calculo-diferencial

CURSO CERO DE

MATEMTICAS

Clculo Diferencial Dr. Jos Antonio Reyes Perales Dra. Mnica Corts Molina

Curso cero de matemticas Clculo Diferencial

-1-

RESUMEN TEORA DE CLCULO DIFERENCIAL

Derivadas La derivada de una funcin se puede interpretar geomtricamente como la pendiente de una curva y, fsicamente como una razn instantnea de cambio. Interpretacin geomtrica - Tangente a una curva A principios del siglo XVII no se saba cmo calcular la tangente a una curva en un punto de la misma. Este problema se presentaba con frecuencia en mecnica, en ptica y en geometra. Vamos a estudiar el concepto general de tangente a una curva en un punto dado. En general, no es un caso sencillo encontrar la pendiente de esta tangente. La razn es que, en principio, se necesita para esto otro punto, adems del de tangencia. Supongamos que queremos encontrar la tangente a la curva de ecuacin cartesiana y = f(x) en el punto (a, f(a)). La estrategia, utilizada primero por Pierre de Fermat y ms tarde por Newton, consiste en aproximar la tangente por rectas secantes las pendientes de las cuales se pueden calcular directamente. En particular, consideramos la recta que une el punto (a, f(a)) con un punto prximo, (a+h, f(a+h)), de la grfica de f. Esta recta se llama secante (recta que corta, pero no es tangente a la curva). La pendiente de esta secante es:

( ) ( ) ( ) ( )( )

f a h f a f a h f aa h a h+ +

=+

dicho nmero se suele decir cociente incremental de f en a.

Notemos que una secante es una buena aproximacin de la tangente, siempre que el punto (x, f (x)) est muy prximo a (a, f (a)). Estas consideraciones llevan a definir la tangente de f en el punto (a, f (a)) como la recta que pasa por dicho punto y, en la cual, la pendiente es igual al lmite:

0

( ) ( )'(a) limh

f a h f afh

+ =

supuesto, claro es, que dicho lmite exista (sea finito).

Recta tangente: ( ) '( )( )y f a f a x - a =


-2-

Interpretacin fsica - Razn de cambio Muchas leyes de la Fsica, la Qumica, la Biologa o la Economa, son funciones que relacionen una variable dependiente y con otra variable independiente x, lo que suele escribirse en la forma y = f (x). Si la variable independiente cambia de un valor inicial a a otro a+h, la variable y lo hace de f (a) a f (a+h). La razn de cambio medio de y = f (x) con respecto a x en el intervalo [a, a+h] es:

Razn de cambio medio = ( ) ( )f a h f ah

+

Con frecuencia interesa considerar la razn de cambio en intervalos cada vez ms pequeos. Esto lleva a definir lo que podemos denominar razn de cambio puntual de y = f (x) con respecto a x en el punto a como:

0

( ) ( )limh

f a h f ah

+

El ejemplo ms conocido de lo que estamos diciendo es el de una partcula que se mueve a lo largo de una recta sobre la cual hemos elegido un origen. Sea f(t) la distancia de la partcula al origen en el tiempo t. La razn de cambio medio tiene en este caso una interpretacin fsica natural. Es la velocidad media de la partcula durante el intervalo de tiempo considerado. Parece intuitivo que, en cada instante, la partcula se mueve con una determinada velocidad instantnea. Pero la definicin corriente de velocidad es en realidad una definicin de velocidad media; la nica definicin razonable de velocidad instantnea es como la razn de cambio puntual. Es importante darse cuenta que la velocidad instantnea es un concepto terico, y una abstraccin, que no corresponde exactamente a ninguna cantidad observable. Derivada de una funcin en un punto Notacin. En lo que sigue las letras Y y J representan intervalos abiertos no vacos de nmeros reales.

Se dice que una funcin f : Y R es derivable en un punto a Y, si existe el lmite:

0

( ) ( )'( ) limh

f a h f af ah

+ =

Se dice que f es derivable por la izquierda en a si existe el lmite:

0

( ) ( )'( ) limh

f a h f af ah

+ =

El valor de dicho lmite se llama derivada por la izquierda de f en a.

Anlogamente, se dice que f es derivable por la derecha en a, si existe el lmite:


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0

( ) ( )'( ) limh

f a h f af ah+

+

+ =

El valor de dicho lmite se llama derivada por la derecha de f en a.

Reglas de derivacin Sean f, g: Y R dos funciones. Se verifican las siguientes afirmaciones:

1. La funcin suma f +g es derivable en todo punto a Y en el que f y g sean derivables; en tal caso, la derivada viene dada por:

(f +g)(a) = f (a)+g(a)

2. La funcin producto f g es derivable en todo punto a Y en el que f y g sean derivables; en tal caso, las derivada ser:

(f g)(a) = f (a) g(a)+ f (a) g(a)

3. Si g(x) 0 para todo x Y, la funcin cociente f g es derivable en todo punto a Y en el que f y g sean derivables. En tal caso se verifica que:

( )

'

2'( ) ( ) ( ) '( )( )

( )f f a g a f a g aag g a

=

Derivacin de una funcin compuesta o regla de la cadena Sean f: Y R y g: J R con f(Y) J, y sea p = g f : Y R la funcin compuesta. Supongamos que f es derivable en a Y y que g es derivable en f (a). Entonces p es derivable en a y:

p(a) = g( f (a)) f (a). En particular, si g es derivable en J, la funcin compuesta p = g f es derivable en todo punto de Y donde f sea derivable. Diferencial de una funcin en un punto

Sea una funcin real de variable real, y 0o

fx D , se dice que f es diferenciable en 0x , si existe una aplicacin lineal:

0

0

( ) :( )( )

df xh df x h

tal que 0 0 0

0

( ) ( ) ( )( )lim 0h

f x h f x df x hh

+ = .

Dicha aplicacin lineal, es nica y se le llama diferencial de f en 0x .


-4-

Sea f una funcin real de variable real, y 0o

fx D , entonces: f es derivable en 0x si, y slo si, f es diferenciable en 0x . Adems: 0 0( )( ) ( )df x h f x h= . El nmero real 0 0( )( ) ( )df x h f x h= se escribe como 0( )dy f x h= . En el caso particular de ser ( )y f x x= = , como para todo 0x , 0( ) 1f x = , 0( )( ) 1dx x h h= . En consecuencia, si para el caso general ( )y f x= se escriba 0( )( )df x h dy= , parece natural denotar 0( )( )dx x h por dx, luego dx = h. Obtenindose, la notacin habitual:

0( )dy f x dx=

Sea f una funcin real de variable real, y 0o

fx D entonces f es diferenciable en

0 0 0 0( ) ( ) ( )( ) h (h)x f x h f x f x h + = + donde es una funcin real de variable real tal que

0lim ( ) 0h

h

= . La diferencial en un punto 0x , es la aplicacin lineal que mejor aproxima a

0 0( ) ( )f x h f x+ , en un entorno suficientemente pequeo de 0x . Interpretacin geomtrica de la diferencial de una funcin en un punto La diferencial de una funcin en un punto es el incremento de la ordenada medido sobre la tangente a la curva representativa en ese punto. La diferencia entre la diferencial de la funcin dy, y el incremento de la funcin y, se pone de manifiesto en las figuras siguientes:


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Tabla bsica de derivadas Funcin Derivada Funcin Derivada

Reglas bsicas de derivacin

Suma

Producto

Cociente

Regla de la cadena

Funcin recproca


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Derivacin logartmica

Tabla de primitivas

1) += Cxdx 2) += Ckxkdx , k es constante

3) Cnxfdxxfxf

nn +

+=

+

1)()()(

1`

, 1n 4) ( ) ln ( )( )

f x dx f x Cf x

= +

5) Cedxxfe xfxf += )()( )( 6) Caadxxfa

xfxf += ln)(

)()( , 0>a

7) += Cxfdxxfxf )(cos)(sen)( 8) += Cxfdxxfxf )(sen)(cos)( 9) ( ) tg ( ) ln cos ( )f x f x dx f x C = + 10) Cxfdxxfxf += )(senln)(ctg)(

11) Cxfdxxf

xf+=

)(tg)(cos

)(2 12) Cxfdxxf

xf+=

)(arcsen)(1

)(2

13) Cxfdxxfxf

+=

)(cosarc)(1

)(2

14) Cxfdxxfxf += )(cot)(csc)( 2

15) += Cxfdxxfxfxf )(sec)(tg)(sec)( 16) += Cxfdxxfxfxf )(csc)(cot)(csc)(

17) ( )22( ) 1 ( )

( )f x f xdx arctg C

a aa f x = +

+ 18) ( )22( ) 1 ( )

( )f x f xdx arcctg C

a aa f x = +

+

19) Caxfaxf

adxxf

xfa+

+

= )(

)(ln2

1)()(

122 20) Caxf

axfa

dxxfaxf

++

= )(

)(ln21)(

)(1

22

21) ( )

( )2222

( ) ( )argsenh ln ( ) ( )( )

f x f xdx C f x a f x Caa f x

= + = + +

22) ( )

( )2 22 2

( ) ( )argcosh ln ( ) ( )( )

f x f xdx C f x f x a Caf x a

= + = +

Frmulas de sustitucin: ( )( ) ( ) ( )duugdxxfxfg = , donde el cambio de variable es

( )xfu = .


-7-

Frmula de integracin por partes: = vduuvudv

Primitivas racionales: ( )( )

P x dxQ x

1. Si P(x)=Q(x) : ( ) ln | ( ) |( )

P x dx Q x CQ x

= +

2. Si Grado P(x) Grado Q(x): ( ) ( )( )( ) ( )

P x r xdx C x dxQ x Q x

= +

3. Si Q(x) tiene races reales: Descomponer ( )( )

P xQ x

en fracciones simples e

integrar.

4. Si 21 dx

ax bx c+ + y Q(x) tiene races complejas: Completar cuadrado e integrar. Ser de tipo arctg.

5. Si 2mx n dx

ax bx c+

+ + y Q(x) tiene races complejas: Separar en 2, la primera ser de tipo ln y la segunda corresponder a un caso 4.

6. Si Q(x) tiene races complejas mltiples: Aplicar HERMITTE.

a. ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

P x U x V xdx dxQ x R x S x

= + donde R(x): m.c.d. (Q(x) y Q(x)). S(x): cociente de Q(x)/R(x). U(x): Polinomio con coeficiente a determinar de un grado ms pequeo que R(x). V(x): Polinomio con coeficiente a determinar de un grado ms pequeo que S(x).

b. Derivar la expresin anterior y calcular los coeficientes

indeterminados.

c. Integrar ( )( )

U x dxS x .


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Identidades trigonomtricas:

1) 1cos22 =+ xxsen 2) xsenxtgxcos

= 3) senx

xx coscot =

4) x

xcos

1sec = 5) senx

x 1csc = 6) xxtg 22 sec1 =+

7) xx 22 csccot1 =+ 8) ( ) xsenxxsen cos22 = 9) xsenxx 22cos)2cos( = 10)

xtgtgxxtg 21

2)2(

= 11) ( )2

2cos12 xxsen = 12) 2

)2cos(1cos2 xx +=

13) ( )( )xxxtg

2cos12cos12

+

= 14) ( )xtg

tgxxsen 2122+

= 15) ( )xtgxtgx 2

2

112cos+

=

Otras identidades: 1) ( ) xsenyysenxyxsen coscos = 2) ( ) senxsenyyxyx coscoscos = 3) ( )

tgxtgytgytgxyxtg

1

= 4) ( ) ( )[ ]yxyxsenxseny += coscos21

5) ( ) ( )[ ]yxsenyxsenysenx ++=21cos 6) ( ) ( )[ ]yxyxyx ++= coscos

21coscos

Primitivas trigonomtricas: [ ]sen( ),cos( )R x x dx

Impar en sen(x) Impar en cos(x) Par en sen(x) y cos(x) Cambio general

2

2

cos( )

sen( ) 11

1

x t

x t

dxt

=

=

=

2

2

sen( )

cos( ) 11

1

x t

x t

dxt

=

=

=

2

2

2

tg( )

sen( )1

cos( )1

11

x ttx

tdtx

t

dxt

=

=+

=+

=+

2

2

2

2

tg2

2sen( )11cos( )1

21

x t

txttxt

dtdxt

=

=+

=+

=+


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Primitivas irracionales:

Tipo Cambio

R funcin racional

m, n, , p, q enteros


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PROBLEMAS DE CLCULO DIFERENCIAL Derivadas 1.- Calcula las funciones derivadas de las siguientes funciones:

( )( ) ( ) ( )

( )2 3

62 3 4

2

3sin cos 5

) 3 5 ) ln ) sin

) ln 6 1 ) ln sin ) ln tan

) 3 ) ) ln 2 1x x x

a y x x b y x c y x

d y x x e y x f y x

g y h y e i y x+

= + = =

= + = =

= = =

Solucin:

( ) ( )

( )

( ) ( )2 3

52 2 3

2

sin cos 2 4

3) 6 3 5 2 3 ) ln ) 4sin cos

2 6 1 2) ) cot ) 6 1 cos sin sin 2

2430) 2 cos 3 ln 3 ) 3 cos sin ) ln 2 12 1

x x x

a y x x x b y x c y x xx

xd y e y x f yx x x x x

g y x x h y e x x i y xx

+

= + = =

= = = = +

= + = =

2.- Calcula las funciones derivadas de las siguientes funciones:

( )

( )2

3 2322

22 3

3 5

2

) ) 5 ) 2 1

) 1 ) 5sin ) 6

3) sin ) ) 71

x x

x x x

e e x xa y b y x c yx

d y x e y x f y x

g y x h y i y ex

+ = = =

+

= + = = +

= = =

Solucin:

( )( )

( )

( )( )( )2

4 22222

2 3

3 5

2 2

3 2) ) 6 5 ) 2 1

5cos 2) ) ) 2 5sin 3 61

1 3) cos ) ) 7 6 5 ln 7 12 1 1

x x

x x x

e e x x xa y b y x x c yx

x xd y e y f yx xxxg y x h y i y e x

x x x

+ = = =+

= = =++

= = =


( )

2 23 2

2

2

2

) ) log ) tan1 3

3) sin ) ln ) arcsin2 3

1) arctan 1 ) arccos ) arctan

x xa y b y c y xx x

xd y e y x f y

g y x h y i y xx

= = = +

= = =

= + = =

Solucin:


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( )( ) ( )( )

( )

22 2 2 2

2 3

4

4 2 22

2 1 6 1) ) ) 6 tan 1 tan(1 ) 3 ln10

1 2) 0 ) ) 2 ln 9

2 1 1) ) ) 2 2 2 1 arctan1

x x xa y b y c y x x xx x x

xd y e y f yx x x

xg y h y i yx x x xx x

= = = ++

= = =

= = =+ + +

4.- Calcula las funciones derivadas de las siguientes funciones.

( )

( )

2

2 2

2

1) arccos ) ) arctan1

1) ln ) ln ) ln1 1

) log tan ) ln ) ln1

x

x

xx

x

xa y e b y x x c yx

x xd y e y f y xex x

eg y x h y x i ye

= = + = +

+= = =

+

= = =

Solucin:

( )

( )

22 2

2

4 2

2 1 1) ) ) 11 4

4 1 1) ) ) 1 2 1

4 1 1) ) 1 ln ) ln10 sin 2 1

x

x

x

e xa y b y c yxe x x x

x x xd y e y f yx xx x

g y h y x i yx e

+ = = =+ +

= = = +

= = + =


( )( )

( )

2 23

3 2 3

1) ) 2 ) 1 11

1 2 2) ln ) ) 2 2 2 2

) cos ) sin ) sin cos

m

p

xx x

a

n

xa y b y x x c y x x xxx

x ed y e y f y axx

g y a bx h y x i y x x

= = + = + +

= = =

+

= = =

Solucin: ( )( )( )

( )

( )

1 3 2

1 23 2 2

2 1

1 2 23

1 1 1 3 2 1) ) ) 21 3 1

1 3) ) ) ln2 1 2

2cos) sin ) ) sin 4cos 13 sin

m

p

xx x

a

n n

x m p x m x x xa y b y c yxxx x x

e x ad y e y f y x a a

x xxg y bnx a bx h y i y x xx

+

+

+ + + = = + + =+

= = =

= = =


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6.- Calcula las derivadas de funciones potenciales-exponenciales. Derivacin logartmica:

tg ln(cos )

1ln

) (sen ) )

) (sen ) )

x x

xxx

a y x b y x

c y x d y x

= =

= =

Solucin:

( ) ( )

( ) ( )( )

2 tg ln(cos )

1ln

1

ln cos) sec ln(sin ) 1 (sen ) ) tan ln

ln sin(sen )) cot ) 1 ln lnln ln

x x

xx xxx

xa y x x x b y x x x

x

xxc y x d y x x x x xx x x

= + = +

= = + +


( )

sin

22

2 2 2 2 2

1 ln) 5ln ) 2 ln )

cos 1) ln 1 ) lntg ) arctg ln2sen 2 2

1 cos) arcsen ) arctg ) arcsen1 cos

x xexa y x x b y x c y ax x

x x a x ad y x x e y f yx x x a

x x xg y x a x a h y i y a x aa x a

= + = + =

= + + = + = + +

= + = = + +

Solucin: ( )sin

2

3

3 4 42

2 2

2 1 lnsin 5) cos ln ) ) ln

1 1 2) ) ) sin11) 2 ) ) 2

x x xex xxa y x x x b y c y e a ax x x

ad y e y f yx x ax

a xg y a x h y i ya x

+ = + + = =

= = =+

= = =+


2 2 4 32

2 2 2

2arcsin

2 2 2

3

cos 1 8 3 2 3) arccos ) ln tan ) arcsin 12sin 2 2 32 32

1 1 sin) ) ln ) ln1 1 sin

1 1 1 1 1) ) ln ) 3co3cos cos 51 1

a x

x

x

x a x x x x xa y b y c y x xx a x

x a x x xd y e e y f ya xa a x

eg y h y i yx x e

+ = = = + +

+ += = =

+ +

+ = = =

+ +( )

( )

( ) ( )

2 3

2

2

22 2 2 2 2 2 2

s 5 cos

1) arcsin ) arcsin ) arcsin 1 21

1 1) arcsin ) ln ) ln ln2 2 2 2 2 2

x x

x bj y k y x l y x x xabx

x a m n x am y x x x x n y x a x x a y x aa x a

= = = + +

= + = + = + +


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Solucin:

( )

3 32 2

arcsin

2 2

33 2

4

2 2 2

2 2

2) ) cos ) arcsin

) ) ) sec

sin 1) ) ) sin coscos 1

1 1) ) ) 1 2

) arcsin )

a x

x

aa y b y ec x c y x xx a

ad y e e y f y xx a x

xg y h y i y x xx e

xj y k y l yx a bx x x

m y x n y x a

= = =+

= = =

= = =+

= = =+

= = 2 2) mx nyx a

+ =

Problemas geomtricos 1.- Usando derivacin implcita, hallar la pendiente de la recta tangente a la circunferencia:

2 2 4 2 11 0x y x y+ + = En el punto de abscisa x = 2 y la ordenada positiva. Solucin: y = 3. 2.- Hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva

2sen( ) 4 16x xy y x+ = + , en el punto de abscisa x = 0 y ordenada positiva. Solucin:

Recta tangente: 2 16xy =

Recta normal: 2 16y x =

3.- Hallar la ecuacin de una parbola de la forma 2y x bx c= + + que sea tangente a la curva 3( 1)y x= en el punto de abscisa x = 1. Solucin: b = -2, c = 1. 4.- Determinar los puntos en los que la curva 3 2 6 1y x x x= + + tiene tangente paralela a la recta 2 1y x= + . Solucin: (-2, 9) y (4/3, -77/27).

5.- Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a la funcin ln 1xy

x=

+ paralelas a la

recta 4 1 0x y + = .

Solucin: ln 2 1 ( 1)2 4

y x+ = y ln 2 1 ( 2)2 4

y x = + .


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6.- Hallar la ecuacin de la recta tangente a la curva xy x= en el punto de abscisa x = 1. Solucin: y x= . Variacin de funciones (ritmos) 1.- Un gas escapa de un globo esfrico a razn de 2 3m por minuto. Halle la disminucin de su superficie en la unidad de tiempo, cuando el radio es 12 m .

Solucin: 31 /3

m min .

2.- De un embudo cnico sale agua a razn de 1 3cm por segundo. Sabiendo que el radio de la base es de 4 cm. y la altura de 8 cm., calcule el descenso del nivel en la unidad de tiempo en el instante en que la superficie libre se encuentra a una distancia de 2 cm. de la base del embudo.

Solucin: 1 /9

cm s

.

3.- Un lquido penetra en un tanque cilndrico vertical de 6 m. de radio a razn de 8 3 /m min . Halle la variacin de la altura del nivel del agua con respecto al tiempo.

Solucin: 2 /9

dh m mindt

= .

4.- Se forma un montculo cnico de arena cuya altura es constantemente igual a los 4/3 del radio de la base. Halle:

a) el incremento de volumen en la unidad de tiempo cuando el radio de la base es de 3 m., sabiendo adems que ste aumenta a razn de 25 cm. cada minuto.

b) el incremento del radio en la unidad de tiempo cuando ste es de 6 m. y el volumen aumenta a razn de 24 3m por minuto.

Solucin: a) 33 /dV m mindt

= b) 1 /2

dr m mindt

= .

5.- Un barco A navega hacia el sur a una velocidad de 16 millas por hora, y otro barco B, situado a 32 millas al sur de A, lo hace hacia el este con una velocidad de 12 millas por hora. Halle:

a) la velocidad a la que dichos barcos se aproximan o se separan al cabo de una hora de haberse iniciado el movimiento.

b) la velocidad a la que dichos barcos se aproximan o se separan al cabo de dos horas de haberse iniciado el movimiento.

c) El momento en que dejan de aproximarse y comienzan a separarse, as como la distancia a que se encuentran en dicho instante.

Solucin: a) Se aproximan a razn de 5.6 millas/h b) Se separan a razn de 12 millas/h c) Dejarn de aproximarse cuando 1.28t = h y D=19.2 millas.


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6.- Un objeto de 5 m. de altura se encuentra justamente debajo de un foco de luz de la calle situado a 20 m. de altura. Suponiendo que el objeto se mueve a una velocidad de 4 m. por segundo, calcule:

a) la velocidad del extremo de la sombra. b) La variacin de la longitud de la sombra por unidad de tiempo.

Solucin: a) 16 /3

m s b) 4 /3

m s .

7.- Un globo se eleva desde un punto A de la Tierra a una velocidad de 15 /m s y su ascenso se observa desde otro punto B situado en la horizontal que pasa por A y a una distancia de este punto de 309 m. Halle la variacin de la distancia del punto B al globo cuando la altura de ste es de 40 m. Solucin: 12 /m s . 8.- Si el radio de una esfera en el instante t, es r. Halle dicho radio cuando su incremento en una unidad de tiempo es igual numricamente, al de la superficie.

Solucin: 18

cm

.

9.- Dos lados paralelos de un rectngulo se alargan a razn de 2 cm. cada segundo, mientras que los otros 2, se acortan de manera que la figura resultante, en todo momento, es un rectngulo de rea constante e igual a 50 2cm . Calcule la variacin por unidad de tiempo del permetro P cuando la longitud de los lados extensibles es de

a) 5 cm. b) 10 cm. c) Halle las dimensiones del rectngulo cuando el permetro deja de

disminuir. Solucin: a) -4 /cm s b) 2 /cm s c) 5 2 x y cm= = 10.- Un muchacho lanza una cometa a una altura de 150 m. Sabiendo que la cometa se aleja del muchacho a una velocidad de 20 /m s , halle la velocidad a la que suelta el hilo cuando la cometa se encuentra a una distancia de 250 m. del muchacho. Solucin: 16 /m s . 11.- El efecto combinado de dos resistencias 1R y 2R conectadas en paralelo, es una

resistencia R dada por 1 2

1 1 1R R R

+ = donde 1 2, y R R R se miden en ohmios. 1R y 2R

estn creciendo a razn de 1 y 1.5 ohmios por segundo, respectivamente. A qu ritmo est cambiando 1 2, cuando =50 y 75 ohmiosR R R = ? Solucin: 0.6 / s .


-16-

12.- Una escalera de 20 m. se apoya contra un edificio. Halle: a) la velocidad a la que se mueve el extremo superior cuando el inferior se aleja del

edificio a una velocidad de 2 metros por segundo y se encuentra a una distancia de l de 12 metros.

b) La velocidad a la que disminuye la pendiente.

Solucin: a) 3 /2

m s b) 25 /72

m s .

13.- Se deja caer una piedra en un estanque en calma, lo que provoca ondas circulares. El radio del crculo exterior crece a un ritmo constante de 1 /m min . Cuando el radio es de 4 m. A qu ritmo est cambiando el rea total ( )A t de la regin circular cubierta por las ondas? Solucin: 28 /m min.

Primitivas 1.- Calcula las siguientes primitivas:

4 22

322

22

) 3 ) (2 ) ) 5

7) ) ) cos (5 )3 7

3) sen(2 ) ) ) 4 sen

x

x

dxa x dx b x dx cx

dx dxd e e dx fxx

x x dxg x x dx h dx ixx

+

Solucin: 3

5

3

2 5/2

3 2 1 5) ) ) ln5 ln 2 3 2 5 5

7 7 1 1) arcsen ) ) tan(5 )3 57 3

1 1) - cos(2 ) ) 6 ) -cotan( )4 10

x

x

x xa x C b C c Cx

xd C e e C f x C

g x C h x x C i x C

+ + + +

+

+ + +

+ + +

2.- Calcula las siguientes primitivas:

( )

2 2

2 22 2

2 2

) ) ) 1 cos 1 sin cos6

) ) ) 144

) ) ) 33 2 9 4x x

dx dx dxa b cx x xx x

dx dx xd e f dxxx xx x

dx dx dxg h ie ex x x

+ + +

++

+ + +

Solucin:


-17-

( ) ( )

( )

2

2 tan 2 1) arctan ) arcsen2 52

2 4) ln tan ln 1 tan ) Realizar el cambio ; 2 2 4

1 1) arctan ) 2 2arctan4 8

1 1 3) 2 2 6ln 3 2 ) ln3 9

x

x x

x xa C b C

x x xc C d x Ct x

e x C f x x Cx

eg x x C he e

+ +

+ + = +

+ + +

+ + + + +

21 9 4 3) ln3

C

xi Cx

+

+ +

3.- Calcula las siguientes primitivas inmediatas:

( )

( )

2 2 2

2 2 2

2

2

2

7) ) ) 25 7 3 5

7 5) ) ) 16 9 25 9 16sin 1 tan sin) ) )

5cos 2 4 tan 2 5cos 2ln 1

) ) ) cos sin4 7

ln 1 s) ) )

1cos tan 1

dx dx dxa b cx x x

dx dx dxd e fx x x

x x xg dx h dx i dxx x x

xdxj dx k dx l x x dxxx

xdxm n dx oxx x

+ +

+ ++

+ +

+

+++

( )

( )( )( )

2

2

32

in 2

1 sincos 2tan 1 ln) ) )

cos 2 3sin 2

xdx

xx dxx xp dx q r dx

x xx

+

+

+

Solucin:

2 2

3

1 7 7 1 5) arctan ) arctan ) ln5 5 21 3 2 5 55 3 5) arcsin ) 7 ln 25 ) ln 3 4 163 4 31 1 2) ln 5cos 2 ) ln 4 tan 2 ) - 5cos 25 4 5

ln1) 4 7 ) ln2 3

x x xa C b C c Cx

xd C e x x C f x x C

g x C h x C i x C

xj x C k x C l

+ + + + + + + + + + +

+ + + + +

+ + + + ( )

( )

( )( )( ) ( )

32

2

2

2 332

2) - cos3

ln 1) 2 tan 1 ) ) 2 1 sin

22 3sin 2 ln2 1) tan 1 ) )

3 6 2 3

x C

xm x C n C o x C

x xp x C q C r C

+

+ + + + +

++ + + +


-18-

4.- Calcula las siguientes primitivas inmediatas: 1

2

2

22 2 2 2 2 2

) ) ) 1 arcsin

arctan) ) ) 1

1) ) 1

xxdx aa b e x dx c dx

xx xdx dx x xd e f dx

xb x a a x b

x dxg dx hx x x

+ +

+

+

Solucin:

( )

1

2 2 2 2 2 2 2

32

) ln arcsin ) ) 2ln

1 1 1) ln ) ln ) ln 12

4) 1 ) 4 13

xx aa x C b e C c C

a

d bx b x a C e ax a x b C f x Cb a

g x C h x C

+ + +

+ + + + + + +

+ + + +

5.- Calcula las siguientes primitivas por partes:

( )

2

3 2

23

) ) ln ) arcsin

) ) arctan ) cos

ln) 1 ) ln )

x

x ax

a xe dx b x x dx c x dx

d x e dx e x dx f e bx dx

xg x x dx h x x dx i dxx

Solucin:

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

3 3

3 22 2

22 2

32 5 72

3 32 2

2

ln) )

3 93 3 3) arcsin + 1 )

2 4 4 8

cos sin1) arctan ln 1 + ) 2

2 1 8 16 2 4) - 1 1 ) ln3 15 105 3 9

ln 1) 2

x x

x

ax

x x xa xe e C b C

x x xc x x x C d e C

e a bx b bxe x x x C f C

a b

x xg x x x C h x x x C

xi

x

+ +

+ + +

+

+ ++

+ +

24C

x+

6.- Calcula las siguientes primitivas racionales:

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2

2 2 2

3 2 3 3

4 2 2 2

2

2 3 2 3 2

7 9 1 2 8) ) ) 1 2 3 1 2 2

2 3 4 2 1) ) ) 3 2 1 5 6

) ) ) 3 3 3 21 1

x x x dxa dx b dx cx x x x x x x x x

x x x x x xd dx e dx f dxx x x x x

dx x dxg h dx ix x x x x xx x

+ + +

+ + + + ++ + +

+ + +

Solucin:


-19-

( )

( )

2

2

2

11 1 1 3) ln 1 ln 2 ln ) ln2 2 3 3

1 9 7) - ln 2 +ln ln 22 2 16 32 1) arctan + ln 2

213 7 2 1arctan112 73 1 7 2) ln 1 ln 1 ) +5 13ln 2 +34ln 32 2 2 51 1) ln 14 2 1

xa x x x C b Cx x

c x x x xx

d x x Cx C

x xe x x C f x x x C

g xx

+ + + +

+ + +

+ +

++ +

+ + + +

+

1 1 1 9ln 1 ) ln 1 ln 1 ln 34 8 4 8

1 1) ln ln 1 ln 22 2

x C h x x x C

i x x x C

+ + + + + +

+ +

7.- Calcular el rea limitada por la funcin ( ) exf x = y el eje OX, entre las abscisas x = 0 y x = ln 2. Solucin: 1 u2. 8.- Hallar el rea limitada por 2( )f x x= , la recta y = -x + 2 y el eje de abscisas. Solucin: 5/6 u2. 9.- Hallar el rea comprendida entre la parbola 28 2x y y= + y el eje OY, entre las ordenadas y = -1 e y = 3. Solucin: 92/3 u2. 10.- Calcular el rea limitada por las funciones 2y x= e y = x. Solucin: 1/6 u2. 11.- Hallar el rea comprendida entre 2( ) 4f x x= y el eje OX, entre las abscisas x = -2 y x = 4. Solucin: 64/3 u2. 12.- Hallar el rea limitada por 2( ) 6f x x x= e 2g( ) 2x x x= . Solucin: 64/3 u2. 13.- Hallar el rea limitada por la parbola 2 4y x= y la recta 2 4y x= .

a) Integrando respecto a OY. b) Integrando respecto a OX.

Solucin: 9 u2. 14.- Hallar el rea de un crculo de radio r. Solucin: r2 u2.


-20-

15.- Hallar el rea del menor de los sectores que la recta x = 2 determina en el crculo 2 2 25x y+ = .

Solucin: 2 2525arcsen 2 215 2

u2.

calculo-diferencial

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