Objetivos del proyecto

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Objetivos del proyecto

ContenidoRESUMEN.....................................................................................................................................4

INTRODUCCIÓN:..........................................................................................................................5

CAPÍTULO 1..................................................................................................................................7

1. Planteamiento del Problema..................................................................................................7

1.1. Situación y Conflicto........................................................................................................7

1.2. Causas y Consecuencias................................................................................................7

1.3. Delimitación del problema...............................................................................................7

1.4. Formulación del problema...............................................................................................8

1.5. Objetivos.........................................................................................................................8

Objetivo general.......................................................................................................................8

Objetivos específicos.................................................................................................................8

1.6. Justificación e Importancia..............................................................................................9

CAPÍTULO 2................................................................................................................................10

MARCO TEÓRICO..................................................................................................................10

Nociones básicas del cálculo diferencial....................................................................................10

Noción de derivada.................................................................................................................11

Derivación implícita..............................................................................................................12

Derivada logarítmica............................................................................................................13

Cálculo de derivadas ordinarias utilizando derivadas logarítmicas......................................14

Derivadas en polares...........................................................................................................15

CAPÍTULO 3................................................................................................................................17

3.1. LA METODOLOGÍA......................................................................................................17

3.2. Diseño de la Investigación............................................................................................18

3.3. Modalidad de la Investigación.......................................................................................18

3.4. Tipos de Investigación..................................................................................................18

3.5. Resultados de la encuesta............................................................................................19

Edad.....................................................................................................................................19

Estudios................................................................................................................................19

¿Piensa usted que el estudio del cálculo diferencial es útil en la vida profesional de un ingeniero?.............................................................................................................................20

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Objetivos del proyecto

¿Cree usted que la baja autoestima de los estudiantes influye en su desempeño y aprendizaje del Cálculo diferencial?.....................................................................................20

¿Cuántas horas por día le dedica a esta materia?..............................................................21

¿En el transcurso de sus estudios ha recibido nociones básicas sobre el cálculo diferencial?...........................................................................................................................21

En caso de responder SI a la pregunta anterior usted ¿Qué nivel de dificultad le asignaría?..............................................................................................................................................21

Elaboración de Helados [¿El cálculo diferencial tiene un importante campo de aplicación en?].......................................................................................................................................22

Fabricación de Chips [¿El cálculo diferencial tiene un importante campo de aplicación en?]..............................................................................................................................................22

Una reacción Oxido - Reducción [¿El cálculo diferencial tiene un importante campo de aplicación en?].....................................................................................................................22

Administración de las compuertas de los circuitos integrados [¿El cálculo diferencial tiene un importante campo de aplicación en?]..............................................................................22

Digitalización de imágenes, sonidos y vídeos [¿El cálculo diferencial tiene un importante campo de aplicación en?].....................................................................................................22

¿Piensa usted que un Politécnico recién graduado Puede identificar un Problema Existente en una Maquinaria y Pueda resolverlo por Métodos de Cálculo Diferencial?......................22

Bibliografía...............................................................................................................................23

ANEXOS..................................................................................................................................23

IlustracionesIlustración 1.- Isaac Barrow...........................................................................................................3Ilustración 2.- Pendiente de una gráfica en un punto....................................................................4Ilustración 3.- Elaboración de Herramientas.................................................................................5Ilustración 4.- Análisis de Ondas con el Cálculo Diferencial.......................................................11

EcuacionesEcuación 1.- Problema de la convergencia de la serie.................................................................6Ecuación 3: derivación implícita..................................................................................................11Ecuación 4: Ejemplo 1.................................................................................................................11Ecuación 5: Ejemplo 2.................................................................................................................11Ecuación 2.- Definición de la derivada........................................................................................11Ecuación 6: Derivada logarítmica................................................................................................11

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Objetivos del proyecto

Ecuación 7: Propiedad 1 de DL...................................................................................................11Ecuación 8: Propiedad 2.............................................................................................................11Ecuación 9: Propiedad 3.............................................................................................................11Ecuación 10; Propiedad 4...........................................................................................................11Ecuación 11: Propiedad 5...........................................................................................................11Ecuación 12: Ejemplo 3.1............................................................................................................11Ecuación 13:Ejemplo 3.2.............................................................................................................11

TablasTabla 1.- Tabla de derivadas.......................................................................................................10Tabla 2.- Cambio de dirección de una función según el orden de la derivada...........................11

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RESUMENEl maestro de Newton, Isaac Barrow, conocía ya la existencia de la relación entre la tangente en un punto a una curva (derivada) y el área de una región limitada de una curva (Integral Definida), pero fueron Newton y Leibniz los que comprendieron la importancia de esa relación. La derivada se utilizó, en principio, para el cálculo de la tangente en un punto, y pronto se vió que también servía para el cálculo de velocidades, y en consecuencia para el estudio de la variación de una función. Desde los primeros pasos en el cálculo diferencial, de todos es conocido que dada una función y = f(x), su derivada, en forma de diferencial de una función de una sola variable, es también una función que se puede encontrar mediante ciertas reglas como el Teorema Fundamental del Cálculo Integral, que nos muestra la vinculación entre la derivada de una función y la integral de dicha función; si F(x) es la función integral que debe ser integrable en el intervalo.

Ilustración 1.- Isaac Barrow

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INTRODUCCIÓN:

CÁLCULO DIFERENCIAL:

El cálculo diferencial es un método universal, se puede aplicar en física, química, biología, contabilidad, etc. En cualquier proceso que puede ser traducido a una ecuación, ahí puedes aplicarlo.

Su aplicación más conocida es la determinación de los máximos y mínimos de una función (variable dependiente en una ecuación), en otras palabras sirve para determinar: las coordenadas del punto más alto o más bajo de una curva (o ambos), es decir, donde la pendiente es cero.

Ilustración 2.- Pendiente de una gráfica en un punto

En Ingeniería:

Se puede crear un modelo de ecuaciones diferenciales para proponer un modelo de crecimiento poblacional, crecimiento de activos de empresas, comportamiento de partes mecánicas de un automóvil, y muchas aplicaciones más en ingeniería y física.

El cálculo diferencial tiene un importante campo de aplicación en esta área:

● Fabricación de chips (obleas de microprocesadores)● Miniaturización de componentes internos.● Administración de las compuertas de los circuitos integrados.● Compresión y digitalización de imágenes, sonidos y videos.● Han coadyuvado a aumentar la inteligencia artificial.

El cálculo diferencial se aplica a todo, por comenzar a dar ejemplos, se aplica a la velocidad de los coches ya que la velocidad es la derivada del espacio con respecto al tiempo, la aceleración es el cambio de velocidad .

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Es común en todas las ramas de la ingeniería el uso del cálculo integral y diferencial, ya que su uso facilita la comprensión de fenómenos que necesitan una determinación numérica, ya sea para el cálculo de áreas, velocidades, resistencia y fuerzas distribuidas

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Ilustración 3.- Elaboración de Herramientas

Objetivos del proyecto

CAPÍTULO 1

1. Planteamiento del ProblemaEn la sociedad la mayoría de la población piensa que el estudio del cálculo diferencial es una pérdida de tiempo, creando cierto tipo de rechazo a esta materia por el estudiante universitario, motivo el cual es necesario mostrar las diversas aplicaciones que tiene para la vida profesional de un ingeniero y así hacer más amena la materia para el estudiante

1.1. Situación y ConflictoEl cálculo diferencial fue desarrollado por los trabajos de Fermat, Barrow, Wallis y Newton entre otros. Así en 1711 Newton introdujo la fórmula de interpolación de diferencias finitas de una función f(x); fórmula extendida por Taylor al caso de infinitos términos bajo ciertas restricciones, utilizando de forma paralela el cálculo diferencial y el cálculo en diferencias finitas. El aparato fundamental del cálculo diferencial era el desarrollo de funciones en series de potencias, especialmente a partir del teorema de Taylor, desarrollándose casi todas las funciones conocidas por los matemáticos de la época. Pero pronto surgió el problema de la convergencia de la serie, que se resolvió en parte con la introducción de términos residuales, así como con la transformación de series en otras que fuesen convergentes. Junto a las series de potencias se incluyeron nuevos tipos de desarrollos de funciones, como son los desarrollos en series asintóticas introducidos por Stirling y Euler. La acumulación de resultados del cálculo diferencial transcurrió rápidamente, acumulando casi todos los resultados que caracterizan su estructura actual

Ecuación 1.- Problema de la convergencia de la serie

1.2. Causas y ConsecuenciasCon frecuencia los padres y docentes no confían en su juicio cuando tratan de evaluar el desarrollo y aprendizaje de su hijo, ni saben a quién preguntar o a dónde acudir cuando ven que la conducta del niño es notablemente diferente a la que manifiestan la mayoría de los niños de su edad.

1.3. Delimitación del problemaDefinir las dificultades o problemas de aprendizaje es adentrarse en un terreno altamente debatido, esto es debido a que los especialistas no han logrado llegar a un acuerdo universal, sin embargo, en términos generales: "este concepto se utiliza para describir la condición que padece la persona e interfiere con su habilidad para

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almacenar, procesar o producir la información deseada, traduciéndose en dificultades significativas para escuchar, hablar, leer, escribir, razonar, realizar con éxito tareas matemáticas o relacionarse con los demás

1.4. Formulación del problema

¿El ingeniero utilizará el Cálculo Diferencial en su vida profesional?

1.5. Objetivos

Objetivo general * Dar a conocer la importancia de la aplicación del cálculo diferencial en la vida profesional de un ingeniero y los efectos que esto tiene en el desarrollo de la sociedad

Objetivos específicos

* Demostrar con datos históricos y cuantitativos del porqué el cálculo diferencial ha sido un factor de evolución científica en nuestra sociedad estos últimos años

* Mostrar las aplicaciones más comunes del cálculo en la vida diaria

* Explicar las nociones básicas teóricas en las que se sustenta.

* Evaluar a través de una encuesta la opinión que tiene determinada población sobre la utilidad del cálculo

* Presentar los datos cuantitativos obtenidos de las encuestas en gráficos estadísticos

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1.6. Justificación e Importancia

n la actualidad, y desde hace siglo, las matemáticas han sido algo esencial para la vida, y así mismo el desarrollo del ser humano, y de la sociedad en conjunto.Las matemáticas se van jerarquizando, dependiendo su grado de dificultadE

Por lo que se dividen en ramas, como lo son, la geometría, el álgebra, la trigonometría, la estadística, las matemáticas en general, y algo muy peculiar llamado calculo, tanto integral como diferencial.Al escuchar esta última rama de las matemáticas, se piensa que es algo muy complejo, lo cual no tiene ninguna aplicación en la vida diaria, pero al profundizar más en el tema, se encontrara que es todo lo contrario.El cálculo diferencial, se puede aplicar en la economía, la administración, la física, etc. Los principales elementos que se utilizan en esta rama de las matemáticas, son las funciones, las derivadas, los sistemas de ecuaciones, la pendiente, entre otros; que estos a su vez en conjunto ayudan a realizar grandes calculo en importantes empresas, o simples operaciones en la economía familiar.

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CAPÍTULO 2MARCO TEÓRICO

Nociones básicas del cálculo diferencialEl cálculo diferencial es una parte del análisis matemático que consiste en el estudio de cómo cambian las funciones cuando sus variables cambian. El principal objeto de estudio en el cálculo diferencial es la derivada. Una noción estrechamente relacionada es la de diferencial de una función.

Desde el punto de vista matemático de las funciones y la geometría, la derivada de una función en un cierto punto es una medida de la tasa en la cual una función cambia conforme un argumento se modifica. Esto es, una derivada involucra, en términos matemáticos, una tasa de cambio. Una derivada es el cálculo de las pendientes

instantáneas de en cada punto . Esto se corresponde a las pendientes de las tangentes de la gráfica de dicha función en sus puntos (una tangente por punto); Las derivadas pueden ser utilizadas para conocer la concavidad de una función, sus intervalos de crecimiento, sus máximos y mínimos.

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Noción de derivada

Las derivadas se definen tomando el límite de la pendiente de las rectas secantes conforme se van aproximando a la recta tangente.Es difícil hallar directamente la pendiente de la recta tangente de una función porque sólo conocemos un punto de ésta, el punto donde ha de ser tangente a la función. Por ello, aproximamos la recta tangente por rectas secantes. Cuando tomemos el límite de las pendientes de las secantes próximas, obtendremos la pendiente de la recta tangente.

Tabla 1.- Tabla de derivadas

Para obtener estas pendientes, tomemos un número arbitrariamente pequeño que llamaremos h. h representa una pequeña variación en x, y puede ser tanto positivo como negativo. La pendiente de la recta entre los puntos

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Ecuación 2.- Definición de la derivada

Objetivos del proyecto

Derivación implícita

Funciones explícitas y funciones implícitasEn los cursos de cálculo la mayor parte de las funciones con que trabajamos están expresadas en forma explícita, como en la ecuación

Dónde la variable y está escrita explícitamente como función de x. Sin embargo, muchas funciones, por el contrario, están implícitas en una ecuación. La función y = 1 / x, viene definida implícitamente por la ecuación

Si queremos hallar la derivada para esta última ecuación, lo hacemos despejando y, así, y = 1 / x = x -1, obteniendo su derivada fácilmente:

Ecuación 3: derivación implícita

El método de regla de la cadena para funciones implícitasYa sabemos que cuando se derivan términos que solo contienen a x, la derivación será la habitual. Sin embargo, cuando tengamos que derivar un término donde aparezca la y, será necesario aplicar la regla de la cadena.Ejemplo 1:

Aquí las variablescoinciden : se derivanormalmente .Ecuación 4: Ejemplo 1

Ejemplo 2:Aquí las variablesno coinciden :se usareglade la cadena

Ecuación 5: Ejemplo 2

.

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Derivada logarítmicaEn el ámbito de las matemáticas, específicamente en el cálculo y el análisis complejo, la derivada logarítmica de una función f queda definida por la fórmula

Ecuación 6: Derivada logarítmica

Donde f ′ es la derivada de f.Cuando f es una función f(x) de una variable real x, y toma valores reales, estrictamente positivos, esta es entonces la fórmula para (log f)′, o sea, la derivada del logaritmo natural de f, como se deduce aplicando directamente la regla de la

Propiedades básicasMuchas propiedades del logaritmo real también son válidas para la derivada logarítmica, aún cuando la función no toma valores de reales positivos. Por ejemplo, dado que el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores, se tiene que

Ecuación 7: Propiedad 1 de DL

Por lo que para funciones reales positivas, la derivada logarítmica de un producto es la suma de la derivada logarítmica de los factores. También es posible aplicar la regla de

Leibniz para la derivada del producto y así obtener Ecuación 8: Propiedad 2

Por lo tanto, es cierto que para toda función que la derivada logarítmica de un producto es la suma de las derivadas logarítmicas de los factores (cuando las mismas están definidas).En forma similar (de hecho es una consecuencia), la derivada logarítmica de de la función recíproca de una función es el negado de la derivada logarítmica de la función:

Ecuación 9: Propiedad 3

En la misma forma que el logaritmo de la recíproca de un número real positivo es la negación del logaritmo del número.En forma general, la derivada logarítmica de un cociente es la diferencia de las derivadas logarítmicas del dividendo y del divisor:

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Ecuación 10; Propiedad 4

En la misma forma que el logaritmo de un cociente es la diferencia de los logaritmos del dividendo y del divisor.Con respecto a la derivada logarítmica de una potencia (con exponente real constante), la misma es el producto del exponente y de la derivada logarítmica de la base:

Ecuación 11: Propiedad 5

En forma análoga a que el logaritmo de una potencia es el producto entre el exponente y el logaritmo de la base.En resumen, tanto las derivadas como los logaritmos poseen una regla del producto, una regla recíproca, una regla del cociente, y una regla de la potencia (comparar con la lista de identidades logarítmicas); cada par de reglas se encuentran relacionadas mediante la derivada logarítmica.

Cálculo de derivadas ordinarias utilizando derivadas logarítmicasLas derivadas logarítmicas pueden ayudar a simplificar el cálculo de derivadas que requieren la regla del producto. El procedimiento es el siguiente: Supongamos que ƒ(x) = u(x)v(x) y que se desea calcular ƒ'(x). En vez de realizar el cálculo en forma directa, calculamos su derivada logarítmica. O sea, se calcula:

Ecuación 12: Ejemplo 3.1

Multiplicando por ƒ se calcula ƒ':

Ecuación 13:Ejemplo 3.2

Esta técnica es especialmente útil cuando ƒ es el producto de una gran cantidad de factores. La técnica descripta hace posible calcular ƒ' mediante el cálculo de la derivada logarítmica de cada factor, sumando, y multiplicando por ƒ.

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Derivadas en polares

Partiendo de las ecuaciones de conversión entre coordenadas rectangulares y polares, y tomando derivadas parciales se obtiene

Para encontrar la pendiente en cartesianas de la recta tangente a una curva polar r(θ) en un punto dado, la curva debe expresarse primero como un sistema de ecuaciones paramétricas

Diferenciando ambas ecuaciones respecto a θ resulta

Dividiendo la segunda ecuación por la primera se obtiene la pendiente cartesiana de la recta tangente a la curva en el punto (r, r(θ)):

La derivada se utilizó, en principio, para el cálculo de la tangente en un punto, y pronto se vió que también servía para el cálculo de velocidades, y en consecuencia para el estudio de la variación de una función. Desde los primeros pasos en el cálculo diferencial, de todos es conocido que dada una función y = f(x), su derivada, en forma de diferencial de una función de una sola variable, es también una función que se puede encontrar mediante ciertas reglas como el Teorema Fundamental del Cálculo Integral, que nos muestra la vinculación entre la derivada de una función y la integral de dicha función ; si F(x) es la función integral que debe ser integrable en el intervalo.

Se puede crear un modelo de ecuaciones diferenciales para proponer un modelo de crecimiento poblacional, crecimiento de activos de empresas, comportamiento de partes mecánicas de un automóvil, y muchas aplicaciones más en ingeniería y física.El cálculo diferencial tiene un importante campo de aplicación en esta área:

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Objetivos del proyecto

Fabricación de chips (obleas de microprocesadores) Miniaturización de componentes internos. Administración de las compuertas de los circuitos integrados. Compresión y digitalización de imágenes, sonidos y videos. Han coadyuvado a aumentar la inteligencia artificial.

El cálculo diferencial se aplica a todo, por comenzar a dar ejemplos, se aplica a la velocidad de los coches ya que la velocidad es la derivada del espacio con respecto al tiempo, la aceleración es el cambio de velocidad.

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Objetivos del proyecto

CAPÍTULO 3

3.1. LA METODOLOGÍA

Las derivadas son una útil herramienta para examinar las gráficas de funciones. En

particular, los puntos en el interior de un dominio de una función de valores reales que

llevan a dicha función a un extremo local tendrán una primera derivada de cero. Sin

embargo, no todos los puntos críticos son extremos locales. Por ejemplo, f(x)=x³ tiene

un punto crítico en x=0, pero en ese punto no hay un máximo ni un mínimo. El criterio

de la primera derivada y el criterio permiten determinar si los puntos críticos son

máximos, mínimos o ninguno.

Ilustración 4.- Análisis de Ondas con el Cálculo Diferencial

En el caso de dominios multidimensionales, la función tendrá una derivada parcial de

cero con respecto a cada dimensión en un extremo local. En este caso, la prueba de la

segunda derivada se puede seguir utilizando para caracterizar a los puntos críticos,

considerando el valor de la matriz Hessiana de las segundas derivadas parciales de la

función en el punto crítico. Si todos los valores son positivos, entonces el punto es un

mínimo local; si todos son negativos es un máximo local. Si hay algunos valores

positivos y algunos negativos, entonces el punto crítico es un punto silla, y si no se

cumple ninguno de estos casos, la prueba es no concluyente (e.g., los valores son 0 y

3).

3.2. Diseño de la InvestigaciónUna función de una variable es diferenciable en un punto x si su derivada existe en ese punto; una función es diferenciable en un intervalo si lo es en cada punto x perteneciente al intervalo. Si una función no es continua en c, entonces no puede ser diferenciable en c; sin embargo, aunque una función sea continua en c, puede no ser diferenciable. Es decir, toda función diferenciable en un punto c es continua en c, pero no toda función continua en c es diferenciable en c (como f(x) = |x| es continua pero no diferenciable en x = 0).

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Objetivos del proyecto

3.3. Modalidad de la InvestigaciónDesde el siglo XVII, muchos matemáticos han contribuido al cálculo diferencial. En el

siglo XIX, el cálculo tomó un estilo más riguroso, debido a matemáticos como Augustin Louis Cauchy (1789–1857), Bernhard Riemann (1826–1866), y Karl Weierstrass (1815–1897). Fue también durante este periodo que el cálculo diferencial fue generalizado al espacio euclídeo y el plano complejo.

Tabla 2.- Cambio de dirección de una función según el orden de la derivada

3.4. Tipos de Investigación

C

uando una función depende de más de

una variable, se utiliza el concepto

de derivada parcial. Las derivadas

parciales se pueden pensar

informalmente como tomar la derivada

de una función con respecto a una de

ellas, manteniendo las demás variables

constantes. Las derivadas parciales se

representan como   (en donde  ; es

una 'd' redondeada conocida como

'símbolo de la derivada parcial').

El concepto de derivada puede ser

extendido de forma más general. El hilo

común es que la derivada en un punto

sirve como una aproximación lineal a la

función en dicho punto. Quizá la

situación más natural es que las

funciones sean diferenciables en

las variedades. La derivada en un cierto

punto entonces se convierte en

una transformación lineal entre los

correspondientes espacios tangentes y

la derivada de la función se convierte en

un mapeo entre los grupos.

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Objetivos del proyecto

3.5. Resultados de la encuesta

Edad

entre 16 y 18 años 1 5%

entre 18 y 20 años 15 71%

mayor a 20 años 5 24%

Estudios

Primaria 0 0%

secundaria 7 35%

Universidad 12 60%

Universidad + Maestría 0 0%

Universidad + PhD 1 5%

¿Piensa usted que el estudio del cálculo diferencial es útil en la vida profesional de un ingeniero?

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Objetivos del proyecto

1 0 0%

2 1 5%

3 4 20%

4 5 25%

5 10 50%

¿Cree usted que la baja autoestima de los estudiantes influye en su desempeño y aprendizaje del Cálculo diferencial?

1 4 21%

2 2 11%

3 4 21%

4 2 11%

5 7 37%

¿Cuántas horas por día le dedica a esta materia?

1/2 Hora 2 11%

1 hora 5 26%

2 horas 3 16%

3 horas 6 32%

no estudia todos los días 1 5%

Otro 2 11%

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Objetivos del proyecto

¿En el transcurso de sus estudios ha recibido nociones básicas sobre el cálculo diferencial?

Si 15 71%

No 6 29%

En caso de responder SI a la pregunta anterior usted ¿Qué nivel de dificultad le asignaría?

1 1 5%

2 2 10%

3 9 45%

4 4 20%

5 4 20%

Elaboración de Helados [¿El cálculo diferencial tiene un importante campo de aplicación en?]

Definitivamente Sí 7 37%

Por supuesto que No 12 63%

Fabricación de Chips [¿El cálculo diferencial tiene un importante campo de aplicación en?]

Definitivamente Sí 15 79%

Por supuesto que No 4 21%

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Objetivos del proyecto

Una reacción Oxido - Reducción [¿El cálculo diferencial tiene un importante campo de aplicación en?]

Definitivamente Sí 11 58%

Por supuesto que No 8 42%

Administración de las compuertas de los circuitos integrados [¿El cálculo diferencial tiene un importante campo de aplicación en?]

Definitivamente Sí 18 95%

Por supuesto que No 1 5%

Digitalización de imágenes, sonidos y vídeos [¿El cálculo diferencial tiene un importante campo de aplicación en?]

Definitivamente Sí 9 47%

Por supuesto que No 10 53%

¿Piensa usted que un Politécnico recién graduado Puede identificar un Problema Existente en una Maquinaria y Pueda resolverlo por Métodos de Cálculo Diferencial?

Obviamente que si 6 29%

Si y sólo si es que repasa sus apuntes de Cálculo 4 19%

tal vez pero con ayuda de alguien más 3 14%

Tendría la solución pero por falta de experiencia no confiaría en sus Cálculos 7 33%

No lo lograría 1 5%

Otro 0 0

Bibliografíahttp://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_diferencial. (s.f.).http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_polares#C.C3.A1lculo_diferencial. (s.f.).http://es.wikipedia.org/wiki/Derivada_logar%C3%ADtmica. (s.f.).http://www.dervor.com/derivadas/derivacion_implicita.html. (s.f.).http://www.julioprofe.net/p/calculo.html. (s.f.).

ANEXOShttp://clubensayos.com/Temas-Variados/Aplicacion-De-Calculo-Diferencial-En/1395604.html

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Objetivos del proyecto

http://www.monografias.com/trabajos10/historix/historix.shtml#ixzz37Bjx6B5i

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