calculo ii

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CONTENIDO DE CLCULO II REPASO:Diferenciales(Definicineinterpretacingeomtricayreglas(formulas)para definiciones) I) INTEGRAL INDEFINIDA: 1.Antidiferenciacin (antiderivada) constante de antidiferenciacin e integracin 2.Tablas de integrales inmediatas 3.MTODOS DE INTEGRACIN Sustitucin simple (completacin del diferencial) Producto notable Identidades trigonometricas Artificios matemticos Sustitucin trigonometrica (mtodo del triangulo) Fracciones impropias Completacin del cuadrado Potencias fraccionarias Completacin del diferencial compuesto Integracin por partes Integrales propias Integrales de la forma} }xdx xdx senm mcos ,Integrales de la forma} }xdx x sen xdx x senm n n mcos ; cosIntegrales de la forma} }xdx xdxm mcot ; tanIntegrales de la forma} }xdx xdxm mcsc ; secIntegrales de la forma} }xdx x xdx xn m n mcsc cot ; sec tanIntegrales de la forma } } }; cos , ; cos , cos ; , Bxdx senAx Bxdx Ax senBxdx senAxIntegrales por ngulo medio Integrales binomias II) COORDENADAS POLARES 1. Definicin 2. Direccin del radio polar 3. Sentido del argumento 4. Conversin de coordenada rectangular a polar y viceversa 5. Curvas especiales en coordenada polares 6. Grficas III) INTEGRAL DEFINIDA1.rea bajo la curva por sumatoria (suma riemman) 2. Definicin de integral definida (rea bajo la curva) 3. Teorema fundamental del clculo 4. Teorema del valor medio para las integrales5. Propiedades de la integral definida 6. Aplicaciones de la integral definida 6.1 rea bajo la curva; rea entre las curvas6.2 Volmenes de solid de revolucin6.3 Longitud de arco6.4 rea de superficie de revolucin 6.5 Centro geomtrico (centroide) 6.6 Centro de masa6.7 Momentos de inercia6.8 Trabajo, presin y fuerza IV) INTEGRALES IMPROPIAS: 1.Definicin2.Clase de integrales impropias3.Interpretacingeomtricas4.Clculos de integrales impropias V) INTEGRACIN NUMERICA: 1.Regla del trapecio2.Regla de simpson VI) FUNCIONES VECTORIALE S: 1.Definicin, operaciones, limit, derivadas e integrales. 2.Los 12 apstoles: vector posicin, vector velocidad, vector aceleracin, vector tangente, vectornormal,vectorbinormal,planonormal,planorectificador,planoosculador, curvatura, radio de curvatura, vector de curvatura. VII) CURVAS Y SUPERFICIES: 1.Definicin de curvas en R3 y de superficies 2.Coordenadas cilndricas y esfricas 3.Superficies cuadrticas: cilindro, elipsoide, cono, paraboloide, hiperboloide. TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS 1. } } } + = + dx x g dx x f dx x g x f ) ( ) ( ) ( ) (2. } }= dx x f K dx x Kf ) ( ) (3. }= C odx4. }+ = c x dx5.cnxdx xnn++=+}11 6. }+ = c xxdxln7.c xx xdxa+ =}logln 8.c e dx ex x+ =} 9. }+ = caadx axxln 10. }+ = c x senxdx cos11. }+ = c senx xdx cos12. }+ = c x xdx tan sec2 13. }+ = c x xdx cot csc2 14. }+ = c x xdx x sec tan . sec15. }+ = c x xdx x csc cot . csc16. }+ = c x xdx sec ln tan17. }+ = c x sen xdx ln cot18. }+ + = c x x xdx tan sec ln sec19. }+ = c x x xdx cot csc ln csc20. c x senxdx+ =}121 21. c xxdx+ =+}12tan1 22. c xx xdx+ =}12sec1 23. }+ = c x senhxdx cosh 24. }+ = c senhx xdx cosh 25. }+ = c x xdx h tanh sec2 26. }+ = c x xdx h coth csc2 27. }+ = c hx xdx hx sec tanh . sec 28. }+ = c hx xdx hx csc coth . csc 29. }+ = c x hx cosh ln tanh 30. }+ = c x senh x ln coth 31.c e hxdxx+ =}1tan 2 sec32. }+ + = c x hx hxdx coth csc ln csc INTEGRAL INDEFINIDA DIFERENCIALES Seay = f(x) una funcin continua en [a,b] definimos el diferencial de y, denotado dy as dy = F`(x) dx D [F(x)] = F`(x) dx ANTIDIFERENCIAL O ANTIDERIVADA (Integral Indefinida) Seay = f(x) una funcin continua en [a,b] y sea dy = F`(x) dx D [F(x)] = F`(x) dx su diferencial, definimos el antidiferencialde dy D [F(x)] denotado por D1 as: D1 (dy) = D1 | | dx x f ) ( =f(x) + C, siendo C la constante de antidiferenciacin. LanotacindeD1 tambinserepresentaconelsmbolo }llamadointegral;luegola antideferenciacin la podemos escribir as: }+ = c x f dx x f ) ( ) `( , conocida tambin como INTEGRAL INDEFINIDA donde }smbolo de la integral: F`(x) dx Integrando F(x) dx Integral Enresumenpodemosdecirquelaintegracineslaoperacinpormediodelacualsehallala funcin primitiva cuando se conoce su funcin derivada o su funcin diferencial MTODOS DE INTEGRACIN 1.SUSTITUCINSIMPLE:estemtodoconsisteenllevarlaintegraldada,alaformadelasintegralesqueseencuentranenlastablasinmediatasatravsdeunasustitucinyhayque tener en cuenta lo siguiente: a) Debe aparecer la funcin y su diferencial multiplicando b) Debe aparecer la funcin y su parte literal del diferencial multiplicando c) El diferencial la parte literal del diferencial siempre debe estar en el numerador. d) si aparece el argumento de la funcin y el diferencial del argumento es sustitucin simple e) si aparece el diferencial del argumento de la funcin f) si aparece la parte literal del diferencial del argumento de la funcin Una vez que reconozcamos que es sustitucin simple procedemos de la siguiente manera. 1)Hacemos la funcin igual a Z (cambio de variable) luego le hayamos el diferencial a esa Z y mas tarde lo remplazamos en la integral (Z,dz) 2)Siapareceeldiferencialporlaparteliteraldeldiferencialdelargumentohacemos Z=argumento y hayamos dz y luego lo remplazamos en la integral EJEMPLOS 1. }xdx senx cos .= }zdz= 22z+ C = 22senx + C Z= senx dz= cosxdx 2. }xtgxdx x sec . sec= }zdz = 22z+ C = 2sec2x+ C Z= secxdz = sex.tgxdx 3. }dxxLNX1.= }zdz= 22z+ C = 22X LN Z = LNX dz =dxx1

2.PRODUCTOSNOTABLES:sonaquellasintegralesquepararesolverlahayquedesarrollar esos productos notables. EJEMPLOS 1. } dx x x2 5) 3 (=dx x x x ) 9 3 (2 5+ } =dx x x x}+ 5 6 79 3 = ((

+ + Cx x x237386 7 8 2. } + dx x x ) 10 )( 10 (= } dx x ) 100 (2 =C xx+ +10033 3. }x dx x3) 3 (= } }+ + + = + + + dx x x x x dx x x x x ) 27 54 36 8 ( 27 54 36 8 (2 3 4 2 3 = ((

+ + + + Cxx xx22718 95823 45 3.IDENTIDADESTRIGONOMETRICAS:sonaquellasintegralesquepararesolverlashayque sustituirla por una identidad. EJEMPLOS 1. } } }+ + = = =+C x sen x xdxxdxx tgdx) 2 (4121cossec 122 2 2. } }+ = = C x dx x sen xdx senx ) 2 cos(21) 2 ( cos . 2

4. ARTIFICIOS MATEMTICOS: son aquellas integrales que para resolverla se tiene que hacer un truco matemtico. EJEMPLOS 1. } } } } } ((

+ =+=+=+ +=dxxsenxx xdx senxx sendx senxsenx senxdx senxsenxdx2 2 2 2cos cos1cos) 1 () 1 () 1 () 1 )( 1 () 1 (1 | |} }+ + = + =((

+ C x tgx tgxdx x x dxxsenxxx sec . sec seccos.cos1sec2 2 2.C ctgx x LN xdx + = csc csc 3. } } } }+((

+ = = =+ + =C x x dx xxdx x xx xdx x xxdx x23321) 1 () 1 ).( 1 () 1 ).( 1 () 1 ).( 1 (1) 1 ( 5.SUSTITUCINTRIGONOMETRICA:(mtododeltriangulo)sonaquellasintegralesdonde aparecenenelintegrandolassiguientesformas: 2 2x a + , 2 2x a , 2 2a x , a2 2x + , a2 2x ,2 2a x ypara resolverla se hacen las siguientes sustituciones:

tan u =ax x = a tan u dx = a2sec u du sec u =ax x =asec u dx=a secu tanu du 2 2x a sen u = ax x= a sen u dx=a cosu du 1)Las variables siempre hay que ponerlas en el CO (cateto opuesto) o en la hipotenusa, y la constante siempre va en el CA (cateto adyacente) o hipotenusa 2)Cuando utilizamos las razones trigonomtricas las variables van en el numerador 3)En las razones nunca se toma la raz

EJEMPLOS 1. Cxtg Cd dtgdtgdxdxxdx+|.|

\|= + == =+=+=+=+} } } } } }2 212121secsec42) 1 ( 4sec 24 4sec 2) 2 ( 412222222 2 2uu uuuuu uuu u u uuud dxtg xxtg2sec 222=== x2 2a x x 2 2x a +aa u) xa u) u) u) u) 2 u) x 42+ x42+ x2.CxCtgtg d tg tgx xdx+|.|

\|= + = ===} } } }5sec5151511 sec5125 sec 25 . sec 5. sec 52512 2 2uuuuu uu uu u 3. } } } } }+ |.|

\|= + = = ===Cxsen C ddsendsendxdx2coscos1cos222 2cos 2212 2 2u uuu uuu uuu u 252 x 6.FRACCIONESIMPROPIAS:sonaquellasintegralesdondeelintegrandoesunafraccin, dondeelgradodelpolinomiodelnumeradoresmayoroigualalgradodelpolinomiodel denominador, y para resolverla se hace la divisin algebraica. EJEMPLOS 1. } }+ + + =((

++ =|.|

\|++C x x dxxdxxx2 ln21123 122 3 + +xx x u) x 5 u) 252 xu u uuud tg dxxx. sec 5sec 55sec=== x 2u uuud dxsen xxsencos 222==|.|

\|= 2. } }+ + + =((

++ =||.|

\|++C x x x dxxxdxxx1 ln 2211211122 2111 122+ + + +xxx xx x 3. } }+ + + =++ =||.|

\|+ + +C x x dxxx dxxx x2 ln 2212222 222 222 2 222x xx x x + + + 7.COMPLETACINDECUADRADOS:sonaquellasintegralesdondeaparecentrinomios cuadrados no perfectos, en el denominador o en el numerador dentro de una raz cuadrada. Cuando se completa el cuadrado del trinomio se hace una sustitucin simple y se resuelve por el mtodo del triangulo. EJEMPLOS 1. } } }+= + |.|

\|=+ triangulozdznsimple sustitucioxdxx xdx411411213 22 2 =Cxz+||||.|

\|=||||.|

\| 21121tan112211tan1121 1 41121213212323 ) (322 22 2222+ |.|

\||.|

\| + |.|

\||.|

\| + |.|

\|+ + xxx xxx xx xdos ondecuadra completaci 2. } } }+= +|.|

\|=+ triangulozdznsimple sustitucioxdxx xdx1223) ( 312236132 3 22 2Cxtg Cztgzdz+||||.|

\||.|

\|= +||.|

\|=+= }23616232236236.313623311 12 1223613613 261323132 ) 3 (2 322 2222+ |.|

\||.|

\| + |.|

\|+ |.|

\|+ + xxx xx xx xdos ondecuadra completaci 8.POTENCIASFRACCIONARIAS:sonaquellasintegralesdondeaparecenracesenel integrando que al hacer una sustitucin, la raz se elimina. EJEMPLOS 1. } } }+ + = +((

= ==+2123322) 2 ( 4 ) 2 (32232 2 22 . 22x x C zzdz zzzdz zxxdx dx zdzx zx z== + =22222 2. } } } } } }+ + =+ +=+===duuu duuu uduuudzzzzdzzzdxxx 12 21 22) 1 (212 2 .112 2 2 C z zzC u uu+((

+ += +((

+ + = 1 ln ) 1 ( 22) 1 (2 ln 2222 2 C x x x C x xx+ + + = +((

+ += 1 ln 2 ( ) 1 4 ( ) 1 ( 1 ln ) 1 ( 22) 1 (222 dz duz uz udx zdzx z= = + ===1122 9.COMPLETARELDIFERENCIALCOMPUESTO:esaquellaintegraldondeeldenominador apareceuntrinomiocuadradoyenel numerador eldiferencialincompleto, parasolucionarlose procede as: a) Se completa la