calculo ii

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CONTENIDO DE CÁLCULO II REPASO: Diferenciales (Definición e interpretación geométrica y reglas (formulas) para definiciones) I) INTEGRAL INDEFINIDA: 1. Antidiferenciación (antiderivada) constante de antidiferenciación e integración 2. Tablas de integrales inmediatas 3. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Sustitución simple (completación del diferencial) Producto notable Identidades trigonometricas Artificios matemáticos Sustitución trigonometrica (método del triangulo) Fracciones impropias Completación del cuadrado Potencias fraccionarias Completación del diferencial compuesto Integración por partes Integrales propias Integrales de la forma sen m xdx, cos m xdx Integrales de la forma sen m x cos n xdx; sen n x cos m xdx Integrales de la forma tan m xdx; cot m xdx Integrales de la forma sec m xdx; csc m xdx Integrales de la forma tan m x sec n xdx; cot m x csc n xdx Integrales de la forma senAx , senBxdx; cos Ax ,cos Bxdx ; senAx ,cos Bxdx ; Integrales por ángulo medio Integrales binomias II) COORDENADAS POLARES 1. Definición 2. Dirección del radio polar 3. Sentido del argumento 4. Conversión de coordenada rectangular a polar y viceversa

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Page 1: Calculo II

CONTENIDO DE CÁLCULO II

REPASO: Diferenciales (Definición e interpretación geométrica y reglas (formulas) para definiciones)

I) INTEGRAL INDEFINIDA:1. Antidiferenciación (antiderivada) constante de antidiferenciación e integración2. Tablas de integrales inmediatas3. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

Sustitución simple (completación del diferencial) Producto notable Identidades trigonometricas Artificios matemáticos Sustitución trigonometrica (método del triangulo) Fracciones impropias Completación del cuadrado Potencias fraccionarias Completación del diferencial compuestoIntegración por partesIntegrales propias

Integrales de la forma∫ senm xdx ,∫cosm xdx

Integrales de la forma∫ senm x cosn xdx ;∫ senn x cosm xdx

Integrales de la forma∫ tanm xdx;∫cotm xdx

Integrales de la forma∫secm xdx;∫cscm xdx

Integrales de la forma∫ tanm x secn xdx ;∫ cotm xcscn xdx

Integrales de la forma ∫ senAx , senBxdx ;∫ cos Ax ,cos Bxdx ;∫ senAx ,cos Bxdx ;Integrales por ángulo medioIntegrales binomias

II) COORDENADAS POLARES1. Definición2. Dirección del radio polar3. Sentido del argumento4. Conversión de coordenada rectangular a polar y viceversa5. Curvas especiales en coordenada polares6. Gráficas

III) INTEGRAL DEFINIDA 1.Área bajo la curva por sumatoria (suma riemman)2. Definición de integral definida (área bajo la curva)3. Teorema fundamental del cálculo4. Teorema del valor medio para las integrales 5. Propiedades de la integral definida6. Aplicaciones de la integral definida

Page 2: Calculo II

6.1 Área bajo la curva; Área entre las curvas 6.2 Volúmenes de solidó de revolución 6.3 Longitud de arco 6.4 Área de superficie de revolución6.5 Centro geométrico (centroide)6.6 Centro de masa 6.7 Momentos de inercia 6.8 Trabajo, presión y fuerza

IV) INTEGRALES IMPROPIAS:

1. Definición 2. Clase de integrales impropias 3. Interpretación geométricas 4. Cálculos de integrales impropias

V) INTEGRACIÓN NUMERICA:

1. Regla del trapecio 2. Regla de simpson

VI) FUNCIONES VECTORIALE S:

1. Definición, operaciones, limité, derivadas e integrales.2. Los 12 apóstoles: vector posición, vector velocidad, vector aceleración, vector tangente,

vector normal, vector binormal, plano normal, plano rectificador, plano osculador, curvatura, radio de curvatura, vector de curvatura.

VII) CURVAS Y SUPERFICIES:

1. Definición de curvas en R3

y de superficies2. Coordenadas cilíndricas y esféricas3. Superficies cuadráticas: cilindro, elipsoide, cono, paraboloide, hiperboloide.

TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS

Page 3: Calculo II

1. ∫|f ( x )+

−g (x )|dx=∫ f ( x )dx +

−∫ g (x )dx

2. ∫Kf ( x )dx=K∫ f ( x )dx

3. ∫ odx=C

4. ∫ dx=x+c

5.∫ xn dx= xn+1

n+1+c

6.∫ dx

x=ln x+c

7.∫ dx

x ln x= loga x+c

8. ∫ exdx=e x+c

9.∫ axdx= ax

ln a+c

10. ∫ senxdx=−cos x+c

11. ∫cos xdx=senx+c

12. ∫sec2 xdx=tan x+c

13. ∫csc2 xdx=−cot x+c

14. ∫sec x . tan xdx=sec x+c

15. ∫csc x . cot xdx=−csc x+c

16.∫ tan xdx=ln|sec x|+c

17.∫cot xdx=ln|sen x|+c

18.∫sec xdx= ln|sec x+ tan x|+c

19.∫csc xdx=ln|csc x−cot x|+c

20.∫ dx

√1−x2= sen−1 x+c

21.∫ dx

√1+ x2= tan−1 x+c

22.∫ dx

x √x2−1= sec−1 x+c

Page 4: Calculo II

23. ∫ senhxdx=cosh x+c

24. ∫ cosh xdx=senhx+c

25. ∫sec h2 xdx=tanh x+c

26. ∫ csch2 xdx=−coth x+c

27. ∫sec hx . tanh xdx=−sec hx+c

28. ∫ cschx .coth xdx=−cschx+c

29. ∫ tanhhx=ln|cosh x|+c

30. ∫ coth x=ln|senh x|+c

31. ∫sec hxdx=2 tan−1ex+c

32. ∫csc hxdx=ln|cschx+coth x|+c

INTEGRAL INDEFINIDA

DIFERENCIALES

Sea y = f(x) una función continua en [a,b] definimos el diferencial de y, denotado dy así

dy = F`(x) dx ò D [F(x)] = F`(x) dx

Page 5: Calculo II

ANTIDIFERENCIAL O ANTIDERIVADA (Integral Indefinida)

Sea y = f(x) una función continua en [a,b] y sea dy = F`(x) dx ó D [F(x)] = F`(x) dx su diferencial, definimos el antidiferencial de dy ò D [F(x)] denotado por D

−1 así:

D−1

(dy) = D−1

[ f ´ ( x )dx ]= f(x) + C, siendo C la constante de antidiferenciación.

La notación de D−1

también se representa con el símbolo ∫ llamado integral; luego la antideferenciación la podemos escribir así:

∫ f ( x )dx=f ( x )+c , conocida también como INTEGRAL INDEFINIDA donde ∫→símbolo de la integral:F`(x) dx → IntegrandoF(x) dx → Integral

En resumen podemos decir que la integración es la operación por medio de la cual se halla la función primitiva cuando se conoce su función derivada o su función diferencial

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

1. SUSTITUCIÓN SIMPLE: este método consiste en llevar la integral dada, a la forma de las integrales que se encuentran en las tablas inmediatas a través de una sustitución y hay que tener en cuenta lo siguiente:a) Debe aparecer la función y su diferencial multiplicandob) Debe aparecer la función y su parte literal del diferencial multiplicandoc) El diferencial ó la parte literal del diferencial siempre debe estar en el numerador.d) si aparece el argumento de la función y el diferencial del argumento es sustitución simplee) si aparece el diferencial del argumento de la funciónf) si aparece la parte literal del diferencial del argumento de la función

Una vez que reconozcamos que es sustitución simple procedemos de la siguiente manera.

1) Hacemos la función igual a Z (cambio de variable) luego le hayamos el diferencial a esa Z y mas tarde lo remplazamos en la integral (Z,dz)

2) Si aparece el diferencial por la parte literal del diferencial del argumento hacemos Z=argumento y hayamos dz y luego lo remplazamos en la integral

Page 6: Calculo II

EJEMPLOS

1. ∫ senx .cos xdx = ∫ zdz =

z2

2 + C =

senx 2

2 + CZ= senxdz= cosxdx

2. ∫sec x . sec xtgxdx = ∫ zdz =

z2

2 + C =

sec x2

2 + CZ= secx dz = sex.tgxdx

3.∫LNX .

1xdx

= ∫ zdz =

z2

2 + C =

LN2 X2

Z = LNX

dz =

1xdx

2. PRODUCTOS NOTABLES: son aquellas integrales que para resolverla hay que desarrollar esos productos notables.

EJEMPLOS

1. ∫ x5 ( x−3)2 dx = ∫ x5 ( x2−3 x+9 )dx = ∫ x7−3 x6+9x5 dx

= [ x8

8−3 x7

7+ 3x6

2+C ]

2. ∫( x+10 )( x−10 )dx = ∫( x2−100 )dx =

x3

3+100 x+C

3. ∫ x ( x−3 )3dx = ∫ x (8 x3+36 x2+54 x+ 27dx=∫(8 x4+36 x3+54 x2+27 x )dx

= [ 8 x5

5+9 x4+18 x3+27 x2

2+C ]

Page 7: Calculo II

3. IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS: son aquellas integrales que para resolverlas hay que sustituirla por una identidad.

EJEMPLOS

1.∫ dx

1+tg2 x=∫ dx

sec2 x=∫ cos2 xdx=1

2x+ 1

4sen (2 x )+C

2.∫2 senx . cos xdx=∫ sen (2x )dx=−1

2cos(2 x )+C

4. ARTIFICIOS MATEMÁTICOS: son aquellas integrales que para resolverla se tiene que hacer un truco matemático.

EJEMPLOS

1.

∫ dx1−senx

=∫ (1+senx )dx(1−senx)(1+senx)

=∫ (1+senx)dx(1−sen2 x )

=∫ (1+senx )dxcos2x

=∫ [ 1

cos2 x+

senx

cos2 x ]dx∫ [sec2x+ 1

cos x.senxcos x ]dx=∫sec2 x+sec x . tgxdx=[ tgx+sec x ]+C

2. csc xdx=LN|csc x−ctgx|+C

3.

∫ (1−x )dx1−√x

=∫ (1−x ).(1+√x )dx(1−√x ).(1+√ x )

=∫ (1−x ) .(1−√ x )dx(1−x )

=∫ 1−√ xdx=[ x+ 23

x32 ]+C

5. SUSTITUCIÓN TRIGONOMETRICA: (método del triangulo) son aquellas integrales donde

aparecen en el integrando las siguientes formas: √a2+x2, √a2−x2

, √ x2−a2,

a2+x2

, a2−x2

,x2−a2

y para resolverla se hacen las siguientes sustituciones:

Page 8: Calculo II

tan =

xa

x = a tan

dx = asec2 d

sec =

xa

x =asec

dx=a sec tan d

√a2− x2

sen =

x ¿a ¿¿

¿x= a sen

dx=a cos d

1) Las variables siempre hay que ponerlas en el CO (cateto opuesto) o en la hipotenusa, y la constante siempre va en el CA (cateto adyacente) o hipotenusa

2) Cuando utilizamos las razones trigonométricas las variables van en el numerador

3) En las razones nunca se toma la raíz

EJEMPLOS

1.

∫ dxx2+4

=∫dxx2+(2)2

=∫2 sec2θdθ4 tg2θ+4

=∫2 sec2θdθ4( tg2 θ+1)

=24∫ sec2θ

sec2θdθ=1

2∫ dθ

¿12

θ+C=12tg−1 (x2 )+C

tgθ=x2

x=2 tgθdx=2sec2θdθ

2.

∫ dx

x √x2−25=∫ 5secθ . tgθ

5sec θ .√25 sec2θ−25=1

5∫ tg θdθ

√sec2θ−1=1

5∫ tgθ

tgθ=1

5θ+C=1

5sec−1( x5 )+C

x

√ x2−a2x√a2+x2

aa

xa

)) )

)

2

x

√ x2+4

√ x2+4

Page 9: Calculo II

3.

∫ dx

√2−x2=∫ √2cos θdθ

√2−2 sen2 θ=√2

√2∫cos θdθ

√1−sen2θ=∫cosθdθ

cosθ=∫dθ=θ+C=sen−1( x

√2 )+C

√ x2−25

6. FRACCIONES IMPROPIAS: son aquellas integrales donde el integrando es una fracción, donde el grado del polinomio del numerador es mayor o igual al grado del polinomio del denominador, y para resolverla se hace la división algebraica.

EJEMPLOS

1.∫( x+3

x+2 )dx=∫ [1+ 1x+2 ]dx=x+ ln|x+2|+C

x+3÷x+2−x−21

2.∫( x2+1

x+1 )dx=¿∫ [x−1+ 2x+1 ]dx=1

2x2−x+2 ln|x+1|+C ¿ ¿∫ ¿

)

x

5

√ x2−25

secθ=x5

x=5 secθdx=5sec θ .tg θdθ

x√2 senθ=(x√2 )

x=√2 senθdx=√2cosθdθ

Page 10: Calculo II

x2+1÷x+1−x2−x−x+1x+12

3.∫( x2+2x+2

x+2 )dx=∫ x+ 2x+2

dx=12x2+2 ln|x+2|+C

x2+2 x+2÷x+2−x2−2x2

7. COMPLETACIÓN DE CUADRADOS: son aquellas integrales donde aparecen trinomios cuadrados no perfectos, en el denominador o en el numerador dentro de una raíz cuadrada.Cuando se completa el cuadrado del trinomio se hace una sustitución simple y se resuelve por el método del triangulo.

EJEMPLOS

1.

∫ dx

x2−x+3=∫ dx

( x−12 )

2

+114

→ sustitucionsimple=∫ dz

z2+114

→ triangulo

=

2

√11tan−1( z

√112 )= 2

√11tan−1( x−

12

√112

)+C

completaciondecuadradosx2−x+3( x2−x )+3

(x2−x2 )

2

+3−(x2 )2

(x−12 )

2

+3−(12 )2

(x−12 )

2

+114

Page 11: Calculo II

2.

∫ dx

3 x2−x+2=∫ dx

3(x−16 )

2

+2312

→sustitucionsimple=∫ dz

3( z )2+2312

→triangulo

=13∫

dz

z2+2336

=13

.6

√23tg−1( 6 z

√23 )+C=2

√23tg−1 ( 6(x−1

6 )√23

)+C

completaciondecuadrados3x2−x+2(3 x2−x )+2

3(x2−13

x)+2

3(x−16 )

2

+2−3(16 )

2

3(x−16 )

2

+2312

8. POTENCIAS FRACCIONARIAS: son aquellas integrales donde aparecen raíces en el integrando que al hacer una sustitución, la raíz se elimina.

EJEMPLOS

1.

∫ xdx√ x+2

=∫ z2−2.2 zdzz

=2∫ z2−2dz=2[ z3

3−2 z ]+C=2

3( x+2 )

32−4 ( x+2)

12

z2=x+2z2−2=x2 zdz=dx

2.

∫ √x√ x−1

dx=∫ zz−1

. 2 zdz=2∫ z2

z−1dz=2∫ (u+1)2

udu=2∫ u2+2u+1

udu=2∫u+2+ 1

udu

Page 12: Calculo II

=2 [ u2

2+2u+ln|u|]+C=2[ ( z−1)2

2+2( z−1 )+ln|z−1|]+C

=2 [( √x−1 )2

2+2(√x−1 )+ln|√ x−1|]+C=(√x−1)2+(4 √x−1 )+(2 ln|√ x−1|+C

z2=x2 zdz=dx

u=z−1u+1=zdu=dz

9. COMPLETAR EL DIFERENCIAL COMPUESTO: es aquella integral donde el denominador aparece un trinomio cuadrado y en el numerador el diferencial incompleto, para solucionarlo se procede así:a) Se completa la variable multiplicando y dividiendo por la misma cantidad, luego se completa la constante sumando y restando la misma cantidad.b) Se divide en dos integrales, una sale por sustitución simple y la otra por competición de cuadrado.

1.∫ (2x−3 )

x2+6 x+3=∫ [(2 x+6 )−9 ] dx

x2+6 x+3=∫ (2 x+6 )dx

x2+6 x+3−9∫ dx

x2+6 x+3

=ln|x2+6 x+3|−9∫ dx

(x+3 )2−6

=ln|x2+6 x+3|−9∫ du

u2−6

=ln|x2+6 x+3|−9∫ √6 secθ . tgθdθ6 sec2θ−6

=ln|x2+6 x+3|−9∫ √6 secθ . tgθdθ6 (sec2θ−1)

=ln|x2+6 x+3|−3√62

∫sec θ .tg θdθsec2θ−1

=ln|x2+6 x+3|−3√62

∫sec θ .tg θdθtg2θ

completareldiferencialincompletox2+6 x+3→2 x+62 x−3=2 (x )−3

¿2(2 x2 )−3

¿22

(2 x )−3

¿22

(2 x+6−6)−3

¿(2 x+6−6)−3¿(2 x+6 )−6−3¿(2 x+6 )−9

Page 13: Calculo II

=ln|x2+6 x+3|−3√62

∫sec θtgθ

=ln|x2+6 x+3|−3√6

2 ∫

1cosθsen θ

cos θdθ

=ln|x2+6 x+3|−3√62

∫ 1sen θ

=ln|x2+6 x+3|−3√62

∫csc θdθ

=ln|x2+6 x+3|−3√62

ln|cscθ−ctg θ|+C

=ln|x2+6 x+3|−3√62

ln| z−√6

√ z2−6|+C

=ln|x2+6 x+3|−3√62

ln| x+3−√6

√( x+3 )2−6|+C

10) INTEGRACIÓN POR PARTES: son aquellas integrales que tienen la forma ∫udv , la formula para resolver dicha integral es la siguiente:

∫udv=uv−∫vdu

↓ ↓

La integración por parte se utiliza cuando:

a) Hay producto de funciones b) Hay funciones transcendentales (trigometricas, inversas, hiperbólica, hiperbólica inversa, exponencial, logarítmica.

Reglas practicas para integrar por partes:

1. Debe ser posible integrar dv2. El dx forma parte del dv3. En lo posible la función de apariencia mas complicada debe ser dv.4. En lo posible las de potencias deben formar parte de u.5. Se puede repetir el proceso (integral II) pero sin cambiar de nominación las funciones u y dv. 6. Si la integral II es la misma I se traslada y se despeja su valor (si se anula el método no sirve)7. Si la integral II es más complicada que la I el método no sirve y se debe reescoger las funciones u y dv

I II

Page 14: Calculo II

EJEMPLOS

1. ∫ ln xdx u .v−∫ v .du

=x ln x−∫ x .1x

dx=x ln x−∫ dx

=x ln x−x+C

2. ∫ xsen (2x )dx u .v−∫ v .du

=−12

x cos (2x )+∫12

cos (2x )dx

=−12

x cos (2x )+14

sen(2 x )+C

11) FRACCIONES PROPIAS:

Son aquellas integrales donde el grado del polinomio del numerador es menor al grado del

denominador, es decir :

Pn( x )Qn( x )

Las fracciones propias para resolverlas hay que factorizar el polinomio del denominador, quedando factores lineales o cuadrados.

Caso 1: los factores del denominador son de primer grado ( lineales ) y no se repiten.

u=ln x

du=1x

dx

dv=dxv=∫ dxv=x

u=xdu=dx

dv=sen (2x )dxv=∫ sen (2x )dx

v=−12

cos (2x )

Page 15: Calculo II

Pn( x )Qn( x ) =

∑Q=1

n

AIx−Q1

Caso 2 : los factores del denominador son cuadráticos y no se repiten.

Pn( x )Qn( x ) =

∑Q=1

n

Aix+B1

ax2+bx+c

Caso 3 : los factores del denominador son lineales y se repiten:

Pn( x )Qn( x ) =

A1x−a +

A2x−a +

A3

( x−a )3+ … +

An

( x−a )n

Caso 4: los factores del denominador son cuadrados y se repiten.

Pn( x )Qn( x ) =

A1 X+B1

ax2+bx+c +

A2 X+B2

(ax 2+bx+c )2+…

AnX+Bn

(ax 2+bx+c )n

EJEPLOS

1.

∫ dx( x+1 )( x−3 )

=∫ [Ax+1+Bx−3 ]dx

1( x+1 )( x−3 )

=(x+1 )B+( x−3 )A(x+1 )(x−3)

1=( x−3 )A+( x+1)B

x=3→1=4 B→B=14

x=−1→1=−4 A→A=−14

=−14∫ dx

x+1+1

4∫ dx

x−3=−1

4ln|x+1|+1

4ln|x+3|+C

2.

∫( x−2)dxx ( x+2)( x−3 )

=∫ [Ax +Bx+2

+Cx−3 ]=∫ [13x +

−25

x+2+

115x−3 ]dx ¿ ¿1

3ln x−2

5ln|x+2|+1

15ln|x−3|+C ¿¿∫ ¿

Page 16: Calculo II

12) INTEGRALES DE LA FORMA: (senm x ,cosm x )

a) si m es par:

∫ senm xdx=∫ [ sen2 x ]

m2 dx=∫ [ 1−cos 2x

2 ]m2 dx

∫cosm xdx=∫ [cos2 x ]

m2 dx=∫ [ 1+cos 2x

2 ]m2 dx

b) si m es impar:

∫ senm xdx=∫ [ senm−1 xsenxdx ]=∫ [sen2 x ]m−1

2senx dx=∫ [1−cos2 x ]

m−12

senxdx

∫cosm xdx=∫ [cosm−1 x cos xdx ]=∫ [cos2 x ]m−1

2cos x dx=∫ [1−sen2 x ]

m−12

cos xdx

EJEMPLOS

1.

∫cos5 xdx=∫ cos4 x . cos xdx=∫ [cos2 x ]2 . cos xdx=∫ [1−sen2 x ]2cos xdx

¿∫ [1−2 sen2 x+sen4 x ] . cos xdx=∫cos xdx−2∫ sen2 x . cos xdx+∫ sen4 x . cos xdx

¿ senx−23

sen3 x+15

sen5 x+C

2.

∫ sen3 x=∫ sen2 x . senxdx=∫1−cos2 x . senxdx=∫ senxdx−∫ cos2 x . senxdx

¿−cos x+cos3 x3

+C

13) INTEGRALES DE LA FORMA: ∫ senm x cosn xdx ;∫ senn x cosm xdx

Page 17: Calculo II

Si m ó n es par, aplicamos el caso a del método 12 Si m ó n es impar, aplicamos el caso b del método 12 Siempre se debe escoger el de menos exponente

EJEMPLOS

1.

∫ sen3 x . cos4 xdx=∫ cos4 x . sen2 x . senxdx=∫cos4 x(1−cos2x ). senxdx

¿∫cos4 x−cos6 x . senxdx=∫cos4 x . senxdx−∫ cos6 x . senxdx

¿−15

cos5 x+17

cos7 x+C

2.

∫ sen2 x .cos3 xdx=∫ sen2 x .cos2 x . cos xdx=∫ sen2 x [1−sen2 x ] cos xdx

¿∫ [ sen2 x−sen4 x ] cos xdx=∫ [ sen2 x . cos x ] dx−∫ [ sen4 x . cos x ] dx

¿13

sen3 x−15

sen5 x+C

14) INTEGRALES DE LA FORMA: (∫ tanm xdx;∫cotm xdx )

∫ tanm xdx=∫ tanm−2x tan2 xdx=∫ tanm−2 x(sec2 x−1 )dx

∫cotm xdx=∫ cotm−2 xcot2 xdx=∫cotm−2 x (csc2 x−1 )dx

EJEMPLOS

Page 18: Calculo II

1.

∫ tg3 x dx=∫ tgx .tg2 x=∫ tgx(sec2 x−1 )dx=∫ tgx .sec2 x dx−∫ tgxdx

¿12

tg2 x−ln|sec x|+C

2.

∫ ctg4 xdx=∫ ctg2 x .ctg2 xdx=∫ ctg2 x( csc2 x−1 )dx=∫ctg2 x . csc2 xdx−∫ctg2 xdx

¿−13

ctg3 x+ctgx+x+C

15) INTEGRALES DE LA FORMA: ∫secm xdx ;∫cscm xdx (m es par)

a) Si m es impar se hace por partes b) Si m es par se hace asi.

∫secm xdx=∫secm−2 x sec2 xdx=∫(sec2x )m−2

2 sec2xdx=∫ [1+ tan2x ]m−2

2sec2 xdx

∫cscm xdx=∫cscm−2 xcsc2 xdx=∫(csc2 x )m−2

2 csc2 xdx=∫ [1+cot2 x ]m−2

2csc2 xdx

EJEMPLOS

1.

∫sec 4 x dx=∫ sec2 x . sec2xdx=∫ [1+ tg2 x ] .sec2 xdx=∫sec2 xdx+∫ tg2 x . sec2 xdx

¿ tgx+13

tg3 x+C

Page 19: Calculo II

2.

∫csc6 xdx=∫ csc4 x .csc2 xdx=∫(csc2 x )2 . csc2 xdx=∫(1+ctg2 x )2 . csc2xdx

¿∫(1+2ctg2 x+ctg4 x ) . csc2 xdx=−ctgx−23

ctg3 x−15

ctg5 x+C

16) INTEGRALES DE LA FORMA: ∫ tanm x secn xdx ;∫ cotm xcscn xdx

a) si m es impar:

¿∫ tanm x secn xdx=∫ tanm−1x secn−1 x sec x tan xdx=∫ [ tan2 x ]m−12 secn−1 x sec x tan xdx

¿∫ [sec2 x−1 ]m−12 secn−1 sec x tan xdx

¿∫cotm x cscn xdx=∫ cotm−1 x cscn−1 xcsc xcot xdx=∫ [cot2 x ]m−12 cscn−1 xcsc xcot xdx

¿∫ [csc2 x−1 ]m−12 cscn−1 csc xcot xdx

b) si n es par

¿∫ tanm x secn xdx=∫ tanm x secn−2 x sec2 xdx=∫ tanm x [sec2 x ]n−22 sec2 xdx

¿∫ tanm x [ 1+ tan2 x ]n−22 sec2 xdx

¿∫cotm x cscn x dx=∫cotm x cscn−2 x csc2xdx=∫ cotm x [csc2 x ]n−22 csc2 xdx

¿∫cotm x [1+cot2 x ]n−22 csc2 xdx

EJEMPLOS

1.

∫ tg 3 x . sec4 xdx=∫ tg3 x .sec2 x . sec2 xdx=∫ tg 3 x . [1+ tg2 x ] .sec2 xdx

¿∫ tg 3 x+ tg5 x . sec2 xdx=[14 tg 4 x+16

tg6 x ]+C

Page 20: Calculo II

2.

∫ ctg2 x .csc 4 xdx=∫ctg2 x . csc2 x . csc2 xdx=∫ctg2 x . [1+ctg2 x ] . csc2 xdx

∫ ctg2 x .ctg4 x .csc2 xdx=−13

ctg3 x−15

ctg5 x+C

17) INTEGRALES DE LA FORMA: ∫ senAx , senBxdx ;∫ cos Ax ,cos Bxdx ;∫ senAx ,cos Bxdx ;

Para resolver dichas integrales utilizamos las siguientes identidades:

a) sen A cos B=

12 sen (A-B) +

12 sen (A+B)

b) sen A sen B=

12 cos (A-B) -

12 cos (A+B)

c) cos A cos B=

12 cos (A-B) +

12 cos (A+B)

EJEMPLOS

1.∫ sen(3 x )cos (2x )dx=∫ 1

2sen( x )+ 1

2sen (5 x )dx=−1

2cos( x )− 1

10cos(5 x )+C

2.∫cos (3 x )cos(2 x )dx=∫ 1

2cos ( x )+1

2cos(5 x )dx=1

2senx+ 1

10senx+C

3.∫ sen(3 x ) sen(2 x )dx=∫ 1

2sen ( x )−1

2sen(5 x )=−1

2cos( x )+ 1

10cos (5 x )+C

Page 21: Calculo II

18) INTEGRALES POR ANGULOS MEDIOS: son aquellas integrales donde su integrando aparece como una fracción trigonometrica y además en el denominador aparecen las funciones trigonometricas sumándose o restándose. Para resolverla se hace la siguiente sustitución

z=tan

x2

x=2tan−1 z

dx=

2dz

1+ z2

EJEMPLOS

1.

∫ dxtgx+senx

=∫2dz

1+z2

2 z1−z2

+2 z1+z2

=∫2dz

1+z2

2 z1 (1+z2 )+2 z(1−z2)(1−z2 )(1+ z2 )

∫zdz

1+z2

2 z (1+z2+1−z2 )(1−z2 )(1+z2 )

=∫2dz2 z (2)1−z2

=∫2(1−z2 )dz4 z

=∫(1−z2 )2 z

=12∫ dz

z−1

2∫ zdz

¿12

ln|z|−14

z2+C=12

ln|tg(x2 )|−14

tg2(x2 )+C

19) INTEGRALES BINOMIAS: son aquellas integrales que tienen la siguiente forma:

∫ xm[ axn+b ]rs dxPara solucionarla se tiene en cuenta lo siguiente

I caso: si

m+1n

=0 ,entero hacemos ax

n+b=z

s

x) )

2z1+z

2

1-z2

Page 22: Calculo II

II caso: si

m+1n

+ rs=0 ,

entero hacemos axn

+b=zs

xn

III caso: si

rs es un entero hacemos x =z

ndonde (n) es el común denominador de las

fracciones m y n.

EJEMPLOS

1.

∫ x3 (2x2+5 )12 dx

m=2 ,,n=2 ,,rs=1

23+12

=2∈Ζ

z=(2 x2+5)12

z2=2 x2+5z2−5=2x2

z2−52

=x2

( z2−5 )12

212

=x

x=1

212

( z2−5)12

20) INTEGRALES RECIPROCAS: son aquellas que se usan en lugar del método del triangulo por partes, binomias realizando la siguiente sustitución

Z=

1x X=

1z dx=

−dz

z2

dx=1

212

.12

( z2−5 )−1

2 . 2 zdz

dx=z( z2−5)

−12

212

dz

¿∫( z2−5)32

232

. z . z( z2−5)

−12

212

dz

¿14 ∫( z2−5) z2dz=1

4 ∫( z4−5 z2 )dz

¿14 [ z5

5−5 z3

3 ]+C=120

(2x2+5)52 −5

12(2 x2+5 )

32 +C

Page 23: Calculo II

1.

∫ √x2+1x7

dx=∫ √1z4

+1

1

z7

.(−dzz2 )=−∫ √1+z 4

z 4

1

z7

.dzz2

=−∫√1+z4

z2

1

z7

.dzz2

¿−∫ z7√1+z4

z2.dz

z2=−∫ z3√1+z 4dz=−1

4.23

(1+z4 )32 +C

¿−16

[1+z4 ]32 +C=−1

6 [1+1x4 ]

32 +C

COORDENAS POLARES

Dado un punto en el plano, lo podemos representar por la distancia que hay desde un punto fijo al punto dado y el ángulo formado entre la distancia y una recta fija. El punto fijo(o) se llama polar la recta fija se llama polar y el ángulo formado () se llama argumento y la distancia se llama radio polar.

A este sistema se le conoce con el nombre de coordenadas polares

o→ polo (punto fijo)

r→ radio polar

θ→arg umento

DIRECCION DEL RADIO POLAR:

a) El radio polar (r) es positivo si el lado terminal del ángulo () argumento

b) El radio polar (r) es negativo cuando es la prolongación del lado terminal del ángulo ()

SENTIDO DEL ARGUMENTO ( ):

Page 24: Calculo II

El argumento () es positivo si gira encontra de las manecillas del reloj el argumento () es negativo si gira en el sentido de las manecillas del reloj.

CONVERSION DE COORDENADAS CARTESIANAS A POLARES:

Para hacer dicha conversación se tiene encuenta lo siguiente:

P(x, y) P(r,)

r= √ x2+ y2 = tan

−1 yx

CONVERSION DE COORDENADAS POLARES A CARTESIANAS:

P(r,) P(x, y)

x=r cos y= r sen

CURVAS ESPECIALES EN COORDENADAS POLARES:

I) Si la curva tiene la forma r=a+

−bsen

a) Si a=b, entonces la curva se llama CARDIOIDE

b) Si a>b entonces la curva se llama LIMACON

c) Si a<b entonces la curva se llama CARACOL

Page 25: Calculo II

II) Si la curva tiene las formas de r=asen(n) ó r=acos(n) la curva se llama ROSA

a) Si n es impar hay n pétalos

b) Si n es par hay 2n pétalos

III) Si la curva tiene la forma de r2=a2sen2 ó r

2=a2 cos2 la curva se llama LEMNISCATA

IV) Si la curva tiene la forma de r=a ó r=eaθ

la curva se llama ESPIRAL

Page 26: Calculo II

V) Si la curva tiene la forma r=a; r=2asen ; r=2acos la curva se llama CIRCUNFERENCIA

VI) Si la curva tiene la forma r= −c

asenθ+bcosθ la curva es una LINEA RECTA

VII) Si la curva tiene la forma

r= ed1+

−ecosθ

Ó

r= ed1+

−esenθ

entonces

a) Si e=1 la curva es una PARABOLA

b) Si e>1 la curva es una HIPERBOLA

c) Si o< e< 1 la curva es una ELIPSE

INTEGRAL DEFINIDA

Sea y=f(x) una función continua en [a, b] divídase el intervalo en n intervalos

a= X0 < X1 < X2 <… Xn−1<Xn =b de anchos iguales Δx=b−a

n donde se trace las

coordenadas correspondientes; Y0 , Y1 , Y2 …Yn se toman entonces rectángulos de ancho Δx

y altura Yi con o<i<n

El área de cada rectángulo es Ai = Δ Xi⋅Yi y el área total de los rectángulos es:

AT =∑i=1

n

ΔXi⋅Yi con Xi=a + iΔx

Page 27: Calculo II

Base del rectángulo

A1 =Δx .Y 1

A2 =Δx .Y 2

A3 =Δx .Y 3

.

.

An =Δx .Y n

AT =∑i=1

n

Ai=∑i=1

n

Δ xYi

DEFINICION

A=limn→∞

∑i=1

n

ΔXi ,Yi=limn→∞

∑i=1

n

ΔXi , F (Xi )

En donde A es el área de la región limitada por la grafica de una función continúa y positiva F es un intervalo [a, b] se define y se simboliza como:

∫a

b

f ( x )dx que recibe el nombre de INTEGRAL DEFINIDA donde a<b son los limites de

integración

TEOREMA: si R es la región limitada por la curva F continúa y positiva en un intervalo [a, b] entonces:

b

X1 =a +Δx

X2 =a +2Δx

X3 =a +3Δx...

Xi =a+iΔx

Page 28: Calculo II

∫a

b

f ( x )dx= f ( x )= f (b) - f (a)

PROPIEDADES:

1. ∫a

b

[ f ( x )+−

g( x )] dx =

∫a

b

f ( x )dx+−∫a

bg( x )dx

2. ∫a

b

kf ( x )dx=k∫a

b

f ( x )dx

3. ∫a

b

f ( x )dx=

−∫b

a

f ( x )dx

4. ∫a

b

f ( x )dx=0

5. Si c∈ [a,b] entonces

∫a

b

f ( x ) dx =

∫a

c

f ( x )dx+∫c

bf ( x )dx

AREA BAJO LA CURVA:

dA= ydx dA=xdy

∫a

b

dA=∫a

b

ydx

∫a

b

dA=∫a

b

xdy

X

Y

X

Y

a

a

b

b

dx

dy

a

Page 29: Calculo II

A=∫a

b

ydx A=

∫a

b

xdx

AREA ENTRE DOS CURVAS:

A= ∫a

b

[ g( x )−f (x )] dx

AREA EN PARAMETRICAS

x=f(t); y=g(t)

dx= f´(t)dt ; dy=g´(t)dt

A=∫t 1

t 2

g ´ ( t ) f ´ ( t )dt A=

∫t 1

t 2

f ´ ( t )g ´ ( t )dt

AREA EN POLARES

A=

12∫θ 1

θ 2

r2 dθ A=

12∫θ 1

θ 2

[R2−r2 ] dθ

Page 30: Calculo II

Reglas practicas para hallar áreas:

I) El elemento debe ser homogéneo en todo el área

II) Si el elemento no es homogéneo el área se debe dividir en varias partes y el área total es la suma de las áreas parciales

AT = A1 +A2

III) Si el área esta toda por debajo del eje X o a la izquierda del eje Y entonces depende del elemento que use es negativo

Page 31: Calculo II

IV) Si el área tiene partes simétricas se debe hallar el área de una y multiplicar por el número de partes simétricas porque la integral es una suma algebraica

A= 2 A1 A=3 A1

VOLUMENES DE SOLIDÓ DE REVOLUCIÓN:

Es aquel volumen que resulta de girar un área plana para calcular dicho volumen tendremos en cuenta 3 métodos: disco, arandela y cascarones cilíndricos (cilindro)

Método del disco: este método se aplica cuando al girar el área plana no queda hueco:

[v= Π r2

h]

Page 32: Calculo II

V= ∫a

b

Π y2dx

Método de la arandela: este método consiste o se aplica cuando al girar un área plana queda un hueco: [ v=Π (R

2−r2)h]

V= ∫a

b

Π [ f ( x )2−g ( x )2 ]dx

Page 33: Calculo II

Método de cascarones cilíndricos: Este método se aplica para cualquier área que se gire [v=2Π r h grosor]

V=2Π∫a

c

x (b− y )dx

LONGITUD DE ARCO

L= ∫a

b

√1+( y ´ )2dx

Page 34: Calculo II

L= ∫c

d

√1+(x ´ )2dy

Ecuación parametricas L=∫t1

t2

√(dx )2+(dy )2 dt

Coordenadas polares L=∫θ1

θ2

√r2+(r ´ )2dθ

AREA DE SUPERFICIE: Es aquella que resulta de girar una longitud de arco sobre un eje de rotación

S=2π∫

a

b

ydl S=2

π∫a

B

xdl

Se usan cuando giran en el eje polar :

S=2π∫

θ1

θ2

rsenθdl S=2π

∫θ1

θ2

r cos θdl

CENTROIDE Y MOMENTOS:

Área:

Page 35: Calculo II

Mx=∫ y

2dA

My= ∫ xdA

X=

M y

A Y=

MX

A

IY = ∫ x2dA

Longitud de arco

Mx= ∫ ydl My= ∫ xdl

X=

M y

l Y=

MX

l

Page 36: Calculo II

IY = ∫ x2dA

Solidó de revolución

Mxz=∫ odv Myz=∫ xdv

X=

M yz

V Y=

M xz

V

Iyz = ∫ x2dv

Área de superficie

Page 37: Calculo II

Mxz=∫0 ds Myz=∫ xds

X=

M yz

S Y=

M xz

S

Iyz = ∫ x2ds

INTEGRACION NUMERICA

Existen algunas integrales en donde es muy difícil determinar su antiderivada o primitivas por los métodos conocidos o algunas integrales que no tienen directa antiderivadas como:

∫ e−x2

Ó ∫ senx

xdx

Para tratar de resolverlas aproximadamente se deben determinar de integración en donde exista la función y mediante algunas sumas de rieman aproximar la integral, alguna solución, entre más refinada sea la participación mas exacta es la aproximación.

Entre los métodos conocidos están:

METODO DEL TRAPECIO: para n par o impar

∫a

b

f ( x )dx=h2[ f (a )+2 f ( a+h )+2 f (a+2h )+2 f (a+3h)+. .. .2 f (a+(n−1 ))h+ f (b ) ]

Donde h=

b−an

METODO DE SIMPSON: para n par

∫a

b

f ( x )dx=h3

[ f (a )+4 f (a+h )+2 f (a+2h )+4 f (a+3h)+2 f ( a+3h )+2 f (a+4h )+ .. .. .

4 f (a+(2m−1)+f (b) ]

Donde h=

b−an

Page 38: Calculo II

INTEGRAL IMPROPIA

Decimos que la integral definida es:

∫a

b

F ( x )dx es impropia cuando

a) F(x) es discontinua en el intervalo [a,b]

b) Los limites a ó b son infinitos.

Caso de la integral impropia:

a)Si F(x) es discontinua en x=a entonces

∫a

b

f ( x )= limu→0+

∫a+u

b

f (x )dx

b) Si F(x) es discontinua en x=b, entonces

∫a

b

F ( x )dx= limu→ 0+

∫a

b−u

F (x )dx

c)Si f(x) es discontinua en x=c para a<c<b entonces

∫a

b

F ( x )dx=∫a

c

F ( x )dx+∫c

b

f ( x )dx=. .. . limu→0+

∫a

c−u

F ( x )dx+ limu→0+

∫c+u

b

f ( x )dx

d) Si el límite de b es infinito entonces:

∫a

F ( x )dx= limu→∞

∫a

u

F ( x )dx

e) Si el límite de a es infinito entonces:

∫−∞

b

F ( x )dx= limu→−∞

∫u

b

F( x )dx

f) Si el elemento de a y b son infinitos entonces:

∫−∞

f ( x )dx=∫−∞

c

f ( x )dx+∫c

f ( x )dx=.. . limu→∞

∫u

c

F ( x )dx+ limu→∞

∫c

u

F (x )dx

Page 39: Calculo II

a) b)

c) d)

f) e)

Page 40: Calculo II

FUNCIONES VECTORIALES

Una función cuyo dominio es un conjunto de números reales y su imagen es un conjunto de vectores se llama FUNCIONES VECTORIALES de variable real.

Una función vectorial como r ( t )→

= f(t)i+g(t)j+h(t)k representa una curva en el espacio que se grafica obteniendo los puntos necesarios, dándole valores al parámetro t, que generalmente representa el tiempo y por lo tanto se define también como la trayectoria de un móvil en el espacio en todo punto de esta trayectoria.

OPERACIONES CON FUNCIONES VECTORIALES

1. (f+−

g)( t )=f ( t )+−g ( t )

2. (f¿ g )(t )=f (t )g( t )

3. (k F)(t)=K f(t)

4. (f * g)(t)= f(t) * g(t)

5. Si F=(f 1 , f 2 ….fn ) entonces lim f ( t )

t →a = (lim f 1,

t→a

lim f 2 ,t→ a …..,

lim f nt→ a

)

6. Si f= (f1 , f2 , …fn ) entonces f1 ´(t), f2 ´(t), …fn ´(t))

7. Si f= (f1 , f2 , …fn ) entonces ∫a

b

f ( t )dt=(∫a

b

f1 (t)dt, ∫a

b

f2 (t)dt,…, ∫a

b

fn (t)dt)

Page 41: Calculo II

ELEMENTOS VECTORIALES DE UNA CURVA EN R3

1. Vector posición : es el vector que va del origen al punto de la curva y viene dado por la misma función vector

r ( t )→

= f(t)i+g(t)j+h(t)k

2. Vector velocidad: es la derivada del vector posición

v ( t )→

= f´(t)i+g´(t)j+h´(t)k

3. Vector aceleración: es la derivada del vector velocidad

a ( t )→

= f´´(t)i +g´´(t)j+h´´(t)k

4. Vector tangente unitario: lleva la dirección del vector velocidad pero la magnitud uno.

T→

=

v ( t )→

|v ( t )→

|

5. Vector binormal: es aquel que es perpendicular al tangente como al vector normal y su magnitud uno

B=→

v ( t )∗¿

a→

(t )

|v→

( t )∗a( t )→

|

¿

6. Vector normal: es aquel que es perpendicular al vector tangente y al vector binormal

N ( t )→

= B ( t )→

*T ( t )→

7. Plano normal: es el plano cuyo vector normal es el vector tangente unitario

Π0 :P0 p0⋅¿

¿T→

=0 donde P=(x,y,z) y P 0 es el punto dado

8. Plano rectificador : es el plano cuyo vector normal es el vector normal

Page 42: Calculo II

Π0 :P0 p0⋅¿

¿N→

=0

9. Plano osculador: es el plano cuyo vector normal es el vector binormal

Π0 :P0 p0⋅¿

¿B→

=0

10. Curvatura: es la magnitud del vector curvatura

K=

|v→

∗a→

|

|v→

|3

11. Radio de curvatura: es la distancia que hay desde el centro de curvatura hasta un punto de curvatura y lleva la dirección del vector normal ( es el inverso de la curvatura)

ρ= 1K

12. Vector curvatura: es el vector que indica el cambio ( de posición) del vector tangente unitario con respecto a la longitud de arco de la curva.

k=→

KN→