calculo diferencial integral_func_una_var

1. CLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE Francisco Javier Prez Gonzlez Departamento de Anlisis Matemtico Universidad de Granada

2. I Licencia. Este texto se distribuye bajo una licencia Creative Commons en virtud de la cual se permite: Copiar, distribuir y comunicar pblicamente la obra. Hacer obras derivadas. Bajo las condiciones siguientes: BY:Reconocimiento. Debe reconocer los crditos de la obra de la manera especicada por el autor o el licenciador (pero no de una manera que sugiera que tiene su apoyo o apoyan el uso que hace de su obra). $No comercial. No puede utilizar esta obra para nes comerciales. C Compartir bajo la misma licencia. Si altera o transforma esta obra, o genera una obra derivada, slo puede distribuir la obra generada bajo una licencia idntica a sta. Universidad de Granada Dpto. de Anlisis Matemtico Prof. Javier Prez Clculo diferencial e integral

3. Indice general Prlogo XVI Guas de lectura XX 1. Axiomas de R. Principio de induccin 1 1.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1. Axiomas, deniciones, teoremas, lemas, corolarios. . . . . . . . . . . . 1 1.2. Axiomas de los nmeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.1. Axiomas algebraicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.2. Axiomas de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.2.1. Relacin de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.3. Desigualdades y valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.3.1. La forma correcta de leer las matemticas . . . . . . . . . . 7 1.2.3.2. Una funcin aparentemente caprichosa . . . . . . . . . . . . 8 1.2.4. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.5. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3. Principio de induccin matemtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3.1. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.3.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.4. Complementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.4.1. Nmeros y medida de magnitudes. Segmentos inconmensurables. . . . 26 II

4. ndice general III 1.4.1.1. La razn urea y el pentagrama . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.4.1.2. Medimos con nmeros racionales . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.4.2. Hacer matemticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.4.3. Algunas razones para estudiar matemticas . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.4.4. Lo que debes haber aprendido en este Captulo. Lecturas adicionales . . 32 2. Funciones elementales 33 2.1. Funciones reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.1.1. Operaciones con funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.1.2. Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.2. Estudio descriptivo de las funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2.1. Funciones polinmicas y funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2.2. Races de un nmero real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2.3. Potencias racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.2.4. Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.2.5. Exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.2.5.1. Inters compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.2.5.2. Crecimiento demogrco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.2.6. Funcin potencia de exponente real a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.2.7. Funciones trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.2.7.1. Medida de ngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.2.7.2. Funciones seno y coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.2.7.3. Propiedades de las funciones seno y coseno . . . . . . . . . 45 2.2.7.4. Las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante . . . 46 2.2.7.5. Las funciones arcoseno, arcocoseno y arcotangente . . . . . 46 2.2.8. Las funciones hiperblicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.2.8.1. Las funciones hiperblicas inversas . . . . . . . . . . . . . . 49 2.2.9. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.2.10. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.3. Sobre el concepto de funcin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.3.1. El desarrollo del lgebra y la invencin de los logaritmos . . . . . . . 61 2.4. Lo que debes haber aprendido en este captulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3. Nmeros complejos. Exponencial compleja 64 Universidad de Granada Dpto. de Anlisis Matemtico Prof. Javier Prez Clculo diferencial e integral

5. ndice general IV 3.1. Un poco de historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.2. Operaciones bsicas con nmeros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.2.1. Comentarios a la denicin de nmero complejo . . . . . . . . . . . . 66 3.2.2. Forma cartesiana de un nmero complejo . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.2.3. Comentarios a la denicin usual i D p 1 . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.2.4. No hay un orden en C compatible con la estructura algebraica . . . . . 68 3.3. Representacin grca. Complejo conjugado y mdulo . . . . . . . . . . . . . 68 3.3.1. Forma polar y argumentos de un nmero complejo . . . . . . . . . . . 70 3.3.2. Observaciones a la denicin de argumento principal . . . . . . . . . . 72 3.3.2.1. Frmula de De Moivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.3.3. Races de un nmero complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.3.3.1. Notacin de las races complejas . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.3.3.2. La igualdad n p z n p w D n p zw . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.3.4. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.3.5. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.4. Funciones elementales complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.4.1. La funcin exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.4.2. Logaritmos complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.4.3. Potencias complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 3.4.4. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 3.4.5. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 3.5. Aplicaciones de los nmeros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 3.5.1. Movimiento armnico simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 3.5.2. Circuitos elctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 3.5.3. Procesamiento digital de seales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 4. Funciones Continuas y lmite funcional 102 4.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4.2. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 4.2.1. Propiedades bsicas de las funciones continuas . . . . . . . . . . . . . 104 4.2.2. Propiedades locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 4.3. Teorema de Bolzano. Supremo e nmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 4.3.1. La propiedad del supremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 4.3.2. Propiedad de extremo inferior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 Universidad de Granada Dpto. de Anlisis Matemtico Prof. Javier Prez Clculo diferencial e integral

6. ndice general V 4.3.3. Consecuencias del teorema de Bolzano . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 4.3.3.1. Continuidad y monotona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 4.3.4. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4.3.5. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 4.4. Continuidad en intervalos cerrados y acotados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 4.4.1. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 4.4.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 4.5. Lmite funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 4.5.1. Lmites laterales de una funcin en un punto . . . . . . . . . . . . . . 134 4.5.2. Lmites innitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 4.5.2.1. Funciones divergentes en un punto . . . . . . . . . . . . . . 135 4.5.2.2. Lmites en innito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 4.5.2.3. Funciones divergentes en innito . . . . . . . . . . . . . . . 136 4.6. lgebra de lmites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 4.6.1. Lmites y discontinuidades de funciones montonas . . . . . . . . . . . 139 4.6.2. Comportamientos asintticos de las funciones elementales . . . . . . . 140 4.6.2.1. Lmites de exponenciales y logaritmos . . . . . . . . . . . . 140 4.7. Indeterminaciones en el clculo de lmites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 4.7.1. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 4.7.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 5. Nmeros y lmites. El innito matemtico 150 5.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 5.2. Evolucin del concepto de nmero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 5.2.1. Nmeros y cantidades en la antigua Grecia . . . . . . . . . . . . . . . 151 5.2.2. De la antigua Grecia a la invencin del Clculo . . . . . . . . . . . . . 153 5.2.3. Innitsimos y el continuo numrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 5.2.4. El triunfo de Pitgoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 5.2.4.1. Cortaduras de Dedekind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 5.2.4.2. Mtodos axiomticos y mtodos constructivos . . . . . . . . 164 5.2.4.3. El regreso de los pequeitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 5.2.5. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 5.3. Evolucin del concepto de lmite funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 5.3.1. La teora de las razones ltimas de Newton . . . . . . . . . . . . . . 166 Universidad de Granada Dpto. de Anlisis Matemtico Prof. Javier Prez Clculo diferencial e integral

7. ndice general VI 5.3.2. La metafsica del Clculo en DAlembert y Lagrange . . . . . . . . . . 167 5.3.3. El premio de la Academia de Berln de 1784 . . . . . . . . . . . . . . 169 5.3.4. Cauchy y su Cours DAnalyse de 1821 . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 5.3.5. El innovador trabajo de Bolzano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 5.3.6. Weierstrass nos dio los " . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 5.3.7. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 5.4. Breve historia del innito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 5.4.1. La idea de innito en la losofa y la matemtica Griegas . . . . . . . . 178 5.4.1.1. Las aporas de Zenn de Elea . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 5.4.1.2. Atomismo y divisibilidad innita . . . . . . . . . . . . . . . 180 5.4.1.3. La rueda de Aristteles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 5.4.2. El innito desde la Edad Media hasta el siglo XIX . . . . . . . . . . . 184 5.4.2.1. El innito en la Escolstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 5.4.2.2. Galileo y el innito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 5.4.2.3. El Clculo y el innito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 5.4.3. El innito matemtico y el nacimiento de la teora de conjuntos . . . . 188 5.4.3.1. La no numerabilidad del continuo . . . . . . . . . . . . . . . 193 5.4.4. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 6. Derivadas 201 6.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 6.2. Concepto de derivada. Interpretacin fsica y geomtrica . . . . . . . . . . . . 202 6.2.1. Tangente a una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 6.2.2. Razn de cambio puntual y velocidad instantnea . . . . . . . . . . . . 202 6.2.2.1. Elementos de una curva relacionados con la derivada . . . . 205 6.2.3. Derivadas laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 6.2.4. Propiedades de las funciones derivables. Reglas de derivacin . . . . . 206 6.2.5. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 6.2.6. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 6.2.7. Derivabilidad de las funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . 219 6.2.7.1. Derivabilidad de la exponencial y del logaritmo. Criterio de equivalencia logartmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 6.2.7.2. Derivabilidad de las funciones trigonomtricas . . . . . . . . 221 6.2.7.3. Derivabilidad de las funciones hiperblicas . . . . . . . . . . 221 Universidad de Granada Dpto. de Anlisis Matemtico Prof. Javier Prez Clculo diferencial e integral

8. ndice general VII 6.3. Teoremas de Rolle y del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 6.3.1. Consecuencias del teorema del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . 225 6.3.2. Reglas de LHpital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 6.4. Derivadas sucesivas. Polinomios de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 6.4.1. Notacin de Landau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 6.4.2. Polinomios de Taylor de las funciones elementales . . . . . . . . . . . 235 6.5. Tcnicas para calcular lmites de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 6.5.1. Lmites que debes saberte de memoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 6.5.2. Sobre el mal uso de las reglas de LHpital . . . . . . . . . . . . . . . 241 6.5.3. Sobre el uso de la notacin lKm x!a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 6.6. Extremos relativos. Teorema de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 6.7. Funciones convexas y funciones cncavas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 6.7.1. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 6.7.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 6.8. Orgenes y desarrollo del concepto de derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 6.8.1. Las matemticas en Europa en el siglo XVII . . . . . . . . . . . . . . . 306 6.8.2. Clculo de tangentes y de valores extremos . . . . . . . . . . . . . . . 307 6.8.2.1. El mtodo de mximos y mnimos de Fermat . . . . . . . . . 307 6.8.2.2. El mtodo de las tangentes de Fermat . . . . . . . . . . . . . 308 6.8.2.3. El mtodo de Roberval y de Torricelli para las tangentes . . . 311 6.8.2.4. El tringulo diferencial de Barrow . . . . . . . . . . . . . . 312 6.8.3. Los inventores del Clculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314 6.8.4. Newton y el clculo de uxiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314 6.8.5. Leibniz y el clculo de diferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 6.8.6. Desarrollo del clculo diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 7. Sucesiones 325 7.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 7.2. Sucesiones de nmeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 7.2.1. Sucesiones convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 7.2.2. Sucesiones convergentes y estructura de orden de R . . . . . . . . . . 330 7.2.3. Sucesiones montonas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331 7.2.3.1. El nmero e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 7.2.4. Sucesiones convergentes y estructura algebraica de R . . . . . . . . . . 334 Universidad de Granada Dpto. de Anlisis Matemtico Prof. Javier Prez Clculo diferencial e integral

9. ndice general VIII 7.2.5. Sucesiones parciales. Teorema de BolzanoWeierstrass . . . . . . . . . 335 7.2.6. Condicin de Cauchy. Teorema de completitud de R . . . . . . . . . . 338 7.2.7. Lmites superior e inferior de una sucesin . . . . . . . . . . . . . . . 339 7.2.8. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 7.2.9. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 7.3. Sucesiones divergentes. Indeterminaciones en el clculo de lmites . . . . . . . 360 7.3.1. Sucesiones y lmite funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 7.3.2. Sucesiones asintticamente equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . 365 7.3.3. Sucesiones de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366 7.3.4. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367 7.3.5. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370 7.4. Sucesiones de nmeros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379 7.4.1. Denicin de la exponencial compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380 7.4.2. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381 7.4.3. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381 7.5. Demostraciones alternativas de los teoremas de Bolzano y de Weierstrass . . . 382 7.6. Continuidad uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384 8. Integral de Riemann 386 8.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386 8.2. Aproximaciones al rea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388 8.2.1. Denicin y propiedades bsicas de la integral . . . . . . . . . . . . . 391 8.2.2. El Teorema Fundamental del Clculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397 8.2.3. Primitivas. Regla de Barrow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398 8.2.4. Las funciones logaritmo y exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . 400 8.3. Integrales impropias de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402 8.3.1. Criterios de convergencia para integrales . . . . . . . . . . . . . . . . 404 8.4. Teoremas del valor medio para integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406 8.5. Derivadas e integrales de funciones complejas de variable real . . . . . . . . . 409 8.5.1. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410 8.5.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414 8.6. Tcnicas de clculo de Primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427 8.6.1. Calcular una primitiva...Para qu? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427 8.6.2. Observaciones sobre la notacin y terminologa usuales . . . . . . . . . 428 Universidad de Granada Dpto. de Anlisis Matemtico Prof. Javier Prez Clculo diferencial e integral

10. ndice general IX 8.6.3. Primitivas inmediatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428 8.6.4. Integracin por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430 8.6.4.1. Integracin por recurrencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431 8.6.5. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435 8.6.6. Integracin por sustitucin o cambio de variable . . . . . . . . . . . . 436 8.6.7. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437 8.6.8. Integracin de funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438 8.6.8.1. Mtodo de los coecientes indeterminados . . . . . . . . . . 438 8.6.8.2. Mtodo de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439 8.6.9. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442 8.6.10. Integracin por racionalizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442 8.6.10.1. Integracin de funciones del tipo R.sen x; cos x/ . . . . . . . 443 8.6.10.2. Integrales del tipo R x; L.x/r ; L.x/s ; : : :dx . . . . . 445 8.6.10.3. Integrales binomias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446 8.6.10.4. Integrales del tipo R.ex / dx . . . . . . . . . . . . . . . . 446 8.6.10.5. Integracin de funciones del tipo R.x; p ax2 C bx C c/ . . 447 8.6.11. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450 8.6.12. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451 8.7. Aplicaciones de la integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463 8.7.1. Clculo de reas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463 8.7.1.1. Regiones de tipo I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464 8.7.1.2. Regiones de tipo II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465 8.7.2. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467 8.7.3. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469 8.7.4. Curvas en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474 8.7.4.1. rea encerrada por una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . 476 8.7.4.2. reas planas en coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . 476 8.7.5. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478 8.7.6. Longitud de un arco de curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478 8.7.7. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479 8.7.8. Volmenes de slidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480 8.7.8.1. Volumen de un cuerpo de revolucin . . . . . . . . . . . . . 481 8.7.9. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483 Universidad de Granada Dpto. de Anlisis Matemtico Prof. Javier Prez Clculo diferencial e integral

11. ndice general X 8.7.10. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484 8.7.11. rea de una supercie de revolucin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485 8.7.12. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486 8.7.13. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487 8.8. Evolucin de la idea de integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499 8.8.1. Problemas de cuadraturas en las matemticas griegas . . . . . . . . . . 499 8.8.1.1. Cuadratura de un segmento de parbola por Arqumedes . . . 500 8.8.1.2. El Mtodo de Arqumedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503 8.8.1.3. rea de una espiral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504 8.8.2. La integracin antes del Clculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506 8.8.2.1. Los indivisibles de Cavalieri . . . . . . . . . . . . . . . . . 506 8.8.2.2. Cuadratura de la cicloide por Roberval . . . . . . . . . . . . 507 8.8.2.3. Parbolas e hiprbolas de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . 508 8.8.2.4. La integracin aritmtica de Wallis . . . . . . . . . . . . . . 509 8.8.2.5. El resultado fundamental de Barrow . . . . . . . . . . . . . 512 8.8.3. La relacin fundamental entre cuadraturas y tangentes . . . . . . . . . 513 8.8.3.1. El Teorema Fundamental del Clculo segn Newton . . . . . 513 8.8.3.2. La invencin del calculus summatorius por Leibniz . . . . . 514 9. Series numricas 518 9.1. Conceptos bsicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518 9.1.1. La particularidad del estudio de las series . . . . . . . . . . . . . . . . 522 9.1.2. Propiedades bsicas de las series convergentes . . . . . . . . . . . . . 525 9.1.3. Propiedades asociativas y conmutativas . . . . . . . . . . . . . . . . . 526 9.1.4. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531 9.1.5. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531 9.2. Criterios de convergencia para series de trminos positivos . . . . . . . . . . . 533 9.2.1. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542 9.2.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544 9.3. Criterios de convergencia no absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556 9.3.1. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 560 9.3.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 560 9.4. Algunas series cuya suma puede calcularse de forma exacta . . . . . . . . . . . 563 9.4.1. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567 Universidad de Granada Dpto. de Anlisis Matemtico Prof. Javier Prez Clculo diferencial e integral

12. ndice general XI 9.4.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567 9.5. Expresin de un nmero real en base b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 570 9.6. Series de nmeros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575 9.6.1. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576 9.6.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576 9.7. Clculo elemental de C1 0 sen x x dx y de P1 nD1 1 n2 . . . . . . . . . . . . . . . 578 10. Sucesiones y series de funciones 581 10.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581 10.2. Conceptos bsicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583 10.2.1. Convergencia puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584 10.2.2. Convergencia Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586 10.2.3. Series de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590 10.3. Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598 10.3.1. Radio de convergencia de una serie de potencias . . . . . . . . . . . . 599 10.3.1.1. Clculo del radio de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . 600 10.4. Desarrollos en serie de potencias de las funciones elementales . . . . . . . . . 604 10.4.1. Las funciones trascendentes elementales denidas por series . . . . . . 611 10.4.1.1. La funcin exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611 10.4.1.2. Las funciones trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . 612 10.5. Teorema de aproximacin de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614 10.5.1. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617 10.5.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627 10.6. Los primeros desarrollos en serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 659 10.6.1. Newton y las series innitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 660 Universidad de Granada Dpto. de Anlisis Matemtico Prof. Javier Prez Clculo diferencial e integral

13. Indice de guras 1.1. El pentagrama pitagrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.1. La funcin f .x/ D x3 4x2 C x C 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.2. Funcin logaritmo de base a1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.3. Funcin exponencial de base a1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.4. La circunferencia unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.5. La funcin seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.6. La funcin seno en 2 ;2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.7. La funcin arcoseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.8. La funcin coseno en 0; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.9. La funcin arcocoseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.10. La funcin tangente en 2 ;2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.11. La funcin arcotangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.12. La funcin seno hiperblico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.13. La funcin coseno hiperblico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.14. La funcin tangente hiperblica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.15. La funcin argumento seno hiperblico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.16. La funcin argumento coseno hiperblico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.17. La funcin argumento tangente hiperblica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.18. Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.19. Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 XII

14. ndice de guras XIII 2.20. John Napier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.1. Representacin de un nmero complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.2. Suma de nmeros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.3. Forma polar de un nmero complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.4. Argumento principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.5. Races novenas de la unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.6. Igualdad del paralelogramo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.7. rea de un tringulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.8. Movimiento circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 3.9. Composicin de movimientos armnicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 3.10. Circuito RLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.1. Funcin parte entera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 4.2. La funcin xE.1=x/ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 4.3. Visualizacin de la demostracin del teorema de Weierstrass . . . . . . . . . . 130 4.4. La funcin f .x/ D sen.1=x/ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 5.1. Euclides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 5.2. al-Jwarizmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 5.3. Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 5.4. Tartaglia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 5.5. Vite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 5.6. Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 5.7. Descartes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 5.8. Dedekind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 5.9. DAlembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 5.10. Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 5.11. Bolzano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 5.12. Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 5.13. Rueda de Aristteles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 5.14. Exgonos de Galileo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 5.15. Paradoja circunferencia-punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 5.16. Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 5.17. Contando NN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 Universidad de Granada Dpto. de Anlisis Matemtico Prof. Javier Prez Clculo diferencial e integral

15. ndice de guras XIV 5.18. Unin numerable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 6.1. Secante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 6.2. Elementos de una curva relacionados con la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 6.3. Depsito cnico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 6.4. Cruce de barcos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 6.5. Extremos relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 6.6. Teorema de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 6.7. Teorema del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 6.8. Regla de LHpital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 6.9. Funcin cncava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 6.10. Funcin convexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 6.11. Clculo de la subtangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 6.12. Clculo de la tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 6.13. Tangente a la cicloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 6.14. Tringulo diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 6.15. Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314 6.16. Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 6.17. Tringulo caracterstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 6.18. Aproximacin de una cuadratura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 7.1. Puntos de sol y de sombra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336 8.1. Conjunto ordenado G.f; a; b/ de una funcin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388 8.2. Partes positiva y negativa de una funcin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389 8.3. Aproximacin por sumas de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390 8.4. Aproximacin del rea por sumas inferiores y superiores . . . . . . . . . . . . 391 8.5. Funcin montona con innitas discontinuidades . . . . . . . . . . . . . . . . 396 8.6. Logaritmo de 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400 8.7. Aproximacin al rea de una regin de tipo I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464 8.8. Ejemplo de regin de tipo I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465 8.9. Aproximacin al rea de una regin de tipo II . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466 8.10. Ejemplo de regin de tipo II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467 8.11. Simtrica de la gura 8.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467 8.12. Cicloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475 Universidad de Granada Dpto. de Anlisis Matemtico Prof. Javier Prez Clculo diferencial e integral

16. ndice de guras XV 8.13. Cardioide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475 8.14. Astroide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475 8.15. Espiral de Arqumedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475 8.16. Una curva de Lissajoux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476 8.17. Una curva cerrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476 8.18. Aproximacin por sectores circulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477 8.19. Rosa de 8 ptalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478 8.20. Aproximacin por poligonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479 8.21. Clculo del volumen por secciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480 8.22. Mtodo de los discos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482 8.23. Mtodo de las lminas o tubos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484 8.24. Supercie de revolucin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485 8.25. rea de una regin limitada por dos elipses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489 8.26. Cuadratura de un rectngulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499 8.27. Cuadratura de un segmento de parbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501 8.28. El Mtodo de Arqumedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503 8.29. Cuadratura de una espiral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505 8.30. Cuadratura de la cicloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507 8.31. Cuadratura de la hiprbola de Fermat y D x 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 508 8.32. Comparando indivisibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510 8.33. Teorema Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512 8.34. z D z.x/ D rea OPB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513 8.35. reas complementarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515 10.1. Es p 2 D 1? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583 10.2. Convergencia puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584 10.3. Interpretacin grca de la convergencia uniforme . . . . . . . . . . . . . . . 587 10.4. Cuadratura 1=4 0 p x x2 dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663 Universidad de Granada Dpto. de Anlisis Matemtico Prof. Javier Prez Clculo diferencial e integral

17. Prologo Este libro est escrito pensando en un estudiante real que tambin es, en algunos aspectos, un estudiante ideal. Es un estudiante llegado hace poco a la Universidad, quiz recin llegado, que cursa estudios en alguna ingeniera o licenciatura cientco tcnica y debe enfrentarse a una difcil asignatura de clculo diferencial e integral. Debe ser difcil, porque son muy pocos quienes logran aprobarla en un slo ao y es muy alto el porcentaje de abandono. Con este libro quiero ayudarle en sus estudios de Clculo o Anlisis Matemtico, no solamente para que logre una buena calicacin sino para que saque de ellos el mayor provecho e incluso aprenda a disfrutarlos. Se trata, digo, de un estudiante real porque llega a la Universidad con importantes carencias de las que l puede no ser consciente y de las que no es del todo responsable. Es muy posible que nunca haya visto una demostracin matemtica, que no sepa distinguir entre hiptesis y tesis, que no entienda el signicado de que las matemticas son una ciencia deductiva. Tiene poca agilidad en los clculos con las operaciones bsicas y comete frecuentes errores al intentar simplicarlos, puede calcular derivadas pero lo hace con dicultad porque tiene que ir pensando cada paso y no ha automatizado el proceso, por eso solamente sabe calcular algunas primitivas muy sencillas. Est acostumbrado a realizar ejercicios muy elementales en los que se debe aplicar de forma mecnica una regla recin aprendida. No est acostumbrado a relacionar conceptos y clasica sus conocimientos en reas disjuntas: clculo, lgebra, probabilidad: : : Pero estas carencias, con ser graves, no son las peores porque son especcas de una ma- teria y podran solucionarse con facilidad si no vinieran acompaadas por otras mucho ms perjudiciales porque afectan a todo el proceso de aprendizaje. Me reero a la falta de hbitos de estudio, a la pobreza y muy deciente uso del lenguaje hablado y escrito con la consiguiente dicultad para pensar y expresarse correctamente, a la poca prctica de la lectura comprensi- va, a la escasa capacidad de concentracin, al poco valor que se da a la memorizacin de lo estudiado. Si a este cuadro aadimos que vivimos en una sociedad que valora ms el xito, identica- do casi exclusivamente con el xito econmico, que el esfuerzo; el apresuramiento compulsivo, hay que ir a toda velocidad aunque so sepamos a dnde, que la constancia y la dedicacin; el XVI

18. Prlogo XVII gregarismo unnime que el pensamiento crtico e independiente, la autocomplacencia que la exigencia : : : La conclusin es que no son buenos tiempos para el estudio. Adems, los jvenes estn permanente solicitados por todo tipo de reclamos publicitarios, adulados hasta la desver- genza por polticos y pedagogos que les venden un mensaje falso que en su esencia viene a decir que no son responsables de sus actos: si suspenden, les dicen que es porque el profesor no ha sabido motivarlos para que estudien; si despus de un botelln de n de semana, o de una esta de la primavera o de un da de la cruz, las calles amanecen convertidas en un albaal por la suciedad acumulada durante la noche, el argumente apropiado para disculpar tan incvico comportamiento es el de un supuesto derecho a la diversin. Estos polticos y pedagogos parecen haberse puesto de acuerdo para propiciar que los jvenes vivan en una permanente niez, acreedora de todos los derechos pero sin obligaciones ni responsabilidades. Y, para acabar, la bazoa, mezquindad, zaedad y mal gusto de algunos programas de televisin contribuyen de forma notable a difundir el mensaje de que todo vale: puedes vender tus entraas en uno de esos programas o demostrar tu absoluta ignorancia sin temor a hacer el ridculo porque as lo hacen la mayora de quienes participan en ellos. Qu aoranza de aquellos programas en los que el saber ocupaba lugar! El estudiante al que me dirijo es real porque es vctima de este sistema y tambin, puede que sin tener clara conciencia de ello, porque contribuye a su mantenimiento. Cada vez es ms difcil conjugar juventud y lucidez. Pero tambin es un estudiante ideal porque valora el estudio, quiere prepararse para ejercer ecazmente una profesin y ser til a los dems y tiene ganas de aprender. Lector, si este no es tu caso, si lo que quieres es solamente aprobar y no tienes curiosidad ni ests interesado en aprender, mejor que no sigas leyendo, este libro no es lo que buscas. Pero si no es as, confo en que las pginas que siguen sean tiles para que progreses adecuadamente en tus estudios de clculo, porque lo nico que se necesita para ello es, adems del inters y las ganas de aprender, una capacidad bsica lgico deductiva que sin duda tienes. El contenido de este libro no ofrece sorpresa alguna y responde a un acuerdo general tcito de lo que debe constituir un curso bsico de Clculo de funciones de una variable. La novedad, si la hay, habr que buscarla en el estilo, en la exposicin, en la gran cantidad de ejemplos y de ejercicios, en la minuciosa presentacin de los conceptos y de sus relaciones. Comentar seguidamente algunos de estos aspectos. Este libro est escrito en un estilo deliberadamente sencillo, he querido huir del estilo pe- dante que se impuso hace algunos aos y que todava perdura en casos aislados. Escribir matemticas es un arte que se va aprendiendo poco a poco y, aunque no es ajeno a las modas, tiene unas reglas bsicas que deben ser respetadas en cualquier circunstancia. Realmente se trata de una sola regla debida a Nicols Boileau (1636 - 1711) que dice as lo que bien se concibe bien se expresa con palabras que acuden con presteza. Que las palabras acudan con mayor o menor presteza es algo anecdtico, pero lo que es indudable es que si algo no se concibe bien es imposible expresarlo con claridad. La primera condicin necesaria para escribir matemticas es entender con todo detalle, a ser posible desde varios puntos de vista diferentes y con distinto grado de generalidad, la gnesis y evolucin de los conceptos que se exponen, las sutilezas y dicultades de comprensin que encierran, los errores ms frecuentes en su interpretacin. Esa condicin necesaria no es suciente. Hay que exponer esos conceptos con palabras comprensi- bles para el lector a quien se dirigen, evitando tecnicismos innecesarios, y ello sin dejar de ser claro y preciso. Universidad de Granada Dpto. de Anlisis Matemtico Prof. Javier Prez Clculo diferencial e integral

19. Prlogo XVIII Este libro est escrito un poco igual que se explica en clase delante de la pizarra, me he puesto en el lugar de un hipottico estudiante medio algo despistado y me hago eco de sus presumibles dudas, preguntas y confusiones, e intento explicar esas dudas, responder a las preguntas y aclarar las confusiones. Confo en que los muchos aos que he dedicado a la docencia en el primer curso de distintas licenciaturas e ingenieras me hayan permitido saber ponerme en tu lugar y cumplir este empeo con decoro. Por todo eso creo que este libro te permitir estudiar por ti mismo y te ayudar a comprender de forma correcta los conceptos principales del Clculo. Este libro incluye una coleccin de ejercicios muchsimo ms amplia que lo que suele ser usual en un libro de texto. De hecho este libro es tambin un libro de problemas de Clculo y, se me disculpar la inmodestia, creo que hay muy pocos libros de ejercicios de Clculo que incluyan una coleccin tan variada de ejercicios y, sobre todo, que propongan tantos ejercicios no triviales y desarrollen las soluciones con detalle. Los libros de ejercicios de Clculo dan muchas veces la impresin de que la teora solamente sirve para proporcionar un conjunto de recetas que despus hay que aplicar, sin acabar nunca de entender bien por qu se elige una receta y no otra y sin entender el fundamento que hace que la receta funcione. Mi intencin ha sido escribir un libro de Clculo que sea til tanto para el futuro matemtico como para el futuro ingeniero, pero cada uno debe leer el libro de la forma adecuada a sus intereses y necesidades. Para ambos ser de gran utilidad la extensa coleccin de ejercicios y de ejemplos, pero uno habr de prestar mayor atencin a los fundamentos tericos y a las demostraciones y otro a las tcnicas de clculo y de resolucin de diversos tipos de ejercicios. Al nal de este prlogo propongo dos posibles guas de lectura. Digamos algo sobre las demostraciones. Claro est que razonar y demostrar son aspectos fundamentales de las matemticas, pero s que el valor que las demostraciones tienen para los estudiantes es muy relativo. El empeo en demostrarlo todo puede ser contraproducente y constituir un freno en el progreso de muchos estudiantes. Las demostraciones interesantes son las que contienen ideas que se repiten en otras situaciones semejantes, no deben ser extensas, deben ser elegantes y demostrar resultados importantes que se van a usar con frecuencia. Cuan- do empec este libro mi intencin era incluir muy pocas demostraciones, al nal, para lograr la autonoma del texto he incluido muchas ms de lo que inicialmente pensaba. Mi deseo era equilibrar un desarrollo intuitivo con uno lgico deductivo, confo en no haberme desviado mucho de este objetivo. Toda ayuda a la intuicin me parece loable, en este sentido, siempre que lo he credo conveniente, no he dudado en incluir una gura para facilitar la comprensin de una denicin o de una demostracin. Pero tambin quiero decir respecto de algunas demostraciones que pueden parecer muy complicadas (como los teoremas 4.13 y 4.29 de los que tambin doy versiones ms sencillas 7.54 y 7.55), que las cosas complicadas son complicadas, que no se debe renunciar al razonamiento correcto por el hecho de que sea complicado, los detalles son importantes, en matemticas no todo vale. He concedido toda la importancia que merece al desarrollo y evolucin histrica de los principales conceptos del Clculo. He incluido apuntes histricos, mucho ms amplios de lo usual en textos de estas caractersticas, sobre la evolucin de los conceptos de nmero y magnitud, lmite y funcin, derivadas e integrales, as como al concepto de innito y a la algebraizacin del Anlisis llevada a cabo en el ltimo tercio del siglo XIX. Incluso hay un captulo, el quinto, cuyo ttulo Nmeros y lmites. El innito matemtico deja bien claro cul es su contenido. Naturalmente, nada de original hay en dichas notas histricas pues no he consultado fuentes Universidad de Granada Dpto. de Anlisis Matemtico Prof. Javier Prez Clculo diferencial e integral

20. Prlogo XIX originales, y su posible valor est en la particular ordenacin y exposicin que he llevado a cabo. Mi propsito al escribirlas ha sido presentar la gnesis de los conceptos matemticos en su contexto, su titubeante y confusa evolucin, las discrepancias sobre el signicado de los mismos... En una palabra, proporcionar al estudiante una visin de la matemtica viva. Con frecuencia los estudiantes tienen la idea de que las matemticas son algo cerrado y acabado, un conjunto de verdades eternas e inmutables de una fra perfeccin que se transmi- ten dogmticamente de generacin en generacin y donde no hay lugar para la sorpresa ni la pasin. Nada ms lejos de la realidad. La historia de las matemticas demuestra que el queha- cer matemtico, la creacin matemtica, est muy lejos de esa fra perfeccin formal lgico deductiva, que la intuicin, la induccin, los procedimientos heursticos son quiz ms importantes para el avance de las matemticas que el razonamiento deductivo. La historia de las matemticas muestra cmo los conceptos nacen para responder a problemas concretos de cada poca, cmo esos mismos conceptos llevan a reformular posteriormente los problemas desde perspectivas ms generales, en un avance que no siempre es una lnea recta, con intentos fallidos, con controversias y desacuerdos. La historia pone tambin muy claramente de maniesto que las matemticas son un saber acumulativo. Esto tiene una particular importancia para el aprendizaje, quiere decir que para estudiar y avanzar en matemticas la memoria es mucho ms importante de lo que usualmente se cree. La efmera memoria de los estudiantes que llegan a la Universidad, que con frecuencia han olvidado lo que alguna vez aprendieron de matemticas, es una de las grandes dicultades que debemos afrontar los profesores. Un aspecto notable del libro es la atencin que dedico a los persistentes errores en matemticas que suelen tener casi todos los estudiantes al llegar a la Universidad. Confo en que mis observaciones al respecto sean tiles no slo para los estudiantes sino tambin para los profesores de matemticas de las Enseanzas Medias. Tambin expongo algunas opiniones muy crticas con la forma en que tradicionalmente se explican algunos temas en la Universidad, esto afecta muy especialmente al estudio de los nmeros complejos y de las funciones elementales complejas y de las series, para los que hago propuestas que creo que deben ser tenidas muy en cuenta. Granada, septiembre de 2008 Universidad de Granada Dpto. de Anlisis Matemtico Prof. Javier Prez Clculo diferencial e integral

21. Guas de lectura XX Guas de lectura El Captulo 5 y los diversos complementos de contenido histrico solamente debes leerlos si te gustan. La nica forma de saber si te gustan es que empieces a leerlos, y si cuando lleves dos pginas sigues interesado en la lectura seguramente llegars hasta el nal. Los captulos 1 y 2 deben ser ledos con detenimiento. No hay en ellos demostraciones que merezcan ese nombre. En el Captulo 1 se dan deniciones bsicas cuyo conocimiento es imprescindible para leer todo lo dems. En el Captulo 2 se dene el importantsimo concepto de funcin y se estudian, desde un punto de vista descriptivo, las funciones elementales. El conocimiento de dichas funciones es absolutamente necesario para leer el resto del libro y realizar ejercicios. Para estudiantes orientados hacia ingenieras cuyo inters por las matemticas es de tipo instrumental El Captulo 3 est dedicado a los nmeros complejos y a las funciones complejas elementales. Solamente t puedes saber si necesitas estudiarlo. Si decides omitirlo puedes hacerlo con tranquilidad. El Captulo 4 est dedicado a dos importantes conceptos: el de continuidad y el de lmite funcional. Son conceptos de importancia terica y necesarios para hacer ejercicios. Debes estudiar y entender las deniciones y resultados pero no es necesario que leas las demostraciones. El concepto de extremo superior tiene inters desde un punto de vista formativo, para que comprendas que se precisa alguna herramienta que permita probar ciertas armaciones de apariencia evidente (o no tan evidente). Muchos libros de Clculo orientados hacia la ingeniera omiten este concepto. No es un concepto imprescindible para un futuro ingeniero, pero es bueno que sepas de su existencia y tengas una idea de su utilidad y lo que signica. El Captulo 6 estudia las derivadas y sus aplicaciones. Creo que debes leerlo todo incluidas las demostraciones de los resultados principales porque son cortas y fciles de entender, con la excepcin, quizs, de las demostraciones de las Reglas de LHpital, no porque sean difciles sino porque son algo largas. Pero debes leer la explicacin de por qu dichas reglas funcionan. Son muy tiles y mi impresin es que se usan como un recurso casi mgico, sin entender bien lo que se est haciendo. La seccin en la que se explican tcnicas para calcular lmites de funciones debes leerla hasta que memorices los lmites bsicos que all se indican y entiendas bien los procedimientos que se exponen. El Captulo 7 est dedicado al estudio de las sucesiones. Debes aprender y comprender bien las deniciones y lo que dicen los principales teoremas pero, salvo la demostracin de que toda sucesin montona acotada es convergente, no es necesario que leas ninguna otra demostracin. Los resultados relativos a la condicin de Cauchy son una herramienta terica fundamental, pero quizs un ingeniero puede prescindir de ellos. La seccin en la que se explican tcnicas para calcular lmites de sucesiones y para resolver las indeterminaciones ms usuales, debes leerla hasta que memorices los lmites bsicos que all se indican y entiendas bien los procedimientos que se exponen. Las sucesiones que denen al nmero e y las desigualdades asociadas con dichas sucesiones son muy tiles, debes memorizarlas y aprender a reconocerlas all donde aparezcan. La continuidad uniforme es algo de lo que puedes prescindir Universidad de Granada Dpto. de Anlisis Matemtico Prof. Javier Prez Clculo diferencial e integral

22. Guas de lectura XXI con tranquilidad. El Captulo 8 es muy extenso, en l se estudia la integral de Riemann que es la integral usual del Clculo, las integrales impropias, el clculo de primitivas y las aplicaciones del clculo integral. Con la excepcin de las demostraciones del Teorema Fundamental del Clculo y de la Regla de Barrow, no es necesario que leas otras demostraciones. Procura entender bien la denicin de integral y sus propiedades as como el signicado del Teorema Fundamental del Clculo. Todo el tiempo que dediques, y tendrs que dedicar muchas horas, a practicar las tcnicas de clculo de primitivas ser ampliamente recompensado. Calcular primitivas es algo que hay que hacer con muchsima frecuencia: en todas las aplicaciones de la integral tienes que calcular una primitiva. El Captulo 9 est dedicado al estudio de las series numricas. Es importante que aprendas y comprendas bien las deniciones principales. Hay muchsima confusin en este tema y los libros que conozco sirven de poca ayuda. Las demostraciones de este captulo puedes omitirlas salvo las de los criterios de convergencia para series de trminos positivos que son cortas y fciles de entender. Las tcnicas para sumar algunos tipos de serie debes estudiarlas, as como el criterio de Leibniz para las series alternadas. El apartado dedicado a la expresin de un nmero real en una base b 2Z merece que lo leas, aunque solamente sea un poco por encima, para saber lo que dice y para aclararte de una vez con eso de los decimales innitos con innitas cifras que no se repiten. El Captulo 10 estudia la convergencia puntual y uniforme de sucesiones y series de funciones. El concepto de convergencia puntual es muy sencillo, no lo es tanto el de convergencia uniforme y puede que un ingeniero no necesite estudiarlo con detenimiento. Es bueno que sepas para qu sirve y que muchas operaciones que consisten en permutar el lmite funcional con la integracin o con la derivacin requieren para su plena justicacin un tipo de convergencia mejor que la puntual. Las series de potencias debes estudiarlas con detalle, omitiendo quizs algunas demostraciones. Su estudio es importante y muy til a efectos de clculo. Los desarrollos en serie de potencias de las funciones elementales, y la denicin por series de potencias de las funciones exponencial y trigonomtricas debes estudiarlos bien. Lo que dice el teorema de aproximacin de Weierstrass es muy fcil de entender, pero puedes omitir su demostracin. La parte ms importante para el aprendizaje es el tiempo que dediques a la realizacin de ejercicios. He incluido una extensa coleccin de ejercicios resueltos que te servir de ayuda para aprender a resolver ejercicios t solo. Siempre debes intentar resolver algunos de los ejercicios propuestos empezando por los que te parezcan ms fciles, antes de consultar las soluciones. Se aprende ms de un ejercicio que al principio se resiste hasta que damos con la idea para resolverlo, que del ejercicio que resolvemos al primer golpe de vista. Los ejercicios que propongo tiene un grado medio de dicultad: no son triviales para no ofender a tu inteligen- cia ni demasiado difciles para evitar que puedas desalentarte. Con frecuencia los ms difciles estn resueltos. En cualquier caso, siempre debes leer la teora y comprender los conceptos e ideas bsicas, as como el signicado preciso de los teoremas, antes de hacer los ejercicios. Para estudiantes de matemticas y fsica Todo lo dicho arriba se mantiene con algunos aadidos: El Captulo 3 debes estudiarlo y entenderlo bien. Los conceptos bsicos de los nmeros Universidad de Granada Dpto. de Anlisis Matemtico Prof. Javier Prez Clculo diferencial e integral

23. Guas de lectura XXII complejos estn muy confusamente expuestos en gran nmero de textos y las funciones complejas elementales son denidas con frecuencia de una forma poco correcta. En el Captulo 4 debes estudiar y comprender bien las deniciones de extremo superior e inferior. Debes hacer ejercicios hasta que te convenzas de que sabes usarlas con soltura. La diferencia entre un curso de Clculo y uno de Anlisis Matemtico est en los conceptos de supremo e nmo. Los libros de Anlisis Matemtico siempre los incluyen, los de Clculo casi nunca. No es preciso, al menos en una primera lectura, que estudies la demostracin del teorema de valores mximos y mnimos de Weierstrass, en el Captulo 7 hay otra demostracin alternativa de dicho teorema que es mucho ms fcil. Debes estudiar y comprender la demostracin del teorema de Bolzano y sus consecuencias, as como las relaciones entre monotona e inyectividad. Para el Captulo 6 te doy los mismos consejos que arriba. En una segunda lectura debes estudiar la demostracin de las reglas de LHpital. El Captulo 7 estudia las sucesiones numricas. Mantengo los mismos consejos de arriba pero, adems, en una segunda lectura debes estudiar las demostraciones de los resultados principales, especialmente el teorema de completitud de R. Por supuesto, debes estudiar la continuidad uniforme. Para el Captulo 8 mantengo los mismos consejos de arriba con el aadido de que estudies las demostraciones de integrabilidad de funciones continuas y de funciones montonas. En el Captulo 9 puedes omitir la demostracin de la segunda parte del teorema 9.14 pero debes entender lo que se arma en el mismo. Lo dems debes estudiarlo todo. El tema de las series es muy importante para matemticos y fsicos. El Captulo 10 es de estudio obligado para matemticos y fsicos. La convergencia uniforme es tu primer encuentro con algunos conceptos que sern ampliamente generalizados en otros cursos, el tiempo que dediques a su estudio y a la comprensin de sus sutilezas estar bien empleado. Todos los teoremas de este Captulo tiene demostraciones sencillas y cortas que debes estudiar. El teorema de aproximacin de Weierstrass es tambin uno de esos resultados cuya generalizacin se estudia en cursos ms avanzados, debes entender bien lo que dice y no est de ms que leas la demostracin. Por lo dems, mantengo los consejos dados arriba. La parte ms importante para el aprendizaje es el tiempo que dediques a la realizacin de ejercicios. He incluido una extensa coleccin de ejercicios resueltos que te servir de ayuda para aprender a resolver ejercicios t solo. Siempre debes intentar resolver algunos de los ejercicios propuestos empezando por los que te parezcan ms fciles, antes de consultar las soluciones. Se aprende ms de un ejercicio que al principio se resiste hasta que damos con la idea para resolverlo, que del ejercicio que resolvemos al primer golpe de vista. Los ejercicios que propongo tiene un grado medio de dicultad: no son triviales para no ofender a tu inteligen- cia ni demasiado difciles para evitar que puedas desalentarte. Con frecuencia los ms difciles estn resueltos. En cualquier caso, siempre debes leer la teora y comprender los conceptos e ideas bsicas, as como el signicado preciso de los teoremas, antes de hacer los ejercicios. Universidad de Granada Dpto. de Anlisis Matemtico Prof. Javier Prez Clculo diferencial e integral

24. Captulo 1 Axiomas de R. Principio de induccion Dios cre los nmeros naturales, lo dems es obra de los hombres. L. Kronecker 1.1. Introduccin Los temas tradicionales del Clculo son el estudio de las funciones continuas, las derivadas e integrales, las sucesiones y las series. T ya debes saber algo de todo eso. En principio, parecen cosas bastante diferentes pero todas ellas tienen una base comn, que es, precisamente, de lo que nos vamos a ocupar en este Captulo. Me estoy reriendo a los nmeros reales que representamos por R. Sin duda, ya conoces muchas propiedades de los nmeros reales. Sabes que se pueden sumar y multiplicar y que hay nmeros reales positivos y negativos. Tambin puedes extraer races de nmeros reales positivos y elevar un nmero real positivo a otro nmero real. Lo que quizs no sepas es que todo lo que puedes hacer con los nmeros reales es consecuencia de unas pocas propiedades que dichos nmeros tienen que, adems, son muy elementales. En este Captulo estableceremos dichas propiedades. Sern nuestro punto de partida para todo lo que sigue; constituyen los axiomas del Clculo. Te advierto que no voy a decrtelo todo, voy a guardarme una carta en la manga que te mostrar ms adelante cuando su necesidad sea maniesta (si echas algo en falta, ve al Captulo 4). 1.1.1. Axiomas, deniciones, teoremas, lemas, corolarios. Al terminar este apartado, entenders el signicado de la frase de Bertrand Russell que fue uno de los ms grandes matemticos y lsofos del siglo XX. La matemtica pura es aquella ciencia en la que uno no sabe de qu est hablando ni si lo que est diciendo es verdad. 1

25. Axiomas, deniciones, teoremas, lemas, corolarios. 2 Siempre que te enfrentas a un problema es muy importante que lo sites en su contexto apropiado. Esto ya lo haces de forma automtica en muchas ocasiones. Por ejemplo, sabes que un problema de lgebra y otro de probabilidades requieren distintas herramientas, y al primero lo sitas en lgebra y al segundo en Clculo de Probabilidades. Pero no siempre las cosas son tan claras, no siempre tienes un marco de referencia tan explcito. Para que sientas lo que quiero decirte, voy a proponerte unos ejercicios muy sencillos. En todo lo que sigue se supone que x; y son nmeros reales. 1. Prueba que 0 x D 0. 2. Prueba que . x/y D xy. 3. Prueba que si x 0 entonces x20. Supongo que hace ya tanto tiempo que conoces estas propiedades de los nmeros que has olvidado cundo las aprendiste. Y ahora te pido que las demuestres! Puedo imaginar tu reaccin que demuestre que 0 x D 0?, pero si eso es evidente! siempre me han dicho que es as! cmo se puede demostrar tal cosa?. Pienso que muchas veces la dicultad de un ejercicio est en que no sabes qu es exactamente lo que se te pide que hagas; no te dan un marco claro de referencia. En estas situaciones lo ms frecuente es quedarse colgado con la mente en blanco sin saber qu hacer. Para evitar ese peligro, en este curso vamos a dar un marco de referencia muy claro que va a consistir en unas propiedades de los nmeros axiomas, si quieres llamarlas as que vamos a aceptar como punto de partida para nuestro estudio. Esas propiedades, junto con las reglas de inferencia lgica usuales y con deniciones apropiadas nos permitirn demostrar resultados (teoremas) que podremos usar para seguir avanzando. Simplicando un poco, puede decirse que en matemticas no hay nada ms que axiomas y teoremas (bueno, tambin hay conjeturas, proposiciones indecidibles. . . ). Todo lo que se demuestra es un teorema; por ejemplo 0 x D 0 es un teorema. Ocurre que el nombre teorema se reserva para resultados que se consideran realmente importantes y que ha costado esfuerzo llegar a probarlos. Se usan tambin los trminos: corolario, lema, proposicin y otros. Pero la estructura de una teora matemtica elaborada se resume en un conjunto de axiomas y de teoremas que se deducen de ellos mediante reglas de inferencia lgica. Los axiomas de una teora matemtica proporcionan el marco de referencia ms general de dicha teora. Son, por tanto, muy importantes. Al principio, cuando la teora empieza a caminar y se demuestran los primeros resultados ms bsicos, es frecuente recurrir de forma explcita a los axiomas. Ms adelante, cuando la teora va avanzando, los axiomas no suelen citarse con tanta frecuencia porque nos apoyamos en resultados ms elaborados previamente demostrados. Pero los axiomas siempre estn presentes aunque sea de forma discreta y no ostensible. Entre las particularidades que distinguen a las Matemticas de las dems ciencias hay una muy especial: las Matemticas avanzan dando deniciones. Las deniciones no son nuevos axiomas. Una denicin lo que hace es introducir un trmino nuevo y establece cmo dicho trmino se expresa en funcin de los axiomas de la teora. Por ejemplo, la denicin de continuidad se expresa mediante desigualdades y las desigualdades se reducen a los axiomas de orden de R. Universidad de Granada Dpto. de Anlisis Matemtico Prof. Javier Prez Clculo diferencial e integral

26. Axiomas, deniciones, teoremas, lemas, corolarios. 3 Quiero tambin decirte algo sobre lo que se entiende por reglas de inferencia lgicas usuales. Me limitar a la ms importante: la implicacin lgica. Los teoremas matemticos tienen casi siempre la siguiente estructura: se parte de una hiptesis y de ella se deduce una tesis. Entremos en detalles. La hiptesis es siempre alguna propiedad matemtica; por ejemplo, f es una funcin continua en un intervalo. La tesis tambin es una propiedad matemtica; por ejemplo, la imagen de f es un intervalo. Representemos por H la hiptesis y por T la tesis. Es importante que te des cuenta de que no tiene sentido preguntarse por la veracidad de la hiptesis H. No es ni verdadera ni falsa. Para que H sea verdadera o falsa debemos particularizar la funcin f . Un error muy frecuente consiste en pensar que en Matemticas las hiptesis son verdaderas. Ahora te preguntars, si H no es verdadera ni falsa, qu quiere decir que H implica T o, equivalentemente, que T se deduce o es consecuencia de H? La respuesta es: H implica T quiere decir que siempre que H sea verdadera tambin T es verdadera. Observa que no estamos armando (no tiene sentido) que H o T sean verdaderas sino que cuando H es verdadera tambin lo es T . Con ms precisin, demostrar que H implica T consiste en probar que la proposicin HT es cierta. Teniendo en cuenta que la proposicin HT es la disyuncin lgica (noH)_T , resulta que si H es falsa entonces HT es verdadera (por eso se dice que de una hiptesis falsa puede deducirse cualquier cosa) y si H es verdadera entonces para que HT sea verdadera tiene que ocurrir que T sea verdadera. En consecuencia, si sabemos que H es verdadera y que HT es verdadera, deducimos que T es verdadera. Ahora puedes entender el signicado de la frase de C. P. Steinmetz. La matemtica es la ciencia ms exacta, y sus conclusiones son susceptibles de demostracin absoluta. Pero eso se debe exclusivamente a que la matemtica no intenta obtener conclusiones absolutas. Todas las verdades matemticas son rela- tivas, condicionales. Tambin comprendes ya el signicado de una parte de la enigmtica frase de Bertrand Russell del principio: en matemticas no sabemos si lo que decimos es verdad. Pero una parte de dicha frase queda por aclarar. Recuerdas los axiomas de la geometra elemental? En dichos axiomas se establecen propiedades que se supone satisfacen ciertos objetos llamados punto,recta y plano. Pero no se dice nunca lo que es un punto ni una recta ni un plano. De la misma forma, en la seccin siguiente estableceremos los axiomas de los nmeros reales, pero no diremos lo que es un n- mero real. En matemticas nunca decimos cul es la naturaleza concreta de los objetos con los que trabajamos! Sucede que la intuicin nos lleva muchas veces a una interpretacin natural de dichos objetos, pero otras veces dicha interpretacin natural no est disponible. Y, lo ms interesante, puede haber interpretaciones muy diferentes de una misma teora matemtica. Precisamente, las matemticas son una ciencia abstracta porque trabaja con cosas abstractas cuya naturaleza no se precisa ni es necesario saber, solamente interesan las relaciones que hay entre ellas tal y como se establecen en los axiomas. Ahora ya entiendes por qu arma Bertrand Russell que en matemticas no sabemos de lo que hablamos. Universidad de Granada Dpto. de Anlisis Matemtico Prof. Javier Prez Clculo diferencial e integral

27. Axiomas de los nmeros reales 4 1.2. Axiomas de los nmeros reales 1.2.1. Axiomas algebraicos Como ya sabes, se distinguen distintas clases de nmeros: Los nmeros naturales 1; 2; 3; : : : . El conjunto de todos ellos se representa por N. Los nmeros enteros : : : ; 2; 1; 0; 1; 2; : : : . cuyo conjunto se representa por Z. Los nmeros racionales que son cocientes de la forma p=q donde p 2 Z; q 2 N, cuyo conjunto representamos por Q. Tambin conoces otros nmeros como p 2, , o el nmero e que no son nmeros racionales y que se llaman, con una expresin no demasiado afortunada, nmeros irracionales. Pues bien, el conjunto formado por todos los nmeros racionales e irracionales se llama conjunto de los nmeros reales y se representa por R. Es claro que NZQR. Aunque los nmeros que no son racionales pueden parecer un poco raros, no merece la pena, al menos por ahora, preocuparse por cmo son estos nmeros; sino que lo realmente interesante es aprender a trabajar con ellos. Lo interesante del nmero p 2 es que su cuadrado es igual a 21. Pues bien, una de las cosas ms llamativas de los nmeros es que a partir de un pequeo grupo de propiedades pueden deducirse casi todas las dems. Vamos a destacar estas propiedades bsicas que, naturalmente, hacen referencia a las dos operaciones fundamentales que se pueden hacer con los nmeros: la suma y el producto. La suma de dos nmeros reales x; y se escribe xCy, representndose el producto por xy. Las propiedades bsicas a que nos referimos son las siguientes. P1 Propiedades asociativas. Para todos x; y; z en R: .x C y/ C z D x C .y C z/ I .xy/z D x.yz/ P2 Propiedades conmutativas. Para todos x; y en R: x C y D y C x I x y D yx P3 Elementos neutros. Hay dos nmeros reales distintos que representamos por 0 y 1 tales que para todo x 2R se verica que: 0 C x D x 1x D x P4 Elementos opuesto e inverso. Para cada nmero real x hay un nmero real llamado opuesto de x, que representamos por x, tal que x C . x/ D 0: Para cada nmero real x distinto de 0, x 0, hay un nmero real llamado inverso de x, que representamos por x 1, tal que xx 1 D 1: 1La seccin Nmeros y medida de magnitudes trata de la aparicin de los nmeros irracionales y su relacin con la medida de magnitudes Universidad de Granada Dpto. de Anlisis Matemtico Prof. Javier Prez Clculo diferencial e integral

28. Axiomas de orden 5 P5 Propiedad distributiva. .x C y/z D xz C y z para todos x; y; z en R. Las propiedades anteriores son de tipo algebraico y, aunque son muy sencillas, a partir de ellas pueden probarse cosas tan familiares como que 0xD0, o que . x/yD .xy/. Vamos a hacerlo. 1.1 Proposicin. Se verican las siguientes igualdades 0x D 0; . x/y D x y; . x/. y/ D xy : Demostracin. Probaremos primero que 0x D 0. Por P5 .0 C 0/x D 0 x C 0 x. Como consecuencia de P3 es 0 C 0 D 0. Obtenemos as que 0 x D 0 x C 0 x. Usando P4, sumamos el opuesto de 0 x a ambos lados de la igualdad 0 x D0 x C0 x y, usando tambin P1 (la propiedad asociativa), obtenemos que 0 x D 0. Probaremos ahora que . x/yD .xy/. Tenemos que xyC. x/yD.xC. x//yD0 yD0. Donde hemos usado P4, P5 y el apartado anterior. La igualdad xy C . x/y D 0 nos dice, por P4, que . x/y es el opuesto de xy. Eso es justamente lo que queramos probar. Finalmente, la igualdad . x/. y/ D xy es consecuencia inmediata de la anterior. El smbolo x debe leerse siempre el opuesto de x y no menos x. La razn es que la palabra menos remite a una idea de orden (si hay menos es porque hay ms) y el signicado de x es puramente algebraico y nada tiene que ver con la idea de orden de la que ni siquiera hemos hablado an. No cometas el error de pensar que x es negativo! Notacin. Suele escribirse x y en vez de x C . y/. Tambin, supuesto y 0, se escribe x=y o x y en vez de x y 1. 1.2.2. Axiomas de orden Los nmeros tienen, adems de las propiedades algebraicas, otras propiedades que suelen llamarse propiedades de orden. Como sabes, los nmeros suelen representarse como puntos de una recta en la que se ja un origen, el 0, de forma arbitraria. Los nmeros que hay a la derecha de 0, se llaman positivos y el conjunto de todos ellos se representa por RC. Las propiedades bsicas del orden son las siguientes. P6 Ley de tricotoma. Para cada nmero real x se verica una sola de las siguientes tres armaciones: x D 0, x es positivo, x es positivo. P7 Estabilidad de RC. La suma y el producto de nmeros positivos es tambin un nmero positivo. 1.2.2.1. Relacin de orden Observa que en P6 se dice, en particular, que el 0 no es positivo, el 0 es el 0! Por otra parte, si x es un nmero positivo, entonces como x C . x/ D 0 y el 0 no es positivo, concluimos, por P7, que x no es positivo. Los elementos del conjunto R D f x W x 2 RCg, es decir, los opuestos de los nmeros positivos, se llaman nmeros negativos. Observa que si z 2 R entonces z 2RC. Universidad de Granada Dpto. de Anlisis Matemtico Prof. Javier Prez Clculo diferencial e integral

29. Desigualdades y valor absoluto 6 1.2 Denicin. Para x; y 2 R escribimos xy (lase x es menor que y) o yx (lase y es mayor que x) para indicar que y x 2 RC, y escribimos x 6 y o yx para indicar que y x 2 RC [ f0g. Notacin. En adelante usaremos las notaciones: RC o DRC [f0g, Ro DR [f0g y R DRnf0g. 1.3 Proposicin. Para todo x 0 se verica que x20. En particular, 10. Demostracin. Probaremos que si x 0 entonces x20. En efecto, si x 0 entonces, por P6, o bien x es positivo o bien x es positivo. Teniendo en cuenta que, como consecuencia de (1.1), es x2 D x x D . x/. x/, concluimos que x2 es positivo. En particular, tenemos que 12 D 10. Acabamos de probar que 10!. Tenemos ahora dos tipos de propiedades en R, las algebraicas P1-P5 y las de orden P6 y P7. En la siguiente seccin estudiamos cmo se relacionan entre s. 1.2.3. Desigualdades y valor absoluto Las propiedades del orden de los nmeros reales son las que nos permiten trabajar con desigualdades. Es muy fcil equivocarse al trabajar con desigualdades. Yo creo que en el ba- chillerato no se le da a este tema la importancia que merece. Fjate que algunos de los conceptos ms importantes del Clculo se denen mediante desigualdades (por ejemplo, la denicin de sucesin convergente o de lmite de una funcin en un punto). Por ello, tan importante como saber realizar clculos ms o menos complicados, es aprender a manejar correctamente desigualdades, y la nica manera de hacerlo es con la prctica mediante numerosos ejemplos concretos. Por supuesto, siempre deben respetarse cuidadosamente las reglas generales que gobiernan las desigualdades entre nmeros y asegurarse de que se usan correctamente. Aparte de tales reglas no hay otros mtodos generales que nos digan cmo tenemos que proceder en cada caso particular. En el siguiente resultado el primer teorema de este curso! se enuncian las propiedades principales del orden de R. Son las que debers usar para trabajar con desigualdades. 1.4 Teorema (Reglas para trabajar con desigualdades). Sean x; y; z nmeros reales. 1. x 6 y e y 6 z implican que x 6 z. 2. x 6 y e y 6 x implican que x D y. 3. Se verica exactamente una de las tres relaciones: xy, x D y, o yx: 4. xy implica que x C zy C z. 5. xy , z0 implican que xzy z. 6. xy , z0 implican que xzy z. 7. xy0 si, y slo si, x e y son los dos positivos o los dos negativos. En consecuencia si x 0 es x20 y, en particular, 10. Universidad de Granada Dpto. de Anlisis Matemtico Prof. Javier Prez Clculo diferencial e integral

30. Desigualdades y valor absoluto 7 8. z0 implica que 1 z0: 9. Supuesto que x e y son los dos positivos o los dos negativos, se verica que xy implica que 1 y1 x : Todas estas propiedades son fciles de probar. Por ejemplo, para probar el punto 5), si xy se tiene que y x0. Si ahora es z0, tambin ser z.y x/0, es decir, zy zx0 o, sea, zxzy. Lo nico que hemos usado aqu ha sido la denicin de los smbolos y y algunas de las propiedades P1-P8. Un estupendo ejercicio para que compruebes tus habilidades es que demuestres todas las armaciones del teorema anterior. 1.2.3.1. La forma correcta de leer las matemticas La forma en que estn escritos los apartados del teorema anterior no me gusta mucho. Voy a decirte por qu y para eso voy a tratar aqu un defecto en el que solemos caer al leer o estudiar matemticas. Se trata de algo que realizamos de una manera mecnica, y por ello no es fcil de evitar, y que limita y condiciona mucho el alcance de lo que entendemos y aprendemos. Para ponerlo de maniesto vamos a considerar un ejemplo. En uno de los ejercicios al nal de esta seccin te propongo que pruebes que la igualdad 1 x C 1 y D 1 x C y (1.1) nunca es cierta. Bien, supongamos que ya lo has probado. Seguidamente te pido que me digas cundo es cierta la igualdad 1 x C y2 C 1 z D 1 x C y2 C z (1.2) Tienes 15 segundos para contestar (y sobran 13). Si? No? Son la misma igualdad! Y, aqu es a dnde yo quera llegar, si no te parecen la misma igualdad es porque ests leyendo los smbolos y no los conceptos, es porque ests leyendo las letras! Claro, me dirs, las letras estn para leerse. De acuerdo, pero hay que ir siempre al signicado de lo que se lee y no quedarse en la supercie de los smbolos. Los smbolos proporcionan mucha comodidad para expresar las ideas matemticas, pero con frecuencia, si no sabemos leer bien su signicado, los smbolos pueden ocultar los conceptos. En el ejemplo anterior, el hecho de que la igualdad (1.1) sea falsa, se expresa de forma correcta diciendo que la suma de dos inversos nunca es igual al inverso de la suma. Por tanto, la igualdad (1.2) jams puede darse pues es la misma igualdad (1.1) en la que se ha sustituido x por x C y2 e y por z. Pero tanto x como x C y2 son nmeros reales cualesquiera e igual ocurre con z e y. Te das cuenta del problema? No es igual retener la idea de que 1 dividido por x ms 1 dividido por y nunca es igual a 1 dividido por x C y que asimilar que la suma de dos inversos nunca es igual al inverso de la suma. En el primer caso los smbolos x e y tienen un protagonismo que no les corresponde, ocultan el concepto: si te jas demasiado en ellos no sabrs reconocer que (1.2) y (1.1) son la misma cosa. Esto que acabamos de ver ocurre en muchas situaciones. Por ejemplo, la mayora de los libros de texto enuncian el teorema de Bolzano como sigue. Universidad de Granada Dpto. de Anlisis Matemtico Prof. Javier Prez Clculo diferencial e integral

31. Desigualdades y valor absoluto 8 Sea f W a; b ! R continua y vericando que f .a/f .b/0. Entonces hay algn c 2 a; b tal que f .c/ D 0. Demasiadas letras f , a, b, c, demasiadas precisiones que lo que hacen es confundir y ocultar el resultado. La forma correcta de leer el enunciado anterior es: toda funcin continua en un intervalo que toma valores positivos y negativos se anula en algn punto de dicho intervalo. Los teoremas deben enunciarse as, a ser posible sin smbolos. Yo procuro hacerlo siempre que el resultado lo permite. No lo he hecho en el teorema (1.4) porque quiero que lo hagas t. Por ejemplo, la propiedad 5) de dicho teorema debe leerse (y escribirse) en la forma: una desigualdad se conserva al multiplicarla por un nmero positivo. 1.5 Estrategia. Traduce los smbolos en conceptos. Cuando leas matemticas presta atencin a los conceptos y no retengas smbolos concretos. 1.6 Denicin. Se dice que un conjunto no vaco de nmeros reales, AR, tiene mximo si hay un nmero M 2 A que es el mayor de todos los elementos de A, es decir, x 6 M para todo x 2 A. Cuando esto ocurre, escribimos M D mKax A. Se dice que un conjunto no vaco de nmeros reales, AR, tiene mnimo si hay un nmero m2A que es el menor de todos los elementos de A, es decir, m 6 x para todo x 2 A. Cuando esto ocurre, escribimos m D mKn A. Valor absoluto El valor absoluto de un nmero x 2R se dene como el nmero: jx j Dx si x0 x si x 6 0 Para trabajar con valores absolutos es til recordar la siguiente denicin. 1.7 Denicin. 2. Para cada nmero z 2RC o , representamos por p z al nico nmero mayor o igual que cero cuyo cuadrado es igual a z. 1.2.3.2. Una funcin aparentemente caprichosa Acabamos de denir la funcin raz cuadrada. Ahora te propongo un juego: voy a ha- certe una pregunta que t vas a responder de forma inmediata diciendo lo primero que se te ocurre. La pregunta es la siguiente: dime el valor de p x2. Por experiencia s que la mayora de las veces la respuesta es x. Pues si esa ha sido tu respuesta te equivocas. Vuelve a leer la denicin anterior y responde ahora de forma meditada. Confo en que ya tengas la respuesta correcta que es jxj. En efecto, se tiene que jxj2 D x2 y, adems, jxj0, por tanto jx j D p x2. S por experiencia que muchos estudiantes tienen la idea de que la raz cuadrada de un nmero real positivo es unas veces positiva y otras veces negativa y muchos creen que puede tomar los dos valores y, en este caso, deben pensar que p x2 D fx; xg. Cosas ms ra- ras se han visto. Toda esta magia lleva a situaciones bastante extraas. Por ejemplo, es sabido que la distancia eucldea entre dos puntos .a; b/ y .c; d/ del plano viene dada porp .a c/2 C .b d/2. En particular, la distancia entre los puntos .a; b/ D .1; 2/ y .c; d/ D 2Con las herramientas que ahora tenemos no podemos probar la existencia de races cuadradas Universidad de Granada Dpto. de Anlisis Matemtico Prof. Javier Prez Clculo diferencial e integral

32. Desigualdades y valor absoluto 9 .1; 3/ es p .1 1/2 C .2 3/2 D p . 1/2 D 1. Una distancia negativa? No, la raz cuadrada no es una funcin caprichosa y su denicin no deja lugar a dudas: la raz cuadrada de un nmero positivo es tambin un nmero positivo. Sabes de dnde procede esta confusin tan extendida? Pues viene de muy atrs, de cuando en la escuela se aprende (realmente se aprende?) a resolver la ecuacin de segundo grado ax2 C bx C c D 0 cuyas soluciones son los nmeros b p b2 4ac 2a (1.3) Ah est el problema: en el confuso smbolo delante de la raz. Es eso lo que lleva a muchos a pensar que las races cuadradas pueden tomar dos valores: uno positivo, que corresponde a la eleccin del sigo C, y otro negativo que corresponde a la eleccin del signo en la expresin (1.3). Lo ms lamentable es que toda esta confusin no es ms que producto de la pereza. Vers, cuando se aprende a resolver la ecuacin de segundo grado ax2 C bx C c D 0 (realmente se aprende?) se obtienen las soluciones b C p b2 4ac 2a ; b p b2 4ac 2a Como esto es largo de escribir en la pizarra, los profesores, por pereza, resumen las soluciones obtenidas en la expresin nica (1.3). Eso explica cosas bastante incomprensibles como, por ejemplo, escribir C p 3 acaso escribes +7? No, sabes que 7 es un nmero positivo y parece totalmente improcedente escribir C7. Entonces, por qu escribir C p 3? Respuesta, porquep 3 es caprichoso: unas veces puede ser positivo y otras negativo. A esta forma de pensar se le llama magia matemtica, est bastante ms extendida de lo que puedes creer y no solamente entre estudiantes. Confo en que te haya quedado claro sin lugar a dudas que p x2 D jxj y que la raz cuadrada no es una funcin caprichosa. La utilidad de la raz cuadrada para trabajar con valores absolutos procede de la siguiente estrategia de procedimiento. 1.8 Estrategia. a) Para probar que dos nmeros positivos son iguales es suciente probar que sus cuadrados son iguales. b) Para probar una desigualdad entre dos nmero positivos es suciente probar dicha desigualdad para sus cuadrados. El enunciado anterior est hecho como a mi me gusta: con palabras y sin smbolos. Ponien- do smbolos, lo que se dice en el enunciado es que: Dados a; b 2 RC o para probar que aDb es suciente probar que a2 Db2 y para probar que ab es suciente probar que a2b2. Todo lo dicho es consecuencia de que b2 a2 D .b a/.b C a/ y se tiene que b C a0. Geomtricamente, jxj representa la distancia de x al origen, 0, en la recta real. De manera ms general: jx yj D distancia entre x e y representa la longitud del segmento de extremos x e y. Universidad de Granada Dpto. de Anlisis Matemtico Prof. Javier Prez Clculo diferencial e integral

33. Ejercicios propuestos 10 1.9 Teorema (Propiedades del valor absoluto). Para x; y 2 R se verica que: i) jxj 6 y es equivalente a y 6 x 6 y. ii) jx yj D jxjjyj. iii) jx C yj 6 jxj C jyj y la igualdad se da si, y slo si, xy0 desigualdad triangular. iv) jjxj jyjj 6 jx yj y la igualdad se da si, y slo si, xy0. Demostracin. La primera armacin es consecuencia inmediata de la denicin de valor absoluto. Para probar ii), iii) y iv) usaremos la estrategia (1.8). ii) Tenemos que jxyj2 D .xy/2 D x2y2 D jxj2jyj2 D .jxjjyj/2. iii) Tenemos que jx C yj2 D.xCy/2 Dx2 C2xyCy2 Djxj2 C2xyCjyj2 6jxj2 C2jxyjCjyj2 D.jxjCjyj/2 La igualdad se da si, y slo si, xy D jxyj, es decir, xy0. iv) Tenemos que jjxj jyjj2 D x2 2jxyj C y2 6 x2 2xy C y2 D .x y/2 D jx yj2 La igualdad se da si, y slo si, xy D jxyj, es decir, xy0. Te recuerdo que debes leer de forma correcta las propiedades anteriores: no te jes en las letras sino en los conceptos. La propiedad ii) debes leerla el valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores absolutos. Por su parte, la desigualdad triangular dice dos cosas: i) El valor absoluto de una suma es menor o igual que la suma de los valores absolutos. ii) El valor absoluto de una suma es igual a la suma de los valores absolutos si, y slo si, todos los sumandos son positivos o todos todos los sumandos son negativos. 1.2.4. Ejercicios propuestos 1. Sabes por qu no se puede dividir por 0? 2. Qu quiere decir que un nmero no es racional? Demuestra que p 2 no es racional. 3. Sabiendo que a C bc C d; ab; cdI se verica necesariamente alguna de las desigualdades: ac; ad; bc o bd ? Dar una prueba o un contraejemplo en cada caso. Universidad de Granada Dpto. de Anlisis Matemtico Prof. Javier Prez Clculo diferencial e integral

34. Ejercicios propuestos 11 4. Sea x un nmero real. Estudia si cada una de las desigualdades x2x y x3x2 es consecuencia de la otra. 5. Calcula para qu valores de x se verican las desigualdades siguientes. i) 2x 3 x C 21 3 ii) 1 x C 1 1 x0 iii) x2 5x C 9x iv) x3.x 2/.x C 3/20 v) x2 .a C b/x C ab0 vi) 3.x a/a2x 3 a33.x a/x2 6. Prueba las siguientes desigualdades: a) 0x C y x y1 siempre que 0x1; 0y1: b) 1 x C 1 a C b x1 a C 1 b siempre que 0axb: 7. Prueba que cualesquiera sean los nmeros reales positivos a0 y b0 se verica que a 2.a C b/ p b1 p b 1 p a C b 8. Calcula para qu valores de x se verican las siguientes desigualdades. i) jx 5jjx C 1j ii) jx 1jjx C 2j D 3 iii) jx2 xj1 iv) jx y C zj D jxj jz yj v) jx 1j C jx C 1j1 vi) jx C y C zj D jx C yj C jzj vii) jxj jyj D jx yj viii) jx C 1jjx C 3j 9. Supuesto que s tu vx y donde t; v; y 2 RC, prueba que s ts C u C x t C v C yx y . Generaliza este resultado. 10. Prueba cada una de las siguientes desigualdades y estudia, en cada caso, cundo se da la igualdad. a) 2x y 6 x2 C y2: b) 4x y 6 .x C y/2: c) x2 C x y C y20: d) .a2 C a C 1/.b2 C b C 1/.c2 C c C 1/27abc donde a0; b0; c0. Sugerencia. Para probar a) considrese .x y/2. Las dems desigualdades pueden deducirse de a). 11. Demuestra todos los apartados del teorema (1.4) y enncialos con palabras. Universidad de Granada Dpto. de Anlisis Matemtico Prof. Javier Prez Clculo diferencial e integral

35. Ejercicios resueltos 12 12. Sean x e y nmeros distintos de cero. Prueba que las igualdades 1 x C y D 1 x C 1 y ; q x2 C y2 D x C y son falsas. 13. Comprueba que .x C 1/ 1 2 .2x C 1/ 2 D x 1 2 .2x C 1/ 2 . Por tanto, extrayendo races cuadradas, se deduce que .x C1/ 1 2 .2x C1/Dx 1 2 .2x C1/, esto es x Dx C1 y, por tanto, 0 D 1. Dnde est el error? 14. Calcula los nmeros reales x que verican cada una de las igualdades p x C 1 p x 1 D 2; 1 p x 2 1 p x D 2 3 Comprueba las soluciones obtenidas. 15. Prueba que jxj C jyj C jzj 6 jx C y zj C jx y C zj C j x C y C zj. 16. Prueba que si m es un nmeros natural que no es el cuadrado de ningn nmero natural, es decir, m n2 para todo n 2 N, entonces se verica que p m es un nmero real no racional. Sugerencia. Usa la descomposicin de m en factores primos. 17. Justica las siguientes armaciones. a) La suma de un nmero racional y un nmero irracional es un nmero irracional. b) El producto de un nmero racional no cero por un nmero irracional es un nmero irracional. c) La suma y el producto de dos nmeros irracionales puede ser racional o irracional. d) Los nmeros p 2 C p 3, p 6 p 2 p 3 y p 5 C 2 3 p 5 C 4 son irracionales. 1.2.5. Ejercicios resueltos Antes de ver la solucin de un ejercicio debes intentar resolverlo

calculo diferencial integral_func_una_var

Business