calculo integral

UNAC-FIEE MATEMÁTICA II

PRACTICA Nº 1

A) CALCULAR LAS SIGUIENTES INTEGRALES:

1.- Solución:

2.- Solución:

= = =

3.- Solución:

= =

4.- Solución:

5.- Solución:

6.- Solución:

7.- Solución:

1


8.- Solución:

=

9.-

Solución:

=

10.- Solución:

=

11.-

Solución:

Sea:

=

12.-

Solución:

2


=

13.-

Solución:

14.-

Solución:

15.- Solución:

16.-

Solución:

17.-

3


Solución:

18.-

Solución:

19.- Solución:

20.-

Solución:

21.-

Solución:

4


22.-

Solución:

23.-

Solución:

24.-

Solución:

25.- Solución:

26.- Solución:

5


27.-

Solución:

28.-

Solución:

29.-

Solución:

30.-

Solución:

31.-

Solución:

32.-

Solución:

6


33.-

Solución:

34.-

Solución:

35.-

Solución:

36.-

Solución:

7


37.-

Solución:

38.-

Solución:

39.-

Solución:

40.-

Solución:

41.-

Solución:

8


42.-

Solución:

43.-

Solución:

44.-

Solución:

45.-

Solución:

46.-

Solución:

47.-

Solución:

9


48.-

Solución:

49.-

Solución:

50.-

Solución:

10


PRACTICA Nº 2

A) CALCULAR LAS SIGUIENTES INTEGRALES:

1.- Solución:

=

2.- Solución:

3.-

Solución:

4.-

Solución:

11


5.- Solución:

6.-

Solución:

=

7.- Solución:

8.- Solución:

=

9.- Solución:

12


10.-

Solución:

11.- Solución:

12.- Solución:

=

13.- Solución:

; reemplazando en la integral dada:

14.- Solución:

15.- Solución:

13


16.-

Solución:

17.- Solución:

18.- Solución:

19.-

Solución:

20.-

Solución:

21.-

Solución:

14


22.- Solución:

23.- Solución:

24.- Solución:

25.-

Solución:

15


26.- Solución:

27.- Solución:

28.- Solución:

29.- Solución:

30.- Solución:

31.- Solución:

32.- Solución:

16


33.- Solución:

34.- Solución:

35.- Solución:

36.- Solución:

37.- Solución:

17


38.- Solución:

39.- Solución:

40.- Solución:

41.- Solución:

42.- Solución:

43.- Solución:

18


44.- Solución:

45.- Solución:

46.- Solución:

47.- Solución:

19


48.- Solución:

49.-

Solución:

50.-

Solución:

51.-

Solución:

20


52.- Solución:

53.- Solución:

54.- Solución:

55.- Solución:

56.- Solución:

57.-

21


Solución:

58.-

Solución:

59.- Solución:

60.- Solución:

22


23


PRÁCTICA N° 3

1. POR EL MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR PARTES CALCULAR

A)

B)

C)

D)

E)

F)

G)

H)

I)

25


J)

2. CON LA INTEGRACIÓN POR PARTES DEDUCIR LA FÓRMULA

3. INTEGRANDO POR PARTES DEDUCIR LA FÓRMULA

4. CON LOS RESULTADOS DE 2 Y 3 DEDUCIR LAS SIGUIENTES FÓRMULAS

A)

B)

C)

5. CON LA INTEGRACIÓN POR PARTES Y LOS RESULTADOS DE 2 Y 4 DEDUCIR

26


A)

B)

C)

6. INTEGRANDO POR PARTES DEDUCIR LA FÓRMULA RECURRENTE

8. UTILIZANDO 6 DEDUCIR LAS FÓRMULAS

A)

B)

C)

9. INTEGRANDO POR PARTES DEMOSTRAR

10. DEDUCIR LAS SIGUIENTES FÓRMULAS

27


A.

B.

C.

D.

E.

F.

28


G.

H.

I.

J.

11. CALCULAR LAS SIGUIENTES INTEGRALES

A)

29


B)

C)

D)

E)

F)

30


G)

H)

I)

J)

K)

MISCELANEA

CALCULAR LAS SIGUIENTES INTEGRALES

1.

31


2.

3.

4.

5.

32


6.

7.

8.

9.

10.

11.

33


12.

13.

IGUALANDO LOS RESULTADOS Y REEMPLAZANDO EN LA PRIMERA ECUACIÓN

14.

34


15.

16.

17.

18.

19.

20.

35


21.

22.

23.

24.

25.

26.

36


27.

28.

29.

30.

31.

32.

37


33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

38


40.

41.

42.

43.

39


44.

45.

46.

47.

48.

40


49.

50.

51.

52.

53.

41


54.

55.

56.

57.

58.

42


59.

PRACTICA Nº4

INTEGRACION Y SUS APLICACIONES PRELIMINARES

I) INTEGRALES Y ECUACIONES DIFERENCIALES:

A) RESOLVER LAS SIGUIENTES ECUACIONES DIFERENCIALES:

1)

43


2)

3)

4)

5)

6)

44


7)

8)

9)

10)

45


II) INTEGRALES INDEFINIDAS Y LAS ECUACIONES DIFERENCIALES CON VALORES INICIALES:

1) LA VELOCIDAD DE UN MÓVIL EN EL INSTANTE “T” ESTA DADO POR V=AT DONDE A = CONSTANTE. SI LA POSICIÓN DEL CUERPO EN EL INSTANTE T=0 ES SO, HALLAR “S” EN FUNCIÓN DE “T”:

PARA :

2) HALLAR LA CURVA QUE PASA POR EL PUNTO (1,-1) Y CUYA PENDIENTE EN EL PUNTO (X, Y) EX 3X2 :

DE LA CONDICIÓN SE TIENE:

DE DONDE:

46


SE REEMPLAZA:

3) HALLASE LA ECUACIÓN DE LA CURVA CUYA PENDIENTE EN EL PUNTO (X, Y) ES 3X2 + 2, SABIENDO QUE PASA POR EL PUNTO (1,-1):

DE LA CONDICIÓN SE TIENE:

DE DONDE:

SE REEMPLAZA:

4) POR EFECTO DE PÉRDIDAS, UN CONDENSADOR ELÉCTRICO SE DESCARGA CON UNA VELOCIDAD PROPORCIONAL A SU CARGA .SI “R” TIENE EL VALOR “RO” EN EL INSTANTE T=0 .HALLAR “Q” EN FUNCIÓN DE “T”:

47


5) EN CADA UNO DE LOS SIGUIENTES PROBLEMAS HALLESE LA FUNCIÓN “S” DE LA VARIABLE INDEPENDIENTE “T”, CONOCIDA LA VELOCIDAD V=DS/DT, ASI COMO LA CONSTANTE DE INTEGRACIÓN PARA QUE SE TENGA S=SO EN T=0:

A)

B)

C)

D)

48


E)

F)

6) EN CADA UNO DE LOS PROBLEMAS SIGUIENTES HALLASE LA VELOCIDAD “S” QUE DETERMINA LA POSICIÓN DEL MÓVIL COMO FUNCIONES DEL TIEMPO “T”, CUANDO SE CONOCE LA ACELERACIÓN A=DV/DT.HALLAR LA CONSTANTE DE INTEGRACIÓN PARA QUE SE TENGA V=VO ,Y S=SO PARA T=0:

A)

49


B)

C)

50


D)

51


E)

F)

52


7) RESUELVA LAS SIGUIENTES ECUACIONES CON LAS CONDICIONES INICIALES QUE SE INDICA:

A) PARA

53


B) PARA

C) PARA

D) PARA

54


E) PARA

F) PARA

55


III) INTEGRACION Y FUNCIONES HIPERBOLICAS (CABLES SUSPENDIDOS):

1) PROBAR QUE ES SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL:

CON /H, W SON CONSTANTES.

56


=

2) RESOLVER LA ECUACIÓN DIFERENCIAL:

CUYAS CONDICIONES SON:

, PARA

3) PRUÉBESE QUE LA TENSIÓN DEL CABLE EN EL PUNTO P(X, Y) DE LA FIGURA ADJUNTA ESTA DADA POR T=W.Y:

4) LA LONGITUD DEL ARCO AP DE LA FIGURA ANTERIOR ES

.PROBAR QUE LAS COORDENADAS P(X, Y) SE PUEDEN EXPRESAR COMO FUNCIONES DE LA LONGITUD DEL ARCO “S” EN LA FORMA SIGUIENTE

,

5) CALCULAR Y DEL PROBLEMA ANTERIOR Y COMPRUÉBESE QUE

6) UN CABLE DE 32M DE LONGITUD, CUYO PESO ES 2KG/M, TIENE SUS EXTREMOS FIJOS EN LOS PUNTOS AL MISMO NIVEL SOBRE DOS POSTES SEPARADOS 30M.

57


IV) PROBLEMAS PROPUESTOS:

1) RESOLVER LAS SIGUIENTES ECUACIONES DIFERENCIALES:

A)

B)

C)

D)

E)

58


2) UNA PARTÍCULA SE MUEVE A LO LARGO DEL EJE X CON ACELERACIÓN A=T2, HALLÁNDOSE EN EL ORIGEN EN EL INSTANTE T=0.EN EL TRANSCURSO DE SU MOVIMIENTO LA PARTÍCULA LLEGA AL PUNTO X=B /B>0, PERO NO TRANSPONE B.HALLESE SU VELOCIDAD EN T=0:

VELOCIDAD EN T=0:

3) UNA PARTÍCULA SE MUEVE CON UNA ACELERACIÓN , SUPONIENDO

QUE V=2 Y S=5 PERA T=0, HALLASE:

59


A) LA VELOCIDAD V EN FUNCIÓN DE T.

B) EL ESPACIO S EN FUNCIÓN DE T.

60


4) LA VELOCIDAD DE UNA PARTÍCULA, SOMETIDA A LA ACELERACIÓN 3+2T, EN EL INSTANTE T=0 VALE 4.HALLASE SU VELOCIDAD EN FUNCIÓN DEL TIEMPO Y LA DISTANCIA ENTRE LAS POSICIONES DE LA PARTÍCULA EN LOS INSTANTES T=0 T=4:

PARA T=0 LA VELOCIDAD ES 4:

SE REEMPLAZA Y SE OBTIENE LA VELOCIDAD EN FUNCIÓN DEL TIEMPO:

HALLAMOS LA DISTANCIA ENTRE POSICIONES DE LA PARTÍCULA EN LOS INSTANTES T=0 T=4:

PARA T=0:

61


PARA T=4:

DISTANCIA:

5) LA ATRACCIÓN EJERCIDA POR LA TIERRA SOBRE UNA PARTÍCULA DE MASA “M” A LA DISTANCIA “S” DEL CENTRO, ESTÁ DAD POR F=M.G. R2. S-2, EN DONDE R ES EL RADIO DE LA TIERRA Y F ES NEGATIVA PORQUE ACTÚA DE FORMA “S” DECRECE.SI UNA PARTÍCULA SE LANZA VERTICALMENTE HACIA ARRIBA DESDE LA SUPERFICIE DE LA TIERRA CON VELOCIDAD INICIAL , APLÍQUESE

LA SEGUNDA LEY DE NEWTON F=M.A, TAL QUE , PARA PROBAR QUE

Y QUE .

NOTA: =VELOCIDAD DEL ESCAPE EN LA SOLUCIÓN SE DESPRECIA LA RESISTENCIA OPUESTA POR EL AIRE.

DE DONDE:

62


REEMPLAZANDO EN:

PRÁCTICA Nº5

POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA, CALCULAR LAS SIGUIENTES INTEGRALES:

1.-SOL:

2.-SOL:

63


3.-

SOL:

4.-

SOL:

5.-

SOL:

64


6.-

SOL:

7.-

SOL:

8.-

SOL:

65


9.-

SOL:

10.-

SOL:

11.-

SOL:

66


12.-

SOL:

13.-SOL:

14.-SOL:

67


15.-

SOL:

16.-

SOL:

17.-

SOL:

68


18.-

SOL:

19).-

SOL:

20).-

SOL:

69


21).-

SOL:

22).-

SOL:

23).-

SOL:

70


24).-

SOL:

25).-

SOL:

26).-

SOL:

71


27).-

SOL:

28).-SOL:

72


29).-

SOL:

73


30).-

SOL:

74


PRACTICA Nº 6

A) CALCULAR LAS SIGUIENTES INTEGRALES RACIONALES:

1.-

SOLUCIÓN:

LUEGO:

2.-

SOLUCIÓN:

LUEGO:

75


3.-

SOLUCIÓN:

LUEGO:

4.-

SOLUCIÓN:

LUEGO:

5.-

SOLUCIÓN:

76


6.-

SOLUCIÓN:

7.-

SOLUCIÓN:

77


8.-

SOLUCIÓN:FALTA

9.-

SOLUCIÓN:

10.-

SOLUCIÓN:

LUEGO:

78


11.-

SOLUCIÓN:

12.-

SOLUCIÓN:

79


13.-

SOLUCIÓN:

15.-

SOLUCIÓN:

80


16.-

SOLUCIÓN:

RESOLVIENDO I:

RESOLVIENDO II:

SUMANDO

81


17.-

SOLUCIÓN:

18.-

SOLUCIÓN:

82


19.-

SOLUCIÓN:

20.-

SOLUCIÓN:

83


21.-

SOLUCIÓN:

22.-

25

722 xx

dxx

SOLUCIÓN:

23.-

SOLUCIÓN:

84


24.-

SOLUCIÓN:

25.-

SOLUCIÓN:

85


26.-

SOLUCIÓN:

LA INTEGRAL I. LO DESARROLLAMOS POR EL MÉTODO DE REDUCCIÓN

27.-

SOLUCIÓN:

28.-

86


SOLUCIÓN:

29.-

SOLUCIÓN:

30.-

SOLUCIÓN:

87


31.-

SOLUCIÓN:

32.-

SOLUCIÓN:

33.-

SOLUCIÓN:

88


34.-

SOLUCIÓN:

35.-

SOLUCIÓN:

36.-

SOLUCIÓN:

89


37.-

SOLUCIÓN:

B) CALCULAR LAS SIGUIENTES INTEGRALES RACIONALES DE SENO Y COSENO.

1.-

SOLUCIÓN:

90


,

2.-

SOLUCIÓN:

3.-

SOLUCIÓN:

4.-

SOLUCIÓN:

5.-

SOLUCIÓN:

91


6.-

SOLUCIÓN:

7.-

SOLUCIÓN:

COMO:

8.-

92


SOLUCIÓN:

9.-

SOLUCIÓN:

SEA

10.-

SOLUCIÓN:

SEA

11.-

SOLUCIÓN:

SEA

93


12.-

SOLUCIÓN:

SEA

13.-

SOLUCIÓN:

SEA

14.-

SOLUCIÓN:

94


HACIENDO

15.-

SOLUCIÓN:

95


16.-

SOLUCIÓN:

17.-

SOLUCIÓN:

SEA

18.-

SOLUCIÓN:

96


19.-

SOLUCIÓN:

C) CALCULAR LAS SIGUIENTES INTEGRALES IRRACIONALES

1.-

SOLUCIÓN:

SEA COMO

2.-

SOLUCIÓN:

SEA

COMO Z ADEMÁS

3.-

SOLUCIÓN:

97


SEA COMO

4.-

SOLUCIÓN:

SEA ADEMÁS

5.-

SOLUCIÓN:

SEA ADEMÁS

6.-

SOLUCIÓN:

SEA

98


7.-

SOLUCIÓN:

SEA

8.-

SOLUCIÓN:

SEA

99


DONDE

9.-

SOLUCIÓN:

SEA

100


10.-

SOLUCIÓN:

11.-

SOLUCIÓN:

RESOLVIENDO

101


12.-

SOLUCIÓN:

13.-

SOLUCIÓN:

SEA

102


14.-

SOLUCIÓN:

HACEMOS

15.-

SOLUCIÓN:

SEA:

103


PRACTICA 7

104


A) POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA, CALCULAR LAS SIGUIENTES INTEGRALES:

1.-

SOLUCIÓN:

APLICANDO LA SUSTITUCIÓN DEL CASO:

SE TOMA LA FUNCIÓN:

ADEMÁS:

AHORA HACEMOS LAS SUSTITUCIONES:

2.-

SOLUCIÓN:

105


3.-

SOLUCIÓN:

SI :

, SI

SI CAMBIO DE VARIABLE SE CUMPLE

4.-

SOLUCIÓN:

106


HACIENDO

5.- DEMOSTRAR

SOLUCIÓN:

SI :

107


SI SUSTITUCIÓN SE CUMPLE

6.-

SOLUCIÓN:

7.-

SOLUCIÓN:

108


8.-

SOLUCIÓN:

9.-

SOLUCIÓN:

109


10.-

SOLUCIÓN:

11.-

SOLUCIÓN:

12.-

SOLUCIÓN:

110


13.-

SOLUCIÓN:

14.-

SOLUCIÓN:

111


15.-

SOLUCIÓN:

B) CALCULAR LAS SIGUIENTES INTEGRALES RACIONALES:

112


1)

2)

113


3)

4)

5)

114


EL SISTEMA DE ECUACIONES

6)


115


DONDE:

REEMPLAZANDO

7)


116


8)


REEMPLAZANDO

9)

117


SISTEMA DE ECUACIONES

REEMPLAZANDO

10)


118


11)


119


12)


13)


120


14)


15)

121



REEMPLAZANDO

(POR FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS)

2I

122


ENTONCES

16)

123


REEMPLAZANDO:

REEMPLAZANDO:

17)


124


REEMPLAZANDO LOS VALORES

18)

125


REEMPLAZANDO:

19)

20)

126


21)

22)

23)

127


C) CALCULAR LAS SIGUIENTE INTEGRALES IRRACIONALES

1.-

SOLUCIÓN:

2.-

SOLUCIÓN:

SEA

CALCULANDO LOS VALORES DE SE TIENE:

128


3.-

SOLUCIÓN:

4.-

SOLUCIÓN:

DERIVANDO

EL SISTEMA DE ECUACIONES:

129


5.-

SOLUCIÓN:

(MULTIPLICANDO )


REEMPLAZANDO

6.-

SOLUCIÓN:FALTA

7.-

SOLUCIÓN:

AHORA APLICANDO CHEBICHEV

130


LUEGO

8.-

SOLUCIÓN:

SEA SE ELEVA AL CUADRADO

REEMPLAZANDO


131


9.- SOLUCIÓN:


REEMPLAZANDO

DONDE

10.- SOLUCIÓN:

132


COMO

11.-

SOLUCIÓN:

, APLICANDO CHEBICHEV

NO ES UN NÚMERO ENTERO.

ES UN NÚMERO ENTERO.

SEA

...

(1)

133


POR IDENTIDAD DE POLINOMIOS SE TIENE:

...(2)

AHORA REEMPLAZANDO ESTOS VALORES DE (2) EN (1)

12.-

SOLUCIÓN:

SEA

13.-

SOLUCIÓN:

134


PRACTICA Nº 8

I) EFECTUAR COMO UNA INTEGRAL DEFINIDA EL LIMTE DE LAS

SIGUIENTES SUMAS:

1)

SOLUCIÓN:

SI X = 1/N, ENTONCES EL INTERVALO SE TIENE [0, 1]

=

ADEMÁS:

2)

135


SOLUCIÓN:

[A, B] = [1, 9]

,

3)

DONDE P ES PARTICIÓN DE

SOLUCIÓN:

4)

DONDE P ES PARTICIÓN DE

136


SOLUCIÓN

=

5)

SOLUCIÓN

=

=

DONDE:

6)

137


DONDE B > 0

SOLUCIÓN

DONDE:

7)

DONDE P ES UNA PARTICIÓN DE [2, 6]

SOLUCIÓN

SEA:

138


8)

DONDE P ES PARTICIÓN DE [-4, 12]

SOLUCIÓN:

SEA:

=

=

DONDE:

9)

DONDE P ES UNA PARTICIÓN

SOLUCIÓN

139


B)

SOLUCIÓN

II. INTEGRALES DEFINIDAS

1) HALLAR F’(X) SABIENDO QUE:

A.

B.

140


C.

D.

E.

F.

2) HALLAR F(X) SABIENDO QUE F ES CONTINUA X R Y

SOLUCIÓN:

DERIVANDO AMBOS MIEMBROS:

141


3) CALCULAR LA INTEGRAL DEFINIDA DE:

SOLUCIÓN:

SEA:

4) CALCULAR LA INTEGRAL DEFINIDA DE

SOLUCIÓN:

POR DEFINICIÓN DE VALOR ABSOLUTO SE TIENE QUE:

Y

ENTONCES:

142


5) MEDIANTE LA DEFINICIÓN DE INTEGRAL DEFINIDA COMO UN LÍMITE,

CALCULAR:

A)

SOLUCIÓN:

REEMPLAZANDO EN LA INTEGRAL SE TIENE:

POR TANTO:

143


B)

SOLUCIÓN:

REEMPLAZANDO EN LA INTEGRAL SE TIENE:

POR TANTO:

144

y

x

(2,4)

0

R

4


PRACTICA 9

1.

Y = 4X – X2

Y = 4 – (X - 2)2

145

y

x-2 0

R

2

4

y

x-9 0R

x=3y 2-9

y=1

3

3y

xa0

R

3a

y =


2.

Y = 4 – X2

3. X = 3Y2 – 9 , Y = 0, Y = 1 Y X = 0

4.

146

y

xa0 R 2a


XY = M2 Y =

A(R) = M2LN 3A - M2 LN A = M2 LN 3 U2

5.

147

y

x20

R

3

g

y = 9 - x 2

-3

y

x0

R

2

y2 = x + 1

-1


6.

7.

CALCULANDO LOS PUNTOS DE INTERSECCIÓN

148

y

x0

R

2

y

x0

3

-3


8.

= 14, 11 U2

9.

2x + y = 6

4x - y = 3

149

R

ex

e-x

1

1


Y = - X2 + 4X – 3

L1: Y – 0 = -2 (X - 3) = 2 X + Y = 6

Y = - X2 + 4X – 3

L2: Y + 3 = 4 (X - 0) = 4 X - Y = 3

10.

=

11.

150

y

x0.70

y

x0

y = x

A1

A2


=

12.

CALCULAMOS EL PUNTO MÁXIMO

Y = X E–X2

1 – 2X2 = 0 X = 0.7

13.

y = x e–x2

151

y = -2 x

y = 2 x x =

A1

x

1

4

0

-4


Y = X =

CUANDO X Y = 0

LUEGO Y = 0 ES AL ÚNICA ASINTOTA.

A(R) = A1 + A2 = 2 A2

14.

152

-12-7

2

- 2

x


X2 – Y2 = 3 XY = 2 Y = 4

4X =

GRAFICANDO

PARA X = 2, Y = 1 POR SIMETRÍA SE TIENE AR = 4R1

15.

153

y

x0

3

y = x2

y = x3

3


PARÁBOLA DE V (2, 0)

PARÁBOLA DE V (-7, 0)

=

16.

154

1 e x 0

A(R)

y = ln2x

y = ln xx


18.

LN X (LN X - 1) = 0

LN X = 0 LN X = 1

X = E0 X = E1

X = 1 X = E

= (3 - E) U2

155

-2 -1 0

(-1, -4)

x

y

R

R

y

x-2 2

g


19.

A)

Y = X2 – 2X – 3

Y = (X - 1)2 – 4, X = -2 X = 0

B)

Y = - X2 + 9, Y = X2 + 1

= 32 U2

156


157


PRACTICA Nº 10

I) VOLUMEN1) Calcular el volumen del sólido obtenido al hacer girar alrededor del eje X,

la región limitada por las gráficas y = x², y = , x = 2.

Solución

Se cortan en (0, 0) y (1, 1)

2) Encontrar por integración el volumen de un cono circular recto de altura h

unidades y de radio de la base “a” unidades.

Solución:

Sabemos que:

170


Derivando se tiene:

Entonces:

3) Determinar el volumen del sólido de revolución generado al hacer girar

alrededor del eje X, la región limitada por el eje X y la curva

y = -x² + 2x + 3

Solución:

Completando cuadrados se tiene

y = -x² + 2x + 3 y = - (x² - 2x – 3 + 1 - 1)

y = - (x – 1)² + 4 y – 4 = - (x – 1)² que es una parábola de vértice V(1, 4)

Para y = 0 x² - 2x + 3 = 0 x = -1 , x = 3

171


4) Encontrar el volumen del sólido generado por la rotación de la región

entre las curvas y = x² + 4 e y = 2x² alrededor del eje X.

Solución

y = x² + 4 ; y = 2x²

x² + r = 2x² x² = 4 | x | = 2

5) Hallar el volumen del paraboloide de revolución si el radio de su base es

R y su altura es H.

Solución

La ecuación de la parábola es x² = ky como x = R, y = H

172


6) Encontrar el volumen cuando el área plana encerrada por y = -x² -3x +6,

y, x + y – 3 = 0 gira alrededor de y = 0.

Solución

y = - x² - 3x + 6

173


7) Encontrar el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje X la

región acotada por la curva y = x³ y las rectas y = 0, x = 2

Solución

Reemplazando el valor de y

se tiene:

8) Encontrar el volumen del sólido generado al rotar la región del ejercicio

anterior alrededor del eje Y.

Solución.

174


9) Hallar el volumen del sólido engendrado haciendo girar alrededor del eje

OX, la superficie limitada por la curva y las rectas x = 0, y

= 0.

Solución

Sabemos que:

Luego:

175


10) Calcular el volumen del sólido que genera la circunferencia x² + (y – 3)² =

1 al girar alrededor del eje X.

Solución

176


II. INTEGRALES IMPROPIAS

1) Determinar si las siguientes integrales impropias es convergente o

divergente:

a.

b.

177


c.

d.

178


e.

f.

g.

h.

179


i.

j.

k.

180


l.

2) Hallar el área de la figura comprendida entre la curva de agnesi

y el eje de abcisas.

Solución

Como la gráfica de la curva es simétrica respecto al eje Y, se tiene:

181


3) Hallar el área de la figura limitada por la cisoide y su

asíntota x = 2a (a > 0)

Solución

; x = 2a a >

0

4) Calcular el área de la región limitada por las curvas ,

.

Solución

182


5) Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar la superficie limitada

por las líneas y = ex , x = 0 e y = 0 alrededor del eje X

Solución

183


6) Determinar el volumen de revolución engendrado al girar la curva

alrededor del eje X.

Solución

7) Hallar el volumen del cuerpo que

se engendra al girar la cisoide

alrededor de su

asíntota x = 2a.

Solución

184


185


III. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES PARAMETRICAS1) Hallar el área contenida en el interior de la astroide x = a cos³ t, y = b

sen³ t.

Solución

Aplicando la simetría, el área de la región está dado por:

2) Hallar el área de la región bajo un arco de la curva x = at, y = a(1–cos t)

Solución

186


3) Hallar el área limitada por la cicloide dada por x(t) = a(t – sen t), y(t) =

a(1 – cos t), y por el eje X entre dos puntos sucesivos de intersección con

el eje X.

Solución

187


4) Hallar el área de la región limitada por la cardioide

Solución

Sabiendo que:

5) Hallar la longitud del arco de la curva x = t³, y = t² desde t =0 hasta t=4.

Solución

188


6) Hallar la longitud de la cicloide

Solución:

7) Calcular el área de la superficie por la rotación alrededor del eje X, del

arco de la curva x = et sen t, y = et cos t desde t = 0 hasta t =

Solución

189


8) Hallar el área de la superficie generada por la rotación alrededor del eje

Y, del arco de la curva

Solución

calculando sus derivadas se tiene:

9) Hallar la superficie engendrada al girar la elipse alrededor

del eje OX

Solución

190


10) Calcular el área de la superficie obtenida al rotar un arco comprendido de

la cicloide alrededor de la tangente a la cicloide

en su punto mas alto.

Solución

Un arco completo de la cicloide se obtiene cuando t varía desde 0 hasta 2

en donde el punto más alto en este intervalo es cuando:

Luego la ecuación de la tangente es y = 2ª. Como la distancia del punto

(x,y) de la cicloide a la recta tangente es (2a-y) por lo tanto el área pedida

es:

Sabemos que:

191


IV. COORDENADAS POLARES

A)

1) x² + y²+ 4x = 0

r² + 4r cos = 0 r²= -4 r cos

2) x² + y²+ 4x + 4y = 0

r² + 4r (cos + sen ) = 0 r²= -4 ( cos + sen )

3) x² = 6y - y²

r² = 6 r sen

4) x³ = 4y² r² cos³ = 4r² sen²

5) (x² + y²) = 4(x² - y²)

r4 =4r²(cos 2)

r2 =4 (cos 2)

6) x³ = 3axy - y³

r³ (cos³ + sen³ ) = 3ar²cos sen

3ar²cos sen

192


r³ = ----------------------- (cos³ + sen³ )

B)

1) r = a (1 + cos )

2) r² =5 cos 2

3) r = 2 sen 3

193


4) r = a (1 – 2 cos )

5)

194


6) r = 3 cos 2

7) r = 2 – 2 sen

8) r = 2 [0, 2 ]

195


C) Áreas y volúmenes1) r = a (1 + cos )

2) r = 2ª cos 3, r = a

3) r = a cos²

196


4) r² = 9 cos 2

5) r² = a² sen 4

197


6) r = a

7) r = a (1 + cos )

198


8) parte de la parábola

199

calculo integral

Documents

Calculo Integral Calculo Integral

Calculo integral

CÁLCULO INTEGRAL CALCULO INTEGRAL CALCULO INTEGRAL