calculo diferencial

JUAN GERARDO GARCA SALAZAR

Clculo Diferencial

0

CAPITULO I


Clculo Diferencial

1

Prlogo

El propsito de la elaboracin de este libro, radica ante todo hecho el facilitar la

compresin del CLCULO DIFERENCIAL y la obtencin de soluciones a problemas

con cierto grado de dificultad, as mismo, su propsito es el servir en el anlisis de

principios y aplicaciones fundamentales de las matemticas.

En este libro encontrar problemas en los cuales su solucin quizs no sea

nica, pero se otorgan las bases para su desarrollo y comprensin.

Un ejemplo especifico de lo anterior, es cuando se usan funciones

trigonomtricas, y su solucin depende de qu tanto se haya desarrollado una

identidad.

De esta manera, en todos aquellos problemas a resolver, se otorgan las bases

especficas y concretas para lograr resultados satisfactorios e inclusive en aquellos

problemas que implique un alto grado de dificultad.

La elaboracin de este libro fue con gran atencin, anlisis y el con gran

propsito de que resulte de gran apoyo al lector. Sin embargo, si resulta algn error en

su contenido, se agradecer noblemente el hacerlo saber a servidor.

Juan Gerardo Garca Salazar Correo: [email protected]


Clculo Diferencial

2

Como un homenaje pstumo a mis padres

A mi esposa e hijos

A mis hermanos

Y a todos los alumnos y ex alumnos del Instituto Tecnolgico de Agua Prieta

E = MC2

Einstein tena razn

Juan Gerardo Garca Salazar

Agua Prieta, Sonora 2007


Clculo Diferencial

3

NDICE

Capitulo I Nmeros reales

1.1 Clasificacin de los nmeros reales.---------------------------------------------------------5

1.2 Representacin grfica de los nmeros reales y sus propiedades----------------6

1.3 Valor absoluto y sus propiedades.------------------------------------------------------------ 6

1.4 Desigualdades y sus propiedades ------------------------------------------------- ----------7

Ejemplos resueltos de desigualdades ------------------------------------------------------------8

Ejemplos resueltos de valor absoluto --------------------------------------------------------- 12

Ejercicios diversos para resolver--------------------------------------------------------------- 14

Capitulo II Funciones

2.1. Definicin.------------------------------------------------------------------------------------------ 16

2.2. Ecuacin.------------------------------------------------------------------------------------------- 17

2.3. lgebra de funciones y funciones inversas ---------------------------------------------23

2.4. Operaciones con funciones.------------------------------------------------------------------30

Problemas propuestos ----------------------------------------------------------------------- ------32

Capitulo III Limites y continuidad

3.1. Idea de lmite--------------------------------------------------------------------------------------- 35

3.2 Teorema sobre lmites---------------------------------------------------------------------------36

3.3. Continuidad.----------------------------------------------------------------------------------------42

Ejercicios propuestos-------------------------------------------------------------------------------- 47

Capitulo IV Derivadas

4.1 Incrementos y Diferenciales ----------------------------------------------------------------- 49

4.2 Definicin de derivada ------------------------------------------------------------------------- 54

4.3. Derivadas de funciones algebraicas simples.------------------------------------------ 56

4.4 Derivadas sucesivas.-----------------------------------------------------------------------------65

4.5. Derivadas implcitas----------------------------------------------------------------------------- 67

4.6. Derivada de Funciones Trigonomtricas ------------------------------------------------72


Clculo Diferencial

4

4.7. Derivadas de funciones inversas e implcitas-------------------------------------------80

4.8. Derivadas de funciones exponenciales y logartmicas.---------------------------- 83

4.9. Derivadas de funciones hiperblicas--------------------------------------------------- 91

Ejercicios propuestos------------------------------------------------------------------------------ 94

Capitulo V. Aplicaciones de derivadas

5.1 ley de velocidad y aceleracin --------------------------------------------------------------- 96

5.2 Concavidad ----------------------------------------------------------------------------------------100

5.3 Problemas sobre mximos y mnimos criterio primera y segunda derivada104

5.4 Aplicacin de mximos y mnimos ------------------------------------------------------ 108

Ejercicios para resolver --------------------------------------------------------------------------- 123

Capitulo VI Sucesiones y series

6.1. Desarrollo de una funcin en serie.------------------------------------------------- 128

6.2. Diferencia entre sucesin y serie----------------------------------------------------- 128

6.3. Convergencia y divergencia.----------------------------------------------------------- 128

6.4. Sucesin acotada --------------------------------------------------------------------------129

6.5. Series Aritmticas.------------------------------------------------------------------------129

6.6. Series geomtricas ----------------------------------------------------------------------- 129

6.7. Derivacin de series de potencias----------------------------------------------------130

6.8. Serie de McLaurin -------------------------------------------------------------------------132

6.9. Serie de Taylor ------------------------------------------------------------------------------134

6.10. Aplicaciones ------------------------------------------------------------------------------ 134

Bibliografa -----------------------------------------------------------------------------------------139


Clculo Diferencial

5

CAPITULO I NUMEROS REALES

1.5 Nmeros reales

1.6 Representacin grfica de los nmeros reales

1.7 Valor absoluto y sus propiedades

1.8 Desigualdadaes y sus propiedades

1.1 Nmeros reales

El conjunto de los nmeros reales se establece, como el resultado de un proceso

gradual de aplicacin de otros conjuntos que son:

1) Nmeros naturales 1, 2, 3, 4,......, que se utilizan para contar y que se

denominan tambin nmeros enteros positivos. La suma o multiplicacin de

nmeros naturales, es otro natural.

2) Nmeros racionales positivos o fracciones positivas (p / q).

Son los cocientes de dos nmeros enteros positivos; por ejemplo 3/5, 4/8,

121/11 (el conjunto de los nmeros naturales esta incluido en el de los

racionales positivos 3/1, 8/2, etc.

3) Nmeros irracionales positivos. Son los nmeros no racionales como

2,....etc.

4) Cero. Se introduce en el sistema numrico de forma que puedan realizarse

operaciones como 5-5 ,3/4, -3/4, etc. Tiene la propiedad de que cualquier

nmero multiplicado por el da cero y cero dividido entre cualquier nmero

diferente a cero es igual a cero (0/q = 0).

5) Nmeros negativos. Son los nmeros enteros, racionales e irracionales

antepuestos del signo menos de la resta como por ejemplo: -3,-3/2,-3.

El conjunto de los nmeros reales. Esta formado por los nmeros racionales e

irracionales, tanto positivos como negativos y el nmero cero.


Clculo Diferencial

6

1.2 Representacin grfica de los nmeros reales

Los nmeros reales se pueden representar mediante los infinitos puntos de una

recta. Para ello se elige un punto de la misma que represente al cero y se toma como

el origen, los enteros positivos se representan hacia la derecha de este origen y los

enteros negativos hacia la izquierda. Los nmeros racionales tambin se pueden

representar tambin tomando en cuenta sus signos para su colocacin.

-3/2 1/2

(Negativos) (Positivos)

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

La posicin de los nmeros reales, establece un orden en el conjunto de dichos

nmeros. Si un punto A de la recta esta situado a la derecha de otro B de la recta, el

nmero correspondiente A es mayor que B (A >B) o tambin en el nmero

correspondiente a B es menor que A (B < A). Los signos > y < son signos de

desigualdad.

1.3 El valor absoluto de un nmero: Es el correspondiente al nmero

prescindiendo el signo que le afecte. El valor absoluto se representa encerrando el

nmero entre dos barras verticales. Por ejemplo:

-6 =6 -b =b 3/4= 3/4 x - a= x a

x = x si x > 0; -x = x si x < 0 ; 0=0

Intervalo: Es la distancia comprendida entre dos nmeros distintos en la recta

numrica.

Intervalos finitos: Sean a y b dos nmeros tales que a < b, el conjunto de todos los

nmeros x comprendidos en a y b reciben el nombre de intervalo abierto a a b y se

escribe a < x < b. Los puntos a y b reciben el nombre de extremos del intervalo. Un


Clculo Diferencial

7

intervalo abierto no contiene a sus extremos.

1.4 Desigualdades y sus propiedades

a (a, b) b

Intervalo abierto: a < x < b

Intervalo cerrado: Si a x b un intervalo cerrado si contiene sus extremos.

a [ a, b] b

Intervalo cerrado: a x b

Intervalos infinitos. Sea a un nmero cualquiera.

El conjunto de todos los nmeros x tales que x < a recibe el nombre de intervalo

infinito. Otros intervalos infinitos son definidos por x a, x a, x a.

Intervalo x a

Intervalo x < a

Constante y variable en el intervalo a < x < b:

1) Cada uno de los smbolos a y b representan un solo nmero que se denomina

una constante.

2) El smbolo x representa un nmero cualquiera del conjunto de nmeros y se

denomina variable.


Clculo Diferencial

8

-2 -1 0 1 2 +

Las desigualdades como: 3x 5 > 0 y x - 5x 24 0, tambin definen intervalos

sobre una escala numrica.

Ejemplos resueltos:

Ejemplo 1. Encontrar todos los nmeros reales que satisfagan la desigualdad, dar el

intervalo solucin e ilustrar la solucin en la recta numrica.

5x + 2 > x 6

Sumamos (-x) a ambos miembros de la desigualdad.

5x - x + 2 > -6

4x + 2 > -6

Sumamos (-2) a ambos miembros

4x > -6 2

4x > -8

Dividimos ambos lados entre 4 tenemos:

x > -8/4

Intervalo (-2, + )

Ejemplo 2. Encontrar todos los nmeros reales que satisfagan la desigualdad.

x > -2


Clculo Diferencial

9

____x____ < 4 x 3

x - 3

Se deben de considerar 2 casos:

Caso 1. x 3 > 0 esto es, x > 3

Multiplicando ambos miembros de la desigualdad por x 3 obtenemos:

x < 4x - 12

Sumando (-4x) en ambos miembros obtenemos

-3x < -12

Dividiendo en ambos lados entre -3 y cambiando el sentido de la desigualdad

tenemos.

El intervalo (4,)

Caso 2. x 3 < 0 esto es x < 3

Multiplicando ambos lados por x 3 obtenemos:

x > 4x 12

-3x < -12

x debe ser menor que 4 y tambin menor que 3 as la solucin al caso 2 es el

intervalo (- , 3).

x > 4

x < 4


Clculo Diferencial

10

Las soluciones combinadas son los intervalos (- , 3) y (4, +)

Ejemplo 3. Encontrar todos los nmeros reales que satisfagan la desigualdad.

( x + 8 ) ( x + 9) > 0

La desigualdad se satisface cuando ambos factores tengan el mismo signo, esto es

x + 8 > 0 y x + 9 >0 o si x + 8 0 y x + 9 > 0 esto es:

x > -8 y x > -9

De este modo ambas desigualdades cumplen si x > -8 lo cual es el intervalo (-8, +).

Caso 2.

x + 8 < 0 y x + 9 < 0 esto es:

x < -8 y x < -9

Ambas desigualdades se cumplen si x < -9, lo cual es el intervalo ( -, -9).

Por lo tanto si combinamos las soluciones para los casos 1 y 2 tenemos intervalo

(-, -9) y (-8, +).

Ejemplo 4. Resolver.

3 1 > 1 + 1

x 4 x

Sumando a cada lado obtenemos

0 1 2 3 4 5 6


Clculo Diferencial

11

3 > 1 + 1 + 1

x x 4

3 > 1 + 5

x x 4

Sumamos 1 a cada lado obtenemos

x

3 - 1 > 5

x x 4

2 > 5

x 4

Multiplicando cada lado por

1 > 5 vemos que 1 > 0 y en particular x >0

x 8 x

Como 1 y 5 tiene el mismo signo podemos invertir y cambiar el sentido de la

x 8

desigualdad

Luego entonces el conjunto solucin es 0 < x < 8 o (0, 8)

5 5

Ejemplo 5.

Encontrar el conjunto de todos los nmeros x que satisfacen a

3x 7 > 0 , 4x + 2 < 0 y -3x + 5 > 0

x < 8

5


Clculo Diferencial

12

Los nmeros reales x deben satisfacer simultneamente las 3 condiciones. De aqu

que:

3x - 7 > 0 4x + 2 < 0 -3x + 5 >0

3x > 7 4x < -2 -3x > -5

El conjunto solucin es el conjunto vaco 0, pues x no puede satisfacer a las 3

condiciones a un mismo tiempo.

Ejemplo 6. Resolver para x

3x + 2 = 5 esta ecuacin ser satisfecha si

3x + 2 = 5 o 3x + 2 = -5

Son 2 soluciones a la ecuacin dada.

Ejemplo 7. Resolver para x

3x + 2 = 4x + 3

se satisface si

3x + 2 = 4x + 3 o 3x + 2 = - (4x + 3 )

3x 4x = 3 2 3x + 2 = -4x 3

-x = 1 3x + 4x = -3 2

x < 7/3 x < -1/2 x < 5/3

x = 1 x = -7/3

x = -1

x = -5/7


Clculo Diferencial

13

Ejemplo 8. Encontrar el conjunto de todos los nmeros que satisfagan

x 3 = x + 7

Elevando ambos lados al cuadrado obtenemos

(x 3) = (x + 7)

Recordando que

x - a = (x a)

x - 6x + 9 = x +14x + 49

-6x 14x = 49 - 9

-20x = 40

El conjunto solucin es {-2}.

Ejemplo 9. Resolver.

y 7 < /3, > 0

y 7 < /3 si solo si - < y 7 <

3 3

Sumando 7 a ambos lados tenemos:

7 < y < + 7 Por lo tanto el conjunto de solucin es:

3 3

x = -2

(7 - , 7 + )

3 3


Clculo Diferencial

14

Ejercicio nm. 1 a

Encontrar todos los nmeros reales que satisfagan la desigualdad. Dar el intervalo

solucin e ilustrar la solucin en la recta numrica.

1.- 3x + 4 > x 8

2.-3x + 5 > 3 - x

3.- 2x 1 < 0

3 2

4.- x - 1 < __x__

2 x 3 - x

5.- __4___ 2

5 - x

6.- ___1___ ___4___

2x - 1 3 2x

7.- 5 3 2x < 0

8.- (x 3) (x + 5) >0

9.- 1 x 2x > 0

10.- 4 x + 2 > __5 x + 3

2 3

11.- 3 < __6x - 2_ < -2

2x 1

12.- 0 < 11y 3 < -2


Clculo Diferencial

15

y 1

13.- x+ 1 < __x__

2 x 3 + x

14.- 2x - 6x + 3 < 0

Ejercicio 1 b.

Resolver.

1.- 3x 8 = 2

2x 3

2.- 2x + 3 = 4x + 5

3.- x + 2 = 5

x 2

4.- x 8 = x 5

5.- x + 3 = x + 3/5

6.- 3x > 6 3x

7.- __5___ > __1__

2x 1 x 2

8.- _6- 5x_ > 1/2

3x + 2

9.- __3x - 2_ > _3_

8x + 3 5

10.- 9 2 x > 4


Clculo Diferencial

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11.- 4x 1 < - 4

12.- 5x + 1 = x 3

13.-

14.- 5x 3 = 2x - 1

15.-

7x > 1 x + 5

3 2

_1 > _3__

x+ 3 2x+3


Clculo Diferencial

17

Capitulo II Funciones

2.1. Definicin.

2.2. Ecuacin.

2.3. lgebra de funciones y funciones inversas

2.4. Operaciones con funciones.

2.1. Definicin. El conjunto de todas la parejas ordenadas de nmeros reales se

llama el plano numrico y cada pareja ordenada (x, y) se llama un punto en el plano

numrico.

Podemos identificar la regin R con puntos en un plano geomtrico (espacio

bidimensional).Se escoge una recta horizontal en el plano geomtrico y se le llama eje

x. se escoge un recta vertical y se le llama eje y .El punto de intercesin entre x e y se

llama origen y se denota por la letra o.Se escoge una unidad de longitud,

establecemos la direccin positiva en el eje x a la derecha del origen y la direccin

positiva en el eje y arriba del origen.

Asociamos una pareja ordenada de nmeros reales (x, y) con un punto P en el

plano geomtrico. La distancia de P desde el eje y se llama abscisa o coordenada x

de P y se denota por x. la distancia de P desde el eje x se llama la ordenada o

coordenada y de P y se denota por y. La abscisa y la ordenada de un punto se llaman

las coordenadas cartesianas rectangulares del punto; a cada punto le corresponde

una nica pareja coordenada (x, y) y a cada pareja (x, y) se le asocia un solo punto.

Esta correspondencia uno a uno se llama un sistema de coordenada cartesiana

rectangular.

Las figuras ilustran un sistema de coordenadas artesianas rectangulares.

POSITIVO I

POSITIVO

I

POSITIVO

NEGATIVO II

POSITIVO IV

NEGATIVO IV

y

x

x

NEGATIVO III


Clculo Diferencial

18

(2 ,1)

(-2, -3)

(-3, 2)

(0, 1)

y

y

x

x

a) Sistema coordenado dividido en cuadrantes y signos segn cuadrantes.

b) Algunos puntos coordenados cartesianos.

2.2. Ecuacin.- Es una expresin de igualdad que contiene una o mas incgnitas o

variables, como x, y, z; se utilizan en matemticas para definir una ley o una teora.

La ecuacin es una identidad si es valida para cualquier valor de la incgnita como:

(x + b) = x + 2bx +b

Y es condicionada solo si es cierta para determinados valores.

Funcin.- Es un conjunto de parejas ordenadas de nmeros (x, y) en el cual dos

parejas ordenadas distintas no tienen el mismo primer nmero.

El conjunto de todos los valores posibles de x se llama el dominio de la funcin y

el conjunto de todos los valores posibles de y se llama el rango de la funcin.

La restriccin es que dos parejas ordenadas distintas no puedan tener el

mismo primer nmero.

Ejemplo 1.- Si se da la ecuacin y -x = 2 trazar su grfica.

Despejando tenemos: y = x +2, y = ( x +2

Y


Clculo Diferencial

19

Tabulando tenemos:

x -2 -1 0 1 2 3 4 5

y 0 1 (2 ( 3 2 (5 (6 (7

Se traza la grfica

No es funcin si se grafica en relacion a la raiz , ya que losvalores de x no son unicos, de

acuerdo a la definicin de funcion, por ejemplo en x ( - 1 hay p( (-1,1) y otro punto p2 (-1.-1),

empleando Mathcad dando la ecuacin se obtiene directamente su grafica y con este software se

deduce si es o no funcion.

Ejemplo 2.- Discutir y bosquejar la grfica de x - 4x - 8y + 4 = 0

Pasos:

Se completa el cuadrado en los trminos que contiene a x.

x -4x= 8y-4

x -4x +4 =8y

y

4

3

2

1

0

1

2

3

4

y

x x -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5


Clculo Diferencial

20

4

3

2

1

0

1

2

3

4

4 3 2 1 1 2 3 4 5 6

(x-2) = 8y

Analticamente

(x-h) = 4 p (y-k)

Es la ecuacin de una parbola con p =2 vrtice (2,0), foco (2,2) y directriz

y = -2 eje de simetra x =2

Dominio valores de x (-,+), Rango valores de y (,+)

Si es funcion de acuerdo a la definicin los valores de x no se repiten, ms sin

embargo los de y si se pueden repetir.lo mismo que en el anterior si se usa Mathcad

se puede obtener su grafica en forma directa

Ejemplo 3.- Trazar la grfica de la ecuacin y = | x + 4 |

Por definicin de valor absoluto tenemos:

y = x + 4 si x + 4 >0

y

y = - (x + 4) si x + 4 -4

y

y

x

D

0

f (2, 2)

R

D


Clculo Diferencial

21

y = - (x + 4) si x< -4

Tabular con algunos valores que satisfacen la ecuacin dada.

X 0 1 2 3 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7

Y 4 5 6 7 3 2 1 0 1 2 3

Se traza la grfica:

Ejemplo 4.- Trazar la grfica de la ecuacin.

(2x + y 1) (4y + x) = 0

Solucin.

Por la ecuacin de los nmeros reales de que a b = 0 a = 0 o b = 0 tenemos de

la ecuacin dada que:

2 x + y 1= 0

y

Despejando y en 1 y 2 tenemos que

y = -2x + 1

y

y = -1 x

4

4 y +y = 0

8

6

4

2

y

y

x

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

4

1

2

x

Dominio x (-,+), Rango valores de y (0,+)


Clculo Diferencial

22

Tabulando tenemos:

X 0 1 2 3 4

Y 1 -1 -3 -5 -7

Para y = - 1 x

4

Dominio x (-,+), Rango valores de y (-,+)

Ejercicios., Realce los ejercicios y compruebelos pormedio de un software de

matematicas se recomienda usuar el software Mathcad (en cualquiera de sus

versiones).

1.- Discutir y bosquejar la grfica de y- 6y 2x 11= 0 trace su grfica.

En los ejercicios del 2 al 15 trace la grfica de la ecuacin.

2.- y = x-3

3.- y = x-5

x 0 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5

y 0 -1/4 -1 -9/4 -4 25/4 -1/4 -1 -9/4 -4 25/4

-5 4 3 2 1 1 2 3 4 5

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

-5

x x

y

y


Clculo Diferencial

23

4.- y = 4x

5.- y = 2x -5

6.- 4x + 9y =36

7.- 4x-y =0

8.- x = y + 5

9.- y = 6x 3

10.- y =10

11.- (y- x + 2) (y + x-4) = 0

12.- (x 2y +3) (y - x) =0

13.- y = -2x

14.-y =x 4 -x-2

15.-y =5x

16.-y = 4 x

17.- y = x - 5

18.-x + y = 25

19.-(x + 3y) (y x)= 0

20.-y = x - 3


Clculo Diferencial

24

2.3. lgebra de funciones y funciones inversas

Funciones

Definiciones

1. Constantes. En las investigaciones matemticas intervienen dos clases de

cantidades: unas que son constantes y otras que son variables.

Las constantes pueden ser absolutas o arbitrarias.

As en la expresin y = 5x + 2, 5 y 2 son constantes absolutas porque nunca cambian;

pero en x+ y =a, que en la ecuacin de una circunferencia, representa el radio y se

puede suponer circunferencias grandes y pequeas, en las que a tendr diferentes

valores y solo permanecer constante en un problema determinado. A esta segunda

clase de constante se le llama parmetros.

En la ecuacin y = mx + b, m y b son parmetros.

2. Variables. Las variables son de 2 clases: independientes y dependientes.

El radio de una circunferencia puede variar independientemente de cualquier otra

magnitud, mientras que la superficie del crculo vara forzosamente, al variar l radio: El

radio en este caso, variable dependiente.

Anlogamente dado y = x -12x + 32, a todo cambio de x corresponde otro para y; x

es la variable independiente y y es la variable dependiente.

3. Funcin. A la variable dependiente se le llama funcin de x en un intervalo, cuando

a todo valor de x de ese intervalo se hace corresponder, de alguna manera, un valor

para y.

Valor de una funcin. Para saber el valor que adquiere una funcin dada, cuando a la

variable independiente se le asigne un valor particular, basta sustituir esa variable por

dicho valor.

As, por ejemplo, dada la funcin


Clculo Diferencial

25

f(x) = 5x + 2 cos x

f (0) = 5 (0) + 2 cos (0) = 2

f (1) = 5 (1) + 2 cos ( 1) =

= 5 + 2 (.5393) = 6.0786

f(-x) = 5 (-x) + 2cos (-x)

= 5x + 2 cos x =f(x)

Las funciones pueden ser algebraicas y trascendentes.

Funcin algebraica de una variable independiente. Es aquella en que la

dependencia puede expresarse con las operaciones algebraicas: suma y resta con un

nmero limitado de factores, divisin y potencia con exponentes constantes ya sea

entero o fraccionario, positivo o negativo. Por ejemplo:

2x + 5 , ax + b , x + 4 , 4x + 2 , ax

3x 5

Funcin algebraica de una variable. Es una funcin que no puede ligarse a la

variable independiente por medio de las cuatro operaciones algebraicas, efectuadas

en un nmero limitado de veces; por ejemplo:

2x , log x , sen x , ang tan x

Ejemplos de funciones forma grfica y operaciones con funciones:

Ejemplo 1

Sea la funcin h el conjunto de todas las parejas ordenadas (x , y) tales que:

y = x

Encontrar el dominio y el rango de h y trazar la grfica de h.


Clculo Diferencial

26

Solucin:

El dominio de h es (-, + )

El rango como es valor absoluto no hay valores negativos para y entonces el rango

de h es (0, + )

Ejemplo 2.

-4 si x< -2

Si y -1 si 2 x 2

3 si 2 < x

x x

y

y

1

-1 1


Clculo Diferencial

27

Encontrar el dominio y el rango de la funcin y trazar la grfica de la funcin.

Solucin:

Solo es una interpretacin de datos

Ejemplo 3.

(25 - x) si x < 5

Si y =

x - 5 si 5 < x

Solucin

y = 25 - x

y = x - 5

x 0 1 2 3 4 5

y 5 24 21 4 3 0

y

y

x x

-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

6

5

4

3

2

1

0

1

2


Clculo Diferencial

28

x 5 6 7 8

y 0 1 2 3

DOMINIO: (- , +)

DOMINIO: I

RANGO: (0, +)

Funcin inversa: Hay pares de funciones cuyas curvas representativas tienen la

particularidad de que a todo punto de la una, corresponde a otro de la segunda,

ligados entre si, a saber: la abscisa de un punto de la una, es igual a la ordenada de

uno de la segunda y viceversa.

Como ejemplo, considere las funciones siguientes:

Ejemplo

y = 4x x = 4y

y = 4x x = 4y

y = 4x x = 4y

A todo punto de la primera curva corresponde, en la segunda, otro punto simtrico con

respecto a la bisectriz del ngulo x o y.

x 0 1 2 3 4

y 0 2 8 12 4

x 0 1 2 3 4

y 0 2 8 12 4


Clculo Diferencial

29

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

Representando en la misma grfica las funciones 1, 2 antes consideradas, se

obtienen dos parbolas, simtricas con respecto a la bisectriz del primer cuadrante del

ngulo de los ejes.

Ejemplo 2.

Escrbase la funcin inversa de la funcin y desee en un mismo diagrama, la grfica

de ambas funciones.

(y 4) = (2 x)

Intercambiando la x y la y se obtiene:

(x 4) = (2 y)

Tabulando la ecuacin primitiva se tiene

x 2 1 0 -1

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

x x

y

y

x x


Clculo Diferencial

30

y 4 5/3 6.8/1.2 9.2/-1.2

X

Ejemplo 3.

Basta para obtener la funcin inversa de y = 2 + (x 4), tomar el recproco del

exponente del binomio x 4?

Solucin

No, porque se tendra

y 2 = (x 4); o sea: (y 2 ) = x 4

y la funcin inversa es: x 2 = ( y 4)

2.4. Operaciones con funciones

Si f es la funcin que tiene como dominio valores de x y como rango valores de y , el

7

6

5

4

3

2

1

2

3

y

y

-1 0 1 2 3 4


Clculo Diferencial

31

smbolo f(x) denota el valor particular de y que corresponde al valor de x.

Ejemplo 1.

Dada f(x) = __x - 1__ hallar f(0), f(-1) , f(2 a), f(1/x) , f(x + h)

x + 2

Cada uno de estos valores se sustituye en la funcin original obtenindose un valor

particular con respecto a la funcin dada.

f(0)= __0 1_ = -1/2

0 + 2

f(-1) = __-1 1__ = - 2/3

(-1) + 2

f(2 a) = __2a 1__ = __2a 1 __

(2 a) + 2 4a + 2

f(1/x) = __(1/x) 1__ = __x x __

(1/x) + 2 1 +2x

f(x + h) = __x + h 1__ = ___x + h 1 ____

(x + h ) + 2 x + 2xh + h + 2

Ejemplo 2.

Dada

g (x) = 3x -1


Clculo Diferencial

32

Encontrar

g (x +h ) g(x) _ ; h 0

h

Solucin

g (x +h ) g(x) _ = _ 3 ( x + h ) 1 _- 3x 1

h h

Aplicando el principio del binomio conjugado para racionalizar el denominador de que

a -b = (a b) (a + b) tenemos:

= (3x + 3h 1 - 3x 1 ) ( (3x + 3h 1 + 3x 1)

h(3x + 3h 1 + 3x 1)

= (3x + 3h 1) - (3x 1 ) = ___________3h _______

h(3x + 3h 1 + 3x 1) h(3x + 3h 1 + 3x 1)

Cancelando h por divisin se tiene que:

Problemas propuestos

En cada uno de los ejercicios la funcin es el conjunto de todas las parejas ordenadas

(x , y) que, satisfacen la ecuacin dada. Encontrar el dominio y el rango de la funcin y

trazar la grfica de la funcin.

g (x +h ) g(x) _ = ___________3h _______

h 3x + 3h 1 + 3x 1


Clculo Diferencial

33

Ejercicio 2 a.

1.-f(x) = - 16- x

x si x 0

2.-f (x) =

-1 si x 0

3.-g (y) = y /2

4.- r (t) = - t 3

3 si t < 2

5.- g (t) = t + 2 si 2 t < 4 0

0 si t 4

6.- f (x) = __x - 2x__

x 2

6x + 7 si x -2

7.- y =

4 x si -2 < x

x - 4 si x < 3

8.- f (x) =

2x 1 si 3 x


Clculo Diferencial

34

g (x +h ) g(x)

h

9.- f (x) = __(x + 3x 4 ) ( x 5x + 6)

(x - 3x + 2) (x 3)

10.- f (x) = 5x - 2

11.- Escrbase la funcin inversa de cada una de las funciones siguientes y dese en un

mismo diagrama la grfica de ambas funciones.

a) x = 5 y

b) y = x

c) y = 2 + (x 4)

d) (y 4) = (3 x)

12.- Si la funcin implcita (y 4) = (3 x) se intercambian los exponentes, se

obtiene la funcin inversa de la funcin dada?

Ejercicio 2b.-

1.- Dada f (x) = 2x + x encontrar:

a) f (-3)

b) f (2x)

c) f (x + h )

d) f (2x + 3 )

e) f (x - 3)

f)


Clculo Diferencial

35

2.- Dada f (x) = 3x x encontrar

g (x +h ) g(x)

h

3.-Dada f (x) = 2x 1

a) f (-1/2)

b) f (3/4)

c) g (x +h ) g(x)

h

4.- Dadas f (x) = x 2 ; g (x) = x 1 encontrar:

a) f + g

b) f g

c) f/g

d) F (x) = (f o g ) x = f [g(x) ]


Clculo Diferencial

36

III Capitulo

Lmites y continuidad

3.1. Idea de lmite

3.2 Teorema sobre lmites

3.3. Continuidad.

3.1. Sea el cuadrado ABCD de 4 cm. De lado (ver fig.) construya una serie de

cuadrados, de manera que los puntos medios de los lados del primero sean los

vrtices del segundo, los puntos medios e los lados de este sean los vrtices del

tercero, y as sucesivamente.

El rea de la superficie del cuadrado ABCD = 16 cm el cuadrado EFGH, es la mitad

del cuadrado ABCD; por lo tanto, el rea de los tringulos HAE, EBF, FCG, y GDH

que quedan en el cuadrado ABCD, despus de haber construido el cuadrado EFGH

es la mitad del primer cuadrado, luego:

El rea de los tringulos del primer cuadrado es igual a 8 cm por consideraciones

anlogas se obtiene el rea de los dems tringulos.

Haciendo la suma de todos ellos se tiene:

rea e los tringulos 1 cuadrante: = 8 cm




rea e los tringulos 5 cuadrante: = .5 cm

H

A

D C

B A

E

F

G

H


Clculo Diferencial

37


rea e los tringulos 7 cuadrante: = .125cm



Suma = 15.96875 cm

Por los resultados anteriores se observa que:

1 Los nmeros 8, 4, 2,1 etc., forman una progresin geomtrica decreciente de

razn 0.5

2 El valor de un trmino se acerca tanto mas a cero cuando mayor sea el nmero de

trminos que lo proceden.

3 La suma de los trminos es constantemente inferior a 16, y tanto mas prxima a

este nmero cuando mas trminos se tomen en la progresin.

Se dice, en casos como este, que la suma tiende a un lmite que en el problema que

se esta considerando, es 16.

Notacin:

Se escribe lim s = 16

n

3.2. Teorema sobre lmites

I.- Si f(x) = c constante, tendremos lim f(x) = c

x a

lim f(x) = A lim f(x) = B Resulta:

x a x a

II.- lim Kf(x) = KA siendo K una constante.


Clculo Diferencial

38

x a

III.- lim [f (x) g (x)] = lim f (x) lim g (x) = A B

x a x a

IV.- lim [f (x) * g (x)] = lim f (x) * lim g (x) = A * B

x a x a

V.- lim f (x) = ___________ _______ = A

g (x) lim g (x) B Siempre y cuando B = 0

x a

VI.- lim Nf (x) = N lim f (x) = N A siempre que N A sea un nmero real.

Ejercicios resueltos

Si f (x) = x - 2x +3 encontrar

a) lim __f( x) f (1)___

x 1 x 1

b) lim __f(1 + h ) f (1)___

h 0 h

Solucin

a) lim __f( x) f (1) = lim _x- 2x + 3 2_= lim __ x 2x + 1 = lim (x1)

x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x1 (x 1)

= lim ( x 1 ) = 0

x1

lim f(x) = c

x a


Clculo Diferencial

39

b) lim __f(1 + h ) f (1) = lim __(1 + h ) 2 (1 + h ) + 3 -2 = lim 1+2h+h2 2h +1

h 0 h h 0 h h0 h

Ejercicio 2

Si G(x) = - 16 - x, encontrar lim _G( x) G (1)

x1 x 1

o sea H (x) = __G( x) G(1) , x 1

x 1

H( x) = _-16 x + 15 = _(-16- x+ 15) (16 - x + 15)

x 1 (x 1 ) (16 - x 15)

H( x) = _______x-1 __ = _(x 1 ) (x + 1 )

(x 1) (16 - x +15) (x 1) (16 - x + 15)

Como x 1 cancelado el trmino x -1 tenemos que

H( x) = __ x + 1 ____

16 - x + 15

Por lo tanto

lim H (x) = lim __G( x) G(1) = _ 1 + 1 = ___2____ =__2___

h0 x 1 16 - 1 + 15 15 + 15 2 15

= lim _h_= lim =0

h0 h h0

lim __G( x) G(1) = 1__

h0 x 1 15


Clculo Diferencial

40

Ejercicio 3

Encontrar lim = _-z - 5 __

z 25 z - 25

sea f (z) = _-z - 5 z 0 z 25

z 25

f (x) = __(z- 5 ) (z + 5) = _ z - 25 = ___1____ por lo tanto

h 0 (z 25 ) ( z + 5) (z 25 ) (z +5 z + 5

Ejercicio 4

lim __t -1___

t 1 t 1

Por productos notables se tiene que

a - b = (a b) ( a + ab + b) (

lim __t - 1 = lim __(t + 1) (t + t +1 ) = lim (t +t +1)

t 1 t+1 t 1 (t + 1) t(1

Sustituyendo valores se tiene que

lim __z- 5 = lim _ z - 25 = ___1____

z25 z 25 z25 z +5 10

lim (t +t +1) = 3

t1


Clculo Diferencial

41

Ejercicio 5

lim __4 x = lim _ (4 x )_ ( 3 +x + 5) __= lim _ (4 x )_( 3 +x + 5)

x 2 3- x + 5 x2 ( 3- x + 5) ( 3 +x + 5) x( 2 9 - x - 5

lim _ (4 x )_ ( 3 +x + 5) dividiendo entre ( 4- x )

x2 ( 4- x )

= lim (3 +x + 5) sustituyendo

x2

= 3+ (2) + 5 = 3 + 4 + 5 = 3+ 9 = 6

Ejercicio 6

lim _ 2x x _

x ( x - 4 )

En lmites al infinito se dividen los trminos entre el mayor exponente tomando en

cuenta que: A = 0

Ejercicio 7

y 4 4

lim _ y + 4 _ = lim y + y _ = lim _ 1 + y __ = -1

y y - 4 y y - 4 y 1 - 4

y y y

Ejercicio para resolver (2c)

Calcular


Clculo Diferencial

42

1.- lim _ (3x 1) _

x 1 ( x + 1)

2.- lim _ x 2 _

x 2 x - 4

3.- lim _(x + h ) x _

h 0 h

4.- lim _ y + 8 _

y-2 y - 2

5.- lim _ 8t 27 _

t 2/3 ( 4t - 9 )

6.-.- lim _ y 9 _

y ( -3 ) ( 2y +7y+3

7.- lim _ x +3x + 2_

x ( -1 ) x + 4x + 3

8.- = lim (y 2y + 3y - 4)

x ( -1 )

9.- lim __x 1 ___

x 1 x + 3 - 2

10.- lim __4x +2 x - 5

x 8x + x +2

11.- x + 4_

x x + 4


Clculo Diferencial

43

12.- ( x + 1 -x )

x

13.- _3x - 3 -x _

x- 3x + 3-x

14.- lim x + 5x + 6 _

x x + 1

15.- lim x - 16

x - 4 x + 4

16.- lim x + 8

x-2 x + 2

3.3. Continuidad

Consideremos la funcin f definida por:

f (x) = _x + x - 6 _

x + 3

La funcin esta definida para todos los valores excepto cuando x = -3, ya que al

aplicar este valor:

f (x) = _(-3) + (3) - 6 _ = _6 __=

3 - 3 0 (no esta definido)

Si resolvemos la ecuacin por factorizacin en el denominador tenemos que:

f (x) = _(x + 3) + (x-2) _ = x - 2

x - 3


Clculo Diferencial

44

4

3

2

1

0

-1

-2

3

4

La grfica consiste en todos los puntos de la recta

Debe incluirse el valor x = -3 para localizar la discontinuidad, se sustituyen los valores

en la nueva forma de f(x).

En el punto P (-3, -5) se establece un salto geomtrico, la funcin deja de ser

continua en dicho punto.

Se dice que la funcin es continua en a , si cumple con las siguientes condiciones.

i) f(a) existe

ii) lim f(x) existe

x a

iii) lim f( x) = f(a)

x a


Ejemplos

1. Especifique en que puntos la funcin es discontinua

X 0 1 2 -3

y -2 -1 0 -5

y

y

x

x

5 4 3 2 1 0 2 3 4 5


Clculo Diferencial

45

F (x) = x - 27_

x - 9

Tiene una discontinuidad evitable en x = 3 presenta tambin una discontinuidad infinita

en x = -3

Resolviendo por factorizacin algebraica tomando en cuenta que

a - b = (a - b) (a + ab + b) y que a - b =(a b) (a+ b) tenemos que

f (x) = _(x - 3) + (x+3x + 9) _ = x +3x + 9

( x - 3) (x + 3 ) x + 3

si f (x) =-3 f (x) =_( -3) + (-3) + 9 _ = 9 =

3 - 3 0

2.- Diga si la siguiente funcin es discontinua

f (x) = x - 27_ ; x 3

x - 3

f (3) = 9 es discontinua en el punto

x = 3 porque:

i) f(3) = 9 existe

ii) lim f(x) = 27 existe

x3

iii) lim f(x) f(3)

x3

La discontinuidad se puede evitar asignando a la funcin

f (x) = x - 27_ el valor f(x) =27

x - 3

f (x) = _(x - 3) + (x+3x + 9) _ = x +3x + 9


Clculo Diferencial

46

( x - 3) (x + 3 )

f (3)= (3) +3 (3) + 9 =2

3. Sea f(x) definida por:

(2x + 3) + (x - 1) _ si x =1

f(x) = x - 1

2 si x =1

Al realizar operaciones para f(x) la funcin queda como:

2x + 3 si x 1

f(x) =

2 si x 1

Tabulando y realizando la grfica tenemos:

Se verifica que hay un salto en la grfica cuando x = 1 investigando las condiciones

para que f sea continua tenemos:

f(1) = 2 satisface la condicin i (existe)

Lim f(x) = 2 (1) + 3 = 5; satisface la condicin ii (existe)

x -1 0 1 2

y 1 3 5 7

X

y

P1 (1,2)

P2 (1,5) NO INCLUIDO

x

y

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

7

6

5

4

3

2

1

-1

-2


Clculo Diferencial

47

x 1

lim f(x) = 5 pero f(1) = 2 no satisface a la condicin iii se concluye que f es

x 1

discontinua en 1.

Ejercicio 4

Sea la funcin f definida por

2x + 3 si x 3

f(x) =

2 si x 3

Tabulacin

x 0 1 2 3 4 5 6

y 3 2 1 0 1 2 3

Nota: Para localizar el punto donde existe el salto siempre se debe tomar en cuenta

dicho valor, evitando por medio de operaciones algebraicas que nos quede de la forma

a/0 ya que no esta definido.

Condiciones

de continuidad:

f(3) = 2 existe

lim f(x) = 0

pero f (3) = 2

No cumple con la condicin

iii, por lo tanto f es

discontinua en 3.

y

x x

P1 (0,3)

y

5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6

5

4

3

2

1

1

2

P2 (3,0)


Clculo Diferencial

48

2. Ejercicios a realizar

En los siguientes ejercicios trazar la grfica de la funcin, establecer donde la funcin

es discontinua mostrar por que:

x +6x - 16 _ si x 1

1. f(x)= x - 4

1 si x 1

1 + x si x< - 2

2. f(x) =

2 x si -2 x 2

2x 1 si 2 < x

x +x - 2 _ si x -2

3. f(x)= x +2

-3 si x =-2

27 x si x 3

4. f(x)= 3 - x

5 si x =3

x +3x+ 2 _ si x 2

5. f(x)= x -2

2 si x =-2


Clculo Diferencial

49

2x + 5 si x -5/2

6. f(x) =

3 si x -5/2

x +x - 6 _ si x -3

7. f(x)= x-2

1 si x =-3

x - 4 _ si x 2

8. f(x)= x -16

2 si x =-2

9. g (x) = | 2x + 5 |

_ 1___ si x -2

10.f(x)= x + 2

0 si x =-2

-2X + 3 si x< -1

11.- h(x) =

-2x3 si x > -1


Clculo Diferencial

50

IV.- Derivadas

4.1 Incrementos y Diferenciales

4.2 Definicion de derivada

4.3. Derivadas de funciones algebraicas simples.

4.4 Derivadas sucesivas.

4.5. Derivadas implicitas

4.6. Derivada de Funciones Trigonomtricas

4.7. Derivadas de funciones inversas e implcitas

4.8. Derivadas de funciones exponenciales y logartmicas.

4.9. Derivadas de funciones hiperbolicas

4.1. Incremento.

El incremento x de una variable x es el aumento y disminucin que experimenta

desde un valor x = x de su campo de variacin. As pues x = x1 - x o bien

x1 = x + x

Si se da un incremento x a la variable x, es decir x pasa de x = x

a x = x + x la funcin del valor y = f (x) debera incrementada en

y = f (x + x1) f (x ) a partir del valor y = f (x ).

y = incremento de y

x = incremento de x

El cociente anterior es otra interpretacin de derivada y se define por un lmite.

lim y = lim f (x + x) f (x )

y 0 x x0 x

o bien

lim y = lim f (x + x) f (x)

y 0 x x0 x


Clculo Diferencial

51

Derivacin de Incrementos

Para derivar por incrementos basta realizar una sustitucin directa de la funcin en el

cociente respondiente.

As por ejemplo:

Ejemplo 1.- Hallar la derivada de y = x + 5x

Por medio de incrementos

Solucin:

Si y = lim __f(x +x) f (x)

x x 0 x

Sustituyendo segn sea la funcin dada tenemos:

lim y = lim __(x +x) + 5 (x + x) ( x + 5x )

x 0 x x 0 x

lim y = lim __x +2xx + x + 5x + 5x x - 5x

x 0 x x 0 x

lim y = lim __2xx + x + 5x

x 0 x x 0 x

Factorizacin tenemos:

lim y = lim __x +(2x + 5 + x)

x 0 x x 0 x


Clculo Diferencial

52

lim y = lim 2x + 5 + x

x 0 x x0

lim

x 0

Ejemplo 2.-

Y= 5x + 2

lim y = lim _ 5_(x +x) + 2 - 5x + 2

x 0 x x 0 x

lim y = lim _ 5x+5x + 2 - 5x + 2

x 0 x x 0 x

Racionalizando el numerador tenemos:

lim y = lim _( 5x + 5x+ 2 - 5x + 2) ( 5x + 5x+ 2) +5x + 2)

x 0 x x 0 x ( 5x + 5x+ 2) + ( 5x + 2)

lim y = lim _(5x + 5x+ 2 ) (5x + 2)___

x x 0 x ( 5x + 5x+ 2) + (5x + 2)

lim y = lim _______________5_______________

x 0 x x 0 5x + 5x+ 2 + 5x + 2

Si x , sustituyendo x = tenemos:

lim y = lim _______________5______

x 0 x x 0 5x + 2 + 5x + 2

y = lim 2x+ 5

x

y = lim ____5_____

x 2 5x + 2


Clculo Diferencial

53

Ejemplo 3.-

Dado f (x) = x + 2x = (x + 2x)

Encontrar la derivada por incremento:

lim y = lim __[ (x +x ) + 2 (x + x) ] ( x +2x)

x 0 x x 0 x

y = lim _ (x +2xx + x + 2x +2 x) -( x +2x)

x x 0 x

Tomando en consideracin que ( a-b) ( a + ab + b ) = a - b tenemos:

y = lim _[(x + 2xx+ x +2x+2 x) - (x + 2x)] [(x+2xx+ x +2x+2x )

+ (x + 2x + 2 x) ( x + 2x ) + (x + 2x ) + (x + 2x )]

x [(x+2xx+x+2x +2 x) + ( x+2x+2x) (x + 2x)+ (x + 2x )]

y = lim x + 2xx+ x +2 x +2x -x-2x

x [(x+2xx+x+2x +2 x) + ( x+2x+2x) (x + 2x)+ (x + 2x )]

y = lim ________x (2x + x +2)______________________________________

x 0 x [(x+2xx +x + 2x +2x ) + ( x+2x+2x) (x + 2x)+ (x + 2x )]

Haciendo x = 0 tenemos:

= _______ 2x + 2_________

( x + 2x) + (x + 2x) ( x + 2x) +(x + 2x )

= _______ 2x + 2_________

( x + 2x) + (x + 2x) ( x + 2x) +(x + 2x )

= _______ 2x + 2_________

3 (x + 2x)


Clculo Diferencial

54

Problemas para resolver

Encontrar la derivada por incrementos de las siguientes funciones:

1.- f (x ) = 5x - 2x + 2

2.- g(x) = 8x + 1

3.- y = 5x + 2x

4.- y = 2x -1

3x + 2

5.- y = (5x - x ) (2x + 1)

6.- y= (9x + 1)

7.- f (x) = (5x + 3)

8.- y= (2x + 3)

9.- f (x) = (2x + 1 )

10.- y = (8x - 6)

x - 2

11.-y = (3x 1)

12.-y = 5x + 3

y = lim =____ 2x + 2___

x x0 3 (x + 2x)


Clculo Diferencial

55

4x 6

13.-y =(x + 2)

(x 2)

14.-y =3(5x + 6)

(3x + 2)

15.-y =7x + 6

16.-y = 3x 1

8x+7

17.-y = 1/2x+ 1/3x

18.-y = ___6___

8x- 3x

4.2 Definicion de derivada

La deriva de una funcin f es aquella funcin denotada por f tal que su valor de

funcin en cualquier nmero x en el dominio de f esta dada por:

M (x1) = f (x) = lim f(x + x ) f(x)

x0 x

Otros smbolos usados en lugar de f (x) son:

f (x) = dy/dx = Dxy


Clculo Diferencial

56

La notacin y se usa tambin para la derivada de y con respecto a una variable

independiente.

Denotemos la deferencia de las abscisas de Q y P por x tal que x= x2 x1

X puede ser positivo o negativo. La teniente de la recta secante PQ esta definido por

M PQ = f(x2) f(x1)

x

ya que x2 = x1 + x entonces

M PQ = f(x1 + x ) f(x1)

x

Si la funcin es continua en x1 entonces la recta tangente a la grfica de f en el punto

P[ x1, f (x1) ] es:

La recta a travs de P que tiene pendiente M (x1) definida como

M (x1) = lim f(x1 + x ) f(x1) si el limite existe

x 0 x

y

y

x= f(x2) f(x1)

Q = [x2, f(x2)]

x x

P[x1, f(x1)]

-5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

4

3

2

1

1

2

-2

-3

-4


Clculo Diferencial

57

4.3. Derivadas de Funciones Algebraicas Simples

La operacin de encontrar derivada de una funcin se llama diferenciacin. La cual

puede efectuarse aplicando la formula de pendiente. Sin embargo este proceso es

demasiado tedioso, se establecen teoremas que permitan encontrar la derivada en

ciertas funciones ms fcilmente.

1.-Derivada de una constante

La derivada de una constante es cero

D x c = O

2.-Derivada de una variable con respecto a si misma

La derivada de una variable con respecto a ella misma, es 1

D x x =1

3.- Derivada de una potencia de x

Para obtener la derivada de una potencia de la variable independiente multiplquese el

exponente por la base y como exponente pngase el que tena pero disminuido en una

unidad.

i) Dx XM

= Mx M1

ii) Dx X-M = -M x M 1

iii) Dx X R/S = _r x R/S 1

s

4.-Derivada de una suma de funciones


Clculo Diferencial

58

La derivada de una suma de funciones, es igual a la suma algebraica de las derivadas

de esas funciones.

Dx (u + v + z) = Dxu +Dxv +Dxz

5.- Derivada del producto de varias funciones

i) La derivada del producto de dos funciones es igual a la primera funcin por la

derivada e la segunda, ms la segunda por la derivada de la primera.

ii) Para hallar la derivada del producto de varias funciones, multiplquese la derivada

de cada funcin por las dems funciones, y smese los productos.

Dx (uvz) = uvDxz + uzDxv + vzDxu

6.- Derivada de una funcin de funcin (Derivada en cadena)

La derivada de una funcin de funcin es = a la deriva de la funcin y con respecto a la

funcin intermediaria u multiplicada por la derivada de esta con respecto a la variable

independiente.

Dx y = (Duy) (Dxu)

Dx u= nu- Dxu

7.- Derivada de un cociente

Para obtener la derivada de un cociente, multiplquese al denominador por la derivada

del numerador, rstese del resultado el producto del numerador, por la derivada del

denominador, y divdase la diferencia entre el cuadrado del denominador.

Dx u = Udxv -vDxu

v v


Clculo Diferencial

59

8.- Derivada de un radical

La derivada de un radical del segundo orden es = a la derivada del radicando, entre el

duplo del radical.

i) Dx u = Dxu

2u

ii) si el radical no es del Segundo orden tenemos.

i) Dx mu = __Dxu___

M MuM-1

Resumen de frmulas de derivacin de funciones algebraicas.

En las frmulas u, v, w, son funciones derivables de x.

1.- Dx c = 0 siendo c una constante

2.- Dx x = 1

3.- Dx (u + v+ w) = Dxu + Dxv + Dxw

4.- Cu = Cdxu

5.-Dxuv= uDxv + vDxu

6.-Dx (uvw) = uvDxw + uwDxv + vwDxu

7.-Dx (u) = (1) C0

C C

8.-Dx (C) = C Dx (1) = -C * Dxu

U u u


Clculo Diferencial

60

9.- Dx (u) = vDxu - uDxv

v v

10.- Dx xM= m XM-

11.- Dx (UM)= m X M-1 Dxu

12.-Dx u = Dxu

2u

13.-Dx mu = __Dxu___

M M u M-1


Derivar las siguientes funciones

1. y = 1 + 3 + 2

x x x

y = x 1 + 3x-2 + 3x-3

Ampliando frmula

Dx cx M = MCX M-1 tenemos:

y= -x 2 + 3(-2x-3) + 2( -3x 4)

y= -x 2 -6-3 -6x 4

y= - 1 - 6 - 6

x x x4


Clculo Diferencial

61

2.- Y = 2x 1/2 + 6x1/3 2x 3/2

Aplicando la formula anterior tenemos:

y= 2 (+ 1 x 1/2) + 6 (- 1 x 2/3) 2 (3 x 1/2)

2 3 2

y = x 1/2 + 2x 2/3 3x 1/2

y = _1_ + _2_ - 3 x 1/2

x1/2 x 2/3

3.- f (x) = x + 6x + 3 empleando Dx u = Dxu

2u

f(x) = Dx (x + 6x + 3)

2 x + 6x + 3

= ___2x + 6 ___ = ___2(x+3)__

2x + 6x + 3 2x + 6x + 3

f(x) = ___x + 3__

x + 6x + 3

4. f(x) = 5 x7 Dx (CxN) =C n x N-1

f(x) = (5) (7) x 7-1 = 35x6

f(x) = 35x6

5. Dada f(x) = 8x5 3x + 76 encontrar Dxy


Clculo Diferencial

62

Dx (u + v + z) = Dxu + Dxv + Dxz

Dxy = (5) (8) x5-1 (3) (2) x 2-1 + Dx (76)

Dxy = 40 x4- 6x

6. (3x-2) (x + 4)

u = 3x 2

v =x + 4

Dxuv = uDxv + vDxu

Dx [(3x-2) (x+4)] = (3x-2) Dx(x+4) +(x+4) Dx (3x-2)

Dx [(3x-2) (x+4)] = (3x-2) (1) +(x+3) (3)

Dx [(3x-2) (x+4)] = 3x 2 +3x + 9

Dx (3x-2) (x+4) = 6x + 7

7. f(x) = 2x + 4

x -4x+1

u = 2x + 4

v= x - 4x + 1

Dx u = vDxu u Dxv Aplicando frmula tenemos

V v

Dx 2x + 4 = (x - 4x + 1) Dx (2x + 4) - (2x + 4) (x- 4x + 1)

x - 4x + 1 (x - 4x + 1)


Clculo Diferencial

63

Derivando

Dxy = 6x4 24x + 6x - 4x4 + 8x- 8x + 16

(x - 4x + 1)

Dxy = 2x4 16x + 6x- 8x + 16

(x - 4x + 1)

8. Derivada de un radical

Obtener la derivada de:

a) 5x

b) 42x

c) a+x

a-x

a) Dx 5x

Dx Mu = __Dxu___ Aplicando la frmula tenemos

M Mu M-1

Dx 5x =_Dx x = _2x = __2x___ = ___2__

55(x)4 55x8 5x 5x 55x

Dx 5x = _ 2__

55x

b) Dx 4x = __Dx 2x =__6x__ = __3__

44(2x) 448x9 248x

Dx 4x = ___3__

248x


Clculo Diferencial

64

c) Dx a + x usando la frmula de

a-x

Dx u = Dxu tenemos

2u

Dx a_+_x (a-x) Dx(a+x) - (a+ x) Dx (a-x)

Dx a + x = ______ a x____ = ___ ________(a-x)_________

a-x a + x a + x

2 a x 2 a x

_(a x)_( a + x)____ = ___2a__ = ___a__ = a a x

a + x a + x a + x a + x

2 a x 2 a x a x

Ejercicios para resolver

Obtngase la derivada de las funciones siguientes:

1. y = x4

2. f(x) = 1 x4 1 x + 2x

4 3

3. y = 3x9 2x6 + x - 1

4. y = x (3x- 49 (x + 1)

5. f(x) = x- a

6. y = (x 2) x+2x

7. y = x + 4 x x + _2_

x


Clculo Diferencial

65

8. y = (x - 2) x + 1

3

9. y = _ x a_

2ax x

10. y = 3 2x

3(2-x)

11. f(x) =__5x 2_

25x 4

12. f(x) = (2x + 1 ) 4

3x - 1

13. g(t) = ( 2t + 1)

3t + 1

14. f(r) = (r + 1) ( 2r + 5)

15. y = x + 1 + x - 1

x +1 - x - 1

Racionalizar el denominador

16. f(t) = _2 + _6_

t t

17. y = 3x - x3/2 + 2x 1/2

18. f(x) = x -1

x + 1


Clculo Diferencial

66

19. s = t + 2

3 t

20. = 3r + 2

2r + 3

21. f(x) = x 3- 2x

4.4 Derivadas sucesivas

Ejemplo 1.

Calcule la derivada indicada

a) 5x5 8x + x 2 ; f(x)

Se calcula la primera derivada

dy = 15x 4 16x + 1

dx

Se calcula la segunda derivada

dy = 60x - 16

dx

Se calcula la tercera derivada

dy =180 x

dx

b) f(x) = 2- 3x , f(x)

Primer derivada

Si Dx u = Dxu

u

Segunda derivada

f(x) = __-3x__

2 3x


Clculo Diferencial

67

si Dx u = vDxu - uDxv

v v

-32 3x + (3x) (-6x) -32 3x - 9x

f(x) = 2 3x Dx (-3x)-(-3x) Dx2 3x =________ _22 3x =______ 23x

(2 3x) 2 3x 2 3x

Obteniendo comn denominador tenemos

-6 + 9x - 9x

f(x) = __2 3x__ =______-6_______

2 3x (2 3x) ( 23x)

f (x) = ______-6______

(2 3x) 3/2

c) y = (x + 2x)1/3 , y

Primer derivada

Por derivada en cadena tenemos:

Dx uM = M u M-1 Dxu

y = 1/3 (x + 2x) 2/3 Dx (x + 2x)

y = __2x + 2___

3(x + 2x) 2/3


Clculo Diferencial

68

Segunda derivada

y = 3(x + 2x )2/3 Dx (2x + 2) - (2x + 2) Dx3(x+ 2x )2/3

[3 (X + 2x) 2/3]2

y = 6(x + 2x )2/3 - (2x + 2) (2) (x + 2x) 1/3 (2x+ 2 )

9 (x + 2x) 4/3

y = 6(x + 2x)2/3 - (4x + 4) (2x + 2)

(x + 2x) 1/3____

9 (x + 2x) 4/3

y = 6x + 12x 8x - 16x - 8

(x + 2x ) 1/3____ = _ __-2x - +4x + 8______

9 (x + 2x) 4/3 9(x + 2x)1/3 (x + 2x) 4/3

y = -2 (x + 2x + 4)

9(x + 2x)5/3

4.5 Derivadas Implcitas

Si y es una funcin de x definida por la ecuacin:

y = 6x + 8x - 1

Entonces y esta definida explcitamente en trminos de x y podemos escribir

y = f (x)

Donde f(x) = 6x + 8x 1

Sin embargo existen funciones que no estn definidas explcitamente como por

ejemplo:

3x -x = 2y5 - 4y4


Clculo Diferencial

69

En este tipo de funcin no la podemos resolver explcitamente para y como una

funcin de x, pero pueden existir una o mas funciones f tales que y = f (x) entonces

tenemos:

3x -x = 2[f(x)]5 - 4[ f(x)]4

En este caso establecemos que y esta definida implcitamente como funcin de x.

Ejemplo 1.

Derivar 3x -x = 2y5 - 4y4

Dx (3x - x) = Dx (2y5 -4y4)

9x -2x = 10y4 Dxy 16y Dxy

9x - 2x = (10y4 - 16y) Dxy

Despejando tenemos:

Ejemplo 2.

Dada (x + y ) - (x y ) = x4 + y4 encontrar Dxy . Diferenciando implcitamente con

respecto a x tenemos:

Por derivada en cadena Dxu M = Mu M-1 Dxu tenemos:

2( x+ y) Dx (x+y) 2 (x-y) Dx (x-y) = 4x + 4y Dxy

2( x+ y) (1+Dxy) 2 (x-y) (1-Dxy) = 4x + 4y Dxy

(2 x+ 2y) (1+Dxy) (2x-2y) (1-Dxy) = 4x + 4y Dxy

Dxy = 9x - 2 x

10y4- 16 y


Clculo Diferencial

70

2 x+ 2xDxy+ 2y+2yDxy-2x + 2xDxy +2y 2yDxy = 4x + 4y Dxy

4y+ 4xDxy = 4x + 4y Dxy

(4x- 4y) Dxy = 4x + 4y

Dxy =4x - 4y

4x - 4y

Ejemplo 3.

__y___ = 2 + x

x -y

Derivando implcitamente tenemos:

__(x -y) Dxy yDx (x- y)___ = 3 x

(x y)

__(x -y) Dxy y (1-Dxy)___ = 3 x

(x y)

xDxy y Dxy Y +Dxy = 3x * (x- y )

Dxy (x y + 1) = 3x * ( x+ y )

Dxy =x - y

x - y

Dxy =3x (x y)

(x - y + 1)


Clculo Diferencial

71

Ejemplo 4.

y + xy = 3x

Derivando implcitamente tenemos:

Dxy + 1 (xy) 1/2 [ xDxy + y] = 9 x

2

Dxy + xDxy + y = 9x

2 xy

2 xy * Dxuy + xDxy + y = 18x xy

(2xy) Dxy = 18xxy y

Ejemplo 5.

x y = x4- y4

Derivando tenemos:

x Dx (y) + yDx(x) = Dx (x4) Dx (y4)

3xyDxy + 2yx = 4x - 4y Dxy

(3xy + 4y) Dxy = 4x-2yx

Dxy = 18x xy y

(2 xy + x)


Clculo Diferencial

72

Ejercicios para resolver:

Encontrar Dxy por diferenciacin implcita:

1. dx +dy =12xy

2. xy +2x =y

3. (2x + 3)dx =3ydy

4. yx - xy =9

5. 1 + 1 = 1

d x d y

6. x + 4y + 6x 4y = 0

7. (2x + 3y)dx = 5y + 1

8. dx - 4y = 10 xy

dy 9. 5x + 5y =xy

10. xy +y = 5xy

11. 5xy = x - 1

12. 3x -3y = x - 3

13. 7xy + 6y = xy

14. 12xy 9y = 5x

Dxy= 4x -2yx

3xy + 4y


Clculo Diferencial

73

15. (5x + 8) = y 3

16. 3xy = 4y + 5x

17. (2x- 3y) y = -5

18. -xy = y + 4

19. 3x- 2y = -x

20. 5y 9x = 3xy

21. (2x) (9y + 3)= -7x

22. (3x) (4x 6y) = y

23. Ln(x - y ) = -y

24. . Ln ( 2x + 3y) = -xy

25. . ( x3 + y2) = 4y

26. . Ln (8y 4x) = 9xy

27. . ( 10xy y) = y2

28. .log( 9x2 + 3y2) = 25y


Clculo Diferencial

74

4.6 Derivada de Funciones Trigonomtricas

Frmulas ms comunes de este tipo de derivadas:

1. Dx sen u = Cos u Dxu

2. Dx sen Mu= Msen M-1u Cos u Dxu

3. Dx cos u = -sen u Dxu

4. Dx cox Mu= -Mcos M-1 u sen u Dxu

5. Dx tan u = sec2u Dxu

6. Dx tan Mu = Mtan M-1 u sec2u Dxu

7. Dx cot u= - csc2u Dxu

8. Dx cotM u= -cscu Dxu

9. Dx sec u = sec u tan u Dxu

10. Dx sec Mu= MsecMu tan u Dxu

11. Dx csc u = -csc u cot u Dxu

12. Dx cscMu = -McscMc cot u Dxu


Clculo Diferencial

75

Ejemplos:

1. y = x 1 sen 4x

2 8

Dxy = 1 1 Dx (sen 4x) Dx 4x

2 8

Dxy = 1 1 cos 4x (4)

2 8

Por identidad trigonomtrica podemos tener tambin como resultado:

Si sena = 1 1 cos 2 a entonces:

2 8

2. y = 2sen6x + 3cos 2x

Dxy =2Dx (sen6x) Dx (6x) Dx (6x) + 3Dx (cos2x) Dx (2x) = 2 cos6x (6)-3cos 2x (2)

3. y = csc 2x

y = (csc 2x)1/2

Dxy = 1 1 cos 4x

2 8

Dxy = sen 2x

Dxy= 12cos 6x 6cos2x


Clculo Diferencial

76

Por derivada en cadena DxuM= MuM-1 Dxu

y= 1 (csc 2x) 1/2 Dx (csc 2x)

2

y= 1 (csc 2x) 1/2 (-csc 2x) (ctg 2x) Dx 2x

2

y= -1 (csc 2x)1/2 (ctg 2x) (2)

2

Por frmula tenemos:

Dx cscMu = -M csc Mu cot u Dxu

y = csc 2x = (csc 2x)1/2

y = -1csc1/2 2x cot 2x Dx (2x)

2

y = -1 (csc 2x )1/2cot 2x (2)

2

4. f(x) = cot (3- 5x)

Dx cot u = -cscu Dxu

f(x) = -csc (3-5x) Dx(3 5x)

f(x) =-csc (3 5x) (-10x)

y= -cot 2x csc 2x

y =- cot 2x csc 2x

f(x) =10x csc (3 5x)


Clculo Diferencial

77

5. y = sen4 x - 1

x

Dx senMu= M senM-1u cos u Dxu

Usando formula tenemos:

Dxy = 4sen x - 1 cos x - 1 Dx x - 1

x x x

Dxy = 4sen x - 1 cos x - 1 (1)

x x x

6. y = 1 + sen x

1 sen x

Multiplicando numerador y denominador por 1 sen x tenemos:

y = (1 + sen x) (1- sen x)

(1 sen x) (1- senx)

y = 1 + sen x

(1 sen x)

y = 1 + sen x

1 sen x

Tomando en cuenta que:

cos x =1 sen x entonces:

y =_cos x__

1- sen x

Dxy = 4 sen x- 1 cos x-1

x x x


Clculo Diferencial

78

Derivando tenemos:

y= (1 - sen x) Dx cosx cos x Dx (1- sen x)

(1 sen x)

y= (1 - sen x) (-senx) (cosx) ( cos x)

(1 sen x)

y= - sen x + senx + cosx

(1 sen x)

Tomando en cuenta que senx + cosx = 1 tenemos:

y= 1- sen x

(1 sen x)

Hallar la derivada:

1. DxY = ______1_______

(sec 2x 1 )2/3

DxY = (sec 2x 1 )2/3

Por derivada en cadena Dxu M = Mu M-1 tenemos:

DxY = - 3 (sec 2x 1) 5/2 DxY (sec 2x 1)

2

DxY =- 3 (sec 2x 1) 5/2 DxY (sec 2x tan 2x) (2)

2

y= __1____

1 sen x

Dx = _-3 sec 2x tan 2x_______

Dy (sec 2x 1 )5/2


Clculo Diferencial

79

2. y = 1 tan x sen x

2

Por derivada de un producto dxuv = vdxu + u dxv tenemos:

Dy = 1 tan x Dx sen x + sen x Dx 1 tan x

Dx 2 2

Dy = 1 tan x cos x + 1 sen x secx

Dx 2 2

S tan x = sec x y sec x = ___1__

cos x cos x

Sustituyendo las identidades en el resultado tenemos:

Dy = 1 sen x (cos x) + 1 (___1_____)

Dx 2 cos x 2 cos x

3. y = 4 cos5 (a - 2x)

De la derivada

Dx cos M u = -M cos M-1 u sen u Dx u tenemos:

dy =- (4) 5 cos 5 (a-2x) sen (a-2x) (-4x)

dx

Dy = 1 sen x + __sen x

Dx 2 2cosx

dy =80 cos5 (a-2x) sen (a-2x)

dx


Clculo Diferencial

80

4. y = 4 csc x

De la frmula Dx cscMu= M cscMu cot u Dxu

dy = -(4) (3)csc x4 cot x4 (5x4)

dx

5. y = sen x x cos x + x +4x +3

y= cos x- x Dx cos x + cos x Dx (-x) + 2x +4

y= cos x + x sen x cos x + 2x + 4

dy = -60 x 4csc x4 cot

dx

y= x sen x + 2x + 4


Clculo Diferencial

81


Encuentre las derivadas de las funciones dadas, reduzca si es posible por medio de

identidades trigonomtricas.

Nota: Algunas derivadas trigonometricas son mas sencillas de resolver haciendo uso

de sus identidades, ya que en el caso por ejemplo de sen2 x + cos2 x = 1, al hacer uso

de la identidad seria la derivada de una constante lo cual nos daria como resultado

cero

1. y = 2 tan x

2. r = sen t cos 2t + 5t -8

3. r = 1 cos 5

3

4. y = 2 sec 2x

3 sen 2x

5. y =sen (3x 2)

6. y = (sen x) (cos x)

sec x

7. y = 1 cos x cos x

3 5 5

8. y = - csc 4x cot 4x

9. r =_2 tan t__

1 cot t

10. r = 3 sec 2t tan 2t


Clculo Diferencial

82

11. y = [cos (3x 2) sen (6x 9)]

12. y = sec 2x

3 sen 2x

13. y= x sen x + 2x cos x 2 sen x

14. r = 1 cot t 1 sen t cos t

3 3

15. y= 2a cos 3x (cos 2x )1/2

4.7 Derivadas de funciones inversas e implcitas

1. Dx ang sen u = _Dxu = -Dx ang cos u

1 u

2. Dx ang tan u = Dxu = -Dx ang cot u

1 u

3. Dx ang sec u = __Dxu = -Dx ang csc u

u u -1

NOTA: Dx angsen u = Dx arc sen u

Dx angtan u = Dx arc tan u

Dx angsec u = Dx arc sec u

Ejemplos

Obtngase la derivada de las funciones siguientes:


Clculo Diferencial

83

1. y = ang sen a/x

Dxy = Dx (a/x) = - (a/x) = -(a/x) =

1-(a/x) x - a x - a

x x

2. y = ang tan x / c

Dxy= Dx (x / c) = 1 / c = 1 /c

1 + (x / c) 1 + x c+ x

c c

3. y = ang sec x/a

Dxy =__ Dx (x / a2)___ =__2x / a__ = __2a2 x___

x ( x ) - 1 x x2 a2 a x x2-a2

a a a a

4. y = ang cos 1- x

1 + x

- D xy (1- x) ( 1 + x ) (-1) - (1 x) (1)

Dxy = _____( 1+ x) = _______(1 + x )_______

1 - (1 x ) 1 - ( 1 x)

1 + x 1 + x

-____a_____

x x- a

Dxy= __c___

c + x

Dxy= __2a___

x x2 a2


Clculo Diferencial

84

_ _ + 2__

- 1 x 1 + x - _____ - 2__________

Dxy = _____( 1+ x)_ = _______(1 + x )_______

(1 x ) - (1- x) 1 2x + x - 1 + 2x - x

(1 + x) 1 + x

Dxy = __( 1+ x)_ = __-2__(1 + x )__ = _____+2______ =

4x 4x (1 + x) 2x (1 + x)

1 + x


Obtngase La derivada de las funciones siguientes, posteriormente de un valor

opcional y resuelva con Math cad:

1. y = 6 ang sen b/2x

2. y = 3x ang tan 5x

3. y = ang cos a - x

a + x

4. y = ang sec x 2

x + 2

5. y = 8x ang cot 9x 6

6. y = 1 arc tan (b tan x)

ab a

7. y = y sen x + y = arctan x encontrar dy

dx

8. y = x arc csc 1 + 1 + x

Dxy = ___1____

(1 + x) x


Clculo Diferencial

85

x

9. y = arc tan 3x

10. y = x- 4 + 1 arc sec x

x 2 2

4.8. Derivadas de funciones exponenciales y logartmicas y derivadas de

funciones hiperblicas

El nmero e

e = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +...............+ 1 +...............= 2.71828

2! 3! 4! n!

Bases generales para exponenciales y logartmicas y derivadas de funciones

hiperblicas

1. In u N = n In u

2. In uM u N = In u M + In u N

3. In u M = In uM In u N

u N

4. e LN U = u

5. Y = log 10 x = In x

6. Y = log e x = In x

Bases generales para funciones hiperblicas y funciones hiperblicas inversas.

1. sen h u = e U e-U

2

2. cos h u = e U e-U

2

3. tan h u = sen h u = e U e-U


Clculo Diferencial

86

cos h u e U + e-U

4. cot h u = ___1___ = = e U +e-U ; u = 0

tan h u e U - e-U

5. sec h u = ____1_____ = ____2____

cos h u e U + e -U

6. csc h u = _____1_____ = ____2_____; u = 0

sen h u e U - e U

7. sen h 1 u = In (u + 1 + u)

8. cos h 1 u = In (u + u - 1); u > = 1

9. tan h 1 u =1 In 1 + u ; u < 1

2 1 u

10. cot h 1 u = 1 In u + 1 ; u > 1

2 u - 1

11. sec h 1 u = In 1 + 1 u 0 = < u < = 1

u

12. csc h 1 u= In (1 + 1 u) u = 0

u u

Frmulas de derivacin

1. Dx log u = 1 log u Dx u

u

2. Dx In u= 1 Dx u

u

3. Dx au = a

u In a Dx u

4. Dx eu = e

u Dx u

5. Dx sen h u = cos h u Dx u

6. Dx cos h u = sen h u Dx u


Clculo Diferencial

87

7. Dx tan h u = sec h u Dx u

8. Dx cot h u = -csc hu Dx u

9. Dx sec h u = - sec hu Dx u

10. Dx csc h u = -csc h u Dx u

11. Dx sen h 1 u= ___1___ Dx u

1 + u

12. Dx cos h 1 u= ___1___ Dx , u > 1

u - 1

13. Dx tan h 1 u= ___1___ Dx u

1 + u

14. Dx cot h 1 u= ___1___ Dx u

1 + u

15. Dx sec h 1 u = ___-1___ Dx u

u 1 + u

Ejemplos resueltos:

Encuentre la derivada de las funciones siguientes:

1. y = In ( 5x + 6 x)

De acuerdo a las propiedades de los logaritmos tenemos:


Clculo Diferencial

88

y =3 In ( 5x + 6 x)

Usando la formula Dx In u = 1 Dxu tenemos:

u

dy = ____3___ Dx (5x + 6x)

dx 5x + 6x

dy = _3_(10 + 6)_

dx 5x + 6x

2. y = In (5x + 6x)

Para derivar esta funcin se usa una derivada de cadena, la funcin en si es:

y = [In (5x + 6x)]

Empleando derivada en cadena y derivada logartmica tenemos:

dy =3[ In (5x + 6x)] Dx In (5x + 6x)

dx

dy =3[ In (5x + 6x)]. ___1____ Dx (5x + 6x)

dx 5x + 6x

dy =3[ In (5x + 6x)]._10x + 6___

dx 5x + 6x

dy = _30+18_

dx 5x + 6x

dy =3 In (5x + 6x)._(10x + 6)___

dx 5x + 6x


Clculo Diferencial

89

3. y =In (x + 3 ) (x + 5 )

Empleando la propiedad del producto logartmico de In (u) (v) = Inu + Inv tenemos:

y = In (x + 3) (x + 5 ) = In (x + 3 ) In (x + 5)

Derivando tenemos:

y = __1__ D

calculo diferencial

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