calculo diferencial

COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTFICOS Y TECNOLGICOS

DEL ESTADO DE SONORA

Mdulo de aprendizaje

CLCULO DIFERENCIAL Hermosillo, Sonora. Enero de 2015.

Estimado Estudiante del Colegio:

Te invito a que consideres el estudio como una gran oportunidad para ingresar al

maravilloso y bello mundo del saber, de tal forma que cuando explores ste libro que

tienes en tus manos, aproveches cada prrafo que lees, enorgullcete de ello, disfruta

su contenido, suea, reflexiona y constryete a partir de lo que comprendes logrando la

fuerza, el valor y el poder para encender la antorcha del pensamiento que te traslade al

saber.

Educar Para Competir, es un gran compromiso que el Gobernador del Estado, Lic.

Guillermo Padrs Elas ha asumido, con el propsito de elevar la calidad de la

educacin en Sonora, mediante la articulacin de un sistema educativo enfocado en el

desarrollo integral de los estudiantes que permita a travs de la promocin del

aprendizaje adquirir competencias bsicas para la vida. Por su parte el Colegio de

Estudios Cientficos y Tecnolgicos del Estado de Sonora, te apoya con las

herramientas necesarias y bsicas enfocados en mdulos de aprendizaje,

convirtindose en un compromiso solidario que fructificar al realizarte como un

estudiante ntegro, capaz de transformarse para s mismo y para los dems.

Por ltimo, te invito a que adquieras habilidades comunicativas mediante el hbito de la

lectura, que aprendas a reflexionar y tomar decisiones que transformen tus

pensamientos y seas libre para elegir el camino que te dar seguridad, para as

transitar como una persona de bien a lo largo de tu vida.

Con afecto

Mtro. Martn Alejandro Lpez Garca

Director General

COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTFICOS Y

TECNOLGICOS DEL ESTADO DE SONORA

Direccin Acadmica

Subdireccin de Desarrollo Acadmico

Departamento de Desarrollo Curricular

Clculo Diferencial

Mdulo de aprendizaje

Cuarto semestre

Elaboradores

Imelda Guadalupe Villegas Gocobachi

Jorge Luis Figueroa Arce

Ranulfo Gonzlez Olivas

Isidro Valenzuela Miranda

Ma. Asuncin Santana Rojas

Supervisin acadmica

Mara Asuncin Santana Rojas

Ana Rocio Villa Quintal

Mara Anglica Gonzlez Castan

Edicin y diseo

Miguel ngel Velasco Gonzlez

Coordinacin tcnica

Ana Lisette Valenzuela Molina

Coordinacin general

Jos Francisco Bracamonte Fuentes

Copyright , 2015 por Colegio de Estudios Cientficos y

Tecnolgicos del Estado de Sonora

Todos los derechos reservados

Directorio

MTRO. Martn Alejandro Lpez Garca

Director General

DR. Jos Francisco Bracamonte Fuentes

Director Acadmico

ING. Jos Francisco Arriaga Moreno

Director Administrativo

L.A.E. Martn Francisco Quintanar Lujn

Director de Finanzas

M.C. Jos Carlos Aguirre Rosas

Director de Planeacin

LIC. Jess Andrs Miranda Cota

Director de Vinculacin

C.P. Olga Mara Gonzlez Castan

Director del rgano de Control

Nombre _____________________________________________

Plantel _______________________________________________

Grupo ______ Turno _________ Telfono __________________

Correo Electrnico _____________________________________

Domicilio _____________________________________________

Datos del alumno

Ubicacin Curricular

Componente:

Formacin Bsica

Campo de Conocimiento:

Matemticas

Crditos:

8

Horas:

4 HSM

Asignatura Antecedente:

Ninguna

Asignatura Consecuente:

Clculo Integral

ESTRUCTURA GENERAL DE LA ASIGNATURA DE CLCULO DIFERENCIAL

Clculo Diferencial

Pre clculo

Nmeros reales

Intervalos

Desigualdades

Dominio y contra dominio.

Clasificacin.

Operaciones

Lmite de una funcin.

Propiedades

Continuidad de una

funcin.

Razn de cambio

promedio de

interpretacin geomtrica.

Derivacin de funciones

Derivadas sucesivas

Comportamiento

Funciones

Lmites

Derivada

7

NDICE

Presentacin. 9

Recomendaciones para el alumno 10

Competencias 11

Unidad I. PRECLCULO. 13

1.1. Interpreta a los nmeros reales como la necesidad de representa la solucin de un problema de su entorno. 15

1.1.1. Clasifica los subconjuntos de los nmeros reales. 17

1.1.2. Aplica las propiedades de los nmeros reales para resolver diversas situaciones del entorno 17

1.2. Argumenta la solucin de problemas de su contexto por medios grficos y analticos que incluyen la solucin de una desigualdad. 24

1.2.1. Argumenta la solucin de un problema por medio de un conjunto de soluciones en el sistema unidimensional 24

1.2.2. Interpreta las propiedades de las desigualdades. 29

1.2.3. Contrasta matemticamente las magnitudes del espacio en el sistema unidimensional 29

1.3. Argumenta la solucin de problemas de su contexto que involucran la representacin analtica y grfica de funciones en el plano cartesiano 43

1.3.1. Interpreta los elementos de una funcin como la necesidad de relacionar dos variables que explican el comportamiento de un problema social o natural. 43

1.3.2. Formula y resuelve problemas que involucran los trminos de dos o ms funciones dadas. 58

1.3.3. Explica o resuelve problemas mediante la interpretacin de tablas y grficas de funciones que representan un problema social o natural. 66

Instrumentos de evaluacin 87

Unidad II. DERIVADA 89

2.1. Argumenta la solucin obtenida de un problema con mtodos numricos, grficos, analticos o variacionales, mediante lenguaje

93

8

verbal y matemtico.

2.1.1. Interpreta los lmites como la necesidad de explicar un problema donde se involucra la tendencia de un valor dado. 93

2.1.2. Interpreta la continuidad de una funcin como la existencia del lmite de una funcin 103

2.2. Interpreta la derivada en trminos de los lmites laterales y su interpretacin grfica y aplique las propiedades de los mismos en la determinacin del lmite de una funcin. 106

2.2.1. Interpreta la existencia de la derivada como la aproximacin de la pendiente de una recta secante 106

2.2.2. Resuelve problemas de la derivada aplicando modelos establecidos 110

2.2.3. Resuelve problemas relacionados con la derivada de orden superior 121

2.2.4. Explica problemas sociales o naturales mediante la interpretacin grfica o el comportamiento de una funcin desde el punto de vista de la derivada

Instrumentos de evaluacin 150

Claves de respuestas de las autoevaluaciones. 152

Glosario 153

Referencias 155

9

PRESENTACIN

El Colegio de Estudios Cientficos y Tecnolgicos del Estado de Sonora, comprometido con la calidad educativa, ha implementado acciones que apoyan tu desarrollo acadmico, siendo una de estas, la elaboracin del presente mdulo de aprendizaje, el cual pertenece a la asignatura de Clculo Diferencial, que cursars durante este cuarto semestre.

La asignatura de Clculo Diferencial, tiene como propsito desarrollar la capacidad del razonamiento matemtico a partir de la resolucin de problemas de la vida cotidiana dentro y fuera del contexto matemtico, representados por modelos matemticos (funciones) mediante el anlisis e interpretacin de procesos finitos que involucren razn es de cambio.

Para lograr lo anterior, ste mdulo de aprendizaje se conforma de tres unidades, descritas a continuacin:

UNIDAD I. Pre clculo

UNIDAD II. DERIVADA

En el contenido de estas unidades, se relaciona la teora con la prctica, a travs de ejercicios, encaminados a apoyarte en el desarrollo de las competencias requeridas para los alumnos que cursan esta asignatura.

Seguros de que hars de este material, una herramienta de aprendizaje, te invitamos a realizar siempre tu mayor esfuerzo y dedicacin para que logres adquirir las bases necesarias, para tu xito acadmico.

10

RECOMENDACIONES PARA EL ALUMNO

El presente mdulo de aprendizaje, representa un importante esfuerzo que el Colegio de

Estudios Cientficos y Tecnolgicos del Estado de Sonora, ha realizado, para brindarte los

contenidos que se abordarn en la asignatura de Clculo Diferencial.

Los contenidos de Clculo Diferencial, sern abordados a travs de diversos textos, ejercicios,

evaluaciones, entre otras actividades. Cabe mencionar, que algunas de las actividades

propuestas las debers realizar de manera individual mientras que en algunas otras,

colaborars con otros compaeros formando equipos de trabajo bajo la gua de tu profesor.

Para lograr un ptimo uso de este mdulo de aprendizaje, debers:

Considerarlo como el texto rector de la asignatura, que requiere sin embargo, ser

enriquecido consultando otras fuentes de informacin.

Consultar los contenidos, antes de abordarlos en clase, de tal manera que tengas

conocimientos previos de lo que se estudiar.

Participar y llevar a cabo cada una de las actividades y ejercicios de aprendizaje,

propuestos.

Es muy importante que cada una de las ideas propuestas en los equipos de trabajo,

sean respetadas, para enriquecer las aportaciones y lograr aprendizajes significativos.

Considerarlo como un documento que presenta informacin relevante en el rea de las

Matemticas, a ser utilizado incluso despus de concluir esta asignatura.

Identificar las imgenes que te encontrars en los textos que maneja el mdulo de

aprendizaje, mismas que tienen un significado particular:

11

COMPETENCIA DE LA ASIGNATURA

Genricas:

Disciplinarias:

Enfrenta las dificultades que se le presentan y es consciente de sus valores, fortalezas y debilidades.

Identifica sus emociones, las maneja de manera constructiva y reconoce la necesidad de solicitar apoyo ante una situacin que lo rebase.

Analiza crticamente los factores que influyen en su toma de decisiones Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingistas, matemticas o

grficas Maneja las tecnologas de la informacin y la comunicacin para obtener informacin y

expresar ideas. Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cmo cada

uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo Elige las fuentes de informacin ms relevantes para un propsito especfico y

discrimina entre ella de acuerdo a su relevancia y confiabilidad. Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los

que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo Propone maneras de solucionar un problema o desarrollar un proyecto en equipo,

definiendo un curso de accin con pasos especficos.

Que el estudiante participe articulando conocimientos de diversas disciplinas, identifique

sus relaciones, (sistemas y reglas o principios medulares) para estructurar ideas,

argumentos, y dar solucin a problemas surgidos de la actividad humana como:

distribucin inequitativa de los recursos econmicos, propagacin rpida de enfermedades,

entre otros; y de los fenmenos naturales (cambio climtico, contaminacin por emisin de

gases, etc.); aplicando el razonamiento, el anlisis e interpretacin de procesos finitos que

involucren razones de cambio.

Construye e interpreta modelos matemticos mediante la aplicacin de procedimientos aritmticos, geomtricos y variacionales, para la comprensin y anlisis de situaciones

Formula y resuelve problemas matemticos, aplicando diferentes enfoques Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemticos y los

contrasta con modelos establecidos o situaciones reales Argumenta la solucin obtenida de un problema con mtodos numricos, grficos,

analticos o variacionales, mediante lenguaje verbal, matemtico y el uso de las tecnologas de de la informacin y la comunicacin

Analiza la relaciones entre dos o ms variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento

Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemticamente las magnitudes del espacio y las propiedades fsicas de los objetos que lo rodean

Interpreta tablas, grficas, mapas, diagramas y textos con smbolos matemticos y cientficos

13

Unidad I PRE-CLCULO

14

COMPETENCIA

Argumenta distintas problemticas de su contexto; por medios grficos que incluyan la

representacin de figuras en sistemas de coordenadas unidimensionales y bidimensionales.

TEMARIO

1.1 Interpreta a los nmeros reales como la necesidad de representa la solucin de un problema de su entorno.

1.1.1 Clasifica los subconjuntos de los nmeros reales.

1.1.2 Aplica las propiedades de los nmeros reales para

resolver diversas situaciones del entorno

1.2 Argumenta la solucin de

problemas de su contexto por

medios grficos y analticos que

incluyen la solucin de una

desigualdad.

1.2.1 Argumenta la solucin de un problema por medio

de un conjunto de soluciones en el sistema

unidimensional.

1.2.2 Interpretar las propiedades de las desigualdades.

1.2.3 Contrasta matemticamente las magnitudes del espacio en el sistema unidimensional

1.3 Argumenta la solucin de problemas de su contexto que involucran la representacin analtica y grfica de funciones en el plano cartesiano

1.3.1 Interpreta los elementos de una funcin como la necesidad de relacionar dos variables que explican el comportamiento de un problema social o natural.

1.3.2 Formula y resuelve problemas que involucran los trminos de dos o ms funciones dadas.

1.3.3 Explica o resuelve problemas mediante la interpretacin de tablas y grficas de funciones que representan un problema social o natural.

15

x

y

Sesin 1

A continuacin se te presentan una serie de preguntas de opcin mltiple relacionadas con operaciones bsicas y algunos temas de lgebra que profundizars con ms detalle a lo largo a las actividades del cuaderno de

trabajo. Esfurzate por contestarlas subrayando la respuesta correcta. Las respuestas podrs encontrarlas al final del cuaderno de trabajo.

1.- Cul de los siguientes nmeros es el ms pequeo?

0.005 0.5 0.05 5.55 -0.5 -0.6 -1

2.- Las letras P, Q, S y W representan puntos distintos en la recta numrica. Si P < Q, S W y

Q = 2W Cul de los puntos representa al nmero ms pequeo?

3.- Cul de las siguientes expresiones representa a un nmero natural?

0.25 1+ -3

4.- Cul de los siguientes nmeros tiene expansin decimal finita?

4/9 1/7 4/11 24/5 2/13

5.- Cul es el perodo de la expansin decimal de 1/7?

6.- Localiza los siguientes puntos en el plano coordenado que se te anexa.

A( -2, 3)

B( 5 ,-1)

C( 0, 4)

D( -3 ,-3)

E( 5, 0)

F( 4 ,-2)

16

UNIDAD 1: PRE- CLCULO

Argumenta distintas problemticas de su contexto; por medios grficos que incluyan la representacin de figuras en sistemas de coordenadas unidimensionales y bidimensionales.

Contenidos Relacionados

Facticos Disciplinares Actitudinales

Nmeros reales y su clasificacin, intervalo, funcin, clasificacin de funciones, dominio, rango

Identifica los nmeros reales de acuerdo a sus propiedades de cerradura operacional y expansin decimal, determina el conjunto de soluciones de una desigualdad, identifica a una funcin por su representacin algebraicas, describe una funcin en forma grfica, realiza operaciones con funciones

Trabaja de manera colaborativa. Se comunica de forma oral y escrita Se conduce con respeto y entrega trabajos responsablemente.

Competencias genricas Competencias Disciplinares

Se conoce y valora a s mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilizacin de cdigos y herramientas apropiadas

Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemticamente las magnitudes del espacio y las propiedades fsicas de los objetos que lo rodean.

Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

Argumenta la solucin obtenida de un problema con mtodos numricos, grficos, analticos o variacionales, mediante lenguaje verbal, matemtico y el uso de las tecnologas de la informacin y la comunicacin.

17

1.1. Interpreta a los nmeros reales como la necesidad de representa la solucin

de un problema de su entorno..

Identifica los subconjuntos de los nmeros reales

Comprende las propiedades de los nmeros reales para resolver desigualdades de primer y segundo grado con una incgnita

Procesa e interpreta datos

Elige las fuentes de informacin ms relevantes para un propsito especfico y discrimina entre ella de acuerdo a su relevancia y confiabilidad.

Representa e interpreta conceptos en forma numrica, geomtrica, algebraica y verbal

1.1.1 Clasifica los subconjuntos de los nmeros reales.

1.1.2 Aplica las propiedades de los nmeros reales para resolver diversas

situaciones del entorno.

El clculo est basado en el sistema de los nmeros reales y sus

propiedades. Pero, cules son los nmeros reales y cules son sus

propiedades? Para dar respuesta a esta cuestin, comenzamos con los sistemas numricos

que ms se utilizan. (J. PURCELL EDWIN, 2007)

Un conjunto es una coleccin de objetos a los cuales se le llama elementos del conjunto. Si A

es un conjunto, la notacin x A expresa que x es un elemento de A y x A expresa que x no

es elemento de A.

Si todo elemento de un conjunto A tambin es un elemento de un conjunto B, entonces A es un

subconjunto de B, lo cual se denota por .A B

Conjunto de nmeros naturales:

El primer conjunto de nmeros, consisti en un conjunto infinito de nmeros ntimamente

relacionados con la necesidad de contar o de enumerar objetos. Este conjunto recibe el nombre

de nmeros naturales y se denota por la letra Cuyos elementos son:

Debido a que la sustraccin o resta no est completamente definida en este conjunto ya que no

se aceptaban sustracciones como 2- 2 o 3 6 ya que sus resultados representaban nmeros

que no pertenecan al conjunto de los nmeros naturales; el ser humano tuvo la necesidad de

agregar nuevos nmeros como el cero y nmeros negativos; y de aqu naci el siguiente

conjunto numrico.

18

Los nmeros naturales se pueden sumar y multiplicar, pero no todos se pueden restar o dividir.

Es por esto que se hace necesaria una extensin del conjunto de los nmeros naturales a otro

conjunto ms grande y que incluya a stos, esta completitud genera el conjunto de los nmeros

negativos. Los nmeros naturales junto con los negativos formarn el conjunto de los nmeros

enteros.

Conjunto de nmero enteros:

El nuevo conjunto se llama nmeros enteros; se denotan por la letra Z, letra que tiene sus

orgenes en el vocablo alemn y proviene de la palabra zahl o zahlen que significa nmero o

cantidad.

Este conjunto est compuesto por tres conjuntos; el primero corresponde a los nmeros

naturales, tambin conocidos como enteros positivos y se representan por:

El segundo es el conjunto formado por un solo elemento; el cero {0}

Por ltimo el conjunto de los enteros negativos el smbolo indica que los nmeros se extienden infinitamente hacia la izquierda tambin se nombra como menos

infinito.

De esta manera, el conjunto de los nmeros enteros, se representa as:

Aqu puedes darte cuenta que los naturales es un subconjunto de los enteros, esto es;

En este nuevo conjunto de los enteros las operaciones de suma y resta estn bien definidas, ya

que se pueden sumar o restar cualquier par de nmeros enteros y el resultado sigue siendo un

nmero entero. Esta propiedad en las operaciones recibe el nombre de cerradura de las

operaciones. Al igual que la suma y resta; la multiplicacin tambin est bien definida dentro de

este conjunto; por lo que se puede decir que la multiplicacin es cerrada en los enteros.

No obstante; la divisin entre nmeros enteros no siempre resulta un nmero entero; por

ejemplo, al realizar la divisin 5

2; su resultado no pertenece al conjunto de los nmeros enteros.

En otras palabras la divisin no tiene la propiedad de cerradura Por qu?

Por tal motivo surgi la necesidad de construir un conjunto numrico mayor que incluyera tanto

a los enteros como aquellos nmeros cuya divisin no resultaba un nmero entero; agregando

todos aquellos nmeros que se podan expresar como cociente de cualquier par de nmeros

enteros; todos aquellos nmeros de la forma: a

b siendo a y b dos nmeros enteros; donde b

es distinto de cero ( 0b ).

19

Este nuevo conjunto infinito que se representa con la letra , la cual se deriva de la palabra

Quotient que significa cociente, recibe el nombre de conjunto de los nmeros racionales.

El conjunto de los nmeros racionales se representa de la siguiente manera:

A continuacin se dan algunos ejemplos de nmeros racionales:

1946 1 3 5 23 12 18 14, 0, 19.46 , 0.3333... 0.3 , , , , , , 0.142857

100 3 2 7 4 6 1 7

La barra o testa indica que la sucesin de dgitos se repite sucesivamente.

Los enteros son un subconjunto de los racionales, esto es; .

El siguiente diagrama nos ilustra los conjuntos antes mencionados

Una caracterstica de los nmeros racionales es que su parte decimal es cero (en el caso de

los nmeros enteros), o tienen expansin decimal finita, por ejemplo: 235

23.510

; o bien infinita

peridica, por ejemplo: 13

1.18181818...11

.

En este conjunto de los nmeros racionales, las operaciones de suma, resta, multiplicacin, divisin y potenciacin (potencias) son cerradas; porque siempre resulta un nmero racional. Sin embargo la radicacin (races) de nmeros racionales no siempre resulta un nmero

racional; por lo tanto esta operacin no es cerrada como el caso de 2, 3, 5 cuyos

resultados nos dan una expansin decimal infinita peridica.

Conjunto de nmeros irracionales:

Los nmeros irracionales son aquellos nmeros que no se pueden poner como el cociente de dos nmeros enteros, siendo diferente de cero el denominador. Se denotan por la letra .

De lo anterior, se tiene que el conjunto de los nmeros irracionales, se expresa as:

20

A continuacin se dan algunos ejemplos de nmeros irracionales:

3 122 1.414213562373095..., 3 , 5, 7, , , 23.2784..., 8 e

Los nmeros irracionales tienen la caracterstica de que su expansin decimal es infinita no peridica.

Existen dos nmeros irracionales que se utilizan mucho en las matemticas y en la fsica; los cuales son: el nmero pi = 3.1415926535897932384626433832795... ; y el nmero (e) cuyo

valor es igual a 2.7182818284590452353602874713527, llamado nmero de Euler.

Conjunto de los nmeros reales:

Este conjunto est formado por la unin de los conjuntos de los nmeros racionales con el de

los irracionales . Se denotan por la letra

Algunos ejemplos, de nmeros reales de la infinidad que existen, se muestran a continuacin:

151 2 2912.35, 0.11111..., 3, , , 2.153846, , 1456, 100, , , , 23.651278..., 2004 2 3 e e

Se pueden colocar o poner en un diagrama1 al conjunto de los

nmeros reales; as como la relacin que guarda con los

diferentes conjuntos numricos, lo cual queda de la siguiente

manera. Grfico: nmeros reales2

Cules nmeros del siguiente conjunto H son: (a) naturales, (b) enteros, (c) racionales y (d) irracionales?

7 3 10, 6, , , 0, 15 , , 8, 265

2 2 8 3

H

1 Fuente: OEI, tema 5 nmeros reales

Diagrama: nmeros reales

Tema 5: Los

nmeros

reales

21

Sesin 2

En los ejercicios siguientes, determina si el nmero real dado es racional

1. 0

0.7 ____ 2.

22

7

22

7 ___

3. -

-2769 ____ 4. 3 64

3 64 ____

5. 3

2

3

2 ____

6. 0.3

0.3 ____

7. 3 2 1

3 2 1 ____

8. 1

23.76908761 ____

9. 4.3451

4.3451 ____

10. 0

0 ____

Propiedades de los nmeros reales

En el conjunto de los nmeros reales existen propiedades algebraicas, tambin llamadas de campo y propiedades de orden; cuya clasificacin se te muestra abajo, as como tambin su significado.

En este sistema se definen dos operaciones, la suma (+) y el producto ( ) que cumplen con las propiedades algebraicas o de campo, existe adems un subconjunto ( que cumple con las propiedades de orden.

PROPIEDADES ALGEBRAICAS O DE CAMPO

1) Cerradura o clausurativa.

Si entonces y

2) Conmutativa.

3) Asociativa.

22

4) Distributiva del producto con respecto a la suma.

5) Existencia y unicidad del neutro o idntico aditivo.

Existe en un elemento nico que

denotaremos por (0) y que llamaremos cero, neutro aditivo o idntico aditivo, tal que para toda

6) Existencia y unicidad del neutro o idntico multiplicativo.

Existe en un elemento nico que

denotaremos por (1) y que lo llamaremos uno, neutro multiplicativo o idntico multiplicativo, tal que para toda

7) Existencia y unicidad de inverso aditivo.

Para todo , existe un nico

elemento que llamaremos su inverso aditivo, que denotaremos por (-a), tal que;

8) Existencia y unicidad de inverso multiplicativo.

Para todo existe un nico elemento que llamaremos su inverso multiplicativo, que

denotaremos por 11

aa

, tal que; 1a a a 1

a1.

A partir de estas ocho propiedades se puede deducir toda el lgebra de los nmeros reales, as

como tambin: la resta, la divisin, leyes de los signos, exponentes, leyes de los exponentes,

factorizacin, ecuaciones lineales, etctera.

Investiga la propiedad de la tricotoma de los nmeros reales, as como tambin la propiedad

transitiva.

Desigualdades

Propiedades de

los nmeros

reales

Algebraicas o

de campo

De orden

Conmutativa

Asociativa

Distributiva

Neutro Aditivo

Cerradura

Neutro

Multiplicativo

Inverso Aditivo

Inverso

Multiplicativo

a < b

a > b

23

Contesta correctamente cada una de las siguientes proposiciones. Esta actividad se evaluar con la lista de cotejo que se encuentra al

final de la unidad. 1.- A qu conjuntos numricos pertenece el nmero cero? _______________ 2.- Este tipo de nmero se caracteriza por que tiene expansin decimal infinita no peridica. _____________________ 3.- El conjunto de nmeros como {2, 4, 6, 8} recibe el nombre de nmeros ______________ y es un subconjunto propio de los nmeros________________ 4.- El conjunto de los nmeros como {1, 3, 5, 7...} recibe el nombre de nmeros__________________ 5.- 2+4 = 4+2 y (2)(5) = (5)(2) es un claro ejemplo de la propiedad _____________ de los nmeros reales.

6.- 3(45) = 3(40+5)= 3(40)+3(5) es un ejemplo de la propiedad________________ de los nmeros reales.

7.- Si comparamos dos nmeros reales a y b puede resultar cualquiera de los siguientes casos:

a < b, ab a = b esta propiedad se llama propiedad de__________________.

8.- Al expresar 4(59) = 4(60-1)=4(60)-4(1) estamos utilizando la propiedad ______________de los nmeros reales. 9. Este diseo de una pieza3 mecnica que se elabora en el laboratorio muestran varios orificios que se encuentran a la misma distancia entre s, Cul ser la distancia entre centros de los orificios?

3 Fuente: SEP. Documento de matemticas I

5 m 5 m 20 m

24

Sesin 3

1.2. Argumenta la solucin de problemas de su contexto por medios

grficos y analticos que incluyen la solucin de una desigualdad.

Identifica las propiedades de orden para resolver problemas de desigualdades

Determina el conjunto solucin de una desigualdad

Resuelve desigualdades

1.2.1 Argumenta la solucin de un problema por medio de un conjunto de soluciones en el sistema unidimensional.

Las propiedades de orden nos ayudan a conocer que conjunto de datos es mayor o menor que otro. El orden de los nmeros es la base de la recta numrica y de los sistemas de coordenadas con lo cual podemos establecer intervalos, grficas.

Definicin. (Nmero real positivo): A + se le llama conjunto de los nmeros reales positivos,

y s + ; esto tambin se puede denotar por 0x > .

PROPIEDADES DE ORDEN

En los nmeros reales, existe un subconjunto, al cual se le llama nmeros positivos, los

cuales satisfacen lo siguiente:

a) Si existe un nmero Real x se cumple una y solo una, de estas tres afirmaciones:

0;x

x es positivo ( 0)x ;

- x es positivo ( 0x ).

b) La suma de dos nmeros positivos es positivo.

Si 0 0x y y , entonces ( ) 0x y

c) El producto de dos nmeros positivos es positivo.

Si 0 0x y y , entonces 0x y

Definicin. (< y >): Los smbolos < (es menor que) y > (es mayor que) se definen de la

siguiente manera:

, , si y slo si es positivo ( 0)

, , si y slo si es positivo (a>b a-b>0)

a b a b b a a b b a

a b a b a b

25

Del mismo modo, se tiene la siguiente definicin.

Definicin. ( y ): Los smbolos < (es menor que) y > (es mayor que) se definen de la

siguiente manera:

, , si y slo si a

26

b) Los puntos de un intervalo cerrado se representan con un punto cerrado ( ), figura 2. b. Por ejemplo, observemos la figura 2.a y 2.b

Intervalo (a,b) Intervalo [a, b]

Figura 2.a Figura 2.b

Para indicar la solucin de una desigualdad sobre la recta numrica mediante el uso de intervalos, los parntesis se utilizan para los intervalos abiertos y los corchetes para los intervalos cerrados como se han indicado anteriormente.

Veamos ahora cuando se utilizan ambas notaciones de intervalos a la misma vez.

Si tenemos (a, b], la grfica sera el de la figura 3.a:

a b

Figura 3.a Figura 3.b

Si tenemos [a, b), la grfica sera el de la figura 3.b. En la solucin de desigualdades, cuando hablamos de infinito nos referimos al conjunto de todos los nmeros reales mayores que un nmero a y se representan con la notacin de intervalo (a, ). El conjunto de todos los nmeros reales menores que el nmero a se representan con la notacin de intervalo (- , a). SI consideramos que a y b son nmeros reales y adems de que si a < b, el conjunto de todos los nmeros reales entre a y b es un intervalo abierto y se denota por (a, b), como sigue:

(a, b) = {x: a < x < b}

Cuando se resuelvan desigualdades, para indicar que un externo de un intervalo se queda incluido en l, se utiliza un corchete en lugar de parntesis. Si a < b, entonces l se denota como sigue: [a, b] = {x: a intervalo cerrado x b}

27

Otros intervalos se pueden presentar como intervalos semi-abiertos [a, b) o bien (a, b], se define como sigue:

[a, b) = {x: a x < b}

(a, b] = {x: a < x b}

Tambin existen los intervalos infinitos. Para los intervalos infinitos se usa la siguiente notacin:

Intervalos. Representacin grfica.

(a, ) = {x: x > a}

[a, ) = {x: x a}

(-, a) = {x: x < a}

(-, a] = {x: x a}

28

Representar grficamente las desigualdades, siguientes:

a) 6 > 4

Representacin grfica:

b) x < -2


c) y 4


d) -1 y < 3


1. Determina la desigualdad que indica cada representacin grfica mostrada a

continuacin:

Representacin geomtrica. Desigualdad representativa.

29

Sesin 4-5

2. Convierte las expresiones en lenguaje comn a intervalos

Expresin en lenguaje comn En forma de intervalo

Un banco otorga una tarjeta de crdito a

Paola que est entre $20,000 y $35,000

inclusive

La velocidad mxima permitida de los

automviles por la carretera Federal 15

110Km/h

La hemoglobina de un hombre est

entre 13.8 a 17.2 g/dL

1.2.2 Interpreta las propiedades de las desigualdades.

1.2.3 Contrasta matemticamente las magnitudes del espacio en el sistema unidimensional

Para resolver una desigualdad; es importante tomar en cuenta las siguientes

propiedades.

PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES

1. (Transitiva) Si a b y ,b c entonces .a c

2. (Suma) Si c ,a b y entonces .a c b c

3. (Aditiva) Si a b y ,c d entonces .a c b d

4. (Multiplicacin) Si c 0,a b y entonces a c b c

Si ambos miembros de una desigualdad se multiplican por un nmero positivo, el sentido de la

desigualdad no cambia. Esta propiedad tambin se cumple para la divisin.

30

5. (Multiplicacin) Si c 0,a b y entonces a c b c

Si ambos miembros de una desigualdad se multiplican por un nmero negativo, el sentido de la

desigualdad cambia. Esta propiedad tambin se cumple para la divisin.

6. (Inverso) Si 0 a b o bien 0,a b entonces 1 1

.a b

Estas propiedades son vlidas si en todas ellas se cambia el smbolo por cualquiera de los

smbolos: , .y

En base a las propiedades de las desigualdades y los ejemplos; escribe un ejemplo de cada

propiedad y anexa este ejercicio al portafolio de evidencias

A diferencia de las igualdades, las soluciones de la desigualdades generalmente estn

asociadas a un conjunto infinito de soluciones llamados intervalos.

A continuacin analizaremos algunos ejemplos de desigualdades que se resuelven utilizando

las propiedades anteriores.

Resuelve la desigualdad lineal 3 4 8x .

Solucin: 3 4 8x

Se aplica la propiedad 2, es decir se suma 4 a cada miembro de la desigualdad, y resulta: 3 4 (4) 8 (4)x

Se reducen trminos semejantes en cada lado de la desigualdad, esto es: 3 12.x

Al multiplicar por 1

3 ambos lados dela desigualdad, nos queda:

1

3( 3

1) (12)

3

12(1)(x)

3

4

x

x

La solucin de esta desigualdad es 4x , es decir; es el conjunto de todos los

nmeros reales estrictamente menores que 4.

31

Resolver la desigualdad lineal 4 7 7 2.x x

Solucin:

4 7 7 2x x Desigualdad original

4 7x ( 7) 7 2 ( 7)x Propiedad 2, sumar (-7) a cada lado de la desigualdad

4 7 9x x Reducir trminos semejantes en cada miembro de la desigualdad

4 ( 7 ) 7x x x ( 7 )x 9 Propiedad 2, sumar ( 7x ) a cada lado de la desigualdad

3 9x Reducir trminos semejantes en cada miembro de la desigualdad

1

3 ( 3

1x)

3 ( 9

) Propiedad 5, multiplicar por 1

3

a cada lado de la desigualdad

3x Cambio en sentido de la desigualdad ya que se multiplic ambos miembros por una

cantidad negativa.

El conjunto solucin de esta desigualdad consiste en todos los nmeros reales estrictamente

menores que 3; lo cual se puede poner en forma de intervalo, de la siguiente manera:

| x 3 ( ,3)sC x

32

. Renete en parejas y resuelve cada una de las siguientes desigualdades y expresa su solucin en intervalo. Esta actividad se evaluar con la lista de cotejo al final de la unidad

1) 4x -2 < 10

2) x + 1 -2

3)

4)

5)

33

Sesin 6

Resolver la desigualdad lineal:

Solucin: Restando 1 en cada miembro de la desigualdad

Reduciendo los trminos semejantes:

Se obtiene:

Dividiendo ambos miembros por -3:

Por la propiedad (5) de las desigualdades, el signo se invierte:

La solucin de la desigualdad es:

Expresada en intervalo dicha solucin, nos queda, as:

, 3| 3sC x x

34

Con lo que has aprendido en clases, resuelve las siguientes desigualdades y expresa su

conjunto solucin en un intervalo esta actividad ser evaluada como se indica al final de la

unidad

1)

2)

3)

4)

5)

35

Sesin 7

Renete en parejas y resuelve cada una de las siguientes desigualdades.

Esta actividad se evaluar con la lista de cotejo que se encuentra al final de la unidad

1)

2)

Resolver la desigualdad lineal:

Solucin:

Sumando 5 unidades en todos los miembros de la desigualdad:

Reduciendo los trminos semejantes se obtiene:

Dividiendo ambos miembros por 2:

La solucin de la desigualdad es:

La cual representa el conjunto de todos los nmeros reales comprendidos entre 4 y 6, incluyndolos, su conjunto solucin, en forma de intervalo, nos queda:

| 4 6 4, 6sC x x

36

Sesin 8

3)

4)

5) 5 7 1

2 3

x

DESIGUALDADES CON VALOR ABSOLUTO

Hay desigualdades que involucran dos posibles casos de soluciones, una negativa y otra positiva, como las desigualdades que involucran los valores absolutos.

Definicin: En matemtica el valor absoluto o mdulo de un nmero real es su valor numrico sin tener en cuenta su signo, sea ste positivo (+) o negativo (-). As, por ejemplo, 10 es el valor absoluto de 10 y tambin de -10. ste se representa entre dos barras de la siguiente manera:

10 10 O bien 10 10

Tambin se puede definir de la siguiente forma:

El valor absoluto de un nmero a, representa la distancia del punto igual a al origen sobre

la recta numrica y se representa como: a a .

El valor absoluto de un nmero -a, representa la distancia del punto a al origen sobre la

recta numrica y se representa como: a a .

37

Por ejemplo:

La distancia del punto a = 3 al origen en la recta numrica es 3 y se representa como:

3 = 3

La distancia del punto a = -8 al origen en la recta numrica es 8 y se representa como:

8 8

Renete en equipos de tres integrantes para comentar la informacin anterior y resolver las siguientes situaciones para comentar en clase. Esta actividad se evaluar con la lista de cotejo que se encuentra al final de la unidad

1) La distancia entre 6 y -2, es diferente a la distancia entre 2 y -6?

2) Determina la distancia entre 4 y -4, utilizando el valor absoluto:

3) Hallar la distancia entre 10 y -2.

4) Compara la distancia 4 y -5, entre la distancia -4 y 5. Explica tu observacin.

5) Determina la distancia entre -1 y 7 y la distancia entre 1 y -7. Cmo son entre s estas

distancias?

38

Sesin 9

Entonces para una desigualdad, por ejemplo 2 8x al resolverla, se tendra

que encontrar la solucin tomando en cuenta los dos casos, es decir se tendra

como solucin el valor o valores de x, para lo cual, la distancia entre x + 2 y el

origen sobre la recta numrica es menor o igual a 8.

Para resolver una igualdad utilizando sus propiedades, se procede como se

muestra a continuacin:

Resolver 2 8x .

Solucin:

Primer caso cuando x + 2 es positivo:

X + 2 8 Transpones el 2 al segundo miembro.

X 8 2 Realizar operaciones restando.

X 6 Solucin:

Segundo caso cuando x + 2 es negativa:

-(x+2) 8 Utilizar las propiedades de las desigualdades.

X + 2 - 8 Transponer el 2 al segundo miembro.

X + 2 - 8 2 Realizar operaciones.

X -10 Solucin

El conjunto solucin, es:

| 10 6 10, 6sC x x

39

Resolver 2 2 8x .

Solucin:

Primer caso cuando 2x + 2 es positivo:

2x + 2 8 Transponer el 2 al segundo miembro, restando en ambos miembros.

2x 8 2 Realizar operaciones restando los trminos semejantes.

2x 6

x 6/2 Transponer el 2 al primer segundo miembro.

x 3

Segundo caso cuando 2x + 2 es negativa:

-(2x+2) 8 Utilizar las propiedades de las desigualdades.

2X + 2 - 8 Transponer el 2 al segundo miembro.

2x + 2 - 8 2 Realizar operaciones.

2x -10

x -10/2

x - 5

Entonces la solucin de 2 2 8x es: -5 x 3, donde grficamente se

obtiene:

| 5 3 5, 3sC x x

40

Renete en equipos de tres integrantes y resuelve cada una de las siguientes desigualdades

con valor absoluto y expresa su conjunto solucin en intervalo.

Esta actividad se evaluar con la lista de cotejo que se encuentra al final de la unidad

1) 12 4x

2) 1 2x

3) 2 2 4x

4) 1 2x

41

Sesin 10

De manera individual, representa grficamente las desigualdades siguientes y

expresa la solucin como intervalos.

Esta actividad se evaluar con la lista de cotejo de la pgina 100

a) |5x - 6| < 11

b) |2 7x| 16

c) |2x + 2| > 8

d) |x - 10| < 2

e) 2 5

34x

42

Sesin 11

Resuelve cada una de las siguientes desigualdades, realiza todos los clculos numricos que necesites para llegar a

dicha solucin. Debes de anexar esta actividad a tu portafolio de evidencias del primer parcial. Determina el conjunto solucin de cada una de las siguientes desigualdades con valor absoluto, expresa el resultado en intervalo. 1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

43

Sesin 12

1.3. Argumenta la solucin de problemas de su contexto que involucran la representacin analtica y grfica de funciones en el plano cartesiano

Exprese ideas y conceptos mediante representaciones matemticas o grficas.

Construye e interpreta modelos matemticos mediante la aplicacin de procedimientos.

Analiza las relaciones entre dos o ms variables.

Interpreta diagramas con smbolos matemticos.

1.3.1 Interpreta los elementos de una funcin como la necesidad de relacionar dos variables que explican el comportamiento de un

problema social o natural.

Introduccin al concepto de funcin.

Existen muchas situaciones cotidianas que involucran la relacin o correspondencia de dos variables como el salario de un trabajador que depende de las horas que trabaje, si por cada hora le pagan $350.

El salario ser igual a 350 por el nmero de horas trabajadas.

r de la variable S depende del valor del variable h ya que entre ms horas trabaje mayor es su salario.

La relacin entre dos variables, tal que el cambio en una afecte a la otra, se puede llamar dependencia.

Una correspondencia puede estar dada por una situacin como la anterior, pero tambin puede relacionar conjunto de nmeros por medio de una operacin.

1. Imaginemos que existe un conjunto A={1,2,3,4,5} y el conjunto B={3, 6, 9, 12} y su correspondencia es el triple de un nmero, entonces se relacionan as: a 1 le corresponde 3, a 2 le corresponde 6, a 3 le corresponde 9, a 4 le corresponde 12. Como en el conjunto B no est el triple de 5, a ese nmero no le corresponde ninguno del B. (ver figura # 1)

1 2 3 4 5

3 6

9

12

Conjunto

A

Conjunto

B

Figura 1

44

Esta correspondencia se puede representar de la siguiente manera:

El conjunto A recibe el nombre de dominio y al conjunto B se le llama contra-dominio.

La relacin de correspondencia es: B=3a.

2. Si se tiene al conjunto A =

y al conjunto B =

, la correspondencia

que se da es que el conjunto B es el cuadrado del conjunto A.

La correspondencia la podemos observar en el siguiente diagrama

Reunidos en equipos de tres integrantes, contesta correctamente cada una de las

siguientes proposiciones con la ayuda de tu profesor.

El desarrollo de estos problemas debes anexarlo a tu portafolio de evidencias del primer

parcial. Esta actividad se evaluar con lista de cotejo de la pgina ?

1. Establezca la relacin de correspondencia entre el conjunto A= {1,2,3} y el conjunto

B={2,4,6,8}

2. Cul es la relacin entre el conjunto A={1,3,5} y el conjunto B={1,9,25,}?

3. El conjunto X est compuesto de los siguientes elementos:

X= {-1, 0, 1, 2, 3} los elementos de un conjunto Y estn relacionados de tal manera que cada

elemento y es equivalente a x-2, es decir; y = x 2 ; donde x es un elemento del conjunto X.

Cules son los elementos del Conjunto Y?

Y = { }

2 3 4 5 6

4 9

16 36

25

Conjunto

A

Conjunto

B

Definicin 1: Una correspondencia es una relacin que se establece entre dos conjuntos

por medio de la cual a uno o varios elementos del primer conjunto se le asigna o asocia

uno o varios elementos del segundo conjunto.

45

Sesin 13

En el diagrama, la funcin explcita es: y = 3x

La funcin explcita es: y =

Definicin 2: Una funcin es una correspondencia entre dos conjuntos A y B no vacos,

en la cual para todo elemento que pertenece al conjunto A, existe un solo elemento y solo

uno, que pertenece al conjunto B al cual se le asocia o corresponde.

1 2 3 4 x

3 6

9 y

12

Conjunto

X

Conjunto

Y

1 2 3 4 x

1 4

9 y

16

Conjunt

o X

Conjunt

o Y

46

Resuelve cada uno de los siguientes ejercicios determinando la funcin explcita en cada

uno de los casos y anexa tus respuestas al portafolio de evidencias.

1.- Para elaborar empanadas una seora gasta 30 por cada empanada que hace adems de

750 por da en gastos fijos. a) Cunto le costar elaborar 25 empanadas? b) Cunto

gastar elaborando 50 empanadas?

2.- En una fbrica gastan $1275 por cada par de zapatos elaborado y tiene un gasto de $13500

por da. Cul es el costo de la elaboracin de 350 pares de zapatos? En este caso el criterio

de la funcin de costo es Z(x)=

3.- Un Viejo ferry que transporta personas de un lado al otro del Ro, gasta $25 por persona que

transporte y un litro de aceite por da. El aceite cuesta $138 el litro. Cunto gast el dueo del

ferry hoy, si transport 500 personas?

47

Sesin 14

Relaciona el tipo de funcin con el dominio y contra dominio de la misma

(notacin funcional).

En el diagrama se muestran los elementos de dos conjuntos X y Y.

Si se puede establecer una relacin de correspondencia entre los elementos del conjunto X con los elementos del conjunto Y como en nuestro caso; y =x2, entonces decimos que tenemos los elementos y en funcin de los elementos x o que dependen del valor de x llamada tambin variable independiente.

El conjunto de valores de X es

llamado dominio de la funcin la cual

se denota f(x) y se lee f de x o

equivalentemente y = f(x) = x2.

El conjunto de valores del conjunto Y, es llamado contra-dominio de la funcin f.

Reunidos en parejas contesten los siguientes ejercicios encontrando el contra-dominio

de la funcin dada en cada uno de los casos.

1 2 3 4 x

1 4

9 y

16

Conjunto X Conjunto Y

1 2 3

Dominio X Contra-dominio Y

y= f(x) = x+3

48

Realiza lo que se pide en cada ejercicio, una vez resueltos anexarlo a tu portafolio de evidencias

Encuentra el contra dominio para cada una de las funciones

1.- El dominio de la funcin es X= {0, 2, 4, 6}. La funcin es f(x) = 3x. El contra-dominio es el conjunto Y = { }

2.- El dominio de la funcin es X= {- 2,-1, 0, 1,2}. La funcin es f(x) = 2x2. El contra-dominio es el conjunto Y = { }.

3. Si la funcin est dada por f(x) = x3 x donde su dominio es el conjunto

X = {- 2 ,- 1, 0, 1, 2, 3 }, el contra dominio es el conjunto Y = { }

4. Dada la funcin f(x) = x3 + 3x2 4x 1 con un dominio X= {- 3,-2,-1,0,1,2 }, determina el contra dominio de dicha funcin Y = { }.

5. El dominio de la funcin es el conjunto X= {- 1, 0, 1, 2, a, a + h} y la funcin corresponde a f(x) = 2x2 + 3x, entonces el contra dominio es Y = { }.

1 2 3

Dominio X Contra-dominio Y

y= f(x) =

49

1. f(x) = 5 , como podemos observar tiene la forma f(x) = c, donde c= 5, entonces es una funcin constante.

2. F(x) = - 8, aqu notemos que f(x) = c ya que c = - 8 por lo que es una funcin constante

Sesin 15

CLASIFICACIN DE FUNCIONES

Todo en la vida se clasifica o se divide para identificarlos fcilmente, por ejemplo: Los animales se clasifican en perros, gatos, aves, etc. A su vez los perros se clasifican en razas y tambin dentro de cada raza se clasifica en perros chicos, medianos y grandes, etc.

Existen muchas funciones matemticas y al igual que los animales stas tienen su clasificacin, as que para conocerlas y estudiarlas miraremos que se clasifican en funciones ALGEBRAICAS Y TRASCENDENTALES.

Definicin.

Para hacer un reforzamiento de cmo se dividen las funciones, te daremos a conocer una breve definicin y ejemplos de cada una de las funciones algebraicas y trascendentales. Primero conoceremos a las funciones ALGEBRAICAS.

Entre ellas estn:

}

Las funciones algebraicas son las expresiones que estn formadas por un nmero finito de operaciones algebraicas (suma, resta, multiplicacin, divisin, potenciacin y radicacin). A su vez las funciones algebraicas se dividen en funciones polinomiales, racionales o cocientes, radicales y valor absoluto. Y las funciones polinomiales se dividen en funciones constantes, lineales, cuadrticas y cbicas.

Las funciones trascendentales son las funciones que no se pueden expresar como una funcin algebraica. Entre este tipo de funciones se encuentran las exponenciales, las logartmicas, trigonomtricas y trigonomtricas inversas.

1.- Polinomiales.- Son funciones con la forma de un polinomio

1 2 1

1 2 1 0...n n

n na x a x a x a x a

.

Funcin constante.- Es una funcin igual a una constante de la

forma ( )f x c

50

1.- f(x) = 3x+1 si nos damos cuenta tiene la forma lineal y el grado de la variable es uno, a = 3 y b = 1. 2.- f(x) = x es una funcin lineal con coeficiente a= 1 y b =0. Es conocida como la funcin identidad.

1.- 2( ) 2( 1) 4f x x como vemos tiene la forma de una funcin cuadrtica en donde

2a , 1b y 4c .

2.- 2( )f x x tambin es cuadrtica ya que 1a , 0b y 0c . Se le llama funcin

cuadrtica bsica.

1.- 3( ) ( 1) 5f x x como vemos tiene la forma de una funcin cbica en donde

1a , 1b y 5c .

2.- 3( )f x x tambin es cbica ya que 1a , 0b y 0c . A esta funcin se le

llama funcin cbica bsica.

Funcin Lineal.- Es una funcin polinomial de primer grado de la

forma ( )f x ax b .

Funcin cuadrtica.- Es una funcin polinomial de segundo

grado de la forma 2( ) ( )f x a x b c .

Funcin cbica.- Es una funcin polinomial de tercer grado de la

forma 3( ) ( )f x a x b c .

51

1.- 21

( )1

xf x

x

como vemos tiene la forma de una funcin cociente en donde

( ) 1P x x y 2( ) 1Q x x son funciones polinomiales.

2. 2 3

( )1

xf x

x

en donde se observa que P(x) = 2x + 3 y Q(x) = x - 1 son funciones

polinomiales

1.- ( ) ( 2) 3f x x como vemos tiene la forma de una funcin radical en donde

1a y 2b y 3c .

1.- ( ) 1f x x como vemos lleva los smbolos del valor absoluto.

2.- ( ) 2f x x como vemos lleva los smbolos del valor absoluto.

Funcin cociente o racional.- Tambin se le conoce como funcin

divisin ya que est formada por una divisin de dos funciones

polinomiales de la forma ( )

( )( )

p xf x

Q x con ( ) 0Q x .

Funcin radical.- Son funciones que se pueden expresar en forma de

radical de la forma ( ) ( )f x a x b c en donde a, b, c son nmeros

reales.

Funcin absoluta.- Tambin conocida como funcin valor absoluto ya

que la funcin valor absoluto de un nmero real es su valor numrico sin

tomar en cuenta su signo. Es de la forma ( )f x

52

1.- 1( ) xf x e como vemos tiene la variable x en el exponente y la base es e .

1.- ( ) ln( 2)f x x como vemos tiene la expresin ln. Que se le llama logaritmo natural.

2.- 3( ) log ( 1)f x x como podemos observar tiene la funcin logaritmo base 3.

1.- ( ) cos( ) 4f x x como vemos tiene la expresin cosx en donde el ngulo es x.

2.- ( ) sec( 1)f x x como observamos aparece la funcin secante.

1.- 1( ) ( 4)f x sen x como vemos tiene la expresin seno inversa

Ahora continuaremos como lo hicimos anteriormente conociendo mediante ejemplos a

las funciones TRASCENDENTALES.

Funcin exponencial.- Es una funcin real que tiene la variable como

exponente, es de la forma ( )xf x e en donde la base es

2.71828...e

Funciones logartmicas.- Son funciones que contienen expresiones

logaritmos, de la forma ( ) lnf x x o tambin de la forma

( ) logaf x x

Funciones trigonomtricas.- Son las funciones que dependen de un ngulo en

su expresin y son de la forma: ( )f x sen , ( ) cosf x , ( ) tanf x ,

( ) cotf x , ( ) secf x y ( ) cscf x .

Funciones trigonomtricas inversas.- Como su palabra lo dice son las funciones

inversas a las funciones trigonomtricas y son de la forma 1( )f x sen ,

1( ) cosf x , 1( ) tanf x , 1( ) cotf x , y

1( ) cscf x .

53

Reunidos en equipos de tres integrantes, contesta correctamente completando la clasificacin de funciones en el siguiente esquema, con la apoyo de tu profesor. El desarrollo de estos problemas debes anexarlo a tu portafolio de evidencias del primer parcial

Para reforzar la clasificacin de funciones. Realiza de manera individual una investigacin para encontrar cinco ejemplos de cada una de las funciones vistas. Elaborar una lista de los ejemplos encontrados junto con tus compaeros en la clase.

Escribe en el cuadro si la funcin es ALGEBRAICA O TRASCENDENTAL y adems de que tipo se trata.

FUNCIN ALGEBRAICA O TRASCENDENTAL

El TIPO O COMO SE LLAMA LA FUNCIN

a) ( ) 10g x x

b) ( ) 2f x sen x

c) ( ) 5f x x

FUNCIONES

CBICAS

RACIONALES

LOGARTMICAS

54

Indicaciones: A continuacin se te presentan una serie de reactivos de opcin mltiple en base a los temas desarrollados en esta unidad.

Realiza los clculos necesarios para dar con la respuesta correcta.

1. Es un conjunto infinito de nmeros, que surgen a travs de la historia de la humanidad en base a la necesidad de resolver problemas diversos. a) Los nmeros enteros negativos. b) Los nmeros reales. c) Los nmeros racionales. d) Los nmeros primos. e) Los nmeros irracionales. 2. Se le llama as a la propiedad en que se cumple en los nmeros enteros, donde las operaciones de suma y resta estaban bien definidas, ya que se podan sumar o restar cualquier par de nmeros enteros y el resultado segua siendo un nmero entero. a) Conmutativa. b) Asociativa. c) Cerradura. d) Distributiva. e) Inverso aditivo.

d) 3( ) 3g x x

e) 3( ) xg x e

f) ( ) logf x x

g) 2( ) ( 10)l x x

h) ( ) 10h x x

i) 1( ) tanf x x

j) 2

( )9

xf x

x

k) 3( ) 2 xf x

l) ( ) 2ln( 4)h x x

m) 3( ) ( 4) 1g y y

n) ( )g x x

o) ( ) 1h y y

p) ( ) tan 1f x x

q) ( ) 12g x

55

3. Este nuevo conjunto infinito que se representa con la letra Q, la cual se deriva de la palabra Quotient que significa cociente. a) Los nmeros enteros negativos. b) Los nmeros reales. c) Los nmeros racionales. d) Los nmeros primos. e) Los nmeros irracionales. 4. Indica el conjunto de nmeros al que pertenecen los del subconjunto formados por

1.3238298, 5 , . a) Los nmeros enteros negativos. b) Los nmeros reales. c) Los nmeros racionales. d) Los nmeros primos. e) Los nmeros irracionales. 5. Consiste en una lnea recta donde se elige un punto de referencia y le asociamos el nmero cero; posteriormente se elige una unidad de medida arbitraria asociando a cada una un nmero entero especfico. a) Sistema coordenado bidimensional. b) Sistema coordenado unidimensional. c) Sistema coordenado irracional. d) Sistema coordenado tridimensional. e) Sistema coordenado real. 6. Resolver la desigualdad lineal 2x + 4 < 12. a) x > 8 b) x > 4 c) x < 4 d) x > - 8 e) x < - 8

7. Resolver la desigualdad .

a)

b)

c)

d)

e)

8. Resolver la desigualdad

a)

b)

c)

d)

e)

56

9. Resolver la desigualdad .

a)

b)

c)

d)

e)

10. Determina la distancia entre -3 y 7, utilizando el valor absoluto. a) -10 b) 4 c) -4 d) 10 e) 11

11. Determina el valor de la incgnita de la expresin 104 x .

a) 146 x b) 614 x c) 144 x d) 60 x e) 104 x 12. Determina el conjunto solucin de 3x < 18, expresndolo como intervalo.

a) 6, b) ,6 c) (-,6)

d) ,6 e) 6,

13. Expresa como intervalo de solucin de la desigualdad 5 < x - 2 7.

a) 9,7 b) 9,7 c) 5,7 d) 9,7 e) 9,3

14. Expresa el intervalo 6,1 , como una desigualdad. a) 1 x < 6 b) 1< x < 6 c) 1 < x 6 d) 1 x 6 e) x 5

57

15.- Es un conjunto de parejas ordenadas ( x, y ) tales que no puede haber dos parejas distintas que tengan igual el primer valor (x). a) Relacin b) Funcin c) lmite d) Clasificacin e) Dominio

16.- Cul es la variable que toma los valores directamente, que no depende de otra variable? a) Rango b) Contra dominio c) Recorrido d) Independiente e) Dependiente

17.- En la siguiente funcin 2y x , encuentra el contra dominio para el siguiente domino explcito x={ 0, 1 } .

a) y={ 0, 3 }

b) y={ 0, 1 }

c) y={ 0, 2 }

d) y={ 0, 0 }

e) y={ 2, 1 }

18.- A este conjunto se le conoce como imagen o recorrido. a) Dominio b) Contra dominio c) Nulo d) Independiente e) Dependiente

19.- Son las funciones que se clasifican como trigonomtricas, logartmicas, exponenciales y trigonomtricas inversas. a) Funciones algebraicas b) Funciones trascendentales c) Funciones Binomiales d) Funciones radicales e) Funciones racionales

20.- Es un ejemplo de una funcin exponencial.

a) ( ) 3 2g x x

b) 3( ) 5 xf x

c) ( ) 15f x x

d) ( ) cotf x x

e) ( ) ln3f x x

58

Sesin 16

1.3.2. Formula y resuelve problemas que involucran los trminos de dos o ms funciones dadas.

Sume, reste, multiplique y divida funciones de manera efectiva atendiendo las reglas del lgebra.

Interpretar informacin contenida en un texto.

Trabajar de manera colaborativa.

Actuar con responsabilidad en el cumplimiento de tareas

Al hacer las operaciones en funciones que estn definidas por polinomios solo se requiere unirlos por la operacin correspondiente y simplificar, si es posible, el polinomio resultante.

Recordatorio: Cuando tenemos un signo ms (+) precedido por un parntesis significa que todo lo que est dentro del parntesis no cambia de signo.

Si F(x) = 3x3 + x2 4 y h(x)= 5x + 1, encuentra la suma.

Solucin:

(f + h)(x) = f(x) + h(x) Sustituyendo los valores de las funciones f(x) y h(x), se tiene:

(f + h)(x) = (3x3 + x2 4 ) + ( 5x + 1), Eliminando parntesis

(f + h)(x) = 3x3 + x2 4 + 5x + 1 Reduciendo trminos semejantes:

(f + h)(x) = 3x3 + x2 + 5x 3

Funcin Suma Si f(x) y g(x) son dos funciones, entonces la funcin suma est dada por

( f + g ) ( x ) = f (x) + g (x)

59

Recordatorio: Cuando tenemos un signo menos (-) precedido por un parntesis significa que todo lo que est dentro del parntesis cambia de signo.

Funcin Diferencia Si f(x) y g(x) son dos funciones, entonces la funcin diferencia est dada por

( f - g ) ( x ) = f (x) - g (x)

Hallar la resta de f y h . Si f(x) = 3x3 + x2 4 y h(x)= 5x + 1

Solucin:

(f - h)(x) = f(x) h(x) Sustituyendo f(x) y h(x)

(f - h)(x) = ( 3x3 + x2 4 ) ( 5x + 1 ), Eliminando parntesis

(f - h)(x) = 3x3 + x2 4 5x 1, Reduciendo trminos semejantes

(f - h)(x) = 3x3 + x2 5x 5

Si f(x) = 3x3 + x2 4, g(x) = 2x 3 y h(x)= 5x + 1. Hallar

(f + h g)(x).

Solucin:

(f + h - g)(x) = f(x) + h(x) g(x) Sustituyendo f(x), h(x) y g(x)

(f + h - g)(x) = (3x3 + x2 4) + (5x + 1) (2x 3), Eliminando parntesis

(f - h)(x) = 3x3 + x2 4 + 5x + 1 2x + 3, Reduciendo trminos semejantes

(f - h)(x) = 3x3 + x2 + 3x

60

Con la ayuda de tu maestro renete en equipo para resolver los siguientes ejercicios y los resultados comentarlos en el grupo esta actividad ser evaluada como se indica en la rbrica de la pgina 100

Suma de funciones

1.- Dadas las funciones f (x) = 2x - 7 y g(x) = x2+1 calcula f +g

2.- Sea f(x) = 3x3 + 7 y g(x) = x2 1. Halla la suma.

3.- Dadas las funciones f (x)= 2x2 - 3x y g(x)= 2x - 3. Halla la suma.

4.- Dadas las funciones f(x)= 2x3 - 4x2+8x-10 y g(x)= 3x2 - 6 x +7. Halla

la suma.

5.- Sea f(x)= 2x y g(x)= x2. Determina f + g.

Diferencia de funciones

1.- Dadas las funciones f (x) = 2x3 - 4x2 + 8 x - 10 y g(x) = 3 x2 - 6 x +7.

Halla la diferencia.

R.-

2.- Determine f-g de las siguientes funciones: f (x) = x2 - x - 6 y g(x) = x

+ 2

R.-

3.- Si f (x) = x2 y g(x) = 2 x +1, determina f g

R.-

4.- Si f (x) = x2+1 y g(x) = x , determina f g

R.-

61

Sesin 17 Renete en equipo y realiza las operaciones en cada caso; para evaluar este

trabajo se utilizar la rbrica localizada al final de la unidad.

I.- Sea f(x)= 1- x , g(x)= (x + 1)2 , h(x)= x 1 , j(x)= x2 +1

Halla las funciones indicadas:

1. ( f + g )

2. ( g f )

3. ( h + j )

II.- Dada f(x) = 2x2 + 7x 2 , g(x)= 4x2 - x + 1 y h(x)= x3 + x2 - 2

Efecta las siguientes operaciones:

a) f + g b) g + f

c) (f + g) + h d) f + ( g + h )

e) f g f) g - f

62

Sesin 18

Pasos a seguir para la multiplicacin de funciones: Se multiplican todos y cada uno de los trminos de la primera funcin por cada uno de los trminos de la segunda funcin. Se aplican las reglas de potenciacin, la ley de los signos y las propiedades asociativa y distributiva de la multiplicacin.

Funcin Producto

Si f(x) y g(x) son dos funciones, entonces la funcin producto est dada por:

( f g ) ( x ) = f (x) g (x)

Encontrar el producto de las funciones f y h. Si f(x) = 3x3 + x2 4 y h(x)= 5x + 1 Solucin:

(fh)(x) = f(x) h(x) = (3x3 + x2 4 ) ( 5x + 1) Sustituir las funciones

= 15 x4 + 3 x3 + 5 x3 + x2 20 x 4 Aplicando la propiedad distributiva

de la multiplicacin

= 15 x4 + 8 x3 + x2 20 x 4 Reduccin de trminos semejantes

Si g(x) = x2 y h(x)= x 2. Determinar el producto de las funciones g y h. Solucin: ( h g )(x) = h (x) g (x) Sustituir h(x) y g(x)

( h g )(x)= ( x - 2 ) x2. Aplicando la propiedad distributiva

( h g )(x) = (x) (x2) (2) (x2). Aplicando la ley de los exponentes

( h g )(x) = x3 2x2

63

Para dividir dos funciones se sigue el siguiente procedimiento:

Se ordenan tanto el dividendo como el divisor, en forma decreciente con relacin a las potencias de una letra comn a ambos.

Se divide el primer trmino del dividendo entre el primer trmino del divisor, para obtener el primer trmino del cociente. Se ordenan el dividendo y el divisor con relacin a una misma literal.

Se multiplica el trmino del cociente por cada uno de los trminos del divisor, se colocan los productos debajo de sus trminos semejantes en el dividendo, pero con signo cambiado, puesto que se restan.

El residuo obtenido pasa a ser el nuevo dividendo y se repiten los pasos 2 y 3. El proceso se repite hasta que su residuo sea cero o hasta que en relacin con la letra escogida, el grado del dividendo sea menor que el del divisor.

El cociente puede comprobarse, mediante la relacin:

Dividendo= (divisor)(cociente) + residuo.

Funcin Cociente

Si f(x) y g(x) son dos funciones, entonces la funcin cociente est dada por:

Hallar: (fg)(x) . Si f(x) = x + 1 y h(x)= 2x + 3

Solucin:

(fh)(x) = f(x) g(x) Sustituir las funciones

(fg)(x)= ( x+1 ) ( 2x + 3 ), Aplicando propiedad distributiva de la Multiplicacin = ( 2x2 + 3x + 2x + 3 ) Reduccin de trminos semejantes

= 2x2 + 5x + 3

64

( ) (x) =

( ) (x) =

Realizando la divisin a - 1 a + 3 a2 + 2a - 3

-a2 - 3a cambio de signo

- a - 3

+ a + 3 cambio de signo 0 + 0

Si f(x) = a2 + 2a -3 entre h(x) = a + 3. Hallar ) (x)=

Sean las funciones f(x)= x3 - 1 y g(x)= x - 1; hallar:

Solucin:

= Factorizando x3 1

=

= x2 + x + 1

65

Renete en equipo y realiza las operaciones en cada caso; para evaluar este trabajo se utilizar la rbrica localizada a final de la unidad Multiplicacin de funciones

1.- Determine (f).(g) de las siguientes funciones: f xx2 x - 6 y gx x + 2

2.- Determine (f).(g) de las siguientes funciones: f xx y gx x2

3.- Determine (f).(g) de las siguientes funciones: f xx 3 y gx 4x

4.- Determine (f).(g) de las siguientes funciones: f xx 2 y gx 1

Divisin de funciones

1). Sean las funciones f(x)= 2x4 x3 3 + 7x y h(x)= 2x + 3.

Halla

2). Sean las funciones f(x) = x4 + xy3 + x3y + 2x2y2 + y4 y h(x) = x y + x2 + y2,

Halla

3). Dividir las siguientes funciones: f(x)= m2 11m + 30 y g(x)= m 6

4) Dividir las siguientes funciones: f(x)= 6 + a2 + 5a. y g(x)= a + 2.

5) Dividir las siguientes funciones: f(x)= 14x2 12 + 22x y g(x)= 7x - 3

66

Sesin 19

1.3.3. Resuelve problemas mediante la interpretacin de tablas y grficas de

funciones que representan un problema social o natural.

Para seguir con el estudio de las funciones algebraicas y trascendentes, vamos a trabajar con problemas sencillos que generen un modelo matemtico; en el cual, partiendo de un dominio explcito en cada caso, obtendremos el rango correspondiente y empezaremos a organizar y registrar los resultados de nuestras actividades en una tabla, con la cual analizaremos el comportamiento de la funcin.

De manera individual, realiza las operaciones necesarias, para resolver el siguiente problema.

EL CUMPLEAOS DE ALEJANDRA.

Alejandra, alumna de cuarto semestre del CECYTES, cumpli sus 16 aos de vida y su grupo le organiz un festejo sorpresa. Un da antes, sus compaeros de grupo cooperaron para comprar pastel de las tres leches, platos, servilletas, cucharas, vasos y refrescos. A Flor le toc comprar los refrescos, para lo cual le dieron 70 pesos. En la tienda solo encontr refrescos de un litro que costaban 7 pesos cada uno. 1.- Si Flor decidi no comprar refrescos, est claro que gast nada de los 70 pesos. Si compr un refresco, cuanto pago por ello? 2.- Si compr 2 refrescos, cunto pag Flor? 3.- Si compr 3 refrescos, cunto pag Flor? 4.- Cul es la cantidad mxima de refrescos que pudo haber comprado Flor? 5.- Elabora una ecuacin, con la cual, puedes obtener los mismos resultados. 6.- Recordando el tema de la clasificacin de los tipos de funciones. La ecuacin anterior que nombre recibe? 7.- Organiza tus resultados y regstralos en la siguiente tabla.

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y 0

8.- Qu nombre recibe el procedimiento que seguiste, hasta registrar tus resultados en la tabla anterior?

67

Estas dos actividades las anexas al portafolio de evidencias.

1. Analiza la siguiente situacin y completa la tabla al final del problema; Doa Mnica ha criado gallinas sin necesidad de tenerlas cautivas. Esto le est ocasionando una serie de problemas, por lo que decide construir un gallinero en la parte posterior de su casa. Sus ahorros solo le alcanzan para comprar 50 metros lineales de tela ciclnica para cercarlo. Si el terreno donde desea construir el gallinero es de 20 por 40 metros, qu dimensiones deber tener un gallinero de forma rectangular (que utilice todo el material que compr), para que ste abarque la mayor rea posible y as encerrar la mayor cantidad de gallinas?. El modelo matemtico del problema es: A(x) = 25x x2

Obtn la tabulacin correspondiente al modelo matemtico, llenando la siguiente tabla:

LARGO EXPRESADO EN METROS

x

ANCHO EXPRESADO EN METROS

Y

REA EXPRESADA EN METROS CUADRADOS

A(x) = 25x x2 25 0 0

24 1 24

23 2 46

22

21

20

19

18

17

16

15

14

13

a. La tabla anterior, me puede ayudar a encontrar por aproximacin la solucin del

problema?

b. Segn la tabla, Cules son las dimensiones del gallinero que maximizan el rea?

c. Define, qu es tabulacin?

2. Rocio tiene telfono celular por plan, el costo de una llamada es de $1.25 los primeros 60 minutos, despus del minuto 60 el precio cambia a $2.65 por minuto y cada mensaje de texto le cuesta $1.00.

a) Elabora una ecuacin que exprese el costo de una llamada del telfono celular de Rocio.

b) Cuntos minutos Rocio habl y cuantos mensajes envo si la cuenta total fue de $480.00?

68

Sesin 20-21

Integrados en equipos de tres, los alumnos realizan las operaciones necesarias, para hacer la tabulacin de acuerdo al dominio indicado en cada caso.

1. Obtn la tabulacin de las siguientes funciones lineales, empleando el dominio explcito que se te indica en cada caso.

a) y = x, para el dominio x = { -3, -2, -1, 0 , 1, 2, 3 }

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y

b) f(x) = - x, para el dominio x = { -3, -2, -1, 0 , 1, 2, 3 }

x -3 -2 -1 0 1 2 3

f(x)

c) f(x) = 2x, para el dominio x = { -3, -2, -1, 0 , 1, 2, 3 }

x -3 -2 -1 0 1 2 3

f(x)

d) y = 2x + 2, para el dominio x = { -3, -2, -1, 0 , 1, 2, 3 }

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y

e) y = 2x - 2, para el dominio x = { -3, -2, -1, 0 , 1, 2, 3 }

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y

f) y = 3x +1 , para el dominio x = { -3, -2, -1, 0 , 1, 2, 3 }

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y

69

2. Obtn la tabulacin de las siguientes funciones cuadrticas y cbicas, empleando el dominio explcito que se te indica en cada caso.

x f(x)= x2 g(x) = - x2 h(x) =2x2 +1 i(x)= - (x + 2)2 - 1 j(x)= (x 3)2 +2 -3 9 -9

-2 4

-1 1 0

0 0

1 1 3

2 4

3 9 2

3. Realiza las operaciones en cada caso, para obtener la tabulacin de las siguientes

funciones algebraicas, empleando el dominio explcito que se te indica en cada caso.

x f(x)= x4 g(x) = - lxl - 3 h(x) =3x+4 i(x)= - (x + 2)2 1 j(x)= (x 1)3 +1 -3

-2

-1

0

1

2

3

x f(x)= x3 g(x) = - x3 h(x) =2x3+1 i(x)= - (x + 2)3 - 1 j(x)= (x 3)3 +2 -3 -27 27

-2 -8

-1 -1

0 0 - 9

1 1

2 8

3 27

x f(x)=lxl f(x)= - lxl h(x)= lx + 1l i(x)= lxl 3 j(x)= lxl + 2 -3 3

-2 2 - 1

-1 1 - 1

0 0

1 1 2

2 2 4

3 3

70

Sesin 22

Representacin Grfica de las Funciones

En esta parte, vamos a retomar el trabajo realizado en el subtema anterior, Los datos que obtuvimos en las tablas anteriores, las vamos a representar en un sistema de ejes coordenados (x = eje horizontal, y = eje vertical), as mismo, vamos a analizar el comportamiento de dicha grfica, cuando cambian los valores de sus parmetros.

Realiza las actividades indicadas para graficar en un sistema de ejes coordenados, una funcin determinada.

EL CUMPLEAOS DE ALEJANDRA.

Alejandra, alumna de cuarto semestre del CECYTES, cumpli sus 16 aos de vida y su grupo le

organiz un festejo sorpresa. Un da antes, sus compaeros de grupo cooperaron para comprar

un pastel, platos, servilletas, cucharas, vasos y refrescos. A Flor le toc comprar los refrescos,

para lo cual le dieron 70 pesos. En su localidad slo encontr refrescos de un litro que costaban

a 7 pesos cada uno.

Recordando que la funcin que empleaste para hacer la tabulacin correspondiente fue y = 7x

La tabla de valores que obtuviste es la siguiente:

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y 0 7 14 21 28 35 42 49 64 63 70

Con estos valores, localiza los 11 puntos en el siguiente sistema de ejes coordenados, despus los unes para obtener la recta.

71

Sesin 23

Con la ayuda del profesor, se integran en equipos y analizan la siguiente informacin, referente a funciones lineales, despus, contestan el cuestionario del ejemplo.

Adems, cuando se presenta una tabla de funcin lineal, sta tiene la caracterstica de que cuando la variable va creciendo de uno en uno, la funcin aumenta o disminuye de manera constante. Esta razn de cambio es a lo que le llamamos pendiente. De forma general la expresin analtica de la funcin lineal ser: El signo de m nos determina el tipo de inclinacin de la recta, Cuando m > 0, es decir, positiva, la inclinacin es aguda; mientras que si m < 0, es decir, negativa, la inclinacin es obtusa. Cuando la m =1 y b =0, se trata de una funcin identidad que pasa por el origen y la inclinacin de su recta es aguda. Si m = - 1 y b = 0, la recta tiene inclinacin obtusa. Para graficar una lnea recta, basta con marcar dos puntos en el plano y unirlos. Puesto que de entrada se tiene el punto (0,b), basta con calcular las coordenadas de otro punto. En particular, si hacemos F(X) = 0, estaremos calculando la interseccin con el eje X, es decir: 0 = mx + b. De donde, despejamos x, obtenemos: Esto nos lleva a definir un nuevo trmino: el de raz de una funcin. La funcin lineal tiene una raz o solucin.

f(x) = mx + b, donde m y b son los parmetros, m es la pendiente o la constante de crecimiento o decrecimiento, y b es la interseccin con el eje Y.

x = - b / m

FUNCIN LINEAL. Es una funcin polinomial de grado uno cuya principal caracterstica es que su grfica es una recta.

72

En la siguiente funcin f(x) = 2x + 4, tiene la

estructura general f(x) = mx + b, donde m = 2, b = 4.

La grfica es una lnea recta que corta al eje y en b,

es decir en y = 4. Asimismo, la funcin tiene una raz

x = - ( b / m), es decir, x = - (4/2) = -2, por lo que la

recta, tambin corta al eje X en 2.

Sabemos que m > 2, por lo que la recta tiene una

inclinacin aguda (ver su grfica)

Una fbrica de ropa examina sus utilidades. El costo (en dlares) de hacer x camisas diariamente es $ 510.00 en costos fijos (servicios, impuestos, maquinaria, etc.) ms $8.00 por camisa. Por tanto la funcin de costo es C(x) = 510 + 8x. Obtener un tabulador del costo de produccin de las siguientes cantidades de produccin de camisas: 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30. Elabora la grfica de este tabulador

SOLUCIN: Primero elaboramos la tabla de valores

C(x) = 510 + 8x

C(0) = 510 + 8(0) = 510

C(5) = 510 + 8(5) = 550

C(10) = 510 + 8(10) = 590

C(15) = 510 + 8(15) = 630

C(20) = 510 + 8(20) = 670

C(30) = 510 + 8(25) = 710

C(40) =) = 510 + 8(30)=750

x C(x)

0 510

5 550

10 590

15 630

20 670

25 710

30 750

X

Y

73

X

Y

510

0 5 10 15 20 3025

550

590

630

750

710

670

Enseguida realizamos la

grfica utilizando la tabla de

valores

Renete en equipo y contesten las preguntas relacionadas con ejemplo anterior posteriormente completen las tablas realizando las operaciones correspondientes y representen grficamente cada funcin con su tabulacin correspondiente

1.- Qu nombre recibe la grfica obtenida?_________________________________

2.- Cul es el valor de la pendiente de la grfica obtenida, es decir, de m?__________

3.- La pendiente de la grfica obtenida es positiva o negativa?___________________

4.- En la grfica obtenida, cul es el valor del parmetro b?_____________________

Completen los valores de la tabla

x f(x) = x f(x) = - x f(x) = x + 1 f(x) = x - 3 f(X) = 2x f(x) = 1/2x

-3 -3 -6

-2 -2 -1

-1 -1 0

0 0 0

1 1

2 2 3

3 3 6 3/2

74

x

y

x

y

x

y

x

y

75

x

y

x

y

Sesin 24

Contesta las siguientes preguntas con base a lo observado en las grficas

1. Cul es el punto que corta al eje y en la funcin f(x) = x 3? _________________ y en f(x) = x + 1? _______________________________

2. Qu funcin tiene el parmetro b en las funciones lineales? _______________________________________________________________

3. Cmo es la inclinacin de la recta si la pendiente es positiva? _____________ y si es negativa? _________________________________

Los alumnos organizados en parejas completar la tabla adjunta. Terminadas

las tablas debern graficar cada una de las funciones dadas y contestar las

preguntas que vienen al finalizar las grficas.

X f(x) = x2 f(x) = - x2 f(x) = x2 + 1 f(x) = x2 - 3 f(x) = (x + 2)2 f(x) = (x- 3)2

-3 9 10 1

-2 4 25

-1 1 2

0 0 4

1 1

76

x

y

x

y

x

y

x

y

2 4 17 1

3 9 25

77

x

y

x

y

Sesin 25

Observa detenidamente las grficas que construiste y responde:

1. Cuntas races puede tener una funcin cuadrtica? ______________________________

2. Cmo afecta l trmino independiente a la forma de la grfica? _____________________

3. Si l coeficiente cuadrtico a es negativo, cmo es la grfica? _____________________

Y si a > 0? ____________________ Si 0

78

x

y

x

y

x

y

x

y

1 1 2

2 8 -1

3 27 28 125

79

x

y

x

y

Sesin 26

Contesta las siguientes preguntas con base a lo observado en las grficas

1. cul es el punto que corta al eje y en la funcin f(x) = x3 3? _________________ y

en f(x) = x + 1? _______________________________

2. Qu funcin tiene el parmetro b en las funciones cbicas?

_______________________________________________________________

3. Cul es el vrtice de la funcin f(x) = (x + 2)3? _______________

Los alumnos organizados en parejas completar la tabla adjunta. Terminadas las tablas debern graficar cada una de las funciones dadas y contestar las preguntas que vienen al finalizar las grficas.

x f(x) = 2x f(x) = (0.5)x f(x) = (-0.5)x f(x) = ex

-3 3

-2 2

-1 1

0 0

1 1

2 2

3 3

80

x

y

x

y

x

y

x

y

Ya que trazaste las grficas de las funciones exponenciales, responde:

1. Cmo es el comportamiento de la funcin exponencial si la base es positiva?

__________________________________________________________________________

2. Si la base es un nmero dentro del intervalo (0,1)?________________________________

______________________________________________________________

3. Y si es negativa? ___________________________________________________________

4. Qu graficas pasan por el punto (0,1)?

81

x

y

x

y

Sesin 27 Los alumnos organizados en parejas completar la tabla adjunta. Terminadas las

tablas debern graficar cada una de las funciones dadas y contestar las preguntas que vienen al finalizar las grficas.

x f(x) = x f(x) = x + 3 f(x) = x - 2 f(x) = x-5 f(x) = x+3 f(x) = - x-1

-3 3

-2 2

-1 1

0 0

1 1

2 2

3 3

82

x

y

x

y

x

y

x

y

83

x

y

f(x) =

Con base a las actividades que realizaron al graficar las distintas funciones, asgnale a cada una de las grficas su funcin correspondiente, anexa este ejercicio a tu portafolio de evidencias.

x

y

f(x) =

x

y

f(x) =

x

y

f(x) =

85

x

y

f(x) =

x

y

f(x) =

x

y

f(x) =

x

y

f(x) =

87

INSTRUMENTOS DE EVALUACIN

Evaluacin del desempeo (ejercicios).

En equipo

No. Indicador Cumpli Ejecucin Observaciones

S No Ponderacin Calif. 1 Se integr al equipo.

0.41

2 Mostr inters por el tema.

0.51

3 Mostr conocer los conceptos que utiliz

0.51

4 Mostr habilidad para responder a los ejercicios

0.41

5 Aplic correctamente el procedimiento

0.5

Calificacin de esta evaluacin 2.34

Tabla de ponderacin

1 = s cumpli 0 = no cumpli

Ejecucin: multiplicacin del cumplimiento por la ponderacin

Evaluacin del desempeo (ejercicios):

Individual


S No Ponderacin Calif.

1 Mostr inters por el tema.

0.6

2 Mostr conocer los conceptos que utiliz

0.54

3 Mostr habilidad para responder a los ejercicios

0.6

4 Aplic correctamente el procedimiento

0.6


Tabla de ponderacin


Ejecucin: multiplicacin del cumplimiento por la ponderacin

88

Evaluacin de productos (actividad extra clase):


S No Ponderacin Calif.

1 Resolvi el total de los ejercicios

0.5

2 Resolvi correctamente los ejercicios

1.5

3 Entreg en tiempo y forma indicada los ejercicios.

0.5


Tabla de ponderacin


Ejecucin: multiplicacin del cumplimiento por la

calculo diferencial

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