cálculo diferencial e integral 1 -...

2018/Sem_02

NOTAS DE AULA

Cálculo Diferencial e

Integral 1

Limites

Professor: Luiz Fernando Nunes, Dr.

Cálculo 1

Cálculo Diferencial e Integral 1

ii

Índice 2 Limites ...................................................................................................................... 1

2.1 Noção intuitiva de limite ................................................................................... 1 2.2 Definição formal de limite ................................................................................ 2 2.3 Propriedades dos limites ................................................................................... 3 2.4 Limites laterais .................................................................................................. 6

2.5 Limites infinitos ................................................................................................ 7 2.6 Limites no infinito ............................................................................................ 9 2.7 Outros limites notáveis ................................................................................... 14 2.8 Continuidade ................................................................................................... 14 2.9 Exercícios propostos ....................................................................................... 17

Referências Bibliográficas ............................................................................................ 20

Prof. Nunes


1

2 Limites

2.1 Noção intuitiva de limite

Considere a função :f , tal que 2)( 2 xxxf .

Nas tabelas abaixo, observa-se que a medida que os valores de x se aproximam de 2

(por valores maiores ou menores que 2), as imagens destes números x tendem para 4. Com

isso dizemos que o limite de 2)( 2 xxxf , quando x tende para 2 é 4.

Simbolicamente temos: 4)2(lim 2

2

xx

x

x )(xf x )(xf

1,0 2,0000000 3,0 8,000000

1,5 2,750000 2,5 5,750000

1,8 3,440000 2,2 4,640000

1,9 3,710000 2,1 4,310000

1,95 3,852500 2,05 4,152500

1,99 3,970100 2,01 4,030100

1,995 3,985025 2,005 4,015025

1,999 3,997001 2,001 4,003001

Figura: O gráfico de uma função 2)( 2 xxxf

Outro caso: Considere a função :f , tal que

1se4

1se,12)(

x

xxxf .

Observe que, )1(43)12(lim)(lim11

fxxfxx

.

Assim, no cálculo de )(lim xfax

, o que interesse é o comportamento da função f quando

x se aproxima de a e não o que ocorre quando ax (pode ocorrer inclusive de f nem ser

definida no ponto a).

Prof. Nunes


2

Figura: O gráfico de uma função

1se4

1se,12)(

x

xxxf

2.2 Definição formal de limite

Seja I um intervalo aberto ao qual pertence o número real a. Seja f uma função

definida para }{aIx . Dizemos que o Lxfax

)(lim , se para todo 0 , existe um 0 ,

tal que Lxf )( sempre que ax0 .

Exemplo: Utilizando a definição, prove que 7)54(lim3

xx

.

Resolução:

Figura: O gráfico ilustrando o 7)54(lim3

xx

Devemos achar um 0 , tal que se 7)54(30 xx .

Mas, 341247)54( xxx .

Portanto, queremos que se 3430 xx , isto é,

Prof. Nunes


3

4330

xx . Isto sugere tomarmos

4

.

Assim, se

7)54(124344

3030 xxxxx .

2.3 Propriedades dos limites

Se c , Lxfax

)(lim , Mxgax

)(lim e *Nn , então:

1) ccax

lim

2) Lcxfcxfcaxax

)(lim)]([lim

3) MLxgfax

))((lim

4) MLxgfax

))((lim

5) MLxgfax

))((lim

6) nn

axLxf

)]([lim

7) M

Lx

g

f

ax

))((lim , se 0M

8) nn

axLxf

)(lim , se 0L

Não poderemos estabelecer uma lei para os seguintes casos (Indeterminações do tipo: 00 e 0/0 ):

0)(lim

xfax

0)(lim

xgax

?))((lim

xg

f

ax

0)(lim

xfax

0)(lim

xgax

?)]([lim )(

xg

axxf

Teorema: O limite de uma função polinomial 01

2

2

1

1)( axaxaxaxaxf n

n

n

n

,

quando x tende para a, é o valor numérico de )(xf no ponto a. Isto é, )()(lim afxfax

Exemplos:

1) 2)1(lim1

)1)(1(lim

1

1lim

11

2

1

x

x

xx

x

x

xxx

2) 6)6(lim)6(

lim996

lim9)3(

lim00

2

0

2

0

x

x

xx

x

xx

x

x

xxxx

3)

)39(lim

)39(

)39)(39(lim

39lim

22

2

022

22

02

2

0 xx

x

xx

xx

x

x

xxx

6

1

39

1lim

20

xx

4)

)223)(314)(314(

)314)(223)(223(lim

314

223lim

22 xxx

xxx

x

x

xx

8

9

)223(4

)314(3lim

)223)(2(4

)314)(2(3lim

22

x

x

xx

xx

xx

Prof. Nunes


4

5) ?153

2lim

32

x

x

x

Lembrar que: 22

332233 )())((

baba

babababababa

Considere 3 53 xa e 1b .

Logo, 153)53(

)2(3

11)53()53(

1)53(153

3232323

3333

xx

x

xx

xxba

Assim, 13

153)53(lim

153)53(

)2(3

2

153

2lim

323

2

323

32

xx

xx

x

x

x

x

xx

6) ?11

lim3

0

x

x

x

Novamente usaremos: 22

332233 )())((

baba

babababababa

Considere 3 1 xa e 1b .

Logo, 11)1(11)1()1(

1)1(11

3232323

3333

xx

x

xx

xxba

Assim, 3

1

11)1(

1lim

11)1(lim

11lim

3230

323

0

3

0

xxx

xx

x

x

x

xxx

7) ?353

142lim

23

23

1

xxx

xxx

x

2)32(

)132(lim

)1)(32(

)1)(132(lim

353

142lim

2

2

12

2

123

23

1

xx

xx

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

8) )(lim1

xfx

, sendo:

1se3

1se1

23

)(

2

x

xx

xx

xf

1)2(lim1

)2)(1(lim

1

23lim)(lim

11

2

11

x

x

xx

x

xxxf

xxxx

Prof. Nunes


5

9) ?)(senlim0

xx

x )(sen)(x

xfy

1 0)(sen)1

(sen

2

1

0)2(sen)

2

1(sen

3

1

0)3(sen)

3

1(sen

4

1

0)4(sen)

4

1(sen

5

1

0)5(sen)

5

1(sen

6

1

0)6(sen)

6

1(sen

7

1

0)7(sen)

7

1(sen

Prof. Nunes


6

2.4 Limites laterais

Considere a função f, cujo gráfico é apresentado na sequência:

Então:

1)(lim1

xfx

3)(lim1

xfx

)1(f não é definido (o número 1 não pertence ao domínio da função f)

)(lim1

xfx

não existe (os limites laterais são diferentes)

2)(lim2

xfx

2)(lim2

xfx

2)(lim2

xfx

1)2( f

Observação: Veja no Anexo 1, as definições formais de limites laterais.

Teorema: Seja I um intervalo aberto contendo a e seja f uma função definida para

}{aIx . Temos Lxfax

)(lim se, e somente se, existirem )(lim xfax

e )(lim xfax

e forem

ambos iguais a L.

Prof. Nunes


7

2.5 Limites infinitos

Considere a função cuja regra é 2

1)(

xxfy

Temos que:

20

1lim

xx e

2

0

1lim

xx, logo

20

1lim

xx

Do mesmo modo, considerando a função cuja regra é 2

1)(

xxfy

Temos que:

20

1lim

xx e

2

0

1lim

xx, logo

20

1lim

xx

Observação: Veja no Anexo 2, as definições formais de limites infinitos.

Prof. Nunes


8

Definição: A reta ax é chamada de assíntota vertical da curva )(xfy , se pelo menos

uma das condições seguintes for satisfeitas:

)(lim xfax

;

)(lim xfax

;

)(lim xfax

;

)(lim xfax

;

)(lim xfax

;

)(lim xfax

Teorema: Sejam f e g funções tais que 0)(lim

cxfax

e 0)(lim

xgax

, então:

i) )(

)(lim

xg

xf

ax se 0

)(

)(

xg

xf quando x está próximo de a.

ii) )(

)(lim

xg

xf

ax se 0

)(

)(

xg

xf quando x está próximo de a.

Exemplos:

1)

21 )1(

23lim

x

x

x

2)

22 )2(

1lim

x

x

x

3)

1

12lim

1 x

x

x

4)

1

12lim

1 x

x

x

2.5.1 Propriedades dos limites infinitos

Dados Conclusão

)(lim xfax

)(lim xgax

))((lim xgfax

)(lim xfax

)(lim xgax

))((lim xgfax

)(lim xfax

0)(lim

bxgax

0 se

0 se ))( (lim

b

bxgf

ax

)(lim xfax

0)(lim

bxgax

0 se

0 se ))( (lim

b

bxgf

ax

)(lim xfax

)(lim xgax

))( (lim xgfax

)(lim xfax

)(lim xgax

))( (lim xgfax

)(lim xfax

)(lim xgax

))( (lim xgfax

)(lim xfax

0)(

1lim xfax

)(lim xfax

0)(

1lim xfax

0)(lim

xfax

|)(

1|lim

xfax

Prof. Nunes


9

Não poderemos estabelecer uma lei para os seguintes casos (Indeterminações do tipo: 1e,/ , 0 , 0 ):

)(lim xfax

)(lim xgax

?))((lim

xgfax

)(lim xfax

)(lim xgax

?))((lim

xgfax

)(lim xfax

)(lim xgax

?))((lim

xgfax

)(ou )(lim

xfax

0)(lim

xgax

?))( (lim

xgfax

)(ou )(lim

xfax

)(ou )(lim

xgax

?))((lim

xg

f

ax

)(lim xfax

0)(lim

xgax

?)]([lim )(

xg

axxf

)(lim xfax

0)(lim

xgax

?)]([lim )(

xg

axxf

1)(lim

xfax

)(ou )(lim

xgax

?)]([lim )(

xg

axxf

Observação: Estas proposições continuam válidas se substituirmos o símbolo " " ax por

" " ax ou " " ax .

2.6 Limites no infinito

Considere a função cuja regra é 1

1)(

2

2

x

xxfy

Temos que: 11

1lim

2

2

x

x

x e 1

1

1lim

2

2

x

x

x

Observação: Veja no Anexo 3, as definições formais de limites no infinito.

Teorema: Se n é um número inteiro e positivo, então:

i)

n

xx

lim

ii)

ímparése

paréselim

n

nx n

x

Prof. Nunes


10

iii) 01

lim

nx x

iv) 01

lim

nx x

Teorema: Se n

n

n

n xaxaxaxaaxf

1

1

2

2

1

10)( , 0na , é uma função

polinomial, então:

i) n

nxx

xaxf

lim)(lim

ii) n

nxx

xaxf

lim)(lim

Definição: A reta Ly é chamada de assíntota horizontal da curva )(xfy , se:

Lxfx

)(lim ou Lxfx

)(lim .

Exemplos:

1) Seja xxfy arctg)( , então:

2)(lim

xf

x e

2)(lim

xf

x

Logo, as retas 2

y e

2

y são assíntotas horizontais à curva xy arctg .

2) Seja x

xfy1

)( , então:

0)(lim

xfx

, 0)(lim

xfx

,

)(lim0

xfx

,

)(lim0

xfx

Assim, a reta 0x é uma assíntota vertical à curva x

y1

, enquanto a reta 0y é uma

assíntota horizontal à curva x

y1

.

Prof. Nunes


11

3) Calcule 145

23lim

2

2

xx

xx

x

Resolução:

5

3

145

213

lim145

23

lim145

23lim

2

2

2

2

2

2

2

2

xx

xx

x

xx

x

xx

xx

xx

xxx

Resposta: A reta 5

3y é uma assíntota horizontal à curva

145

232

2

xx

xxy .

4) Ache as assíntotas verticais e horizontais do gráfico de 53

12)(

2

x

xxfy .

Resolução:

3

2

53

12

lim5

3

12

lim53

12

lim53

12lim

22

22

2

x

x

x

x

x

x

xx

x

x

x

xxxx (lembrar que se 0x ,

xx 2).

3

2

53

12

lim5

3

12

lim53

12

lim53

12lim

22

22

2

x

x

x

x

x

x

xx

x

x

x

xxxx (lembrar que se

0x , xx 2).

Prof. Nunes


12

Logo, 3

2y e

3

2y são assíntotas horizontais da curva.

Ainda,

53

12lim

2

3

5 x

x

x

e

53

12lim

2

3

5 x

x

x

Logo, 3

5x é assíntota vertical da curva.

2.6.1 Propriedades dos limites no infinito.

Dados Conclusão

)(lim

xfx

)(lim

xgx

))((lim

xgfx

)(lim

xfx

)(lim

xgx

))((lim

xgfx

)(lim

xfx

0)(lim

bxgx

0 se

0 se ))( (lim

b

bxgf

x

)(lim

xfx

0)(lim

bxgx

0 se

0 se ))( (lim

b

bxgf

x

)(lim

xfx

)(lim

xgx

))( (lim

xgfx

)(lim

xfx

)(lim

xgx

))( .(lim

xgfx

)(lim

xfx

)(lim

xgx

))( .(lim

xgfx

)(lim

xfx

0)(

1lim

xfx

)(lim

xfx

0)(

1lim

xfx

Prof. Nunes


13

0)(lim

xfx

|)(

1|lim

xfx

Não poderemos estabelecer uma lei para os seguintes casos (Indeterminações do tipo: 1e,/ , 0 , 0 ):

)(lim

xfx

)(lim

xgx

?))((lim

xgfx

)(lim

xfx

)(lim

xgx

?))((lim

xgfx

)(lim

xfx

)(lim

xgx

?))((lim

xgfx

)(ou )(lim

xfx

0)(lim

xgx

?))( (lim

xgfx

)(ou )(lim

xfx

)(ou )(lim

xgx

?))((lim

xg

f

x

)(lim xfx

0)(lim

xgx

?)]([lim )(

xg

axxf

)(lim xfx

0)(lim

xgx

?)]([lim )(

xg

xxf

1)(lim

xfx

)(ou )(lim

xgx

?)]([lim )(

xg

xxf

Observação: Estas proposições continuam válidas se substituirmos o símbolo " " x

por " " x .

2.6.2 Definição do número “e”

Chamamos de número “e” ao limite da função

x

xxf

11)( , quando x tenda para

“mais infinito” ( x ), isto é: ex

x

x

11lim

. Também podemos obter este mesmo

valor através do seguinte limite: ex xx

1

0 1lim

Um valor aproximado para este número irracional e é: 2,7182818284

Exemplos:

1) 22

2

])

11[(lim)

11(lim e

xx

x

x

x

x

2) ?)3

1(lim

x

x x

Fazendo: x

w3

temos que se x então 0w

Assim, 33

1

0

3

0 ])1[(lim)1(lim)

31(lim eww

xw

w

w

w

x

x

3) ?)3

1(lim 2

x

x x

Fazendo: x

w3

temos que se x então 0w

Assim, 66

1

0

)3

(2

0

2

])1[(lim)1(lim)

31(lim

eww

xw

w

w

w

x

x

Prof. Nunes


14

4) 2

111lim

1

1

lim1

1

lim)1

1(lim e

e

e

x

e

x

x

x

x

x

xx

x

x

xx

x

x

x

x

x

x

x

x

2.7 Outros limites notáveis

2.7.1 Limite trigonométrico fundamental

1sen

lim0

x

x

x

Exemplos:

1) ?2

22senlim

2senlim

0 0

x

x

x

x

xx

Fazendo: yx 2 temos que se 0x então 0y

Assim, 212sen

lim22sen

lim2

22senlim

0 0 0

y

y

y

y

x

x

yyx

2) 5

3

1

1

5

3

5

5sen3

3sen

lim5

3

5

5sen5

3

3sen3

lim5sen

3senlim

0 0 0

x

xx

x

x

xx

x

x

x

xxx

3)

)cos1(

senlim

)cos1(

cos1lim

)cos1(

)cos1()cos1(lim

cos1lim

2

2

0 2

2

0 20 20 xx

x

xx

x

xx

xx

x

x

xxxx

2

1

2

11

2

1sen lim

cos1

1lim

senlim

2

0 0 2

2

0

x

x

xx

x

xxx

2.7.2 Outro limite importante

ax

a x

xln

1lim

0

Exemplos:

1) 313ln33

)1(lim3

3

)1(3lim

1lim

3

0

3

0

3

0

e

x

e

x

e

x

e x

x

x

x

x

x

2)3

5

ln3

ln5

3

)1(3lim

5

)1(5lim

3

)1(3

5

)1(5

lim1

1

lim1

1lim

3

0

5

0

3

5

0 3

5

0 3

5

0

e

e

x

e

x

e

x

e

x

e

x

e

x

e

e

ex

x

x

x

x

x

xx

x

xx

x

x

2.8 Continuidade

Se uma função f é definida em um intervalo aberto I e Ia , dizemos que f é

contínua em a, se )()(lim

afxfax

.

Isto significa que:

(i) f está definida no ponto a, isto é existe )(af ;

(ii) existe )(lim

xfax

;

(iii) )()(lim

afxfax

.

Prof. Nunes


15

Se uma função f é definida em um intervalo aberto I e Ia , dizemos que f é

descontínua em a, se f não for contínua em a.

Isto significa que:

(i) f está definida no ponto a, isto é existe )(af ;

(ii) não existe )(lim

xfax

ou )()(lim

afxfax

.

Exemplos:

1) 2

2)(

2

x

xxxf

A função f não está definida no ponto 2x .

2)

0se1

0se1

)( 2

x

xxxf

A função f está definida no ponto 0x , porém,

)(lim0

xfx

. Logo, )0()(lim0

fxfx

, isto

é, f é descontínua no ponto 0x .

Prof. Nunes


16

3)

2se1

2se2

2

)(

2

x

xx

xx

xf

A função f está definida no ponto 2x , porém, 3)(lim2

xfx

, isto é )2()(lim2

fxfx

, logo, f

é descontínua no ponto 2x .

4) Verifique que a função )(xfy é descontínua nos valores inteiros do domínio.

Observação: )(xfy é chamada de função maior inteiro, isto é, associa a cada valor

de x, o maior inteiro que é menor ou igual a x.

5) Verifique a continuidade da função f no ponto 1x , sendo

1se4

1se12)(

x

xxxf .

(i) 4)1( f ;

(ii) 3)(lim1

xfx

;

(iii) )1()(lim1

fxfx

.

Logo, f é descontínua no ponto 1x .

Prof. Nunes


17

6) Verifique a continuidade da função f no ponto 4x , sendo

4se210

4se2

4se103

)(

xx

x

xx

xf .

(i) 2)4( f ;

(ii) 2)(lim4

xfx

;

(iii) )4()(lim4

fxfx

.

Logo, f é contínua no ponto 4x .

7) Determine a para que a função

3se3

3se3

12

)(

xax

xx

x

xf , seja contínua no ponto

3x .

Resolução:

(i) aaf 933)3( ;

(ii) axfx

9)(lim-3

;

2

1

12

1lim

)12)(3(

)12)(12(lim

3

12lim)(lim

3 3 3 3

xxx

xx

x

xxf

xxxx

Logo, para o limite existir devemos ter:

)(lim-3

xfx

)(lim3

xfx

, ou 2

17

2

19 aa

Proposição: Se as funções f e g são contínuas em um ponto a, então:

(i) gf é contínua em a;

(ii) gf é contínua em a;

(iii) gf é contínua em a;

(iv) gf / é contínua em a, desde que 0)( ag .

2.9 Exercícios propostos

1) Sendo f dada por

2se3

2se6

2se23

)(

2 xx

x

xx

xf , construa o gráfico da função f e

determine:

a) )(lim2-

xfx

Resposta: 8

b) )(lim2-

xfx

Resposta: 7

c) )(lim2-

xfx

Resposta: não existe

2) Calcule os seguintes limites:

a) x

x

x

102

104lim

6. Resposta:

2

1

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18

b) Calcule 1

1lim

3

1

x

x

x. Resposta:

3

1

Lembrar que: 22

332233 )())((

baba

babababababa

3) Calcule o seguinte limite: )43(lim 2 xxxx

Resposta: 2

3

4) Calcule os seguintes limites:

a)2

81lim

x

x x

Resposta: 4e

b)

3

1

4lim

x

x x

x Resposta: 3e

5) Calcule os limites:

a) x

x

x 5sen

5senlim

0 Resposta: 5

b) x

x

x 3

2tglim

0 Resposta:

3

2

6) Sabendo que se 0a , então ax

a x

xln

1lim

0

, calcule

ax

ax

ax

33lim

.

Sugestão: Dividir o numerador e o denominador por a3 .

Resposta: 3ln3 a

7) Determine todas as assíntotas horizontais e verticais das funções cujas regras são:

a) 12

x

xxf . Respostas: Assíntotas verticais: Não existem. Assíntotas

horizontais: 1y e 1y .

b) 72

34 2

x

xxf . Respostas: Assíntota vertical:

2

7x . Assíntotas horizontais: 1y e

1y .

8) Para quais valores da constante c a função f é contínua em , ?

2se

2se2)(

3

2

xcxx

xxcxxf

Resposta: 3

2c

9) Determine a para que as funções abaixo sejam contínuas nos pontos especificados:

a)

0se43

0se22

)(2 xaxx

xx

x

xf no ponto 0x .

Resposta: 4

2a

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19

b)

0secos

0se2sen

tg

)(

xa

xx

x

xf no ponto 0x .

Resposta: Zkka ,23

c)

4se3

4se4

2

)(

xax

xx

x

xf , no ponto 4x .

Resposta: 4

47a .

10) Construa o gráfico da função f e verifique a continuidade desta função no ponto 2x ,

sendo

2se27

2se1)(

2

xx

xxxf . Resposta: f é contínua em 2x .

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20

Referências Bibliográficas

1. Flemming, D. M. e Gonçalves, M. B. Cálculo A – Funções, limite, derivação e integração.

6.a Edição. São Paulo: Pearson – Prentice Hall, 2006.

2. Iezzi, G. e Murakami, C. Fundamentos de Matemática Elementar. Volume 1. 6.a Edição.

São Paulo: Atual Editora, 1985.

3. Iezzi, G. et. al. Fundamentos de Matemática Elementar. Volume 8. 6.a Edição. São Paulo:

Atual Editora, 1985.

4. Lima, E. L. et. al. A Matemática do Ensino Médio. Volume 1. 6.a Edição. Rio de Janeiro:

Coleção do Professor de Matemática – Sociedade Brasileira de Matemática, 2003.

5. Stewart, J. Cálculo. 6.a Edição. São Paulo: Cengage Learning, 2012.

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21

ANEXO 1 – Definições formais de limites laterais

Definição 1: Seja f uma função definida em um intervalo aberto [,] ba . O limite de )(xf ,

quando x se aproxima de a pela direita, será L e escrevemos Lxfax

)(lim , se para todo

0 , existir 0 , tal que se ax0 , então Lxf )( , isto é:

))(0/0,0()(lim

LxfaxLxfax

Definição 2: Seja f uma função definida em um intervalo aberto [,] ab . O limite de )(xf ,

quando x se aproxima de a pela esquerda, será L e escrevemos Lxfax

)(lim , se para todo

0 , existir 0 , tal que se 0 ax , então Lxf )( , isto é:

))(0/0,0()(lim

LxfaxLxfax

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22

ANEXO 2 – Definições formais de limites infinitos

Definição 1: Seja I um intervalo aberto que contém a. Seja ainda uma função f definida em

}{aI . Dizemos que quando x se aproxima de a, )(xf cresce ilimitadamente, o que é

escrito

)(lim xfax

, se para qualquer 0M , existe 0 , tal que, Mxf )( , sempre que

ax0 .

Simbolicamente: ))(0/0,0()(lim MxfaxMxfax


}{aI . Dizemos que quando x se aproxima de a, )(xf decresce ilimitadamente, o que é

escrito

)(lim xfax

, se para qualquer 0M , existe 0 , tal que, Mxf )( , sempre que

ax0 .



}{aI . Dizemos que quando x se aproxima de a por valores maiores que a, )(xf cresce

ilimitadamente, o que é escrito

)(lim xfax

, se para qualquer 0M , existe 0 , tal

que Mxf )( sempre que ax0 .


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23


}{aI . Dizemos que quando x se aproxima de a por valores menores que a, )(xf cresce


)(lim xfax


que Mxf )( sempre que 0 ax .



}{aI . Dizemos que quando x se aproxima de a por valores maiores que a, )(xf decresce


)(lim xfax


que Mxf )( , sempre que ax0 .


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24


}{aI . Dizemos que quando x se aproxima de a por valores menores que a, )(xf decresce


)(lim xfax


que Mxf )( , sempre que 0 ax .


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25

ANEXO 3 – Definições formais de limites no infinito

Definição 1: Seja f uma função definida em um intervalo aberto [,] a . Dizemos que

quando x cresce ilimitadamente, )(xf se aproxima de L e escrevemos Lxfx

)(lim

, se

para qualquer 0 , ainda que pequeno, existe 0N , tal que Lxf )( sempre que

Nx .

Simbolicamente: ))(/0,0()(lim

LxfNxNLxfx


quando x decresce ilimitadamente, )(xf se aproxima de L e escrevemos Lxfx

)(lim

, se

para qualquer 0 , ainda que pequeno, existe 0N , tal que Lxf )( sempre que

Nx .

Simbolicamente: ))(/0,0()(lim

LxfNxNLxfx


quando x cresce ilimitadamente, )(xf cresce também ilimitadamente e escrevemos

)(lim

xfx

, se para qualquer 0M , existe 0N , tal que Mxf )( , sempre que

Nx .

Simbolicamente: ))(/0,0()(lim MxfNxNMxfx

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26


quando x cresce ilimitadamente, )(xf decresce ilimitadamente e escrevemos

)(lim

xfx


Nx .



quando x decresce ilimitadamente, )(xf cresce ilimitadamente e escrevemos

)(lim

xfx


Nx .



quando x decresce ilimitadamente, )(xf também decresce ilimitadamente e escrevemos

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27

)(lim

xfx


Nx .


cálculo diferencial e integral 1 -...

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