calculo diferencial absoluto

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CALCULO DIFERENCIAL ABSOLUTO EN ESPACIOS DE RIEMANN En los aledaños de la Relatividad General Gregorio Ricci-Curbastro (1853-1925) y un estudiante suyo, Tullio Levi-Civitta (1873-1941), fueron los pioneros en el desarrollo del calculo tensorial, que recibió el empuje definitivo al convertirse en la herramienta matemática clave que permitiría a Albert Einstein una exposición coherente de la Relatividad General, estableciendo la transformación de sistemas referenciales mediante Ambos publicaron en 1901 El Cálculo diferencial absoluto (“Méthodes de calcul diférentiel absolu et leurs applications”, Mathematische Annalen 54, 125-201 (1901)), su obra más famosa, que está hoy traducida a diversos idiomas y es uno de los textos clásicos de referencia del cálculo tensorial, más de un siglo después de su primera 1

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Page 1: CALCULO DIFERENCIAL ABSOLUTO

CALCULO DIFERENCIAL ABSOLUTOEN ESPACIOS DE RIEMANN

En los aledaños de la Relatividad General

Gregorio Ricci-Curbastro (1853-1925) y un estudiante suyo, Tullio Levi-Civitta(1873-1941), fueron los pioneros en el desarrollo del calculo tensorial, que recibió el empuje definitivo al convertirse en la herramienta matemática clave que permitiría a Albert Einstein una exposición coherente de la Relatividad General, estableciendo la transformación de sistemas referenciales mediante diferenciación absoluta de magnitudes vectoriales y tensoriales.

Ambos publicaron en 1901 El Cálculo diferencial absoluto (“Méthodes de calculdiférentiel absolu et leurs applications”, Mathematische Annalen 54, 125-201 (1901)), su obra más famosa, que está hoy traducida a diversos idiomas y es uno de los textos clásicos de referencia del cálculo tensorial, más de un siglo despuésde su primera publicación.

1

Page 2: CALCULO DIFERENCIAL ABSOLUTO

01. INTRODUCCIÓN A LOS ESPACIOS DE RIEMANN

01.1. Definición de Espacio de Riemann:

El hecho de que se anule en los espacios euclidianos el tensor de curvatura deRiemann-Christoffel nos permite pensar en la posibilidad de que pueden existir otros espacios, en general distintos a los euclidianos, en los que el antedicho tensorde curvatura no siempre sea nulo. Espacios que serían más generales que loseuclidianos, esto es, espacios de los cuales los euclidianos corresponderían al caso

iRn ,hk = 0 .particular en que

Estos espacios más generales serían los Espacios de Riemann.

Para definir, por consiguiente, un Espacio de Riemann, hemos de procurar que susmagnitudes y propiedades coincidan con las de los espacios euclidianos, inclusive en lo que respecta al tensor de curvatura. Así, se ha de cumplir la simetría e inversibilidad de la métrica y la expresión contravariante del elemento diferencial de longitud.

Un espacio de Riemann de n dimensiones es un par constituido por una variedadn-dimensional Vn y una métrica gik.

Una variedad n-dimensional Vn es un conjunto de n variables x1, ..., xn, que pueden representar longitudes, ángulos, etc., y que están definidas en correspondientes intervalos de números reales I1, ..., In.

i

...

...

...

...

... ... ...

n n ik n

La métrica nos indica la forma de representación de la variedad n-dimensional, estoes, para cada métrica hay una forma de representación. La distancia entre dos puntos infinitamente próximos, o elemento diferencial de longitud, ds, podemosexpresarla, como en los espacios euclidianos por:

dxr 2

= (dxr, dx

r ) = (dxi e

r , dxk e

r ) = dxi dxk (er

, er

) = g dxi dxk

i k i k ik

o sea

ds = gik dx dx

Esto es, en forma desarrollada, significa que

2

2 i k

Espacio de Riemann: R = (V , (g ) )

Page 3: CALCULO DIFERENCIAL ABSOLUTO

g ...

...

...

...

g 11 1n dx1 ... ...ds2 = (dx1 ,..., dxn

) ...

... ...

dxn gn1 gnn

Cumpliéndose por lo demás que:

= g ji , g = ( )−1jk 2 j kg ij g jk , ds = g jk dx dx

Y los símbolos de Christoffel pueden definirse, deexpresión que tienen en los espacios euclidianos, por:

manera concordante con la

1 ∂g

jk

∂g ij ∂g ik k

(ij, k ) = + −de primera especie:i j2 ∂x ∂x ∂x

= (ij, k ).g kh

Γ kde segunda especie: ij

Veremos que todos estos símbolos verifican en el Espacio de Riemann las mismaspropiedades de simetría, tensorialidad, etc., que en los Espacios Euclidianos.

01.2. El ejemplo de las variedades bidimensionales de Riemann:

En el caso de las variedades bidimensionales, podemos definirlas simplemente porsu métrica, esto es, por los elementos de la matriz métrica en cada punto de la variedad (generalmente son variables los elementos de este tensor en los puntos de un espacio de Riemann), o bien, podemos definirlas por su representación inmersa en una variedad euclidiana ordinaria tridimensional, y obtener su métrica desde la expresión del elemento diferencial de longitud en la variedad euclidiana:

Representación en la variedad euclidiana: x1 = x1 ( x, y, z), x 2 = x 2 ( x, y,

El. diferencial de longitud en la variedad euclidiana ordinaria: ds 2 = dx 2 + dy 2 + dz

En el siguiente ejemplo definimos tres variedades bidimensionales de Riemannmediante su representación en una variedad euclidiana ordinaria tridimensional, la representación plana, la representación esférica y la representación cilíndrica.

Ejemplo:

Supongamos la variedad de dos dimensiones definida por

V =

x1 , x2 / x1 ∈ (0,2π ) ⊂ R, x2 ∈ (− 1

π ,+ 1

π ) ⊂

R

2 2 2 o bien, si llamamos por comodidad u y v a las variables:

3

Page 4: CALCULO DIFERENCIAL ABSOLUTO

V u, v / u ∈ (0,2π ) ⊂ R, v ∈ (− 1

π ,+ 1

π ) ⊂

R

=

2 2 2

veamos las tres formas diferentes de representación de esta variedad, cada una deellos con su correspondiente métrica gik:

a) Forma de representaciónrepresentan longitudes:

plana. Es el caso en el que las dos variables

u = x, v = y

ds2 = dx2 + dy 2 + dz 2 = du 2 + dv2 + 0 = 1 0 du

= (du, dv) 0 1 dv

Métrica de la representación:

1 0 (gik )2 =

0

1

b) Forma de representación esférica de radio r. Corresponde al caso en el quelas variables representan ángulos:

u = ϕ , v = φ

ds 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 = [d (r cosφ.cosϕ )]2 +

+ [d (r cosφ.senϕ )]2 + [d (rsenφ )]2

=

= r 2 sen 2φ.dφ 2 + r 2 cos 2 φ.dϕ 2 + r 2 cos 2 φdφ 2

=

O sea:

r 2 cos 2 v 0 du ds = (du, dv)

2 r 2 dv

0

Métrica de la representación:x = r cos φ. cosϕ

y = r cosφ.senϕ

z = rsenϕ

2 2 =

r cos v 0 (g ) r 2 ik 2 0

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Page 5: CALCULO DIFERENCIAL ABSOLUTO

c) Forma de representación cilíndrica de radio r. Es el caso en el que una de lasvariables representa un ángulo y la otra una longitud:

u = ϕ , v = h

ds 2 = dx2 + dy 2 + dz 2 = [d (r cosϕ )]2

+

+ [d (rsenϕ )]2 + [dh]2

=

= r 2 sen2ϕ.dϕ 2 + r 2 cos2 ϕ.dϕ 2 + dh2

O sea:

r 2 0 du ds = (du, dv) 0

2 1

dv

Métrica de la representación:

x = r cosφ

y = r cosφ

z = h

r 2 0 (gik )2= 0 1

01.3. Las condiciones de definición de la métrica y símbolos de Christoffel:

Un espacio de Riemann, o variedad limitada de espacio de Riemann, es, endefinitiva, un conjunto de variables definidas en intervalos reales, una variedad, junto con una métrica o representación. Esto nos indica que estos espacios son más generales que los espacios euclidianos, variando en general la métrica en cada uno

de los puntos de la variedad, es decir, g = g ( x r ), r = 1,..., ik ik

Puesto que pretendemos que estos espacios sean una generalización de losespacios euclidianos, hemos de exigirle a la métrica las condiciones de simetría e inversibilidad necesarias para ello.

Se cumplirán, por consiguiente, relaciones análogas a las de los espacioseuclidianos:

1) Simetría y definición positiva de la métrica:

= g ki , > 0g ik g jj

2) Inversión de la métrica:

g jk g = δik ij

5

Page 6: CALCULO DIFERENCIAL ABSOLUTO

3) Relación entre las componentes covariantes y contravariantes de un vector:

v k = g jk v , v = g v kj j jk

4) Producto interior:

(r r ) j ku , v = g jk u v

5) Elemento diferencial de longitud:

2 j k k jkds = g jk du du = duk du = g duk du

6) Símbolos de Christoffel de primera especie:

(ij, k ) = 1 (∂

g

)+ ∂ g − ∂ gi jk j ik k ij2

7) Símbolos de Christoffel de segunda especie:

= ( )k khΓij ij, h .g

8) Tensor p-covariante, q-contravariante. Variación en los cambios de coor-denadas:

i1...iq k1 kp i1 iq h1...hqt ' j1... jp = Aj1 ...Ajp .Bh1...Bhq

.tk1...kp

siendo:i k∂x

= ∂x'

er' = Ai e

r

=

er

, k = 1,...,

n

er

er' , i = 1,...,

n

= Bk e'k k i i i i k k∂x'k ∂x'i

Veamos que definiendo estas magnitudes del modo expuesto, se verifican lasmismas propiedades básicas para la métrica y símbolos de Christoffel que se verifican en un espacio euclidiano. Sin embargo, al variar la métrica en cada punto,varían también los símbolos que dependen de ella. Esto quiere decir que para unsistema de coordenadas dado, los símbolos de Christoffel que definamos varían en cada punto de la variedad.

Teorema:

Los símbolos de Christoffel son simétricos y solo tienen carácter tensorial si loscambios de variables o coordenadas en la variedad son lineales.

En efecto:

a) Para los símbolos de primera especie se verifica:

Simetría:

(ij, k ) = 1 (∂

g

+ ∂ g − ∂ g ) = 1 (∂ g + ∂ g − ∂ g ) = ( ji, k

)i jk j ik k ij j ik i jk k ji2 2

6

Page 7: CALCULO DIFERENCIAL ABSOLUTO

Comportamiento en los cambios de coordenadas:

∂ g ' = Ai A j ∂ g + Ai A j g + Ai A j g = Ai A j Ak ∂ g + Ai A j g + Ai A j s pq p q s ij ps q ij p sq ij p q s k ij ps q ij p sq ij

∂ g ' = Ai A j Ak ∂ g + Ai A j g + Ai A j g = Ak A j Ai ∂ g + Ai A j g + Ai As p qs s q p k ij ps q ij s pq ij s q p i kj ps q ij s pq ij

∂ g ' = Ai A j Ak ∂ g + Ai A j g + Ai A j g = Ai A j Ak ∂ g + Ai A j g + Ai A j

gq ps p s q k ij pq s ij p sq ij p q s j ki pq s ij p sq ij

( pq, s )' = 1 (∂g ' +∂g ' −∂g ' ) =

1 Ai Ak A j .(∂ g + ∂ g −

∂ g )+ 1

2 Ai A j g =

qs ps pq p s q i kj j ki k ij pq s ij2 2 2= Ap As Aq .(ij, k ) + Apq As g

ij

i k j i j

En definitiva:

i j k i j s

Ai = 0 , esto es, si los cambios de coordenadas son lineales,Por tanto, si es pq

entonces el símbolo de Christoffel de primera especie es un tensor covarianteorden 3 (tensor 3-covariante)

de

b) Para los símbolos de segunda especie:

Simetría:

= ( ) = ( ji, s .g) = Γ jik ks ks kΓij ij, s .g

Comportamiento en los cambios de coordenadas:

Γ'r = ( pq, s )'.g 'rs = Ai A j Ak (ij, k )B r B s g kh + Ai

A j gg kh B r B s pq p q s k h pq s ij k h

= Ai A j B r (ij, k )g kh + Ai B r = Ai A j B r Γh + Ak

B rp q h pq k p q h ij pq k

(puesto que As Bk = δ rs , As Bh = δ jh ⇒ gij .g = gih g = δ ik )k r j s kh kh

y queda finalmente:

Γ' pq = Ap Aq Bh Γij + Apq

Bk

[01.3_1]

= 0 , esto es, si los cambios de coordenadas sonAiEsto nos indica que si es pq

lineales, entonces el símbolo de Christoffel de segunda especie escovariante y 1-contravariante.

un tensor 2-

Teorema:

Para los símbolos de primera y segunda especie de Christoffelrespectivamente, las identidades de Ricci y Christoffel.

se verifican,

En efecto:

7

r i j r h k r

( pq, s )' = Ap Aq As .(ij, k ) + Apq A gij

Page 8: CALCULO DIFERENCIAL ABSOLUTO

a) La Identidad de Ricci:(ij, k ) + (ik , j ) = ∂ i

gkjEn efecto:

(ij, k ) + (ik , j ) = 1 (∂ g − ∂ g )+

1 (∂ g + ∂ g − ∂ g ) = 1

∂ g + 1

∂ g = ∂ gi jk j ik k ij i kj k ij j ik i jk i kj i jk2 2 2 2

b) La Identidad de Christoffel:

k k r i j kApq = Ar Γ' pq − Ap Aq

Γij

En efecto:

obtenida antes Γ'r = Ai A j Br Γh + Ak Br , se tiene, alPartiendo de la relación pq p q h ij pq k

multiplicar ambos miembros por Ak :r

r k i j r k h k r kΓ' pq Ar = Ap Aq Bh Ar Γij + Apq Bk

Ary queda:

r k i j h k= Ap Aq δ hk Γij + Apq δ

hk

i j k k k r k i j kΓ' pq Ar = Ap Aq Γij + Apq ⇒ Apq = Γ' pq Ar − Ap Aq Γij

Teorema:

Las transformaciones de variables x k ( x'r ) que transforman una métrica de coeficientes constantes en otra métrica también de coeficientes constantes han de ser lineales:

x k ( x'r ) = Fx'r +G, F , G cons tan

En efecto:

= 0 ⇒ (ij, k ) = 0 ⇒ Γ k =

0

g = cte ∂ ⇒ g = ∂ g = ∂ gik j ik k ij i jk ij

de la identidad de Christoffel, tenemos que:

∂Ak = Ak Γ'r − Ai A j Γk = 0 ⇒ Ak = 0 ⇒ Ak = 0 ⇒ Ak = cte = Fpq r pq p q ij pq p p∂q

O sea:k∂x

= F ⇒ xk = F.x'r +G∂x' p

01.3. Espacios tangentes:

Para un espacio de Riemann R = (V , (g ) ) , sabemos que la métrica varía en

cada

n n ik n

Si consideramos el valor de la métrica [(g ) ] en un puntopunto de la variedad. ij n 0

k kP0 ( y ) dado, llamaremos Espacio Euclidiano Tangente en el punto P0 ( y ) , alespacio euclidiano cuya métrica es [(g ) ] .ij n 0

8

Page 9: CALCULO DIFERENCIAL ABSOLUTO

Así, por ejemplo, el Espacio Euclidiano Tangente a una Variedad bidimensional dekpunto P0 ( y0 ), k = 1,2 es el planométrica esférica en

constante dada por

un euclidiano de métrica

r 2 cos 2 ( y 2 0 ( ) =ij 2 0g2 0 r

En general dos espacios Rn(1) y Rn(2) se dicen tangentes en un punto dado P sipertenece a ambos espacios y las métricas de los dos espacios coinciden en dichopunto:

( )(1)= ( )( 2)

g ij g ijn n

Dos espacios tangentes se dicen osculadores en el punto P si se verifica que

(1) ( 2)∂ k g ij = ∂ k g ij

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Page 10: CALCULO DIFERENCIAL ABSOLUTO

02. DERIVACIÓN ABSOLUTA COVARIANTE EN LAS VARIEDADES DERIEMANN

02.1. Derivada covariante de una función escalar:

Sea una variedad V(yk), de variables yk, k=1,...,n, y métrica (gik)n. Consideremos la función escalar U=U(yk). Derivando con respecto a las n variables se obtienen n funciones escalares:

= ∂U

U = ∂ U (k = 1,..., n)k k∂y k

en un cambio de coordenadas de la forma yk=yk(y’r) se verifica que

k∂U =

∂U ∂yU '

k= = ApU kp

∂y ' p ∂y k

∂y ' p

' kpuesto que U p = Ap .U k , las n funciones U resultan ser las componentesk

covariantes de un vector que podemos denominar vector derivada covariante delescalar U.

02.2. Derivada covariante de un vector dado en la forma contravariante:

Si las vi=vi(yk), i=1,...,n, representan las componentes contravariantes de un vector, se tiene que, en un cambio de coordenadas yk=yk(y’r):

i p

vi = Ai v'r ⇒ ∂v ∂ ∂ (Ai v'r )∂y'

= (Ai v'r + Ai ∂ ' v'r )B p

= (Ai v'r ) =r r r rp r p k∂y k ∂y k ∂y' p ∂y k

o sea:i i p r i p ' r∂ k v = Arp Bk v' + Ar Bk ∂ p

v'[02.2_1]

que no es un cambio tensorial debido al primero de los sumandos de la expresión.Para este sumando podemos utilizar la identidad de Christoffel:

i i a m n iArp = Aa Γ'rp − Ar

Ap Γmn

y al sustituir en el primer sumando queda asi:

Ai B p v'r = Ai B p Γ'a v'r − Am An B p Γ i v'r = Ai B p Γ'a v'r − Amδ k Γ i v'rrp k a k rp r p k mn a k rp r n mn

= Ai B p Γ'a v'r − Am Γ i v'r = Ai B p Γ'a v'r −Γ v ma k rp r mk a k rp mk

por lo cual, la derivada covariante [02.2_1] resulta:

i i p a r i m i p ' r∂ k v = Aa Bk Γ'rp v' −Γmk v + Ar Bk ∂ p

v'y reordenando con respecto a las coordenadas:

i p ( ' a r )i i m a∂ k v + Γmk v = Aa Bk ∂ p v' +Γ'rp

v'

10

Page 11: CALCULO DIFERENCIAL ABSOLUTO

si llamamos D vi = ∂ vi + v m Γi , tenemos:k k mk

i i p ' rDk v = Ar .Bk .Dp v

que es la derivada covariante absoluta del vector de componentes contravariantes vi=vi(yk), i=1,...,n, y presenta, por tanto, carácter tensorial. Se trata de un tensorde segundo orden mixto (1-covariante, 1-contravariante).

02.3. Derivada covariante de un vector dado en la forma covariante:

Si llamamos vi=vi(yk), i=1,...,n, a las componentes covariantes de un vector y

repetimos los pasos anteriores obtenemos de forma análoga la expresión de la derivada absoluta covariante, que aquí es de la forma

mDk vi = ∂ k vi − vm

ΓkiCumpliéndose la relación tensorial:

p r 'Dk vi = Bi Bk Dp v'r

Por lo que se trata de un tensor de segundo orden covariante.

02.4. Derivada covariante de un tensor 2-covariante:

Sea el tensor 2-covariante expresado en un cambio de coordenadas por' i jtrs = Ar As tij . Se tiene:

i j ∂tijk∂( Ar As ) ∂y

= ( i j )' ' i j i j i j k∂ p trs = .tij + Ar As . ∂y

k

Arp As + Ar Asp .tij + Ar As .Ap ∂ k tij [02.4_1]∂y' p ∂y' p

Utilizamos la Identidad de Christoffel:

Ai = Ai Γ'a − Am An Γi ⇒ Ai A j = Ai A j Γ'a − Am An A j Γi rp a rp r p mn rp s a s rp r p s mn

⇒ Ai A j t = Γ'a − Am An A j Γi tt 'rp s ij rp as r p s mn ij

también:j i a ' m n j iAsp Ar tij = Γ'sp tar − As Ap Ar

Γmntij

Sustituyendo en la expresión [02.4_1] de la derivada:

' ' a ' a ' i j k m n j i m n j i∂ p trs = Γ'rp tas + Γ'sp tar + Ar As Ap ∂ k tij − Ar

Ap As Γmntij − As Ap Ar Γmntij

ordenando:

' ' a ' a ' i j k m n j i m n j i∂ p trs − Γ'rp tas − Γ'sp tar = Ar As Ap ∂ k tij − Ar

Ap As Γmntij − As Ap Ar Γmntij

11

Page 12: CALCULO DIFERENCIAL ABSOLUTO

o bien:

i j k ( )' ' a ' a ' b b∂ ptrs − Γ'rp tas − Γ'sp tar = Ar As Ap ∂ k tij − Γik tbj − Γjk

tbib bDk tij = ∂ k tij − Γik tbj − Γjk

tbi

usando la notación

' ' i j kDptrs = Ar As Ap Dk tij , por lo que la derivada absolutase tiene en definitiva que

resulta ser un tensor 3-covariante.

En definitiva, la derivada absoluta buscada es

b bDk tij = ∂ k tij − Γik tbj − Γjk

tbi

02.5. Derivación covariante de otras magnitudes tensoriales:

Siguiendo idéntico procedimiento encontramos la derivada covariante de un tensorde cualquier orden. En particular se tiene, por ejemplo, que en el caso de un tensor de tercer orden 2-covariante 1-contravariante:

h h h a h a a hDk uij = ∂ k uij − uaj Γki − uia Γkj − uij

Γak

02.6. La derivada covariante absoluta del tensor métrico:

Usando la expresión [02.4_1] de la derivada absoluta de un tensor 2-covariante, yla Identidad de Ricci, encontramos que la derivada absoluta del tensor métrico es nula:

Dk gij = ∂ k gij − gaj Γki − gia Γkj = ∂ k gij − (ki, j ) −

(kj, i)

a a

y siendo, por la Identidad de Ricci: ∂ k gij = (ki, j ) + (kj,

i)

se tiene obviamente:

12

Page 13: CALCULO DIFERENCIAL ABSOLUTO

03. SISTEMAS DE COORDENADAS LOCALMENTE INERCIALES

03.1. Definición de sistema localmente inercial o geodésico:

Sabemos que en cada punto de la variedad varia la métrica correspondiente a unsistema de referencia dado, y también sabemos que en un punto dado de la variedad la métrica correspondiente a distintos sistemas de coordenadas es distinta. Es decir, en diferentes sistemas de coordenadas {xi}, {x’i}, {x”i}, ... la

matriz métrica (g ) tiene valores distintos en un punto dado M0. La pregunta queik n

en principio nos hacemos es la siguiente: ¿Existirá algún sistema de coordenadastal que en el punto dado M0 se anulen los símbolos de Christoffel?

Se llama Sistema Localmente Inercial, o bien, Sistema Geodésico, o SistemaNormal en M0, a un sistema de coordenadas tal que sean nulos los símbolos deChristoffel en M0.

Dada una variedad de Riemann, nos planteamos la posibilidad de encontrar, paraM0(y

k) dado, un sistema localmente inercial en ese punto realizandoun puntotransformaciones de coordenadas desde la métrica dada.

Así, si son {y k } los valores de las coordenadas {y k }en el punto M , y00

representamos la métrica y símbolos de Christoffel en dicho punto por

(g ) , (ij, k ) , (Γ k

)ik 0 0 ij 0

trataremos de encontrar otras coordenadas {y'k } tales que en el punto M , se0

verifique que la métrica sea tal que los símbolos de Christoffel se anulen:

(ij, k )' = 0, (Γ'k ) =

0

0 ij 0

El siguiente teorema nos da la forma de una transformación y'k = y'k ( y r ) de coordenadas que permite obtener un sistema localmente inercial en un punto

kcualquiera M 0 ( y0 ) .

Teorema:

Dado el espacio de Riemann de variedad V ( y1 ,..., y n ) y métrica (g ) se tiene

quen ik n

kpara cada punto M 0 ( y0 ) de la variedad se verifica que el sistema de coordenadas

y'k = y k − y k + 1 (Γk ) (y i − y i )(y j − y j

),k = 1,...n0 ij 0 002

kes localmente inercial en el punto M 0 ( y0 ) .

En efecto:

Podemos en principio ensayar un cambio del tipo:

13

Page 14: CALCULO DIFERENCIAL ABSOLUTO

y'k = y k − y k + C k (y i − y i )(y j − y j

),k = 1,...n [03.1_1]0 ij 0 0

donde las C k son constantes. Derivamos:ij

k∂y'= δ k = Ak + C k Ai (y j − y j )+ C k A j (y i − y

)[03.1_2]

∂y'rr r ij r 0 ij r o

es: δ r = (Ar ) + Cij (Ar ) .0 + Cij (Ar ) .0 ⇒ (Ar ) = δ

r

k k k k i k j k ken el punto M 0 ( y0 ) 0 0 0 0

y además, sabemos que también se verifica la relación de Cronecker para las

matrices Ak y B r

: Ak .Br = δ k . Por tanto esr h r h h

(Ak ) .(Br ) = δ k .(Br ) = δ k ⇒ (Bk ) = δ k

r h r h h h h0 0 0 0

Derivando ahora la expresión [04.1_2] con respecto a y's :

k k i ( j j ) k j ( i i )k i j k j i0 = Ars + Cij Ars y − y0 + Cij .Ar

.As

+ Cij Ars y − y0 + Cij .Ar .A

en el punto M0:

0 = (A + 0 + C . Ars 0 ij r 0

o sea:

k ) k ( i ) (A + 0 + C . As 0 ij rj ) k ( j ) (A = (A + C .δ .δ + C .δ

i ) k ) k i j k j i

0

0 = ( k ) k kArs 0 + Crs + Csr

por lo cual:

(Ak ) = −(C k + C k

)[03.1_3]rs 0 rs sr

para relacionar estas constantes con los símbolos de Christoffel podemos utilizar la

propiedad [01.3_1]: Γ'r = Ai A j Br Γh + Ak Br . Y podemos escribir en el punto M :0pq p q h ij pq k

(Γ' pq ) = δ p .δ q .δ h . Γij + ( )0 0

i j r ( h ) .δ k = ( )0

− (0

)r k r h r rApq Γpq C pq + Cqp

puesto que ha de ser nulo el símbolo de Christoffel de las y’k tendremos que hacer:

(Γ'r ) = (Γ h ) − (C r + C r ) = 0 ⇒ (Γ r ) = (C r + C r )

pq pq pq qp pq pq qp0 0 0

y la solución más sencilla es1 (C pq = Cqp = )2

r r rΓpq 0

esto quiere decir que una solución del cambio de coordenadas propuesto en[03.1_1] es la transformación:

y'k = y k − y k + 1 (Γk ) (y i − y i )(y j − y j

),k = 1,...n0 ij 0 002

14

Page 15: CALCULO DIFERENCIAL ABSOLUTO

Corolario:

Una fundamental consecuencia de este teorema de determinación de latransformación que permite obtener un sistema de coordenadas geodésico, es quelas componentes de un tensor de cualquier orden de covarianza y contravarianza en

el sistema de coordenadas {y k } son en el punto M ( y k ) las mismas que

las

0 0

{y'k }componentes de covarianza y contravarianza del tensor en el sistemaklocalmente inercial en M 0 ( y0 ) .

Efectivamente:

No hay que hacer otra cosa que expresar que las matrices de transformación sonrealmente la delta de cronecker:

Sea el cambio tensorial para un tensor p-covariante q-contravariante dado por

i1...iq k1 kp i1 iq h1...hqt ' j1... jp = Aj1 ...Ajp .Bh1...Bhq

.tk1...kpken el punto M 0 ( y0 ) será:

( ) ( i1...iq )i1...iq k1 kp i1 iq h1...hqt ' j1... jp 0 = δ j1 ...δ jp .δ h1...δ hq

.tk1...kp

= t j1... jp 0

04.2. Resumen de la determinación práctica de un sistema de coordenadasgeodésico:

kSi queremos determinar un sistema localmente inercial en un punto M 0 ( y0 ) de

una variedad V ( y1 ,..., y n ) procederemos mediante los siguientes n

Determinamos las componentes del tensor métrico (g ) en el puntoa) ik n

kM 0 ( y0 ) pues quedan determinadas por las coordenadas en cada punto

de

la variedad (puede verse el ejemplo de variedades bidimensionales de Riemann en el apartado 01.2 de este trabajo, donde se ha determinado la

[(g ) ]ik n 0

b) A partir de las componentes de la métrica calculamos los símbolos dekChristoffel en el punto M 0 ( y0 ) :

1 ∂g jk ∂g ij ∂g (Γ ) = (ij, k ) .(g

) (ij, k ) 0 =

2 0

ik − ∂x k

k kh+ ∂x j ∂x i 0 0

c) Encontramos las coordenadas buscadas del sistema geodésico mediante laexpresión deducida en el teorema anterior:

y'k = y k − y k + 1 (Γk ) (y i − y i )(y j − y j

),k = 1,...n0 ij 0 02 0

15

Page 16: CALCULO DIFERENCIAL ABSOLUTO

04.TENSOR DE CURVATURA. TENSORES OBTENIDOS DESDE LA FORMACOVARIANTE DE RIEMANN

04.1.La derivada segunda covariante de un vector. Tensor de curvatura:

D jp v = D j

(

q )q q q qDp v = D j t p , (habiendo llamado t p = Dp v )

de lo cual, se tiene:

D v q = D t q = ∂ t q + t m Γq − t q Γm = ∂ (∂ vq + vh Γ q )+ (∂ v m + v h Γm )Γq − (∂ v q + v r

Γq )Γm =

jp j p j p p mj m pj j p hp p hp mj m rm pj

= ∂ v q + ∂ v h Γq + v h ∂ Γq + ∂

v m Γq + v h Γm Γq − ∂ vq Γm − v r Γq Γm

=jp j hp j hp p mj hp mj m pj rm pj

= [∂ + Γ m Γ q ]v h + [∂ v q +

− ∂ v q Γ m + v r Γ q Γ m ] =

Γ q v h Γ v m Γ + ∂j hp hp mj jp j hp p mj m pj rm pj

= [∂ + Γ m Γ q ]v h +

ΦΓ qj hp hp mj jp

Donde se ha llamado Φ = ∂ vq + ∂ v h Γq + ∂

vm Γq − ∂ v q Γm + vr Γq Γm , que es

unjp jp j hp p mj m pj rm pj

Φ jp = Φ pjtérmino simétrico respecto a los subíndices j y p, pues

Por tanto, la expresión de la derivada covariante absoluta de segundo orden deltensor de primer orden contravariante, puede expresarse por

D jp v = ∂ j Γhp + Γhp Γmj

v+ Φ jp

q h q m q q m r q m(Siendo Φ jp = ∂ jp v + ∂ j v Γhp + ∂ p v Γmj − ∂ m v Γpj + v Γrm

Γpj )Restando las expresiones en las que permutamos los subíndices de la derivacióncovariante:

D v q − D vq = [∂ Γq + Γm Γq ]vh + Φ −

[∂ Γq + Γm Γq ]vh − Φ =

jp pj j hp hp mj jp p hj hj mp pj

= ([∂ Γq + Γm Γq ]− [∂ Γq + Γm Γq ])vh = (∂

Γq

− ∂ Γq + Γm Γq − Γm Γq

)vh

j hp hp mj p hj hj mp j hp p hj hp mj hj mp

es decir, se tiene queq q q hD jp v − Dpj

v= Rh, jp v

R qAl tensor se le llama, al igual que en los espacios euclidianos, Tensor deh, jp

Curvatura, o, también, tensor de Riemann de cuatro índices y segunda especie:

Rh, jp = ∂ j Γhp − ∂ p Γhj + Γhp Γmj − Γhj

Γmp

16

q q q m q m q

q [ q m q ] h

Page 17: CALCULO DIFERENCIAL ABSOLUTO

04.2.Símbolos de Riemann de cuatro índices y primera especie:

Se define este tensor, que se conoce también como forma covariante de Riemann,por la expresión:

≡ (mj, hk ) = g

.Ri

Rmj , hk ij m, hk

= g ij .(mj, hk

)RiCumpliéndose obviamente que m, hk

04.3.El tensor de Ricci:

Se denomina Tensor de Ricci al tensor obtenido desde el Tensor reducido deRiemann de 2ª especie, esto es, del tensor de curvatura en el que el índice superior coincide con uno de los subíndices inferiores (contracción tensorial de índices):

kRij = Ri , kj

Expresión en función de los símbolos de Christoffel:

R = R a = g ab .(ib, as)is i ,as

04.4.La curvatura escalar de Riemann. La curvatura escalar de Gauss:

Llamamos Curvatura Escalar de Riemann a la contracción del Tensor de Riccimediante el tensor métrico:

R = g mk .Rmk

esta función escalar, definida en cada uno de los puntos de la variedad de Riemannes, como sabemos, nula en los espacios euclidianos.

Se llama Curvatura Escalar de Gauss a la magnitud obtenida desde la CurvaturaEscalar de Riemann por

RK =

n(n − 1)

La curvatura escalar permite expresar de una forma sencilla el tensor de Ricci enespacios de dos dimensiones:

R = g is R ⇒ g R = g g is Ris is is is

En dos dimensiones es g g is = 2 , [04.4_1], por lo cual:is

17

Page 18: CALCULO DIFERENCIAL ABSOLUTO

RRis = gis2Ris = K .gis

(R: curvatura escalar de Riemann, K: curvatura escalar de Gauss)

Nota: La relación [04.4_1] es inmediata en espacios de dos dimensiones:

g22 − gg12 − g

g21 + gg11 =g g is = g g11 + g g12 + g g 21 + g g 22 = is 11 12 21 22 11 12 21 22g g g g

2(g11 g22 g12 g21 )− 2g= = = 2

g g

04.5.Expresión de la forma covariante de Riemann en función del tensor métricoy de los símbolos de Christoffel:

= g (∂ Γq − ∂ Γq + Γm Γq − ΓmΓq ) =

Rq(hs, jp) = gsq h, jp sq j hp p hj hp mj hj mp

= g (∂ Γq + Γm Γq )− g (∂ Γq + ΓmΓq ) = g [∂ (hp, k )g kq + (hp, k )(mj, k ) g km

g kq ]−

sq j hp hp mj sq p hj hj mp sq j

− g [∂ (hj, k )g kq + (hj, k )(mp, k ) g km g kq ]= ∂ (hp, s ) − ∂ (hj, s ) + (hp, k )(mj,

s) g km −

sq p j p

− (hj, k )(mp, s) g km = ∂ (hp, s ) − ∂ (hj, s ) + g km [(hp, k )(mj, s) − (hj, k )

(mp, s)] =j p

= 1 (∂ g + ∂ g − ∂ g − ∂ g )+ g km [(hp, k )(mj, s) − (hj, k )(mp,

s)]hj ps sp hj sj hp hp js2

O sea:

(hs, jp) = 1 (∂ g − ∂ g )+ g km [(hp, k )(mj, s) − (hj, k )(mp,

s)]+ ∂ g − ∂ ghj ps sp hj sj hp hp js2

Nota: Se ha usado el hecho de que al ser D g kh = 0 también es ∂ g kh = 0 , que sej j

justifica cuando usamos las coordenadas geodésicas (ver sección 03), de lo cualresulta, por ejemplo, que

∂ Γq = ∂ [(hp, k ).g kq ]= g kq .∂ (hp,

k )

j hp j j

04.6. Expresión de la forma covariante de Riemann en un sistema decoordenadas localmente inercial:

Si estamos usando coordenadas geodésicas, la expresión de los símbolos deRiemann de cuatro índices y primera especie se reduce a

(hs, jp) = 1 (∂ g − ∂ g )+ ∂ g − ∂ ghj ps sp hj sj hp hp js2

esta relación permite obtener las relaciones de simetría de los símbolos de formasencilla:

18

Page 19: CALCULO DIFERENCIAL ABSOLUTO

1) (ij, rs ) = (rs, ij )

2) (ij, rs ) = −(ij, sr ) = −( ji, rs) = ( ji, sr ) ⇒ (ij, rr ) = 0, (ii, rs ) = 0

3) (ij, rs ) + (ir, sj ) + (is, jr ) = 0

Estas igualdades, por su carácter tensorial, no dependen del sistema de coordenadas elegido en la representación. El haber utilizado coordenadas geodésicas ha significado simplemente una reducción en la laboriosidad de los cálculos.

04.7. Propiedad de simetría para el tensor de Ricci:

Usando las propiedades de simetría de los símbolos de Riemann, podemosestablecer también la simetría del tensor de Ricci:

Ris = g .(ib, as ) = g .(as, ib) = g (sa, bi ) = Rs ,bi =

Rsi

ab ab ba b

esto quiere decir que al permutar los dos subíndices del tensor, queda invariante.

04.8. ٛ Cálculo del número total de símbolos de cuatro índices:

La ٛ determinación del número total de símbolos de Riemann de cuatro índices y primera especie es bastante laborioso, no obstante, utilizando las relaciones desimetría podemos reducir la dificultad de su cálculo.

Tengamos en cuenta que los símbolos no nulos cumplen que han de ser distintoslos primeros índices y también han de ser distintos los segundos índices:

(ij, rs ) ≠ 0 ⇒ i ≠ j, r ≠ s

Podemos calcular el número de parejas posibles, con los dos dígitos distintos, y, a continuación, el número total de combinaciones posibles para dos parejas. Al número total resultante es preciso restarle el número de relaciones de la forma 3) del apartado anterior, que han de tener distintos los cuatro índices, por lo que en total serian las combinaciones de n elementos tomados de cuatro en cuatro.

Se tiene, entonces:

n Número de parejas de índices distintos: φ =

2 φ φ

Número de combinaciones de dos parejas: ϕ = + (los de dos parejas2 1

distintas más los de dos parejas iguales)

n Número de las relaciones 3): ϕ ' =

4

19

Page 20: CALCULO DIFERENCIAL ABSOLUTO

En definitiva, el número total de símbolos no nulos:

φ φ n 1 1N = ϕ − ϕ ' = + − = φ (φ − 1) + φ − n(n − 1)(n − 2)(n − 3) =

= 1

φ (φ + 1) − n(n − 1)(n − 2)(n − 3) = 1

. 1

n(n − 1) 1

n(n − 1) + 1 − n(n − 1)(n − 2)(n −

3)

1 1 2 2 24 2 2 24

En definitiva simplificando la expresión:

1N = n 2 (n 2 −

12

Esto quiere decir, por ejemplo, que en una variedad ٛ bidimensional el número de símbolos no nulos de cuatro índices de Riemann es: N=1.

En un espacio tridimensional ٛ es N=6.

En un espacio de cuatro dimensiones encontramos que es N=20

04.9. Ejemplo de determinación de los tensores básicos en una variedadٛbidimensional de métrica esférica:

Supongamos que la variedad bidimensional V2 (u, v) está dotada de la métrica

1 0 (g ik )2 =

0

cos 2 (bu)

Calculemos:

a) Determinante de la matriz de Gramm:

g = cos 2 (bu)

b) Matriz inversa de Gramm:

1 cos 2 (bu) 0 1 0 ( ) =2g ik 1 =

0

cos −2 (bu)g 0

c) Elemento diferencial de longitud:

ds 2 = g du 2 dv 2 = (du, dv) 1

0 du du = (du, cos 2 (bu)dv) =

dv ik 0 cos 2 (bu) dv

= du 2 + cos 2 (bu).dv

d) Símbolos de Christoffel de primera especie:

20

Page 21: CALCULO DIFERENCIAL ABSOLUTO

(ij, k ) = 1 (∂

g

+ ∂ g − ∂ g )i jk j ik k ij2

= cos 2 (bu) , tenemos:g = 1, g = g = 0, gTeniendo en cuenta que 11 12 21 22

(11,1)=0 (21,1)=0

(11,2)=0 (21,2)=-b.cos(bu).sen(bu)

(12,1)=0 (22,1)=b.cos(bu).sen(bu)

(12,2)=-b.cos(bu).sen(bu) (22,2)=0

e) Símbolos de Christoffel de segunda especie:

= ( )k khΓij ij, h g

Aquí tendremos en cuenta los valores de los elementos de la matriz

Gramm g 11 = 1, g 12 = g 21 = 0, g 22 = cos −2 (bu) :inversa de

Γ1 = (11,1).g 11 + (11,2).g 12 = 0

= (11,1).g 21 + (11,2).g 22 = 0

= (12,1).g 11 + (12,2).g 12 = 0

= (12,1).g 21 + (12,2).g 22 = −b.tg (bu)

= (21,1).g 11 + (21,2).g 12 = 0

= (21,1).g 21 + (21,2).g 22 = −b.tg (bu)

= (22,1).g 11 + (22,2).g 12 = b. cos(bu).sen(bu)

11

Γ 211

Γ112

Γ 212

Γ121

Γ 221

Γ122

Γ 222

f) Tensor de Curvatura (Tensor de Riemann de 4 índices y segunda especie):

q q q m q m qRh, jp = ∂ j Γhp − ∂ p Γhj + Γhp Γmj − Γhj

Γmp

Los símbolos no nulos son:

1 = ∂ Γ1 − ∂ Γ1 + ΓmΓ1 − ΓmΓ1 = − 2R1,12 1 12 2 11 12 m1 11 m 2 b2 = ∂ Γ2 − ∂ Γ2 + ΓmΓ2 − ΓmΓ2 = b2R1, 21 2 11 1 12 11 m 2 12 m1

1 = ∂ Γ1 − ∂ Γ1 + Γm Γ1 − ΓmΓ1 = b2 .cos2

(R2,12 1 22 2 21 22 m1 21 m 2 bu)

1 = ∂ Γ1 − ∂ Γ1 + ΓmΓ1 − Γm Γ1 = −

b2 .cos2 (R2, 21 2 21 1 22 21 m 2 22 m1 bu)

g) Forma covariante de Riemann (Símbolos de 4 índices y primera especie):

(ij, rs ) =

gR kkj i ,rs

El único símbolo no nulo viene expresado por:

21

Page 22: CALCULO DIFERENCIAL ABSOLUTO

(12,12) = g R k R1 R 2 = −b 2 .cos 2

(bu)= g + gk 2 1,12 12 1,12 22 1,12

h) Tensor de Ricci:mRis = Ri ,mk

en este ejemplo solo son no nulos dos símbolos:

R = R 2 = b 211 1, 21

R = R1 = b 2 . cos 2

(bu)22 2,12

i) Curvatura escalar de Riemann:

R = g mk Rmk

R = g 11 R + g 22 R = 1.b 2 + cos −2 (bu).cos 2 (bu) = b 2 + b 2 = 11 22

j) Curvatura escalar de Gauss:

RK =

n(n − 1)

2

K = R

= 2b

= b 2

2 2

k) Comprobación de que se trata de una métrica esférica de radio 1/b:

ds 2 = g du 2 dv 2 = du 2 + cos 2 ik

Haciendo el cambio de variables:

ϕ = bu, ω = bv , se tiene: dϕ = bdu, dω = bdv , con lo cual, al sustituir:

2 21 1

cos 2 ϕ.dω 2 = 1

dϕ 2 + 1

ds 2 = dϕ 2 + cos 2 ϕ.dω 2

b 2 b 2 b b

y la matriz métrica resultante es

2

1

0 b= (g )

cos 2 ϕ

ik 2 2 1

0

b

que, como hemos visto en la página 4, corresponde a una métrica esférica de radio

r = 1

.b

22

Page 23: CALCULO DIFERENCIAL ABSOLUTO

05.LA IDENTIDAD DE BIANCHI

05.1. La obtención de la Identidad de Bianchi:

Se verifica, para la derivación covariante absoluta del tensor de curvatura, unarelación consistente en permutar circularmente tres índices, el de la derivación parcial y los dos subíndices secundarios del tensor. Esta relación aditiva se conocecomo Identidad de Bianchi:

k k k∂ t Ri ,rs + ∂ r Ri ,st + ∂ s Ri ,tr = 0

Por simplicidad, podemos obtener la relación partiendo de la expresión encoordenadas geodésicas del tensor de curvatura, ya que al tratarse de una relación tensorial no depende del sistema de coordenadas que se utilice.

k k kRi ,rs = ∂ r Γis − ∂ s

Γir

Escribimos la derivada con respecto a la varible xt:

k k k∂ t Ri ,rs = ∂ rt Γis − ∂ st

Γiry, permutando subíndices:

k k k∂ r Ri ,rs = ∂ tr Γis − ∂ sr

Γitk k k∂ s Ri ,tr = ∂ ts Γir − ∂ rs

Γit

Si sumamos las tres igualdades:

( k )k k k k k k k∂ t Ri ,rs + ∂ r Ri ,ts + ∂ s Ri ,tr = 2∂ rt Γis − 2∂ rs Γit = 2 ∂ rt Γis − ∂ rs Γit = 2∂ r Ri ,ts

por tanto:k k k∂ t Ri ,rs − ∂ r Ri ,ts + ∂ s Ri ,tr =

0finalmente, por la propiedad de cambio de signo al permutarsecundarios del tensor de curvatura:

los dos subíndices

k k k∂ t Ri ,rs + ∂ r Ri ,st + ∂ s Ri ,tr = 0

05.2. Teorema:

Se verifica la relación:1aDa Rs = ∂ s R2

donde es R a el tensor contraido de Ricci mediante el tensor métrico, R a = g ia .R , s

R es la curvatura escalar de Riemann.s is

23

Page 24: CALCULO DIFERENCIAL ABSOLUTO

En efecto:

Si hacemos k=r=a en la Identidad de Bianchi, se tiene:

a a a∂ t Ri ,as + ∂ r Ri ,st + ∂ s Ri ,ta = 0

o bien reordenando índices del tercer sumando:

a a a∂ t Ri ,as + ∂ r Ri ,st − ∂ s Ri ,at = 0con lo cual queda:

a∂ t Ris + ∂ a Ri ,st − ∂ s Rit = 0o bien:

∂ t Ris + ∂ g (ib, st ) − ∂ s Rit =

0

aba

si, con objeto de contraer uno de los tensores de Ricci que figuran en la expresión, multiplicamos toda la expresión por git y tenemos en cuenta que por un resultado anterior es Dtg

it=0, se tiene:

+ ∂ g g (ib, st ) − ∂ g Rit =

0

it ab it it∂ g Rt is a s

t ab t∂ t Rs + ∂ a g Rb,st − ∂ s R = 0

t ab t∂ t Rs − ∂ a g Rb,ts − ∂ s R = 0

t ab∂ t Rs + ∂ a g Rsb − ∂ s R = 0

t a∂ t Rs + ∂ a Rs − ∂ s R = 0

y queda, finalmente:

1a a2∂ a Rs − ∂ s R = 0 ⇒ ∂ a Rs = ∂ s R2

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Page 25: CALCULO DIFERENCIAL ABSOLUTO

06.TENSOR DE EINSTEIN. ESPACIOS DE EINSTEIN

06.1. Definición del Tensor de Einstein:

EisSe define el Tensor de Einstein como el tensor

Ricci por la expresión:

obtenido desde el Tensor de

1Eis = Ris − R.g is2

a iaque podemos expresar como un tensor de segundo orden mixto: Es = g Eis

Es inmediato que en los espacios de Riemann de dos dimensiones, R2, el Tensor deEinstein es idénticamente nulo.

E = R − 1

R.g = k.g − 1

R.g = 1

R.g − 1

R.g = 0is is is is is is is2 2 2 2

06.2. Teorema:

La derivada covariante del tensor mixto de Einstein es nula:

D E a = 0a s

En efecto:

1 1Siendo Es = g Eis = g Ris − R.g gis = Rs − R.δ s

a ia ia ia a a

2 2

La derivada covariante será:

D E a = D Ra − 1

δ a D R = D Ra − 1

D R = 1

D R − 1

D R =

0

a s a s s a a s s s s2 2 2 2

06.3. Espacios de Einstein:

Se define un Espacio de Einstein como un espacio de Riemann en donde el tensorde Ricci es el producto de una función escalar por el tensor métrico:

Ris = φ.g is

En los espacios de Riemann de dos dimensiones sabemos que se verifica que el tensor de Ricci es

25

Page 26: CALCULO DIFERENCIAL ABSOLUTO

1Ris = R.g is2

siendo R la curvatura escalar de Riemann, por lo que podemos afirmar que estosespacios son casos particulares de espacios de Einstein.

06.4. Expresión de los tensores de Ricci e Einstein en un espacio de Einstein:

De la definición de curvatura escalar de Riemann,dimensional:

se tiene, en un espacio n-

R = g Ris = g φ.gis = φg gis = φnis is is

por tanto es φ = 1

R .n

1El tensor de Ricci es, en un espacio de Einstein n-dimensional: Ris =

n .R.gis

Y el tensor de Einstein:

1 1 1 1 Eis = n

R.gis − 2

R.gis = n

− 2

.R.gis

06.5. La curvatura escalar de Riemann en un espacio de Einstein:

En todo espacio de Einstein, En, con n>2, se verifica que la curvaturaRiemann es constante.

escalar de

En efecto:

1de ser Ris =

n .R.gis en un espacio de Einstein, se tiene la expresión del tensor

mixto de Ricci de la forma:

1 1a ia ia sRs = g .Ris = n

.R.gis g = n

R.δ a

derivando:1 1a s∂ a Rs = ∂ a R.δ a = ∂ s Rn n

1ay puesto que en todo espacio de Riemann es ∂ a Rs = ∂ s R2

R a = 1

∂ R = 1

∂ R ⇒ 1

− 1

.∂ R = 0 ⇒ ∂ R =

0

se tiene que ∂ a s s s s s2 n 2 n

es decir, la curvatura escalar de Rieman, R, es constante en los espacios deEinstein.

26

Page 27: CALCULO DIFERENCIAL ABSOLUTO

06.6. Teorema de Schur:

Todo espacio riemanniano en el que se satisfacen, para alguna función escalar φ,las igualdades:

(ij, rs) = φ.(g g − g g )ir js jr is

Es un espacio de Einstein, en donde

φ = −R

n(n − 1)

En efecto:

Multiplicamos la expresión dada por gaj, al objeto de contraer tensores:

g aj (ij, rs ) = φ.g aj (g g − g g ) = φ.(g

) = φ.(g δ a − δ a g

)g aj g g aj g− gir js jr is ir js jr is ir s r is

o sea:

( − δ r gis )a a aRi ,as = φ. girδ

ssi hacemos r=a:

= R = φ.(g δ a − δ a g ) = φ.(g − n.g ) = − g .φ.(n −

1)Rai , as is ia s a is is is is

es decir, Ris = −φ.(n − 1).gis , por lo que se trata de un espacio de Einstein.

1Y como en estos espacios se cumple que Ris =

n .R.gis , se tiene:

R = 1

.R.g = −φ.(n − 1).g ⇒ φ =

Ris is is n(n − 1)n

O sea:

φ = −K

(donde K representa a la curvatura escalar de Gauss)

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