cálculo ii - site

8/7/2019 Cálculo II - SITE

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GHLGVLO KK

HvzoyBhcofl Ifcfjkzo Wfyyh jh Gowzh

9080



Gowzh, Bhcofl Ifcfjkzo Wfyyh jh / Ghlgvlo KK ‗ Jvxvf jf Ghtkhw1

Fwgolh Zëgckgh Hzfcf~, 9080#79 p#

8#¡ kbpyfwwço

Hl1 Myhcgkwgo jf Bkyhcjh, lz10; ‗ xj108Ahyjkb Pykbh}fyh ‗ Jvxvf jf Ghtkhw ‗ YA

96#986 ‗ :96~~~#hzfcf~#gob#iy



ÂCJKGF

KZFB P È N #

YFLHÎÇO JF PKZÈNOYHW """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" 0:HPLKGHÎÖFW JH YFLHÎÇO JF PKZÈNOYHW """"""""""""""""""""""""""""""""""""" 0=

Ftfbplow pyèzkgow """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" 0=

Pyogfjkbfczow """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" 0=

YFLHÎÖFW ZYKNOCOBËZYKGHW CO ZYKÉCNVLO YFZÉCNVLO """""""""" 0>

Dkpozfcvwh """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" 04

Ghzfzo opowzo """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" 04

Ghzfzo hjahgfczf """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" 04

Wfco """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" 04

Go"wfco """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" 0;

Zhcnfczf """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" 0;

Go"zhcnfczf """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" 80

HPLKGHÎÇO PYÈZKGH """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" 8:

YFLHÎÖFW ZYKNOCOBËZYKGHW """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" 8>Zhiflh 4#8 """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" 8>

Zhiflh 4#9 """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" 84

Zhiflh 4#7 """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" 8;

Zhiflh 4#: """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" 90

FTFYGÂGKOW ‗ YFLHÎÖFW JF PKZÈNOYHW """""""""""""""""""""""""""""""""""""" 98

YFMFYFCGKHKW IKILKONYHMKGHW """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" 94



ZYKNOCOBFZYKH

YFLHÎÇO PKZÈNOYHW#

Co zykécnvlo yfzécnvlo, o lhjo opowzo ho écnvlo yfzo $o bhkoy+ yfgfif o cobf jf dkpozfcvwh, fow ovzyow jokw lhjow gdhbhb ghzfzow#

H yflhîço fczyf h dkpozfcvwh f ow ghzfzow co zykécnvlo yfzécnvlo ë1O xvhjyhjo jh bfjkjh jh dkpozfcvwh ë knvhl è wobh jow xvhjyhjow jhw bfjkjhw jow ghzfzow#

h¹ 2 i¹ % g¹ ov

h 2 ∑i¹ % g¹

Ocjf1

h9 2 6¹ 2 96

g¹ 2 :¹ 2 8=

i¹ 2 7¹ 2 ;

96 2 8= % ;

YFWVLZHJO1

h 2 bfjkjh jh dkpozfcvwh _

h¹ 2 i¹ % g¹ h 2∑ i¹ % g¹

i 2 bfjkjh jo ghzfzo bfcoy _ i¹ 2 h¹ " g¹ i 2 ∑ h¹

" g¹

g 2 bfjkjh jo ghzfzo bhkoy _ g¹ 2 h¹ " i¹ g 2 ∑ h¹" i¹

h $dkpozfcvqh+i $ghzfzo+

g $ghzfzo+

8 9 7

=6:

> 4 ;

798 :

6 = 4>

; 80 88 89

87 8: 8=86

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ih

h " g

9

9

h " i99

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i % g



8

900

:60

990 8

990

896

T

Hplkghîöfw jh yflhîço jf Pkzènoyhw#

Fb yflhîço how gèlgvlow jf jkhnochkw, hlzvyhw f lhjow jf polânocow#Cow zyhihldow jf omkgkch, gobo boczhnfcw f gocwzyvîço#Ch zyhîhnfb jf pfîhw nyhcjfw#

Ftfbplow pyèzkgow1

Vwh"wf h yflhîço jf Pkzènoyhw ch jfzfybkchîço jh gozh jf fwxvhjyfahbfczo phyh pfîhw nyhcjfwwoljhjhw ov joiyhjhw#

Flh pojf wfy vwhjh zhbiëb ch jfzfybkchîço jf gozhw cço fwpfgkmkghjhw fb jfwfcdow#

Pyogfjkbfczow1

#Fcgoczyhy o yfzécnvlo f jfwzhgè"lo5#Jkbfcwkocè"lo5#hplkghy h yflhîço jf Pkzènoyhw1

t¹ 2 $896bb+¹ % $990bb+¹

t 2 ∑$896 bb+¹ % $990 bb+¹

t 2 ∑ 86=96 bb % :4:00 bb

t 2 ∑ =:096 bb

t 2 967 bb

Pojf vwè"lh hkcjh ch jfzfybkchîço jh bfjkjh yfhl phyh zyhîhnfb



WOLZFYYH

FWZYFLH

890

700

T °

Yflhîöfw Zyknocobëzykghw co Zykécnvlo Yfzécnvlo

H zyknocobfzykh ë vbh phyzf jh bhzfbèzkgh hplkghjh ftzfcwk}hbfczf ch yfwolvîço jfpyoilfbhw jf Fcnfcdhykh f Hwzyocobkh, wfcjo jf fwpfgkhl kbpoyzécgkh cow lf}hczhbfczowzoponyèmkgow#Gob hplkghîço jf zyknocobfzykh, pojfb"wf bfjky lhynvyhw jf ykow fb zyfgdow kchgfwwâ}fkw,hlzvyhw jf pyëjkow f boczhcdhw f hzë bfwbo jkwzécgkh jf fwzyflhw#

Fb bfgéckgh, h zyknocobfzykh ë bvkzo vzklkqhjh ch jfzfybkchîço jf écnvlow f bfjkjhw jfhlnvbhw phyzfw gúckghw jf vbh pfîh xvhlxvfy# Phyh o pyoafzkwzh jf bèxvkchw f mfyyhbfczhw,goczyolhjoy jf xvhlkjhjf, wfyyhldfkyo, mvcklfkyo, ghljfkyfkyo, fzg# ë kcjkwpfcwè}fl o

gocdfgkbfczo jh zyknocobfzykh# Ë bvkzo gobvb o jfwfcdo fwpfgkmkghy wobfczf h bfjkjhbhkoy ov bfcoy f o gobpykbfczo jh pfîh# O pyomkwwkochl jf}f, fczço, ghlgvlhy o écnvlo jfkcglkchîço jfwwh pfîh phyh pojfy mhiykgè"lh, o xvf flf gocwfnvf gob hvtklko jh zyknocobfzykh#

Cow zykécnvlow, ftkwzfb zyáw lhjow f zyáw écnvlow, wfcjo xvf, co zykécnvlo yfzécnvlo, vb jflfwë jf ;0±# Xvhcjo wço gocdfgkjow bhkw jf vb écnvlo f h bfjkjh jf vb jow lhjow, pojfb wfghlgvlhy hw zyáw phyzfw yfwzhczfw#Fwwfw gèlgvlow wço ihwfhjow fb jfzfybkchjhw yflhîöfw ftkwzfczf fczyf ow lhjow f o écnvlo jozykécnvlo, xvf h zyknocobfzykh fwzhiflfgf#Poyzhczo, flh ë h phyzf jh bhzfbèzkgh xvf zyhzh jhw yflhîöfw fczyf ow écnvlow jo yfzécnvlo f

zhbiëb, jhw hplkghîöfw jfwwhw yflhîöfw ch yfwolvîço jf pyoilfbhw#



g

i h

I G

DkpozfcvwhGhzfzo

Ghzfzo

G

I

Hi 2 4,==

g 2 8 0

Dkpozfcvwh

O lhjo bhkoy jf vb zykécnvlo yfzécnvlo ë gdhbhjodkpozfcvwh f ow ovzyow jokw lhjow, ghzfzow#

Ghzfzo opowzo

Ë o lhjo jo zykécnvlo xvf cço pfyzfcgf ov cço mhqphyzf jo écnvlo fb xvfwzço#Ë o xvf fwzè jo lhjo goczyèyko ho écnvlo xvf wf yfmfyf#

GI ë o ghzfzo opowzo ho écnvlo H#HG ë o ghzfzo opowzo ho écnvlo I#

Ghzfzo hjahgfczf

Ä o lhjo xvf, avczhbfczf $hjahgfczf+

gob h dkpozfcvwh, moybh o écnvlo fb xvfwzço#

GI ë o ghzfzo hjahgfczf ho écnvlo I#HG ë o ghzfzo hjahgfczf ho écnvlo H#

Wfco

Fb xvhlxvfy zykécnvlo yfzécnvlo, xvhcjo wf xvfy jfzfybkchy vb jow écnvlow, h yflhîço joghzfzo opowzo gob fwwf écnvlo f h dkpozfcvwh záb o cobf jf wfco $wfc+#

Jfzfybkchy o wfco jow écnvlow H f I jo zykécnvlo#

I

i h

Gg

H

Ghzfzo opowzodkpozfcvwh

ig

2 24,==

802 0,4==Wfc# I 2

Ghzfzo opowzodkpozfcvwh

hg2 2

6

802 0,6Wfc# H 2



G

I

Hi 2 4,==

g 2 8 0

G

I

Hi 2 4,==

g 2 8 0

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H yflhîço jo ghzfzo hjahgfczf gob h dkpozfcvwh zfb o cobf jf go"wfco $Gow#+#

Jfzfybkchy o go"wfco jow écnvlow H f I jo zykécnvlo#

Zhcnfczf

H yflhîço jo ghzfzo opowzo gob o ghzfzo hjahgfczf zfb o cobf jf zhcnfczf $zn#+#

ig

2 24,==

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Ghzfzo hjahgfczfdkpozfcvwh


Gow# I 2hg

2 26

802 0,6

Gow# H 2



G

I

Hi 2 4,==

g 2 8 0

Jfzfybkchy h zhcnfczf jow écnvlow H f I jo zykécnvlo#

Go"zhcnfczf

H yflhîço jo ghzfzo hjahgfczf gob o ghzfzo opowzo zfb o cobf jf go"zhcnfczf $gozn+# Wf fbvb zykécnvlo yfzécnvlo Moyfb jhjow 9 écnvlow f h bfjkjh jf vb jow lhjow, pojf ‗wf ghlgvlhyo yfwzhczf, vwhcjo"wf hw bfwbhw yflhîöfw fwzvjhjhw# Co ftfbplo jh py÷tkbh pènkch, gobo wfzfb h bfjkjh jh dkpozfcvwh jf}f"wf fbpyfnhy vbh jhw mvcîöfw xvf h fc}ol}f5 poyzhczo, pojf

wfy wfco ov pflo go"wfco#Phyh go"zhcnfczf 8, o écnvlo goyyfwpocjfczf ë jf :6°#

Jfzfybkchy h gozn jow écnvlow H f I jo zykécnvlo#

Zn# I 2 Ghzfzo opowzoGhzfzo hjahgfczf 2 ih 2 4,==6 2 8,>79

hi

2 26

4,==2 0,6>>

Ghzfzo opowzo

Ghzfzo hjahgfczfZn# H 2

Goz# I 2Ghzfzo hjahgfczf

Ghzfzo opowzo2

hi

26

4,==2 0,6>>

ih

2 2 4,==6

2 8,>79Ghzfzo hjahgfczfGhzfzo opowzo

Gozn# H 2



g 2 8 0 0

h 2

t

i 2 {

I

G H

=0°

Vzklkqhcjo o wfco1

Gobplfzhy ow écnvlow f hw bfjkjhw jo zykécnvlo yfzécnvlo hihkto#

Whif"wf xvf h wobh jow écnvlow jf vb zykécnvlo ë wfbpyf 840°

Fczço, o écnvlo H 2 840° " $;0° % =0°+H 2 840° " 860°H 2 70°

Pyogvyhy ch zhiflh o wfco H $70°+Wfco 70° 2 0,6∺∺∺∺h 2 800 t 0,6 2 60

h 2 60

Hnoyh w÷ mhlzh jfzfybkchy o lhjo I$pflo go"wfco+

Pyogvyhy ch zhiflh o gow H $70°+Gow 70° 2 0,4==∺∺∺∺i 2 800 t 0,4=,=i 2 4=,=

hg

2 2h

800

Ghzfzo opowzo

DkpozfcvwhWfc# H 2

Wfc# H 2h

800h 2 800 t Wfb# H

3

ig

2 2i

800


Gow# H 2



Mkchlbfczf o zykécnvlo mkgh gob hw wfnvkczfw bfjkjhw1

uh $IG+ 2 60i $HG+ 2 4=,=g $HI+ 2 800

Gobo mok }kwzo co ftfbplo hczfykoy, ë cfgfwwèyko xvf wf zfcdh vbh zhiflh phyh wf fcgoczyhywfco, go"wfco, zhcnfczf f go"zhcnfczf f, phyh kwwo ë cfgfwwèyko zhbiëb xvf whkih gocwvlzhy hzhiflh#

Gobo gocwvlzhy hw zhiflhw jf wfco, go"wfco, zhcnfczf f go"zhcnfczf

O pyogfjkbfczo wfyè wfbpyf o bfwbo phyh o vwo jfzhldhjo jhw zhiflhw jf wfco, go"wfco,zhcnfczf f go"zhcnfczf#

Pykbfkyo ghwo1Jhjo vb écnvlo, hgdhy o }hloy jo wfco#Ftfbplo1 Fcgoczyhy o }hloy jo wfco jf 74°90‛#Zobh"wf h zhiflh jow wfcow f, ch pykbfkyh golvch }fyzkghl, à fwxvfyjh, pyogvyh"wf o lvnhygoyyfwpocjfczf h 74°#

Jfpokw, jfwlkqh"wf o jfjo doykqoczhlbfczf hzë h golvch xvf, ch phyzf jf gkbh, bhygh 90‛#O cñbfyo xvf hâ wf fcgoczyh $0,=909:+ f‛ o wfco jf 74°90‛#

Wfco jf 0± h :6±

NyhvwBkcvzow

0 80 90 70 :0 60

0 0,00 00 0,009 ;8 0,006 49 0,004 >7 0,088 =: 0,08: 6:

8 0,08> :6 0,090 7= 0,097 7= 0,09= 84 0,09; 04 0,078 ;;

74 0,=86 == 0,=8> ;6 0,=90 9: 0,=99 68 0,=9: >; 0,=9> 0=

7; 0,=9; 79 0,=78 64 0,=77 47 0,=74 79 0,=74 79 0,=:0 6=

H 2 70°I 2 =0°G 2 ;0

Écnvlow



Wfnvcjo ghwoJhjo o }hloy jo wfco, fcgoczyhy o }hloy jo écnvlo#Ftfbplo1 Fcgoczyhy o }hloy jo écnvlo gvao wfco ë 0,7==60#Zobh"wf h zhiflh jf wfcow f pyogvyh"wf o cñbfyo jhjo $0,7==60+, xvf ë mhgklbfczffcgoczyhjo, pokw ow }hloyfw wfbpyf fwzço fb oyjfb gyfwgfczf $ghwo jow wfcow f zhcnfczfw+ ovjfgyfwgfczf $ghwo jow go"wfcow f go"zhcnfczfw+#]fykmkgh"wf xvf flf fwzè wkzvhjo ch golvch doykqoczhl goyyfwpocjfczf h 98° f, ch golvch

}fyzkghl goyyfwpocjfczf h 70‛#

Wfco jf 0± h :6±

NyhvwBkcvzow

0 80 90 70 :0 60

0 0,00 00 0,009 ;8 0,006 49 0,004 >7 0,088 =: 0,08: 6:

8 0,08> :6 0,090 7= 0,097 7= 0,09= 84 0,09; 04 0,078 ;;

9 0,07: ;0 0,07> 48 0,0:0 >8 0,0:7 =9 0,0:= 67 0,0:; :77 0,069 7: 0,066 9: 0,064 8: 0,0=8 06 0,0=7 ;6 0,0== 46

8= 0,9>6 =: 0,9>4 :7 0,948 97 0,94: 09 0,94= 40 0,94; 6;

8> 0,9;9 7> 0,9;6 86 0,9;> ;7 0,700 >8 0,707 :4 0,70= 96

84 0,70; 09 0,788 >4 0,78: 6: 0,78> 70 0,790 0= 0,799 49

8; 0,796 6> 0,794 79 0,778 0= 0,777 48 0,77= 66 0,77; 9;

90 0,7:9 09 0,7:: >6 0,7:> :4 0,760 98 0,769 ;7 0,766 =6

98 0,664 6> 0,9=8 04 0,7=7 >; 0,7== 60 0,7=; 98 0,7>8 ;8

99 0,7>: =8 0,7>> 70 0,7>; ;; 0,749 =; 0,746 7> 0,744 06

97 0,7;0 >7 0,7;7 :8 0,7;= 04 0,7;4 >6 0,:08 :9 0,:0: 04

Gocglvk"wf, poyzhczo, xvf o écnvlo goyyfwpocjfczf ho wfco 0,7==60 ë 98± 70‛#



i

h g

G H

800

700

Ô 700

T

600

:00

Hplkghîço Pyèzkgh1

8# Jfzfybkchy o écnvlo jf gocwzyvîço jh pfîh hihkto#

Wolvîço1

Jfwzhghy o zykécnvlo"yfzécnvlo#

Jkbfcwkocè"lo#



=00

T

880°

i

hg

I

GH

Yfwol}á"lo#

Pojfbow ghlgvlhy gob xvhkwxvfy jhw mvcîöfw xvf fc}ol}hb ow jokw ghzfzow $zn ov gozn+# Coghwo, vzklkqhyfbow h zhcnfczf#

Gob fwwf }hloy, pyogvyhy ch zhiflh jf zhcnfczfw o écnvlo goyyfwpocjfczf#

T 2 84° 9=‛

9# Jfzfybkchy h gozh jf gocwzyvîço jo “gdhpëv gdkcáw‒ jfwfcdhjo hihkto#

Wolvîço1

Jfwzhghy o zykécnvlo"yfzécnvlo

2800

700

Ghzfzo opowzo

Ghzfzo hjahgfczfZn# T 2

Zn# T 2 0,777



7 6 °

T

700

Jkbfcwkocè"lo#

Yfwol}á"lo#

Zfbow vb lhjo jo zykécnvlo f xvfyfbow jfzfybkchy h dkpozfcvwh, pyfgkwhbow jf vbhmvcîço xvf fc}ol}h vb lhjo f h dkpozfcvwh#

Ghzfzo hjahgfczf

Go"wfco θθθθDkpozfcvwh 2

700

Go"wfco 76±Dkpozfcvwh 2

700

0,48;92

Dkpozfcvwh 2 7==,9 ∺∺∺∺T 2 7==,9



Yflhîöfw Zyknocobëzykghw#

Zhiflh 4#8Wfco jf 0± h :6±

NyhvwBkcvzow

Nyhvw0 80 90 70 :0 60 =0

0 0,0000 0,009; 0,0064 0,004> 0,088= 0,08:6 0,08>6 4;

897:

0,08>60,07:;0,06970,0=;4

0,090:0,07>40,06690,0>9>

0,09770,0:0>0,06480,0>6=

0,09=90,0:7=0,0=800,0>46

0,09;80,0:=60,0=:00,048:

0,07900,0:;:0,0==;0,04:7

0,07:;0,06970,0=;40,04>9

444>4=46

6 0,04>9 0,0;08 0,0;9; 0,0;64 0,0;4> 0,808= 0,80:6 4:=>4;

0,80:60,898;0,87;90,86=:

0,80>:0,89:40,8:980,86;7

0,88070,89>=0,8::;0,8=99

0,88790,87060,8:>40,8=60

0,88=80,877:0,860>0,8=>;

0,88;00,87=70,867=0,8>04

0,898;0,87;90,86=:0,8>7=

47494840

80 0,8>7= 0,8>=6 0,8>;: 0,8499 0,8468 0,8440 0,8;04 >;8889

878:

0,8;040,90>;

0,99600,9:8;

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0,99>40,9::>

0,8;=60,987=

0,970=0,9:>=

0,8;;:0,98=:

0,977:0,960:

0,90990,98;7

0,97=70,9679

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0,90>;0,9960

0,9:8;0,9644

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>=>686 0,9644 0,9=8= 0,9=:: 0,9=>9 0,9>00 0,9>94 0,9>6= >:8=8>848;

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0,9>4:0,9;690,78840,7947

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0,94=40,70760,79080,77=6

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90 0,7:90 0,7::4 0,7:>6 0,7609 0,769; 0,766> 0,764: =;9899979:

0,764:0,7>:=0,7;0>0,:0=>

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0,7=740,74000,7;=80,:890

0,7=>60,749>0,7;4>0,:8:>

0,7=;90,746:0,:08:0,:8>7

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88" Ghlgvlf h jkwzécgkh T, whifcjo xvf ow zyáw lhjow wço knvhkw#

89" Ghlgvlf h jkwzécgkh J jh pfîh hihkto#



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