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CÁLCULO DE RESISTENCIA ELÉCTRICA EN CONDUCTORES

Antonio J. BarberoDepartamento de Física Aplicada. UCLM

ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO

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Problema 1. Sector circular

Problema 2. Arandela

Problema 3. Cono truncado

Problema 4. Conductor semicilíndrico

Problema 5. Cable coaxial

3

PROBLEMA 1

Una pieza de material óhmico tiene forma de sector circular de ángulo y de radios interno y externo a y b, respectivamente. Su espesor es c, y la conductividad del material es . Determinar la resistencia eléctrica entre el borde interior y exterior de la pieza.

a bc

V

Si se estableciese una d.d.p. V entre el borde interior y el exterior, dada la simetría del problema, el campo eléctrico tendría en cada punto la dirección de la línea radial, ya que los bordes interior y exterior son equipotenciales y el campo es perpendicular a las equipotenciales.

E

E

E

Tomaremos como referencia de distancias el centro O de la circunferencia, donde r = 0 (de esta forma el borde interno es r = a y el externo es r = b).

Puesto que las líneas de campo se abren de modo homogéneo con simetría cilíndrica según nos alejamos del centro, la intensidad del campo eléctrico (módulo) debe ser inversamente proporcional a r.

rE 1

r

O

Magnetismo

Electricidad

y

4

PROBLEMA 1 (Continuación)

V

E

E

E

Siendo un material óhmico, la relación entre campo eléctrico y densidad de corriente es )( )( rErJ

)(rJ

)(rJ

Por lo tanto, si escribimos la densidad de corriente como

rurkrJ

)( ru

Entonces el campo eléctrico puede escribirse como rur

krJrE

)(1)(

La resistencia está dada en general por

IV

SdrJ

rdrER

)(

)(

(Véase detalle del cálculo en transparencia siguiente)

Magnetismo

Electricidad

y

5

PROBLEMA 1 (Continuación 2)

r

b

c

d

d rru

rurr

dr

rurkrJ

)(

SdrJI

)(

0

rr udrcurk ck

rur

krJrE

)(1)(

rdrEV )(

b

rr udrur

k

a

ln abk

rudrcSd

ab

cIVR ln

1

a

Magnetismo

Electricidad

y

6

PROBLEMA 2

A) Calcular la resistencia de una arandela de cobre, de radio interno a = 5 mm y radio externo externo b = 20 mm, medida entre el borde interior y el borde exterior. B) Calcular la resistencia de una arandela de las mismas dimensiones pero construida la mitad de cobre y la mitad de plata.El espesor de la arandela es c = 0.5 mm y las resistividades del cobre y la plata sonCu = 1.7210-8 m y Ag = 1.6210-8 m

A) La solución es inmediata a partir del resultado del problema anterior, teniendo en cuenta que en la arandela el ángulo = 2 rad.

ab

c

CuCu

1

ab

cab

cR Cu

CuA ln

2ln

1

1059.7 6

ab

c

CuAg

CuA)

B)

Magnetismo

Electricidad

y

7

PROBLEMA 2 (Continuación)

B) Conectando las dos semi-arandelas en la forma indicada tenemos dos conductores en paralelo, cada uno de ellos con un ángulo = rad.

ab

cab

cR Cu

CuCu ln

ln

1

1052.1 5

CuCu

1

AgAg

1 ab

cab

cR Ag

AgAg ln

ln

1

1043.1 5

AgCu

AgCuB RR

RRR

51043.152.143.152.1

510

43.152.143.152.1

1037.7 6

Magnetismo

Electricidad

y

8

Z

PROBLEMA 3

Un conductor óhmico tiene forma de cono truncado de las dimensiones que se muestran en la figura adjunta. La conductividad del material es . Determine la resistencia de la pieza medida entre las bases superior e inferior.

2a

h

Sea b el radio de la base inferior tghab b

2a

h

b

dz

La pieza puede considerarse formada por una serie de láminas circulares planas apiladas, de espesor dz cada una de ellas.

Si consideramos el origen de coordenadas z = 0 en el centro de la base inferior, el área de cada una de estas láminas es: 2tg)( zbzS 2tg][ zha La resistencia elemental de cada una de estas placas es )(

1zS

dzdR

h

zhadzR

0

2tg][

uudu

zhadz

1

tg1

tg1

tg][ 22

dzduzhau tg tg][

tg

11tg11

haa

tg haahR

Magnetismo

Electricidad

y

9

PROBLEMA 4Entre dos semicilindros conductores concéntricos de longitud L y radios a y b (b > a) hay un dieléctrico de permitividad y resistividad , siendo inversamente proporcional a la distancia al eje central del conjunto. Entre ambos se establece una ddp V0. Determine:A) La resistencia entre ambos conductores, la densidad de corriente y el campo eléctrico.B) Las densidades de carga libre. Compruebe que no hay carga libre neta.Resistencia entre los conductores Sea k la constante de proporcionalidad

a

b

rk /

rdr

Consideraremos que el dieléctrico está formado por una serie de capas semicilíndricas superpuestas cuyo espesor es dr y siendo el área de cada una rL.

El conjunto de todas esas capas está en serie, por eso podemos determinar la resistencia total sumando las contribuciones de todas ellas.

Resistencia de cada capa: 2 Lrdrk

LrdrdR

baL

kLrdrkR

b

a

11 2

abkabLV

RVI

00

Resistencia total

L

Intensidad de corriente:

V0

Densidad de corriente:

ruLrIj

ru

Suponemos que el potencial del conductor interno es el mayor

ru

bakabV r

0

Campo eléctrico:

20

ru

ababVj

rkjE r

Magnetismo

Electricidad

y

10

PROBLEMA 4 (Continuación)

Densidades de carga:

Densidad volumétrica de carga libre DV

El vector desplazamiento es 20

ru

ababVED r

(Por la simetría del problema sólo depende de la coordenada radial)

z

AAr

rErr

zr

11

rrrababV 110

30 1

rababV

V

Densidades superficiales de carga libre

ab

abVD ara

0ba

abVD brb

0

El vector unitario está dirigido hacia dentro

La carga libre neta Qf es la suma de las densidades de carga volumétrica y superficial

bLaLdVQ ba

V

Vf bLba

abVaL

ab

abV

rrdrL

ababV

b

a

00

30

Laab

VLbab

Vabab

abVLQ f

000 11

Laab

VLbab

Vbaab

VLQ f

000 )( 0)(0

abba

abVL

Magnetismo

Electricidad

y

11

a

b

Corte transversalEl conductor

interno es positivo

Un cable coaxial está formado por un conductor interno de radio a y un conductor externo concéntrico de radio b. El medio entre ambos conductores es un dieléctrico isótropo y homogéneo de permitividad y conductividad σ. Calcule la capacidad por unidad de longitud y la resistencia de fuga entre ambos conductores.

PROBLEMA 5

Cálculo de la capacidad

r

VQC Supongamos una ddp V entre ambos conductores (el interno es positivo)

D

D

D

D

D

QSdDS

rLD 2rLQD 2

/

rurLQD

2/

Carga libre contenida en una longitud L del

conductor interno

DE

ru

rLQ 2

/

abLQrdur

LQrdEVb

ar

L

/ln2

/ 2

/

VQC

abLQQ

/ln2

/

abLC

/ln2

Resistencia de fuga Si la conductividad del dieléctrico no es nula, fluirá corriente del conductorpositivo al negativo y en el medio dieléctrico se establecerá un campo de densidad de corriente. Si el medio es isótropo, la ley de Ohm nos dice que las líneas de flujo de J y de E serán las mismas.

Magnetismo

Electricidad

y

12

Magnetismo

Electricidad

y

S

L

S

L

SdE

rdE

SdJ

rdE

IVR

PROBLEMA 5 (Continuación)

Expresamos la capacidad y la resistencia en términos de los campos:

L

S

L

S

rdE

SdE

rdE

SdD

VQC

Las integrales de superficie se refieren a un área que encierra al conductor positivo interno, y las integrales de línea representan la ddp entre ambos conductores.

Si el medio es homogéneo, y σ pueden sacarse fuera de las integrales, y el producto RC queda:

S

S

L

S

S

L

SdE

SdE

rdE

SdE

SdE

rdE

RC

Multiplicando ambas ecuaciones:

RC

CR

LabR 2/ln

siendo abLC

/ln 2

Observe que las unidades SI de σ son (m)-1