calculo diferencial final iii

Nombre de la materiaCalculo Diferencial e Integral

Nombre de la LicenciaturaIngeniería en Sistemas Computacionales

Nombre del alumnoJose Luis Aguilar Avila

Matrícula000019760

Nombre de la TareaModelos de Integración

Nombre del TutorJulieta Del Valle Salazar

Fecha15-Agosto-2015

TRABAJO FINAL III

Calculo Diferencial e Integral - Modelos de Integración

I. Desarrollar un breve resumen de los temas:

2. La integral

Este tema inicia con el estudio de la integral, concepto fundamental de lo que se conoce como cálculo infinitesimal, que alcanzó su auge y desarrollo durante el siglo XVII; primordialmente con dos matemáticos coetáneos, íntimamente ligados a los inicios del cálculo infinitesimal, el inglés Isaac Newton (1642-1727) y el alemán Gottfried W. Leibniz (1646-1716); si bien hubo otros matemáticos que de una u otra forma trabajaron este tema, como Kepler (1571-1630), Fermat (1601-1665), Cavalieri (1598-1647) e incluso el griego Arquímedes (288-213 a.C.), quien utilizó un método para el cálculo de áreas que se aproxima rudimentariamente al cálculo integral.

Así como la resta es la operación contraria a la suma; el cálculo integral es la operación inversa al cálculo diferencial.

En el cálculo integral se emplean las diferenciales, de modo que a la derivada de una función se le agrega el factor dx.

d f (x) = f’ (x) dx

2.1.1 Fórmulas de integración:

2

TRABAJO FINAL III


2.2 Integral indefinida

Concepto de función primitiva. Se sabe que la derivada de x2 es 2x. Pues bien, x2 es una

función primitiva de 2x, asimismo, la derivada de sen x es cos x, sen x es una función primitiva

de cos x.

Definición. De una manera general, una función primitiva de una función f(x) es otra función

F(x) cuya derivada es f(x) y cuya diferencial es, por lo tanto, f (x) dx .

F '(x) = f (x) y dF(x) = f (x)dx

Observación. Una función f(x) tiene un número infinito de funciones primitivas, pero dos

cualesquiera de ellas, F1 x F2 (x) difieren en una constante, es decir, F2 (x) = F1 (x) + C.

Toda vez conocida la primitiva de una función se procederá a ver el concepto de integral

indefinida.

Definición. Al conjunto de todas las funciones primitivas de una función f(x) se le llama integral indefinida de f(x) dx.

Para representar la integral indefinida se usa el signo ∫ que tiene su origen en la inicial de la palabra suma.

La integración indefinida es la operación inversa de la derivación o diferenciación; de aquí se deduce:

• La derivada de una integral es el integrando.• La integral de la diferencial de una función es igual a la función más una constante.

3

TRABAJO FINAL III


2.3 Integral definidaEn la sección anterior hemos estudiado las primitivas de una función, descubriendo distintos procedimientos para realizar su cálculo; es decir, se han encontrado las integrales indefinidas de funciones sencillas. Sin embargo, no se ha especificado ni su significado ni su utilidad; los cuales se presentarán en esta sección; para tal efecto se dará la interpretación que el matemático alemán Bernhard Riemann dio a conocer en el siglo XIX.

2.3.1 Problema del cálculo de áreaEl cálculo de área de figuras como el cuadrado, el rectángulo, el rombo, etc., además de

sencillo tiene un claro significado: el área de una figura es un número que coincide con el

número de cuadrados de lado, uno que recubre exactamente la figura en cuestión. Para tal

efecto se tiene un concepto intuitivo de área que consta de las tres propiedades siguientes:

El área de un rectángulo es el producto de su base por su altura.

El área de una región que consta de rectángulos que no se traslapan pero que

incluso pueden tener límites comunes, es la suma de las áreas de los rectángulos

separados.

Si una región 1 está contenida en la región 2, entonces el área de la región 1 no es

mayor que el área de la región 2.

Se puede cuestionar entonces, si cualquier figura tiene área y cómo se calcula. La idea es

aproximar la región uniendo un gran número de rectángulos delgados que no se traslapen.

Entonces el área de la región que se desea queda aproximada por la suma de las áreas de los

rectángulos. Si se emplean cada vez más y más rectángulos con bases más y más reducidas,

se puede esperar que la suma de sus áreas se acerque más y más al área de la región dada.

4

TRABAJO FINAL III


2.3.2 Teorema fundamental del cálculo

Teorema. Si y = f(x) es una función continua en el intervalo [a, b] y derivable en (a, b) y F(x) una función definida en [a, b], derivable y primitiva de f(x), es decir, f ' (x) = f(x) para cualquier x ∈ (a, b), entonces:

Resulta obligatorio observar que para resolver una integral definida de una función continua basta con encontrar una primitiva de la función, sustituir en ella los límites de integración superior e inferior, respectivamente, y restar ambos valores.

También conviene observar que como F(b) – F(a) es un número, es decir, no depende de la variable x, y que si F(x) es una primitiva de f(x), F(t) es una primitiva de f(t), etc., luego entonces, todas las expresiones siguientes tienen el mismo significado:

3. Métodos de integración

Integración por partes se refiere a descomponer una integral en una suma de un producto de funciones más una más sencilla que la inicial.

La descomposición en fracciones simples de un cociente de polinomios resulta en una suma de fracciones, donde las integrales se hallan más fácilmente.

Para resolver integrales que dependen de un número natural n teniendo el valor de la integral que depende del número anterior o ante-anterior, se utilizan las fórmulas de reducción.

3.1 Integración por sustitución.

En muchos casos, sustituyendo el integrando en función de una nueva variable, se obtiene una diferencial que se integra más fácilmente por ser una integral inmediata, o diferir de ella por una constante. A este método se le llama integrar por sustitución.

5

TRABAJO FINAL III


Ejemplo:

Sustituyendo en la integral:

Comprobación:

3.2 Integración por partes

Este método permite resolver un gran número de integrales no inmediatas y consiste en lo siguiente:

Al estudiar las diferenciales se vio que: d(uv) = udv + vdu y despejando udv, queda: udv = d(uv) – vdu e integrando:

Que es la fórmula del método de integración por partes.

Se utiliza al poner el integrado en la forma udv y haciendo que resulte fácil de calcular v y la integral de vdu.

La elección de quién es u y quién dv en el integrando es arbitraria y es acertada en el caso de que la integral del segundo miembro resulte más sencilla que la dada.

6

TRABAJO FINAL III


No hay, y este es el mayor problema de este procedimiento, una regla fija para hacer las identificaciones más convenientes. La resolución de un buen número de problemas es el mejor camino para adquirir la técnica necesaria.

Ejemplo:

Calcula la integral ∫ xsen xdx

Solución:

Sea u = x dv = sen xdx,

Entonces: v = ∫sen xdx = −cos x, du = dx

Aplicando la fórmula de integración por partes se tiene que:

Nota. Se podría haber elegido u = sen x dv = xdx

3.3 Integración de funciones trigonométricas.

Integración de funciones trigonométricas directas. En este caso las funciones seno y coseno se consideran inmediatos de las fórmulas de derivación respectivas, esto es:

∫sen xdx = −cos x + C (inmediata)

∫cos xdx = sen x + C (inmediata)

Ejemplo:

Obtén la integral ∫ tan xdx

De las identidades trigonométricas se tiene:

7

TRABAJO FINAL III


Por consecuencia para la integral:

Por consecuencia para la integral ∫cot xdx = ln (sen x)+ C

3.3.1 Integración de funciones trigonométricas inversas.

La integración de funciones trigonométricas inversas se mostrará utilizando la integración por partes, aunque también se pueden tomar como ejemplos de este método, así que:

Para la integral ∫ arc sen xdx. Aplicando la integración por partes y haciendo:

u = arc sen x dv = dx

Resulta:

8

TRABAJO FINAL III


Entonces la integral:

Se obtiene de un modo análogo al anterior.

Ahora para la integral ∫arc tan x dx haciendo: u = arc tan x dv = dx

Se tiene:

Aplicando la fórmula de integración por partes se tiene:

9

TRABAJO FINAL III


3.3.2 Otros tipos de integrales trigonométricas.

Esta sección se abordará únicamente con ejemplos, así que veamos algunos de la integración

de expresiones en que el integrando es el producto de la potencia de una función trigonométrica

por su diferencial.

Ejemplo:

Obtén las integrales:

a) sen2 x cos xdxb) Tan3 xsec2 xdx

10

TRABAJO FINAL III


Solución:

3.4 Integración por sustituciones trigonométricas.

Existen integrales que se resuelven con una sustitución trigonométrica, cuyas formas generales

se mostrarán a continuación:

11

TRABAJO FINAL III


12

TRABAJO FINAL III


Asimismo, para las Integrales de la forma se hace la sustitución u = a sec z; du = a sec z tan z dz y se resuelve de manera análoga a la anterior.

13

TRABAJO FINAL III


3.5 Integración de fracciones racionales.

Ahora ofreceremos los elementos para calcular las primitivas de f (x) / g (x), donde f (x) y g (x) son polinomios con coeficientes reales y g (x) se puede expresar como un producto de factores lineales y cuadráticos. Si el grado de f (x) es mayor que el de g(x), la división permite escribir la fracción f (x) / g (x) en la forma:

f (x) / g(x) = q (x) + r (x) / g (x)

Siendo q(x) el cociente y r (x) el residuo. Como el cálculo de una primitiva de q(x) es fácil, el problema de hallar una primitiva de f (x) / g (x) se reduce a hallar una primitiva del cociente de polinomios cuyo numerador es de menor grado que el del denominador.

Por ejemplo, el cociente se puede expresar en la forma:

Suponiendo que se quiere hallar una primitiva de f (x) / g (x), siendo el grado de f (x) menor que el grado de g(x) y g(x) un producto de factores lineales. El caso más simple se presenta cuando estos factores lineales son todos distintos y de la forma x – a. Más adelante se mostrará que en estas condiciones, si g(x) es de la forma c(x –a1)(x – a2)...(x – an), entonces el cociente f (x) / g (x) se puede escribir en la forma:

Siendo A1, A2,...,An, constantes. El término del segundo miembro de (2) se llama descomposición en fracciones parciales del término del primer miembro. El procedimiento más sencillo para encontrar Ai es multiplicar la identidad (2) por el denominador g(x) para obtener la identidad:

Uno de los procedimientos es igualar los coeficientes correspondientes de los dos miembros de (3). Otro es remplazar por x los valores a1, a2,...,an. Otro es una combinación de los dos anteriores:

14

TRABAJO FINAL III


Por ejemplo:

Multiplicando por el denominador del primer miembro toda la igualdad

y evaluando en:

Entonces:

Los factores lineales repetidos se tratan como si fueran factores lineales distintos. La diferencia está en que si (x – a) es un factor lineal que se repite k veces en el denominador, entonces, en vez de tener un solo término en el desarrollo en fracciones parciales correspondientes a x – a se tienen k términos, cada uno de los cuales corresponde a una potencia de (x – a) desde 1 hasta k:

con B1, B2,...,Bk, constantes. Si hay factores lineales distintos de los cuales alguno o todos se repiten, entonces los factores lineales distintos se tratan de la misma manera y en forma independiente y los términos resultantes se suman:

Multiplicando por el denominador del primer miembro, se tiene

15

TRABAJO FINAL III


Al sustituir en la expresión resultante primero x = 1 y después x = 2, se obtiene C = –1, E = 2. Para encontrar las otras variables se desarrollan los binomios y se comparan coeficientes. Así tenemos que B = –2, D = 1 y A = –1 y entonces:

Factores cuadráticos. Por factor cuadrático real de un polinomio g(x) se entiende una expresión de la forma ax2 + bx + c si su discriminante b2 –4ac < 0; entonces, no se puede descomponer en producto de dos factores lineales reales. Por ejemplo, x2 –3x + 4 no se puede factorizar en factores lineales reales.El tratamiento de los factores cuadráticos es parecido al de los factores lineales, excepto en que los numeradores de las fracciones racionales son polinomios de primer grado en vez de constantes.El caso más simple es hallar una primitiva del cociente f(x) / g(x) de polinomios reales, con el grado de f(x) menor que el grado de g(x) y g(x) contiene factores cuadráticos.Este tipo de primitivas da lugar a dos casos: a) f(x) / g(x), con f(x) = cg‘ (x), c una constante, yb) f(x) / g(x), con el grado de f(x) menor que el grado de g(x) y no se cumple a).

Para hallar las primitivas del cociente f(x) / g(x), siendo el grado de f(x) menor que el grado de g(x) y g(x) un producto de factores cuadráticos distintos,

En este caso la fracción f(x) / g(x) se puede escribir en la forma

con A1, B1, A2, B2,..., An, Bn constantes. Para hallar las constantes Ai, Bi se emplean técnicas similares a las indicadas anteriormente:

16

TRABAJO FINAL III


Para hallar las constantes se multiplica la igualdad por el denominador del primer miembro; se identifican los coeficientes correspondientes de las mismas potencias de x y se resuelve el sistema resultante donde B = 6, D = –5, C = 0 y A = 2. Entonces:

Si los factores cuadráticos se repiten se manejan en forma similar al de los factores lineales repetidos: si x2 + bx + c es un factor cuadrático que se repite k veces en el denominador, entonces el término de (5), que contiene únicamente el término x2 + bx + c, se remplaza por k términos de la forma:

Multiplicando por el denominador del primer miembro, identificando coeficientes y resolviendo el sistema resultante, se encuentra que A = 1, B = –3, C = –4 y D = 10, entonces:

17

TRABAJO FINAL III


Resuelve las siguientes integrales.

∫ (3 x+2)12 dx =

u=3x+2 v=3

.13

∫ u12 du =

13

u

32

32

+ c

= 29

u32 + c

= 29

√u3 + c

=29

√3 x+2❑ + c

∫u dv = uv – ∫v du (formula)

u= ln x , dv =dx du= 1x

dx

v= ∫ dv= ∫ dx= x

Sustituyo:

∫ Ln x dx = (Ln x) x - ∫Xx

dx

= x Ln x – x + c

18

TRABAJO FINAL III


6 x3

3 - 8 x

2

2 + 4x

2x3 - 4x2 + 4x + c

U=( x3+9) u'= (3 x2) = x3

3x2 = 13

.13

∫ (3 x2+9)5 dx

.13

∫ u5 du = 13

(u6

6) + c =

118

u6 + c

Sustituyo: = 1

18 (x3+9)6 + c

U= 2x2−4 u'=4 x x

4 x

.14

∫4x (2 x2−4)12 dx

.14

∫ u12 du =

14

(u

32

32

) + c

19

TRABAJO FINAL III


= 2

12 u

32 + c

=16

(2 x2−4)32 + c

= 16

√(2 x2−4 )3 + c

Menciona dos ejemplos de aplicación de las integrales en el campo de la ingeniería

1.- Calculo de Áreas.

En multitud de problemas que se presentan en Ciencia y Tecnología es preciso calcular el área

encerrada por varias curvas.

Este problema pasa por encontrar el área limitada por una curva y = f(x), el eje OX y las

abscisas x = a, x = b.

20

Área (Trapecio rectilíneo) =

= f(a) + f(b)

. (b – a)

Área (Trapecio curvilíneo)

f(a) + f(b)

. (b – a)

Error

TRABAJO FINAL III


2.- Volúmenes de cuerpos de revolución:

Los sólidos de revolución son sólidos que se generan al girar una región plana alrededor de ejes. Por ejemplo: el cono es un sólido que resulta al girar un triángulo recto alrededor de uno de sus catetos, el cilindro surge al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados.

El volumen de un cono y de un cilindro se puede calcular por medio de fórmulas geométricas. Pero existen otros sólidos de revolución como la paraboloide donde no se dispone de una fórmula para hallar su volumen. La paraboloide surge al girar una región parabólica alrededor de una recta.

Cono Paraboide

21

TRABAJO FINAL III


Bibliografía:

La integral definida. [Página web].

http://www.vitutor.com/integrales/definidas/integral_definida.html

La integral. [Página web].

http://dieumsnh.qfb.umich.mx/integral/

La integral

http://gc.scalahed.com/buscador/recurso/mostrar/13191

Aplicaciones de la integral II


22



http://dieumsnh.qfb.umich.mx/integral/

http://www.vitutor.com/integrales/definidas/integral_definida.html

calculo diferencial final iii

Documents