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CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EN Rn

Ignacio Gracia Rivas 1

Narciso Roman-Roy 2

Narciso Urbizu Montanes 3

Departamento de de Matematica Aplicada IVC/ Jordi Girona 1; Edificio C-3, Campus Norte UPC

E-08034 Barcelona

18 de febrero de 2004

1e-mail: [email protected]: [email protected]: [email protected]

Prefacio

Estos Apuntes de Analisis Vectorial constituyen una guıa personal a la asignatura de Analisis Vectorialque se imparte en la E.T.S.E.T.B. en el curso 1-B de la carrera de Ingenierıa de Telecomunicacion(Plan de Estudios 1992). Por tanto, en ningun momento pretenden ser una guıa oficial, ni tan siquiera unapauta a seguir respecto a como debe ser impartida la asignatura.

Estan basados (aunque no integramente) en los apuntes que, sobre diversas partes del programa, habıanpreparado principalmente los profesores M.C. Munoz Lecanda y P. Morillo Bosch. Debemos agradecertambien la colaboracion de otros muchos companeros que han impartido esta asignatura y que, ademas dehacernos valiosas sugerencias, han detectado erratas y errores que han sido ya corregidos (aunque somosconsciente de que todavıa pueden quedar otros muchos por detectar). Entre estos profesores hemos de citar,ademas de los anteriores, a E. Garriga Valle, X. Gracia Sabate, P. Martın de la Torre y G. SaezMoreno.

i

Contents

1 Topologıa de Rn. Sucesiones 2

1.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Nociones de Topologıa de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1 Norma y distancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.2 Bolas y rectangulos abiertos y cerrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.3 Puntos interiores, adherentes, exteriores y frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.4 Abiertos y cerrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Sucesiones en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.1 Sucesiones de vectores en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.2 Sucesiones de Cauchy. Completitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.3 Sucesiones, puntos interiores y puntos frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.4 Conjuntos compactos y sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Lımites y continuidad de funciones en Rn 13

2.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2 Funciones de varias variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2.1 Funciones escalares y vectoriales. Conjuntos de nivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3 Lımites de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3.1 Lımite de una funcion en un punto y en el infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3.2 Lımites direccionales. Lımites reiterados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4 Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4.1 Continuidad. Propiedades de las funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4.2 Propiedades topologicas. Teorema de Weierstrass. Consecuencias . . . . . . . . . . . . 19

2.4.3 Continuidad uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 Calculo Diferencial en Rn 21

3.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2 Diferenciabilidad de funciones en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

ii

I. Gracia Rivas, N. Roman Roy, N. Urbizu Montanes Calculo Diferencial e Integral en Rn. iii

3.2.1 Diferenciabilidad de una funcion en un punto. Interpretacion geometrica . . . . . . . . 21

3.2.2 Derivadas direccionales. Derivadas parciales. Matriz jacobiana . . . . . . . . . . . . . 24

3.2.3 Interpretacion geometrica de las derivadas parciales. Aproximacion lineal . . . . . . . 26

3.2.4 Caracterizacion de funciones diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.3 Propiedades de las funciones diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.3.1 Propiedades elementales (linealidad y otras) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.3.2 Derivadas parciales de orden superior. Teorema de Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.3.3 Regla de la cadena. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.3.4 Teorema de la funcion implıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.3.5 Teorema de la funcion inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.4 Operadores diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.4.1 Gradiente de un campo escalar. Campos conservativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.4.2 Rotacional de un campo vectorial. Campos irrotacionales . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.4.3 Divergencia de un campo vectorial. Campos solenoidales . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.4.4 Laplaciana de funciones escalares y vectoriales. Funciones armonicas . . . . . . . . . . 42

3.4.5 Expresion de los operadores diferenciales en otras coordenadas . . . . . . . . . . . . . 43

3.4.6 Otras propiedades de los operadores diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.4.7 Determinacion de funciones potenciales escalares y vectoriales . . . . . . . . . . . . . . 44

4 Curvas y superficies 46

4.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.2 Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.2.1 Curvas en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.2.2 Curvas regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.2.3 Recta tangente y plano normal a una curva. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.2.4 Orientacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.3 Superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.3.1 Superficies en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.3.2 Superficies regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.3.3 Plano tangente y recta normal a una superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.3.4 Superficies orientadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.4 Borde de un conjunto. Conectividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.4.1 Frontera geometrica o borde de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.4.2 Deformaciones de curvas y superficies. Conjuntos conexos . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5 Estudio local de funciones en Rn 61

I. Gracia Rivas, N. Roman Roy, N. Urbizu Montanes Calculo Diferencial e Integral en Rn. iv

5.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.2 Formula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.2.1 Formula de Taylor. Expresion del resto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.3 Calculo de extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.3.1 Formas cuadraticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.3.2 Extremos libres. Puntos crıticos. Condicion necesaria de extremo . . . . . . . . . . . . 64

5.3.3 Condicion suficiente de extremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.3.4 Extremos condicionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.3.5 Metodo de los multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.3.6 Extremos absolutos de una funcion continua en un compacto . . . . . . . . . . . . . . 69

6 Integracion de funciones escalares en Rn 71

6.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6.2 Concepto de integral multiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6.2.1 Integral multiple en un rectangulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6.2.2 Medida y contenido cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

6.2.3 Funciones integrables en un rectangulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6.2.4 Integral multiple en una region mas general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6.3 Propiedades de la integral multiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

6.3.1 Primeras propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

6.3.2 Funciones definidas por integrales. Teorema de Leibnitz (derivacion bajo el signointegral) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6.3.3 Calculo de integrales multiples por iteracion: Teorema de Fubini . . . . . . . . . . . . 79

6.3.4 Cambio de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

6.4 Integrales impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

6.4.1 Funcion no acotada en el entorno de un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

6.4.2 Region de integracion no acotada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

7 Integrales de lınea y de superficie 84

7.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

7.2 Integrales de lınea de campos escalares y vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

7.2.1 Longitud de un arco de curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

7.2.2 Integral de lınea de un campo escalar. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

7.2.3 Integral de lınea de un campo vectorial. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

7.3 Integrales de lınea de campos conservativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

7.3.1 Independencia del camino en una integral de lınea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

I. Gracia Rivas, N. Roman Roy, N. Urbizu Montanes Calculo Diferencial e Integral en Rn. v

7.3.2 Caracterizacion de campos conservativos mediante integrales de lınea . . . . . . . . . . 90

7.3.3 Determinacion de funciones potenciales escalares mediante integrales de lınea . . . . . 91

7.4 Integrales de superficie de campos escalares y vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

7.4.1 Area de una superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

7.4.2 Integral de superficie de un campo escalar. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

7.4.3 Integral de superficie de un campo vectorial. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . 94

8 Teoremas del Analisis Vectorial 97

8.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

8.2 Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

8.2.1 Teorema de Stokes en R3. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

8.2.2 Teorema de Stokes en casos especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

8.2.3 Teorema de Green. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

8.2.4 Caracterizacion de campos conservativos por medio del teorema de Stokes . . . . . . . 101

8.2.5 Aplicacion: Resolucion de ecuaciones diferenciales exactas. Factor integrante . . . . . 101

8.3 Teorema de la divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

8.3.1 Teorema de Gauss-Ostrogadski en R3. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

8.3.2 Teorema de Gauss-Ostrogadski en R2. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

8.3.3 Caracterizacion de los campos solenoidales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

8.4 Otras aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

8.4.1 Definicion intrınseca de los operadores diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

Preliminares

A lo largo del curso se va a trabajar en el conjunto Rn :=

n︷︸︸︷R× . . .× R, que es un espacio afın n-dimensional.

Esto significa que, una vez fijado un origen, Rn se identifica con un espacio vectorial, el cual se supondradotado con la metrica euclıdea (con lo que Rn es un espacio vectorial euclıdeo). Salvo indicacion contraria,se tomara la base canonica usual referida a un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales; es decir,la que esta formada por vectores ortonormales que denotaremos {ei}i=1...n ≡ (e1, . . . , en). Los elementosx ∈ Rn presentan, por consiguiente, una naturaleza dual, por cuanto se pueden considerar indistintamentecomo puntos, que vendran especificados por medio de sus coordenadas x ≡ (x1, . . . , xn), o como vectores,que serıan los vectores de posicion de dichos puntos, en cuyo caso los valores de las coordenadas del punto

son las componentes escalares del vector de posicion, esto es, x = x1e1 + . . .+ xnen ≡n∑i=1

xiei. Finalmente,

el producto escalar de dos vectores x, x′ ∈ Rn se especificara poniendo 〈x, x′〉 ≡n∑i=1

xix′i.

Eventualmente, tambien se manejaran otros sistemas de coordenadas en R2 y R3; en particular:

• Coordenadas polares en R2.

Se designan por (r, φ); con r ∈ (0,∞), θ ∈ [0, 2π). La relacion con las coordenadas cartesianas (x, y)en R2 es

x = r cos φ , y = r sin φ

• Coordenadas cilındricas en R3.

Se designan por (r, φ, z); con r ∈ (0,∞), φ ∈ [0, 2π), z ∈ (−∞,∞). La relacion con las coordenadascartesianas (x, y, z) en R3 es

x = r cos φ , y = r sin φ , z = z

• Coordenadas esfericas en R3.

Se designan por (r, φ, θ); con r ∈ (0,∞), φ ∈ [0, 2π), θ ∈ [0, π). La relacion con las coordenadascartesianas (x, y, z) en R3 es

x = r sin θ cosφ , y = r sin θ cos φ , z = r cos θ

1

Chapter 1

Topologıa de Rn. Sucesiones

1.1 Introduccion

Antes de comenzar el estudio de las funciones reales de varias variables, es preciso hacer algunas consid-eraciones sobre el espacio en que se definen, esto es, Rn. En terminos mas precisos, lo primero que se vaa hacer en este capıtulo preliminar es una somera introduccion a ciertas nociones topologicas 1 sobre Rn.Concretamente, se presentaran las definiciones que generalizan algunos conceptos basicos bien conocidos enla recta real R, como son las nociones de distancia entre puntos o de intervalo, entre otras. La exposicionconcluira analizando otras caracterısticas de Rn relacionadas con las sucesiones, que estan en ıntima relacioncon sus propiedades topologicas como, p. ej., la completitud.

1.2 Nociones de Topologıa de Rn

1.2.1 Norma y distancia

Los dos primeros conceptos que se van a definir generalizan en Rn las nociones de valor absoluto y distanciaen R.

Definicion 1 Para todo vector x ∈ Rn, se denomina norma o modulo de x al valor

‖x‖ ≡ 〈x, x〉1/2 ≡

√√√√ n∑i=1

x2i

Comentario:

• Observese que cuando n = 1 esta es precisamente la definicion de valor absoluto, (luego es una buenageneralizacion de este concepto).

Algunas propiedades de la norma son las siguientes:

Proposicion 1 ∀x, y ∈ Rn, ∀λ ∈ R.

1. ‖x‖ ≥ 0, y ‖x‖ = 0 ⇐⇒ x = 0

1La Topologıa es la parte de las matematicas que estudia las propiedades de los espacios que son invariantes por transfor-maciones que los “deforman” (sin “romperlos”) y, por tanto, independientes de los sistemas coordenados elegidos.

2

I. Gracia Rivas, N. Roman Roy, N. Urbizu Montanes Calculo Diferencial e Integral en Rn. 3

2. ‖λx‖ = |λ|‖x‖; y como consecuencia ‖x− y‖ = ‖y − x‖.

3. |〈x, y〉| ≤ ‖x‖ ‖y‖ (desigualdad de Schwarz).

4. ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖.

5. ‖x− y‖ ≥ ‖x‖ − ‖y‖.

6. Si x ≡ (xi), entonces |xi| ≤ ‖x‖ ≤∑ni=1 |xi|.

( Dem. ) Se basan en las propiedades del producto escalar. Se demostraran unicamente 3 y 4.

3. Se tiene que demostrar que:

(n∑i=1

xiyi)2 ≤ (n∑i=1

xi)2(n∑i=1

yi)2.

En efecto, se observa que (∑ni=1 xiz + yi)2 ≥ 0, ∀z ∈ R. Haciendo A =

n∑i=1

x2i , B =

n∑i=1

xiyi y C =n∑i=1

y2i

se tiene Az2 + 2Bz + C ≥ 0 y por tanto la ecuacion de 2o grado Az2 + 2Bz + C, o tiene una solucion realdoble, o no tiene ninguna, lo que implica B2 −AC ≤ 0 que es la desigualdad buscada.

Se ha supuesto que A 6= 0. Si A = 0 la demostracion es trivial pues todos los xi son nulos.

5. Teniendo en cuenta la propiedad anterior, se tiene que

‖x+y‖2 =n∑i=1

(xi+yi)2 =n∑i=1

(x2i +y

2i +2xiyi) = ‖x‖2+2x·y+‖y‖2 ≤ ‖x‖2+2 ‖x‖ ‖y‖+‖y‖2 = ( ‖x‖+‖y‖ )2

Se dice que (Rn, ‖ ‖ ) es un espacio normado.

Definicion 2 Dados dos puntos x, y ∈ Rn, con x ≡ (x1, . . . , xn), y ≡ (y1, . . . , yn), se denomina distanciaentre x e y a la norma del vector x− y; es decir,

d(x, y) ≡ ‖x− y‖ ≡ 〈x− y, x− y〉1/2 ≡

√√√√ n∑i=1

(xi − yi)2

Las propiedades de la distancia se obtienen a partir de las de la norma y algunas de ellas son las siguientes:

Proposicion 2 ∀x, y, z ∈ Rn.

1. d(x, y) = d(y, x).

2. d(x, y) = 0 ⇔ y = x.

3. d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) (desigualdad triangular).

( Dem. ) Inmediatas.

Se dice que (Rn, d) es un espacio metrico. Con estas definiciones, siguiendo la terminologıa del AlgebraLineal, Rn es un espacio vectorial euclıdeo.


1.2.2 Bolas y rectangulos abiertos y cerrados

Los siguientes conceptos generalizan en Rn las nociones de intervalos (abiertos y cerrados) en R.

Definicion 3 Sea un punto p ∈ Rn y un escalar r ∈ R+.

1. Se denomina esfera con centro en p y radio r al conjunto

S(p, r) = Sr(p) ≡ {x ∈ Rn | d(x, p) = r}

2. Se denomina bola abierta con centro en p y radio r al conjunto

B(p, r) = Br(p) ≡ {x ∈ Rn | d(x, p) < r}

3. Se denomina bola cerrada con centro en p y radio r al conjunto

B(p, r) = Br(p) ≡ Br(p) ∪ Sr(p) ≡ {x ∈ Rn | d(x, p) ≤ r}

(Tambien se utiliza la bola perforada B∗r (a) = Br(a)− {a}).

Definicion 4 En Rn se denomina rectangulo abierto H (respectivamente rectangulo cerrado H) al productocartesiano de n intervalos abiertos (resp. cerrados) de R:

H ≡ (a1, b1)× . . . (an, bn) ≡n∏i=1

(ai, bi)

H ≡ [a1, b1]× . . . [an, bn] ≡n∏i=1

[ai, bi]

En ambos casos, se denomina centro del rectangulo al punto de Rn cuyas coordenadas son las de los puntosmedios de los correspondientes intervalos; es decir,

c ≡(a1 + b1

2, . . . ,

an + bn2

)

Comentario:

• Existen rectangulos que no son ni abiertos ni cerrados: son aquellos formados a partir de productoscartesianos de intervalos abiertos, cerrados y/o semiabiertos indistintamente.

Una relacion entre bolas y rectangulos esta dada por la siguiente propiedad:

Proposicion 3 1. Toda bola contiene un rectangulo y, a su vez, esta contenida en un rectangulo, todoscon el mismo centro.

2. Todo rectangulo contiene una bola y, a su vez, esta contenido en una bola, todos con el mismo centro.

( Dem. ) Evidente.

Comentarios:

• Como consecuencia de esta propiedad, a partir de un punto se puede construir una secuencia infinitaalternada de bolas y rectangulos, cada uno incluyendo al precedente, que tienen como centro dichopunto.


• Realmente, las nociones de bola y rectangulo son topologicamente equivalentes puesto que el paso deuna a otra se lleva a cabo por una mera “deformacion” del espacio Rn, esto es, matematicamentehablando, por medio de un cambio de coordenadas (p. ej., de cartesianas a esfericas).

• Observese que cuando n = 1 de ambas definiciones se recupera la nocion de intervalo.

Definicion 5 Un conjunto A ⊂ Rn se dice que esta acotado si existe alguna bola o rectangulo que locontenga.

Definicion 6 Se denomina entorno de un punto p ∈ Rn a todo conjunto E(p) (acotado) que contenga unabola o rectangulo con centro en p.

1.2.3 Puntos interiores, adherentes, exteriores y frontera

A fin de poder hacer consideraciones de tipo topologico sobre conjuntos que no sean ni bolas ni rectangulos,es necesario introducir nuevos conceptos.

Definicion 7 Sea un conjunto A ⊂ Rn y un punto x ∈ Rn.

1. Se dice que x es un punto interior de A si ∃Br(x) contenida en A (lo que implica que x ∈ A).

Se denomina interior de A, y se designa por A o bien IntA, al conjunto formado por todos sus puntosinteriores.

2. Se dice que x es un punto adherente de A si ∀Br(x) contiene puntos de A

En particular, los puntos adherentes pueden ser de dos tipos:

(a) Se dice que x es un punto de acumulacion de A si ∀Br(x) contiene algun punto de A, distinto dex (lo que no implica nada sobre la pertenencia de x al conjunto A).Se denomina acumulacion de A, y se designa por A′, al conjunto formado por todos sus puntosde acumulacion.

(b) Se dice que x es un punto aislado de A si es adherente pero no es de acumulacion; esto es, ∃Br(x)Tal que A ∩Br(x) = {x} (lo que implica que x ∈ A).

Se denomina adherencia (tambien clausura o cierre) de A, y se designa por A, al conjunto formadopor todos sus puntos adherentes.

3. Se dice que x es un punto exterior de A si no es adherente; esto es, ∃Br(x) que no contiene ningunpunto de A (lo que implica que x 6∈ A).

Se denomina exterior de A, y se designa por ExtA, al conjunto formado por todos sus puntos exteriores.

4. Se dice que x es un punto frontera de A si ∀Br(x) contiene puntos de A y puntos que no son de A (loque no implica nada sobre la pertenencia de x al conjunto A).

Se denomina frontera (topologica) de A, y se designa por FrA, al conjunto formado por todos suspuntos frontera.

Comentarios:

• Todo punto interior, por su propia definicion, es de acumulacion, luego es adherente; esto es, A ⊂ A.Pero no todo punto de acumulacion ha de ser interior necesariamente.

• Un punto aislado no es interior ni exterior: es un punto frontera.

• Un punto frontera puede ser de acumulacion (p. ej., los puntos frontera de un intervalo) o no, yaque un punto aislado de un conjunto siempre es punto frontera. Por tanto, todo punto frontera esadherente, pero no es interior (ni, por supuesto, exterior).


• Todo punto exterior no es de acumulacion y todo punto de acumulacion no es exterior.

• La adherencia de A se obtiene anadiendo a A todos los puntos frontera que no le pertenecen; es decir,A ≡ A ∪ FrA.

Ejemplos:

• La frontera de una bola es la esfera con el mismo centro y de igual radio. Si la bola es abierta, suspuntos frontera no le pertenecen, si es cerrada sı.

• Si A es un conjunto finito de puntos aislados se tiene que

IntA = Ø ExtA = Rn −A FrA = A

Proposicion 4 Si x es un punto de acumulacion de A, entonces toda bola Br(x) contiene infinitos puntosde A.

( Dem. ) (Reduccion al absurdo). Supongamos que exista alguna bola Br(x) que contiene solamente npuntos de A, a1, a2, ... , an. Sea r = min{‖x − a1‖, ... , ‖x − an‖}, entonces Br/2(x) no contiene ningunpunto de A y, por tanto, x no es punto de acumulacion de A.

Comentarios:

• Como consecuencia inmediata de este resultado se tiene que los conjuntos finitos no tienen puntos deacumulacion.

• No obstante, un conjunto infinito puede tener puntos de acumulacion (p. ej.; si A = {1/n, n ∈ R},entonces 0 es punto de acumulacion de A), o no tenerlos (como el conjunto B = {1, ... , n, ...}).Ademas, en un conjunto infinito de puntos aislados todos sus elementos son puntos frontera, peropuede haber mas de estos que no son del conjunto, ya que si hay puntos de acumulacion de A que nopertenecen a A, estos son tambien puntos frontera. (Como ejemplo, el lımite de una sucesion en Restrictamente creciente (o decreciente) convergente es un punto frontera de la sucesion pero no es unelemento de la misma (ademas es el unico punto de acumulacion del conjunto)).

Teorema 1 (Bolzano-Weierstrass). Sea A ⊂ Rn un conjunto acotado con infinitos puntos, entonces existeal menos un punto de Rn que es punto de acumulacion de A.

En relacion con estas definiciones se establece la siguiente propiedad:

Proposicion 5 ∀A ⊂ Rn, IntA, ExtA y FrA establecen una particion de Rn; esto es, todo punto de Rnpertenece a uno, y solo uno, de estos tres conjuntos; es decir,

1. IntA ∪ ExtA ∪ FrA = Rn.

2. IntA ∩ ExtA = Ø, ExtA ∩ FrA = Ø, IntA ∩ FrA = Ø,

( Dem. ) Inmediato a partir de las definiciones (se deja como ejercicio).

1.2.4 Abiertos y cerrados

Se acaba de comentar y ver que los puntos frontera de un conjunto pueden pertenecerle o no. Basandonosen esta observacion vamos a introducir una nueva caracterizacion de los conjuntos de Rn.


Definicion 8 Sea un conjunto A ⊂ Rn. Se denomina complementario de A al conjunto

Rn −A ≡ {x ∈ Rn | x 6∈ A}

A partir de esta y de la anterior definicion se comprueba de inmediato que:

Proposicion 6 ∀A ⊂ Rn.

1. FrA = Fr(Rn −A).

2. IntA = Ext(Rn −A) y ExtA = Int(Rn −A).

Teniendo esto en cuenta se define:

Definicion 9 Sea un conjunto A ⊂ Rn.

1. A es abierto si coincide con su interior: A = IntA.

2. A es cerrado si su complementario es un abierto.

Los conjuntos cerrados se caracterizan por las siguientes propiedades equivalentes:

Proposicion 7 Sea A ⊂ Rn. Son equivalentes:

1. A es cerrado.

2. A = A.

3. FrA ⊆ A.

4. A′ ⊆ A.

( Dem. ) La demostracion se basa en la observacion de que A es cerrado si Rn − A es abierto ⇔ ∀x 6∈ A,x ∈ Int (Rn −A) = ExtA.

Ejemplos:

• Las bolas y rectangulos abiertos (resp cerrados) son abiertos (resp. cerrados).

• Un conjunto finito de puntos aislados es cerrado.

• Un conjunto infinito de puntos aislados no necesariamente es cerrado, depende de si tiene o no puntos

de acumulacion: p. ej., sobre la recta los puntos de la sucesion A ={(

1 +1n

)n}.

• En R, N y Z son cerrados. Q no es ni abierto ni cerrado, ya que Fr Q = R.

Comentarios:

• Un conjunto no puede ser abierto y cerrado simultaneamente, salvo el vacıo Ø y el total Rn que, pordefinicion, son abiertos y cerrados a la vez.

• Obviamente, hay conjuntos que no son ni abiertos ni cerrados (p. ej., un rectangulo formado por elproducto cartesiano de intervalos semiabiertos).

Finalmente se tiene la siguiente propiedad sobre la union y la interseccion de abiertos y cerrados:


Proposicion 8 1. La union de abiertos es un abierto.

2. La interseccion finita de abiertos es un abierto.

3. La interseccion de cerrados es un cerrado.

4. La union finita de cerrados es un cerrado.

( Dem. )

1. Sea F una coleccion arbitraria de abiertos y sea S =⋃A∈F

A. ∀x ∈ S existe A ∈ F tal que x ∈ A, y

como es abierto existe Br(x) ⊂ A ⊂ S, por tanto x ∈ IntS luego S es un abierto.

2. (Se hace para dos abiertos. La generalizacion es inmediata).

Sea S = A1 ∩A2. Para todo x ∈ S existen Br1(x) ⊂ A1 y Br2(x) ⊂ A2. Sea r = min(r1, r2), entoncesBr(x) ⊂ S y, por tanto, todo punto de S es interior luego S es abierto.

3. La interseccion de cerrados es el complementario de la union de los complementarios, que son abiertos,y por lo anterior es un abierto y su complementario cerrado.

4. Se razona como en la anterior.

Contraejemplos:

• La interseccion infinita de abiertos puede ser un cerrado:⋂n∈N

(−1− 1

n, 1 +

1n

)= [−1, 1]

• La union infinita de cerrados puede ser un abierto:⋃n∈N

[−1 +

1n, 1− 1

n

]= (−1, 1)

Relacionado con los anteriores conceptos introduciremos, finalmente, la siguiente definicion:

Como consecuencia inmediata de la proposicion 7 se tiene que:

Proposicion 9 ∀A ⊂ Rn, A es cerrado, y es el menor cerrado que contiene a A.

Para acabar, se demuestra la siguiente propiedad:

Proposicion 10 Si B ⊂ Rn es cerrado y A ⊂ B, entonces A ⊆ B.

( Dem. ) A es cerrado, luego ∀x ∈ A se tiene que, o bien x ∈ FrA, o bien x ∈ IntA.

Obviamente IntA ⊂ A ⊂ B.

Por otra parte, si x ∈ FrA entonces ∀Br(x) contiene puntos de A y, por lo tanto, de B (dado que A ⊂ B,luego x 6∈ ExtB y, como B es cerrado, eso implica que x ∈ B. De ahı FrA ⊂ B.

Por consiguiente IntA ∪ FrA ≡ A ⊂ B.


1.3 Sucesiones en Rn

1.3.1 Sucesiones de vectores en Rn

El concepto de sucesion de numeros reales se generaliza en Rn de la siguiente manera:

Definicion 10 Se denomina sucesion (de vectores) en Rn a toda aplicacion N → Rn.

Comentarios:

• Se usa la misma terminologıa y notacion que para sucesiones numericas. Ası, las imagenes de laaplicacion se denominan terminos o elementos de la sucesion. El termino general de una sucesionvectorial se designa por {xm}.

• Observese que si xm ≡ (xm1 , . . . , xmn ), entonces una sucesion de vectores en Rn induce n sucesiones

numericas, que son las de las coordenadas: {xm} ≡ ({xm1 }, . . . , {xmn }).

Definicion 11 Sea {xm} una sucesion de vectores. Un punto a ∈ Rn es el lımite de la sucesion si, ∀ε ≥ 0,∃ν ∈ N tal que si µ ≥ ν, entonces ‖xµ − a‖ < ε. Se usara la notacion lim

m→∞{xm} = a , o tambien

{xm} m→∞−→ a 2.

Si una sucesion tiene lımite se dice que es convergente, si no lo tiene es no convergente o divergente.

Comentario:

• Notese que la definicion de lımite significa que, a partir del termino ν-esimo todos los terminos estancontenidos en una bola abierta de centro en a y radio ε.

Las propiedades de las sucesiones de vectores son analogas a las de las sucesiones numericas:

Proposicion 11 Sean {xm} y {ym} sucesiones en Rn y λ ∈ R.

1. limm→∞

{xm} = a si, y solo si limm→∞

{xm − a} = 0 (vector nulo).

2. limm→∞

{xm} = a si, y solo si limm→∞

{xmi } = ai (i = 1, . . . , n), (las sucesiones de la coordenadas convergen

a las coordenadas de a).

3. Si {xm} es convergente entonces esta acotada.

4. Si {xm} tiene lımite entonces este es unico.

5. Si limm→∞

{xm} = a y limm→∞

{ym} = b , entonces limm→∞

{xm ± ym} = a± b .

6. Si limm→∞

{xm} = a entonces limm→∞

{λxm} = λa .

7. Si limm→∞

{xm} = a y limm→∞

{ym} = b entonces para la sucesion de los productos escalares se tiene que

limm→∞

{〈xm, ym〉} = 〈a, b〉 .

8. Si limm→∞

{xm} = 0 y {ym} es otra sucesion tal que {‖ym‖} acotada entonces limm→∞

{〈xm, ym〉} = 0

( Dem. )

1. Como en R.2Esta es la misma definicion que para sucesiones numericas cambiando el valor absoluto por la norma.


2. Inmediata observando que, de acuerdo con el apartado 5 de la proposicion 3,

|xmi − ai| ≤ ‖xm − a‖ ≤n∑i=1

|xmi − ai|

3. Como en R.

4. Es una consecuencia de 2 y de la unicidad del lımite de las sucesiones numericas.

5. Inmediata observando que, de acuerdo con la desigualdad triangular,

‖xm + ym − a− b‖ ≤ ‖xm − a‖+ ‖ym − b|

6. Inmediata.

7. Observese que

〈xm, ym〉 − 〈a, b〉 = 〈xm − a, ym〉+ 〈a, ym〉 − 〈a, b〉= 〈xm − a, ym〉+ 〈a, ym − b〉

y ambas sucesiones tienen lımite igual a 0.

8. Usando la desigualdad de Schwarz se tiene que

|〈xm, ym〉| ≤ ‖xm‖ ‖ym‖ m→∞−→ 0

Comentario:

• Teniendo en cuenta la segunda propiedad, el calculo de lımites de sucesiones de vectores se reduce alcalculo de lımites de sucesiones numericas (las sucesiones de las cooordenadas).

1.3.2 Sucesiones de Cauchy. Completitud

Igual que se hizo con las sucesiones numericas, se define el siguiente concepto:

Definicion 12 Sea {xm} una sucesion de vectores. {xm} es una sucesion de Cauchy si ∀ε ≥ 0, ∃ν ∈ N talque si µ, ρ ≥ ν, entonces ‖xµ − xρ‖ < ε.

Comentario:

• Notese que esta definicion significa que, a partir del termino ν-esimo todos los terminos de la sucesionestan contenidos en una bola abierta de diametro ε.

Teniendo en cuenta los comentarios hechos en el apartado anterior, es evidente que:

Proposicion 12 {xm} es una sucesion de Cauchy si, y solo si, lo son las n sucesiones numericas compo-nentes {xmi }.

( Dem. ) Inmediata observando que, de acuerdo de nuevo con el apartado 5 de la proposicion 3,

|xµi − xρi | ≤ ‖xµ − xρ‖ ≤

n∑i=1

|xµi − xρi |


Con todos estos conceptos ya estamos en condiciones de explorar las relaciones entre las sucesiones(convergentes) de vectores y las propiedades topologicas de Rn. De este modo, es posible establecer en Rnpropiedades analogas a las que ya se verificaban para la recta real R, como son el teorema de Bolzano-Weierstrass 3 y, en particular:

Teorema 2 (de completitud de Rn): La c.n.s. para que una sucesion {xm} sea convergente en Rn es quesea una sucesion de Cauchy.

( Dem. ) Basta usar las sucesiones de las coordenadas y el teorema de completitud de R.

1.3.3 Sucesiones, puntos interiores y puntos frontera

Siguiendo con las relaciones entre las sucesiones de vectores y la topologıa de Rn, analizaremos, a contin-uacion, las dos siguientes propiedades:

Proposicion 13 Sea A ⊂ Rn. ∀x 6∈ ExtA existe una sucesion {xm} de puntos de A cuyo lımite es x.

( Dem. ) Si x 6∈ ExtA entonces x ∈ IntA o x ∈ FrA. En cualquier caso se puede construir una sucesion

de bolas B(x,1m

) cada una de las cuales contiene puntos de A (por definicion de punto interior o frontera),

entonces basta tomar uno de ellos en cada bola xm ∈ B(x,1m

) y se tiene una sucesion {xm} ⊂ A queobviamente tiene como lımite x.

Proposicion 14 A ⊂ Rn es cerrado si, y solo si, ∀{xm} sucesion de puntos de A convergente, su lımite esun punto x ∈ A.

( Dem. ) (=⇒) Si A es cerrado y {xm} → x, con {xm} ⊂ A, entonces en todo entorno de x hay puntosde {xm} (por definicion de lımite), esto es puntos de A, luego x 6∈ ExtA y, por tanto, x ∈ A.

(⇐=) ∀x ∈ FrA, de acuerdo con la proposicion anterior, ∃{xm} ⊂ A con {xm} → x. Pero, porhipotesis, toda sucesion de puntos de A convergente lo es a un punto de A, luego x ∈ A. Por consiguienteFrA ∈ A, luego A es cerrado.

1.3.4 Conjuntos compactos y sucesiones

Para concluir este capıtulo preliminar, se va a introducir una ultima nocion de topologıa tendra el mismopapel en las propiedades de las funciones de varias variables que los intervalos cerrados de R en ciertosteoremas relativos a funciones de una variable.

Definicion 13 Sea K ⊂ Rn. K es un conjunto compacto si es cerrado y esta acotado.

La propiedad que relaciona los conjuntos compactos con las sucesiones es la siguiente:

Proposicion 15 K ⊂ Rn es compacto si, y solo si, de toda sucesion de puntos de {xm} ⊂ K se puedeobtener una subsucesion convergente a un punto x ∈ K.

( Dem. ) (=⇒) SeaK compacto y {xk} ⊂ K. Suponiendo que la sucesion {xk} tiene infinitos terminos (encaso contrario es facil extraer subsucesiones convergentes), por el teorema 1, tiene un punto de acumulacionb, lo que implica que toda bola centrada en b contiene infinitos puntos de la sucesion.

3Que enuncia que toda sucesion acotada tiene alguna subsucesion convergente.


Para la bola B1(b) elegimos un punto xh1 ∈ {xk}.

Para la bola B1/2(b) elegimos un punto xh2 ∈ {xk}, con h2 > h1.

Para la bola B1/3(b) elegimos un punto xh3 ∈ {xk}, con h3 > h2, y ası sucesivamente.

Obtenemos de esta forma una subsucesion {xhj}j∈N, en K, que tiene como lımite b y como K es cerradoentonces b ∈ K.

(⇐=) (Reduccion al absurdo):

1. Si K no es cerrado ⇒ ∃x ∈ Fr K con x 6∈ K. Sea {xm} ⊂ K tal que {xm} → x, entonces cualquiersubsucesion de esta converge a x 6∈ K, contra la hipotesis.

2. Si K no esta acotado entonces, ∀M ∈ R+, ∃xm ∈ K con ‖xm‖ > M , luego se puede formar unasucesion {xm} divergente que, por tanto, no tiene subsucesiones convergentes, contra la hipotesis.

Comentario:

• Aunque, como ya se ha senalado, en algunos teoremas sobre funciones en Rn los compactos tienen elmismo papel que los intervalos cerrados en R, ambos conceptos no son equivalentes en R. En efecto, enR todo intervalo cerrado es un compacto, pero no todo compacto es semejante a uno o varios intervaloscerrados. La diferencia esta en que en los intervalos cerrados todos sus puntos son de acumulacion, enlos compactos no necesariamente (p. ej., un conjunto finito de puntos aislados es un compacto).

Chapter 2

Lımites y continuidad de funciones enRn

2.1 Introduccion

En el curso de Calculo Infinitesimal se analizaron unicamente las funciones (reales) de una variable. Sinembargo, en la naturaleza hay fenomenos para cuya descripcion matematica se requieren funciones quedependen de mas de una variable y que, en Fısica, suelen denominarse campos. Ası, p. ej.,

• La temperatura de una region del espacio (a lo largo del tiempo):

T (x, y, z, t): R4 −→ R

• La velocidad de las partıculas de un fluido en movimiento

v(x, y, z): R3 −→ R3

• La fuerza gravitatoria en el entorno de una distribucion de masa

F (x, y, z): R3 −→ R3

En este capıtulo se va a hacer una presentacion de este tipo de funciones, comenzando ya a estudiarlos conceptos analıticos con ellas relacionados, tal como se hizo en su momento con las funciones de unavariable. Concretamente, se empezara introduciendo las nociones de lımite y continuidad y, en los siguientescapıtulos, se abordaran las cuestiones relativas a la diferenciabilidad e integrabilidad de estas funciones.

(A partir de ahora, siempre que no se diga explıcitamente lo contrario, se toman los dominios de lasfunciones abiertos a fin de evitar problemas de aproximacion a los puntos frontera).

2.2 Funciones de varias variables

2.2.1 Funciones escalares y vectoriales. Conjuntos de nivel

Definicion 14 Se denomina campo o funcion (real) de varias variables a toda aplicacion

f :A ⊆ Rn −→ Rm (n > 1, m ≥ 1)

La region A ⊆ Rn donde esta definida la aplicacion recibe el nombre de dominio de la funcion 1, y se indicacomo Dom f .

1El dominio de una funcion de varias variables suele estar dado por una o varias expresiones analıticas del tipo h(x1, . . . , xn) ≤0.

13


Igualmente, se denomina imagen de f al conjunto de puntos que son imagen de algun punto del dominio,Im f = {y ∈ Rm| f(x) = y, x ∈ A}.

1. Si m = 1 entonces se dice que f es un campo o funcion escalar.

2. Si m > 1 entonces se dice que f es un campo o funcion vectorial. En este caso se tiene

f : A ⊆ Rn −→ Rmx ≡ (x1, . . . , xn) 7→ (f1(x), . . . , fm(x))

donde fj :A ⊆ Rn → R (j = 1, . . . ,m) son funciones escalares que se denominan funciones componentesde f 2.

Ejemplos:

• Funciones escalares: temperatura, presion, densidad,...

• Funciones vectoriales: campos gravitatorio, electrostatico, electromagnetico...

Comentarios:

• Es evidente, a partir de lo expuesto en la definicion, que el estudio de una funcion vectorial se reduce alde sus funciones componentes. Por ese motivo, en adelante se prestara atencion preferente al analisisde las funciones escalares.

• Para una funcion vectorial con funciones componentes f = {fi}, se tiene que Dom f = ∩mi=1Dom fi.

Definicion 15 1. Sea f :A ⊆ Rn → Rm, con f = (f1, . . . , fm). Se denomina grafica de la funcion alconjunto graf f ⊂ Rn+m dado por

graf f := {(p; q) | p ∈ A, q = f(p)}≡ {(x1, . . . , xn; y1, . . . , ym) | (x1, . . . , xn) ∈ A, y1 = f1(x1, . . . , xn), . . . , ym = fm(x1, . . . , xn)}

2. Sea f :A ⊆ Rn → R. Se denomina conjunto de nivel k o equiescalar al conjunto de puntos del dominiodonde la funcion tiene el mismo valor k, es decir,

Φk := {p ≡ (x1, . . . , xn) ∈ A | f(p) = c (ctn.)}

3. Sea f :A ⊆ Rn → R. Se denomina seccion de la grafica de f a la interseccion de graf f con planos deRn+1. (Es habitual considerar los planos coordenados o planos paralelos a estos).

Comentarios:

• Un campo escalar f :A ⊆ R → R tiene como grafica, en general, una curva en R2 cuya ecuacion esy = f(x); lo que se denomina expresion explıcita de la curva. Igualmente, si f :A ⊆ R2 → R, la graficade f esta en R3 y es, generalmente, una superficie cuya expresion explıcita es z = f(x, y).

• Si se trata de una funcion de dos variables, un conjunto de nivel es, en general, una curva cuya ecuaciones F (x, y) = cte. Se dice que es una curva dada en forma ımplicita. En el caso de funciones de tresvariables, un conjunto de nivel es, en general, una superficie que, en forma ımplicita, se expresa comoF (x, y, z) = cte.

• Observese que, en particular, para funciones de dos variables f ≡ f(x, y), las secciones obtenidas alintersectar la grafica de f con los planos paralelos al plano coordenado XY proyectan sobre las curvasde nivel de la funcion (y analogamente sucede para funciones de mas variables).

2Los valores que toman estas funciones componentes en cada punto del dominio de f son, obviamente, las componentes deun vector de Rm

(de ahı el nombre de funciones vectoriales).


• El estudio de las secciones y superficies de nivel es util con vistas a tener una idea aproximada de comoes la grafica de la funcion.

Finalmente, dadas f ,g: Rn → Rm, se definen las funciones f + g, λf , fg: Rn → Rm como la suma oproducto componente a componente; es decir,

(f ,g)(x) = ((f1 + g1)(x), . . . , (fm + gm)(x))(λf)(x) = (λf1(x), . . . , λfm(x))

fg(x) = (f1(x)g1(x), . . . , fm(x)gm(x))

Analogamente la funcion producto escalar 〈f ,g〉: Rn → R esta dada por

〈f ,g〉(x) = f1(x)g1(x) + . . .+ fm(x)gm(x)

Por otra parte, si f : A ⊂ Rn → Rm y g : B ⊂ Rm → Rl, se define la funcion compuesta g ◦ f : C ⊂ Rn → Rlpor

(g ◦ f)(x) = g(f(x))

Notar que C = Dom (g ◦ f) = A ∩ f−1(B).

2.3 Lımites de funciones

2.3.1 Lımite de una funcion en un punto y en el infinito

Comenzaremos el analisis de las funciones de varias variables propiamente dicho estudiando el compor-tamiento de una funcion en el entorno de un punto. La primera nocion sobre este particular es la de lımite:

Definicion 16 Sea f :A ⊆ Rn → Rm una funcion, a ∈ Rn un punto de acumulacion de A y p ∈ Rm. p es ellımite de f en a si, ∀ε ≥ 0, ∃δ > 0 tal que si ‖x−a‖ < δ entonces ‖f(x)−p‖ < ε. Se escribira lim

x→af(x) = p,

o bien f(x) x→a−→ p 3.

Una definicion alternativa de este concepto viene dada por la siguiente propiedad:

Proposicion 16 Sea f :A ⊆ Rn → Rm una funcion, a ∈ Rn un punto de acumulacion de A y p ∈ Rm. p esel lımite de f en a si, y solo si, ∀{xl} ⊂ A, sucesion de puntos en A con lim

l→∞{xl} = a , se tiene que para la

sucesion de las imagenes, liml→∞

{f(xl)} = p .

( Dem. ) Como en el caso de una variable.

Las propiedades de los lımites de funciones de varias variables son analogas a las de las del caso de unavariable:

Proposicion 17 Sean f, g:A ⊆ Rn → Rm funciones, a ∈ Rn un punto de acumulacion de A y p, q ∈ Rm.

1. Si limx→a

f(x) = p entonces p es unico.

2. limx→a

f(x) = p si, y solo si, limx→a

fj(x) = pj (j = 1, . . . ,m) 4.

3. Si limx→a

f(x) = p y limx→a

g(x) = q , entonces limx→a

(f(x)± g(x)) = p± q .

3Esta es la misma definicion que para funciones de una variable cambiando el valor absoluto por la norma.4Ası, el calculo de lımites de funciones vectoriales se reduce al calculo de lımites de sus funciones componentes.


4. Si limx→a

f(x) = p y λ ∈ R, entonces limx→a

λf(x) = λp .

5. Si m = 1, limx→a

f(x) = p 6= 0 y f(x) 6= 0, ∀x ∈ A, entonces1

f(x)esta bien definida en A y lim

x→a

1f(x)

=1p

6. Si m = 1, f tiene lımite en a y este es positivo (resp. negativo), entonces existe alguna bola perforadacon centro en a sobre la que f toma valores positivos (resp. negativos).

7. Si m = 1 y f ≤ h ≤ g en un entorno perforado de a, y limx→a

f(x) = limx→a

g(x) = b, entonces limx→a

h(x) = b.

8. Si limx→a

f(x) = p y limx→a


f(x)g(x) = (p1q1, . . . , pmqm) 5.

9. Si limx→a

f(x) = p y limx→a


〈f(x), g(x)〉 = 〈p, q〉.

10. Si limx→a

f(x) = p, entonces limx→a

‖f(x)‖ = ‖p‖

11. Si f tiene lımite en a, entonces esta acotada sobre alguna bola de centro a.

12. Sean f :A ⊆ Rn → Rm y g:B ⊆ Rm → Rl, con f(A) ⊂ B, y tales que a es punto de acumulacion deA, b = lim

x→af(x) es un punto de acumulacion de B y lim

y→bg(y) = c, entonces lim

x→a(g ◦ f)(x) = c, siempre

que b 6∈ B o g es continua en b 6.

( Dem. ) Se demuestran facilmente a partir de las definiciones y propiedades dadas.

Finalmente, introduciremos los conceptos de lımites infinitos y en el infinito.

Definicion 17 Sea f :A ⊂ Rn → Rm, y a ∈ Rn.

1. f tiene lımite infinito en a si, ∀L > 0, ∃δ > 0 tal que ∀x ∈ A− {a} que cumpla ‖x− a‖ < δ se tiene‖f(x)‖ > L. Se expresa lim

x→af = ∞.

2. Si A es no acotado, f tiene lımite en el infinito si, ∀ε > 0, ∃M > 0 tal que , ∀x ∈ A que cumpla‖x‖ > M , se tiene ‖f(x)− b‖ < ε. Se expresa lim

x→∞f = b.

3. Si A es no acotado, f tiene lımite infinito en el infinito si, ∀L > 0, ∃M > 0 tal que, ∀x ∈ A que cumpla‖x‖ > M , se tiene ‖f(x)‖ > L. Se expres lim

x→∞f = ∞

2.3.2 Lımites direccionales. Lımites reiterados

En el calculo de lımites de funciones de varias variables no se dispone de tecnicas analogas a las del caso deuna variable 7. Ello obliga a desarrollar otros metodos de calculo nuevos basados en los conceptos que se vana exponer en este apartado. Dado que, segun se ha visto en el primer punto de la proposicion 17, el lımitede una funcion vectorial se obtiene calculando el de sus funciones componentes, solo vamos a considerar, enadelante, el caso de funciones escalares.

En el apartado anterior hemos podido observar (proposicion 16) que el lımite de una funcion en un puntopuede alcanzarse tomando una sucesion en el dominio que tenga como lımite ese punto, y analizando elcomportamiento de la sucesion de las imagenes. Es en este hecho en el que se va a basar la tecnica que vaa ser desarrollada. Ası, estudiaremos el comportamiento de la funcion en un punto acercandonos al mismopor medio de una sucesion de puntos que esten sobre una lınea. Esta es la idea que subyace en la siguientedefinicion:

Definicion 18 Sea f :A ⊆ Rn → R y a ∈ A un punto de acumulacion de A.5Donde f(x)g(x) ≡ (f1(x)g1(x), . . . , fm(x)gm(x)).6Ver seccion siguiente.7P. ej., no existe nada semejante a la regla de L’Hopital.


1. Si c: I ⊂ R → A es una curva parametrizada 8 que pasa por a (esto es, c(t0) = a), se denomina lımitede f en a segun la curva c(t) al valor lim

t→t0f(c(t)) (si existe) 9.

2. En particular, se denomina lımite direccional de f en a al lımite segun la recta c(t) := a+ tv; esto es,al valor lim

t→0f(a+ tv) (si existe).

Como caso particular, en el caso de funciones de dos variables, y con curvas (rectas) dadas en formaexplıcita se tiene que, si f :A ⊆ R2 → R y a ≡ (x0, y0) ∈ A un punto de acumulacion de A,

1. El lımite de f en a segun la curva y = g(x) (que pasa por a) es el valor limx→x0

f(x, g(x)) (si existe)

2. En particular, el lımite direccional de f en a es el lımite segun la recta y = mx+ b (que pasa por a);esto es, el valor lim

x→x0f(x,mx+ b) (si existe).

Comentarios:

• Los lımites segun curvas son la generalizacion al caso de varias variables, de la nocion de lımite lateraldel caso de una variable.

A este respecto, podrıa enunciarse un resultado analogo al correspondiente a lımites laterales en lossiguientes terminos:

Proposicion 18 limx→a

f(x) = p si, y solo si, los lımites segun todas las posibles curvas que pasen por aexisten y son iguales a p.

Y un obvio corolario de este resultado, referido a los lımites direccionales es:

Corolario 1 Si limx→a

f(x) = p entonces los lımites direccionales segun cualquier recta que pase por a existeny son iguales a p.

• Teniendo esto en cuenta, se puede asegurar que el lımite de una funcion en un punto no existe si se daalguno de los siguientes casos:

1. Si el lımite segun una curva depende de la curva elegida. En particular, si al hacer lımitesdireccionales, no existe el lımite para alguna recta o su valor depende de m (esto es, de la rectaque se toma).

2. Si existiendo y siendo iguales todos los lımites direccionales, no existe o es diferente de los ante-riores el lımite segun alguna otra curva.

• Una manera de indagar si existe el valor del lımite en un punto para funciones de dos o de tres variablesconsiste en hacer un cambio de coordenadas a polares (en R2) o a esfericas (en R3) y hacer r → 0 ( siel lımite es en el origen 10).

Para concluir esta seccion, hay que senalar que existen tambien los denominados lımites reiterados que,para una funcion de dos variables, son los del tipo

limx→x0

limy→y0

f(x, y) , limy→y0

limx→x0

f(x, y)

cuyo valor, en caso de existir y ser el mismo, no tiene por que coincidir con lim(x,y)→(x0,y0)

f(x, y). En particular,

se tiene que:8Ver capıtulo 4.9Observese que se trata de un lımite de una funcion de una variable.

10Si no, hay que hacer previamente otro cambio de coordenadas que lleve el punto en cuestion al origen.


• Si lim(x,y)→(a,b)

f(x, y) = p, y existen limx→a1

f(x, y) y limy→a2

f(x, y), entonces existen los lımites reiterados

de f y valen p.

• Puede ocurrir que exista lim(x,y)→(a,b)

f(x, y) y no existir alguno de los reiterados.

• Si existen el lımite de la funcion y los reiterados en un mismo punto, estos han de coincidir.

2.4 Continuidad

2.4.1 Continuidad. Propiedades de las funciones continuas

En la seccion anterior se ha tratado del concepto de lımite de una funcion en un punto, pero en ningunmomento se ha considerado la cuestion de si la funcion estaba o no definida en dicho punto. Esto da origenal siguiente concepto:

Definicion 19 Sea f :A ⊆ Rn → Rm y a ∈ Rn un punto de acumulacion de A 11.

1. f es continua en a si

(a) a ∈ A; es decir, ∃f(a), y

(b) limx→a

f(x) = f(a) 12.

2. f es continua en un conjunto B ⊆ A si lo es ∀x ∈ B.

Las propiedades de las funciones continuas se basan en las del lımite:

Proposicion 19 Sean f ,g:A ⊆ Rn → Rm funciones y a ∈ A.

1. f es continua en a si, y solo si, lo son todas y cada una de sus funciones componentes.

2. Si f y g son continuas en a, tambien lo es f ± g.

3. Sea λ ∈ R. Si f es continua en a, tambien lo es λf .

4. Si m = 1 y f(x) 6= 0, ∀x ∈ A, entonces1

f(x)esta bien definida en A y si f es continua en a, tambien

lo es1

f(x).

5. Si f y g son continuas en a, tambien lo es 〈f ,g〉.

6. Si f y g son continuas en a, tambien lo es fg.

7. Si m = 1, f(x) 6= 0 y f es continua en a, entonces f no cambia de signo en algun entorno de a.

8. Si f es continua en a, entonces f esta acotada en algun entorno de a.

9. Si g:B ⊆ Rm → Rl, b = f(a) ∈ B y f y g son continuas en a y b respectivamente, entonces g ◦ f escontinua en a.

Finalmente, se tiene tambien la siguiente caracterizacion de los conjuntos abiertos y cerrados:

Teorema 3 Sea f :A ⊆ Rn → Rm. Las tres afirmaciones siguientes son equivalentes.11Si a es un punto aislado de A entonces basta con asegurar la primera condicion.12Es la misma definicion que para funciones de una variable.


1. f es continua.

2. Para todo abierto V ⊂ Rm, f−1(V ) = A ∩ U , donde U es un abierto de Rn

3. Para todo cerrado T ⊂ Rm, f−1(T ) = A ∩ S, donde S es un cerrado de Rn

( Dem. ) (1 ⇒ 2) Sea V un abierto de Rm y a un punto de f−1(V ). Se ha de probar que a ∈ U ∩ A,con U abierto. Sea f(a) = b, como V es abiert, existe Bε(b) ⊂ V . Por ser f continua en A, existe Bδa(a) talque f(Bδa(a) ∩A) ⊂ Bε(b); de donde se deduce que

Bδa(a) ∩A ⊂ f−1(f(Bδa(a) ∩A)) ⊂ f−1(Bε(b)) ⊂ f−1(V )

y esto implica que

f−1(V ) = ∪a∈f−1(V ) [Bδa(a) ∩A] = [∪a∈f−1(V )Bδa

(a)] ∩A = U ∩A, con U abierto

donde se ha tenido en cuenta que la union de abiertos es un abierto.

(2 ⇒ 1) Sea a ∈ A y f(a) = b. Veamos que f es continua en a. Sean ε > 0 y Bε(b) la bola abiertaen Rm. Por hipotesis f−1 (Bε(b)) = U ∩A, con U abierto en Rn. Como a ∈ U ∩A y U es abierto, existe unδ > 0 tal que

Bδ(a) ∩A ⊂ U ∩A ⊂ f−1 (Bε(b))

luego f (Bδ(a) ∩A) ⊂ Bε(b), lo que implica que f es continua en a.

(2 ⇒ 3) T cerrado implica que Rm − T es un abierto. Luego, por 2, f−1 (Rm − T ) = U ∩A, dondeU es un abierto de Rn. Por tanto f−1(T ) = (Rn − U) ∩A y Rn − U es un cerrado de Rn.

(3 ⇒ 2) Analogo al caso anterior.

Ejemplo:

• Sea f : (0,∞) ⊂ R → R dada por f(x) =1x

, y V = [1,∞) (que es cerrado en R). Se tiene que

f−1(V ) = (0, 1] = [0, 1] ∩ (0,∞), donde U ≡ [0, 1] es cerrado.

2.4.2 Propiedades topologicas. Teorema de Weierstrass. Consecuencias

A continuacion vamos a resenar algunas propiedades de las funciones continuas, que son generalizaciones deotras bien conocidas en el calculo de una variable.

Teorema 4 (de Weierstrass): Sea K ⊂ Rn un compacto y f :K → Rm una funcion continua. Entoncesf(K) es compacto.

( Dem. ) Se ha de demostrar que f(K) es cerrado y esta acotado.

1. f(K) es cerrado: Hemos de probar que Fr (f(K)) ⊂ f(K) Sea y ∈ Fr (f(K)), sabemos que existe unasucesion {yh} ⊂ f(K) tal que lim

h→∞yh = y. Sea {xh} la sucesion en K tal que f(xh) = yh. Por ser

K compacto, existe una subsucesion {xhi} convergente en K, esto es, existe limi→∞

xhi que vale a ∈ K.

Por ser f continua, la sucesion {f(xhi)} converge a f(a) en Rm. Ahora bien, f(xhi) = yhi y la sucesion{yhi} es subsucesion de {yh}, que tiene lımite y, por tanto, ambas han de tener el mismo lımite. Luegoy = f(a) ∈ f(K), lo que implica Fr (f(K)) ⊂ f(K), y f(K) es un conjunto cerrado.

2. f(K) esta acotado: Si no lo estuviera, ∀h ∈ N, ∃xh ∈ K tal que ‖f(xh)‖ > h, y tendrıamos la sucesion{xh} en K que, como es un compacto, ha de tener alguna subsucesion convergente. Sea esta {xhl} ya ∈ K su lımite. Por tanto, puesto que f es continua, {f(xhl)} → f(a), lo cual es absurdo dado que lasucesion no esta acotada. Luego f(K) tiene que estar acotado.


Son consecuencias de este teorema:

Proposicion 20 Sea K ⊂ Rn compacto y f :K → R una funcion continua. Entonces f toma en K valoresextremos.

( Dem. ) Por el teorema anterior f(K) es un compacto, o sea cerrado y acotado. Sea h = inf f(K),entonces h es un punto adherente de f(K), que es un cerrado, lo que implica h ∈ f(K) ⊂ f(K). Por tanto,existe un x ∈ k tal que f(x) = h, luego f alcanza el ınfimo. Igualmente se demostrarıa la existencia delsupremo.

Corolario 2 Sea K ⊂ Rn compacto y f :K → Rm una funcion continua. Entonces:

1. Cada componente de f toma en K valores extremos.

2. ‖f‖ toma en K valores extremos.

( Dem. ) Basta considerar la proposicion anterior y, en el segundo apartado, que f continua⇒ ‖f‖ continua.

2.4.3 Continuidad uniforme

Definicion 20 Sea f :A ⊆ Rn → Rm. f es uniformemente continua en A si ∀ε > 0 ∃δ > 0 tal que, six, y ∈ A con ‖x− y‖ < δ, entonces ‖f(x)− f(y)‖ < ε 13.

Las propiedades de las funciones uniformemente continuas son las mismas que en el caso de una variable.

Proposicion 21 Sea f :A ⊆ Rn → Rm una funcion uniformemente continua en A. Entonces:

1. f es continua en A.

2. Si {xm} es una sucesion de Cauchy, tambien lo es {f(xm)}.

( Dem. ) Inmediatas ambas.

Finalmente, enunciamos (sin demostrar) que:

Teorema 5 (de Cauchy): Si K ⊂ Rn es un compacto y f :K → Rm es una funcion continua en K, entonceses uniformemente continua en K.

13Es la misma definicion que para funciones de una variable, sustituyendo valor absoluto por norma y tiene, por tanto, lamisma interpretacion geometrica.

Chapter 3

Calculo Diferencial en Rn

3.1 Introduccion

En este capıtulo se trata esencialmente de introducir la nocion de derivada o, mas exactamente, de diferencialde una funcion de varias variables y sus propiedades. Como ya es costumbre, se busca generalizar el conceptoya existente en el caso de una variable. Por ello conviene recordar que, en ese caso, hay dos maneras deentender esta cuestion, que corresponden a otras tantas maneras de interpretar el concepto de derivada:

• la interpretacion analıtica de la derivada como lımite del cociente incremental, y

• la interpretacion geometrica de la derivada como aplicacion lineal que permite definir la recta tangentea la grafica de la funcion. En esta interpretacion se apoya precisamente la aplicacion de la aproximacionlineal de funciones.

Ademas de ello, se han de tener presente las propiedades analıticas de la derivada que la hacen tan util(reglas algebraicas, regla de la cadena, etc.).

Si para generalizar este concepto al caso de varias variables se sigue el primer metodo se llega a la nocionde derivada parcial o, mas genericamente, al de derivada direccional. Sin embargo, el resultado obtenido esinsatisfactorio por cuanto sus propiedades distan mucho de ser las esperadas (no se satisface la regla de lafuncion compuesta ni es adecuado para obtener aproximaciones lineales, como ya veremos). Sin embargo,siguiendo el segundo metodo se llega tambien a las nociones anteriores y se obtiene un concepto plenamentesatisfactorio en lo referente a sus propiedades analıtico-geometricas. Este sera, por tanto, el camino queseguiremos en la exposicion.

Finalmente, tambien se van a introducir los diversos operadores diferenciales: gradiente, rotacional,divergencia y laplaciana, conceptos relacionados como son las nociones de campo conservativo, irrotacionaly solenoidal, y las propiedades mas relevantes de estos operadores.

3.2 Diferenciabilidad de funciones en Rn

3.2.1 Diferenciabilidad de una funcion en un punto. Interpretacion geometrica

Recordemos que, en el caso de una variable, dada una funcion f :A ⊆ R → R y a ∈ A, se podıa interpretarla derivada de f en a como una aplicacion lineal

f ′a : R −→ Rh 7−→ αh

21


con α =dfdx

(a) ≡ f ′(a) . La interpretacion geometrica era que la imagen de esta aplicacion daba una

aproximacion al valor f(a+ h)− f(a); esto es, de forma mas rigurosa,

f(a+ h) = f(a) + αh+R1(h) , (con R1(h) = o(h) si h→ 0)

Se sabe, ademas, que, si la funcion es derivable en a, la ecuacion de la recta tangente a graf f en el punto(a, f(a)) es precisamente

y = f(a) + α(x− a)

luego el valor de la aproximacion f(a) +αh es la ordenada del punto de esta recta cuya abcisa es x = a+ h.Observese que, el que esta recta sea tangente a la grafica esta determinado por el hecho de que la diferenciaR1(h) = f(a+ h)− (f(a) + αh) es un infinitesimo de primer orden cuando h→ 0.

Todo esto daba origen a la siguiente caracterizacion de la derivada de una funcion en un punto:

Definicion 21 Sea f :A ⊆ R → R y a ∈ A. f es derivable en a si existe una aplicacion lineal f ′a: R −→ Rtal que

1. f(a+ h) = f(a) + f ′a(h) +R1(h) = f(a) + αh+R1(h).

2. R1(h) = o(‖h‖) cuando h→ 0.

En tal caso se denomina derivada de f en a al valor 1

f ′(a) ≡ α = limh→0

f(a+ h)− f(a)h

Pretendemos generalizar estas ideas al caso de funciones de varias variables. Comenzaremos razonandocon funciones escalares de dos variables y despues extenderemos los razonamientoa al caso general.

Sea f :A ⊆ R2 → R y a ≡ (a1, a2) ∈ A. Siguiendo las pautas del caso de una variable, lo que se busca es,en primer lugar, una aplicacion lineal

Daf : R2 −→ Rh 7−→ Daf( h)

tal que la imagen de esta aplicacion de una aproximacion al valor f(a + h) − f(a); esto es, de forma masrigurosa,

f(a+ h) = f(a) + Daf( h) +R1(h) , (con R1(h) = o(‖h‖))

Si se designa por Jaf = (α β) la matriz asociada a esta aplicacion lineal, la expresion precedente adopta laforma explıcita

f(a+ h) = f(a) + Jaf( h) +R1(h) = f(a) + αh1 + βh2 +R1(h)

y poniendo (h1, h2) ≡ h = x− a ≡ (x− a1, y − a2) y z ≡ f(x, y) se tiene que

z = f(a) + Jaf(x− a) = f(a1, a2) + α(x− a1) + β(y − a2)

es la ecuacion de un plano en R3 tal que la condicion R1(h) = o(‖h‖) hace que sea tangente a la graf f enel punto (a, f(a)) ∈ R3.

Si la funcion escalar es de mas variables, todo es igual, salvo que la aplicacion en cuestion es ahora

Daf : Rn −→ Rh 7−→ Daf( h)

cumpliendo quef(a+ h) = f(a) + Daf( h) +R1(h) , (con R1(h) = o(‖h‖))

1Que se obtiene directamente a partir de estas condiciones.


y tiene por matriz asociada Jaf = (α1 . . . αn), con lo que estaremos considerando un hiperplano en Rn+1 enlugar de un plano en R3, cuya ecuacion tiene la expresion mas general

z = f(a) + Jaf(x− a) = f(a) +n∑i=1

αi(xi − ai)

y tal que la condicion R1(h) = o(‖h‖) hace que sea tangente a la graf f en el punto (a, f(a)) ∈ Rn+1.

Finalmente, si la funcion es vectorial, f = (f1, . . . , fm), todo lo dicho se aplica a todas y cada una de susfunciones componentes; es decir, tendremos una aplicacion

Daf : Rn −→ Rmh 7−→ Daf(h)

que verifica quef(a+ h) = f(a) + Daf(h) +R1(h) , (con R1(h) = o(‖h‖))

y tiene por matriz asociada

Jaf =

α11 . . . αn1...

...α1m . . . αnm

con lo que estaremos considerando hiperplanos en Rn+1 cuyas ecuaciones pueden escribirse en forma com-pacta como z1

...zm

≡ z = f(a) + Jaf(x− a) =

f1(a)...

fm(a)

+

α11 . . . αn1...

...α1m . . . αnm

x1 − a1

...xn − an

y tales que la condicion R1(h) = o(‖h‖) hace que sean tangentes cada uno de ellos a la correspondientegraf fj en el punto (a, fj(a)) ∈ Rn+1.

Teniendo esto en cuenta, es posible generalizar la definicion 21 en los siguientes terminos:

Definicion 22 Sea f :A ⊆ Rn → Rm y a ∈ A. f es diferenciable en a si existe una aplicacion linealDaf : Rn −→ Rm tal que

1. f(a+ h) = f(a) + Daf(h) +R1(h).

2. R1(h) = o(‖h‖) cuando h→ 0.

En tal caso se denomina diferencial de f en a a dicha aplicacion.

f es diferenciable en A si es diferenciable ∀a ∈ A.

Comentario:

• Observese que la condicion 2 significa que

limh→0

f(a+ h)− (f(a) + Daf(h))‖h‖

= 0 (3.1)

y, dado que esta igualdad expresa el hecho la propiedad de que los hiperplanos sean tangentes a lascorrespondientes graficas, de ahora en adelante la denominaremos condicion de tangencia.

Por supuesto, es evidente que:

Proposicion 22 Sea f :A ⊆ Rn → Rm y a ∈ A. f es diferenciable en a si, y solo si, lo son todas y cadauna de sus funciones componentes fj.


3.2.2 Derivadas direccionales. Derivadas parciales. Matriz jacobiana

Llegados a este punto, lo que queda por hacer es definir de manera unıvoca la aplicacion diferencial, esto es,determinar los coeficientes de su matriz asociada Jaf .

Para ello, partiremos de la condicion de tangencia expresada en la ecuacion (3.1). Teniendo en cuentaque la existencia del lımite de una funcion en un punto obliga a la existencia e igualdad de todos loslımites direccionales segun cualquier recta que pase por el punto (corolario 1), se pueden elegir caminos deaproximacion al punto h = 0 que sean rectas de ecuacion h = tv (con v un vector director de la recta) 2 ycomo h→ 0 ⇔ t→ 0, se tendra que cumplir que

0 = limt→0

f(a+ tv)− f(a)−Daf(tv)‖tv‖

=1‖v‖

limt→0

f(a+ tv)− f(a)− tDaf(v)|t|

donde se ha hecho uso de que Daf es una aplicacion lineal. Esto implica que

0 =∥∥∥ limt→0

f(a+ tv)− f(a)− tDaf(v)|t|

∥∥∥ = limt→0

∥∥∥ f(a+ tv)− f(a)− tDaf(v)t

∥∥∥= lim

t→0

∥∥∥ f(a+ tv)− f(a)t

−Daf(v)∥∥∥ =

∥∥∥ limt→0

f(a+ tv)− f(a)t

−Daf(v)∥∥∥

y de aquı se obtiene que ha de ser

0 = limt→0

f(a+ tv)− f(a)t

−Daf(v) ⇐⇒ Daf(v) = limt→0

f(a+ tv)− f(a)t

igualdad que, escrita en forma matricial es α11 . . . αn1...

...α1m . . . αnm

v1

...vn

= limt→0

1t

f1(a+ tv)

...fm(a+ tv)

−

f1(a)...

fm(a)

(3.2)

Si ahora, en particular, se toma como recta de aproximacion el primero de los ejes que, tomando como vectordirector v = (1, 0, . . . , 0), tiene por ecuacion h1 = t, h2 = . . . = hn = 0, se obtienen los siguientes coeficientesde Jaf

α1j = lim

t→0

fj(a1 + t, a2, . . . , an)− fj(a1, . . . , an)t

y tomando sucesivamente como rectas de aproximacion el resto de los ejes se obtienen todos los demascoeficientes que estan dados por

αij = limt→0

fj(a1, . . . , ai + t, . . . , an)− fj(a1, . . . , an)t

Entonces, con toda generalidad se puede definir:

Definicion 23 Sean f :A ⊆ Rn → Rm, a ∈ A y v ∈ Rn un vector. Se denomina derivada direccional de fen a segun v al valor del siguiente lımite (si existe)

Daf(v) ≡ ∂f∂v

(a) := limt→0

f(a+ tv)− f(a)t

(3.3)

En particular, se denomina derivada parcial de f en a respecto a la variable xi o tambien derivada parciali-esima de f en a a la derivada direccional de f en a segun el vector ei de la base canonica 3 asociada alsistema de coordenadas de Rn; esto es, al valor del siguiente lımite (si existe) 4

∂f∂xi

(a) = f fxi(a) ≡ limt→0

f(a1, . . . , ai + t, . . . , an)− f(a1, . . . , an)t

2Notese que se trata de una ecuacion vectorial (h1, . . . , hn) = t(v1, . . . , vn).3Es decir, en la direccion del eje coordenado Xi.4Se observa que esta es la generalizacion inmediata de la definicion analıtica de derivada como lımite del cociente incremental

que se tenıa para funciones de una variable.


Si las derivadas parciales existen ∀x ∈ B ⊆ A, se denomina funcion derivada parcial de f respecto a lavariable xi o tambien funcion derivada parcial i-esima de f a la funcion

∂f∂xi

: B ⊂ Rn −→ Rm

a 7−→ ∂f∂xi

(a)

Comentarios:

• Las derivadas direccionales (o parciales) son vectores si m > 1, o nmeros si m = 1; esto es, segun setrate de una funcion vectorial o escalar.

• La derivada direccional de una funcion escalar en un punto segun un vector dado da cuenta de lavariacion de la funcion en un entorno de dicho punto, en la direccion dada.

• La derivada parcial de una funcion de varias variables no es otra cosa que la derivada ordinaria respectoa una de las variables, manteniendo las otras constantes; es decir, mide la variacion de la funcion en ladireccion de esa variable. Ası pues, en muchos casos, se pueden calcular como derivadas ordinarias deuna funcion de una variable 5.

• Una funcion escalar de n variables puede tener hasta n derivadas parciales en cada punto.

A partir de aquı, se define:

Definicion 24 Sea f :A ⊆ Rn → Rm Si existen todas la derivadas parciales de f en a, se denomina matrizjacobiana de f en a a la matriz que tiene por componentes los valores de estas derivadas parciales:

Jaf ≡

∂f1∂x1

(a) . . . ∂f1∂xn

(a)...

...∂fm

∂x1(a) . . . ∂fm

∂xn(a)

Si Jaf es una matriz cuadrada, se denomina jacobiano a su determinante.

Y con toda esta terminologıa se ha probado que:

Proposicion 23 Sea f :A ⊆ Rn → Rm y a ∈ A. Si f es diferenciable en a entonces:

1. Existen todas las derivadas direccionales de sus funciones componentes en a y, en particular, susderivadas parciales en a.

2. Jaf es una matriz asociada a la diferencial de f en a, Daf .

Como obvio corolario de esta proposicion y de acuerdo con la definicion de derivada direccional (ecuacion(3.3) y la igualdad (3.2), se tiene que:

Corolario 3 Sea f :A ⊆ Rn → Rm y a ∈ A. Si f es diferenciable en a entonces

Daf(v) = Jaf(v)

(es decir, la derivada direccional de una funcion en un punto segun un vector dado es la imagen de dichovector por la aplicacion diferencial de la funcion en ese punto).

Comentarios:5En algunas ocasiones esto no es ası; p. ej., la funcion f(x, y) = x1/3y1/3 en (0, 0) tiene derivadas parciales iguales a 0, pero

no se pueden calcular derivando las funciones x1/3 y y1/3, dado que ninguna de ellas es derivable en el origen.


• Es obvio que tomando otras derivadas direccionales en a que no fueran segun los vectores de la basecanonica de Rn se obtendrıa otra matriz asociada a la aplicacion lineal Daf . La matriz jacobiana Jafes pues la matriz asociada a la aplicacion lineal Daf referida a la base canonica.

• Observese que los coeficientes de la matriz jacobiana son numeros cuyo valor, en general, cambia alcambiar de punto. Esto pone de manifiesto que la aplicacion diferencial depende del punto en cuestion.

• Notese que esta proposicion asegura la unicidad de la diferencial, ya que queda determinada por lasderivadas parciales que son, obviamente, unicas.

• El recıproco de esta proposicion no es cierto; esto es, la existencia de las derivadas parciales no garantizala diferenciabilidad, tal como queda puesto de manifiesto en los siguientes contraejemplos:

Ejemplos:

– f(x, y) ≡ x1/3y1/3, en el origen a = (0, 0).Tiene derivadas parciales:

∂f

∂x(0, 0) = lim

t→0

f(t, 0)− f(0, 0)t

= limt→0

t1/30− 0t

= 0

∂f

∂y(0, 0) = lim

t→0

f(0, t)− f(0, 0)t

= limt→0

0t1/3 − 0t

= 0

pero no es diferenciable por no cumplirse la condicion de tangencia, ya que

limh→0

f(h)− f(0, 0)− ∂f∂x (0, 0)h1 − ∂f

∂y (0, 0)h2

‖h‖= lim

(h1,h2)→(0,0)

h1/31 h

1/32 − 0− 0− 0√h2

1 + h22

no existe (como se comprueba, p. ej., haciendo el lımite direccional segun la recta h1 = h2, queda ∞).

– f(x, y) ={

1 si x = 0 o y = 00 si x 6= 0 y y 6= 0 , en el origen a = (0, 0).

Tiene derivadas parciales:

∂f

∂x(0, 0) = lim

t→0

f(t, 0)− f(0, 0)t

= limt→0

1− 1t

= 0

∂f

∂y(0, 0) = lim

t→0

f(0, t)− f(0, 0)t

= limt→0

1− 1t

= 0

pero no es diferenciable por no cumplirse la condicion de tangencia, ya que

limh→0

f(h)− f(0, 0)− ∂f∂x (0, 0)x− ∂f

∂y (0, 0)y

‖h‖= lim

(h1,h2)→(0,0)

0− 1− 0− 0√h2

1 + h22

= −∞

3.2.3 Interpretacion geometrica de las derivadas parciales. Aproximacion lineal

A raiz de todo lo expuesto y a modo de conclusion, senalemos que el que una funcion sea diferenciable enun punto es equivalente a que

1. Exista la aplicacion lineal definida por la matriz jacobiana; lo que implica que existan las derivadasparciales de la funcion en el punto en cuestion.

2. Se cumpla la condicion de tangencia.

Dada una funcion f :A ⊆ Rn → R y a ∈ A, ha quedado pues claro, que las derivadas parciales de f en a,si existen, definen un (hiper)plano en Rn+1 cuya ecuacion general es

xn+1 = f(a) +n∑i=1

∂f

∂xi(a)(xi − ai) ≡ f(a) + Jaf(x− a) (3.4)


o, en forma vectorial,

0P = (a, f(a)) + λ1(1, 0, . . . ,∂f

∂x1(a)) + . . .+ λn(0, . . . , 1,

∂f

∂xn(a)) (3.5)

Si la funcion es, ademas, diferenciable en a, dicho (hiper)plano es tangente a graf f en (a, f(a)).

No es difıcil darse cuenta 6 de que el valor de cada derivada parcial∂f

∂xi(a) es la pendiente de la recta

tangente en (a, f(a)) a la curva obtenida al intersectar graf f con el (hiper)plano

x1 = a1 , . . . , xi−1 = ai−1 , xi+1 = ai+1 , . . . , xn = an

cuya ecuacion es, por tanto,

xn+1 = f(a) +∂f

∂xi(a)(xi − ai) ; x1 = a1 , . . . , xi−1 = ai−1 , xi+1 = ai+1 , . . . , xn = an

Teniendo todo esto en cuenta y recordando el significado analıtico-geometrico de la diferencial se establecela siguiente definicion:

Definicion 25 Sea f :A ⊆ Rn → R y a ∈ A, tal que f es diferenciable en a.

1. Se denomina (hiper)plano tangente a la graf f en (a, f(a)) al (hiper)plano de Rn+1 definido por ladiferencial de f en a (que tiene por ecuacion las expresiones (3.4) y (3.5)).

2. Se denomina aproximacion lineal de la funcion f en a al valor obtenido al utilizar la ecuacion del(hiper)plano como aproximacion de la funcion en un entorno E(a). (Es decir, al valor obtenido alcalcular con la aplicacion lineal Daf).

3.2.4 Caracterizacion de funciones diferenciables

Vamos a analizar seguidamente algunas condiciones para la diferenciabilidad. Para empezar estudiaremos larelacion entre diferenciabilidad y continuidad. De manera equivalente al caso de una variable se tiene que:

Proposicion 24 Si f :A ⊆ Rn → Rm es diferenciable en a ∈ A, entonces es continua en a.

( Dem. ) Por definicion, f :A ⊆ Rn → Rm es diferenciable en a ∈ A si f(a + h) = f(a) + Daf(h) + R1(h),con R1(h) = o(‖h‖) para h→ 0. Entonces, como lim

h→0Daf(h) = 0 , se tiene que lim

h→0f(a+ h) = f(a) , luego

f es continua en a.

Comentario:

• La sola existencia de las derivadas parciales en un punto, o direccionales en general, no garantizala continuidad de la funcion en dicho punto, como pone de manifiesto el segundo de los ejemplosconsiderados al final del apartado anterior y tambien el siguiente:

Ejemplo:

Sea f : R2 → R definida por f(x, y) =

xy2

x2 + y4si x 6= 0

0 si x = 0Sea v = (v1, v2), entonces

D0f(v) = limt→0

f(tv1, tv2)− f(0, 0)t

= limt→0

v1v22

v21 + t2v4

2

=

v22

v1si v1 6= 0

0 si v1 = 0

6Basta con hacer un analisis en el caso de una funcion de dos variables.


luego la funcion tiene derivadas direccionales en (0, 0), sin embargo el lımite de la funcion segun lacurva x = y2 es

limy→0

f(y2, y) =y4

y4 + y4=

126= f(0, 0) = 0

y por tanto la funcion no es continua en (0, 0).

Sin embargo, existen resultados relativos exclusivamente a las derivadas parciales, o direccionales engeneral, que dan condiciones suficientes para la diferenciabilidad. Los principales son los siguientes:

Proposicion 25 Sea f :A ⊆ Rn → Rm y a ∈ A. Si f tiene todas sus derivadas parciales definidas en unentorno E(a) y son funciones acotadas en E(a), entonces f es continua en a.

( Dem. ) Por simplicidad se probara para funciones de dos variables f(x, y). Si∣∣∣∂f∂x

∣∣∣ < k y∣∣∣∂f∂y

∣∣∣ < k en

todos los puntos de U , entonces

|f(x+ h, y + k)− f(x, y)| ≤ |f(x+ h, y + k)− f(x+ h, y)|+ |f(x+ h, y)− f(x, y)|

≤∣∣∣k∂f∂y

∣∣∣(x+h,α)

+∣∣∣k∂f∂x

∣∣∣(β,y)

≤ (|k|+ |h|)k 7→ 0 (para h→ 0, k → 0)

Proposicion 26 Sea f :A ⊆ Rn → Rm y a ∈ A. Si f tiene todas sus derivadas parciales definidas en unentorno E(a) y son funciones continuas en a, entonces f es diferenciable en a.

( Dem. ) Basta con demostrarlo para funciones escalares.

Sean la bola de centro a y radio ε, Bε(a), en la que como sabemos existen las derivadas parciales de f , yh ∈ Rn tal que a+ h ∈ Bε(a), se tiene

f(a+ h)− f(a) = [f(a+ h1e1)− f(a)]++ [f(a+ h1e1 + h2e2)− f(a+ h1e1)]++ [f(a+ h1e1 + h2e2 + h3e3)− f(a+ h1e1 + h2e2)]++ −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−+ [f(a+ h1e1 + ... + hnen)− f(a+ h1e1 + ... + hn−1en−1)] =

=∂f

∂x1(c1)h1 + ... +

∂f

∂xn(cn)hn

dondec1 = a+ λ1e1 con 0 < λ1 < h1

c2 = a+ λ1e1 + λ2e2 con 0 < λ2 < h2

...cn = a+ λ1e1 + ...+ λnen con 0 < λn < hn

de modo que

f(a+ h)− f(a) =n∑i=1

∂f

∂xi(a) +

n∑i=1

(∂f

∂xi(ci)−

∂f

∂xi(a))hi

y como las derivadas parciales son continuas en a, se tiene que

limh→0

∣∣∣∣∣f(a+ h)− f(a)−n∑i=1

∂f

∂xi(a)hi

∣∣∣∣∣‖h‖

= limh→0

∣∣∣∣∣(

n∑i=1

∂f

∂xi(ci)−

∂f

∂xi(a)

)hi

∣∣∣∣∣‖h‖

≤ limh→0

n∑i=1

∣∣∣∣ ∂f∂xi (ci)− ∂f

∂xi(a)∣∣∣∣ = 0

luego f es diferenciable en a.

Comentario:


• Se puede probar que la existencia y continuidad de las derivadas parciales en E(a) grantiza la existenciay continuidad de todas las derivadas direccionales en los puntos de ese entorno.

Esto da origen a la siguiente definicion:

Definicion 26 Sea f :A ⊆ Rn → Rm y U ⊂ A. f es una funcion de clase C1 o tambien diferenciable concontinuidad en U si f tiene todas sus derivadas parciales definidas y son funciones continuas en U 7.

3.3 Propiedades de las funciones diferenciables

3.3.1 Propiedades elementales (linealidad y otras)

Las propiedades elementales de la diferenciabilidad son las siguientes:

Proposicion 27 Sean f ,g:A ⊆ Rn → Rm funciones diferenciables en a ∈ A.

1. (Linealidad de la diferencial): ∀λ, µ ∈ R, λf + µg es diferenciable en a y

Da(λf + µg) = λDaf + µDag

2. Para m = 1 (funciones escalares): fg es diferenciable en a y

Da(fg) = Daf g(a) + f(a)Dag

3. Para m = 1 (funciones escalares): Si g(x) 6= 0, ∀x ∈ A, entonces f/g esta bien definida en A, esdiferenciable en a y

Da(f/g) =1

g(a)2(Daf g(a)− f(a)Dag)

4. 〈f ,g〉 es diferenciable en a y

Da〈f ,g〉 = Da

m∑j=1

(fjgj) =m∑j=1

(Dafj gj(a) + fj(a)Dagj)

( Dem. ) Todas son inmediatas. Basta tener en cuenta que trabajar con las diferenciales es equivalente ahacerlo con sus matricas jacobianas asociadas.

3.3.2 Derivadas parciales de orden superior. Teorema de Schwarz

Sea f :A ⊆ Rn → R 8. Si sus derivadas parciales existen ∀x ∈ B ⊆ A, cabe preguntarse por su continuidady diferenciabilidad como funciones

∂f

∂xi:B ⊂ Rn −→ R

Entonces:

Definicion 27 Sea f :A ⊆ Rn → R y a ∈ A. Se denomina derivada parcial de segundo orden de f en arespecto a las variables xi y xj a la derivada parcial en a (respecto a xj) de la funcion derivada parcial

(respecto a xi):∂2f

∂xj∂xi(a) ≡

∂ ∂f∂xi

∂xj(a)

7Por tanto la funcion es diferenciable en U , de acuerdo con el teorema anterior.8f puede ser una funcion componente de un campo vectorial.


Si la anterior derivada parcial de segundo orden de f existe ∀x ∈ D ⊆ B, se denomina funcion derivadaparcial de segundo orden de f respecto a las variables xi y xj a la funcion

∂2f∂xj∂xi

: D ⊂ Rn −→ Ra 7−→ ∂2f

∂xj∂xi(a)

Definicion 28 Sea f :A ⊆ Rn → R y a ∈ A, tal que existen todas la derivadas parciales de segundo ordende f en a. Se denomina matriz hessiana de f en a a la matriz que tiene por componentes los valores deestas derivadas parciales:

Haf ≡

∂2f∂x2

1(a) . . . ∂2f

∂xn∂x1(a)

......

∂2f∂x1∂xn

(a) . . . ∂2f∂x2

n(a)

Haf es una matriz cuadrada y su determinante se denomina hessiano.

La definicion de derivada parcial se puede iterar sucesivamente, obteniendose ası todas las denominadas

derivadas parciales de orden superior de f ,∂kf

∂xi1 . . . ∂xik. En particular, se denominan derivadas cruzadas a

las derivadas parciales de orden superior obtenidas derivando respecto a las mismas variables pero en ordendiferente.

Entonces, atendiendo a la continuidad de estas funciones se define:

Definicion 29 Sea f :A ⊆ Rn → R y U ⊆ A. f es una funcion de clase Ck en U si existen las derivadasparciales de orden k de f y son funciones continuas en U 9.

Se dira que f es una funcion de clase C∞ o suave en U si f es una funcion de clase Ck en U , ∀k ∈ N.

Comentario:

• El orden en que se deriva para obtener las derivadas parciales de orden superior es relevante, ya queno siempre se cumple que las derivadas cruzadas sean iguales.

Ejemplo: La funcion

f(x, y) =

{xy x

2−y2

x2+y2 si (x, y) 6= (0, 0)0 si (x, y) = (0, 0)

tiene derivadas parciales en todo su dominio:

∂f

∂x=

{x4y+4x2y3−y5

(x2+y2)2 si (x, y) 6= (0, 0)

limt→0f(t,0)−f(0,0)

t = 0 si (x, y) = (0, 0)

∂f

∂y=

{x5−4x3y2−xy4

(x2+y2)2 si (x, y) 6= (0, 0)

limt→0f(0,t)−f(0,0)

t = 0 si (x, y) = (0, 0)

mientras que las derivadas parciales cruzadas de segundo orden son

∂2f

∂x∂y=

{x6−y6+9x4y2−7x2y4

(x2+y2)3 si (x, y) 6= (0, 0)

limt→0

∂f∂y (t,0)− ∂f

∂y (0,0)

t = 1 si (x, y) = (0, 0)

∂2f

∂y∂x=

{x6−y6+9x4y2−7x2y4

(x2+y2)3 si (x, y) 6= (0, 0)

limt→0

∂f∂x (0,t)− ∂f

∂x (0,0)

t = −1 si (x, y) = (0, 0)

Es decir que∂2f

∂y∂x(0, 0) 6= ∂2f

∂x∂y(0, 0)

9Por tanto, las derivadas parciales de orden k − 1 son diferenciables en U .


En relacion con el problema de la igualdad de las derivadas cruzadas, vamos a estudiar a continuacionbajo que condiciones se puede garantizar esta o, lo que es lo mismo, cuando la matriz hessiana es simetrica.La respuesta a esta cuestion la da el siguiente teorema:

Teorema 6 (de Schwarz): Sea f :A ⊆ Rn → R y a ∈ A. Si f tiene derivadas parciales cruzadas de segundoorden en un entorno abierto E(a) y son funciones continuas en a, entonces las derivadas cruzadas de segundoorden en a son iguales:

∂2f

∂xi∂xj(a) =

∂2f

∂xj∂xi(a) (∀i, j)

( Dem. ) Vease J.M. Ortega, Introduccio a l’Analisi Matematica.

Un corolario inmediato de este teorema es:

Corolario 4 Sea f :A ⊆ Rn → R y a ∈ A. Si f es una funcion de clase Ck en un entorno abierto E(a),entonces las derivadas cruzadas de cualquier orden m (con m = 2, . . . , k) en a, respecto a m variablescualesquiera, son iguales:

∂mf

∂xi1 . . . ∂xim(a) =

∂mf

∂xπ(i1) . . . ∂xπ(im)(a) (∀m = 2, . . . , k)

( Dem. ) Inmediata.

Comentario:

• Todas las funciones elementales son de clase C∞ en sus dominios. Por consiguiente, cualquier combi-nacion lineal o composicion (como veremos de inmediato) de ellas tambien lo es.

3.3.3 Regla de la cadena. Aplicaciones

Una de las propiedades mas relevantes de las funciones diferenciables es la generalizacion de la regla de lacadena al caso de varias variables; esto es, la regla de diferenciacion de funciones compuestas.

Teorema 7 Sean f :A ⊆ Rn → Rm y g:B ⊆ Rm → Rp con f(A) ⊆ B y tales que f es diferenciable en a ∈ Ay g es diferenciable en b = f(a) ∈ B. Entonces g ◦ f es diferenciable en a y

Da(g ◦ f) = Df(a)g ◦Daf (3.6)

( Dem.) Que f sea diferenciable en a significa que f(a + h) = f(a) + Dafh + R1(h) con R1(h) = o(‖h‖).Que g lo sea en b = f(a) significa que g(b + k) = g(b) + Dbgk + T1(k) con T1(k) = o(‖k‖). Tomandok = f(a+ h)− f(a) = f(a+ h)− b se tiene

g(f(a+ h)) = g(f(a)) + Dbg(f(a+ h)− f(a)) + T1(k)= (g ◦ f)(a)) + Df(a)g ◦Dafh+ Df(a)gR1(h) + T1(k)≡ (g ◦ f)(a)) + Df(a)g ◦Dafh+R1(h)

pero Dg(f(a))R1(h) = o(‖h‖) trivialmente y, como h → 0 ⇒ k → 0, se tiene que T1(k) = o(‖h‖), luegoR1(h) = o(‖h‖), lo cual completa la demostracion.

Comentarios:

• Como corolario de este teorema se tiene que, si f y g son de clase Ck en E(a)) y E(b) respectivamente,con f(E(a)) ⊆ E(b), entonces g ◦ f es de clase Ck en E(a).


• Dado que el segundo miembro de la expresion (3.6) es una composicion de aplicaciones, puede enten-derse como un producto de matrices (jacobianas)

Ja(g ◦ f) = Jf(a)gJaf

Ası, si

f : A ⊆ Rn −→ A ⊆ Rmx ≡ (x1, . . . , xn) 7→ (f1(x), . . . , fm(x)) ;

g : A ⊆ Rm −→ Rpy ≡ (y1, . . . , ym) 7→ (g1(y), . . . , gp(y))

al hacer la composicion h := g ◦ f , se tiene

h ≡ g ◦ f : Rn f−→ Rm g−→ Rpx ≡ (x1, . . . , xn) 7→ (y1 ≡ f1(x), . . . , ym ≡ fm(x)) 7→ (g1(y), . . . , gp(y))

con lo cual∂h1∂x1

(a) . . . ∂h1∂xn

(a)...

...∂hp

∂x1(a) . . .

∂hp

∂xn(a)

=

∂g1∂y1

(f(a)) . . . ∂g1∂yn

(f(a))...

...∂gm

∂y1(f(a)) . . . ∂gm

∂yn(f(a))

∂f1∂x1

(a) . . . ∂f1∂xn

(a)...

...∂fn

∂x1(a) . . . ∂fn

∂xn(a)

esto es,

∂hk∂xi

(a) =m∑j=1

∂gk∂yj

(f(a))∂fj∂xi

(a) (∀i = 1, . . . , n) (∀k = 1, . . . , p)

• Una aplicacion particular de la regla de la cadena es el cambio de variables.

• La composicion de dos funciones no diferenciables puede ser diferenciable. En tal caso su diferencialha de calcularse a partir de la expresion de la funcion compuesta, ya que no es aplicable la regla de lacadena.

Ejemplo:

– Sean las funciones

f(x) ={

x si x ≤ 0x2 si x ≥ 0

g(x) ={x2 si x ≤ 0x si x ≥ 0

ninguna de ellas es diferenciable en el origen, pero su composicion (g ◦ f)(x) = x2 sı lo es.

• La mera existencia de las derivadas parciales no garantiza la validez de este resultado, puesto que elhecho de que dos funciones tengan derivadas parciales en un punto no asegura que su composiciontambien las tenga (a menos que la funcion sea diferenciable).

Ejemplo:

– Sean las funciones g(x, y) ≡ x1/3y1/3 y f(x) ≡ (x, x) y su composicion (g ◦ f)(x) ≡ x2/3. Ambas,f y g tienen derivadas parciales en el origen:

∂g∂x (0, 0) = 0 , ∂g

∂y (0, 0) = 0∂f1∂x (0) = 1 , ∂f2

∂x (0) = 1

pero su composicion no es derivable en (0, 0).


3.3.4 Teorema de la funcion implıcita

En geometrıa analıtica es frecuente dar la ecuacion de una hipersuperficie por medio de una ecuacion del tipoF (x1, . . . , xn) = 0, denominada expresion implıcita de la hipersuperficie. Un problema que se plantea es si esposible siempre describir la hipersuperficie por medio de una expresion explıcita del tipo xn = f(x1, . . . xn−1).

La generalizacion de este problema es la siguiente: dadas mexpresiones del tipo Fi(x1, . . . , xn, y1, . . . , ym) = 0, si es posible siempre aislar m variables en funcion delas n restantes; esto es, obtener m expresiones explıcitas

y1 = f1(x1, . . . xn) , . . . , ym = fm(x1, . . . xn)

La respuesta es negativa en ambos casos, como se pone de manifiesto con algunos ejemplos sencillos:

Ejemplos:

• Un ejemplo tıpico es la circunferencia en el plano. Su expresion implıcita es

F (x, y) ≡ x2 + y2 − 1 = 0

y no se puede obtener una expresion explıcita que describa la circunferencia globalmente. Ası, poniendo

y = f(x) ≡ ±√

1− x2

podemos describir arcos de circunferencia; esto es, se tiene una descripcion local de la curva en elentorno de cada punto de la misma (excepto para los puntos (±1, 0)).

• Otro ejemplo lo constituye un sistema lineal de m ecuaciones con n+m variables

0 = Ax +By − C ≡ F(x,y)

donde x ≡ (x1, . . . , xn) ∈ Rn, y ≡ (y1, . . . , ym) ∈ Rm, A ∈ M(m,n)(R) (es una matriz real de orden(m,n)), B ∈ M(m,m)(R) y C es una matriz columna de m componentes. La cuestion es si se puededespejar el vector y como funcion de x. Para ello la c.n.s. es que detB 6= 0, en cuyo caso

y = B−1(C −Ax) ≡ f(x)

(Observese que B =(∂F∂y

)).

El siguiente teorema da condiciones para poder asegurar la existencia (local) de este tipo de funcionesexplıcitas, analizando, ademas, su diferenciabilidad.

Teorema 8 Sean

F : W ⊆ Rn+m = Rn × Rm −→ Rm(x, y) ≡ (x1, . . . xn; y1, . . . , ym) 7→ (F1(x, y), . . . , Fm(x, y))

p ≡ (a, b) ∈ Rn+m con a ∈ Rn, b ∈ Rm y U ⊂ Rn × Rm un abierto con p ∈ U , tal que:

1. F(p) = 0.

2. F es de clase C1 (resp., de clase Ck) en U .

3. det(∂Fi∂yj

(p))6= 0 , (1 ≤ i, j ≤ m).

Entonces existen sendos abiertos A ∈ Rn y B ∈ Rm con a ∈ A y b ∈ B, y una funcion unica

f : A ⊂ Rn −→ B ∈ Rmx ≡ (x1, . . . xn) 7→ (y1 = f1(x), . . . , ym = fm(x))

tal que


1. F(x1, . . . , xn; f1(x), . . . , fm(x)) = 0, ∀x ∈ A. En particular, F(a, f(a)) = 0, lo que significa queb = f(a).

2. f es de clase C1 (resp., de clase Ck) en A.

La funcion f se denomina funcion implıcitamente definida por F.

( Dem. ) Vease M. Spivak, Calculo en variedades.

Comentarios:

• Observese que este es un teorema de existencia local pues, en general, no puede asegurarse que existaglobalmente la funcion implıcita.

• Este teorema da condiciones suficientes para que exista (localmente) la funcion implıcita, asegura sudiferenciabilidad y permite calcular su diferencial sin necesidad de conocer explıcitamente la expresionde la funcion implıcita. En efecto:

Corolario 5 Con las hipotesis del teorema, los elementos de la matriz jacobiana Jaf se obtienen resolviendoel sistema (lineal)

0 =∂Fk∂xi

(p) +m∑j=1

∂Fk∂yj

(p)∂fj∂xi

(a) (k = 1, . . . ,m ; i = 1, . . . , n) (3.7)

cuya solucion es

∂fj∂xi

(a) =| ∂(F1,...,Fm)∂(y1...yj−1,xi,yj+1...ym) (p) |

| ∂(F1,...,Fm)∂(y1...ym) (p) |

≡

∣∣∣∣∣∂F1∂y1

(p) . . . ∂F1∂yj−1

(p) ∂F1∂xi

(p) ∂F1∂yj+1

(p) . . . ∂F1∂ym

(p)...

......

......

∂Fm

∂y1(p) . . . ∂Fm

∂yj−1(p) ∂Fm

∂xi(p) ∂Fm

∂yj+1(p) . . . ∂Fm

∂ym(p)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∂F1∂y1

(p) . . . ∂F1∂ym

(p)...

...∂Fm

∂y1(p) . . . ∂Fm

∂ym(p)

∣∣∣∣∣

( Dem. ) Basta considerar la siguiente composicion de funciones

Rn G−→ Rn × Rm F−→ Rm(x1, . . . , xn) 7→ (x1, . . . , xn, y1 = f1(x), . . . , ym = fm(x)) 7→ (F1(x, f(x)) = 0, . . . , Fm(x, f(x))) = 0

a 7→ p 7→ F(p)

Se observa que, de acuerdo con la primera conclusion del teorema de la funcion implıcita, F ◦G = 0Rm .Ademas, ambas funciones son diferenciables en a y p respectivamente (teniendo en cuenta las hipotesis delteorema) luego se puede aplicar la regla de la cadena, con lo que se obtiene

Da(F ◦G) = DG(a)F ◦DaG = 0

y escribiendo las matrices jacobianas correspondientes se tiene

0 . . . 0...

...0 . . . 0

=

∂F1∂x1

(p) . . . ∂F1∂xn

(p) ∂F1∂y1

(p) . . . ∂F1∂ym

(p)...

......

...∂Fm

∂x1(p) . . . ∂Fm

∂xn(p) ∂Fm

∂y1(p) . . . ∂Fm

∂ym(p)

1 . . . 0...

...0 . . . 1

∂f1∂x1

(a) . . . ∂f1∂xn

(a)...

...∂fm

∂x1(a) . . . ∂fm

∂xn(a)

(3.8)

que da lugar al sistema (3.7), el cual es compatible y determinado en virtud de las hipotesis del teorema(concretamente la tercera). A partir de aquı la solucion se obtiene de manera inmediata.

Comentarios:


• Introduciendo las matrices

(∂F∂x

(p))

=

∂F1∂x1

(p) . . . ∂F1∂xn

(p)...

...∂Fm

∂x1(p) . . . ∂Fm

∂xn(p)

;(∂F∂y

(p))

=

∂F1∂y1

(p) . . . ∂F1∂ym

(p)...

...∂Fm

∂y1(p) . . . ∂Fm

∂ym(p)

la ecuacion (3.8) (y, por tanto, el sistema (3.7)) se puede expresar en la forma

(0) =(∂F∂x

(p))

+(∂F∂y

(p))

Jaf

de donde la solucion es

Jaf = −(∂F∂y

(p))−1(

∂F∂x

(p))

• Como caso particular, si F (x, y) es una funcion que cumple las condiciones del teorema de la funcionimplıcita, lo cual permite despejar y = f(x) en un entorno de un punto p = (a, b) de su dominio,entonces el resultado anterior conduce a:

0 =∂F

∂x(p) +

∂F

∂y(p)

∂f

∂x(a) ⇒ ∂f

∂x(a) = −

∂F∂x (p)∂F∂y (p)

3.3.5 Teorema de la funcion inversa

Este resultado es la generalizacion del teorema del mismo nombre en el caso de una variable.

Teorema 9 Sea g: Rn → Rn, a ∈ A y U ⊂ A un abierto con a ∈ U , tal que:

1. g es de clase C1 (resp., de clase Ck) en U .

2. det Jag 6= 0 (es decir, Dag es un isomorfismo).

Entonces existe un entorno abierto V de g(a) tal que

1. g:U ⊂ Rn → V ⊂ Rn tiene inversa g−1:V ⊂ Rn → U ⊂ Rn

2. g−1 es de clase C1 (resp., de clase Ck) y

Dg(a)g−1 = (Dag)−1

( Dem. ) Se puede obtener como consecuencia del teorema de la funcion implıcita (Vease tambien M.Spivak, Calculo en variedades). En efecto, considerese F: Rn+n → Rn dada por

F(x1, . . . , xn; y1, . . . , yn) := (x1 − g1(y), . . . , xn − gn(y))

y sea el punto p ≡ ((g(a), a) ∈ R2n. Entonces:

• F(p) = 0, por construccion.

• F es de clase C1, por serlo g.

• det(∂F∂y

(p))

= det(∂g∂y

(a))6= 0 , por hipotesis.

Luego el teorema de la funcion implıcita garantiza localmente la existencia de la funcion y = f(x) ≡ g−1(x),y es de clase Ck en su dominio.

El calculo de Dg(a)g−1 se hace obteniendo la diferencial en g(a) de esta funcion impl’ıcita, siguiendo laspautas del Corolario 3.7.

Comentarios:


• Observese que este es un teorema de existencia local pues, en general, no puede asegurarse que lafuncion inversa exista globalmente (p. ej., la funcion y = sinx solo tiene inversas locales).

• El teorema da condiciones para que exista (localmente) la inversa de una funcion, asegura su diferen-ciabilidad y permite calcular su diferencial sin necesidad de conocer explıcitamente la expresion de lafuncion inversa.

• La segunda de las hipotesis del teorema es condicion necesaria para la existencia de inversa diferenciableya que, si g ha de tener inversa diferenciable, la aplicacion lineal Dg(a)g−1, ha de ser necesariamente laaplicacion lineal (Dag)−1, luego Dag ha de ser necesariamente un isomorfismo y, por tanto, su matrizasociada regular.

Sin embargo, la primera hipotesis no es necesaria para la existencia de inversa (hay funciones que sinser de clase C1 tienen inversa de clase C1).

Definicion 30 La funcion g:A ⊆ Rn → Rn es un difeomorfismo en U ⊂ A si

1. g es diferenciable en U .

2. ∃g−1 en U .

3. g−1 es diferenciable en g(U).

Ası pues, el teorema de la funcion inversa afirma que si g es de clase Ck, k ≥ 0, con jacobiano no nuloentonces g es un difeomorfismo local.

Ejemplos:

Los cambios de coordenadas son difeomorfismos (locales). En particular:

• Coordenadas polares. La aplicacion:

g: (0,+∞)× (0, 2π) −→ R2 − {(x, 0), x ≥ 0}(r, φ) 7−→ (r cosφ, r sinφ) = (x, y)

donde

J(r,φ)g =∂(x, y)∂(r, φ)

=(

cosφ −r sinφsinφ r cosφ

)con jacobiano det J(r,φ)g = r.

• Coordenadas cilındricas. La aplicacion:

g: (0,+∞)× (0, 2π)× R −→ R3 − {(x, 0, z), x ≥ 0}(r, φ, z) 7−→ (r cosφ, r sinφ, z) = (x, y, z)

donde

J(r,φ,z)g =∂(x, y, z)∂(r, φ, z)

=

cosφ −r sinφ 0sinφ r cosφ 0

0 0 1

con jacobiano det J(r,φ,z)g = r.

• Coordenadas esfericas. La aplicacion:

g: (0,+∞)× (0, π)× (0, 2π) −→ R3 − {(x, 0, z), x ≥ 0}(r, θ, φ) 7−→ (r sin θ cosφ, r sin θ sinφ, r cos θ) = (x, y, z)

donde

J(r,θ,φ)g =∂(x, y, z)∂(r, θ, φ)

=

sin θ cosφ r cos θ cosφ −r sin θ sinφsin θ sinφ r cos θ sinφ r sin θ cosφ

cos θ −r sin θ 0

con jacobiano det J(r,θ,φ)g = r2 sin θ.


3.4 Operadores diferenciales

3.4.1 Gradiente de un campo escalar. Campos conservativos

Para poder abordar otras aplicaciones geometricas del calculo diferencial es preciso introducir ciertos con-ceptos nuevos 10. Todos ellos se referiran a funciones diferenciables 11. El primero de ellos es el siguiente:

Definicion 31 Sea f :A ⊆ Rn → R una funcion diferenciable. Se denomina gradiente de f en a ∈ A alvector de Rn cuyas componentes son los valores de las derivadas parciales de f en a 12:

grad f(a) ≡(∂f

∂x1(a), . . . ,

∂f

∂xn(a))

Se denomina gradiente de f a la funcion que asigna a cada punto el gradiente de la funcion en dichopunto:

grad f : A ⊆ Rn −→ Rna 7→ grad f(a)

Notacion:

• Es habitual utilizar la notacion operacional, introduciendo el llamado operador nabla

∇ :=(

∂

∂x1, . . . ,

∂

∂xn

)que es un operador vectorial que actua sobre funciones reales. Entonces gradf ≡ ∇f 13.

Comentario:

• El gradiente solo esta definido para funciones escalares, pero la funcion gradiente es una funcionvectorial cuyas funciones componentes son, obviamente, las derivadas parciales de la funcion original,

grad f =(∂f

∂x1, . . . ,

∂f

∂xn

).

En relacion con este concepto, de entrada, cabe plantearse dos cuestiones:

1. Si el gradiente de cualquier funcion escalar es una funcion vectorial de Rn en Rn, ¿toda funcion vectorialde esta guisa es el gradiente de alguna funcion escalar.

2. ¿Cual es el significado geometrico del gradiente?

La respuesta a la primera pregunta es negativa (aunque la justificacion de ello queda aplazada hasta elultimo capıtulo, sobre el teorema de Stokes). Esto da origen al siguiente concepto:

Definicion 32 Sea f :A ⊂ Rn → Rn.

1. f es un campo conservativo si gradϕ = f , para alguna funcion escalar diferenciable ϕ:A ⊂ Rn → R.10Las definiciones se daran referidas a sistemas de coordenadas cartesianas en Rn

. Al final del ultimo capıtulo se drandefiniciones independientes de las coordenadas para algunos de ellos.

11Aunque para definirlos bastarıa, en principio, con la existencia de las derivadas parciales, su utilidad se pone de manifiestocuando las funciones son, ademas, diferenciables.

12Aunque, a efectos de calculo, sean equivalentes, no debe confundirse el gradiente de una funcion (escalar) en un punto conla diferencial (esto es, la matriz jacobiana) de la funcion en dicho punto: lo primero es un vector de Rn

, lo segundo representauna aplicacion lineal.

13Esta es una notacion muy usada, sobre todo en Fısica.


2. Se denomina funcion potencial escalar de un campo vectorial conservativo f a cualquier funcion escalardiferenciable ϕ:A ⊆ Rn → R de la cual sea gradiente; esto es, tal que f = ∇ϕ.

Comentarios:

• Es evidente que toda funcion escalar es una funcion potencial escalar de algun campo vectorial: sugradiente. Sin embargo no toda funcion vectorial tiene asociada una funcion potencial escalar: solo loscampos conservativos.

• Es evidente, por la propia definicion, que dos funciones escalares que difieran en una constante sonfunciones potenciales del mismo campo conservativo (o lo que es lo mismo, un campo conservativotiene infinitas funciones potenciales). Recıprocamente, dos funciones potenciales del mismo campoconservativo difieren necesariamente en una constante.

• El que un campo vectorial sea gradiente de otro (esto es, conservativo) tiene interesantes interpreta-ciones de caracter fısico-geometrico, cuyo analisis queda aplazado hasta el capıtulo sobre las integralesde linea en que volveremos a abordar este tema

Ejemplos: Campos newtonianos.

• Potencial electrostatico (creado por una carga q):

f :=1

4πε0q

r(r = ‖r‖).

Campo electrostatico : E = −∇f =1

4πε0q

r2rr

.

• Potencial gravitatorio (creado por una masa M):

f :=GM

r.

Campo gravitatorio: G = −∇f =GM

r2rr

.

Para poder contestar a la segunda de las cuestiones planteadas anteriormente es necesario recurrir alconcepto de derivada direccional introducido en el capıtulo anterior. Entonces, a partir del corolario 3 setiene que la relacion entre la derivada direccional y el gradiente de una funcion es la siguiente:

Proposicion 28 Sea f :A ⊆ Rn → R una funcion diferenciable en a ∈ A y v ∈ Rn un vector unitario.Entonces:

Daf(v) = 〈∇f(a),v〉

( Dem. ) Si v = (v1, . . . , vn) entonces, del corolario 3 se obtiene

Daf(v) = Jaf(v) =(∂f

∂x1(a) . . .

∂f

∂xn(a)) v1

...vn

=n∑i=1

∂f

∂xi(a)vi = 〈∇f(a),v〉

A partir de este resultado estamos ya en condiciones de obtener la interpretacion geometrica del gradiente.

Proposicion 29 Sea f :A ⊆ Rn → R una funcion diferenciable en a ∈ A y tal que grad f(a) 6= 0. Entonces:

1. grad f(a) indica la direccion en la cual la derivada direccional de f en a es maxima; esto es, la demaxima variacion de la funcion, creciendo en el sentido de grad f(a) y decreciendo en sentido opuesto.El valor de dicha derivada es ±‖grad f(a)‖ (si se toman vectores unitarios 14 ).

14Por convenio, esta es la eleccion que se hace en muchos los casos.


2. La derivada direccional de f en a es nula si, y solo si, dicha direccion es perpendicular a grad f(a)

( Dem. ) Teniendo en cuenta que

Dafv) = 〈∇f(a),v〉 = ‖∇f(a)‖‖v‖ cos(∇f(a),v)

ambos resultados se obtienen de forma inmediata.

El gradiente de una funcion en un punto tiene otras caracterısticas geometricas relevantes. Ası, comocorolario de la proposicion precedente se tiene:

Corolario 6 Sea f :A ⊆ Rn → R una funcion diferenciable en a ∈ A y tal que grad f(a) 6= 0. Entoncesgrad f(a) es perpendicular a la superficie de nivel de la funcion que pasa por a.

( Dem. ) Es un resultado inmediato que se obtiene a partir del segundo apartado de la proposicion anterior,ya que sobre los puntos de una superficie de nivel la funcion es constante, por definicion, luego a lo largo decualquier vector tangente a la superficie en a, la derivada direccional de f en a es nula y, por tanto, dichovector es necesariamente perpendicular a grad f(a).

3.4.2 Rotacional de un campo vectorial. Campos irrotacionales

Al igual que a todo campo escalar se le puede asociar una funcion vectorial “derivada” del primero (elgradiente) que tiene un significado geometrico claro y da origen al concepto de campo conservativo; a uncampo vectorial se le puede asociar una nueva funcion vectorial y otra escalar que, de alguna manera, tambienpuede decirse que “derivan” de aquel y tienen, a su vez, interesantes propiedades.

Vamos a considerar, en este apartado, el primero de ellos. Aunque todas las definiciones pueden ex-tenderse a Rn (n ≥ 3), solo vamos a referirlas a n = 2, 3, que es el marco que va a interesarnos en estecurso.

Definicion 33 Sea f :A ⊂ R3 → R3, con f = (f1, f2, f3), una funcion diferenciable. Se denomina rotacionalde f en a ∈ A al vector de R3 cuyas componentes son

rot f(a) :=(∂f3∂y

(a)− ∂f2∂z

(a),∂f1∂z

(a)− ∂f3∂x

(a),∂f2∂x

(a)− ∂f1∂y

(a))

Se denomina rotacional de f al campo vectorial rot f :A ⊂ R3 → R3 que tiene por funciones componentes

rot f :=(∂f3∂y

− ∂f2∂z

,∂f1∂z

− ∂f3∂x

,∂f2∂x

− ∂f1∂y

)

Esta definicion se puede extender a campos vectoriales en R2 del siguiente modo:

Definicion 34 Sea f :A ⊂ R2 → R2, con f = (f1, f2), una funcion diferenciable. Se denomina rotacionalescalar de f en a ∈ A al valor

rot f(a) :=∂f2∂x

(a)− ∂f1∂y

(a)

Se denomina rotacional escalar de f al campo escalar

rot f :=∂f2∂x

− ∂f1∂y

Notacion:


• Utilizando la notacion operacional del operador nabla, que en R3 es

∇ :=(∂

∂x,∂

∂y,∂

∂z

)es habitual escribir rot f := ∇∧ f .

Esta definicion da origen al siguiente concepto:

Definicion 35 Sea f :A ⊂ Rn → Rn (n = 2, 3), con f = (f1, f2, f3), una funcion diferenciable. f es uncampo irrotacional si rot f = 0.

Expresion explıcita:

• Si f :A ⊂ R3 → R3, con f = (f1, f2, f3), entonces, recordando la expresion explıcita de rot f , querot f = 0 significa que

∂fi∂xj

=∂fj∂xi

(i, j = 1, 2, 3)

• En el caso particular de R2, la condicion de irrotacionalidad es simplemente

∂f1∂y

=∂f2∂x

(3.9)

Comentario:

• Como el gradiente, el rotacional tiene tambien una interpretacion fısico-geometrica, que esta dada atraves del concepto de campo irrotacional: si f representa el campo de velocidades de un fluido (ocualquier otro campo fısico) entonces, que el campo sea irrotacional significa que no tiene “remolinos”15. Observese que esto no implica que las lıneas de corriente no puedan ser cerradas.

Existen propiedades que relacionan los diversos operadores diferenciales. La primera de ellas se refiere algradiente y el rotacional y permite una primera comparacion entre los campos conservativos e irrotacionales.

Proposicion 30 Sea ϕ:A ⊆ R3 → R de clase C2, entonces

rot(gradϕ) = 0

Como consecuencia, si f :A ⊆ R3 → R3 es de clase C1 y es un campo conservativo entonces es irrotacional.

(Dem.) Dada ϕ, si f = ∇ϕ, entonces rot f = rot∇ϕ tiene por componentes

∂fi∂xj

− ∂fj∂xi

=∂2ϕ

∂xj∂xi− ∂2ϕ

∂xi∂xj

y si ϕ es de clase C2 todas ellas son nulas.

La segunda afirmacion es una consecuencia de la primera.

El recıproco de esta propiedad no es cierto, a menos que se impongan condiciones adicionales, como severa en el ultimo capıtulo, cuando se estudien las aplicaciones del teorema de Stokes.

Ejemplo: La funcion f(x, y) :=(

−yx2 + y2

,x

x2 + y2

)es irrotacional, pero no tiene potencial escalar

(en todo su dominio), ya que, aunque la funcion ϕ(x, y) = − arctan(x

y

)cumple que gradϕ = f , no esta

definida en los puntos del dominio de f tales que y = 0.15Al colocar en su seno una rueda con aspas, esta se mueve a lo largo de las lıneas de corriente, pero sin girar.


3.4.3 Divergencia de un campo vectorial. Campos solenoidales

En el apartado anterior se ha comentado que hay dos maneras de obtener funciones “derivadas” de un campovectorial diferenciable dado: una nueva funcion vectorial y otra funcion escalar. En el presente apartadovamos a analizar la manera de obtener esta ultima.

Definicion 36 Sea f :A ⊂ Rn → Rn, con f = (f1, . . . , fn), una funcion diferenciable. Se denomina diver-gencia de f en a ∈ A al valor

div f(a) :=∂f1∂x1

(a) + . . .+∂fn∂xn

(a)

Se denomina divergencia de f al campo escalar div f :A ⊂ Rn → R definido por

div f :=∂f1∂x1

+ . . .+∂fn∂xn

Notacion:

• Utilizando la notacion del operador nabla, se tiene que div f := ∇ · f .

Comentario:

• Como el gradiente y el rotacional, la divergencia tiene tambien una interpretacion fısico-geometrica:si f representa el campo de velocidades de un fluido (o cualquier otro campo fısico), entonces div frepresenta la variacion de la masa de fluido (o la magnitud fısica del que se trate) por unidad devolumen y de tiempo. Entonces, que el campo tenga divergencia nula significa que no hay “fuentes” ni“sumideros” o, en el caso de fluidos, tambien esta relacionado con la “incompresibilidad” del fluido 16.

Esta interpretacion queda puesta mas de manifiesto a partir del teorema de la divergencia que seraestudiado en el ultimo capıtulo.

La propiedad que se va a considerar a continuacion tiene relacion con la siguiente cuestion: cuando seanalizo el gradiente de una funcion, se introdujo el concepto de campo vectorial conservativo como aquelque era gradiente de un campo escalar y, en tal caso, dicha funcion escalar (no unica) recibıa el nombre defuncion potencial escalar. Analogamente, ahora podemos cuestionarnos sobre los campos vectoriales que sonel rotacional de algun otro. Entonces:

Definicion 37 Sea f :A ⊂ R3 → R3.

1. f es un campo solenoidal si rot g = f , para alguna funcion vectorial diferenciable g:A ⊂ R3 → R3.

2. Se denomina funcion potencial vectorial de un campo vectorial solenoidal f a cualquier funcion vectorialdiferenciable g:A ⊂ R3 → R3 de la cual sea rotacional; esto es, tal que f = ∇∧ g.

Comentarios:

• Es evidente que toda funcion vectorial es una funcion potencial de algun campo vectorial: su rotacional.Sin embargo no toda funcion vectorial tiene asociada una funcion potencial vectorial: solo los campossolenoidales.

16En algunos textos a los campos vectoriales con divergencia nula (o sin divergencia) se les suele denominar campossolenoidales. No obstante, en este curso se reservara esa terminologıa para referirnos a campos que, ademas verifican unacondicion suplementaria que vamos a tratar de inmediato.


• Teniendo en cuenta la proposicion 30, en la cual se enuncia que el rotacional de un gradiente es nulo(esto es, que todo campo campo conservativo de clase C1 es irrotacional), es evidente que dos funcionesvectoriales que difieran en un gradiente (esto es, en un campo conservativo) son funciones potencialesvectoriales del mismo campo solenoidal (o lo que es lo mismo, un campo solenoidal tiene infinitasfunciones potenciales vectoriales).

Recıprocamente, dos funciones potenciales vectoriales del mismo campo solenoidal difieren necesaria-mente en un gradiente; es decir, en un campo conservativo 17.

Los campos solenoidales pueden ser caracterizados por medio de su divergencia, tal como enuncia elsiguiente resultado, que establece una relacion entre los operadores rotacional y divergencia:

Proposicion 31 Sea g:A ⊂ R3 → R3 una funcion de clase C2. entonces

div(rot g) = 0

Como consecuencia, si f :A ⊆ R3 → R3 es de clase C1 y es un campo solenoidal, entonces su divergenciaes nula.

(Dem.) Si f = rot g entoncesdiv f = div(rot g) = ∇ · (∇∧ g) = 0 (3.10)

lo cual es inmediato a partir de la expresion explıcita de los operadores y los campos, y del teorema deSchwarz.

El recıproco de esta propiedad no es cierto, a menos que se impongan condiciones adicionales, como severa en el ultimo capıtulo, cuando se estudien las aplicaciones del teorema de Gauss-Ostrogadskii.

Ejemplo: La funcion f(x, y, z) :=rr3

tiene divergencia nula, pero no tiene potencial vectorial (en todo

su dominio).

3.4.4 Laplaciana de funciones escalares y vectoriales. Funciones armonicas

Aparte de los operadores diferenciales introducidos (gradiente, rotacional y divergencia), otro operador muyusual en las aplicaciones fısicas es el siguiente:

Definicion 38 1. Sea ϕ:A ⊂ Rn → R una funcion dos veces diferenciable. Se denomina laplaciana delcampo escalar ϕ a la funcion escalar ∆ϕ := div (gradϕ), esto es,

∆ϕ := ∇2ϕ := ∇ · ∇ϕ:A ⊂ Rn → R

cuya expresion explıcita es, consecuentemente,

∆ϕ =∂2ϕ

∂x21

+ . . .+∂2ϕ

∂x2n

2. Sea f :A ⊂ Rn → Rn, con f = (f1, . . . , fn), una funcion dos veces diferenciable. Se denomina laplacianadel campo vectoriar f a la funcion vectorial ∆f :A ⊂ Rn → Rn cuyas funciones componentes son laslaplacianas de sus funciones componentes:

∆f := (∇2f1, . . . ,∇2fn) := ∇2f

A partir de aquı, se define:

Definicion 39 1. Sea ϕ:A ⊂ R3 → R una funcion de clase C2. ϕ es una funcion armonica si ∆ϕ = 0.

2. Sea f :A ⊂ Rn → Rn una funcion de clase C2. f es una funcion armonica si ∆f = 0; esto es, si lo sonsus funciones componentes.

17Esto es analogo a lo que ya sucedıa con los campos conservativos y sus funciones potenciales escalares.


3.4.5 Expresion de los operadores diferenciales en otras coordenadas

Se deja como ejercicio comprobar, utilizando la regla de la cadena, que las expresiones de los operadoresdiferenciales en coordenadas polares en R2 y cilındricas o esfericas en R3 son las siguientes:

• Coordenadas polares en R2:

grad f =(∂f

∂r,1r

∂f

∂φ

)rot f =

1r

(∂(rf2)∂r

− ∂f1∂φ

)div f =

1r

(∂(rf1)∂r

+∂f2∂φ

)∆f =

1r

∂

∂r

(r∂f

∂r

)+

1r2∂2f

∂φ2

• Coordenadas cilındricas en R3:

grad f =(∂f

∂r,1r

∂f

∂φ,∂f

∂z

)rot f =

1r

(∂(f3)∂φ

− ∂(rf2)∂z

,∂f1∂z

− ∂f3∂r

,∂(rf2)∂r

− ∂f1∂φ

)div f =

1r

(∂(rf1)∂r

+∂f2∂φ

+∂(rf1)∂z

)∆f =

1r

∂

∂r

(r∂f

∂r

)+

1r2∂2f

∂φ2+∂2f

∂z2

• Coordenadas esfericas en R3:

grad f =(∂f

∂r,1r

∂f

∂θ,

1r sin θ

∂f

∂φ

)rot f =

1r2 sin θ

(∂(r sin θf3)

∂θ− ∂(rf2)

∂φ,∂f1∂φ

− ∂(r sin θf3)∂r

,∂(rf2)∂r

− ∂f1∂θ

)div f =

1r2 sin θ

(∂(r2 sin θf1)

∂r+∂r sin θf2

∂θ+∂(rf1)∂φ

)∆f =

1r2

∂

∂r

(r2∂f

∂r

)+

1r2 sin θ

∂2(sin θf)∂θ2

+1

r2 sin θ∂2f

∂φ2

3.4.6 Otras propiedades de los operadores diferenciales

Finalmente, a continuacion se recopilan algunas otras propiedades de los operadores diferenciales:

Proposicion 32 (Con las adecuadas hipotesis sobre la diferenciabilidad con continuidad de las funcionesque intervienen):

1. (Linealidad del gradiente):∇(αϕ± βψ) = α∇ϕ± β∇ψ

2. (Gradiente del producto):∇(ϕψ) = ψ∇ϕ+ ϕ∇ψ

3. (Linealidad del rotacional):∇∧ (αf ± βg)α∇∧ f ± β∇∧ g


4. (Rotacional del producto):∇∧ (ϕf) = ϕ∇∧ f +∇ϕ ∧ f

5. (Rotacional del rotacional):∇∧ (∇∧ f) = ∇(∇ · f)−∆f

6. (Rotacional del gradiente):∇∧ (∇ϕ) = 0

7. (Linealidad de la divergencia):

∇ · (αf ± βg) = α∇ · f ± β∇ · g

8. (Divergencia del producto):∇ · (ϕf) = ϕ∇ · f +∇ϕ · f

9. (Divergencia del producto vectorial):

∇ · (f ∧ g) = g · (∇∧ f)− f · (∇∧ g)

10. (Divergencia del rotacional):∇ · (∇∧ f) = 0

(Dem.) Utilizar las propiedades de las funciones diferenciables y las expresiones explıcitas de los operadores.

3.4.7 Determinacion de funciones potenciales escalares y vectoriales

Dado un campo conservativo f ≡ (f1, . . . , fn), el calculo de una funcion potencial escalar puede efectuarsede la siguiente manera: por definicion la funcion potencial escalar ha de verificar que

∂ϕ

∂xi= fi

luego la determinacion de ϕ se realiza a partir de n integrales (indefinidas) del tipo

ϕ =∫fidxi

El resultado final esta determinado salvo por una constante (he aquı la arbitrariedad en la eleccion de lafuncion potencial escalar a la que se acaba de hacer alusion). Sin embargo, lo habitual es fijar el valor dela funcion potencial en un punto determinado (denominado origen de potencial), con lo cual aquella quedadeterminada unıvocamente.

La manera de obtener un potencial vectorial para un campo solenoidal consiste en utilizar su definicion,lo que lleva a resolver un sistema de ecuaciones en derivadas parciales. A continuacion se describe un metodopara obtenerlo: Sea f :A ⊂ R3 → R3, con f = (f1, f2, f3), un campo solenoidal con dominio A abierto. Setrata de obtener un potencial vectorial g = (g1, g2, g3) de f ; por lo que el sistema a resolver es

∂g3∂y

− ∂g2∂z

= f1 ;∂g1∂z

− ∂g3∂x

= f2 ;∂g2∂x

− ∂g1∂y

= f3

1. Dado que se busca una solucion particular, se puede tomar, p. ej., g1(x, y, z) = 0.

2. Integrando la tercera ecuacion se obtiene

g2(x, y, z) =∫f3(x, y, z)dx+ ϕ2(y, z)

y en esta solucion se puede volver a elegir la funcion arbitraria ϕ2(y, z) = 0.


3. Integrando la segunda ecuacion se obtiene

g3(x, y, z) = −∫f2(x, y, z)dx+ ϕ3(y, z)

4. Con los resultados precedentes la primera ecuacion queda en la forma

∂ϕ3

∂y− ∂g2

∂z= f1

que integrada determina la funcion ϕ3(y, z), salvo una funcion arbitraria φ(z), que puede tomarsetambien nula.

5. Cualquier otro potencial vectorial se obtiene a partir de este sumandole un gradiente.

Chapter 4

Curvas y superficies

4.1 Introduccion

Siguiendo con el estudio de las aplicaciones del calculo diferencial con funciones de varias variables, sededicara este capıtulo a introducir los conceptos geometricos relacionados con la descripcion de curvas ysuperficies en Rn.

4.2 Curvas

4.2.1 Curvas en Rn

Comenzaremos esta seccion introduciendo los primeros objetos geometricos con los que vamos a trabajarque son las curvas en Rn. Hay tres aproximaciones diferentes a este concepto:

Definicion 40 1. Se denomina curva en Rn a la grafica de toda funcion vectorial f : I ⊆ R → Rn−1; estoes

C := graf f := {(x, y1, . . . , yn−1) ∈ Rn | x ∈ I, yi = fi(x), (i = 1, ..., n− 1)} (4.1)

(Se dice, en este caso, que la curva esta dada en forma explıcita).

2. Se denomina curva en Rn a la interseccion de los conjuntos de nivel (hipersuperficies) de n−1 funcionesescalares; es decir, si F:A ⊆ Rn → Rn−1 con F = (F1, . . . Fn−1,

C := {(x1, . . . , xn) ∈ Rn | Fi(x1, . . . , xn) = ki (ki = ctn.)} (4.2)

(Se dice, en este caso, que la curva esta dada en forma implıcita).

3. Se denomina curva (parametrizada) en Rn a toda funcion vectorial

c: I ⊆ R −→ Rnt 7→ (x1(t), . . . , xn(t))

(4.3)

(Se dice, en este caso, que la curva esta dada en forma parametrica).

En este caso, es habitual denominar curva a la imagen de esta aplicacion, esto es, a su representaciongrafica, C := Im c, y parametrizacion a la propia funcion c.

Comentarios:

• En (1) y (3), se denomina arco de curva a la restriccion de f y c a un intervalo (propio) contenido enI.

46


• Para una curva dada existen infinitas parametrizaciones. No obstante, la mayorıa los resultados sobrecurvas que se van a dar son independientes de la parametrizacion que se elija.

Ejemplo: Considerense las dos siguientes parametrizaciones de la recta bisectriz del primer y tercercuadrante en R2:

c: I ⊆ R → R2 ; c: I ⊆ R → R2

t 7→ (t, t) t 7→ (t3, t3)(4.4)

• En algunos casos no es posible dar una parametrizacion de toda la curva a la vez y hay que hacerlopor trozos.

• Como caso particular de la definicion precedente, estan las curvas en R2:

1. (Forma explıcita): Se denomina curva en R2 a la grafica de toda funcion escalar f :A ⊆ R → R;esto es

C := graf f := {(x, y) ∈ R2 | x ∈ A, y = f(x)}

2. (Forma implıcita): Se denomina curva en R2 a un conjunto de nivel de toda funcion escalarF :B ⊆ R2 → R; esto es

C := {(x, y) ∈ R2 | F (x, y) = k (k = ctn.)}

3. Forma parametrica): Se denomina curva en Rn a la imagen de una funcion

c: I ⊆ R → R2

t 7→ (x1(t), x2(t))

esto es, C := Im c.

• El paso de una forma a otra no siempre es factible. Ası, p. ej., con curvas en R2 siempre puede pasarsede una expresion en forma explıcita a otra en forma implıcita (p. ej., poniendo F (x, y) ≡ y−f(x) = 0),o en forma parametrica (p. ej., haciendo x = t, y = f(t), o por medio de otras expresiones mascomplicadas), pero no al reves 1.

Ejemplos:

• Recta en R3, que pasa por el punto (2, 1, 3) y tiene como vector director (1, 3,−1):

1. {(x, y, z) ∈ R3 | y = 3x− 5, z = −x+ 5, x ∈ R}.

2.{

(x, y, z) ∈ R3 | x− 21

=y − 1

3=z − 3−1

}.

3. c(t) = (2, 1, 3) + t(1, 3,−1) = (2 + t, 1 + 3t, 3− t), t ∈ R

• Elipse (interseccion del cilindro x2 + y2 = 1 con el plano z = x+ y):

1. {(x, y, z) ∈ R3 | y = ±√

1− x2, z = x±√

1− x2, x ∈ (−1, 1)}.2. {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y2 = 1, z = x+ y}.3. c(t) = (cos t, sin t, cos t+ sin t), t ∈ [0, 2π)

Atendiendo a las caracterısticas geometricas de las curvas se puede establecer la siguiente terminologıa:

Definicion 41 1. Una curva es plana si su representacion grafica esta en R2. En caso de no ser ası, lacurva se denomina alabeada.

2. Una curva es simple si su representacion grafica no tiene autointersecciones.

Si c: I ⊆ R → Rn es una parametrizacion, esto equivale a que c sea inyectiva.1Traducido en terminos geometricos, significarıa que toda curva (de nivel o parametrizada) fuera la grafica de una funcion

de una variable, lo cual se sabe que no es cierto.


3. Una curva es conexa si su representacion grafica tiene una sola rama.

Si c: I ⊆ R → Rn es una parametrizacion, esto equivale a que c sea continua.

4. Una curva c: I ⊆ R → Rn es cerrada 2 si

(a) es conexa.

(b) I = [a, b] (es un intervalo cerrado), y

(c) c(a) = c(b).

5. Una curva c: I ⊆ R → Rn es de Jordan si es cerrada y simple en (a, b).

Atendiendo a las caracterısticas analıticas de las curvas se define:

Definicion 42 Una curva parametrizada c: I ⊆ R → Rn es diferenciable (respecto a esa parametrizacion)en un punto o en un intervalo, si lo es la funcion c. La curva es diferenciable a trozos si I descompone enun numero finito de subintervalos en cada uno de los cuales la curva es diferenciable.

Una curva dada en forma explıcita o implıcita es diferenciable en un punto o en un intervalo, si esdiferenciable la funcion que la define.

4.2.2 Curvas regulares

Comenzaremos definiendo este concepto para curvas parametrizadas.

Definicion 43 Sea una curva parametrizada c: I ⊆ R → Rn.

1. Un punto c(t0) ∈ C = Im c, t0 ∈ I, es un punto regular de la parametrizacion considerada si:

(a) La funcion c es de clase C1 en un entorno de t0.

(b) c′(t0) ≡

dx1dt (t0)

...dxn

dt (t0)

6= 0.

(c′(t0) se denomina vector tangente a la curva en el punto c(t0), asociado a la parametrizaciondada).

En caso contrario, se dice que es un punto singular.

2. Una curva es regular para una parametrizacion dada, si todos sus puntos son regulares para esaparametrizacion.

3. Una curva es regular a trozos para una parametrizacion dada, si I descompone en un numero finitode subintervalos en cada uno de los cuales la parametrizacion es regular.

Comentarios:

• Observese que la recta que pasa por el punto c(t0) y tiene por vector director c′(t0) es efectivamentetangente a la curva en ese punto y, por tanto, tambien dicho vector lo es; ya que, por ser la curvadiferenciable en el, se verifica la condicion de tangencia que es justamente

limλ→0

c(t0 + λ)− c(t0)− c′(t0)λλ

= 0

2Observese que toda curva cerrada, considerada como conjunto de puntos en Rn, es un cerrado, pero no toda curva que sea

un conjunto cerrado ha de ser cerrada.


• Una curva parametrizada de diversas formas equivalentes puede ser regular (resp. diferenciable) en unpunto para una parametrizacion y no serlo para otra.

Ejemplo: Para las parametrizaciones dadas en (4.4), ambas de clase C∞, en t0 = 0 se tiene respecti-vamente c′(0) = (1, 1) y c′(0) = (0, 0).

No obstante, el concepto de regularidad (resp. diferenciabilidad) es intrınseco y esta relacionado conel hecho de que la curva tenga vector tangente en un punto dado; esto es, que localmente la curvasea semejante a un segmento de recta en un entorno de dicho punto. Como consecuencia, los puntosangulosos no son regulares.

Para curvas dadas en forma explıcita e implıcita, la noci´ de regularidad se obtiene a partir de la definiciondada:

Proposicion 33 Sea C ⊂ Rn una curva.

1. Si C esta dada en forma explıcita mediante (4.1), p ≡ (x0, f1(x0), . . . , fn−1(x0))) ∈ C y f es de claseC1 en un entorno E(x0), entonces p es un punto regular de C y un vector tangente a C en p es(

1,df1dx

(x0), . . . ,dfn−1

dx(x0)

).

2. Sea C dada en forma implıcita mediante (4.2) y p ≡ (x0, . . . , xn) ∈ C. Si F es de clase C1 en unentorno E(p) y JpF tiene rango maximo k−1, entonces p es un punto regular de C y un vector normala C en p se obtiene a partir del teorema de la funcion implıcita.

( Dem. )

1. Basta considerar la aplicacion

c : I ⊆ R −→ Rnx 7→ (x, f1(x), . . . , fn−1(x))

con x0 ∈ I tal que c(x0) = p, que es una parametrizacion de C de clase C1. Entonces c′(x0) =(1, f ′1(x0), . . . , f ′n−1(x0)) 6= 0 es un vector tangente a C en p y la grafica de f es una curva regular enp, de acuerdo con la definicion precedente.

2. Si el rango de F es maximo, o sea n−1, quiere decir que n−1 de las variables se pueden expresar comofuncion de la n-esima y, por tanto, los puntos de C se pueden expresar como (x, f1(x), . . . , fn−1(x)) y,segun el apartado anterior, tendrıamos una curva regular.

Un vector tangente se obtiene a partir del teorema de la funcion implıcita 3 (corolario 5).

Comentario:

• Como caso particular, si una curva en R2 esta dada en forma implıcita o explıcita, un vector tangentea la curva en un punto p se obtiene del siguiente modo:

– Forma implıcita: Dada F (x, y) = 0, con F funcion diferenciable en p tal que ∇F (p) 6= 0.En cada punto, ∇F (p) es perpendicular a la curva, de acuerdo con el corolario 6 y, por tanto,cualquier vector perpendicular a este es un vector tangente.Consecuentemente, una curva dada en forma implıcita en R2 es regular en un punto si la funcionque la define es de clase C1 en un entorno de dicho punto y su diferencial en el punto es no nula,con lo cual su gradiente en dicho punto tambien lo es.

3Para el caso de curvas en R3, tambien haciendo el producto vectorial ∇F1(p) ∧∇F2(p) se tiene un vector tangente.


– Forma explıcita: Dada y = f(x), a ∈ Dom f , con f funcion diferenciable en a. Un vectortangente en (a, f(a)) se puede obtener directamente a partir de la ecuacion de la recta tangente agraf f en (a, f(a)). Tambien se puede tomar F (x, y) ≡ y − f(x), con lo que la curva en cuestiones la curva de nivel cero de F , y aplicar el resultado anterior. En ambos casos el vector tangente

es(

1,dfdt

(a))

.

Como consecuencia, una curva dada en forma explıcita en R2 es regular si la funcion que la definees de clase C1.

Finalmente:

Definicion 44 Sean C1, C2 ⊂ Rn dos curvas y p ∈ Rn tal que p ∈ C1 y p ∈ C2, y p es un punto regularde C1 y C2. Se denomina angulo formado por las superficies en dicho punto al formado por sus rectas ovectores tangentes en el.

4.2.3 Recta tangente y plano normal a una curva. Aplicaciones

Definicion 45 Sea C ⊂ Rn una curva regular en p ∈ C y v ∈ Rn un vector tangente a C en p.

1. Se denomina recta tangente a la curva en el punto p a la recta que pasa por dicho punto y tiene comovector director bfv.

Su ecuacion vectorial es, por consiguiente,

x = p+ λv ↔

x1...xn

=

p1...pn

+ λ

v1...vn

(λ ∈ R)

2. Se denomina (hiper)plano normal a la curva en el punto p al (hiper)plano que pasa por dicho punto yes perpendicular al vector tangente v.

Su ecuacion vectorial es, por consiguiente,

〈x− p,v〉 = 0 ↔ (x1 − p1)v1 + . . .+ (xn − pn)vn = 0

La manera de obtener explıcitamente la ecuacion del plano tangente y de la recta normal a una curva enun punto dado depende de la forma en que este dada la superficie y, por tanto, dicho vector.

Otras aplicaciones relacionadas con curvas regulares son las dos siguientes:

• Un problema que tiene relacion con el calculo de vectores tangentes es el de la obtencion del vectortangente a la transformada de una curva, y se plantea del siguiente modo: Considerese una funcionf :A ⊆ Rn → Rm diferenciable. Sea c: I ⊆ R → Rn, con c(I) ⊂ A, una curva diferenciable en t0 ∈ I, yc′(t0) su vector tangente en c(t0). Al realizar la composicion

C = f ◦ c : I ⊆ R c−→ Rn f−→ Rmt 7→ (c1(t), . . . , cm(t)) 7→ (C1(t), . . . , Cm(t))

se obtiene una nueva curva que se denomina transformada de la curva c por la funcion f . Se tratade calcular su vector tangente en el punto C(t0) = f(c(t0)). Dado que estamos en presencia desendas funciones diferenciables, tiene sentido aplicar nuevamente la regla de la cadena para calcular ladiferencial de la funcion compuesta, con lo que, en representacion matricial, se tiene que

JtoC = Jc(to)fJtoc ≡

∂f1∂x1

(c(t0))) . . . ∂f1∂xn

(c(t0))...

...∂fm

∂x1(c(t0)) . . . ∂fm

∂xn(c(t0))

dc1dt (t0)

...dcn

dt (t0)

≡

dC1dt (t0)

...dCn

dt (t0)


luego pueden identificarse JtoC y Jtoc con los respectivos vectores tangentes de C y c en los puntoscorrespondientes, luego se concluye que

C′(t0) = Jc(to)f(c′(t0))

es decir, el vector tangente a la curva C en el punto c(t0) = f(c(t0) es el transformado del vectortangente a c por la aplicacion Dc(to)f 4.

• Otra aplicacion relacionada con este tema es la siguiente: considerese una funcion f :A ⊆ Rn → Rmdiferenciable y una curva diferenciable c: I ⊆ R → Rn, con c(I) ⊂ A. La cuestion es determinar comovarıa la funcion al pasar de un punto a = c(t0) (con t0 ∈ I) a otro a+ h en sus inmediaciones que estesituado sobre la graf c, esto es, a+ h = c(t0 + λ). Dado que, como ya es sabido, una aproximacion alvalor de la variacion de una funcion en el entorno de un punto viene dada por medio de la diferencial,la resolucion del problema pasa por el calculo de la diferencial de la funcion compuesta F = f ◦ c ent0. Para ello, dado que las funciones son ambas diferenciables, basta aplicar la regla de la cadena yobtener

Dto(f ◦ c)) = Dc(to)f ◦Dtoc

que no es otra cosa que la derivada direccional de la funcion en la direccion de la recta tangente a lacurva dada en el punto en cuestion.

4.2.4 Orientacion

Dada una curva, en su representacion grafica se puede establecer un sentido de recorrido o, lo que esequivalente, asignar un sentido a los vectores tangentes en todos los puntos de la curva. Esta idea se plasmaen el siguiente concepto:

Definicion 46 Sea una curva parametrizada diferenciable c: I ⊆ R → Rn. Una orientacion de la curva esuna funcion continua que asigna a cada punto c(t) un vector tangente no nulo u.

Toda curva dotada con una orientacion se dice que esta orientada. Un arco de curva orientada sedenomina camino o trayectoria.

Como caso especial de orientacion se tiene el siguiente:

Definicion 47 Sea una curva parametrizada regular c: I ⊆ R → Rn. Dada una parametrizacion, se denom-ina orientacion natural de la curva (respecto a la parametrizacion dada) a la definida por el sentido crecientedel parametro que la describe; es decir, esta dada en cada punto por el vector u=c’(t) 5.

Comentario:

• Una curva simple tiene dos unicas orientaciones posibles: la natural y la opuesta.

4.3 Superficies

4.3.1 Superficies en R3

Vamos a introducir, a continuacion, el concepto de superficie en Rn y, concretamente, en R3, que es el casoque nos va a interesar a lo largo de este curso.

Hay tres aproximaciones diferentes al concepto de superficie (en R3):

4Por esta razon, en Geometrıa Diferencial, a la aplicacion diferencial se la denomina, tambien, aplicacion tangente.5Evidentemente, dicha orientacion natural depende de la parametrizacion.


Definicion 48 1. Se denomina superficie a la grafica de toda funcion escalar f :A ⊆ R2 → R; esto es

S := graf f := {(x, y, z) ∈ R3 | (x, y) ∈ A, z = f(x, y)} (4.5)

(Se dice, en este caso, que la superficie esta dada en forma explıcita).

2. Se denomina superficie a un conjunto nivel de toda funcion escalar F :B ⊆ R3 → R; esto es

S := {(x, y, z) ∈ R3 | F (x, y, z) = k (k = ctn.)} (4.6)

(Se dice, en este caso, que la superficie esta dada en forma implıcita).

3. Se denomina superficie (parametrizada) a toda funcion vectorial

σ: D ⊆ R2 −→ R3

(u, v) 7→ (x1(u, v), x2(u, v), x3(u, v))(4.7)

(Se dice, en este caso, que la superficie esta dada en forma parametrica).

Tambien, en este caso, es habitual denominar superficie a la imagen de esta aplicacion, esto es, a surepresentacion grafica, S := Imσ, y parametrizacion a la propia funcion σ.

Comentarios:

• Es interesante senalar que, contra lo que pudiera parecer, no toda superficie es inmersible en R3 (p.ej., el plano proyectivo o la botella de Klein).

• Estas tres definiciones no son equivalentes. En efecto:

– (1) ⇒ (2): pues la grafica de toda funcion escalar de dos variables f :A ⊆ R2 → R puede serconsiderada como la superficie de nivel de la funcion escalar de tres variables F (x, y, z) = f(x, y)−z.

– (1) ⇒ (3): pues la grafica de toda funcion escalar de dos variables puede ser parametrizada (p.ej., (x, y, z) = (u, v, f(u, v))).

– La superficie de nivel de toda funcion escalar de tres variables F :A ⊆ R3 → R no siempre es lagrafica de otra funcion escalar de dos variables (p. ej., la esfera (en R3)).Tampoco es, en muchos casos, parametrizable.

– Una superficie parametrizada no siempre es la superficie de nivel de alguna funcion escalar de tresvariables, ni la grafica de otra de dos variables.

Sin embargo, usando el teorema de la funcion implıcita (siempre que se cumplan las condiciones deregularidad establecidas como hipotesis en dicho teorema), es posible demostrar que, localmente, lastres concepciones de superficie dadas en la definicion anterior son equivalentes.

• En algunos casos no es posible dar una parametrizacion de toda la superficie a la vez y hay que hacerlopor trozos.

• Para una superficie parametrizada existen infinitas parametrizaciones. No obstante, la mayorıa de losresultados que se obtendran son independientes de la parametrizacion que se elija (salvo cuando seadvierta lo contrario).

A este respecto, se tiene la siguiente definicion:

Definicion 49 Sean σ:D ⊆ R2 → R3 y σ′:D′ ⊆ R2 → R3 dos parametrizaciones. Se dice que σ y σ′ sonregularmente equivalentes si existe una funcion g:D′ → D de clase C1 tal que σ′(D′) = (σ ◦ g)(D′).

Esto implica que ambas parametrizaciones representan la misma superficie; esto es, S = σ(D) = σ′(D′).

Ejemplos:

• Plano:


1. (x, y, z) | z = ax+ by (a, b ∈ R).

2. (x, y, z) | ax+ by − z = 0.

3. x = u, y = v, z = au+ bv; (u, v) ∈ R2

• Cono:

1. (x, y, z) | z =√x2 + y2.

2. (x, y, z) |√x2 + y2 − z = 0.

3. x = r sinα cos v, y = r sinα sin v, z = r cosα;(0 ≤ r, 0 ≤ v < 2π, α = ctn.).

• Esfera:

1. (x, y, z) | x2 + y2 + z2 = R2.

2. x = R sinu cos v, y = R sinu sin v, z = R cosu;(0 ≤ u ≤ π, 0 ≤ v < 2π,R = ctn.).

• Toro:

1. x =(a+ b

2+a− b

2cosu

)cos v ,

y =(a+ b

2+a− b

2cosu

)sin v ,

z =a− b

2sinu ;

(0 ≤ u < 2π), (0 ≤ v < 2π).

De manera analoga a como se hizo con las curvas, se puede establecer la siguiente terminologıa:

Definicion 50 Dada una superficie S (definida en uno o varios de los sentidos dados en la definicion 48):

1. Es una superficie plana si S es inmersible en R2. En caso de no ser ası, se denomina alabeada.

2. Es una superficie simple si S no tiene autointersecciones. En el caso de tratarse de una superficieparametrizada, esto es equivalente a que σ sea inyectiva.

Puede demostrarse que:

Proposicion 34 Si σ:D ⊆ R2 → R3 es una superficie parametrizada simple entonces toda curva cerradasimple en D tiene como imagen por σ una curva cerrada simple en S.

4.3.2 Superficies regulares

Atendiendo a las caracterısticas analıticas de las superficies se establece la siguiente terminologıa (parasuperficies parametrizadas):

Definicion 51 Una superficie parametrizada σ:D ⊆ R2 → R3 es una superficie continua (resp. diferencia-ble) respecto a la parametrizacion dada si lo es la funcion σ.

Definicion 52 Dada una superficie parametrizada diferenciable σ:D ⊆ R2 → R3, se definen las funciones(vectoriales)

Tu ≡∂σ

∂u:=(∂x

∂u,∂y

∂u,∂z

∂u

), Tv ≡

∂σ

∂v:=(∂x

∂v,∂y

∂v,∂z

∂v

)Sea (u0, v0) ∈ D:


1. Se denomina producto vectorial fundamental en (u0, v0) (respecto a la parametrizacion dada) a

Tu(u0, v0) ∧Tv(u0, v0) :=(∣∣∣∂(y, z)∂(u, v)

(u0, v0)∣∣∣, ∣∣∣∂(z, x)∂(u, v)

(u0, v0)∣∣∣, ∣∣∣∂(x, y)∂(u, v)

(u0, v0)∣∣∣) (4.8)

2. σ(u0, v0) es un punto regular de la parametrizacion considerada si

(a) Las funciones∂σ

∂uy∂σ

∂vestan definidas en un entorno E(u0, v0) y son continuas en (u0, v0) (o,

lo que es equivalente, σ es de clase C1 en E(u0, v0)).

(b) ∃Tu(u0, v0) ∧Tv(u0, v0) 6= 0.

En caso contrario, se dice que es un punto singular.

3. La superficie es regular o suave si todos sus puntos son regulares 6.

4. La superficie es regular o suave a trozos si su representacion grafica es la union de un numero finitode imagenes de superficies parametrizadas regulares. 7.

Comentarios:

• Tal como ha sido definido, el resultado de hacer el producto vectorial fundamental depende de laparametrizacion. Esto significa que un punto puede ser regular para una parametrizacion y singularpara otra y, por consiguiente, el concepto de regularidad parece que depende de la parametrizacion.Realmente esto no es ası ya que, geometricamente, una superficie regular se caracteriza porque lo-calmente se asemeja a un trozo de plano y, consecuentemmente, tiene vector normal en los puntosregulares (por tanto, no tiene “pliegues” ni “esquinas” 8). Consecuentemente, este es un conceptointrınseco (independiente de la parametrizacion). En este sentido, la definicion dada es imprecisa, perosera suficiente para cubrir los objetivos del curso 9.

• En caso de que la superficie este dada en forma explıcita o implıcita, para asegurar la regularidad enun punto basta con pedir que sean de clase C1 las funciones f(x, y) o F (x, y, z) respectivamente (y, eneste ultimo caso, que el gradiente de F sea no nulo en dicho punto).

La interpretacion geometrica de los vectores Tu(u0, v0) y Tv(u0, v0) y del producto vectorial fundamentales la siguiente: si en D ⊆ R2 se consideran las rectas u = u0 y v = v0, sus imagenes por σ, σ(u0, v) y σ(u, v0),son curvas en R3 que estan obviamente contenidas en S = Imσ y reciben el nombre de curvas coordenadasde la superficie. Entonces, Tv(u0, v0) y Tu(u0, v0) son respectivamente los vectores tangentes a dichas curvasen el punto σ(u0, v0) (como queda puesto de manifiesto por su propia definicion).

Ademas, partiendo del hecho de que toda superficie regular es diferenciable y, por tanto, se verifica lacondicion de tangencia, es posible demostrar facilmente que:

Proposicion 35 Si σ:D ⊆ R2 → R3 es una superficie parametrizada y x = σ(u0, v0) ∈ S es un puntoregular, entonces:

1. Tu(u0, v0) y Tv(u0, v0) son vectores tangentes a la superficie en el punto x (esto es, el plano quedefinen es tangente a la superficie en el punto en cuestion).

2. Consecuentemente, Tu(u0, v0) ∧Tv(u0, v0) es un vector perpendicular a S en x y se denomina vectornormal a la superficie (en el punto correspondiente).

Se designa por n el vector normal unitario en x.6Observese que implica que sea de clase C1.7P. ej., un cubo es una superficie regular a trozos.8Ası, son superficies no regulares aquellas que no son diferenciables (esto es, tienen “puntos angulosos”) o bien aquellas para

las que, en algun punto, Tu = λTv (λ 6= 0).9Existen definiciones intrınsecas que soslayan estos problemas.


Teniendo en cuenta los comentarios hechos sobre la relacion entre las tres concepciones de superficiedadas en la definicion 48, se obtienen facilmente las expresiones del producto vectorial fundamental (y, portanto, del vector normal) cuando la superficie esta dada en forma explıcita o implıcita.

Proposicion 36 Sea S ⊂ R3 una superficie.

1. Si S esta dada en forma explıcita mediante (4.5), p ≡ (x0, y0, f(x0, y0)) ∈ S y f es de clase C1

en un entorno E(x0, y0), entonces p es un punto regular de S y un vector normal a S en p es(−∂f∂x

(x0, y0),−∂f

∂y(x0, y0), 1

).

2. Si S esta dada en forma implıcita mediante (4.6), p ≡ (x0, y0, z0) ∈ S, F es de clase C1 en un entornoE(p) y ∇F (p) 6= 0, entonces p es un punto regular de S y un vector normal a S en p es ∇F (p).

( Dem. )

1. Tomando la parametrizacion σ(x, y) = (x, y, f(x, y)), se tiene que

∂σ∂x =

(1, 0, ∂f∂x

)∂σ∂y =

(0, 1, ∂f∂y

) =⇒ Tu ∧Tv =(−∂f∂x,−∂f

∂y, 1)

(4.9)

Tambien, tomando F (x, y, z) ≡ z− f(x, y), la superficie en cuestion es la superficie de nivel cero de F ,por lo que basta tener en cuenta el corolario 6 para obtener el mismo resultado.

2. Basta tener en cuenta que ∇F , en cada punto, es perpendicular a la superficie de nivel de F , de acuerdocon el corolario 6.

Tambien, asumiendo que se cumplen las hipotesis del teorema de la funcion implıcita, existe localmentela funcion z = f(x, y) tal que F (x, y, f(x, y)) = 0. Entonces, a partir de dicho teorema se obtiene que

∂f

∂x= −

∂F∂x∂F∂z

,∂f

∂y= −

∂F∂y

∂F∂z

Luego, teniendo en cuenta lo expuesto en el caso anterior, resulta que

Tu ∧Tv =

(∂F∂x∂F∂z

,

∂F∂y

∂F∂z

, 1

)=∇F∂F∂z

(4.10)

Finalmente:

Definicion 53 Sean S1, S2 ⊂ R3 dos superficies y p ∈ R3 tal que p ∈ S1 y p ∈ S2, y p es un punto regularde S1 y S2. Se denomina angulo formado por las superficies en dicho punto al formado por sus rectas ovectores normales en el.

4.3.3 Plano tangente y recta normal a una superficie

Al igual que al estudiar las curvas diferenciables introdujimos las nociones de recta tangente y plano normala la curva en un punto, algo analogo se puede hacer cuando se trata de superficies.

De esta manera, teniendo en cuenta que, de acuerdo con los resultados de la seccion 4.3.2, toda superficieregular en un punto tiene bien definido un vector normal a la superficie en dicho punto, se define:

Definicion 54 Sea S ⊂ R3 una superficie regular en el punto a ∈ S.

1. Se denomina plano tangente a la superficie en el punto a al plano que pasa por a y tiene como vectorcaracterıstico un vector normal a S en a.


2. Se denomina recta normal a la superficie en el punto a a la recta que pasa por a y tiene como vectordirector un vector normal a S en a (y, por consiguiente, es perpendicular al plano tangente).

La manera de obtener la ecuacion del plano tangente y de la recta normal a una superficie en un puntodado depende de la forma en que este dada la superficie:

Forma parametrica : (Ec. (4.7)). Un vector normal a la superficie es su producto vectorial fundamentalen a, luego la ecuacion del plano tangente a S en a es:

0 = 〈(x, y, z)−σ(a),Tu(a)∧Tv(a)〉 = (x−a1)∣∣∣∂(y, z)∂(u, v)

(a)∣∣∣+(y−a2)

∣∣∣∂(z, x)∂(u, v)

(a)∣∣∣+(z−a3)

∣∣∣∂(x, y)∂(u, v)

(a)∣∣∣

o, equivalentemente(x, y, z) = σ(a) + λTu(a) + µTv(a)

Una ecuacion vectorial de la recta normal es, por tanto,

(x, y, z) = σ(a) + λTu(a) ∧Tv(a)

Forma implıcita : (Ec. (4.6)). De acuerdo con el corolario 6, un vector normal a la superficie es gradF (a),luego la ecuacion del plano tangente a S en a es:

0 = 〈(x, y, z)− (a1, a2, a3),∇F (a)〉 = (x− a1)∂F

∂x(a) + (y − a2)

∂F

∂y(a) + (z − a3)

∂F

∂z(a)


(x, y, z) = (a1, a2, a3) + λ∇F (a)

Tambien se puede tomar el vector normal dado en la expresion (4.10).

Forma explıcita : (Ec. (4.5)). La ecuacion del plano tangente a graf f en (a, f(a)) es, como ya sabemos,

z − f(a) = (x− a1)∂f

∂x(a) + (y − a2)

∂f

∂y(a)


(x, y, z) = (a1, a2, f(a)) + λ(∇f(a),−1)

Tambien se obtienen tomando la funcion F (x, y, z) ≡ f(x, y) − z, definiendo S como su superficie denivel cero y empleando el metodo anterior.

Finalmente, tambien se puede tomar la parametrizacion y el vector normal dado en la expresion (4.9)y emplear el primer metodo.

4.3.4 Superficies orientadas

Dada una superficie, es intuitivo que, en un entorno de cada punto de la misma, se pueden distinguir doslados: uno “exterior” y otro “interior”. Una manera de senalar ambos lados es por medio de un vector encada punto que sea perpendicular a la superficie y apunte en el sentido deseado. Esta es la idea que subyaceen el concepto de orientacion:

Definicion 55 Sea una superficie regular S ⊂ R3. Una orientacion de la superficie es una funcion continuaque asigna a cada punto (u0, v0) ∈ S un vector normal no nulo n(u0, v0).

Una superficie dotada con una orientacion se dice que esta orientada.

Comentarios:


• Si se tiene una superficie parametrizada regular, lo habitual es tomar como vector unitario normal encada punto n = Tu ∧Tv. Esta claro, por tanto, que la orientacion dependera de la parametrizacion.

• Observese que al dar un vector normal en cada punto de una superficie se estan distinguiendo dossentidos: el del vector y su opuesto, cada uno de los cuales corresponde a una de las orientaciones dela superficie. Por tanto, una superficie tiene, en un entorno de cada punto, solo dos orientaciones, estoes, dos lados 10.

La propiedad anterior es, en general, solo local, pues hay superficies que, al ser consideradas en sutotalidad, solo tienen una cara 11. Esto significa que, partiendo de un punto σ(u0, v0), donde se tiene unvector normal unitario n, existe algun camino cerrado en S tal que, al desplazar este vector a lo largo delmismo, cuando se vuelve al punto de partida dicho vector ha cambiado su sentido y coincide con −n.

Las superficies que, consideradas en su totalidad, tienen dos lados reciben el nombre de superficiesorientables, en contraposicion a las que solo tienen un lado que son las superficies no orientables 12.

4.4 Borde de un conjunto. Conectividad

4.4.1 Frontera geometrica o borde de un conjunto

Vamos a introducir, seguidamente, una serie de conceptos que seran muy utilizados en adelante.

En primer lugar, es importante senalar que en muchos de los enunciados de Analisis vectorial se usa eltermino “frontera” (referido a un conjunto de puntos), no en el sentido topologico, sino en el geometrico;es decir, se esta haciendo referencia a los puntos, si existen, que delimitan geometricamente dicho conjunto,(que formaran en muchos casos una curva, superficie o hipersuperficie en Rn). Ası pues, hay que distinguirentre la frontera topologica y la frontera geometrica o borde de un conjunto.

Se va a establecer la definicion para regiones en R3.

Definicion 56 1. Sea S ⊂ R3 una superficie. Un punto p ∈ FrS es un punto frontera regular de lasuperficie S si existe un abierto U ⊂ R3 que contiene a p y un isomorfismo ϕ:U ⊂ R3 → V ⊂ R3 declase C1 tal que ϕ(p) = 0 y

ϕ(U ∩ S) = {(x, y, z) ∈ V | z = 0 , y ≥ 0}

Se denomina borde o frontera geometrica de S, y se designa por ∂S, al conjunto de puntos fronteraregulares de S.

2. Sea A ⊂ R3. Un punto p ∈ FrA es un punto frontera regular de la region A si existe un abierto U ⊂ R3

que contiene a p y un isomorfismo ϕ:U ⊂ R3 → V ⊂ R3 de clase C1 tal que ϕ(p) = 0 y

ϕ(U ∩A) = {(x, y, z) ∈ V | z ≤ 0}

Se denomina borde o frontera geometrica de A, y se designa por ∂A, al conjunto de puntos fronteraregulares de A.

Comentarios:

• El borde de una superficie lo constituyen puntos de curvas regulares y el borde de un “volumen” enR3 lo constituyen puntos de superficies regulares (incluyendo los puntos frontera regulares de dichassuperficies).

Ademas de los puntos frontera regulares, en la frontera de superficies o de regiones en R3 puede haberpuntos aislados y/o vertices que se denominan puntos frontera singulares.

10Si la superficie no es simple, en los puntos multiples puede haber varios vectores normales distintos. Ello no es obice paraseguir hablando de orientacion (incluso en esos puntos), como se comprende intuitivamente.

11P. ej., la banda de Mobius.12Existen definiciones rigurosas de estos conceptos, pero para cubrir los objetivos del curso basta con esta idea intuitiva.


• La definicion de borde de una region en R2 es un caso particular de la de borde de una superficie enR3, cuando dicha superficie es plana.

• La definicion anterior se puede extender a arcos de curvas en R3 o R2, en cuyo caso se obtiene de formainmediata que el borde lo constituyen sus extremos, si los tiene.

• Obviamente ∂A ⊆ FrA (pero no al reves) 13.

Relacionada con el concepto de borde, se puede establecer la siguiente:

Definicion 57 Una superficie S ⊂ R3 es cerrada (geometricamente) si existe alguna region compacta V ⊂R3 tal que S = ∂V 14.

Hay ciertas cuestiones de gran relevancia sobre el tema de la orientacion de los bordes de superficies yregiones en R3. Ası se tiene que:

Definicion 58 En R3, sean e1, e2, e3 los vectores de la base ortonormal (dextrogira) segun los ejes X,Y, Z.

1. Sea S ⊂ R3 una superficie con borde C ⊂ R3 una curva de Jordan regular (o varias) 15.

(a) Se denomina orientacion positiva de la curva C a la que asigna a cada punto p ∈ C el vector(Dpϕ)−1(e1).

(b) Se denomina orientacion inducida sobre S por la orientacion positiva de C a la que asigna a cadapunto p ∈ S el vector (Dpϕ)−1(e3).Si la orientacion del borde C de la superficie S es la negativa, la orientacion inducida sobre S esla opuesta.

2. Sea A ⊂ R3 una region con borde S ⊂ R3 una superficie regular (o varias). Se denomina orientacionpositiva de la superficie S a la que asigna a cada punto p ∈ S el vector (Dpϕ)−1(e3)

Comentarios:

• Es evidente que, del mismo modo que la orientacion de la curva borde de una superficie induce unaorientacion sobre esta, el recıproco es igualmente cierto y una orientacion de una superficie con bordeinduce otra sobre la curva frontera en cuestion.

En cualquier caso, la orientacion inducida se obtiene por la popularmente denominada “regla de lamano derecha”.

• Como puede observarse, la orientacion inducida en el borde de una superficie S por la de la propiasuperficie es la que corresponde a recorrer la curva de tal manera que S este siempre a la izquierda 16.

Esta orientacion y su opuesta son, por consiguiente, independientes de la parametrizacion de la curva.

4.4.2 Deformaciones de curvas y superficies. Conjuntos conexos

Antes de abordar la nocion de “conectividad” en un conjunto, es necesario introducir el siguiente concepto:

Definicion 59 Sea A ⊆ Rn.13Por ejemplo, en el sentido topologico, todos los puntos de una superficie en R3

son puntos frontera, y no solo los puntos dela curva que la delimita, que constituyen su borde.

14Observese que esto implica que ∂S = ∂2V = 0.15La misma definicion es obviamente valida para curvas planas que sean borde de regiones en R2

.16P. ej., una corona circular tiene por frontera dos circunferencias. En este caso, observese que tomar la orientacion inducida

en ambas implica recorrer la exterior en sentido “antihorario” y la interior en sentido “horario”.


1. Sean c1, c2: R → A ⊂ Rn, con C1 = Im c1, C2 = Im c2, dos curvas regulares (a trozos), cerradas o conextremos comunes (esto es, con ∂C1 = ∂C2). Se dice que estas curvas son homotopicas (o tambienque se pueden deformar homotopicamente una en la otra) en A si existe una deformacion continua enA que transforma una en otra; esto es, una funcion continua F (t, s), F : I × [0, 1] → A ⊆ Rn, tal queF (t, 0) = c1(t) y F (t, 1) = c2(t), ∀t ∈ I.

2. Una curva de Jordan c: R → A ⊆ Rn se dice que es contractil a un punto en A si se puede deformarhomotopicamente en A a un punto p ∈ A ⊆ Rn; esto es, existe una funcion continua F (t, s), F : I ×[0, 1] → A ⊆ Rn, tal que F (t, 0) = c(t) y F (t, 1) = p, ∀t ∈ I.

Comentario:

• La idea de deformacion continua se puede extender a superficies. Ası, sean σ1, σ2: R2 → Rn, conS1 = Imσ1, S2 = Imσ2, dos superficies regulares (a trozos), bien cerradas o bien simples con fronterageometrica la misma curva de Jordan regular (a trozos). Se dice que estas superficies son homeomorfassi existe una deformacion continua que transforma una en otra.

La idea de “conectividad” juega un papel importante en el desarrollo de algunos de los conceptos quevan a ser tratados a partir de ahora. Basicamente, hay dos maneras (no equivalentes) de pensar en laconectividad de un conjunto. La primera se basa en la conexion de puntos por medio de curvas simples y esla siguiente:

Definicion 60 Sea A ⊂ Rn. A es un conjunto arco-conexo si ∀x, y ∈ A, existe una curva c: I = [a, b] ⊂R → Rn tal que

1. c es una curva conexa.

2. c(a) = x, c(b) = y.

3. ∀t ∈ I, c(t) ∈ A; esto es, Im c ⊂ A.

Comentario:

• En R, los conjuntos arco-conexos son intervalos.

Una propiedad que relaciona funciones continuas y conjuntos arco-conexos es la siguiente:

Proposicion 37 Sean f : A ⊂ Rn → Rm continua y A un conjunto arco-conexo. Entonces f(A) es arco-conexo.

( Dem. ) Sean y1, y2 puntos de f(A). Existen x1, x2 ∈ A tales que f(x1) = y1 y f(x2) = y2. Por ser Aarco-conexo, existe una curva c tal que c(t1) = x1 y c(t2) = x2. Entonces f ◦ c: [t1, t2] → f(A) es una curvatal que f ◦ c(t1) = y1 y f ◦ c(t2) = y2. Luego f(A) es arco-conexo.

La segunda nocion de conectividad utiliza curvas cerradas y se establece en los siguientes terminos:

Definicion 61 Sea A ⊂ Rn. A es un conjunto simplemente conexo si toda curva de Jordan C ⊂ A escontractil a un punto p ∈ A.

Ejemplos:

• En R2, un conjunto simplemente conexo es una region que no tiene agujeros.

• En R3, los conjuntos que no son simplemente conexos son topologicamente equivalentes a un toro (o auna corona circular).


Para completar este estudio, se puede establecer el siguiente concepto:

Definicion 62 Sea A ⊂ Rn (n ≥ 2). A es un conjunto multiplemente conexo si es arco-conexo pero nosimplemente conexo.

Como caso particular de conjuntos conexos se tiene:

Definicion 63 Dada una superficie S (definida en uno o varios de los sentidos dados en la definicion 48),S es una superficie arco-conexa (resp. simplemente conexa o multiplemente conexa) si S es un conjuntoarco-conexo (resp. simplemente conexo o multiplemente conexo).

Finalmente, en el ultimo capıtulo se utilizaran los siguientes conceptos:

Definicion 64 Sea A ⊂ Rn.

1. A es un conjunto estrellado respecto a un punto p ∈ A si, ∀x ∈ A, el segmento px ⊂ A.

2. A es un conjunto convexo si es estrellado respecto a todos sus puntos; esto es, ∀x, y ∈ A, el segmentoxy ⊂ A.

Chapter 5

Estudio local de funciones en Rn

5.1 Introduccion

El presente capıtulo esta dedicado a analizar aplicaciones de tipo analıtico de la diferenciabilidad de funcionesde varias variables. En concreto, se va a estudiar primero el problema de la aproximacion local de funcionespor medio de la generalizacion de la formula de Taylor para, a continuacion abordar el problema de laidentificacion y calculo de extremos (y puntos crıticos) de funciones en diversos casos.

5.2 Formula de Taylor

5.2.1 Formula de Taylor. Expresion del resto.

Estamos ya en condiciones de generalizar la formula de Taylor para funciones de varias variables.

Teorema 10 (de Taylor): Sea f :A ⊆ Rn → R y a ∈ A tal que f es una funcion de clase Ck en un entornoabierto E(a). Si x ≡ a+ h ∈ E(a) es un punto tal que el segmento ax ⊂ E(a), entonces

f(x) = Pk(f ; a) +Rk(f ; a)

= f(a) +n∑i=1

∂f

∂xi(a)(xi − ai) +

12!

n∑i,j=1

∂2f

∂xi∂xj(a)(xi − ai)(xj − aj) + . . .

+1k!

n∑i1,...,ik=1

∂kf

∂xi1 . . . ∂xik(a)(xi1 − ai1) . . . (xik − aik) +Rk(f ; a)

= f(a) +n∑i=1

∂f

∂xi(a)hi +

12!

n∑i,j=1

∂2f

∂xi∂xj(a)hihj + . . .+

1k!

n∑i1,...,ik=1

∂kf

∂xi1 . . . ∂xik(a)hi1 . . . hik

+Rk(f ; a)

donde Pk(f ; a) recibe el nombre de polinomio de Taylor de grado k asociado a f en a y Rk(f ; a) es el restode Taylor de orden k que verifica que Rk(f ; a) = o(‖h‖k) cuando h→ 0.

Si, ademas, f es una funcion de clase Ck+1 en E(a), entonces

Rk(f ; a) =1

(k + 1)!

n∑i1,...,ik,ik+1=1

∂k+1f

∂xi1 . . . ∂xik∂xik+1

(ξ)hi1 . . . hik

donde ξ ∈ ax. Esta es la denominada expresion de Lagrange del resto.

61


( Dem. ) Vease J.M. Ortega, Introduccio a l’Analisi Matematica. (Es como en el caso de una variable).

Comentarios

• Observese que los coeficientes de los terminos de primer y segundo grado del polinomio de Taylor sonlos coeficientes de las matrices jacobiana y hessiana de f en a, respectivamente.

• Los teoremas de acotacion del resto del caso de funciones de una variable se generalizan de manerainmediata a este caso general.

Como consecuencia inmediata del teorema de Taylor se puede obtener el teorema del valor medio parafunciones de varias variables:

Teorema 11 (del valor medio): Sea f :A ⊆ Rn → R y a, x ∈ A tal que f es una funcion de clase C1 en Ay ax ⊂ A, entonces ∃ξ ∈ ax tal que

f(x)− f(a) = Jξf(x− a)

( Dem. ) Se obtiene directamente a partir del teorema de Taylor, tomando el polinomio de orden 0 y laexpresion de Lagrange del resto de orden 1.

5.3 Calculo de extremos

5.3.1 Formas cuadraticas

Antes de abordar el tema de la localizacion e identificacion de los extremos de las funciones de varias variables,es preciso efectuar un breve repaso sobre formas cuadraticas, ya que sus propiedades son esenciales en esteestudio.

Definicion 65 Sea E un espacio vectorial (real y euclıdeo) dotado con un producto escalar. Sea (e1, . . . , en)una base ortonormal de E y A una matriz de orden n cuya expresion en la base dada es A = (aij). Sedenomina forma cuadratica asociada a la matriz A a la aplicacion

A : E → Rx =

∑ni=1 xiei 7→ A(x) ≡

∑ni=1 aijxixj

es decir,

A(x) = (x1 . . . xn )

a11 . . . a1n...

...an1 . . . ann

x1...xn

Definicion 66 Sea A una forma cuadratica.

1. A es definida positiva (resp. semidefinida positiva) si

A(x){> 0 (resp. ≥ 0) si x 6= 0

= 0 si x = 0

2. A es definida negativa (resp. semidefinida negativa) si

A(x){< 0 (resp. ≤ 0) si x 6= 0

= 0 si x = 0

3. A es indefinida en cualquier otro caso.


Comentario:

• Observese que se A es definida positiva, entonces −A es definida negativa y recıprocamente.

Se demuestra que las formas cuadraticas definidas se pueden caracterizar de la siguiente manera:

Proposicion 38 Sea A una forma cuadratica.

1. A es definida positiva si ∃λ ∈ R+ tal que , ∀x ∈ E,

A(x){

> λ‖x‖2 si x 6= 0= 0 si x = 0

2. A es definida negativa si ∃λ ∈ R− tal que, ∀x ∈ E,

A(x){

< λ‖x‖2 si x 6= 0= 0 si x = 0

A efectos de calculo, el principal resultado que se usa para discernir si una forma es definida o no y de queclase es el denominado criterio de Silvester o de los determinantes orlados (valido para formas cuadraticassimetricas):

Proposicion 39 (Criterio de Silvester:) Sea A una forma cuadratica simetrica asociada a la matriz A (deorden n) 1. Sean ∆i, i = 1, . . . , n, los sucesivos determinantes orlados de la matriz A 2:

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

...an1 an2 . . . ann

; ∆1 = a11 , ∆2 = a11a22 − a12a21 , . . . , ∆n = |A|

1. La c.n.s. para que A sea definida positiva es que

∆i > 0 , ∀i

2. La c.n.s. para que A sea definida negativa es que

(−1)i∆i > 0 , ∀i

es decir, los signos de los determinantes orlados vayan alternandose de la siguiente manera:

∆2k−1 < 0 , ∆2k > 0 , (k ∈ N)

3. En el resto de los casos:

(a) A es indefinida si, y solo si, ∆n 6= 0.

(b) A es semidefinida si, y solo si,∆n = 0.

Un criterio equivalente (aunque algo mas preciso) es el siguiente:

Proposicion 40 (Criterio de los valores propios:) Sea A una forma cuadratica simetrica asociada a lamatriz A (de orden n)

1Esto es, si A = (aij), aij = aji.2Estos son los determinantes de las sucesivas submatrices cuadradas a lo largo de la diagonal de A.


1. La c.n.s. para que A sea definida positiva es que todos los valores propios de A sean estrictamentepositivos.La c.n.s. para que A sea semidefinida positiva es que exista algun valor propio de A nulo y todos losdemas sean estrictamente positivos.

2. La c.n.s. para que A sea definida negativa es que todos los valores propios de A sean estrictamentenegativos.La c.n.s. para que A sea semidefinida negativa es que exista algun valor propio de A nulo y todos losdemas sean estrictamente negativos.

3. En el resto de los casos es indefinida.

5.3.2 Extremos libres. Puntos crıticos. Condicion necesaria de extremo

Como en el caso de una variable, se define:

Definicion 67 Sea f :A ⊆ Rn → R y a ∈ A.

1. f presenta un mınimo local en a si, ∃Br(a) ⊂ A tal que f(x) ≥ f(a), ∀x ∈ Br(a).

2. f presenta un maximo local en a si, ∃Br(a) ⊂ A tal que f(x) ≤ f(a), ∀x ∈ Br(a).

En cualquier caso se dice que f presenta un extremo local en a y, si las desigualdades son estrictas, sedenomina extremo local estricto (mınimo o maximo respectivamente).

Una primera caracterizacion de los extremos locales viene dada por la siguiente condicion (necesaria):

Proposicion 41 Sea f :A ⊆ Rn → R y a ∈ A, tal que f es diferenciable en a. Si f presenta un extremolocal en a entonces Daf = 0

( Dem. ) Si f presenta un extremo local en a entonces la funcion f restringida sobre cualquier rectac(t) = a + tv (que pase por a), esto es, cualquier curva (f ◦ c)(t) = f(a + tv) presenta necesariamente unextremo en el punto t = 0. Entonces

0 = (f ◦ c)′(0) ≡ Daf(v) (∀v)

es decir, todas las derivadas direccionales en a son nulas luego, en particular, lo son las derivadas parcialesen a y, por tanto, Daf = 0.

A raiz de este resultado se define:

Definicion 68 Sea f :A ⊆ Rn → R y a ∈ A, tal que f es diferenciable en a. f tiene un punto crıtico en asi Daf = 0

Ası pues, la proposicion precedente asegura que todo extremo local es un punto crıtico, pero no al reves.Entonces:

Definicion 69 Sea f :A ⊆ Rn → R y a ∈ A, tal que f es diferenciable en a. f tiene un punto de silla en asi a es un punto crıtico pero no es un extremo local de f .

Comentarios:

• El nombre “punto de silla” se justifica porque puede demostrarse que, en un entorno del punto, existenregiones en las que la funcion toma indistintamente valores mayores y menores que f(a).Ejemplo: f(x, y) ≡ x2 − y2 en (0, 0).

• Los puntos de silla son el equivalente, en varias variables, de la nocion de punto de inflexion (contangencia horizontal) del caso de una variable.


5.3.3 Condicion suficiente de extremo

Analizaremos, a continuacion las posibles condiciones suficientes que permitan discernir si un punto crıticoes o no un extremo local. En primer lugar se introduce la siguiente nomenclatura:

Definicion 70 Sea f :A ⊆ Rn → R y a ∈ A, tal que f es dos veces diferenciable en a. Se denomina Hessianade f en a a la forma cuadratica asociada a la matriz hessiana Haf , y se designa por Haf .

Cabe ahora interrogarse sobre cuando esta forma es definida (positiva o negativa) o no, y la relacion queeste hecho pueda tener con el comportamiento de la funcion en a. La respuesta la da el siguiente resultado:

Proposicion 42 Sea f :A ⊆ Rn → R y a ∈ A, tal que f es de clase C2 en un entorno de a.

1. Si a es un punto crıtico de f y Haf es una forma definida positiva entonces f presenta un mınimolocal (estricto) en a.

2. Si a es un punto crıtico de f y Haf es una forma definida negativa entonces f presenta un maximolocal (estricto) en a.

3. Si a es un punto crıtico de f y Haf es una forma indefinida entonces f presenta un punto de silla ena.

4. Si a es un punto crıtico de f y Haf es una forma semidefinida entonces f presenta un punto crıticodegenerado 3 en a.

( dem. )

1. Haciendo el desarrollo de Taylor de f en a hasta el segundo orden, teniendo en cuenta que a puntocrıtico de f ⇔ Daf = 0 ⇔ Jaf = 0 y que, de acuerdo con la proposicion 38, Haf(h) ≥ λ‖h‖2, se tieneque

f(a+ h) = f(a) + Jafh+Haf(h) +R2(h) > f(a) +12λ‖h‖2 +R2(h)

de ahıf(a+ h)− f(a)

‖h‖2>

12λ+

R2(h)‖h‖2

h→0−→ 12λ ≥ 0

luego, para h suficientemente pequeno, f(a+h) > f(a), por tanto f presenta un mınimo local (estricto)en a, de acuerdo con la definicion.

2. Igual que el caso anterior.

3. El razonamiento es similar al de los casos anteriores.

4. El razonamiento es similar al de los casos anteriores.

El siguiente resultado da un metodo operativo para identificar el caracter de los puntos crıticos. Sudemostracion se basa (en parte) en la aplicacion de las proposiciones anterior y 39.

Proposicion 43 Sea f :A ⊆ Rn → R y a ∈ A un punto crıtico de f , tal que f es de clase C2 en un entornode a. Sean ∆i los determinantes orlados de Haf .

1. Si ∆i > 0, ∀i, entonces f presenta un mınimo local (estricto) en a.

3Esto es, puede ser un punto de silla, un maximo o un mınimo local (no estrictos), pero su caracter no puede determinarseanalizando unicamente las derivadas parciales de primer y segundo orden de la funcion en a, y hay que hacer un estudio analıticomas elaborado.


2. Si (−1)i∆i > 0, ∀i, entonces f presenta un maximo local (estricto) en a.

3. En el resto de los casos, f presenta en a

(a) Un punto de silla, si ∆n 6= 0.

(b) Un punto crıtico degenerado si ∆n = 0.

Tambien, de la proposicion 40 se obtiene el siguiente criterio:

Proposicion 44 Sea f :A ⊆ Rn → R y a ∈ A un punto crıtico de f , tal que f es de clase C2 en un entornode a. Sea Haf la matriz hessiana de f en a.

1. Si todos los valores propios de Haf son estrictamente positivos entonces f presenta un mınimo localestricto en a.

2. Si todos los valores propios de Haf son estrictamente negativos entonces f presenta un maximo localestricto en a.

3. En el resto de los casos:

(a) Si hay valores propios de Haf que son algunos positivos y otros negativos, entonces f presenta unpunto de silla en a.

(b) En todos los demas casos, f presenta un punto crıtico degenerado en a.

Caso particular: funciones de dos variables

Dado que es el caso con el que nos encontraremos mas frecuentemente a lo largo del curso, vamos aespecificar alguno de los resultados anteriores para funciones de dos variables.

Sea f :A ⊆ Rn → R y a ∈ A un punto crıtico de f , tal que f es de clase C2 en un entorno de a. Sean ∆i

(i = 1, 2) los determinantes orlados de Haf ; es decir,

∆1 =∂2f

∂x2(a) , ∆2 =

∂2f

∂x2(a)

∂2f

∂y2(a)−

(∂2f

∂y∂x(a))2

Los casos posibles son los siguientes:

1. ∆2 > 0

∆1 > 0 f presenta en a un mınimo local. (Ej.: f(x, y) = x2 + y2 en (0, 0)).∆1 < 0 f presenta en a un maximo local. (Ej.: f(x, y) = −(x2 + y2) en (0, 0)).

∆1 = 0 No es posible pues implicarıa que ∆2 = −(∂2f

∂y∂x(a))2

.

2. ∆2 < 0

∆1 > 0 f presenta en a un punto de silla. (Ej.: f(x, y) = x2 − y2 en (0, 0)).∆1 < 0 f presenta en a un punto de silla. (Ej.: f(x, y) = −x2 + y2 en (0, 0)).∆1 = 0 f presenta en a un punto de silla. (Ej.: f(x, y) = y2 + 2xy en (0, 0)).

3. ∆2 = 0 No se puede asegurar nada y hay que hacer un estudio aparte. (Ej.: f(x, y) = (y−3x2)(y−x2)en (0, 0)).

Ejemplo: f(x, y) = 1− x2.{∂f∂x = 2x = 0 ⇔ x = 0∂f∂y = 0

}=⇒ Ptos. crıticos (0, y0)

Pero f(0, y0) = 1 mientras que ∀(x, y) ∈ Br(0, y0), f(x, y) = 1−x2 ≤ 0 = f(0, y0), luego (0, y0) son maximosno estrictos, de acuerdo con la definicion.


5.3.4 Extremos condicionados

En las dos siguientes secciones se analiza un problema menos general que el planteado anteriormente. Si antesse trataba de localizar los extremos locales de una funcion en todo su dominio, ahora se trata de hallar losextremos de la funcion sobre un conjunto de puntos del dominio, que estaran analıticamente especificados pormedio de una (o varias) funciones del mismo tipo que la original. Este problema tiene multiples aplicacionesfısicas y geometricas.

Definicion 71 Sea f :A ⊆ Rn → R y a ∈ A. Sean g1, . . . , gm:A ⊆ Rn → R, (m < n).

1. f presenta en a un mınimo condicionado a que g1(x) = 0, . . . = gm(x) = 0 si,

(a) g1(a) = 0, . . . = gm(a) = 0.

(b) ∃Br(a) ⊂ A tal que, ∀x ∈ Br(a) con g1(x) = 0, . . . = gm(x) = 0, se tiene que f(x) ≥ f(a).

2. f presenta en a un maximo condicionado a que g1(x) = 0, . . . = gm(x) = 0 si,

(a) g1(a) = 0, . . . = gm(a) = 0.

(b) ∃Br(a) ⊂ A tal que, ∀x ∈ Br(a) con g1(x) = 0, . . . = gm(x) = 0, se tiene que f(x) ≤ f(a).

En cualquier caso se dice que f presenta un extremo condicionado en a.

Las relaciones g1(x) = . . . = gm(x) = 0 se denominan condiciones o ligaduras.

Comentarios:

• Observese que las ligaduras seleccionan puntos en el dominio A de f : son aquellos que pertenecen a lainterseccion de los conjuntos de nivel cero de las funciones g1, . . . , gm.

• Los extremos libres de una funcion no son necesariamente extremos condicionados, ni recıprocamente.

Para determinar los extremos condicionados de una funcion la manera mas directa consistirıa en restringirla funcion dada sobre los puntos del dominio definidos por las ligaduras. Teniendo en cuenta el comentarioprecedente, la manera de llevar a efecto este procedimiento serıa el siguiente:

1. Parametrizar la curva o (hiper)superficie definida por las ligaduras (ver capıtulo 4).

2. Expresar f en funcion de la parametrizacion y obtener los extremos (libres) de la funcion resultante.

Sin embargo el exito de este metodo depende de la parametrizacion que se tome 4 y puede presentar problemassi la parametrizacion elegida no es adecuada.

5.3.5 Metodo de los multiplicadores de Lagrange

Para solventar el problema que se acaba de senalar, existe un procedimiento alternativo conocido comometodo de los multiplicadores de Lagrange, el cual se basa en la aplicacion del siguiente teorema:

Teorema 12 (de Lagrange): Sea f :A ⊆ Rn → R y a ∈ A, y sean g1, . . . , gm:A ⊆ Rn → R, (m < n), talesque:

1. f, g1, . . . , gm son funciones diferenciables en a.

2. ∇g1(a), . . . ,∇gm(a) son vectores no nulos y linealmente independientes.

4Suponiendo que se tenga alguna.


Si f presenta en a un extremo condicionado a que g1(x) = . . . = gm(x) = 0 entonces ∃λ1, . . . , λm ∈ R talesque

∇f(a) = λ1∇g1(a) + . . .+ λm∇gm(a)

o, lo que es equivalenteD(f − λ1g1 − . . .− λmgm)(a) = 0

Los coeficientes λ1, . . . , λm se denominan multiplicadores de Lagrange.

( Dem. ) Se hara la demostracion en el caso particular en que haya una sola ligadura g(x) = 0.

Supongase que se trata de un maximo (el mınimo se tratarıa igual). Por ser a extremo condicionado,g(a) = 0. Sea, entonces, S la superficie de nivel cero de g que pasa por a y c: I ⊆ R → Rn una curva en S quepasa por a; esto es, c(t) ∈ S o, lo que es lo mismo, (g ◦ c)(t) = 0, con c(0) = a. Por ser ∇g(a) perpendiculara las superficies de nivel se tiene que 〈∇g(a), c′(0)〉 = 0.

Considerese la funcion f ◦ c: R → R, que ha de tener un maximo local en t = 0 por las condiciones de fy c. de ahı (f ◦ c)′(0) = 0, pero

(f ◦ c)′(0) = Jc(0)fc′(0) = 〈∇f(a), c′(0)〉 = 0

luego ∇f(a) es perpendicular a todas las curvas en S, por tanto es perpendicular a S y, como solo hay unarecta perpendicular a S en a, necesariamente ∇f(a) y ∇g(a) han de ser linealmente dependientes.

Comentarios

• En el caso en que solo haya una ligadura g(x) = 0, la interpretacion geometrica del teorema es que lassuperficies de nivel de f y g son tangentes en los puntos extremos condicionados.

• El teorema solo da una condicion necesaria para la existencia de extremos condicionados; por tanto,una vez resuelto el sistema hay que hacer un analisis para ver si los puntos hallados son realmenteextremos de la funcion restringida 5.

En particular, si por algun razonamiento previo (de tipo geometrico, por ejemplo) se concluye que hade haber un numero dado de extremos condicionados y por el metodo de Lagrange se obtiene el mismonumero de puntos candidatos, entonces estos son necesariamente los extremos condicionados buscados.

El metodo de los multiplicadores de Lagrange consiste, por consiguiente, en hallar los puntos x ≡(x1, . . . , xn) que sean solucion del siguiente sistema de n + m ecuaciones (con n + m incognitas: las ncoordenadas xi y los m multiplicadores λj) 6:

g1(x) = 0 . . . gm(x) = 0 (m ecuaciones)∇f(x) = λ1∇g1(x) + . . .+ λm∇gm(x) (n ecuaciones)

Sobre este sistema se pueden hacer los siguientes comentarios:

• El sistema puede ser incompatible:

– Por no ser compatibles las ligaduras; esto es, no definen una region en A (el problema esta malplanteado).Ejemplo: g1(x, y, z) ≡ x2 + y2 − z = 0; g2(x, y, z) ≡ 1 + z = 0.

5Existen metodos analıticos que resuelven este problema, pero su dificultad excede el nivel del curso (vease, p. ej., J.E.Marsden, A.J. Tromba, Calculo Vectorial, pp. 272-274).

6Este sistema se obtiene de forma equivalente definiendo la funcion de n + m variables

F (x1, . . . , xn, λ1, . . . , λm) ≡ f(x1, . . . , xn)−m∑

j=1

λjgj(x1, . . . , xn)

e imponiendo queD(x1,...,xn,λ1,...,λm)F = 0


– Por no tener la funcion f extremos condicionados a las ligaduras dadas (esto es, la funcionrestringida sobre las ligaduras es creciente o decreciente en sentido estricto).Ejemplo: f(x, y) ≡ x2y; g(x, y) ≡ 1− xy = 0.Parametrizacion de la ligadura: c(t) = (t, 1/t)Funcion restringida: (f ◦ c)(t) = t.

• El sistema puede ser indeterminado.

Ejemplo: Si la condicion fuera una superficie de nivel de la propia funcion f entonces ∇f(x) = ∇g(x),∀x, con lo que las n ultimas ecuaciones del sistema anterior serıan identidades y todos los puntos quesatisfacieran la ligadura serıan solucion (la funcion f es constante sobre todos ellos).

Ejemplo: f(x, y) ≡ x2 − y2; g(x, y) ≡ x+ y = 0.

Se tiene que ∇f(x, y) = (2x,−2y), ∇g(x, y) = (1, 1); y la igualdad ∇f(x, y) = λ∇g(x, y) se traduce enel sistema

2x = λ , −2y = λ

que se satisface automaticamente en todos los puntos que cumplen la ligadura (y = −x, por lo quetodos ellos son solucion.

Comentario:

• Un caso especial a resenar es cuando, en la resolucion del problema, se obtiene que λ1 = . . . = λm = 0.Entonces ∇f(a) = 0, lo cual significa que la funcion tiene un punto crıtico en a independientementede las condiciones. En tal caso se analiza si es un extremo (libre) usando el metodo descrito en lassecciones previas y, si lo es, tambien es un extremo condicionado.

Ejemplo: f(x, y) = x2 + y2 + 1; g(x, y) ≡ y = 0.

La solucion del sistema da λ = 0 y (x, y) = (0, 0), que es un punto crıtico de f (pues D(0,0)f = (0, 0))y corresponde a un mınimo local (como pone de manifiesto el analisis de la hessiana de f en dichopunto).

5.3.6 Extremos absolutos de una funcion continua en un compacto

El ultimo problema que se va a considerar se plantea en los siguientes terminos:

Sea f :A ⊆ Rn → R una funcion continua y K ⊂ A un compacto. De acuerdo con el teorema deWeierstrass, f alcanza en K valores maximo y mınimo absolutos. Se trata de determinar los puntos de Kdonde esto sucede.

Para resolverlo, asumiremos las siguientes hipotesis adicionales:

1. f es diferenciable en K.

2. K es un conjunto compacto cuya frontera es la uni’on de un numero finito de elementos regulares(curvas, superficies,hipersuperficies) y, eventualmente, de vertices.

En tal caso el procedimiento consiste en:

1. Determinar los puntos crıticos de f en IntK.

2. Determinar los (candidatos a) extremos condicionados de f en cada elemento regular de la frontera,que es un problema de extremos condicionados.

3. Determinar los valores que toma f en cada uno de los puntos obtenidos y en los vertices, si los hubiere,y a partir de ahı obtener los extremos absolutos.

Los casos concretos que nos van a interesar son:


• f :A ⊆ R2 → R; K ⊂ A.

Con las hipotesis asumidas, FrK esta formada por un numero finito de arcos de curvas diferenciablesque intersectan en un numero finito de vertices.

En este caso, el segundo punto del procedimiento se traduce en un problema de extremos condicionadoscon una sola ligadura, para cada arco de curva.

• f :A ⊆ R3 → R; K ⊂ A.

Con las hipotesis asumidas, FrK esta formada por un numero finito de superficies diferenciables queintersectan en un numero finito de arcos de curvas diferenciables que, a su vez, intersectan en unnumero finito de vertices.

En este caso, el segundo punto del procedimiento se desglosa en dos partes:

1. Un problema de extremos condicionados con una sola ligadura para cada superficie.

2. Un problema de extremos condicionados con dos ligaduras para cada arco de curva.

Chapter 6

Integracion de funciones escalares enRn

6.1 Introduccion

En este capıtulo se va a generalizar el concepto de integral, ya conocido para funciones de una variable, alcaso de funciones de varias variables (reales); esto es, el concepto de integral multiple.

Asi como en una variable la integral de una funcion en un intervalo se interpreta como el area de la regiondel plano R2 entre la grafica de la funcion y el intervalo, para funciones de varias variables se puede haceruna interpretacion analoga y ası, las integrales dobles (es decir, de funciones escalares de dos variables)daran el volumen de una region de R3 entre la grafica de la funcion y la region de R2 donde se integra.Esta interpretacion puede extrapolarse a integrales multiples en general (esto es, de funciones de un numeroarbitrario de variables).

De las tres aproximaciones existentes al concepto de integral, Cauchy, Riemann, y Lebesgue, estudiaremosla segunda (Riemann), aunque debe advertirse que la teorıa mas completa al respecto es, por descontado, lade Lebesgue.

El proceso a seguir va a ser el siguiente: se comenzara introduciendo la nocion de integral multiplesobre un rectangulo, para despues considerar otros dominios de integracion mas generales. Seguidamentese enunciaran y discutiran las propiedades mas importantes de la integracion multiple y se contemplara lageneralizacion del concepto de integral impropia en este contexto. En todo momento se prestara especialatencion al caso de las integrales dobles, por ser las que permiten dar ideas mas intuitivas y las que mas sevan a utilizar. Por descontado, todas las funciones con las que se trabajara son escalares.

6.2 Concepto de integral multiple

6.2.1 Integral multiple en un rectangulo

Para acceder al concepto de integral multiple en un rectangulo se sigue un proceso que es la generalizaciondel correspondiente al caso de una variable.

Definicion 72 Sea N ⊂ Rn un rectangulo cerrado. Se denomina volumen, area o medida de N al productode las longitudes de sus lados: v(N) :=

∏i(bi − ai).

Comentario:

• Un volumen en R es, obviamente, la longitud del correspondiente intervalo, mientras que en R2 es el

71


area del rectangulo en cuestion.

Definicion 73 Sea N ⊂ Rn un rectangulo cerrado. Se denomina particion P de N al producto cartesianode particiones de los lados del rectangulo; es decir, P = (P1, . . . , Pn), donde Pi es una particion del intervalo[ai, bi] ⊂ R.

Dadas dos particiones P y P ′ de N , se dice que P es mas fina que P ′ (o que P ′ es mas gruesa que P)si P ′ ⊆ P.

Una particion de un rectangulo divide este en subrectangulos Nj . De este modo, P es mas fina que P ′ sitodo subrectangulo de P ′ se obtiene por union de subrectangulos de P. Tambien es evidente que, dadas dosparticiones, siempre hay otra que es mas fina que ambas (p. ej., la que se obiene al hacer la union de ellas),de la cual se dice que es un refinamiento de las anteriores.

En adelante, sea N ⊂ Rn un rectangulo cerrado, P una particion y f :N → R una funcion acotada en N .Evidentemente, f esta acotada en cada uno de los rectangulos de la particion; por tanto se pueden definir

mj(f) := inf{f(x) , ∀x ∈ Nj} Mj(f) := sup{f(x) , ∀x ∈ Nj}

Entonces:

Definicion 74 Se denominan suma superior y suma inferior de f en N referidas a la particion P respecti-vamente a

S(f,P) :=∑Nj∈P

Mj(f)v(Nj) s(f,P) :=∑Nj∈P

mj(f)v(Nj)

A partir de estas definiciones y comentarios, es facil demostrar que:

Proposicion 45 1. Si P y P ′ son particiones de N y P es mas fina que P ′, entonces:

s(f,P ′) ≤ s(f,P) ≤ S(f,P) ≤ S(f,P ′).

2. Si P y P ′ son particiones cualesquiera de N , entonces

s(f,P ′) ≤ S(f,P).

(es decir, cualquier suma inferior es menor o igual que cualquier suma superior, independientementede la particion que se tome).

Consideradas todas las posibles particiones de un rectangulo, es obvio que el conjunto de las sumassuperiores e inferiores esta acotado. En efecto, una cota inferior (el ınfimo) es la suma inferior correspondientea la particion trivial (el propio rectangulo), que es mv(N), con m := min{f(x) / ∀x ∈ N}; mientras que unacota superior (el supremo) es la suma superior en esta misma particion, Mv(N), con M := max{f(x) / ∀x ∈N}. Entonces, el conjunto de las sumas inferiores y el de las sumas superiores tambien estan acotados, luegotienen supremo e ınfimo respectivamente. Ello permite definir:

Definicion 75 Se denominan integral superior e integral inferior de f en N al ınfimo de las sumas superioresy al supremo de las sumas inferiores de f en N , respectivamente:∫

N

f := inf{S(f,P)} ,∀P∫N

f := sup{s(f,P)} ,∀P

Puede probarse (por reduccion al absurdo) que la integral inferior es menor o igual que la superior.Entonces:


Definicion 76 f es integrable (en el sentido de Riemann) en N si las integrales superior e inferior de fen N son iguales: ∫

N

f =∫N

f := I

En tal caso, el numero real I se denomina integral (de Riemann) de f en N 1:

I :=∫N

f

Comentario:

• Para las integrales dobles, triples, etc., se emplea muy habitualmente la siguiente notacion:∫ ∫N

f ,

∫ ∫ ∫N

f

o tambien (Leibnitz) ∫ ∫N

f(x, y)dxdy ,

∫ ∫ ∫N

f(x, y, z)dxdydz

Utilizando la misma tecnica de demostracion que en una variable, se prueba el siguiente aserto:

Teorema 13 Sea N ⊂ Rn y f :N → Rn acotada. La c.n.s. para que f sea integrable en N es que, ∀ε ∈ R+,exista alguna particion P tal que S(f,P)− s(F,P) < ε.

6.2.2 Medida y contenido cero

Para abordar la generalizacion del concepto de integral multiple a regiones mas generales, es necesariointroducir ciertas nociones previas.

Definicion 77 Sea un conjunto A ⊂ Rn.

Un recubrimiento de A es un conjunto (no necesariamente finito) de conjuntos {U1, U2, . . .}, Ui ⊂ Rn,cuya union contiene a A.

A tiene medida cero si, ∀ε ∈ R+, existe un recubrimiento por rectangulos cerrados, {Ni}, tal que∞∑i=1

v(Ni) < ε

Comentarios:

• En la definicion pueden sustituirse los intervalos cerrados por abiertos.

• Es evidente que si un conjunto A tiene medida cero, entonces cualquier subconjunto B ⊂ A tambientiene medida cero.

• Es tambien obvio que la union finita de conjuntos de medida cero tiene medida cero. Si la union es deun numero infinito se tiene el siguiente resultado:

Teorema 14 La union de un numero infinito pero numerable de conjuntos de medida cero tiene medidacero.

1A la misma nocion de integral se llega usando la generalizacion del concepto de suma de Riemann para funciones de variasvariables en un rectangulo, en vez de los de suma superior e inferior aquı empleados.


(Dem.) Si A = ∪∞i=1Ai , como cada Ai tiene medida cero, se pueden tomar recubrimientos

{N1j} de A1 con

∑j v(N1j

) < ε/2{N2j

} de A2 con∑j v(N2j

) < ε/22

. . . . . . . . . . . . . . . . . .{Nij} de Ai con

∑j v(Nij ) < ε/2i

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

con lo que v(A) =∑i

v(Ai) <∑i

ε/2i = ε

Ejemplos:

Teniendo en cuenta lo anterior, se comprueba facilmente que:

• Un punto tiene medida cero.

• Todo conjunto con un numero finito de puntos tiene medida cero.

• Todo conjunto con un numero infinito pero numerable de puntos tiene medida cero 2.

Definicion 78 Sea un conjunto A ⊂ Rn. A tiene contenido cero si, ∀ε ∈ R+, existe un recubrimiento finito

por rectangulos cerrados, {Ni}i=1,...,n, tal quen∑i=1

v(Ni) < ε

Comentarios:

• En la definicion pueden sustituirse los intervalos cerrados por abiertos.

• Es evidente que si un conjunto A tiene contenido cero, entonces cualquier subconjunto B ⊂ A tambientiene contenido cero.

• Un segmento de recta en R (es decir, [a, b] ⊂ R) no tiene contenido cero ni medida cero (ya quev([a, b]) = b− a). Sı lo tiene cuando se considera como subconjunto de Rn (n > 1).

• Obviamente, si A tiene contenido cero, entonces tiene medida cero. El recıproco no es cierto, en general(p. ej., Q en R). Sin embargo:

Proposicion 46 Si A es compacto y tiene medida cero entonces tiene contenido cero.

(Dem.) Inmediato teniendo en cuenta que todo conjunto compacto se caracteriza porque de todo recubrim-iento del mismo se puede extraer algun recubrimiento finito.

Ejemplos:

• Todo conjunto con un numero finito de puntos tiene contenido cero.

Como caso especialmente interesante se tiene:

Proposicion 47 La grafica de toda funcion continua en un compacto K ⊂ Rn tiene contenido cero en Rn+1

(y, por tanto, medida cero).

(Dem.) En efecto, f continua en K ⇒ f uniformemente continua en K, luego ∀ ε

v(K)∈ R+, ∃δ ∈ R+ , tal

que| x1 − x2 |< δ ⇒| f(x1)− f(x2) |<

ε

v(K)

por tanto, la suma de las areas de los rectangulos es menor queε

v(K)v(K) = ε.

2Como casos particulares, en R, el conjunto de los numeros racionales Q tiene medida cero y, por consiguiente, tambien elde los enteros Z y los naturales N.


6.2.3 Funciones integrables en un rectangulo

Existen ciertos tipos de funciones para las que puede probarse su integrabilidad. En concreto se tiene que:

Proposicion 48 Toda funcion continua en un rectangulo cerrado N es integrable en el.

(Dem.) La demostracion es la misma que en el caso de una variable y se basa en el hecho de que todafuncion continua en un compacto es uniformemente continua en el.

Sobre funciones no continuas, se puede dar el siguiente resultado:

Teorema 15 (Lebesgue) Sea N ⊂ Rn un rectangulo cerrado, f :N → R una funcion acotada en N y D ⊂ Nel conjunto de puntos de discontinuidad de f . f es integrable (en el sentido de Riemann) en N si, y solo si,D tiene medida cero.

(Dem.) La demostracion utiliza el concepto de oscilacion de la funcion. (Vease M. Spivak: Calculo envariedades, p. 49− 51).

Teniendo en cuenta que contenido cero implica medida cero, se obtiene como corolario inmediato delteorema precedente el siguiente resultado:

Corolario 7 Sea N ⊂ Rn un rectangulo, f :N → R una funcion acotada en N y A ⊂ N el conjunto depuntos de discontinuidad de f . Si A tiene contenido cero, entonces f es integrable en N .

6.2.4 Integral multiple en una region mas general

Hasta el momento solo se han tratado integrales de funciones acotadas sobre rectangulos. Sin embargo, sepueden considerar regiones de integracion mas generales, pero acotadas. Estos casos se reducen al anteriorsiguiendo el procedimiento que, a continuacion, se describe.

Definicion 79 Sea A ⊂ Rn una region acotada, f :A→ R acotada, y N ⊂ Rn un rectangulo tal que A ⊂ N .Se define la funcion

f(x) :={

f(x) si x ∈ A0 si x 6∈ A

Entonces, la integral (de Riemann) de f en A (si existe) es∫A

f :=∫N

f

Es evidente que, si f es integrable en N , entonces lo es tambien en A y, obviamente, los puntos dediscontinuidad de f en N son los puntos de discontinuidad de f en A y, eventualmente, los de FrA. Entonces:

Proposicion 49 Sea A ⊂ Rn una region acotada y f :A ⊂ Rn → R. Si FrA tiene medida cero y el conjuntode puntos de discontinuidad de f en A tiene medida cero entonces f es integrable en A.

En particular, si FrA tiene medida cero y f es continua en IntA, entonces es integrable en A.

(Dem.) Es una consecuencia directa del teorema de Lebesgue y del comentario precedente.

Comentario:

• Es evidente que la extension del concepto de integral que se acaba de dar es independiente del rectanguloN elegido, ya que f es nula fuera de A.


Definicion 80 Un conjunto A ⊂ Rn acotado se dice que es medible de Jordan si su frontera tiene medidacero.

En tal caso, la integral∫A

1 (cuya existencia esta garantizada en virtud de los enunciados precedentes)

se denomina medida, area o volumen de A.

Nota:

• En este curso, todas las regiones acotadas con las que se trabajara seran aquellas cuya frontera esta for-mada por (porciones de) graficas de funciones continuas sobre compactos (e.d.; curvas, superficies,. . .)que, eventualmente, intersectan entre sı. Consecuentemente, todas ellas son regiones medibles deJordan.Ası, p. ej., en R2, las unicas regiones que se van a considerar son las siguientes:

– Regiones de tipo I: estan definidas como:

A := {(x, y) ∈ R2 | a ≤ x ≤ b , η1(x) ≤ y ≤ η2(x)}

– Regiones de tipo II: estan definidas como:

A := {(x, y) ∈ R2 | c ≤ y ≤ d , ψ1(y) ≤ x ≤ ψ2(y)}

– Regiones de tipo III: Son, a la vez del tipo I y del tipo II, luego estan definidas simultaneamentecomo:

A := {(x, y) ∈ R2 | a ≤ x ≤ b , η1(x) ≤ y ≤ η2(x)}= {(x, y) ∈ R2 | c ≤ y ≤ d , ψ1(y) ≤ x ≤ ψ2(y)}

Para dimension n > 2 la generalizacion de estos tipos es obvia.

6.3 Propiedades de la integral multiple

6.3.1 Primeras propiedades

Es inmediato probar que, igual que en el caso de una variable, la integracion de funciones de varias variablestiene las propiedades de linealidad, monotonıa y aditividad; esto es:

Proposicion 50 (Linealidad). Si f y g son funciones integrables en A y µ, λ ∈ R, entonces µf ± λg esintegrable en A y ∫

A

µf ± λg = µ

∫A

f ± λ

∫A

g

Proposicion 51 (Monotonıa). Si f y g son funciones integrables en A y f ≤ g en A entonces∫A

f ≤∫A

g

Proposicion 52 (Aditividad). Si f es integrable en A1 y A2, entonces f es integrable en A1 ∪A2 y∫A1∪A2

f =∫A1

f +∫A2

f −∫A1∩A2

f

Tambien, siguiendo las pautas de la demostracion del correspondiente teorema para funciones de unavariable, se puede probar:

Teorema 16 (del valor medio). Sea A ⊂ Rn y f :→ R una funcion continua en A. Entonces ∃x0 ∈ A talque ∫

A

f = f(x0)v(A)


6.3.2 Funciones definidas por integrales. Teorema de Leibnitz (derivacion bajoel signo integral)

Igual que sucedıa con el caso de funciones de una variable, existen funciones de varias variables que estandefinidas por medio de integrales. En este apartado se va a hacer un rapido estudio de las principalespropiedades que conciernen a este tipo de funciones, ya que dichas propiedades van a ser inmediatamenteutilizadas para explorar nuevas caracterısticas de las integrales multiples.

La situacion mas general de interes que se va a presentar es la siguiente:

Definicion 81 Sean las funciones η1 ≡ η1(x1, . . . , xn), η2 ≡ η2(x1, . . . , xn) y

f : A ⊆ Rm −→ R(x1, . . . , xm) 7→ f(x1, . . . , xm)

con 0 < m ≤ n+ 1. Se denomina integral dependiente de (n) parametros a la funcion (si existe)

ϕ(x1, . . . , xn) :=∫ η2(x1,...,xn)

η1(x1,...,xn)

f(x1, . . . , xm)dxm

Comentario:

• Como caso particular, si f :A ⊆ R → R, η2 ≡ η2(x) y η1 ≡ η1(x) = a ∈ R, se obtiene

ϕ(x) :=∫ η2(x)

a

f(t)dt

que es la funcion area del Calculo de una variable cuando η2(x) = x.

El primer resultado que vamos a analizar concierne a la continuidad de estas funciones.

Proposicion 53 En las condiciones de la definicion 81, si se cumplen las siguientes hipotesis:

1. A ≡ Dom f es compacto.

2. f es continua en A

3. ηi (i = 1, 2) son funciones continuas.

Entonces la funcion ϕ esta definida y es una funcion (uniformemente) continua en su dominio.

(Dem.) Por simplicidad haremos la prueba para el siguiente caso particular 3: f :A ⊂ R2 → R, A ≡[a, b] × [c, d], ηi: R → R con Im ηi ⊂ [a, b], (i = 1, 2). Por ser A compacto, f es uniformemente continua enA, luego, ∀ε > 0, ∃δ > 0, tal que, si P,Q ∈ A y |P −Q| < δ, entonces |f(P )− f(Q)| < ε. Sean α, β ∈ [a, b],con |α− β| < δ, entonces

|ϕ(α)− ϕ(β)| :=

∣∣∣∣∣∫ b

a

f(α, y)dy −∫ b

a

f(β, y)dy

∣∣∣∣∣ ≤∫ b

a

|f(α, y)− f(β, y)|dy < ε|b− a|

(pues |(α, y), (β, y)| < δ). Luego ϕ es uniformemente continua en [c, d] y, por tanto, continua.

Sobre la cuestion de la diferenciabilidad, analizaremos unicamente el problema del calculo de las derivadasparciales de estas funciones. El resultado al respecto es:

3La demostracion en el caso general difiere en cuestion de matices concernientes a los dominios de las funciones que intervienenen la definicion.


Teorema 17 (de Leibnitz): En las condiciones de la definicion 81, si se cumplen las siguientes hipotesis:

1. f es una funcion de clase C1.

2. ηi (i = 1, 2) son funciones continuas cuyas derivadas parciales∂ηi∂xj

existen ∀j = 1, . . . , n.

Entonces la funcion ϕ tiene derivadas parciales y

∂ϕ

∂xj=∫ η2(x1,...,xn)

η1(x1,...,xn)

∂f

∂xjdxm + f(x1, . . . , xm = η2(x1, . . . , xn))

∂η2∂xj

− f(x1, . . . , xm = η1(x1, . . . , xn))∂η1∂xj

(Esta expresion recibe el nombre de formula de Leibnitz).

( Dem. ) Por simplicidad haremos la prueba para el siguiente caso particular: f :A ⊂ R2 → R, A ≡[a, b]× [c, d], η1 ≡ η1(x) = a y η2 ≡ η2(x) con Im η2 ⊂ [a, b].

Sea γ ∈ [a, b]; vamos a calcular ϕ′(γ). Se tiene que

ϕ(x) ≡∫ η2(x)

a

f(x, y)dy =∫ η2(γ)

a

f(x, y)dy +∫ η2(x)

η2(γ)

f(x, y)dy ≡ ϕ1(x) + ϕ2(x)

Entonces

ϕ′1(x) =∫ η2(γ)

a

∂f(x, y)∂x

dy

mientras que para ϕ2 se tiene que

ϕ2(γ + h)− ϕ2(γ)h

=1h

[∫ η2(γ+h)

η2(γ)

f(γ + h, y)dy −∫ η2(γ)

η2(γ)

f(γ, y)dy

]= (∗)

y usando el teorema de la media integral, ∃ξ ∈ (η2(γ), η2(γ + h)) tal que

(∗) =1h

[f(γ + h, ξ)(η2(γ + h)− η2(γ))] = f(γ + h, ξ)(η2(γ + h)− η2(γ)

h

)h→0−→ f(γ, η2(γ))η′2(γ)

y de ahı el resultado.

Comentarios:

• El problema de estudiar la diferenciabilidad de ϕ se reduce ahora a comprobar la condicion de tangencia.

• En los casos particulares en que m ≤ n, si f no depende de la variable xj (respecto a la cual se deriva),es obvio que el primer sumando no existe.

• En concreto, en el caso particular anteriormente senalado en que

ϕ(x) :=∫ x

a

f(t)dt

la formula de Leibnitz se reduce a la formula de Barrow del caso de una variable.

El problema de la integracion de este tipo de funciones va a ser tratado en el siguiente apartado, dondese va a analizar el metodo de resolucion de integrales multiples por iteracion.


6.3.3 Calculo de integrales multiples por iteracion: Teorema de Fubini

Vamos a abordar ya el problema del calculo de integrales multiples de forma practica. A fin de simplificarla exposicion, estudiaremos con detalle el caso de funciones de dos variables, esto es, de integrales dobles, yaque la generalizacion para un numero mayor de variables es inmediata.

Comenzaremos enunciando el teorema de Fubini para integrales dobles en regiones de integracion rect-angulares.

Teorema 18 (Fubini). Sea N := [a, b]× [c, d] y f :N → R una funcion acotada e integrable en N .

1. Si la funcion ϕ(x) :=∫ d

c

f(x, y)dy existe ∀x ∈ [a, b], entonces la integral∫ b

a

ϕ(x)dx existe y

∫N

f =∫ b

a

ϕ(x)dx :=∫ b

a

∫ d

c

f(x, y)dydx

2. Si la funcion φ(y) :=∫ b

a

f(x, y)dx existe ∀y ∈ [c, d], entonces la integral∫ d

c

φ(y)dy existe y

∫N

f =∫ d

c

φ(y)dy :=∫ d

c

∫ b

a

f(x, y)dxdy

3. Si todas las condiciones se cumplen simultaneamente, se tiene que 4∫N

f =∫ b

a

∫ d

c

f(x, y)dydx =∫ d

c

∫ b

a

f(x, y)dxdy

Estas integrales reciben el nombre de integrales iteradas.

(Dem.) La demostracion es larga. Daremos aquı una version particular para el caso en que f sea unafuncion continua en N .

Si f es continua en N , entonces∫N

f existe y ϕ(x) y φ(y) son funciones continuas en sus intervalos de

definicion, de acuerdo con la proposicion 53. Considerense, ahora, las funciones

F (t) :=∫ t

c

∫ b

a

f(x, y)dxdy , G(t) :=∫ b

a

∫ t

c

f(x, y)dydx

que estan bien definidas por ser f continua y en virtud del lema anterior. Se observa que F (c) = G(c) y,ademas, F ′(t) = G′(t), ya que, de acuerdo con el teorema de Barrow,

F ′(t) =∫ b

a

f(x, t)dx

y por el teorema de Leibnitz,

G′(t) =∫ b

a

∂

∂t

(∫ t

c

f(x, y)dy)

dx =∫ b

a

f(x, t)dx

De ambas igualdades se deduce que F (t) = G(t) y, por consiguiente, que F (d) = G(d), que es el resultadoque se querıa probar

4Es habitual utilizar tambien la siguiente notacion∫ b

a

ϕ(x)dx :=

∫ b

a

dx

∫ d

c

f(x, y)dy

y lo mismo para la integral de φ(y).


Interpretacion geometrica:

La justificacion geometrica del teorema se basa en el denominado principio de Cavalieri para el calculo

de volumenes: tal como ya se indico,∫N

f es el volumen comprendido entre el rectangulo N y la grafica de

f ; pero, por otra parte, ϕ(x) :=∫ d

c

f(x, y)dy es el area de la seccion transversal a la direccion 0Y en cada

punto del eje, por tanto ϕ(x)dx es el volumen de una lamina infinitesimal transversal a dicho eje, por lo que∫ b

a

ϕ(x)dx sera el volumen total.

La interpretacion en la direccion 0X es analoga.

El teorema de Fubini para integrales dobles en regiones de integracion no rectangulares se enuncia comosigue:

Teorema 19 (Fubini generalizado). Sea A ⊂ Rn y f :N → R una funcion acotada e integrable en A(acotada).

1. Si A es una region de tipo I y la funcion ϕ(x) :=∫ η2(x)

η1(x)

f(x, y)dy existe ∀x ∈ [a, b] entonces existe

tambien la integral∫ b

a

ϕ(x)dx y se verifica que

∫A

f =∫ b

a

ϕ(x)dx =∫ b

a

∫ η2(x)

η1(x)

f(x, y)dydx

2. Si A es una region de tipo II y la funcion φ(y) :=∫ ψ2(y)

ψ1(y)

f(x, y)dx existe ∀y ∈ [c, d] entonces existe

tambien la integral∫ d

c

φ(y)dy y se verifica que

∫A

f =∫ d

c

φ(y)dy =∫ d

c

∫ ψ2(y)

ψ1(y)

f(x, y)dxdy

3. Si A es una region de tipo III y las condiciones anteriores se verifican simultaneamente, entonces∫A

f =∫ b

a

∫ η2(x)

η1(x)

f(x, y)dydx =∫ d

c

∫ ψ2(y)

ψ1(y)

f(x, y)dxdy

Comentarios:

• El teorema de Fubini permite reducir el calculo de integrales dobles al calculo de dos integrales simplesiteradas; es decir, a integrar sucesivamente respecto a cada una de las dos variables, sin importar elorden en que se haga, si se esta en el caso 3. En este ultimo caso es, pues, un teorema de invarianciarespecto al intercambio en el orden de integracion.

• La generalizacion del teorema al caso de integrales de funciones de mas variables es obvia: bajo lascondiciones correspondientes, la integral multiple se obtiene integrando sucesivamente respecto a cadauna de las variables, sin importar el orden en que se haga, en el mejor de los casos. En este sentido,el teorema de Fubini permite reducir el calculo de integrales multiples al calculo de integrales simplesiteradas.

• En muchas ocasiones, evaluar la integral multiple integrando en un cierto orden puede ser mas facilque hacerlo en otro orden distinto. Incluso puede darse el caso de que realizar la integracion en unorden no sea factible (por no existir alguna de las integrales iteradas intermedias o por no saber hallaralguna primitiva), pero sı lo sea en otro orden diferente.


6.3.4 Cambio de variable

En el problema del calculo de primitivas de funciones de una variable es muy habitual realizar cambiosde variables que reducen la dificultad de la integracion, al cambiar la funcion del integrando por otra massencilla. Ası, si f : R → R es integrable en [a, b] y g: R → R es una funcion de clase C1, se tiene que∫ b

a

f =∫ d

c

(f ◦ g)g′ :=∫ d

c

F

donde a = g(c) y b = g(d), y si g es inyectiva (cambio de variable), entonces∫ b

a

f =∫ d

c

(f ◦ g)|g′|

Este es basicamente el enunciado del teorema del cambio de variable para integrales de funciones de unavariable.

La generalizacion de este resultado a la integracion de funciones de varias variables es el siguiente:

Teorema 20 (del cambio de variables). Sea g:A ⊂ Rn → Rn una funcion inyectiva de clase C1 5 yf : g(A) ⊂ R → R integrable en g(A), entonces f ◦ g es integrable en A y∫

g(A)

f =∫A

(f ◦ g)|det(Jg)|

(Dem.) (Vease M. Spivak: Calculo en variedades, p. 62− 67).

Comentario:

• El resultado anterior es cierto aun cuando g no sea inyectiva, siempre y cuando ello suceda en unconjunto de puntos de medido cero.

Interpretacion geometrica:

Puede demostrarse que el valor absoluto del jacobiano |det(Jg)| de una transformacion es una medida decomo dicha transformacion distorsiona el volumen de la region de Rn sobre la que se aplica dicha transfor-macion; esto es, v(g(A)) = |detJg|v(A).

En efecto, se va a demostrar en el caso de funciones de dos variables. Sea la transformacion

g: A ⊂ R2 → R2

(u, v) 7→ (x ≡ x(u, v), y ≡ y(u, v))

Considerese un punto (u, v) ∈ A y otro, tan proximo a el como se desee, (u + du, v + dv) ∈ A. Tenemosdefinido el rectangulo elemental N0 con dos vertices en estos puntos y lados determinados por los vectores(du, 0) y (0,dv), cuya area es, pues, dA = dudv. Bajo la accion de g, esta region se transforma en g(N0).Veamos como ha cambiado el area de N0 por efecto de esta transformacion, calculando el area de g(N0).

Una aproximacion al area buscada se obtiene del siguiente modo: calculando la imagen de (u+du, v+dv)por medio de la aproximacion lineal de g, se obtiene

g(u+ du, v + dv) ≈ g(u, v) + Jg(u, v)(

dudv

)=

(xy

)+( ∂x∂u (u, v)du+ ∂x

∂v (u, v)dv∂y∂u (u, v)du+ ∂y

∂v (u, v)dv

)5En algunas versiones del teorema se anade la hipotesis de que |det(Jg(x))| 6= 0, ∀x ∈ A. Sin embargo, se puede demostrar

que, con el resto de las hipotesis sobre la funcion g:si C := {x ∈ A | |det(Jg(x))| 6= 0}, entonces g(C) tiene medida cero (teorema de Sard),lo cual hace que dicha hipotesis sea superflua.


y, de este modo, se obtiene un paralelogramo con dos vertices en el punto (x, y) = g(u, v) y en el puntoimagen por la aproximacion lineal, y lados determinados por los vectores

Tu :=(∂x

∂u(u, v),

∂y

∂u(u, v)

)du , Tv :=

(∂x

∂v(u, v),

∂y

∂v(u, v)

)dv

Como ya es sabido, el area de un paralelogramo es, precisamente, el determinante de la matriz cuyos elementosson las componentes de los vectores que delimitan sus lados, luego, en este caso, es

dA′ = |detJg(u, v)|dudv = |detJg(u, v)|dA (6.1)

que es el valor aproximado del area de la region g(N0) 6; por consiguiente, se ha demostrado lo que sepretendıa 7.

Hecha esta observacion, el resultado del teorema se justifica de forma inmediata. En efecto, se trata de

obtener∫g(A)

f(x, y)dxdy en funcion de u, v. Observemos que (dx,dy) es la variacion de la funcion g al

pasar de evaluarla en el punto (u, v) al punto (u + du, v + dv). Por tanto, el producto dxdy determina elarea de la region transformada; esto es, dA′, por lo que, basta tener en cuenta la expresion (6.1) para llegaral resultado enunciado.

Ejemplos:

• Coordenadas polares: |detJg| = r.

• Coordenadas cilındricas: |detJg| = r.

• Coordenadas esfericas: |detJg| = r2 sin θ, (0 ≤ θ ≤ π).

6.4 Integrales impropias

6.4.1 Funcion no acotada en el entorno de un punto

Se trata, ahora, de generalizar el concepto de integral impropia de primera especie del calculo en una variableal caso de integrales multiples. La situacion es la siguiente:

Definicion 82 Sea A ⊂ Rn una region acotada y f :A → R una funcion acotada en A salvo en el entorno

Br(p) de un punto p ∈ A, y tal que f es integrable en cualquier region A − Br(p). La integral∫A

f es una

integral impropia (de primera especie). Entonces:

1. La integral∫A

f existe y converge si existe el lımite limr→0

∫A−Br(p)

f . En tal caso el valor de dicho

lımite es, por definicion, el valor de esa integral.

2. La integral∫A

f existe pero no converge (diverge) si limr→0

∫A−Br(p)

f = ∞ .

3. La integral∫A

f no existe si no existe limr→0

∫A−Br(p)

f .

6Si el jacobiano es nulo significa que los vectores Tu y Tv son paralelos; es decir, la region se transforma en una curva en elentorno del punto en cuestion.

7Para una region no elemental el resultado es el mismo, ya que las areas totales se obtendrıan integrando las areas elementalesque se acaban de obtener sobre toda la region.


6.4.2 Region de integracion no acotada

De manera analoga se generaliza el concepto de integral impropia de segunda especie del calculo en unavariable al caso de integrales multiples. La situacion es, ahora, la siguiente:

Definicion 83 Sea A ⊂ Rn una region no acotada y f :A→ R una funcion de signo constante integrable en

cualquier region Br(p) ∩A, para algun punto p ∈ A. La integral∫A

f es una integral impropia (de segunda

especie). Entonces,

1. La integral∫A

f existe y converge si existe el lımite limr→∞

∫A∩Br(p)

f . En tal caso el valor de dicho

lımite es, por definicion, el valor de esa integral.

2. La integral∫A

f existe pero no converge (diverge) si limr→∞

∫A∩Br(p)

f = ∞ .

3. La integral∫A

f no existe si no existe limr→∞

∫A∩Br(p)

f .

El caso general (integrales impropias de tercera especie) se generaliza de manera obvia, toda vez que esconocido el procedimiento para una variable.

Chapter 7

Integrales de lınea y de superficie

7.1 Introduccion

Continuando con la teorıa de la integracion de funciones de varias variables, si en el capıtulo anterior se trato elproblema de integrar funciones escalares sobre regiones de Rn, en los dos capıtulos que siguen a continuacionse van a tratar algunas situaciones que, de forma inmediata, nos llevaran a considerar la integracion confunciones vectoriales y, finalmente, nos conduciran a los teoremas fundamentales del Analisis vectorial. Estosteoremas, que son debidos a G. Stokes, G. Green y K.F. Gauss-M.V. Ostrogadsky , establecen la vinculacionentre el Calculo diferencial y el Calculo integral en varias variables. Todos tienen importantes aplicacionesfısicas y, de hecho, tienen su origen en problemas fısicos relacionados con la teorıa de campos gravitatoriosy electromagneticos, teorıa del calor e hidrodinamica, por citar algunos.

Ası, en este capıtulo, se tratara la cuestion de la integracion de funciones escalares, no sobre regionesarbitrarias de Rn en general, sino a lo largo de curvas en Rn y el caso mas general de la integracion de funcionesvectoriales, a lo largo de curvas (ambos problemas tiene importantes aplicaciones fısicas y tecnicas); es decir,la nocion de integral de lınea. Ello nos llevara, de forma natural, a retomar algunas cuestiones relacionadascon los campos conservativos que habıan quedado planteadas en la parte del curso sobre Calculo Diferencial.Tambi se introduciran las integrales de superficie de funciones escalares y vectoriales y sus propiedades yaplicaciones.

7.2 Integrales de lınea de campos escalares y vectoriales

7.2.1 Longitud de un arco de curva

Antes de entrar en la definicion de integral de lınea, vamos a resolver el problema del calculo de la longitudde un arco de curva, puesto que estas cuestiones guardan una estrecha relacion entre si.

El problema se resuelve como en el caso de curvas planas (ya estudiado en la asignatura de CalculoInfinitesimal).

Definicion 84 Sea c: I = [a, b] ⊆ R → A ⊆ Rn una curva. Sea P ≡ {t0 = a, t1, . . . , tn−1, tn = b} unaparticion del intervalo I.

1. Se denomina poligonal de c respecto a la particion P a la lınea compuesta por todos los segmentosrectilıneos que unen los puntos c(ti), ∀i = 0, . . . , n.

2. Tomando particiones de I cada vez mas finas, se obtienen poligonales compuestas por segmentos cadavez mas pequenos. Se denomina longitud del arco de curva c al lımite cuando δP → 0 de las longitudes

84


de estas poligonales (siendo δP el diametro de la particion P; esto es, la longitud del subintervalo dela particion mas largo) 1.

Teniendo en cuenta esta definicion, se obtiene que:

Proposicion 54 Sea C ⊂ A ⊂ Rn una curva regular (a trozos) y c: I = [a, b] ⊆ R → A ⊆ Rn unaparametrizacion regular, con c(t) ≡ (x1(t), . . . , xn(t)). La longitud del arco de curva C es

L(C) :=∫ b

a

dl =∫ b

a

‖c′(t)‖dt =∫ b

a

√(x′1(t))2 + . . . , (x′n(t))2dt (7.1)

(Dem.) Sea P una particion de I cuyo diametro es tan pequeno como se desee. Dos puntos t y t + ∆t deesta particion definen un elemento de (arco de) curva que es el arco de curva comprendido entre los puntosx = (x1(t), . . . , xn(t)) y x+ ∆x = (x1(t+ ∆t), . . . , xn(t+ ∆t)), cuya longitud se aproxima por el segmentode la correspondiente poligonal y es, por tanto,

∆l =√

(x1(t+ ∆t)− x1(t))2 + . . . , (xn(t+ ∆t)− xn(t))2

pero al ser las funciones xi(t) diferenciables, aplicando el teorema del valor medio del calculo diferencial setiene que

xi(t+ ∆t)− xi(t) = x′i(τ)∆t , τ ∈ (t, t+ ∆t)

pero δP → 0 ⇒ ∆t→ 0, entonces τ → t, y resulta

L = lim∆t→0

∑∆l = lim

∆t→0

√x′1(t)2 + . . . , x′n(t)2

∑∆t =

∫ b

a

‖c′(t)‖dt

donde se ha tenido en cuenta la definicion de integral.

Comentario:

• Puede demostrarse que este resultado es independiente de la parametrizacion elegida.

Definicion 85 Sea c: I = [a, b] ⊆ R → A ⊆ Rn una curva regular (a trozos) y (x1(t), . . . , xn(t)) unaparametrizacion de la misma. Se denomina vector diferencial de longitud de arco al vector

dl := c′(t)dt = u‖c′(t)‖dt := udl

(donde u =c′(t)‖c′(t)‖

es el vector tangente unitario); con lo que

L(C) :=∫ b

a

dl =∫ b

a

‖dl‖

7.2.2 Integral de lınea de un campo escalar. Propiedades

En el capıtulo anterior hemos definido la integral de funciones escalares sobre regiones de Rn. Una situaciondiferente pero particularmente interesante (por sus aplicaciones) se presenta cuando se tiene una curva enel dominio de la funcion y se trata de integrar la funcion a lo largo de dicha curva. Este concepto surge, dehecho, como una generalizacion de la expresion obtenida en el apartado anterior, que permitıa determinarla longitud de un arco de curva. Ası, algunos problemas geometricos y fısicos que dan lugar a este tipo deintegrales son los siguientes:

• Calculo del area de una superficie cuya base es la grafica de una curva c(t) y cuya altura en cada puntode la base esta dada por una funcion f(x) (x ∈ R2).

1La identificacion que hace esta definicion de la longitud de un arco de curva con la del lımite de las longitudes de poligonalesrecibe el nombre de rectificacion del arco de curva.


• Calculo de la masa de un alambre cuya forma esta dada por la grafica de una curva c(t) y su densidades una funcion f(x) (x ∈ Rn, n = 2 o n = 3).

Con vistas a la resolucion de este tipo de cuestiones y para poder precisar que se entiende por la nocionde integral de una funcion a lo largo de una curva, vamos a tomar como punto de partida el primer problema,que es el que da una interpretacion geometrica sobre la que razonar.

Proposicion 55 Sea una funcion f :A ⊆ Rn → R y una curva parametrizada regular (a trozos) c: I =[a, b] ⊆ R → A ⊆ Rn. El area de la superficie cuya base es la grafica de la curva c y cuya altura en cadapunto de la base esta dada por la funcion f , viene determinada por la siguiente integral (si existe)∫ b

a

f(c(t))‖c′(t)‖dt

(Dem.) El area de cada elemento de superficie que se levanta sobre el correspondiente elemento de arco dles dS = f(x)dl = f(c(t))dl, luego integrando sobre todo el arco de curva considerado se obtiene el area totalbuscada que, teniendo en cuenta la proposicion 7.1, resulta ser∫ b

a

f(x1(t), . . . , xn(t))√x′1(t)2 + . . .+ x′n(t)2dt =

∫ b

a

f(c(t))‖c′(t)‖dt (7.2)


Definicion 86 Sea una funcion f :A ⊆ Rn → R y una curva parametrizada diferenciable (a trozos) c: I =[a, b] ⊆ R → A ⊆ Rn Se denomina integral de lınea de la funcion escalar f a lo largo de la curva c o tambienintegral de lınea de primera especie a la siguiente integral (si existe)∫

C

fdl :=∫ b

a

f(c(t))‖c′(t)‖dt

(donde C ≡ Im c). Si c es cerrada se usa la notacion∮C

fdl .

Se pueden dar condiciones suficientes que garantizan la existencia de la integral anterior:

Proposicion 56 Sea una funcion f :A ⊆ Rn → R y una curva c: I ⊆ R → A ⊆ Rn. Si c es regular (a

trozos) y f ◦ c es integrable (en particular, si f es continua), entonces existe la integral∫C

fdl 2.

(Dem.) Trivial.

Comentarios:

• Ası pues, el calculo de una integral de lınea de este tipo se reduce al calculo de una integral ordinaria(de una funcion de una variable) sobre un intervalo.

Como consecuencia, las propiedades de las integrales de lınea de primera especie son las de las integrales(de Riemann) de funciones de una variable (linealidad, monotonıa, aditividad del intervalo,. . .).

• Como caso particular, tomando la funcion f = 1 en la integral, se obtiene la expresion para calcularla longitud del arco de curva c.

• El resultado de una integral de lınea (esto es, la proposicion 55) no depende ni de la parametrizacionde la curva ni de su sentido de recorrido (esto es, su orientacion).

2En tales casos, el calculo explıcito de la integral se efectua por medio de la expresion (7.2).


7.2.3 Integral de lınea de un campo vectorial. Propiedades

Otra situacion distinta pero relacionada con la anterior consiste en integrar una funcion vectorial a lo largode una curva definida en el dominio de la funcion.

Hay diversos problemas fısicos que dan origen a este tipo de integrales:

• En Mecanica: el problema fısico por excelencia que da lugar a estas integrales es el calculo del trabajorealizado por un campo de fuerzas sobre una partıcula que se mueve a lo largo de una trayectoria.

• En teorıa de fluidos: calculo de la componente neta del campo de velocidades de un fluido, tangenciala una lınea de corriente.

• En Electromagnetismo: calculo del flujo de corriente electrica en un conductor lineal sometido a uncampo electrico.

Partiendo de la primera interpretacion, vamos a dar una expresion analıtica que permita efectuar esecalculo.

Sea una funcion vectorial f :A ⊆ Rn → Rn y una curva diferenciable (a trozos) c: I = [a, b] ⊆ Rn → A ⊆Rn. Sea (x1(t), . . . , xn(t)) una parametrizacion de la curva y P una particion de I cuyo diametro es tanpequeno como se desee. Dos puntos ti y ti + ∆t de esta particion definen un vector

∆li := (x1(ti + ∆t), . . . , xn(ti + ∆t))− (x1(ti), . . . , xn(ti))

Se construye, entonces, la siguiente suma de productos escalares∑i f(c(ti)) ·∆li que, en el lımite, definira

una integral ∫C

f · dl := lim(max ∆li)→0

∑i

f(c(ti)) ·∆li (7.3)

cuyo resultado, si f representa un campo de fuerzas y c una trayectoria, da (por definicion) el trabajorealizado.


Definicion 87 Sea una funcion vectorial f :A ⊆ Rn → Rn y una curva parametrizada diferenciable (atrozos) bfc: I = [a, b] ⊆ Rn → A ⊆ Rn. Se denomina integral de lınea de la funcion vectorial f a lo largo dela curva bfc o tambien integral de lınea de segunda especie a la siguiente integral (si existe)∫

C

f · dl (7.4)

Si bfc es cerrada se usa la notacion∮C

f · dl .

El resultado de esta integral de lınea se denomina circulacion del campo f a lo largo de C.

Notacion:

Es habitual expresar este tipo de integrales como∫ c(b)

c(a)C

f · dl

o tambien, de manera mas explıcita, si f = (f1, . . . , fn), teniendo en cuenta que dl = (dx1, . . . ,dxn)∫C

f · dl :=∫C

f1dx1 + . . . fndxn

A partir de esta definicion se obtiene la expresion para el calculo de estas integrales de lınea:


Proposicion 57 Sea una funcion vectorial f :A ⊆ Rn → Rn y una curva diferenciable (a trozos) c: I =[a, b] ⊆ Rn → A ⊆ Rn. Entonces, ∫

C

f · dl :=∫ b

a

f(c(t)) · c′(t)dt

(Dem.) Tomando como punto de partida la expresion (7.3)∫C

f · dl := lim(max ∆li)→0

∑i

f(c(ti)) ·∆li

= lim(max ∆t)→0

∑i

f(c(ti)) ·c(ti + ∆t)− c(ti)

∆t∆t =

∫ b

a

f(c(t)) · c′(t)dt

Comentarios:

• Como en el caso precedente, el calculo de una integral de lınea de este tipo se reduce al calculo deuna integral ordinaria (de una funcion de una variable) sobre un intervalo. Como consecuencia, laspropiedades de las integrales de lınea de segunda especie son las de las integrales (de Riemann) defunciones de una variable (linealidad, monotonıa, aditividad del intervalo,. . .).

• La interpretacion del producto escalar que aparece en el integrando, en la proposicion precedente, esla siguiente: el campo vectorial f asigna, en cada punto c(t), un vector (en Rn) que se multiplicaescalarmente por el vector tangente a la curva en dicho punto.

• A este respecto, debe tenerse en cuenta que el vector tangente en un punto tiene dos orientacionesposibles. Entonces, para realizar la integral, debe tomarse aquella que coincide con el sentido en quese recorre la curva.

• El resultado de una integral de lınea (esto es, la proposicion 55) no depende de la parametrizacion dela curva pero sı de su orientacion, tal como se desprende del comentario anterior, (ya que al cambiarel sentido del vector tangente varıa el signo del producto escalar del integrando). Ası pues:

Proposicion 58 La integral de lınea de un campo vectorial es una integral orientada, esto es, su valordepende del sentido de recorrido de la curva 3.

(Dem.) Evidente tras los comentarios realizados.

Se pueden dar condiciones suficientes que garantizan la existencia de la integral (7.4):

Proposicion 59 Sea una funcion f :A ⊆ Rn → Rn y una curva c: I ⊆ R → A ⊆ Rn. Si c es regular (atrozos) y f ◦ c es integrable, en el sentido de que lo son sus funciones componentes, (en particular, si f es

continua), entonces existe la integral∫C

f · dl .

(Dem.) Trivial.

Finalmente, el calculo de integrales de lınea de campos vectoriales puede reducirse al de integrales delınea de campos escalares. En efecto:

Proposicion 60 Sea una funcion vectorial f :A ⊆ Rn → Rn y una curva diferenciable (a trozos) c: I =[a, b] ⊆ Rn → A ⊆ Rn. Entonces ∫

C

f · dl :=∫ b

a

[f(c(t)) · u(t)]‖c′(t)‖dt

donde u(t) :=c′(t)‖c′(t)‖

es el vector unitario tangente a c.

3En particular, cambia de signo al cambiar la orientacion de la curva por su opuesta.


Dem.) Inmediata.

Comentarios:

• Esta expresion expresa el hecho de que la integral de lınea de la funcion vectorial f a lo largo de lacurva c es igual a la integral de lınea de la componente tangencial de la funcion vectorial f a lo largode dicha curva.

• Observese que, para curvas simples, la mencionada componente tangencial f(c(t)) · u(t) define unafuncion escalar en Im c. Si la curva no es simple, esto no es ası, pero, aun en este caso, sigue siendoutil la interpretacion dada.

7.3 Integrales de lınea de campos conservativos

7.3.1 Independencia del camino en una integral de lınea

Siguiendo con el tema que nos ocupa, es evidente que, dada una funcion vectorial y dos puntos en su dominio,el resultado de evaluar la integral de lınea de esta funcion entre esos dos puntos depende, en general, de lacurva que los une. Sin embargo hay casos en que esto no es ası. Entonces:

Definicion 88 Sea una funcion vectorial f :A ⊆ Rn → Rn, cuyo dominio A es arco-conexo, y x, y ∈ A. La

integral∫ y

x

f · dl es independiente del camino en A si su valor es independiente de la curva C que une los

puntos x e y.

Vamos pues a investigar que tipo de funciones vectoriales son las que tienen la propiedad de que suintegral de lınea entre dos puntos es independiente del camino. Para ello comenzaremos planteandonos lasiguiente cuestion: hay un aspecto de la integracion de funciones de varias variables que hasta el momentono ha sido analizado y es si existe alguna generalizacion en este ambito del segundo teorema fundamentaldel Calculo de la teorıa de la integral de funciones de una variable. Una respuesta (parcial) a esta cuestionla da el siguiente teorema:

Teorema 21 Sea f :A ⊆ Rn → Rn un campo conservativo; es decir, f = ∇ϕ para alguna funcion ϕ:A ⊆Rn → R; y tal que:

1. ϕ es de clase C1.

2. A es abierto y arco-conexo.

Entonces, ∀x, y ∈ A, la integral de lınea de f entre x e y es independiente del camino y su valor es∫ y

x

f · dl = ϕ(y)− ϕ(x)

(esto es, solo depende del valor de la funcion potencial en esos puntos).

(Dem.) Se trata de calcular la integral∫ y

x

f · dl =∫ b

a

∇ϕ(c(t)) · c′(t)dt

Por ser A arco-conexo puede tomarse una curva regular cualquiera c: [a, b] ⊂ R → A ⊆ Rn, con x = c(a) ey = c(b). Se construye, entonces, la composicion de funciones:

F : [a, b] ⊂ R c−→ A ⊆ Rn ϕ−→ Rt 7→ c(t) 7→ ϕ(c(t))


y aplicando la regla de la cadena

F ′(t) = Dϕ(c(t)) ◦Dtbfc(t) = ∇ϕ(bfc(t)) · c′(t) = f(bfc(t)) · c′(t)

Por otra parte, F ′ es una funcion continua, luego el teorema fundamental del Calculo permite expresar∫ b

a

f(c(t)) · c′(t)dt =∫ b

a

F ′(t)dt = F (b)− F (a) := ϕ(c(b))− ϕ(c(a)) = ϕ(y)− ϕ(x)

Si la curva elegida fuera regular solo a trozos, entonces la integral se descompondrıa en una suma (finita)de integrales, para cada una de las cuales se aplicarıa la misma tecnica, llegandose al mismo resultado.

Comentarios:

• Notese que, de acuerdo con el teorema 21, el valor de la integral de lınea entre dos puntos de un campoconservativo es simplemente la diferencia de los valores de la funcion potencial escalar en esos puntos.

• En el caso de una variable, toda integral es evaluable, en principio, por medio del calculo de primitivas.Para campos vectoriales de varias variables la generalizacion de este procedimiento (que serıa hallaruna funcion escalar de la cual fuera gradiente y aplicar el teorema precedente) no siempre es factible,ya que no toda funcion vectorial es un gradiente, como ya sabemos.

De este modo, se acaba de probar que, bajo las hipotesis del teorema, todo campo vectorial conservativotiene la propiedad de que su integral de lınea entre dos puntos cualesquiera es independiente del camino.Podemos, ahora, interrogarnos sobre la certeza del recıproco de esta propiedad. La respuesta a la cuestion lada el siguiente resultado (que enunciamos sin demostracion), que es una generalizacion del primer teoremafundamental del Calculo:

Teorema 22 Sea f :A ⊆ Rn → Rn una funcion vectorial de clase C1, con dominio A abierto y arco-conexoy tal que la integral de lınea de f entre dos puntos cualesquiera de A sea independiente del camino. Sea unpunto fijo p ∈ A; se define la funcion escalar ϕ:A ⊆ Rn → R como

ϕ(x) :=∫ x

p

f · dl (∀x ∈ A) (7.5)

(integral de lınea a lo largo de cualquier camino regular (a trozos) entre p y x). Entonces f es un campovectorial conservativo y

∇ϕ(x) = f(x)

7.3.2 Caracterizacion de campos conservativos mediante integrales de lınea

Los dos ultimos teoremas ponen de relieve la equivalencia entre el hecho de que un campo vectorial seaconservativo y que su integral de lınea entre dos puntos sea independiente del camino. Esta es, por tantouna caracterıstica esencial para este tipo de funciones vectoriales. Sin embargo, vamos a ver que hay otrascondiciones equivalentes a estas. Vamos a dar, a continuacion, un primer listado de condiciones. Ası, elsiguiente teorema resume y amplia lo expuesto hasta el momento.

Teorema 23 Sea f :A ⊆ Rn → Rn una funcion vectorial de clase C1, con dominio A abierto y arco-conexo.Las siguientes condiciones son equivalentes:

1. f es el gradiente de algun campo escalar (esto es, tiene funcion potencial escalar):

f(x) = ∇ϕ(x)

2. La integral de lınea de f entre dos puntos cualesquiera de A es independiente del camino.


3. La integral de lınea de f a lo largo de cualquier curva cerrada regular (a trozos) contenida en A esnula: ∮

C

f · dl = 0 , ∀C cerrada | Im c ⊂ A

En adelante se denominara campo conservativo a cualquier campo vectorial (de clase C1 con dominio arco-conexo) que satisfaga estas condiciones.

(Dem. Probaremos que (1) ⇔ (2) y que (3) ⇔ (2).

• (1) ⇔ (2): (1) ⇒ (2) es una consecuencia directa del teorema 21. (2) ⇒ (1) es el teorema 22.

• (3) ⇔ (2): Sea C un camino cerrado cualquiera en A. Realizando una particion de C en dos caminosC1 y C2, se tiene que:

0 =∮C

f · dl =∫C1

f · dl +∫c2

f · dl =∫ y

x C1

f · dl +∫ x

y C2

f · dl

⇔∫ y

x C1

f · l = −∫ x

y C2

f · dl =∫ y

x C2

f · dl

y como el resultado es valido ∀c cerrado, lo es tambien ∀x, y y ∀C1, C2, lo cual quiere decir que laintegral de lınea entre dos puntos cualesquiera es independiente del camino.

El recıproco se obtiene invirtiendo el razonamiento.

7.3.3 Determinacion de funciones potenciales escalares mediante integrales delınea

Teniendo en cuenta las propiedades que se acaban de analizar, dado un campo conservativo f ≡ (f1, . . . , fn),el calculo de una funcion potencial escalar puede efectuarse tambien por aplicacion de la formula (7.5):

ϕ(x) =∫ x

p

f · dl =∫ x

p

f1dx1 + . . .+ fndxn

El resultado depende, obviamente, del punto p elegido que es el origen de potencial y, por tanto, es en laeleccion de dicho punto donde reside la arbitrariedad en la determinacion de la funcion potencial en estemetodo.

7.4 Integrales de superficie de campos escalares y vectoriales

7.4.1 Area de una superficie

Del mismo modo que el estudio de las integrales de lınea comenzo obteniendo previamente la expresion parala determinacion de la longitud de un arco de curva, nos introduciremos en el analisis de las integrales desuperficie deduciendo la expresion para el calculo del area de una porcion de superficie (parametrizada).

Proposicion 61 Sea σ:D ⊆ R2 → R3 una superficie regular (a trozos). El area de la superficie S := Imσes

A(S) =∫D

‖Tu ∧Tv‖dudv =∫D

√∣∣∣∂(y, z)∂(u, v)

∣∣∣2 +∣∣∣∂(z, x)∂(u, v)

∣∣∣2 +∣∣∣∂(x, y)∂(u, v)

∣∣∣2dudv


(Dem.) Sea el rectangulo elemental N ⊂ D con vertices en los puntos (u, v), (u + du, v), (u, v + dv) y(u+ du, v+ dv), cuya area, por consiguiente, es dudv. Se trata de calcular el area del elemento de superficieσ(N), que denotaremos dS. Una aproximacion al valor de dicha area se obtiene de la siguiente forma:utilizando la aproximacion lineal resulta que

σ(u+ du, v)− σ(u, v) ≈ J(u,v)σ

((u+ duv

)−(uv

))=

∂x∂u∂y∂u∂z∂u

du = Tudu

σ(u, v + dv)− σ(u, v) ≈ J(u,v)σ

((u

v + dv

)−(uv

))=

∂x∂v∂y∂v∂z∂v

dv = Tvdv

de modo que, en el plano tangente a S en σ(u, v), se tiene un paralelogramo que, con vertice en σ(u, v), tienecomo lados los vectores Tudu y Tvdv, cuya area es una aproximacion a dS y su valor es, por consiguiente,

dS ≈ ‖Tu ∧Tv‖dudv

Como consecuencia de esto, y teniendo en cuenta la definicion de integral y la expresion explıcita del productovectorial fundamental, dada en la definicion 52, se obtiene de inmediato el resultado anunciado.

Comentarios:

• Con esta demostracion se acaba de dar otra interpretacion geometrica al producto vectorial fundamen-tal: su modulo es el factor de amplificacion entre el area de un rectangulo elemental en el dominio deuna superficie, y el area del elemento de superficie imagen de dicho rectangulo.

A partir de este resultado se pueden obtener las correspondientes expresiones para el calculo del areacuando la superficie esta dada en forma explıcita o implıcita:

Corolario 8 Sea S una superficie regular (a trozos).

1. Si la superficie esta dada en forma explıcita,

f :A ⊆ R2 → R , S = {(x, y, z) ∈ R3 | (x, y) ∈ A, z = f(x, y)}

entonces

A(S) =∫A

√1 +

(∂f

∂x

)2

+(∂f

∂y

)2

dxdy

2. Si la superficie esta dada en forma implıcita,

F :B ⊆ R3 → R , S := {(x, y, z) ∈ R3 | F (x, y, z) = k}

y se cumplen las hipotesis del teorema de la funcion implıcita, existiendo localmente la funcion z =f(x, y) tal que F (x, y, f(x, y)) = 0, con dominio A′ ⊂ R2, entonces

A(S) =∫A′

√(∂F∂x

)2+(∂F∂y

)2

+(∂F∂z

)2|∂F∂z |

dxdy

(Dem.) Basta tener en cuenta las expresiones del producto vectorial fundamental para estos casos.

Casos particulares:

• Si la superficie esta dada en forma explıcita y su grafica esta contenida en un plano paralelo al plano

coordenado XY (donde se halla el dominio de la funcion), entonces∂f

∂x=∂f

∂y= 0 y queda

A(S) =∫A

dxdy

que es la conocida expresion para el calculo del area de una superficie contenida en dicho plano coor-denado.


• Si la superficie esta dada en forma explıcita y su grafica esta contenida en un plano que forma unangulo α con el plano coordenado XY (donde se halla el dominio A de la funcion), entonces

A(S) =∫A

dxdycosα

=A(A)cosα

Definicion 89 Sea σ:D ⊆ R2 → R3 una superficie regular. Se denomina vector diferencial de superficie alvector

dS := (Tu ∧Tv)dudv = n‖Tu ∧Tv‖dudv := ndS

(donde n es el vector normal unitario); con lo que

A(S) :=∫D

dS =∫D

‖dS‖

7.4.2 Integral de superficie de un campo escalar. Propiedades

Estamos ya preparados para introducir la nocion de integral de una funcion escalar sobre una superficie. Aligual que las integrales de lınea de funciones escalares eran una generalizacion de la expresion que daba lalongitud de un arco de curva, las integrales de funciones escalares sobre superficies lo son de la que determinael area de una superficie. De cualquier modo, hay tambien toda una diversidad de problemas en Geometrıay Fısica que dan origen a este tipo de integrales:

• El ya mencionado calculo de areas.

• Calculo del volumen de una region en R3, que se levanta sobre una superficie, y cuya altura en cadapunto esta dada por el valor que toma una funcion escalar en ese punto.

• Calculo de masas de figuras bidimensionales de densidad superficial variable y, por extension, calculode centros de masa y de gravedad.

• Calculo de momentos de inercia de figuras planas respecto a ejes coplanarios con ellas.

Ası pues, por analogıa con las integrales de lınea, se define:

Definicion 90 Sea una funcion f :A ⊆ R3 → R y una superficie (parametrizada) regular (a trozos) σ:D ⊆R2 → R3 tal que S ≡ Imσ ⊆ A. Se denomina integral de superficie de la funcion escalar f sobre la superficieS o tambien integral de superficie de primera especie a la siguiente integral (si existe)∫

S

fdS :=∫D

f(σ(u, v))‖Tu ∧Tv‖dudv

Expresion explıcita

• Sea f = (f1, f2, f3). Teniendo en cuenta la expresion explıcita del producto vectorial fundamental(ecuacion (4.8)), se tiene que∫

S

fdS :=∫D

f(σ(u, v))‖Tu ∧Tv‖dudv =∫D

f(σ(u, v))

√∣∣∣∂(y, z)∂(u, v)

∣∣∣2 +∣∣∣∂(z, x)∂(u, v)

∣∣∣2 +∣∣∣∂(x, y)∂(u, v)

∣∣∣2dudvque es la expresion explıcita de las integrales de superficie (de primera especie).


Proposicion 62 Sea una funcion f :A ⊆ R3 → R y una superficie (parametrizada) regular (a trozos)σ:D ⊆ R2 → R3 tal que S ≡ Imσ ⊆ A. Si f ◦ σ es integrable (en particular, si f es continua), entonces

existe la integral∫S

fdS .


(Dem.) Trivial.

Comentarios:

• Como caso particular, tomando la funcion f = 1 en la integral, se obtiene la expresion para calcular elarea de la superficie.

• Si la superficie estuviera dada en forma explıcita o implıcita, la definicion dada es aplicable sin ningunproblema, teniendo en cuenta todo lo expuesto en los apartados precedentes.

• El resultado de una integral de superficie de primera especie no depende de la orientacion (es evidente)ni tampoco de la parametrizacion de la superficie. En efecto:

Proposicion 63 Si σ:D ⊆ R2 → R3 y σ′:D′ ⊆ R2 → R3 son dos parametrizaciones regulares regularmenteequivalentes, entonces

1. T′u ∧T′v = Tu ∧Tvdet Jg.

2. Si existe∫σ(D)

fdS , tambien existe∫σ(D′)

fdS y son iguales 4.

(Dem.)

1. Expresando T′u, T′v en funcion de Tu y Tv, por medio de la regla de la cadena, se obtiene el resultado.

2. Evidente puesto que al ser parametrizaciones equivalentes, la superficie es la misma.

7.4.3 Integral de superficie de un campo vectorial. Propiedades

La nocion de integral de lınea de un campo vectorial tiene tambien su analogıa en el caso de integrales desuperficie.

El problema fısico que da origen a este tipo de integrales es el calculo del flujo de un fluido que fluyea traves de una superficie que corta a sus lıneas de corriente (esto es, la masa de fluido que atraviesa lasuperficie en la unidad de tiempo). Un problema similar en teorıa de campos es el calculo del flujo de uncampo de fuerzas a traves de superficies que cortan a sus lıneas de fuerza.

Definicion 91 Sea una funcion vectorial f :A ⊆ R3 → R3 y una superficie (parametrizada) regular (a trozos)σ:D ⊆ R2 → R3 tal que S ≡ Imσ ⊆ A. Se denomina integral de superficie de la funcion vectorial f sobre lasuperficie S o tambien integral de superficie de segunda especie a la siguiente integral (si existe)∫

S

f · dS :=∫D

f(σ(u, v)) · (Tu ∧Tv)dudv

El resultado de esta integral de superficie se denomina flujo del campo f a traves de S 5.

Expresion explıcita4Tomando f = 1 en este resultado, se obtiene como corolario que el area de una superficie es independiente de la

parametrizacion.5En la primera interpretacion fısica que se ha dado de este problema, f representa el campo de densidad de momento lineal

del fluido (masa por velocidad dividido por volumen). El resultado de la integral es, por tanto, la masa neta de fluido queatraviesa la superficie.


• Sea f = (f1, f2, f3). Teniendo en cuenta la expresion explıcita del producto vectorial fundamental(ecuacion (4.8)), se tiene que∫

S

f · dS :=∫D

f(σ(u, v)) · (Tu ∧Tv)dudv

=∫D

(f1(σ(u, v))

∣∣∣∂(y, z)∂(u, v)

∣∣∣+ f2(σ(u, v))∣∣∣∂(z, x)∂(u, v)

∣∣∣+ f3(σ(u, v))∣∣∣∂(x, y)∂(u, v)

∣∣∣)dudvque es la expresion explıcita de las integrales de superficie (de segunda especie).

Es habitual introducir la siguiente notacion, que viene sugerida por la expresion del teorema del cambiode variable, ∫

S

f · dS =∫S

f1dy ∧ dz + f2dz ∧ dx+ f3dx ∧ dy


Proposicion 64 Sea una funcion f :A ⊆ R3 → R3 y una superficie (parametrizada) regular (a trozos)σ:D ⊆ R2 → R3 tal que S ≡ Imσ ⊆ A. Si f ◦ σ es integrable (en particular, si f es continua), entonces

existe la integral∫S

f · dS .

(Dem.) Trivial.

Comentario:

• Si la superficie estuviera dada en forma explıcita o implıcita, la definicion dada es aplicable sin ningunproblema, teniendo en cuenta todo lo expuesto en los apartados precedentes.

• Es evidente que el resultado de una integral de superficie de segunda especie depende de la orientacion,pues si se cambia esta, cambia el sentido (y, por tanto el signo) del producto vectorial en el inte-grando. Sin embargo, el resultado de una integral de superficie de segunda especie no depende de laparametrizacion:

Proposicion 65 Si σ:D ⊆ R2 → R3 y σ′:D′ ⊆ R2 → R3 son dos parametrizaciones regulares regularmente

equivalentes, entonces si existe∫σ(D)

fdS , tambien existe∫σ′(D′)

fdS y son iguales u opuestos dependiendo

de la orientacion 6.

(Dem.) Igual a como se ha expuesto para las integrales de superficie de primera especie.

Finalmente, el calculo de integrales de superficie de campos vectoriales puede reducirse al de integralesde superficie de campos escalares. En efecto:

Proposicion 66 Sea una funcion vectorial f :A ⊆ R3 → R3 y una superficie (parametrizada) regular (atrozos) σ:D ⊆ R2 → R3 tal que S ≡ Imσ ⊆ A. Entonces∫

S

f · dS =∫D

f(σ(u, v)) · n‖Tu ∧Tv‖dudv

Dem.) Inmediata.

Comentario:6Tomando f = 1 en este resultado, se obtiene como corolario que el area de una superficie es independiente de la

parametrizacion.


• Esta expresion expresa el hecho de que la integral de superficie de la funcion vectorial f sobre S esigual a la integral de superficie de la componente de la funcion vectorial f en la direccion normal a S.

• Observese que, para superficies simples, la mencionada componente normal define una funcion escalar.Si la superficie no es simple, esto no es ası, pero, aun en este caso, sigue siendo util la interpretaciondada.

Chapter 8

Teoremas del Analisis Vectorial

8.1 Introduccion

En el capıtulo anterior se ha tratado sobre la integracion de funciones escalares y vectoriales a lo largode curvas y superficies. En el presente capıtulo vamos a estudiar los teoremas del Analisis vectorial, queconciernen a estos conceptos (teoremas de Stokes y de la divergencia o de Gauss-Ostrogadski). Como yafue comentado en la introduccion del capıtulo anterior, todos estos temas tienen su origen, en general, enproblemas fısicos, como ya veremos.

Comenzaremos estableciendo el teorema de Stokes, se estudiaran sus peculiaridades y, como caso especial,obtendremos el teorema de Green. Tambien se utiliza este teorema para establecer la relacion entre loscampos conservativos y los irrotacionales.

El siguiente paso sera establecer el teorema de la divergencia o de Gauss-Ostrogadsky, sus casos partic-ulares y su aplicacion para caracterizar los campos solenoidales.

Hay que advertir que, aunque la mayorıa de los conceptos que van a estudiarse se pueden desarrollar enRn en general, en este curso solo interesan en R3, y a ello nos ceniremos.

8.2 Teorema de Stokes

8.2.1 Teorema de Stokes en R3. Aplicaciones

El teorema de Stokes o del rotacional es el primero de los teoremas fundamentales del Analisis vectorial quevamos a considerar. Aparte de sus implicaciones fısicas, la importancia analıtica de este teorema radica,entre otras razones, en que, a traves de el se relacionan los dos tipos de integrales que se han definido paracampos vectoriales: las integrales de lınea y las de superficie de segunda especie. Mas concretamente, el flujodel rotacional de un campo vectorial a traves de una superficie que tiene por borde una curva de Jordan,y la circulacion de dicho campo a lo largo de esa curva de Jordan. (De hecho, este teorema tiene su origenen las leyes fısicas que relacionan el flujo y la circulacion de los campos fısicos en esas condiciones). De estamanera, el teorema da sentido geometrico al concepto de rotacional.

El teorema de Stokes se puede enunciar para el caso general Rn, (n ≥ 2), aunque en este curso solo va aser utilizado en R3 y R2.

Teorema 24 (del rotacional o de Stokes en R3): Sean una funcion f :A ⊂ R3 → R3, y una superficieS ⊂ A ⊂ R3 tales que:


97


2. S es una superficie regular (a trozos), orientada y orientable, tal que S ⊂ A, y es una region compacta.

3. ∂S es una curva de Jordan regular orientada (o un numero finito de estas 1) tal que todos sus puntosson regulares 2.

Entonces ∮∂S

f · dl =∫S

rot f · dS

donde la integral de lınea se evalua tomando la orientacion inducida en ∂S por la orientacion de S (orecıprocamente).

(Dem.) Vease, p. ej., J.E. Marsden, A.J. Tromba: Calculo Vectorial, pp. 506-507), o tambien L.D.Kudriatsev: Curso de Analisis Matematico, vol 2, pp. 290-291).

Notacion:

Si f = (f1, f2, f3), teniendo en cuenta la expresion explıcita del rotacional, es habitual utilizar la siguientenotacion:∫

S

(∂f3∂y

− ∂f2∂z

)dy ∧ dz +

(∂f1∂z

− ∂f3∂x

)dz ∧ dx

(∂f2∂x

− ∂f1∂y

)dx ∧ dy =

∮C

f1dx+ f2dy + f3dz

Comentario:

• El teorema de Stokes establece, por tanto, la igualdad entre la circulacion de un campo vectorial a lolargo de una curva de Jordan y el flujo de su rotacional a traves de una superficie limitada por dichacurva (su borde).

Aplicaciones:

El teorema de Stokes tiene diversas aplicaciones fısicas y geometricas. Senalemos algunas de ellas:

• La primera aplicacion que mencionaremos es su utilidad para resolver integrales de lınea de segundaespecie (en las que la funcion del integrando no tenga una primitiva facil de evaluar), esto es, calculo decirculaciones. En ocasiones estas integrales de lınea, por aplicacion del teorema, dan lugar a integralesdobles mas sencillas de resolver.

• Recıprocamente, en algunos casos simples, el teorema de Stokes puede ser tambien usado para el calculode areas de superficies por medio de integrales de lınea.

8.2.2 Teorema de Stokes en casos especiales

El teorema de Stokes es aplicable a superficies regulares (a trozos) compactas y orientables, pero no asuperficies no orientables. En este apartado vamos a discutir con mas detalle como se aplica el teorema enalgunos casos particulares.

∗ Superficies que no son simplemente conexas

Vamos a discutir brevemente la aplicacion del teorema de Stokes en superficies que no son simplementeconexas pero que tienen por borde curvas de Jordan regulares (a trozos).

Con las hipotesis del teorema de Stokes, supongase que S es una superficie no simplemente conexa cuyafrontera (geometrica) ∂S esta formada por curvas de Jordan regulares (a trozos) C0, Ci (i = 1, . . . ,m). El

1Esta situacion sera tratada en detalle inmediatamente.2Si no es este el caso, el teorema tambien se cumple si la superficie es de clase C3 y el conjunto de puntos frontera singulares

es negligible; esto es, es un conjunto finito de puntos que esta contenido en la union de un numero finito de curvas de clase C1.


teorema de Stokes es aplicable a esta superficie, y la integral de lınea que en el aparece descompone ensuma de integrales de lınea sobre cada uno de los caminos que constituyen la frontera (geometrica) de S. Elresultado que se obtiene es ∫

S

rot f · dS =∮C0

f · dl±∑i

∮Ci

f · dl

donde el signo + rige si las integrales curvilineas se evaluan tomando orientaciones opuestas para C0 y Ci yel signo − en caso de que las orientaciones tengan el mismo sentido.

Observese que el teorema no serıa aplicable si la superficie no fuera simplemente conexa por faltarlepuntos aislados, ya que entonces su frontera geometrica incluirıa tambien a dichos puntos, y no serıa una (ovarias) curva de Jordan.

Una consecuencia inmediata del teorema de Stokes y de esta discusion es el siguiente resultado:

Corolario 9 (Principio de deformacion de contornos): Sea f :A ⊂ R3 → R3 de clase C1. Sean C1 y C2

curvas de Jordan en A regulares (a trozos), homotopicamente equivalentes en A y tales que ∃S ⊂ A unasuperficie compacta, regular, orientada y orientable con ∂S = C1 ∪ C2, para la cual rotf = 0 (sobre S).Entonces ∫

C1

f · dl =∫C2

f · dl

(ambas curvas recorridas en el mismo sentido).

(Dem.) Basta aplicar el teorema de Stokes a la superficie S.

∗ Superficies parametrizadas (no simples)

Si la superficie S esta parametrizada entonces S = Imσ con σ:D ⊂ R2 → R3, siendo D una region compacta.Si, ademas, ∂D es una curva de Jordan regular (a trozos), c: I ⊂ R → D ⊂ R2, entonces σ ◦ c es una curvaen R3. No obstante, para superficies compactas orientables no simples no es cierto que ∂S = Im(σ ◦ c), yaque σ ◦ c contiene arcos de curvas que no son frontera geometrica de S y que son, de hecho, los puntos deautointerseccion de la superficie (que hacen que esta no sea simple) 3 .

Ejemplo:

• Cilindro: Tomando la parametrizacion en coordenadas cilındricas:

x = R cosϕ , y = R sinϕ , z = z

con D = [0, 2π]× [0, h]. El borde de este cilindro S esta formado por las dos circunferencias C1 y C2 deradio R (recorridas las circunferencias en sentidos opuestos). Aplicando el teorema de Stokes resulta∫

S

rot f · dS =∫C1

f · dl +∫C2

f · dl =∫C1

f · dl +∫C2

f · dl

∗ Superficies cerradas

Como corolario inmediato del teorema de Stokes, se tiene el siguiente resultado general:

Proposicion 67 Sea f :A ⊂ R3 → R3 de clase C1, y S ⊂ A una superficie cerrada compacta, regular,

orientada. Entonces∫S

rot f · dS = 0 .

Como consecuencia, si g es un campo solenoidal de clase C2, entonces∫S

g · dS = 0 , para cualquier

superficie S cerrada.3No obstante, si la integral de lınea que aparece en el teorema de Stokes se evalua sobre Im (σ ◦ c) en vez de sobre ∂S, el

teorema se sigue verificando (si la superficie es orientable) ya que la contribucion a la circulacion a lo largo de esos caminos esnula.


( Dem. ) Por ser S cerrada se tiene que ∂S = Ø; con lo que del teorema de Stokes se deduce directamenteque ∫

S

rot f · dS =∫∂S

f · dl = 0

∗ Superficies no orientables

El teorema de Stokes no es valido para superficies no orientables. Para mostrarlo, analicemos el siguienteejemplo:

Ejemplo:

• Banda de Mobius: Tomando la siguiente parametrizacion:

x = (R+ u cos(v/2)) cos v , y = (R+ u cos(v/2)) sin v , z = u sin(v/2)

con D = [−1, 1]× [0, 2π]. Si se toma cualquier funcion vectorial f : R3 → R3 y se calculan las integralesque aparecen en la formula de Stokes se obtiene que∫

S

rot f · dS =∫∂S

f · dl + 2∫γ

f · dl 6=∫∂S

f · dl

donde γ es un segmento transversal a ∂S, que cruza la banda y es recorrido dos veces en el mismosentido. Realmente, si se toma una parametrizacion c del contorno de D (los lados de este rectanguloen el plano UV ); esto es, ∂D = Im c, entonces Im(σ ◦ c) = ∂S ∪ γ.Ası pues, el teorema de Stokes no es valido para esta superficie no orientable.

8.2.3 Teorema de Green. Aplicaciones

El teorema de Stokes es tambien aplicable a campos vectoriales en R2, caso en el que presenta ciertaspeculiaridades, siendo por ello por lo que muchas veces se enuncia como un teorema diferente y recibe elnombre de teorema de Green. Su enunciado es el siguiente:

Teorema 25 (de Green o de Stokes en R2): Sea una funcion f :A ⊂ R2 → R2, con f = (f1, f2), y unaregion S ⊂ A tales que


2. S ⊂ A es una region compacta.

3. ∂S es una curva de Jordan regular (a trozos) orientada (o un numero finito de estas) tal que todos suspuntos son regulares 4.

Entonces ∮∂S

f1dx+ f2dy =∫S

(∂f2∂x

− ∂f1∂y

)dxdy

donde la integral curvilınea se evalua tomando la orientacion positiva de ∂C.

(Dem.) Es un caso particular del teorema de Stokes, con la superficie plana. Vease tambien, p. ej., J.E.Marsden, A.J. Tromba: Calculo Vectorial, pp. 492-496.

Aplicaciones:4Si no es este el caso, el teorema tambien se cumple si la superficie es de clase C3 y el conjunto de puntos frontera singulares

es negligible.


• El teorema de Green tiene las mismas aplicaciones fısicas y geometricas que el de Stokes, pero ademas,otras que le son peculiares. Una de ellas es el calculo de areas ya que el area de una region compactaS con borde C se puede calcular tomando, por ejemplo, cualquiera de las siguientes funciones

f(x, y) ≡ (−y, 0) −→ A =∫S

dxdy =∮C

−ydx

f(x, y) ≡ (0, x) −→ A =∫S

dxdy =∮C

xdy

f(x, y) =12(−y, x) −→ A =

∫S

dxdy =12

∮C

−ydx+ xdy

es decir, se obtiene integrando las mencionadas funciones a lo largo del contorno de la superficie.

Este resultado es una muestra de la potencia del teorema, pues permite calcular el area de una regionoperando unicamente sobre su contorno.

Como ya sucediera con el teorema de Stokes, como caso particular del teorema de Green puede presentarsela situacion de que el dominio A de la funcion f no es simplemente conexa pero tiene por borde curvas deJordan regulares (a trozos). Entonces el teorema tambien se puede aplicar siguiendo las mismas pautas queen el caso de R3.

Ası, sea f :A ⊂ Rn → R2, con f = (f1, f2), una funcion de clase C1. Considerese una region compactaS ⊂ A no simplemente conexa que tenga por borde graficas de curvas de Jordan regulares (a trozos), C0,Ci (i = 1, . . . ,m). El teorema de Green es aplicable a esta region y la integral de lınea que en el aparecedescompone en suma de integrales de lınea sobre cada uno de los caminos que constituyen la frontera(geometrica) de S. El resultado que se obtiene es∫

S

(∂f2∂x

− ∂f1∂y

)dxdy =

∮C0

f1dx+ f2dy ±∑i

∮Ci

f1dx+ f2dy (8.1)

donde el signo + rige si las integrales curvilineas se evaluan tomando orientaciones opuestas para C0 y Ci yel signo − en caso de que las orientaciones tengan el mismo sentido.

Comentario:

• Tambien ahora se obtiene el (principio de deformacion de contornos) (en R2) como corolario del teoremade Green.

8.2.4 Caracterizacion de campos conservativos por medio del teorema de Stokes

En el capıtulo 3 se establecio la propiedad de que, bajo las adecuadas hipotesis de diferenciabilidad, todocampo conservativo es irrotacional (proposicion 30). Si el recıproco de esta propiedad fuera cierto, los camposconservativos y los irrotacionales quedarıan identificados. Sin embargo, las condiciones para que esto sea asıson mas restrictivas. El resultado, que se obtiene como corolario del teorema de Stokes, es el siguiente:

Teorema 26 Sea f :A ⊆ R3 → R3 tal que A ≡ Dom f es simplemente conexo y f es de clase C1. Si f es uncampo irrotacional entonces es conservativo.

(Dem.)

Como es obvio, el resultado es tambien valido para funciones f :A ⊆ R2 → R2.

8.2.5 Aplicacion: Resolucion de ecuaciones diferenciales exactas. Factor inte-grante

En este apartado vamos a considerar una aplicacion de los anteriores resultados a la resolucion de cierto tipode ecuaciones diferenciales.


Definicion 92 Una ecuacion diferencial del tipo

dydx

= −f1(x, y)f2(x, y)

o, equivalentementef1(x, y)dx+ f2(x, y)dy = 0 (8.2)

es una ecuacion diferencial exacta (e.d.e.) si existe una funcion ϕ(x, y) tal que

∂ϕ

∂x= f1 ,

∂ϕ

∂y= f2

En tal caso, la funcion ϕ(x, y) se denomina funcion potencial escalar de la ecuacion.

Es inmediato comprobar, utilizando el teorema de la funcion implıcita, que:

Proposicion 68 La solucion de una e.d.e. con funcion potencial escalar ϕ, esta dada por ϕ(x, y) = cte (esdecir, geometricamente, las curvas de nivel de la funcion potencial escalar).

Dada una ecuacion diferencial del tipo (8.2), el problema de analizar si es exacta y, por tanto, de obtener susolucion tal como enuncia la proposicion precedente, puede ser planteado en terminos de campos conservativosdel siguiente modo 5:

Sea un campo vectorial f : R2 → R2, cuyas funciones componentes son f = (f1, f2), entonces, de acuerdocon las definiciones dadas, la cuestion de que la ecuacion (8.2) sea exacta es equivalente a que el campo f seaconservativo, lo cual es, a su vez, equivalente a que se satisfaga el teorema 26. Entonces la pauta a seguir es:

• Comprobar que se satisface este teorema

• Obtener la funcion potencial escalar.

Si la ecuacion diferencial (8.2) no fuera exacta, entonces su solucion no puede hallarse por el metododescrito. No obstante, aun en este caso puede reconducirse el problema al caso anterior. Ası:

Definicion 93 Dada una ecuacion diferencial del tipo (8.2) no exacta, si existe una funcion µ(x, y) tal quela ecuacion

µ(x, y)f1(x, y)dx+ µ(x, y)f2(x, y)dy = 0

entonces dicha funcion se denomina factor integrante de la ecuacion (8.2).

Teniendo en cuenta, de nuevo, la relacion 3.9, es evidente que:

Proposicion 69 Con las condiciones de regularidad apropiadas 6 µ es un factor integrante de la ecuacion

f1(x, y)dx+ f2(x, y)dy = 0

si, y solo si,∂(µf1)∂y

=∂(µf2)∂x

o, lo que es equivalente, si, y solo si, µ es solucion de la ecuacion diferencial en derivadad parciales

∂µ

∂yf1 + µ

∂f1∂y

=∂µ

∂xf2 + µ

∂f2∂x

(8.3)

De este modo, la resolucion de ecuaciones diferenciales no exactas se puede reconducir al problema dehallar factores integrantes. Desgraciadamente, muchas veces tratar de resolver la ecuacion (8.3) es mas difıcilque integrar la ecuacion original. En cualquier caso, dado que solo interesa hallar alguna solucion particular(si existe) de la ecuacion (8.3), en muchos casos se resuelve esta ensayando soluciones particulares.

5Se asume previamente el cumplimiento de todas las hipotesis requeridas para poder aplicar los resultados que se citan.6Vease la seccion 8.2.4.


8.3 Teorema de la divergencia

8.3.1 Teorema de Gauss-Ostrogadski en R3. Aplicaciones

El teorema de la divergencia o de Gauss-Ostrogadski es otro de los teoremas fundamentales del Analisisvectorial y, como el teorema de Stokes, tiene implicaciones fısicas muy importantes.

El teorema tiene bastantes similitudes con el de Stokes, en el sentido de que aquellos relacionan integralesde lınea de segunda especie, esto es, integrales simples, con integrales de superficie de segunda especie, estoes, integrales dobles; mientras que este relaciona estas ultimas con integrales de volumen, es decir, integralestriples. Concretamente, el flujo de un campo vectorial a traves de una superficie cerrada y la integral de sudivergencia en el volumen limitado por dicha superficie. De esta manera, el teorema da sentido geometricoal concepto de divergencia.

El teorema de Gauss-Ostrogadski se puede enunciar para el caso general Rn, (n ≥ 3), aunque en estecurso solo va a ser utilizado en R3.

Teorema 27 (de la divergencia o de Gauss-Ostrogadski en R3): Sean f :A ⊂ R3 → R3 una funcion y V ⊆ Auna region de R3 tales que:


2. V ⊂ A y es una region compacta.

3. ∂V es una superficie (cerrada pero sin autointersecciones) regular (a trozos) orientada 7 (o un numerofinito de estas 8).

Entonces: ∫S

f · dS =∫V

div fdV

donde la integral de superficie se evalua de forma que el resultado sea el flujo de f que sale de la region V ;(esto es, tomando la orientacion positiva de S que esta dada por el vector normal que apunta “hacia afuera”de V ).

(Dem.) Vease, p. ej., J.E. Marsden, A.J. Tromba: Calculo Vectorial, pp. 532-534), o tambien L.D.Kudriatsev: Curso de Analisis Matematico, vol 2, pp. 286-287).

Notacion:

Si f = (f1, f2, f3), teniendo en cuenta la expresion explıcita de la divergencia, la formula de Gauss-Ostrogadski suele escribirse:∫

S

f1dy ∧ dz + f2dz ∧ dx+ f3dx ∧ dy =∫V

(∂f1∂x

+∂f2∂y

+∂f3∂z

)dxdydz

Interpretacion:

• El teorema de Gauss-Ostrogadski establece la igualdad entre la integral de la divergencia de un campovectorial en una region del espacio y el flujo saliente de dicho campo a traves de la superficie cerradaque limita dicha region.

• A la vista de la formula de Gauss-Ostrogadski, es evidente que si div f(p) 6= 0, en algun punto p ∈ A, elflujo del campo a traves de cualquier superficie cerrada que rodee ese punto es no nulo (y tiene el mismosigno que la integral anterior). Por ello, recordando la interpretacion geometrica de la divergencia y delflujo de un campo vectorial a traves de una superficie, los puntos del dominio de f en los que div f > 0se denominan fuentes del campo y aquellos en los que div f < 0 se denominan sumideros del campo.

7Notese que toda superficie cerrada necesariamente es arco-conexa y simplemente conexa y, ademas, compacta.8Esta situacion sera tratada con mas detalle inmediatamente.


El teorema de la divergencia es aplicable a regiones cuya frontera geometrica este constituida por unnumero finito de superficies cerradas regulares (a trozos). Ası, supongase que V ⊆ A es una region compactacuya frontera (geometrica) esta formada por superficies orientadas cerradas regulares (a trozos) S0, Si (i =1, . . . ,m). El teorema de la divergencia es aplicable a esta region y la integral de superficie que en el aparecedescompone en suma de integrales de superficie sobre cada una de las que que constituyen la fronterageometrica de V . El resultado que se obtiene es∫

V

div fdV =∫S0

f · dS +∑i

∫Si

f · dS

donde las integrales de superficie se evaluan tomando la orientacion de la normal “exterior” (esto es, secalculan los flujos “salientes”).

Aplicaciones:

• Este teorema es util para resolver integrales de superficie de segunda especie (en las que la funciondel integrando no tenga una primitiva facil de evaluar), esto es, calculo de flujos. En ocasiones estasintegrales de superficie, por aplicacion del teorema, dan lugar a integrales triples mas sencillas deresolver.

• Recıprocamente, el teorema de Gauss-Ostrogadski puede ser tambien usado para el calculo devolumenes mediante el calculo de integrales de superficie. Esto puede hacerse tomando diferentesfunciones; por ejemplo:

f(x, y, z) ≡ (x, 0, 0) −→ V =∫V

dxdydz =∫S

f · dS

f(x, y, z) ≡ (0, y, 0) −→ V =∫V

dxdydz =∫S

f · dS

f(x, y, z) ≡ (0, 0, z) −→ V =∫V

dxdydz =∫S

f · dS

f(x, y, z) ≡ 13(x, y, z) −→ V =

∫V

dxdydz =∫S

f · dS

Este resultado es una muestra de la potencia del teorema, pues permite calcular el volumen de unaregion operando unicamente sobre la superficie que la delimita.

8.3.2 Teorema de Gauss-Ostrogadski en R2. Aplicaciones

El teorema de la divergencia puede tambien formularse para campos vectoriales en R2. Para ello, previamentehay que dar la siguiente definicion:

Definicion 94 Sean f :A ⊂ R2 → R2 una funcion diferenciable y C una curva regular. Se denomina flujodel campo f a traves del arco de curva C al resultado de la integral (si existe)∫

C

f · ndl

donde n es un vector unitario normal a la curva en cada punto, en el sentido adecuado.

Con esta definicion el teorema de la divergencia en R2 se enuncia de la siguiente manera:

Teorema 28 (de la divergencia o de Gauss-Ostrogadski en R2): Sean f :A ⊂ R2 → R2 una funcion y D ⊆ Auna region de R2 tales que:


2. D es una region compacta.


3. ∂D es una curva de Jordan regular (a trozos) orientada (o un numero finito de estas 9).

Entonces: ∫D

div fdS =∫∂D

f · ndl

donde el flujo a traves de la curva se evalua tomando la normal “exterior”, esto es, la del vector normal queapunta “hacia afuera” de la region D.

(Dem.) Se puede considerar como un caso particular del teorema de la divergencia en R3.

Tambien se puede probar a partir del teorema de Green, de la siguiente manera∮∂D

f · ndl =∮∂D

(f1(c(t)), f2(c(t)) ·(−c′2(t), c′1(t))

‖c(t)‖‖c(t)‖dl

=∮∂D

(−f1(c(t))c′2(t) + f2(c(t)c′1(t))dt

=∮∂D

(f2(c(t)),−f1(c(t)) · (c′1(t), c′2(t))dt

=∮∂D

f⊥ · c′(t)dt =∫D

(∂f⊥1∂y

− ∂f⊥2∂x

)dxdy

=∫D

(∂f2∂y

+∂f1∂x

)dxdy =

∫D

div f

donde f⊥ = (f2,−f1) denota el campo vectorial ortogonal a f .

Interpretacion:

• Este teorema establece la igualdad entre la integral de la divergencia de un campo vectorial en R2 enuna region del plano y el flujo saliente de dicho campo a traves de la curva cerrada que limita dicharegion.

8.3.3 Caracterizacion de los campos solenoidales

Como consecuencia directa del teorema de Gauss-Ostrogadski se obtienen diversas propiedades de los campossolenoidales.

En primer lugar se puede discutir el recıproco de la proposicion 31, que establece una propiedad analogaa la que enuncia que, bajo las adecuadas hipotesis, todo campo irrotacional es conservativo. El resultadoque se tiene es el siguiente:

Teorema 29 Sea f :A ⊂ R3 → R3 y una region V ⊂ A tales que:

1. f es de clase C1 en V .

2. V es estrellado respecto a algun punto p ∈ V .

3. div f = 0.

Entonces f es solenoidal en V .

( Dem. ) Vease M. Spivak, Calculo en Variedades.

La segunda propiedad es analoga a la que establecıa la equivalencia entre el concepto de campo con-servativo y la propiedad de que la circulacion de dicho campo fuera nula a lo largo de cualquier curvacerrada.

9La frontera geometrica puede estar constituida por varias curvas de Jordan si la region D no es simplemente conexa.


Teorema 30 Sea f :A ⊂ R3 → R3 una funcion de clase C1. La c.n.s. para que f sea un campo solenoidales que ∫

S

f · dS = 0

para cualquier superficie S regular (a trozos) cerrada, orientada (esto es, su flujo a traves de cualquiersuperficie de esta ındole es nulo).

(Dem.) Del teorema de la divergencia se obtiene que∫S

f · dS = 0 ⇔ div f = 0

y por el teorema precedente esto es equivalente a que f sea solenoidal 10.

Comentario:

• Observese que la region V ha de ser necesariamente compacta, ya que si no, no es aplicable el teoremade la divergencia.

Ejemplo: Como ya se comento en el apartado 3.4.3, la funcion f(x, y, z) :=rr3

tiene divergencia nula,

pero no tiene potencial vectorial (no es solenoidal) en todo su dominio. Observese que en este caso nose cumplen las hipotesis del teorema, ya que la funcion no esta definida en el origen y, por tanto, paracualquier region que lo contenga, su interseccion con el dominio no es compacta.

La ultima propiedad es analoga a la que establecıa la equivalencia entre el concepto de campo conservativoy la propiedad de que la circulacion de dicho campo entre dos puntos fuera la misma independientementede la curva que los uniera.

Teorema 31 Sea f :A ⊂ R3 → R3 una funcion vectorial de clase C1. La c.n.s. para que f sea solenoidal esque su flujo a traves de todas las superficies regulares (a trozos) orientables, orientadas con la misma ori-entacion, que tienen por frontera geometrica la misma curva de Jordan regular (a trozos) y son homeomorfasentre si en A sea el mismo y su valor es ∫

S

f · dS =∫C

g · dl (8.4)

donde g:A ⊂ R3 → R3 es el potencial vectorial de f (es decir, las integrales de superficie solo dependen delcontorno).

(Dem.) Sean S1, S2 dos de estas superficies y V la region de R3 que tiene por borde S1 ∪ S2. Sea C lacurva tal que ∂S1 = ∂S2 = C. Aplicando el teorema de la divergencia∫

S1

f · dS +∫S2

f · dS =∫V

div f dV = 0 ⇔∫S1

f · dS = −∫S2

f · dS

ambos flujos “salientes”, luego cambiando la orientacion de una de las superficies y, con ello el signo de lacorrespondiente integral, se obtiene el resultado 11.

El resultado (8.4) se obtiene sin mas que aplicar el teorema de Stokes.

Comentarios

• Una de las aplicaciones de esta propiedad es simplificar el calculo de integrales de lınea de segundaespecie sobre caminos cerrados, aplicando el teorema de Stokes, ya que, entonces, la integral de super-ficie que aparece es de un rotacional, esto es, de un campo solenoidal, por tanto puede evaluarse sobrecualquier superficie que tenga por contorno la misma curva y, en particular, se elegira aquella sobre laque sea mas facil evaluar la integral.

10Si V no fuera estrellado respecto a ningun punto, se descompondrıa en union de subconjuntos estrellados, aplicandose acada uno el razonamiento anterior.

11Mismo comentario que el anterior.


• Todos estos resultados son tambien validos para funciones f : R2 → R2.

A modo de resumen final, se puede establecer la siguiente tabla comparativa entre las propiedades de loscampos conservativos (o irrotacionales) y los solenoidales:

Conservativo SolenoidalIrrotacional ∇∧ f = 0 Sin divergencia ∇ · f = 0

Circulacion (C cerrada)∮C

f · dl = 0 Flujo (S cerrada)∫S

f · dS = 0

Circulacion (C abierta) Solo dep. extremos Flujo (S abierta) Solo dep. contornoPotencial escalar f = ∇(ϕ+ k) Potencial vector f = ∇∧ (g +∇ϕ)

8.4 Otras aplicaciones

8.4.1 Definicion intrınseca de los operadores diferenciales

Los conceptos de rotacional y divergencia de un campo vectorial se han definido utilizando las componentesde la funcion, f = (f1, f2, f3), referidas a un sistema de coordenadas cartesianas. Esto es un inconvenienteya que, al hacer cambios de coordenadas es de esperar, como ası sucede realmente, que cambie la expresionde estos operadores. No obstante, estos son conceptos intrınsecos (no dependen de las coordenadas) y,utilizando los teoremas de Stokes y Gauss-Ostrogadski, se pueden dar definiciones de ellos que no dependende las coordenadas elegidas.

Estos hechos quedan recogidos en los siguientes teoremas (que enunciamos sin demostracion):

Teorema 32 Sea f :A ⊂ R3 → R3 una funcion de clase C1 con dominio A abierto y un punto p ∈ A.Considerese la bola Bt(p) y su borde la esfera St(p). Entonces

div f(p) = limt→0

1volBt(p)

∫St(p)

f · ds

(donde volBt(p) es el volumen de Bt(p)).

Teorema 33 Sea f :A ⊂ R3 → R3 una funcion de clase C1 con dominio A abierto y un punto p ∈ A.Considerese la bola Bt(p) y su borde la esfera St(p). Entonces

rot f(p) = limt→0

1volBt(p)

∫St(p)

(n ∧ f) · ds

(donde volBt(p) es el volumen de Bt(p) y n la normal unitaria exterior a St(p)).

Bibliografıa

Libros de teorıa

1. J. de Burgos, Calculo Infinitesimal de Varias Variables, McGraw-Hill, Madrid 1995.

2. J.E. Marsden, A.J. Tromba, Calculo Vectorial, Fondo Educativo Interamericano, Barcelona 1991.

Libros de problemas

1. F. Bombal, L. Rodrıguez, L. Vera, Problemas de Analisis Matematico. Tomo 1: Calculo Difer-encial, A.C., Madrid 1975.

2. E. Garriga, N. Roman, A. Sanchez, O. Serra, Calcul infinitesimal: Problemes resolts. Series icalcul diferencial en diverses variables, C.P.E.T., Barcelona 1990.

3. F. Granero, Ejercicios y problemas de calculo (tomos I y II), Tebar-Flores, Madrid 1991.

4. K. Pao, F. Soon, Calculo vectorial: problemas resueltos, Addison-Wesley, Barcelona 1993.

5. Puig Adam, Calculo integral, Biblioteca Matematica, 1985.

6. M.R. Spiegel, Calculo Superior, Schaum, Madrid, 1986.

Formularios y Tablas

1. M. Abramowitz, I.A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs andMathematical Tables, Dover, N.Y. 1964.

2. I. Bronshtein, K. Semendiaev, Manual de formulas para ingenieros, Mir, Moscu 1982.

3. M.R. Spiegel, Manual de formulas y tablas, Col. Schaum, McGraw-Hill, N.Y. 1986.

Otras referencias recomendadas

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2. T.M. Apostol, Calculus (tomos I y II), Reverte, Barcelona 1985.

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