Clculo de races de ecuacionesEl objeto del clculo de las races de una ecuacin es determinar los valores dexpara los que se cumple:f(x) = 0

La determinacin de las races de una ecuacin es uno de los problemas ms antiguos en matemticas y se han realizado un gran nmero de esfuerzos en este sentido. Su importancia radica en que si podemos determinar las races de una ecuacin tambin podemos determinar mximos y mnimos, valores propios de matrices, resolver sistemas de ecuaciones lineales y diferenciales, etc...La determinacin de las soluciones de la ecuacin puede llegar a ser un problema muy difcil. Sif(x) es una funcin polinmica de grado 1 2, conocemos expresiones simples que nos permitirn determinar sus races.Para polinomios de grado 3 4 es necesario emplear mtodos complejos y laboriosos. Sin embargo, sif(x) es de grado mayor de cuatro o bien no es polinmica, no hay ninguna frmula conocida que permita determinar los ceros de la ecuacin (excepto en casos muy particulares).Existen una serie de reglas que pueden ayudar a determinar las races de una ecuacin: El teorema de Bolzano, que establece que si una funcin continua,f(x), toma en los extremos del intervalo [a,b] valores de signo opuesto, entonces la funcin admite, al menos, una raz en dicho intervalo. En el caso en quef(x) sea una funcin algebraica (polinmica) de gradony coeficientes reales, podemos afirmar que tendrnraces reales o complejas. La propiedad ms importante que verifican las races racionales de una cuacin algebraica establece que sip/qes una raz racional de la ecuacin de coeficientes enteros:

entonces el denominadorqdivide al coeficientesany el umeradorpdivide al trmino independientea0.Ejemplo: Pretendemos calcular las races racionales de la ecuacin:3x3+ 3x2-x- 1 = 0Primero es necesario efectuar un cambio de variablex=y/3:

y despus multiplicamos por 32:y3+ 3y2-3y-9 = 0con lo que los candidatos a raz del polinomio son:

Sustituyendo en la ecuacin, obtenemos que la nica raz real esy= -3, es decir,(que es adems la nica raz racional de la ecuacin). Lgicamente, este mtodo es muy poco potente, por lo que slo nos puede servir a modo de orientacin.La mayora de los mtodos utilizados para el clculo de las races de una ecuacin son iterativos y se basan en modelos de aproximaciones sucesivas. Estos mtodos trabajan del siguiente modo: a partir de una primera aproximacin al valor de la raz, determinamos una aproximacin mejor aplicando una determinada regla de clculo y as sucesivamente hasta que se determine el valor de la raz con el grado de aproximacin deseado.

Mtodos para calcular las races de ecuaciones. Mtodo de la biseccinEs el mtodo ms elemental y antiguo para determinar las races de una ecuacin. Est basado directamente en el teorema de Bolzano explicado con anterioridad. Consiste en partir de un intervalo[x0,x1]tal quef(x0)f(x1) < 0, por lo que sabemos que existe, al menos, una raz real. A partir de este punto se va reduciendo el intervalo sucesivamente hasta hacerlo tan pequeo como exija la precisin que hayamos decidido emplear.

Figura 1.Diagrama de flujo correspondiente a la implementacin del mtodo de la biseccin.

El algoritmo empleado se esquematiza en la figura 1, es necesario suministrar al programa el nmero mximo de iteracionesMaxIter, la tolerancia, que representa las cifras significativas con las que queremos obtener la solucin y dos valores de la variable independiente,x0yx1, tales que cumplan la relacinf(x0)f(x1) < 0. Una vez que se comprueba que el intervalo de partida es adecuado, lo dividimos en dos subintervalos tales queyy determinamos en qu subintervalo se encuentra la raz (comprobando de nuevo el producto de las funciones). Repetimos el proceso hasta alcanzar la convergencia (hasta que) o bien hasta que se excede el nmero de iteraciones permitidas (Iter>MaxIter), en cuyo caso es necesario imprimir un mensaje de error indicando que el mtodo no converge.Dos operaciones representadas en el esquema de la figura 1 requieren una explicacin adicional: El punto medio del intervalo se calcula comoen lugar de emplear. Se sigue de este modo una estrategia general al efectuar clculos numricos que indica que es mejor calcular una cantidad aadiendo un pequeo trmino de correccin a una aproximacin obtenida previamente. Por ejemplo, en un computador de precisin limitada, existen valores dex0yx1para los cualesxmcalculado mediantese sale del intervalo[x0,x1].

La convergencia () se calcula mediante la expresin. De este modo, el trmino, representa el nmero de cifras significativas con las que obtenemos el resultado.

Mtodo de las aproximaciones sucesivasDada la ecuacinf(x) = 0, el mtodo de las aproximaciones sucesivas reemplaza esta ecuacin por una equivalente,x=g(x), definida en la formag(x)=f(x)+x. Para encontrar la solucin, partimos de un valor inicialx0y calculamos una nueva aproximacinx1=g(x0). Reemplazamos el nuevo valor obtenido y repetimos el proceso. Esto da lugar a una sucesin de valores, que si converge, tendr como lmite la solucin del problema.Figura 2.Interpretacin geomtrica del mtodo de las aproximaciones sucesivas.

En la figura 2 se representa la interpretacin geomtrica del mtodo. Partimos de un punto inicialx0y calculamosy=g(x0). La interseccin de esta solucin con la rectay=xnos dar un nuevo valorx1ms prximo a la solucin final.Sin embargo, el mtodo puede divergir fcilmente. Es fcil comprobar que el mtodo slo podr converger si la derivadag'(x) es menor en valor absoluto que la unidad (que es la pendiente de la recta definida pory=x). Un ejemplo de este caso se muestra en la figura 3. Esta condicin, quea prioripuede considerarse una severa restriccin del mtodo, puede obviarse fcilmente. Para ello basta elegir la funcing(x) del siguiente modo:

de forma que tomando un valor deadecuado, siempre podemos hacer queg(x) cumpla la condicin de la derivada.Figura 3:Demostracin grfica de que el mtodo de las aproximaciones sucesivas diverge si la derivadag'(x) > 1. Mtodo de NewtonEste mtodo parte de una aproximacin inicialx0y obtiene una aproximacin mejor,x1, dada por la frmula:(29)

La expresin anterior puede derivarse a partir de un desarrollo en serie de Taylor. Efectivamente, searun cero defy seaxuna aproximacin artal quer=x+h. Sif'' existe y es continua, por el teorema de Taylor tenemos:0 =f(r) =f(x+h) =f(x) +hf'(x) +O(h2)(30)

en dondeh=r-x. Sixest prximo ar(es decirhes pequea), es razonable ignorar el trminoO(h2):0 =f(x) +hf'(x)(31)

por lo que obtenemos la siguiente expresin parah:(32)

A partir de la ecuacin (32) y teniendo en cuenta quer=x+hes fcil derivar la ecuacin (29).Figura 4:Interpretacin geomtrica del mtodo de Newton.

El mtodo de Newton tiene una interpretacin geomtrica sencilla, como se puede apreciar del anlisis de la figura 4. De hecho, el mtodo de Newton consiste en unalinealizacinde la funcin, es decir,fse reemplaza por una recta tal que contiene al punto (x0,f(x0)) y cuya pendiente coincide con la derivada de la funcin en el punto,f'(x0). La nueva aproximacin a la raz,x1, se obtiene de la interseccin de la funcin linear con el ejeXde ordenadas.Veamos como podemos obtener la ecuacin (29) a partir de lo dicho en el prrafo anterior. La ecuacin de la recta que pasa por el punto (x0,f(x0)) y de pendientef'(x0) es:y-f(x0) =f'(x0)(x-x0)(33)

de donde, haciendoy=0 y despejandoxobtenemos la ecuacin de Newton-Raphson (29).Figura 5.Dos situaciones en las que el mtodo de Newton no funciona adecuadamente: (a) el mtodo no alcanza la convergencia y (b) el mtodo converge hacia un punto que no es un cero de la ecuacin.

El mtodo de Newton es muy rpido y eficiente ya que la convergencia es de tipo cuadrtico (el nmero de cifras significativas se duplica en cada iteracin). Sin embargo, la convergencia depende en gran medida de la forma que adopta la funcin en las proximidades del punto de iteracin. En la figura 5 se muestran dos situaciones en las que este mtodo no es capaz de alcanzar la convergencia (figura 5a)) o bien converge hacia un punto que no es un cero de la ecuacin (figura (5b)). Mtodo de la secanteEl principal inconveniente del mtodo de Newton estriba en que requiere conocer el valor de la primera derivada de la funcin en el punto. Sin embargo, la forma funcional def(x) dificulta en ocasiones el clculo de la derivada. En estos casos es ms til emplear el mtodo de la secante.El mtodo de la secante parte de dos puntos (y no slo uno como el mtodo de Newton) y estima la tangente (es decir, la pendiente de la recta) por una aproximacin de acuerdo con la expresin:(34)

Sustituyendo esta expresin en la ecuacin (29) del mtodo de Newton, obtenemos la expresin del mtodo de la secante que nos proporciona el siguiente punto de iteracin:(35)

Figura 6:Representacin geomtrica del mtodo de la secante.

En la siguiente iteracin, emplearemos los puntosx1yx2para estimar un nuevo punto ms prximo a la raz de acuerdo con la ecuacin (35). En la figura 6 se representa geomtricamente este mtodo.En general, el mtodo de la secante presenta las mismas ventajas y limitaciones que el mtodo de Newton-Raphson explicado anteriormente. Mtodo de SteffensenEl mtodo de Steffensen presenta una convergencia rpida y no requiere, como en el caso del mtodo de la secante, la evaluacin de derivada alguna. Presenta adems, la ventaja adicional de que el proceso de iteracin slo necesita un punto inicial. Este mtodo calcula el siguiente punto de iteracin a partir de la expresin:

Mtodo de la falsa posicinEl mtodo de la falsa posicin pretende conjugar la seguridad del mtodo de la biseccin con la rapidez del mtodo de la secante. Este mtodo, como en el mtodo de la biseccin, parte de dos puntos que rodean a la razf(x) = 0, es decir, dos puntosx0yx1tales quef(x0)f(x1) < 0. La siguiente aproximacin,x2, se calcula como la interseccin con el ejeXde la recta que une ambos puntos (empleando la ecuacin (35) del mtodo de la secante). La asignacin del nuevo intervalo de bsqueda se realiza como en el mtodo de la biseccin: entre ambos intervalos, [x0,x2] y [x2,x1], se toma aquel que cumplaf(x)f(x2) < 0. En la figura 7 se representa geomtricamente este mtodo.

Figura 7:Representacin geomtrica del mtodo de la falsa posicin.

La eleccinguiadadel intervalo representa una ventaja respecto al mtodo de la secante ya que inhibe la posibilidad de una divergencia del mtodo. Por otra parte y respecto al mtodo de la biseccin, mejora notablemente la eleccin del intervalo (ya que no se limita a partir el intervalo por la mitad).

Figura 8:Modificacin del mtodo de la falsa posicin propuesta por Hamming. La aproximacin a la raz se toma a partir del punto de interseccin con el ejeXde la recta que une los puntos (x0,f(x0)/2) y (x1,f(x1)) si la funcin es convexa en el intervalo (figura a) o bien a partir de la recta que une los puntos (x0,f(x0)) y (x1,f(x1)/2) si la funcin es cncava en el intervalo (figura b).

Sin embargo, el mtodo de la falsa posicin tiene una convergencia muy lenta hacia la solucin. Efectivamente, una vez iniciado el proceso iterativo, uno de los extremos del intervalo tiende a no modificarse (ver figura 7). Para obviar este problema, se ha propuesto una modificacin del mtodo, denominada mtodo de Hamming. Segn este mtodo, la aproximacin a una raz se encuentra a partir de la determinacin del punto de interseccin con el ejeXde la recta que une los puntos (x0,f(x0)/2) y (x1,f(x1)) si la funcin es convexa en el intervalo o bien a partir de la recta que une los puntos (x0,f(x0)) y (x1,f(x1)/2) si la funcin es cncava en el intervalo. En la figura 8 se representa grficamente el mtodo de Hamming.Como hemos comentado, el mtodo de Hamming requiere determinar la concavidad o convexidad de la funcin en el intervalo de iteracin. Un mtodo relativamente sencillo para determinar la curvatura de la funcin consiste en evaluar la funcin en el punto medio del intervalo,f(xm) (en dondexmse calcula como en el mtodo de la biseccin) y comparar este valor con la media de los valores de la funcin en los extremos del intervalo,. Tenemos entonces que: