = 4) = 0

Con lo cual obtenemos el valor numérico del volumen, esto es:

V u u du= − +( ) − −( )⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

⌠⌡⎮

π 3 32 2

4

0

sustituyendo.

== − + + − + −⎡⎣ ⎤⎦

= −

∫π 9 6 9 6

8

4

0

u u u u du desarrollando,

ππ πu3

2

4

0

64⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

= simplificando e integrando..

y1

y2

FIGURA 3.31: Cáscara cilíndrica que se genera al rotar un rectángulo con su lado mayor paralelo al eje de rotación.

Esto sugiere que podemos cubrir la región con rectángulos de este tipo y sumar los vo-lúmenes de las cáscaras cilíndricas generadas al rotar. Esa suma es una aproximación alvolumen del sólido de revolución. Cuanto más cáscaras cilíndricas use, mejor será laaproximación (véase la figura 3.33).

Como sugiere la figura 3.32, el volumen exacto del sólido se obtiene sumando un núme-ro mayor de cáscaras, cada una de ellas con grosor pequeño y considerando que el nú-mero de cáscaras cilíndricas crece sin medida. Para calcular el volumen de una cáscaracilíndrica, imagina que la “desenrolla” hasta formar un prisma rectangular muy delgado,como se muestra en la figura 3.33. Si el grosor dy tiende a cero, entonces el volumen dela cáscara cilíndrica tiende a ser igual al volumen del prisma rectangular:

diferencial de volumende la cáscara cilíndrica

⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥

= ⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

diferencial de volumendel prisma

differencial de volumendel prisma

lado⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

= ( ) ⋅1 llado lado

dV R h dy

2 3

2

( ) ⋅ ( )= ( ) ⋅ ( ) ⋅ ( )π

2813.2: Volúmenes

FIGURA 3.32: La suma de volúmenes de cáscaras cilíndricas es una aproximación al volumen del sólido. Aquí semuestran cortadas a la mitad para percibir su forma. En la figura 3.19 eran arandelas, cada una delante de la anterior. En esta figura son cáscaras cilíndricas, cada una envolviendo a la anterior.

dy

R

h

dy

h

2πR

FIGURA 3.33: La cáscara cilíndrica se “desenrolla” para formar un prisma rectangular. El lado más largo del prisma es igual al perímetro de la base de la cáscara cilíndrica. Cuando su grosor tiende a cero,el volumen de la cáscara cilíndrica tiende a ser igual al volumen del prisma.

El volumen de todo el sólido se obtiene integrando el diferencial de volumen en la re-gión. Observa que al integrar, se están sumando volúmenes de cáscaras cilíndricas queestán, cada una, envolviendo a la anterior, como se muestra en la figura 3.33. El volu-men de la región queda:

El siguiente paso consiste en escribir R y h en términos de y para llevar a cabo la inte-gración. Si el eje de rotación hubiera sido vertical, y habríamos usado rectángulos consu lado mayor paralelo a ese eje y, entonces, el grosor diferencial hubiera sido dx, loslímites de integración hubieran sido x1 y x2, y habríamos tenido que escribir R y h en tér-minos de x para llevar a cabo la integración, como se ilustra en el siguiente ejemplo.

V dV

V R h dy

región

y

y

=

= ⋅

∫

∫21

2π


Ejemplos

solución

Ejemplo 3.11

Usa cáscaras cilíndricas para calcular el valor numérico del volumen del sólido del ejemplo 3.10.

La primera parte de la solución no cambia con respecto al ejemplo 3: debes encontrar los puntos de cru-ce y graficar la región, como se muestra en la figura 3.26. La diferencia es que ahora consideraremosun rectángulo con su lado mayor paralelo al eje de rotación, como se muestra en la figura 3.34. Cadacáscara cilíndrica con radio R, altura h y grosor diferencial dx se desenrolla en un prisma rectangular,de lados 2π R, h y dx, como en la figura 3.33, pero con cilindros cuyo eje es vertical.

h =

y =

4 –

x2

h

dxR dx

3

x R = 3 –x

–3 –2 –1 2 3 4x

3

2

1

3

2

1

FIGURA 3.34: Rectángulos con su lado mayor paralelo al eje de rotación generan cáscaras cilíndricas.A la derecha se observan los valores de R y h en términos de x para la región y eje derotación del ejemplo 3.11.

Sección 3.2.3 Elección entre arandelas y cáscaras cilíndricas

Hay volúmenes de revolución que son más sencillos de calcular con arandelas que con cás-caras cilíndricas; en tanto que hay otros volúmenes donde sucede justamente lo opuesto:se calculan más fácilmente con cáscaras cilíndricas que con arandelas, ¿Cómo elegir cuálde los dos métodos usar para cada ejercicio? La estrategia consiste en elegir primero si seva a integrar en x o en y. Como se observa en la tabla 3.2, si tienes curvas donde y estádespejada y escrita como función de x, entonces elige que el lado menor de los rec-tángulos sea dx (rectángulos “verticales”). Por otro lado, si tienes curvas con la variable xdespejada y escrita como función de y, elige que el lado menor sea dx (rectángulos “hori-zontales”). Después de que hayas elegido el tipo de rectángulos, traza el eje de rotación. Siel lado mayor de los rectángulos que elegiste es paralelo al eje de rotación, usarás cáscarascilíndricas. Si, por el contrario, el lado mayor es perpendicular al eje de rotación, usarásarandelas. Como se observa, realmente no se elige entre arandelas y cáscaras cilíndricas,la verdadera elección es integrar en x o en y, y lo demás es una consecuencia de tal elec-ción. El procedimiento se resume en la tabla 3.2 y se ilustra en el ejemplo siguiente.

2833.2: Volúmenes

Puesto que en este ejemplo el grosor es dx, tenemos que escribir R y h en función de x, como se mues-tra en la figura 3.35. En esa misma figura se observa que la región va desde x1 = −2 hasta x2 = 2, comotambién ya se había mostrado en el ejemplo 3.10. El volumen del sólido de revolución queda:

V dV

V R h dx

V x x dx

región

x

x

=

= ⋅

= −( ) ⋅ −( )

∫

∫2

2 3 41

2

2

π

π−−

−

∫∫= − − +⎡⎣ ⎤⎦

=

2

2

2 3

2

22 12 4 3

64

V x x x dx

V

ππ

1. Dibuja cuidadosamente la región plana que al rotar generará el sólido. Es importanteque en tu dibujo identifiques los puntos exactos donde las curvas se cruzan.

2. Ahora tienes que elegir cuál será tu variable de integración, x o y. Para esa decisióntienes que tomar en cuenta si las curvas que limitan la región quedan más sencillas alexpresarlas con x despejada como función de x (entonces debe integrar en x); o si porel contrario, quedan más sencillas al expresarlas con x despejada como función de y(entonces debes integrar en y). Si decides integrar en x, entonces usarás rectánguloscon lado menor dx (rectángulos “verticales”). Si decides integrar en y, entonces usarásrectángulos con lado menor dy (rectángulos “horizontales”).

Volumen de un sólido de revolución

Tabla 3.2: Estrategia para calcular volúmenes de sólidos derevolución.

(Continúa)


Volumen de un sólido de revolución (continuación)

3. Sobre el dibujo de la región traza un rectángulo de los que elegiste en el punto anterior.Dibuja también el eje de rotación. Si el lado mayor del rectángulo es paralelo aleje de rotación, entonces usarás cáscaras cilíndricas y el diferencial de volumen serádV = 2π R ⋅ h ⋅ dx o dV = 2π R ⋅ h ⋅ dy, según el tipo de rectángulo que eligió. En casocontrario, es decir, si el lado mayor del rectángulo es perpendicular al eje de rotación,usarás arandelas y el diferencial de volumen será dV = π(R2 − r2)dx o dV = π (R2 − r2)dy,según el tipo de rectángulo que elegiste.

4. Escribe todas las cantidades en términos de x si estás usando dx; o todas en términosde y si estás usando dy. Escribe también los límites de integración que permitan re-correr toda la región. Finalmente integra para obtener el valor numérico del volumen.

Ejemplos

solución

Ejemplo 3.12

Usa los pasos de la tabla 3.2 para encontrar el volumen del sólido generado, al rotar la región en el pri-mer cuadrante que está limitada a la izquierda por la curva x = y2, a la derecha por la curva x = 2 − y2,alrededor del eje y = 0.

El primer paso de la tabla 3.2 es graficar la región. Como en los ejemplos anteriores, comenzamos iden-tificando los puntos donde las curvas se cruzan. En esos puntos, los valores de x de ambas curvas coin-ciden, así que podemos encontrarlos igualando las expresiones para x de ambas curvas:

y2 = 2 − y2

Pasando los términos que contienen y al lado izquierdo de la ecuación, obtenemos:

2y2 = 2

y2 = 1

y1 = 1 y2 = −1

El valor x1, que le corresponde a y1, se obtiene reemplazando el valor de y1 en cualquiera de las dos curvas:

De forma similar, encontramos el valor de x2:

Ahora traza la región entre las curvas, como se muestra en la figura 3.35. Primero dibuja los puntos decruce. A continuación, traza las dos curvas. Observa que el enunciado menciona que la región está enel primer cuadrante (es decir, x > 0, y > 0), y que la curva x = y2 limita a la región por la izquierda y quela curva x = 2 − y2 limita a la región por la derecha. La región que cumple con esas condiciones se mues-tra en la figura 3.35.

x x y22

2 22 1 1 1 1= − −( ) = → ( ) = −( ), ,

x x y12

1 12 1 1 1 1= − ( ) = → ( ) = ( ), ,

2853.2: Volúmenes

El segundo paso de la tabla 3.2 consiste en elegir si la variable de integración será x o será y. En la fi-gura 3.36 se observa qué pasaría en cada uno de esos dos casos. Si la variable de integración fuera x,los rectángulos deberían tener un lado menor dx (rectángulos verticales). Como se observa en la figura3.36, es posible escribir todas las curvas con y despejada como función de x; pero nota que algunos rec-tángulos terminarían en la curva , mientras que otros rectángulos terminarían en .Esto quiere decir que para calcular el volumen usando x como variable, necesitaríamos calcular dos in-tegrales, una para los rectángulos que terminan en y otra para los rectángulos que terminan en

. Por otro lado, si la variable de integración fuera y, los rectángulos deberían tener ladomenor dy (rectángulos horizontales). En la figura 3.36 vemos que en ese caso todos los rectánguloscomienzan en la curva x = y2 y todos terminan en x = 2 − y2. Esto quiere decir que podemos usar unasola integral. Tomando eso en cuenta, usaremos y como variable de integración (rectángulos horizontales).

y x= −2

y x=

y x= −2y x=

1

–1

– 0.5

0.5

0.5 1 1.5 2

1

–1

– 0.5

0.5

0.5 1 1.5 2

x = 2 – y2

(1, 1)

(1, –1)

1

–1

– 0.5

0.5

0.5 1 1.5 2

1

1

–1

– 0.5

0.5

0.5 1.5 2

PRIMER CUADRANTE

x = y2


1

0.5

0.5 1 1.5

x = 2 – y2x = y2

y = 0

1

0.5

FIGURA 3.36: En esta región, algunos rectángulos verticales están limitados arriba por y otros por ,lo cual implicaría el hecho de tener que usar dos integrales. Por otro lado, todos los rectángulos horizon-tales están limitados por las mismas curvas a la izquierda y a la derecha, lo cual implica una sola integral.

y x= −2y x=

Una vez que ya decidimos usar y como variable de integración, el tercer paso de la tabla 3.2 es dibujarel eje de rotación. En este caso, el eje es y = 0. En la figura 3.37 vemos que ese eje es paralelo al ladomayor de los rectángulos que ya habíamos elegido, y por ello cada uno de esos rectángulos genera unacáscara cilíndrica. Cómo en la figura 3.33, el diferencial de volumen es la multiplicación de los tres la-dos del prisma que se genera al desenrollar la cáscara, es decir, dV = 2π R ⋅ h ⋅ dy.

y x= y x= −2


En la figura 3.37 también se observa el cuarto paso de la tabla 3.2. El radio de la cáscara cilíndrica esR = y, su altura es h = 2 − 2y2, su grosor es dy, y los valores inicial y final en y, para recorrer toda la re-gión, son 0 y 1. Así, el volumen queda:

V dV

V y y dy

V y y dy

región

=

= ⋅ −( )= −( )

∫

∫ 2 2 2

2 2 2

2

0

1

3

π

π00

1

3 14∫

= =V π .

EJEy = 0

h

R

0

1

y

x = y2

x = 2 – y2

2

h = 2 – y2 – y2

R = y

FIGURA 3.37: Como los rectángulos que fueron elegidos son paralelos al eje de rotación, se generan cáscaras cilíndricas.

Sección 3.2.4. Volúmenes de sólidos con áreatransversal conocida

1

y

x

23

4

0

0.5

1

1.5

2

0.5 1 1.52z

A(x)

0 0

FIGURA 3.38: Sólido con sección transversal conocida A(x).

Supongamos ahora que tenemos un sólido con sección transversal conocida A(x) entrex = a y x = b (véase la figura 3.38). Para determinar el volumen de este sólido, basta conhacer una partición del intervalo [a, b], calcular el volumen de una rebanada típica y, des-pués, sumar todos los volúmenes. En efecto, si (xi, xi + 1) es un intervalo genérico de lapartición, entonces el volumen de la rebanada está dada por ΔVi = A(xi)Δxi. Sumandoahora, y considerando el límite cuando la norma de la partición tiende a cero, obtenemosel siguiente resultado.

2873.2: Volúmenes

Volumen de un sólido con sección transversal conocida

V A x x A x dxP

i ii

n

a

b

= =→ =

∑ ∫lím|| ||

( ) ( )0

1

Δ

Ejemplos

Ejemplo 3.13

Determina el área de la sección transversal del sólido que se muestra en la figura 3.39. Posteriormentecalcula su volumen.

5

4

12

L1

L2

x

y

A(x)

z

FIGURA 3.39: Sólido correspondiente al ejemplo 3.13.

solución

De la figura 3.39, la ecuación de la recta L1 que une los puntos con coordenadas (0, 5, 0) y (12, 0, 0)está dada por:

yx

= −55

12


De forma similar, la recta L2 que une los puntos (0, 5, 0) y (12, 0, 0) está dada por:

Reuniendo estos dos resultados, obtenemos que el área A(x) está dada por:

Para determinar el volumen del sólido, basta con integrar esta función desde x = 0 hasta x = 12. Enton-ces obtenemos que:

V x x x dx

x x

( ) = − +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= −

⌠⌡⎮

209

12

20

144

203

8

2

0

12

2 ++

=

5

108

266

3

0

12

x integrando y simplificando,

evvaluando.

A x yzx x

x( ) = = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= − +55

124

4

1220

9

12

20

11442x

zx

= −44

12

1. Dibuja el sólido de revolución que se obtiene de rotar la región encerrada entre las curvas y = 1 + x2,y = 3 − x, alrededor del eje y = 0. Usa arandelas para calcular el volumen de este sólido.

2. Dibuja el sólido de revolución que se obtiene de rotar la región encerrada entre las curvas y = x2,y = 6x − x2, alrededor del eje x = 4. Usa cáscaras cilíndricas para calcular el volumen de este sólido.

3. Usa los pasos de la tabla 3.2 para determinar el volumen del sólido de revolución que se genera al rotarla región encerrada por las curvas en torno al eje dado:

a) y = 3x − x2, y = 0; eje x = −1

b) y = x, y = x2; eje y = 0

c) y = x, y = x2; eje y = 2

d) y = x, y = x2; al eje x = −1

e) , y = 0, x = 1; eje y = 0

f ) y = x − x2, y = 0; eje x = 2

g) , y = 1, x = 4 ; eje y = 1

h) , y = 1, y = 4, x = 0; eje x = 0

i) x = y2 + 1, x = 3; eje x = 3

j) , y = 0, x = 4; eje x = 0

k) , y = 0, x = 4; eje y = 0y x=

y x=

x y= 2

y x=

y x=

2893.2: Volúmenes

l) y = 3 + 2x − x2, x = 0, y = 0, en el primer cuadrante; eje y = 0

m) y = 3 + 2x − x2, x = 0, y = 0, en el primer cuadrante; eje x = 0

n) y = 3 + 2x − x2, x = 0, y = 0, en el primer cuadrante; eje y = −1

o) y = 3 + 2x − x2, x = 0, y = 0, en el primer cuadrante; eje x = 4

p) , x = 1, x = 4, y = 0; eje x = 0

4. Dibuja el sólido que se genera al rotar disco adentro del círculo x2 + y2 = a2 en torno al eje x = b, don-de a y b son constantes positivas, tales que b > a.

a) Usa los pasos de la tabla 3.2 para encontrar su volumen.

b) Investiga en la biblioteca y en Internet el teorema de Pappus para volúmenes de sólidos de revolu-ción y úsalo para encontrar el volumen de este sólido, sin tener que integrar.

Observación:

Hay varios teoremas de Pappus y nos interesa el que sirve para volúmenes de sólidos de revolución.

5. Investiga en la biblioteca y en Internet sobre el principio de Cavalieri.

a) Utiliza las monedas de la figura 3.40 para explicar el principio de Cavalieri.

b) Usando ese principio, ¿qué puedes decir sobre la cantidad de café que le cabe a las tazas de lafigura 3.40?

y x= 1

FIGURA 3.40: La imagen de las monedas, obtenida de http://en.wikipedia.org/wiki/Bonaventu-raCavalieri, ilustra el Principio de Cavalieri, el cual nos permite concluir algointeresante acerca de la cantidad de café que cabe en las tazas, las cuales sonpropiedad de uno de los autores de este libro.



6. Determina el sólido que tienen las secciones transversales de las figuras siguientes.

1

y

2

0

1

1.5

4

0.51.5 2

z

y = cos(x)

0 0

2

3

10.5

x

1

y

1

0

0.25

0.5

z

0 0

0.5

1.51

x

y = x

z = x2

z = x2

y = x2

y = x2

1

y

2

0

1

1.5

4

0.51.5 2

z

0 0

2

3

10.5

x

y = x3

0.75

1

y = x

a) b)

d)c)

4

y

8

0

10

6

32

z

0 0

20

12

x

π

2

FIGURA 3.41: Sólidos con sección transversal conocida, correspondientes con el ejercicio 6.


1. La fórmula secreta de la coca cola.

a) ¿Por qué una sencilla “regla de tres” no sirve como fórmula para relacionar la altura conel volumen de la botella?

b) ¿Por qué la gráfica de volumen como función de la altura no puede ser una línea recta?

2913.2: Volúmenes

c) Haz propuestas para la fórmula, y argumenta cómo puedes averiguar si se calcula co-rrectamente el volumen con la precisión solicitada en el enunciado del problema.

d ) Selecciona la fórmula más adecuada y grafícala para alturas desde 10 cm hasta 50 cm.

e) Presenta tus resultados en un reporte digno de entregarse a ejecutivos de Coca ColaMR.

Proyectos Especiales S.A.Col. Doctores

México D.F., CP 06720

Estimados alumnos:

Proyectos Especiales, S. A., es una empresa dedicada al análisis, desarrollo e imple-mentación de diversos prototipos que responden a una amplia gama de intereses. Unade nuestras actuales investigaciones incluye el análisis de juegos de mesa. En esteproyecto hemos trabajado periódicamente debido a las continuas peticiones que re-cibimos de organizaciones dedicadas a elaborar juguetes. Uno de los últimos traba-jos en esta área (juegos de ajedrez) no se completó porque la empresa que lo solici-tó tuvo que salir del mercado nacional y canceló el contrato que teníamos antes deque se terminara el proyecto. Recientemente firmamos un nuevo contrato con otrogrupo interesado en este proyecto, por lo que planeábamos terminar el análisis; sinembargo, para nuestra mala fortuna, renunció el brillante equipo de investigadorescon el que inicialmente trabajábamos. Nuestra desesperación está en el límite porquedebemos presentar el reporte final del análisis a nuestro contratante en muy pocotiempo.

Afortunadamente recibimos informes de que ustedes podrían ayudarnos a elabo-rar el reporte final. Por tal razón debemos informarles que el anterior equipo deinvestigadores sólo dejó un esquema del juego y un borrador incompleto sobre elproblema. En este reporte se señala que “algunas piezas de ajedrez se pueden elaboraren tornos de control numérico. Los datos proporcionados al torno se pueden generarmediante curvas z = f (y) que al rotar alrededor del eje z producirán las figuras de laspiezas de ajedrez. Sugerimos que los perfiles de las piezas se elaboren en papel cua-driculado (o se use algún programa de apoyo) y después se obtengan las expresiones

2

0

–2

2

0

–2

0

10

20

2. La carta de proyectos especiales.


analíticas de las curvas”. En el margen final del reporte inconcluso aparece la frase:“indudablemente el análisis requerirá de conceptos matemáticos, físicos, mecánicos ycomputacionales, aunque este margen es muy pequeño para incluirlos” y se incluyela figura anexa.

Por otra parte, nuestro contratante nos exige que entreguemos un reporte que incluya:

✓ los perfiles (numéricos, gráficos y algebraicos) de cada una de las piezas

✓ las gráficas tridimensionales de las piezas que se construirán

✓ las características físicas y mecánicas de las piezas (volumen, centro de masa ymomentos de inercia)

✓ la cantidad de materia prima (en kilogramos) que se requerirá, si se supone quelas piezas se elaborarán de madera, plástico, acero o nylamid

✓ el costo de fabricación

Es importante anexar al reporte un programa computacional que facilite latoma de decisión sobre cuál prototipo construir. Para que podamos incor-porar sus contribuciones en nuestra presentación, les pedimos nos haganllegar su reporte a la brevedad.

Sinceramente

_________________________________________Geraldine Estrada Montalbán

Gerente General de Proyectos Especiales, S. A.

2933.2: Volúmenes

3. Albercas

a) Una alberca rectangular tiene un ancho de 6 metros y una longitud de 10 metros. Laprofundidad varía como se muestra en la siguiente figura. En el extremo izquierdo, laprofundidad es de 0.5 metros, y hay una pendiente constante, de tal manera que a 2.0metros a la derecha la profundidad es de 0.67 metros. Justo en ese punto la pendientecambia a otro valor constante, de tal manera que a 6.0 metros a la derecha del extremoizquierdo, la profundidad es de 2.0 metros. Después, la profundidad no cambia hasta elextremo derecho de la alberca. Con tu equipo calcula el volumen de la alberca en litros.Para esta primera alberca debes obtener el volumen exacto.

profundidad(metros)

ancho (metros)

–2

0

1086420

0

2

4

b) Esta segunda alberca debe tener la forma y las dimensiones que se muestran en la siguien-te figura. La profundidad en el extremo izquierdo es de 1.5 metros, y hay una pendienteconstante, de tal manera que a 10.0 metros a la derecha, la profundidad es de 2.0 metros.Justo en ese punto, la pendiente cambia a otro valor constante, de tal manera que en el ex-tremo derecho la profundidad es de 3.0 metros. Con tu equipo calcula el volumen de laalberca en litros. Para esta segunda alberca también debes obtener el volumen exacto.

05

1015

20

0–1–2–3

0

1510

5

ancho (metros)

15

12.5

10

7.5

5

2.5

0

151050

longitud (metros)

profundidad(metros)

0

–3


c) ¿Te imaginas una fiesta con tus amigos al lado de la alberca con forma de guitarramostrada en la siguiente figura? El brazo de la guitarra tiene una profundidad cons-tante de 1.0 metros. El punto más profundo de la alberca se encuentra a 12.2 metrosa la derecha del extremo izquierdo, justo en el centro del círculo mayor, y tiene unaprofundidad de 4 metros. Con tu equipo calcula el volumen en litros de la alberca. En-cuentra argumentos sólidos para demostrar que su cálculo tiene un error máximo de5,000 litros (5 metros cúbicos).

ancho (metros)

longitud (metros) profundidad(metros)

0 m

–4 m0 2 4 6 8 10 12 14

0

2

1

–1

–2

–3

3

2953.2: Volúmenes

Autoevaluación

1. Relaciona cada inciso de la columna A con su número correspondiente en la columna B.

Columna A

a) Región encerrada, entre las curvas

x = 0, y = 6,

b) Región encerrada entre las curvas

en el primer

cuadrante x ≥ 0, y ≥ 0.

c) Región encerrada entre las curvas

y = 0, x = 8.

d) Región encerrada entre las curvasy = 0, x = 8.y x= 273 ,

y x= 6

8,

y x= 273y x= 6

8,

y x= 273 .

Columna B

i. Sólido generado al rotar alrededor del eje x = 8 la ___

ii. Sólido generado al rotar alrededor del eje x = 8 la ___

iii. Sólido generado al rotar alrededor del eje x = 8 la ___

iv. Sólido generado al rotar alrededor del eje x = 8 la _____



Columna A

a) Región encerrada entre las curvas

x = 0, y = 6,


, en el primer



y = 0, , x = 8.

d) Región encerrada entre las curvas

y = 0, , x = 8.y x= 273

y x=6

8

y x= 273y x=6

8

y x= 273 .

Columna B

i. Esta integral da el volumen del sólido generado al rotar al-rededor del eje x = 8 la ___ por el método de arandelas.

ii. Esta integral da el volumen del sólido generado al rotar al-rededor del eje x = 8 la ___ por el método de arandelas.

iii. Esta integral da el volumen del sólido generado al rotar al-rededor del eje x = 8 la ___ por el método de arandelas.

iv. Esta integral da el volumen del sólido generado al rotar al-rededor del eje x = 8 la ___ por el método de arandelas.

π π827

88

6

3 2

0

62

0

6

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⌠

⌡⎮⎮

⌠

⌡⎮y

dyy

dy

π π8 827

2

0

6 3 2

0

6

( ) − −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟∫

⌠

⌡⎮⎮dy

ydy

π 827

3 2

0

6

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⌠

⌡⎮⎮

ydy

π 88

6

2

0

6

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⌠

⌡⎮y

dy

2973.2: Volúmenes

Columna A

a) Región encerrada entre las curvas

x = 0, y = 6, .


, en el primer



y = 0, , x = 8.

d) Región encerrada entre las curvas

y = 0, , x = 8.y x= 273 ,

y x=6

8

y x= 273 ,y x=6

8

y x= 273 ,

Columna B

i. Esta integral da el volumen del sólido generado al rotar al-rededor del eje x = 8 la ___ por el método de cáscaras ci-líndricas.

ii. Esta integral da el volumen del sólido generado al rotar al-rededor del eje x = 8 la ___ por el método de cáscaras ci-líndricas.

iii. Esta integral da el volumen del sólido generado al rotar al-rededor del eje x = 8 la ___ por el método de cáscaras ci-líndricas.

iv. Esta integral da el volumen del sólido generado al rotar al-rededor del eje x = 8 la ___ por el método de cáscaras ci-líndricas.

2 8 273

0

8

π −( )( )∫ x x dx

2 8 276

83

0

8

π −( ) −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⌠⌡⎮

x xx

dx

2 86

80

8

π −( )⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⌠⌡⎮

xx

dx

2 8 6 273

0

8

π −( ) −( )∫ x x dx



Respuestas a los


1. Región encerrada entre las curvas y = 1 + x2,alrededor del eje y = 0. El volumen de este

sólido es .

2. Región encerrada entre las curvas y = x2,y = 6x − x2, alrededor del eje x = 4. El volu-men de este sólido es V = 45π = 141.372.

3.

V = =117

573 5133

π.

–3 –2 –1 1 2

6

5

4

1

10

8

6

4

2

1 2 3 4

–2

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h) V = 3π

i)

j)

k) V = 8π

l)

m)

n)

o)

p) V = 6π

V = 992

π

V = 2435

π

V = 452

π

V = 1535

π

V = 1285

π

V = 64 215

π

V = 76

π

V = π2

V = π2

V = π2

V = 815

π

V = 215

π

V = 452

π

4. Tanto con los métodos de este capítulo como con el teorema de Pappus se obtiene que el volumen esV = 2π2ba2, sólo que con el teorema de Pappus en este ejercicio no hace falta integrar, porque el centroide(centro de masa) de la región evidentemente se encuentra en el origen.

5. Que a ambas tazas les cabe la misma cantidad de café.

6. a) 2; b) 243/4; c) 4; d) .π 2 8 4−( ) /

2993.2: Volúmenes


1. (b, i.); (a, ii.); (c, iii.); (d, iv.)2. (c, i.); (d, ii.); (a, iii.); (b, iv.)3. (a, i.); (c, ii.); (b, iii.); (d, iv.)

Situación: La pirámide del Sol


3.3 Aplicaciones de la integral

Las ciencias no tratan de explicar; inclu-so apenas tratan de interpretar; constru-

yen modelos principalmente. Por modelo,se entiende una construcción matemáticaque, con la adición de ciertas interpreta-

ciones verbales, describe los fenómenosobservados. La justificación de talconstrucción matemática es sólo y

precisamente que se espera que funcione.

John von Neumann

En Teotihuacan, la ciudad de los dioses, destaca la gran Pirámide del Sol, una gi-gantesca construcción con base cuadrada de 200 metros por lado y 65 metros dealto, la cual se empezó a construir alrededor del año 0 de nuestra era y se termi-nó después de 50 largos años. Muy pocas ciudades del mundo se han considera-do dignas de ser habitadas por los dioses, quienes están más habituados a vivir enlas esferas celestes que en los dominios humanos. Teotihuacan, sin lugar a dudas,es una de ellas. Sólo después de mil años de civilización logró alcanzar el rango deciudad mítica. Aun en la actualidad, en nuestra época de innumerables avances tec-nológicos, podemos admirarla recorriendo su amplia avenida central que marca elrumbo del Universo, y observando sus plazas y pirámides de proporciones ciclópeasque incitan a la imaginación de un mundo espiritual casi olvidado.

Dos mil años de grandeza sublime. Algunas veces en decadencia y otras enclaro renacimiento, nos hacen pensar en la grandeza de la raza humana que le dio

FIGURA 3.42: La pirámide del Sol en Teotihuacan.

origen y que aún le permite vivir en el México moderno. ¿Qué motivó a nuestrosantepasados a construir la gran ciudad de Teotihuacan? ¿Qué tanto volumen depiedra tuvieron que transportar de lejanas tierras para construir la Pirámide delSol? ¿Cuál fue el trabajo requerido para construirla? ¿Cuántos hombres fueronnecesarios para levantarla? La grandeza humana se mide por sus magnos sue-ños y por las metas colosales que se propone. La ciudad de los dioses es mues-tra de la grandeza de los hombres de esas tierras que la construyeron hace 2000años.

3013.3: Aplicaciones de la integral

Introducción

Ya tuvimos la oportunidad de estudiar algunas de las aplicaciones geomé-tricas más relevantes de la integral. Con su ayuda pudimos determinar elárea encerrada entre curvas y el volumen de sólidos de revolución. Sin em-bargo, sus aplicaciones no se circunscriben sólo al ámbito geométrico, yaque forman parte importante de la modelación de fenómenos físicos coti-dianos. Por ejemplo, con su ayuda podemos calcular la distancia recorridapor partículas, la masa contenida en un cuerpo sólido, el área a pintar deuna superficie, algunas características físicas como el centro de masa o losmomentos de inercia que suelen ser útiles en mecánica. Como te das cuenta,sus aplicaciones son inmensas y, en ese sentido, su importancia es mayúscula.Por tal razón, dedicaremos esta sección al estudio de diversas aplicaciones dela integral.

Objetivos


• Calcular la longitud de una curva definida por y = f(x) o x = g(y).• Determinar el área superficial de un sólido de revolución.• Calcular la masa de un sólido con densidad de masa no cons-

tante.• Determinar el centro de masa de un objeto.• Determinar los momentos de inercia de objetos.• Calcular el trabajo hecho por una fuerza variable en una di-

mensión.• Calcular la fuerza hidrostática sobre un contenedor.

Sección 3.3.1 Longitud de arco

Supón que una partícula se mueve sobre la trayectoria definida por la curva y = f (x),desde un punto inicial con coordenadas (a, f (a)) hasta un punto final (b, f (b)). Observala figura 3.43 a. ¿Cuál es la distancia recorrida?

Para responder la pregunta anterior, considera una partición del intervalo (a, b) en npequeños subintervalos (a = x0, x1), (x1, x2),…, (xn−1, xn = b). En la figura 3.43b se mues-tra la gráfica que corresponde al intervalo (xi, xi+1). Observa que la distancia del punto(xi, yi = f(xi)) al punto (xi+1, yi+1 = f(xi+1)) aproxima la longitud de la curva entre esos dospuntos, y cuanto más pequeña sea la longitud del intervalo (xi, xi+1), mejor será la apro-ximación. Es decir, si ΔLi es la longitud de la curva en el intervalo, entonces:

Donde hemos considerado que Δxi = xi+1 − xi y Δyi = yi+1 − yi. Sumando las longitudes detodos los segmentos rectilíneos, obtenemos una aproximación para la longitud total de lacurva:

Finalmente, en el límite cuando todas las longitudes de los subintervalos tienden a ceroo, de forma equivalente, cuando la norma de la partición tiende a cero, obtenemos:

que se traduce en la fórmula de la:

Ly

xx

P

i

ii

i

n

= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟→ =

∑lím|| || 0

2

1

1ΔΔ

Δ

Ly

xxi

ii

i

n

≅ +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

∑ 12

1

ΔΔ

Δ

Δ Δ ΔΔ

L x x y y x yi i i i i i i≅ − + − = + ≅ ++ +( ) ( ) ( ) ( )12

12 2 2 1

yy

xxi

iiΔ

Δ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2


y

f b

a) b)

f a

x1a bx2 xi

x

fxi + 1

fxi

xi + 1

DL = Dx2 + Dy2

Dy

FIGURA 3.43: a) Aproximación de la longitud de una curva por segmentos rectilíneos. b) Un segmento de líneaque aproxima una curva en el intervalo (xi, xi+1).

Longitud de la curva y = f(x) desde x = a hasta x = b

(3.5)Ldy

dxdx

a

b

= + ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟∫ 1

2

De forma similar, si la curva se define como x = g(y), obtenemos la fórmula de la


En algunos casos, la curva se define mediante ecuaciones paramétricas x = f (t),y = g(t). En estos casos calculamos la longitud de la curva con la siguiente fórmula:

Longitud de la curva x = g(y) desde y = c hasta y = d

(3.6)Ldx

dydy

c

d

= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟∫ 1

2

Longitud de la curva definida por ecuaciones paramétricas x = f (t), y = g(t)desde t = a hasta t = b

(3.7)Ldx

dt

dy

dtdt

a

b

= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟∫

2 2

Ejemplos

Ejemplo 3.14

Algunos puentes colgantes se sostienen mediante una estructura simple basada en dos grandes sopor-tes anclados al piso y unidos, en sus extremos superiores, por un cable guía de acero. El puente se unecon cables verticales al cable guía (véase la figura 3.44). Supón que la forma del cable guía está dadapor la expresión

,

donde x varía de a = −70 m hasta b = 70 m. Determina la longitud del cable requerido para unir los dosextremos superiores de los soportes.

y e e mx

mx x= + − = ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−−25 50 5050

5050 50( ) cosh/ /

140 m

57.5449 m

FIGURA 3.44: Un puente colgante unido a un cable guía por cables verticales.


solución

Para determinar la longitud del cable seguimos la fórmula 3.5. Calculemos primero la derivada,

Entonces,

Usando la identidad:

cosh2(t) = 1 + senh2(t)

Obtenemos:

Ejemplo 3.15

Calcula la longitud de la curva desde y = 0 hasta y = 8.

Para resolver el ejercicio, seguimos la fórmula 3.6. Calculamos primero la derivada,

Entonces,

Haciendo la sustitución u = 1 + y tenemos,

u = 1 + y u(y = 0) = 1

du = dy u(y = 8) = 9de donde

L u uu

u

= = = − =∫=

=1 2

1

93 2

1

92

3

2

327

2

3

52

3/ / ( )

L y dx y dy= + = +∫ ∫∞

1 11 2 2

0

8

0

( )/

dx

dyy= 1 2/

x y=2

33 2/

Lx

dxx

x

= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

− =−∫ cosh

5050

5070

70

7

senh00

70

5070

5050

70

50

1

x=

= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ − −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

=

senh senh

0007

5190 43senh .⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ =m m

Lx

dx= + ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−∫ 1

502

70

70

senh

dy

dx

x= ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

senh50

solución


solución

Ejemplo 3.16

Calcula la longitud de arco de la curva

desde hasta x = 3

Aplicamos nuevamente la fórmula 3.5. Primero determinamos la derivada,

Usando este resultado, tenemos

Así,

Ejemplo 3.17

Una partícula parte del origen y se mueve en el tiempo de acuerdo con

x = et cos(t) − 1

y = et sen(t)

Si x y y se miden en metros, determina la distancia recorrida por la partícula, desde t = 0 hasta t = 3segundos.

L xx

dxx

x x

x

= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −

= −

∫=

=3

4

1

3 4

1

3

27

4

22

13

3 3

13

3

11

9

1

1081

206

27− −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ =

1 13

4

1

3

13

4

22

2

2

2

+ ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= + −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= + ⎛⎝⎜

⎞

dy

dxx

x

x⎠⎠⎟

− + ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

2

2

22

2

1

2

1

3

3

4

1

3

x

xx

dy

dxx

x= −

3

4

1

32

2

x =1

3

yx

x= +

3

4

1

3

y20

15

10

5

–5

–5–10–15–20

5

x

FIGURA 3.45: La trayectoria seguida por lapartícula del ejemplo 3.17.

Sección 3.3.2 Área superficial de sólidos de revolución

En la sección anterior obtuvimos fórmulas generales para determinar el volumen de só-lidos de revolución en diferentes situaciones. Ahora nuestro objetivo es determinar elárea superficial de tales sólidos de revolución. Para ello considera el sólido generado alrotar la curva y = f(x) alrededor del eje x desde x = a hasta x = b (véase la figura 3.46).


solución

En la figura 3.45 se muestra la trayectoria seguida por la partícula. Para determinar la distancia recorri-da aplicamos la fórmula 3.7. Primero determinamos las derivadas,

Usando este resultado, tenemos

Finalmente, integrando obtenemos la distancia recorrida

metros.L e dt e et t

t

t= = = −∫ =

=2 2 2 1

0

3

0

3 3( )

dx

dt

dy

dte t e tt t⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

+ ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= −2 2

( cos( ) sen( ))22 2 22+ + =( sen( ) cos( ))e t e t et t t

dx

dte t e t

dy

dte t e t

t t

t t

= −

= +

cos( ) sen( )

sen( ) cos( ))

y

π

zx

dS = 2 ydL

FIGURA 3.46: Para determinar el área de un sólido de revolución, generado al girar lacurva y = f(x) alrededor del eje y, basta con integrar el grosor dL por elperímetro 2πy de un segmento de cáscara.

dLdy

dx= + ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟1

2

Supón que y = f (x) es una función derivable, salvo en un número finito de puntos, enel intervalo (a, b). Hagamos ahora una partición de este intervalo (a, b) en pequeños sub-intervalos. Y consideremos el intervalo genérico (xi, xi+1). Una aproximación del áreasuperficial del sólido en este intervalo se obtiene multiplicando el perímetro de un círculo

de radio yi = f (xi) por el grosor . Observa que esta cantidad es la

diferencial de la longitud de arco. De esta forma,

Sumando las áreas superficiales producidas en cada intervalo y considerando el límitecuando la norma de la partición tiende a cero, se obtiene la expresión para el área de unasuperficie de revolución:

ΔΔΔ

ΔS yy

xxi i

i

ii≅ +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2 12

π

ΔΔΔ

ΔLy

xxi

i

ii= +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

12


Área de una superficie de revolución

Si y = f (x) es una función con derivada continua, salvo en un número finito depuntos, entonces el área del sólido de revolución, que se obtiene al girar la cur-va alrededor del eje x desde x = a hasta x = b, está dada por

(3.8)

De forma similar, el área superficial del sólido de revolución, que se obtiene algirar la curva x = g(y) alrededor del eje y desde y = c hasta y = d, está dada por:

(3.9)S xdx

dydx

c

d

= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟∫ 2 1

2

π

S ydy

dxdx

a

b

= + ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟∫ 2 1

2

π

Ejemplos

Ejemplo 3.18

Determina el área del sólido de revolución que se obtiene al girar la curva desde x = 0 has-ta x = 1.

yx

=3

3


solución

En la figura 3.47 se muestra el sólido de revolución del que queremos conocer el área

superficial. Para resolver el problema, aplicamos la fórmula 3.8. Como , tenemos

Para determinar el valor de la integral usamos el método de integración por sustitución. Haciendo elcambio

u = 1 + x4 u(x = 0) = 1

du = 4x3dx u(x = 1) = 2

se tiene

Ejemplo 3.19

La empresa Osram S.A., está diseñando un nuevo tipo de focos para su venta en la época decembrina.Los focos se obtendrán girando, alrededor del eje x, la curva con ecuación

, 0 ≤ x ≤ 3A2.

Donde x, y se miden en centímetros. Si el grosor del vidrio es de 0.05 cm, calcula el volumen delmaterial que se requiere para construir un foco típico.

y Axx

A= −1 2

3 2

3/

/

S u du uu

u

= = ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −⎡⎣∫

=

=π π π6 6

2

3 92 2 11 2 3 2

1

2

2

1

/ / ⎤⎤⎦

S x x dx= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +∫

2

313 4

0

1

π

dy

dxx= 2

y

zx

FIGURA 3.47: El sólido de revolución del ejemplo 3.18.


solución

La estrategia para resolver el problema parte de determinar el área superficial del foco (véase la figura3.48). Posteriormente, multiplica el resultado obtenido por el grosor del vidrio. Para ello, seguimos lafórmula 3.8. Así, derivando la función propuesta se llega a

Usando este resultado tenemos

De donde, se sigue que

ydy

dxAx

x

A

Ax

x1

3 2

21 2

3 21 2+ ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+− −//

/11 2

2 2

2

2

2 3 6

/

A

A x x

A

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= + −

1 12 2

12

21 2

1 2 2

+ ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= + −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= +

−dy

dx

Ax

x

A

Ax

//

−−

−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1 22 1 2 2

1 2

1

2 2

2

//

/

x

A

Ax

22 1 2 2

1 21 2 2

1

2 2

2 2

+ +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−

x

A

Ax

x

A

/

//

dy

dx

Ax

x

A= −−

2 21 2

1 2/

/

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.5 1 1.5 2 2.5 3

y

x

a) b)

z

y

x

FIGURA 3.48: Foco de la empresa Osram generado al rotar la curva y = f(x) alrededor del eje y. En a) se muestrael perfil usado; y en b), el sólido obtenido.

Sección 3.3.3 Densidad de masa

Cualquier cuerpo sólido tiene dos características físicas que lo determinan: su masa y elvolumen que ocupa. Con ellas, es posible definir la densidad volumétrica de masa comoel cociente de la masa entre el volumen.

Decimos que un cuerpo tiene densidad de masa uniforme si, al dividir el cuerpo en pe-queños pedazos de masa Δmi y volumen ΔVi, con i = 1, 2,…, n, obtenemos la misma den-sidad volumétrica de masa para cada pedazo. Es decir,

En general, este resultado no es válido y la densidad de masa no es constante y dependede la posición del pedazo que estemos considerando. Sin embargo, podemos calcular lamasa de un objeto si se conoce su densidad de masa. En efecto, cada pedazo tiene masadada por

Δmi = ρΔVi

Si sumamos las masas tendemos:

En el caso de considerar pedazos cada vez más pequeños, llegamos a una expresión pa-ra la masa en términos de integrales.

M m Vii

n

ii

n

= == =∑ ∑Δ Δ

1 1

ρ

ρ = = = =ΔΔ

ΔΔ

ΔΔ

m

V

m

V

m

Vn

n

1

1

2

2

�

ρ =Masa

Volumen


Finalmente, el área superficial está dada por

Multiplicando este resultado por el grosor, obtenemos el volumen del material empleado en la construc-ción del foco.

V = 3πA4(0.005) = 0.15πA4cm3

SA x x

Adx

SA

xx x

A

= + −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= + −

∫ 22 3 6

22 6

2 2

20

3

2 2

2

π

π33

2

0

3

4 46

2

18

23

2

9

6

27

18

2

A

S A AA

A

x

x A⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= + −⎛

=

=

π⎝⎝⎜

⎞⎠⎟

=S A3 4π


Masa de un objeto sólido con densidad volumétrica de masa ρ y que ocupaun volumen V

(3.10)M dm dV= =∫ ∫ ρ

Observaciones

1. En muchas ocasiones se define la densidad lineal de masa λ como la ma-sa por unidad de longitud. En este caso, la masa de un objeto lineal, unalambre por ejemplo, se determina usando

(3.11)

donde a y b son los límites del alambre.

2. Para el caso de alambres curvos (véase el ejemplo 3.22), la masa total seobtiene haciendo una partición del alambre en segmentos de longitud di-

ferencial , de tal forma que la masa total se obtiene in-

tegrando la densidad lineal λ multiplicada por ds. Es decir,

(3.12)

3. Para objetos de grosor despreciable, por ejemplo un disco, la masa se cal-cula usando

(3.13)

donde σ es la densidad superficial de masa, que se define como la masapor unidad de área.

4. El término densidad aparece en varios contextos. Por ejemplo, en demo-grafía se habla de la densidad de población por kilómetro cuadrado comola cantidad de pobladores que tiene una ciudad, estado o país por cada ki-lómetro cuadrado de área. Si se quiere determinar la población de una re-gión, se integra la densidad de población en esa región.

5. En general, el cálculo de la masa de un objeto sólido requiere de técnicasde integración que están fuera del alcance de este texto. Sin embargo,existen casos interesantes que pueden resolverse con las técnicas estudia-das en capítulos previos y que analizaremos en los ejemplos siguientes.

M dA= ∫σ

M dsdy

dxdx

a

b

= = + ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟∫ ∫λ λ 1

2

dsdy

dxdx= + ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

12

M dxa

b

= ∫ λ


Ejemplos

solución

Ejemplo 3.20

Determina la masa del alambre de la figura 3.49 que tiene longitud L = 2 metros, uno de sus extremosen el origen de coordenadas y densidad de masa λ = 2x.

Alambre con densidad λ

x

L0

FIGURA 3.49: Alambre con densidad de masa λ correspondiente al ejemplo 3.20.

solución

Para resolver este ejemplo, basta con aplicar directamente la fórmula 3.11. Así, obtenemos

Ejemplo 3.21

Determina la masa de un alambre que tiene la forma de la curva desde x = 0 hasta x = 1. Supón

que el alambre tiene densidad de masa constante λ.

Como el alambre es curvo, usamos la fórmula 3.12, para la curva que estamos considerando se tiene

, de donde inferimos que la masa total es

Esta integral se resuelve usando el método de sustitución. Para hacerlo considera el cambio:

; ;

Entonces,

M d= ∫ λ θ θπ

sec ( )3

0

4

θθ π

( )( ) /xx

= == =

0 01 4

θθ

=+ =

arctan( )

sec( )

x

x1 2

x

dx d

==

tan( )sec ( )

θθ θ2

Mdy

dxdx x dx= + ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ = +∫ ∫λ λ1 1

2

0

12

0

1

dy

dxx=

yx

=2

2

M xdx xx

x= = =∫ =

=2 4

0

22

0

2


solución

Usemos ahora integración por partes; considera el cambio

u = sec(θ) du = sec(θ)tan(θ)dθdv = sec2(θ)dθ v = tan(θ)

Así,

Usando la identidadtan2(θ) = sec2(θ) − 1

resulta

De donde

Regresando al cálculo de la masa, tenemos

Ejemplo 3.22

Se sabe por diversos estudios que el tiempo t, en años, transcurrido hasta que se presenta la primerafalla en el tren de transmisión de un automóvil nuevo tiene una función de densidad de probabilidadf(t) = 0.2e−0.2t, con t ≥ 0. ¿Qué porcentaje de automóviles tendrá fallas en el tren de transmisión durantelos primeros seis meses de uso?

El problema se reduce a calcular la probabilidad de que un automóvil elegido al azar tenga una falla an-tes de los seis meses. Para ello, basta integrar la función de densidad de probabilidad desde t = 0 hastat = 0.5.

probabilidad e dt et t

t

t= = −− −

=

=

∫ 0 2 0 2

0

0 50 2

0

0. .

.. .. . .

5 0 11 0 0951626= − ≈−e

M = + +[ ] =

=λ θ θ θ θθθ π

2 0

4sec( ) tan( ) ln(sec( ) tan( ))

MM = + +⎡⎣ ⎤⎦λ2

2 2 1ln( )

2 3sec ( ) sec( ) tan( ) sec( ) sec( ) taθ θ θ θ θ θ θd d∫ ∫= + = nn( ) ln(sec( ) tan( ))θ θ θ+ +

sec ( ) sec( ) tan( ) sec ( ) sec( )3 3θ θ θ θ θ θ θ θd d d∫ ∫= − + ∫∫

sec ( ) sec( ) tan( ) sec( ) tan ( )3 2θ θ θ θ θ θ θd d= − ∫∫

Sección 3.3.4 Centro de masa y momentos de inercia

Para un sistema de partículas con masas m1, m2,…, mn posicionadas en x1, x2,…, xn, res-pectivamente, la coordenada xcm del centro de masa se define mediante la relación:

(3.14)

La utilidad de este concepto aparece de forma natural cuando se aplica una fuerza netaF sobre el sistema. En efecto, de acuerdo con la segunda ley de Newton

F = Macm

donde y . En este sentido, físicamente se puede considerar que

el centro de masa es un punto donde se concentra toda la masa de un sistema de partículas.

M mii

n

==∑

1

ad X

dtcmcm=

2

2

xm x m x m x

m m m

x m

cmn n

n

i ii

n

=+ + ++ + +

= =1 1 2 2

1 2

1...

...

∑∑

∑=

mii

n

1


y

x

zz

x

y

a) b)

FIGURA 3.50: En a) se muestra un sólido de masa M, y en b) se muestra el mismo sólido dividido enpequeños cubos de masa Δm y volumen ΔV.

El centro de masa de un cuerpo sólido se puede determinar muy fácilmente consideran-do una partición del sólido en pequeños elementos de volumen ΔVi con masas Δmi coni = 1, 2,…, n. Usando la relación 3.14, para la coordenada x del centro de masa tenemosque:

Tomando el límite �Δmi�→ 0 (n → ∞), tanto en el numerador como en el denominador,obtenemos:

x

x m

mcm

i ii

n

ii

n= =

=

∑

∑

Δ

Δ

1

1

El centro geométrico o centroide de curvas, áreas planas o sólidos es otra aplicación don-de la integración resulta útil. El cálculo es similar al proceso utilizado para determinar elcentro de masa, ya que basta considerar, en las relaciones 3.14 y 3.16, que la densidadde masa es constante. En efecto, para curvas en el plano definidas por y = f (x) se tiene

que y, en consecuencia:dmdy

dxdx= + ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

λ 12


Coordenada x del centro de masa

(3.15)xxdm

dmcm = ∫

∫

Coordenadas y y z del centro de masa

(3.16)yydm

dmz

zdm

dmcm cm= =∫

∫∫∫

;

Centroide de curvas y = f (x)

(3.17)x

xdydx

dx

dydx

dx

ygeom ge=+ ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

+ ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

∫

∫

1

1

2

2; oom

ydydx

dx

dydx

dx

=+ ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

+ ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

∫

∫

1

1

2

2

y = f x

y = g x

x

y

50

40

30

20

10

1 2 3 4 5

FIGURA 3.51: Una región plana delimitada por las curvas y = f (x), y = g(x) y las rectas x = ay x = b.

De forma similar, para el caso de las coordenadas ycm y zcm se tiene

Supón ahora que tienes una región plana (véase la figura 3.51), limitada superiormentepor una curva y = f(x), inferiormente por y = g(x) y lateralmente por las rectas x = a y x = b.Si hacemos una partición de la región en rectángulos de base dx y altura h = f(x) − g(x),obtenemos que la diferencial de área de cada rectángulo está dada por

dA = (f(x) − g(x))dx

Por otro lado, cada rectángulo tiene un centro geométrico con coordenadas

así que el centro geométrico de la figura está dado por:

xf x g x

,( ) ( )

,+⎛

⎝⎜⎞⎠⎟2


Centro geométrico de figuras planas

(3.18)x

x f x g x dx

f x g x dx

ygeoma

b

a

b ge=−

−

∫

∫

( ( ) ( ))

( ( ) ( ))

; ooma

b

f x g x f x g x dx

f x g x

=+ −

−

∫ 12

( ( ) ( ))( ( ) ( ))

( ( ) ( )))dxa

b

∫

El proceso de integración también es útil para calcular fácilmente los momentos deinercia de sólidos. Para fijar ideas considera que tenemos un sólido que gira alrededor deleje y con velocidad angular w. ¿Cuál es su energía cinética?

y

vi

xz

Δmi

ri

w

(xi, yi, zi)

FIGURA 3.52: Un pequeño elemento de masa Δm y volumen ΔV gira alrededor del eje vertical.

Para responder la pregunta, hacemos una partición del objeto en pequeños elementos demasa Δmi y volumen ΔVi centrados en las coordenadas (xi, yi, zi), i = 1, 2,…, n. La ener-gía cinética de un elemento genérico está dada por

Δ ΔEc v mi i i= 1

22

La velocidad tangencial vi se relaciona con la velocidad angular w mediante vi = wri, don-de ri es la distancia del elemento de masa al eje de giro, en este caso el eje y. Usando es-te resultado tenemos, entonces,

Donde usamos la relación r 2i = x 2

i + z2i, fácilmente observable en la figura 3.52. Nota que

la velocidad angular es la misma para todos los elementos de masa Δmi. En consecuen-cia, obtenemos la energía cinética total integrando la relación anterior, es decir:

Ahora estamos en posibilidad de definir el movimiento de inercia alrededor del eje z.

Ec r dm w x z dm w= ( ) = +( )∫ ∫1

2

1

22 2 2 2 2( )

Δ Δ ΔEcr

m wx z

m wii

ii i

i=⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ =

+⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

22

2 2

2 222.


Momento de inercia alrededor del eje y

(3.19)I x z dmy = +∫ ( )2 2

Momento de inercia alrededor de los ejes x y z

(3.20)I y z dm I x y dmx z= + = +∫ ∫( ) ; ( )2 2 2 2

De forma similar, los momentos de inercia alrededor de los ejes x y z están dados por lasfórmulas siguientes:

Si recordamos que una partícula de masa m que se mueve con velocidad v tiene energía

cinética de traslación dada por , entonces podemos establecer un equivalen-

te inmediato entre masa y momento de inercia.

E mvcT =1

22

Ejemplos

Ejemplo 3.23

Determina las coordenadas del centro de masa de un alambre que tiene la forma de la curva

desde x = 0 hasta x = 1. Supón que el alambre tiene densidad de masa constante λ.

yx

=2

2


solución

Como la densidad de masa es constante,

Calculemos ahora el centro de masa. De acuerdo con la ecuación 3.16, tenemos

Si hacemos el cambio de variable

u = 1 + x2 u(x = 0) = 1

du = 2xdx u(x = 1) = 2

se tiene

Sustituyendo la masa obtenida en el ejemplo 3.22, resulta

Ejemplo 3.24

Determina el centroide de la región plana que se muestra en la figura 3.53.

Xcm = −+ +

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

2

3

2 2 1

2 2 1ln( )

XM

udu

M

u

Mcm = = = −⎡⎣ ⎤⎦∫λ λ λ1

23

2

2 2 32 2 1

1

2

32 1

2

XM

x x dxcm = +∫1

1 2

0

1

λ

dm dsdy

dxdx= = + ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

λ λ 12

y

y = x

y = x2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

10.80.60.40.2x

FIGURA 3.53: Región plana del ejemplo 3.24.


solución

solución

Para resolver el ejercicio basta con calcular las integrales que aparecen en la fórmula 3.18, consideran-do que , g(x) = x2, a = 0 y b = 1. Tenemos, entonces, que

Sustituyendo en las fórmulas para el centroide se obtiene el resultado final.

Ejemplo 3.25

Determina el momento de inercia Iy de

a) Un alambre de longitud L = 2 metros, uno de sus extremos en el origen de coordenadas y densidadde masa λ = 2x (véase la figura 3.49).

b) Un anillo de radio R en el plano xz centrado en el origen de coordenadas, con densidad de masa λuniforme.

c) Un disco de radio R en el plano xz centrado en el origen de coordenadas, con densidad de masa σuniforme.

a) En este caso, consideremos un elemento de masa dm = λdr = 2r dr posicionado en (x, 0, z). El ra-dio de giro r satisface, entonces, r2 = x2 + z2. Observa la figura 3.54. Si usamos la fórmula 3.17,obtenemos

I x z dm r r drr

kgmy

r

r

= + = = =∫ ∫=

=

( ) ( )2 2 2

0

2 4

0

2

222

8

x ygeom geom= = = =3

201

3

9

20

320

13

9

20;

( ( ) ( )) ( ) /f x g x dx x x dx x xx

x

− = − = −∫ ∫=

=2

0

13 2 3

0

2

3

1

3

11

3 2 3

0

15 2

1

3

2

5

=

− = − = −∫ ∫x f x g x dx x x dx x( ( ) ( )) ( )/ / 11

4

3

20

1

2

4

0

1

x

f x g x f x g x dx

x

x

=

=

=

+ − =∫ ( ( ) ( ))( ( ) ( ))11

2

1

2

1

4

1 2 2 1 2 2

0

1

4

0

1

( )( )

( )

/ /x x x x dx

x x dx

+ −

= − =

∫

∫ xx xx

x4 5

0

11

10

3

20− =

=

=

f x x( ) =


b) Para el caso del anillo consideremos un elemento de masa dm = λds = λR dθ colocado en (x, 0, z).

En la figura 3.55 observa que el radio de giro es . Así,

Finalmente, simplificamos el momento Iy considerando que . Obtenemos, entonces,

Iy = MR2 kgm2

λπ

=M

R2

I x z dm R R d R Ry = + = = =∫ ∫ =

=( ) ( )2 2 2

0

23

0

2 32λ θ λ θ πλθ

θ πkkgm2

R x z= +2 2

y

xz

dm

r

w

x

z

FIGURA 3.54: Una barra de longitud L situado en el plano horizontal xz gira alrededor del eje y.

y

xz

dm

R

w

x

z

FIGURA 3.55: Un anillo de radio R situado en el plano horizontal xz gira alrededor del eje y.


c) Consideremos que el disco está formado por anillos de masa dm, radio r y grosor dr, como se mues-tra en la figura 3.56. Tenemos, entonces, usando el resultado anterior, que el momento de inercia decada uno de estos anillos está dado por:

dIy = r2dm

Como dm = σdA = 2πσrdr se tiene que

dIy = 2πσr 3dr

Integrando, resulta

Si ahora usamos , obtenemos

IMR

kgmy =2

2

2

σπ

=M

R2

I r dr ry

R

r

r R

= = ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟∫

=

=

21

2

1

23

0

4

0

πσ πσ πσ RR4

y

xz

dm

r

RR

FIGURA 3.56: Un disco de radio R situado en el plano horizontal xz gira alrededor del eje y.

Ejemplo 3.26

Determine el momento de inercia Iy del sólido que se obtiene al girar alrededor del eje y la región limi-tada por las rectas y = 4 − x, y = 0 y x = 0. Supón que la densidad volumétrica de masa del sólido ob-tenido es uniforme.

Sección 3.3.5 Trabajo

El trabajo es un concepto muy utilizado en física, por la relación que guarda con la pér-dida o ganancia de energía en un sistema dado. Recordemos brevemente este concepto.Para ello, considera que se aplica una fuerza F constante en la dirección del eje x sobreun objeto de masa m que, por esa razón, se mueve una distancia D en la misma direc-ción. Observa la figura 3.58. En esta situación, definimos el trabajo mediante la expre-sión W = FD.


y

z

x

y

z

x

a) b)

FIGURA 3.57: En a) se muestra el cono que se obtiene al girar la región del ejemplo 3.27 alrededor del eje y.En b) se muestra una partición del cono en discos de grosor dy.

solución

Al girar la región limitada por las rectas y = 4 − x, y = 0 y x = 0 alrededor del eje y se obtiene un cono(véase la figura 3.57). Dividamos el cono en pequeños elementos de masa dm = ρdV en forma de dis-

cos. Cada disco tiene radio x, área A = π r2, grosor dy y momento de inercia . Usando es-tos resultados se tiene que

El momento de inercia buscado se obtiene al integrar esta última expresión, considerando que la den-sidad volumétrica ρ es constante. Así, tenemos que

Iy dy y

y

y

y

= − = − − =∫=

=( ) ( )4

2

4

10

4

10

4

0

4 5

0

4 5ρπ ρπ ρπ

dIr dV r Ady r dy y dy

y = = = =−2 2 4 4

2 2 2

4

2

ρ ρ ρπ ρπ( )

dIr

dmy =2

2

Considera ahora que la fuerza depende de la posición del objeto F = F(x). Para determinaruna expresión para el trabajo considera una partición del intervalo (a, b) en n pequeños sub-intervalos (a = x0, x1), (x1, x2),…, (xn−1, xn = b). Supón que la fuerza es constante en el inter-valo (xi, xi+1) e igual a F(ci), donde ci es un número tal que xi ≤ ci ≤ xi+1. Desde luego, estasuposición conduce a un error; sin embargo, éste será más despreciable cuanto más pe-queño sea el intervalo (xi, xi+1). Tomando eso en cuenta, el trabajo en este intervalo será

ΔWi = F(xi)Δxi

Sumando los pequeños trabajos realizados en cada subintervalo, obtenemos una aproxi-mación para el trabajo total:

Finalmente, tomando el límite cuando la norma de la partición tiende a cero, obtenemosla fórmula del trabajo realizado por una fuerza variable.

W W F x xii

n

i ii

n

= == =∑ ∑Δ Δ

1 1

( )


D

F

FIGURA 3.58: Un bloque de masa m se mueve una distancia D debido a la acción de unafuerza F. De aquí, se define el trabajo como W = FD.

Trabajo sobre un cuerpo por una fuerza variable F(x) desde x = a hasta x = b

(3.21)W F x dxa

b

= ∫ ( )

Ejemplos

Ejemplo 3.27

Se aplican las siguientes fuerzas sobre un objeto que, por esta acción, pasa del punto x0 al punto xf .Calcula el trabajo hecho por cada una de las fuerzas.

a) F = mg

b) F = −kx Fuerza de un resorte

c) Fuerza de atracción gravitacional FGm m

x= − 1 2

2


solución

Usamos la definición 3.21 para calcular el trabajo.En el caso a), se tiene:

Para el caso b),

Para el caso c),

Ejemplo 3.28

Una montaña se forma por la acción de fuerzas internas en el interior de la Tierra, las cuales expulsanmaterial desde el interior hacia afuera. Determina el trabajo necesario que tienen que hacer las fuerzasinternas para formar una montaña. Supón que la montaña tiene un perfil en el plano xy dado por:

con −50 ≤ x ≤ 50y f xx

= = −( ) 5050

2

WGm m

xdx

Gm m

x

Gm m

xx

x

x

x

f

f f

= − ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = = −∫ 1 2

21 2 1 2

0 0

GGm m

x1 2

0

W kx dxk

xk

xk

xx

x

x

x

f

f f

= − = − = − +∫ ( )0 0

2 2 22 2

02

W mg dx mg x mg x xx

x

x

xf

f

f= = = −∫ ( ) ( )0

00

a) b)

y

z

x

FIGURA 3.59: En la figura a) se muestra una superficie que suponemos es una montaña con perfil y = f(x)en el plano XY. En b) se muestra una aproximación a la superficie mediante discos apilados.


solución

Considera primero una partición del eje y en n pequeños subintervalos (y0 = 0, y1), (y1, y2),…, (yn−1,yn = 50). Para cada subintervalo podemos formar un disco de área transversal A y grosor dy. Observala figura 3.59b. Cada disco tiene una masa dm dada por

dm = ρdv = ρAdy

donde ρ es la densidad del disco. De acuerdo con la definición de trabajo y el resultado del inciso a)del ejercicio anterior, el trabajo hecho para elevar el disco una altura y es:

dW = gydm = gyρAdy

Como el área del disco está dada por A = πx2, tenemos que el trabajo se reduce a:

dW = gyρπx2dy

En el lado derecho de esta expresión aparecen las variables x y y. Si queremos calcular el trabajo total,necesitamos reescribirlo sólo en términos de la variable y. Para ello recordemos que:

Así,

x2 = 2500 − 50y

Usando este resultado, obtenemos

dW = gρπ (2500y − 50y2)dy

El trabajo total se obtiene integrando la relación anterior. Obtenemos, entonces,

Un valor típico de la densidad de una montaña es ρ = 3500 kg/m3. Así,

W = 1.12246 × 1011 joules

W g y y dy

g y y

= −

= −⎛⎝⎜

⎞

∫ ρπ

ρπ

( )2500 50

125050

3

2

0

50

2 3

⎠⎠⎟

= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

0

50

3125000

3gρπ

yx

= − +2

5050

Sección 3.3.6 Fuerza y presión

Al observar el agua retenida en una presa, quizás te habrás preguntado ¿cuál es la fuer-za que debe soportar la cortina de la presa? Para responder esta pregunta, necesitamosrecordar primero algunos principios básicos de la estática de fluidos.

Considera un recipiente lleno de agua y un pequeño elemento de volumen; por ejemplo,un cubo pequeño con áreas laterales A y lado h, como se muestra en la figura 3.60.Observa primero que la fuerza F ejercida por el fluido es perpendicular a las paredes delcubo en todos los puntos. Más aún, la presión P que ejerce el fluido sobre cada una delas caras se relaciona con la fuerza y el área lateral mediante:

Otra característica de la presión es que dentro del líquido varía con la altura. En efecto,para mantener en equilibrio el cubo, según el diagrama de cuerpo libre del cubo en la fi-gura 3.60b, se necesita que

F = F0 + mg

Usando el resultado previo y considerando que la masa del cubo está dada por: m = ρhA,obtenemos

PA = P0 A + ρhAg;

P = P0 + ρgh;

Si el cubo tiene su cara superior en la interfase entre el aire y el líquido, podemos inter-pretar P0 como la presión atmosférica; y P como la presión a la altura h. Observa ahora quela fuerza que ejerce el agua sobre el contenedor depende sólo del término ρgh y no de P0.Esto se debe a que del otro lado del contenedor se aplica una fuerza exactamente iguala F0 = P0 A. En este caso, determinamos la fuerza total ejercida sobre el contenedor calcu-lando primero la fuerza dF que ejerce el fluido sobre cada pequeña área superficial dA = Ddhde grosor dh y ancho D = D(h) a una altura h usando dF = (P − P0)dA = ρghDdh y, des-pués, integrando esta última expresión, es decir:

PF

A=


F =P0A

mg + F0 = PA

b)a)

FIGURA 3.60: En la figura a) se muestra un recipiente con agua; el cubo repre-senta un elemento diferencial de agua. En b) se muestra el diagra-ma de fuerzas sobre el elemento de agua.

Fuerza ejercida sobre la pared vertical de un contenedor

(3.22)F P P dA ghDdhH H

= − =∫ ∫( )00 0

ρ

Observa que, en general, el ancho D es función de la variable h. En la figura 3.61 semuestra una cortina rectangular de una presa donde el ancho D es constante.


z

HD

h

dh

x

y

FIGURA 3.61: Sobre la cortina de una presa se ejercen fuerzas debidas al agua que contiene.

Estamos ahora en posibilidad de responder la pregunta inicial de este apartado. Para ello,nuevamente consideremos la figura 3.61. La fuerza es, entonces, para una cortina cua-drada de altura H y ancho D:

F P P dA ghDdhgDh gDHH H

h

h H

= − = = =∫ ∫=

=

( )00 0

2

0

2

2 2ρ ρ ρ

Ejemplos

Ejemplo 3.29

La Presa del Infiernillo (Michoacán) se construyó entre 1961 y 1966, y es una maravilla de la ingenie-ría mexicana del siglo XX. Para construirla se necesitó llenar un vaso de 12,000 millones de metros cú-bicos de agua, usando el caudal de los ríos Tepalcatepec y Balsas. La cortina de la presa es una enor-me pared trapezoidal de concreto y piedra, que tiene 600 metros de base, 340 metros en su parte supe-rior y 150 metros de altura. ¿Cuál será la fuerza que sienta la cortina a causa de que debe contener elagua?


solución

Para resolver el problema necesitamos determinar la relación que guardan las variables D y h. Supónque hay una relación lineal entre ellas, dada por D(h) = a + bh. Tenemos dos condiciones que se debencumplir: D(0) = 340 m y D(150) = 600 m. Sustituyendo esos datos en la relación, se obtiene el sistemade ecuaciones

340 = a600 = a + 150b

cuya solución es

a = 340 y b = 26/15

Finalmente, tenemos que

Usando la relación 3.22 se obtiene la fuerza sobre la cortina

Sustituyendo los datos H = 150 m, ρ = 1000 kg/m3, g = 9.8 m/seg2, obtenemos la fuerza sobre la cortina.

F = 5.6595 × 1010 Newtons

F ghDdh gh h dh ghH H

= = +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=∫ ∫ρ ρ ρ0 0

2

34026

15

340

22

26

45170

26

45

3

0

23

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

=h

g HH

h

h H

ρ

D h h( ) = +34026

15

z

600 m

D

h

dh

x

y

150 m

340 m

a)

b)

FIGURA 3.62: En a) se muestra parte del río Balsas que llega a la Presa del Infiernillo en el estado de Michoacán.En b) se muestra la forma trapezoidal de la cortina.


1. Determina la longitud de las curvas siguientes en los intervalos dados.

a) ; [1, 8]

b) ; [−2, 2]

c) ; [ln(2), ln(4)]

d) ;

e) y = 2ln(cos(x/2)); [0, 2π/3]

f ) ;

g) ;

h) ; [1, 4]

i) ; −2 ≤ x ≤ −1

j) ; y ∈[0, 4]

k) ; y ∈[1, 2]

l) x2/3 + y2/3 = 16; 0 ≤ x ≤ 64

xy

y= +

4

28

1

4

x y= +1

322 3 2( ) /

y t dtx

= −−∫ 3 14

2

y xx

= +1

7

1

37 2

3 2/

/

1

22,⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

yx

x= +

3

6

1

2

1

41,⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

yx

x= +

4

24

1

8

π π16

3

16,⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

y x=1

44ln( ( ))sen

ye

e

x

x=+−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

ln1

1

y e ex x= + −1

126 6( )

y x= +3

293 2/

2. Determina el área superficial del sólido de revolución, que se obtiene al girar la curva y = f(x) alrededordel eje indicado, en el intervalo dado.

a) ; ; eje x

b) ; 1 ≤ x ≤ 5; eje x

c) ; 0 ≤ x ≤ 2; eje x

d) ; 0 ≤ x ≤ r; eje x

e) ; ; eje x

f ) ; 1 ≤ x ≤ 4; eje x

g) y = sen(x); 0 ≤ x ≤ π; eje x

h) ; 0 ≤ x ≤ 2; eje x

i) y = x2; 0 ≤ x ≤ 1; eje x

j) ; 0.5 ≤ x ≤ 1.5; eje x

k) x2/3 + y2/3 = 16; 0 ≤ y ≤ 64; eje y

l) ; 0 ≤ y ≤ 1; eje y

m) ; 1 ≤ y ≤ 3; eje y

n) ; ; eje y

o) ; ; eje y

p) ; 1 ≤ y ≤ 2; eje y

q) ; 0 ≤ x ≤ r; eje yyh

rx=

xy

y= +

4

24

1

8

58 1≤ ≤yx y= −2 1

0 154≤ ≤yx y= −2 4

x y y= −1

33

21

2( )

xy

=3

3

y x x= −2 2

yx

=3

9

yx

x= +

4

216

1

2

01

3≤ ≤xy x x= +

1

31 2 3 2/ /

y r x= −2 2

y x=1

33cosh( )

y x= + 1

34

154≤ ≤xy x=

Sugerencia: escribe x como función de y.


r) y = 4 − x2; 0 ≤ x ≤ 2; eje y t) ; ; eje y

s) ; ; eje x

3. Determina la masa (en kilogramos) de un alambre que tiene la forma de la curva y = f(x) (medida enmetros) en el intervalo indicado y con la densidad de masa proporcionada (en kilogramos por metro).

0 2≤ ≤xy x= +1

322 3

2( )

0 2≤ ≤xy x= +1

322 3

2( )

a) y = 5x + 1, 0 ≤ x ≤ 2, ρ(x) = x + 3

b) y = x2, 0 ≤ x ≤ 3, ρ(x) = 2x

c) y = x3/2, 0 ≤ x ≤ 9, ρ(x) = x

d)

e) y = cosh(x), −2 ≤ x ≤ 2, ρ(x) = 1 + 2x2

yx

xx x x= + ≤ ≤ =

4

216

1

21 4 4, , ( )ρ

4. Determina el centroide de las siguientes figuras geométricas (24a a 24f) usando integración.

y

y = 2x + 3

x

8

64

2

1 0.521.5-0.5 0.5 x

2

–2 –1 1 2

8

6

4

y = 2x2 + 1

y

x

y

x2 + y2 = 4

2

2.52

3

3

1

1.51

0.5

0.5

–1–1–2–3

y

y = x

y = x2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

10.80.60.40.2x

y = x2

x

y4

3

2

2

1

10.5 1.5x

y

34

21

y = 4 – x2

21–1

–1–2

5. Determina el momento de inercia Iy del sólido que se obtiene al girar las regiones de las figuras 3.64aa 3.64f alrededor del eje y. Supón que la densidad volumétrica de masa de los sólidos obtenidos es uni-forme e igual a 1 kg/m y que las distancias están en metros.

a) b) c)

d) e) f )

FIGURA 3.63: Regiones planas del ejercicio 4.


6. La región cuadrada con vértices (0, 5), (5, 0), (10, 5) y (5, 10) se hace girar alrededor del eje x para ge-nerar un sólido. Calcula el volumen y el área de la superficie del sólido.

7. Determina el volumen y el área superficial del sólido generado al hacer girar la circunferencia(x − 2)2 + y2 = 1 alrededor del eje y; a este sólido se le conoce como “toro”.

8. Considera la curva definida por la función f(x) = cosh(x) en el intervalo [0, 5]. Determina:

a) La longitud de la curva

b) El área bajo la curva

c) El volumen del sólido de revolución que se forma al girar la curva alrededor del eje x

d) El área superficial de este sólido de revolución

9. Repite el ejercicio anterior con la función y = 1/x en el intervalo [1, 4].

10. Un cable de forma parabólica se sostiene entre las torres de soporte de un puente, como se muestra enla figura 3.65. Determina la longitud del cable y las coordenadas del centro geométrico.

x

y

3

3

2

2

1

1–1–1

6

6

5

5

4

4

y = 5 – x

y

y = 2x

y = 101210

68

4

4

2

2–2 –2–1 1 3 5 6

4

x2.51.5 2

2

1–1

1

3

3

0.5–0.5

6y

5 y = 4

y = x2

2.52 31.50.5 1–0.5–1

y = 8 – x2

y = 4

8

10y

6

4

2

x

y

1.5

3

1

2

0.5

1–1

–1

2.52 y = 4 – x2

–0.5 0.8

2

3

0.60.2 10.4

1 y = 4 sen x

5y

4y = 4 cos x

x

xx

–1

a) b) c)

d) e) f )

FIGURA 3.64: Regiones planas del ejercicio 5.


11. La Compañía Federal de Electricidad (CFE) planea suministrar energía eléctrica a una comunidad de lamontaña en el estado de Guerrero, distante 20 kilómetros del centro de distribución. El cable quedarásuspendido entre tramo y tramo por dos torres fijas, ubicadas entre sí a una distancia de 100 metros.Supón que un cable típico con soportes en x = −50 m y x = 50 m tiene una ecuación y = 80 cosh(x/80).Determina el costo de cableado para esta obra, si se sabe que el costo por kilómetro es de $35,000.

12. De acuerdo con la ley de gravitación universal, una partícula de masa M posicionada en el origen ejerceuna fuerza de atracción sobre otra partícula de masa m que se encuentra en el punto (x, 0), con una fuer-

za dada por . Si la segunda partícula se encuentra en x = b y parte del reposo, determina el

trabajo realizado sobre ella cuando llega al punto x = a, por comodidad supón que 0 < a < b.

13. La Gran Pirámide de Egipto tiene una base casi cuadrada de 230 metros de lado y una altura de 122metros. ¿Cuál fue el trabajo realizado por los antiguos egipcios, requerido para levantar la pirámide?

14. Una montaña de forma parabólica tiene una altura de 500 metros y un radio en la falda de 700 metros.Determina el trabajo necesario para levantar la montaña.

15. Un volcán de forma cónica tiene un radio de metros. Donde h es la altura medida con

respecto a la falda de la montaña. Si la altura del volcán es de 3000 metros, determina la energía totalnecesaria para levantarlo.

16. Un tanque de forma cilíndrica de altura h = 1.4 m y radio r = 0.80 m se encuentra lleno de agua. De-termina el trabajo necesario para bombear el agua a una altura 2 metros arriba de donde termina el tanque.

17. Un tanque cilíndrico mide 2 metros de altura y 0.8 metros de radio. El tanque se llena bombeando aguadesde un río que se encuentra 5 metros debajo de la parte inferior del tanque. ¿Cuál será el trabajo ne-cesario para llenar el tanque?

18. En la colonia Peñitas en Tlalnepantla hay un depósito esférico de agua que suministra el vital líquidoa la zona. Dicho depósito tiene 4 metros de radio y está colocado 10 metros sobre el suelo. Con el pro-pósito de conocer la potencia mínima de las bombas que deben llevar el agua a dicho depósito, se re-quiere conocer el trabajo necesario para llenarlo de agua desde la superficie del terreno. Calcula dichotrabajo. ¿Qué trabajo resulta si sólo estuviéramos interesados en llenar el depósito hasta el 75% de sucapacidad?

rh

=+

10

500

5

FGMm

x= 2

FIGURA 3.65: Cable de forma parabólica del ejercicio 10.

120 m

40 m

x

y


19. Un contenedor de agua se obtiene girando, alrededor del eje y, el área limitada por la curva y = x2, des-de y = 0 hasta y = 4 metros.

a) Determina el área de la superficie y el volumen del tanque.

b) Calcula el trabajo realizado para llenar el tanque con agua.

c) Determina el trabajo necesario para vaciar el tanque bombeando el agua a la parte superior del tanque.

20. Un depósito semiesférico de radio 5 m está lleno y el agua se bombea a una altura de 4 m por encimade la parte superior del depósito. Determina el trabajo necesario para subir toda el agua a la altura dada.

21. La presa Chicoasén ubicada en el estado de Chiapas tiene un ancho de aproximadamente 700 metros yuna profundidad máxima de 350 metros (véase la figura 3.66). Determina la fuerza que ejerce el aguasobre la cortina de la presa, si se supone que:

a) la cortina es rectangular.

b) la cortina es parabólica.

c) la cortina es un arco de círculo.

dhh

D

x

FIGURA 3.66: En a) se muestra el perfil de la presa con cortina cilíndrica. En b) se muestra una fotografía de la presaChicoasén.

a)

b)


22. La cortina de una presa es una enorme pared trapezoidal de concreto y piedra que tiene 200 metros debase, 400 metros en su parte superior y 175 metros de altura. Observa la figura 3.67. ¿Cuál es la fuer-za que siente la cortina debida a que debe contener al agua?

dh

h

D

x

zH

y

FIGURA 3.67: Cortina trapezoidal de una presa corres-pondiente al ejercicio 22.

23. Un camión transporta leche en un tanque con forma de cilindro circular recto horizontal de radio ry largo h. Determina la fuerza que ejerce la leche sobre cada extremo cuando el tanque:

a) está completamente lleno.

b) está lleno al 50% de su capacidad.

24. Los extremos verticales de un abrevadero son cuadrados de dos metros por lado.

a) Determina la fuerza del fluido contra los extremos cuando el abrevadero está lleno de agua.

b) ¿Cuántos metros debe bajar el nivel del agua en el abrevadero, para reducir en 25, 50 o 75% la fuerzadel fluido?

25. Los extremos verticales de un abrevadero son triángulos isósceles de base b = 1.2 metros y alturah = 1.5 metros. Observa la figura 3.68.

a) Determina la fuerza del fluido contra los extremos cuando el abrevadero está lleno.

b) ¿Cuántos centímetros debe disminuir el nivel del agua del abrevadero para que la fuerza del fluidose reduzca a la mitad?

dh

x

z

y

1.5 m

1.2 m

FIGURA 3.68: Abrevadero con extremos en forma de triángulo isósceles.



26. Una placa cuadrada delgada gira en torno a una de sus aristas tres veces por segundo. La longitud decada arista es de 4 metros y la densidad de la placa es de 3.8 kilos por metro cuadrado. Encuentra laenergía cinética total de la placa.

27. En problemas de tiempo de espera se utiliza la función de densidad de probabilidad gamma

, donde λ es el número promedio de éxitos por unidad de tiempo y n es el número de

éxitos y t el tiempo. Supón que en promedio entran λ = 3 personas cada minuto a una tienda departa-mental. Determina la probabilidad de que después de abrir la puerta:

a) transcurran más de dos minutos para que entre la segunda persona (n = 2).

b) pasen entre tres y diez minutos para que entre la tercera persona (n = 3).

28. Supón que la función de densidad de probabilidad para el tiempo de vida activa de los componenteseléctricos elaborados por cierta compañía es f(t) = 0.03e−0.03t, donde t representa el tiempo de vida ac-tiva, medido en meses, de un componente seleccionado al azar.

a) Determina la probabilidad de que el tiempo de vida activa de un componente seleccionado al azaresté entre 20 y 30 meses.

b) Calcula la probabilidad de que el tiempo de vida activa de un componente seleccionado al azar seamenor a 10 meses.

f tt e

n

n n t

( )( )!

=−

− −λ λ1

1

Con tu equipo de trabajo analiza y resuelve las siguientes situaciones.

1. La pirámide del Sol

2. Jarrones de barro

FIGURA 3.69: Juan, el alfarero de la situación “Jarrones de barro”.


Juan el alfarero recibió un pedido para elaborar 100 jarrones de barro. Para construirlos uti-lizará el método tradicional de alfarería, girando una masa de barro y obteniendo el jarróncomo la superficie de un sólido de revolución. Supón que el perfil del jarrón está dado por:

Donde x y y se miden en centímetros.

a) Determina el área superficial de cada jarrón (lateral y base) y el volumen que puedencontener.

b) Juan necesita marcar el jarrón cuando el contenido sea de 0.5 y 1 litros. ¿En qué valoresde x debe colocar las marcas?

c) Si el grosor debe ser menor que 0.5 cm, ¿cuál será la cantidad de material que necesitaJuan para elaborar 100 jarrones?

3. El Paricutín

f x

x x x

x( ) =

− + + ≤ ≤

≤ ≤

139

3990

5161

79802 0 20

1 20

2 si

si 224

112

24 26

0

− + ≤ ≤

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

xxsi

otro lado

FIGURA 3.70: Fotografía del Paricutín de Rafael Estévez, 1943.

“Verdaderamente fue un espectáculo único, digno de verse, imponente, majestuoso y fan-tástico: el nacimiento del Paricutín”. Eso narraba mi abuelo observando a lontananza la to-rre hundida de la iglesia que él conociera de niño. A las cinco de la tarde del 20 de febre-ro de 1943, se abrió una grieta de 15 metros orientada de este a oeste. De repente, empezóa salir humo negro acompañado de fuertes ruidos, y a las nueve de la noche comenzaronlos inolvidables fenómenos luminosos. Al día siguiente las explosiones fueron tremendasy ensordecedoras, con lanzamiento de piedras candentes y lava semifluida, y el cono alcan-zó entre 6 y 7 metros de altura por 20 metros de diámetro en su base. Para el mes de junio,el volcán tenía más de 300 metros de alto, el diámetro de la base medía 1,100 metros y elcráter tenía un perímetro cercano a los 1,300 metros. Incrédulo alguna vez, le pregunté:“¿Tuviste miedo?” “Mucho”, me contestó. No entendía qué estaba pasando ni se podía


Después él seguía con su narración. “En las noches, el Paricutín presentaba su máxima fas-tuosidad y se bañaba de luces, reflejos y llamas de colores carmín, púrpura, tonos de oro yescarlata. Mis amigos y yo, impotentes ante esas fuerzas desatadas de la naturaleza, pare-cíamos vivir en una época remota, caracterizada por derrames de fuego interno, de gran-des peligros e inmensa atracción”. Sin creerle todavía, mi abuelo aseguraba con firmezaque aquellos que se animaban a visitar el Paricutín encendían sus cigarros a la vera del ca-mino, en las piedras encendidas que manaban del volcán. “¡Así fue!”, me decía. “La emi-sión de cenizas alcanzó la ciudad de México y su volumen fue impresionante”. “¿Cuán-ta?”, le preguntaba nuevamente con la boca y los ojos abiertos. Y él adoptaba el papel deun gran maestro y sacaba unas hojas raídas por el tiempo, escritas por los geólogos de laépoca, donde sólo se alcanzaba a leer: “El grosor de la capa de ceniza emitida decae expo-nencialmente y a una distancia de 30 kilómetros se estima que es …” y sin dejar que lastomara nuevamente las guardaba.

Retomaba un poco después la palabra y me decía: “Lo recuerdo como si fuera ayer”. Laemisión de lavas del Paricutín cesó repentinamente el 25 de febrero de 1952. Cuando yacumplía el noveno año de actividad; las explosiones en el cráter declinaron el mismo día yla actividad continuó solamente con soplos débiles hasta el 4 de marzo, cuando finalmen-te enmudeció. La altura del volcán para ese entonces alcanzaba los 424 metros sobre la lla-nura que lo vio nacer. Había desaparecido mi pueblo San Juan Parangaricutiro; y mi tío,Dionisio Pulido, era el único dueño del volcán. Y así él terminaba de contar.

Preguntas:

a) ¿Cuánto trabajo gravitacional se necesita para levantar un montecillo como el cono del pri-mer día?

b) ¿Y cuánto para levantar el cono trunco del mes de junio?

c) Determina el trabajo necesario para levantar el volcán final.

d) Si se supone que la profundidad de la ceniza a una distancia de x kilómetros del Paricutínes Ae−kx, donde A y k son constantes positivas, encuentra una expresión para el volumen to-tal de ceniza que cayó dentro de una distancia b del volcán.

FIGURA 3.71: Erupción en el Paricutín, Gerardo Murillo (Dr. Atl), 1943.

imaginar la energía que desplegaba día a día la naturaleza para formar el volcán. “¿Cómocuánta fue?”, le preguntaba admirado y él callaba absorto en sus recuerdos.


Autoevaluación

1. Indica la opción que contiene la longitud de la curva desde x = 0 hasta x = 5.

a) L = 18 b) L = 19/3 c) L = 38/3 d) L = 55

2. Calcula el área superficial del sólido de revolución que se obtiene al girar la curva y = x + 1 al-rededor del eje x desde x = 1 hasta x = 5.

a) L = 3π b) L = 32π c) d)

3. Determina el trabajo que hace la fuerza sobre una partícula de masa m desde

x = 0 hasta x = 5.

a) W = 25/36 J b) W = 65/36 c) W = ∞ d) W = 25/18

4. Determina las coordenadas del centroide de la figura 3.72.

Fx

=+5

4 2( )

L = 32 2πL = 8 2π

y x= +2

33 3 2( ) /

y

y = x

0.2

0.8

1

0.4

0.6

0.2 0.8 10.4 0.6x

y = x3

FIGURA 3.72: Área plana del ejercicio de la autoevaluación 4.

a) xgeom = 1/2; ygeom = 4/21

b) xgeom = 8/15; ygeom = 8/21

c) xgeom = 1/2; ygeom = 36/105

d) xgeom = 8/15; ygeom = 36/105

5. Considera la curva definida por . En la columna B encuentre las respuestas de

las preguntas que se hacen en la columna A.

Columna A Columna B

y x=1

22cosh( )

a) Longitud de la curva desde x = 0 hasta x = 1

b) Área bajo la curva desde x = 0 hasta x = 1

c) Volumen del sólido de revolución que se obtiene al gi-rar el área bajo la curva desde x = 0 hasta x = 1

d) Área de la superficie del sólido de revolución del in-ciso c)

e) Coordenada xgeom del centroide de la figuraplana del inciso b)

i. 0.2938

ii. 0.7427

iii. 1.4855

iv. 0.5876

v. 1.1752

vi. 6.1438

vii. 12.2875

viii. 3.07188


Respuestas a los


1.

a) 33.2402

b) 27125.8

c) 0.916291

d) 0.440687

e) 2.63392

f ) 2.12402

g) 2.0625

h) 18.4345

i) 4.04145

j) 25.3333

k) 2.0625

l ) 96

2.

a) 29.3215

b) 51.3127

c) 14205.1

d) 2πr2

e) 0.634188

f ) 813.854

g) 14.4236

h) 3.80094

i) 3.80973

j) 6.28319

k) 15441.6

l ) 0.638241

m) 7.63303

n) 81.9562

o) 2.99684

p) 51.8823

q)

r) 36.1769

s) 24.554

t) 12.5664

πr r h2 2+

3.

a) 40.7922 kg

b) 37.3437 kg

c) 151.625 kg

d) 207.600 kg

e) 34.1032 kg

4.

a) (1, 5)

b) (0, 4.86359)

c) (0, 4/π)

d) (0.5, 0.4)

e) (1.5, 1.2 )

f) (0, 1.6)

5.

a) 981.748

b) 1963.5

c) 33.5103

d) 33.5103

e) 26.8083

f ) 0.523364

6.

7. V = 6π 2, S = 12π 2.

8.

a) 74.2032 b) 74.2032 c) 8657.63 d) 17315.3

9.

a) 3.15018 b) 1.38629 c) 2.35619 d) 9.41724

10. L = 149.438; xgeom = 0; ygeom = 15.2867

11. costo = $ 746,471.00

V S= =500 200 2π π,


12.

13. W = 2.78541 × 109 ρ joules, donde ρ es la densidad de las piedras

14. W = 6.2858 × 1011 ρ joules, donde ρ es la densidad de la montaña

15. W = 6.24079 × 1014 ρ joules, donde ρ es la densidad del volcán

16. W = 74481.4 joules

17. W = 236449 joules

18. Wt = 3.67809 × 107 joules; si sólo se llena hasta el 75%, entonces W75% = 2.60619 × 107 joules

19.

W GMma b

= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1 1

a) V = 25.1327 m3; S = 36.1769 m2

b) W = 656802 joules

c) W = 328401 joules

20. W = 862053 joules

21.

a) V = 4.20175 × 1011 joules

b) V = 2.24093 × 1011 joules

c) W = 2.80117 × 1011 joules

22. V = 4.00167 × 1010 joules

23.

24.a) W = 39200 joules

b) Se deben reducir , respectivamente

25.a) W = 4410 joules

b) Se deben reducir 0.309449 metros

26. Ec = 1459.2 joules

27.a) Prob. = 0.0173513

b) Prob. = 0.0062322

28.

a) Prob. = 0.142242

b) Prob. = 0.259182

h h h= − = − =2 3 2 2 1m; m; m

Fg r

Fg r

t mitad= =π ρ ρ3 3

2

2

3;



1. c) 2. d) 3. a) 4. b) 5. (a, iv.); (b, i.); (c, viii.); (d, vii.); (e, iii.)

Referencias

1. Sears, F., Zemansky, M. Young, H. y Freedman, R., Física universitaria, 11a. ed., México, PrenticeHall, 2004.

2. Resnick, R., Halliday, D. y Krane, K., Física, 5a. ed., México, CECSA, 2002.3. Hibbeler, R., Estática, 10a. ed., México, Prentice Hall, 2004.4. Nagle, K., Saff, E. y Zinder, A., Ecuaciones diferenciales, 4a. ed., Prentice Hall, México, 2005.

343

Unidad

Formas indeterminadas e integral impropia


4.1 Formas indeterminadas

4.2 Integrales impropias

4.1 Formas indeterminadas

Al infinito y más allá.

Buzz Lightyear, en Toy Story

¿Por qué vuelan los aviones?

Manuel Ojeda es un joven egresado de la carrera de diseño industrial que jamás se imaginó que trabajaría pa-ra una empresa aeronáutica; pero como la vida tiene sorpresas, de pronto se vio envuelto en tareas de diseñoy mantenimiento dentro de la industria de las aves de acero. Como él mismo relata, durante sus primerassemanas de trabajo se requería conocer sus aptitudes y capacidad de adaptación a la compañía, por lo queen ese tiempo, su jefe le pidió que leyera el siguiente artículo y, después, respondiera los cuestionamientosindicados en una nota aparte y que estaban relacionados con una curva conocida como línea de sostén.Transcribimos el artículo en cuestión.

344 Unidad 4: Formas indeterminadas e integral impropia

x

y

y = f(x)

a)

c)

b)

Extrado Línea de sostén

Intrado

Línea de sostén

Baja presión

Alta presión

Alta velocidad

Baja velocidad

Vientorelativo

FIGURA 4.1: Línea de sostén del perfil de una ala de avión.

¿Por qué vuelan los aviones?

Un objeto plano, en posición ligeramente inclinada hacia arriba —contra elviento—, produce sustentación; por ejemplo, un cometa. Un perfil aerodinámi-co es un cuerpo diseñado para aprovechar al máximo las fuerzas que se origi-nan por la variación de velocidad y presión, cuando se sitúa en una corriente deaire. Una ala es un ejemplo de diseño avanzado de perfil aerodinámico: produ-ce un flujo de aire proporcional a su ángulo de ataque (a mayor ángulo de ata-que, mayor será el estrechamiento en la parte superior del ala) y a la velocidadcon que ella se mueve respecto de la masa de aire que la rodea; de este flujo deaire, el que discurre por la parte superior del perfil tendrá una velocidad mayor(efecto Venturi) que el que discurre por la inferior. Esa mayor velocidad impli-ca menor presión (teorema de Bernoulli). Tenemos, pues, que la superficie su-perior de este objeto soporta menos presión que la inferior. La diferencia de pre-siones produce una fuerza aerodinámica que empuja al ala de la zona de mayorpresión (abajo) a la zona de menor presión (arriba), de acuerdo con la terceraley del movimiento de Newton. Pero, además, la corriente de aire que fluye amayor velocidad por encima del ala, al conjuntarse con la que fluye por debajo,deflecta esta última hacia abajo, lo cual produce una fuerza de reacción adicionalhacia arriba. La suma de estas dos fuerzas se conoce como fuerza de sustenta-ción y es lo que mantiene al avión en el aire.

(Véase: http://www.inicia.es/de/vuelo/PBV/PBV12.html)

En la descripción anterior Manuel pudo leer que el diseño del ala de un avión esuna parte fundamental para lograr la fuerza de sustentación. Luego, leyó la notaque su jefe le había dejado. “Manuel, supón que ya integras el equipo de diseñode aeronaves, e imagina que en los manuales encontraste una expresión, lamen-tablemente borrosa, que indica que la línea de sostén es una función de la formay = f (x) que satisface una ecuación diferencial de la forma

; y(0) = y(p) = 0

donde p es la profundidad del perfil, cs es el coeficiente de sustentación y t unaconstante de ajuste. Te pido que precises la curva descrita y que, una vez hallada,observes si su forma tiene la apariencia que se muestra en los esquemas del ala(véase la figura 4.1b). Sobra decir la importancia que tiene, pues de ello depen-de la correcta unión entre el extrado, la parte superior del ala comprendida entrelos bordes de ataque y salida, y el intrado, la parte inferior del ala comprendidaentre los bordes de ataque y salida (véase nuevamente la figura 4.1b). Espero turespuesta a mi regreso en la próxima semana”.

La historia terminó felizmente para Manuel, pues logró hallar la citada curva.Con tu equipo de trabajo, realiza el mismo ejercicio.

dy

dx

c x

t

x

ps= −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

41

πln ln

3454.1: Formas indeterminadas

Introducción

Uno de los conceptos que han enamorado, seducido e, incluso, confundi-do a los matemáticos de todos los tiempos es el de infinito. En el ámbitopopular, “el infinito” o “lo infinito” se considera como el lugar al que nun-ca se puede llegar o aquello que encierra la idea de lo que no tiene fin; es-tos pensamientos, en el mejor de los casos, resultan inciertos y vagos. Enlas ciencias y la ingeniería, no siempre se tiene mayor claridad sobre loque dicho ente significa, de modo que entre sus usuarios no faltan quieneslo usan en sus cálculos como si fuera un número común y corriente —conlos riesgos que esto conlleva para las interpretaciones y los resultados. Sibien es cierto que la conceptualización de infinito es tanto matemática co-mo filosófica, y que le ha llevado al hombre siglos de esfuerzo llegar a unacomprensión razonable, su aplicación en la resolución de situaciones realeses invaluable. Por ello, aunque dejaremos de lado su definición, revisaremosformas matemáticas que lo utilizan y estableceremos que este concepto de-be tratarse con el debido cuidado. En primer lugar, veremos en esta secciónformas matemáticas a las que llamaremos indeterminadas; éstas se presentancuando la variable independiente provoca en la función un comportamientono definido que deberá precisarse por el estudio de su tendencia, es decir,de su límite. La denominación indeterminada no es sinónimo de inexistente;se les llama así porque es imposible asignar un valor a priori que las represen-te en su conjunto y sólo puede decirse algo de ellas cuando se les trata demanera particular.

Sección 4.1.1 Formas indeterminadas y la regla de L’Hopital

El análisis de modelos matemáticos, físicos, químicos, mecánicos, económicos, entremuchos otros, exige el manejo de formas indeterminadas frecuentes; sin embargo, comovimos, el comportamiento de las formas indeterminadas es incierto, por lo que se requie-re un análisis más profundo de la situación y de la función que se trabaja.

Las formas indeterminadas más frecuentes tienen el siguiente aspecto que se genera—si cabe la expresión— por evaluación directa:

Las formas indeterminadas requieren de un análisis cuidadoso de la función que seanaliza, pues en caso contrario podrían generarse interpretaciones erróneas. Por ejemplo,piensa en la emisión de un rayo láser sobre dos rendijas en un campo lejano; una partese difracta y otra emerge de las dos rendijas, lo cual produce una radiación que se trans-mite al otro lado (véase el arreglo experimental de este ejemplo con una rendija de di-fracción y un láser de helio neón en la figura 4.2).

0

00 1 00, , , . , , ,

±∞±∞

∞ ± ∞ ∞ ∞∞ ∞


Objetivos


• Identificar las formas indeterminadas

• Utilizar la regla de L’Hôpital en la elaboración de formas indetermi-

nadas del tipo

• Transformar diversas formas indeterminadas a las del tipo ±∞±∞

,0

0

0

0,±∞±∞

0

00 1 00, , , . , , ,

±∞±∞

∞ ± ∞ ∞ ∞∞ ∞

FIGURA 4.2: Experimento de una rendija al hacer incidir un haz láser.

Se sabe que a distancias mucho mayores que el tamaño de la rendija, la expresión queaproxima la intensidad de radiación de un rayo láser que sale por las dos aberturas es

I Ia

ak( )

( ),θ θ

θ= ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟o

sen 2

donde:

I es la intensidad de radiación respecto del ángulo de observación

θ es el ángulo de observación de la radiación

a y k son constantes de parámetros opto-geométricos

Intuitivamente, decimos que la intensidad luminosa es la magnitud de la densidad deenergía que se focaliza hacia cierta dirección del espacio. Cuando graficamos la funciónI = I(θ) obtenemos la curva de la figura 4.3, que nos muestra cómo cambia la intensidadde radiación, en función del ángulo de observación.


1

0.8

10 20−20 −10

I

θ

0.6

0.4

0.2

FIGURA 4.3: Intensidad de la radiación en función del ángulo de observación θ (modelo aproximado).

En las figuras 4.4 y 4.5 se muestra la intensidad de la radiación que sale de las rendijascuando se hace incidir un rayo láser. Nota la gran similitud del modelo experimental enla figura 4.5 y el generado por el modelo teórico que lleva a la gráfica de la funciónen la figura 4.3.

FIGURA 4.4: Distribución de intensidades en elpatrón de difracción.

FIGURA 4.5: Intensidad de radiación en campo lejanode un haz incidente sobre dos rendijas(resultados experimentales).

–1 –0.00001601 0.999968 1.99995 2.99994 3.99992

1.99975

1.19985

0.29995

–0.39995

–1.19985

–1.99975

1.99975

1.19985

0.29995

–0.39995

–1.19985

–1.99975

| 3 |2

0.65

–1 –0.00001601 0.999968 1.99995 2.99994 3.99992

Como se ve en los datos experimentales (figura 4.5) y en el desarrollo aproximado (fi-gura 4.3), si el ángulo de observación del haz es igual a 0, la intensidad de radiación re-sulta continua y, de hecho, se localiza un modo principal de la luz en θ = 0, es decir, unadirección en la cual existe una concentración de la radiación. Pero, ¿qué sucede con

la expresión cuando el ángulo es θ = 0? Si tomas en cuenta la

expresión dentro del paréntesis y el límite cuando θ → 0, descubrirás que la expresión

toma la forma “ ”, indeterminada. Es decir, la expresión analítica muestra una forma

indeterminada que no genera ninguna información. De acuerdo con ello, no sería posibledefinir la ordenada de la intensidad del haz incidente cuando el ángulo sea θ = 0 radianes(por la sencilla razón de que la función no está definida ahí). Sin embargo, el experimentomuestra que la función de intensidad del haz incidente cuando θ= 0, sí está definida.

Así, para la determinación del valor que corresponde a una forma indeterminada nopodemos proceder por “evaluación directa”; al contrario, tendrás que estudiar el conceptode límite, que discutimos ampliamente en la unidad 3 del libro de cálculo diferencial(véase la referencia bibliográfica núm. 4), donde en particular hallará una demostraciónformal del siguiente hecho:

De este resultado obtenemos que

Entonces, la forma indeterminada no presenta ningún obstáculo para obtener infor-mación de nuestro modelo.

Sección 4.1.2 La regla de L’Hopital

Alumno de grandes matemáticos de su época como Johann Bernoulli y Gott-fried Leibniz, al matemático francés Guillaume François Antoine se le cono-ce más como Marqués de L’Hôpital (1661-1704). Se le atribuye la confor-mación del primer libro de cálculo, obra que realizó al recopilar las notas desus maestros. En su libro L’Analyse des Infiniment Petits pour l’Intelligencedes Lignes Courbes (Análisis de los infinitamente pequeños para el entendi-miento de las líneas curvas) desarrolla el método que permite trabajar las for-

mas indeterminadas del tipo y .

En la unidad 7 del libro de Cálculo Diferencial (de Prado et. al. [2006]), sedemuestra la regla de L’Hôpital. Aunque ésta sólo se aplica a las formas

indeterminadas básicas del tipo y , en este capítulo veremos cómo

cambiar cualquier otra forma indeterminada en alguna de las del tipo básicoseñaladas, por lo tanto, el teorema de L’Hôpital será suficiente para estudiarcualquier forma indeterminada.

En su forma más amplia, la regla de L’Hôpital puede enunciarse como sigue:

±∞±∞

0

0

±∞±∞

0

0

lím límsen

θ θθ θ

θ→ →= ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥

0 0

2

I Ia

ak( )

( )o

⎥⎥= I ko

límsen

t

t

t→=

01

( )

0

0

I Ia

ak( )

( )θ θθ

= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟o

sen 2


FIGURA 4.6: Guillaume L’Hôpital.

Notas:

a) En las condiciones adecuadas, el resultado sigue siendo válido si c = x0, x +0, x−

0, ±∞,−∞, indistintamente.

b) Con frecuencia ocurre que también es indeterminado. Si f ' y g',…, f (n) y

g(n) satisfacen las condiciones de la regla de L’Hôpital, la cual puede aplicarse de manera

iterada para obtener hasta llegar

a un límite determinado.

c) Se cuidadoso al aplicar la regla de L’Hôpital, pues sólo es válida para formas indeter-

minadas del tipo y .

d) Observa, además, que las derivadas que aparecen en la regla de L’Hôpital se conside-ran por separado para las funciones del numerador y denominador; no se deriva el co-ciente de funciones.

±∞±∞

0

0

lím lím límx c x c x c

f x

g x

f x

g x

f x→ → →

= =( )

( )

'( )

'( )

''( ))

''( )

( )

( )

( )

( )g x

f x

g xx c

n

n= =→

� lím

límx c

f x

g x→

'( )

'( )


Teorema 1: La regla de L’Hôpital

Sea (a, b) un intervalo abierto que contiene c, y sean f y g funciones definidas y

derivables en (a, b), excepto posiblemente en c. Si , donde

l = 0, ±∞ y si , entonces,

lím límx c x c

f x

g x

f x

g xL

→ →= =

( )

( )

'( )

'( )

límx c

f x

g xL finito

→= +∞ −∞

'( )

'( )( , , )

lím límx c x c

f x g x l→ →

= =( ) ( )

Ejemplos

Ejemplo 4.1

Forma indeterminada

Calcula límln

x

x

x x→ −1 2

( )

0

0


solución

El límite pedido lleva a una forma indeterminada del tipo 0/0, pues . Por laregla de L’Hôpital, tenemos

Nota cómo, en efecto, la gráfica de la función en la figura 4.7 no revela ninguna información importan-te en x = 1, a pesar de que ahí se presenta una forma indeterminada del tipo 0/0.

lím lím límx x

x

x x

ddx

x

ddx

x x→ →−

=−

=1 2 1 2

ln ln( ) ( )

( )xx x

xx x x→ →−

=−

=1 1

1

2 1

1

2 11lím

( )

lím límx x

x x x→ →

= − =1 1

2 0ln( ) ( )

17.5

15

12.5

10

75

5

2.5

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2x

y

FIGURA 4.7: Gráfica de la función .yx

x x=

−ln( )2

Ejemplo 4.2

Calcula

Observa que las funciones del numerador y denominador tienden a “∞” cuando x → ∞. El ejemplotrata una forma indeterminada del tipo ∞/∞ que podrá estudiarse empleado la regla de L’Hôpital:

Ve cómo, en este caso, a pesar de que era imposible determinar a priori un significado adecuado parala forma indeterminada ∞/∞, el estudio de la forma nos lleva fácilmente a la conclusión de que la rec-ta y = 1 es una asíntota de la función misma que se muestra en la figura 4.8.

lím lím límx

x

x x

x

x x

e

e

d

dxe

d

dxe

e→∞ →∞ →∞+

=+

=1 1

( )

( )

xx

x xe= =

→∞lím 1 1

límx

x

x

e

e→∞ +1

solución


En los ejemplos 4.1 y 4.2 las formas indeterminadas se calcularon directamente a través de la regla deL’Hôpital; sin embargo, como vimos, existen casos donde esto no es posible. Para el resto de las for-mas indeterminadas, será necesario aplicar transformaciones que las lleven a alguna de las del tipo bá-sico. En los siguientes ejemplos mostraremos el procedimiento. La siguiente tabla contiene algunas in-dicaciones de carácter general que pueden serle útiles.

1

0.8

0.6

0.4

0.2

−2 2 4 6x

y

FIGURA 4.8: Gráfica de la función .ye

e

x

x=

+ 1

f (x)g(x); f (x) → 0, g(x) → ∞

f (x)g(x); f (x) → 1, g(x) → ∞

f (x)g(x); f (x) → 0, g(x) → 0

f (x)g(x); f (x) → ∞, g(x) → 0

…

f (x) − g(x), f (x) → ∞,

g(x) → ∞.

Cero por infinito:0 ⋅ ∞

Uno a la infinito,cero a la cero,infinito a la cero,todas las que seoriginen porexpresiones deltipo f (x)g(x)

Infinito menosinfinito

i.

ii. Se aplica la regla de L’Hôpital

Si y = f (x)g(x) entonces:

i. y = Exp[g(x)ln( f (x))]

ii. lím Exp[g(x)ln( f (x))]= Exp[lím g(x)ln( f (x))]

iii. Habitualmente en ii se aplicauna forma del tipo 0 ⋅ ∞.

i. Se busca tener un solo térmi-no, o

ii. Se genera de alguna forma uncociente para poder usar laregla de L’Hôpital.

f x g xf x

g x( ) ( )

( )

/ ( )= ( )1

Forma Tipo Método

Tabla 4.1: Esbozo metodológico para estudiar formasindeterminadas.


Ejemplo 4.3

Calcula

En primer lugar, nota que cuando x → 0+, y ; en el cálculo de este límite tenemos

una forma indeterminada del tipo ∞ − ∞, la cual es una expresión que carece de sentido, pues ∞ noes un número y, en consecuencia, ∞ − ∞ no es, a priori, cero. Esta forma no conlleva la idea de unaresta aritmética.

Nota: No existen reglas infalibles ni únicas para manipular una expresión, y así llevarla a una for-

ma equivalente de los tipos o . En todo caso, será necesario aplicar creativamente algún proce-

dimiento algebraico para obtener la forma deseada.

En este caso,

límite que contiene una forma del tipo “0/0”

En este ejemplo observa cómo la simple operación algebraica transformó la forma ∞ − ∞ en la forma0/0. Estamos listos ahora para aplicar la regla de L’Hôpital:

Nota que el último límite cae nuevamente en una forma del tipo 0/0; por lo tanto, tenemos que aplicaruna vez más la regla de L’Hôpital:

=− +

=→ +límx

x

x x x0 20

sen

sen

( )

( ) cos( )

lím límx x

x

x x x

d

dx→ →+ +

−+

=−

0 0

1 1cos( )

cos( ) ( )

(

sen

ccos( ))

( cos( ) ( ))

x

d

dxx x x+ sen

lím límx x

x x

x x

d

dxx

→ →+ +

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=−

0 0

sen

sen

se( )

( )

nn

sen

( )

( )

cos( )

cos( )

x

d

dxx x

x

x xx

( )

( )=

−+→ +

lím0

1

ssen( )x

lím límx xx x

x x

x→ →+ +−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=−

0 0

1 1

sen

sen

sen( )

( )

(( );

x

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

±∞±∞

0

0

1

x→ ∞

1

sen( )x→ ∞

límsenx x x→ +

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟0

1 1

( )

solución


1

0.5

−0.5

−1

−2 −1 1 2

FIGURA 4.9: Gráfica de la función del ejemplo 4.3.

En la figura 4.9 se nota la correspondencia entre el resultado analítico hallado y la apariencia de la grá-fica “cerca” de cero.

Ejemplo 4.4

Calcula

Nota que cuando x → 0+ el primer factor tiende a cero, mientras que el segundo tiende a −∞; por lo tan-to, en este límite tenemos una forma indeterminada del tipo 0 ⋅ (−∞). Es muy común pensar que todonúmero multiplicado por cero es cero; sin embargo, recuerda que ni +∞ ni −∞ son números sino sím-bolos, por lo que no se puede utilizar la aritmética usual.

Para transformar esta forma al tipo o al tipo utilizamos la guía de la tabla 4.1; de esta manera,

Ve que en el último límite se presenta otra forma indeterminada; pero del tipo , por lo que ahora sípodemos emplear la regla de L’Hôpital:

= − = − =→ →+ +lím límx x

x

x

x0

2

0

1

10( )

lím lím límx x x

x xx

x

ddx

x

→ → →+ + += =

0 0 01ln( )

ln ( ) ln ( ))( )⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

ddx x

1

− ∞+ ∞

lím límx x

x xx

x

→ →+ +=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

0 0 1ln ( )

ln( )

±∞±∞

0

0

límx

x x→ +0

ln( )

solución


Una vez más, observa cómo la gráfica de la función en la figura 4.10 se “acerca” a 0 cuando x → 0+;esto en correspondencia con el cálculo que realizamos.

1 2 3 4 5

FIGURA 4.10: Gráfica de la función y = x ln(x).

Ejemplo 4.5

Calcula

En este caso, tanto la base como el exponente tienden a cero; por lo tanto, la forma indeterminada esdel tipo 00. “Intuitivamente”, todo número (diferente de cero) elevado a la potencia cero es 1 y, por otraparte, toda potencia (cuando menos de exponente entero positivo) de una base igual a cero es 0, por loque resulta difícil imaginar siquiera qué ocurriría cuando la base y el exponente se combinan en unatendencia a cero. Ésta es una de las razones por las que el estudio de esta forma debe abordarse desdela perspectiva de forma indeterminada. Con apoyo de la tabla 4.1, determinamos el siguiente procedi-miento:

xx = Exp(x ln(x)) = ex ln(x),

cuando x → 0+, x ln(x) → 0 de acuerdo con el ejemplo 4; luego:

(el paso al límite dentro de la función exponencial es válido debido a su continuidad). La gráfica en lafigura 4.11 corrobora el cálculo obtenido.

= ( ) = =→ +

Exp Explímx

x x0

0 1ln( ) ( ) ,

lím límx x

x x x→ →+ +

=0 0

Exp( ln( ))

límx

xx→ +0

solución


1

1

2 3 4 5

FIGURA 4.11: Gráfica de la función y = xx.

Ejemplo 4.6

Calcula el límite de la función en el punto indicado

En este ejemplo, como x → 1+, la base tiende a 1 y el exponente ; por lo tanto, se genera

una forma indeterminada del tipo 1∞. Siguiendo otra vez las indicaciones de la tabla 4.1, tenemos

Ahora observa que cuando x → 1+, tanto ln(x) como x − 1 tienden a cero; por lo tanto, de acuerdo conla regla de L’Hôpital:

En consecuencia,

En su aspecto la gráfica de la función en la figura 4.12 refleja su coincidencia con nuestro cálculo.

= ⋅−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= = ≈→ +

Exp Exp(2)21

7 3891

2límx

x

xe

ln ( ).

lím límx

x

xx

x

x→−

→+ += ⋅

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟1

2

1

12

1Exp

ln( )

=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= =→ →+ +lím límx x

xx1 1

1

1

11

lím límx x

x

x

d

dxx

d

dxx

→ →+ +−=

−1 11 1

ln( ) ln( )

( )

xx

xx

xx

2

12

12

1− =

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= ⋅−

⎛⎝⎜

⎞⎠

Exp Expln( )ln( )

⎟⎟

2

1x −→ + ∞

límx

xx→

−+1

2

1

solución


2

e2

4 6 8 10 12 14

FIGURA 4.12: Gráfica de la función .y x x= −2

1

Ejemplo 4.7

Calcula

Cuando x → ∞, 1 + x → ∞ y ; por lo tanto, tenemos una forma indeterminada del tipo ∞0.Para calcular el límite pedido, transformaremos (con apoyo de la estrategia delineada en la tabla 4.1) laforma en otra del tipo básico. Así,

Nota que el límite anterior es del tipo ; por lo tanto, podemos aplicar la regla de L’Hôpital:

de aquí resulta que

El resultado del cálculo anterior corresponde a la apariencia que tiene la gráfica de la figura 4.13.

lím límx

x

xx

x

xe

→∞ →∞+ = −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ = =( )

ln( )1

3 11

30Exp

lím lím lx x

x

x

d

dxx

d

dxx

→∞ →∞

− =−

=3 1 3 1ln( ) ( ln( ))

( )íím

x

x→∞

− =

3

11

0,

∞∞

lím lím lx

x

x

xx

x→∞ →∞

+ = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =( ) ln( )1

31

3

Exp Exp íímx

x

x→∞

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

3 1ln( )

3 0x →

límx

x x

→∞+( )1

3

5

5

4

3

2

1

10 15 20 25 30x

FIGURA 4.13: Gráfica de la función .y x x= +( )13

solución


1. En los siguientes incisos, determina únicamente la forma indeterminada que se presenta.

a) b) c) d)

2. Emplea la regla de L’Hôpital para determinar los siguientes límites:

límx

x x

x→∞

−+

4 3

6 1

2

2límx

x

x→∞+⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

11

límx x

x

x→−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟0 6

3

6

1 coslím

senx

x

x→0

4( )

a)

b)

c)

d)

e)

f )

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

o)

p)

q)

r)

s)

t)

u)

v) límx

x x x→+∞

+ + −⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

( )6 5 163 4

límx

x

xx e→0

242

4[(cos ) ]

límx

x

x

xe x

e→ −0

2

2

6

1

cos

límx

xx→

−0

1

1( )

límx

x

x→∞−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

11

4

3

límx

x

x→∞−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

16

límh

x h x

h→

+ −0

cos( ) cos( )

límh

x h x

h→

+ −0

ln ln( ) ( )

límx

x x

x→− ∞

−+

3 3

4 1

2

2

límx x

x

e→+∞ +( )5

2ln

límx

x x x

x→

− + +−1

22 3 1 2

1

( )

límx

x x x→∞

− +( )2

límx

xx→∞

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟tan

1

límx

x

x→0

7

11

sen

tan

( )

( )

límx

x

x→0

sen sen

sen

( ( ))

( )

límx

x

x→1

ln ln

ln

( ( ))

( )

límln

x

x

x→1 2

( )

límx

x

x→

−−2 2

2

4

límx

x

x x→

−− −1

3

3

1

4 3

límx

xe

x→

−−0

1

1cos( )

límx

x

x→

−1

1

ln ( )

límx x x→ +

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟0

1 1

3. Si obtenga n

4. Supón que y g(x) = x ne 3x. Si obtén el valor de n.

(En los siguientes ejercicios bien cabe un pensamiento de Albert Einstein: “El sentido común es eldepósito de prejuicios guardados en la mente antes de los 18 años.”)

5. En la figura 4.14 el círculo unitario está centrado en O, BQ es una recta tangente vertical, y la longitudde BP

——es igual a la de BQ

——. ¿Qué sucede con el punto E a medida de que Q → B?

límx

f x

g x→+∞

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

='( )

'( ),1f x e t dtt

x

( ) = +∫ 3 4

1

9 1

límx

xnx

nx→+∞

+−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =1

19,


6. En la figura 4.15 el círculo unitario está centrado en el origen. es una recta tangente vertical, y la

longitud del segmento BQ——

es igual a la del arco . ¿Qué sucede con la abscisa de R cuando P → B?BP�

BQ� ��

x

Q

PBQ = BP

B O E

y

FIGURA 4.14: Esquema del planteamientodel ejercicio 5.

x1−1

QP

B

O

R

y


x

1

2π0 < <

θ

θC

BO A

y


7. En la figura 4.16, sean f (θ) = área del triángulo ΔABC y g(θ) = área de la región sombreada formada al

suprimir el área del triángulo ΔOAC del sector ; claramente, 0 < f (θ) < g(θ). Encuentra límθ

θθ→0

f

g

( )

( )OBC�


8. La figura 4.17 muestra un triángulo ΔABC y la región sombreada cortada a partir de la parábola y = x2

mediante una recta horizontal. Halla el límite, a medida que x → 0, de la razón entre el área del trián-gulo y el área de la región sombreada.

x

A(−x, x2) B(x, x2)

y = x2

C

y

FIGURA 4.17: Esquema del planteamiento del ejercicio 8.

xD(1, 0)A(x, 0)B(0, y)

OCt

t

FE

y

FIGURA 4.18: Esquema del planteamiento del ejercicio 10.

9. En la figura 4.18, . Encuentra

a) ; b) límt

x→ +0

límt

y→ +0

CD DE DF t= = =�

10. ¿Para qué valores de las constantes a y b es

11. Si un cuerpo de masa m se fija a un resorte colgado de un soporte, y después la masa se pone en mo-vimiento mediante una fuerza f(t) = A cos(wt), donde A y w son constantes positivas, entonces, despre-ciando las fuerzas de fricción, puede determinarse que el desplazamiento x = x(t) del cuerpo con res-pecto de la posición de equilibrio está dada por

; w ≠ w0x tAw

w wwt w t( ) cos( ) cos( )=

−−( )

2

02 2 0

límx

x sen x a x b→

− −+ +( ) =0

3 23 0( ) ?


Calcula y verifica que la amplitud de las oscilaciones sea creciente. Éste es un caso de un fe-

nómeno conocido como resonancia.

12. La corriente i = i(t) que circula en cierto circuito eléctrico en el tiempo t está dada por

donde E, R y L son constantes positivas. Determina qué pasa con la corriente eléctrica de este circuitocuando R → 0+.

13. Si una bola de acero se deja caer en agua y si la fuerza de resistencia debida al agua es directamente pro-porcional al cuadrado de la velocidad, entonces la distancia recorrida por la bola al tiempo t está dada por

donde k es una constante y g es la aceleración de la gravedad. ¿Qué ocurre con s(t) cuando k → 0+?

14. Encuentra las constantes k y l, tales que .

15. Si una ola con longitud de onda L, se desplaza por una masa de agua que tiene una profundidad D, suvelocidad de propagación v está dada por

donde g es la aceleración de la gravedad. ¿Qué ocurre con la velocidad de propagación en aguas pro-fundas?

16. Las siguientes funciones son importantes en diversas ramas de la ingeniería y la matemática aplicada.Calcula lo que se pide.

a) La función integral senaria se define por . Halla:

i. ; ii.

Nota: La integral que define a la función si(x) es impropia y es un concepto que estudiaremos en la pró-xima sección. Sin embargo, te pedimos que no hagas caso al respecto y calcula formalmente los límites quese indican.

b) La integral cosenaria de Fresnel define una función que denotaremos por .Calcula:

i. ; ii. límx

c x x

x→

−0 5

( )límx

c x

x→0

( )

c x u dux

( ) cos= ( )∫ 2

0

límx

s i x x

x→

−0 3

( )límx

s i x

x→0

( )

s i xu

udu

x

( )( )= ⌠

⌡⎮sen

0

vgL D

L= ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟2

2

ππ

tanh ,

límsenx

x

l x x

t dt

k t→ − +=⌠

⌡⎮0

2

0

11

( )

s tm

k

g k

mt( ) ln cosh ,= ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

i tE

Re R t L( ) ,/= −( )−1

límw w

x→ 0




1. ¿Por qué vuelan los aviones?

2. La función de Cobb-Douglas en la economía. En la obra de Eugene Silberberg (véase lareferencia bibliográfica núm. 7), aparece el siguiente argumento: “Considérese la función

de producción , donde k, x1, x2 son constantes positivas,ρ > 0 y 0 < α < 1. Al tomar el límite a medida que ρ → 0+, se halla que:

donde A corresponde a la función de Cobb-Douglas, como se esperaba. ¿Qué “A” es al quese refiere la autora?

3. Esclerosis múltiple. Resulta sorprendente que un tema en apariencia tan teórico como elque hemos discutido en esta sección tenga tantas aplicaciones en la vida cotidiana. La si-guiente situación es del campo de la neurología y se apoya en el extracto de un artículo mé-dico, “Esclerosis múltiple”, el cual podrás consultar en la siguiente dirección electrónica:http://www.saludhoy.com/htm/mujer/articulo/esclero1.html.

límρ→ +

=0

y A

y k x x= + −− − −[ ( ) ]α αρ ρ ρ

1 2

1

1

El sistema nervioso está formado por billones de células conocidas como neuronas. Tales cé-lulas están comunicadas unas con otras por medio de filamentos especializados o axones, a tra-vés de los cuales viajan señales eléctricas. Es decir, los axones tienen un funcionamiento pare-cido a los cables eléctricos. Como cualquier cable, el axón posee una envoltura aislante a su al-rededor que le permite conducir la electricidad de manera eficiente. Dicha cubierta está forma-da por mielina, sustancia producida por otra célula llamada oligodendrocito. La reunión de mi-les de axones con su respectiva capa de mielina forma los nervios encargados de conectar lasdiferentes regiones del cerebro entre sí y con el resto del organismo (vea la figura 4.19).

FIGURA 4.19: Los axones son como cablesrecubiertos por mielina, através de los cuales pasanseñales eléctricas de unaneurona a otra.


De esta manera, la fibra nerviosa se parece a un cable cilíndrico aislado para el que la ve-

locidad está dada por

Donde r es el radio del axón, R es el radio de la capa de mielina y k es una constante. Discu-te con tus compañeros los siguientes problemas que tienen que ver con el sistema nervioso.

a) La esclerosis múltiple destruye la capa de mielina, por lo cual R → r +. ¿Qué ocurre con lavelocidad del impulso eléctrico?

b) El axón se reduce tanto en algunas zonas del sistema nervioso que r → 0+. ¿Qué ocu-rre en este caso con la velocidad del impulso eléctrico?

v kr

R

r

R= − ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

ln

Autoevaluación

1. Indica la opción que contiene el cálculo correcto de :

a) ∞; b) ; c) 2; d) No existe.

2. Determina la opción que proporciona el

a) No existe; b) ∞; c) ; d) 03

2

límx

x

x x→−∞

−− +

3 5

2 22

1

2

límx

x

x→

−0 2

1 cos( )

Cuando se lesiona la mielina, no es posible conducir de manera adecuada las señales eléc-tricas a través de los axones y las neuronas no pueden comunicarse entre sí. Esto ocasionanumerosas complicaciones, que se manifiestan en parálisis, pérdida de la sensibilidad o dela visión, desequilibrio y alteraciones de los procesos mentales, entre muchas otras. Puesbien, en la esclerosis múltiple ocurre una destrucción de la capa de mielina y el sistema ner-vioso deja de funcionar adecuadamente. Ese curioso fenómeno es llamado por los médicosdesmielinización (figura 4.20).

FIGURA 4.20: La destrucción de la mielina interrumpe la comunicación entre las neuronas.


3. Escoge la opción que contiene el cálculo correcto de .

a) e4; b) e; c) ; d)

4. Determina la opción que contiene el .

a) ; b) 0; c) No existe; d) ∞

5. Encuentra la opción que da el cálculo correcto de .

a) 0; b) No existe; c) ; d) ∞1

2

límx

xe x

x→

− −0 2

1

1

6

límx

x

x→

+ −−2

2

2

5 3

4

14e

4

e

límx

x

x→∞+⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

14

Respuestas a los


1. a) ; b) ∞ − ∞; c) 1∞; d)

2. a) +∞; b) 1; c) −∞; d) ; e) ; f ) 0 ; g) −∞; h) 1; i) ; j) 1; k) ; l) −1, m) 5; n) ; o) ;

p) −sen x; q) ; r) ; s) ; t) ; u) e−1/3; v)

3.

4. n = 2

5. El punto E tiende al punto (3, 0)

6. La abscisa del punto R tiende a −2

7.

8. Si A1 representa el área del triángulo y A2 el área de la región sombreada, entonces

9. a) ; b)

10. a = −3; b = 92

límt

x→ +

= −0

2límt

y→ +

= −0

1

límx

A

A→=

0

1

2

3

4

límθ

θθ→

=0

0f

g

( )

( )

n =1

3ln( )

1

2

1

2

1

e

13 4e /

16e

1

x

3

4−

1

2

7

11

1

4

3

11

∞∞

0

0


11.

12.

13.

14. k = 4, l = 1

15. Calcula . Del cálculo obtenido, podrás deducir que

16. a) i. 1; ii. b) i. 1; ii.−1

10

−1

18

vgL

≈2πlím

Dv

→∞

2

s t gt( ) →1

22

i tE t

L( ) →

x tAw

t sen w t( ) → ( )002


1. b) 2. d) 3. a) 4. a) 5. c)

Referencias


2. Brauch, W., et. al, Ejemplos y ejercicios de matemáticas para ingenieros, 2a. ed., , Madrid, URMO, 1970.3. Courant, R. y John, F., Introducción al cálculo y al análisis matemático, vol. I, México, Limusa, 1982.4. Prado, et. al, Cálculo diferencial para ingeniería, México, Pearson-Prentice Hall, 2006.5. Rivaud, J., Ejercicios de análisis, Madrid, Reverté, 1975.6. Seeley, R., Cálculo de una y varias variables, México, Trillas, 1978.7. Silberberg, E., The Structure of Economics, Nueva York, McGraw-Hill, 1978.8. Smith, R. y Minton, R., Cálculo, vol 1. 2a. ed., Madrid, McGraw-Hill, 2003.

Referencias de Internet

1. ¿Por qué vuelan los aviones?http://www.inicia.es/de/vuelo/PBV/PBV12.html.

2. Esclerosis múltiple.http://www.saludhoy.com/htm/mujer/articulo/esclero1.html

4.2 Integrales impropias

Sólo existe algo más fuerte que nuestraspropias convicciones, la costumbre.

Julio Cortázar

3654.2: Integrales impropias

El problema de la migración

La sociedad está conformada por un grupo de seres humanos quebusca el equilibrio, por lo que debe encontrar los medios para su sub-sistencia, seguridad económica y otras necesidades. Desde este pun-to de vista, es posible entender los motivos que han influido en laspoblaciones indígenas para abandonar sus comunidades. Debido alas escasas oportunidades de nuestro medio —como acceder a laeducación, a fuentes de trabajo o de otro tipo—, la población indíge-na se ha visto en la necesidad de emigrar; en primer lugar, hacia lasgrandes ciudades del país, luego al extranjero, sobre todo, hacia Es-tados Unidos. Aunque no son pocas las adversidades que debe so-portar en las grandes ciudades, para la población indígena éstas con-tinúan siendo su mejor estrategia (tal vez la única) para lograr mejo-res condiciones de vida, tanto individuales como familiares. Dentrodel marco de esta problemática, tomaremos el ejemplo de lo queocurre con un pequeño poblado llamado Piaxtla, localizado al sur dePuebla en la Mixteca Baja.

Según el censo del año 2000, su población presenta la siguientedinámica.

Población Natalidad Mortalidad Migración

Tabla 4.2: Dinámica poblacional de Piaxtla

5500 37.8% 4.3% 42.26%

Como puedes constatar, Piaxtla, al igual que otras muchas comuni-dades poblanas, está disminuyendo su población de manera dramá-tica. Un factor que no se menciona en la tabla anterior tiene que vercon las personas que, por arraigo a su familia y a su tierra, regresancada año.

Estima lo que ocurriría con la población de Piaxtla, con base en las siguientesconsideraciones, si éstas se mantienen y si prevalecen las de la tabla 4.2.

FIGURA 4.21: En varias comunidadespoblanas, los habitantesprincipales son mujeres yniños, pues los varones emi-gran, una vez que terminanla educación secundaria.

a) Supón que Piaxtla tiene una dinámica poblacional que varía constantemente,en proporción directa a la cantidad de sus habitantes. Ahora imagina que 200personas regresan anualmente, entre las que se encuentran pobladores queingresan de otros estados y los inmigrantes de Estados Unidos. Determina loque pasará con la población a largo plazo.

b) Responde al problema anterior, si en vez de 200 personas se incorporan anual-mente al poblado a individuos (donde a es una constante).

c) Si, con el propósito de detener la merma poblacional de este lugar, el edil ofre-ciera facilidades para la adquisición de tierras entre los pobladores de las co-munidades cercanas (Chinantla, Ahuehuetitla, Tecomatlán, Guadalupe SantaAna, Acatlán, San Pablo Anicano, Chila de la Sal) y si estas acciones fueranexitosas, ¿cuántas personas tendrían que instalarse en Piaxtla, para que a lalarga se estabilice en 10,000 habitantes?


Introducción

Internarse en el mundo de los conceptos que cubren la idea de lo infinito esintroducirse en un mar de sorpresas. Los problemas que presentamos en lasección anterior —en particular, del 5 al 9— rompen el sentido común. Gran-des matemáticos de la historia, incluso los más prolíficos, sucumbieron antela consideración del infinito como una especie de número al que manipula-ron incorrectamente. En esta sección estudiaremos el concepto de integraciónimpropia que, como veremos, incluye al infinito en su proceso de cálculo.Aunque ya analizamos integrales, recordarás que hasta este momento no seha presentado ninguna situación donde la función tenga un comportamientoasintótico o donde alguno (o ambos) de los límites de integración sea(n)+∞ o −∞. Aunque por ahora no podemos desplegar todos los usos de esta he-rramienta, sí podemos indicar qué conceptos de probabilidad y estadística(distribuciones, esperanza, varianza), aspectos de la física (energía potencial)y procesos de transformación (como los de Laplace y Fourier) sin la ayudade esta poderosa herramienta sería imposible definir o determinar.

Así, en esta sección nos dedicaremos a definir, a manipular y a compren-der las integrales que añaden “∞” en su descripción; se trata de un ente que,aunque extraño en muchos sentidos, tiene un uso potencial inmenso.

Objetivos


• Definir y calcular integrales impropias con límites de integra-ción infinitos o con discontinuidades infinitas en el intervalo deintegración.

Sección 4.2.1 Integrales impropias

Que el infinito causa sorpresas queda de manifiesto en situaciones aun tan simples comola que mostramos en el siguiente ejemplo.

Considera la integral de la función en el intervalo [−2, 1]. Al resolver

esta integral definida, tenemos

11

1

222

12

2

11

2

1

xdx x d x x

−

−

−

−−

⌠⌡⎮

= = − = − +−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=∫ −− − = −11

23 2/

f xx

( ) =12


−2 −1 1 2

2

4

6

8

Una objeción inmediata a este resultado es que, de acuerdo con la figura 4.21, la gráficade la función se encuentra en su totalidad por encima del eje x, por lo tanto, si el área re-sultante existiera, ésta debería ser positiva, y no negativa, como se ve. ¿Por qué ocurrióesto? Una primera observación consiste en mirar la gráfica de la función en el intervalode integración, Nota que

y ,

es decir, la función tiene una asíntota vertical en x = 0, y este punto pertenece al inter-valo [−2, 1]. Grosso modo, cada vez que en la función se presente un comportamiento

asintótico y éste se origine en algún punto c ∈ [a, b], la integral será impropia.

Existe otro tipo de integrales impropias que tienen una enorme aplicación en la ingeniería y en las ciencias aplicadas en general, que se caracterizan porque en alguno de los límitesde integración se emplearon los símbolos −∞ o +∞. Cabe enfatizar que éstas se incluyenen dicha categoría porque, como hemos señalado reiteradamente, ±∞ no son números,sino símbolos que deberán manejarse con el cuidado que exija el caso.

Formalizamos lo anterior en las definiciones 4.1 y 4.2.

f x dxa

b( )∫

límx

f x→ +

= + ∞0

( )límx

f x→ −

= + ∞0

( )

Definición 4.1: Integral impropia tipo I

Diremos que una integral es impropia del tipo I, si se presenta alguno de lossiguientes casos.

a) Para f continua en [a, ∞],

b) Para f continua en [−∞, b],

c) Para f continua en �, f x dx( )−∞

∞

∫

f x dxb

( )−∞∫

f x dxa

( )∞

∫

FIGURA 4.22: Si existiera el área, ésta debería ser positiva.

Antes de formalizar las definiciones respectivas sobre el cálculo de estas integrales, va-le la pena reflexionar en la siguiente idea: Dado que una integral impropia es aquella enla que, de alguna manera, está presente el “infinito”, y dado que éste no es un número alque se pueda manipular con la aritmética usual, evadiremos la dificultad que entraña supresencia en la integral con el concepto de límite.


Definición 4.2: Integral impropia tipo II

Diremos que la integral es una integral impropia del tipo II, si exis-

te al menos un valor c ∈ [a, b] tal que la gráfica de la función tenga una asín-tota vertical en x = c.

f x dxa

b( )∫

Definición 4.3: Integrales impropias tipo I

a) Si la función es continua en el intervalo [a, ∞] entonces,

si el límite existe

b) Si la función es continua en el intervalo (−∞, b], entonces,


c) Si la función es continua en el intervalo �, entonces,

si ambos límites existen,

donde a es cualquier constante en �.Si en cada caso los límites involucrados existen, diremos que la integral im-

propia es convergente; en caso contrario, diremos que es divergente.

f x dx f x dx f x dxR R

a

S a

S( ) ( ) ( )

−∞

∞

→− ∞ →∞∫ ∫ ∫= +lím lím ,,

f x dx f x dxb

R R

b( ) ( ) ,

−∞ →− ∞∫ ∫= lím

f x dx f x dxa R a

R( ) ( ) ,

∞

→∞∫ ∫= lím

Definición 4.4: Integrales impropias tipo II

a) Si la función f es continua en el intervalo semiabierto [a, b) y si en x = b lagráfica de f tiene una asíntota vertical, entonces,


b) Si la función f es continua en el intervalo semiabierto (a, b] y si en x = a lagráfica de f tiene una asíntota vertical, entonces,

si el límite existef x d x f x d xr aa

b

r

b( ) ( ) ,=

→ +∫ ∫lím

f x d x f x d xr ba

b

a

r( ) ( ) ,=

→ −∫ ∫lím


c) Si la función f es continua en el intervalo [a, b] con excepción de x = c ∈(a, b),y si en x = c la gráfica de f tiene una asíntota vertical, entonces,

si ambos límites existen

Una vez más, si en cada caso los límites involucrados existen, diremos que laintegral impropia es convergente; en caso contrario diremos que es divergente.

f x d x f x d x f x d xr ca

b

a

r

s c s

b( ) ( ) ( )= +

→ →− +∫ ∫ ∫lím lím ,,

Ejemplos

Ejemplo 4.8

Retoma el cálculo de en el ejemplo inicial e investiga si la integral impropia es convergente.

Como indicamos, la función tiene una asíntota vertical en x = 0; por lo tanto, de acuerdo

con la definición 4.4c):

Así,

Sin necesidad de averiguar lo que ocurra con el segundo límite, concluimos de manera inmediata quela integral diverge. Esto explica la incongruencia entre la gráfica del área en la figura 4.22 y el cálculorealizado que llevó al resultado −3/2.

Ejemplo 4.9

Si existe, calcula la integral de la función en el intervalo de [0, 2).

Observa que la gráfica de la función tiene una asíntota vertical en x = 2; por lo tanto, la integral debeestudiarse bajo el concepto de integral impropia (tipo II). Determinar la existencia de la integral equi-vale a considerar su convergencia; por ello, debemos estudiar el límite correspondiente que define estetipo de integral.

f xx

( ) =−

1

2

lím lím límr

r

r

r

rxdx

x r→ − → − →− − −

⌠⌡⎮

= − = −0 2

20 2 0

1 1 1++⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

= + ∞1

2

1 1 12

2

1

0 22

0 2

1

xdx

xdx

xr

r

ss− → − →

⌠⌡⎮

⌠⌡⎮

= +− +

lím lím⌠⌠⌡⎮

dx

f xx

( ) =1

2

12

2

1

xdx

−

⌠⌡⎮

solución

solución


En la figura 4.23 se representa la gráfica de la función de este ejemplo.

1 2

FIGURA 4.23: Área del ejemplo 4.9.

De acuerdo con la definición 4.4a), requerimos estudiar el límite:

Si hacemos el cambio de variable u = 2 − x, entonces, du = −dx y así:

Como el límite existe, concluimos que la integral converge y que su valor (unidades cuadradas)representa el área de la región sombreada.

Ejemplo 4.10

Determina si la integral de la función f (x) = xln(x) en la región comprendida en el intervalo de (0, 1] esconvergente. Si lo es, calcula su valor.

2 2

= − −( ) =→ −límr

r2

2 2 2 2 2 2

= − = −→

−−

→

−

− −∫lím límr

r

r

r

u du u2

1 2

2

2

2 2

2

2/

1

2

1

1

1

20

2

2 0−=

−−−

⌠⌡⎮

⌠⌡⎮→ −x

dxx

dxr

r

lím( )

límr

r dx

x→ − −⌠⌡⎮2 0 2


solución

¿Qué ocurre con f(x) = xln(x) cuando x → 0+? Un vistazo a la función que se integra mostrará que segenera una forma indeterminada del tipo “0 ⋅ (−∞)”, de lo cual deducimos que la integral que buscamoses impropia. De acuerdo con la definición 4.4b):

Al integrar por partes, tomamos u = ln(x) y dv = xdx, de donde: y . Así:

En el primer término se ve que será necesario hallar el límite:

(la forma 0 ⋅ (−∞) se transforma en )

De aquí:

Así, podemos decir que la integral converge a −1/4.

= − − −( )⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= −→ +límr

r r r0

2 21

2

1

41

1

4ln( )

lím límr

rr r r

x x dx x x x→ →+ +∫ = −

0

1

0

21

21

2

1

4ln( ) ln( )

11⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

=−

=−

=→

−

− →+ +

1

2 2

1

40

0

1

3 0

2lím límr r

r

rr

− ∞+ ∞

lím límr r

r rr

r→ → −+ +=

0

2

0 2

1

2

1

2ln( )

ln( )

lím límr

rr r

x x dx x xx

x→ →+ +∫ = −0

1

0

21 21

2

1

2ln( ) ln( ) ddx x x x

r r r r

1

0

21

211

2

1

4⌠⌡⎮

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = −

⎛

⎝⎜

→ +lím ln( )

⎞⎞

⎠⎟

vx

=2

2du

d x

x=

x x d x x x d xr r

ln( ) ln( )0

1

0

1

∫ ∫=→ +lím

1 21.5 2.5 3

1

2

1.5

2.5

3

0.5

–0.5

FIGURA 4.24: Área del ejemplo 4.10.


Ejemplo 4.11

Determina si converge. En caso afirmativo, explique a qué valor.dx

x x1 20

1

−⌠⌡⎮

–1

2

0.5–0.5

8

2

10

6

4

–21

–4

FIGURA 4.25: La función del ejemplo 4.11.

Nota que el dominio de la función se restringe bajo las condiciones x ≠ 0 y 1 − x2 > 0, una desigual-dad equivalente a −1 < x < 1. Asimismo, observa que la integral va de 0 a 1, razón por la cual debe-mos determinar lo que ocurre cuando x → 0+ y cuando x → 1−. Como se ve en la figura 4.25, resultaque la gráfica tiene asíntotas verticales en x = 0 y en x = 1. Por ello, abordaremos el cálculo de la integrala través del concepto de integral impropia. Para este caso, ninguna de las definiciones (ni 3 ni 4)

proveen el mecanismo de cálculo de sin embargo, extendiendo la idea que se formalizó

en dichas definiciones, parece razonable realizar el cálculo considerando lo siguiente:

Es importante señalar que el valor intermedio seleccionado, 0.6, pudo ser cualquier otro punto del in-

tervalo (0, 1). Resolvemos ahora la integral indefinida por sustitución trigonométrica; así,

sea x = sen(θ) de donde dx = cos(θ)dθ. Tenemos, entonces,

dx

x x1 2−

⌠

⌡⎮

=−

+−→ →+ −

⌠⌡⎮

⌠⌡

lím límr

rs

sdx

x x

dx

x x0 2

0 6

1 20 61 1

.

.⎮⎮ (*)

1

1

1

1

1

120

1

20

0 6

20 6

1

x xdx

x xdx

x xdx

−=

−+

−⌠⌡⎮

⌠⌡⎮

⌠.

.⌡⌡⎮

dx

x x1 20

1

−

⌠⌡⎮

;

solución


Al transformar el último resultado (como lo hicimos en la unidad 2) para la variable “x”, obtenemos

Si regresamos al cálculo del primer límite, , en (*), tenemos

el cual tiene una forma indeterminada pues y r → 0+ cuando r → 0+. Si recurrimos ala regla de L’Hôpital, hallamos:

por lo tanto, por la continuidad de la función logaritmo:

En cuanto a la conclusión, ésta es idéntica a la que se señaló en las definiciones 4.3 y 4.4, y deducimosque la integral impropia diverge.

Nota: Observa que no se requiere que ambos límites diverjan, para concluir que la integral no existe(o que diverge); con uno solo que no exista basta para llegar a esta conclusión.

ln1 1 2− −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ → − ∞

r

r

lím límr r

r

r

r

r→ →

++ +

− −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

−=

0

2

0 2

1 1

10 ;

1 1 02− − → +r

≈ − −− −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟→ +

límr

r

r0

2

1 098611 1

. ln ,

lím límr

rr

dx

x x→ →+ +−=

− − ( )⌠⌡⎮0 2

0 6

0

2

1

1 1 0 6

0

.

ln.

.66

1 1 2⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

−− −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

lnr

r

límr

r

dx

x x→ + −

⌠⌡⎮0 2

0 6

1

.

1

1

1 12

2

x xdx C

x

xc

−= − + = − − +

⌠⌡⎮ ln csc cot lnθ θ

= = =⌠⌡⎮ 1

sen( )cos( )(cos( )) csc( ) ln csc(

θ θθ θ θ θd d θθ θ) cot( )− +∫ C

1

1

1

12 2x xdx d

−=

−⌠⌡⎮

⌠

⌡⎮

sen sen( ) ( )(cos( ))

θ θθ θ


Ejemplo 4.12

Si existe, calcula a) ; b) .

Antes de empezar, nota que el aspecto gráfico de las áreas cuyo cálculo corresponde a los incisos a) yb) es similar; sin embargo, la intención de este ejemplo es mostrar que esta similitud sólo es aparente,como lo mostrarán los siguientes cálculos.

dx

x5

40

1⌠⌡⎮

dx

x4

50

1⌠⌡⎮

3

0.5

2

1

4

10.80.60.40.2 1

2

4

6

8

10

FIGURA 4.26: Representación gráficade la integral en a).

FIGURA 4.27: Representación gráfica de laintegral en b).

a) La gráfica de la función tiene una asíntota vertical en x = 0; por lo tanto, de acuerdo con la defini-ción 4.4b):

De manera que la integral existe y podemos decir que el área de la región sombreada en la figura4.26 es 5.

b) Como en el inciso anterior, la gráfica de la función tiene una asíntota vertical en x = 0 (observa ladefinición 4.4b)):

Por lo tanto, la integral diverge, es decir, el área de la región sombreada en la figura 4.27 no existe.Nota que pese a la similitud de las integrales y las áreas que representan, en un caso tenemos

convergencia, y en el otro divergencia. La diferencia estriba en la magnitud de los exponentes de xen el denominador de cada función.

dx

x

dx

x xr r r r5

45

40

1

0

1

0 1 4

4⌠⌡⎮

⌠⌡⎮

= =−

→ →+ +lím lím

/

11

0 1 44 1

1= − −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

= + ∞→ +límr r /

dx

x

dx

xx

r r r r45

45

0

1

0

1

0

1 5 15⌠

⌡⎮⌠⌡⎮

= =→ →+ +lím lím / == −( ) =

→ +5 1 5

0

1 5límr

r /

solución


solución

Ejemplo 4.13

Si es posible, calcula el área de la región sombreada de la figura 4.28, limitada por la gráfica de la fun-ción f (x) = xex en el intervalo (−∞, 0].

FIGURA 4.28: Apariencia del área calculada del ejemplo 4.13.

El problema se resuelve estudiando la convergencia de la integral . De acuerdo con la defi-nición 4.3b):

Calculamos la integral usando integración por partes y, para ello, tomamos u = x y dv = exdx. Entonces,

Observa que para calcular el límite del primer término dentro del paréntesis, requerimos estudiar unaforma indeterminada de la forma ∞ ⋅ 0. Calculando esta forma por separado y hallamos

De esta manera, . Por lo tanto, la integral converge y podemos

decir que el área pedida existe y es igual a −1.

x e d x R e ex

R

R R

−∞ → − ∞∫ = − − +( ) = −0

1 1lím

=−

−= =

→ − ∞ − → − ∞lím lím

R R R

R

ee

10lím lím lím

R

R

R R RR e

R

e

d

dRR

d

d

→ −∞ → −∞ − → −∞− ( ) = − =

−( )

RRe R−( )

;

= −( ) = − − +( )→ − ∞ → − ∞lím lím

R

x

R

x

R R

R Rx e e R e e0 0

1

x e d x x e d xx

R

x

R−∞ → − ∞∫ ∫=0 0

lím

x e d x x e d xx

R

x

R−∞ → − ∞∫ ∫=0 0

lím

x e d xx

−∞∫0


solución

Ejemplo 4.14

Determina si la integral converge.3

21

dx

x

∞⌠⌡⎮

4 62

1

2

3

4

5

FIGURA 4.29: Apariencia del área representada por la integral del ejemplo 4.14.

De acuerdo con la definición 4.3a), debemos estudiar el siguiente límite:

Así,

Concluimos que la integral existe y converge a 3.

Ejemplo 4.15

Si es posible, calcula el área de la región sombreada, limitada por el eje horizontal y la gráfica de lafunción f (x) = xe−x 2

en el intervalo (−∞, ∞).

= −( ) = − −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=→∞

−

→∞lím límR

R

Rx

R3 3

11 31

1

3 32

12

1

dx

x

dx

xR

R∞

→∞

⌠⌡⎮

⌠⌡⎮

= lím

3 32

12

1

dx

x

dx

xR

R∞

→∞

⌠⌡⎮

⌠⌡⎮

= lím


solución

Observa que la función es impar; bastará calcular la integral

En caso de convergencia, el área buscada será dos veces el valor hallado.Si hacemos el cambio u = −x2, entonces du = −2 xdx; de esta manera:

Dada la convergencia de esta integral, concluimos que el área de la región existe y que es .

Ejemplo 4.16

Si existe, calcula la integral ln ( )x

xdx2

1

∞⌠⌡⎮

21

21

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

= − −( ) =→+ ∞

−1

21

1

2

2

límR

Re

= −→+ ∞

−1

2

2

0lím

R

xR

e

xe dx xe dxx

R

xR

−∞

→∞

−=∫ ∫2 2

0 0

lím

xe dx xe dxx

R

xR

−∞

→∞

−=∫ ∫2 2

0 0

lím

1 2−1−2

FIGURA 4.30: Aspecto gráfico del área del ejemplo 4.15.


solución

De acuerdo con la definición 4.3a),

Si aplicamos integración por partes, con u = ln(x) y , entonces,

y v = −x−1; por lo tanto,

donde utilizamos la regla de L’Hôpital para calcular el límite

Y concluimos que la integral converge a 1.

Ejemplo 4.17

Determina si la integral es convergente. e dxx−−∞

∞

∫

lím límR R

R

R

d

dRR

d

dRR

→∞ →∞−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

= −( )

( )= −

ln( ) lnllím límR R

RR→∞ →∞

= − =

1

1

10

= − + −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=→∞

límR

R

R R

ln( ),1

11

= − + −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

→∞límR

R Rx

x x

ln( )

1 1

1

ln( ) ln( )x

xdx

x

x xdx

R

R R

21 1

21

1∞

→∞∫ ∫= − +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟lím

dudx

x=

dvdx

xx dx= = −

22

ln( ) ln( )x

xdx

x

xdx

R

R

21

21

∞

→∞

⌠⌡⎮

⌠⌡⎮

= lím

3 4 521

FIGURA 4.31: Aspecto gráfico del área del ejemplo 4.16.


solución

Según la definición 4.3c), tenemos

donde x = 0 es cualquier valor que nos permita “fraccionar” la integral. Hagamos ahora cada cálculopor separado:

Después de realizar este primer cálculo, concluimos que no será necesario hacer el segundo (igual desencillo); sabemos ahora que la integral no existe, es decir, que es divergente.

= −( ) = +∞→− ∞

−límR

Re 1

lím límR

x

RR

x

Re dx e

→− ∞

−

→− ∞

−∫ = −0

0

e dx e dx e dxx

R

x

RS

xS

−−∞

∞

→− ∞

−

→∞

−∫ ∫ ∫= +lím lím0

0

,

FIGURA 4.32: Aspecto gráfico del área del ejemplo 10.

1. Expresa con el límite correspondiente a cada una de las siguientes integrales. Muestra un dibujo queindique el área que se calcularía (si existe) con la integral respectiva; no calcules la integral.

a) b) c) d) cot( )/

x dx0

2π

∫1

3

0

xdx

− ∞

⌠⌡⎮

x

xdx

1 31 +−

∞⌠⌡⎮

x

xdx

1 31 +

∞⌠⌡⎮


2. En los siguientes incisos, determina si la integral impropia converge o diverge. En caso de convergen-cia, calcula el valor de la integral.

a) b) c) d ) e)

f ) g) h) i)

j) k) l )

3. Calcula: a) b) y finalmente c)

4. ¿Para qué valores de p existen las siguientes integrales?

a) b) c)

5. Para n entero positivo, determina si cada una de las siguientes integrales converge. En caso de que asíocurra, determina a qué convergen.

a) Más generalmente, determina a qué converge , con a > 0.

Sugerencia: Haz el cambio t = ln(1/x) y aplica el inciso a).

b)

6. Prueba que las siguientes dos integrales convergen, después, calcula la diferencia que se pide.

a) b) J − 1

7. ¿Es posible asignar un valor real al área delimitada por y el eje x? Presente adecua-

damente sus argumentos, usando el concepto de integral impropia.

8. Determina los valores de n para los cuales la integral impropia converge. Una vez que

encuentres la respuesta, indica a qué converge la integral.

dx

x x ne ln( )( )

∞⌠⌡⎮

f x h x( ) sec ( )=1

2

Idx

x xJ

x

xd x=

+( ) =∞ ∞⌠

⌡⎮

⌠⌡⎮1 2

02

0

;arctan( )

ln .1

0

1

xdx

n

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⌠⌡⎮

x e dxn a x

0

∞ −∫x e dxn x

0

∞ −∫ .

x dxp

0

∞

∫x dxp

1

∞

∫x dxp

0

1

∫

dx

x x( ).

+

∞⌠⌡⎮ 40

dx

x x( )+

∞⌠⌡⎮ 44

dx

x x( ),

+⌠⌡⎮ 40

4

ln x dx−∫ 1

13

10

2

xdx

−⌠⌡⎮

dt

t 20 1+

∞⌠⌡⎮

dx

x16 20

4

−⌠⌡⎮

2

e edxx x+ −

− ∞

∞⌠⌡⎮

ln( )y

ydy3

1

∞⌠⌡⎮

20

162xdx

+−∞

∞⌠⌡⎮

tan x dx( )0

π

∫e dxx3

− ∞

∞

∫−∫ x x dxln( )0

5x

x xdx

+

+⌠⌡⎮

1

220

1dx

x −( )⌠⌡⎮ 1 2 3

0

1

/


9. En cada uno de los siguientes incisos, determina el valor de la constante k con el cual se pueda asegu-rar que la integral converge. Una vez hallada la constante, calcula su integral.

a) b) c)

10. Dada una función f definida para toda t ≥ 0, la transformada de Laplace de f es la función F de “s” quese define de la siguiente manera:

para todos los valores “s” donde la integral impropia converja. En cada uno de los siguientes incisos,encuentra bajo qué condición existe la transformada de Laplace y determina la fórmula correspondiente:

a) f (t) = eat b) f (t) = cos(at) c) f (t) = senh(at)

11. En la teoría de la probabilidad, una función f se llama función de densidad si se satisfacen las siguien-tes dos condiciones:

a) f (x) ≥ 0 para todo x ∈ � b)

Para una constante μ ∈ �, y σ > 0 también constante se define la función

i. A partir del resultado demuestra que f(t) es una función de densidad.

ii. Un par de conceptos importantes de la probabilidad son la esperanza matemática y la varianzaque se definen para una función de densidad f de la siguiente manera:

si las integrales convergen. Demuestra que para la función de densidad en i. ambas integrales conver-gen; después, calcula a qué convergen.

12. Una función muy importante de la matemática aplicada es la función gamma, que se define por

, la cual converge para s > 0. Aplica integración por partes y prueba que

Γ(s + 1) = sΓ(s). Después, demuestra por inducción que Γ(n + 1) = n! para n entero positivo.

13. Para 0 < α < π, calcula

14. Encuentra un valor de la constante C, de manera que la función

sea una función de densidad (véase el problema 11).

f x

Cx

xx

x

( ),

,

= +( )≥

<

⎧

⎨⎪

⎩⎪

1 30

0 0

2 2

dx

x x21 2 1− +

∞⌠⌡⎮ cos( )α

Γ( )s t e dts t= −∞ −∫ 1

0

E t f t dt Var t E f t dt= = −( )−∞

∞

−∞

∞

∫ ∫( ) , ( ) , 2

e duu−−∞

∞

∫ =2

π ,

f t e

t

( ) =−

−( )1

2

2

22

π σ

μσ

f x dx( ) =− ∞

∞

∫ 1

F s e f t dts t( ) ( )= −∞

∫0

1

1 2 120 +

−+

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

∞⌠

⌡⎮

x

k

xdx

x

x k

k

xdx

2 2 121 +

−+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

∞⌠⌡⎮

kx

x xdx2

2 1

1

2 1+−

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

∞⌠⌡⎮



15. Una varilla uniforme se extiende sobre el eje x no negativo. Si tiene una densidad lineal δ y una partículade masa m se coloca en el punto (−a, 0), determina la fuerza gravitatoria F que la varilla ejerce sobrela masa.

16. Supón que la integral converge.

a) Realiza el cambio de variable y demuestra que

b) A partir de , muestra que

c) Usa el inciso b) y el cambio 2x = v y demuestra que

d) A partir de los incisos b) y c), encuentra el valor de I.

e) Calcula

17. A partir del resultado , y suponiendo la convergencia de las integrales

e , obtén el valor de cada una.

18. Usa los problemas 11 y 12 para calcular las siguientes integrales:

a) b) c) d) e) dx

x−⌠⌡⎮ ln( )0

1

3 4

0

2−∞

∫ z d zx e dxx−∞

∫3

0x e dxx6 2

0

−∞

∫x e dxx3

0

−∞

∫

sen2

20

( )x

xdx

∞⌠⌡⎮

sen( )x

xdx

0

∞⌠⌡⎮

1

220

−=

∞⌠⌡⎮

cos( )x

x

π

J x x dx= ∫ ln( ( ))sen0

π

I x dx= ∫ ln( ( ))/

sen 20

2π

2 22

20

2I x dx= −∫ ln( ( )) ln( )

/sen

π π

20

2I x x dx= +( )∫ ln( ( )) ln(cos( ))

/sen

π

I x dx= ∫ ln(cos( ))/

0

2πx y= −

π2

I x dx= ∫ ln( ( ))/

sen0

2π

Con tu equipo de trabajo, analiza y resuelve las siguientes situaciones:

1. El problema de la migración

2. La trompeta del Ángel Gabriel


Cuando se descubrió (hallazgo atribuido a Torricelli) esta superficie se consideró como unaparadoja, pues se observó que sería necesaria una cantidad infinita de pintura para cubrir la su-perficie interior (A), al tiempo que era posible rellenar toda la figura con una cantidad finita depintura (B). La explicación a que una área infinita requiera una cantidad finita de pintura pre-supone que una capa de pintura tiene un grosor constante, lo cual no se cumple en el interiordel cuerno, ya que la mayoría de la longitud no es accesible a la pintura, especialmente cuandosu diámetro es menor que el de una molécula de pintura. Con tu equipo de trabajo, responde lossiguientes incisos.

a) Verifica la veracidad de la afirmación (A) del párrafo anterior.

b) Define la veracidad de la afirmación (B) del párrafo anterior.

1

1x

2

f(x) = ; x ≥ 1

3 4

FIGURA 4.33: Aspecto de la superficieconocida como la trompetadel ángel Gabriel. (En elNuevo Testamento, Gabriel esel ángel que anuncia a Maríaque dará a luz al mesías.)

FIGURA 4.34: La superficie La trompeta delángel Gabriel se genera por larotación de la región sombreadaalrededor del eje horizontal.

Autoevaluación

1. Indica la opción correcta para dx

x40 4+

∞⌠⌡⎮

a)

b)

c)

d) No existe

π 2

4π8

2

5

π

Sugerencia: x4 + 4 = x4 + 4x2 + 4 − 4x2 = (x2 + 2)2 − (2x)2 = (x2 + 2x + 2)(x2 − 2x + 2)


2. Determina la opción que contiene el cálculo de 1

11

3

xdx

−∫

a)

b)

c) No existe

d) 2 24 2 2−

−10 2

3. Elige el inciso que dé la afirmación correcta para 3

2

2 d x

x−

⌠⌡⎮

a) 2 ln(2)

b) ln(8)

c) 0

d) Diverge

4. Determina qué inciso contiene la afirmación correcta para e d xx−− ∞

∞

∫ 2

a)

b)

c) Diverge

d) 2 24 2 2−

−10 2

Respuestas a los


1

a)

2 3 4 5 6

−2

b)

2 4 6

x

xdx

x

xdx

xr r R1 1 13

1 1 3

0

+=

++

−

∞

→− →∞

⌠⌡⎮

⌠⌡⎮+

lím lím++

∞⌠⌡⎮ x

dx3

0

x

xdx

x

xdx

R

R

1 131

31+

=+

∞

→∞

⌠⌡⎮

⌠⌡⎮

lím

1.


2. a) Converge a 3; b) Converge a ; c) Converge a ; d) Diverge; e) Diverge;

f ) Converge a 5π ; g) Converge a ; h) Converge a π ; i) Converge a ; j) Diverge; k) Diverge;

l) Converge a −2.

3. a) ; b) ; c)

4. a) p > −1; b) p < −1; c) No existe ningún valor de p con el cual la integral converja.

5. a) Converge a n!; la integral más general converge a .

Sugerencia: si , muestra que . ; b) Converge a n!

6. a) Para la integral I, observa que x > 1 implica . Busca una desigualdad similar para

la segunda integral. Reflexiona sobre la utilidad de estas desigualdades.

b) ; sugerimos que consideres la diferencial de

7. La integral converge, el área de la región descrita es

8. La integral converge para n > 1 y converge a 1

1n −

π2

arctan( )x

x

π4

1

1

12 2x x x+( ) <

In

aIn n= −1I x e dxn

n a x=∞ −∫ 0

n

an

!+1

π2

π4

π4

π2

1

4

25

41 25− ( )( )ln3

c) d)

cot( ) cot( )/ /

x dx x dxr r0

2

0

2π π

∫ ∫=→ +lím

1 1 13

0

3

1

0 3xdx

xdx

xdx

R R r−∞ →−∞

−

→

⌠⌡⎮

⌠⌡⎮

= +−

lím lím−−

⌠⌡⎮ 1

r


9. a) ; la integral converge a ; b) ; la integral converge a ;

c) ; la integral converge a

10. a) para s > a; b) , s > 0; c) , .

11. i. No requiere respuesta, ésta se encuentra en el mismo texto. ii. E = μ, y Var = σ 2

12. La respuesta aparece en el mismo texto.

13.

14. C = 6

15. La fuerza está dada por Al calcular esta integral, obtenemos , donde G

es la constante de gravitación universal.

16. Las respuestas de los incisos a) a c) aparecen en el planteamiento del problema. La respuesta a d) es

. Para e), usa el cambio de variable x = π − y en el resultado del inciso anterior, entonces

17.

18. a) Γ(4) = 6; b) Haz el cambio 2x = y, ; c) Calcula el valor de , y cambia la variable

x3 = y, ; d) ; e) ππ4 3ln( )

π3

Γ 12( )Γ( )7

2

45

87 =

sen sen( ) ( )x

xdx

x

xdx

0

2

20 2

∞ ∞⌠⌡⎮

⌠⌡⎮

= =π

J = −π 2

22ln( ).

I = −π2

2ln( )

FGm

a=

δF G

m

x adx=

+

∞⌠⌡⎮

δ( )

.20

π αα

−2sen( )

s a>F sa

s a( ) =

−2 2F ss

s a( ) =

+2 2F ss a

( ) =−1

3 2

2

ln( )k =

2

2

1

4

8

3ln

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

k =1

2

1

4

5

4ln

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

k =1

2


1. b) 2. d) 3. d) 4. c)


Referencias


2. Courant, R. y John, F., Introducción al cálculo y al análisis matemático, vol. I, México, Limusa, 1982.3. Prado, et. al, Cálculo diferencial para ingeniería, México, Pearson Educación, 2006.4. Rivaud, J., Ejercicios de análisis, Madrid, Reverté, 1975.5. Seeley, R., Cálculo de una y varias variables, México, Trillas, 1978.6. Silberberg, E., The Structure of Economics, New York, McGraw-Hill, 1978.7. Smith, R. & Minton, R., Cálculo, vol. 1, 2a. ed., Madrid, McGraw-Hill, 2003.


1. Enciclopedia de los Municipios de México Puebla, Piaxtla:http://www.emexico.gob.mx/work/EMM_1/Puebla/Mpios/21113a.htm

2. “La migración, puntal de la economía mexicana”enhttp://www.eumed.net/cursecon/ecolat/mx/mebb-migra.htm

389

Unidad

Sucesiones y series


5.1 Sucesiones

5.2 Primeras series

5.3 Criterios de convergencia

5.1 Sucesiones

La imaginación debe apoyarseen la realidad, de la misma manera

que la realidad se apoya enla imaginación.

Vladimir Kazakov Bautzen

Cómo ganar fácilmente una apuesta en una reunión de amigos

Ganar una apuesta no siempre es tan difícil. Si realizas lo que a continuación te planteamos, te será muy sen-cillo. Para ello, deberás aprovechar las circunstancias que te ofrecen las reuniones con amigos o familiares.Supón que en una de ellas, por lo menos está concentrada una treintena de personas. Plantea ahí el siguien-te desafío: “¿Creen que sea probable que al menos dos de nosotros celebremos cumpleaños el mismo día?”Los no versados en matemáticas tenderán a afirmar que la probabilidad de que esto ocurra es francamentepequeña; tal vez algunos se aventuren a estimar al respecto un valor cercano a 10%. Es aquí donde podríasaprovechar la situación. Por ello, si lanza una apuesta en tales circunstancias, posiblemente se le considere

incauto. Sin embargo, la confrontación de todas lasidentificaciones llevará a constatar que, sorprendente-mente, se producen coincidencias —a menudo, más deuna—. En una apuesta se puede ganar o perder; para queno pase por una situación bochornosa con tus conoci-dos, te pedimos que pienses por un momento qué tancomprometedora o qué tan segura es la apuesta que teproponemos formular. Ésta se apoya en los siguientesaspectos que te pedimos considerar con tu equipo detrabajo:

• Investiga el concepto básico de probabilidad de unevento y escríbalo.

• Indaga la relación que hay entre la probabilidad deun evento y la de su complemento.

• Si consideras que no hay años bisiestos y que cadadía del año es igualmente probable, determina laprobabilidad Pn de que, en la misma reunión, nohaya dos o más personas con la misma fecha decumpleaños.

• Sea Qn la probabilidad de que haya dos o más in-dividuos con el mismo cumpleaños. Si n represen-ta el número de personas en la reunión, completala tabla 5.1.

• ¿Qué revela la tabla 5.1 en las columnas de Pn y Qn?Con una treintena de invitados, ¿qué tan probable esque ganes la apuesta?

• Grafica (n, Pn). ¿Qué ocurrirá en la medida en queel número de invitados se haga cada vez más grande?A partir de la gráfica, ¿qué puede decir de la suce-sión {Pn}: crece o decrece? ¿Está acotada? ¿Tiendehacia algún valor?

Queda un asunto por dilucidar: ¿Su apuesta es honra-da? Si sabes que la probabilidad de ganar es muy su-perior a la del contrario, ¿no se enfila a estafarlo, alproponerle un juego aparentemente ventajoso para él,pero que en realidad es una ganancia casi segura para

ti? Todo parece indicar que no es así, pues quienes escuchen su reto tendrán to-da la información disponible, como quien juega a la lotería. La única diferen-cia estriba en que tu poseas conocimientos. Tu apuesta es como si desafiaras aladversario disponiendo de armas más eficaces, sin que él lo sepa.

390 Unidad 5: Sucesiones y series

FIGURA 5.1: ¿Qué tan probable es que en una reunióndos personas celebren sus respectivoscumpleaños el mismo día?

n Pn Qn

8

12

16

20

22

23

24

28

30

32

Tabla 5.1: Sucesión de probabilidades.

Introducción

El problema que acabamos de plantear usa ideas básicas de la probabilidad yun concepto matemático de importancia trascendental: la sucesión, la cual,grosso modo, es un arreglo de números y su valía radica en su aplicabilidaddesde asuntos tan sencillos, como contar, hasta las cuestiones más complica-

3915.1: Sucesiones

das del análisis matemático, como los métodos numéricos, la teoría de frac-tales, la de la probabilidad y la estadística.

En esta sección estudiaremos sucesiones y otro concepto al cual está ínti-mamente relacionado: el de convergencia. Con estas ideas estaremos listospara luego desarrollar el aspecto crucial de esta unidad, que es el de series.En función de lo que hasta aquí hemos analizado, sabemos que los conceptosde sucesión y convergencia no nos resultan desconocidos. Bastará con queeches una mirada retrospectiva a sumas de Riemann para saber dónde se usarontales herramientas.

Objetivos


• Definir una sucesión de números reales.• Describir el concepto de convergencia de una sucesión.• Enunciar y aplicar los teoremas más importantes sobre conver-

gencia de sucesiones, en particular los que se refieren a la suma,la resta, el producto y el cociente de sucesiones convergentes.

Sección 5.1.1 El concepto de sucesiónComo señalamos, hablar de una sucesión es referirse a un arreglo de números reales; esdecir, no se entiende como sucesión una colección arbitraria de valores reales, con la fi-nalidad de que conformen una sucesión es indispensable que sigan un patrón bien defini-do. Es verdad que, en ocasiones, este patrón puede hallarse con algunas dificultades y enotras, incluso, es imposible de encontrar; no obstante, definiremos una sucesión comouna regla de correspondencia que asigna un valor real a cada número natural. Por ejem-plo, podemos hablar de la sucesión de números naturales pares, éstos seguirían el patróndado por f(n) = 2n; n = 1, 2,… Sin embargo, para la sucesión de números primos no esposible indicar una función-fórmula, que señale tal asignación. Tenemos, entonces,

Definición 5.1: Sucesión

Sucesión de números reales es una función cuyo dominio es el conjunto de losnúmeros naturales � = {1, 2,…} y cuyos valores son números reales.

Notas:

1. Si x es el nombre de la función en la definición anterior, el valor de la sucesión co-rrespondiente a cierto n debería escribirse como x(n); sin embargo, se acostumbraescribir x(n) como xn; con esta notación nos referiremos a la sucesión {xn}.

2. A veces, es conveniente relajar la definición para permitir que una sucesión empie-ce con el término 0-ésimo x0.

3. Dado que una sucesión es una función, es posible usar para ésta los resultados delcálculo diferencial. En dichos casos debemos considerar, por supuesto, que n per-

tenece a los reales y no sólo a los naturales. Hecha esta consideración, podremosasumir posteriormente la condición original de que n ∈ �.

4. En la práctica es conveniente especificar el valor de x1 y algún método para hallarxn+1 (n ≥ 1) cuando xn se conoce.

Un aspecto fundamental es la idea de aproximación de donde proviene la importante ideade convergencia. Reflexiona en el siguiente ejemplo 5.1.


Ejemplos

Ejemplo 5.1

Está relacionado con lo mencionado en las notas 3 y 4. Usamos el método de Newton para aproximarel valor de .

En primer lugar, el método expresado por

permite generar una sucesión {xn} que se acerca, en ciertas condiciones, a una raíz de la funcióny = f (x) cerca de x1. Así, consideramos f (x) = x2 − 5, entonces, f '(x) = 2x. Si ahora tomamos x1 = 2,obtenemos de manera recursiva una sucesión dada por (véase nota 4):

n = 1, 2,…

Así, en extremo relevante y vinculada a una sucesión es su posible convergencia. Antes de precisar es-te concepto, observa la tabla 5.2 y la gráfica de la figura 5.2.

x xx

x

x

xn nn

n

n

n+ = − − = +

1

2 25

2

5

2,

x xf x

f xnn n

n

n+ = − =1 1 2

( )

'( ), , ,...,

5

0.5

2

1

2 3 4 5 6

1.5

n

FIGURA 5.2: Muestra el comportamiento gráfico de la sucesión {xn}.

Tabla 5.2: Muestra el comportamientonumérico de la sucesión {xn}.

n xn

1 2

2 2.250000000

3 2.236111111

4 2.236067978

5 2.236067977

solución

Dos observaciones importantes: primera, a partir de n = 4 en la tabla 5.2, las siete primeras cifras de-cimales de xn no cambian; segunda, los puntos (n, xn) en la figura 5.2 se aproximan a la recta

Lo interesante es que los valores de xn se acercan arbitrariamente a en la medida en la que n se ha-ce cada vez más grande.

5

y = 5.

3935.1: Sucesiones

Ejemplo 5.2

Lee nuevamente la solución del ejemplo 5.1. Notarás el uso de expresiones como “aproximar”, “acer-carse arbitrariamente” y “n se hace cada vez más grande”. El siguiente ejemplo pone de manifiesto lanecesidad imperiosa de contar con definiciones precisas; sin éstas, nuestra intuición nos podría llevar aconclusiones equivocadas.

La figura 5.3 consta de una circunferencia de radio 1, es decir, el diámetro AB mide 2 unidades. To-das las curvas Cn son semicircunferencias, como se verá. Intuitivamente, se observa que las curvas Cnse “acercan arbitrariamente” al diámetro AB. Escribe la regla de la sucesión de radios rn de las semicir-cunferencias Cn. Si ahora ln representa la sucesión que se obtiene sumando los perímetros de todas lassemicircunferencias Cn, determina ln. A partir de ln, ¿es posible aproximar el valor de π?

C1

C1

C2

C2

C2

C2

C3

C3C3

C3C3

C3C3

C3A B

FIGURA 5.3: Las curvas Cn se acercanarbitrariamente aldiámetro AB.

solución

Éste es un problema que puede inducir fácilmente al error. Observa que el radio de cada C1 es , el

de cada C2 es , y el de cada C3 es ; deducimos que el radio de cada Cn es

Para determinar ln observamos que para cada n hay 2n semicircunferencias Cn (en este con-

teo tenemos otra sucesión, con lo cual ya poseemos tres de ellas en este ejemplo: la de radios rn, la desuma de perímetros ln, y la que determina la cantidad de semicircunferencias). De este número deducimos

que Lo anterior significa que para cualquier n (por grande que éste sea) ln = π.

Como las semicircunferencias se aproximan arbitrariamente (aparentemente) al segmento AB, cuyalongitud es igual a 2, concluiríamos que π = 2, lo cual evidentemente es falso.

Este ejemplo demuestra que aunque la intuición siempre es valiosa, no debemos dejarnos guiarcompletamente por ella; lo anterior es cierto de manera particular cuando tratamos con procesos al in-finito (véase la unidad 4).

l nn

n= ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

=21

2π π .

rn n=

1

2.

r3 3

1

8

1

2= =r2 2

1

4

1

2= =

r1 1

1

2=

Sección 5.1.2 Convergencia y divergencia de sucesiones

Ahora nos dedicaremos a precisar diversas expresiones e ideas de párrafos anteriores.Para las sucesiones, el único proceso de convergencia que interesa es aquel en el quen tiende a infinito. Con la finalidad de pasar de lo intuitivo a la precisión matemáti-ca, considera una sucesión particularmente útil conocida como sucesión geométrica;a saber:

Las figuras 5.4 y 5.5, así como las tablas 5.3 y 5.4 revelan el comportamiento de estasucesión para los casos y a

n

n= ( )2322 .a

n

n= −( )2223

a a rn nn{ } = con


n an

1 −0.956522

5 −0.800708

10 0.641133

15 −0.513361

20 0.411052

25 −0.329133

30 0.263539

35 −0.211018

40 0.168964

45 −0.135291

50 0.108328

Tabla 5.3: Comportamiento numérico de

.an

n= −( )2223

1

0.5

–0.5

–1

10 20 30 40 50no

FIGURA 5.4: Comportamiento gráfico de an; , aquí .an

n= −( )2223r ≤ 1

Observa que la primera sucesión no tiene un comportamiento oscilatorio alrededor de 0;sin embargo, tanto la figura 5.4 como la correspondiente tabla 5.3 de valores de an su-gieren que, sin importar cuán angosta sea la franja entre líneas horizontales, existirácierto índice n0 a partir del cual todos los términos caerán en dicha franja. De manera ge-neral, la franja será indicada por el intervalo (L − ε, L + ε), donde ε es cualquier númeropositivo.

Vale la pena resaltar que la franja de la que hablamos es tan delgada como queramos,y que ésta se genera en torno a cierto valor L, número al que parece natural llamar límitede la sucesión.

Observa ahora que, para el caso de la segunda sucesión, no existe un índice n0 a partirdel cual se asegure que todos los términos de la sucesión caigan dentro de la franja mos-trada. Éste es un caso típico de sucesión donde el límite no existe. Sin entrar todavía endetalles, podemos señalar que la sucesión geométrica ; n = 0, 1, 2… converge para

y r = 1 y diverge para y r = 1. En el caso mostrado en la figura 5.5, diremosque la sucesión diverge a infinito.

r > 1r < 1

rn{ }

3955.1: Sucesiones

n an

1 1.04545

5 1.24889

10 1.55974

15 1.94795

20 2.43278

25 3.03829

30 3.7945

35 4.73893

40 5.91843

45 7.39149

50 9.23119

Tabla 5.4: Comportamientonumérico dea

n

n= ( )2322 .

8

10

10 20 30 40 50

6

4

2

FIGURA 5.5: Comportamiento gráfico de an; .r > 1

Continuando con la dicusión considera ahora la sucesión {bn} con {bn} = 2 + (−1)n;n = 0, 1, 2…

La sucesión {bn} también es oscilatoria como {an}; pero en este caso no existe unvalor n0 a partir del cual todos los términos de la sucesión caigan en una franja predeter-minada. Es verdad que una infinidad de términos están en la franja alrededor de 3, yotra infinidad cae en la franja alrededor de 1; sin embargo, la idea de convergencia es quetodos los términos, a partir de cierto n0, deberían caer en una sola franja, cualquieraque sea su ancho.

1

10 20 3015 25

3

4

2

5

bn; n par

bn; n impar

FIGURA 5.6: Comportamiento gráfico de bn.

Los ejemplos anteriores inducen la siguiente definición de convergencia de una sucesión.


Definición 5.2: Convergencia

Una sucesión {xn} converge a un número L si, para cada número positivo ε, exis-te un número n0 (en general, dependiente de ε) tal que para n > n0 se cumple que

El número L se llama límite de la sucesión {xn} y escribimos o

lím xn = L o xn → L. Si xn → L para algún número L ∈ �, diremos que la su-cesión es convergente; si no existe tal número L diremos que la sucesión esdivergente.

límn

nx L→∞

=x Ln − < ε.

Ejemplos

Ejemplo 5.3

Demuestra que: a) y que b) para

a) Lo primero que debes notar es que la sucesión tiene que considerarse a partir de 5, pues no

está definido para n = 4. Sea ε un número positivo cualquiera y queremos hallar un n0 ∈ � a partir

del cual se cumpla que De esta última desigualdad:

equivale a que equivale a

Por lo tanto, si aseguraremos que para n ≥ n0.

b) Tomemos un ε > 0 cualquiera. Queremos hallar un n0 ∈ �, tal que para n ≥ n0 . En-tonces,

equivalente a

pues la función ln es creciente, es decir,

que equivale a (ya que pues .

Por lo tanto, si y n ≥ n0 podemos asegurar que , luego rn → 0.r rn n− = <0 εnr0 ≥ ( )

ln( )

ln

ε

r < 1)ln r( ) < 0nr

> ( )ln( )

ln

εn rln ln( )( ) < ε

ln( ) ln( ),rn < εr

n < ε

r rn n− = <0 ε

1

40

1

4n n−− =

−< εn0 4

1≥ +ε

n > +41

ε1

4ε

< −n1

4n −< ε

1

40

1

4n n−− =

−< ε.

1

4n −

r < 1.límn

nr→∞

= 0límn n→∞ −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=1

40

solución

Esta metodología ofrece la comprobación de que un número conocido L es el límite deuna sucesión; sin embargo, no permite determinar el valor de L al que converge una su-cesión. De hecho, aun conociendo L, resulta un procedimiento complejo de comproba-ción, hasta para casos tan elementales como los mostrados en el ejemplo 5.3.

Antes de pasar al próximo teorema, requerimos la siguiente definición que nos resul-tará en extremo útil.

3975.1: Sucesiones

Definición 5.3

Una sucesión {an} se dice:

1. Acotada, si existe un número M > 0 tal que para toda n.

2. Monótona creciente o decreciente, si a1 ≤ a2 ≤ … ≤ an … o si a1 ≥ a2 ≥ … ≥an ≥ …, respectivamente.

a Mn ≤

Teorema 5.1

1. La sucesión {an} no puede converger a dos límites diferentes.

2. Si para todo n ≥ n0 y si entonces

3. Sean {an} y {bn} dos sucesiones convergentes. Entonces,

a) lím(c) = c, para cualquier constante c

b) lím(can) = c lím an, para cualquier constante c

c) lím(an ± bn) = lím an ± lím bn

d) lím(an ⋅ bn) = lím an ⋅ lím bn

e) si lím bn ≠ 0

4. Toda sucesión convergente {an} está acotada.

5. (Teorema de Weierstrass) Si {an} está acotada y es monótona, entonces,es convergente.

6. (Teorema del sándwich) Si an → L, bn → L y an ≤ cn ≤ bn, entonces, cn → L.

7. Si an → L y f es una función continua tal que an, L ∈ Df para todo n, enton-ces f (an) → f (L).

8. Si an → L, entonces,

9. Si an → L, entonces,

10. Si {an} está acotada y bn → 0, entonces, anbn → 0.

a a a Lnn

1 2� → .

a a a

nLn1 2+ + + →�

.

límlím

lím

a

b

a

bn

n

n

n

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= ,

límn

na→∞

= 0.límn

na→∞

= 0.a bn n≤

En el teorema 5.1 (cuya demostración omitimos), condensamos los resultados más im-portantes sobre el cálculo de límites de sucesiones. En los ejemplos resueltos ilustrare-mos su aplicación.

Nota: Los símbolos 0/0, 0 ⋅ ∞, ∞ − ∞, ∞/∞, 00, ∞0, 1∞, 0∞ denotan expresiones indeter-minadas en las que el comportamiento no puede precisarse a priori, es decir, sin el aná-lisis detallado de cada caso concreto. Para estas formas será posible utilizar la regla deL’Hôpital en alguna de sus variantes, pues subsiste el siguiente resultado (teorema 5.2):


Teorema 5.2

Sea f una función de una variable real tal que Si {an} es una su-

cesión tal que f (n) = an para cada entero positivo, entonces límn

na L→∞

= .

límx

f x L→∞

=( ) .

Ejemplos

solución

Ejemplo 5.4

Si existe, calcula el límite de la sucesión

Sea Observa que al tratar con el límite de una sucesión se debe consi-

derar en todo caso que n → ∞. Ahora bien,

donde utilizamos la siguiente idea. Para n suficientemente grande y dentro de una expresión del tipo“an2 + bn + c”, “bn” y “c” resultan “despreciables”, en comparación con “an2”. Análogamente, en unaexpresión del tipo “bn + c”, “c” es “despreciable” en comparación con “bn”. Así, el límite existe y dehecho L = −2.

Ejemplo 5.5

Si existe, calcula el límite Ln n

nn

n

=−+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟→

+

lím0

2

2

2 3

1

lím límn n

n n n

n n n→∞ →∞

+ − −− +

=( ) ( )

( ) ( )

(3 2 1 2

2 1 1

2 2

2

22

2

4

22

2 2

2

4

4

n n

n n n

n

nn n

) ( )

( ) ( )

−= − = − =

→∞ →∞lím lím −− 2,

Ln n n

n n nn=

+ − −− +→∞

lím( ) ( )

( ) ( ).

3 2 1 2

2 1 1

2 2

2

( ) ( )

( ) ( ), ,

3 2 1 2

2 1 1

2 2

21 2

+ − −− +

⎧⎨⎩⎪

⎫⎬⎭⎪ =

n n n

n n nn ,,...

En páginas anteriores indicamos que, en la práctica, es conveniente especificar el valor de x1y algún método recursivo para hallar xn+1(n ≥ 1) a partir del xn conocido. Para determinar laconvergencia de este tipo de sucesiones, existe un principio matemático muy poderoso queofrece una estrategia para demostrar la validez de enunciados generales que implican ente-ros positivos. La idea no es complicada; en una primera aproximación, podemos decir queel método por el que obtenemos enteros positivos es la suma de 1 al entero positivo anterior.Esto sugiere un patrón de nuestra definición matemática exacta del conjunto � = {1, 2, 3,…}.De manera más específica, el conjunto � está definido por las siguientes tres condiciones.

a) 1 ∈ �b) Si n ∈ �, entonces n + 1 ∈ �c) De todos los conjuntos de números que satisfacen a) y b), � es el más pequeño, es

decir, si M es otro conjunto de números que satisfacen a) y b), entonces,

De estas condiciones puede establecerse el principio de inducción (teorema 5.3).

� ⊂ M

3995.1: Sucesiones

solución

Observa que luego, el límite tiene la forma indeterminada 1∞. Si utilizamos el teorema 5.2:

La expresión entre llaves dentro de la función exponencial tiene la forma ∞ ⋅ 0; por ello, la reescribi-mos para obtener

(ya que )

Así, la forma indeterminada entre llaves tiene la forma 0/0, por lo cual utilizamos la regla de L’Hôpitalde la siguiente manera:

(véase el ejemplo 5.4).L Exp

n

n n

n

nnn

=

−−

−+

− +

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

→ −lím0

2 2

2

2 1 2

12 2 3( )

⎦⎦

⎥⎥⎥⎥

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

=+ − −

→Exp

n nnlím

0

23 2 1 2( ) ( nn

n n ne

2

22

2 1 1

)

( ) ( )− +⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪= −

ln ln( ) ln( )A

BA B

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −L Exp

n n n

nn=

− − ++

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

⎧→ −lím

0

2 2

1

1

2 3

ln( ) ln( )

( )⎨⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪,

Ln n

nExp n

n

n

n=

−+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= +→

+

→lím lím

0

2

2

2 3

012 3( ) lnn ( ) ln

n n

nExp n

nn

2

2 012 3

−+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

= +→

lím22

2 1

−+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪

n

n

límn

n n

n→∞

−+

=2

2 11;

Teorema 5.3: Principio de inducción

Sea Si:

a) 1 ∈ M,

b) (hipótesis de inducción) n ∈ M implica que n + 1 ∈ M

Entonces, M = �

M ⊂ �.

Una manera de comprender este principio es imaginando una línea infinita de fichas dedominó. Demostrar que una propiedad matemática es válida para todos los enteros posi-tivos equivale a buscar una manera de derribar cada una de las fichas. Si se quisiera de-rribarlas una por una, llevaría una cantidad infinita de tiempo y esfuerzo; pero si las fi-chas están cuidadosamente dispuestas, al caer la primera derribará a la segunda, y ésta ala tercera, y así de forma sucesiva.


FIGURA 5.7: Ilustración gráfica del principio de inducción.

La inducción matemática permite demostrar una propiedad para los enteros positivos,que indica que si cae la primera ficha, y la n-ésima tira la ficha n + 1 para cualquier n;entonces, caerán todas las fichas. Antes de regresar a las sucesiones donde usaremos elprincipio de inducción, vamos a ilustrar su utilidad en la demostración de una propiedadmatemática.

Ejemplos

Ejemplo 5.6

Utiliza la inducción matemática para demostrar que para cada entero positivo n, la suma de los prime-ros n cuadrados cumple

Sea

a) 1 ∈ M, pues 11

61 1 2 1 12 = +( ) ⋅ +( )

M n nn

n n= ∈ + + + = +( ) +( )⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

� �:1 26

1 2 12 2 2

1 26

1 2 12 2 2+ + + = +( ) +( )� nn

n n

solución

4015.1: Sucesiones

solución

b) (Hipótesis de inducción) Supongamos que n ∈ M, es decir, que se cumple

A partir de esta hipótesis, deseamos probar que n + 1 ∈ M, es decir,

Por la hipótesis de inducción,

Por lo tanto, de acuerdo con el principio de inducción, M = � y así la propiedad es cierta para cada en-tero positivo.

Ahora, continuamos nuestro desarrollo sobre sucesiones aplicando el principio mencionado.

Ejemplo 5.7

Expresa una ley de recursividad para el término general de la sucesión

,…; después, estudia su convergencia. En caso de existir, calcula el límite de la sucesión.

Sea {xn} la sucesión dada. Entonces, si se toma y para n = 1, 2, 3…, ge-neramos los términos de ella; se trata de la ley de recursividad para este caso. Para este tipo de suce-siones, el estudio de su convergencia se apoya generalmente en el teorema 5.1. Así, mostraremos doscuestiones respecto de esta sucesión. Primero, que está acotada y, segundo, que es monótona. En la ta-bla 5.5 y la figura 5.8 mostramos su comportamiento tanto numérico como gráfico.

x xn n+ = +1 11x1 11=

11 11 11+ +

11 11+ ,11,

= + +( ) +( )nn n

1

62 2 3

= + + +( )nn n

1

62 7 62

= + + + +( )nn n n

1

62 6 62

1 2 16

1 2 1 12 2 2 2 2+ + + + +( ) = +( ) +( ) + +( )� n nn

n n n

1 2 11

62 2 32 2 2 2+ + + + +( ) = + +( ) +( )� n n

nn n

1 26

1 2 12 2 2+ + + = +( ) +( )� nn

n n


Aunque la gráfica y la tabla anteriores inducen las afirmaciones que hemos hecho, es necesario escri-bir una demostración que, sin lugar a dudas, demuestre nuestras aseveraciones. Nuestra argumentaciónrecurrirá al principio de inducción matemática. Tenemos lo siguiente:

a) Afirmación: La sucesión está acotada por 4, es decir, para todo n = 1, 2, 3, … En efecto,

i. La proposición es cierta para n = 1, pues

ii. Hipótesis de inducción: Supón ahora que xn < 4 y queremos demostrar que xn + 1 < 4:

aquí hemos empleado la hipótesis de inducción: xn < 4

De acuerdo con el principio de inducción, la afirmación es válida para todo n = 1, 2, 3, …

b) Afirmación: La sucesión es monótona creciente, es decir, x1 < x2 < … xn < xn + 1 < … Usamos nue-vamente inducción matemática.

i. La proposición es cierta para n = 1; en efecto,

ii. Hipótesis de inducción: Supón ahora que xn − 1 < xn y deseamos mostrar que xn < xn + 1:

donde usamos la hipótesis de inducción: xn − 1 < xn.

De acuerdo con el principio de inducción xn < xn + 1 para todo n = 1, 2, 3, …Sabiendo ahora que la sucesión es monótona (creciente) y acotada, deducimos del teorema 5.1 que

la sucesión es convergente, es decir,

Observaciones:

a) No tiene ningún sentido hablar de L en tanto no se sepa que existe.

b) Si L existe, es fácil mostrar que también L xn

n=→∞ +lím 1.

L xn

n=→∞

lím .

x x x xn n n n= + < + =− +11 111 1,

x x1 211 11 11= < + =

x xn n= < 4

x xn n+ = + < + =1 11 12 4 4,

x1 11 16 4= < =

x xn n= < 4

2 3.783731596

4 3.852916019

6 3.854082006

8 3.854101630

10 3.854101961

12 3.854101966

14 3.854101966

Tabla 5.5: Comportamientonumérico de lasucesión {xn}.

n xn

1

10 2015

3.5

4

2

5

2.5

1.5

0.5

3

FIGURA 5.8: Comportamiento gráfico de la sucesión {xn}.

4035.1: Sucesiones

Con base en la observación b), al tomar el límite y utilizar el teorema 5.1, tenemos ; de

aquí, L2 = 11 + L, por lo cual, al resolver esta ecuación cuadrática hallamos que y

Como los términos de la sucesión son positivos, concluimos que

luego, (véase la tabla 5.5).límn

nx→∞

= +( ) ≈1

21 3 5 3 85410197.

L xn

n= ≥→∞

lím 0;L 21

21 3 5 0= +( ) > .

L 11

21 3 5 0= −( ) <

L L= +11

1. Para cada una de las siguientes sucesiones, encuentra n0 tal que n ≥ n0 implique para elvalor de L y ε > 0 indicados.

a) ε general

b) ε general

c) ε general

2. Usa el teorema 5.1 para calcular el límite (si existe) de cada una de las siguientes sucesiones:

ε =1

10

1

100, ,lím

n n n→∞ +=

1

10

( );

ε =1

10

1

100, ,lím

n

n

n→∞

+=

11;

ε =1

10

1

100, ,lím

n

n

n→∞

−=

( );

10

x Ln − < ε

a)

b)

c)

d )

e)

f )

g) con 0 < a < b

h) nna

na2

331−

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪

a bn nn +{ }n n a n2 2+ −( ){ }

n n n e

n

n2

2

2

2 5

+

+

( )⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪

arctan !

1 1 5

7 3

− + +

− +( )( )⎧

⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪

n n

n

n n n n4 2 4 25 3 15 5− − − + −{ }

−( )⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪+

10

3 5

n

n n

{ln( ) ln( )}n n+ −1


3. Apóyate en el teorema 5.2 y la regla de L’Hôpital para calcular el límite (si existe) de cada una delas siguientes sucesiones:

a)

b) con

c)

d )

e)

f )

g)

h)

i )

j )

lne

n

n

n2

1

12

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

ln(ln( ))

ln( ln( ))

n

n n−⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

e nn n−( ){ }1/

nn

nln

+−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

1

1

1 11

1 11

− −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

n

n

na

nb

11

2

2 2

++

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪

+

n n

n n

n

n

n

n

+( )⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪

1

3

n n+( ){ }+71

3( )

a < 1na n{ }

nn{ }

4. Considera la sucesión 1,

a) Por recurrencia, define una sucesión {xn}; n = 1, 2, … que genere los términos anteriores.

b) Supón luego que el límite L de la sucesión existe. ¿Cuál es su valor?

c) Usa el resultado del inciso b) y calcula x15 para estimar el valor de L.

5. Considera la sucesión {an} dada por

a) Escribe los primeros cinco términos de la sucesión.

b) Usa el principio de inducción matemática y demuestra que la sucesión es creciente y acotada.

c) Calcula . Usa su resultado para estimar el valor de

6. El siguiente problema se atribuye a Leonardo de Pisa, cuyo seudónimo fue Fibonacci. “¿Cuántas pare-jas de conejos se tendrán en un año, si iniciamos con una sola pareja y, cada mes, cada pareja produceuna nueva pareja que empezará a reproducirse a partir del segundo mes?” ¿Qué ocurrirá si el procesocontinuara indefinidamente?

13 13 13 13 13+ + + + +�L an

n=→∞

lím

a an n+ = +1 13 .a1 13= ,

21

21

2 13

++

+

…,21

2 13

++

,2 13+ ,

4055.1: Sucesiones

La sucesión de Fibonacci se define recursivamente por an + 2 = an + an + 1, donde a1 = a2 = 1:

a) Escribe los primeros diez términos de la sucesión {an}

b) Escribe los primeros diez términos de la sucesión definida por A partir de los va-

lores obtenidos, intuye la convergencia de la sucesión {bn}

c) Usa el inciso b) y demuestra que

d) Supón ahora que el existe (a ρ se le llama razón áurea). Muestra que ρ satisface una

ecuación de segundo grado. Resuélvelo para ρ y determina su valor

7. Considera la sucesión {an} definida por a = 2, n = 2, 3,… Obtén una expresión

para an + 1 que dependa sólo de n. Determina si la sucesión converge o diverge y, en caso de convergen-

cia, calcula su límite.

8. Sea {an} una sucesión que satisface an = nkbn donde b es cualquier constante tal que 0 < b < 1 y k escualquier entero positivo. Analiza la convergencia de esta sucesión y, en caso de que exista, calcula sulímite.

9. Sea {an} una sucesión de números estrictamente positivos.

a) Si verifica la convergencia de la sucesión {an} en los casos 0 ≤ L < 1 y L > 1límn

n

n

a

aL

→∞

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=1 ,

an

an n+ = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟1 1

1;

límn

nb→∞

= ρ

bbn

n

= +−

11

1

ba

ann

n

n

= ≥+1 1, .

Pareja no reproductiva

Pareja reproductiva

1

1

2

3

5

8

13

FIGURA 5.9: Crecimiento de los conejos de Fibonacci. Cada nueva pareja debemadurar durante un mes antes de reproducirse; después de esteperiodo producirá una pareja cada mes.


Sugerencia: Una posible solución puede apoyarse en el teorema del sándwich.

b) De su conclusión en a), determina si la sucesión n = 0, 1, 2, … c > 0 converge o diverge; en

caso de convergencia, calcula el límite de la sucesión.

10. Una empresa de embalaje colocará n2 discos iguales en una caja delgada de base cuadrada con lado “k”.Si la sucesión {an} proporciona el área sobrante (en la figura 5.10 se muestra el caso n = 4 y el áreasobrante está sombreada). Determina el valor de an en términos de “n” y, en caso de convergencia,encuentra lím

nna

→∞.

c

n

n

!;

⎧⎨⎩⎪

⎫⎬⎭⎪

FIGURA 5.10: Colocación de n2 discos en una caja angosta de base cuadrada de lado “k”.

11. Al estudiar la población de una especie se logró determinar que en su esquema más simple (sin consi-derar mortandad), el número de miembros de una generación es proporcional al número de individuosde la generación anterior; es decir, si Nt y Nt + 1 representan los miembros de una especie de una gene-ración y la siguiente, respectivamente, entonces Nt + 1 = kNt para cierta constante k > 0. Estudia el com-portamiento del número de miembros de la especie a la larga, es decir, cuando t → ∞ para los casosa) 0 < k < 1, y b) k > 1.

12. Considera la sucesión {xn} y supón que para n ≥ 50 se cumple Si existe el

límite, calcula

13. Sea f una función real monótona creciente y acotada en el intervalo [0, 1]. Define las sucesiones {sn}y {tn} de la siguiente forma:

sn

fk

nt

nf

k

nnk

n

nk

n

= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

−

=∑ ∑1 1

0

1

1

,

límn

nx→∞

.

41

41

− ≤ ≤ −π n n n

xe

.

4075.1: Sucesiones

a) Demuestra que y que

b) Explica que las sucesiones {sn} y {tn} convergen ambas hacia

c) Establezce y demuestra un resultado correspondiente al intervalo [a, b]

14. Con base en el problema 15, calcula los siguientes límites en caso de que existan:

f x d x( )0

1

∫

01 0

0

1≤ − ≤ −

∫ f x d x sf f

nn( )( ) ( )

s f x d x tn n≤ ≤∫ ( )0

1

a)

b)

c)

d )

e)

f ) lím senn

k

n

n

k

n→∞ =∑ ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

1

1

2 π

lím senn

k

n

n

k

n→∞ =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟∑ 1

1

π

límn

k

n

n k→∞ = +∑ 1

2 21

límn

k

n n

n k→∞ = +∑ 2 21

límn

k

n

n k→∞ = +∑ 1

1

límn

k

n

n

k

n→∞ =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟∑1 2

1

15. Sea la sucesión {xn} tal que x1 = 1 y xn = xn − 1 + cos(xn − 1). Considera la figura 5.11 e infiere si lasucesión {xn} es convergente o divergente. En caso de convergencia, indica a qué límite converge yprueba su aseveración.

1

xn –1

xn –1

cos (xn –1)

1

FIGURA 5.11: Representación gráfica de las componentes de la sucesión {xn}.

16. El método de punto fijo. Un punto fijo de una función g es un número p tal que g(p) = p. Observa queel problema de encontrar las soluciones de una ecuación f (x) = 0 y el de encontrar los puntos fijos deuna función g(x) son equivalentes; en efecto, bastará que imagine f (x) = x − g(x). El método de puntofijo inicia con una aproximación inicial x0 y el establecimiento de una sucesión dada por xn + 1 quegenera una sucesión de aproximaciones, la cual en ciertas condiciones converge a la solución de laecuación f (x) = 0; a la función g se le conoce como función de iteración. Aunque hay varios resultadosrelacionados con este concepto, uno de los más importantes y generales en cuanto a la convergencia esel siguiente. Imagina que x0 está en un intervalo I al cual pertenece p (aunque se desconoce p, a menudoes posible determinar a priori tal intervalo), y que en el intervalo I se cumple para ciertaconstante q < 1; entonces, xn converge a p.

g x q' ( ) <



Aplica el método de punto fijo para aproximar la solución de la ecuación x3 + 4x2 − 10 = 0 dentro delintervalo [1, 2]. Sigue los siguientes lineamientos:

a) De la ecuación x3 + 4x2 − 10 = 0, despeja x y exprésala en la forma para ciertas cons-

tantes A y B.

b) Elige g como la función para los valores de A y B determinados en a). Encuentra el

máximo absoluto de y verifica que se cumple que

c) Utiliza Excel o alguna otra herramienta tecnológica y consigue una aproximación de la soluciónpedida.

17. Una población de roedores se reproduce cada cuatro meses, de manera que su constante de reproduc-ción es 2.3. Para limitar su crecimiento poblacional se introducen depredadores, los cuales regulan sucrecimiento en un factor de 0.007125. Con esto se ha logrado establecer que la dinámica poblacionalde las subsecuentes generaciones sigue el modelo Nt + 1 = 2.3Nt − 0.007125Nt

2. Determina lo que ocu-rre a la larga con la población si se inicia con a) 60 roedores; b) 300 roedores.

g x q' ( ) .< < 1g x' ( )

g xA

x B( ) =

+

xA

x B= ±

+


1. ¿Cómo ganar fácilmente una apuesta en una reunión de amigos? Con base en la teoría de-sarrollada en este capítulo, con tus compañeros analiza el problema introductorio y da unarespuesta fundamentada a las preguntas que ahí se formulan.

2. Sucesiones en la compra-venta de ganado. La ganadería es una de las principales activida-des económicas en el estado de Guerrero. En una plática con uno de los autores, JesúsEstrada García, ganadero medio de la región y dueño del rancho “La Cañada”, planteó lasiguiente situación: Cada semestre, la cuarta parte de las reses del rancho se ofrece en elmercado y, a la vez, el ganado se renueva con una determinada cantidad A (fija) de lasmismas compradas a otras ganaderías. Por muchos años se ha seguido esta política, con lafinalidad de enriquecer el ganado con que cuenta el señor Estrada. La pregunta que se plan-teó fue la siguiente. ¿Cuántas cabezas se deben comprar cada semestre para que al cabo dealgunos años el rancho, que actualmente cuenta con 500 reses, eventualmente llegue a 4,000y se mantenga en ese número? Organízate con tu equipo y responde esta pregunta de manerafundamentada.

4095.1: Sucesiones

Autoevaluación

1. Determina la opción que contiene una sucesión convergente y su límite correspondiente.

a) b) c) d) xn = (−1)n + 1

2. Elige la opción que contiene la afirmación correcta para la siguiente sucesión {xn}; xn = n(−1)n

a) Converge a cero b) Diverge c) Diverge a + ∞ d) Converge a e

3. La sucesión es convergente; determina la opción que contiene el valor de su

límite L.

a) b) L = 0 c) d) L = 1

4. Elige la opción que proporciona la afirmación correcta para la sucesión

a) Diverge a + ∞ b) Converge a 1 c) Diverge de manera oscilatoria d) Converge a 0

5. Para el límite elige la opción que proporciona el valor del

parámetro a de tal manera que el límite exista.

a) El límite existe para cualquier a > 1 c) El límite existe para cualquier a < 1

b) El límite existe sólo si a = 1 d) El límite existe para cualquier a > 0

6. Sea {an} una sucesión tal que Utiliza el principio de inducción para

verificar que la sucesión sea creciente para todo n = 1, 2,…y que esté acotada (superiormente)por 2. Por el teorema de Weierstrass, sabemos que la sucesión es convergente; elige la opciónque contiene su límite L.

a) L ≈ 0.525 b) L ≈ 0.5001 c) L ≈ 1.49 d) L ≈ 1.007

7. Considera la sucesión {an} tal que a1 = 1. Usa inducción matemática para verifi-

car que después, elige la afirmación correcta sobre la sucesión {an}.

a) La sucesión converge a 2200 c) La sucesión diverge bajo un patrón oscilatorio

b) La sucesión es acotada d) La sucesión diverge a + ∞

8. Sea {an} una sucesión tal que an2 = can − 1 con c > 0 y a1 > 0. Por inducción matemática verifica

que la sucesión es monótona y que a ≤ an ≤ 2c.

Sugerencia: an2 − an − 1

2 = c (an − 1 − an − 2).

Por el teorema de Weierstrass hablamos del límite L de la sucesión; elige la opción que lo contiene.

a) L = c b) L = 2c c) d) L = c2L c=

a nn≥ −2 1;

a na n

+ =1 2 ,

a a an n+ = + =1 11 1, .

límn

a n n n n→∞

+ + − + +( )2 23 7 ,

xn n

nn = ( )+

23

1

sen !

L = 12L = 1

3

xn

n n

n n=+ −( )+ −( )+

3 2

3 21

xn

nn n=

⋅ ⋅ −( )( )

1 3 5 2 1

2

�x

n

nn = − +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

sen2 12

xn

nnn= −( )

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟1

1


9. Relaciona las sucesiones de la columna A con las afirmaciones de la columna B.

Columna A Columna B

a) Sea la sucesión {xn} dada por x1 = 1,y xn + 1 = x1 + x2 + … + xn. La fórmulageneral para xn, n ≥ 2 es…

b) El límite es…

c) El límite es…

d ) El límite es…lím senn

n

n n→∞ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

2 1

1

límn n n n→∞ − − +

1

12 2

límn

nn→∞

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

ln 12

i. xn = 2n + 1

ii. 2

iii.

iv. 1

v. −2

vi. xn = 2n − 2

vii. No existe, la sucesión diverge

12

Respuestas a los


1.

a) Para n0 ≥ 10; para n0 ≥ 100; para ε > 0,

b) Para n0 ≥ 5; para n0 ≥ 50; para ε > 0,

c) Para n0 ≥ 3; para n0 ≥ 10; para ε > 0,

2.

n 0

24

2≥

− + +ε ε εε

ε = 1100 ,ε = 1

10 ,

n 0 2

1

2≥

+ε εε = 1

100 ,ε = 110 ,

n 01≥ εε = 1

100 ,ε = 110 ,

a) Converge a 0

b) diverge

c) converge a −10

d ) converge a e) converge a 0

f ) converge a

g) converge a b

h) diverge a − ∞a 2

2

17

3.

a) Converge a 1

b) converge a 0

c) converge a 1

d) converge a

e) converge a e2

f ) Converge a

g) converge a 2

h) converge a e

i) converge a 0j) diverge a ∞e e

e

a b a

b

− + −( )−( )

1

1e

3

4115.1: Sucesiones

4. a) Definimos la sucesión {xn} de la siguiente manera: x1 = 1, para n ≥ 1.

b) c)

5. a)

b) Del inciso anterior conjeturamos que la sucesión está acotada por 5 (por ejemplo). En efecto:

i. La proposición es cierta para n = 1, pues

ii. Hipótesis de inducción. Supongamos que an < 5, queremos mostrar que an + 1 < 5. Tenemos:

Luego, por el principio de inducción, an < 5 para toda n = 1, 2, …; como habíamos afirmado.

i. La sucesión es creciente. En efecto,

ii. La proposición es cierta para n = 1, pues a1 < a2.

iii. Hipótesis de inducción. Supongamos que an − 1 < an, queremos mostrar que an < an + 1. Tenemos:

Nuevamente, por el principio de inducción, an < an + 1 para toda n = 1, 2, …; como habíamos afirmado.

c) Sabiendo ya que el límite existe, tenemos: es decir, Despe-

jando L, deducimos que De aquí que

6. a) a1 = 1, a2 = 1, a3 = 2, a4 = 3, a5 = 5, a6 = 8, a7 = 13, a8 = 21, a9 = 34, a10 = 55

b) b1 = 1, b2 = 2, b3 = 1.5, b4 ≈ 1.6667, b5 ≈ 1.6, b6 ≈ 1.625, b7 ≈ 1.615, b8 ≈ 1.619, b9 ≈ 1.617,b10 ≈ 1.618. Se intuye que la sucesión {bn} converge a un valor que está cercano a 1.61.

c)

d) Dado que al tomar el límite cuando n → ∞ en obtenemos

que equivale a la ecuación cuadrática ρ2 − ρ − 1 = 0. Las soluciones de esta ecuación son

y Como ρ1 < 0, determinamos que ρ = + ≈1 5

21 618.ρ 2

1 5

2=

+.ρ 1

1 5

2= −

ρρ

= +11

,

bbn

n

= +−

11

1

lím límn

nn

nb b→∞ →∞ −= =1 ρ,

11

11

11

1

1 1 1+ = + = + = + =−

−

− − +

b a

a

a

a

a a

a

a

an n

n

n

n

n n

n

n

n

== bn

13 13 13 13 13+ + + + ≈� 4.14005

L = +( ) ≈1

21 53 4 14005. .

L L= +13lím límn

nn

na a→∞ + →∞

= +1 13 ;

a a a an n n n+ −= + > + =1 113 13

a an n+ = + < + < + =1 13 13 5 13 12 5

a1 13 25 5= < = .

a 5 13 13 13 13 13= + + + + ≈ 4.1399a 4 13 13 13 13= + + + ≈ 4.1391;

a 3 13 13 13= + + ≈ 4.1321;a 2 13 13= + ≈ 4.0749;a1 13= ≈ 3.6055;

5 2 236067977≈ .L = 5;

xxn

n+ = +

+1 21

2;


7. Para n ≥ 2, luego De la misma

forma por lo cual Continuando de es-

ta manera hallamos que Si se realizan las operaciones

en los paréntesis y se sustituye a2 = 2 se encuentra que por lo

tanto, al simplificar en consecuencia, la sucesión converge a cero.

8. La sucesión es convergente, de hecho

9. a) Para L < 1, si L > 1, la sucesión diverge a infinito.

b) Consideremos entonces luego por el inciso a)

10. Sobre cada lado del cuadrado se disponen “n” discos, luego el diámetro de cada uno de ellos es

es decir, el radio de cada disco es Como se colocarán n2 discos, el área total de todos ellos

será de donde: Por lo tanto, para cada “n”, an se

mantiene constante y

11. Nt = ktN0, donde N0 es la población al tiempo inicial t = 0. Por lo tanto, para a) b) .

12. El límite existe y

13. No requiere solución, véase el problema correspondiente.

14. a) b) ln(2) c) π/4 d) e) 2/π f ) 1/2

15. La sucesión es convergente con límite igual a

16. a) A = 10; B = 4; b) para toda x ∈ [1, 2]; c) Al tomar x0 = 1, obtenemos

p ≈ 1.36523001.

17. a) La población se estabiliza en aproximadamente 183 roedores.

b) La población se estabiliza, de nuevo, en aproximadamente 183 roedores.

g xx

g' ( ) ( )=+( )

≤ <10

2 42 13

2

π2 .

ln 1 2+( )13

límn

nx→∞

= 4.

Ntt→ ∞→∞

Ntt→→∞

0,

límn

na k→∞

= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2 14

π.

a k k kn = − = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2 2 2

41

4

π π.n

k

n

k22 2

2 4π π⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

= ,

rk

n=

2.

dk

n= ;

límn

na→∞

= 0.a

a

c

n

c

n

c

nn

n

n

n n

+

+

→∞= + =

+→1

1

11

0( )!

!

,ac

nn

n

=!,

límn

na→∞

= 0;

límn

na→∞

= 0.

ann+ =12

;

an

n

n

n

n

nn+ =−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

−−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛1

1 2

1

3

2

1

2�

⎝⎝⎜⎞⎠⎟

2;

an n nn+ = −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

−−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−1 11

11

11

1

21

1�

22 2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

a .

an n n

an n+ −= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟1 21

11

1

11

1

2..a

nan n− −= −

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟1 21

1

2,

an n

an n+ −= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟1 11

11

1

1.a

nan n= −

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −1

1

1 1;an

an n+ = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟1 1

1,

4135.1: Sucesiones


1. c) converge a 02. b)3. a)

4. d)5. b)6. c)

7. d)8. a)9. (a, vi.); (b, ii.); (c, v.); (d, iii.)

Referencias


2. Clawson, C., Misterios matemáticos, magia y belleza de los números, México, Diana, 1999.3. Courant, R. y John, F., Introducción al cálculo y al análisis matemático, vol. I, México, Limusa, 1982.4. Courant, R. y Robbins, H., ¿Qué son las matemáticas?, México, Fondo de Cultura Económica, 2002.5. Kasner, E., Newman, J., Matemáticas e imaginación, México, CECSA, 1972.6. Obregón, I., Teoría de la probabilidad, México, Limusa, 1977.7. Parzen, E., Teoría moderna de probabilidades y sus aplicaciones, México, Limusa, 1982.8. Prado, Santiago, et al., Precálculo, México, Pearson Educación, 2006.9. Rivaud, J., Ejercicios de análisis, Madrid, Reverté, 1975.

10. Seeley, R., Cálculo de una y varias variables, México, Trillas, 1978.11. Takeuchi, Y., Sucesiones y series, México, Limusa, 1980.12. Zhúkov, A., El omnipresente número π, Moscú, URSS, 2005.

Turismo, fuente importante del ingreso nacional


5.2 Primeras series

Tarde o temprano, ganamos y gasta-mos, derrochamos nuestras fuerzas.

William Wordsworth, Soneto, 1806

FIGURA 5.12: Turismo en México. Playas(Cabo San Lucas).

FIGURA 5.13: Turismo en México. Arqueología (MonteAlbán).

FIGURA 5.14: Turismo en México. Puertos (Veracruz).

México posee una enorme riqueza cultural que se acompaña de bellas sedes na-turales. Ningún otro país del llamado Nuevo Mundo ofrece al turismo riquezassimilares: gastronomía, sitios arqueológicos grandiosos, folclor y arte colonial,

así como paradisiacos lugares de grandes contrastes, como playas de arenas blancasy diversas tonalidades de mar; valles extensos; bosques y selvas, ríos y cascadas.Por todo ello, el turismo ha sido y es una de las actividades económicas más di-námicas y con mayor potencial de crecimiento. De manera particular, cuando serealiza alguna convención o algún congreso, la derrama económica proviene dedos fuentes (en su esquema más simplificado):

a) Del efecto directo, que es el dinero que gastan los asistentes a las convenciones

b) De los recursos que cada residente gasta en la ciudad donde se realiza la con-vención

Puesto que en cada congreso se genera una derrama económica que no sólo se de-be al efecto directo, sino también al consumo de cada residente, se genera un fe-nómeno que en economía se conoce como efecto multiplicador. Con tu equipo detrabajo, revisa la página http://www.sectur.gob.mx/wb2/sectur/sect_9189_con-gresos_y_convenci, donde encontrarán datos referentes al año 2001. Con esosdatos y el material de esta sección, deberás responder lo siguiente: ¿Cuál fue elmonto total que por efecto directo recibió México en 2001 por concepto de conven-ciones y congresos?

4155.2: Primeras series

Introducción

Como seguramente ya te diste cuenta, trabajar con el “infinito” en todoslos casos requiere de un acercamiento cuidadoso. Aunque ya haya avanzadomucho en esa dirección, no sobra advertirle que grandes pensadores de to-dos los tiempos han cometido errores importantes en el manejo de procesos“al infinito”, pues lo hicieron como si se tratara de mecanismos finitos quenuestra intuición pudiera manejar y sin la dedicación requerida. A este res-pecto, es ilustrativa la paradoja de Zenón. Casi dos siglos antes de Euclides,Zenón de Elea enunció un conjunto de paradojas, como un reto a los filósofosy geómetras de su tiempo. La paradoja más simple toma la siguiente forma,que hemos adaptado al lenguaje contemporáneo: “Para recorrer un kilóme-tro, primero debemos recorrer medio kilómetro; para recorrer el medio kiló-metro restante, debemos recorrer primero un cuarto de kilómetro; para recorrerel cuarto de kilómetro restante, debemos recorrer primero un octavo de kiló-metro, y así sucesivamente, ad infinitum. Si consideramos la distancia totalcaminada, bajo este procedimiento habremos cubierto una distancia de

es decir, la distancia total por recorrer puede representarse como una suma infi-nita de longitudes. En general, para recorrer en su totalidad cualquier longitud(¡por pequeña que ésta sea!) tendremos que recorrer una infinidad de taleslongitudes. De aquí se genera la paradoja: “Parece imposible que podamosrecorrer un kilómetro; también lo parece recorrer un metro, un decímetro…;luego, el movimiento, en sí mismo, es imposible”.

En la época de Zenón resultaba sumamente difícil dar una respuesta convin-cente a su paradoja, pues la respuesta está asociada con una idea que parece

1

2

1

4

1

8+ + +�,

Sección 5.2.1 El concepto de serie

Al hablar de una serie, nos referimos en primera instancia a la suma de una infinidad detérminos. Pero para comprender esto debemos partir de lo que sabemos hacer: sumar unacantidad finita (aunque tal vez muy grande) de sumandos. Así, parece natural que al sumaruna infinidad de términos, deberíamos considerar lo que pasa con la suma de los primerossumandos, de manera que el número de éstos, “n”, sea cada vez más grande, dentro deun proceso que nos lleve a la idea de suma infinita de términos. ¿Le parece familiar estelenguaje? En efecto, se trata de nuestro gran aliado de la sección anterior: estamoscontemplando la posibilidad de definir la suma de una infinidad de términos a partir dedos ideas fundamentales: la de sucesión y la del límite de ésta. Así, nuestro acercamientoal tema de series será a través del estudio de lo que llamaremos sucesión de sumasparciales. A partir de lo que ocurra con tales sumas diremos lo que pasa con la serie.Así, no abordaremos el estudio de todas las series en esta sección; en vez de ello, nosconcentraremos en tres tipos de serie que revisten una enorme importancia para generarideas fundamentales y para deducir resultados importantes para el resto del estudio:

• La serie telescópica

• La serie geométrica

• La serie “p”


fuera de juicio: sumar una infinidad de términos. Cualquiera de nosotros, conmás o menos trabajo, será capaz de sumar 20, 1000, 107 sumandos; pero, ¿quédeberíamos entender por sumar una infinidad de términos? A nuestra intuiciónle suena imposible sumar una infinidad de términos en un lapso finito. Por ellado matemático parece irrealizable que, por ejemplo, una suma infinita denúmeros positivos resulte en una suma finita. Esta idea —que por el momentosuena como locura— será la finalidad de nuestro estudio. Llegar al conceptomatemático de una suma infinita de términos es una idea fundamental delas matemáticas puras y aplicadas, en tanto que el concepto del que hablamosse conoce como serie.

Objetivos


• Definir los conceptos serie, convergencia, divergencia y sumade una serie.

• Identificar las tres series discutidas en esta sección, a saber: latelescópica, la geométrica y la serie p.

• Aplicar los criterios de convergencia para las series del incisoanterior.

• Calcular la suma de una serie telescópica o geométrica, en casode convergencia.

• Aplicar los primeros criterios sobre convergencia y divergen-cia de una serie, incluido el criterio los términos n-ésimo, deCauchy y de combinación de series.

Hemos hablado de sumar una infinidad de términos (si esto es posible); pero ahora re-querimos precisar. No sumaremos términos que no tengan un cierto arreglo; buscaremossumar siempre y cuando los sumandos constituyan, a la vez, una sucesión de la forma{an}. Iniciamos con el siguiente recordatorio (definición 5.4).

La suma de los números reales a1, a2,…, an se denota con S a a a an n jj

n

= + + + ==

∑1 21

...


Definición 5.4

Si el conjunto de elementos de la suma conforma una sucesión {an}, entoncesla serie de término general an se denota por:

a1 + a2 + a3 + … o o {Sn}

Diremos que la serie converge si lo hace la sucesión {Sn} formada por las su-mas parciales Sn:

S1 = a1

S2 = a1 + a2

S3 = a1 + a2 + a3

...

Sn = a1 + a2 + … + an

(Observa que el número de sumandos es n y n → ∞).En este caso, diremos que la suma de la serie es S, donde

Si la sucesión {Sn} diverge, diremos que la serie lo hace o que no es sumable.

Esto ocurrirá si o si Sn oscila de manera que no se aproxime a nin-

gún valor real para n suficientemente grande.

límn

nS→∞

= ± ∞

S a a a a Sjn

jj

j

n

nn= + + = = =

→∞=

∞

= →∞∑ ∑1 2

1 1

... lím lím

ajj=

∞

∑1

Como se ve, la convergencia o divergencia de una serie se reduce a determinar la con-vergencia de una sucesión, la de las n-ésimas sumas parciales {Sn}, por ello algunos re-sultados como el siguiente son consecuencia inmediata de esta idea.

Teorema 5.4

Operaciones con series

Sean dos series convergentes. Entoncesa bjj

jj=

∞

=

∞

∑ ∑1 1

,


a) también converge y, además,

b) también converge y para cualquier constante c.

c) Si es divergente, entonces, también lo es a cj jj

±( )=

∞

∑1

cjj=

∞

∑1

c a c ajj

jj

( ) ==

∞

=

∞

∑ ∑1 1

c ajj

( )=

∞

∑1

a b a bj jj

jj

jj

±( ) = ±=

∞

=

∞

=

∞

∑ ∑ ∑1 1 1

a bj jj

±( )=

∞

∑1

Serie telescópica

Para iniciar la discusión de la serie telescópica, considera la serie .

Observa que, el término general de la sucesión de sumandos es y la

n-ésima suma parcial es

cuyo formato es abierto (fácilmente identificable por los tres puntos suspensivos). Enprimer lugar, en la tabla 5.6 y en la figura 5.15 hemos plasmado un acercamiento alcomportamiento del término general de la serie.

S a a a an nn n= + + + + =

⋅+

⋅+

⋅+ +

⋅ +1 2 31

1 2

1

2 3

1

3 4

1

1� �

( ),

aj jj =

+1

1( ),

1

11 j jj ( )+=

∞

∑

Tabla 5.6: Comportamiento nu-mérico de la sucesióndel término generalde la serie.

j aj

1 0.5

5 0.0333333

10 0.00909091

15 0.00416667

20 0.00238095

25 0.00153846

30 0.00107527

0.04

0.05

5 10 15 20 25

0.03

0.02

0.01

30

FIGURA 5.15: Aspecto gráfico de la sucesión del término general aj de la serie.

En tanto, en la gráfica de la figura 5.16 y en la tabla 5.7 se muestra el comportamien-to de la sucesión de sumas parciales Sn. Del comportamiento gráfico y numérico deSn se desprenden varias observaciones importantes que hacemos explícitas a conti-nuación.


a) La tabla 5.7 y la figura 5.16 sugieren que la sucesión {Sn} de n-ésimas sumasparciales converge a 1. Observa que el número de sumandos en Sn se incrementaindefinidamente en la medida en que n → ∞; no obstante, la suma de la serie pare-ce ser un valor finito.

b) De la tabla 5.6 y la correspondiente figura 5.15 se observa que las contribucio-nes de los últimos términos son prácticamente “despreciables”, de aquí estamostentados a señalar que ésta debería ser una condición necesaria para la conver-gencia. Hay que tener cuidado: por el momento no podemos decir qué tan “despre-ciables” deberán ser las contribuciones de los últimos términos para que la serieconverja.

c) De acuerdo con la tabla 5.7 se infiere que, en caso de convergencia, la suma “S”de la serie se obtiene prácticamente de sus primeros sumandos.

No obstante estas apreciaciones, estaremos en un campo inseguro de conclusiones einterpretaciones en tanto éstas no se verifiquen analíticamente. Por ello, mostraremos:i. Que la serie es, en efecto, convergente y que su suma es 1; ii. que tomando los pri-meros n términos de la serie lograremos acercarnos a la suma tanto como deseemos;iii. que la cola o el residuo de la serie, es decir, la suma de los últimos términos de laserie puede hacerse tan pequeña como se desee, con tal de que se tomen índices suficien-temente grandes.

Así,

i. Necesitamos observar que aunque en la definición de convergencia de una serie sedebe considerar éste no es un cálculo tan directo. La razón estriba en que

el límite que deseamos hace que el número de sumando aumente indefinidamente yesto imposibilita el uso de los teoremas que se tiene sobre cálculo de límites desucesiones. Por lo tanto, antes de proceder al cálculo de es indispensable pa-

sar del formato abierto de la sucesión {Sn} a su formato cerrado, que se caracterizapor la ausencia de los puntos suspensivos, es decir, donde el número de sumandossea finito. Aprovechamos para indicar un aspecto algebraico importante que carac-

límn

nS→∞

,

límn

nS→∞

,

0.8

1

5 10 15 20 25

0.6

0.4

0.2

30

FIGURA 5.16: Aspecto gráfico de las n-ésimas sumas parciales de la serie.

Tabla 5.7: Comportamiento nu-mérico de las n-ésimassumas parciales dela serie.

n Sn

1 0.5

5 0.833333

10 0.909091

15 0.9375

20 0.952381

25 0.961538

30 0.967742


teriza a una serie telescópica. En primer lugar, si descomponemos aj en fraccionesparciales hallaremos que

1 = A(j + 1) + Bj, de donde: A = 1 y B = −1, luego:

Reescribimos ahora Sn de la siguiente manera:

aj jj = −

+1 1

1

aj j

A

j

B

jj =+

= ++

1

1 1( ),

n ≥ 9

n ≥ 99

10−5 n ≥ 105 − 1

ε > 0 (arbitrario) n ≥ −11

ε

1100

110

ε n requerido

Tabla 5.8: Si n es suficientemente grande, Sn puedeestar tan cerca de 1 como deseemos.

(forma abierta de Sn)

(forma cerrada de Sn)= −+

11

1n

S a a a an n= + + + + = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ + −1 2 3 1

1

2

1

2

1

3

1

3�

11

4

1 1

1⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + + −

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟�

n n

Acabamos de ver la característica fundamental de una serie telescópica; a saber: cuandose despliegan los sumandos de una serie de este tipo, después de hacer simplificaciones,quedan únicamente el primero y el último de los términos desplegados. En la últimaecuación (aunque n → ∞, es decir, aunque el número de sumandos aumente indefinida-mente), la forma cerrada de Sn sigue constando de dos sumandos, con los cuales podemosmanipular nuestros resultados para el cálculo de límites. En nuestro caso:

Por lo tanto, la serie es convergente y, además, la suma S es igual a 1.

ii. En la tabla 5.7 se generó la apreciación de que en los primeros n términos de es-ta serie se encuentra su mayor peso. Esto significa que, dado ε > 0, existe n0tal que n ≥ n0 implica La tabla 5.8 se obtiene con las ideas de la sec-ción anterior e indica cuántos términos de la serie se requieren con la finalidad deasegurar que Tenemos:Sn − <1 ε.

Sn − <1 ε.

lím límn

nn

Sn→∞ →∞

= −+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=11

11


iii. Finalmente, estudiaremos dónde está la pieza clave de la convergencia de unaserie. Para ello, deberás apoyarte en la tabla 5.9 y en la figura 5.17.

0.05

0.01

10 20 30 40

0.06

0.04

0.02

50

0.031 0.166667 45 0.0107501

5 0.0757576 51 0.00952203

11 0.0398551 55 0.00884813

17 0.0269841 61 0.00799895

21 0.0221987 65 0.00751793

25 0.0188537 71 0.00689588

31 0.015377 75 0.00653538

35 0.0136933 81 0.00606015

41 0.0117613 85 0.00577995

n S2n − Sn n S2n − Sn

Tabla 5.9: Muestra el comportamientonumérico de las colas de la seriepara diferentes valores de n.

FIGURA 5.17: Muestra el comportamiento gráfico de lascolas de la serie.

Definición 5.5

Dada la serie una cola o residuo de ésta es una suma finita de la forma:

para n > mS S a a an m m m n− = + + ++ +1 2 �

ajj=

∞

∑1

,

Como se observa, la diferencia tiende a cero en la medida en la que n → ∞. Esdecir, la cola de la serie tiene aportaciones “despreciables” a la suma de ésta, en la me-dida en que n → ∞. Por tal razón, aunque sumemos cada vez más términos la suma dela serie (y su consecuente convergencia) prácticamente no se vea afectada, ésta es lapiedra angular sobre la que descansa el concepto de convergencia de una serie. Antes deprecisar esta idea, comentaremos que la diferencia es sólo un caso particular

de una diferencia más general; a saber: para n > m. Precisemos lo que acaba-mos de señalar con la definición 5.5.

S Sn m−S Sn n2 −

S Sn n2 −

Tanto gráfica como numéricamente hemos señalado lo que ocurre con la cola de la serie.Analíticamente,

=+

−+

1

1

1

1m n,

a a am m m mm m n+ ++ + + =

+−

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

+−

+⎛⎝⎜1 2

1

1

1

2

1

2

1

3� ⎞⎞

⎠⎟ + + −+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟�

1 1

1n n


Luego, si m es suficientemente grande, también lo será n (pues n > m) y, en consecuen-cia, se puede afirmar que bajo estas condiciones la cola de esta serie será tan pequeñacomo lo deseemos. Como hemos dicho, el significado de esto es trascendental para la con-vergencia, aunque no sólo de esta serie sino de cualquier otra. Sobre ese criterio tenemosel teorema 5.5, atribuido al matemático francés August Cauchy.

Teorema 5.5: Criterio de Cauchy para la convergencia de una serie

Una condición necesaria y suficiente para la convergencia de una serie

es que la cola

sea arbitrariamente pequeña al considerar m (y n) suficientemente grandes.Es decir, si dado ε > 0, existe un n0 tal que n > m > n0 implica queS S a a an m m m n− = + + + <+ +1 2 � ε.

S S a a a n mn m m m n− = + + + >+ +1 2 � ;

a jj=

∞

∑1

Nota:

Con base en la discusión anterior, es posible deducir las siguientes afirmaciones de carác-ter general.

a) La convergencia o divergencia de una serie no se ve afectada si se le suprime o añadeun número finito de términos.

b) Dado que el peso de una serie convergente se concentra en los primeros sumandos,suprimir o añadir un número finito de éstos afecta el valor de la suma.

c) Si escribimos m = n − 1 en el teorema anterior, obtenemos una condición necesariapara la convergencia de una serie; a saber:

Teorema 5.6: Criterio de divergencia de una serie

Si la serie converge debe tenerse que, para ε > 0 existe n0 tal que n > n0 impli-

ca es decir, En otras palabras (ésta es la forma en que puede

usarse el resultado), si no existe o , la serie diverge.ajj=

∞

∑1

límn

na→∞

≠ 0límn

na→∞

límn

na→∞

= 0.an < ε,

ajj=

∞

∑1


Serie geométrica

Antes de definir la serie geométrica y establecer las condiciones de su convergencia,considera las siguientes dos series:

a) b)

Nuestro primer análisis será numérico y gráfico. Las tablas 5.10 y 5.11 y las figuras 5.18y 5.19 muestran el comportamiento tanto de los términos generales de las series comode sus n-ésimas sumas parciales:

7

2

1

1

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−

=

∞

∑j

j

32

5

1

2

⋅ − +

=

∞

∑ ( ) j

jj

2 −0.96 11 −0.685642

3 −0.576 12 −0.685743

4 −0.7296 13 −0.685703

5 −0.66816 14 −0.685719

6 −0.692736 15 −0.685712

7 −0.682906 16 −0.685715

8 −0.686838 17 −0.685714

9 −0.685265 18 −0.685714

10 −0.685894 19 −0.685714

n Sn n Sn

Tabla 5.10: Comportamiento numérico dela sucesión {S0} de la serie a)para diferentes valores de n.

–0.2

–1

5 10 15 20

0.2

–0.4

–0.8

–0.6

FIGURA 5.18: Comportamiento gráfico de la sucesión {Sn} de la serie a) paradiferentes valores de n.


De las gráficas y tablas anteriores inferimos que la serie del inciso a) es convergente a unasuma cuyo valor aproximado es −0.685714; mientras que la serie del inciso b) es diver-gente al infinito. Nota que cualitativamente las series a) y b) difieren en la base de sus

potencias. Así, la serie del inciso a) es de donde la base

es Para el inciso b) la base es El punto que ahora estudiamos no es que unabase sea negativa y la otra positiva; en realidad, para cuestiones de convergencia, esto noes importante, sino el hecho de que el valor absoluto de la base en a) es menor que 1;mientras que en b) el valor absoluto de la base es mayor que 1.

Las series en a) y b) tienen en el fondo la misma apariencia. Dada la importancia deeste tipo de series conviene dar la definición 5.6.

72 .− 2

5 .

32

56

2

5

1

2 2

⋅−

= − ⋅−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

+

=

∞

=

∞

∑ ∑( )( ) ,

j

jj

j

j

80,000

100,000

4 6 8 10

60,000

40,000

20,000

FIGURA 5.19: Comportamiento gráfico de la sucesión {Sn} de laserie b) para diferentes valores de n.

1 1

2 4.5

3 16.75

4 209.688

6 0.952381

7 0.961538

8 0.967742

9 31525.9

10 110341

n Sn

Tabla 5.11: Comportamientonumérico de la sucesión{Sn} de la serie b) paradiferentes valores de n.

Definición 5.6: Series geométricas

Una serie geométrica tiene la siguiente forma

a r a ar ar a r rj

j=

∞

∑ = + + + = + + +( )0

2 21� �

Haremos aquí un par de aclaraciones. La primera es que en una serie geométrica el térmi-no siguiente es el término previo multiplicado por una constante a la que hemos denotadopor “r”. La segunda, aun cuando en la serie hemos colocado su índice inicial en 0, éstepuede ser cualquier otro número entero positivo, de ahí que las series en a) y b) que em-piezan, respectivamente, en 2 y 1 también sean geométricas. Recuerda que en una seriela suma sólo se ve afectada por la omisión o incorporación de un número finito de tér-


minos; pero no la cualidad referente a convergencia o divergencia. Hemos hecho notarque la pieza clave de la convergencia en una serie geométrica estriba en el valor absolutode su base. Ahora obtendremos un resultado general en este sentido, por lo cual estudiare-mos la serie de la definición anterior; para ello, consideremos lo que pasa con la sucesiónde n-ésimas sumas parciales de la serie. Empezamos con Sn,

Así, la idea básica que permite llevar esta forma abierta a una forma cerrada (sobre lacual podremos hacer que n → ∞) consiste en multiplicar por r el resultado anterior yconsiderar la resta Sn − rSn. Observarás que estas operaciones llevan la serie geométri-ca a una versión de serie telescópica, como mostramos en los siguientes cálculos:

rSn = ar + ar 2 + … + arn − 1 + arn, se multiplicó Sn por r

= a − arn, se simplificó anulando los términos iguales

Si factorizamos Sn en el lado izquierdo de esta última ecuación,

Sn(1 − r) = a(1 − rn), de donde:

Al considerar requerimos el resultado del ejemplo de la sección anterior, donde

vimos que para rn → 0, y para o r = −1, la sucesión {rn} diverge. Luego,

la serie converge si y diverge para o r = −1. Evidentemente, en caso de

convergencia, la suma de la serie es De esta manera, sólo queda pendiente el

caso para el cual r = 1; en este caso,

De aquí que cuando n → ∞, la sucesión {Sn} diverge y, en consecuencia, la serie tam-bién diverge. Resumimos las observaciones anteriores en el teorema 5.7:

S a ar ar ar a a a na ann= + + + + = + + + = ≠−2 1 0� � ,

Sa

r=

−1.

r > 1r < 1,

r > 1r < 1,

límn

nS→∞

,

Sa r

rn

n

=−( )−

1

1

S rS a ar ar ar ar ar ar arn nn n n− = + + + + − + + + +(− −2 1 2 1� � ))

S a ar ar arnn= + + + + −2 1�

Teorema 5.7: Convergencia y divergencia de series geométricas

Dada la serie geométrica ésta

converge si diverge si En caso de convergencia, la suma de la

serie es Sa

r=

−1.

r ≥ 1.r < 1;

a r a ar ar a r rj

j=

∞

∑ = + + + = + + +( )0

2 21� � ,


La serie “p”

Consideremos los comportamientos gráfico y numérico de la serie , llamada serie“p”, para los casos p = 1 y p = 2.p = 1

2 ,

1

1 j pj=

∞

∑

1 1 45 12.0305

5 3.23167 50 12.7524

10 5.021 55 13.4394

15 6.41399 60 14.096

20 7.59526 65 14.7261

25 8.63931 70 15.3325

30 9.58513 75 15.9178

35 10.4561 80 16.484

40 11.2676 85 17.0329

n Sn n Sn


la sucesión {Sn} para .11

21 jn=

∞

∑

10 20 30 40

20

15

10

5

FIGURA 5.20: Aspecto gráfico de la sucesión {Sn} para la

serie .11

21 jn=

∞

∑

1 1 45 4.39495

5 2.28333 50 4.49921

10 2.92897 55 4.59361

15 3.31823 60 4.67987

20 3.59774 65 4.75928

25 3.81596 70 4.83284

30 3.99499 75 4.90136

35 4.14678 80 4.96548

40 4.27854 85 5.02574

n Sn n Sn

Tabla 5.13: Comportamiento numérico de la

sucesión {Sn} para .1

1 jn=

∞

∑

20 40 60 80

20

15

10

5


serie .1

1 jn=

∞

∑

Los comportamientos gráfico y numérico son muy reveladores. Tenemos las siguientesobservaciones:

1. Para los casos p = 1 y las series parecen divergir al infinito (aunque muylentamente). En cambio, la serie “p” con p = 2 parece ser convergente a una sumacercana a 1.63324.

p = 12


1 1 45 1.62296

5 1.46361 50 1.62513

10 1.54977 55 1.62692

15 1.58044 60 1.62841

20 1.59616 65 1.62967

25 1.60572 70 1.63075

30 1.61215 75 1.63169

35 1.61677 80 1.63251

40 1.62024 85 1.63324

n Sn n Sn


la sucesión {Sn} para .1

21 jn=

∞

∑

20 40 60 80

2

1.5

1

0.5


serie .12

1 jn=

∞

∑

2. Los casos de divergencia se presentan con valores de “p” menores o iguales a 1;en cambio para p = 2 > 1 se tiene convergencia. Observa que para p > 0, el término

general de la serie pero p depende de la rapidez con que ocurra.

De esta manera, nuestra conjetura es que para p > 1, la convergencia a cero del tér-mino general de la serie será lo suficientemente rápida como para que al sumar losúltimos términos de la serie, la contribución de todos estos será “despreciable”.

3. Para el caso p = 1, se nota un crecimiento muy lento de la sucesión {Sn}; no obs-

tante, parece divergir. 4. El aspecto comparativo de las gráficas que se observan en la figura 5.23 es similar

para otros valores de p < 1 y de p > 1. Las imágenes sugieren que cuanto menorsea “p”, el crecimiento de {Sn} será más rápido y, en consecuencia, se producirá la

divergencia de la serie. Una cuestión interesante sería determinar con qué valor de “p”tenemos la frontera entre convergencia y divergencia en este tipo de series.

10

j p→ ;

20 40 60 80

2

4

6

8

10

12

14Sn; p = 1/2

Sn; p = 1

Sn; p = 2

FIGURA 5.23: Aspecto gráfico comparativo de {Sn} para p = 1/ 2, p = 1 y p = 2.


El resultado general para este tipo de series se obtiene analíticamente, con base en la teo-ría de integración. En la próxima sección, esta idea generará un criterio importante sobreconvergencia y divergencia de series, al que llamaremos criterio de la integral. Las figu-ras 5.24 y 5.25 muestran una interpretación geométrica de las n-ésimas sumas parcialesSn correspondientes a la serie p.

Para concretar ideas, comencemos considerando el caso para el cual la curva

en color azul mostrada en la figura 5.24 corresponde a la función f (x) = x−1/2. Cada rec-

tángulo circunscrito a esta gráfica tiene una altura igual a para j = 1, 2,… Dado que

la base de cada rectángulo es igual a 1, resulta que la suma de las áreas de n de estos

rectángulos es, precisamente, Ahora bien, como sugiere la figura 5.24, el

área bajo la curva de la función f (x) = x−1/2 en el intervalo [1, n] es y secumple que:

Tomando el límite cuando n → ∞, observamos que

Luego, de donde concluimos que la serie es divergente. Con el mismo argu-

mento se observa que la serie “p” con p = 1 es divergente.Para el caso p = 2, nos apoyamos en la figura 5.25. Tenemos entonces que:

donde el primer rectángulo tiene una altura igual a y no (véase la figura 5.25).Tomando el límite cuando n → ∞,

Deducimos entonces que la sucesión {Sn} es creciente y acotada. Luego, por el teore-ma 5.1 de la sección anterior, concluimos que existe por lo tanto, la serie esconvergente.

límn

nS→∞

;

lím lím límn

n

n

n

nx dx x

n→∞

−+

→∞

− +

→∞∫ = − = −+

2

1

1 1

1

1 1

1−−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

=1 1

1

12

1

2 2

Sj

x dxnj

n n= ≤

=

+−+∑ ∫

12

2

12

1

1,

límn

nS→∞

= ∞,

lím lím límn

n

n

n

nx dx x n

→∞ →∞ →∞

−

∫ = = −( ) = ∞1

2

1 12 2 1

x dx Sj

n

nj

n−

∫ ∑≤ ==

12

121

1

1

x dxn −

∫1

2

1,

Sj

nj

n

==

∑ 11

21

.

11

2j,

p = 12 ;

Nota: En esta serie se ha omitido el primer término no obstante, como hemos

comentado reiteradamente esto no afecta su convergencia (o divergencia).

1

12;


Las ideas anteriores se pueden generalizar fácilmente a partir de argumentos simila-res a los presentados arriba. El teorema 5.8 contiene el resultado general para laserie “p”.

1 2 3 5 74 6 …n

an

FIGURA 5.24: Interpretación gráfica de Sn para la serie “p”: rectángulos circunscritos.

1 2 3 5 74 6 …n

an

FIGURA 5.25: Interpretación gráfica de Sn para laserie “p”: rectángulos inscritos.

Teorema 5.8: Criterio de convergencia y divergencia para la serie “p”

La serie “p” converge para p > 1, y diverge para p ≤ 1.1

1 j pj=

∞

∑

Nota: Hasta ahora hemos utilizado el índice j en la notación ; sin embargo, éste es

intrascendente. Por ejemplo, es muy frecuente usar el índice n dentro de la notación sigma.

Por lo tanto, en adelante no le daremos importancia al índice empleado.

∑

Ejemplo 5.8

Determina la convergencia o divergencia de cada una de las siguientes series. Cuando sea posible,determina también la suma.

a) b) c) d) 10 3

11 jj

n

n.

==

∞

∑∑⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟−( ) ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟=

∞

∑ 133

n n

n

cotπ

2 11

+ −( )( )=

∞

∑ n

n

2 1

12 21

n

n nn

++=

∞

∑( )

Nota: Si p = 1, la serie se conoce como serie armónica.


solución

a) Dada la apariencia del término general an de la serie, parece razonable intentar su descomposiciónen fracciones parciales; así:

Al calcular los valores de A, B, C y D, como lo hicimos en el método de integración con fraccionesparciales, encontramos que A = C = 0, B = 1 y D = −1. Con esos valores:

De esta manera, la n-ésima suma parcial queda como

forma cerrada de Sn

Es decir, la serie es telescópica. Si ahora tomamos el límite cuando n → ∞, estaremos en posibilida-des de determinar la convergencia de la serie:

De aquí resultan dos conclusiones: que la serie es convergente y que la suma es 1.

b) Aunque el resultado sobre divergencia del teorema 5.6 no siempre es concluyente, es habitual em-pezar su estudio con este criterio. Por lo tanto, consideramos

Dado el carácter oscilatorio de la sucesión {an}, concluimos que diverge; luego, por el teorema 5.6,la serie también diverge.

c) Dado que el argumento de la función es un ángulo notable, podemos indicar fácilmente el valor

exacto: Por lo tanto, se escribe como

Dado que esta serie se inicia con n = 3, no es geométrica en el sentido estricto de la definición 5.6(cuyo principio se marca en n = 0). No obstante, se puede interpretar como una geométrica, en la

( ) cot− ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟=

∞

=

∞

∑ ∑13

1

33 3

n n

n

n

n

π

cot .π3

1

3

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

asi n es par

si n es imparnn= + − =

⎧⎨⎩

2 13

1( )

,

,

lím límn

nn

Sn→∞ →∞

= −+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=11

11

2( )

= −+

11

1 2( );

n

S a a an n= + + + = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ +1 2 2 2 2 2

1

1

1

2

1

2

1

3� �++ −

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1 1

12 2n n( )

an

n n n nn = ++

= −+

2 1

1

1 1

12 2 2 2( ) ( )

2 1

1 1 12 2 2 2

n

n n

A

n

B

n

C

n

D

n

++

= + ++

++( ) ( )


cual se han omitido los primeros tres términos. Como sabemos, la convergencia o divergencia de unaserie no se ve afectada por esta circunstancia; en cuanto a la suma (si existe), la manera más cómo-da de proceder se muestra a continuación:

donde hemos dado a n los valores n = 3, 4, 5,… para encontrar los primeros términos.

Como se ha escrito, el término factorizado es valor de “a”; en el corchete se busca que el primer tér-mino sea 1, y el siguiente sumando después del 1 se interpreta como “r” (véase la definición 5.6).Ahora, observa que:

Nota: es importante señalar que el criterio no se apoya sólo en “r” sino en

Por lo tanto, de acuerdo con el teorema 5.7, la serie converge. En cuanto a la suma,

d ) Aquí, el término general de la serie es Si ahora tomamos el límite cuando n → ∞, re-

sulta que Debido a que es una serie “p” con p = 0.3, deducimos que

no existe. Entonces, por el teorema 5.6, la serie diverge.

Ejemplo 5.9

Determina la convergencia de la serie x e dxx

n

n

n

−+

=

∞

∫∑( )1

1

10 3

11 jj

n

n.

==

∞

∑∑⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

límn

na→∞

10 3

1 jj.

=

∞

∑límn

nj

aj→∞ =

∞

= ∑ 10 3

1.

.

aj

nj

n

==

∑ 10 3

1.

.

Sa

r=

−=

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= −+( )1

1

3

11

3

1

3 1 3

3

r

r = − <1

31

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ −⎛⎝=

∞

∑ 1

3

1

3

1

3

1

33

3 4n

n⎜⎜

⎞⎠⎟

+ = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− + −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+⎡5 3 2

1

31

1

3

1

3�

��

a r⎣⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ −⎛⎝=

∞

∑ 1

3

1

3

1

3

1

33

3 4n

n⎜⎜

⎞⎠⎟

+5

�,


solución

solución

Hagamos primero el cálculo del término general de la serie, es decir, Encontramos

integración por partes

si evaluamos y simplificamos

De aquí, desplegando los primeros n términos de la serie:

simplificando.

Como se observa, la serie de este ejemplo es telescópica. Si tomamos el límite cuando n → ∞ y aplica-mos la regla de L’Hôpital al segundo término de Sn:

de donde:

Es decir, la serie converge y la suma es igual a .

Ejemplo 5.10

Encuentra todos los valores tales que

Al tomar el límite indicado, el segundo término de la ecuación anterior contiene la serie Lo

primero que debe notarse es que no tiene sentido intentar siquiera la solución de la ecuación anterior sila serie involucrada es divergente; por ello, en primer lugar analizaremos su convergencia. Nota queesta serie es geométrica y

De aquí deducimos que la serie converge para es decir, para Por lo tanto,

si obtenemos Falta resol-límn

j

j

n

x x x→∞ =

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = −∑tan ( ) tan ( ) tan ( )2

1

22

9

22

9 10

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

=tan( )

tan( ).

x

xx ∈ −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

π π4 4

,

x ∈−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

π π4 4

, .tan( ) ,x < 1

tan ( ) tan( ) tan ( ) tan( ) tanj

j a

x x x x=

∞

∑ = + + = +1

2 1� � (( )xr� �+

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

tan ( ).j

j

x=

∞

∑1

límn

j

j

n

x x→∞ =

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =∑tan ( ) tan ( )2

1

2

90x ∈ −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

π π2 2

,

2e

límn

nSe→∞

=2

lím límn n n n

n

e e→∞ + →∞ ++

= =2 1

01 1

,

Se

n

en n

= −++

2 21

,

S a a a ae e e en n= + + + + = −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ + −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟1 2 3 2 2 3

2 3 3 4� ++ −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ + + + − +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟+

4 5 1 23 4 1e e

n

e

n

en n�

an

e

n

en n n

=+

−++

1 21

,

a xe d x xe enx

n

n x

n

n x

n

n= = − −−+ − + − +

∫1 1 1

,

a xe d xnx

n

n= −+

∫1

.


ver la ecuación trigonométrica Obtene-

mos que tan(x) = 0 y De la primera ecuación, hallamos x1 = 0. En cuanto a

la segunda, es equivalente a 9 tan2(x) − 9 tan(x) + 2 = 0. Si ponemos m = tan(x), la ecuación queda co-

mo 9m2 − 9m + 2 = 0, cuyas soluciones son y De aquí, resulta que hay otras dos

soluciones; a saber: y Como

concluimos que las soluciones anteriores son de la ecuación planteada.

x x x1 2 3 4 4, , , ,∈

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

π πx 3

23 0 588= ( ) ≈arctan . .x 2

13 0 322= ( ) ≈arctan .

m = 23 .m = 1

3

tan( )( tan( ))

.xx

−−

=2

9 10

tan ( )tan( )

tan( )tan( ) tan( )2 2

9 1x

x

xx x− ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ −

= −−−

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

=2

9 10

( tan( )).

x

1. Para cada uno de los siguientes incisos, escriba los primeros cuatro términos de la serie o, en su caso,partiendo de los primeros términos de la serie dada, usa la notación para representarla.

a) b)

c) donde d)

2. Los siguientes incisos implican series telescópicas. Determina si convergen o divergen. En el primercaso, determina la suma.

7 0 7 0 07 0 007 0 0007− + − + −. . . . �an

nn = −+

1 3

1 4an

n=

∞

∑0

,

3

2

4

3

5

4

6

52 2 2 2+ + + +�( )− ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

∞

∑ 11

73

n

n

n

∑

a)

b)

c)

d)

e) 1

3 51 n n nn +( ) +( )=

∞

∑

1

3 2

3

4 72

2

21 n n

n

nn + +− −

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

∞

∑

12

12

−−( )

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

∞

∑n nn

1

2 1 2 31 n nn +( ) +( )=

∞

∑

1

1 2 3

1

2 3 4

1

1 2⋅ ⋅+

⋅ ⋅+ +

+ ++� �

n n n( )( )

3. Los siguientes incisos implican series geométricas. Determina si convergen o divergen. En caso de con-vergencia, determina la suma.

a) b) 12

3

4

9

8

81

2

3

1

− + − + + −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

−

� �n

1

2

1

30n n

n

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

∞

∑


c) d) e) Para y n n a n

n

+( )=

∞

∑ 12

a n a n

n

<=

∞

∑11

, 23

13

1 2

( ) + ( )=

∞

∑n n

nn

1 7

1 π nn n

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

∞

∑

4. Con base en los resultados de esta sección, determina si las siguientes series son convergentes o diver-gentes.

a) donde Si converge determina la suma de la serie.Sn

n

n

nn =+

−+

2 2

2 6 2 8.an

n=

∞

∑1

,

b)

c)

d)

e)

f )

g)

h) con n = 2, 3,… y a1 = 3

i) n

n

n

n !=

∞

∑1

an

an n= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −1

11,an

n=

∞

∑1

,

e n

nen

π

π=

∞

∑0

1350 nn ( )=

∞

∑ π

π( )( )3 1 3 22 n nn + −=

∞

∑

5

8

2 3

2

n

nn

−

=

∞

−∑( )

lnn

nn

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

∞

∑ 1

3

( )2 1 3

71

n

n

n

n

−+=

∞

∑

5. Las series pueden utilizarse para escribir un número decimal infinito periódico como una fracción co-mún. Por ejemplo,

a) 4.616161… puede escribirse como Completa el cálculo y escribe la fracción

correspondiente al número dado. Repite el procedimiento para los incisos b) y c).

b) 0.151151…

c) 2.0101…

6. Por efecto de la resistencia del aire, un péndulo llegafinalmente al reposo después de cierto número de os-cilaciones. Supón que, después de la primera oscila-ción, la trayectoria de cada movimiento se reduce 2%respecto de la longitud de la trayectoria anterior (deun lado a otro). Si la longitud de la primera oscilaciónfue de 45 cm, calcula la distancia total recorrida por lamasa del péndulo antes de detenerse.

461

10

61

102 4+ + +�.

FIGURA 5.26: Imagen de un péndulo.


7. En un círculo de radio a se inscriben dos círculos iguales, tangenciales al primero, como muestra lafigura 5.27. A la vez, en cada uno se inscriben otros dos círculos más, que también son tangenciales.Posteriormente, en cada uno de éstos se inscriben dos más, con las mismas características, de manerainfinita. Si es posible, determina la suma de las áreas de todos los círculos que se forman bajo esteprocedimiento.

FIGURA 5.27: En cada par de círculos se inscriben dos máspor cada uno de los formados previamente.

8. En la práctica de la ingeniería y de las ciencias exactas, de manera general está difundido el uso que seda a las funciones definidas a partir de una serie. Una función de este tipo se conoce como serie de po-tencias, las cuales estudiaremos en el próximo capítulo. Con la finalidad de que te familiarices conellas, considera los siguientes incisos que abarcan sólo el caso de series geométricas. Halle lo que sepide en cada caso.

a) proporciona la fórmula de f (x) (sin el símbolo ) y su dominio, al cual se le

llama intervalo de convergencia.

b) La solución de la ecuación donde f (x) es la función del inciso a).

c) La fórmula de f(x) (sin el símbolo ) y su dominio.

d) x ∈ (0, π). La fórmula sin el símbolo , y la solución de la ecuación f (x) = 2.

9. Decide si cada una de las siguientes series converge o diverge.

a) c)

b) d) n n n nn

−( ) −( ) −( )=

∞

∑ 1 21

2�sen n

nn

π2

1 4

( )=

∞

∑

ln tan2 2 14

1

n

n

+( )

=

∞

( )( )∑ π1 01

30

1

30+ + + + + + +� �n

∑f x xn

n

( ) cos ( ),==

∞

∑1

∑f xx n

nn

( )( )

( ).=

+− +

=

∞

∑ 1

2 11

f x( ) ,=3

2

∑f x xn

n

n( ) ,==

∞

∑ 30

2


10. Para determina si cada una de las siguientes series es convergente o divergente. En el primercaso, calcula la suma correspondiente.

a) b)

11. Determina si la serie converge o diverge. De ser posible el primer caso, calcula la suma.

12. Para cualquier x = 0, 1, 2…, decida si la serie converge o diverge. Si

el primer caso es factible, calcula la suma.

13. Al efectuar diversas operaciones, en la serie geométrica es posible llegar a resultados sorprendentes;muchos de ellos útiles, como en la teoría de la probabilidad. Sin intentar justificar los pasos, procedapor derivación o integración de una serie geométrica conveniente y calcula fórmulas cerradas para lasseries que a continuación se proponen, las cuales serán válidas cuando menos para x < 1.

1

1 21 n x n x n xn +( ) + +( ) + +( )=

∞

∑

n nn

+ −( )=

∞

∑ 11

a a an

n

n n

=

∞

∑ +( ) +( )0

21 1a an

n

n

=

∞

∑ +( )0

1 ;

a < 1,

a)

b)

c)

d)

e) ( )n x n

n

+=

∞

∑ 11

x

n

n

n

2 1

1 2 1

−

=

∞

−∑

x

n

n

n=

∞

∑1

n x n

n

2

1=

∞

∑

nx n

n=

∞

∑1

14. Si, a) a = 2 y b) escoge un valor adecuado de r tal que la serie converja a 3.

15. Determina el valor de b para el que 1 + eb + e2b + e3b + … = 9.

16. ¿Para qué valores de r la serie infinita

1 + 2r + r 2 + 2r 3 + r 4 + 2r 5 + r 6 + …

converge? Calcula la suma cuando la serie converge.

17. Encuentra el área de la región sombreada de la figura 5.28.

a r n

n

⋅ −

=

∞

∑ 1

1

a = 52 ,

1

/

1

–1

161

/21/8

1

/41

FIGURA 5.28: Cálculo del área de la regiónsombreada.



18. La curva copo de nieve de Helga von Koch. Con la finalidad de dar una somera descripción de estacurva, iniciemos con un triángulo equilátero de lado igual a la unidad, el cual es la curva C1. Si dividescada uno de sus lados en tres partes iguales, toma el subintervalo de enmedio, determinado por la sub-división, y construye un triángulo equilátero dirigido hacia fuera; borrando las partes comunes a lostriángulos nuevos y viejos, obtendrás una segunda fase de la curva llamada C2. Si repites la idea sobrela curva C2, obtendrás una tercera etapa de la curva de Koch a la que llamaremos C3. Entre los aspec-tos interesantes de esta curva, están su área y su longitud.

a) Sea Ln la longitud de la n-ésima curva Cn. Encuentra una expresión que proporcione el cálculo deLn y determina qué sucede con el límite

b) Determina el área An de la región delimitada por Cn y calcula límn

nA→∞

límn

nL→∞

.

FIGURA 5.29: Las primera tres etapas de la curva copo de nieve: C1, C2 y C3, respectivamente.


1. Turismo, fuente importante del ingreso nacional. Con base en la teoría desarrollada en estasección, discute con sus compañeros el problema de la introducción y da respuesta funda-mentada a la pregunta que ahí se formuló. Puede apoyarse en la siguiente guía:

a) Investiga el número de congresos y convenciones que en México se llevaron a cabo en2001.

b) En la misma fuente de internet, determina el número de visitantes que por este concep-to recibió el país y su consecuente derrama económica.

c) Supón que cada residente de las ciudades sede gastó, en promedio, 80% de los ingresos ge-nerados por los congresos; mientras que el 20% restante lo gastó fuera de las ciudades o loahorró. Finalmente, piensa que por el efecto multiplicador, la derrama económica total, quepor convenciones y congresos se realizó en México en 2001, fue de 1.5 veces el gasto to-tal generado por los congresistas. Usa un tipo de serie conveniente para determinar el mon-to total que por efecto directo recibió México durante ese año por concepto de convencio-nes y congresos.

2. Administración de medicamentos“Para que un fármaco actúe, es necesario que llegue a su sitio de acción. Para ello, la sustan-cia tiene que absorberse; esto es, alcanzar el compartimiento acuoso del organismo. Excepto


en la piel y algunas mucosas, en todos estos mecanismos participa la sangre. Así, la distri-bución del fármaco dentro del cuerpo puede variar de acuerdo con el flujo sanguíneo o lavascularización regional de cada tejido u órgano, y la cantidad de droga que cada tejido re-ciba depende de la concentración del fármaco en la sangre”. Supón que, como es habitualen un tratamiento, se desea administrar a un paciente dosis iguales de un medicamento enintervalos de tiempo iguales.

FIGURA 5.30: Dosificación de un medicamento.

concentracióndeseada

Cmín (valles)

Cmáx (cimas)

Dosis 1 Dosis 2 Dosis 3

Nivel

de

med

icamento

FIGURA 5.31: Gráfica que indica la concentración adecuada de medicamento (nivel terapéutico).

Diversos medicamentos se asimilan en el cuerpo humano, siguiendo un patrón de leyexponencial de disminución; concretamente, si K = K(t) representa la cantidad de unfármaco al tiempo “t”, entonces, K(t) = K0e

−ct, donde c es una constante positiva y K0 esel número de unidades de medicamento aplicado en t = 0.

Supón ahora que se administrarán n dosis de K0 unidades cada una, a intervalos igualest0. Como sabes, los medicamentos tienen también un aspecto tóxico que debe cuidarse; porello, una vez que se ha obtenido cierta concentración del fármaco, ésta no debe ser excesiva,con la finalidad de evitar daños al organismo (véase la figura 5.31). Imagina que las dosisse aplican en los tiempos 0, t0, 2t0,… y que el nivel terapéutico T se alcanza en t = (n + 1)t0.


a) Obtén con sus compañeros de equipo una fórmula que proporcione el nivel terapéuticode un medicamento.

b) Investiga el concepto de semivida de un medicamento y, con base en él, determina elvalor de la constante “c”.

c) Por último, imagina que se desea mantener el nivel terapéutico T del medicamento sin co-rrer el riesgo de su toxicidad. Para lograrlo, los médicos (entre varias consideracionesde edad, peso del paciente, interacción con otros medicamentos, salud general, y en parti-cular de riñones e hígado) aplican después de algún tiempo lo que se conoce como dosisreducida. Considera ahora que el nivel terapéutico se ha logrado en el tiempo (n + 1)t0,y que se administra una primera dosis reducida R en (n + 1)t0. A partir de la cantidad demedicamento en el tiempo (n + 2)t0 (antes de la segunda dosis reducida), encuentra unafórmula para R.

Nota: una vez hallada, se podría aplicar para los siguientes periodos [(n + 2)t0,(n + 3)t0] y[(n + 3)t0, (n + 4)t0], etcétera.

Autoevaluación

1. Si determina si la serie a + b + a2 + b2 + a3 + b3 + … + an + bn + … conver-ge; en caso afirmativo, determina la suma.

2. Sobre la base de los siguientes resultados evalúalas series:

a) b) c)

3. Si existen, calcula los siguientes límites:

a) b)

4. La serie es convergente; encuentra el valor de la suma.

5. Para cualquier k = 0, 1, 2…, investiga la convergencia o divergencia de la serie

Si converge, halla la suma.1

1

1

1 n k n kn + +−

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

∞

∑ .

21

1 20

−

=

∞

++( ) +( )

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟∑ n

n n n

límn n n n→∞

++

++

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1 1

1

1

2�lím

n n n→∞ ++ +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1

2

1

2 1 �

5 62

61

n

nn

−

=

∞

∑n

nn

2

41

3+

=

∞

∑122

1 nn=

∞

∑

1

94561

6

nn=

∞

∑ =π

,1

9041

4

nn=

∞

∑ =π

,1

621

2

nn=

∞

∑ =π

,

0 1< < <b a ,


6. La serie se llama serie exponencial y, como veremos en el siguiente capítulo, con-

verge para todo x ∈ � a la suma que se muestra en el lado derecho de la igualdad anterior. Conbase en este resultado, calcula

a) b) c) d)

7. Del inciso d) del ejercicio anterior puede deducirse que donde k es un entero po-sitivo. Encuentra el valor de k.

8. Relaciona las respuestas correctas en la columna B que correspondan a los planteamientos dela columna A.

Columna A Columna B

n

nk e

n

2

1 !,

=

∞

∑ =

n x

n

n

n

2

1 !=

∞

∑( )( )

!

n n

nn

− +

=

∞

∑ 1 1

2

n

nn

+

=

∞

∑ 1

2 !

n

nn

−

=

∞

∑ 1

2 !

x

ne

n

n

x

!=

∞

∑ =0

a) La serie

b) Para

c)

d) Para xx

n

n

n

<=

∞

∑11

,

2

2 1

2

11

n

nn

n n

n n

+ ++( )+

=

∞

∑

x x x x x< − + − + =1 3 5 7, �

1

1 3

1

3 5

1

5 7⋅+

⋅+

⋅+� i.

ii. 1

iii.

iv. Diverge

v. ln(x)

vi. Converge, pues

vii.

viii.x

x1 2+

52

lím límn

nn

Sn→∞ →∞

= −+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=1

21

1

2 1

1

2

ln1

1−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟x

x

x1 2−

Respuestas a los


1. a) b) c) d)

2. a) Converge a b) converge a c) diverge; d) diverge; e) converge a 139

18001

6;

1

4;

7 0 10

( . )−=

∞

∑ n

n

12

5

5

9

8

13− − − −�

n

nn

+

=

∞

∑ 12

2

− + − + −1

7

1

7

1

7

1

73 4 5 6 �


3. a) La serie converge a b) la serie converge a c) diverge; d) converge a e) la primera serie

converge a la segunda serie converge a

4. a) La serie converge; de hecho,

b) De acuerdo con el teorema 5.6, la serie diverge, pues

c) La serie es telescópica, del hecho de que Sn = a3 + a4 + … + an+2 = ln(n + 1) − ln(3) concluimos quela serie es divergente.

d) La serie es geométrica con entonces, diverge.

e) La serie es telescópica y converge a

f ) Aunque la serie no inicia en 1, es propiamente una serie “p” con La serie converge. No

se puede dar el valor exacto de la suma.

g) Es una serie geométrica con por lo tanto, diverge.

h) Puede mostrarse que de donde Esto im-

plica que la serie dada tiene la forma la serie armónica, que diverge.

i) por el teorema 5.6 y dado que la serie diverge.

5. a) b) c)

6. 22.50 metros.

7. La suma de áreas de los círculos es La serie generada es geométrica y convergen-

te; la suma total de áreas es 2πa2.

8. a) b) c) Df = (−3, 1);

d) La solución de la ecuación f (x) = 2 es radianes.x = ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ≈arccos .

2

30 841f x

x

x( )

cos( )

cos( ).=

−1

f xx

x( ) ,=

++1

2 6x = ± ∈ −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

1

3

1

3

1

3, ;Df = −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

1

3

1

3, ;f x

x( ) ,=

−1

1 3 2

πa22

11

2

1

2+ + +⎡

⎣⎢⎤⎦⎥� .

2 199

151

999;4 61

99 ;

límn

nn

n→∞= ∞

!,

33

1

1 1n nn n=

∞

=

∞

∑ ∑= ;

aa

n nn = =1 3.a

n

n

n

n

n

nn =−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

−−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

1 2

1

3

2

2

3� ⎞⎞

⎠⎟⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1

2 1a ,

re

e= >

π

π1;

p = >π3

1.

π12

r = >25

81,

lím límn

nn

n

an

n→∞ →∞=

−+

= ∞( )2 1 3

7

S Sn

n= =→∞

lím1

2

2 3 3

1

2 3 4

3

a a a

a

− +( )−( )

a

a −( )1 2,

7

10;

3

5;

1

2;


9. Todas convergen.

10. Ambas series son convergentes. Además: a) b)

11. La serie diverge.

12. La serie es convergente con suma

13.

Sx x

=+ +

1

2 1 2( )( )

Sa a a a a

a a a= + + + + +

−( ) + +( )5 4 3 2

4 2

3 5 7 5 4

1 1S

a

a=

+−

2

1 2;

a)

b)

c)

d)

e) 2

1

2

2

x x

x

−−( )

1

2

1

1ln

+−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

x

x

ln1

1−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟x

x x

x

2

31

+−( )

x

x( )1 2−

14. a) b)

15.

16. en este caso, la suma de la serie es

17.

18. a) de aquí (dado que la serie es geométrica con ) deducimos

que

b) Sea el área encerrada por la curva C1. Entonces:

A A A A An

n

= + + ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ + ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−1

3

1

3

4

9

1

3

4

9

2

� , y límmn

nA→∞

=2 3

5

A = 3

4

límn

nL→∞

=∞

r = >4

31L n

n

n= + + + + +

−

−3 14

3

4

3

4

3

2

2

2

2� ;

12

1 2

1 2

+−

r

rr < 1;

b = ( )ln 89

r = 16r = 1

3



1. La serie converge a

2. a) 2π 2 b) c)

3. a) el límite existe y es cero; b) el límite no existe.

4. S = 3

5. La serie converge a la suma

6. a) S = 1; b) S = 2e − 3; c) S = e + 1; d) S = x(x + 1)ex

7. k = 2

8. (a, vi.); (b, viii.); (c, ii.); (d, iii.)

−+1

1k

35 4

630

4 6π π−5

30

2 4π π+

a

a

b

b1 1−+

−

Referencias


2. Clawson, C., Misterios matemáticos: magia y belleza de los números, México, Diana, 1999.3. Courant, R. y John, F., Introducción al cálculo y al análisis matemático, vol. I, México, Limusa, 1982.4. Courant, R. y Robbins, H., ¿Qué son las matemáticas?, México, Fondo de Cultura Económica, 2002.5. Kasner, E., Newman, J., Matemáticas e imaginación, México, CECSA, 1972.6. Rivaud, J., Ejercicios de análisis, Madrid, Reverté, 1975.7. Seeley, R., Cálculo de una y varias variables, México, Trillas, 1978.8. Takeuchi, Y., Sucesiones y series, Limusa, México, 1980.9. Zhúkov, A., El omnipresente número π, Moscú, URSS, 2005.


1. http://www.sectur.gob.mx/wb2/sectur/sect_9189_congresos_y_convenci2. http://www.sefap.optyma.com/ficha.php?codigo=8794603. http://omega.ilce.edu.mx:3000/sites/ciencia/volumen3/ciencia3/130/html/sec_12.html4. http://www.thebody.com/pinf/espanol/farmacologia.html

El sistema pensionario mexicano

En la actualidad para el sistema pensionario mexicano representa un verdaderodesafío hacer frente a las pensiones de quienes en 2030 serán mayores de 60años. El problema que se vislumbra tiene diversas raíces, entre las que se encuen-tran las de índole administrativa y de planeación, que no tomaron en cuenta el in-cremento paulatino de la esperanza de vida en México. Para algunos especialis-tas, la solución es multifactorial y requiere efectuar importantes reformas estruc-turales —como la laboral y la fiscal—, además de la homologación de todos losprogramas pensionarios para mejorar el sistema nacional en la materia.


5.3 Criterios de convergencia

A quienes creen que la computadora escapaz de reemplazar al matemático,podríamos compararlos con los que

consideran que un fusil de tiro rápidopuede sustituir al jefe del Estado mayor.

Hugo Steinhaus

FIGURA 5.32: Pensión por cesantía de edad para personas mayores de 60 años.

En el aspecto administrativo son invaluables los cálculos que pueden orientar unapropuesta bien pensada que, al mismo tiempo, permita ver la magnitud del pro-blema. Con base en la teoría de esta sección podrás determinar por qué unacantidad conocida como valor presente esperado resulta una serie convergente.Este resultado permite a los actuarios resolver la determinación de una serie deingresos y de egresos de duración aleatoria. En gran medida, la solución al pro-blema de pensiones consiste en estructurar mecanismos que proporcionen laigualdad de montos para ambas series de valores presentes esperados.

Sección 5.3.1 Series de términos positivos

Como señalamos en la introducción, en esta primera etapa de trabajo consideraremos series

del tipo para las cuales an > 0, para todo n = 1, 2,… Principalmente, el estudio de

este tipo de series es sencillo, porque al considerar la sucesión de las n-ésimas sumasparciales Sn, ésta está acotada inferiormente por 0 y, además, es no decreciente. Por talrazón, si logramos mostrar que Sn tiene una cota superior M (es decir, si logramos mostrarque Sn ≤ M para una cierta constante M), nuestra conclusión basada en el teorema6.1 inciso 5 de la sección 6.1 será que existe y con ello podremos decir que la

serie es convergente; en caso contrario (es decir, si Sn no está acotada), entonces Sn → ∞,lo cual indicará que la serie diverge (a infinito). Dada la importancia de este resultado, lopresentamos como nuestro primer teorema.

límn

nS→∞

ann=

∞

∑1

4455.3: Criterios de convergencia

Introducción

Como indican los ejemplos y situaciones relacionados con las series que hastaaquí hemos planteado, muchos métodos de la matemática aplicada a las cien-cias sociales y a la ingeniería se apoyan en aquéllas. Por tal razón, determinarla convergencia o divergencia de una serie particular tiene una enorme impor-tancia pues, en términos generales, sólo será posible dar el valor de la suma Sde una serie convergente, siempre y cuando sea geométrica o telescópica; sinembargo, en la mayoría de los casos, nos tendremos que conformar con una de-terminada suma parcial Sn para estimar el valor de la suma total S. De esta ma-nera, determinar si una serie es convergente nos brindará una información muyimportante, sobre todo si podemos estimar el error cometido en tal aproxima-ción o si podemos asegurar un método de convergencia rápido. Por último, ex-plicaremos la forma en que dividiremos nuestro trabajo en esta sección. Prime-ro, las series de términos positivos, debido a que tienen propiedades importan-tes que vale la pena discutir por separado; segundo, las series numéricas de tér-minos positivos y negativos; y tercero, una breve discusión sobre aceleraciónde la convergencia de cierto tipo de series utilizando el método de Kummer.

Objetivos

jAl terminar de estudiar esta sección, deberás ser capaz de:

• Determinar la convergencia o divergencia de series de términospositivos.

• Analizar la convergencia de una serie de términos, tanto posi-tivos como negativos.

• Distinguir y aplicar los conceptos de convergencia condicionaly absoluta.

• Reconocer una serie alternante y aplicar el criterio de conver-gencia correspondiente.

• Utilizar el método de Kummer para acelerar la convergencia decierto tipo de series convergentes.


Teorema 5.9: Sobre convergencia de series de términos positivos

Una serie de términos positivos es convergente, si y sólo si, la sucesión de n-ésimassumas parciales tiene una cota superior M.

Para continuar con la discusión considera la serie que tiene el término general

. Observa, en primer lugar, que aj > 0 para j = 2, 3,… y que a1 = 0; por lo

tanto, la serie dada es de términos no negativos. Es muy frecuente determinar la conver-

gencia o divergencia de una serie a partir de una serie de prueba con la cual se

compara la serie dada; aquélla se obtiene habitualmente tomando parte del términogeneral de la serie en estudio, que se compara con el término general de una serie cuyaconvergencia o divergencia sea conocida.

bjj=

∞

∑1

ajj

j

j=−1 1

1 1

1

−

=

∞

∑ j

jj j

FIGURA 5.33: Comparación de términos de las series dada y de prueba.

En nuestro caso, dado que j j ≥ 2 j para j = 2, 3,… (observa que j j es parte del término ge-neral de la serie en estudio y que la comparación inicia con j = 2 , pues a1 = 0) tenemos

que . Ahora bien, como concluimos que

j = 2, 3,… Esto significa que, al sumar los primeros n términos aj, la suma se mantendrá

por debajo de la suma de los primeros n términos bj, es decir, Entonces,

Si en el teorema 5.9 anterior, deducimos

que la serie dada es convergente.

M = 12 ,S

jn

j

jj

n

jj

n

jj

=−

≤ ≤ ==

+

=

+

=

∞

∑ ∑ ∑1 1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

.

1 1

2

1

2

1

2

1−≤

=

+

=

+

∑ ∑j

jj

n

jj

n

j.

aj j

bjj

j j j j=−

< ≤ =1 1 1

2

1

;1 11− <j ,1 1

2j j j≤


Nota: Lo que hemos planteado arriba de forma analítica tiene una interpretación geomé-trica sencilla. En la figura 5.33 se colocaron dos gráficas: una, de color negro que limita

alturas de magnitud y otra de color azul que limita alturas de magnitud Las

n-ésimas sumas parciales corresponden, entonces, a la suma de las áreas de los rec-tángulos que se muestran en la misma figura 5.33; ahí se aprecia que la suma de áreasde los rectángulos más pequeños queda acotada por la suma de áreas de los rectángulosmás grandes.

Aunque todas las pruebas de convergencia para series de términos positivos consisten endeterminar un límite superior M para las sumas parciales, no será necesario considerarlas n-ésimas sumas parciales. Este caso pone de manifiesto una situación de validez ge-neral: es suficiente considerar los términos generales de las series dada y de prueba afin de obtener la conclusión sobre la convergencia o divergencia de una serie. Por tal ra-zón, observarás que los criterios del teorema 5.10 se establecen sobre el término generalde una serie.

Antes de dar el teorema 5.10 que cubre los resultados más importantes sobre conver-gencia de series de términos positivos, estableceremos la definición 5.7.

1 1− j

jj.

1

2 j,

Definición 5.7: Sucesiones asintóticamente equivalentes

Diremos que las sucesiones {aj} y {bj}, donde aj > 0 y bj > 0 para cada j = 1,

2,…, son asintóticamente equivalentes y escribiremos aj � bj si .límj

j

j

a

bc

→∞= > 0

Teorema 5.10: Principales criterios sobre convergencia de series

i. Criterio de comparación por desigualdades. Supón que 0 ≤ aj ≤ bj

a) Si la serie converge, entonces, también converge la serie

b) Si la serie diverge, entonces, también lo hace la serie

ii. Criterio de la integral. Sea f una función positiva y decreciente para x ≥ 1.

Entonces, converge si y sólo si la integral impropia

converge. En caso de convergencia, la suma S de la serie cumple la relación

f f n S f f n f x d xn

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1+ + ≤ ≤ + + +∞

∫� �

f x d x( )1

∞

∫f jj

( )=

∞

∑1

bjj=

∞

∑1

ajj=

∞

∑1

ajj=

∞

∑1

bjj=

∞

∑1


iii. Criterio de la razón. Sea una serie de términos estrictamente positivos,

es decir, aj > 0 para j = 1, 2,… Supón que entonces,

a) L < 1 implica que la serie converge.

b) L > 1 o L = +∞ implica que la serie diverge.

c) El criterio no es útil si L = 1.

iv. Criterio de comparación por límite. Sean y dos series detérminos positivos.

a) Si aj � bj, entonces, las dos series son convergentes o las dos series sondivergentes.

b) Si y si converge, entonces, también converge.

c) Si y si diverge, entonces, también diverge.

v. Criterio de la raíz n-ésima. Sea una serie de términos positivos. Su-

pón que entonces,

a) L < 1 implica que la serie converge.



límj

jj a L

→∞= ,

ajj=

∞

∑1

ajj=

∞

∑1

bjj=

∞

∑1

límj

j

j

a

b→∞= + ∞

ajj=

∞

∑1

bjj=

∞

∑1

límj

j

j

a

b→∞= 0

bjj=

∞

∑1

ajj=

∞

∑1

límj

j

j

a

aL

→∞

+⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =1 ,

ajj=

∞

∑1

Demostración (parcial):

i. a) Piensa que la serie converge, entonces, Así,

De manera que la sucesión es creciente y está acotada por S; concluimos

que la serie converge.ajj=

∞

∑1

ajj

n

=∑

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪1

a b Sjj

n

jj

n

= =∑ ∑≤ ≤

1 1

.b Sjj=

∞

∑ =1

.bjj=

∞

∑1


b) Si la serie fuera convergente, entonces, por i. la serie también lo

sería, lo cual es una contradicción a la hipótesis. Por lo tanto, la serie es divergente.

ii. No daremos la demostración de este inciso porque ésta quedó delineada en el teo-rema 5.8 de la sección anterior.

iii. a)

bjj=

∞

∑1

ajj=

∞

∑1

bjj=

∞

∑1

1

aj +1

aj

L – ε L + εL

ε ε

0

se encuentra aquí para j ≥ n0

FIGURA 5.34: Interpretación gráfica de la desigualdad .a

ar

j

j

+ <1

Supón que Como L < 1 podemos tomar un número r tal que

L < r < 1. Si ε = r − L > 0, por la definición de límite, hallaremos un n0 tal que para j ≥ n0

se cumpla Por lo tanto:

…

Entonces, para n ≥ n0:

< + + + +( ) < +=

−−

=

−

∑ ∑a a r r a ajj

n

nn n

jj

n

n1

1

1

10

0

0

0

01 � rr a

a

rj

j

M

jj

nn

=

∞

=

=

−

∑ ∑= +−0 1

100

1 ��

S a a a a an jj

n

jj

n

n n n= = + + + +( )= =

−

+∑ ∑1 1

1

1

0

0 0�

a r an kk

n0 0+ <

a ra r a r an n n n0 0 0 03 22

13

+ + +< < <

a ra r an n n0 0 02 12

+ +< <

a ran n0 01+ <

a

ar

j

j

+ <1 .

límj

j

j

a

aL

→∞

+⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = <1 1.


Así, encontramos una cota superior de la sucesión {Sn}; por lo tanto, existe y enconsecuencia la serie converge.

b) De manera análoga al inciso anterior, si existe un número

r > 1 y un n0 tal que j ≥ n0 implica aj + 1 ≥ raj. Como se hizo en a), de esto

deducimos que pues r > 1. Luego, por el teorema 5.6 de

la sección anterior, concluimos que la serie diverge.

iv. Probaremos únicamente el inciso a). Supongamos que aj � bj, entonces,

Esto significa que para existe n0 tal que j ≥ n0 implica que

es decir, Puesto que bj > 0, deducimos que

De acuerdo con el teorema 5.4 de la sección anterior la

multiplicación por una constante diferente de cero no altera ni la convergencia ni

la divergencia de una serie. De esta manera, si converge, también lo hace

Dado que resulta del criterio de comparación por desi-

gualdades que converge. Si converge, entonces, de y del

mismo criterio de comparación por desigualdades concluimos que

converge, luego converge. Asimismo, se demuestra que en caso de que un

de las series diverja, las dos lo hacen.

v. Como ejercicio, usted deberás demostrar esta parte.

bjj=

∞

∑1

cbj

j 21

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

∞

∑

cb aj j2

<ajj=

∞

∑1

ajj=

∞

∑1

ac

bj j<3

2,

3

21

cbj

j=

∞

∑ .

bjj=

∞

∑1

cb a

cbj j j2

3

2< < .

c a

b

cj

j2

3

2< < .c

a

bc

j

j

− < < +ε ε,

ε = c2 ,lím

j

j

j

a

bc

→∞= > 0.

a r an kk

nk0 0+ →∞

≥ → ∞,

límj

j

j

a

aL

→∞

+⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = >1 1,

límn

nS→∞

Sección 5.3.2 Series de términos positivos y negativos

Los resultados deducidos para series de términos positivos nos serán útiles para obte-ner resultados de series más generales. La piedra angular del apartado anterior fue elsigno positivo del término general de la serie, por esta razón parece natural preguntarnos

qué ocurre cuando en una serie cualquiera consideramos Veamos el teo-

rema 5.11.

ajj=

∞

∑1

.ajj=

∞

∑1

,

El contenido del teorema anterior es tan importante que vale la pena establecer la defi-nición 5.8.


Teorema 5.11: Convergencia absoluta

Si converge, entonces, converge.a jj=

∞

∑1

ajj=

∞

∑1

Definición 5.8: Convergencia absoluta

Si converge, se dice que la serie converge absolutamente.a jj=

∞

∑1

ajj=

∞

∑1

Así, el teorema 5.11 indica que una serie absolutamente convergente es también conver-gente (sin el valor absoluto).

Demostración:

Considera las siguientes sucesiones Se ve que

y, además, que

Por lo tanto, por el criterio de comparación, y convergen. Además, por el

teorema 5.4 de la sección anterior, también converge.

El resultado expresado en el teorema 5.11 no dice que para la convergencia de

se requiera la convergencia de de hecho, puede ocurrir que diverja, pero

que converja. Para tener en claro esto contamos con la definición 5.9.ajj=

∞

∑1

ajj=

∞

∑1

ajj=

∞

∑1

;

a jj=

∞

∑1

( )a a ajj

j jj

+

=

∞−

=

∞

∑ ∑+ =1 1

a jj

−

=

∞

∑1

a jj

+

=

∞

∑1

a a aj j j= ++ −0 ≤ ≤−a aj j0 ≤ ≤+a aj j ;

asi a

a si ajj

j j

− =≥

− <⎧⎨⎩⎪

0 0

0.a

a si a

si ajj j

j

+ =≥<

⎧⎨⎩⎪

0

0 0,

Definición 5.9: Convergencia condicional

Si converge y diverge, entonces, la serie se dice condicionalmen-

te convergente.

ajj=

∞

∑1

a jj=

∞

∑1

El esquema de la figura 5.35 ayudará a aclarar las definiciones 5.8 y 5.9.


Convergencia Divergencia

Condicional

Absoluta

FIGURA 5.35: Esquema general de las series.

Para resaltar la diferencia entre ambos tipos de convergencia —la absoluta y la condicio-nal— nos detendremos un poco en el contenido de las definiciones 5.8 y 5.9. Dos leyesbásicas de la aritmética elemental se refieren a la asociatividad y a la conmutatividad desumas finitas. Concretamente, sabemos que

a + (b + c) = (a + b) + c y que a + b = b + a

para cualesquiera que sean los números a, b y c. Por supuesto, leyes similares son váli-das para un número finito de sumandos; pero ¿qué pasa con una serie?

Considera, por ejemplo la serie

Es claro que ésta no converge, pues no existe Sin embargo, si hacemos los

siguientes arreglos y asociamos como se indica, observamos que:

converge a 1, y

converge a 0

El ejemplo, desconcertante en parte, se explica al notar la divergencia de la serie. Aun-que la demostración de las siguientes observaciones está fuera del alcance del presentetexto, vale la pena tenerlas en cuenta con la finalidad de entender la importancia de laconvergencia absoluta.

a) En una serie cualquiera, ni la asociación, ni el arreglo de sus términos puede hacer-se de manera arbitraria. Sólo si se reordenan o agrupan los términos de una serieabsolutamente convergente, el resultado será otra idéntica, cuya suma será igual ala de la primera.

b) Teorema de Riemann: Si una serie es condicionalmente convergente, reordenandoadecuadamente sus términos, puede obtenerse como suma de la nueva serie cual-quier número real prefijado e, incluso, una serie divergente.

−( ) = − + − + ==

∞

∑ 1 1 1 1 1 00

n

n

( ) ( ) ;�

−( ) = + − + + − + + ==

∞

∑ 1 1 1 1 1 1 10

n

n

( ) ( ) ;�

límn

n

→∞−( )1 .

−( )=

∞

∑ 10

n

n

.


Teorema 5.12: Criterios de convergencia para series arbitrarias

i. Criterio de comparación por desigualdades. Si y con-

verge, entonces, converge absolutamente.

ii. Criterio de la razón. Sea una serie de términos diferentes de cero,

es decir, aj ≠ 0 para j = 1, 2,… Supón que entonces,

a) L < 1 implica que la serie converge absolutamente.



iii. Criterio de la raíz n-ésima. Sea una serie dada. Piense que

entonces,

a) L < 1 implica que la serie converge absolutamente.



límj

jj a L

→∞= ,

ajj=

∞

∑1

límj

j

j

a

aL

→∞

+ =1 ,

ajj=

∞

∑1

a jj=

∞

∑1

b jj=

∞

∑1

a bj j≤

Retomamos el contenido del teorema 5.11: dada la serie arbitraria Bastará aplicar

alguno de los criterios del teorema 5.10 a la serie para decidir si la serie dada

es absolutamente convergente. Dado que la convergencia absoluta implica con-

vergencia, se obtiene una metodología indirecta muy eficaz para probarla en una seriearbitraria.

Con la intención de ser claros, escribimos el teorema 5.12 (sin demostración) queproporciona la versión de algunos incisos del teorema 5.10, con la inclusión de valoresabsolutos.

a nn=

∞

∑1

ajj=

∞

∑1

a jj=

∞

∑1

.

Como señalamos, la convergencia de una serie que no sea absolutamente convergenteestá condicionada a un cierto arreglo de sus términos, de manera que se realicen lascancelaciones apropiadas. La forma simple de este tipo de series se conoce como seriealternante, donde los términos son, de esta forma, positivos y negativos.


Definición 5.10: Series alternantes

Una serie se dice alternante si aj ⋅ aj + 1 < 0 para j = 1, 2,…; es decir, si

para cada término el siguiente es de signo contrario.

ajj=

∞

∑1

Teorema 5.13: Criterio de convergencia para series alternantes

Una serie alternante converge si

i. y

ii. para j = 1, 2,…

Además, en caso de convergencia la suma de la serie S estará contenida entre

cualesquiera de dos sumas parciales sucesivas Sn y Sn + 1. Esto implica que

S S S S an n n n− < − =+ +1 1 .

a aj j+ <1 ,

límj

ja→ ∞

= 0

ajj=

∞

∑1

S1

– a2

+ a3

– a4

+ a5

S

S20 S3S4 S5

…

+ a1

FIGURA 5.36: La sucesión {Sn} oscila acercándose a un límite S.

Cerramos esta discusión con el teorema 5.13 sobre series alternantes.

Demostración (bosquejo):

La figura 5.36 ilustra cómo se va generando la convergencia de una serie de este tipobajo las condiciones expresadas en los puntos i. y ii. Para fijar ideas, piensa que a1 > 0,a2 < 0, a3 > 0, …


Definición 5.11:Aceleración de la convergencia

Sean y dos series convergentes a la misma suma S con sumas par-

ciales {Sn} y {Tn}, respectivamente. Diremos que converge más rápida-

mente que si:

límj

j

j

S b

S a→∞

−−

= 0

ajj=

∞

∑1

bjj=

∞

∑1

bjj=

∞

∑1

ajj=

∞

∑1

La figura ilustra cómo las sumas parciales pares {S2n} forman una sucesión crecienteacotada por a1 = S1. Por consiguiente, las sumas parciales pares convergen a un límite S,es decir, Además, como

S2n + 1 = S2n + a2n + 1 y como an → 0

Deducimos también que

Ahora, para demostrar que S se encuentra entre cualesquiera dos sumas parciales su-cesivas, observamos que {S2} es una sucesión creciente, de manera que para cada n = 1,2,…: De forma similar, {S2n + 1} es una sucesión decreciente; por ello,

para cada n = 1, 2,…:

Así, S se encuentra por arriba de cada suma parcial par y por debajo de cada sumaparcial impar y, a la vez, está entre cualesquiera dos sumas parciales consecutivas.

Nota: De acuerdo con lo que discutimos anteriormente, se observa (para elcaso planteado) que

Dado que y que S está contenida entre cualesquiera dos sumas

parciales sucesivas Sn y Sn + 1. Concluimos que podremos obtener aproxima-

ciones de S a través de la sucesión {Sn} con una rapidez similar a la de con-

vergencia de la sucesión {an}.

Sección 5.3.3 Aceleración de la convergencia

La utilidad principal de la convergencia de una serie tiene que ver con la idea de aproxi-mación. Sin embargo, hay series que aunque convergen lo hacen tan lentamente que estautilidad prácticamente se desvanece. El último aspecto que trataremos en esta sección tie-ne que ver con un método que acelera la convergencia de una serie; uno que permitirá con-vertir una serie convergente en otra que converja al mismo valor que la primera, pero másrápidamente. Empezaremos con la definición 5.11.

a nn

2 1 0+ → ∞→ ,

S S an n n2 1 2 2 1+ +− =

S S Snn

n2 1 2 1+ →∞ +≥ =lím .

S S Snn

n2 2≤ =→∞

lím .

límn

nS S→∞ + =2 1 .

límn

nS S→∞

=2 .

Para lograr la aceleración de la convergencia, transformaremos una serie convergente da-da en otra también convergente a la misma suma, pero más rápida. En este proceso quedacomprendida una transformación, de la cual diremos que acelera la convergencia; noobstante, que existen diversos tipos, en este libro nos limitaremos al método de Kummer.


Teorema 5.14: Método de aceleración de Kummer

Sea una serie convergente dada (con suma A) y una serie de la

cual se conoce la siguiente información:

a) Converge a la suma C, es decir

b)

Entonces,

i.

ii. Con b1 = a1 + β (C − c1) y bj = aj − βcj; j ≥ 2 (estas igualdades constituyen

la transformación de Kummer), se cumple que la serie también con-verge a la suma A.

iii. converge más rápidamente a la suma A que la serie ajj=

∞

∑1

bjj=

∞

∑1

bjj=

∞

∑1

A C a cj jj

= + −( )=

∞

∑β β1

límj

j

j

a

c→∞= ≠β 0

c Cjj=

∞

∑ =1

cjj=

∞

∑1

a Ajj=

∞

∑ =1

Demostración (bosquejo):

i.

ii.

= + − + − − + =a C c A a C c A1 1 1 1β β β β

= + − + − − +=

∞

=

∞

∑∑a C c a a c cj jjj

1 1 111

1β β β β

= + − + −=

∞

=

∞

∑∑a C c a cj jjj

1 122

β β β

b b b a C c a cjj

jj

j jj=

∞

=

∞

=

∞

∑ ∑ ∑= + = + − + −( )1

12

1 12

β β β

β β β β β βC a c C a c C Aj jj

jj

jj

+ −( ) = + − = + −=

∞

=

∞

=

∞

∑ ∑ ∑1 1 1

CC A=

iii. De manera equivalente a la definición 5.11, deducimos una convergencia más rá-

pida de la serie a la suma A, si mostramos que En efecto, se

intuye que la cola de la serie tendrá una menor contribución a la suma A

que la cola correspondiente de la serie Ahora,

El ejemplo 5.16 contiene un caso de esta transformación.

En términos generales, determinar si una serie converge o diverge puede convertirseen un asunto poco trivial. La dificultad principal está en decidir el criterio que permitadar una respuesta. Asimismo, frecuentemente se utiliza más de un criterio.

A continuación, mostramos una estrategia general que puede ayudarte en el análisisde la convergencia o divergencia de una serie.

lím lím límj

j

jn

j j

jj

j

j

b

a

a c

a

c

a→∞ →∞ →∞=

−= −

⎛

⎝⎜

⎞ββ1

⎠⎠⎟ = −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=11

0ββ

ajj=

∞

∑1

.

bjj=

∞

∑1

límj

j

j

b

a→∞= 0.bj

j=

∞

∑1


Estrategia para analizar la convergencia o divergencia de la serie

a) Investiga si an → 0; si esto no ocurre, la serie diverge.

b) A partir del término general de la serie, diga si ésta es de alguno de los tipos mássencillos: telescópica, geométrica, serie “p” o alternante.

c) Si tiene términos positivos y no es de ninguno de los tipos indicados en b), obser-va la forma que tiene el término general an. Si éste lleva a una integración sen-cilla, prueba con el criterio de la integral (si las condiciones lo permiten). Si haycocientes o factoriales puedes utilizar el criterio de la razón. Si los términos ex-hiben potencias de orden “n”, prueba con el criterio de la raíz n-ésima. Si nofunciona ninguna de las ideas anteriores, intenta una comparación del términogeneral, ya sea por desigualdad o por comparación vía límites.

d) Si no todos los términos son positivos, averigua si la serie es absolutamenteconvergente.

a nn=

∞

∑1

Ejemplos

Ejemplo 5.11

Determina la convergencia o divergencia de las siguientes series:

a) b) c) n

nnn

+

=

∞

∑ 1

1

1

3 ln;

nn=

∞

∑7

4 315n

n +=

∞

∑ ;


solución

Observa que en cada caso el término general de la serie tiende a cero; sin embargo, esto no asegura quelas series sean convergentes. Aunque para cada serie hay generalmente más de un criterio para utilizar-se, tomamos las siguientes estrategias para cada inciso:

a) y como serie geométrica con deducimos: primero,

que la serie converge; segundo, que por el criterio de comparación por límites la serie

converge.

b) Una idea que suele ser muy útil es tener presente que la función exponencial crece más rápido quecualquier polinomio; en particular, se tiene que n < en, n = 1, 2,… Dado que la función “ln” es es-

trictamente creciente, se deduce que ln(n) < n, n = 1, 2,…; por lo tanto,

De aquí resulta que Puesto que la serie diverge (recuerda que la supresión de

un número finito de términos no afecta ni la convergencia ni la divergencia de una serie, y ésta es

prácticamente la serie armónica), la serie también diverge por el criterio de comparación

por desigualdades.

c) Para esta serie podemos partir de la observación de que si n ≥ 4. Dado que la serie

es de tipo “p” con p = 2, nuevamente, por el criterio de comparación por desigualdades, resulta

que la serie converge. Tal vez te haya parecido que determinar que si n ≥ 4

no sea tan sencillo; por ello, en vez de este método, es posible que parezca más natural considerarel criterio del cociente (muy útil cuando el término general de una serie presenta cocientes con po-tencias o factoriales). En este caso,

= ++ +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

= ++

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

⎛n

n

n

n n

nn

n n

2

1 1

1

1

1

1

1

1

2

1 1⎝⎝⎜⎞⎠⎟ +

n

n

1

1

a

a

n

nn

n

n n

n nn

n

n

n

n

n+

+

+=

++( )

+ = ++ +( )

11

2

11

2

1 1

( )

( ) 11

n

n nn

+ ≤1 12 ,

n

nnn

+

=

∞

∑ 1

1

12

4 nn=

∞

∑

n

n nn

+ ≤1 12 ,

1

3 ln nn=

∞

∑

1

3 nn=

∞

∑1 1

ln.

n n( ) >

ln ln( ) .n n n n( ) = < <12

12

7

4 315n

n +=

∞

∑

7

415n

n=

∞

∑

r = <1

41

7

47

1

415 15n

n n

n

=

∞

=

∞

∑ ∑= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ :

7

4 3

7

4n n+∼ ,


solución

Al tomar el límite cuando n → ∞ notamos que el primer factor de la última igualdad tiende a 1; el segundo

factor tiende a y el tercer factor tiende a cero. Por lo tanto, así, por el criterio de la razón,

la serie converge.

Ejemplo 5.12

Determina si las siguientes series convergen o divergen. Si el primer caso es posible, indica si ésta escondicional o absoluta, así como el valor de la suma con tres cifras decimales exactas.

a) b)

a) Aunque es oscilante, observamos que luego, el criterio de divergencia de

la sección anterior no es aplicable. Como los términos de la serie son tanto positivos como negati-vos, intentamos ahora considerar la convergencia absoluta de la serie, lo cual nos lleva a considerar

la serie Ahora, con cierta pericia en integración, puede notarse

que la función es fácil de integrar. Esta apreciación nos lleva a considerar el

criterio de la integral; como la función f(x) es continua, decreciente y positiva en [1, ∞), lo aplicamos:

de acuerdo con el criterio de la integral, no converge absolutamente. Sin embargo,

según el esquema de la figura 5.35, cabe la posibilidad de que la convergencia de la serie sea condicional.

Ahora observamos que la serie original es alternante; por ello, tomamos el criterio de series alternantes.

Como y deducimos que Por otro

lado, así que por el criterio de series alternantes concluimos que la seriean nn

n=

+( ) →→∞

1

1 20

ln( ),

a an n+ <1 .an nn+ =

+ + +( )11

1 1 2 1( ) ln( ),a

n nn =+( )

1

1 2 ln( )

( )

ln( )

−+( )=

∞

∑ 1

1 21

n

n n n

= +( )⎡⎣ ⎤⎦ → ∞→ ∞

1

21 2ln ln( ) ,R

R

dx

x xx

RR

1 2

1

21 2

1

21 2

11+( ) = +( ) = +∫ ln( )

ln ln( ) ln ln(( ) ln ln( )R( ) − +( )⎡⎣ ⎤⎦1 2 1

f xx x

( )ln( )

=+( )

1

1 2

( )

ln( ) ln( ).

−+( ) =

+( )=

∞

=

∞

∑ ∑1

1 2

1

1 21 1

n

n nn n n n

an nn

n

n= −

+( ) →→∞

( )

ln( );

1

1 20

− + − + +−( )

( )+1

9

4

81

1

27 32� �

n n

n

( )

ln( );

−+( )=

∞

∑ 1

1 21

n

n n n

n

nnn

+

=

∞

∑ 1

1

a

an

n n

+→∞→1 0;1

e ;


converge y, por lo ya discutido, esta convergencia es condicional. En cuanto al número

de términos requeridos para la precisión de la suma de la serie, debemos asegurar que (véase el teo-rema 5.13):

De la tabla 5.15 deducimos que se deben tomar al menos 98 términos, para conseguir la acotación delerror absoluto en menos de 10−4.

S S an nn n− < =

+( ) + +( )( ) <+−

141

1 1 2 110

ln

( )

ln( )

−+( )=

∞

∑ 1

1 21

n

n n n

n1

1 1 2 1( )( ln( ))n n+ + +

1 0.20953

10 0.0156854

20 0.00671727

30 0.00409992

40 0.00289425

50 0.00221216

60 0.00177769

70 0.00147863

80 0.00126119

90 0.00109652

97 0.00100336

98 0.000991244

Tabla 5.15: Comportamiento numérico del

término ann n

+ =+ + +( ) ( )( )1

1

1 1 2 1ln

b) Al usar la notación sigma escribimos la serie en la forma El término general de la serie

contiene potencias cuyos exponentes son de orden “n” y, por ello, inferimos que un buen acerca-miento al estudio de la misma lo proporciona el criterio de la raíz n-ésima. Del teorema 5.12:

De acuerdo con este cálculo y el criterio de la raíz n-ésima, concluimos que la serie diverge.

Nota: En el cálculo anterior hemos usado que y, en general, ( ) .− =1 1n( ) ( )− = − =n n nn n n n1

lím lím límn

n

nnn

n

nn

n

n n n→∞ →∞ →∞

−( )( )

=( )

= =3 3 32 2 2

∞∞

−( )( )=

∞

∑ n n

nn 3

21

.


solución

Ejemplo 5.13

Determina los parámetros “a”, “q > 0” en las siguientes series, con la finalidad de que sean convergentes.

a) b) c)

a) Nota que el término general de la serie contiene potencias de orden “n”. Por lo tanto, considerare-mos nuevamente el criterio de la raíz n-ésima:

donde, debido al crecimiento de “n”, “despreciamos” el 1 tanto en el numerador como en el deno-minador. Del citado criterio concluimos que la serie converge (absolutamente) para a ≤ 2.

b) Por la forma que tiene el término general de la serie, trabajaremos con el criterio de la integral. Lo

primero que notamos es que la función es continua, decreciente y positiva en el

intervalo [2, ∞). Por ello, utilizamos el criterio señalado:

Si 1 − q > 0, entonces, luego la integral diverge y lo mismo ocurrirá con la serie.

Si 1 − q < 0, de donde deducimos la convergencia de la integral y la consecuente

convergencia de la serie. El caso q = 1 debe tratarse por separado:

= −[ ] = + ∞→∞

límR

Rln(ln( )) ln(ln( ))2

dx

x x

dx

x xd x

R

R

Rln( ) ln( )ln(ln

2 2

∞

→∞ →∞∫ ∫= =lím lím (( ))xR

2

límR

qR→∞

−( ) =ln( ) 1 0

límR

qR→∞

−( ) = + ∞ln( ) ;1

=−

( ) − ( )⎡⎣

⎤⎦→∞

− −1

121 1

qR

R

q qlím ln( ) ln( )

dx

x x

x

xd x

qq R

qR

ln( )

(ln( ))

( )= =

−∞

→∞

−

∫ ∫2 2

1

1lím límm

R

qR

x q→∞

−( ) ≠ln( ) ;1

2

1

f xx x

q( )ln( )

=( )

1

Ln

n

nn

n a n

nnn

=− +( )

+( )=

+( )→∞ →∞

lím lím( )1 2 1

5 1

2 12

aa

n

a a

n

n

n

a

a

a5 1

2

5

2

2

0 22 2

45+

=⋅

=+ ∞ >

=<

⎧⎨⎪

→∞lím

,

,

,⎩⎩⎪,

j

n nj

n

an

2

1

1 4 5 3=

=

∞ ∑∑ + +

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

1

2 n nq

n ln ( );

( )=

∞

∑−( ) +( )+( )=

∞

∑ 1 2 1

5 121

n an

nn

n

n;


solución

Así, la integral diverge y lo mismo pasa con la serie. En consecuencia, concluimos que la serie esconvergente para q > 1.

c) Lo primero que requerimos entender es la forma del término general de la serie:

donde utilizamos el resultado Por la forma algebraica que

tiene an, deducimos que una buena idea es utilizar el criterio de comparación por límites; tenemos:

Para a > 1, serie “p” con p = a − 3. De aquí concluimos que

la serie será convergente para a − 3 > 1, a > 1; y divergente para a − 3 ≤ 1, a > 1. Es decir, la seriees convergente para a > 4 y divergente para 1 < a ≤ 4.

Si a = 1, tenemos que Como la serie es divergente,

deducimos del criterio de comparación por límites que la serie dada diverge para a = 1.

Si a < 1, tenemos ahora que Como en el caso anterior, conclui-

mos que para a < 1, la serie diverge. En síntesis, la serie converge sólo para a > 4.

Ejemplo 5.14

A partir de la segunda parte del criterio de la integral en el teorema 5.10 (sobre la acotación de la su-

ma S de una serie convergente), aproxima con tres cifras decimales exactas.

Esta serie es una serie “p” con p = 5, luego, converge. Con f (x) = x−5 en el criterio de la integral, te-nemos

Ahora, Con n = 5, vemos que por lo tanto:

donde 0 < ε ≤ 0.0004,

entonces, 1.03666 ≤ S ≤ 1.03706. Puesto que la adición de ε no afecta ya la tercera cifra decimal,deducimos que S = 1.037 con tres cifras decimales exactas.

S = + + + + + = +11

2

1

3

1

4

1

51 036665 5 5 5 ε ε. ,

1

40 00044n

= . ;dx

x x nn R n

R

5 4 4

1

4

1

4

∞

→∞∫ = − =lím .

11

2

11

1

2

15 5 5 5 5+ + + ≤ ≤ + + + +

∞

∫� �n

Sn

dx

xn

15

1 nn=

∞

∑

an n n

n

n

nnn ∼

( )( ).

2

6 5 15

1

15

32

( ) = = ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

nn

2

1=

∞

∑an n n

n n

n

nnn ∼

( )( ).

2

6 4 5 27

1

27

32

+( ) = = ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

an n n

n

n

n nn a a a∼( )( )

:2

6 4 12

1

12

13

3( ) = = ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

1 2 31 2 1

62 2 2 2+ + + + = + +

� nn n n( )( )

.

a

j

n n

n

n n

n nn

j

n

a a=+ +

= + + ++ +

= +=∑ 2

12 2 2

4 5 3

1 2

4 5 3

1� ( ))( ),

2 1

6 4 5 3

n

n na

++ +( )


solución

Ejemplo 5.15

Indica si existe donde Sj

nn

nnj

n

= − ( ) = + + + + − ( )=

∑ 11

1

2

1

3

1

1

ln ln�límn

nS→∞

,

1

M –1M1 2 3

/M1

/21

/31

FIGURA 5.37: Interpretación geométrica de la desigualdad (*).

La figura 5.37 muestra que representa geométricamente la suma de áreas de los rec-

tángulos sombreados; que representa la suma de las áreas de los rectángulos

sombreados y no sombreados; y que representa el área bajo la curva un

valor intermedio entre las dos áreas anteriores. Así:

(*)

Tomando M = n y restando en (*) hallamos

y

Al multiplicar por −1, Si ahora sumamos

01

11

2

1

3

1

1

1< ≤ + + + +−

+ − ( )n n n

n

S n

� ��

ln��

≤ 1,

11+n

:− ≥ + + +−

− ( ) ≥ −1 1

2

1

3

1

11

n nn� ln .

1 1

2

1

3

1

11

nn

n≤ ( ) − − − −

−≤ln �

1

2

1

3

11

1

2

1

3

1

1+ + + ≤ ( ) ≤ + + + +

−� �

nn

nln

1

2

1

3

1

1+ + +

−�

n,

1

2

1

3

11

1

2

1

3

1

1+ + + ≤ ( ) ≤ + + + +

−� �

MM

Mln

f x x( ) ,= 1dx

xM

M

1∫ = ( )ln

11

2

1

3

1

1+ + + +

−�

M

1

2

1

3

1+ + +�M


solución

es decir, la sucesión {Sn} está acotada por 0 y 1. Si consideramos Sn + 1 − Sn obtenemos:

Como para n ≤ x ≤ n + 1, obtenemos que Por lo cual,

De aquí resulta que por lo tanto, Sn + 1 − Sn ≤ 0 o

Sn + 1 ≤ Sn. Luego, la sucesión {Sn} también es monótona decreciente. De acuerdo con el teorema 5.1,

determinamos que la sucesión {Sn} es convergente; es decir, existe.

Al número γ se le llama constante de Euler.

Ejemplo 5.16

a) Verifica que la serie es convergente.

b) Leonardo Euler demostró que la serie converge a la suma Usa este resultado y

aplica el método de Kummer, para obtener una serie que converja más rápidamente a la su-

ma (desconocida) de la serie en a).

a) Observa que así que Como

es una serie convergente, por el criterio de comparación por límites deducimos que la serie

converge.1

21 n nn −=

∞

∑ln ( )

12

1 nn=

∞

∑

1 12 2n n n− ln( )

.∼lím lím límn

n

n n n

a

c

n n

n

n

n→∞ →∞ →∞= − =

−

1

1

2

2

2

2

ln ( )

ln (( ),

n

n

nn= =

→∞lím

2

2 1

b nn=

∞

∑1

π 2

6.c

nnn n=

∞

=

∞

∑ ∑=1

21

1

an nn

n n=

∞

=

∞

∑ ∑=−1

21

1

ln ( )

γ = + + + + −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟→∞

límn n

n11

2

1

3

1� ln( )

1

1

10

1

n

n

nS Sn n

+− +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ ≤

+ −

ln ; ��

1

1

1 1

n

n

n n+≤ +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ ≤ln .

dx

n

dx

x

dx

nn

n

n

n

n

n

n

n

+≤ ≤

+ +

= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

∫ ∫1

1 1

1ln

��

++

∫1

.1

1

1 1

n x n+≤ ≤

=+

− +( ) + ( ) =+

− +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1

11

1

1

1

nn n

n

n

nln ln ln

S Sn n

nn n+ − = + + + + ++

− +( ) − + + +1 11

2

1

3

1 1

11 1

1

2

1

3� �ln ++ − ( )⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

1

nnln


b) En este caso, y por lo tanto, del inciso anterior La

transformación de Kummer nos lleva a la serie donde:

y

Así, la nueva serie converge a la suma desconocida A, más rápidamente.

Está fuera del alcance de este libro hacer el estudio analítico del error cometido al truncar ambas series,tras sus primeros n0 términos; sin embargo, para validar nuestra afirmación sobre la rapidez de conver-gencia, te pedimos que considere la figura 5.38 y la tabla 5.16. En la primera notarás que los puntos en

negro correspondientes a valores de n-ésimas sumas parciales de la serie están por encima de los

puntos en azul correspondientes a las n-ésimas sumas parciales de la serie adelantando de esta

manera su mayor rapidez de convergencia hacia la suma A, también mostrada en la figura. En la tabla

se hace una comparación numérica que muestra cómo la aportación de las colas en la serie a

la larga resultan “despreciables” respecto de la aportación de las colas en la serie lo cual indica

que en los primeros términos de la serie acelerada podremos hallar una mayor contribución a la sumaA, que en el mismo número de los primeros términos tomados de la serie original.

ann=

∞

∑1

,

bnn=

∞

∑1

ann=

∞

∑1

,

bnn=

∞

∑1

π 2

2 226

1 1+−

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

∞

∑n n nn ln( )

b a cn n nn n n= − =

−−β 1 1

2 2ln( )b a C c1 1 1 2

2 21

1 11

61

6= + −( ) =

−+ −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=β π πln( )

( ) ,

b nn=

∞

∑1

β = =→∞

límn

n

n

a

c1.c

nn = 12 ;a

n nn =−

12 ln ( )

201510 30

2

1.5

1

0.5

A

25 355

n b ajj n

n

jj n

n

= + = +∑ ∑÷

1

2

1

2

Tabla 5.16: Comparación numéricade la magnitud de colas deambas series.

10 0.0138259

20 0.0045449

30 0.00229963

40 0.00140411

50 0.000953143

60 0.000672845

70 0.000527944

80 0.000416793

90 0.000338067

100 0.000280159

FIGURA 5.38: Comparación gráfica de la rapidez de con-

vergencia de la serie versus a

la suma A.

bn

n=

∞

∑1

an

n=

∞

∑1

bjj

n

=∑

1

ajj

n

=∑

1


1. Aplica el criterio mediante comparación por desigualdades o límites, y determina la convergencia odivergencia de cada una de las siguientes series.

2. Comprueba la convergencia o divergencia de cada una de las siguientes series, utilizando el criterio dela integral.

a)

b)

c)

d)

e) 16 4 3

6 5

24

1

n n

nn

+ ++=

∞

∑

1

11

++

−

=

∞

∑ e

e

n

nn

n

n nn

2

3 210 7 1+ +=

∞

∑

n

nnn

++=

∞

∑ 2

3 11 ( )

1

21 n nn=

∞

∑

a)

b)

c)

d)

e) 1

1 121 n nn +( ) +( )=

∞

∑

n

enn

2

13

=

∞

∑

1

10 n n nn ln ln ln( ) ( )( )=

∞

∑

1

121 nn +=

∞

∑

ln ( );

α

αn

nn=

∞

∑ >1

0

3. Aplica el método del ejemplo 5.14 y encuentra la suma de las siguientes series hasta con tres cifras de-cimales exactas.

a) b) c) 1

1 121 n nn +( ) +( )=

∞

∑n

e nn

2

13

=

∞

∑15

2 n nn ln( )=

∞

∑

4. Usa el criterio de la razón, di si las siguientes series convergen o divergen.

a)

b)

c)

d)

e) −( )

⋅ ⋅ −( )=

∞

∑ 1

1 3 5 2 11

n

n

n

n

!

�

−( )=

∞

∑ 1

901

n

nn

n!

−( ) ⋅ +

=

∞

∑ 1 7

2

7 3

31

n n

nn

n

22

0

n

n

n

n !=

∞

∑

3

0

n

n n!=

∞

∑

5. A través del criterio de la raíz n-ésima, determina si las siguientes series convergen o divergen.

a)

b)

c)

d)

e) e

n

n

nn=

∞

∑1

nn

n

10

1 3ln ( )=

∞

∑

−( ) +( )+( )=

∞

∑1 5 1

2 1

2

21

n n

nn

n

n

n n

nn 23

2

1=

∞

∑

nn

nn

n

=

∞

∑ −+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1

2 1

13


6. Analiza la convergencia o divergencia de las siguientes series; en caso de convergencia, indica si escondicional o absoluta.

a)

b) 3

1

1

21

n

n n

−

=

∞

+∑

11

3

1

2 1

1

− + +−( )

−( ) +−

! !� �

n

nc)

d)

e) −( ) ( )

=

∞

∑ 1

1

n

n

n

n

arctan

−( ) +

=

∞

∑ 1 31

1

1n

n

n

−( )( )=

∞

∑ 1

1

n

n nln

7. Miscelánea sobre criterios de convergencia de series. Indica si cada una de las siguientes series con-verge o diverge. Fundamenta tu respuesta indicando el nombre del criterio utilizado.

a)

b) con an = 0, 1, 2,… o 9an

nn 101=

∞

∑ ,

n

enn=

∞

∑1

c)

d)

e)

f ) 3 200

4 521

n

n n nn

++=

∞

∑

( )−−=

∞

∑ 1

12

n

n n

− + ++ −=

∞

∑ n n

n nn

2

3 21

5 3

4 2 1

3

3

4

4

5

5

3 4 5

! ! !+ + +�

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m) 1

2

3

2

5

22 3+ + +�

1

21 n nn ⋅=

∞

∑

11

11

n nn

+=

∞

∑

1

4 ln( )nn=

∞

∑

1

1 2 31 + + + +=

∞

∑ � nn

1

3

1

5

1

11

1

3 21+ + + ++

+−� �n

1

2 n nn ln( )=

∞

∑ n)

ñ)

o)

p)

q)

r)

s)

t) 1

32 n n nn ln( ) ln ( )+=

∞

∑

( )− −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+

=

∞ −

∑ 13 11

1

2 1n

n

nn

n

( ) !−+

−

=

∞

∑ 1

2 1

1

1

n

nn

n

3

2 3

5

3 4

7

4 5

2 1

1 22 2 2 2 2 2 2 2⋅+

⋅+

⋅+ + +

+ ⋅ ++� �

n

n n( ) ( )

3

4

5

7

7

10

2 1

3 1

12

32⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ + + ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ + + +

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟�

n

n

n22

+�

11

2

1

3

1

4

1

2 1

1

22 3 2 3 2− + − + +−( )

−( )

+� �n n

11

5

1

2

1

5

1

3

1

52 3− + − + − +�

12

3

3

5

4

71

2 3 41

− ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ − ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ + ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ + + −( )

−

�n n( ))

2

2 1

n

n

n

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +�


8. Decide cuáles de las siguientes series alternantes son convergentes. Para cada inciso, ¿cuántos térmi-nos hay que sumar para obtener la suma (en caso de que exista) con donde ε representa elerror absoluto?

a) b) c)

9. En términos vagos, una ecuación diferencial es aquella donde aparece una derivada. Piensa en la si-guiente: Ecuaciones de este tipo pueden resolverse usando un tipo de series especia-les (que estudiaremos con más detalle en la próxima unidad) y las de potencias, que son de la forma

para x en el intervalo de convergencia. Supón que la ecuación diferencial dada admite una

solución de la forma y que de ella se puede derivar, como si

se tratara de un polinomio.

a) A partir de la ecuación f '(x) = x + f (x) + f (x) se pueden escribir los coeficientes a1, a2, … en térmi-nos de a0. Encuentra an y expréselo en términos de a0.

b) Sustituye los coeficientes hallados en a) y exprese f (x) como una serie.

c) Aplica el criterio de la razón a la serie encontrada en b) y determina su intervalo de convergencia.

d) Revisa la forma de una serie exponencial en el ejercicio 6 de la autoevaluación de la sección 5.2 yexpresa a la función f (x) prescindiendo del la notación .

10. “Hasta los grandes cometen equivocaciones”. Descubre el error cometido por Euler al manipular seriessin el debido cuidado.

a) A partir de la serie geométrica obtén una serie que sea igual a .

b) En el resultado toma y relaciona el resultado con el inciso a).

c) Suma los resultados hallados en a) y b), y determina el valor de la siguiente fórmula adjudicada algran matemático Leonhard Euler:

d) ¿Qué ocurre en el resultado hallado en c), si x = 1? ¿En qué consiste el error de Euler?

11. Una fábrica de pistones prueba sus productos y encuentra que la proporción de pistones buenos es “p”;en tanto que “1 − p” es la correspondiente a los defectuosos. Si el valor de p es cercano a 1, entonces,

� �+ + + + + + =1 112

2

x xx x

rx

= 11

1

12+ + + =

−r r

r� ,

x

x1−

∑

f x a x a a x a xnn

n( ) = = + + +=

∞

∑0

0 1 22 �

a xnn

n

=

∞

∑0

f x x f x' ( ) ( ).= +

−( ) +

=

∞

∑ 1 1

1

n

n nlog ( )

−( ) +

=

∞

∑ 1 1

1

n

n n!

−( ) +

=

∞

∑ 1 1

1

n

n n

ε < −10 4,


muchos de los pistones son buenos. La prueba encuentra una larga lista o enumeración de partes buenas,interrumpida ocasionalmente por una o dos partes malas; por ejemplo:

bbmbbbbmmmbbbbbbbbbbmbbb

Supón que una fila de pistones buenos “b” ha terminado, y que llega el momento de encontrarse conun pistón defectuoso (malo) “m”. Bajo este esquema, una fila general tendrá la siguiente apariencia:

filas con longitud “n” de pistones buenos

De acuerdo con la probabilidad, una fila como ésta tendrá una probabilidad dada por pn(1 − p), con po-sibles valores n = 0, 1, 2,… Realiza lo que se pide a continuación.

a) Si p(n) indica la proporción de filas de longitud n, determina si la serie es convergente; encaso de que lo sea, calcula la suma.

b) Para obtener la longitud promedio de las filas buenas, multiplique la longitud de cada una por la pro-porción de veces que ésta ocurre, y efectúa la siguiente adición:

Indica si la serie anterior converge; si así ocurre, calcula la suma.

c) Con base en el inciso anterior, verifica que el promedio de longitud de pistones buenos sea una funcióncreciente de p. ¿Por qué esto es razonable?

12. La sucesión de Fibonacci {an} (véase el ejemplo 5.8 de la primera sección de esta unidad)

1, 1, 2, 3, 5, 8, …

se define por la fórmula de recurrencia an + 2 = an + an + 1, donde a1 = a2 = 1.

a) Usa el principio de inducción y compruebe que es el término

general de la sucesión.

b) Calcula

c) ¿Converge o diverge la serie ? Argumenta.1 1

1

1

1

1

2

1

3

1

5

1

81 a nn=

∞

∑ = + + + + + +�

límn

n

n

a

a→∞+1 .

a n

n n

= +⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟− −⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟1

5

1 5

2

1

5

1 5

2

0 1 1 1 10

⋅ −( ) + ⋅ −( ) + + ⋅ −( ) + ==

∞

∑p p p n p p n p nn

n

� � ( )

p nn

( )=

∞

∑0

bb bb mn veces

� �� :


13. El cálculo numérico de series de la forma donde p y q son polinomios en n, tales que

grado(q) − grado(p) ≥ 2 puede acelerarse usando el método de Kummer, para la comparación cualquie-ra de las siguientes series:

y para k = 2, 3,…

Los valores de g(p) de la llamada función de Riemann g para p par se pueden obtener mediante unafórmula de recurrencia (que omitimos para no exceder el alcance del presente libro); pero para pimpar, no existen expresiones explícitas y simples para g(p). Usa el método de Kummer y calcula g(3)con un error relativo menor a 10−7.

14. Utiliza el criterio de la razón para mostrar que la serie es convergente. Ocasionalmente es

posible obtener el valor de la suma empleando artificios, como el que se te pide aplicar a continuación.

Expresa como una serie geométrica y deriva ambos lados de la ecuación respecto de x. Ahora,

multiplica ambos miembros del resultado anterior por x y deriva nuevamente; multiplica una vez más

por x y, finalmente, resuelve ¿Qué obtiene?

15. La lenta divergencia de la serie armónica. Sea Utiliza la gráfica de la función

para demostrar que

ln(n + 1) < Sn < 1 + ln(n)

Supón que comenzó a sumar la serie con S1 = 1 en el momento de la creación, hace trece mil millonesde años, y que puede sumar un término más cada segundo desde entonces. ¿Cuánto sería el valor de lasuma parcial Sn actualmente? Recuerda que los años constan de 365 días.

16. Si

a) Calcula an.

b) Determina si la serie converge o diverge. Argumenta.

c) En caso de convergencia, acota el valor de la suma.

17. De acuerdo con la declaratoria de la Fundación UNAM, ésta tiene por finalidad coadyuvar con la Uni-versidad Nacional Autónoma de México, a través del apoyo económico, social y moral que pueda brin-darle, para cumplir proyectos específicos. Vianey Terán, egresada de la Facultad de Ingeniería, desea

a nn=

∞

∑1

a nx dxnn n= −( ) ( )+ ∫1 61 2

0

1

f x x( ) = 1

Snn = + + + +1

1

2

1

3

1� .

x = 12 .

1

1− x

nn

n

2

1 2=

∞

∑

Sn n n k k kk

n

=+( ) + −( ) =

−( ) ⋅ −( )=

∞

∑ 1

1 1

1

1 11 � !1

1 ng pp

n=

∞

∑ = ( )

p n

q nn

( )

( )=

∞

∑1


incorporarse a la fundación y se ha propuesto donar anualmente, a perpetuidad, 1,500 pesos. Supón queen las actuales condiciones económicas del país, este dinero puede ganar 4% anual, es decir, un pagode 1,500 pesos de hoy en n años equivaldrá a 1500(1.04)n.

a) Demuestra que la cantidad que Vianey debe invertir hoy para cubrir el n-ésimo pago de 1,500 pesoses 1500(1.04)−n.

b) Construye una serie infinita que exprese la cantidad que Vianey debe invertir hoy para cubrir todoslos pagos a perpetuidad.

c) Muestra que la serie en b) converge y determina la suma; ésta se llama el valor presente de la per-petuidad.

18. Determina la solución x > 1 (real) de la ecuación Sigue los lineamientos que le brin-damos a continuación.

a) A partir de la serie geométrica 1 + x + x2 + x3 + …, escribe la serie correspondiente a .

b) Deriva la ecuación obtenida en a) dos veces, multiplica por x y, después, reemplaza x por Su

resultado debe tener la forma Determina qué es an y qué f (x).

c) Encuentra la solución pedida.

19. En este problema, iniciamos con un triángulo equilátero con lados de longitud 2a.

Cada triángulo equilátero en blanco se obtiene uniendo los puntos medios de cada lado, como se mues-tra en la figura 5.39 La suma de áreas eliminadas del triángulo original forma una serie infinita.

a) Halla la expresión de la serie infinita descrita y determina si es convergente o divergente.

b) En caso de convergencia, encuentra la suma de la serie y, con ello, el área total eliminada del triángu-lo original. Compara su resultado con el área del triángulo inicial.

a

xf xn

nn=

∞

∑ =1

( ).

1x .

x

x

2

1−

xn n

x nn

= +

=

∞

∑ ( ).

1

1

FIGURA 5.39: Alfombra de Waclaw Sierpinski.



20. Una serie para π. En el libro El omnipresente número π (véase la referencia bibliográfica 13) Zhúkovexhibe una cantidad enorme de formas en las que se presenta π. Las siguientes indicaciones proporcio-nan una manera en la cual π aparece relacionado con una serie.

a) Para determina la función f(x) que represente la serie 1 − x2 + x4 − x6 + …

b) Supón que en el resultado anterior puede integrar término a término. Hazlo con ambos miembrosde la ecuación formada en el inciso anterior de 0 a 1. ¿Qué obtienes?

c) A partir de b), expresa π como una serie.

x < 1,


1. El sistema pensionario mexicano. Con tus compañeros de equipo, trabaja con los siguien-tes conceptos fundamentales:

a) Supón que alguien te ofrece pagarte una suma de dinero S dentro de t años. ¿Qué sumaA debería estar dispuesto a recibir hoy, a cambio de esta obligación futura? Al valor Ase le llama valor presente de S pagadero dentro de t años.

b) De manera general, sea una serie de pagos S0, S1, S2,…, SN donde S0 es pagadero inme-diatamente, S1 dentro de un periodo, S2 dentro de dos, …, SN dentro de N periodos.¿Cuál sería el monto de la suma única A pagadera hoy por la cual estarías dispuesto acambiar esta serie?

c) En relación con las pensiones, imagina que el número de pagos del inciso anterior esuna variable aleatoria (no determinística), con pago Sk determinístico. Entonces, el va-lor presente también será aleatorio e involucrará en su cálculo las probabilidades de quela persona que recibe el pago (pensión) siga viva para el siguiente periodo (calculadode manera anual). A este valor se le conoce como valor esperado presente. Supón quepk es la probabilidad de que se produzca el k-ésimo pago, Sk. De la teoría de la proba-bilidad puede determinarse que (considerando todos los pagos iguales), el valor espera-do presente es:

donde v = (1 + i)−1 e i representa la tasa de interés (en decimales) aplicable al pago. Dadoel carácter incierto del número de pagos por realizar, la suma anterior se ha escrito sinprecisar su terminación, lo cual origina una serie. Escribe la suma anterior como seriey argumenta por qué es convergente.

Sugerencia: La función f (n) = pn, n = 0, 1, 2,… es de probabilidad. Investiga los dosaspectos que la caracterizan; uno de ellos tiene que ver con el concepto de serie.

S p S S v p S S v S v p0 0 0 0 1 0 0 02

2⋅ + + ⋅( ) + + ⋅ + ⋅( ) +�,


2. ¿Cómo tomar decisiones usando series? La actitud de las personas ante el riesgo es un te-ma fascinante para psicólogos e investigadores, máxime cuando cierto tipo de actividadesrequiere cierto perfil de personal para la toma de decisiones. Dentro de este esquema, seha clasificado a los individuos en tres categorías básicas: cauteloso, temerario e indiferen-te. Debe decirse, sin embargo, que nadie se comporta como cauteloso, temerario o indife-rente de forma pura. En efecto, piensa si estás dispuesto a jugar en un lanzamiento demoneda sus ingresos de cinco años. Si la respuesta es negativa, no eres indiferente ante elriesgo, pero tampoco eres temerario. Por otro lado, si has comprado algún boleto de lote-ría o jugado algún tipo de rifa o sorteo, tampoco eres un cauteloso puro, ya que el valoresperado de la lotería siempre es menor que el precio de un boleto. De esta manera, quientomará una decisión (temerario, cauteloso o indiferente) es sólo una idealización para sim-plificar nuestro modelo. Una función que se utiliza prioritariamente como modelo mate-mático en situaciones de riesgo es

u(x) = 1 − e−kx, k > 0

Dentro de la caracterización señalada, esta función se utiliza para personas cautelosas; elparámetro k permite ajustar el grado de cautela y el límite, cuando k → 0 representa a al-guien indiferente al riesgo. Suponer indiferencia al riesgo dentro de la formulación de unmodelo es una hipótesis razonable, siempre y cuando las ganancias o pérdidas que se ten-gan sean de magnitudes considerablemente menores que el capital de quien arriesga. Porejemplo, es posible que no estés dispuesto a jugar sus ingresos de los próximos cinco añosen un lanzamiento de moneda, pero tal vez sí jugaría 10 pesos de la misma forma. En

la teoría de decisiones se calculan dos valores G1 = u(0) y El primer

valor representa la ganancia con probabilidad 1 si no se toma ningún riesgo; el segundo, laganancia cuando se toma el riesgo de determinada acción.

G g n u nn

20

==

∞

∑ ( ) ( ).

FIGURA 5.40: Decisiones a partir de series.

Ahora, piensa que deseas asociarte con algunos amigos para establecer una franquicia yque, al hacerlo, los gastos fijos serán de 500,000 pesos. Para convencerte, uno de sus posi-bles socios te dice que la utilidad neta de cada unidad vendida será de 400 pesos y que él

calcula que el número de unidades vendidas es una función del tipo

(ésta es una función que en la teoría de la probabilidad se conoce como distribución dePoisson con parámetro λ = 1200). Con esta información, ¿qué decisión tomarías?

g n en

n

( )!

= − 1200 1200


Autoevaluación

1. Elige la opción que proporciona una serie convergente.

a)

b)

c)

d) n

nn

!

!+( )=

∞

∑ 330

k

k

k

k !=

∞

∑1

n

nn 8 7531 +=

∞

∑

ln n

nn

+( )=

∞

∑ 2

1

2. Determina la opción que proporciona los valores positivos de p para los cuales converge la

serie

a) p > 2 b) c) p > 4 d) p > 1

3. Para cada inciso, di si la serie dada es absolutamente convergente, condicionalmente conver-gente o divergente.

a) b) c)

4. Nicolás Oresme logró hallar el valor exacto de la suma de la serie convergente

Escribe como serie geométrica, deriva ambos lados

de la ecuación formada y elige el inciso que contiene el valor de A.

a) A = 7 b) A = 4 c) A = 1 d) A = 12

5. Dada la n-ésima suma parcial

de una serie, elige la opción que proporcione la afirmación correcta.

Sugerencia: Recuerde la definición de sumas de Riemann y toma en cuenta la integral .

a) La serie diverge.

b) La serie converge a 2.

c) La serie converge a ln(2).

d) La serie converge, pero no puede determinarse la suma.

d x

x10

1

+∫

Sn n n n n n nn

n n

=+

++

+ ++

= ⋅+

+ ⋅+

+ + ⋅1

1

1

2

1 1 1

1

1 1

1

11 2� �

11

1+ nn

1

1− x1

1

22

1

43

2 1+ ⋅ + ⋅ + + + =−� �n

An .

−( ) +

=

∞

∑ 1100

1

1

n

nn

n!−( )

+−

=

∞

∑ 11

1

12

n

n

n

n−( )

=

∞

∑ 151

n

nn

n

p > 32

npn

n2

3

2

=

∞

∑ ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟


6. Una serie tiene una n-ésima suma parcial dada por

Aplica la misma idea del problema 5 y elige la opción correcta.

a) La serie converge pero no puede conocerse su suma.

b) La serie diverge.

c) La serie converge a

7. Relaciona las series de la columna A con las afirmaciones que aparecen en la columna B.

Columna A Columna B

ln 1 2+( )

Sn n n n

n =+

++

+ ++

1

1

1

2

12 2 2 2 2

� .

a)

b)

c)

d) límn

j

nj

n

→∞

=∑ 1

1

−( ) ( )+

=

∞

∑ 1 1

2

n

n

n

n

ln

−( ) ( )+

=

∞

∑ 1 1

1

2

92

n

n

n

n

sen

1

1 3

1

2 4

1

3 5

1

4 6⋅−

⋅+

⋅−

⋅+� i. Converge a

ii. Converge condicionalmente

iii. 0

iv. Diverge

v. ∞

vi. Converge a

vii. Converge absolutamente

14

34

Respuestas a los


1. a) Converge; b) converge; c) diverge; d) converge; e) diverge

2. a) Diverge; b) converge; c) diverge; d) converge; e) converge

3. a) 0.050; b) 0.369; c) 0.374

4. a) Converge; b) diverge; c) converge; d) diverge; e) converge

5. a) Diverge; b) converge; c) diverge; d) converge; e) converge

6. a) Converge absolutamente; b) diverge; c) converge condicionalmente; d) diverge; e) converge condicio-nalmente

7. a) La serie converge. Criterio de la integral.

b) La serie converge. Criterio de comparación por desigualdades y criterio sobre series geométricas.


c) La serie diverge. Criterio de la razón.d) La serie diverge. Criterio de comparación por límites.e) La serie converge. Criterio de series alternantes.f ) La serie converge. Criterio de comparación por límites.g) La serie diverge. Criterio de la integral.h) La serie converge. Criterio de comparación por desigualdades y criterio sobre series geométricas.i) La serie converge. Criterio de comparación por límites.j) La serie diverge. Criterio de comparación por desigualdades.k) La serie diverge. Criterio de comparación por límites.l) La serie converge. Criterio de la razón.m) La serie converge. Criterio de la razón.n) La serie es absolutamente convergente. Criterio de la raíz n-ésima.ñ) La serie es divergente. Se puede separar en dos series, una convergente y la otra divergente.o) La serie es absolutamente convergente.p) La serie converge. Criterio de la raíz n-ésima.q) La serie converge. Criterio de comparación por límites.r) La serie diverge. Criterio de la razón.s) La serie diverge. Criterio de la raíz n-ésima.t) La serie diverge. Criterio de comparación por desigualdades y criterio de la integral.

8. Por el teorema 5.13, las tres series son convergentes. Como debes tomar para a) al menos

104 términos; y para b) 8 términos porque 8! > 104; y para c) 10104

términos.

9.

S S an n− < +1 ,

a)

b)

c) Df = �

d) f (x) = −1 − x + (1 + a0)ex

f x x a xx x

( ) ( )! !

= − − + + + + + +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1 1 12 30

2 3

�

aa

nn = +1 0

!

10.

a) c)

b) d) Evidentemente, el resultado es absurdo para cualquierx > 0. Euler no consideró la importancia de la conver-gencia de las series trabajadas.

11. a) La serie es convergente, la suma es igual a 1; b) La serie converge y la suma es c) Al derivar

de donde resulta la afirmación del ejercicio.

12. a) Te será útil darte cuenta de que y

b) c) Por el criterio de la razón, la serie converge.límn

n

n

a

a→∞+ = +1 1 5

2;

1 5

2

3 5

2

2−⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟= −1 5

2

3 5

2

2+⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟= +

,

d

dp

p

p p1

1

102−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=−( )

> ,

p

p1−;

x

x x x−= + + +

11

1 12 �

� � �+ + + + + + + =−

+−

=1 11

1 102

2

x xx x

x

x

x

x

x

xx x x

12 3

−= + + +�


13. Comprueba que la serie es convergente y converge a Úsala como serie de com-

paración en el método de Kummer para obtener

Como g(3) ≥ 1 y para N ≥ 216. De aquí,

14. Al seguir el procedimiento señalado se halla Si ahora se toma en-

contramos que

15. Desde la creación, han transcurrido n = 409.968 × 1015 segundos. De ln(n + 1) < Sn < 1 + ln(n), conn = 409.968 × 1015, deducimos que 40.55 < Sn < 41.55. A pesar de que la serie diverge, se observa lapasmosa lentitud con que lo hace.

16. a) b) Por el criterio de las series alternantes deducimos que la serie converge (condicio-

nalmente); c) Si S es la suma de la serie,

17. b) c) La serie es una serie geométrica con por lo tanto, converge.

El valor presente de la perpetuidad es 39,000.00.

18. a) válido para

b) desarrollo válido para De aquí, an = n(n + 1) y

c) x ≈ 2.76929

19. a) La suma de áreas está dada por una serie geométrica convergente.

b) el mismo valor del área del triángulo inicial.

20. a) b) c) π = − + − +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟4 1

1

3

1

5

1

7�arctan ;1 1

1

3

1

5

1

7( ) = − + − +�f x

x( ) ;=

+1

1 2

S a= 3 2,

S an

n

= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

∞

∑3

4

3

42

0

,

f xx

x( ) =

−( )2

1

2

3x > 1.n n

x

x

xn

n

( );

+ =−( )=

∞

∑ 1 2

11

2

3

x < 1xx

xn

n

+

=

∞

∑ =−

1

1

2

1,

r = ( ) <−1 04 11. ;1500 1 040

. ;( )−

=

∞

∑ n

n

1 32≤ ≤S

ann

n= −( ) +121 ;

nn

n

2

1 26

=

∞

∑ =

x = 12 ,

x x

xx x x

2

32 3

14 9

+−( )

= + + +�

gn

n n nn

( )( )( )

.31

4

3 2

1 21 20205683

1

216

≈ + ++ +

==

∑

3 2

1 23

133

14

14

n

n n n n

dx

xn N n NN

++ +

≤ ≤= +

∞

= +

∞ ∞∑ ∑( )( ) ∫∫ = ≤ −1

1037

N

gn n n n

n

n

( )( )( )

31

4

1 1 1

1 2

1

4

3

12= + −

+ +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= + +

=

∞

∑ 22

1 231 n n nn ( )( )+ +=

∞

∑

1

4.1

1 21 n n nn ( )( )+ +=

∞

∑



1. d) 2. a) 3. a) Absolutamente convergente; b) condicionalmente convergente; c) divergente

4. b) 5. c) 6. c) 7. (a, vi.); (b, vii.); (c, ii.); (d, iii.)

Referencias


2. Clawson, C., Misterios matemáticos, magia y belleza de los números, México, Diana, 1999.3. Courant, R. y John, F., Introducción al cálculo y al análisis matemático, vol. I, México, Limusa, 1982.4. Courant, R. y Robbins, H., ¿Qué son las matemáticas?, México, Fondo de Cultura Económica, 2002.5. Granero, F., Cálculo, Madrid, McGraw-Hill, 1991.6. Kasner, E., Newman, J., Matemáticas e imaginación, México, CECSA, 1972.7. Obregón, I., Teoría de la probabilidad, México, Limusa, 1977.8. Parzen, E., Teoría moderna de probabilidades y sus aplicaciones, México, Limusa, 1982.9. Prado, Santiago, et al., Precálculo, México, Pearson Educación, 2006.

10. Rivaud, J., Ejercicios de análisis, Madrid, Reverté, 1975.11. Seeley, R., Cálculo de una y varias variables, México, Trillas, 1978.12. Takeuchi, Y., Sucesiones y series, México, Limusa, 1980.13. Zhúkov, A., El omnipresente número π, Moscú, URSS, 2005.

479

Unidad

Series de potencias


6.1 Polinomios y series de Taylor

6.2 Series de potencias

6.1 Polinomios y series de Taylor

Las matemáticas tienen invencionesmuy sutiles que pueden servir de mucho,

tanto para contentar a los curiosos,como para facilitar todas las artes ydisminuir el trabajo de los hombres.

René Descartes

Diseño de lentes

Para el diseño de dispositivos ópticos, el estudio de las propiedades de las lentes resulta fundamental en áreastan distintas como la medicina (por ejemplo, en las lentes intraoculares) y la astronomía (en telescopios).Considera la siguiente situación (adaptada del libro de Stewart, Cálculo, conceptos y contextos, incluido enlas referencias bibliográficas de este capítulo).

En el Instituto de Investigación Óptica Lentes de México se realizó un estudio experimental sobre unalente esférica y, como parte del trabajo que se debe desarrollar para la interpretación y justificación de los

resultados, es necesario modelar el fenómeno. La figura 6.1 muestra una ondaque parte de un punto fuente S y que llega a una interfase esférica de radio R concentro en C. El rayo SA se refracta hacia P. Las personas que llevaron a caboel estudio dedujeron la siguiente ecuación, con base en el principio de Fermat, elcual indica que, para ir de un punto a otro, la luz viaja de tal manera que utilizael mínimo tiempo posible:

Supón que se pidió a tu equipo de trabajo colaboración en este proyecto, para de-mostrar que la ecuación anterior se puede reducir a una expresión más sencilla:

n

s

n

s

n n

Ri

1

0

2 2 1+ = −

n

L

n

L R

n s

L

n s

Li

i

i

1

0

2 2 1 0

0

1+ = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

480 Unidad 6: Series de potencias

θ

θ A

VR

C PS

Li

SiS0

n2n1

h

θ

φ

L0

y

i

FIGURA 6.1: Refracción en una interfase esférica.

Introducción

En la unidad anterior estudiamos las sucesiones y las series numéricas infini-tas (su definición, convergencia o divergencia, así como sus aplicaciones).Ahora, aprenderás sobre un tipo particular y muy importante de serie: la deTaylor. Ésta es muy útil para aproximar y representar funciones y también esuna herramienta teórica muy poderosa para interpretar, explicar y resolvermuchos problemas, tanto del ámbito matemático como del mundo real, comoel de diseño de lentes. Leibniz, Newton, Lagrange y Euler utilizaron amplia-mente este tipo de series para el desarrollo de sus trabajos.

Sección 6.1.1 Polinomios de Taylor

En esta sección estudiaremos cómo aproximar una función y = f (x) en torno a un puntox = a, usando otras funciones de tipo polinomial (lineales, cuadráticas, cúbicas, etcéte-ra). El caso más simple consiste en utilizar la recta tangente a la gráfica de una función.A partir del curso de cálculo diferencial, recuerda que una función y su tangente en unpunto x = a tienen la misma pendiente en ese punto y toman valores muy aproximadospara puntos cercanos a a (véase la figura 6.2).

Recuerda también que dada una función y = f (x), su recta tangente en x = a estádeterminada por

ytan = f (a) + f '(a)(x − a)

Entonces, para valores cercanos a a, se tiene que f (x) ≈ f (a) + f '(a)(x − a)

4816.1: Polinomios y series de Taylor

Objetivos


• Establecer los polinomios de Taylor y aplicarlos en la soluciónde problemas.

• Determinar las series de Taylor y Maclaurin de una funcióndada y aplicarlas para resolver problemas de diferentes áreas.

a

y

x

f (a)

f '(a)(x – a)

Valor real de f (x)

Valor aproximado de f (x)

x – af (a)

FIGURA 6.2: Aproximación de f(x) mediante la recta tangente.

En la figura 6.2 se exageró la distancia entre a y x para observar mejor lo que ocurreentre las distancias; sin embargo, es importante no perder de vista que una buenaaproximación se obtiene sólo cuando el valor x está suficientemente cercano al valor a.También se ve que si se toma un valor x muy cercano al valor a, alrededor del punto detangencia, ya no es posible distinguir entre la función f (x) y su recta tangente.

Consideremos, por ejemplo, cómo aproximar la función y = ex mediante su recta tan-gente cuando x = 0. La derivada de esta función es y' = ex, de manera que la ecuación desu recta tangente en x = 0 es y = 1 + x, como se observa en la figura 6.3.

Por ejemplo, si quisiéramos aproximar el valor de y = ex para x = 0.01, simplementesustituiríamos este valor en la ecuación de la recta tangente encontrada, y obtendríamosy = 1 + 0.01 = 1.01, que es un valor aproximado al valor real que se obtiene al sustituiren y = ex, es decir, y = e0.01 = 1.010050... De igual forma, si x = −0.05, en la recta tangenteobtendríamos y = 1 − 0.05 = 0.95; mientras que el valor real es y = e−0.05 = 0.951229...Esto nos indica que ex ≈ 1 + x siempre que el valor de x sea cercano a 0.

Se obtiene una mejor aproximación, si en vez de una recta tangente utilizamos unaparábola que tenga la misma pendiente en x = 0. Consideremos un polinomio cuadráti-co de la forma

P2(x) = C0 + C1x + C2x2

Cuando x = 0 las dos funciones (y = ex y P2(x)) y sus primeras y segundas derivadasdeben ser iguales entre sí, es decir, se necesita que P2(0) = f (0), que P2'(0) = f '(0) y queP2''(0) = f ''(0).

Entonces, como P2'(x) = C1 + 2C2x, P2''(x) = 2C2 y y' = y'' = ex, tenemos que para x = 0,

Por lo tanto, el polinomio cuadrático es y se tiene entonces que

para x cerca de 0, como notamos en la figura 6.4. Por ejemplo, para el

mismo valor x = 0.01 que empleamos en la aproximación lineal (recta tangente), con lacuadrática resulta

,

que es un valor más aproximado al valor de y = e0.01 = 1.010050...

P220 01 1 0 01

1

20 01 1 01005( . ) . ( . ) .= + + =

e x xx ≈ + +11

22

P x x x221

1

2( ) = + +

P C f C

P C f C

P

2 0 0

2 1 1

0 0 1 1

0 0 1 1

( ) ( )

'( ) '( )

= = ⇒ =

= = ⇒ =

y

y

22 2 20 2 0 11

2''( ) ''( )= = ⇒ =C f Cy


y

x

y = ex

y = x + 1

4

3

2

1

0.5 1 1.5–1.5 –1 –0.5

FIGURA 6.3: Aproximación lineal a y = ex en x = 0.

Los resultados que hemos obtenido se generalizan de la siguiente forma:Consideremos un polinomio de grado 3 de la forma P3(x) = C0 + C1x + C2x

2 + C3x3

para y = f (x) en x = 0. Entonces, queremos que f (x) ≈ P3(x) = C0 + C1x + C2x2 + C3x

3.

Dado que P3'(x) = C1 + 2C2x + 3C3x 2, P3''(x) = 2C2 + 6C3x y P3'''(x) = 6C3, al sustituirx = 0 se obtiene

Nota que si hubiéramos iniciado con un polinomio P4(x), usando la cuarta derivada, ha-

bríamos obtenido y así sucesivamente. Al emplear la notación

factorial, podemos escribir estos resultados como

En general para cualquier entero positivo n, donde el símbolo f (n) repre-

senta la n-ésima derivada de la función f(x). Asimismo, definimos el polinomio de Taylorde grado n para x = 0 como sigue:

Cf

nn

n

=( ) ( )

!

0

Cf

Cf

Cf

2 3 4

40

2

0

3

0

4= = =

''( )

!,

'''( )

!,

( )

!

( )

Cf f

4

4 40

24

0

4 3 2 1= =

⋅ ⋅ ⋅

( ) ( )( ) ( )

f P C

f P C

f P

( ) ( )

'( ) '( )

''( ) ''( )

0 0

0 0

0 0

3 0

3 1

3

= == =

= = 22 2 10

2 1

0 0 6

2 2 2

3

C C Cf

f p C

= ⋅ ⋅ ⇒ =⋅

= =

''( )

'''( ) '''( ) 33 3 33 2 10

3 2 1= ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ =

⋅ ⋅C C

f '''( )


y

x

y1 = ex

y2 = 1 + x +

4

3

22

1

1–2 –1 2

x2

FIGURA 6.4: Aproximación con polinomio cuadrático a y = ex en x = 0.

Polinomio de Taylor de grado n para aproximar f(x) en torno a x = 0

P x ff

xf

xf

xn ( ) ( )'( )

!

''( )

!

'''( )

!= + + + +0

0

1

0

2

0

32 3 ff

xf

nx

nn

( ) ( )( )

!...

( )

!.

440

4

0+ +

Si queremos aproximar una función f (x) en general, en torno a un punto x = a, recorde-mos primero que la aproximación lineal se obtiene con f (x) ≈ f (a) + f '(a)(x − a), dondeel término f '(a)(x − a) es de corrección, y describe en forma aproximada cuánto se ale-ja f (x) de f(a) cuando x se aleja de a (esto se puede observar en la figura 6.1). Así, el po-linomio de aproximación Pn(x) centrado en x = a se forma con f(a) más los términos decorrección que dependen de las derivadas de f (x). Es decir, el polinomio se forma expre-sando primero el polinomio en potencias de (x − a) en vez de potencias de x:

Y si en este polinomio hacemos que las derivadas de Pn(x) y la función original f(x) coin-cidan en x = a, obtendremos el siguiente resultado (que puede deducirse en la misma for-ma que se explicó para x = 0, vea el problema 13).

f x P x C C x a C x a C x an nn( ) ( ) ( ) ( ) ... ( )≈ = + − + − + + −0 1 2

2


Polinomio de Taylor de grado n para aproximar f (x) en torno a x = a

P x f af a

x af a

x af

n ( ) ( )'( )

!( )

''( )

!( )

'''= + − + − +

1 22 (( )

!( ) ...

( )

!( ) .

( )ax a

f a

nx a

nn

33− + + −

Los polinomios estudiados en este apartado son conocidos como de Taylor, en honor almatemático inglés Brook Taylor (1685-1731), quien en 1715 publicó una de las prime-ras obras sobre la aproximación polinomial para funciones trascendentes.

Ejemplos

Ejemplo 6.1

Determina el polinomio de Taylor de grado 10 para y = ex como se indica:

a) En torno a x = 0.

b) En torno a x = 1.

c) Usa el polinomio hallado en a) para aproximar el valor del número e.

a) Las derivadas sucesivas de f (x) = ex son todas iguales a ex, es decir,

. Al sustituir x = 0 resulta f (n)(0) = e0 = 1. Como ex evaluada en x = 0 también es 1, al

sustituir en la fórmula del polinomio de Taylor centrado en x = 0,

, para x cerca de 0e P x xx x x xx ≈ = + + + + + +10

2 3 4 10

12 3 4 10

( )! ! !

...!

f x en x( )( ) =

f x f x f x'( ) ''( ) '''( ) ...= = = =

solución


b) Al sustituir x = 1 en f(x) = ex y en sus derivadas sucesivas, tenemos que f(1) = e1 = e y f (n)(1) = e1 = e,respectivamente. Por lo tanto, al sustituir en la fórmula del polinomio de Taylor centrado en x = a,con a = 1 resulta

, para x cerca de 1

c) Para aproximar el valor del número e debemos tomar x = 1, puesto que e1 = e. Entonces,

Esta aproximación es muy precisa. El valor real del número e es 2.718281828... Esto significa que,en este caso, el polinomio de Taylor de grado 10 nos proporciona exactitud hasta los primeros sietedecimales de e.

Ejemplo 6.2

Encuentra el polinomio de Taylor de cuarto grado, para la función alrededor de x = 1.

Calculamos las derivadas sucesivas de la función y evaluamos en x = 1

Al sustituir esta información en la fórmula del polinomio de Taylor:

Es decir,

, para x cerca de 1.

Ejemplo 6.3

Halla el polinomio de Taylor de tercer grado de la función f (x) = sen (x):

a) Alrededor de x = 0

b) En torno a x = π3

11 1 1 1 14

2 3 4

xP x x x x x≈ = − − + − − − + −( ) ( ) ( ) ( ) ( )

11

1

11

2

21

3

31

44

2 3

xP x x x x≈ = − − + − − − +( )

!( )

!

!( )

!

!( )

!!

!( ) .

41 4x −

f xx

f

f xx

f

f xx

( ) ( )

'( ) '( )

''( )

= ⇒ =

= − ⇒ = −

=

11 1

11 1

2

2

3 ⇒⇒ =

= −⋅

⇒ = −

f

f xx

f

f x

''( ) !

'''( ) '''( ) !

(( )

1 2

3 21 34

4 )) ( ) !( )=⋅ ⋅

⇒ =4 3 2

1 454

xf

yx

= 1

e e P110

2 3 4 10

1 1 11

2

1

3

1

4

1

102= ≈ = + + + + + + =( )

! ! !...

!..718281801

e P x e e xe x e x e xx ≈ = + − + − + − + −

10

2 3

11

2

1

3( ) ( )

( )

!

( )

!

( 11

4

1

10

4 10)

!...

( )

!+ + −e x

solución


solución

a) Calculamos las derivadas sucesivas de f (x) = sen(x) y evaluamos en x = 0:

Al sustituir en el polinomio de Taylor centrado en x = 0 resulta que

, para x cerca de 0

b) Al poner en las derivadas de f (x) = sen(x) se tiene que:

Al sustituir en el polinomio de Taylor con se obtiene:

o bien,

sen( ) ( ) ( )!( )

!x P x x x≈ = + − +

⋅− +

⋅323

2

1

23

3

2 23

1

2 3π π (( )x − π 3 3

sen( ) ( ) ( ) '( )( )''( )

!(x P x f f x

fx≈ = + − +3 3 3 3

3

2π π π π

−− + −π π π33

332 3)

'''( )

!( ) ,

fx

x = π3

f f

f

( ) ( ) ''( ) ( )

'( )

π π π π

π

3 33

23 3

3

2

3

= = = − = −

=

sen sen

ccos( ) '''( ) cos( )π π π31

23 3

1

2= = − = −f

x = π3

sen( ) ( )!

x P x xx

≈ = −3

3

3

f x x ff x x ff x

( ) ) ( )'( ) cos( ) '( )''(

= ⇒ == ⇒ =

sen( 0 00 1

)) ) ''( )'''( ) cos( ) '''( )

= − ⇒ == − ⇒ =

sen(x ff x x f

0 00 −−1

Sección 6.1.2 Serie de Taylor

Hasta ahora, hemos visto cómo aproximar una función usando polinomios de Taylor entorno a un punto. Ahora generalizaremos la idea de los polinomios de Taylor de grado n alcaso en que los términos de éstos nunca terminan; es decir, definiremos la serie de Taylorcomo un polinomio de Taylor que extiende indefinidamente su número de términos.

Si y = f (x) es una función cuyas derivadas sucesivas existen en x = a y si la serie re-sultante es convergente a esa función (puede ser que la serie no converja para todos losvalores de x), se tiene la siguiente fórmula general:

Serie de Taylor centrada en x = a

f x f af a

x af a

x af

( ) ( )'( )

!( )

''( )

!( )

'''(= + − + − +

1 22 aa

x af a

nx a

f a

nn

n

)

!( ) ...

( )

!( ) ...

( )

( )

( )3

3− + + − +

=nn

x a n

n !( )−

=

∞

∑0

La serie particular para a = 0 es conocida como serie de Maclaurin, llamada así enhonor del matemático escocés Colin Maclaurin (1698-1746):


Serie de Maclaurin

f x ff

xf

xf

x( ) ( )'( )

!

''( )

!

'''( )

!.= + + + +0

0

1

0

2

0

32 3 ...

( )

!...

( )

!

( )

( )

+ +

==

∞

∑

f

nx

f

nx

nn

nn

n

0

0

0

Es importante tener en cuenta que para muchas funciones y = f(x) la serie de Taylor sóloconverge a esas funciones cuando x es cercana a a. En algunos casos, es posible deter-minar (aunque sea aproximadamente) el intervalo de convergencia de una serie, usandorepresentaciones gráficas (como en el ejemplo 6.4) o cálculos numéricos; sin embargo,es recomendable contar con una forma analítica para determinar la convergencia de unaserie de Taylor. El siguiente resultado es muy útil en este sentido para algunos casos (yes una adaptación del criterio de la razón que estudiamos en la unidad anterior).

Criterio de la razón

Para una serie de la forma C0 + C1x + C2x2 +…+ Cnx

n +… (alrededor de x = 0)supongamos que

Entonces,

a) Si R = ∞, la serie converge para toda x ∈ ∠b) Si 0 < R < ∞, la serie converge para |x | < R

c) Si R = 0, la serie converge sólo para x = 0

A R se le llama radio de convergencia.

límn

n

n

C

CR

→∞ +=

1

Este resultado es aplicable de la misma forma para series alrededor de x = a (el radio deconvergencia estaría centrado en a).

También es importante tomar en cuenta que, dependiendo del tipo de función de quese trate, probablemente será necesario emplear algún teorema estudiado en el capítuloanterior. Veamos los siguientes ejemplos.


Ejemplos

solución

Ejemplo 6.4

a) Determina la serie de Taylor de la función y = ln(1 + x) centrada en x = 0.

b) Usa representaciones gráficas para estimar la convergencia de la serie del inciso a).

a) Las derivadas sucesivas de la función evaluadas en x = 0 quedan como sigue:

Sustituimos esta información en la fórmula de Maclaurin (caso particular de la serie de Taylor parax = 0) con f(0) = ln(1 + 0) = 0. Resulta:

b) Para estimar la convergencia de la serie usaremos las gráficas de algunos de los polinomios de Tay-lor, bajo la idea de que cuanto mayor sea el grado del polinomio, la aproximación será mejor. Porejemplo, en los polinomios de grados 5, 6 y 7:

Sus gráficas y la de la función original se muestran en la figura 6.5. En ella se ve cómo las gráficascoinciden cada vez más para valores entre −1 y 1. Sin embargo, para valores de x mayores a 1, lasgráficas de los polinomios se apartan de la curva y las aproximaciones ya no son tan buenas. Se di-ce que para estos valores de x los polinomios divergen de la función original (note que no tiene sen-tido considerar valores menores a−1, porque la función original no está definida para ellos).

P x x x x x x

P x x x

52 3 4 5

62

1

2

1

3

1

4

1

51

2

1

3

( ) .

( )

= − + − +

= − + xx x x x

P x x x x x

3 4 5 6

72 3 4

1

4

1

5

1

61

2

1

3

1

4

1

− + −

= − + − +

.

( )55

1

6

1

75 6 7x x x− + .

ln( )! ! ! !

...1 01

1

1

2

2

3

6

41

2

2 3 4+ = + + − + + − +

= −

x x x x x

x xx x x2 3 41

3

1

4+ − + ...

f xx

f

f xx

f

'( ) '( )

''( )( )

''( )

=+

⇒ =

=−+

⇒ = −

1

10 1

1

10 12

ff xx

f

f xx

'''( )( )

'''( )

( )( )

( )

=+

⇒ =

=−+

⇒

2

10 2

6

1

3

44 ff ( ) ( )4 0 6= −


yP1

–0.5–1

–2

–4

–6

0.5 1 1.5 2x

P6

P5

f (x) = 1n(x + 1)2

4

FIGURA 6.5: Estimación gráfica del intervalo de convergencia de y = ln(1 + x).

solución

De acuerdo con la figura 6.5, la función y = ln(1 + x) y podemos afirmar que parece tener el intervalode convergencia −1 < x < 1 (véase el ejemplo 6.8).

Ejemplo 6.5

a) Determina la serie de Taylor de y = ex en torno a x = 0.

b) Demuestra que la serie de Taylor de y = ex converge para todo número real x.

a) La serie se obtiene simplemente sustituyendo la información obtenida en el ejemplo 6.1 en la fór-mula de la serie de Taylor centrada en x = 0 (o bien, generalizando el polinomio de orden 10 encon-trado en el mismo ejemplo 6.1):

b) Para demostrar la convergencia de la serie aplicamos el criterio de la razón. En este caso, el térmi-

no n-ésimo es (porque Cn es el coeficiente de xn, según ese criterio). Entonces, tenemos que

el límite enunciado en el criterio es:

Por lo tanto, de acuerdo con la parte a) del criterio, la serie de y = ex converge para toda x.

lím lím límn

n

nn n

C

C

n

n

n

n→∞ + →∞ →∞=

+= +

1

1

1 1

1!

( )!

( )!

!!( )= + = ∞

→∞límn

n 1

Cnn = 1

!

e xx x x x

nx

n

= + + + + + + +12 3 4

2 3 4

! ! !...

!...


solución

solución

Ejemplo 6.6

a) Determina la serie de Taylor para f(x) = cos (x) centrada en x = 0.

b) Demuestra por qué la serie de f (x) = cos (x) es convergente para todo x ∈ ∠.

a) Calculamos las derivadas sucesivas de f (x) = cos (x) y evaluamos en x = 0

Al sustituir en la fórmula de la serie de Taylor centrada en x = 0 (serie de Maclaurin):

b) Para mostrar que la serie converge usaremos dos resultados estudiados en el capítulo anterior: la com-

paración con una serie convergente y el hecho de que si converge, también converge .

Tenemos que la serie de Taylor de cos(x) puede escribirse como

Incluimos los términos nulos para compararla con la serie de y = ex. Ahora rescribimos con valoresabsolutos:

Comparando con la serie convergente concluimos que la serie de

Taylor de f (x) = cos (x) también converge.

Ejemplo 6.7

a) Encuentra la serie de Maclaurin para la función f (x) = (1 + x)α, donde α es un número real.

b) Usa el resultado del inciso a) para formar una serie de Maclaurin de .

Para el inciso a):

f x x f

f x x f

f

( ) ( ) ( )'( ) ( ) '( )'

= + ⇒ == + ⇒ =−

1 0 11 01

α

αα α''( ) ( )( ) ''( ) ( )'''( )

x x f

f x

= − + ⇒ = −=

−α α α αα1 1 0 12

αα α α α α αα( )( )( ) '''( ) ( )( ) ...− − + ⇒ = − −−1 2 1 0 1 23x f

1

1+ x

e xx x x

x = + + + + +12 3 4

2 3 4

! ! !..

1 02

04

06

23

45

6

+ + + + + + +xx

xx

xx

! ! !...

1 02

04

06

23

45

6

+ − + + + − +xx

xx

xx

! ! !...

an∑an∑

cos! ! !

...xx x x= − + − +12 4 6

2 4 6

f x x ff x x ff

( ) cos( ) ( )'( ) ( ) '( )''(

= ⇒ == − ⇒ =

0 10 0sen

xx x ff x x f

) cos( ) ''( )'''( ) ( ) '''( )

= − ⇒ = −= ⇒

0 10sen ==

= ⇒ =0

0 14 4f x x f( ) ( )( ) cos( ) ( ) ...


solución

Al sustituir en la fórmula de Maclaurin, obtenemos:

que se conoce como serie binomial.

Para el inciso b):

Como , tomamos α = −1 y tenemos que:

= 1 − x + x2 − x3 +... para −1 < x < 1.

Ésta es una serie geométrica, que es un tema que vimos en la unidad anterior.

Ejemplo 6.8

Determina el intervalo de convergencia de y = ln(1 + x) centrada en x = 0.

Al observar los términos de la serie en el ejemplo 6.4 deducimos que el término general es xn/n para nimpar, y −xn/n si n es par; entonces,

Por lo tanto, del criterio de la razón con :

Esto indica que la serie converge para , es decir, −1 < x < 1. Sin embargo, el criterio no dice na-da en caso de que x = −1 o x = 1, por lo que debemos analizar aparte lo que sucede en estos extremosdel intervalo. Para ello, emplearemos la prueba de la serie alternante (estudiada en la unidad anterior),como sigue: en x = 1, la serie es

Ésta es una serie alternante con an = 1/n, por lo que es una serie convergente de acuerdo con la pruebade la serie alternante. Para x = −1, la serie es

− − − − − − −11

2

1

3

1

4

1... ...

n

11

2

1

3

1

4

1 1

− + − + + − +−

...( )

...n

n

x < 1

lím lím límn

n

n n

n

n

C

C

n

n→∞ + →∞

−

=−

− +=

1

11

1 1

( ) /

( ) / ( ) nn

n

n→∞

+ =11

Cnn

n= − −( )111

ln( ) ... ( ) ...11

2

1

3

1

412 3 4 1+ = − + − + + − +−x x x x x

x

nn

n

1

11 1 1

1 2

2

1 21 2

+= + = + − + − − + − −−

xx x x( ) ( )

( )( )

!

( )( )(−− +3

33)

!...x

1

11 1

+= + −

xx( )

( )( )

!

( )( )

!...1 1

1

2

1 2

32 3+ = + + − + − − +x x x xα α α α α α α


solución

que es la serie negativa de la serie armónica (estudiada en el capítulo anterior), por lo que es diver-gente. Estos dos resultados indican que el extremo derecho sí se incluye y el izquierdo no, en el in-tervalo de convergencia. Por lo tanto, la serie para y = ln(1 + x) centrada en x = 0, converge en elintervalo −1 < x ≤ 1.

Ejemplo 6.9

Un automóvil se desplaza con una velocidad de 20 m/s y una aceleración de 2 m/s2 en un instante de-terminado. Use un polinomio de Taylor de grado 2 para estimar la distancia recorrida por el vehículoen el segundo siguiente. ¿Sería razonable emplear ese polinomio para estimar la distancia recorrida du-rante el siguiente minuto?

Simbolicemos la posición del automóvil como s(t). Al iniciar el segundo en cuestión, la posición es ce-ro en tiempo cero, es decir, s(0) = 0. La velocidad del auto es v(t) = s'(t) y la aceleración es a(t) = s''(t).El polinomio de Taylor de segundo grado es

Y como v(0) = 20 m/s y a(0) = 2 m/s2, entonces,

P2(t) = 20t + t2

En el primer segundo, la distancia recorrida es s(1) ≈ P2(1) = 20(1) + (1)2 = 21 m.Por otro lado, no sería razonable emplear este polinomio para el siguiente minuto, pues no daría una

buena aproximación debido a que no podría mantener por muchos segundos una aceleración de 2 m/s2.Si esto sucediera, la velocidad final sería ¡140 m/s! (Verifica esta última afirmación).

P t s s ts

t s v ta

220 0

0

20 0

0( ) ( ) '( )

''( )( ) ( )

( )= + + = + +22

2t

1. ¿De qué grado debe ser el polinomio de Maclaurin de la función f (x) = ex para aproximar el valor de econ

a) cinco cifras decimales exactas?

b) diez cifras decimales exactas?

2. Explica por qué la serie: no puede ser la serie de Taylor de

f (x) alrededor de x = 1, donde f (x) es la función de la figura 6.6.

8

5

4

51

2

51

1

1012 3− − + − − − +( ) ( ) ( ) ...x x x


3. Con tus propias palabras, describe qué significa que un polinomio aproxime a una función en torno aa o centrada en a.

4. En general, ¿cómo puede mejorarse la aproximación a una función cerca de x = a mediante su polino-mio de Taylor?

5. Sea la función

a) Determina el polinomio de Taylor de f (x) de grado 2 en torno a a = 1

b) Usa el polinomio hallado en el inciso a) para completar la siguiente tabla:

f x x( ) = 4

1

1

FIGURA 6.6: Gráfica de f (x) del ejercicio 2.

x 0 0.8 0.9 1 1.1 1.2 2

f (x)

P2(x)

6. Encuentra el polinomio de Maclaurin para las funciones y grados indicados.

7. Determina el polinomio de Taylor de grado n centrado en a.

8. Encuentra la serie de Taylor de las funciones alrededor de los puntos indicados.

a f x e a e f x x ab f x x

x) ( ) , ) ( ) ln ,) ( ) cos( ),

= = = ==

− 0 12 aa f f x x a

c f x x a g f t

= = == =

0 1 20

) ( ) ,) ( ) cosh , ) ( )

senπ== =

= − = =e t a

d f y y a h f x x

t cos ,( ) ln( ), ) ( ) ,

01 2 0 senh aa = ln 4

a f xx

n a d f x x n a

b

) ( ) , , ) ( ) cos ( ), ,= = = = = =14 1 3 4 π

)) ( ) , , ) ( ) ), ,f x x n a e f x x n a= = = = = = −4 1 3 1 3 sen (πcc f x x n a f f x x n) ( ) ( ), , ) ( ) arctan ( ),= = = = =sen 4 2 3π ,, a = 1

a f x e n d f x x n

b f x xe n e

x

x

) ( ) , ) ( ) ,) ( ) ,

= = = + == =

2 4 1 44 )) ( ) arctan ,

) ( ) sec , ) ( )

f x x n

c f x x n f f x x

= == = = −

4

2 133 4, n =


9. Halla la serie de Maclaurin de las siguientes funciones:

a) f (x) = sen2x

b)

10. Determina los cuatro primeros términos de la serie de Taylor alrededor de x = 0 y, después, graficacada función y varios de sus polinomios de Taylor, para estimar el intervalo de convergencia de lasseries.

Sugerencia: para determinar los cuatro primeros términos puedes usar la serie binomial del ejemplo 7.

a) b)

11. Aplica el criterio de la razón para determinar el radio de convergencia de las series.

a) b)

12. Forma la serie de Maclaurin para f y calcula su radio de convergencia, si

f (n)(0) = (n + 1)! para n = 0, 1, 2,...

13. Deduce la fórmula del polinomio de Taylor de grado n alrededor de x = a para f (x).

14. Desarrolla la función z por medio de una serie de Maclaurin (a es una constante positiva).

15. Una de las predicciones más sorprendentes de Einstein consiste en que la luz procedente de estrellaslejanas se curvaría en torno al Sol en su camino hacia la Tierra. En tus cálculos se debía despejar φ dela ecuación:

sen(φ) + b(1 + cos2(φ) + cos(φ)) = 0,

donde b es una constante positiva muy pequeña. Desarrolla el lado izquierdo de la ecuación usando unaserie de Taylor alrededor de φ = 0, sin tener en cuenta términos del orden de φ2 o mayores; a partir deello, despeja φ. La respuesta debe estar en términos de b.

16. Usa un polinomio de Maclaurin de grado 4 de la función f (x) = e−x2

y con éste aproxima el valor de lasiguiente integral.

a) b) c) d) e d xx−

∫2

10

0

1arctan ( )

.

. x

xd x

0 1

0 2⌠⌡⎮

1

1 60

13

+⌠⌡⎮ x

d xe d xx−∫2

0

0 1.

z a x a x= + − −2 2 2 2

x x x x x

3

2

5

3

7

4

9

5

11

2 3 4 5

+ + + + + ...xx x x x− + − + −

2 3 4 5

4 9 16 25...

f xx

( ) =+1

1y

x=

−1

1

f x e e xx x( ) ( )= − =−12 senh




1. Diseño de lentes. Contesta lo que se pide en la introducción de este capítulo.

Sugerencia: Para deducir la ecuación , aproxima cos(φ) en las ecua-

ciones:

y

(las cuales se obtienen por la ley de los cosenos, aplicada a los triángulos ACS y ACP dela figura 6.1).

2. Diseño de lentes (continuación). En el problema anterior se obtiene una mejor aproxima-ción con un polinomio de tercer grado. Muestra que si cos(φ) se sustituye por su polino-mio de tercer grado en las ecuaciones para L0 y Li del inciso anterior, la ecuación originalse convierte en

3. La fuerza de gravedad. Se supone que cuando un cuerpo está cerca de la superficie de laTierra, la fuerza de gravedad sobre éste es una constante cuyo valor es mg, donde m es lamasa del cuerpo y g, la aceleración de la gravedad al nivel del mar. Para un cuerpo que es-tá a una altura h sobre la superficie de la Tierra, una ecuación más exacta para determinarla fuerza F es

donde R es el radio de la Tierra.

Supón el caso en el que el cuerpo está cerca de la superficie de la Tierra (h es mucho menorque R) para contestar lo siguiente:

a) Expresa F en la forma mg multiplicado por una serie en h/R.

b) La corrección de primer orden a la aproximación F ≈ mg se obtiene tomando sólo eltérmino lineal de la serie (sin ninguno otro de orden mayor a uno). ¿A qué altura sobrela superficie de la Tierra se debe ir, con la finalidad de que la corrección de primer or-den cambie la estimación F ≈ mg en más de 10%? Use R = 6400 km.

FmgR

R h=

+

2

2( )

n

s

n

s

n n

Rh

n

s s R

n

si i

1

0

2 2 1 2 1

0 0

2

2

2

1 1

2+ = − + +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ 11 12

R s i

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

L R s R R s Ri i i= + − + −2 2 2( ) ( )cosφL R s R R s R02

02

02= + + − +( ) ( ) cosφ

n

s

n

s

n n

Ri

1

0

2 2 1+ = −


4. Teoría especial de la relatividad. En la teoría especial de la relatividad de Einstein, la ma-sa de un objeto que se mueve a una velocidad v se determina por:

donde m0 es la masa del objeto en reposo y c es la velocidad de la luz. Utiliza una serie deMaclaurin para probar que cuando v es muy pequeña en comparación con c, la energía ci-nética del objeto concuerda con la que se obtiene en la física clásica newtoniana

.

Observación: la energía cinética del objeto es la diferencia entre su energía total y suenergía en reposo, es decir, K = mc2 − m0c

2.

5. Dipolo eléctrico. Dos cargas eléctricas de igual magnitud y signos contrarios cercanas en-tre sí forman un dipolo eléctrico. Si las cargas q y −q están a una distancia d una de la otra(véase la figura 6.7), el campo eléctrico E en el punto P se expresa por

Use series para investigar el comportamiento del campo eléctrico en puntos muy alejadosdel dipolo y demuestre que cuando D es grande en comparación con d, el campo eléctricoes aproximadamente proporcional a 1/D3

Eq

D

q

D d= −

+2 2( )

K m v= 12 0

2

mm

v c=

−0

2 21

– q

d

q

D

P

FIGURA 6.7: Dipolo eléctrico.

Autoevaluación

1. Es la aproximación que se obtiene para cos(0.1) al usar un polinomio de Maclaurin de grado6 para la función f (x) = cos(x).

a) 0.599005614 b) 0.999998477 c) 0.995004165 d) 1.005004165


2. Indica la opción correspondiente al polinomio de Taylor de tercer grado para f (x) = sen(x), de-sarrollado alrededor de a = π/6.

a)

b)

c)

d)

3. Indica el inciso que corresponde a la serie de Taylor de f (x) = ex alrededor de x = 1.

a) c)

b) d)

4. Indica la opción que corresponde a la serie de Maclaurin de f (x) = ex2/2.

a) b) c) d)

5. Indica la opción correspondiente a la serie de Maclaurin de f (x) = cos2 x.

a) c)

b) d)

6. En cierto momento t = 0, un avión se localiza a 10 kilómetros de distancia horizontal respec-to de un punto fijo en la superficie de la Tierra. En ese mismo momento tiene una velocidadde 10 km/min, una aceleración de 2 km/min2 y la razón a la que está cambiando la aceleraciónes de −1 km/min3. ¿Cuál es la posición aproximada del avión 2 minutos después?

7. Prueba que la serie de Maclaurin para f(x) = sen(x) es convergente en todo x ∈ ∠.

xx

n

n n

n

+ −

=

∞

∑1

2

1 2

2

2

0

( ) ( )

( )!1

21

1 2

2

2

0

+ −⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

=

∞

∑ ( ) ( )

( )!

n n

n

x

n

1

2

1 2

2

2

0

( ) ( )

( )!

−

=

∞

∑n n

n

x

n1

1 2

2

2

0

+ −

=

∞

∑ ( ) ( )

( )!

n n

n

x

n

x

n

n

nn

2

0 2 !=

∞

∑x

n

n

n

2

20 2=

∞

∑x

n

n

n

+

=

∞

∑2

0 !

x

n

n

nn 20=

∞

∑

e x x+ −( ) + −( ) +1

21

1

312 3

! !...x x x+ −( ) + −( ) +1

21

1

312 3

! !...

e e xe

xe

x+ − + −( ) + −( ) +( )! !

...12

13

12 3e x x1

21

1

312 3

! !...−( ) + −( ) +⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

1 36

1

2 6

3

3 6

2 3

+ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ − −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ − −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟x x x

π π π! !

1

2

3

2 6

1

2 6

3

2 6

2 3

+ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ − −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ − −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟x x x

π π π

1

2

3

2 6

1

2 2 6

3

2 3

2

+ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ − −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ − −x x x

π π π( !) ( !) 66

3⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1

2

1

2 6

1

2 2 6

1

2 3

2

+ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ − −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ − −x x x

π π π( !) ( !) 66

3⎛⎝⎜

⎞⎠⎟


8. En la columna B encuentra las gráficas correspondientes a los polinomios de Maclaurin dadosen la columna A.

Columna A Columna B

a)

b)

c)

d) y = x2 − x3 + x4

y x xx= + +2

3

2!

y xx x= − +

3 5

2 4! !

y xx= −2

4

3!

9. En los polinomios de la columna A del ejercicio anterior, obtén el factor común de cada uno eidentifica la función aproximada por el polinomio de Taylor restante.

Respuestas a los


1. a) 9 b) 13

2. La expansión en serie de Taylor de f (x) debería tener la forma f(1) + f '(1)(x − 1) + ... Al comparar conla serie dada, deberíamos tener que f '(1) = −4/5; pero de acuerdo con la gráfica de f (x), el valor de f '(1)debe ser positivo. Por lo tanto, la serie dada no es la serie de Taylor de f (x) centrada en 1.

1 2 3

2

–2

–4

–2 –1–3

–1

–1–2 1 2

1

2

3

1 2 3–2 –1

2

–2

–4

i.

iii.

ii.

iv.

2

1.5

1

0.5

0.5 1 1.5–0.5–1

v.

–2

–4

–2–4

2

2 4

vi.

1 2–2 –1

–1

1

2

3


3. La gráfica de la aproximación polinomial P y la función elemental f pasan por el punto (a, f (a)) y tienenla misma pendiente ahí. Si P es de grado n, entonces, las n primeras derivadas de f y P coinciden en a.Esto permite que la gráfica de P se parezca a la de f cerca del punto (a, f (a)).

4. Se considera el intervalo de convergencia, aumentando el grado de los polinomios.

5. a)

b)

P x x x232

24 2 1 1( ) ( ) ( )= − − + −

x 0 0.8 0.9 1 1.1 1.2 2

f(x) Error 4.4721 4.2164 4.0000 3.8139 3.6515 2.8284

P2(x) 7.5000 4.4600 4.2150 4.0000 3.8150 3.6600 3.5000

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13. Se inicia escribiendo el polinomio en la forma

Pn = (x) = C0 + C1(x − a) + C2(x − a)2 + ... + Cn(x − a)n

( ) ;n x Rn

n

+ ==

∞

∑ 1 10

a R b R) ; )= =1 1

b f x xx x x) ( ) ... ;= − + − + − < <1 1 1238

516

2 3

a y x x x x) ... ;= + + + + − < <1 1 12 3

b xx

n

n

n

)( )!

senh =+

+

=

∞

∑2 1

0 2 1a x x x x x)! ! ! !

...sen2 = − + − +2

2

2

4

2

6

2

82

34

56

78

e)) ( )( )

) ( )( )!

− −

− −⎛⎝⎜

+

=

∞

∑ 11

12

1

2

1

12

nn

n

nn

x

n

fn

xπ ⎞⎞

⎠⎟

= + − − ++ −

=

∞

∑2

0

3 61

16 1

3 4

n

nt t tg e t t

h

) cos ...

)( )) ( ln )

!

n n

n

x

n

+

=

∞ ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−∑1

0 8

4

ax

n

bx

n

cx

nn

n

nn

nn

n

) ( )!

) ( )( )!

)

−

−

=

∞

=

∞

∑

∑

1

14 2

02

02

(( )!

) ln( ) ...

2

1 2 2 2 40

2 83

3 4

n

d y y y y yn=

∞

∑− = − − − − −

− − − − + −22

22 4

24 4

2 212) ( ) ( ) (d x x xπ π π

443

32 2

13

34

13

212

13

32 3

)

) ( ) ( ) ( )e x x x

f

− + + + + − +π π π

)) ( ) ( ) ( )π4

12

14

2 112

31 1 1+ − − − + −x x x

a x x x x

b x

) ( ) ( ) ( ) ( )) ( )

1 1 1 1 11 1

2 3 4

12

1

− − + − − − + −+ − − 88

2 116

3 5128

4

12 2

2

1 1 1

1

( ) ( ) ( )

) ( )!

x x x

c x

− + − − −− − π ++ −1

4 24

! ( )x π

a x x x x d x x x) )1 2 2 12 43

3 23

4 12

18

2 116

3 5128+ + + + + − + − xx

b x x x x e x x

c x f x

4

2 12

3 16

4 13

3

12

2 131 1

) )

) )

+ + + −+ − − 11

92 5

813 10

2434x x x− −


En seguida se calculan las derivadas sucesivas de este polinomio y se evalúan en x = a. Los resultadosobtenidos se igualan con las derivadas sucesivas de f (x) en x = a, y los coeficientes que resultan se usanpara determinar la forma pedida del polinomio de Taylor.

14.

15. φ ≈ −3b

16. a) 0.99667 b) 0.333 c) 0.0992 d) 0.9677

zx

a

x

a= + +

2 6

58...


1. c) 2. b) 3. c) 4. d) 5. b)

6. km (distancia horizontal respecto al punto fijo)

7. Véase el ejemplo 6.6b).

8. (a, iv.); (b, v.); (c, i.); (d, ii.)

9. a) f (x) = x sen(x); b) f (x) = x cos(x); c) f (x) = x ex; d) f x xx

( ) =+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2 1

1

983

Referencias

1. Hughes-Hallett, Deborah, et al., Cálculo, 2a. ed., México, CECSA, 2002.2. Stewart, James, Cálculo, conceptos y contextos, 3a. ed., México, Internacional Thompson Editores,

2006.

6.2 Series de potencias

El infinito llega hasta donde alcanza elpensamiento humano.

Anónimo

Sistema muelle-amortiguador automotriz

En la permanente búsqueda de seguridad y comodidad se realizan diversosanálisis teóricos sobre el comportamiento de los sistemas de suspensiónen los automóviles. Con base en ellos, los ingenieros pueden simular e in-terpretar lo que sucede en sus componentes, con la finalidad de establecerlas características de su comportamiento, los materiales adecuados paraconstruirlos, las dimensiones de los dispositivos, el desgaste a que estaránsujetos, etcétera.

Piensa en la siguiente situación: Durante el desarrollo de un nuevo siste-ma muelle-amortiguador automotriz, los ingenieros de la empresa MuellesSpring realizaron el modelo del movimiento vibratorio a que estará sujetoun prototipo. Para el análisis particular de los efectos de la temperatura enlas características del muelle (resorte helicoidal), entre otras cuestiones,necesitan resolver la ecuación siguiente:

(*)

donde la variable y representa la posición de un punto particular en un extremodel resorte cuando se encuentra en movimiento. La variable t simboliza el tiem-po que transcurre durante ese movimiento y las constantes m y k son, respectiva-mente, la masa sujeta al resorte y la constante del resorte.

Esta ecuación sirve para modelar cierto comportamiento del resorte en rela-ción con los cambios de temperatura a que estará sujeto durante su funcionamien-to, para lo que se requiere determinar la función y = f (t) que la satisface (la fun-ción y, que es solución de esa ecuación).

Supón que se ha invitado a tu equipo de trabajo a colaborar en la resolución delproblema para el caso particular en que m = k = 1. ¿Qué solución propondrían?

d y

dt

k

mt y

2

20+ =

5016.2: Series de potencias

FIGURA 6.8: Sistema amortiguadorautomotriz

* La ecuación en estudio se llama ecuación de Airy. Se encuentra también en el estudio de la difracciónde ondas de radio alrededor de la superficie de la Tierra, en estudios de aerodinámica, y en el análisis dela deflexión de una columna vertical, delgada y uniforme, que se curva bajo su propio peso.

Sección 6.2.1 Series de potencias

Empezaremos por definir la forma que tiene una serie de potencias.


Introducción

La serie de Taylor estudiada en la sección anterior es un caso particular de untipo de serie más general: la de potencias. Este tipo de series determina fun-ciones de una variable x, que resultan sumamente importantes en el estudiode la propia matemática, así como en la interpretación, modelación y reso-lución de diversos fenómenos en áreas como la ingeniería, la física y la as-tronomía.

En esta sección se estudiará cómo hallar el intervalo de convergencia deeste tipo de series, que es el dominio de esta clase de funciones. Sin embargo,para mostrar los potenciales usos de esta herramienta también estudiaremossus propiedades operacionales (algebraicas), las del cálculo (diferenciación eintegración) y algunas de sus aplicaciones.

Objetivos


• Comprender la definición de serie de potencias.• Calcular el radio y el intervalo de convergencia de una serie de

potencias.• Realizar operaciones algebraicas con series de potencias.• Derivar e integrar series de potencias.

Definición 6.1

Una serie de potencias en la variable x tiene la forma

De manera más general, una serie infinita de la forma

se llama serie de potencias centrada en a, donde a es una constante.

c x a c c x a c x a c x ann

n

( ) ( ) ( ) ( )− = + − + − + − +=

∞

∑0

0 1 22

33 .... ( ) ...+ − +c x an

n

c x c c x c x c x c xnn

nn

n

=

∞

∑ = + + + + + +0

0 1 22

33 ... ...

Nota: para simplificar la notación se establece que (x − a)0, aun cuando x = a.

Observa que en apariencia estas series son idénticas a las de Taylor. Ahora nos ocupare-mos en estudiarlas sin importar la forma de los coeficientes cn (recuerda que en el casoparticular de las series de Taylor, los coeficientes resultan de las derivadas sucesivas deuna función y = f (x)).

Una serie de potencias puede verse como una función:

en la cual el dominio está formado por todos los valores x para los que la serie conver-ge. El teorema siguiente establece que el dominio de una serie de potencias puede tomarsólo tres formas básicas.

f x c x ann

n

( ) ( )= −=

∞

∑0


Teorema 6.1: Convergencia de una serie de potencias

Para toda serie de potencias de la forma se cumple una y sólo

una de las afirmaciones siguientes:

a) La serie converge sólo en x = a. Cabe decir que toda serie de potencias con-verge en su centro x = a.

b) La serie converge (absolutamente) para todos los valores x ∈ �.

c) Existe un número real R > 0 tal que la serie converge (absolutamente) siy diverge si x a R− > .x a R− < ,

c x ann

n

( ) ,−=

∞

∑0

Para calcular el radio de convergencia de una serie de potencias aplicaremos el criteriode la razón (estudiado en el capítulo anterior). Veamos los siguientes ejemplos.

Ejemplos

Ejemplo 6.10

Determina el radio de convergencia de la serie de potencias .

Observación: A veces resulta conveniente desplegar algunos términos de una serie. En este caso, pa-ra n = 0, 1, 2, 3 y 4,

n x x x x xn

n

! ! ! ...=

∞

∑ = + + + + +0

2 3 41 2 3 4

n xn

n

!=

∞

∑0

solución


Nota que ésta es la forma establecida en la definición de una serie de potencias con

En cuanto al radio de convergencia, aplicamos el criterio de la razón (cociente). Si tomamos un comoel término general de la serie, es decir, si un = n!xn, entonces:

Por lo tanto (de acuerdo con el criterio del teorema 6.1), la serie diverge para todo x con excepción desu centro x = 0, por lo tanto, concluimos que R = 0.

Ejemplo 6.11

Encuentra el intervalo y el radio de convergencia de la serie .

Aplicando el criterio de la razón:

Puesto que L < 1 para toda x, concluimos que la serie converge absolutamente para toda x. Entonces, elintervalo de convergencia es (−∞, ∞) y el radio de convergencia es R = ∞.

Ejemplo 6.12

Determina para qué valores de x converge la serie

La serie converge (absolutamente) cuando y diverge cuando Como

deducimos que la serie converge (absolutamente) pa-

ra 2 < x < 4. Ahora bien, dado que el criterio no da información en el caso en que es decir,

cuando x = 2 y x = 4, debemos tratar estos casos por separado.

x − =3 1,

x x x− < ⇔ − < − < ⇔ < <3 1 1 3 1 2 4,

x − >3 1.x − <3 1

lím lím ln

n

nn

n

n

u

u

x

n

n

xx

→∞+

→∞

+= −

+⋅

−= −1

13

1 33

( )

( )íím lím

n n

n

nx

nx

→∞ →∞+= − −

+= −

13 1

1

13

( ).

x

n

n

n

−

=

∞

∑ 3

1

Lu

u

x n

x nn

n

n n

n

n n= = + =

→∞+

→∞

+

→lím lím lím1

1 1/ ( )!

/ ! ∞∞

+

→∞⋅

+=

+=x

x

n

nx

n

n

n n

1

1

1

10

!

( )!.lím

x

n

n

n !=

∞

∑0

lím lím límn

n

nn

n

n n

u

u

n x

n xx

n→∞

+→∞

+

→∞= + =1

11( )!

!

( ++ = + = ∞→∞

11

)!

!( ) .

nx n

nlím

c c c c c0 1 2 3 41 1 2 3 4= = = = =, , , ! !y

solución

solución


Para x = 4 la serie se convierte en la cual es armónica y en consecuencia diverge. Si x = 2, la

serie resultante es convergente de acuerdo con el criterio de series alternantes de la unidad

anterior; concluimos que la serie converge para 2 ≤ x < 4.

Ejemplo 6.13

Halla el intervalo de convergencia y el radio de convergencia de .

Observa que entonces,

El criterio del cociente (o de la razón) implica que la serie converge absolutamente si y diverge

si Los casos x = −3 y x = 3 deben analizarse por separado. Sustituyendo x = −3 en la serie da-

da resulta:

que es la serie armónica Así, es divergente. Al sustituir x = 3 en la serie dada obtenemos:

una serie alternante y convergente, de acuerdo con el criterio sobre series alternantes. El intervalo deconvergencia de la serie original es (−3, 3] y el radio de convergencia es R = 3.

( )

( )

( )−+

= −+=

∞

=

∞

∑ ∑1 3

3 1

1

10 0

n n

nn

n

nn n

1 12

13

14+ + + + ...

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

− −+

= − −+=

∞

∑ 1 3

3 1

1 1 3

3 10

n n

nn

n n n

nnn n==

∞

=

∞

∑ ∑=+0 0

1

1nn

x > 3.

x < 3

lím límn

n

nn

n

n

n

n

u

u

x

n

n

x→∞+

→∞

+

+=+

⋅ + =11

13 2

3 1

( )

( ) xx n

n

x n

n

x

n n3

1

2 3

1 1

1 2 3lím lím→∞ →∞

++

= ++

=

( ) ( ) ,− = − =+1 1 11n n

( )

( )

−+=

∞

∑ 1

3 10

n n

nn

x

n

( ) / ,−∑ 1 n n

1 / ,n∑

Sección 6.2.2 Operaciones con series de potencias

Veremos ahora cómo usar las propiedades operacionales de las series de potencias, para de-terminar las series de otras funciones con base en algunas series elementales. Generalmen-te, las operaciones se utilizan junto con las series de Maclaurin básicas (véase la tabla 6.1).

Veamos el siguiente teorema que establece la relación directa entre las series de Tay-lor y las de potencias (recuerde que una serie de Maclaurin es una serie de Taylor alre-dedor de cero).

Teorema 6.2

Si ,

para toda x de un intervalo abierto que contiene a a, entonces esta serie es la se-rie de Taylor de f alrededor de a.

f x c c x a c x a c x a c xn( ) ( ) ( ) ( ) ... (= + − + − + − + + −0 1 22

33 aa n) ...+

solución

Demostración:

Derivando f (x) sucesivamente, resulta:

Al sustituir x = a, todas las potencias de x − a se anulan y tenemos que

Con lo que se demuestra que los coeficientes c0, c1, c2, c3,… son precisamente los coe-ficientes de la serie de Taylor de f (x) alrededor de a.

Este teorema implica que no importa cómo se llegue a una serie de potencias centra-da en x = a y convergente a f (x): siempre será la serie de Taylor de f(x) alrededor de a.Considerando este teorema y retomando algunos resultados de la sección inmediata an-terior, a continuación presentamos una lista de las series de Maclaurin de algunas de lasfunciones más importantes; a un lado aparecen también sus intervalos de convergencia.

f a cf a c

f a c cf a

f

( )'( )

''( ) !''( )

!

'''(

==

= ⇒ =

0

1

2 222

aa c cf a

) !'''( )

!= ⇒ =3

33 3

�

f x c c x a c x a c x a

f

'( ) ( ) ( ) ( ) ...'

= + − + − + − +1 2 32

432 3 4

''( ) ! ( ) ( ) ( ) ( ) ...'

x c c x a c x af

= + ⋅ − + ⋅ − +2 3 2 4 32 3 42

'''( ) ! ( ) ( ) ...x c c x a= + ⋅ ⋅ − +3 4 3 23 4

�


−∞ < x < ∞

−∞ < x < ∞

−∞ < x < ∞

−1 < x ≤ 1

−1 ≤ x ≤ 1

−1 < x < 11

11 2 3

0−= = + + + +

=

∞

∑x

x x x xn

n

...

arctan ( ) ( )xx

nx

x x xnn

n

= −+

= − + −+

=

∞

∑ 12 1 3 5 7

2 1

0

3 5 7

++ ...

ln( ) ( ) ...1 11 2 3 4

1

0

2 3 4

+ = −+

= − + − ++

=

∞

∑xx

nx

x x xnn

n

cos ( )( )! ! ! !

..xx

n

x x xnn

n

= − = − + − +=

∞

∑ 12

12 4 6

2

0

2 4 6

..

sen xx

nx

x x xnn

n

= −+

= − + −+

=

∞

∑ ( )( )! ! !

12 1 3 5 7

2 1

0

3 5 7

!!...+

ex

nx

x x xxn

n

= = + + + + +=

∞

∑! ! ! !

...12 3 4

2 3

0

4

Función Intervalo de convergencia

Tabla 6.1: Series de Maclaurin de algunas funciones elementales.

Como veremos en el siguiente apartado de esta sección, esta lista básica es muy útil enel desarrollo de diversos cálculos algebraicos y de otro tipo donde intervienen derivadase integrales.

Nota: Las propiedades operativas de las series de potencias son las mismas de los po-linomios algebraicos. Una serie de potencias puede interpretarse como un polinomioinfinito.

Veamos los ejemplos siguientes.


Ejemplos

Ejemplo 6.14

Halla la serie de Maclaurin de

Simplemente sustituimos −x en la serie para de la tabla 6.1 como sigue:

Es decir,

Otra posibilidad es reemplazar −x en de lo que resulta:

Ejemplo 6.15

Encuentra una representación en serie de Maclaurin para

Primero tomamos el 2 como factor común en el denominador:

1

2

1

2 12

1

2 12

+=

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=− −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

x x x

f xx

( ) .=+1

2

1

1

1

11

0 0− −= − ⇒

+= −

=

∞

=

∞

∑ ∑( )( ) ( )

xx

xxn

n

n n

n

1

1 0−=

=

∞

∑x

xn

n

,

1

11 1 12 3

+= − + − + − < <

xx x x x...;

1

11 1 12 3

− −= + − + − + − − < <

( )( ) ( ) ( ) ...;

xx x x x

1

1− x

f xx

( ) .=+1

1

solución

solución


Para sustituimos en la serie de en la tabla 6.1:

Entonces, si

Ejemplo 6.16

Halla una representación en serie de potencias centrada en x = 0 para la función f(x) = cosh(x).

Nos apoyaremos en el hecho de que Iniciamos determinando una serie para

e −x; para lo que simplemente sustituimos −x en la serie para ex de la tabla 6.1:

−∞ < x < ∞

Es decir,

−∞ < x < ∞

Entonces,

−∞ < x < ∞

Ejemplo 6.17

Determina los primeros tres términos distintos de cero de la serie de Maclaurin de f (x) = ex arctan(x).

Al emplear las series de Maclaurin para ex y arctan(x),

−1 ≤ x ≤ 1e x xx x x

xxx arctan( )

! ! !...= + + + + +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−12 3 4

2 3 4 33 5

3 5+ +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

x... ;

= + + +⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ = + + + =1

22

2

2

2

41

2 4

2 4 2 4x x x x

! !...

! !...

xx

n

n

n

2

0 2( )!;

=

∞

∑

cosh ( ) ( )! ! !

...x e e xx x xx x= + = + + + + +−1

2

2 3 41

21

2 3 4

⎛⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ − + − + +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥1

2 3 4

2 3 4

xx x x

! ! !...

⎥⎥

e xx x xx− = − + − + +12 3 4

2 3 4

! ! !...;

ex

nx

x x xxn

n

−

=

∞

=−( ) = + − + − + − + −∑

!( )

( )

!

( )

!

(1

2 3

2 3

0

))

!...;

4

4+

cosh( ) ( ).x e ex x= + −12

x < 2.1

2

1

2 10+

= −+

=

∞

∑x

xn

nn

n

( )

1

2

1

12

1

2 21

0

⋅− −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −

=

∞

∑x

x

n

n

( ))( )n

n

nn

n

nn

n

x x1

2

1

2

1

201

0

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −

=

∞

+=

∞

∑ ∑∑

1

1− x−x 2x < 2,

solución

solución


Ahora realizamos la multiplicación indicada como haríamos en los polinomios del álgebra elemental:El primer término del primer factor, por cada uno de los términos del segundo factor, más el segundotérmino del primer factor, por cada uno de los términos del segundo, etcétera.

En este desarrollo vemos que el único término lineal es x, el único cuadrático es x2 y el único cúbico,

resulta de la suma de − x 3/3 y x 3/2. Como resulta que

Ejemplo 6.18

Realiza las operaciones indicadas:

a)

b)

a) Para realizar la suma, simplemente expresamos con un sólo símbolo de sumatoria, la suma de lostérminos que definen cada serie dada:

b) El producto lo realizamos como sigue:

Otra opción:

Nota: La suma (o resta) de series de potencias expresadas con el símbolo Σ es posible sólo cuando laspotencias de x sean idénticas y cuando el índice de las sumas empiecen en el mismo valor de n.

( ) ( ) ( )x x x x x xn

n

n

n

n n

n

+ = + = +=

∞

=

∞+

=

∞

∑ ∑ ∑3 3 30 0

1

0

( )x x x x x x xn

n

n

n

n

n

n

n

+ = ⋅ + ⋅ = ⋅ +=

∞

=

∞

=

∞

=

∞

∑ ∑ ∑ ∑3 30 0 0 0

33

3 3

0

1

0 0

1

0

⋅

= + = +

=

∞

+

=

∞

=

∞+

=

∑

∑ ∑

x

x x x x

n

n

n

n

n

n

n n

n

( )∞∞

∑

xx

xxn

n

n

n

nn

=

∞

=

∞

∑ ∑+ ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = + ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥0 0 2 2nn

nn

nx=

∞

=

∞

∑ ∑= +⎡⎣⎢

⎤⎦⎥0 0

11

2

( )x xn

n

+=

∞

∑30

xxn

n

n

n=

∞

=

∞

∑ ∑+ ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

0 0 2

e x x x x xx arctan ( ) ...;= + + + − ≤ ≤2 16

3 1 1

x x x3 3 3

2 3 6− = ,

12 3 4 3 5

2 3 4 3 5

+ + + + +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− + +⎛⎝

xx x x

xx x

! ! !... ...⎜⎜

⎞⎠⎟

= − + + + − + + −⋅

xx x

xx x x x3 5

24 6 3 5

3 5 3 5 2 3... ...

! 22 5 2

3 3 3 5 31

7

4 6 8

! !...

! ! !... ;

+⋅

+ +

+ −⋅

+⋅

+ − ≤

x

x x x xx ≤ 1

solución


Ejemplo 6.19

Realiza las siguientes resta y suma.

a)

b)

a) Para realizar la resta es necesario que las potencias de x inicien con el mismo exponente. En este ca-so, la primera comienza en x0; y la segunda, en x2. Para lograr que ambas comiencen con la mismapotencia, conservamos la serie que inicia en la potencia más alta (en este caso, la segunda), y enla otra sustituimos los valores de n necesarios para empatarlas. Entonces, si escribimos los dosprimeros términos de la primera serie fuera de la notación sigma (los cuales se obtienen sustituyendon = 0 y n = 1, respectivamente),

Como las potencias de x ya inician con el mismo exponente (dos), y las sumas empiezan también enel mismo subíndice (n = 2), realizamos la suma y escribimos la expresión original en términos deuna sola serie:

b) Observa que las series dadas ya empiezan con la misma potencia x0. Por ello, lo único que debemosarreglar es que las sumas inicien con el mismo subíndice n, lo cual se logra a través de un cambiode variable. Escribimos k = n − 1 en la primera serie, al tiempo que se iguala k = n en la segunda. Alsustituir n = k + 1 en la primera serie, resulta

Y al sustituir k = n en la segunda serie, tenemos:

Por lo tanto, la suma original se reescribe como:

nc x c x k c x c xnn

nn

n

nk

k

kk

−

=

∞

=

∞

+=

∞

∑ ∑ ∑+ = + +1

1 01

0

1( ) kk

k=

∞

∑0

c x c xnn

nk

k

k=

∞

=

∞

∑ ∑=0 0

.

nc x k c x knn

nk

k

k

−

=

∞

++ −

+ =

∞

∑ ∑= + = +1

11

1 1

1 1

1( ) (( )

( )

11 10

)c xkk

k+

=

∞

∑

xnx

nx x

nx

nn

n

n

n

n

n

n

n=

∞

=

∞

=

∞

=

∞

∑ ∑ ∑ ∑−−

= + + −−0 2 2 21

11

== + + −−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= + + −−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

∞

∑11

1 11

2

x xnx

n

xn

n

nn

n

nn

nx=

∞

∑2

xnx

nx x

nx

nn

n

n

n

n

n

n

n=

∞

=

∞

=

∞

=

∞

∑ ∑ ∑ ∑−−

= + + −−0 2 2 21

11

nc x c xnn

nn

n

n

−

=

∞

=

∞

∑ ∑+1

1 0

xnx

nn

n

n

n=

∞

=

∞

∑ ∑−−0 2 1

solución


Las series en términos de k inician en la misma potencia (x0), y los subíndices también comienzanigual (k = 0). Entonces,

Así como ocurre en integración, el índice de la suma es una variable “muda”, es decir, no importael nombre que le pongamos, por lo que se acostumbra renombrar a la variable k del último resulta-do nuevamente como n (con la finalidad de no cambiar el nombre del índice de la suma original),por lo tanto, podemos escribir:

nc x c x n c c xnn

nn

n

nn n

n

−

=

∞

=

∞

+=

∞

∑ ∑ ∑+ = + +[ ]1

1 01

0

1( ) nn

nc x c x k c x c xnn

nn

n

nk

kk

k−

=

∞

=

∞

+∑ ∑+ = + +⎡⎣ ⎤⎦1

1 011( )

kk

k kk

kk c c x

=

∞

+=

∞

∑

∑= + +[ ]0

10

1( )

Sección 6.2.3 Derivación e integración de series de potencias

Como hemos visto, las series de potencias representan funciones y = f(x) en su intervalode convergencia, por lo que resulta natural preguntarse ¿cómo determinar las derivadaso las integrales de funciones definidas en términos de series? El siguiente teorema esta-blece las propiedades que responden a esta pregunta.

Teorema 6.3: Derivación e integración de series de potencias

Una función f definida por

con un radio de convergencia R > 0 es derivable (y por lo tanto continua) e in-tegrable en el intervalo (a − R, a + R). Además,

1.

2.

El radio de convergencia de la serie que se obtenga por derivación o integraciónes el mismo que el de la serie de potencias original (el intervalo de convergen-cia podría diferir en los extremos).

= + − + − + − +C c x a cx a

cx a

0 1

2

2

3

2 3( )

( ) ( )...

f x dx C cx a

nn

n

n

( )( )= + −

+∫ ∑+

=

∞ 1

0 1

f x nc x a

c c x a c x a

nn

n

'( ) ( )

( ) ( )

= −

= + − + −

−

=

∞

∑ 1

1

1 2 32 3 22 + ...

f x c x a c c x a c x a c xnn

n

( ) ( ) ( ) ( ) (= − = + − + − +=

∞

∑0

0 1 22

3 −− + + − +a c x ann) ... ( ) ...3

De acuerdo con el teorema 6.3, podemos derivar e integrar una serie de potencias térmi-no a término, como si se tratara de un polinomio.

Es muy amplia la variedad de cálculos que se pueden realizar con la derivación y laintegración de series de potencias. Ilustraremos algunos de ellos en los siguientesejemplos.


Ejemplos

Ejemplo 6.20

Determina la derivada de la función dada por .

Como al derivar término a término, resulta:

Es decir, f ' (x) = f (x). Revisa la tabla 6.1 para que reconozca que ocurrió este hecho.

Ejemplo 6.21

Calcula la primera y segunda derivadas de la función representada por la serie .

Simplemente aplicamos la regla para derivadas de funciones en forma de potencias xn (cn es constante),

es decir, la fórmula

Para hallar y″ volvemos a aplicar la regla a y′, de donde resulta

y n n c xnn

n

'' ( )= − −

=

∞

∑ 1 2

2

y nc xnn

n

' = −

=

∞

∑ 1

1

ddx

n nx nx( ) = −1

y c xnn

n

==

∞

∑0

f xx x x

xx x

'( ) ( ) ( )!

( )!

...= + + + +

= + + +

1 22

33

44

12

2 3

2 33 4

3 4! !...+ +x

f xx

nx

x x xn

n

( )! ! !

...,= = + + + + +=

∞

∑0

2 3 4

12 3 4

f xx

n

n

n

( )!

==

∞

∑0

solución

solución


Observa que la primera derivada comienza con el subíndice de la suma en n = 1; y la segunda, con n = 2.¿Por qué?

En el ejemplo 6.22 mostramos cómo se utilizan las series de potencias para aproximar el cálculo deintegrales definidas, aun en el caso de que la función por integrar no tenga una primitiva elemental.

Ejemplo 6.22

Mediante una serie de potencias, aproxima la siguiente integral con una precisión de 0.001.

Primero sustituimos −x2 en la serie para ex de la tabla 6.1:

Entonces,

Al apoyarnos en el teorema 5.13 de la sección 5.3 para la estimación del error (residuo) de las seriesalternantes, tenemos que esta aproximación es menor que

1

11 5

1

13200 001

⋅= <

!.

= − + − + −

≈ − + − + ≈

11

3

1

10

1

42

1

216

11

3

1

10

1

42

1

2160

...

.77475

= − +⋅

−⋅

+⋅

−⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥x

x x x x3 5 7 9

0

1

3 5 2 7 3 9 4! ! !...

e dx xx x xx−∫ = − + − + −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⌠

⌡

2

0

1 24 6 8

0

1

12 3 4! ! !

...⎮⎮ dx

e xx x xx− = − + − + −

2

12 3 4

24 6 8

! ! !...

e dxx−∫2

0

1

Mediante las propiedades de las series de potencias se pueden resolver algunasecuaciones que implican las derivadas o diferenciales de una función. Talesecuaciones se llaman ecuaciones diferenciales. Por ejemplo, la ecuación

es diferencial por el hecho de que en su estructura aparece la derivada de y res-pecto de x. (Recuerda que esta ecuación se puede escribir también como y ' = ex.)Resolver una ecuación diferencial significa encontrar una función que en cierto

dy

dxex=

solución


intervalo la satisfaga. Para la ecuación del ejemplo, una solución podría ser la

función y = ex, porque al derivarla resulta, precisamente, Además,

considerando que la derivada de toda constante es cero, decimos que la solucióngeneral de esta ecuación diferencial es y = ex + c.

Para resolver ecuaciones diferenciales mediante series de potencias se re-quiere de algunas consideraciones teóricas que rebasan el alcance de este libro,por lo que nos enfocaremos a tratarlas sólo con algunas ecuaciones diferencia-les sencillas.

dy

dxex= .

Ejemplo 6.23

Verifica que la función representada por la siguiente serie de potencias es una solución de la ecuacióndiferencial dada.

Lo que se pide es mostrar que la suma de la función dada, con su segunda derivada, da cero.

Método 1. Al escribir algunos términos de y resulta:

Por lo tanto, al derivar término a término,

de donde

Con lo cual queda verificado lo que se pide.

Método 2. A través de la notación Σ, tenemos

y nx

n

x

n

n n

n

n n

''( )

( )!

( )

(= ( ) − = −

−

−

=

∞ −

∑ 21

2

1

2

2 1

1

2 1

111 )!n=

∞

∑y nx

n

x

n

n n

n

n n

'( )

( )!

( )

( )!= +( ) −

+= −

=

∞

∑ 2 11

2 1

1

2

2

0

2

nn=

∞

∑0

,

y y xx x

xx x x

''! !

...! !

+ = − + − +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ − + −3 5 3 5 7

3 5 3 5 770

!...+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

yx x x

y xx x

'! !

... ''! !

...= − + − + = − + − +12 4 6 3 5

2 4 6 3 5

y

yx

nx

x x xn n

n

= −+

= − + − ++

=

∞

∑ ( )

( )! ! ! !.

1

2 1 3 5 7

2 1

0

3 5 7

...

yx

ny y

n n

n

= −+

+ =+

=

∞

∑ ( )

( )!, ''

1

2 10

2 1

0

solución


Si ahora sumamos y aplicamos las ideas del ejemplo 6.19:

en la primera suma hicimos n = k + 1

en la primera integral renombramos k como n.

En el ejemplo 6.24, aunque resolveremos una ecuación diferencial muy sencilla, cuya solución se ob-tiene por simple inspección y un poco de experiencia en cálculo, usaremos series para que corroboresde una manera simple la viabilidad de un método apoyado en esta herramienta. En el ejemplo 6.25, unavez visto que las series proporcionan un procedimiento de solución para una ecuación diferencial, re-solveremos una con una solución que, en efecto, exige el uso de series de potencias.

Ejemplo 6.24

Resuelve la ecuación diferencial y ' − cos(x) = 0.

En primer lugar, note que la ecuación diferencial dada puede reescribirse en la forma

y ' = cos(x).

Como se observa, por derivación directa o por integración, la función y = sen(x) + c, que es una so-lución “general” de la ecuación. Veamos ahora cómo obtenerla con series de potencias.

Se requiere hallar una función y que satisfaga la ecuación dada, es decir, una función cuya derivadasumada con el coseno negativo, dé como resultado cero. Supongamos que esta función puede represen-tarse mediante una serie de potencias de la forma:

donde c0, c1, c2, c3,… son coeficientes que debemos determinar. Del ejemplo 6.21 sabemos que

. Por lo tanto, se debe tener que:

Al desarrollar algunos términos de y ' tendremos

y de la tabla 6.1 sabemos que cos ( ) ( )( )! ! ! !

xx

n

x x xnn

n

= − = − + − +=

∞

∑ 12

12 4 6

2

0

2 4 6

....

y nc x c c x c x c x c xnn

n

' .= = + + + + +−

=

∞

∑ 1

11 2 3

24

35

42 3 4 5 ...,

nc x xnn

n

−

=

∞

∑ − =1

1

0cos ( ) (*)

y nc xnn

n

' = −

=

∞

∑ 1

1

y c x c c x c x c xnn

n

= = + + + +=

∞

∑0

0 1 22

33 ...,

= − −+

+ −+

+

=

∞ +

∑ ( )

( )!

( )

( )!

1

2 1

1

2 1

2 1

0

2 1n n

n

n n

n

x

n

x

n==

∞

∑ =0

0,

= −+

+ −+

+ +

=

∞ +

∑ ( )

( )!

( )

( )!

1

2 1

1

2 1

1 2 1

0

2 1k k

k

n nx

k

x

nnn=

∞

∑0

,

y yx

n

x

n

n n

n

n n

''( )

( )!

( )

(+ = −

−+ −

+

−

=

∞ +

∑ 1

2 1

1

2

2 1

1

2 1

110 )!n=

∞

∑

solución


Al sustituir estos desarrollos en la ecuación (*), resulta

Si asociamos los términos constantes por una parte, los términos lineales por otra, los cuadráticos porotra, etcétera, obtenemos:

De manera que cada coeficiente de los términos de la parte izquierda de la ecuación debe ser igual a losde la derecha (0 = (0)x0 + (0)x + (0)x2 + …). De aquí resulta que:

De estas ecuaciones hallamos Si ahora

sustituimos estos coeficientes en nuestra propuesta de solución

obtendremos

de donde Observa que a partir del segundo término de esta solución, se tiene

la serie que representa a la función sen(x) de la tabla 6.1, es decir, como

Podemos escribir la solución encontrada en la forma y = c0 + sen(x); la misma que habíamos señaladocomo solución general al inicio de este ejemplo.

Nota: Cuando se resuelve una ecuación diferencial por series de potencias, se obtienen aproximacio-nes sucesivas a una de sus soluciones en la cercanía del centro de la serie. La gráfica de la figura 6.9muestra las aproximaciones de este tipo a la ecuación diferencial f(x) = sen(x) (caso c0 = 0). Se mues-tran las aproximaciones con los polinomios de grados 1, 3 y 5:

p1(x) = x, p x xx x

5

3 5

3 5( )

! !.= − +p x x

x3

3

3( )

!,= −

sen ( )! ! !

... ;x xx x x

x= − + − + − ∞ < < ∞3 5 7

3 5 7

y c xx x= + − + +0

3 5

3 5! !...

y c x x x x x= + + + − + + +02 3 4 51 0 1 3 0 1 5( ) ( ) ( / !) ( ) ( / !) ....,

y c x c c x c x c xnn

n

= = + + + +=

∞

∑0

0 1 22

33 ...,

c c c c c1 2 3 4 51 01

2 3

1

30

1

5 4

1

5= = = −

⋅= − = = =, ,

!, ,

( )( !) !!.

c

c

c

c

c

1

2

312

4

514

1 0

2 0

3 0

4 0

5 0

− ==

+ =

=

− =!

( ) ( ) ( ) ..!c c x c x c x c x1 2 312

24

35

14

41 2 3 4 5− + + + + + − + .. = 0

( ...) (!

c c x c x c x c xx x

1 2 32

43

54

2 4

2 3 4 5 12 4

+ + + + + − − +!! !

...)− + =x6

60


y = sen(x)

p5(x)

p1(x)p3(x)

FIGURA 6.9: Aproximaciones sucesivas de f (x) = sen(x).

Ejemplo 6.25

A través de una serie de potencias alrededor de a = 1, resuelva la ecuación diferencial

(x2 − 2x + 2) y '' − (1 − x) y ' + y = 0 (6.1)

La solución en serie de potencias alrededor de uno puede escribirse como Para faci-

litar el trabajo, hagamos primero un cambio de variable: X = x − 1. Con esta transformación la ecua-ción 6.1 toma la forma:

(X2 + 1)y'' + Xy' + y = 0 (6.2)

De esta manera, buscaremos una solución del tipo

Recuerda que el propósito en este método es hallar los coeficientes cn que aparecen en la serie anterior.De acuerdo con el ejemplo 6.21, al calcular la primera y la segunda derivadas de la serie con respectode X, hallamos

Al reemplazar estas expresiones en la ecuación 6.2,

(6.3)X n n c X X n c X c Xn

nn

nn

nn

n

n

2

2

2

1

11 1+( ) − + +=

∞−

=

∞−∑ ∑( )

==

∞

∑ =0

0

y n c X y n n c Xnn

nn

n

n' , '' ( )= = −=

∞−

=

∞−∑ ∑

1

1

2

21

y c Xnn

n==

∞

∑0

y c xnn

n= −=

∞

∑0

1( ) .

solución


El primer término es:

entonces, la ecuación 6.23 se convierte en

De aquí, evaluando en la segunda suma resulta n = 0, 1; en la tercera n = 1, y en la última n = 0, 1 que:

En la última ecuación, los coeficientes de las diferentes potencias de X deben ser cero:

De estas últimas ecuaciones resultan

Si en la última reemplazamos n por n − 2, n − 4, n − 6, …, obtenemos:

…;

note además que

Si multiplicamos miembro a miembro las expresiones para c2, c4,… c2n, obtendremos el valor de c2n enfunción de c0:

= −( )+( ) +( ) + −( )( )

( )11 2 1 4 1 2 2

2

2 2 2

0n

n

nc

�

!

cn

nnn

2

2 2 2

11 1 2 1 4 1 2 2

1 2 3 2= −( )

⋅ +( ) +( ) + −( )( )⋅ ⋅

�

�cc0

cc

20

2= − .c c c3 1 1

2

6

1

3= − = − ;

c c4

2

22 1

4 3= − +

⋅;c

n

n ncn n− −= − − +

− −4

2

66 1

4 5

( )

( )( );c

n

n ncn n− −= − − +

− −2

2

44 1

2 3

( )

( )( );c

n

n ncn n= − − +

− −( )

( )

2 1

1

2

2

cc

cc

cn

n nc nn n2

03

12

2

2 3

1

1 22= − = − = − +

+ +=+; ;

( )( ); , 33, ...

c c c c

n n c n cn n

0 2 1 3

22

2 0 2 6 0

1 2 1 0

+ = + =+ + + +( ) =+

;

( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( )c c c c X n n c n n nn0 2 1 3 22 2 6 1 2 1+ + + + + + + − ++ ++{ }[ ] ==

∞

∑ 1 02

c Xnn

n

n n c X n n c X nn

nn

nn

n

n

( ) ( )( )− + + + +=

∞

=

∞

+=

∞

∑ ∑1 2 12 0

21

∑∑ ∑+ ==

∞

c X c Xnn

nn

n 0

0

= − + + +=

∞

=

∞

+∑ ∑n n c X n n c Xn

nn

nn

n( ) ( )( ) ,1 2 12 0

2

X n n c X n n c X n nn

nn

nn

n2

2

2

2

1 1 1+( ) − = − +=

∞−

=

∞

∑ ∑( ) ( ) ( −−=

∞−∑ 1

2

2)n

nnc X


Por otro lado, de las ecuaciones para c3, c5,…c2n + 1,

Al reemplazar los valores de c2n y c2n + 1 en se obtiene

Finalmente, como X = x − 1, hallamos la solución de la ecuación:

+ − + −+( ) ⋅ +( ) + −

=

∞

∑c x cn

n

n1 1

1

2 2

1 11 1 1 3 1 2 1

( ) ( )( )� 22

2 1

2 11

( )+

− +

( )!( )

nx n

y c cn

n

n

= + −+( ) ⋅ +( ) + −( )

=

∞

∑0 01

2 2 2

11 2 1 4 1 2 2

( )( )

(

�

221 2

nx n

)!( )−

+ + −+( ) ⋅ +( ) + −( )

=

∞

∑c Xn

nn

n1

1

2 2 2

11 1 1 3 1 2 1

2( )

( )

(

�

++

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪+

12 1

)!X n

y c cn

n

n

= + −+( ) ⋅ +( ) + −( )

=

∞

∑0 01

2 2 2

11 2 1 4 1 2 2

( )( )

(

�

222

nX n

)!

y c Xnn

n==

∞

∑0

cn

ncn

n2 1

2 2 2

11 1 1 3 1 2 1

2 1+ = −+( ) +( ) + −( )

+( )

( )

( )!

�11

1. ¿Qué es una serie de potencias?

2. Si el radio de convergencia de la serie de potencias es 2, ¿cuál será el radio de convergencia

de la serie ? Explica tu razonamiento.

3. Si la serie de potencias converge para ¿qué se puede decir sobre la convergencia de

la serie ? Explica tu razonamiento.cx

nn

n

n

+

=

∞

+∑1

0 1

x < 4,c xnn

n=

∞

∑0

nc xnn

n

−

=

∞

∑ 1

1

c xnn

n=

∞

∑0


4. Encuentra el radio y el intervalo de convergencia de las siguientes series de potencias.

a) f )

b) g)

c) h)

d) i)

e) j)

5. Determina una serie de potencias centrada en a para las siguientes funciones.

a) d)

b) e)

c) f )

6. Usa una serie adecuada de la tabla 6.1 y las sugerencias que se indican abajo para determinar unaserie de potencias, centradas en 0, de las funciones siguientes. Indica en cada caso el intervalo deconvergencia.

a) b)

7. Utiliza operaciones algebraicas adecuadas y la tabla 6.1 para hallar una representación en serie de po-tencias alrededor de a = 0 de cada una de las siguientes funciones.

a) f (x) = senh(x) c) h(x) = ex cos(x)

b) g(x) = x2 cos(x3) d) y = sen(x) cos(x)

8. Usa series de potencias para hacer un cálculo aproximado de las siguientes integrales con la precisiónque se indica.

a) d )

b) e)

c) f ) x x dxarctan( ) ; ..

3 0 0000010

0 1∫ precisión desen

precisión dex

xdx

( )⌠⌡⎮

0

1

0 0001; .

1

10 000001

50

0 2

+⌠⌡⎮

xdx

.

; .precisión desen precisión de0

1x dx( )∫ ; .0 01

ln( ); .

. 10 0001

0

0 5 +⌠⌡⎮ x

xd x precisión dee dxx−∫ 3

0

10 01; .precisión de

f x xx

dx( ) ln( )= + =+∫11

1f x

x

d

dx x( )

( )= −

+=

+⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

1

1

1

12

f x x a( ) ln( ),= − =5 0f xx

a( ) ,=+

=3

20

f xx

x xa( ) ,=

+ −=3

20

2f x

xa( ) ,=

−=1

10

3

f xx

xa( ) ,=

+=

90

2g x

xa( ) ,=

−= −1

2 53

n x n

n

!( )2 11

−=

∞

∑( ) ( )− −+

+ +

=

∞

∑ 1 1

1

1 1

0

n n

n

x

n

x

n

n

n

2 1

0 2 1

+

=

∞

+∑( )!

( )−

=

∞

∑ 24

1

n n

n

x

n

n

bx a b

nn

n

( ) ,− >=

∞

∑1

0( )− +

=

∞

∑ 1

4

1

1

n n

nn

x

n

nx

n

n

+−

=

∞−∑

12

1

1( )( )− −

=

∞

∑ 1 1

31

n n

n

x

n

( )ln( )

−=

∞

∑ 142

nn

nn

x

n( )−

=

∞

∑ 1

1

n n

n

x

n


9. Sea f (x) = xex

a) Halla el desarrollo de f (x) en la serie de potencias de x.

b) Integra la serie de potencias encontrada en el inciso a) y demuestra que

10. Calcula los siguientes límites de dos maneras: a) usando la regla de L’Hôpital; b) mediante series depotencias.

a) b)

11. Reescribe las expresiones siguientes en términos de una sola serie.

a) b)

12. Comprueba que la función representada por la serie de potencias es una solución de la ecuación dife-rencial.

a) b)

13. Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales suponiendo una solución en serie de potencias de la

forma

a) y ' − x2y = 0 b) (1 − x)y ' − y = 0 c) y '' = y ' d) y '' − 2xy ' + y = 0

14. Diversos fenómenos donde intervienen cantidades que aumentan o disminuyen en el tiempo puedenmodelarse con una ecuación diferencial, como el crecimiento de una población o la rapidez de desin-tegración de una sustancia radiactiva. En el caso particular de que la razón de cambio de una cantidaden estudio sea proporcional a la cantidad presente en cualquier momento t, se tiene la ecuación

Usa series de potencias para probar que la solución general es

P(t) = ce−kt

15. La ecuación diferencial que modela el movimiento armónico simple de un sistema masa-resorte se de-duce de la segunda ley de Newton y tiene la forma

donde (k es la constante del resorte y m la masa sujeta).ω 2 = k m

d x

d tx

2

22 0+ =ω ,

dP

dtkP=

y c xnn

n

==

∞

∑0

yx

ny xy y

n

nn

= − − ==

∞

∑2

0 20

!; '' 'y

x

ny y

n

n

=+

− =+

=

∞

∑2 1

0 2 10

( )!; ''

2 61 1

01

nc x c xnn

nn

nn

− +

=

∞

=

∞

+ ∑∑4 1 2

2 0

n n c x c xnn

nn

n

n

( )− +−

=

∞

=

∞

∑ ∑

límsenx

x

x x→

( ) −( )0

1coslímx

x

x→

− ( )0 2

1 cos

1

2

1

21 n nn !( )+=

=

∞

∑



Usa el método de series de potencias estudiado en esta sección para demostrar que si ω = 1, la solucióngeneral de esta ecuación diferencial es:

x(t) = c0 cos(t) + c1 sen(t)


1. Contesta la pregunta planteada en el apartado Sistema muelle-amortiguador automotriz, alinicio de esta sección.

2. La función de Bessel. Las series de potencias son muy importantes porque constituyen unaforma de representar algunas de las funciones primordiales de matemáticas, física y quími-ca. Por ejemplo, en la resolución de las ecuaciones de Kepler —que describen el movi-miento planetario—, el astrónomo alemán Friedrich Bessel (1784-1846) usó funciones re-presentadas en series de potencias del tipo

Éstas se llaman, precisamente, funciones de Bessel, de orden cero y de orden uno, respec-tivamente. Con base en ellas, realiza lo que se indica a continuación.

I. Para la función de Bessel de orden cero:

a) Muestra que la serie converge para todo x.

b) Demuestra que la serie es una solución de la ecuación diferencial

x2J0'' + xJ0' + x2J0 = 0

c) Usa una calculadora graficadora o algún software computacional para representar elpolinomio formado por los cuatro primeros términos de J0.

II. Para la función de Bessel de orden 1:

a) Demuestra que la serie converge para todo x.

b) Verifica que la serie es una solución de la ecuación diferencial

x2J1'' + xJ1' + (x2 − 1)J1 = 0

c) Usa una calculadora graficadora o algún software computacional para representar elpolinomio formado por los primeros cuatro términos de J1.

d) Demuestra que J0' (x) = −J1(x).

J xx

nJ x

xn n

nn

n n

0

2

2 20

1

2 11

2

1( )

( )

( !)( )

( )= − = −

=

∞ +

∑nn n n

n !( )!+ +=

∞

∑1 22 1

0


3. Cálculo del número π. ¿Haz pensado alguna vez cómo se desarrolló el decimal del nú-mero π con un gran número de cifras? Revisemos un poco su historia. En 1671 JamesGregory (1638-1675) usó la serie de potencias para la función arctan(x) en el caso de quex = 1. Sin embargo, la serie numérica resultante (véase el inciso a) no ofrece una manerapráctica de aproximar π debido a que tiene una convergencia muy lenta, por lo que se ne-cesitarían cientos de términos para obtener una precisión razonable. En 1706 John Machin(1680-1751), quien se anticipó a diversos descubrimientos de Newton, desarrolló una apro-ximación a π con cien dígitos, usando la identidad:

la cual brinda una forma de aproximar π con pocos términos (véase el inciso b). Entre tan-to, en 1914 Srinivasa Ramanujan (1887-1920) descubrió una serie muy interesante paraaproximar el valor de π (véase el inciso c):

En años más recientes (con el uso de computadoras) se han realizado cálculos más preci-sos. Por ejemplo, en 1973 Jean Guilloud y Martine Bouyer determinaron el primer millónde cifras a través de una identidad relacionada con la utilizada por John Machin:

En 1983 el número π se calculó hasta con 16 millones de cifras empleando un métododistinto. En 1995 se calcularon 6’442,450,000 cifras y, en 2004, una supercomputadoracalculó 13,511 trillones de cifras en tan sólo 500 horas de trabajo.

a) Usa la serie para arctan(x) (véase la tabla 6.1) y el hecho de que , para

aproximar π con una precisión de una cifra decimal. ¿Cuántos términos de la serie senecesitan para esta aproximación?

b) Con la serie para arctan(x) en la identidad usada por John Machin, determina el valorque se obtiene con sólo cinco términos de cada una de las series para el arctan (1/5) yarctan (1/239).

c) Usa una calculadora o algún software computacional para demostrar que la serie deSrinivasa Ramanujan converge a es decir,

8

9801

4 1103 26390

396

14

0

( )!( )

( !)

n n

n nn

+ ==

∞

∑ π

1 π ,

arctan( )14

= π

π = ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ −48

1

1832

1

5720arctan arctan arcttan

1

239⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

8

9801

4 1103 26390

396 40

( )!( )

( !)

n n

n nn

+

=

∞

∑

41

5

1

239 4arctan arctan⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ − ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ = π


Autoevaluación

1. Indica la opción que contiene el intervalo de convergencia de la serie .

a) (−6, 2) b) (−2, 6] c) (2, 4) d) [−4, 2]

2. Halla la opción que corresponde con la serie de potencias para f (x) = (1 + x)−3.

a) c)

b) d)

3. Indica la serie que representa a la función tan(x).

Sugerencia: use .

a) c)

b) d)

4. Es la serie que representa la derivada de la función

a) b) c) d)

5. Es la aproximación de con una precisión de cinco cifras decimales.

a) 0.84369 b) 0.36849 c) 0.48639 d) 1.63984

6. Al resolver la ecuación diferencial resulta

a) c)

b) d) y x x= + + +1 12

4 13

8! ! ...y c x x x= + + + +⎡⎣ ⎤⎦0

2 12

4 13

61 ! ! ...

y c x x x= + + + +⎡⎣ ⎤⎦012

2 13

31 ! ! ...y c x x x= + + +⎡⎣ ⎤⎦112

2 13

3! ! ...

dy

dxxy− =2 0,

12

0

1 − ( )⌠⌡⎮

cos x

xdx

( )n xn

n+=

∞

∑ 10

( )( )!

−=

∞

∑ 12

2

0

nn

n

x

n( )−

+

+

=

∞

∑ 11

1

0

nn

n

x

nx

n

n

n !=

∞

∑0

f xx

( ) =−1

1

x x x3 12

4 13

5+ + + ..x x x− + −16

3 1120

5 ..

x x x+ + +13

3 215

5 ...x x x− + −13

3 15

5 ...

tan( )( )

cos ( )x

x

x=

sen

f x x x x x( ) ...= + + − + −1 3 6 102 3 4f x x x x( ) ...= − + − +3 6 10 152 3

f x x x x x( ) ...= − + − + −1 13

16

2 110

3 115

4f x x x x x( ) ...= − + − + −1 3 6 10 152 3 4

( ) ( )− −⋅=

∞

∑ 1 2

41

n n

nn

x

n


7. En la columna B, halla las series de potencias que corresponden con las expresiones de lacolumna A.

Columna A Columna B

i.ii.

1 12

2 14

4 16

6

2 4 6

− + − ++ +

! ! ! ...x x x

x x x ++ +− + − +

x

x x x x

x

8

13

3 15

5 17

7

......! ! !

iii.iv. 22 3 9

24 27

35

12

2 14

4 1

3− + − ++ + +

x x x

x x x! !

! !

...

v. 666

13

3 15

5 17

71

1

!

! ! !

...

...

x

x x x

++ + + +

vi.vii. −− + − + −

− + −x x x x

x x x

2 4 6 8

12

23

2 34

3

......viii.

a x e

bx

c yx

x

nn

)

)

) ( )(

2 3

2

2 1

1

1

12

−

++

= −La derivada denn

d yx

n

n

nn

n

+

= −

=

∞

=

∑ 1

12

02

0

)!

) ( )( )!

La integral de∞∞

∑

Respuestas a los


1. Es una serie de la forma

donde a es una constante.

2. El radio de convergencia es 2. Las derivadas y las integrales de una serie de potencias tienen el mismoradio de convergencia que la serie original.

3. La segunda serie es la integral de la primera, por lo tanto, converge en el mismo intervalo (−4, 4) y talvez también en uno o en ambos extremos del intervalo.

4. Los radios e intervalos de convergencia son

a) 1, (−1, 1] f ) 4, (−4, 4]

b) 1, [−1, 1] g)

c) 4, (−4, 4) h) b, (a − b, a + b)

d) i) ∞, (−∞, ∞)

e) 1, (0, 2] j) 0 12, { }

12

12

12, ( , ]−

12

12

12, ( , )−

c x a c c x a c x a c x ann

n

( ) ( ) ( ) ( )− = + − + − + − +=

∞

∑0

0 1 22

33 .... ( ) ...,+ − +c x an

n


5. Las series correspondientes a cada función son

a) d )

b) e)

c) f )

6. Las series e intervalos de convergencia son

7. Las series son

a) c)

b) d)

8. Las soluciones aproximadas son

a) 0.804 ≤ I ≤ 0.808 d ) 0.8224

b) 0.600 ≤ I ≤ 0.603 e) 0.199989

c) 0.9461 f ) 0.000983

9. Las soluciones son

a) b)


a) b)

11. Las simplificaciones son

a) b)

12. Demostraciones (calcule y ' y y '', sustituye en la ecuación y verifica que se satisface).

2 2 1 61 1 11

c n c c xn nn

n+ + +[ ]+ −=

∞

∑ ( )4 2 1 20

( )( )n n c c xn nn

n+ + +[ ]+=

∞

∑

− 12

12

xe dxn

x dxn n

x n

n0

1 1

00

1

11 1

∫ ∑= =⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=+

+

=

∞⌠

⌡⎮ ! !( 220 )n=

∞

∑1 1

0 nxn

n !+

=

∞

∑

sen x x x x x xcos ...= − + − +2

3

2

15

4

3153 5 7x x x

x x x2 3 28 14 20

2 4 6cos

! ! !...= − + − +

e x xx xx cos ...= + − − +13 6

3 4

senh x xx x= + + +

3 5

3 5! !...

a n x bx

nn n

n

n n

n

) ( ) ; ( , ) )( )

− −−

+−

=

∞ +

=

∞

∑ ∑1 1 11

11

1

1

0

;; ( , ]−1 1

ln 551

−=

∞

∑ x

n

n

nn

3

2 20

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

∞

∑ xn

n

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥=

∞

∑ 1

21

0

n

n

nxx n

n

3

0=

∞

∑

( )− ++

=

∞

∑ 11

9 12 1

0

nn

n

n

x− +⎡⎣⎢

⎤⎦⎥=

∞

∑1

11

2

113

0

( )xn

n



a) c)

b) d)

14. El resultado se encuentra dentro del problema.

15. El resultado se encuentra dentro del problema.

y c x x x c x x= − − − −⎡⎣⎢

⎤⎦⎥+ +0

2 4 611

1

2

3

4

21

6

1

3! ! !...

!33 5 75

5

45

7+ + +

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥! !

...x xy c xn

n

==

∞

∑00

y c c cx

n

n

n

= − +=

∞

∑0 1 11 !

y cn

x

n

n

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

∞

∑0

3

0

1

3!


1. b) 2. a) 3. c) 4. d) 5. c) 6. b) 7. (a, iv.); (b, vii.); (c, i.); (d, iii.)

Referencias

1. Larson, Hostetler, Edwards, Cálculo, 8a. ed., México, McGraw-Hill, 2006.2. Stewart, James, Cálculo, conceptos y contextos, 3a. ed., México, Internacional Thompson Editores,

2006.


1. Sobre la función de Bessel en astronomía:http://www1.eafit.edu.co/quasar/congreso/agreda.htm

2. Sobre el número π :http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_pi

A

Aplicacionesde la integral, 249-342

autoevaluación, 338ejercicios y problemas, 329problemas para trabajar en

equipo, 335Área(s)

bajo curvas, 32-36, 38entre curvas, 249, 250


equipo, 263superficial de sólidos de

revolución, 306Arreglo de números, 391

C

Cambio de variable para integralesdefinidas, 76

Centro de masa y momentos deinercia, 313

Criterio(s),de Cauchy para la convergencia

de una serie, 422de convergencia, 454

autoevaluación, 474ejercicios y problemas de,

466para series arbitrarias,

453-454problemas para trabajar en

equipo, 472y divergencia para la serie

“p”, 429de comparación

por desigualdades, 447, 453por límite, 448

de divergencia de una serie, 422

de la integral, 428, 448de la raíz n-ésima, 448, 453de la razón, 448, 453, 487

Convergencia, 396, 416, 446absoluta, 451condicional, 451de una serie de potencias, 503y divergencia de series

geométricas, 425, 446, 447Curva copo de nieve de Helga von

Koch, 437

D

Densidad de masa, 310Diferencial,

concepto de, 1-4autoevaluación, 19-20ejercicios y problemas,


equipo, 18de una función, 4-9e integral definida, 1-72modelos basados en la, 10

Dipolo eléctrico, 496Diseño de lentes, 495Divergencia, 416, 446

E

Ecuación(es)diferenciales, 84, 513

de primer orden, 84logísticas, 171

Efecto,directo, 415multiplicador, 415

Ejercicios y problemas,aplicaciones de la integral, 329área entre curvas, 262criterios de convergencia, 466diferencial, 14-18

formas indeterminadas, 357integración

numérica, 239por partes, 110por fracciones parciales,

182integral

definida, 45-47impropia,

integrales de potenciastrigonométricas, 133

método de sustitucióntrigonométrica, 153y ecuaciones diferenciales,

88-91polinomios y series de Taylor,

492primeras series, 433series de potencias, 519sucesiones, 403sustituciones diversas, 211teorema fundamental del

cálculo, 66-69volúmenes, 288

Elección entre arandelas y cáscarascilíndricas, 283

Estrategias para analizar laconvergencia o divergenciade la serie, 457

F

Formas indeterminadas, 343autoevaluación, 362e integral impropia, 343-87ejercicios y problemas de, 357problemas para trabajar en

equipo de, 361y la regla de L Hôpital, 346

Fuerzade gravedad, 495y presión, 325

Índice analítico

529Índice analítico

Función,de iteración, 407de Lorenz y el índice de Gini,

249diferencial de una, 5incremento de una, 4promedio de una, 28-32valor promedio de una, 38

H

Hipótesis de inducción, 399, 401-02

I

Inducción,hipótesis de, 399matemática, 400principio de, 400

Integración,numérica, 222


equipo, 242por fracciones parciales, 159


equipo, 185por partes, 97-109

autoevaluación de, 113 ejercicios y problemas de,

110problemas para trabajar en

equipo, 111Integral

definida, 23-25de una función, 37ejercicios y problemas de,


equipo de, 48y sus propiedades, 37

Integralesbinomios, 202de potencias

de funciones hiperbólicas,131

trigonométricas, 117

de productos de seno y cosenocon diferente argumento, 129

impropias, 365, 366autoevaluación, 383ejercicios y problemas, 379problemas para trabajar en

equipo, 382que incluyen potencias

de seno y coseno, 118de tangente y secante, 124

Intervalo de convergencia,

L

Longitud de arco, 301

M

Método(s),alemán, de reducción, 207de cáscaras cilíndricas, 280de cuadratura de Gauss, 234de fracciones parciales, 160de Hermite y Heaviside, 175de integración, 73-247de Kummer, 445, 456del trapecio, 223de punto fijo, 407de Simpson, 228de sustitución, 75, 77

del ángulo medio, 195trigonométrica, 142-151y ecuaciones diferenciales, 73

Modelos basados en la diferencial,y análisis de errores, 10

N

Notación, 25suma, 25-27

O

Operaciones con series depotencias, 505

P

Partición de un intervalo, 29Polinomios

de Taylor, 481, 484autoevaluación, 409ejercicios y problemas, 492

problemas para trabajar enequipo, 495

Primeras series, 414autoevaluación, 439ejercicios y problemas, 433problemas para trabajar en

equipo, 437Principio de inducción, 399Probabilidad y tiempo de espera,

97Problemas para trabajar en equipo,

aplicaciones de la integral, 335área entre curvas, 263criterios de convergencia, 472diferencial, 18formas indeterminadas, 361integración

numérica, 242por fracciones parciales,

185por partes, 111

integral definida, 48integrales

de potencias trigonométricas,135

impropias, 382método de sustitución

trigonométrica, 151y ecuaciones diferenciales,

92polinomios y series Taylor,

495primeras series, 437series de potencias, 522sucesiones, 408sustituciones diversas, 213teorema fundamental del cálculo,

69volúmenes, 290

Propiedades, 25de linealidad de la integral

definida, 63

R

Racionalización de funcionesirracionales, 200

Radio de convergencia, 487, 511Razón áurea, 405Regla de L´Hôpital, 348, 404

530 Índice analítico

S

Serie(s), 416alternante, 454concepto de, 416de Maclaurin, 487, 506de potencias, 479, 501

autoevaluación, 524convergencia de una, 503derivación e integración de,

511ejercicios y problemas, 519operaciones con, 505problemas para trabajar en

equipo, 522de Taylor, 481, 486-87

y Maclaurin, 481de términos positivos, 445

y negativos, 450geométrica, 416, 422, 424, 491operaciones con, 417“p”, 416, 426suma de la, 417telescópica, 416

Sólidos de revolución, 268Sucesión(es), 389, 391, 392, 402

asintóticamente equivalentes,447

autoevaluación de, 409concepto de, 391convergencia y divergencia, 394de Fibonacci, 405de sumas parciales, 416ejercicios y problemas, 403problemas para trabajar en

equipo, 408y series, 389

Suma(s),de infinita, 415de Riemann, 37parciales, 417

Sustitución(es),de Euler, 205diversas, 193


equipo, 213

T

Teoremadel sándwich, 397, 406del valor medio para integrales,

54-56de Weierstrass, 397

fundamental del cálculo, 4,52-54, 62, 64

búsqueda del, 57-61demostración del, 65

Teoría especial de la relatividad,496

Trabajo, 322

V

Valorpresente esperado, 444promedio de una función, 38

Volúmenes, 266autoevaluación, 295de sólidos con área transversal

conocida, 286ejercicios y problemas, 288problemas para trabajar en

equipo, 290

calculo integral para ingenieria_santiago

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