Cálculo de valores de las funciones trigonométricas para 30º, 45º y 60º 1.4. Cálculo de valores de las funciones trigonométricas para 30º, 45º y 60º

Las funciones trigonométricas en un triángulo rectángulo implican un ángulo recto, es decir, un ángulo con una medida de 90º. Considera un triángulo equilátero cuya longitud de sus lados es igual a dos unidades. Ahora, por ser éste equilátero, la amplitud de sus ángulos son congruentes cuya medida es de 60º.

Al cortar dicho triángulo equilátero exactamente por la mitad, corta la longitud del lado exactamente a la mitad y la amplitud del ángulo exactamente a la mitad, por lo que se obtienen los siguientes dos triángulos rectángulos cuyas medidas son las siguientes: La longitud del lado faltante lo obtienes a través del teorema de Pitágoras.

c2 = a2 + b2 a2 = c2 – b2

a2 = (2)2 – (1)2

a2 = 4 – 1 = 3 a = √3

Sus respectivas razones trigonométricas correspondientes son:

Ahora, considera un triángulo isósceles, la propiedad de los ángulos isósceles señala que al poseer dos lados iguales, los ángulos opuestos a dichos lados también son iguales. Si dicho triángulo es un triángulo rectángulo y al mismo tiempo isósceles, la medida de los ángulos y lados queda determinada bajo las siguientes características:

Como la suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180º entonces, como ya tienes uno de 90º y dos iguales, tienes algo de la forma: 180º ‐ 90º = 2x, despejando y realizando las operaciones necesarias obtienes que x = 45º, dicho valor corresponde a la amplitud de cada uno de los ángulos congruentes en el triángulo rectángulo isósceles. Como observas en la imagen, falta determinar un lado del triángulo el cual corresponde al valor de la hipotenusa, pero, con la ayuda del teorema de Pitágoras es fácil que obtengas su valor.

c2 = a2 + b2

c2 = (1)2 + (1)2

c2 = 1 + 1 = 2 c = √2 Sus respectivas razones trigonométricas son: Obtén el valor de las razones trigonométricas recíprocas para el ángulo de 45º.

Ejemplo:

Con la tabla de valores obtenidos anteriormente resuelve el siguiente triángulo rectángulo:

1) Calcula la medida de los catetos del siguiente triángulo rectángulo.

Toma cualquiera de las razones trigonométricas y obtén el valor número de la función trigonométrica como sigue: Por ejemplo: Si tomas la función sen 45º = a/ c, obtienes: Despejas a = c sen 45º Obtienes el valor de sen a = c (0.7071) Sustituyes “c” a = (8) (0.7071) Simplificas: a = 5.6568

Práctica 28 1) Un excursionista desea subir a la parte más alta de un cerro que tiene 800 m de altura. Si el camino por donde va a subir tiene un ángulo de elevación de 60º, ¿qué distancia deberá recorrer para llegar a su meta? 2) Un edificio proyecta una sombra de 20 metros en el momento en que el sol forma un ángulo de 60º con el horizonte. ¿Qué altura tiene el edificio? Calcula además de las 6 funciones trigonométricas, los lados y ángulos faltantes en los siguientes ejercicios: 3) La base de un triángulo rectángulo mide 30 m, y su lado adjunto 60º 4) Uno de los lados de un triángulo rectángulo mide 8 cm y su hipotenusa 10 cm. 5) El ángulo adyacente a la base mide 39º y la hipotenusa del triángulo rectángulo mide 18 cm.

Anexo

Tabla con valores trigonométricos para los ángulos múltiplos de 15º