calculo diferencial pensamientomatematico

CALCULO DIFERENCIAL

Desarrollo de habilidades del pensamiento matematico

Dra. Josefina de las Mercedes Cribeiro Dıaz

Dr. Humberto Madrid de la Vega

M.C. Ariana Carolina Hernandez Cuevas

M.C. Cristina Ariatna Guzman Galindo

Diseno de portada: Alejandro Madrid Morelos

Universidad Autonoma de CoahuilaBoulevard Venustiano CarranzaColonia Republica, C.P. 25280Saltillo, Coahuila

Dra. Josefina de las Mercedes Cribeiro DıazDr. Humberto Madrid de la VegaM.C. Ariana Carolina Hernandez CuevasM.C. Cristina Ariatna Guzman Galindo

ISBN: 978-607-506-145-0

Hecho en Mexico

PRESENTACION

Una preocupacion central del personal del C.I.M.A. en estos anos, ha sido la deinvestigar el “Problema General de la Ensenanza de las Matematica”; y producirmateriales basados en un nuevo metodo fundamentado en el Constructivismo, paradejar atras el metodo tradicional que es fuente de muchos males en el proceso educa-tivo. Hoy, la tecnologıa, en particular la computadora y las Hojas de Trabajo hacenposible este cambio; sin embargo se requieren crear las condiciones materiales, decapacitacion de profesores e institucionales para impulsar la superacion de las viejasdolencias en el area de la matematica educativa.

Estos libros al incluir el uso de la computadora para el proceso de ensenanza apren-dizaje, estan cambiando radicalmente el modelo tradicional de ensenanza de lasmatematicas. Si antes el principal actor era el profesor que exponıa verbalmentey en el pizarron un concepto, los metodos o algun tema para que el alumno lomemorizara, con el uso de la tecnologıa el alumno conduce sus propias acciones paraaprehender el contenido, guiados por lo que el profesor diseno para cumplir los ob-jetivos. El estudiante ya no esta pasivo, tratando de memorizar lo que el profesorverbaliza en un lenguaje abstracto, ahora el propio alumno se enfrenta al problemaque plantea la Hoja de Trabajo, ejecuta las acciones necesarias, explora, visualiza yen definitiva piensa soluciones y las calcula para obtener resultados, ejecutando losprocesos logicos del raciocinio lo que fortalece su pensamiento matematico.

Este es el camino para eliminar los fantasmas y los mitos sobre la disciplina, ası co-mo lograr mas y mejores metas en la educacion matematica.

La Doctora Josefina de las Mercedes Cribeiro Dıaz encabezando un equipo de tra-bajo del C.I.M.A., con su larga experiencia academica y su amplio esfuerzo, comoresultado de un proyecto de investigacion apoyado por FOMIX-COECYT aportasuficientes Hojas de Trabajo para el aprendizaje de calculo diferencial, integral ymultivariable en un paquete de tres libros dedicados a los alumnos de matematicasaplicadas, ingenierıa y areas afines. Por eso sus contenidos fueron ajustados y proba-dos en sesiones experimentales con estudiantes de la Facultad de Sistemas de la U.A.de C.. Tambien forman parte de una serie de libros para maestros y alumnos, pu-blicados con anterioridad.

i

Con ello el CIMA aporta a la comunidad un valioso instrumento para que sumadoa otros esfuerzos, se contribuya a mejorar sustancialmente la matematica educativaen nuestra institucion y en la region. El exito depende mucho del impulso a unprograma para que los profesores hagan suyo el metodo constructivista basado enla tecnologıa, con base en los materiales que estos libros pone a su disposicion.

Francisco Javier Cepeda Flores

ii

INTRODUCCION

Como resultado de anos de investigacion en diferentes instituciones de EducacionSuperior a fin de determinar la forma en que los estudiantes enfrentan el aprendiza-je de las matematicas, sus habitos de estudio y las dificultades que presentan contemas ya tratados en el nivel anterior, el colectivo de autores sacan a la luz treslibros vinculados con Calculo Diferencial Calculo, Integral y Calculo Multivariable,con el objetivo de desarrollar habilidades del pensamiento matematico.

Estos tres libros son resultado del proyecto financiado por FOMIX-CONACYT “In-

cidencia de las tecnologıas de la informacion en el aprendizaje de las ciencias exactas

para los programas de estudio de ingenierıa relacionados con las tecnologıas de la

informacion” aplicado en la Facultad de Sistemas de la Universidad Autonoma deCoahuila. Se realizaron encuestas para determinar la forma de estudio y el desarrollode capacidades de los estudiantes. Se establecio un diagnostico de las caracterısticasde los estudiantes, la forma de imparticion de las clases y el sistema de evaluacionutilizado.

A partir del diagnostico se disenaron Hojas de Trabajo, las cuales se aplicaron a ungrupo de estudiantes de la Facultad de Sistemas de la U. A. de C. El diseno siguela metodologıa de Cribeiro [6] bajo el marco teorico de la Teorıa de la activacion deAprendizaje por etapas de Galperin [9] bajo el enfoque historico cultural de Vigotski[22] en el marco teorico del constructivismo.

En cada Hoja de Trabajo se establece un tıtulo, se declaran los objetivos y se transitapor las diferentes etapas de construccion del conocimiento, por ello cada objeto deestudio comienza a tratarse a partir de los elementos basicos sobre los cuales se debede anclar el nuevo conocimiento. Se construyen los conceptos a partir de pregun-tas y razonamientos geometricos, mediante exploraciones de las caracterısticas delobjeto matematico que se estudia, posteriormente se pide que expresen en lenguajeespanol y en lenguaje matematico las ideas, las comuniquen, discutan, sinteticen,concluyan, generalicen dichas ideas y se integre el nuevo conocimiento derivado deconocimientos anteriores. En todos los casos se busca que los estudiantes apliquenlos conocimientos a situaciones nuevas. Dependiendo del tema, la longitud de cadaHoja de Trabajo varıa entre diez a quince cuartillas, como promedio. Constan de seispartes: Conceptos a recordar, construccion del concepto, sintetizar ideas, ejercicios

1

y problemas, trabajo independiente y conclusiones.

CONCEPTOS A RECORDAR. Esta parte debe ser trabajada en equipo, con elaporte de todos los miembros del equipo. Las Hojas de Trabajo comienzan tratandolos elementos basicos que deben de servir de ancla a los nuevos conocimientos, apartir de los elementos basicos necesarios para la comprension del concepto a tratar.Esta parte corresponde la base orientadora de la actividad, donde se busca orientarseen las acciones que se deben de realizar.

CONSTRUCCION DEL CONCEPTO. Esta parte debe ser trabajada en elabo-racion conjunta profesor y estudiantes, en la forma tradicional de ensenanza es laparte en que el profesor explica. En la fase de diseno, a partir de los conocimientosbasicos, mediante preguntas y razonamientos geometricos se trabaja con las cara-cterısticas del concepto que se desea construir, las propiedades del concepto o elmetodo que se debe de proponer. Es una fase exploratoria, donde se trabaja con lasdiferentes representaciones y el paso de una a otra, la geometrica, la algebraica, laexpresion en lenguaje espanol y en lenguaje matematico. En esta parte se busca de-sarrollar las capacidades de observar, identificar propiedades, interpretar enunciados,clasificar, analizar, expresar ideas en lenguaje espanol, expresar ideas en lenguajematematico. Es una etapa de exploracion donde se trabaja con apoyo material delibros, notas de clase, computadora y software adecuado, apoyo del docente y apoyode los companeros.

SINTETIZAR IDEAS. Esta parte debe ser trabajada en equipo para exponer losresultados. Una vez construido el concepto, declaradas las propiedades o propuestoel metodo de trabajo, se pide que se haga un analisis del trabajo realizado, se interrelacionen los diferentes aspectos en las diversas representaciones y se sinteticen losresultados principales para aplicar los conocimientos a situaciones nuevas. En estaparte se tiene como objetivo desarrollar la capacidad de analizar, reflexionar y desintetizar ideas. Se trabaja con apoyo material de libros, notas de clase, apoyo deldocente y participacion de los companeros.

EJERCICIOS Y PROBLEMAS. Esta fase debe ser trabajada en equipo dis-cutida y expuesta en el grupo. Se plantean ejercicios a resolver para reafirmar losconocimientos. En cada tema se presentan problemas para resolver. En esta parte setiene como objetivo desarrollar la capacidad de resolver problemas. Se trabaja conapoyo material de libros, notas de clase, computadora y software adecuado, apoyodel docente y apoyo de los companeros. El uso del lenguaje ayuda a hacer conscienteel proceso y a la internalizacion del conocimiento para pasar de la etapa externa ala etapa interna.

TRABAJO INDEPENDIENTE. En esta etapa los estudiantes deben de tra-bajar en forma independiente, solos en casa, respondiendo en forma reflexiva para

2

contestar y entregar la Hoja de Trabajo. A partir de los diferentes casos particu-lares se busca que los estudiantes lleguen a la generalizacion y la abstraccion. Enesta etapa se tiene por objetivo la independencia total del alumno y que el procesopase a la etapa mental sin apoyo material. Se trata de desarrollar la capacidad degeneralizar y abstraer.

CONCLUSIONES. El final de cada Hoja de Trabajo es un resumen a modo deconclusiones, el cual sintetiza en forma breve todos los resultados obtenidos pararecordar a fin de utilizarlo en el futuro. Debe ser elaborado en forma independientepor cada estudiante y discutida despues en el grupo.

Cada uno de los libros no pretende sustituir los libros de texto sino ser un com-plemento de los mismos que ayude a los estudiantes a construir el conocimientopasando de visualizaciones geometricas y casos particulares a generalizar ideas yconceptos. Ademas pasar de situaciones generales a aplicar en casos particulares, suobjetivo es lograr conjuntamente con la adquisicion de conocimientos, desarrollaren los estudiantes las capacidades de observar, identificar propiedades, clasificar,analizar, interpretar enunciados, expresar ideas en lenguaje natural, expresar ideasen lenguaje matematico, sintetizar, concluir, generalizar, integrar conocimientos,aplicar conocimientos en situaciones nuevas. Con ello formar y fortalecer el pen-samiento matematico.

El presente libro de Hojas de Trabajo de Calculo Diferencial consta de cinco capıtu-los, el primero sobre conceptos basicos de numeros reales y los otros cuatro, concatorce Hojas de Trabajo sobre funciones, lımites y derivadas. Las seis primeras Ho-jas de Trabajo del capıtulo dos, tratan el concepto de funcion de variable real, susoperaciones y propiedades.

El capıtulo tres tiene cinco Hojas de trabajo sobre el concepto de lımite, sus propieda-des y calculo.El capıtulo cuatro tiene dos Hojas de trabajo sobre el concepto de derivada y sucalculo.El capıtulo 5 trata las aplicaciones de la derivada

3

INDICE

PRESENTACION I

INTRODUCCION 1

1. CONCEPTOS BASICOS 71.1. Numeros Reales R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2. Trabajo con winplot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3. Relaciones entre conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2. FUNCIONES 292.1. H.T. 1. Funciones. Relacion entre variables independientes y depen-

dientes. Dominio e imagen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2. H.T. 2. Funcion de una variable. Conceptos basicos. . . . . . . . . . . 452.3. H.T. 3. Desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.4. H.T. 4. Funciones trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.5. H.T. 5. Operaciones con funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722.6. H.T. 6. Funcion compuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3. LIMITES 953.1. H.T. 7. Introduccion a lımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 953.2. H.T. 8. Lımites unilaterales. Existencia del lımite. . . . . . . . . . . . 1023.3. H.T. 9. Lımite de una funcion no definida en el punto . . . . . . . . . 1213.4. H.T. 10. No existencia de lımite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1383.5. H.T. 11. No existencia del l”imite. Funcion no definida en el punto. . 159

4. DERIVADAS 1754.1. H.T. 12. Derivadas. Relacion con los conceptos y propiedades de fun-

cion y lımite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1754.2. H.T. 13. Calculo de derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

5. APLICACIONES DE LA DERIVADA 1895.1. H.T. 14. Aplicaciones de la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

5

Capıtulo 1

CONCEPTOS BASICOS

1.1. Numeros Reales R

I. OBJETIVOS

Expresar diferentes conjuntos en forma extensional y en forma intensional

Expresar las caracterısticas de cada uno de los conjuntos numericos reales.

Expresar la diferencia entre los numeros racionales y los irracionales en surepresentacion en forma decimal, a fin de poder distinguir entre ambos.

Identificar y diferenciar propiedades, relaciones y operaciones de los numerosenteros, racionales e irracionales, argumentando las respuestas.

Comparar los diferentes numeros en una relacion de orden creciente y/o de-creciente.

Expresar diferentes notaciones de los numeros reales.

Representar los numeros reales en la recta numerica.

Clasificar los conjuntos numericos identificando los subconjuntos.

Expresar las caracterısticas de los intervalos y vecindades de puntos en la rectanumerica. Representarlos en diferentes notaciones.

II. CONJUNTOS

Un conjunto es una coleccion arbitraria de objetos. Los objetos de un conjunto sellaman elementos y se acepta que hay una relacion de pertenencia entre elemen-tos y conjuntos. Tambien se acepta un conjunto universo previamente definidodonde se encuentran todos los elementos necesarios para un estudio determinado.

7

La relacion de pertenencia ∈; cumple la condicion de que dado un elemento x deluniverso y un conjunto cualquiera A, x pertenece a A es una proposicion logica o seaque siempre es verdadera o falsa, cuando es verdadera se representa: x ∈ A, cuandoes falsa se utiliza x /∈ A.

C es subconjunto de A si todos los elementos de C son tambien elementos de A.

Representacion de un conjunto:

Es costumbre representar a los conjuntos utilizando mayusculas y minusculas paralos elementos

i) Forma extensional

Una forma usual de representar conjuntos es con los elementos separados porcomas entre llaves.

Por ejemplo:

A = {1, 2, 3, 4, 5},S = {Lunes, Martes, Miercoles, Jueves, Viernes}

= {Martes, Viernes, Jueves, Lunes, Miercoles},C = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Anil, Violeta},P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .}Conjunto de los numeros primos.

Expresa tres conjuntos en forma extensional

ii) Forma intensional

Tambien pueden representarse los conjuntos expresando las propiedades quecumplen los objetos.

Por ejemplo:

B = {x ∈ N : 1 ≤ x ≤ 8},P = {x ∈ N : x es primo}.

Expresa tres conjuntos en forma intensional

8

CONJUNTOS NUMERICOS

C Complejos

R Reales

Q Racionales

Z Enteros

N NaturalesCero

Enteros negativosFraccionarios

IrracionalesI Imaginarios

Numeros Reales

Reales R

Racionales Q

Enteros Z

Naturales N

{

PrimosCompuestos

CeroNegativos

Fraccionarios

{

Fraccion propiaFraccion impropia

Irracionales

III. CARACTERIZACION Y RECONOCIMIENTO DE LOS DIFER-ENTES NUMEROS

NATURALESCONSTRUCCION DE LOS NATURALES

N = Conjunto de los Numeros Naturales

N = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . .

El conjunto de los Numeros Naturales surgio de la necesidad de contar, lo cualse manifiesta en el ser humano desde sus inicios.

Este conjunto se caracteriza porque:

• Tiene un numero ilimitado de elementos,

• Cada elemento tiene un sucesor y todos, excepto el 1, un antecesor,

9

• El sucesor de un numero natural se obtiene sumando uno (+1); el ante-cesor se obtiene restando uno (-1),

• Cualquier subconjunto de los numeros naturales tiene un elemento mıni-mo (por ejemplo, el subconjunto formado por los numeros pares tienecomo elemento mınimo a 2).

CONSTRUCCION DE LOS ENTEROS A PARTIR DE LOS NATU-RALES

Aparicion de los numeros negativos. Los numeros enteros son una general-izacion del conjunto de numeros naturales que incluye numeros enterosnegativos (resultados de restar a un numero natural otro mayor), ademasdel cero. El hecho de que un numero sea entero, significa que no tiene parte dec-imal. Los numeros enteros negativos pueden aplicarse en diversos contextos, comola representacion de profundidades bajo el nivel del mar, temperaturas bajo cero, odeudas, entre otros.

Este conjunto se caracteriza por:

FRACCIONARIOS

Los egipcios utilizaron por primera vez las fracciones comunes alrededor del ano1000 a. C.La necesidad de dividir un objeto en diferentes partes y tomar algunas de esas partesda lugar a los numeros fraccionarios. Por ejemplo dividir en dos partes iguales ytomar una, dividir en cuatro y tomar una, dos, tres o cuatro partes 1

2; 1

3; 1

4; 3

4.

Al dividir una barra de chocolate, una pizza, o alguna fruta y comenzar a tomarporciones se tienen las fracciones de la unidad considerada. Considerando que la

10

unidad se divide en q partes y que p indica el numero porciones que se van atomar, la relacion p

qexpresa el numero p de porciones que se toman de las q en que

se dividio el objeto. Comenzando con q = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, . . . y se van tomandop = 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . . En este proceso se pasan de situaciones concretas particu-lares con objetos especıficos, a la descontextualizacion y simbolizacion matematicageneralizada, logrando la abstraccion conceptual fuera de cualquier contexto querepresenta la relacion numerica representada por p

q.


APARICION DE NUMEROS QUE NO SON FRACCIONARIOS - IR-RACIONALES

Aparentemente Hipaso (un estudiante de Pitagoras) descubrio los numeros irra-cionales intentando escribir la raız de 2 en forma de fraccion (se cree que usandogeometrıa). Pero en su lugar demostro que no se puede escribir como fraccion, ası quees irracional. Un numero es irracional si posee infinitas cifras decimales no periodi-cas, por tanto no se puede expresar en forma de fraccion.

El numero irracional mas conocido es π, que se define como la relacion entre lalongitud de la circunferencia y su diametro.

π = 3,141592653589 . . .

Otros numeros irracionales son:El numero e aparece en procesos de crecimiento, en la desintegracion radiactiva, enla formula de la catenaria, que es la curva que podemos apreciar en los tendidoselectricos.

e = 2,718281828459 . . .

El numero aureo, φ, utilizado por artistas de todas las epocas (Fidias, Leonardo daVinci, Alberto Durero, Dalı,..) en las proporciones de sus obras.

φ =1 +

√5

2= 1,618033988749 . . .


11

IV. REPRESENTACION GRAFICA

La recta numerica real o recta de coordenadas es una representacion geometri-ca del conjunto de los numeros reales. Tiene su origen en el cero, y se extiende enambas direcciones, los positivos en un sentido (normalmente hacia la derecha) y losnegativos en el otro (normalmente a la izquierda). Existe una correspondencia unoa uno entre cada punto de la recta y un numero real.

Se construye como sigue: se elige de manera arbitraria un punto de una lınea rectapara que represente el cero o punto origen. Se elige un punto a una distancia ade-cuada a la derecha del origen para que represente al numero 1. Esto establece laescala de la recta numerica.

1. Represente en la recta numerica los siguientes numeros racionales:

a. 32

b. 72

c. −12

d.−52

Solucion:

2. Represente en la recta numerica los siguientes numeros racionales:

a. 43

b. 83

c. −23

d.−73

Solucion:

12

V. SUBCONJUNTOS NUMERICOS

El conjunto de los numeros enteros (Z) esta conformado por tres subconjuntos queson:

Z+ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . .} son los enteros positivos.

{0}, Conjunto unitario cero”. Entero que no se considera positivo ni negativo.

Z+ = {−1,−2,−3,−4,−5,−6,−7, . . .} son los enteros negativos.

Ejercicios:

a) Escribe los siguientes subconjuntos de los enteros que cumplan las condicionesindicadas en cada caso:

• Mayores que -5 y menores que 7

• Mayores que -8 y menores que -1

• Menores que 3 y mayores que -6

• Mayores que -4 y menores que 10

b) Ordena de menor a mayor las siguientes cantidades.

• 8, 9, 3, - 5, - 1, 9, - 9, 0, 6.

• 6, - 7, - 1, 8, 2, 1, - 10, - 4, - 2, 7.

• -12, 14, - 3, - 5, 10, - 15, - 8, 7, 0, 9, - 1, - 2, 6.

VI. INTERVALOS Y VECINDADES

Intervalos:

Los intervalos numericos en R son conjuntos de numeros reales y se representanmediante un segmento con o sin extremos. Pueden ser acotados o no acotados:

Intervalos acotados:

Intervalo abierto (a, b). Esta formado por los numeros reales x comprendidosentre a y b, excluidos ambos. Se expresa: a < x < b.

{x ∈ R : a < x < b}.

Intervalo cerrado [a, b]. Esta formado por los numeros reales x comprendidosentre a y b, incluidos ambos. Se expresa a ≤ x ≤ b.

{x ∈ R : a ≤ x ≤ b}.

13

Intervalo abierto a la derecha [a, b). Esta formado por los numeros reales xcomprendidos entre a y b, incluido a. Se expresa a ≤ x < b.

{x ∈ R : a ≤ x < b}.

Intervalo abierto a la izquierda (a, b]. Esta formado por los numeros reales xcomprendidos entre a y b, incluido b. Se expresa a < x ≤ b.

{x ∈ R : a < x ≤ b}.

Vecindades de un punto:

V r(c) = {x ∈ R : d(x, c) ≤ r}.

1.2. Trabajo con winplot

I. OBJETIVOS

Expresar diferentes conjuntos en forma extensional y en forma intensional

Expresar las caracterısticas de cada uno de los conjuntos numericos reales.

Expresar la diferencia entre los numeros racionales y los irracionales en surepresentacion en forma decimal, a fin de poder distinguir entre ambos.

Identificar y diferenciar propiedades, relaciones y operaciones de los numerosenteros, racionales e irracionales, argumentando las respuestas.

Comparar los diferentes numeros en una relacion de orden creciente y/o de-creciente.

Expresar diferentes notaciones de los numeros reales.

Representar los numeros reales en la recta numerica.

Clasificar los conjuntos numericos identificando los subconjuntos.

Expresar las caracterısticas de los intervalos y vecindades de puntos en la rectanumerica. Representarlos en diferentes notaciones.

II. ELEMENTOS BASICOS DEL TRABAJO CON WINPLOT

Al dar click en el programa se despliega la siguiente ventana con un menu de dosopciones, ventana y ayuda.

14

Al dar click en la ventana se despliega un menu con ocho opciones. Como se va atrabajar en dos dimensiones se da click a 2-dim y se despliega una nueva ventanacon los ejes cartesianos y un menu con ocho opciones: archivo, Ecua, Ver, Btns, Una,Dos, Anim, Misc.

Trabajaremos con la opcion Ecua, la cual permite graficar funciones. Al dar click enEcua se despliega un nuevo submenu. Por el momento se utilizara la forma explıcita.Al dar click en Explıcita aparece una nueva ventana f(x) = . . .. donde se expresa lafuncion que se desea graficar y el intervalo deseado xinf; xsup. Tambien aparece elcolor y el grueso del trazo. Al dar click en ok aparece el grafico y una nueva pantalla

15

con 12 submenus: editar, borrar, duplicar, copiar, tabla, familia, grafica, ecuacion,nombre, derivar, red, cerrar. Al dar editar aparece la ventana anterior donde se dala funcion y el dominio donde se grafica.

I. Varias graficas en una misma ventana

Para presentar varias graficas en una misma ventana se da click en duplicar,aparece una nueva ventana que pregunta si se desea borrar la original, suponemosque no queremos borrarla y damos click en no, entonces aparece la ventana con lafuncion que tenemos graficada. Por ejemplo f(x) = x∧2.

16

A) Se desea visualizar el efecto que se tiene cuando a la funcion original se le anadeuna constante y determinar como se modifica el conjunto de las imagenes dela funcion.

i) k positiva

Se escribe f(x) = x∧2+1 y se da click en ok. Si se desea se puede cambiarel color para esta nueva grafica. Se cambio el grueso del grafico (anchode lapiz ) a 2 y el color a azul a fin de distinguirla de la original. En laventana de la derecha aparece en color azul y con dos grueso del graficof(x) = x∧2 + 1 y f(x) = x∧2 + 2.

Se puede repetir el grafico para diferentes valores positivos de k y final-mente analizar el efecto que le causa a una funcion que pasa por el origencuando se le suma una constante k positiva.

ii) k negativa

Repitiendo el proceso descrito en el inciso i) para f(x) = x∧2 − 1 yf(x) = x∧2 − 2 el color verde y dos gruesos del grafico (ancho de lapiz)se obtienen las graficas de la ventana derecha.

Explique el efecto que causa en la funcion original f(x) = x∧2 que tienesu vertice en el origen el sumar i) una constante positiva, ii) una constantenegativa.

Considere otras funciones y = x; y = x∧3; y = ln(x); .

En todos los casos graficar f(x) + k para k positiva y k negativa. Expresar el efectoque produce en la funcion original f(x) el parametro k. Explique ademas como se

17

modifico el conjunto imagen para cada valor de k.

B) Se desea visualizar el efecto que produce en la funcion f(x) el restar unaconstante h a la variable x y analizar como influye en el dominio de la funcion.Consideremos f(x− h) para valores de h positivo y negativo.

i) h positiva

Para h igual a 1 y 2 se tiene (x − 1)∧2 y (x − 2)∧2, se da color verde ydos valores diferentes para el ancho de lapiz.

ii) h negativa

Para h igual a -1 y -2 se tiene (x + 1)∧2 y (x + 2)∧2, se da color azul ydos valores diferentes para el ancho de lapiz.

Siguiendo el mismo procedimiento que en el inciso A) se comienza haciendo el graficode la funcion y = x∧2 y luego en el orden en que aparecen en la tabla siguiente

18

Explique el efecto que causa en la funcion original f(x) = x∧2 que tiene suvertice en el origen el restar a la variable independiente x i) una constantepositiva, ii) una constante negativa.

Considere otras funciones y = x; y = x∧3; y = ln(x);

En todos los casos graficar f(x − h) para h positiva y h negativa. Expresarel efecto que produce en la funcion original f(x) el parametro k. Expliqueademas como se modifico el conjunto dominio para cada valor de h.

19

Tabla. Al dar click en tabla aparece la tabla de la funcion que se ha definido

20

Nombre. Es posible poner el nombre de una funcion dando click en nombre

II. Una funcion con dominio dividido

Utilizando la forma de trabajo dada en I se puede poner en una misma ventanafunciones definidas para intervalos diferentes, por ejemplo y = 2 aparece definidapara [−5, 5], y = 1 aparece definida para [1, 4]. El punto (1, 1) aparece destacadocon un cırculo, lo cual se logra dando click en la opcion punto del menu de Ecua ydar los valores x = 1; y = 1.

21

Se pueden ver las coordenadas de cualquier punto del plano cartesiano, en particularde la curva, situando el cursor en el punto deseado y dando click.

Se puede expresar

f(x) para 0 ≤ x ≤ 1 como x∧2

1 ≤ x ≤ 3 como 2

3 ≤ x ≤ 5 como − x.

¿es una funcion, la relacion de dominio dividido dada anteriormente?

¿De que forma tendrıa que definirla para lograr un trazo continuo y que la relacionfuese una funcion?

1.3. Relaciones entre conjuntos

I. OBJETIVOS

22

Expresar diferentes conjuntos en forma extensional y en forma intensional.

Identificar las caracterısticas en cada uno de los conjuntos numericos reales.

Expresar la diferencia entre los conjuntos de pares ordenados de la relacion deacuerdo a los pares de conjuntos considerados, poder distinguir entre ellos.

Identificar y diferenciar propiedades, relaciones y operaciones teniendo encuenta los diferentes conjuntos numericos enteros, racionales, irracionales, reales,argumentando las respuestas.

Comparar las diferentes representaciones de las relaciones para cada par deconjuntos A y B.

Analizar las diferentes situaciones que se presentan cuando se cambia uno o losdos conjuntos de trabajo (no existe vınculo entre los conjuntos, existe vınculopero no se cumple una de las propiedades, se cumplen las dos propiedades).

Representar las relaciones en el plano y argumentar las diferencias de acuerdoa los pares de conjuntos.

II. A partir de la relacion entre los conjuntos A y B, determinar si larelacion cumple las propiedades 1 y 2. Hallar el dominio y el recorrido.

Propiedad 1: Todo elemento de A se relaciona con un elemento de B (A1 == A)Propiedad 2: A cada elemento de A le corresponde uno y solo uno elemento de B

Relacion x ∈ A y ∈ B Dominio A1 Recorrido B1 P1 P2xRy A1 parte de A B1 parte de B A1

relacionada con relacionada con ==elementos de B elementos de A A

{2, 3, 5} {8, 27, 125}y = x3 N R−

N N

R R

{2, 3, 5} {8, 27, 125}{2, 3, 5} {−8,−64, 125}

y = (x− 7)3 N R−N N

R R

{2, 3, 5} {8, 27, 65}{2, 3, 5} {2, 31, 119}

y = x3 − 6 N R−N N

R R

23

Relacion x ∈ A y ∈ B Dominio A1 Recorrido B1 P1 P2

{2, 3, 5} {32, 27, 65}{2, 3, 5} {−32,−108, 56}

y = −4x3 R+ R−N N

R R

{2, 3, 5} {512, 627, 8000}y = (4x)3 N N

R R

{1, 2, 4, 5} {12 ,

14 , 1, 2}

y = 1x

N N

R R

{1, 2, 4, 5} {3, 52 , 7, 9}y = 1

x+ 2 N N

R R

{1, 2, 4, 5} {−12 , 1, 7, 8}

y = 1x−4 N N

R R

{1, 2, 4, 5} {−3, 1, 32 , 4}y = −3

x−4 N N

R R

{1, 2, 4, 5} {−13 ,

121 , 2, 3}

y = 1x2−4

N N

R R

{−1, 0, 2, 4} {0, 1, 2, 3}y = ± 2

√x N N

R R

{−1, 0, 2, 4} {−4, 0, 1, 3}y = −2 2

√x N N

R R

{−1, 0, 2, 4} {0, 1, 2, 3}y = 2

√−2x N N

R R

{−1, 0, 2, 4} {−4,−2, 0, 1}y = 2

√x− 4 N N

R R

{−1, 0, 2, 4} {0, 1, 2}y = 2

√x− 4 N N

R R

{−1, 0, 2, 4} {2, 3, 4, 5}y = 2

√x+ 5 N N

R R

24


{−1, 0, 2, 4} {0, 1, 2}y = 2

√x2 − 12 N N

R R

{−1, 0, 2, 4} {2, 3, 4}y = 2

√−x+ 1

2√

2+x

N N

R R

{−1, 0, 1, 2} {0, 1, 3}y = lnx N N

R R

{−1, 0, 1, 2, 3} {0, 1, 4, 6}y = ln(x− 2) N N

R R

{−1, 0, 1, 2} {−2, 0, 1}y = lnx− 2 N N

R R

{−1, 0, 1/2, 2} {0, 1, 2}y = ln(2x) N N

R R

{−1, 0, 1, 2} {0, 1, 2}y = 2 lnx N N

R R

{−3, 0, 1, 2} {−3, 0, 1, 2}y = exp(x) N N

R R

{−3, 0, 1, 2} {−3,−3e, 0, 2}y = −3exp(x) N N

R R

{−3, 0, 1, 2} {1, 2, 3}y = exp(−3x) N N

R R

{−3, 0, 1, 2} {−2, 0, 1}y = exp(x− 2) N N

R R

y = sen(x) [0, 2π] [−1, 1]R R

y = sen(2x) [0, 2π] [−1, 1]R R

y = 2sen(x) [0, 2π] [−3, 3]R R

y = sen(x) + 4 [0, 2π] [−1, 6]R R

y = sen(

x+ π2

)

[0, 2π] [−1, 1]R R

25


y = cos(x) [0, 2π] [−1, 1]R R

y = cos(x2 ) [0, 2π] [−2, 1]R R

y = cos(x− π) [0, 2π] [−1, 2]R R

y = cos(x)− 4 [0, 2π] [−5, 5]R R

y = −3 cos(x) [0, 2π] [−4, 4]R R

y = tan(x) [−π, π] (−∞,∞)R R

y = −2 tan(x) [−π, π] (−∞,∞)R R

y = tan(−x) [−π, π] (−∞,∞)R R

y = tan(x) + 5 [0, 2π] (−∞,∞)R R

y = tan(

x+ π3

)

[0, 2π] (−∞,∞)R R

y = csc(x) [0, 2π] (−∞,∞)R R

y = −2 csc(x) [0, 2π] (−∞,∞)R R

y = csc(x)− 2 [0, 2π] (−∞,∞)R R

y = csc(

x− π3

)

[0, 2π] (−∞,∞)R R

y = csc(−x) [0, 2π] (−∞,∞)R R

y = sec(x) [0, 2π] (−∞,∞)R R

y = sec(−x) [0, 2π] (−∞,∞)R R

y = −3 sec(x) [0, 2π] (−∞,∞)R R

y = sec(x)− 1 [0, 2π] (−∞,∞)R R

y = sec(x+ π) [0, 2π] (−∞,∞)R R

y = cot(x) [0, 2π] (−∞,∞)R R

y = cot(−x) [0, 2π] (−∞,∞)R R

26


y = −4 cot(x) [0, 2π] (−∞,∞)R R

y = cot(x)− 1 [0, 2π] (−∞,∞)R R

y = cot(

x+ π3

)

[0, 2π] (−∞,∞)R R

II. Hacer el grafico de cada una de las relaciones dadas en la tabla para todos lospares de conjuntos A y B. Senalar en el grafico el Dominio en color rojo, el Recorridoen color azul y los pares ordenados que forman la relacion en color verde.

III. Analizar y explicar como influye en el dominio y el recorrido:

i) El multiplicar la variable independiente por una constante c, es decir f(cx).

ii) El multiplicar la funcion f(x) por una constante d, es decir df(x).

iii) El restar una constante h a la variable independiente.

iv) El restar una constante k a la funcion f(x).

IV. Hallar el valor de la funcion evaluada en los puntos senalados en la tabla

y = f(x) f(−1) f(0) f(4) f(6) f(−x)y = x3

y = (x− 7)3

y = 4x3

y = 1x

y = 1x−4

y = 3x−4

y = 1x2−4

y = n√x− 5

y = n√x2 − 2

y = 2√−x+ 1

2√2+x

y = ln(x)y = ln(x− 2)y = ln(x)− 2y = ln(2x)y = 2 ln(x)y = exp(x)

y = −3exp(x)y = exp(−3x)y = exp(x)− 3y = exp(x− 3)

27

Capıtulo 2

FUNCIONES

HOJA DE TRABAJO 1

2.1. H.T. 1. Funciones. Relacion entre variables

independientes y dependientes. Dominio e im-

agen.

I. OBJETIVOS

Relacionar las variables independientes y dependientes con su entorno familiary con problemas de actualidad en ciencia, economıa y/o tecnologıa.

Observar las caracterısticas de las variables independientes y de las dependi-entes.

Identificar las variables independientes, las dependientes y las leyes que lasrelacionan.

Determinar los conjuntos donde varıan las variables independientes y depen-dientes.

Representar en forma grafica, algebraica, tabular, simbolica, verbal y pasar deuna representacion a otra.

Construir el concepto intuitivo de funcion a partir de las caracterısticas, difer-entes conjuntos y diferentes leyes que los relacionan.

Formular el concepto.

II. PROBLEMA DETONANTE DE LA MOTIVACION

29

Problema 1:Dolares Pesos Pesos

(1er. dıa ) (2do. dıa )1 10 202 20 403 30 604 40 805 50 1006 60 1207 70 1408 80 1609 90 18010 100 20011 110 22012 120 24013 130 26014 140 28015 150 30016 160 32017 170 34018 180 360

Establecer intercambio de ideas sobre las ventajas de estas dos representaciones.Considerar valores racionales y destacar las diferencias y analogıas de los diferentescasos.

Problema 2

La comision federal de electricidad establece diferentes tarifas de cobranza de acuer-do al consumo de energıa electrica. Se establecieron las siguientes tarifas:

Para consumos menores a 50 kwh se establece una tarifa de consumo mınimo en elcual pagan $32,45 mas el 16% de IVA.

¿Entre que valores debera estar el consumo de energıa para seguir pagando la tarifamınima?

a) Escribe una expresion matematica para calcular el pago de energıa de acuerdo asu consumo en la tarifa de pago mınimo:

30

b) Realiza el grafico para la tarifa de consumo mınimo y los kilowatt horas permi-tidos.

Para consumidores mayores de 50kwh hasta 150 kwh pagan la tarifa de serviciobasico que consta de pagar $0,649 por cada kwh mas el 16% de IVA.

c) ¿Entre que valores debera estar el consumo de energıa para seguir pagando elservicio basico?

d) Escribe una expresion matematica para calcular el pago de energıa de acuerdo asu consumo en esta tarifa de servicio basico:

e) Realiza el grafico para la tarifa de servicio basico y los kilowatt horas permitidosen dicha tarifa.

31

Para los consumidores mayores de 150 kwh hasta los 400kwh pagan un servicio in-termedio el cual consta del pago servicio basico por los primeros 150 kwh mas unpago adicional de $0,763 por cada kwh extra mas el 16% de IVA.

f) ¿Entre que valores debera estar el consumo de energıa para seguir pagando esteservicio intermedio?

g) Escribe una expresion matematica para calcular el pago de energıa de acuerdo asu consumo en esta tarifa de servicio intermedio:

h) Realiza el grafico para la tarifa de servicio basico y los kilowatt horas permitidosen la tarifa intermedia.

32

Si el consumo de energıa entre los 400 y 500 kwh en promedio de los 6 bimestresanteriores, pagaran una tarifa intermedia-alta seguiran pagando tarifa intermediamas un 45,6% del pago total y su correspondiente IVA.

i) ¿Entre que valores debera estar el consumo de energıa para seguir pagando esteservicio intermedio-alto?

j) Escribe una expresion matematica para calcular el pago de energıa de acuerdo asu consumo en esta tarifa de servicio intermedio-alto:

k) Realiza el grafico para la tarifa de servicio basico y los kilowatt horas permitidosen la tarifa intermedio-alto.

33

l) Escribe de manera resumida una funcion en base a las tarifas de consumo deenergıa. Suponiendo a la variable x como la cantidad de kwh consumida durante elbimestre.

f(x) =

32,45 + (32,45)(,15) si 0 < x ≤ 50si 0 < x ≤ 50si 50 < x ≤ 150

si

m) Realiza el grafico en el cual se resuma la informacion sobre las diferentes tari-fasde consumo de energıa electrica desde 0 hasta los 650 kwh.

n) ¿Como se llama esta funcion ?

34

Problema 3

Dado un cuerpo cualquiera, por ejemplo una botella, tomar mediciones que permitandibujar y hallar la relacion entre variables a fin de determinar finalmente el volumende su contenido.

Problema 4

Preguntar a profesores de la especialidad ejemplos de funciones utilizadas en la es-pecialidad.

II. CONOCIMIENTOS PREVIOS:

35

1. Seleccionar material y observar:

Escribe el concepto de conjunto:

Escribe el concepto de relacion entre conjuntos:

Escribe el concepto de funcion:

Cuales son las partes que caracterizan a una funcion:

i) Analiza y contesta lo siguiente:

Sean A y B dos conjuntos tales que:

Ropa = {playera, pantalon, camisa} Color={negro, blanco}

Forma el conjunto R de todas las relaciones entre la ropa y color:

Analiza las siguientes relaciones y determina si a cada elemento del conjunto deRopa le corresponde un unico color:

RELACION SI NO ¿POR QUE?

R1={(playera, blanco)}R2={(playera, blanco), (playera, negro)}R3={(pantalon, blanco), (camisa, blanco)}

R4={(playera, blanco), (camisa, blanco), (camisa, negro)}R5={(playera, negro), (camisa, negro)}

De acuerdo a los conjuntos dados, establece el grafico de las siguientes relaciones,tomando en cuenta al conjunto A como conjunto de partida y el conjunto B co-mo conjunto de llegada. Determina el conjunto A1 de A relacionado con B y elsubconjunto B1 de B relacionado con A:

36

RELACION GRAFICA

y = 3x− 1 tal que

A = {x = 2n con n = 0, 1, 2, 3, . . .}B = {y ∈ R}A1 = { }B1 = { }

y = 3x− 1 tal que

A = {x ∈ R−} y B = {y ∈ R}A1 = { }B1 = { }

y = 3x− 1 tal que

A = {x ∈ N} y B = {y ∈ N}A1 = { }B1 = { }

y = 3x− 1 tal que

A = {x ∈ R−} y B = {y ∈ N}A1 = { }B1 = { }

2. Identificar, interpretar y analizar

a) Construccion del concepto de funcion.

A partir de los siguientes ejemplos considerar y = f(x)

y = x, y = kx, y = x + a, y = x2, y = kx2, y = (x − h)2, y = x + k, y =√x,

y = kx3, y = ln(x), x2+ y2 = r2, 4x2+9y2 = 36, con diferentes valores de a, h, k, r.

Se recomienda utilizar Winplot para ver la influencia de los parametros

37

1. Establecer la representacion grafica a partir de la forma tabular, teniendo cuidadode considerar para la misma ley de formacion conjuntos de los naturales, de los en-teros, de los reales, esto es para evitar la confusion de que dado un conjunto finito depuntos aislados se llega a una grafica continua. Destacar la diferencia entre {f(x)}y el de los pares {(x, f(x))}. Visualizarlo en la grafica, con notacion de conjuntos ycon un diagrama de flechas.

Con este ejercicio se logra trabajar con 4 representaciones, tabular, grafica, alge-braica y diagrama de flechas, falta la forma verbal expresando las caracterısticas opropiedades que se cumplen para tener una funcion.

a) ¿Que sucede con los casos y =√x, x2+y2 = r2, 4x2+9y2 = 36? En los demas

casos a un valor de x le corresponde un valor de y o f(x), pero en estos casos a

38

un valor de x le corresponden dos valores de y. Exprese el concepto de relacionentre variables y el de funcion, senale en que se diferencian. Discutir en equipoy expresarlo en la siguiente clase.

b) Buscar el concepto de funcion en diferentes libros, comparar los enunciados yrelacionarlos con el trabajo indicado en el inciso a). Expresar las condicionesque se tienen que cumplir para tener una funcion.

c) Expresar la forma en que se contribuye a desarrollar las habilidades de selec-cionar material, observar, identificar, interpretar y analizar.

d) En muchos problemas reales se hacen mediciones de algunos valores y a partirde estos datos se hace un ajuste de curvas para elegir un modelo y graficarlo. Esnecesario trabajar esta situacion utilizando diferentes problemas contextualesy el uso de un software adecuado para hacer el ajuste de curvas.

En base a las propiedades que se dan a continuacion, contesta si las rela-ciones dadas para los diferentes conjuntos cumplen con las propiedades1 y 2.

1. Para cada elemento del conjunto A le corresponde un elemento del con-junto B.

2. No es posible que un elemento del conjunto de A este asociado con dos omas elementos del conjunto B.

RELACION Conjunto Cumple propiedades

A B 1 2R R

(−∞, 3] R

f(x) = ln(x− 3) (4,∞) R

(3,∞) R+(0,∞) N

{−2, 0, 1, 4, 9, 10} R

{−2, 0, 1, 4, 9, 10} N

f(x) = 8− 2x N R+{−4} {0}R N

3. Problemas de contexto

En cada uno de los ejemplos y problemas de contexto

Buscar (identificar) las variables cuyos valores dependen de los valores quetome otra variable y cuales no.

39

¿Que sucede si aumentas el conjunto de valores que toma la variable libre?

¿Existe alguna relacion entre el aumento de valores de la variable libre y losvalores que toman la variable subordinada o dependiente?

Compara las diferentes representaciones y explica como se relacionan los dosconjuntos de valores en cada caso.

Al variar la variable independiente, ¿Como es la variacion de la variable de-pendiente?

(1) Una fabrica de yogurt produce 2500 cuartos a la semana. La ganancia netapor cada cuarto de este producto que se vende es de $ 0.40, mientras que losque no se venden se desechan con una perdida de $ 0.70 por cuarto. Construyeuna formula que exprese la ganancia de la fabrica en terminos del numero decuartos de yogurt.1

Representacion con variables

No. De cuartos vendidos 500 1000 1500 2000 2500 variableNo. De cuartos no vendidos

VentaPerdidaDiferencia

(2) La siguiente tabla muestra la poblacion aproximada (expresada en millones deuna colonia de bacterias. El registro se hace cada hora.

Hora 0 1 2 3 4 5Bacterias 6 12 24 48 96 192

i) ¿Cuantas bacterias habra despues de 8h?, ¿Despues de 10 horas?

ii) ¿Cuantas bacterias habra una hora antes de la observacion?

iii) Encuentra la expresion analıtica que permita calcular el numero de bac-terias para cualquier hora.

iv) Haz la representacion grafica.2

(3) La funcion de produccion de la empresa HATCO se ha comportado de la formaque se observa en la tabla y la figura en los ultimos 5 meses del pasado ano ylos 5 primeros de este ano.

Interpretar la grafica del comportamiento de la empresa, explicar en lenguajenatural, con tabla y por medio de las caracterısticas de la funcion matematicay la de produccion.

1Pag. 56 “El desarrollo de habilidades matematicas en situacion escolar” Santiago RamiroVelasquez

2Pag .57 “El desarrollo de habilidades matematicas en situacion escolar” Santiago RamiroVelasquez

40

(4) Funcion de dominio dividido y su aplicacion en circuitos electricos.

La funcion de Heaviside H esta definida por

H(t) =

{

1 t ≥ 00 t < 0

.

Se usa en el estudio de los circuitos electricos para representar la onda re-pentina de corriente electrica, o de voltaje, cuando un interruptor se cierrainstantaneamente.

a) Grafique la funcion de Heaviside.

b) Trace la grafica del voltaje V (t) en un circuito si el interruptor se cierraen el instante t = 0 y se aplican instantaneamente 120 volts al circuito.Escriba una formula para V (t) en terminos de H(t).

c) Grafique el voltaje V(t).

4. Sintetizar las ideas principales

Senalar las caracterısticas del dominio y las de la imagen.

Expresar las caracterısticas presentes en el concepto de funcion.

5. Establecer conjetura

Formular el concepto de funcion.

Formular los conceptos de dominio e imagen.

IV. ACCIONES EN EL AULA

Integrar al grupo en equipos

41

Asignar a cada equipo una serie de ejercicios diferentes de un tipo en particular.

Dar solucion mediante Excel a diferentes ejemplos y a los problemas de con-texto vistos.

Relacionar la solucion grafica con la algebraica.

Exposicion de trabajo y generar discusion.

Determina si las siguientes expresiones algebraicas representan a una relacion quevan de R a R. Justifica tus respuestas:

RELACION PROPIEDAD CUMPLE AMBASPROPIEDADES

1 2 ¿POR QUE?

f(x) = 9x− 3

f(x) = ln(x− 3)

g(x) = ±√2x

y = tan(x);

x ∈[

0,π

2

)

∪(π

2, π]

x2 + y2 = 16

u = 5x3 + 9− 6x2

x(v) = [a+ bsen(v)] cos(v)

f(x) = ln(3− 2x);

f : [3,∞) → R+

f : R+ ∪{0} → R

f(x) =

10− x 0 < x ≤ 101 10 < x ≤ 20

21− x x > 20

1. De las siguientes figuras determina cuales cumplen con ambas propiedades quevan de los numeros reales a los numeros reales:

42

FUNCION SI NO ¿POR QUE?

43

V. TRABAJO INDEPENDIENTE EXTRA CLASE

En cada uno de los ejemplos vistos, expresar como A al conjunto de las variables in-dependientes; B al conjunto de las variables dependientes y f : la ley que los relaciona.

Represente todos los casos como f : A → B, donde

A = { }, B = { }.

Transita por las diferentes representaciones indicando en cada una de ellas las car-acterısticas que lo identifican como funcion.

VI. CONCLUSIONES

De manera individual contesta las siguientes preguntas:

1. ¿Como definirıas al conjunto de llegada y de partida de una funcion?

2. ¿Como definirıas el dominio y la imagen dentro de una funcion?

3. ¿Crees que todo grafico representa a una funcion? Justifica tu respuesta:

4. Al cambiar los conjuntos de partida y llegada ¿se obtiene la misma grafica?Para contestar esta pregunta observa el inciso iv) de la PREPARACION PRE-VIA.

44

HOJA DE TRABAJO 2

2.2. H.T. 2. Funcion de una variable. Conceptos

basicos.

I. OBJETIVOS

Explicar el concepto de funcion a traves de diversas representaciones.

Utilizar las propiedades de una funcion.

Determinar el dominio y la imagen dentro de una funcion.

Desarrollar la capacidad de encontrar el dominio e imagen de una funcion condiferentes conjuntos de partida y de llegada, aclarando como influyen estosconjuntos de partida y llegada en la modificacion de los dominios e imagenesrespectivas.

Concientizar sobre la diferencia que existe entre el contexto real y el contextomatematico en un problema.

Desarrollar la habilidad para trabajar en grupo o en equipo.


En el proceso de purificacion del agua por cloracion se requiere que el hipoclorito desodio este alrededor del 4.5% al 5.5% de la capacidad del tanque, para eliminar lamayor cantidad de bacterias, virus, hongos y algas presentes en el agua y un tiempomınimo de 30 minutos y no mayor de 35 minutos.

a) Determina como son los valores del nivel de hipocloritocontinuos discretos

Porque:

b) Determina entre que valores el nivel de hipoclorito debera estar para que el pro-ducto este dentro de la normas de especificacion:

c) Determina como son los valores para el tiempo mınimo de purificacion

45

d) continuos discretos

Porque:

Los siguientes datos fueron obtenidos de una muestra:Nivel de cloro:

Cl = {0,045, 0,048, 0,006, 0,0051, 0,0049, 0,0049, 0,0052, 0,0048, 0,047, 0,0041}.

Tiempo mınimo

T = {32, 30, 33, 31, 30, 31, 31, 32, 34, 32}.

e) Ordena los datos como parejas ordenadas (x, y) de tal manera que x pertenece alnivel de cloro y y pertenece al tiempo de purificacion

R = {(x, y) tal que x ∈ Cl, y ∈ T}

e) Que valores no estan dentro de la normas de especificacion:

e) De los datos anteriores establece un nuevo conjunto de datos que cumpla con lasnormas de especificacion del nivel del hipoclorito:

NIVEL HIPOCLORITO TIEMPO

46

Tabla 1.b

Llamemos a los elementos de la Muestra al nivel de hipoclorito comoCONJUNTO DE PARTIDA y al tiempo como CONJUNTO DE LLE-GADA y a los elementos de la Tabla 1 al nivel de hipoclorito DOMINIOy al conjunto del tiempo IMAGEN.

¿El conjunto de partida es igual al dominio? si no

Porque:

¿El conjunto de llegada es igual al conjunto imagen? si no

Porque:

Coloca en el cırculo interior los elementos que pertenecen a ambas tablasy en el cırculo exterior los elementos faltantes:

PROPIEDADES

1. Para cada elemento del dominio le corresponde un elemento dela imagen.

2. No es posible que un elemento del conjunto dominio este asoci-ado con dos o mas elementos del conjunto imagen.

En base a las propiedades para que una relacion entre dos conjuntos seauna funcion contesta las siguientes preguntas. Establece si se cumple losiguiente en la relacion entre el nivel de hipoclorito y su tiempo mınimosea una funcion:

1. A cada nivel le corresponde un unico valor de tiempo de purificacion de agua:

47

2. Se pueden obtener dos niveles de cloro al mismo tiempo de la misma agua:

3. Entonces la relacion representa a una funcion:

si no Porque:

Utilizando el software Excel grafica los datos de la tabla 1:

CONCEPTOS PREVIOS

De manera individual contesta las siguientes preguntas utilizando tus

propias palabras:

1. Escribe el concepto de conjunto de partida:

2. Escribe el concepto de conjunto de llegada:

3. Escribe el concepto de dominio:

4. Escribe el concepto de imagen o recorrido:

5. Enuncia las diferentes representaciones de una funcion matematica:

ACCIONES EN EL AULA

48

En la ciudad se contamino recientemente uno de los pozos de agua contricloroetileno, un agente cancerıgeno. Debido a que en una antigua plan-ta quımica se derramo quımicos en el agua. Una propuesta enviada alcomite de ecologıa indica que el costo de eliminacion de x porcentaje delcontaminante toxico, en millones de pesos esta dado por:

C(x) =0,5x

100− x.

Determina a quien corresponde el conjunto de partida y el conjunto de llegada:Conjunto de partida: nivel de descontaminacion costo de descon-taminacion

Conjunto de llegada: nivel de descontaminacion costo de descon-taminacion

Escribe el conjunto de partida:

Escribe el conjunto de llegada:

49

Matematicamente C(x) = 0,5x100−x

para que valores de x esta definida:

Segun el contexto del ejemplo para que valor de x esta definido:

Establece el dominio matematico de C(x):

Escribe el dominio del nivel de descontaminacion:

Escribe la imagen del costo de descontaminacion:

Completa la siguiente tabla:

Nivel de descontaminacion Costo de descontaminacion09

99.9999.999100

50

Contesta las siguientes preguntas en base a las propiedades que determi-nan si una relacion entre dos conjuntos representa a una funcion:

La relacion entre el nivel y el costo de descontaminacion representa a una funcion.

Realiza tus anotaciones aquı

Propiedad 1:

Propiedad 2:

Conclusion:

¿Cuanto dinero se necesitan para descontaminar al 100

¿Cual sera el nivel maximo de descontaminacion del agua?

Completa el siguiente cuadro utilizando los datos obtenidos en los incisos anteriores:

51

Conjunto departida

Dominio Conclusion:

¿El Dominio de la funcionesta contenido en el conjunto departida?

Conjunto dellegada

Imagen ¿La imagen de la funcionesta contenida en el conjunto departida?

En base a la siguiente tabla grafica la funcion:

52

Conjunto de

Partida

Dominio Funcion: Grafica:

{−10,−8,−6,

−4,−2, 0, 2,

4, 6, 8, 10}

{−10,−8,−6,−4,

−2, 0, 2, 4, 6, 8, 10}{(−10, 100),

(−8, 64), (−6, 36),

(−4, 16), (−2, 4),

(0, 0), (2, 4),

(4, 16), (6, 36),

(8, 64), (10, 100)}

Conjunto de

llegada

Imagen

{−100,−50,−25,

0, 4, 10, 16,

20, 24, 36, 40,

64, 70, 100}

{0, 4, 16, 36,64, 100}

Conjunto de

Partida


{−100,−50,−25,

0, 4, 10, 16,

20, 24, 36, 40,

64, 70, 100}

{0, 2, 4,6, 8, 10}

{(0, 0), (2, 4),(4, 16), (6, 36),

(8, 64), (10, 100)}

Conjunto de

llegada

Imagen

{−100,−50,−25,

0, 4, 10, 16,

20, 24, 36, 40,

64, 70, 100}

{0, 4, 16,36, 64, 100}

53

Conjunto de

Partida


R R+ f = x2 tal quef : R+ → N

Conjunto de

llegada

Imagen

R N

TRABAJO INDEPENDIENTEPlantea un ejemplo de contexto real y determinando el conjunto de par-tida y llegada ası como su dominio e imagen

Completa el siguiente cuadro determinando los elementos que faltan, encaso de no existir la funcion, justifica tu respuesta:

Conjunto Conjunto Funcion

Expresion Partida Llegada Dominio Imagen {(x, y); Grafi-ca

x ∈ D, y ∈ I}N N

x2 Q Q

R+ R−

{−2,−1,

0, 1, 2}{−2,−1,

0, 1, 2}

√x N N

R− R−R R√

x− 3 Z− Z

R+ \(1, 2) R+R+ \(1, 2) N

R+ \[1, 2] R

R+ \(1, 3) R+

54

CONCLUSIONES

CONCLUSION INDIVIDUAL

1. ¿Como defines una relacion entre dos conjuntos cualesquiera?

2. ¿Como defines una funcion?

3. ¿Todas las relaciones son funciones?

si no Porque:

4. ¿Que caracterısticas o propiedades deben cumplir las relaciones para ser unafuncion?

5. ¿Todo grafico representa a una funcion? ¿Por que?

6. ¿Es igual el conjunto de partida de la funcion que el dominio para cualquierfuncion? Justifica tu respuesta

7. ¿Es igual el conjunto de llegada que su imagen para cuales quiera funcion?Justifica tu respuesta

8. ¿Como debe ser el dominio de una funcion en relacion (mayor, menor o igual)a su conjunto de partida?

9. ¿Como debe ser la imagen de una funcion en relacion (mayor, menor o igual)a su conjunto de llegada

10. Siempre el dominio e imagen de una funcion en matematicas es igual al dominioe imagen de la vida real ¿Por que?

55

CONCLUSION GRUPAL

DEFINICION DE RELACION

DEFINICION DE FUNCION

DEFINICION DE DOMINIO

DEFINICION DE IMAGEN

56

HOJA DE TRABAJO 3

2.3. H.T. 3. Desigualdades

I. OBJETIVOS

Utilizar las propiedades de las desigualdades.

Representar graficamente las funciones y las desigualdades.

Interpretar las desigualdades en la grafica.

Hallar el conjunto solucion de las desigualdades.

Relacionar la parte grafica con la algebraica.


Problema con softwareEste archivo en software le permite visualizar tres funciones lineales, donde cadauna representa una empresa y sus ventas en el tiempo. Si modifica el tiempo po-dra observar cuales empresas se encuentran con mejores ingresos en ese tiempo

A partir de la grafica determinar la parte del dominio de la funcion para la cual:

i) 3x + 2 > 2x + 1 Senalarlo en el grafico y escribir en forma de intervalo y ennotacion de conjunto en forma intencional.

ii) 2x + 1 ≥ x + 0,5 Senalarlo en el grafico y escribir en forma de intervalo y ennotacion de conjunto en forma intencional.

iii) 3x + 2 ≤ x + 0,5 En este caso llamar c al valor en el eje x y senalarlo en elgrafico y escribir en forma de intervalo y en notacion de conjunto en formaintencional.

iv) Hallar el valor de c en forma algebraica.

v) Hallar en forma algebraica, el conjunto solucion de los planteamientos de losdos primeros incisos.

Preguntas:

1. ¿Cual es el dominio en cada caso?

2. ¿Que conjunto de valores representa la imagen?

3. ¿Que empresas ganaran al pasar el tiempo y por que?

57

4. ¿De que manera justifica los puntos de interseccion en las funciones?

5. ¿Que sucede con las empresas cuando la funcion correspondiente esta pordebajo de el eje x, y cuando lo corta?

6. La empresa HATCO produce un artıculo (reproductores de DVD). Al hacer unestudio de mercado comprobaron que no tienen posibilidad de vender mas de5000 video caseteras en el ano. Si la funcion de produccion en base a insumosesta dada por (x-1)(x-2)+100 ¿como expresas la restriccion de venta de laempresa?

7. La empresa TAHCO esta compitiendo con la HATCO y la COHTA. Para hacerlos analisis de produccion y venta se comparan las funciones de produccionesde las tres empresas y las de ventas mensuales del ano anterior. Las funcionesde produccion son: 5t +7; t + 1 y 2t + 3 respectivamente, donde t representa eltiempo. Las funciones de venta estan dadas por 2t+1 ; t+1/2 y ¿Como harıasel analisis de las tres empresas para saber cual tuvo mejores resultados?

Sugerencia: Haz la comparacion de produccion y venta por empresa, comparalas tres funciones de produccion y las tres de venta.

III. PREPARACION PREVIA

58

1. Seleccionar material y observar

Buscar las propiedades de valor absoluto, diferenciar las propiedades de desigual-dades, aplicar la formula general de la ecuacion cuadratica.

Expresar con sımbolo de> ;< ;≤ ;≥ ejemplos donde se utilicen las propiedadescon la estatura y la edad de alumnos, docentes y familiares.

ax2 + bx + c = (x − x1)(x − x2) donde los valores x1 y x2 se obtienen de la

formula general de la ecuacion de segundo grado x = −b±√b2−4ac2a

.

La funcion valor absoluto se define como

f(x) =| x |={

x si x ≥ 0−x si x < 0

.

Grafica la funcion |x|.

2. Identificar, interpretar y analizar: Si P entonces Q

1. Si a < b y b < c, entonces a < c

4 < 5 y 5 < 6, entonces ¿ ?

2. Si a < b y c < d, entonces a+ c < b+ d

4 < 5 y 6 < 7, entonces ¿ ?

3. Si a < b y k es cualquier numero real, entonces a+ k < b+ k

Desarrolle un ejercicio dando valores para a, b y k

¿Que diferencia encuentras entre la propiedad 2 y 3?

Explica las propiedades 1, 2 y 3

Representa en forma grafica las propiedades.

4. Si a < b y k > 0, entonces ak < bk

2 < 3, dar valor a k, de acuerdo a la condicion y comprobar el teorema

5. Si a < b y k < 0, entonces ak > bk

12< 3 y dar un valor para k de acuerdo a la condicion

Analizar con sus companeros de equipo la diferencia entre los teoremas 4y 5

59

6. Si x < a y x < b, entonces x < min(a, b)

Si x < 2 y x < 4, entonces x < 2

Si x < −5 y x < −10, entonces x < −10

Representa los casos anteriores en la recta numerica.

7. Si x > 1/5 y x > 3/5, entonces x > 3/5

Si x > 6 y x > 17, entonces x >

Si x > −5 y x > −10, entonces x >

Si x > a y x > b, entonces x >

3. Problemas

A) Grafica los siguientes pares de funciones en una misma grafica:

y = x+ 2; y = 2x− 1

y = (x− 1)(x− 2); y = 0

y =2

x− 1; y = 3

B) Halla el dominio y la imagen de las funciones graficadas en A).

C) ¿Como interpretas las desigualdades siguientes?

1) x+ 2 ≤ 2x− 1; 2) x+ 2 ≥ 2x− 1;3) |x− 1| < 2; |x− 1| > 2;5) (x− 1)(x− 2) > 0; (x− 1)(x− 2) > 0;7) 2

x−1< 3; 8) 2

x−1> 3.


1. ¿Que elementos existen

a) En comun en los problemas 1 y 2?

b) Diferentes en los problemas 1 y 2?

2. Al graficar el valor absoluto y la recta en los problemas 1 y 2 como visualizamoslos intervalos en los que la recta esta sobre la grafica del valor absoluto, y enlos que la grafica del valor absoluto esta sobre la recta.

60

3. Relacionar el dominio en las desigualdades en los problemas 1 y 2.

4. ¿Cual es el valor en que la imagen es la misma para ambas desigualdades?

5. ¿Que significado tienen estas desigualdades en cuanto a la imagen y como laspuedes expresar?

6. ¿Que pasos tienen en comun la solucion algebraica de los problemas 1 y 2?

7. ¿Como relacionas la parte grafica y la parte algebraica?

8. Repetir los pasos con los problemas 3 y 4, 5 y 6.

9. ¿Que relacion puedes hallar entre la solucion grafica y algebraica en los distin-tos problemas?

10. ¿A que conclusiones llegas al solucionar los distintos problemas de desigual-dades y cuales propiedades y conceptos has utilizado?


Establece un algoritmo de trabajo basado en las propiedades de desigualdades deIII.2 para el caso de:

i) Desigualdades que tienen funciones lineales

ii) Desigualdades que tienen funciones lineales en el denominador

iii) Desigualdades que tienen la funcion modulo

iv) Desigualdades que tienen funciones cuadraticas


Dar solucion mediante un software graficador a diferentes ejemplos de III.3.C ya los problemas de contexto vistos en la sesion de motivacion de desigualdades.

Hallar la solucion algebraica de cada uno de los problemas y de los ejemplosde III.3.C.

Relacionar la solucion grafica con la algebraica.

Proponer cada equipo 8 ejemplos similares a los vistos en III.3.C

Exponer el trabajo y generar discusion


61

Distinguir y expresar en notacion de conjuntos, en que parte del dominio unafuncion queda por debajo de la otra.

Distinguir y expresar en notacion de conjuntos, en que parte del dominio unafuncion queda por encima de la otra.

Describir los pasos que realizas para hallar el conjunto solucion de cada uno delos problemas en particular (los cuatro casos considerados en III.5 y de todosen general.

Expresar en forma sintetica el esquema general de trabajo para cualquier caso.

VI. CONCLUSIONES

Explicar en forma resumida los aspectos fundamentales de la Hoja de Trabajo,tomando en cuenta:

i) Aplicaciones en la especialidad

ii) Propiedades de trabajo con desigualdades

iii) Forma de hallar el conjunto solucion de las desigualdades en forma grafica

iv) Forma de hallar el conjunto solucion de las desigualdades en forma algebraica

v) Explicacion del significado de hallar el conjunto solucion

vi) Algoritmos de trabajo particulares para los cuatro casos vistos

vii) Algoritmo general de trabajo para hallar el conjunto solucion

62

HOJA DE TRABAJO 5

2.4. H.T. 4. Funciones trigonometricas

I. OBJETIVOS

Relacionar las funciones trigonometricas con su entorno familiar y con prob-lemas actuales en ciencia, economıa y/o tecnologıa.

Observar las caracterısticas de las variables independientes y de las dependi-entes.

Identificar las variables independientes, las dependientes y las leyes que lasrelacionan.

Determinar los conjuntos donde varıan las variables independientes y depen-dientes.

Representar el cırculo trigonometrico, tabular y graficar las funciones trigonometri-cas.

Identificar el dominio y la imagen de las funciones trigonometricas en el cırculoy en el plano cartesiano.

Representar en forma grafica, algebraica, tabular y pasar de una representaciona otra.

Construir el concepto de funcion trigonometrica a partir de un triangulo rectangu-lo situado en el cırculo unitario.


Buscar en Google sobre el movimiento de un piston.

63

El sistema biela-manivela de una maquina motriz (maquina de vapor, motor termi-co) se compone de una biela AB cuyo extremo A llamado pie de biela, se desplazaa lo largo de una recta, mientras que el otro extremo B, llamado cabeza de biela,articulado en B con una manivela OB describe una circunferencia de radio OB. Elpie de biela esta articulado en una pieza denominada patın solidaria con el pistonque se desplaza entre dos guıas. El piston describe un movimiento oscilatorio quecomo vamos a ver no es armonico simple, aunque se puede aproximar bastante a este.

Descripcion del movimiento

Supongamos que la manivela tiene radio r, y la biela tiene una longitud l (l > 2r).La manivela gira con velocidad angular constante ω, y el piston oscila. La posiciondel piston respecto del centro de la rueda es

xe = r cos θ +√l2 − r2sen2θ + d.

64

Si situamos el origen en la posicion en la posicion del piston para θ = 90◦

x0 =√l2 − r2 + d.

Posicion del piston

x = xe − x0 = r cos θ +√l2 − r2sen2θ −

√l2 − r2.

Si la manivela se mueve con velocidad angular ω constante, la posicion del pistonen funcion del tiempo es

x = r cos(ωt) +√

l2 − r2sen2(ωt)−√l2 − r2.

El valor maximo se obtiene para ωt = 0, y vale

x = r + l −√l2 − r2.

El valor mınimo se obtiene para ωt = π,

x = −r + l −√l2 − r2.

En la figura, se representa la posicion x del piston en funcion del tiempo (color azul)y el MAS (color rojo)

x = r · sen(

ωt+π

2

)

= r · cos(ωt).

El valor maximo se obtiene para ωt = 0, y vale x = +r.

El valor mınimo se obtiene para ωt = π, y vale x = −r.

Preguntas

1. ¿Que representa el dominio en este sistema?

65

2. ¿Que representa a la imagen este sistema?

3. ¿Donde se mueve la variable independiente?

4. ¿Donde se mueve la variable dependiente?

5. ¿Cual es la relacion entre las variables que representa en el movimiento delpiston?

6. ¿Como modificas la amplitud de la onda?

7. ¿En la onda sinusoidal que caracterıstica de ella indica el sentido del desplaza-miento del piston?


1. Seleccionar material y observar

Buscar en Internet. Funcion trigonometrica. Observar la relacion de las ondas conel comportamiento de las funciones seno y coseno. Bajar de internet el software Ge-oGebra.


a) Construccion del concepto de funcion trigonometrica.

Trabajo con GeoGebra

66

En la barra del menu aparece graficamente el punto, la recta, la relacion entre rectas,la circunferencia, el angulo. En la parte inferior derecha de cada rectangulo apareceuna pestana que al dar click despliega un submenu de opciones.

Al dar click en la pestana del ultimo rectangulo se desplaza un submenu que permitedesplazar la posicion de los ejes coordenados.

Al dar click en la circunferencia se puede dibujar una circunferencia senalando cir-cunferencia con centro y punto que cruza. Con el raton se situa el cursor para marcandos puntos, el centro y otro punto por ejemplo el (0, 1).

En el rectangulo donde aparece la recta se puede tomar la opcion recta que pasapor dos puntos. Situar el cursor en (0, 0) y dar click y luego dar click en un puntode la circunferencia. Al fijar solamente el primer punto se tiene una recta libre quese puede mover, al fijar el segundo punto C la recta queda fija.

En el rectangulo donde aparece el punto se puede seleccionar la opcion de nuevopunto y situar un punto D sobre la recta.

67

Se puede observar como en el lado izquierdo aparecen los objetos dibujados en elplano cartesiano.

El siguiente esquema puede realizarse con Geogebra.

Con ayuda de GeoGebra dibuje una circunferencia de radio unitario, seleccione unpunto P1 de coordenadas (x, y) = (A1, B1). Dibuje otras circunferencias concentricasde radios 2, 3, 4 y 5 respectivamente. Desplace el punto P1 a lo largo de la rectaOA1, hasta encontrar los puntos de interseccion con las circunferencias P2, P3, P4 yP5 respectivamente. Forme los triangulos rectangulos OA1P1,. . . , OA5P5.

Escriba con ayuda de GeoGebra los valores de los lados de los triangulos rectangulosy las razones entre sus lados. Observe que sucede. Mueva ahora el punto P1 sobrela circunferencia y observe que sucede con las razones entre los lados del triangulo.

68

Expresar en el triangulo rectangulo la definicion de

senα =cateto opuesto

hipotenusa,

cosα =cateto adyacente

hipotenusa,

tanα =cateto opuesto

cateto adyacente,

secα =hipotenusa

cateto adyacente,

cscα =hipotenusa

cateto opuesto,

cotα =cateto adyacente

cateto opuesto.

Identificar en cada caso cuales son las variables independientes y dependientesy el conjunto donde varıa cada una de ellas.

¿A cada angulo que se escoge le corresponde una unica razon o varias razones?

¿Al cambiar el angulo cambia el valor de la razon?

Senalar el dominio y la imagen de cada funcion en el cırculo unitario y en elplano.

¿Que sucede al pasar de la representacion en el cırculo unitario a la repre-sentacion de las funciones en el plano cartesiano? ¿Como interpretas la relacionentre ambas representaciones?

Analizar el signo de cada una de las funciones en cada cuadrante a partir dela representacion grafica del triangulo en el cırculo unitario.

Deducir las identidades trigonometricas principales a partir del teorema dePitagoras en el triangulo del cırculo unitario.

b) Buscar el concepto de funcion trigonometrica en diferentes libros, comparar losenunciados y relacionarlos con el trabajo indicado en el inciso a). Expresar las condi-ciones que se tienen que cumplir para tener una funcion. Observar la deficiencia dela literatura respecto a que no destacan las caracterısticas esenciales de funcion enel concepto de funcion trigonometrica.

c) Expresar la forma en que se contribuye a desarrollar las habilidades de seleccionarmaterial, observar, identificar, interpretar y analizar.

69

d) En muchos problemas reales se hacen mediciones de algunos valores y a partirde estos datos se hace un ajuste de curvas para elegir un modelo y graficarlo. Esnecesario trabajar esta situacion utilizando diferentes problemas contextuales y eluso de un software adecuado para hacer el ajuste de curvas.

3. Problemas

Desde la torreta de un faro con 150 metros de altura, el angulo de depresion(angulo por debajo de la horizontal) de un barco en el mar es 4.2 grados.¿Cuantos kilometros hay desde el punto situado al nivel del mar directamentedebajo del observador hasta el barco.

El area de un paralelogramo esta dada por la formula A = b · h, donde bes la longitud de la base y h es la altura. Dos lados adyacentes del paralelo-gramo tienen 16 y 20 pulgadas de longitud y el angulo interno mide 50 grados.Encuentre el area con aproximacion a decimos de pulgada cuadrada.

Los angulos iguales de un triangulo isosceles miden 50 grados y cada uno de loslados iguales tiene 25 pulgadas de longitud. Determine la longitud del tercerlado.

Construya para cada funcion trigonometrica una tabla con los valores de losangulos notables en los cuatro cuadrantes y dibuje el grafico.

Observe que sucede cuando se da mas de una vuelta a la circunferencia. Ex-tienda el grafico en los ejes cartesianos.

Con ayuda de GeoGebra o Winplot observe que sucede con los valores de lasimagenes de las funciones y = senx; y = 2senx; y = 3senx; y = 1

2senx;

y = Asenx: y = Af(x). Repetir el analisis para cada una de las funcionestrigonometricas.

Se suspende un cuerpo de un resorte, el cual vibra verticalmente. Sea s centımet-ros la distancia dirigida del cuerpo desde su posicion central, o de reposo, de-spues de t segundos de tiempo. Un valor positivo de s indica que el cuerpoesta por encima de su posicion central. Si en un sistema de coordenadas carte-sianas rectangulares se marcan los valores de s para valores especıficos de t, ysi la friccion no se toma en cuenta, entonces la grafica resultante tendra unaecuacion de la forma f(t) = asenb(t− c).

Las constantes a, b y c estan determinadas por el peso del cuerpo y el resorte,ası como la forma en que se pone en movimiento al cuerpo. Por ejemplo, cuantomas se tire el cuerpo hacia abajo antes de liberarlo, tanto mayor sera a, laamplitud del movimiento. Ademas, cuanto mas rıgido sea el resorte, tantomas rapido vibrara el cuerpo, de modo que el menor valor sera el perıodo delmovimiento. Darle a a, b y c valores especıficos y ver el cambio de los graficos

70


Explicar por que las funciones trigonometricas son funciones. Senale para ca-da funcion trigonometrica el conjunto de partida donde se mueve la variableindependiente y el dominio de cada una de ellas, el conjunto de llegada parala variable dependiente y el contradominio de cada una. Explique la relacionentre variables y explique si se cumple cada una de las propiedades 1 y 2.


A partir de los graficos en Winplot y Geogebra, observar como influyen los paramet-ros (a, b, c, A) en el comportamiento de las funciones. Sugerencia darle diferentesvalores y luego establecer la conjetura para cada una de las funciones.


Integrar al grupo en equipos.

Asignar a cada equipo una serie de ejercicios diferentes de un tipo de funcionen particular y su recıproca.

Construir mediante GeoGebra el concepto de funcion trigonometrica.

Relacionar la solucion grafica y tabular con la expresion de la razon.

Exposicion de trabajo y generar discusion.


Responder la H.T. Copiar en la H.T. las graficas de Geogebra y Winplot. Discutircon los companeros de equipo y enviar por correo.

VI. CONCLUSIONES

Escribe un resumen de toda la Hoja de Trabajo, buscando solo los datos principalesque debes de recordar para poder hacer uso de las funciones trigonometricas encualquier problema.

71

HOJA DE TRABAJO 5

2.5. H.T. 5. Operaciones con funciones

I. OBJETIVOS

Identificar los diferentes tipos de operaciones con funciones.

Relacionar las representaciones graficas con sus representaciones algebraicas.este efecto es la parte mas difıcil pues hay que considerar los intereses, capaci-dades y desarrollo de habilidades de los estudiantes. Ademas de tener en cuentael plan de estudios, objetivos de la asignatura, contexto, las caracterısticas elobjeto de estudio, condiciones en que se desarrolla el proceso de ensenanzaaprendizaje y las preconcepciones erroneas que puedan tener los estudiantes.


1. Seleccion del material y observar

La orientacion para estas acciones estan encaminadas a buscar los antecedentesbasicos para poder entender el nuevo objeto de estudio y establecer el vınculo deunion entre esos conocimientos y el que va a formarse.


Hacer el grafico de las funciones basicas conocidas por ti, recta x, parabola x2,parabola cubica xn3, hiperbola equilatera 1

x, funcion logaritmo ln(x), funcion

exponencial ex, ax, funciones trigonometricas.

(i) f(x) = x, −f(x), f(−x), f(x+ 3), f(x− 3), f(6x), f(

13x)

.

(ii) g(x) = x2, −g(x), g(−x), g(x+ 3), g(x− 3), g(2x), f(x) + 3, g(x)− 3.

(iii) h(x) = x3, −h(x), h(−x), h(x+ 2), h(x− 2), h(5x)

(iv) Hacer el mismo analisis de iii) para h(x) = senx y h(x) = ln x.

(v) A partir de los graficos, observar que sucede con las imagenes de lasfunciones al sumar o restar una constante, al multiplicar la imagen por−1, por otra constante, al multiplicar la variable independiente por unaconstante, al sumar o restar una constante a la variable independiente.Exprese sus conclusiones a partir del analisis hecho.

(vi) ¿El dominio se modifico en cada uno de los casos? ¿y la imagen? ¿que relacionexiste entre g(x) y g(−x), g(x+ h), g(kx), kg(x)?

(vii) Hacer los ejercicios 11 a 24 del 1.2 del libro de Leithold.

72

Hallar las siguientes funciones compuestas f(g(x+3)), g(f(x+3)), h(f(x+3)),hallar los dominios e imagenes de cada una de ellas, graficarlas. Indique elsignificado que tiene la composicion de tres funciones y la relacion entre susdominios e imagenes. Represente graficamente el paso de la funcion simple ala compuesta y de esta a la doble composicion.

Hallar f(x)+ g(x), f(x)− g(x), f(x)g(x), f(x)g(x)

, sus dominios e imagenes en losejercicios 1 a 10 del 1.2 del libro de Calculo de Leithold.

A partir de los graficos senale la funcion que le corresponde, explique su elec-cion. Si no aparece la funcion de algun grafico, expresela. Si no aparece elgrafico, caracterice el tipo de funcion a la que corresponde y hagalo con unagraficadora. Relacione las curvas basicas con las trasladadas.

y = x3 y = (x− 4)2 y = 2sen(x)y = (x+ 1)3 y = −(x− 8)2 + 2 y = sen(2x)y = −2x+ 1 y = −(x− 8)2 − 2 y = tan(x)y = x+ 9 y = x3 − 1 y = ex

y = 2x3 y = ln(x) y = ln(x+ 2)y = x2 y = sen(x) + 3 y = ln(x)− 1y = 2sen(3x) y = 3sen

(

2x+ π6

)

y = 5x3 + 3x2 − 2x

73

En cada uno de los graficos trace rectas tangentes a las curvas e identifique si laspendientes de estas rectas son positivas, negativas o cero. Observe la relacion entreel crecimiento de la funcion y el signo de la pendiente de la recta tangente.

3. Problemas de contexto

La busqueda de problemas heterogeneos, lleva a tomar conciencia de los eslabonesde la actividad, ayuda a establecer conjeturas y a generalizar.

Elabore un problema donde utilice las operaciones de funciones en el contexto de suespecialidad.


Establece un resumen de todo lo aprendido por ti hasta este momento, establece losconceptos basicos, notaciones, graficos y resultados principales.

5. Establecer conjeturas

A partir de todas las acciones realizadas sobre el objeto de estudio y una vez sinte-tizada las ideas principales, cada estudiante debe de realizar sus propias considera-ciones y emitir un juicio.

El docente debe de guiarlos para que lleguen a ver la caracterıstica de la traslacionen el eje de las x, y el de las y, la reflexion. La composicion y las operaciones confunciones. Los estudiantes deben de identificar las formas f(x), f(x+ h), f(x− h),−f(x), f(x)+ k, f(x)− k, f(mx), mf(x), sus relaciones, sus representaciones grafi-cas y los cambios producidos en sus dominios y/o imagenes.

Exprese algunas tareas para los estudiantes a fin de que puedan orientarse parallegar a establecer las conjeturas sobre traslacion, reflexion, simetrıa y modificacionde los dominios e imagenes al multiplicar por constantes.

74

IV. ACCIONES EN EL AULA Y CENTRO DE COMPUTO


Asignar a cada equipo una serie de ejercicios y problemas de un tipo en par-ticular.

Dar solucion mediante un software a diferentes ejemplos vistos en la preparacionprevia y a los problemas de contexto vistos en la etapa de motivacion.

Relacionar la solucion grafica con la algebraica, analıtica o numerica.

Exponer trabajo y generar discusion.

Establecer la conjetura grupal a partir de los casos particulares, buscandogeneralizacion.

75

HOJA DE TRABAJO 6

2.6. H.T. 6. Funcion compuesta

I. OBJETIVOS

Determinar el dominio y la imagen dentro de una funcion.

Desarrollar la capacidad de encontrar el dominio e imagen de una funcion condiferentes conjuntos de partida y de llegada, aclarando como influyen estosconjuntos de partida y llegada en la modificacion de los dominios e imagenesrespectivas.

Determinar la propiedad fundamental para la existencia de la composicion deuna funcion.

Destacar la diferencia que existe entre el contexto real y el contexto matematicoen un problema.

Desarrollar la habilidad para trabajar en grupo o en equipo.


Una empresa dedicada a la produccion de juguetes crece a un ritmo de50 piezas por semana y el costo del producto aumenta a $ 100 cuando laproduccion aumenta en una pieza.

Contesta las siguientes preguntas:

a) Escribe una expresion matematica que describa la produccion de juguetes porsemana.

x(s) =

b) Escribe una expresion matematica que describe el costo de produccion porunidad.

76

C(x) =

c) ¿Determina si x(s) expresa a una funcion matematica? si no

Porque:

d) ¿Determina si C(x) expresa a una funcion matematica? si no

Porque:

e) Determina el dominio e imagen matematico de x(s):

f) Determina el dominio e imagen matematico de C(x):

g) Determina el dominio e imagen de x(s) segun el contexto del problema:

h) Determina el dominio e imagen C(x) segun el contexto del problema:

i) Escribe una expresion matematica que describa el costo de produccion porsemana:

77

II. CONCEPTOS PREVIOS

Conteste las siguientes preguntas utilizando tus propias palabras:

a) Escribe el concepto de dominio:

b) Escribe el concepto de imagen o recorrido:

c) Escribe el concepto de funcion:

d) Escribe las propiedades para que una relacion sea funcion:

III. PROBLEMA DE CONTEXTO

“MOVIMIENTO DE UN PISTON”

Actividad 1. Contesta las siguientes preguntas:

1. ¿Que es un piston?

2. Escribe la ecuacion del movimiento de piston respecto al centro de la rueda.

3. ¿La ecuacion es una funcion?

78

4. Escribe cual es la variable dependiente en dicha ecuacion.

5. Escribe quien es la variable independiente en dicha ecuacion.

6. El angulo es una variable en la ecuacion.

Actividad 2.

1. Lee cuidadosamente las indicaciones del programa “movimiento deun piston.fig”

2. Analiza sus graficos de la velocidad, modificando el angulo del pistony contesta las siguientes preguntas.

79

1. A que funcion trigonometrica se parece el movimiento vertical del piston.

2. A que funcion trigonometrica se parece el movimiento vertical de la velocidaddel piston.

PISTON DE LOCOMOTORA

Un piston esta disenado como en la figura donde la rueda tiene un metro de radio yla varilla que la une al piston tiene 4 metros.

La rueda tiene un movimiento uniforme de radio 1, es decir, que da una vuelta com-pleta en 2π segundos. Si suponemos que el angulo θ vale 0 en el instante inicial, θes igual a t. Por razones de seguridad se quiere conocer la velocidad y la aceleraciondel piston en el cilindro.

80

Actividad 3.

Utiliza el graficador del Software Geogebra y realiza los siguientes graficos.

Sustituyendo la variable t = x con la condicion de que t > 0

Grafica de

f(t) = OP = cos(t) +√

16− sen2(t).

Dominio: Imagen:

Grafica la velocidad:

v(t) = −sen(t)

(

1 +cos(t)

√

16− sen2(t)

)

.

81

Dominio: Imagen:

Grafica la aceleracion

a(t) =sen(t)

√

16− sen2(t)

(

1 +cos2(t)

16− sen2(t)

)

− cos(t)

(

1 +cos(t)

√

16− sen2(t)

)

.

Dominio: Imagen:

82


Contesta la siguiente actividad:

En un estudio realizado en el area de ingenierıa se observo el siguiente compor-tamiento en la energıa:

Se sabe que el eje x esta asociado con el tiempo en segundos y el eje y esta asociadocon el nivel de energıa donde 0 indica que se parte del reposo.

1. Escribe cual es la funcion que se esta estudiando en este ejemplo:

2. Determina el dominio matematico de dicha funcion f(x):

83

3. Determina el dominio tomado para el ejemplo f(x):

4. Determina la imagen de la funcion f(x):

El consumo de energıa se desarrolla de la siguiente manera:

Donde el eje x indica los segundos de uso de la energıa y el eje y indica el consumoen energıa kwh.

1. Escribe cual es la funcion que se esta estudiando en este ejemplo:

2. Determina cual esel dominio matematico de dicha funcion g(x):

84

3. Determina cual es el dominio tomado para el ejemplo g(x):

4. Determina cual es la imagen de la funcion g(x):

El modelo de conduccion de energıa se define como la composicion del compor-tamiento de la energıa con su consumo.

a) Grafica en GeoGebra las funciones f(x) y g(x) y dibujalas en el siguienteespacio.

b) Escribe la funcion compuesta de h(x) = (f ◦ g)(x) = f(g(x)).

c) Grafica la funcion compuesta

85

Determina su dominio

d) Determina la imagen:

Analiza el caso siguiente:

a) Forma la funcion p(x) = (g ◦ f)(x) = g(f(x)).

b) Determina el dominio de la funcion p(x)

c) Determina la imagen de la funcion p(x)

Grafica en Geogebra la funcion p(x) = (g ◦ f)(x) = g(f(x)).

86

d) ¿Que observas visualmente en la grafica en el intervalo 2π, 4π)?

e) ¿Por que crees que pasa eso en la grafica?.

Recapitulando del ejercicio

a) ¿Cual es el dominio de la funcion f(x)?

b) ¿Cual es la imagen de la funcion g(x)?

c) ¿Como esta la imagen de la funcion g(x) en relacion al dominio de la funcionf(x)? (totalmente contenida, no contenida, contenida e igual).

Imageng Dominiof

87

d) ¿Cual es el dominio de la funcion g(x)?

e ¿Cual es la imagen de la funcion f(x)?

f ¿Como esta la imagen de la funcion f(x) en relacion al dominio de la funciong(x)? (totalmente contenida, no contenida, contenida e igual).

Imagenf Dominiog

Completa la siguiente tabla:

x f(x) = sen(

x2

)

p(x) =√

sen(

x2

)

0π2

π3π2

2π5π2

3π7π2

4π

¿Por que la funcion p(x) no esta definida en el intervalo (2π, 4π)?

¿Cual es la imagen de la funcion f(x) en el intervalo (2π, 4π)?

88

¿Como son los valores de la imagen de la funcion f(x) el intervalo (2π, 4π)?

positivos negativos nulos

¿La funcion g(s) =√x esta definida el intervalo (2π, 4π)? Justifica tu respuesta:

¿El intervalo (2π, 4π) esta contenido en el dominio de la funcion g(x)? Justifica turespuesta.

¿Crees que para que exista la funcion compuesta p(x) =√

sen(

x2

)

en el intervalo

(2π, 4π), la imagen de la funcion f(x) = sen(

x2

)

debe estar contenida en el dominiode la funcion g(s) =

√x?

¿Crees que se cumpla para otras funciones esa condicion? Si No

Porque:

V. TRABAJO INDEPENDIENTE

Analiza los siguientes casos, utilizando el software Geogebra y justificatus respuestas de acuerdo a tus observaciones analizando sus dominios eimagenes:

1) y = f(x) = 2x y z = g(y) = 3y encuentra f(g(x)) = y g(f(x)) = .

89

y = f(x) = 2x z = g(y) = 3y

Dominio Imagen Dominio Imagen0,1,2,3,4 0,2,3,4,5,6,7,8

f(g(x)) g(f(x))

Dominio Imagen Dominio Imagen

Grafica las funciones f(g(x)) y g(f(x)) en Geogebra si existen:

Expresa mediante Diagramas de Venn los dominios e imagenes de la funciones.

Imagen de g(x): Dominio de f(x):

La imagen de g(x) esta contenida si no en el dominio de la funcionf(x).

90

Por lo tanto la funcion compuesta f(g(x)) (si/no): existe.

Imagen de f(x): Dominio de g(x):

La imagen de f(x) esta contenida si no en el dominio de la funciong(x).

Por lo tanto la funcion compuesta g(f(x)) (si/no): existe.

Completa la siguiente tabla y establece si existe la composicion de fun-ciones:

f(x) g(x)

f(x) g(x) Dominio Imagen Dominio Imagen

f(x) g(x)x2+1x2

√x Dominio Imagen Dominio Imagen

fg((x)) gf((x))


f(x) g(x)

ex−1 ln(x+ 1) Dominio Imagen Dominio Imagen

fg((x)) gf((x))


91

f(x) g(x)

sen(2x) 2x2 + 1 Dominio Imagen Dominio Imagen

fg((x)) gf((x))


f(x) g(x)

xx−1

1−x2


fg((x)) gf((x))


¿En la mayorıa de los casos es igual f(g(x)) que g(f(x))? Si No

Porque:

Entonces la composicion de funciones es conmutativa Si No

VI. CONCLUSION

La funcion compuesta h(x) = (f ◦ g)(x) = f(g(x)) y p(x) = (g ◦ f)(x) =g(f(x))

En general la composicion de funciones es conmutativa, exceptopara casos particulares

h(x) = (f ◦ g)(x) = f(g(x)) p(x) = (g ◦ f)(x) = g(f(x)).

Si f es una funcion de una variable y g es una funcion de variablereal, entonces la funcion compuesta h(x) = (f ◦ g)(x) = f(g(x)) devariable real existe si y solo si:

“El dominio de la funcion f(x) esta en la imagen de la funciong(x)”

92

Si g es una funcion de una variable y f es una funcion de variablereal, entonces la funcion compuesta p(x) = (g ◦ f)(x) = g(f(x)) devariable real existe si y solo si:

“El dominio de la funcion g(x) esta en la imagen de la funcionf(x)”

93

Capıtulo 3

LIMITES

HOJA DE TRABAJO 7

3.1. H.T. 7. Introduccion a lımites

I. OBJETIVOS

Comprender la diferencia entre tendencia y funcion en el punto.

Identificar diferentes casos de tendencia a cero.

Interpretar el concepto de lımite.

Calcular lımites utilizando diversos recursos algebraicos.

Utilizar los lımites especiales algebraico y trigonometrico.

II. PROBLEMAS DETONANTES DE LA MOTIVACION

Problemas detonantes con ayuda visual.

Grafique una funcion cualquiera en un sistema coordenado. Seleccione dospuntos cualesquiera de esa funcion P1(x1, f(x1)); P2(x2, f(x2)) y grafique larecta secante a la funcion que pasa por esos puntos, i) Halle la pendiente deesa recta; ii) Mueva el punto P2 acercandolo a P1, trace la recta secante y hallela pendiente de esa recta; iii) observe que sucede con la recta secante cuandoP2 se acerca mucho a P1 y diga a que valor se acerca la pendiente de esa recta.

Limite de una secante

Si se mueve el punto x2 = x+h, se observa como al acercarse al punto X1 ( locual es igual a decir que h tiende a cero) la secante se acerca a la tangente en el

95

punto P1 ¿Como explicar este movimiento en termino de las pendientes de lasrectas secantes y la pendiente de la recta tangente? Expresarlo verbalmente yutilizando el concepto de pendiente.

El volumen de un gas a presion constante es directamente proporcional a latemperatura absoluta. A la temperatura de 175◦ el gas ocupa 100 m3. Expreseel volumen como una funcion de la temperatura. Determine los lımites detemperaturas admisibles en caso de tener un recipiente cuyo volumen es de80 m3. Haga un grafico que represente temperatura contra volumen y diga quepasara cuando T > 140 y el recipiente de 80 m3.

Una planta generadora de energıa electrica tiene una capacidad C0 para poderbrindar servicio, si en un momento la demanda de la poblacion es > C0, quesucede? Expreselo graficamente.

Un saltador atado a una cuerda elastica se lanza ¿cual es el lımite de su caıda?Explıquelo con palabras y haga un dibujo que simule la trayectoria.

¿Cual es la posicion lımite de un pendulo? Explıquelo con palabras, expreselomediante la funcion de movimiento y grafıquelo.

Un automovil se desplaza por una carretera recta que finaliza en un gran arbolde una arboleda ¿cual es el lımite de la trayectoria del automovil?

Sea An el area del polıgono de n lados inscrito en una circunferencia. Grafiquevarios polıgonos y observe lo que sucede cuando n crece ¿cual es el valor alque se acerca el area cuando n se hace muy grande?

96

Esta operacion se puede efectuar con el sistema GeoGebra cuando se generaun polıgono regular, con ello se puede ver como al aumentar el numero delados del polıgono, el area se acerca mas al area de la circunferencia. Para unnumero grande de lados ya no es perceptible al ojo humano la diferencia entrelas areas.

Grafique una funcion creciente positiva cualquiera en un sistema cartesiano,seleccione un intervalo en el eje x. Divida el intervalo en i) 2, ii) 4, iii) 8, iv) 16,v) 32 partes. En cada uno de los incisos considere los rectangulos que tienenpor base los subintervalos en los que ha sido dividido el intervalo original ypor altura la imagen de la funcion en el extremo inferior del subintervalo. Ob-serve cual es el area que se obtiene al unir todos esos rectangulos. Diga comova cambiando el area a medida que aumenta el numero de divisiones. ¿A quearea se acerca cuando se hace muy grande el numero de divisiones?

Observe como se puede visualizar esto en un sistema de software Winplot.

En la opcion 2d, ingrese una funcion, en la opcion uno, seleccione integrar,

97

determine el intervalo, y establezca el numero de intervalos.

Un tanque de volumen V 00 comienza a llenarse a un volumen de entrada delıquido V (t) ¿Cual es el lımite de la funcion de llenado?

Un muelle con un peso colgado comienza a vibrar. ¿Cual es el lımite de esasvibraciones?

III. PREPARACION PREVIA:

1) Seleccionar material y observar.

2) Identificar, interpretar y analizar.

a) Construccion del concepto de lımite y los conceptos de infinito, indefinido eindeterminado.

En cada uno de los ejemplos complete la tabla y haga el grafico de la variacionde la imagen de la funcion en una vecindad de radio δ = 1 del punto indicadodel dominio V1(x0) = {x t.q. − 1 < x− x0 < 1}.

• Seleccione no menos de cinco puntos a la derecha e igual numero a laizquierda de x0.

• Halle F (x0) en los casos en que sea posible y justifique los casos en queno es posible hallarlo.

• Seleccione varios radios r para V r(F (x0)) = {y t.q. −r < y−F (x0) < r},observe en los graficos la relacion entre los puntos de ambas vecindades.

• Fije ahora un radio r = ε y observe los puntos en esa vecindad. Sonimagenes de puntos de la vecindad de x0 con radio δ =?‘?.

• Cuando cambia ε puede encontrar siempre una vecindad con radio δ, parala cual los puntos x de Vδ(x0) tienen sus imagenes en V (F (x0))?

• Escriba sus observaciones expresandolo con palabras en terminos de vecin-dades y relacion entre puntos del dominio y sus imagenes.

• ¿Que diferencia existe entre los casos cuyas imagenes se acercan al mismovalor tanto por la derecha como por la izquierda de x0, de aquellos quese acercan a valores diferentes por la derecha y por la izquierda de x0?

1. F (x) =2x2 + x− 3

x− 1=

(2x+ 3)(x− 1)

x− 1x0 = 1

2. F (x) =

{

2x+ 4 si x 6= 25 si x = 2

x0 = 2

98

3. F (x) = −x3 + 5 x0 = 0

4. F (x) =

x− 5 si x > 30 si x = 3X2 si x < 3

x0 = 3

5. F (x) =2x+ 3

x− 1x0 = 1.

• Analizar y comparar los siguientes casos:

1. Suponga que se celebra el aniversario de la formacion de una Insti-tucion y se quiere dividir el pastel entre su personal, solo que no haypastel ¿que cantidad alcanzara cada persona de pastel?Exprese el problema textrmpastel

textrmpersonalcon numeros.

2. Considere que una persona no tienes hijos aun, tiene cuatro carrosy se los quiere regalar a los hijos ¿Cuantos carros le corresponden acada hijo?Interpretar el problema matematicamente.

3. Si tiene un pastel y lo divides entre todos los ciudadanos de la Re-publica mexicana ¿Que cantidad te correspondera del pastel?Interpretar el problema matematicamente.

4. Realizar las operaciones de las siguientes fracciones 11

2

, 11

4

, 11

6

, 11

10

, 11

1025

Discutir con los companeros de equipo que sucede con el valor delresultado cuando:i) el denominador se hace mas grandeii) cuando se hace mas pequeno.

5. Si se tiene el cociente de dos expresiones y ambas se hacen ca-da vez mas pequenas a que valor se acerca el resultado. Expresarmatematicamente.

• Mediante la graficacion de 4x2−52xs2+1

encuentre un numero N tal que 4x2−52xs2+1

>1,9 cuando x > N . Explique con palabras el significado.

¿Que pasa si se cambia el valor 1,9 por 1,99? Cambie los polinomios dela funcion racional manteniendo ambos el mismo grado y observe lo quesucede.

b) Buscar el concepto de lımite en diferentes libros, comparar los enunciados,relacionarlos con el trabajo realizado en el inciso a).

c) Expresar la forma en que se contribuye a desarrollar las habilidades de selec-cionar material, observar, identificar, interpretar y analizar.

3) Problemas de contexto

99

Expresar un problema de su especialidad que lleve involucrado el concepto de lımite.

iv) Sintetizar ideas principales

Enumere y exprese las principales ideas del concepto de lımite unilateral.

Enumere y exprese las principales ideas del concepto de lımite cuando x tiendea x0.

Enumere y exprese las principales ideas del concepto de lımite cuando x tiendea infinito.

Exprese mediante palabras los conceptos y las diferencias de infinito, indefinidoe indeterminado.

¿Cual es la diferencia entre el lımite de una funcion y la funcion evaluada enun punto?

¿Puede existir el lımite y no estar definida la funcion en el punto? Argumentey ejemplifique.

¿Puede estar definida la funcion en un punto y no existir el lımite? Argumentey ejemplifique.

v) Establecer conjetura


Identificar en los siguientes ejercicios los casos de indeterminacion, indefinidose infinitos. Explicar las diferencias en forma verbal y grafica.

1. i) f(x) = x3−1x−2

para x = 2; ii) Hallar lımx→2

x3−1x−2

.

2. lımx→1

1(x−1)2

.

3. lımx→2

x2−4x2+x−6

.

4. lımx→2

x3−1x−2

.

5. g(x) = x−3x2+3

para x = 3.

Calcular los siguientes limites a partir de los lımites unilaterales, representargraficamente cada funcion y el significado del lımite y de los lımites unilat-erales.

1. lımx→5

x2−25x−5

.

100

2. lımx→5

x−5x2−25

.

3. lımx→1

x3−1x2−1

.

4. lımx→1

x3+1x2−1

.

5. lımx→−1

x3+1x2+1

.

6. lımx→2

x2−2xx2−4x+4

.

7. lımx→6

x2−x−30x−6

.


Seleccionar una lista de ejercicios para complementar la ejercitacion de los aspectosdeficientes detectados en cada uno de los estudiantes del equipo. Confrontar con losotros equipos del grupo los aspectos principales del tema.

VI. CONCLUSIONES

1. Seleccione ejercicios donde la expresion queda de la forma cero sobre cero.

2. ¿Que indica la forma cero sobre cero?

3. Cuando el lımite es indeterminado, ¿tienes una respuesta del valor del lımite?,¿puedes garantizar que existe el lımite, o que no existe?

4. Encuentre en cada uno de los casos el valor del lımite, si existe.

5. Analice que pasa con los ejemplos que quedaron de la forma cero sobre ceroantes de hallar el lımite.

6. Que concluye de todo el trabajo realizado.

7. Proponga ejemplos donde quede la forma cero sobre cero y exista el lımite.

8. Proponga ejemplos donde quede la forma cero sobre cero y no exista el lımite.

9. Proponga ejemplos donde el lımite sea cero.

10. Proponga ejemplos para los cuales la funcion no este definida en un punto.

11. Halle el lımite de la funcion cuando x se acerca al punto donde la funcion noesta definida.

12. Compruebe que en algunos casos existe el lımite finito y en otros no.

101

HOJA DE TRABAJO 8

3.2. H.T. 8. Lımites unilaterales. Existencia del

lımite.

I. OBJETIVOS

Visualizar la forma de acercarse a un punto en el eje x.

Determinar el lımite de una funcion a partir de los lımites laterales.

Comprender el concepto de lımite de forma intuitiva.

Comprender la diferencia entre el lımite de una funcion en un punto y lafuncion evaluada en ese punto.

Determinar la relacion entre vecindades de la imagen con las del dominio.

Interpretar el concepto de lımite en el sentido de vecindades.

Visualizar, interpretar, clasificar, comparar, relacionar, analizar, argumentar,resolver problemas, sintetizar, establecer conjeturas, comunicar, exponer, de-batir, trabajar en equipo, abstraer y concluir.

Usar tecnologıa computacional para la comprension del concepto de lımite.

Promover la responsabilidad de su propio aprendizaje.

Promover el respeto y tolerancia hacia las ideas y el trabajo de sus companeros.

II. MOTIVACION

Instrucciones:

Con el apoyo del maestro responde a las preguntas.

Una vez contestadas discutelas con tus companeros.

Abre el archivo de Cabri Juego de guerritas y encontraras una interface similara la siguiente:

102

Con una velocidad inicial fija, encuentra el angulo para el cual se logra dar enel blanco, anota en la tabla 1 los valores de los angulos usados y las distanciasobtenidas.

Tabla 1Angulo Distancia

¿Quien le dio al blanco?

¿Con que valor del angulo?

¿Que pasa si aumenta un grado el valor del angulo?

¿Que pasa si disminuye un grado el valor del angulo?

Ahora considera que el canon dispara un proyectil con un angulo de elevacion y unavelocidad inicial de 100 m /s sobre un terreno horizontal. Encuentra el angulo deelevacion del canon para que el proyectil de en un blanco localizado a una distanciade 900 m.

Abre el archivo de Excel Canon y completa la tabla 2.

103

Tabla 2θ Distancia a que cae el proyectil27◦

28◦

29◦

30◦

31◦

31◦

32◦

33◦

34◦

35◦

A partir de la tabla 2, responde:

¿A que angulo de elevacion del canon se acerca θ para dar en el blanco ubicado a900 m?


1) Conocimientos basicos

Con el apoyo del maestro realiza lo que se pide a continuacion.

1. Determina el dominio y rango de las siguientes funciones:

a) f(x) = x2

b) f(x) = 1x−2

c) f(x) =√x− 1

2. Completa la tabla 3 evaluando en la funcion f(x) = x2−x+2 los valores de x

Tabla 3x Evaluacion Valor de la funcion en x3 f(3) = 32 − 3 + 2 = 5 5−112

f(

12

)

=(

12

)2 − 12+ 2 = 5

4

2−4

3. Completa la tabla 4 como se indica en la primera fila, donde x representa unpunto dentro de la vecindad indicada.

104

Tabla 4Texto Notacion Intervalo Grafica Conjunto

Vecindadalrede-dor de 2de radio1

V1(2) (2 − 1, 2 +1) = (1, 3)

V1(2) = {x| d(2, x) < 1}

V3(−1)


V 1

2

(−2)

2) Identificar, interpretar y analizar

Con el apoyo del maestro y utilizando el Software GeoGebra efectua la siguienteactividad.

Abre el archivo grafica1 y encontraras una interface similar a la siguiente:

105

f(x) =

{

x3−1x−1

si x 6= 1

7 si x = 1: funcion graficada

“X” punto movil en el eje x.

1. En el eje x ¿de cuantas formas puedes acercar el punto X a 1?

“Y ”: imagen del punto “X” en la funcion f(x).

2. Acerca el punto X a 1 por la izquierda, ¿a que numero se acerca Y ?

lımx→1−

f(x): Lımite lateral izquierdo. Es la imagen a la que se acerca Y

cuando el punto X se acerca a 1 por la izquierda.

3. Completa ahora lımx→1−

f(x) = .

4. Acerca el punto X a 1 por la derecha, ¿a que numero se acerca Y ?

lımx→1+

f(x): Lımite lateral derecho. Es la imagen a la que se acerca Y cuando

el punto X se acerca a 1 por la derecha.

5. Completa ahora lımx→1+

f(x) = .

6. ¿Para que exista lımx→1

f(x) deben existir los lımites laterales izquierdo y derecho

y ser iguales? SI o NO ¿Por que?

7. ¿Cual es el lımx→1

f(x)? y ¿Por que?

106

8. Halla f(1) en la funcion

f(x) =

{

x3−1x−1

si x 6= 1

7 si x = 1.

9. Compara el valor de f(1) con el valor del lımx→1

f(x). Iguales o diferentes.

10. Explica la diferencia entre f(1) y el lımx→1

f(x).

Para realizar lo que se pide en el inciso 11 toma en cuenta el recuadrosiguiente y el archivo grafica1.

Completa la tabla 5, moviendo el punto X dentro de la vecindad Vδ(1) =(1− δ, 1 + δ) = (c, d)

107

Tabla 51 2 3 4 5 6 6

ε δ VECINDADVε(4) =(4− ε, 4+ ε) =(a, b)

VECINDADVδ(1) =(1− δ, 1 + δ) =(c, d)

¿Todas lasimagenes Yde los pun-tos X estanen (a, b)?

¿ Siem-pre secumple qued(1,X) <δ?

¿ Siem-pre secumple qued(4, Y ) <ε?

2 (4− 3, 4+3) =(1, 7)

(1− 2, 1+2) =(−1, 3)

NO SI NO

3 0.80.5

1.42 0.9

0.4

11. Contesta, observando las columnas 3, 4 y 5 de la tabla 5:

¿Cuales vecindades Vδ(1) = (1−δ, 1+ δ) = (c, d) tienen las imagenes Y dentrode la vecindad Vε=3(4) = (4− 3, 4 + 3) = (1, 7)? y ¿que radios δ tienen?


12. Considera una vecindad Vε(4) = (4 − ε, 4 + ε) = (a, b) donde el radio ε seamenor a 3 ¿a partir de que radio δ puedes garantizar que las imagenes Y delos puntos X de la vecindad Vδ(1) = (1 − δ, 1 + δ) = (c, d) esten dentro de lavecindad Vε(4) = (4− ε, 4 + ε) = (a, b)?

Radio elegido ε =

Radio encontrado δ =

13. En general, ¿todos los puntos X dentro de la vecindad Vδ(1) = (1− δ, 1+ δ) =(c, d) cumplen con d(1, X) = |X − 1| < δ? SI o NO ¿Por que?

108

14. En general, ¿todas las imagenes Y dentro de la vecindad Vε(4) = (4−ε, 4+ε) =(a, b) cumplen con d(4, Y ) = |Y − 4| < ε? SI o NO ¿Por que?

15. Como el lımite de la funcion es 4 cuando “X” se aproxima a 1, entonces paracualquier vecindad Vε(4) = (4−ε, 4+ ε) = (a, b) ¿siempre es posible encontraruna vecindad Vδ(1) = (1− δ, 1 + δ) = (c, d) en donde los puntos “X”, exceptoX = 1, tienen sus imagenes “Y ” dentro de la vecindad Vε(4) = (4−ε, 4+ ε) =(a, b)? SI o NO ¿Por que?

Si tu respuesta es SI entonces debes tener en cuenta la siguiente afirmacion.

El que el lımite de la funcion sea 4 cuando “X” se aproxima a 1, es decirlımx→1

f(x) = 4, nos indica que para cualquier vecindad Vε(4) = (4−ε, 4+ε) = (a, b)

siempre es posible encontrar una vecindad Vδ(1) = (1−δ, 1+δ) = (c, d) de formatal que los puntos X dentro de la vecindad Vδ(1) = (1−δ, 1+δ) = (c, d) , exceptoX = 1, tienen sus imagenes Y dentro de la vecindad Vε(4) = (4−ε, 4+ε) = (a, b).

Para simplificar lo escrito en el recuadro se pueden sustituir algunas expre-siones como:

“Para cualquier vecindad” es lo mismo que “Para toda vecindad’

“Siempre es posible encontrar una vecindad” es lo mismo que “existeuna vecindad”

“los puntos X dentro de la vecindad Vδ(1) = (1 − δ, 1 + δ) = (c, d)” sepuede remplazar por “d(1, X) = |X − 1| < δ”

“Tienen sus imagenes Y dentro de la vecindad Vε(4) = (4 − ε, 4 + ε) =(a, b)” se puede remplazar por “entonces d(4, Y ) = |Y − 4| < ε”

16. Escribe de nuevo la afirmacion remplazando las expresiones del cuadro ante-rior.

109

Aun se puede simplificar mas con el uso de sımbolos.

“Para toda vecindad Vε(4) = (4 − ε, 4 + ε) = (a, b)” se puede escribir“∀ ε”

“Existe una vecindad Vδ(1) = (1 − δ, 1 + δ) = (c, d)” se puede escribir“∃ δ”

17. Remplazando la simbologıa del cuadro anterior, expresa de nuevo la afirma-cion que escribiste en el inciso 16.

3) Problemas

Resuelve los siguientes problemas de contexto:

Un saltador atado a una cuerda elastica se lanza ¿cual es el lımite de su caıda?Explıquelo con palabras y haga un dibujo que simule la trayectoria.

Un tanque de volumen V0, comienza a llenarse a un volumen de entrada delıquido V (t) ¿Cual es el lımite de la funcion de llenado?

Grafique una funcion cualquiera en un sistema coordenado. Seleccione dospuntos cualesquiera de esa funcion P1(x1, f(x1)); P2(x2, f(x2)) y grafique larecta secante a la funcion que pasa por esos puntos,

• Halle la pendiente de esa recta;

• Mueva el punto P2 acercandolo a P1, trace la recta secante y halle lapendiente de esa recta;

• Observe que sucede con la recta secante cuando P2 se acerca mucho a P1

y diga a que valor se acerca la pendiente de esa recta.

110

Si se mueve el punto x2 = x+ h, se observa como al acercarse al punto x1 (locual es igual a decir que h tiende a cero) la secante se acerca a la tangente enel punto P1.

¿Como explicas que los dos puntos se sobre pongan y la secante desaparezca?

4) Sintetizar ideas principales

Si lımx→a

f(x) = L, donde la funcion f(x) esta definida en el punto a.

Responde a las siguientes preguntas:

Cuando el punto x se acerca por la derecha y por la izquierda al punto a¿aque valor se acercan las imagenes de la funcion f(x)? ¿este valor es el lımitede la funcion f(x)? SI o NO ¿Por que?

¿Cual es la diferencia entre el lımite de la funcion f(x) en el punto a, es decir“L” y la funcion evaluada en el punto a, es decir “f(a)”?

Como el lımite de la funcion es “L” cuando el punto x se acerca al punto a,entonces para cualquier vecindad Vε(L) = (L − ε, L + ε) ¿siempre es posibleencontrar una vecindad Vδ(a) = (a − δ, a + δ) de forma tal que los puntos xdentro de esa vecindad, excepto quizas para x = a, tienen sus imagenes dentrode la vecindad Vε(L) = (L− ε, L+ ε)? SI o NO ¿Por que?

111

5) Establecer conjetura

Si lımx→a

f(x) = L ¿que ocurre entre las vecindades Vε(L) = (L − ε, L + ε) y

Vδ(a) = (a− δ, a+ δ)?



Asignar a cada equipo las actividades 1 y 2.

Dar solucion mediante el software GeoGebra.

Exponer los resultados y generar discusion.

Actividad 1

1. Completen las siguientes tablas utilizando calculadora.

x menor a 1 f(x) = x2 + x+ 10,90,990,9990,9999

x mayor a 1 f(x) = x2 + x+ 11,11,011,0011,0001

Con base en los valores de las tablas, determinen:

lımx→1−

f(x) =

lımx→1+

f(x) =

lımx→1

f(x) =

112

2. Abran el archivo graf1 encontraran una interface similar a la siguiente:

En el eje x acerquen el punto X por la derecha y por la izquierda al punto 1y completen:

lımx→1−

f(x) =

lımx→1+

f(x) =

lımx→1

f(x) =

3. Encuentren f(1) en f(x) = x2 + x+ 1

4. Comparen f(1) con el lımx→1

f(x). Iguales o diferentes

5. Expliquen la diferencia entre el lımx→1

f(x) y f(1)

113

6. Consideren una vecindad Vε(3) = (3 − ε, 3 + ε) = (a, b) donde el radio V esmenor a 1.5 ¿a partir de que radio δ pueden garantizar que las imagenes Y delos puntos X de la vecindad Vδ(2) = (2 − δ, 2 + δ) = (c, d) esten dentro de lavecindad Vε(3) = (3− ε, 3 + ε) = (a, b)?

Radio elegido ε =


7. Como el lımite de la funcion es 3 cuando “X” se aproxima a 1, entonces paracualquier vecindad Vε(3) = (3−ε, 3+ ε) = (a, b) ¿siempre es posible encontraruna vecindad Vδ(1) = (1 − δ, 1 + δ) = (c, d) de forma tal que los puntos “X”dentro esa vecindad, excepto X = 1, tienen sus imagenes “‘Y ” dentro de lavecindad Vε(3) = (3− ε, 3 + ε) = (a, b)? SI o NO ¿Por que?

8. Como lımx→1

f(x) = 3, ¿que ocurre con las vecindades Vε(3) = (3−ε, 3+ε) = (a, b)

y Vδ(1) = (1− δ, 1 + δ) = (c, d)?

Actividad 2

Verifiquen si el valor del lımite es correcto mediante las graficas de las funciones.

Para graficar cada una de las funciones utiliza el software GeoGebra.

lımx→6

6 = 3

lımx→−2

−1 = −1

Si c y b son numeros reales ¿sera cierto que lımx→c

b = b? ¿Por que?

114

lımx→4

x = 4

lımx→−5

x = −5

Si c es un numero real ¿sera cierto que lımx→c

x = c? ¿Por que?

lımx→2

x2 = 4

lımx→2

x3 = 8

Si c y n son numeros reales ¿sera cierto que lımx→c

xn = cn? ¿Por que?

lımx→2

(3)x2 = 12

lımx→2

(−1)x3 = −8

Si c y b son numeros reales y lımx→c

f(x) = A ¿sera cierto que lımx→c

bf(x) = bA?

¿Por que?

lımx→2

(x2 − x) = lımx→2

x2 + lımx→2

x = 4 + 2 = 6

lımx→2

(x3 − x2) = lımx→2

x3 − lımx→2

x2 = 8− 4 = 4

Si c es un numero real y lımx→c

f(x) = A y lımx→c

g(x) = B¿sera cierto que

lımx→c

(f(x)± g(x)) = A±B? ¿Por que?

lımx→2

(x2x) = lımx→2

x2 lımx→2

x = 4 · 2 = 8

lımx→−1

(x3x2) = lımx→2

x3 lımx→2

x2 = −1 · 1 = −1

115




lımx→c

(f(x) · g(x)) = A ·B? ¿Por que?

lımx→2

xx2 = 2

4= 1

2

lımx→−1

x3

4= 8

4= 2




lımx→c

f(x)g(x)

= ABsi B 6= 0? ¿Por que?


Propiedades del lımite

Si b, c, n, A y B son numeros reales, siendo f y g funciones tales quelımx→c


g(x) = B, entonces:

1. lımx→c

b = b 2. lımx→c

x = c

3. lımx→c

bf(x) = bA 4. lımx→c

(f(x)± g(x)) = A± B

5. lımx→c

(f(x) · g(x)) = A ·B 6. lımx→c

f(x)g(x)

= ABsi B 6= 0

7. lımx→c

xn = cn

Con ayuda del profesor en los incisos del 1 al 26

a) Calcula el lımite de la funcion dada utilizando las propiedades del lımite.

b) Construye una tabla para calcular el lımite de la funcion dada y luego comparael resultado con el obtenido en el inciso a.

1) lımx→−3

(x2 + x− 6).

Por la propiedad 7,lımx→−3

x2 = (−3)2 = 9.

Segun la propiedad 2,lımx→−3

x = −3.

116

Por la propiedad 1,lımx→−3

6 = 6.

Finalmente, de la propiedad 4,

lımx→−3

(x2 + x− 6) = lımx→−3

x2 + lımx→−3

x− lımx→−3

6 = 9− 3− 6 = 0.

Por tanto,

lımx→−3

(x2 + x− 6) = 0.

En la siguiente tabla presentamos los valores de f(x) que corresponden a variosvalores menores y mayores de x cercanos a -3.

x menor a −3 f(x) = x2 + x− 6 x mayor a −3 f(x) = x2 + x− 6−3,1 0,51 −2,9 −0,49−3,01 0,0501 −2,99 −0,0499−3,001 0,005001 −2,999 −0,004999−3,0001 0,00050001 −2,9999 −0,00049999

En la tabla observamos que cuando x se acerca -3 los valores de f(x) se aproximana cero.

Estas dos maneras de calcular el lımite indican el mismo resultado.

2) lımx→1

f(x), donde

f(x) =

{

4− x x < 14x− x2 x ≥ 1

.

Debido a que la funcion esta definida a trozos, se estudian los lımites laterales.

Para x < 1 y por las propiedades 1, 2 y 4,

lımx→1−

f(x) = lımx→1−

(4− x) = lımx→1−

4− lımx→1−

x = 4− 1 = 3.

y para x > 1 y por las propiedades 2, 3, 7 y 4,

lımx→1+

f(x) = lımx→1+

(4x− x2) = lımx→1+

4x− lımx→1+

x2 = 4− 1 = 3.

Puesto que existen ambos lımites laterales y son iguales a 3, tenemos

lımx→1

f(x) = 3.

En la siguiente tabla presentamos los valores de f(x) que corresponden a variosvalores menores y mayores de x cercanos a 1.

117

x menor a 1 f(x) = x2 + x− 6 x mayor a 1 f(x) = x2 + x− 60,9 3,1 1,1 3,190,99 3,01 1,01 3,01990,999 3,001 1,001 3,0019990,9999 3,0001 1,0001 3,00019999

En la tabla observamos que cuando x se acerca 1 los valores de f(x) se aproximan a 3.


3) lımx→−3

f(x), donde

f(x) =

{

x2−9x+3

x 6= −3

−1 x = −3.

Para x 6= −3 y por las propiedades 1, 2, 7 y 4, obtenemos

lımx→−3

f(x) = lımx→−3

x2 − 9

x+ 3= lım

x→−3

lımx→−3

x2 − lımx→−3

9

lımx→−3

x+ lımx→−3

3=

(−3)2 − 9

−3 + 3=

9− 9

−3 + 3=

0

0,

lo que no tiene sentido. Al factorizar y simplificar resulta

lımx→−3

f(x) = lımx→−3

x2 − 9

x+ 3= lım

x→−3

(x+ 3)(x− 3)

x+ 3= lım

x→−3(x− 3) = −3− 3 = −6.

Por tanto,

lımx→−3

f(x) = −6.

En la siguiente tabla presentamos los valores de f(x) que corresponden a variosvalores menores y mayores de x cercanos a -3 .

x menor a −3 f(x) = x2 + x− 6 x mayor a ,3 f(x) = x2 + x− 6−3,1 −6,1 −2,9 −5,9−3,01 −6,01 −2,99 −5,99−3,001 −6,001 −2,999 −5,999−3,0001 −6,0001 −2,9999 −5,9999

En la tabla observamos que cuando x se acerca −3 los valores de f(x) se aproximana −6.


4) lımx→0

x2 − 1

x+ 1, 5) lım

x→5(10x+ 7), 6) lım

x→2(x2 − 3x+ 6),

118

7) lımx→0

f(x), donde f(x) =

{

x2 x < 08x3 x ≥ 0

. , 8) lımx→1

(2x3 + 5x2 − 2x− 5),

9) lımx→2

f(x), donde f(x) =

{

x3−8x−2

x 6= 2

5 x = 2. , 10) lım

x→6

√2x− 5,

11) lımx→3

x2 − 7x+ 12

2x− 8, 12) lım

x→ 1

2

x− 6

x2 − 9, 13) lım

x→0

(

1− 1

x− 1

)

,

14) lımx→1

f(x), donde f(x) =

{

x3−3x2−x+3x−1

x 6= 1

6 x = 1. ,

15) lımx→−3

f(x), donde f(x) =

{

x3−3x2−13x+15x+3

x 6= −3

7 x = −3. ,

16) lımx→−2

x

x2 + 4, 17) lım

x→2f(x), donde f(x) =

{

x2 − 4x+ 6 x < 2−x2 + 4x− 2 x ≥ 2

. ,

18) lımx→−1

3x− 4

6x+ 2, 19) lım

x→3(x− 4)99(x2 − 7)10,

20) lımx→−8

x− 3√x

2x+ 10, 21) lım


{

x3−1x−1

x 6= 1

0 x = 1. ,

22) lımx→10

√

10x

2x+ 5, 23) lım


{

x2 + 1 x 6= 02 x = 0

. ,

24) lımx→−4

5x2

x+ 3, 25) lım


{

x x ≤ 12− x x > 1

. ,

26) lımx→−2

f(x), donde f(x) =

−x x < −2x+ 4 x > −23 x = −2

. ,

VI. CONCLUSIONES

A partir de todo el trabajo individual realizado en la Hoja por ti, de la discusioncon tus companeros de equipo y de la discusion en asamblea en el aula, responde laspreguntas siguientes:

119

¿Como se determina que el lımite de una funcion en un punto existe?

¿Cual es la diferencia entre el lımite de una funcion en un punto y la funcionevaluada en ese punto?

Si el lımite de una funcion en un punto existe ¿cual es la relacion entre lasvecindades de la imagen con las del dominio?

Al finalizar comparte las respuestas con tus companeros para analizar las similitudesque encontraron, y posteriormente escribir una conclusion grupal.

120

HOJA DE TRABAJO 9

3.3. H.T. 9. Lımite de una funcion no definida en

el punto

I. OBJETIVOS


Determinar el lımite de una funcion a partir de los lımites laterales.

Comprender el concepto de lımite de forma intuitiva.

Comprender la existencia del lımite de una funcion en un punto aunque lafuncion no este definida en ese punto.


Interpretar el concepto de lımite en el sentido de vecindades.





II. MOTIVACION

Instrucciones:

Con el apoyo del maestro responde a la pregunta.

Una vez contestada compartela con tus companeros.

Sea An, el area del polıgono de n lados inscrito en una circunferencia de radio con-stante. Grafique varios polıgonos y observe lo que sucede cuando n crece ¿cual es elvalor al que se acerca el area cuando n se hace muy grande?

121

Esta operacion se puede efectuar con el sistema GeoGebra cuando se genera unpolıgono regular, con ello se puede ver como al aumentar el numero de lados delpolıgono, el area se acerca mas al area de la circunferencia. Para un numero grandede lados ya no es perceptible al ojo humano la diferencia entre las areas.





a) f(x) = 1x−3

b) f(x) = 7x

c) f(x) =√x+ 1

2. Completa la tabla 1 evaluando en la funcion f(x) = 4x−2

los valores de x

Tabla 1x Evaluacion Valor de la funcion en x1 f(1) = 4

1−2= −4 −4

−2215

f(

15

)

= 41

5−2

= −209

−3

3. Completa la tabla 2 como se indica en la primera fila, donde x representa a unpunto dentro de la vecindad indicada.

122



V1(3) (3 − 1, 3 +1) = (2, 4)

V1(3) = {x| d(3, x) < 1}

V2(−1)


2) Identificar, interpretar y analizar.



123

f(x) =2x2 − x− 3

x+ 1: funcion graficada


1. En el eje x ¿de cuantas formas puedes acercar el punto X a -1?


2. Acerca el punto X a -1 por la izquierda, ¿a que numero se acerca Y ?

lımx→−1−


cuando el punto X se acerca a −1 por la izquierda.

3. Completa ahora lımx→−1−

f(x) = .

4. Acerca el punto X a -1 por la derecha, ¿a que numero se acerca Y ?

lımx→−1+

f(x): Lımite lateral derecho. Es la imagen a la que se acerca Y

cuando el punto X se acerca a −1 por la derecha.

5. Completa ahora lımx→−1+

f(x) = .

6. ¿Para que exista lımx→−1

f(x) deben existir los lımites laterales izquierdo y dere-

cho y ser iguales? SI o NO ¿Por que?

7. ¿Cual es el lımx→−1

f(x)? y ¿Por que?

8. ¿Puedes hallar f(, 1) en f(x) = 2x2−x−3x+1

SI o NO ¿Por que?

124

9. ¿Puedes comparar el valor de f(−1) con el valor del lımx→−1

f(x)?. SI o NO ¿Por

que?


Completa la tabla 3, moviendo el punto X dentro de la vecindad Vδ(−1) =(−1− δ,−1 + δ) = (c, d)

125

Tabla 31 2 3 4 5 6 6

ε δ VECINDADVε(−5) =(−5 − ε,−5 +ε) = (a, b)

VECINDADVδ(−1) =(−1 − δ,−1 +δ) = (c, d)


¿ Siem-pre secumple qued(−1,X) <δ?

¿ Siem-pre secumple qued(−5, Y ) <ε?

1.5 (−5−1,8,−5+1,8) =(−6,8,−3,2)

(−1−1,5,−1+1,5) =(−2,5, 0,5)

NO SI NO

1.8 10.8

20.7 1.3

0.5


¿Cuales vecindades Vδ(−1) = (−1− δ,−1 + δ) = (c, d) tienen las imagenes Ydentro de la vecindad Vε=1−8(−5) = (−5 − 1,8,−5 + 1,8) = (−6,8,−3,2)? y¿que radios δ tienen?

¿Cuales vecindades Vδ(−1) = (−1 − δ,−1 + δ) = (c, d) tienen las imagenesY dentro de la vecindad Vε=0,7(4) = (−5 − 0,7,−5 + 0,7) = (−5,7,−4,3)? y¿que radios δ tienen?

11. Considera una vecindad Vε(−5) = (−5 − ε,−5 + ε) = (a, b) donde el radio εsea menor a 1 ¿a partir de que radio δ puedes garantizar que las imagenes Yde los puntos X de la vecindad Vδ(−1) = (−1−δ,−1+δ) = (c, d) esten dentrode la vecindad Vε(−5) = (−5 − ε,−5 + ε) = (a, b)?

Radio elegido ε =


12. En general, ¿todos los puntos X dentro de la vecindad Vδ(−1) = (−− δ,−1+δ) = (c, d) cumplen con d(1, X) = |X − (−1)| < δ? SI o NO ¿Por que?

126

13. En general, ¿todas las imagenes Y dentro de la vecindad Vε(−5) = (−5 −ε,−5 + ε) = (a, b) cumplen con d(−5, Y ) = |Y − (−5)| < ε? SI o NO ¿Porque?

14. Como el lımite de la funcion es −5 cuando “X” se aproxima a -1, entoncespara cualquier vecindad Vε(−5) = (−5−ε,−5+ε) = (a, b) ¿siempre es posibleencontrar una vecindad Vδ(−1) = (−1 − δ,−1 + δ) = (c, d) en donde lospuntos “X”, excepto X = −1, tienen sus imagenes “Y ” dentro de la vecindadVε(−5) = (−5− ε,−5 + ε) = (a, b)? SI o NO ¿Por que?


El que el lımite de la funcion sea −5 cuando “X” se aproxima a -1, es decirlımx→−1

f(x) = −5, nos indica que para cualquier vecindad Vε(−5) = (−5−ε,−5+

ε) = (a, b) siempre es posible encontrar una vecindad Vδ(−1) = (−1 − δ,−1 +δ) = (c, d) de forma tal que los puntos X dentro de la vecindad Vδ(−1) =(−1 − δ,−1 + δ) = (c, d), excepto X = 1, tienen sus imagenes Y dentro de lavecindad Vε(−5) = (−5− ε,−5 + ε) = (a, b).

Para simplificar lo escrito en el recuadro se pueden sustituir algunas expre-siones como:

“Para cualquier vecindad” es lo mismo que “Para toda vecindad’

“Siempre es posible encontrar una vecindad” es lo mismo que “existeuna vecindad”

“los puntos X dentro de la vecindad Vδ(−1) = (−1 − δ,−1 + δ) = (c, d)”se puede remplazar por “d(1, X) = |X − (−1)| < δ”

“Tienen sus imagenes Y dentro de la vecindad Vε(−5) = (−5−ε,−5+ε) =(a, b)” se puede remplazar por “entonces d(4, Y ) = |Y − (−5)| < ε”

15. Escribe de nuevo la afirmacion remplazando las expresiones del cuadro ante-rior.

127

Aun se puede simplificar mas con el uso de sımbolos.

“Para toda vecindad Vε(−5) = (−5 − ε,−5 + ε) = (a, b)” se puedeescribir “∀ ε”

“Existe una vecindad Vδ(−1) = (−1 − δ,−1 + δ) = (c, d)” se puedeescribir “∃ δ”

16. Remplazando la simbologıa del cuadro anterior, expresa de nuevo la afirma-cion que escribiste en el inciso 16.

3) Problemas


Un automovil se desplaza por una carretera recta que finaliza en un gran arbolde una arboleda ¿cual es el lımite de la trayectoria del automovil?

Grafique una funcion creciente positiva cualquiera en un sistema cartesiano,seleccione un intervalo en el eje x. Divida el intervalo en i) 2, ii) 4, iii) 8, iv) 16,v) 32 partes. En cada uno de los incisos considere los rectangulos que tienenpor base los subintervalos en los que ha sido dividido el intervalo original ypor altura la imagen de la funcion en el extremo inferior del subintervalo. Ob-serve cual es el area que se obtiene al unir todos esos rectangulos. Diga comova cambiando el area a medida que aumenta el numero de divisiones. ¿A quearea se acerca cuando se hace muy grande el numero de divisiones?

Observe como se puede visualizar esto en un sistema de software Winplot.

128

En la opcion 2d, ingrese una funcion, en la opcion uno, seleccione integrar,determine el intervalo, y establezca el numero de intervalos.


Si lımx→a

f(x) = L, donde la funcion f(x) no esta definida en el punto a.


Cuando el punto x se acerca por la derecha y por la izquierda al punto a¿aque valor se acercan las imagenes de la funcion f(x)? ¿este valor es el lımitede la funcion f(x)? SI o NO ¿Por que?

¿Como explicas la existencia del lımite independientemente de que la funcionno esta definida en el punto?

Como el lımite de la funcion es “L” cuando el punto x se acerca al punto a,entonces para cualquier vecindad Vε(L) = (L − ε, L + ε) ¿siempre es posibleencontrar una vecindad Vδ(a) = (a − δ, a + δ) de forma tal que los puntos xdentro de esa vecindad, excepto quizas para x = a, tienen sus imagenes dentrode la vecindad Vε(L) = (L− ε, L+ ε)? SI o NO ¿Por que?

129


Si lımx→a

f(x) = L ¿que ocurre entre las vecindades Vε(L) = (L − ε, L+ ε) y Vδ(a) =

(a− δ, a+ δ)?






Actividad 1


x menor a 1 f(x) = x2−xx−1

0,90,990,9990,9999

x mayor a 1 f(x) = x2−xx−1

1,11,011,0011,0001


lımx→1−

f(x) =

lımx→1+

f(x) =

lımx→1

f(x) =

2. Abran el archivo graf2.1 encontraran una interface similar a la siguiente:

130


lımx→1−

x2−xx−1

=

lımx→1+

x2−xx−1

=

lımx→1

x2−xx−1

=

3. ¿Pueden encontrar f(1) en f(x) = x2−xx−1

? SI o NO ¿Por que?

4. ¿Pueden comparar el valor f(1) con el lımx→1

x2−xx−1

. SI o NO ¿Por que?

5. Consideren una vecindad Vε(1) = (1 − ε, 1 + ε) = (a, b) donde el radio V esmenor a 1 ¿a partir de que radio δ pueden garantizar que las imagenes Y delos puntos X de la vecindad Vδ(1) = (1 − δ, 1 + δ) = (c, d) esten dentro de lavecindad Vε(1) = (1− ε, 1 + ε) = (a, b)?

131

Radio elegido ε =


6. Como el lımite de la funcion es 1 cuando “X” se aproxima a 1, entonces paracualquier vecindad Vε(1) = (1−ε, 1+ ε) = (a, b) ¿siempre es posible encontraruna vecindad Vδ(1) = (1 − δ, 1 + δ) = (c, d) de forma tal que los puntos “X”dentro esa vecindad, excepto X = 1, tienen sus imagenes “‘Y ” dentro de lavecindad Vε(1) = (1− ε, 1 + ε) = (a, b)? SI o NO ¿Por que?

7. Como lımx→1

f(x) = 1, ¿que ocurre con las vecindades Vε(1) = (1−ε, 1+ε) = (a, b)

y Vδ(1) = (1− δ, 1 + δ) = (c, d)?

Actividad 2


x menor a −1 f(x) = 3x2+2x−1x+1

−1,1−1,01−1,001−1,0001

x mayor a −1 f(x) = 3x2+2x−1x+1

−0,9−0,99−0,999−0,9999


lımx→−1−

f(x) =

132

lımx→−1+

f(x) =

lımx→−1

f(x) =


En el eje x acerquen el punto X por la derecha y por la izquierda al punto −1y completen:

lımx→1−

3x2+2x−1x+1

=

lımx→1+

3x2+2x−1x+1

=

lımx→1

3x2+2x−1x+1

=

3. 3. ¿Pueden encontrar f(−1) en f(x) = 3x2+2x−1x+1


4. 4. ¿Pueden comparar el valor f(−1) con el lımx→1

3x2+2x−1x+1


133

5. Consideren una vecindad Vε(−4) = (−4 − ε,−4 + ε) = (a, b) donde el radioV es menor a 0.5 ¿a partir de que radio δ pueden garantizar que las imagenesY de los puntos X de la vecindad Vδ(−1) = (−1 − δ,−1 + δ) = (c, d) estendentro de la vecindad Vε(−4) = (−4− ε,−4 + ε) = (a, b)?

Radio elegido ε =


6. Como el lımite de la funcion es -4 cuando “X” se aproxima a 1, entonces paracualquier vecindad Vε(−4) = (−4 − ε,−4 + ε) = (a, b) ¿siempre es posibleencontrar una vecindad Vδ(−1) = (−1 − δ,−1 + δ) = (c, d) de forma tal quelos puntos “X” dentro esa vecindad, excepto X = 1, tienen sus imagenes “‘Y ”dentro de la vecindad Vε(−4) = (−4− ε,−4 + ε) = (a, b)? SI o NO ¿Por que?

7. Como lımx→−1

f(x) = −4, ¿que ocurre con las vecindades Vε(−4) = (−4−ε,−4+

ε) = (a, b) y Vδ(−1) = (−1 − δ,−1 + δ) = (c, d)?





g(x) = B, entonces:

1. lımx→c

b = b 2. lımx→c

x = c

3. lımx→c


(f(x)± g(x)) = A± B

5. lımx→c

(f(x) · g(x)) = A ·B 6. lımx→c

f(x)g(x)

= ABsi B 6= 0

7. lımx→c

xn = cn


134



1) lımx→−5

x2−25x+5

.

Por las propiedades 1, 2, 7 y 4, obtenemos

lımx→−5

x2 − 25

x+ 5= lım

x→−5

lımx→−5

x2 − lımx→−5

25

lımx→−5

x+ lımx→−5

5=

(−5)2 − 25

−5 + 5=

25− 25

−5 + 5=

0

0,


lımx→−5

x2 − 25

x+ 5= lım

x→−5

(x+ 5)(x− 5)

x+ 5= lım

x→−5(x− 5) = −5− 5 = −10.

Por tanto,

lımx→−5

x2 − 25

x+ 5) = −10.

En la siguiente tabla presentamos los valores de f(x) que corresponden a variosvalores menores y mayores de x cercanos a -5.

x menor a −3 f(x) = x2 + x− 6 x mayor a ,3 f(x) = x2 + x− 6−5,1 −10,1 −4,9 −9,9−5,01 −10,01 −4,99 −9,99−5,001 −10,001 −4,999 −9,999−5,0001 −10,0001 −4,9999 −95,9999

En la tabla observamos que cuando x se acerca −5 los valores de f(x) se aproximana −10.


2) lımx→2

x2−3x+2x+2+x−6

.


lımx→2

x2 − 3x+ 2

x+2 +x− 6= lım

x→2

lımx→2

x2 − lımx→2

3x+ lımx→2

2

lımx→2

x2 + lımx→2

x− lımx→2

6=

(2)2 − 3(2) + 2

22 + 2− 6=

0

0,


lımx→2

x2 − 3x+ 2

x+2 +x− 6= lım

x→2

(x− 2)(x− 1)

(x+ 3)(x− 2)= lım

x→2

x− 1

x+ 3=

2− 1

2 + 3=

1

5.

135

Por tanto,

lımx→2

x2 − 3x+ 2

x+2 +x− 6=

1

5.


x menor a −3 f(x) = x2 + x− 6 x mayor a ,3 f(x) = x2 + x− 61,9 0,21568 2,1 0,183671,99 0,20159 2,01 0,198391,999 0,20015 2,001 0,199831,999 0,20001 2,0001 0,19998



3) lımx→0

√x+1−1x

.


lımx→0

√x+ 1− 1

x= lım

x→0

lımx→0

√x+ 1− lım

x→01

lımx→0

x=

√0 + 1− 1

1=

0

0,


lımx→0

√x+ 1− 1

x= lım

x→0

√x+ 1− 1

x

√x+ 1 + 1√x+ 1 + 1

= lımx→0

(x+ 1)− 1

x(√x+ 1 + 1)

= lımx→0

1√x+ 1 + 1

=lımx→0

1

lımx→0

√x+ 1 + lım

x→01=

1√0 + 1 + 1

=1

2.

Por tanto,

lımx→0

√x+ 1− 1

x=

1

2.


x menor a −3 f(x) = x2 + x− 6 x mayor a ,3 f(x) = x2 + x− 6−0,1 0,51316 0,1 0,48808−0,01 0,50125 0,01 0,49875−0,001 0,50012 0,001 0,49987−0,0001 0,50001 0,0001 0,49987

136



4) lımx→1

x2 − x

x− 1, 5) lım

x→−1

3x2 + 2x− 1

x+ 1, 6) lım

x→2

x2 − 3x+ 2

x− 2,

7) lımx→4

√x− 2

x− 4, 8) lım

x→3

x− 3

x2 − 9, 9) lım

x→0

8x5 + 12x4

x4,

10) lımx→0

√x+ 3−

√3

x, 11) lım

x→3

x2 − 2x− 3

x2 + x− 12, 12) lım

x→0

x√1 + 3x− 1

,

13) lımx→1

x− 1

x2 + x− 2, 14) lım

x→6

x2 − 6x

x2 − 7x+ 6, 15) lım

x→2

x−√3x− 2

x2 − 4,

16) lımx→0

x2 + 7x

x, 17) lım

x→0

√x2 + 9− 3

x2, 18) lım

x→−3

2x+ 6

4x2 − 36,

19) lımx→0

x3

x4 + 2x3, 20) lım

x→9

x2 − 81√x− 3

, 21) lımx→−3

x2 + x− 6

x+ 3,

22) lımx→1

x2 + x− 2

x2 − 1, 23) lım

x→−4

16− x2

4 + x, 24) lım

x→2

x3 − 8

x− 2,

25) lımx→5

x2 − 6x+ 5

x2 − x− 20, 26) lım

x→−1

x3 + 1

x+ 1.

VI. CONCLUSIONES


¿Como se determina que el lımite de una funcion en un punto existe?

¿Cual es la diferencia entre el lımite de una funcion en un punto y la funcionevaluada en ese punto?

Si el lımite de una funcion en un punto existe ¿cual es la relacion entre lasvecindades de la imagen con las del dominio?


137

HOJA DE TRABAJO 10

3.4. H.T. 10. No existencia de lımite

I. OBJETIVOS


Determinar la no existencia del lımite de una funcion a partir de los lımiteslaterales.

Comprender la no existencia del lımite de forma intuitiva.


Interpretar la no existencia del lımite en el sentido de vecindades.


Usar tecnologıa computacional para la comprension de la no existencia dellımite de una funcion.



II.MOTIVACION

Instrucciones:

Con el apoyo del maestro determina lo que se pide a continuacion.

Una vez terminado discutelo con tus companeros.

Los cargos de embarque se basan frecuentemente en una formula que proporcionael cargo mınimo por libra conforme el cargamento se incrementa.

138

Suponga que los cargos de embarques son los siguientes: $2,20 por libra si el pesono excede 50lb; $2,10 por libra si el peso es mayor que 50lb pero no excede $200lb.Si C(x) representa el costo total de un embarque de x libras, entonces

C(x) =

{

2,2x si 0 < x ≤ 502,1x si 50 < x ≤ 200

Determina el costo total de un embarque cuando x se aproxima a 50lb mediantevalores menores y mayores a 50lb.





a) C(x) =

{

3 + x para x ≤ 2x2 + 1 para x > 2

, b) C(x) =

{

x3 + 1 para x < 1x+ 1 para x ≥ 1

2. Completa la tabla 1 evaluando en la funcion

f(x) =

{

x para x ≤ 11− x para x > 1

los valores de x.

139

Tabla 1x Evaluacion Valor de la funcion en x2 f(2) = 1− 2 = −1 −15−3 f(−3) = −304

3. Completa la tabla 2 como se indica en la primera fila, donde x representa a unpunto dentro de la vecindad.



V1(1) (1 − 1, 1 +1) = (0, 2)

V1(1) = {x| d(1, x) < 1}

V2(−4)


V1

(

12

)



Abre el archivo grafica3a y encontraras una interface similar a la siguiente:

140

f(x) =

{

5− x para x ≤ 22x− 3 para x > 2

: funcion graficada



“Y i”: imagen del punto “X” en la funcion f(x) cuandoX ≤ 2.

2. Acerca el punto X a 2 por la izquierda, ¿a que numero se acerca Y i?

lımx→2−

f(x): Lımite lateral izquierdo. Es la imagen a la que se acerca Y i



f(x) = .

4. Acerca el punto X a -1 por la derecha, ¿a que numero se acerca Y d?

141

“Y i”: imagen del punto “X” en la funcion f(x) cuandoX ≤ 2.

lımx→2+

f(x): Lımite lateral derecho. Es la imagen a la que se acerca Y d

cuando el punto X se acerca a 2 por la derecha.


f(x) = .




7. ¿Existe lımx→2

f(x)? SI o NO ¿Por que?

8. ¿Es posible que el lımite de la funcion sea igual a 3? SI o NO ¿Por que?

9. ¿Es posible que el lımite de la funcion sea igual a 1? SI o NO ¿Por que?

10. Encuentra el valor de la funcion

11.

f(x) =

{

5− x para x ≤ 22x− 3 para x > 2

evaluada enx = 2, es decir, f(2)

142

12. ¿Puedes comparar el valor de f(2) con el valor del lımx→2

f(x)?. SI o NO ¿Por

que?

Para realizar lo que se pide en el inciso 12 toma en cuenta el recuadrosiguiente y el archivo grafica3A.

143


Tabla 31 2 3 4 5 6 6

ε δ VECINDADVε(3) =(3− ε, 3+ ε) =(a, b)

VECINDADVδ(2) =(2− δ, 2 + δ) =(c, d)


¿ Siem-pre secumple qued(2,X) <δ?

¿ Siem-pre secumple qued(3, Y i) < εyd(3, Y d) <ε?

0.9 (3− 1, 3+1) =(2, 4)

(2 − 0,9, 2 +0,9) =(1,1, 2,9)

NO SI NO

1 0.50.3

0.80.6 0.4

0.2


¿Cuales vecindades Vδ(2) = (2− δ, 2+ δ) = (c, d) tienen las imagenes Y i y Y ddentro de la vecindad Vε=1(3) = (3−1, 3+1) = (2, 4)? y ¿que radios δ tienen?

¿Cuales vecindades Vδ(2) = (2− δ, 2+ δ) = (c, d) tienen las imagenes Y i y Y ddentro de la vecindad Vε=0,6(3) = (3− 0,6, 3 + 0,6) = (2,4, 3,6)? y ¿que radiosδ tienen?

14. Considera una vecindad Vε(3) = (3 − ε, 3 + ε) = (a, b) donde el radio ε seamenor a 1,5 ¿a partir de que radio δ puedes garantizar que las imagenes Y i yY d de los puntos X de la vecindad Vδ(2) = (2− δ, 2 + δ) = (c, d) esten dentrode la vecindad Vε(3) = (3− ε, 3 + ε) = (a, b)?

Radio elegido ε =


144

15. En general, ¿todos los puntos X dentro de la vecindad Vδ(2) = (2− δ, 2+ δ) =(c, d) cumplen con d(2, X) = |X − 2| < δ? SI o NO ¿Por que?

16. En general, ¿todas las imagenes Y i y Y d dentro de la vecindad Vε(3) = (3 −ε, 3 + ε) = (a, b) cumplen con d(3, Y ) = |Y − 3| < ε? SI o NO ¿Por que?

17. Como el lımite de la funcion no es 3 cuando “X” se aproxima a 2, ¿puedesencontrar una vecindad Vε(3) = (3− ε, 3+ ε) = (a, b) para cualquier vecindadVδ(2) = (2 − δ, 2 + δ) = (c, d) de forma tal que los puntos “X” dentro de lavecindad Vδ(2) = (2 − δ, 2 + δ) = (c, d) no tengan sus imagenes “Y i” y “Y d”dentro de la vecindad Vε(3) = (3− ε, 3 + ε) = (a, b)? SI o NO ¿Por que?


El que el lımite de la funcion no sea 3 cuando “X” se aproxima a 2, nos indicaque existe una vecindad Vε(3) = (3−ε, 3+ε) = (a, b) spara cualqui9er vecindadVδ(2) = (2 − δ, 2 + δ) = (c, d) de forma tal que algunos puntos X dentro de lavecindad Vδ(2) = (2−δ, 2+ δ) = (c, d), tienen sus imagenes “Y i” y “Y d” dentrode la vecindad Vε(3) = (3− ε, 3 + ε) = (a, b).

Ahora abre el archivo grafica3b y encontraras una interface similar a la sigu-iente:

145


Radio elegido ε =


19. Como el lımite de la funcion no es 1 cuando “X” se aproxima a -1, entoncespara cualquier vecindad Vε(1) = (1 − ε, 1 + ε) = (a, b) ¿siempre es posibleencontrar una vecindad Vδ(2) = (2−δ, 2+δ) = (c, d) en donde los puntos “X”,tienen sus imagenes “Y i” y “Y d” dentro de la vecindad Vε(1) = (1−ε, 1+ε) =(a, b)? SI o NO ¿Por que?


146

El que el lımite de la funcion no sea 1 cuando “X” se aproxima a 2, nos indicaque existe una vecindad Vε(1) = (1−ε, 1+ε) = (a, b) spara cualqui9er vecindadVδ(2) = (2 − δ, 2 + δ) = (c, d) de forma tal que algunos puntos X dentro de lavecindad Vδ(2) = (2−δ, 2+ δ) = (c, d), tienen sus imagenes “Y i” y “Y d” dentrode la vecindad Vε(1) = (1− ε, 1 + ε) = (a, b) .

3) Problemas

La funcion de Heaviside, H , esta definida por:

H(t) =

{

0 t < 01 t ≥ 0

.

Se usa en el estudio de los circuitos electricos para representar la onda repentina decorriente electrica, o de voltaje, cuando un interruptor se cierra instantaneamente.

a) Grafica la funcion de Heaviside

b) Determina lımt→0

H(t)

c) Traza la grafica del voltaje V (t) en un circuito si el interruptor se cierra en elinstante t = 0 y se aplican instantaneamente 120 volts.

d) Escriba una formula para V (t) en terminos de H(t)

e) Determina lımt→0

V (t)



Cuando el punto x se acerca por la derecha al punto a las imagenes de lafuncion f(x) se acercan a L1, mientras que si se acerca por la izquierda lasimagenes se acercan a L2, ¿existe lımite de la funcion f(x) en el punto a, esdecir lım

x→af(x)? SI o NO ¿Por que?

Si el lımite de la funcion no es “L1” cuando el punto x se acerca al puntoa ¿puedes encontrar una vecindad Vε(L1) = (L1 − ε, L1 + ε) para cualquiervecindad Vδ(a) = (a − δ, a + δ) de forma tal que algunos puntos x dentro dela vecindad Vδ(a) = (a− δ, a + δ), excepto quizas para X = A, no tengan susimagenes dentro de la vecindad Vε(L1) = (L1 − ε, L1 + ε)? SI o NO ¿Por que?

Si el lımite de la funcion no es “L2” cuando el punto x se acerca al puntoa ¿puedes encontrar una vecindad Vε(L2) = (L2 − ε, L2 + ε) para cualquiervecindad Vδ(a) = (a − δ, a + δ) de forma tal que algunos puntos x dentro dela vecindad Vδ(a) = (a− δ, a + δ), excepto quizas para X = A, no tengan susimagenes dentro de la vecindad Vε(L2) = (L2 − ε, L2 + ε)? SI o NO ¿Por que?

147


Si lımx→a

f(x) no es L ¿que ocurre entre las vecindades Vε(L) = (L − ε, L + ε) y

Vδ(a) = (a− δ, a+ δ)?






Actividad 1

1. Completen las siguientes tablas utilizando calculadora, para

f(x) =

{

4− 2x x ≤ 14x− x2 x > 1

x menor a 1 f(x)0,990,9990,9999

x mayor a 1 f(x)1,011,0011,0001


lımx→1−

f(x) =

lımx→1+

f(x) =

lımx→1

f(x) =

2. Abran el archivo graf3.1a encontraran una interface similar a la siguiente:

148


lımx→1−

f(x) =

lımx→1+

f(x) =

lımx→1

f(x) =

3. Encuentren f(1) en

f(x) =

{

4− 2x x ≤ 14x− x2 x > 1

4. Comparen el valor f(1) con el lımx→1

f(x)


f(x). SI o NO ¿Por que?

149


Radio elegido ε =


7. Como el lımite de la funcion no es 2 cuando “X” se aproxima a 1, ¿puedenencontrar una vecindad Vε(2) = (2− ε, 2+ ε) = (a, b) para cualquier vecindadVδ(1) = (1 − δ, 1 + δ) = (c, d) de forma tal que algunos puntos “X” den-tro de la vencindad Vδ(1) = (1 − δ, 1 + δ) = (c, d) tienen sus imagenes “Y i”y “Y d” dentro de la vecindad Vε(2) = (2−ε, 2+ε) = (a, b)? SI o NO ¿Por que?

8. Como lımx→1

f(x) no es 2 ¿que ocurre con las vecindades Vε(2) = (2− ε, 2+ ε) =

(a, b) y Vδ(1) = (1− δ, 1 + δ) = (c, d)?

Ahora abre el archivo grafica3.1b y encontraras una interface similar a lasiguiente:

150


Radio elegido ε =


10. Como el lımite de la funcion no es 3 cuando “X” se aproxima a 2, ¿puedenencontrar una vecindad Vε(3) = (3− ε, 3+ ε) = (a, b) para cualquier vecindadVδ(2) = (2− δ, 2 + δ) = (c, d) de forma tal que algunos puntos “X” dentro dela vencindad Vδ(2) = (2 − δ, 2 + δ) = (c, d) tienen sus imagenes “Y i” y “Y d”dentro de la vecindad Vε(3) = (3− ε, 3 + ε) = (a, b)? SI o NO ¿Por que?

11. Como lımx→2


(a, b) y Vδ(2) = (2− δ, 2 + δ) = (c, d)?

151

Actividad 2

1. Completen las siguientes tablas utilizando calculadora para

f(x) =

{

−3x x > −22x x ≤ −2

x menor a −2 f(x)−2,01−2,001−2,0001

x mayor a −2 f(x)−1,99−1,999−1,9999


lımx→−2−

f(x) =

lımx→−2+

f(x) =

lımx→−2

f(x) =

2. Abran el archivo graf3.2a encontraran una interface similar a la siguiente:

152


lımx→−2−

f(x) =

lımx→−2+

f(x) =

lımx→−2

f(x) =

3. Encuentren f(−2) en

f(x) =

{

−3x x > −22x x ≤ −2

4. Comparen el valor f(−2) con el lımx→−2

f(x) ¿Iguales o diferentes?

5. ¿Pueden comparar el valor f(−2) con el lımx→−2

f(x). SI o NO ¿Por que?

153

6. Consideren una vecindad Vε(6) = (6 − ε, 6 + ε) = (a, b) donde el radio V esmenor a 3 ¿a partir de que radio δ pueden garantizar que las imagenes Y delos puntos X de la vecindad Vδ(−2) = (−2 − δ,−2 + δ) = (c, d) esten dentrode la vecindad Vε(6) = (6− ε, 6 + ε) = (a, b)?

Radio elegido ε =


7. Como el lımite de la funcion no es 6 cuando “X” se aproxima a -2 ¿puedenencontrar una vecindad Vε(6) = (6− ε, 6+ ε) = (a, b) para cualquier vecindadVδ(−2) = (−2−δ,−2+δ) = (c, d) de forma tal que algunos puntos “X” dentrode la vencindad Vδ(−2) = (−2 − δ,−2 + δ) = (c, d) tienen sus imagenes “Y i”y “Y d” dentro de la vecindad Vε(6) = (6−ε, 6+ε) = (a, b)? SI o NO ¿Por que?

8. Como lımx→−2

f(x) no es 6 ¿que ocurre con las vecindades Vε(6) = (6−ε, 6+ε) =

(a, b) y Vδ(−2) = (−2 − δ,−2 + δ) = (c, d)?

Ahora abre el archivo grafica3.2b y encontraras una interface similar a lasiguiente:

154

9. Considera una vecindad Vε(−4) = (−4 − ε,−4 + ε) = (a, b) donde el radio εsea menor a 0,6 ¿a partir de que radio δ puedes garantizar que las imagenesY i y Y d de los puntos X de la vecindad Vδ(2) = (2 − δ, 2 + δ) = (c, d) estendentro de la vecindad Vε(−4) = (−4− ε,−4 + ε) = (a, b)?

Radio elegido ε =


10. Como el lımite de la funcion no es −4 cuando “X” se aproxima a 2, ¿puedenencontrar una vecindad Vε(−4) = (−4 − ε,−4 + ε) = (a, b) para cualquiervecindad Vδ(2) = (2 − δ, 2 + δ) = (c, d) de forma tal que algunos puntos “X”dentro de la vencindad Vδ(2) = (2− δ, 2+ δ) = (c, d) tienen sus imagenes “Y i”y “Y d” dentro de la vecindad Vε(−4) = (−4 − ε,−4 + ε) = (a, b)? SI o NO¿Por que?

11. Como lımx→2

f(x) no es -4 ¿que ocurre con las vecindades Vε(−4) = (−4−ε,−4+

ε) = (a, b) y Vδ(2) = (2− δ, 2 + δ) = (c, d)?

155





g(x) = B, entonces:

1. lımx→c

b = b 2. lımx→c

x = c

3. lımx→c


(f(x)± g(x)) = A± B

5. lımx→c

(f(x) · g(x)) = A ·B 6. lımx→c

f(x)g(x)

= ABsi B 6= 0

7. lımx→c

xn = cn




1) lımx→1

f(x), donde

f(x) =

{

4− 2x x ≤ 14x− x2 x > 1

Utilizamos los lımites laterales:

Para x ≤ 1 por las propiedades 1, 2, 3 y 4

lımx→1−

f(x) = lımx→1−

(4− 2x) = lımx→1−

4− lımx→1−

2x = 4− 2(1) = 2,

y para x > 1 por las propiedades 2, 3, 7 y 4

lımx→1+

f(x) = lımx→1+

(4x− x2) = lımx→1+

4x− lımx→1+

x = 4(1)− (1)2 = 3.

Puesto que los lımites laterales son diferentes, tenemos

lımx→1

f(x) no existe.

156


x menor a −3 f(x) = x2 + x− 6 x mayor a ,3 f(x) = x2 + x− 60,9 2,2 1,1 3,190,99 2,02 1,01 3,1990,999 2,002 1,001 3,19990,9999 2,0002 1,0001 3,19999

En la tabla observamos que cuando x se acerca a 1 por valores menores a 1 losvalores de f(x) se aproximan a 2, mientras que cuando x se acerca a 1 por valoresmayores a 1 los valores de f(x) se aproximan a 3. Debido a que los valores de seaproximan a distintos numeros el lımite de no existe.


2) lımx→−2

f(x), donde f(x) =

{

−3x x ≥ −22x x < −2

3) lımx→3

f(x), donde f(x) =

{

1 x ≥ 3−1 x < 3

4) lımx→6

f(x), donde f(x) =

{ √2x− 3 x > 6√x+ 10 x ≤ 6

5) lımx→0

f(x), donde f(x) =

{

5x− 1 x < 0x3 − x x ≥ 0

6) lımx→3

f(x), donde f(x) =

{

x+22

x > 312−2x

3x ≤ 3

7) lımx→1

f(x), donde f(x) =

{

0 x ≤ 12 x > 1

8) lımx→−2

f(x), donde f(x) =

{

7− 3x2 x < −24x2 − 1 x ≥ −2

9) lımx→3

f(x), donde f(x) =

{

1x−2

x > 3√2x+ 3 x ≤ 3

157

10) lımx→−1

f(x), donde f(x) =

{

−x x ≥ −19 x < −1

11) lımx→2

f(x), donde f(x) =

{

x x ≤ 2x2 x > 2

12) lımx→3

f(x), donde f(x) =

{

2− x x < 3−x2 + 8x− 14 x ≥ 3

13) lımx→1

f(x), donde f(x) =

{

2x2−3x+1x

x > 1x3−3x2+4

x2 x ≤ 1

14) lımx→ 1

2

f(x), donde f(x) =

{ 23x2 x ≥ 1

21

(2x)3x < 1

2

VI. CONCLUSIONES


¿Como se determina que el lımite de una funcion en un punto no existe?

¿La no existencia del lımite de una funcion en un punto depende de si lafuncion esta definida en ese punto? SI o NO ¿Por que?

Si el lımite de una funcion en un punto no existe ¿cual es la relacion entre lasvecindades de la imagen con las del dominio?


158

HOJA DE TRABAJO 11

3.5. H.T. 11. No existencia del l”imite. Funcion

no definida en el punto.

I. OBJETIVOS


Determinar la no existencia del lımite de una funcion a partir de los lımiteslaterales.

Comprender la no existencia del lımite de forma intuitiva.


Interpretar la no existencia del lımite en el sentido de vecindades.





II. MOTIVACION

Instrucciones:

Con el apoyo del maestro responde a las preguntas.

Una vez contestadas discutelas con tus companeros.

Contaminacion del agua

En la ciudad se contamino recientemente uno de los pozos de agua con tricloroetileno,un agente cancerıgeno. Debido a que una antigua planta quımica derramo quımicosen el agua.

159

Una propuesta enviada al comite de ecologıa indica que el costo de eliminacion dex porcentaje del contaminante toxico, en millones de pesos esta dado por:

C(x) =0,5x

100− x0 < x < 100.

¿Cual es el costo de eliminacion del contaminante a un 50%?

¿Cual es el costo aproximado de eliminacion del contaminante al 75%?

¿Cual es el costo aproximado de eliminacion del contaminante al 99%?

¿Se podra eliminar al 100% la contaminacion del pozo de agua?

¿Cuanto sera su costo aproximado para eliminar el contaminante al 100?

160


1) Conocimientos Basicos

De manera individual realiza lo que se pide a continuacion

1. Determina el dominio y rango de las siguientes funciones

a) f(x) =1

x, b) f(x) =

1

x2.

2. Completa la tabla 1 evaluando en la funcion f(x) = 1x2 los valores de x.

Tabla 1x Evaluacion Valor de la funcion en x−3 f(−3) = 1

(−3)2= 1

919

−102 f(2) = 1

22= 1

4

1

3. Completa la tabla 2 como se indica en la primera fila, donde x representa a unpunto dentro de la vecindad indicada.



V2(1) (1 − 2, 1 +2) =(−1, 3)

V2(1) = {x| d(1, x) < 2}

V3(0)

Vecindadalrede-dor de -2de radio1




161

f(x) =1

x: funcion graficada




2. Acerca el punto X a 0 por la izquierda, ¿a que numero se acerca Y ?

lımx→0−




f(x) = .

4. Acerca el punto X a 0 por la derecha, ¿a que numero se acerca Y ?

lımx→0+

f(x): Lımite lateral derecho. Es la imagen a la que se acerca Y cuando

el punto X se acerca a 0 por la derecha.

162


f(x) = .




7. ¿Existe lımx→0

f(x)? y ¿Por que?

8. ¿Es posible que el l,”imite d ela funcion sea igual a 3? SI o NO ¿Por que?

9. ¿Puedes hallar f(0) en f(x) = 1xSI o NO ¿Por que?

10. ¿Puedes comparar el valor de f(0) con el valor del lımx→0

f(x)?. SI o NO ¿Por que?


163


Tabla 31 2 3 4 5

ε δ VECINDADVε(3) =(3− ε, 3 + ε) =(a, b)

VECINDADVδ(0) =(0− δ, 0 + δ) =(c, d)


1.5 (3− 2, 3+2) =(1, 5)

(0 − 1,5, 0 +1,5) =(−1,5, 1,5)

NO

2 0.90.7

1.71 1.3

0.5



164


12. Considera una vecindad Vε(3) = (3 − ε, 3 + ε) = (a, b) donde el radio ε seamenor a 1 ¿a partir de que radio δ puedes garantizar que las imagenes Y delos puntos X de la vecindad Vδ(0) = (0 − δ, 0 + δ) = (c, d) esten dentro de lavecindad Vε(3) = (3− ε, 3 + ε) = (a, b)?

Radio elegido ε =


13. Como el lımite de la funcion no es 3 cuando “X” se aproxima a 0 ¿puedesencontrar una vecindad Vε(3) = (3− ε, 3+ ε) = (a, b) para cualquier vecindadVδ(0) = (0− δ, 0 + δ) = (c, d) de forma tal que algunos puntos “X” dentro dela vecindad Vδ(0) = (0− δ, 0 + δ) = (c, d) no tengan sus imagenes “Y ” dentrode la vecindad Vε(3) = (3− ε, 3 + ε) = (a, b)? SI o NO ¿Por que?


El que el lımite de la funcion no sea 3 cuando “X” se aproxima a 0, nos indicaque existe una vecindad Vε(3) = (3 − ε, 3 + ε) = (a, b) para cualquier vecindadVδ(0) = (0− δ, 0+ δ) = (c, d) de forma tal que algunos puntos “X” dentro de lavecindad Vδ(0) = (0− δ, 0 + δ) = (c, d), excepto X = 0, no tienen sus imagenes“Y ” dentro de la vecindad Vε(3) = (3− ε, 3 + ε) = (a, b).

14. ¿Existiran otros numeros, aparte del valor 3, que no sean lımites de la funcionf(x) = 1

x? SI o NO ¿Por que?

15. ¿Es posible que algun numero sea el lımite de la funcion f(x) = 1x? SI o NO

¿Por que?

165



Si C(t) dolares es el costo total por hora de luz en una fabrica con n lamparasfluorescentes, cada una con un promedio de vida de t horas, entonces

C(t) = n

(

r

t+

epk

10000

)

,

donde r dolares es el costo de renovacion, e es la constantes de eficienciacomercial, p watts es la potencia de cada lampara, y k dolares es el costo dela energıa por cada 1000 watts. Determine lım

x→0+C(x), si existe.

De acuerdo con la teorıa especial de la relatividad de Einstein, ninguna partıcu-la con masa positiva puede viajar mas rapido que la velocidad de la luz. Lateorıa especifica que si m(v) es la medida de la masa de una partıcula que semueve con una velocidad de medida v, entonces

m(v) =m0

√

1−(

vc

)2,

donde m0 es la medida constante de la masas de la partıcula en reposo relativaa algun sistema de referencia, y c es la medida constante de la velocidad de laluz. Determine lım

v→cm(v), si existe.



Si las imagenes de la funcion f(x) no se acercan algun numero cuando elpunto x se acerca por la derecha y por la izquierda al punto a, ¿existe lımite?

Si el lımite de la funcion f(x) no es “L” cuando el punto x se acerca al punto a¿puedes encontrar una vecindad Vε(L) = (L−ε, L+ε) para cualquier vecindadVδ(a) = (a− δ, a+ δ) de forma tal que algunos puntos x dentro de la vecindadVδ(a) = (a − δ, a + δ), excepto quizas para x = a, no tengan sus imagenesdentro de la vecindad Vε(L) = (L− ε, L+ ε)? SI o NO ¿Por que?


Si lımx→a

f(x) no es L ¿que ocurre entre las vecindades Vε(L) = (L − ε, L + ε) y

Vδ(a) = (a− δ, a+ δ)?

166






Actividad 1


x menor a 1 f(x) = 1x−1

0,90,990,9990,9999

x mayor a 1 f(x) = 1x−1

1,11,011,0011,0001


lımx→1−

f(x) =

lımx→1+

f(x) =

lımx→1

f(x) =


167


lımx→1−

f(x) =

lımx→1+

f(x) =

lımx→1

f(x) =

3. ¿Pueden encontrar f(1) en f(x) = 1x−1



1x−1



168

Radio elegido ε =


6. Como el lımite de la funcion f(x) = 1x−1

no es 4 cuando “X” se aproxima a 0¿pueden encontrar una vecindad Vε(4) = (4− ε, 4 + ε) = (a, b) para cualquiervecindad Vδ(1) = (1 − δ, 1 + δ) = (c, d) de forma tal que algunos “X” dentrola vecindad Vδ(1) = (1− δ, 1 + δ) = (c, d) no tengan sus imagenes “Y ” dentrode la vecindad Vε(4) = (4− ε, 4 + ε) = (a, b)? SI o NO ¿Por que?

7. Como lımx→1


(a, b) y Vδ(0) = (0− δ, 0 + δ) = (c, d)?

8. ¿Existiran otros numeros, aparte del valor 4, que no sean lımites de la funcionf(x) = 1

x−1? SI o NO ¿Por que?

9. ¿Es posible que algun numero sea el lımite de la funcion f(x) = 1x−1

? SI o NO¿Por que?

Actividad 2


169

x menor a 0 f(x) = x+2x2−2x

−0,1−0,01−0,001−0,0001

x mayor a 0 f(x) = x+2x2−2x

0,10,010,0010,0001


lımx→0−

f(x) =

lımx→0+

f(x) =

lımx→0

f(x) =



lımx→0−

f(x) =

170

lımx→0+

f(x) =

lımx→0

f(x) =

3. ¿Pueden encontrar f(0) en f(x) = x+2x2−2x



x+2x2−2x



Radio elegido ε =


6. Como el lımite de la funcion f(x) = 1x−1

no es 3 cuando “X” se aproxima a 0¿pueden encontrar una vecindad Vε(3) = (3− ε, 3 + ε) = (a, b) para cualquiervecindad Vδ(0) = (0− δ, 0 + δ) = (c, d) de forma tal que alg8unos “X” dentrola vecindad Vδ(0) = (0− δ, 0 + δ) = (c, d) no tengan sus imagenes “Y ” dentrode la vecindad Vε(3) = (3− ε, 3 + ε) = (a, b)? SI o NO ¿Por que?

7. Como lımx→1


(a, b) y Vδ(0) = (0− δ, 0 + δ) = (c, d)?

171

8. ¿Existiran otros numeros, aparte del valor 3, que no sean lımites de la funcionf(x) = x+2

x2−2x? SI o NO ¿Por que?

9. ¿Es posible que algun numero sea el lımite de la funcion f(x) = x+2x2−2x

? SI oNO ¿Por que?



a) Calcula el lımite, si existe, mediante la grafica de la funcion dada.


1) lımx→1

2x−1

.

La grafica de la funcion f(x) = 2x−1

es:

172

Las imagenes de la funcion f(x) en los valores cercanos al punto 1 no se aproximana algun numero y no existe el

lımx→1

2

x− 1.


x menor a 1 f(x) x mayor a 1 f(x)0,9 −20 1,1 200,9 −200 1,01 2000,999 −2000 1,001 20000,9999 −20000 1,0001 20000

En la tabla observamos que cuando x se acerca a 1 por valores menores a este losvalores de f(x) se vuelven cada vez mas pequenos, en cambio, cuando x se acerca a1 por valores mayores a este los valores de f(x) se vuelven cada vez mas grandes.Debido a que los valores de f(x) no se acercan a algun numero el lımite de f(x) noexiste.


2) lımx→0

1

x2, 3) lım

x→1

2 + x

1− x, 4) lım

x→0

x

x2 − x,

5) lımx→0

5

x3, 6) lım

x→5

3

5− x, 7) lım

x→2

1

(x− 2)3,

8) lımx→6

4

(x− 6)2, 9) lım

x→1

1

(x− 1)4, 10) lım

x→−3

1

x+ 3,

11) lımx→−4

2

(x+ 4)3, 12) lım

x→7

6

x− 7, 13) lım

x→2

x

x− 2,

14) lımx→−1

2x

x+ 1, 15) lım

x→1

x

(x− 1)2, 16) lım

x→−3

2x

(x+ 3)2.

VI. CONCLUSIONES


173

¿Como se determina que el lımite de una funcion en un punto no existe?

¿La no existencia del lımite de una funcion en un punto depende de si lafuncion no esta definida en ese punto? SI o NO ¿Por que?

Si el lımite de una funcion en un punto no existe ¿cual es la relacion entre lasvecindades de la imagen con las del dominio?


174

Capıtulo 4

DERIVADAS

HOJA DE TRABAJO 12

4.1. H.T. 12. Derivadas. Relacion con los concep-

tos y propiedades de funcion y lımite.

I. OBJETIVOS

Comprender el concepto de derivada como variacion instantanea de: movimien-to (rectilıneo, parabolico, armonico simple, vibratorio); volumen; corrienteelectrica; temperatura; venta; ingreso; utilidades; oferta; produccion; acidezde una solucion (ph); crecimiento de una poblacion; crecimiento de una epi-demia, extraccion de (petroleo, agua, cobre, etc.); descarga de archivos.

Diferenciar conceptualmente y en aplicaciones entre variacion instantanea yvariacion promedio.

Obtener a partir de la definicion las propiedades y reglas de derivacion.

Aplicar las reglas de derivacion.


Hallar un problema que produzca este efecto es la parte mas difıcil pues hay queconsiderar los intereses, capacidades y desarrollo de habilidades de los estudiantes.Ademas de tener en cuenta el plan de estudios, objetivos de la asignatura, contexto,las caracterısticas el objeto de estudio, condiciones en que se desarrolla el procesode ensenanza aprendizaje y las preconcepciones erroneas que puedan tener los estu-diantes. Los estudiantes deben de buscar dos problemas de aplicacion y exponerlosen clase.

175


Incluye un sistema de tareas donde se realicen las acciones que se indican a contin-uacion y formen una base orientadora para realizar la actividad y la representacionen el plano externo de un esquema de trabajo.

1) Seleccion del material y observar

Buscar en la biblioteca en libros de calculo y de la especialidad problemas queplanteen variaciones de funciones. Reconocer en cada uno de los casos cuandola variacion es promedio y cuando la variacion es para un cambio despreciableen la variable independiente.


a) Construccion del concepto de derivada.

• En cada uno de los problemas hallados identifique la funcion modelada, eltipo de funcion, el punto x0 alrededor del cual va a observar la variacionde la imagen de la funcion.

• De acuerdo con las funciones modeladas clasifıquelas como lineales, cuadraticas,cubicas, exponenciales, logarıtmicas, trigonometricas, etc

• En cada uno de los problemas de contexto, seleccione diferentes valores hdel incremento de la variable independiente. Interprete el significado quetiene la variacion de las imagenes y la variacion de la variable independi-ente f(x0 + h)− f(x0); h.

• Analice e interprete desde el punto de vista de cada problema el signifi-cado del cociente de estas dos variaciones.

• Grafique en cada uno de los problemas la variacion de la imagen y lavariacion de la variable independiente. Indique el significado que tienedesde el punto de vista geometrico ambas variaciones y el cociente de am-bas. ¿Que interpretacion le da desde el punto de vista geometrico cuandoh → 0?

• ¿Cual es la diferencia que usted encuentra entre el caso cuando h tieneun valor significativo h 6= 0 y cuando h → 0?

• En el caso que se tiene una recta constante paralela al eje de las x ¿Cuales su variacion?

• Si tiene una recta de pendiente m = 3, ¿Cual es su variacion? ¿Cambiade acuerdo al punto seleccionado?

• ¿Como varıan las funciones y = x2; y = sen(x) en diferentes puntos?Analıcelo graficamente y tabularmente.

176

b) Buscar el concepto de derivada en diferentes libros, comparar losenunciados, relacionarlos con el trabajo realizado en el inciso a)

• Hallar las reglas de derivacion a partir de la definicion en los siguientescasos particulares y = c; y = x; y = kx; y = x2; y = sen(x).

• A partir de la definicion hallar las principales propiedades de la derivada.

c) Expresar la forma en que se contribuye a desarrollar las habilidadesde seleccionar material, observar, identificar, interpretar y analizar.



(i) En cada uno de los siguientes problemas identifique cuando tiene que hallar laderivada de la funcion modelada f ′(t∗), cuando se pide hallar f(t∗) y cuandoel cociente incremental. Observe que en todos los casos se pide utilizar desdeel punto de vista matematico el mismo concepto, aunque desde el punto devista del problema real la interpretacion sea diferente. Explique ambos.

(ii) Dar respuesta a cada uno de los incisos de los siguientes problemas.

Entregar los problemas a los estudiantes sin clasificar y solicitar que elloslos clasifiquen. Estos problemas deben de ser presentados a los estudiantesdespues de que hayan llegado al concepto de derivada, tienen por objetivoprimero vincular el concepto con diferentes contextos reales, despues lograrla desvinculacion del marco real para abstraer el concepto como estructuramatematica independiente del contexto real.

MOVIMIENTO RECTILINEO

Una partıcula se desplaza a lo largo de una recta horizontal de acuerdo a la ecuacions = t3 − 12t2 +36t− 24, t no negativo representa el tiempo en segundos. Determinelos intervalos de tiempo en los que la partıcula se esta moviendo a la derecha y en losque se mueve hacia la izquierda. Tambien determine el instante cuando la partıculacambia de sentido. Halle la posicion de la partıcula a los 3 segundos de haber comen-zado su movimiento. Hallar la velocidad instantanea a los 3 segundos y la rapidez dedesplazamiento a los 4 segundos. En este problema se busca distinguir entre rapidez,velocidad instantanea, funcion evaluada en un punto, crecimiento y decrecimientode la funcion, puntos de reposo y las vinculaciones de estos conceptos con la derivada.

177

MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE

Se suspende un cuerpo de un resorte, el cual vibra verticalmente. Sea s centımet-ros la distancia dirigida del cuerpo desde su posicion central, o de reposo, despuesde t segundos de tiempo. Un valor positivo de s indica que el cuerpo esta porencima de su posicion central. Si en un sistema de coordenadas cartesianas rectan-gulares se marcan los valores de s para valores especıficos de t, y si la friccion nose toma en cuenta, entonces la grafica resultante tendra una ecuacion de la formaf(t) = asenb(t−c). Las constantes a, b y c estan determinadas por el peso del cuerpoy el resorte, ası como la forma en que se pone en movimiento al cuerpo. Por ejemp-lo, cuanto mas se tire el cuerpo hacia abajo antes de liberarlo, tanto mayor sera a,la amplitud del movimiento. Ademas, cuanto mas rıgido sea el resorte, tanto masrapido vibrara el cuerpo, de modo que el menor valor sera el perıodo del movimiento.

Si a = 8, b = 13y c = 0 a) Determine la velocidad y la aceleracion del movimiento

para cualquier t; b) Muestre que el movimiento es armonico simple; c) Determine laamplitud, el perıodo y la frecuencia del movimiento; d) Simule el movimiento haciaarriba y hacia abajo del resorte en la graficadora e) Trace la grafica de la ecuacionde movimiento.

Este problema carece de interes para los estudiantes si se les da el enunciado sola-mente, en cambio si se le hace el experimento y ellos pueden comprobar el cambiode a, b y c, se les hace muy interesante. Si se ha estudiado la funcion asenb(t − c)cuando se trabajo con funciones y se ha visto la forma en que influyen las constantesen el comportamiento de la funcion les sera muy interesante ver una aplicacion. Esmas, se debe dar la aplicacion en ese momento y ahora solo la parte de derivadas.En caso de que no haya sido tratado antes faltan los subsunsores necesarios para elanclaje de este nuevo conocimiento y la aplicacion se convierte en algo complejo ypoco atractivo, ya que se necesitan ademas los conceptos de amplitud, frecuencia yperıodo, ademas del de movimiento armonico simple.

Utilizando Cabri se puede observar el movimiento:

178

Para este caso el sistema de resortes es dominado por una variable t, tiene la varianteque amortigua y tiende a estabilizarse.

Preguntas del problema.

1. ¿Cual es el comportamiento del resorte de acuerdo a la funcion planteadaoriginalmente?

2. ¿Cual es la imagen de la funcion?

3. ¿Cambia esta funcion al multiplicarla por una funcion g(t)?, escoger diferentesfunciones y plantear que pasa en cada caso.

4. ¿Como deberıa serg(t) para que el resorte se comporte como amortiguador?

TASA DE VARIACION

En un circuito electrico, si E volts es la fuerza electromotriz, I amperes es lacorriente y R ohms es la resistencia, entonces de la ley de Ohms I.R = E. a)Si se supone que E es una constante positiva, demuestre que I decrece a unatasa proporcional al inverso del cuadrado de R. b) ¿Cual es la tasa instantaneade variacion de I con respecto a R en un circuito electrico de 90 volts cuandola resistencia es de 15 ohms?

179

Si R(x) pesos indica el ingreso total por la venta de x artıculos y la funcionde ingreso total esta dada por R(x) = 300x − 1

2x2. Determine a) La funcion

de ingreso marginal. b) El ingreso marginal cuando x = 40; c) el ingreso realpor la venta del artıculo 41.

La ley de Boyle para la expansion de un gas es PV = C, donde P unidades defuerza por unidad cuadrada de area es la presion4, V unidades cubicas es elvolumen del gas y C es una constante. A) Muestre que V decrece a una tasaproporcional al inverso del cuadrado de P , b) Determine la tasa instantaneade variacion de V con respecto a P cuando P = 4 y V = 8.

La temperatura de una persona es f(t) grados Fahrenheit t dıas despues deadquirir una enfermedad que dura 10 dıas, donde f(t) = 98,6 + 1,2t − 0,12t2

para 0 < t < 10 a) ¿Cual es la temperatura del enfermo el dıa 0 y el dıa 10?b) Determine la tasa de variacion de f(t) con respecto a t cuando 0 < t < 10,c)¿Cual es la temperatura de la persona y la tasa de variacion de la temper-atura cuando la persona ha estado enferma por 3 dıas, y por 8 dıas, d)Tracela grafica de la temperatura f(t), estime en que momento la temperatura esmaxima y el valor maximo de la temperatura.

Una bacteria tiene forma esferica. Determine la tasa de variacion del volumende la bacteria con respecto al radio cuando este mide a) 1.5 micras, b) 2 micras.

Se vierte arena en un montıculo de forma conica de modo que la altura deeste es el doble de su radio. Determine la tasa de variacion del volumen delmontıculo con respecto al radio cuando la altura es de 4 m.

Se esta extrayendo petroleo de un pozo, el volumen despues de t minutos deiniciada la extraccion es de V (t) litros, donde V (t) = 250(1600 − 80t + t2)a)Determine la tasa promedio de la salida de petroleo durante los 5 primerosminutos, b) ¿Cuan rapido sale el petroleo despues de 5 minutos de iniciada laextraccion?

El costo de fabricacion de x artıculos en cierta fabrica esta dado por C(x)= 1500 + 3x + x2. Determine a) la funcion de costo marginal, b) el costomarginal cuando x = 40, c) el costo real de fabricacion del artıculo 41.

Cierta companıa inicio sus operaciones el 10 de abril del ano 1990. Las util-idades anuales brutas de la companıa despues de t anos de operacion son dep pesos, donde p = 50, 000 + 18, 000t − 600t2. Determine a) la tasa a la quecrecieron las utilidades brutas el 10 de abril de l995, b) la tasa relativa decrecimiento de las utilidades brutas el 10 de abril de 1995 con aproximaciondel 0.1%, c) las tasas a las que creceran las utilidades brutas el 10 de abril de2008, la tasa relativa de crecimiento prevista de las utilidades brutas el 10 deabril de 2008 con aproximacion del 0.1%.

180

MIXTOS

Una pelota es arrojada directamente hacia arriba, a lo largo de un arbol. Llegajusto a la altura del arbol y cae de regreso al suelo. Permanece en el aire 4 seg.¿Cual es la altura del arbol?

Observar como al manipular el punto p de la pelota, el tiro representa variassituaciones, como tiro parabolico y como tiro vertical.

Preguntas del problema

1. Analizar el dibujo y observar como se puede explicar a los alumnos

2. ¿Como se pueden manipular las variables independientes y dependientes?

3. Si en ambos tiros se tiene la misma velocidad de salida, ¿se modifica laaltura en el tiro parabolico si el angulo es distinto?

4. ¿Que pasa con la distancia recorrida?

Se deja caer una pelota desde lo alto de un edificio de 960 pies de altura.¿Cuanto tarda la pelota en llegar a la calle y con que velocidad la golpeara?

Una pelota es arrojada directamente hacia arriba desde el suelo, con velocidadinicial de 96 pies/seg. ¿A que altura llega y cuanto tiempo tarda?

Se aplican los frenos de un carro cuando este se mueve a 60 km/h y producenuna desaceleracion constante de 40m/seg. ¿Cuanto viajara el carro antes deque acabe de detenerse?

181

Un globo suspendido a una altura de 800 pies deja caer una pelota. Directa-mente debajo del globo, se dispara un dardo hacia la pelota, 2 seg despues deque es dejada caer la pelota. ¿Con que velocidad inicial debe de dispararse eldardo para que golpee la pelota a una altura de 400 pies?


Clasifique los problemas segun el tipo de variacion, variacion de movimiento,variacion economica, variacion de comportamiento de una poblacion, variacionde comportamiento de una solucion quımica, variacion de temperatura, etc.

En cada uno de los casos distinga entre derivada en un punto y cociente in-cremental. Explique la interpretacion de cada uno de ellos.

Interprete el significado real de cada uno los grupos de problemas.

Exprese las principales reglas de derivacion y explique la forma de demostrar-las.


A partir de las ideas de comportamiento de los grupos de variaciones, establez-ca una idea general valida para cualquier caso expresada en terminos reales,en terminos de comportamiento de una funcion y en terminos geometricos.

Exprese el concepto de derivada.

En el caso de tener una composicion de varias funciones, determine a partir dela derivada de funciones compuestas, cual funcion debe de derivar primero, enque funcion queda expresada y el orden de derivacion de cada una de las fun-ciones. Escrıbalo primero utilizando cambio de variables y luego directamente.




Dar solucion mediante un software a diferentes ejemplos y a los problemas decontexto vistos en la etapa de motivacion.




182


Las fases de validacion e institucionalizacion requieren de otro sistema de tareasindividuales extra clase.

VI. CONCLUSIONES

Deben ser individuales y discutidas en asamblea.

183

HOJA DE TRABAJO 13

4.2. H.T. 13. Calculo de derivadas

I. OBJETIVOS

Derivar funciones algebraica y trascendentes.

Aplicar la regla de la cadena.

Derivar funciones trigonometricas inversas y funciones implıcitas.

Aplicar la derivacion logarıtmica o de Bernoulli.

Calcular las derivadas sucesivas de una funcion.

Definir funcion hiperbolica y obtener sus derivadas.

Interpretar y aplicar el teorema del valor medio y el teorema de Rolle.


Hallar un problema que produzca este efecto es la parte mas difıcil pues hay queconsiderar los intereses, capacidades y desarrollo de habilidades de los estudiantes.Ademas de tener en cuenta el plan de estudios, objetivos de la asignatura, contexto,las caracterısticas el objeto de estudio, condiciones en que se desarrolla el procesode ensenanza aprendizaje y las preconcepciones erroneas que puedan tener los estu-diantes. Los problemas fueron vistos en la Hoja de Trabajo anterior.



Buscar las reglas de derivacion de funciones algebraicas y trascendentes.

Buscar la regla de la cadena.

Buscar la regla de derivacion de funciones inversas.

Buscar la regla de derivacion de funciones implıcitas.

Buscar la definicion de funciones hiperbolicas.

Buscar las propiedades de los logaritmos.

Buscar en los libros las principales reglas de derivacion y las propiedades delas derivadas. Hacer su propia tabla de derivacion.

184


Los estudiantes no saben realizar estas acciones, se necesita planear una serie depreguntas y tareas que lo lleven a realizarlas en forma eficiente. Poco a poco debenaprender la forma de hacerlo sin ayuda. Al planear el sistema de tareas se debeinteractuar con diferentes representaciones semioticas y mentales, buscando identi-ficar caracterısticas esenciales y sistema de condiciones necesaria y suficientes. Latecnologıa computacional y hojas de trabajo brindan gran ayuda para alcanzar esosobjetivos.

Antes de derivar, identificar la diferencia en los siguientes ejercicios respectode:

(x)2 = (x)(x).

a) Completar:

(senx)2 = sen2x = cos4 x

cos4 x = (cosx)2(cos x)2 =

senx2 = sen(xx)

cos(2x+ 3)2 = cos(4x2 + . . .)

cos2(2x+ 3) =

sen3(x2 + 3x) =

(cos3 x2)3 =

sen5(x2 + 3x)1

3 =

(tan2 x3)4 =

b) Identificar en cada uno de los ejercicios del inciso a) la funcion externa,cada una de las intermedias y la funcion interna.

ejemplo : f(x) = sec4(2x3 + 2)3

funcion externa : potencia de la funcion trigonometrica (cuarta)

funcion siguiente : secante del angulo

funcion siguiente : potencia del angulo (cubica)

funcion siguiente : angulo (2x3 + 2)

c) Derivar utilizando la regla de la cadena los ejercicios anteriores.

Funciones implıcitas, tratadas mediante funciones compuestas. Para las fun-ciones que estan dadas en forma implıcita se tiene una formula sencilla paracalcular las derivadas. Sin necesidad de aprenderse la formula, se puede derivarconsiderando que una de las variables es funcion de la otra, por ejemplo, y esfuncion de x en este caso se halla dy

dx, Cada vez que aparezca y se utiliza la regla

de la cadena, dado que es una funcion de x aunque no aparece explıcitamentesu forma.

185

a) Identifique los productos, cocientes, potencias y funciones cuyo argumen-to dependa de y. Exprese el orden en que debe ser derivado cada caso.

i) x2 + y3 − 4 = 0

ii) y6 − xy − x3 = 0

iii) y − x− 14sen(y) = 0

iv) ln(y) + x4y − x2 = 0

v) x cos(y) + sen(x) = 0

vi) xy5 + csc(y)− tan(x) = 0

vii) cot2(xy)+xey

y3= 0

b) Aplique estas ideas para derivar los ejercicios del inciso a).

Funcion exponencial compuesta. Sea y = [f(x)]g(x). Considerando que v =f(x) y w = g(x) y aplicando logaritmo en ambos miembros se tiene queln(y) = ln(vw). Entonces el tratamiento de la derivada de una funcion elevadaa otra funcion, se hace muy simple considerando la propiedad de logaritmoneperiano ln(vw) = wln(v) y la regla de la cadena. Al sustituir despues deaplicar logaritmo se obtiene ln(y) = g(x) ln(f(x)).

a) Aplicar la propiedad del logaritmo en cada uno de los ejercicios siguientes:

i) y = [sen(x)]x

ii) y = [cot(x)]ln(x)

iii) y = [x3]cos(x)

iv) y = [ex]sen(x)

b) Calcular la derivada dy

dxen cada uno de los ejercicios del inciso a).

El aplicar propiedades de logaritmo simplifica extraordinariamente los calcu-los cuando se tienen expresiones donde aparecen productos y cocientes defunciones compuestas.

a) Aplicar propiedades de logaritmo en cada uno de los ejercicios siguientes.

i) y = (x+ 1)2√

(x− 1)

ii) y = (x+ 4)3ex

iii) y =(x+1)2

√(x−1)

(x+4)3ex

iv) y =(

sen5(x2 + 3x)1

3

)

(5x4 + 3x2)

b) Derivar los ejercicios del inciso a)

Hallar las derivadas de las funciones trigonometricas inversas a partir de laformula de la derivada de la funcion inversa.

A partir de la definicion de las funciones hiperbolicas calcular sus derivadas.

186

a) Senh(x) = 12(ex − e−x)

b) cosh(x) = 12(ex − e−x)

c) tanh(x) = ¿?

d) coth(x) = ¿?



Cuando se ejercita el calculo de derivadas no es necesario utilizar los problemas decontexto porque ademas desvıa la atencion en dos direcciones diferentes. Modelajey habilidad de calculo.









187


ACCIONES EN EL AULA

a) Indicar el orden en el cual se debe efectuar la derivacion de la funcion

1) f(x) = 4(x2 + senx3), 2) f(x) = 4 + (2x sec x3)2

3) f(x) = 4(x2 − sen3x)1

3 , 4) f(x) = x(x2 + csc x3)

5) f(x) = 2 ln(cos 3x), 6) f(x) = ln(tan5(x2 + 3x))

7) f(x) = ln x cot 2x3 + 1, 8) f(x) = ln(x cos(2x3 + 1))

8) f(x) =ln(x3 + 2x)− sen3x2

(xx+ x+ 3)4, 10) f(x) =

(x+ csc(x2 + senx3))3

sen4x+ 3x



VI. CONCLUSIONES


Utilizar la notacion de derivadas para funciones compuestas para indicar el ordende la derivacion en cada caso, y posteriormente efectuar la derivacion indicada.

a) En cuales casos se dificultaba mas el calculo de las derivadas.

b) ¿Por que?

c) ¿Cuando se requiere derivar primero como potencia y por que?

d) ¿Cuando se necesita derivar primero una funcion trigonometrica, exponencialo logarıtmica y por que?

e) Existe algun caso que no se pueda realizar con las formulas de derivacionbuscadas, por que?

f) En que casos se necesita utilizar una derivacion a un cociente primero, porque?

188

Capıtulo 5

APLICACIONES DE LADERIVADA

HOJA DE TRABAJO 14

5.1. H.T. 14. Aplicaciones de la derivada

I. OBJETIVOS

Es necesario plantear los objetivos que se pretende debe alcanzar el estudiante. Estosvarıan de acuerdo al nivel de partida y nivel a alcanzar.

Definir y hallar las ecuaciones de la recta tangente y normal a una curva.

Definir los intervalos en los que la funcin es creciente y decreciente.

Explicar y utilizar los criterios de la primera y segunda derivada para deter-minar los maximos y mnimos de una funcin.

Definir y hallar los intervalos de concavidad y convexidad de una funcin.

Explicar el concepto de punto de inflexion y utilizar los criterios necesario ysuficiente para hallarlos.

Resolver problemas de optimizacin y cinemtica.


Hallar un problema que produzca este efecto es la parte mas difıcil pues hay queconsiderar los intereses, capacidades y desarrollo de habilidades de los estudiantes.Ademas de tener en cuenta el plan de estudios, objetivos de la asignatura, contexto,las caracterısticas el objeto de estudio, condiciones en que se desarrolla el proceso

189

de ensenanza aprendizaje y las preconcepciones erroneas que puedan tener los estu-diantes.

De acuerdo al desarrollo los ejemplos discutidos en las sesiones anteriores puedenaplicarse en este tema, explorando las caracterısticas del funcionamiento, los ejem-plos de cabri tienen la particularidad de ser dinamicos y visualizar sus cambios.

Esta aplicacion visual, permite graficar por incrementos las graficas de la funcionprimitiva, la primera derivada y su segunda derivada al mismo tiempo, los coefi-cientes de la funcion primitiva pueden variarse con los cırculos azules, con un inter-valo mas o menos adecuado.

Al cambiar las funciones primitivas, el estudiante puede observar los signos de lasprimeras y segundas derivadas y llegar a establecer conjeturas sobre el crecimiento,decrecimiento, concavidad y convexidad de la funcion a partir del signo de la primeray segunda derivada.

Un ejercicio interesante aplicado a funciones y derivadas es la graficacion: de rectastangentes y secantes, maximos y mınimos.

190

Dominio

Observar la pendiente de la tangente en los puntos de maximos y mınimos

Observar los Intervalos donde la pendiente de la tangente es positiva y nega-tiva.

Relacionar el signo de la pendiente con el crecimiento y decrecimiento de lafuncion.

Establecer criterios

.III. PREPARACION PREVIA:

Incluye un sistema de tareas donde se realicen las acciones que se indican a contin-uacion y formen una base orientadora para realizar la actividad y la representacionen el plano externo de un esquema de trabajo.


La orientacion para estas acciones estan encaminadas a buscar los antecedentesbasicos para poder entender el nuevo objeto de estudio y establecer el vınculo deunion entre esos conocimientos y el que va a formarse

191


Los estudiantes no saben realizar estas acciones, se necesita planear una serie depreguntas y tareas que lo lleven a realizarlas en forma eficiente. Poco a poco debenaprender la forma de hacerlo sin ayuda. Al planear el sistema de tareas se debeinteractuar con diferentes representaciones semioticas y mentales, buscando identi-ficar caracterısticas esenciales y sistema de condiciones necesarias y suficientes. Latecnologıa computacional y hojas de trabajo brindan gran ayuda para alcanzar esosobjetivos.

¿Para que valores de la variable independiente x, son paralelas las rectas tan-gentes a las curvas y = x2 ; y = (x− 2)3? Determinar el metodo de trabajo aseguir y escribirlo en forma de pasos, justificar cada paso.

Dada la funcion g(x(= x1+2x

, x 6= −12. Determinar la ecuacion de la recta

tangente y la recta normal a la curva en el punto(

14,−1

2

)

.

Halla la ecuacion de la recta tangente a la curva x3 + y3 = 6xy en el punto(3; 3).

Dada la ecuacion y2 = 5x4 − x2. Encuentra una ecuacion de la recta tangentea esta curva, en el punto (1; 2).

Sea f(x) = x2 + ax + b para todo x real. Hallar valores de a y btales que larecta y = 2x sea tangente al grafico de f en el punto (2, 4). Determinar lospasos necesarios para lograrlo.

Un fabricante produce rollos de tela con un ancho fijo. El costo de producir xmetros de esta tela es C = f(x) pesos.

• Responder si esta de acuerdo o no con la siguiente afirmacion: “La deriva-da f ′(x) es la razon instantanea de cambio de C con respecto a x; es decir,f(x) denota la razon de cambio del costo de produccion con respecto alnumero de yardas.”

• ¿Cuales son las unidades de f ′(x)?

192

• Responder si esta de acuerdo o no con la siguiente afirmacion: f ′(1000) =9 significa que, despues de fabricar 1000 metros de tela, la razon a la cualaumenta el costo de produccion es de 9 pesos/metros. (cuandox = 1000,C se incrementa 9 veces mas rapido que x).

El consumo de combustible (medido en galones por hora) de un automovil queviaja a una velocidad de v millas por hora es c = g(v).

a) ¿Cual es el significado de la derivada g′(v)?

b) ¿Cuales son las unidades de g′(v)?

c) Escribir una oracion que explique el significado de la ecuacion: g′(20) =−0,05.

Intervalos de Monotonıa

1. Observe el signo de las pendientes de las tangentes a la curva dada en cadauno de los 5 puntos que se muestran. Observe la relacion existente entre elsigno de las pendientes y el crecimiento o decrecimiento de las funciones. ¿Aque conjetura llega?

2. El grafico siguiente corresponde a la funcion

f(x) = xu− 3x4 − 5x3 + 15x2 + x− 12.

(A) Utilizar una graficadora para hallar las imagenes siguientes:

193

a) f(0) =

b) f(0,5) =

c) f(1,3) = Observa que 0,2 < 0,5 < 1,3.

d) Ordenar las imagenes de los incisos a), b) y c) en orden creciente

e) ¿Se corresponde el orden de las imagenes con el orden de sus abscisas?Como el grafico de f en el intervalo [−0,13, 1,5], cuando sus abscisasaumentan tambien lo hacen sus imagenes, decimos que la funcion es

en ese intervalo.

f) Observar el grafico de f en el intervalo [−2,−1,6] ¿Es creciente lafuncion f en este intervalo? Justificar con el valor de las imagenesy con el signo de la derivada. ¿En que otro intervalo se cumplen lasmismas condiciones?

(B) Utilizar una graficadora para hallar las imagenes siguientes

a) f(−1,5) =

b) f(−1,2) =

c) f(−0,5) = . Observar que −1,5 < −1,2 < −0,5.

d) Ordenar las imagenes de los incisos a), b) y c) en orden creciente:

e) ¿Se corresponden el orden de las imagenes con el orden de sus ab-scisas? SI NO . Como el grafico de f en el intervalo [−1,6,−0,13],cuando sus abscisas aumentan sus imagenes disminuyen (cambian larelacion), se puede decir que la funcion es en ese intervalo.

f) Observar el grafico de f en el intervalo [1,5, 2,6] ¿Es decreciente lafuncion f en este intervalo? SI NO .

3. Consideremos el grafico de la funcion f(x) siguiente:

a) Entre A y B, y entre C y D, las rectas tangentes tienen pendientespositivas, por lo cual f ′(x) > 0. El grafico de la funcion en los intervalos[a, b] y [c, d] es CRECIENTE DECRECIENTE .

194

b) Entre B y C, las rectas tangentes tienen pendientes negativas, por lo cualf ′(x) < 0. El grafico de la funcion en el intervalo [b, c] es CRECIENTE

DECRECIENTE .

En resumen:

Si f ′(x) > 0 en un intervalo, entonces f es en ese intervalo.

Si f ′(x) < 0 en un intervalo, entonces f es en ese intervalo.

4. Se sabe que el grafico de la derivada f ′ de una funcion f es como se muestraen la figura siguiente:

a) Indica los intervalos donde la funcion derivada f ′ es positiva y donde esnegativa.

b) ¿Que puedes decir de f en esos intervalos respecto a su monotonıa (cre-ciente o decreciente)?.

c) Si se sabe que f(0) = 0, trace un grafico posible de f .

5. Dada la funcion f(x) = x3

3+ x2 − 3x, x ∈ R. Utilizar una graficadora para

determinar:

Intervalos donde f es creciente:

Intervalos donde f es decreciente:

6. Dada la funcion g(x) = 1(x2−2x−5)4

. Utilizar una graficadora para determinar:

La derivada de la funcion,

195

Intervalos donde g es creciente,

Intervalos donde g es decreciente,

7. Senalar en el grafico los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la funciony senalar el signo de la derivada en dichos intervalos. Observar y expresar elvalor de la derivada en los puntos donde la funcion alcanza un maximo omınimo local. ¿Como es el signo de la primera derivada a la izquierda y a laderecha de esos puntos?

Extremos locales

1. Observa el grafico de la funcion f(x) = x5−3x4−5x3+15x2+4x−12, x ∈ R

a) ¿Existe un punto en el intervalo [−2,−1] donde la funcion alcanza suimagen mayor (valor mayor)? SI NO

b) ¿Existe un punto en el intervalo [1, 2] donde la funcion alcanza su imagenmayor (valor mayor)? SI NO

196

En resumen:

El valor de f(c) es un valor maximo local de f si,

f(x) ≤ f(c) para todo x suficientemente proximo a c.

c) ¿Existe un punto en el intervalo [−1, 1] donde la funcion alcanza su ima-gen menor (valor menor)? SI NO

d) ¿Existe un punto en el intervalo [2, 3] donde la funcion alcanza su imagenmenor (valor menor)? SI NO

En resumen:

El valor de f(c) es un valor mınimo local de f si,

f(x) ≥ f(c) para todo x suficientemente proximo a c.

Un extremo local es un valor de f que es maximo o mınimolocal de f .

2. Use la calculadora para graficar la siguiente funcion g(x) = x4

4− x3

3− x2. (es

recomendable tomar xmax = 5, xmin = −5, ymax = 5 y ymin = −5). Segunlo que observas en la pantalla:

a) ¿Para los puntos cercanos a x = 2, la funcion tiene un valor mınimo? SINO

b) ¿Para los puntos cercanos a x = 0, la funcion tiene un valor maximo? SINO

c) ¿Para los puntos cercanos a x = -1, la funcion tiene un valor mınimo? SINO

Determina g′(x):

d) Resuelve la ecuacion g′(x) = 0.

e) Atendiendo a la siguiente afirmacion “Un punto crıtico de una funcion fes un numero c en el dominio de f tal que f ′(c) = 0 o f ′(c) no existe.”Diga si los valores de x encontrados en el inciso e) son puntos crıticos deg. SI NO ¿Por que?

f) Determina en que puntos la pendiente de la recta tangente al grafico dela funcion g(x) = x4

4− x3

3− x2 es paralela al eje x. (Recuerda que la

pendiente de una recta paralela al eje x es cero)

197

g) De acuerdo a los resultados del inciso h estas de acuerdo con la siguienteafirmacion, “Si f tiene un maximo o un mınimo local en c y si f ′(c) existe,entonces f ′(c) = 0.” SI NO

3. Considere la funcion f(x) = x3

3+ x2 − 3x, x ∈ R, cuyo grafico se da a contin-

uacion.

a) ¿Es la funcion creciente en el intervalo (−∞,−3]? SI NO

b) ¿Es la funcion decreciente en el intervalo [−3, 1]? SI NO

c) ¿Existe en x = −3 un valor de maximo local de la funcion? SI NO .Determina el valor de maximo local, f(−3) =

d) ¿Es la funcion creciente en el intervalo [1,+∞)? SI NO .

e) ¿Existe en x = 1 un valor de mınimo local de la funcion? SI NO .Determina el valor de mınimo local, f(1) =

4. Considera ahora la funcion f(x) = x3, x ∈ R.

a) Encuentra los puntos crıticos de f :

b) Utiliza la calculadora y grafica la funcion. ¿En x = 0, existe un extremode la funcion? SI NO

c) Segun lo que observas en la pantalla, ¿como es la funcion en relaciona su monotonıa, antes y despues del punto x = 0? CRECIENTEDECRECIENTE

d) ¿Puedes asegurar que si f ′(c) = 0 entonces en x = c existe un extremolocal? SI NO ¿Por que?

e) ¿Que crees tu que hace falta, ademas de que f ′(c) = 0 para que en cexista un extremo?

5. Dada la funcion f(x) = 3x4 − 4x3 − 12x2 + 5

198

a) Usa la calculadora para determinar los puntos crıticos de f , recuerda quedebes resolver la ecuacion f ′(x) = 0.

b) Usa la calculadora y factoriza f ′(x), despues utiliza la regla de los signospara determinar en que intervalos f ′(x) > 0 y en cuales f ′(x) < 0.

c) Indica los intervalos de monotonıa:

Creciente sobre:

Decreciente sobre:

d) Indica en que puntos la funcion tiene un mınimo local

e) Indica en que puntos la funcion tiene un maximo local

f) Encuentra los valores (imagenes) de maximos locales y de mınimos lo-cales. Utiliza la calculadora para hallar las imagenes de los puntos encon-trados en d) y e)

g) Representa graficamente la funcion dada en la pantalla de la calculadora ycomprueba si tus resultados se corresponden con lo que estas observando.

h) ¿Estas de acuerdo que para determinar los extremos locales de una fun-cion se puede proceder de la siguiente manera? (Lee con detenimiento elrecuadro siguiente antes de contestar).

Criterio de la primera derivada

a) Se encuentran los puntos crıticos de la funcion.

b) Se determina el signo de la derivada (tipo de monotonıa)antes y despues de cada punto crıtico.

c) Si la derivada antes del punto crıtico es positiva (la fun-cion crece) y despues es negativa (la funcion decrece),entonces en el punto crıtico hay un maximo de la fun-cion. Si la derivada antes del punto crıtico es negativa (lafuncion decrece) y despues es positiva (la funcion crece),entonces en el punto crıtico hay un mınimo de la funcion.

6. Identifica cual de los dos graficos corresponde a una funcion f para la cualf(0) = 0, f ′(0) = 3, f ′(1) = 0 y f ′(2) = −1

199

7. Determina los extremos locales (maximos y mınimos locales) de la funcionsiguiente.

f(x) = 2x3 − 3x2 − 12x+ 15, x ∈ R.

a) Sigue los pasos del recuadro anterior.

b) Utiliza la compuladora para graficar la funcion.

c) Compara los resultados obtenidos con lo que observas en la pantalla yexpresa si se corresponden tus resultados con el grafico de la funcion Encaso de que no exista correspondencia revisa de nuevo el procedimientoy tus calculos.

Extremos absolutos

1. A continuacion se presentan los graficos de las funciones f(x), g(x) y h(x)definidas cada una para todas las x del intervalo cerrado [a, b] (a ≤ x ≤ b)

a) Indica cuales son las abscisas de los extremos locales (maximos y mınimoslocales) de cada una de ellas. De f : . De g: . De h: .

Observacion: En los puntos extremos del intervalo no puede haber ex-tremos locales)

200

b) Indica las abscisas de los puntos del intervalo [a, b], donde cada funcionalcanza su mayor valor (mayor imagen). De f : . De g: . De h:

.

El valor mayor de una funcion se denomina maximo absoluto y almenor valor mınimo absoluto, cuando nos referimos a los dos decimosextremos absolutos.

c) Observa los graficos anteriores y responde si estas de acuerdo con la sigu-iente conclusion: “Los puntos de maximos absolutos o mınimos absolutosde una funcion continua en un intervalo cerrado se alcanzan en el interiordel intervalo o en los extremos del intervalo.

2. Considera el grafico de la funcion f(x) definido en el intervalo cerrado a, b],siguiente.

a) Indica las abscisas de los puntos donde existe el valor de maximo absolutode la funcion f(x). ¿Cuantos puntos hay?

b) Indica el valor maximo de la funcion f(x). ¿Cuantos valores demaximos hay?

c) Indica la abscisa del punto donde existe el valor de mınimo absoluto dela funcion f(x). ¿Cuantos puntos hay?

d) Responde si estas de acuerdo con la siguiente afirmacion: Los extremosabsolutos (maximos o mınimos absolutos) de una funcion continua en unintervalo cerrado, pueden existir muchos, pero valores (las imagenes) deextremos absolutos, solamente hay uno (uno de maximo y uno de mınimo)

3. Usa la calculadora para encontrar el grafico de la funcion f(x) = 1x, x 6= 0.

segun lo que observas en la pantalla, responde:

a) ¿La funcion es siempre decreciente? SI NO .

201

b) ¿Tiene extremos locales la funcion f(x)? SI NO .

c) ¿Tiene extremos absolutos la funcion f(x? SI NO .

4. Considera los graficos de f(x) y de g(x) definidas en el intervalo [0, 2].

a) Determine por el grafico el mınimo absoluto de f : .

b) ¿Toma la funcion f el valor 3? SI NO .

c) ¿Tiene un valor de maximo absoluto la funcion f? SI NO .

d) ¿Tiene un valor de maximo absoluto la funcion g? SI NO .

e) ¿Tiene un valor de mınimo absoluto la funcion g? SI NO .

f) ¿Son las funciones f y g continuas? SI NO . Cuando la funcionno es continua no se garantiza la existencia de los valores de extremosabsolutos.

5. Utiliza la computadora para encontrar el mınimo absoluto de la funcion f(x) =3x4 − 16x3 + 18x2, x ∈ R.

a) ¿Que observas en la pantalla: .

b) El grafico de esta funcion es el que aparece a continuacion, se correspondeel valor que encontraste en la computadora con lo que observas en elgrafico SI NO .

Si la respuesta no coincide con x = 3, debes haber cometido un error.

202

c) ¿Tiene maximo absoluto la funcion cuando x ∈ R? SI NO .

d) ¿Es f(0) = 0 un mınimo local de la funcion? SI NO .

e) ¿Es f(3) = −27 un mınimo local de la funcion? SI NO .

f) Entre los dos mınimos locales f(0) = 0 y f(3) = −27, ¿cual es el menor?.

g) ¿Es f(1) = 5 un maximo local de la funcion? SI NO .

h) Si consideramos la funcion definida en el intervalo [−2; 4,8]. ¿Es f(−2) =248 un maximo absoluto de la funcion? SI NO .

f(−2) = −248, es un maximo absoluto por ser el mayor valorque toma la funcion en el intervalo −2 ≤ x ≤ 4,8. Este maxi-mo absoluto no es un maximo local porque se presenta en unextremo.

i) Observe el grafico y diga cual es la imagen del punto de abscisa x = 4,8:.




Casi siempre los estudiantes tienen dificultad en identificar las ideas principales, porlo cual se necesitan algunas preguntas que lo ayuden a sintetizar.








203





Explorar los ejercicios sugeridos de cabry -winplot para sugerir aplicaciones.

En los siguientes ejercicios y/o problemas senale las habilidades que se pueden for-mar, indique las orientaciones adecuadas para el estudiante.

Exprese un metodo de trabajo para estimar los valores siguientes. Use unaaproximacion lineal grafica, utilizando rectas tangentes y secantes a las curvas,:20,1; 20,4;

√0,99; tan(32◦); sen(43◦) ; 30,005; ln 0,5; ln 1,3;

√1,01.

En la tabla se da la produccion en una fabrica de un equipo. Los datos de losanos 2004 y 2005 se perdieron por errores de manejo de la informacion. Conuna aproximacion lineal estime la produccion en los anos 2004 y 2005.

t 1999 2000 2001 2002 2003S(t) 28 29 28 27.5 30

En la figura se muestra la grafica de la produccion de una empresa durante elano, utilice una aproximacion lineal para predecir la produccion despues de 14y 16 meses, ¿cual de los pronosticos considera mas exacto y por que?

Suponga que la unica informacion que se tiene de una funcion de producciones que f(1) = 5 y la grafica de la derivada es como se muestra en la figura; i)Use una aproximacion lineal para estimar f(0,9); f(1,1) ; ii)¿Sus estimacionesson grandes o pequenas? Explique lo que esto indica.

El jugo de fruta fluye a una razon constante hacia un tanque esferico. SeaV (t) el volumen del jugo en el tanque y H(t) la altura del jugo en el mismo

204

tanque en el instante t. i) ¿Que significan V ′(t) y H ′(t)? ¿Estas derivadas sonpositivas, negativas o cero?; ii)¿V ′′(t) es positiva, negativa o cero? Explique;iii) Sean t1, t2, t3 los instantes en que el tanque esta lleno hasta la cuarta parte,hasta la mitad y hasta sus tres cuartas partes respectivamente. ¿Los valoresde H ′′(t1), H

′′(t2), H′′(t3) son positivos, negativos o cero? Explique.

Un automovil viaja durante la noche por una carretera en forma de parabola,con su vertice en el origen. El auto parte de un punto 100 m al norte del origeny viaja en direccion este. Hay una estatua ubicada 100 m al este y 50 m alnorte del origen ¿ En cual punto de la carretera los faros del automovil lailuminaran?

La unidad de destello (flash) de una camara opera por el almacenamientode carga de un capacitor y su liberacion repentina al disparar la unidad. Losdatos que se dan en la tabla describen la carga Q que permanece en el capacitor(medida en microcoulombs) en el tiempo t (medido en segundos). Use los datospara dibujar la grafica de esta funcion y estime la pendiente de la recta tangenteen el punto donde t = 0,04 [ La pendiente de la recta tangente representala corriente electrica que fluye del capacitor al bulbo del flash (medida enmicroamperes)].

Sugerencia: Forme una nueva tabla con puntos y halle las pendientes de lasrectas de pares de puntos, utilice calculadora y graficador. Explique su estrate-gia. ¿Considera que se debe de dar la sugerencia?, ¿La darıa en otra forma oconsidera que esta es adecuada? Justifique su respuesta en base a la teorıa delos epıgrafes 1 y 2.

t Q0,00 100,000,02 81,870,04 67,030,06 54,880,08 44,930,10 36,76

Los datos experimentales de la tabla definen a “y” como funcion de x.

x 0 1 2 3 4 5y 2.6 2.0 1.1 1.3 2.1 3.5

a) Si P es el punto (3, 1,3), encuentre las pendientes de las rectas secantesPQ, cuando Q es el punto de la grafica con x = 0, 1, 2, 4 y 5

b) Estime la pendiente de la recta tangente en P hallando el promedio delas pendientes de dos rectas secantes.

205

c) Use una grafica de la funcion para estimar la pendiente de la recta tan-gente en P .

Se usa un monitor cardıaco para medir la frecuencia cardiaca de un pacientedespues de cirugıa. El aparato recopila el numero de latidos cardıacos despuesde t minutos. Cuando se situan los datos de la tabla en una grafica, la pendientede la recta tangente representa la frecuencia cardiaca en latidos por minuto.

T (min) 36 38 40 42 44latidos 2530 2661 2806 2948 3080

El monitor estima este valor calculando la pendiente de una recta secante. Uselos datos para estimar la frecuencia cardiaca del paciente, despues de 42 min.

Usando la recta secante entre

a) t = 36 y t = 42; b) t = 38 y t = 42; c) t = 40 y t = 42; d) t = 42 yt = 44.

Exprese sus conclusiones desde el punto de vista matematico y desde el puntode vista de interpretacion de la realidad para cualquier problema.

El punto P (4, 2) esta sobre la curva√x; a) Si Q es el punto (x,

√x), use su

calculadora con el fin de hallar la pendiente de la recta secante PQ.

El punto P (1, 0) esta sobre la curva y = sen(

10πx

)

.

a) Si Q es el punto(

x, sen(

10πx

))

, encuentre la pendiente de la recta secante

PQ (correcta hasta cuatro cifras decimales) para x = 2; 1.5; 1.4; 1.3; 1.2;1.1; 0.5; 0.6; 0.7; 0.8;0.9 ¿Parece que las pendientes tienden a un lımite?Explique y justifique conceptualmente su respuesta.

b) Use una grafica de la curva para explicar por que las pendientes de lasrectas secantes del inciso a) no estan cercanas a la pendiente de la rectatangente en P .

c) Mediante la seleccion de las rectas secantes apropiadas estime la pendientede la recta tangente en P .

d) Halle la pendiente de la recta tangente en P y exprese en que casos sehalla la pendiente de la recta y en que casos se estima. Justifique. Hallela ecuacion de la recta tangente en P y la ecuacion de la recta normal enP .

A partir de la grafica de la funcion, responda a las preguntas y justifique susrespuestas haciendo uso de la teorıa matematica necesaria. La grafica muestrala funcion de produccion de una fabrica respecto al tiempo. ¿Como cambiala razon de aumento de la produccion respecto al tiempo?, ¿Cuando es mas

206

alta esa razon?, ¿En que intervalos se tiene una aceleracion de la produccionpositiva y en que intervalo de tiempo es negativa?

Trace una grafica posible de una funcion que satisface las siguientes condi-ciones:

i) f ′(x) > 0 en (−∞, 1), f ′(x) < 0 en (1,∞);

ii) f ′′(x) > 0 en (−∞,−2) y (2,∞),

f ′′(x) < 0 en (−2, 2);

iii) lımx→−∞

f(x) = −2, lımx→+∞

f(x) = 0.

Se vierte lıquido en un evaporador a una razon constante (medida en volumenpor unidad de tiempo). Trace una grafica aproximada del espacio ocupado porel lıquido como funcion del tiempo. Explique la forma de la grafica en terminosde la concavidad. ¿Cual es el significado del punto de inflexion?

Sea k(t) la medida de la informacion que usted almacena en su computadoraen t horas al hacer su informe de trabajo para una asignatura. ¿Cual piensaque es mayor k(8)−k(7) o k(3)−k(2)? ¿La grafica de k es concava hacia arribao hacia abajo? Justifique de acuerdo a la situacion real y a sus conocimientosmatematicos.

i) Grafique una funcion cuya primera y segunda derivada siempre sean neg-ativas;

ii) Grafique una funcion cuya primera derivada sea positiva y la segundanegativa;

iii) Grafique una funcion cuya primera y segunda derivadas sean positivas;item[iv)] Grafique una funcion cuya primera derivada sea negativa y lasegunda sea positiva.

La tabla siguiente ofrece la acidez de un lıquido a lo largo del tiempo i) Describacomo varıa la razon de cambio de la acidez; ii) Estime los puntos de inflexionde la grafica. ¿Cual es el significado de esos puntos?

t 1 2 3 4 5 6 7Ph(t) 0.1 0.6 2.5 4.6 4.8 3.5 3.0

207

En la figura se muestra la grafica de la funcion velocidad de un automovil.Trace la grafica de la funcion de posicion Interprete el movimiento del au-tomovil

Una partıcula se mueve a lo largo de una recta horizontal. La grafica de sufuncion de posicion (la distancia a la derecha de un punto fijo como funciondel tiempo) aparece a continuacion. i) ¿Cuando se mueve la partıcula hacia laderecha y cuando se desplaza hacia la izquierda?; ii)¿Cuando tiene aceleracionpositiva y cuando negativa?

A partir de la grafica de la funcion senale los intervalos donde la derivada espositiva, negativa, nula y donde la funcion no es derivable. Indique el significa-do real de ese comportamiento considerando que la grafica corresponde a i) unafuncion de produccion, ii) el desplazamiento de un movil, iii) la temperaturade un objeto, iv) el ph de un lıquido.

208

VI. CONCLUSIONES


209

Primera Edicion: 13 de Septiembre del 2013 con un tiraje de 250 ejemplares

210

calculo diferencial pensamientomatematico

Documents