calculo diferencial
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ECONOMÍA DEL DESARROLLO
Segundo Semestre
CÁLCULO DIFERENCIAL
TRABAJO GRUPAL:
APLICACIÓN DE LA PRIMERA DERIVADAS
(MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS)
PROFESOR: DR. CARRIÓN BYRON
INTEGRANTES: AVILEZ JOSE LUIS (Coordinador de Grupo)
MERA DANIELA
MILLINGALLI MARTHA
MORALES MARÍA BELÉN
AULA N°: “33” AÑO: 2012
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS CÁLCULO DIFERNCIAL SEGUNDO SEMESTRE
EJERCICIO 1
La función de ganancia de la compañía Acrosonic está dada por P(x) = −¿ 0.02 x2 +
300x −¿ 200000 dólares, donde x es el numero de sistemas de sonido del modelo F
producidas por Acrosonic. Determinar dónde es creciente la función P y dónde es
decreciente.
Solución:
P(x) = −¿ 0.02 x2 + 300x −¿ 200000
La razón de cambio de P’ de la función P es
P’(x)= −¿ 0.04x + 300
−¿0.04(x – 7500) = 0
x = 7500
Así, P’(x) = 0 cuando x = 7500. Además, P’(x) > 0 para x en el intervalo (0,7500) y P’(x) < 0 para x en el intervalo (7500,∞). Esto significa que la función de ganancia P aumenta en (0,7500) y disminuye en (7500,∞).
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
-400
-200
0
200
400
600
800
1000
Unidades de millar
Miles
de dó
lares
2 Grupo N° 8
y = P(x)
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS CÁLCULO DIFERNCIAL SEGUNDO SEMESTRE
EJERCICIO 2
FUNCIONES DE GANANCIA. La subsidiaria en México de la compañía Thermo-
Master fabrica un termómetro para interiores y exteriores. La gerencia estima que la
ganancia que puede lograr la compañía por la fabricación y venta de x unidades de
termómetros por semana es P(x) = −¿0.001x2 + 8x – 5000 dólares. Encuentre los
intervalos donde la función de ganancia P es creciente y los intervalos donde P es
decreciente.
Solución:
P(x) = −¿0.001x2 + 8x – 5000
La razón de cambio de P’ de la función P es
P’(x)= −¿ 0.002x + 8
−¿0.002(x – 4000) = 0
x = 4000
Así, P’(x) = 0 cuando x = 4000. Además, P’(x) > 0 para x en el intervalo (0,4000) y P’(x) < 0 para x en el intervalo (4000,∞). Esto significa que la función de ganancia P aumenta en (0,4000) y disminuye en (4000,∞).
1 2 3 4 5 6 7 8 9
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
Unidades de millar
Mile
s de d
ólare
s
3 Grupo N° 8
y = P(x)
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS CÁLCULO DIFERNCIAL SEGUNDO SEMESTRE
EJERCICIO 3
Ingreso para el producto de un fabricante, la función de ingreso está dada por
r = 240 q + 57 q2 −¿q3 ¿Determine la producción para obtener un ingreso máximo?
Solución:
FUNCIÓN DE INGRESO r=240 q+57 q2−q3
La razón de cambio de r’ de la función r es
r '=240+114 p−3q2
−3 (80+38q – q2 )=0
q2−38 q−80=0
(q−40 ) (q+2 )=0
q1=40 q2=−2
0 ,40 40 ,∞+¿+ −¿
Ingreso: r (40) = 36800 Ingreso Máximo r (0) = 0 Ingreso Mínimo
0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 520
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
40000
Producción
Ingr
esos
Para obtener el máximo ingreso se debe producir 40.
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FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS CÁLCULO DIFERNCIAL SEGUNDO SEMESTRE
EJERCICIO 4
Una empresa vende todas las unidades que produce a $4 c/u el costo total de la empresa
por producir x unidades esta dado por C = 50 + 1.3x + 0.001 x2
Determinar la fórmula para la utilidad total.
Determinar el volumen de la producción x de modo que la utilidad sea máxima.
Solución:
Utilidad = Ingreso – Costos
U = 4x −¿ (50 + 1.3x + 0.001x2)
U (x) = 4x –50 −¿ 1.3x −¿ 0.001x2
U (x) = 2.7x −¿ 0.001x2−¿ 50
La razón de cambio de U’ de la función U es
U’ (x) = 2.7 −¿0.002x
−¿(2.7 – 0.002x = 0)
x = 2.7
0 .002
x = 1350 volumen de producción
U (1350) = 2.7 (1350) −¿0.001 (1350)2 −¿50
U (1350) = 1772.50 utilidad máxima.
100 500 1000 1350 15000
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
Producción
Utilid
ad
Se necesita producir un volumen de 1350 unidades para que la Utilidad máxima sea de 1772.50.
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